لوغاريتم التعبير الكسري. اللوغاريتم الطبيعي ، دالة ln x

نواصل دراسة اللوغاريتمات. في هذا المقال سنتحدث عنه حساب اللوغاريتمات، هذه العملية تسمى بأخذ اللوغاريتم... أولاً ، سنتعامل مع حساب اللوغاريتمات بالتعريف. بعد ذلك ، سننظر في كيفية العثور على قيم اللوغاريتمات باستخدام خصائصها. بعد ذلك ، دعونا نتناول حساب اللوغاريتمات من حيث القيم المحددة في البداية للوغاريتمات الأخرى. أخيرًا ، دعنا نتعلم كيفية استخدام جداول اللوغاريتمات. يتم تزويد النظرية بأكملها بأمثلة مع حلول مفصلة.

التنقل في الصفحة.

حساب اللوغاريتمات بالتعريف

في أبسط الحالات ، من الممكن الأداء بسرعة وسهولة إيجاد اللوغاريتم بالتعريف... دعونا نلقي نظرة فاحصة على كيفية حدوث هذه العملية.

جوهرها هو تمثيل الرقم ب في الشكل أ ج ، ومن هنا ، من خلال تعريف اللوغاريتم ، فإن الرقم ج هو قيمة اللوغاريتم. أي أن إيجاد اللوغاريتم بالتعريف يتوافق مع سلسلة المساواة التالية: log a b = log a a c = c.

لذلك ، يتم تقليل حساب اللوغاريتم ، بحكم التعريف ، لإيجاد مثل هذا الرقم c بحيث يكون a c = b ، والرقم c نفسه هو القيمة المرغوبة للوغاريتم.

مع الأخذ في الاعتبار المعلومات الواردة في الفقرات السابقة ، عندما يتم إعطاء الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم بدرجة معينة من أساس اللوغاريتم ، يمكنك على الفور الإشارة إلى ما يساوي اللوغاريتم - فهو يساوي الأس. دعنا نعرض حلول الأمثلة.

مثال.

أوجد اللوغاريتم 2 2 −3 واحسب أيضًا اللوغاريتم الطبيعي لـ e 5.3.

حل.

يتيح لنا تعريف اللوغاريتم أن نقول على الفور أن log 2 2 −3 = −3. في الواقع ، الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم يساوي الأساس 2 أس −3.

وبالمثل ، نجد اللوغاريتم الثاني: lne 5.3 = 5.3.

إجابة:

سجل 2 2 −3 = 3 و lne 5.3 = 5.3.

إذا لم يتم تحديد الرقم ب الموجود أسفل علامة اللوغاريتم كدرجة أساس اللوغاريتم ، فأنت بحاجة إلى معرفة ما إذا كان بإمكانك الوصول إلى تمثيل الرقم ب في النموذج أ ج بعناية. غالبًا ما يكون هذا التمثيل واضحًا تمامًا ، خاصةً عندما يكون الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم مساويًا للأساس للأس 1 أو 2 أو 3 ، ...

مثال.

احسب لوغاريتمات log 5 25 و.

حل.

من السهل أن ترى أن 25 = 5 2 ، وهذا يسمح لك بحساب اللوغاريتم الأول: log 5 25 = log 5 5 2 = 2.

دعنا ننتقل إلى حساب اللوغاريتم الثاني. يمكن تمثيل الرقم كقوة 7: (انظر إذا لزم الأمر). بالتالي، .

دعونا نعيد كتابة اللوغاريتم الثالث على النحو التالي. يمكنك الآن رؤية ذلك ، ومن أين نستنتج ذلك ... لذلك ، من خلال تعريف اللوغاريتم .

باختصار ، يمكن كتابة الحل على النحو التالي:.

إجابة:

سجل 5 25 = 2 ، و .

عندما يكون هناك عدد طبيعي كبير بما فيه الكفاية تحت علامة اللوغاريتم ، لا يضر تحليله إلى عوامل أولية. يساعد هذا غالبًا في تمثيل مثل هذا الرقم في شكل درجة معينة من أساس اللوغاريتم ، وبالتالي لحساب هذا اللوغاريتم بالتعريف.

مثال.

أوجد قيمة اللوغاريتم.

حل.

تسمح لك بعض خصائص اللوغاريتمات بتحديد قيمة اللوغاريتمات على الفور. تتضمن هذه الخصائص خاصية لوغاريتم واحد وخاصية لوغاريتم رقم يساوي الأساس: log 1 1 = log a 0 = 0 and log a a = log a 1 = 1. أي عندما يوجد تحت علامة اللوغاريتم رقم 1 أو رقم يساوي أساس اللوغاريتم ، ثم في هذه الحالات يكون اللوغاريتمات مساوية لـ 0 و 1 على التوالي.

مثال.

ما هي اللوغاريتمات و lg10 يساوي؟

حل.

منذ ذلك الحين ، من تعريف اللوغاريتم يتبع ذلك .

في المثال الثاني ، يتطابق الرقم 10 الموجود أسفل علامة اللوغاريتم مع قاعدته ، وبالتالي فإن اللوغاريتم العشري لعشرة يساوي واحدًا ، أي lg10 = lg10 1 = 1.

إجابة:

و lg10 = 1.

لاحظ أن حساب اللوغاريتمات بالتعريف (الذي ناقشناه في الفقرة السابقة) يعني ضمناً استخدام سجل المساواة a a p = p ، وهي إحدى خصائص اللوغاريتمات.

من الناحية العملية ، عندما يتم تمثيل الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم وقاعدة اللوغاريتم بسهولة كقوة لعدد ما ، فمن الملائم جدًا استخدام الصيغة ، والذي يتوافق مع إحدى خصائص اللوغاريتمات. لنلقِ نظرة على مثال لإيجاد اللوغاريتم لتوضيح استخدام هذه الصيغة.

مثال.

احسب اللوغاريتم.

حل.

إجابة:

.

يتم استخدام خصائص اللوغاريتمات غير المذكورة أعلاه أيضًا في الحساب ، لكننا سنتحدث عن هذا في الفقرات التالية.

