1 مشتق من الدالة عند نقطة. مشتق من وظيفة

تعريف.دع الدالة \ (y = f (x) \) تُعرّف في بعض الفترات التي تحتوي على النقطة \ (x_0 \). امنح الوسيطة زيادة \ (\ Delta x \) بحيث لا تخرج عن هذا الفاصل الزمني. ابحث عن زيادة الوظيفة المقابلة \ (\ Delta y \) (عند المرور من النقطة \ (x_0 \) إلى النقطة \ (x_0 + \ Delta x \)) وقم بتكوين النسبة \ (\ frac (\ Delta y) (\ Delta خ) \). إذا كان هناك حد لهذه النسبة عند \ (\ Delta x \ rightarrow 0 \) ، فسيتم استدعاء الحد المعين دالة مشتقة\ (y = f (x) \) عند النقطة \ (x_0 \) والدلالة \ (f "(x_0) \).

$$ \ lim _ (\ Delta x \ to 0) \ frac (\ Delta y) (\ Delta x) = f "(x_0) $$

غالبًا ما يستخدم الرمز y "للإشارة إلى المشتق. لاحظ أن y" = f (x) هي وظيفة جديدة ، ولكنها مرتبطة بشكل طبيعي بالدالة y = f (x) ، المحددة في جميع النقاط x حيث يوجد الحد أعلاه ... تسمى هذه الوظيفة على النحو التالي: مشتق من الدالة y = f (x).

المعنى الهندسي للمشتقعلى النحو التالي. إذا كان الرسم البياني للوظيفة y = f (x) عند نقطة مع حدودي x = a يمكن رسم الظل ، وليس الموازي للمحور y ، فإن f (a) تعبر عن ميل الظل:
\ (ك = و "(أ) \)

بما أن \ (k = tg (a) \) ، فإن المساواة \ (f "(a) = tg (a) \) صحيحة.

الآن دعونا نفسر تعريف المشتق من وجهة نظر المساواة التقريبية. دع الدالة \ (y = f (x) \) لها مشتق عند نقطة محددة \ (x \):
$$ \ lim _ (\ Delta x \ to 0) \ frac (\ Delta y) (\ Delta x) = f "(x) $$
هذا يعني أنه بالقرب من النقطة x تحقق المساواة التقريبية \ (\ frac (\ Delta y) (\ Delta x) \ almost f "(x) \) ، أي \ (\ Delta y \ almost f" (x) \ cdot \ Delta x \). المعنى الهادف للمساواة التقريبية التي تم الحصول عليها هو كما يلي: زيادة الوظيفة "متناسبة تقريبًا" مع زيادة الحجة ، ومعامل التناسب هو قيمة المشتق عند نقطة معينة x. على سبيل المثال ، تحقق الوظيفة \ (y = x ^ 2 \) المساواة التقريبية \ (\ Delta y \ almost 2x \ cdot \ Delta x \). إذا قمنا بتحليل تعريف المشتق بعناية ، فسنجد أنه يحتوي على خوارزمية لإيجاده.

دعونا نصيغها.

كيف يمكن إيجاد مشتق التابع y = f (x)؟

1. أصلح القيمة \ (x \) ، ابحث عن \ (f (x) \)
2. اكتب الوسيطة \ (x \) زيادة \ (\ Delta x \) ، انتقل إلى نقطة جديدة \ (x + \ Delta x \) ، ابحث عن \ (f (x + \ Delta x) \)
3. أوجد زيادة الدالة: \ (\ Delta y = f (x + \ Delta x) - f (x) \)
4. تكوين العلاقة \ (\ frac (\ Delta y) (\ Delta x) \)
5. احسب $$ \ lim _ (\ Delta x \ to 0) \ frac (\ Delta y) (\ Delta x) $$
هذا النهاية هو مشتق الدالة عند النقطة x.

إذا كانت الدالة y = f (x) لها مشتق عند النقطة x ، فإنها تسمى قابلة للاشتقاق عند النقطة x. يسمى الإجراء الخاص بإيجاد مشتق دالة y = f (x) التفاضلالدالة y = f (x).

دعونا نناقش السؤال التالي: كيف ترتبط استمرارية وظيفة ما وتمييزها في نقطة ما ببعضها البعض؟

اجعل الدالة y = f (x) قابلة للاشتقاق عند النقطة x. ثم يمكن رسم الظل للرسم البياني للوظيفة عند النقطة M (x ؛ f (x)) ، وتذكر أن ميل الظل يساوي f "(x). مثل هذا الرسم البياني لا يمكن أن" ينكسر " عند النقطة M ، أي يجب أن تكون الوظيفة متصلة عند النقطة x.