إيجاد اللوغاريتمات من حيث اللوغاريتمات الأخرى المعروفة

تستمر المعلومات الواردة في هذا القسم في موضوع استخدام خصائص اللوغاريتمات عند حسابها. لكن الاختلاف الرئيسي هنا هو أن خصائص اللوغاريتمات تُستخدم للتعبير عن اللوغاريتم الأصلي من حيث لوغاريتم آخر ، تُعرف قيمته. دعنا نعطي مثالا للتوضيح. لنفترض أننا نعلم أن log 2 3≈1.584963 ، فيمكننا إيجاد ، على سبيل المثال ، log 2 6 بإجراء تحويل صغير باستخدام خصائص اللوغاريتم: سجل 2 6 = سجل 2 (2 3) = سجل 2 2 + سجل 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

في المثال المعطى ، كان يكفي لنا استخدام خاصية لوغاريتم المنتج. ومع ذلك ، في كثير من الأحيان يكون من الضروري استخدام ترسانة أوسع من خصائص اللوغاريتم من أجل حساب اللوغاريتم الأولي من حيث تلك المعطاة.

مثال.

احسب log 27 للأساس 60 إذا كنت تعلم أن log 60 2 = a و log 60 5 = b.

حل.

إذن ، علينا إيجاد log 60 27. من السهل ملاحظة أن 27 = 3 3 ، واللوغاريتم الأصلي ، بسبب خاصية لوغاريتم القوة ، يمكن إعادة كتابته كـ 3 · log 60 3.

لنرى الآن كيفية التعبير عن log 60 3 بدلالة اللوغاريتمات المعروفة. تتيح لنا خاصية لوغاريتم رقم يساوي الأساس تدوين المساواة log 60 60 = 1. من ناحية أخرى ، سجل 60 60 = لوغار 60 (2 2 3 5) = سجل 60 2 2 + سجل 60 3 + سجل 60 5 = 2 سجل 60 2 + سجل 60 3 + سجل 60 5. هكذا، 2 سجل 60 2 + سجل 60 3 + سجل 60 5 = 1... بالتالي، السجل 60 3 = 1−2 السجل 60 2 - السجل 60 5 = 1−2 أ - ب.

أخيرًا ، احسب اللوغاريتم الأصلي: log 60 27 = 3 log 60 3 = 3 (1−2 أ - ب) = 3−6 أ - 3 ب.

إجابة:

السجل 60 27 = 3 (1−2 أ - ب) = 3−6 أ - 3 ب.

بشكل منفصل ، يجب أن يقال عن معنى صيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة لوغاريتم النموذج ... يسمح لك بالانتقال من اللوغاريتمات بأي قواعد إلى اللوغاريتمات ذات الأساس المحدد ، وقيمها معروفة أو من الممكن العثور عليها. عادةً ، من اللوغاريتم الأولي ، باستخدام صيغة الانتقال ، ينتقلون إلى اللوغاريتمات في إحدى القواعد 2 أو e أو 10 ، نظرًا لأن هناك جداول من اللوغاريتمات لهذه القواعد تسمح لك بحساب قيمها بدرجة معينة من صحة. في القسم التالي ، سوف نوضح كيف يتم ذلك.

جداول اللوغاريتمات واستخدامها

لحساب تقريبي لقيم اللوغاريتمات ، يمكن للمرء استخدام جداول اللوغاريتم... الجدول اللوغاريتمي الأساسي 2 الأكثر استخدامًا وجدول اللوغاريتم الطبيعي وجدول اللوغاريتم العشري. عند العمل في النظام العشري ، من الملائم استخدام جدول اللوغاريتمات لأساس عشرة. بمساعدتها ، سوف نتعلم كيفية إيجاد قيم اللوغاريتمات.

يسمح الجدول المقدم ، بدقة تبلغ واحدًا على عشرة آلاف ، بإيجاد قيم اللوغاريتمات العشرية للأرقام من 1000 إلى 9.999 (بثلاثة منازل عشرية). سنقوم بتحليل مبدأ إيجاد قيمة اللوغاريتم باستخدام جدول اللوغاريتمات العشرية باستخدام مثال محدد - وهذا أوضح. لنجد lg1،256.

في العمود الأيسر من جدول اللوغاريتمات العشرية ، نجد أول رقمين من الرقم 1.256 ، أي نجد 1.2 (هذا الرقم محاط بدائرة باللون الأزرق للتوضيح). نجد الرقم الثالث من العدد 1.256 (الرقم 5) في السطر الأول أو الأخير على يسار الخط المزدوج (هذا الرقم محاط بدائرة باللون الأحمر). الرقم الرابع من الرقم الأصلي 1.256 (رقم 6) موجود في السطر الأول أو الأخير على يمين الخط المزدوج (هذا الرقم محاط بدائرة باللون الأخضر). الآن نجد الأرقام في خلايا جدول اللوغاريتم عند تقاطع الصف المحدد والأعمدة المميزة (يتم تمييز هذه الأرقام باللون البرتقالي). يعطي مجموع الأرقام المميزة القيمة المرغوبة للوغاريتم العشري بدقة إلى المكان العشري الرابع ، أي ، lg1.236≈0.0969 + 0.0021 = 0.0990.

هل من الممكن ، باستخدام الجدول أعلاه ، إيجاد قيم اللوغاريتمات العشرية للأرقام التي تحتوي على أكثر من ثلاثة أرقام بعد الفاصلة العشرية ، وكذلك تجاوز النطاق من 1 إلى 9.999؟ نعم تستطيع. دعنا نوضح كيف يتم ذلك بمثال.

لنحسب lg102.76332. أولا عليك أن تكتب الرقم القياسي: 102.76332 = 1.0276332 10 2. بعد ذلك ، يجب تقريب الجزء العشري إلى المكان العشري الثالث ، لدينا 1.0276332 10 2 ≈ 1.028 10 2، في حين أن اللوغاريتم العشري الأصلي يساوي تقريبًا لوغاريتم الرقم الناتج ، أي أننا نأخذ lg102.76332≈lg1.028 · 10 2. الآن نطبق خصائص اللوغاريتم: lg1،02810 2 = lg1،028 + lg10 2 = lg1،028 + 2... أخيرًا ، نجد قيمة اللوغاريتم lg1.028 وفقًا لجدول اللوغاريتمات العشرية lg1.028≈0.0086 + 0.0034 = 0.012. نتيجة لذلك ، تبدو عملية حساب اللوغاريتم بالكامل كما يلي: log102.76332 = log1.027633210 2 ≈ log1.02810 2 = lg1.028 + lg10 2 = lg1.028 + 2≈0.012 + 2 = 2.012.

في الختام ، تجدر الإشارة إلى أنه باستخدام جدول اللوغاريتمات العشرية ، يمكنك حساب القيمة التقريبية لأي لوغاريتم. للقيام بذلك ، يكفي استخدام صيغة الانتقال للانتقال إلى اللوغاريتمات العشرية ، والعثور على قيمها وفقًا للجدول ، وإجراء العمليات الحسابية المتبقية.

على سبيل المثال ، لنحسب السجل 2 3. من خلال صيغة الانتقال إلى أساس جديد للوغاريتم ، لدينا. من جدول اللوغاريتمات العشرية ، نجد lg3≈0.4771 و lg2≈0.3010. هكذا، .

فهرس.

• كولموغوروف إيه إن ، أبراموف إيه إم ، دودنيتسين يو. الجبر وبداية التحليل: كتاب مدرسي للصفوف من 10 إلى 11 من المؤسسات التعليمية.
• Gusev V.A.، Mordkovich A.G. الرياضيات (دليل للمتقدمين للمدارس الفنية).

التعبيرات اللوغاريتمية ، حل الأمثلة. في هذه المقالة سوف نلقي نظرة على المشاكل المرتبطة بحل اللوغاريتمات. في المهام ، يُطرح السؤال حول إيجاد معنى تعبير. وتجدر الإشارة إلى أن مفهوم اللوغاريتم يستخدم في العديد من المهام ومن المهم للغاية فهم معناه. أما بالنسبة للاختبار ، فيستخدم اللوغاريتم عند حل المعادلات ، في المسائل التطبيقية ، وكذلك في المهام المتعلقة بدراسة الدوال.

فيما يلي بعض الأمثلة لفهم معنى اللوغاريتم:

الهوية اللوغاريتمية الأساسية:

خصائص اللوغاريتمات التي يجب تذكرها دائمًا:

* لوغاريتم المنتج هو مجموع لوغاريتمات العوامل.

* * *

* لوغاريتم حاصل القسمة (الكسر) يساوي الفرق بين لوغاريتمات العوامل.

* * *

* لوغاريتم الأس يساوي حاصل ضرب الأس بواسطة لوغاريتم قاعدته.

* * *

* الانتقال إلى قاعدة جديدة

* * *

المزيد من الخصائص:

* * *

يرتبط حساب اللوغاريتمات ارتباطًا وثيقًا باستخدام خصائص الأس.

دعنا نسرد بعضًا منهم:

جوهر هذه الخاصية هو أنه عندما يتم نقل البسط إلى المقام والعكس صحيح ، يتم عكس علامة الأس. على سبيل المثال:

نتيجة هذه الخاصية:

* * *

عند رفع قوة إلى قوة ، تظل القاعدة كما هي ، وتتضاعف المؤشرات.

* * *

كما رأيت ، فإن مفهوم اللوغاريتم ذاته بسيط. الشيء الرئيسي هو أنك بحاجة إلى ممارسة جيدة ، والتي تمنحك مهارة معينة. بالطبع ، مطلوب معرفة الصيغ. إذا لم يتم تشكيل المهارة في تحويل اللوغاريتمات الأولية ، فعند حل المهام البسيطة ، يمكنك بسهولة ارتكاب خطأ.

تمرن على حل أبسط الأمثلة من دورة الرياضيات أولاً ، ثم انتقل إلى الأمثلة الأكثر صعوبة. في المستقبل سأوضح لك بالتأكيد كيف يتم حل اللوغاريتمات "القبيحة" ، لن يكون هناك مثل هذه اللوغاريتمات في الامتحان ، لكنها ذات أهمية ، لا تفوتها!

هذا كل شئ! النجاح لك!

مع أطيب التحيات ، الكسندر كروتسكيخ

ملاحظة: سأكون ممتنًا لو أخبرتنا عن الموقع على الشبكات الاجتماعية.

خصوصيتك مهمة بالنسبة لنا. لهذا السبب ، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى قراءة سياسة الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كان لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عندما تترك طلبًا على الموقع ، فقد نجمع معلومات مختلفة ، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تسمح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها بالاتصال بك والإبلاغ عن العروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر ، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إخطارات ورسائل مهمة.
• يجوز لنا أيضًا استخدام المعلومات الشخصية لأغراض داخلية ، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب على الجوائز أو مسابقة أو حدث ترويجي مشابه ، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

إفشاء المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات التي نتلقاها منك لأطراف ثالثة.

استثناءات:

• إذا كان من الضروري - وفقًا للقانون وأمر المحكمة و / أو إجراءات المحكمة و / أو بناءً على طلبات عامة أو طلبات من سلطات الدولة على أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. قد نكشف أيضًا عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأمان أو لإنفاذ القانون أو لأسباب أخرى مهمة اجتماعيًا.
• في حالة إعادة التنظيم أو الاندماج أو البيع ، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث المناسب - الخلف القانوني.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وإساءة الاستخدام ، وكذلك من الوصول غير المصرح به والكشف والتعديل والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

من أجل التأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة ، فإننا نوفر قواعد السرية والأمان لموظفينا ، ونراقب بدقة تنفيذ تدابير السرية.

إذن ، أمامنا قوى اثنين. إذا أخذت الرقم من المحصلة النهائية ، فيمكنك بسهولة العثور على الدرجة التي يجب أن ترفع عندها اثنين للحصول على هذا الرقم. على سبيل المثال ، للحصول على 16 ، عليك رفع اثنين مرفوعًا للقوة الرابعة. ولكي تحصل على 64 ، عليك أن ترفع اثنين أس ستة. هذا يمكن رؤيته من الجدول.

والآن - في الواقع ، تعريف اللوغاريتم:

لوغاريتم الأساس a للوسيطة x هو القوة التي يجب رفع الرقم a إليها للحصول على العدد x.

تدوين: log a x = b ، حيث a هو الأساس ، x هو الوسيطة ، b هو في الواقع ما هو اللوغاريتم.

على سبيل المثال ، 2 3 = 8 ⇒ السجل 2 8 = 3 (السجل 8 للأساس 2 هو ثلاثة ، بما أن 2 3 = 8). بنفس النجاح ، سجل 2 64 = 6 ، منذ 2 6 = 64.

تسمى عملية إيجاد لوغاريتم رقم في أساس معين اللوغاريتم. لذلك ، دعنا نضيف سطرًا جديدًا إلى جدولنا:

لسوء الحظ ، لم يتم حساب كل اللوغاريتمات بهذه السهولة. على سبيل المثال ، حاول العثور على السجل 2 5. الرقم 5 ليس في الجدول ، لكن المنطق يفرض أن اللوغاريتم سوف يقع في مكان ما على القطعة. لأن 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

تسمى هذه الأرقام غير منطقية: يمكن كتابة الأرقام بعد الفاصلة العشرية إلى أجل غير مسمى ، ولا تتكرر أبدًا. إذا تبين أن اللوغاريتم غير منطقي ، فمن الأفضل تركه على هذا النحو: log 2 5 ، log 3 8 ، log 5100.

من المهم أن نفهم أن اللوغاريتم عبارة عن تعبير به متغيرين (الأساس والحجة). في البداية ، يتم الخلط بين الكثيرين حول مكان الأساس وأين الحجة. لتجنب سوء الفهم المزعج ، ما عليك سوى إلقاء نظرة على الصورة:

أمامنا ليس أكثر من تعريف اللوغاريتم. تذكر: اللوغاريتم هو الدرجةالتي يجب أن ترفع القاعدة للحصول على الحجة. إنها القاعدة المرفوعة إلى السلطة - في الصورة مظللة باللون الأحمر. اتضح أن القاعدة دائمًا في الأسفل! أخبر طلابي بهذه القاعدة الرائعة في الدرس الأول - ولا يظهر أي التباس.

توصلنا إلى التعريف - يبقى أن نتعلم كيفية حساب اللوغاريتمات ، أي تخلص من علامة السجل. بادئ ذي بدء ، نلاحظ أن حقيقتين مهمتين تنبعان من التعريف:

1. يجب أن تكون الوسيطة والجذر دائمًا أكبر من الصفر. يأتي هذا من تعريف الدرجة بمؤشر منطقي ، يتم فيه تقليل تعريف اللوغاريتم.
2. يجب أن تكون القاعدة مختلفة عن واحدة ، لأن الواحد لا يزال واحدًا إلى أي درجة. لهذا السبب ، فإن السؤال "إلى أي درجة يجب أن يرفع المرء واحدًا للحصول على اثنين" لا معنى له. لا توجد مثل هذه الدرجة!

تسمى هذه القيود مجموعة من القيم الصالحة(ODZ). اتضح أن ODZ للوغاريتم يبدو كالتالي: log a x = b ⇒ x> 0 ، a> 0 ، a ≠ 1.

لاحظ أنه لا توجد قيود على الرقم ب (قيمة اللوغاريتم). على سبيل المثال ، قد يكون اللوغاريتم سالبًا: log 2 0.5 = −1 ، لأن 0.5 = 2 1.

ومع ذلك ، نحن الآن نفكر في التعبيرات العددية فقط ، حيث لا يلزم معرفة ODV للوغاريتم. تم بالفعل أخذ جميع القيود في الاعتبار من قبل مجمعي المهام. ولكن عندما تأتي المعادلات اللوغاريتمية وعدم المساواة ، ستصبح متطلبات DHS إلزامية. في الواقع ، في الأساس وفي الحجة يمكن أن تكون هناك إنشاءات قوية جدًا لا تتوافق بالضرورة مع القيود المذكورة أعلاه.

الآن دعونا نلقي نظرة على المخطط العام لحساب اللوغاريتمات. يتكون من ثلاث خطوات:

1. اعرض الجذر a والوسيطة x كقوة لها أصغر جذر ممكن أكبر من واحد. على طول الطريق ، من الأفضل التخلص من الكسور العشرية ؛
2. حل معادلة المتغير ب: س = أ ب ؛
3. سيكون الرقم الناتج ب هو الجواب.

هذا كل شئ! إذا تبين أن اللوغاريتم غير منطقي ، فسيتم رؤية ذلك بالفعل في الخطوة الأولى. يعتبر شرط أن تكون القاعدة أكبر من واحد وثيق الصلة للغاية: فهذا يقلل من احتمالية الخطأ ويبسط العمليات الحسابية إلى حد كبير. إنه نفس الشيء مع الكسور العشرية: إذا قمت بتحويلها على الفور إلى كسور عادية ، فسيكون هناك عدة مرات أخطاء أقل.

دعونا نرى كيف يعمل هذا المخطط مع أمثلة محددة:

مهمة. احسب اللوغاريتم: log 5 25

1. دعنا نمثل الأساس والسعة كقوة خمسة: 5 = 5 1 ؛ 25 = 5 2 ؛

دعونا نؤلف ونحل المعادلة:
سجل 5 25 = ب ⇒ (5 1) ب = 5 2 ⇒ 5 ب = 5 2 ⇒ ب = 2 ؛

2. استلم الجواب: 2.

مهمة. احسب اللوغاريتم:

مهمة. احسب سجل: log 4 64

1. دعنا نمثل الأساس والسعة كقوة اثنين: 4 = 2 2؛ 64 = 2 6 ؛
2. دعونا نؤلف ونحل المعادلة:
   سجل 4 64 = ب (2 2) ب = 6 2 2 2 ب = 2 6 ⇒ 2 ب = 6 ب = 3 ؛
3. تلقى الجواب: 3.

مهمة. احسب اللوغاريتم: log 16 1

1. دعنا نمثل الأساس والسعة كقوة اثنين: 16 = 2 4 ؛ 1 = 2 0 ؛
2. دعونا نؤلف ونحل المعادلة:
   سجل 16 1 = ب ⇒ (2 4) ب = 2 0 ⇒ 2 4 ب = 2 0 ⇒ 4 ب = 0 ب = 0 ؛
3. حصل على الجواب: 0.

مهمة. احسب لوغاريتم: log 7 14

1. دعنا نمثل القاعدة والسعة كقوة سبعة: 7 = 7 1 ؛ ١٤ لا يتم تمثيلها كقوة سبعة ، بما أن ٧ ١< 14 < 7 2 ;
2. من النقطة السابقة يترتب على ذلك أن اللوغاريتم لا يحسب ؛
3. الجواب لا تغيير: سجل 7 14.

ملاحظة صغيرة على المثال الأخير. كيف تتأكد من أن الرقم ليس قوة دقيقة لرقم آخر؟ الأمر بسيط للغاية - فقط عامله في العوامل الأولية. إذا كان العامل يحتوي على عاملين مختلفين على الأقل ، فإن الرقم ليس قوة دقيقة.

مهمة. اكتشف ما إذا كانت قوى الرقم الدقيقة هي: 8 ؛ 48 ؛ 81 ؛ 35 ؛ أربعة عشرة .

8 = 2 2 2 = 2 3 - الدرجة الدقيقة ، لأن هناك عامل واحد فقط.
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ليست درجة دقيقة ، نظرًا لوجود عاملين: 3 و 2 ؛
81 = 9 9 = 3 3 3 3 3 = 3 4 - الدرجة الدقيقة ؛
35 = 7 · 5 - مرة أخرى ليست درجة دقيقة ؛
14 = 7 2 - مرة أخرى ليست درجة دقيقة ؛

لاحظ أيضًا أن الأعداد الأولية نفسها دائمًا ما تكون قوى خاصة بها.

اللوغاريتم العشري

بعض اللوغاريتمات شائعة لدرجة أن لها اسمًا خاصًا وتسمية.

اللوغاريتم العشري لـ x هو لوغاريتم الأساس 10 ، أي القوة التي يجب رفع الرقم 10 إليها للحصول على الرقم x. التعيين: lg x.

على سبيل المثال ، lg 10 = 1 ؛ إل جي 100 = 2 ؛ lg 1000 = 3 - إلخ.

من الآن فصاعدًا ، عندما تظهر عبارة مثل "Find lg 0.01" في كتاب مدرسي ، يجب أن تعرف: هذا ليس خطأ مطبعي. هذا هو اللوغاريتم العشري. ومع ذلك ، إذا لم تكن معتادًا على مثل هذا التعيين ، فيمكنك دائمًا إعادة كتابته:
سجل س = سجل 10 س

كل ما ينطبق على اللوغاريتمات العادية ينطبق على النظام العشري أيضًا.

اللوغاريتم الطبيعي

هناك لوغاريتم آخر له رمز خاص به. بطريقة ما ، هو أكثر أهمية من النظام العشري. هذا هو اللوغاريتم الطبيعي.

اللوغاريتم الطبيعي لـ x هو لوغاريتم الأساس e ، أي القوة التي يجب رفع الرقم e إليها للحصول على الرقم x. التعيين: ln x.

سوف يسأل الكثير: ما هو الرقم e أيضًا؟ هذا رقم غير منطقي ، ولا يمكن العثور على معناه الدقيق وكتابته. سأقدم فقط الأرقام الأولى:
ه = 2.718281828459 ...

لن نتعمق في ماهية هذا الرقم وسبب الحاجة إليه. فقط تذكر أن e هو أساس اللوغاريتم الطبيعي:
ln x = تسجيل الدخول x

وهكذا ، ln e = 1 ؛ ln e 2 = 2 ؛ ln e 16 = 16 - إلخ. من ناحية أخرى ، ln 2 عدد غير نسبي. بشكل عام ، اللوغاريتم الطبيعي لأي عدد نسبي غير منطقي. باستثناء الوحدات بالطبع: ln 1 = 0.

بالنسبة للوغاريتمات الطبيعية ، فإن جميع القواعد صحيحة وتنطبق على اللوغاريتمات العادية.

الخصائص الأساسية.

1. logax + logay = loga (x y) ؛
2. لوغاكس - logay = loga (x: y).

أسباب متطابقة

السجل 6 4 + السجل 6 9.

الآن دعونا نعقد المهمة قليلاً.

أمثلة على حل اللوغاريتمات

ماذا لو كانت قاعدة اللوغاريتم أو وسيطته مبنية على درجة؟ ثم يمكن إخراج أس هذه الدرجة من علامة اللوغاريتم وفقًا للقواعد التالية:

بالطبع ، كل هذه القواعد منطقية إذا لوحظ ODL للوغاريتم: a> 0 ، a ≠ 1 ، x>

مهمة. ابحث عن معنى التعبير:

الانتقال إلى مؤسسة جديدة

دع اللوغاريتم يعطى. بعد ذلك ، بالنسبة لأي رقم c مثل c> 0 و c 1 ، فإن المساواة التالية تحمل:

مهمة. ابحث عن معنى التعبير:

أنظر أيضا:

الخصائص الأساسية للوغاريتم

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

الأس هو 2.718281828…. لتذكر الأس ، يمكنك دراسة القاعدة: الأس هو 2.7 ومرتين سنة ميلاد Leo Nikolaevich Tolstoy.

الخصائص الأساسية للوغاريتمات

بمعرفة هذه القاعدة ، ستعرف القيمة الدقيقة للأس وتاريخ ميلاد ليو تولستوي.

أمثلة على اللوغاريتمات

تعابير اللوغاريتم

مثال 1.
أ). x = 10ac ^ 2 (أ> 0 ، ج> 0).

حسب الخصائص 3.5 نحسب

2.

3.

4. أين .

مثال 2. ابحث عن x إذا

مثال 3. دع قيمة اللوغاريتمات تعطى

تقييم سجل (x) إذا

الخصائص الأساسية للوغاريتمات

اللوغاريتمات ، مثل أي أرقام ، يمكن إضافتها وطرحها وتحويلها بكل طريقة. ولكن نظرًا لأن اللوغاريتمات ليست أرقامًا عادية تمامًا ، فهناك قواعد هنا تسمى الخصائص الأساسية.

من الضروري معرفة هذه القواعد - لا يمكن حل مشكلة لوغاريتمية خطيرة بدونها. بالإضافة إلى ذلك ، هناك عدد قليل جدًا منهم - يمكن تعلم كل شيء في يوم واحد. لذلك دعونا نبدأ.

جمع وطرح اللوغاريتمات

ضع في اعتبارك لوغاريتمين لهما نفس الأسس: logax و logay. ثم يمكن إضافتهم وطرحهم ، و:

1. logax + logay = loga (x y) ؛
2. لوغاكس - logay = loga (x: y).

إذن ، مجموع اللوغاريتمات يساوي لوغاريتم حاصل الضرب ، والفرق هو لوغاريتم حاصل القسمة. يرجى ملاحظة أن النقطة الأساسية هنا هي - أسباب متطابقة... إذا اختلفت الأسباب ، فهذه القواعد لا تعمل!

ستساعدك هذه الصيغ في حساب تعبير لوغاريتمي حتى عندما لا يتم حساب بعض أجزائه (انظر الدرس "ما هو اللوغاريتم"). ألق نظرة على الأمثلة - وانظر:

نظرًا لأن قواعد اللوغاريتمات هي نفسها ، فإننا نستخدم صيغة الجمع:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log2 48 - log2 3.

القواعد هي نفسها ، نستخدم صيغة الفرق:
تسجيل 2 48 - تسجيل 2 3 = تسجيل 2 (48: 3) = تسجيل 2 16 = 4.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log3 135 - log3 5.

مرة أخرى ، القواعد هي نفسها ، لذلك لدينا:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

كما ترى ، تتكون التعبيرات الأصلية من لوغاريتمات "سيئة" ، والتي لا تُحسب بشكل منفصل. ولكن بعد التحولات ، يتم الحصول على أرقام طبيعية تمامًا. تستند العديد من الاختبارات على هذه الحقيقة. ولكن ما هي السيطرة - مثل هذه التعبيرات بكل جدية (في بعض الأحيان - من الناحية العملية دون تغيير) يتم تقديمها في الامتحان.

إزالة الأس من اللوغاريتم

من السهل أن ترى أن القاعدة الأخيرة تتبع أول قاعدتين. لكن من الأفضل أن تتذكرها كلها كما هي - في بعض الحالات ستقلل بشكل كبير من مقدار الحساب.

بالطبع ، كل هذه القواعد منطقية إذا لوحظ ODL للوغاريتم: a> 0 ، a ≠ 1 ، x> 0. وشيء آخر: تعلم كيفية تطبيق جميع الصيغ ليس فقط من اليسار إلى اليمين ، ولكن أيضًا العكس بالعكس ، بمعنى آخر يمكنك إدخال الأرقام الموجودة أمام علامة اللوغاريتم في اللوغاريتم نفسه. هذا هو المطلوب في أغلب الأحيان.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log7 496.

دعنا نتخلص من الدرجة في الحجة باستخدام الصيغة الأولى:
سجل 7496 = 6 سجل 7 49 = 6 2 = 12

مهمة. ابحث عن معنى التعبير:

لاحظ أن المقام يحتوي على اللوغاريتم ، وأساسه ووسعته عبارة عن قوى دقيقة: 16 = 24 ؛ 49 = 72. لدينا:

أعتقد أن المثال الأخير يحتاج إلى بعض التوضيح. أين اختفت اللوغاريتمات؟ حتى اللحظة الأخيرة ، نحن نعمل فقط مع المقام.

صيغ اللوغاريتمات. اللوغاريتمات هي أمثلة على الحلول.

قدمنا ​​أساس وحجة اللوغاريتم الذي يقف هناك على شكل درجات وأظهرنا المؤشرات - حصلنا على كسر من "ثلاثة طوابق".

لنلق نظرة الآن على الكسر الأساسي. يحتوي البسط والمقام على نفس الرقم: log2 7. بما أن log2 7 ≠ 0 ، يمكننا إلغاء الكسر - يبقى المقام 2/4. وفقًا لقواعد الحساب ، يمكن تحويل الأربعة إلى البسط ، وقد تم ذلك. كانت النتيجة الجواب: 2.

الانتقال إلى مؤسسة جديدة

بالحديث عن قواعد الجمع والطرح في اللوغاريتمات ، أكدت على وجه التحديد أنها تعمل فقط لنفس القواعد. ماذا لو اختلفت الأسباب؟ ماذا لو لم تكن قوى دقيقة لنفس العدد؟

تأتي الصيغ الخاصة بالانتقال إلى مؤسسة جديدة للإنقاذ. دعونا نصيغها في شكل نظرية:

دع اللوغاريتم يعطى. بعد ذلك ، بالنسبة لأي رقم c مثل c> 0 و c 1 ، فإن المساواة التالية تحمل:

على وجه الخصوص ، إذا وضعنا c = x ، نحصل على:

من الصيغة الثانية ، يترتب على ذلك أنه من الممكن تبديل الأساس ووسيط اللوغاريتم ، ولكن في هذه الحالة يكون التعبير بالكامل "معكوسًا" ، أي يظهر اللوغاريتم في المقام.

نادرًا ما توجد هذه الصيغ في التعبيرات الرقمية التقليدية. من الممكن تقدير مدى ملاءمتها فقط عند حل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات.

ومع ذلك ، هناك مهام لم يتم حلها بشكل عام إلا من خلال الانتقال إلى مؤسسة جديدة. ضع في اعتبارك اثنين من هذه:

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log5 16 log2 25.

لاحظ أن وسيطات كلا اللوغاريتمين تحتوي على درجات دقيقة. لنأخذ المؤشرات: log5 16 = log5 24 = 4log5 2 ؛ log2 25 = log2 52 = 2log2 5 ؛

الآن دعونا "نقلب" اللوغاريتم الثاني:

نظرًا لأن حاصل الضرب لا يتغير من تقليب العوامل ، فقد ضربنا بهدوء الأربعة والاثنين ، ثم تعاملنا مع اللوغاريتمات.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log9100 · lg 3.

أساس وسعة اللوغاريتم الأول هما الدرجات الدقيقة. دعنا نكتب هذا ونتخلص من المقاييس:

الآن دعنا نتخلص من اللوغاريتم العشري بالانتقال إلى الأساس الجديد:

الهوية اللوغاريتمية الأساسية

غالبًا في عملية الحل ، يلزم تمثيل رقم كلوغاريتم لقاعدة معينة. في هذه الحالة ، ستساعدنا الصيغ على:

في الحالة الأولى ، يصبح الرقم n هو الأس في الوسيطة. يمكن أن يكون الرقم n أي شيء على الإطلاق ، لأنه يمثل قيمة اللوغاريتم فقط.

الصيغة الثانية هي في الواقع تعريف معاد صياغته. يطلق عليه أن:.

في الواقع ، ماذا يحدث إذا تم رفع الرقم ب إلى هذه القوة بحيث يعطي الرقم ب لهذه القوة الرقم أ؟ هذا صحيح: تحصل على هذا الرقم بالذات أ. اقرأ هذه الفقرة بعناية مرة أخرى - كثير من الناس "يعلقون" عليها.

مثل معادلات الانتقال إلى قاعدة جديدة ، فإن الهوية اللوغاريتمية الأساسية هي أحيانًا الحل الوحيد الممكن.

مهمة. ابحث عن معنى التعبير:

لاحظ أن log25 64 = log5 8 - فقط حرك المربع خارج القاعدة ووسيطة اللوغاريتم. مع الأخذ في الاعتبار قواعد ضرب الدرجات بنفس القاعدة ، نحصل على:

إذا لم يكن شخص ما على دراية ، فقد كانت مشكلة حقيقية من الامتحان

الوحدة اللوغاريتمية والصفر اللوغاريتمي

في الختام ، سأقدم متطابقتين يصعب تسميتهما بالخصائص - بل إنهما نتيجة لتعريف اللوغاريتم. إنهم يواجهون مشاكل باستمرار ، ومن المدهش أنهم يخلقون مشاكل حتى للطلاب "المتقدمين".

1. لوقا = 1 هو. تذكر مرة واحدة وإلى الأبد: لوغاريتم أي أساس أ من هذه القاعدة يساوي واحدًا.
2. loga 1 = 0 هو. يمكن أن تكون القاعدة a أي شيء ، ولكن إذا كانت الوسيطة واحدة ، فإن اللوغاريتم هو صفر! لأن a0 = 1 نتيجة مباشرة للتعريف.

هذه كل الخصائص. تأكد من ممارسة وضعها موضع التنفيذ! قم بتنزيل ورقة الغش في بداية الدرس وقم بطباعتها وحل المشكلات.

أنظر أيضا:

يشير لوغاريتم b إلى الأساس a إلى تعبير. لحساب اللوغاريتم يعني إيجاد مثل هذه القوة من x () التي عندها المساواة

الخصائص الأساسية للوغاريتم

يجب معرفة الخصائص المعطاة ، لأنه ، على أساسها ، يتم حل جميع المشكلات والأمثلة تقريبًا المرتبطة باللوغاريتمات. يمكن استنتاج باقي الخصائص الغريبة عن طريق التلاعب الرياضي بهذه الصيغ

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

عند حساب الصيغ لمجموع وفرق اللوغاريتمات (3.4) يتم مصادفتها في كثير من الأحيان. الباقي معقد إلى حد ما ، ولكن في عدد من المهام لا غنى عنها لتبسيط التعبيرات المعقدة وحساب قيمها.

الحالات الشائعة للوغاريتمات

بعض اللوغاريتمات الشائعة هي تلك التي تكون فيها القاعدة عشرة أو أسية أو اثنين.
عادةً ما يُطلق على لوغاريتم الأساس العشر اللوغاريتم العشري ويُشار إليه ببساطة بـ lg (x).

يتضح من التسجيل أن الأساسيات ليست مكتوبة في التسجيل. على سبيل المثال

اللوغاريتم الطبيعي هو اللوغاريتم القائم على الأس (يُشار إليه بـ ln (x)).

الأس هو 2.718281828…. لتذكر الأس ، يمكنك دراسة القاعدة: الأس هو 2.7 ومرتين سنة ميلاد Leo Nikolaevich Tolstoy. بمعرفة هذه القاعدة ، ستعرف القيمة الدقيقة للأس وتاريخ ميلاد ليو تولستوي.

ولوغاريتم أساسي آخر للأساس اثنين هو

مشتق لوغاريتم الدالة يساوي واحدًا مقسومًا على المتغير

يتم تحديد التكامل أو المشتق العكسي للوغاريتم من خلال التبعية

المادة المعطاة كافية بالنسبة لك لحل فئة واسعة من المشاكل المتعلقة باللوغاريتمات واللوغاريتمات. لاستيعاب المادة ، سأقدم فقط بعض الأمثلة الشائعة من المناهج المدرسية والجامعات.

أمثلة على اللوغاريتمات

تعابير اللوغاريتم

مثال 1.
أ). x = 10ac ^ 2 (أ> 0 ، ج> 0).

حسب الخصائص 3.5 نحسب

2.
من خلال خاصية اختلاف اللوغاريتمات ، لدينا

3.
باستخدام الخصائص 3،5 نجد

4. أين .

يتم تبسيط التعبير الذي يبدو معقدًا باستخدام عدد من القواعد في النموذج

إيجاد قيم اللوغاريتمات

مثال 2. ابحث عن x إذا

حل. للحساب ، نطبق على آخر مصطلح 5 و 13 خاصية

استبدل واحزن

نظرًا لأن الأسس متساوية ، فإننا نساوي التعبيرات

اللوغاريتمات. مستوى اول.

دع قيمة اللوغاريتمات تعطى

تقييم سجل (x) إذا

الحل: دعونا لوغاريتم المتغير لكتابة اللوغاريتم من خلال مجموع الحدود

هذا هو المكان الذي يبدأ فيه التعرف على اللوغاريتمات وخصائصها فقط. تدرب على الحسابات ، وأثري مهاراتك العملية - ستحتاج قريبًا إلى هذه المعرفة لحل المعادلات اللوغاريتمية. بعد دراسة الطرق الأساسية لحل مثل هذه المعادلات ، سنقوم بتوسيع معرفتك لموضوع آخر لا يقل أهمية - عدم المساواة اللوغاريتمية ...

الخصائص الأساسية للوغاريتمات

اللوغاريتمات ، مثل أي أرقام ، يمكن إضافتها وطرحها وتحويلها بكل طريقة. ولكن نظرًا لأن اللوغاريتمات ليست أرقامًا عادية تمامًا ، فهناك قواعد هنا تسمى الخصائص الأساسية.

من الضروري معرفة هذه القواعد - لا يمكن حل مشكلة لوغاريتمية خطيرة بدونها. بالإضافة إلى ذلك ، هناك عدد قليل جدًا منهم - يمكن تعلم كل شيء في يوم واحد. لذلك دعونا نبدأ.

جمع وطرح اللوغاريتمات

ضع في اعتبارك لوغاريتمين لهما نفس الأسس: logax و logay. ثم يمكن إضافتهم وطرحهم ، و:

1. logax + logay = loga (x y) ؛
2. لوغاكس - logay = loga (x: y).

إذن ، مجموع اللوغاريتمات يساوي لوغاريتم حاصل الضرب ، والفرق هو لوغاريتم حاصل القسمة. يرجى ملاحظة أن النقطة الأساسية هنا هي - أسباب متطابقة... إذا اختلفت الأسباب ، فهذه القواعد لا تعمل!

ستساعدك هذه الصيغ في حساب تعبير لوغاريتمي حتى عندما لا يتم حساب بعض أجزائه (انظر الدرس "ما هو اللوغاريتم"). ألق نظرة على الأمثلة - وانظر:

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log6 4 + log6 9.

نظرًا لأن قواعد اللوغاريتمات هي نفسها ، فإننا نستخدم صيغة الجمع:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log2 48 - log2 3.

القواعد هي نفسها ، نستخدم صيغة الفرق:
تسجيل 2 48 - تسجيل 2 3 = تسجيل 2 (48: 3) = تسجيل 2 16 = 4.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log3 135 - log3 5.

مرة أخرى ، القواعد هي نفسها ، لذلك لدينا:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

كما ترى ، تتكون التعبيرات الأصلية من لوغاريتمات "سيئة" ، والتي لا تُحسب بشكل منفصل. ولكن بعد التحولات ، يتم الحصول على أرقام طبيعية تمامًا. تستند العديد من الاختبارات على هذه الحقيقة. ولكن ما هي السيطرة - مثل هذه التعبيرات بكل جدية (في بعض الأحيان - من الناحية العملية دون تغيير) يتم تقديمها في الامتحان.

إزالة الأس من اللوغاريتم

الآن دعونا نعقد المهمة قليلاً. ماذا لو كانت قاعدة اللوغاريتم أو وسيطته مبنية على درجة؟ ثم يمكن إخراج أس هذه الدرجة من علامة اللوغاريتم وفقًا للقواعد التالية:

من السهل أن ترى أن القاعدة الأخيرة تتبع أول قاعدتين. لكن من الأفضل أن تتذكرها كلها كما هي - في بعض الحالات ستقلل بشكل كبير من مقدار الحساب.

بالطبع ، كل هذه القواعد منطقية إذا لوحظ ODL للوغاريتم: أ> 0 ، أ 1 ، س> 0. وشيء آخر: تعلم كيفية تطبيق جميع الصيغ ليس فقط من اليسار إلى اليمين ، ولكن أيضًا بالعكس ، بمعنى آخر يمكنك إدخال الأرقام الموجودة أمام علامة اللوغاريتم في اللوغاريتم نفسه.

كيفية حل اللوغاريتمات

هذا هو المطلوب في أغلب الأحيان.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log7 496.

دعنا نتخلص من الدرجة في الحجة باستخدام الصيغة الأولى:
سجل 7496 = 6 سجل 7 49 = 6 2 = 12

مهمة. ابحث عن معنى التعبير:

لاحظ أن المقام يحتوي على اللوغاريتم ، وأساسه ووسعته عبارة عن قوى دقيقة: 16 = 24 ؛ 49 = 72. لدينا:

أعتقد أن المثال الأخير يحتاج إلى بعض التوضيح. أين اختفت اللوغاريتمات؟ حتى اللحظة الأخيرة ، نحن نعمل فقط مع المقام. قدمنا ​​أساس وحجة اللوغاريتم الذي يقف هناك على شكل درجات وأظهرنا المؤشرات - حصلنا على كسر من "ثلاثة طوابق".

لنلق نظرة الآن على الكسر الأساسي. يحتوي البسط والمقام على نفس الرقم: log2 7. بما أن log2 7 ≠ 0 ، يمكننا إلغاء الكسر - يبقى المقام 2/4. وفقًا لقواعد الحساب ، يمكن تحويل الأربعة إلى البسط ، وقد تم ذلك. كانت النتيجة الجواب: 2.

الانتقال إلى مؤسسة جديدة

بالحديث عن قواعد الجمع والطرح في اللوغاريتمات ، أكدت على وجه التحديد أنها تعمل فقط لنفس القواعد. ماذا لو اختلفت الأسباب؟ ماذا لو لم تكن قوى دقيقة لنفس العدد؟

تأتي الصيغ الخاصة بالانتقال إلى مؤسسة جديدة للإنقاذ. دعونا نصيغها في شكل نظرية:

دع اللوغاريتم يعطى. بعد ذلك ، بالنسبة لأي رقم c مثل c> 0 و c 1 ، فإن المساواة التالية تحمل:

على وجه الخصوص ، إذا وضعنا c = x ، نحصل على:

من الصيغة الثانية ، يترتب على ذلك أنه من الممكن تبديل الأساس ووسيط اللوغاريتم ، ولكن في هذه الحالة يكون التعبير بالكامل "معكوسًا" ، أي يظهر اللوغاريتم في المقام.

نادرًا ما توجد هذه الصيغ في التعبيرات الرقمية التقليدية. من الممكن تقدير مدى ملاءمتها فقط عند حل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات.

ومع ذلك ، هناك مهام لم يتم حلها بشكل عام إلا من خلال الانتقال إلى مؤسسة جديدة. ضع في اعتبارك اثنين من هذه:

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log5 16 log2 25.

لاحظ أن وسيطات كلا اللوغاريتمين تحتوي على درجات دقيقة. لنأخذ المؤشرات: log5 16 = log5 24 = 4log5 2 ؛ log2 25 = log2 52 = 2log2 5 ؛

الآن دعونا "نقلب" اللوغاريتم الثاني:

نظرًا لأن حاصل الضرب لا يتغير من تقليب العوامل ، فقد ضربنا بهدوء الأربعة والاثنين ، ثم تعاملنا مع اللوغاريتمات.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log9100 · lg 3.

أساس وسعة اللوغاريتم الأول هما الدرجات الدقيقة. دعنا نكتب هذا ونتخلص من المقاييس:

الآن دعنا نتخلص من اللوغاريتم العشري بالانتقال إلى الأساس الجديد:

الهوية اللوغاريتمية الأساسية

غالبًا في عملية الحل ، يلزم تمثيل رقم كلوغاريتم لقاعدة معينة. في هذه الحالة ، ستساعدنا الصيغ على:

في الحالة الأولى ، يصبح الرقم n هو الأس في الوسيطة. يمكن أن يكون الرقم n أي شيء على الإطلاق ، لأنه يمثل قيمة اللوغاريتم فقط.

الصيغة الثانية هي في الواقع تعريف معاد صياغته. يطلق عليه أن:.

في الواقع ، ماذا يحدث إذا تم رفع الرقم ب إلى هذه القوة بحيث يعطي الرقم ب لهذه القوة الرقم أ؟ هذا صحيح: تحصل على هذا الرقم بالذات أ. اقرأ هذه الفقرة بعناية مرة أخرى - كثير من الناس "يعلقون" عليها.

مثل معادلات الانتقال إلى قاعدة جديدة ، فإن الهوية اللوغاريتمية الأساسية هي أحيانًا الحل الوحيد الممكن.

مهمة. ابحث عن معنى التعبير:

لاحظ أن log25 64 = log5 8 - فقط حرك المربع خارج القاعدة ووسيطة اللوغاريتم. مع الأخذ في الاعتبار قواعد ضرب الدرجات بنفس القاعدة ، نحصل على:

إذا لم يكن شخص ما على دراية ، فقد كانت مشكلة حقيقية من الامتحان

الوحدة اللوغاريتمية والصفر اللوغاريتمي

في الختام ، سأقدم متطابقتين يصعب تسميتهما بالخصائص - بل إنهما نتيجة لتعريف اللوغاريتم. إنهم يواجهون مشاكل باستمرار ، ومن المدهش أنهم يخلقون مشاكل حتى للطلاب "المتقدمين".

1. لوقا = 1 هو. تذكر مرة واحدة وإلى الأبد: لوغاريتم أي أساس أ من هذه القاعدة يساوي واحدًا.
2. loga 1 = 0 هو. يمكن أن تكون القاعدة a أي شيء ، ولكن إذا كانت الوسيطة واحدة ، فإن اللوغاريتم هو صفر! لأن a0 = 1 نتيجة مباشرة للتعريف.

هذه كل الخصائص. تأكد من ممارسة وضعها موضع التنفيذ! قم بتنزيل ورقة الغش في بداية الدرس وقم بطباعتها وحل المشكلات.