لقد كان منطق "طرف الإصبع". دعونا نعطي تفكير أكثر صرامة. إذا كانت الوظيفة y = f (x) قابلة للتفاضل عند النقطة x ، فإن المساواة التقريبية \ (\ Delta y \ almost f "(x) \ cdot \ Delta x \) صحيحة. إذا كانت في هذه المساواة \ (\ Delta x \) يميل إلى الصفر ، ثم \ (\ Delta y \) سيميل إلى الصفر ، وهذا هو شرط استمرارية الوظيفة عند النقطة.

وبالتالي، إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق عند النقطة x ، فهي أيضًا متصلة عند هذه النقطة.

والعكس ليس صحيحا. على سبيل المثال: الوظيفة y = | x | مستمر في كل مكان ، لا سيما عند النقطة x = 0 ، لكن ظل المماس للرسم البياني للوظيفة عند "نقطة الوصل" (0 ؛ 0) غير موجود. إذا كان من المستحيل رسم ظل عند نقطة ما على الرسم البياني للدالة ، فلا توجد مشتقة في هذه المرحلة.

مثال آخر. الدالة \ (y = \ sqrt (x) \) متصلة على خط الأعداد بالكامل ، بما في ذلك عند النقطة x = 0. والماس للرسم البياني للوظيفة موجود في أي نقطة ، بما في ذلك عند النقطة x = 0 . ولكن عند هذه النقطة يتطابق خط المماس مع المحور y ، أي أنه عمودي على محور الإحداثية ، وتكون معادلته على شكل x = 0. لا يوجد ميل لمثل هذا الخط المستقيم ، لذا فهو غير موجود و \ (و "(0) \)

لذلك ، تعرفنا على خاصية جديدة للدالة - التفاضل. وكيف يمكننا ، من التمثيل البياني للدالة ، أن نستنتج قابليتها للاشتقاق؟

تم استلام الجواب بالفعل أعلاه. إذا كان من الممكن في وقت ما على الرسم البياني للوظيفة رسم ظل غير عمودي على محور الإحداثية ، فعند هذه النقطة تكون الوظيفة قابلة للاشتقاق. إذا كان المماس للرسم البياني للوظيفة غير موجود في وقت ما أو كان عموديًا على محور الإحداثية ، فعندئذٍ تكون الوظيفة غير قابلة للاشتقاق.

قواعد التمايز

تسمى عملية إيجاد المشتق التفاضل... عند إجراء هذه العملية ، غالبًا ما يتعين عليك العمل مع حاصل القسمة ، والمجاميع ، ومنتجات الوظائف ، وكذلك مع "وظائف الوظائف" ، أي الوظائف المعقدة. بناءً على تعريف المشتق ، من الممكن اشتقاق قواعد التفاضل التي تسهل هذا العمل. إذا كان C عددًا ثابتًا و f = f (x) ، g = g (x) هي بعض الوظائف القابلة للتفاضل ، فإن التالي قواعد التمايز:

جدول مشتق لبعض الوظائف

عند حل المشكلات المختلفة للهندسة والميكانيكا والفيزياء وفروع المعرفة الأخرى ، أصبح من الضروري استخدام نفس العملية التحليلية من هذه الوظيفة ص = و (س)الحصول على وظيفة جديدة تسمى دالة مشتقة(أو ببساطة مشتق) من هذه الوظيفة f (x)ويشار إليها بالرمز

العملية التي بواسطتها من وظيفة معينة و (خ)الحصول على وظيفة جديدة و "(خ)وتسمى التفاضلوتتكون من الخطوات الثلاث التالية: 1) نعطي الحجة xزيادة راتب  xوتحديد الزيادة المقابلة للدالة  ص = و (س + x) -f (x)؛ 2) تكوين العلاقة

3) النظر xثابت و  x0 ، نجد
، والتي نشير بها و "(خ)، كما لو كان التأكيد على أن الوظيفة الناتجة تعتمد فقط على القيمة xالذي نذهب فيه إلى الحد الأقصى. تعريف: المشتق y "= f" (x) هذه الوظيفة y = f (x) ل x معطىيسمى حد نسبة زيادة الوظيفة إلى زيادة الوسيطة ، بشرط أن زيادة الوسيطة تميل إلى الصفر ، إذا كان هذا الحد موجودًا بالطبع ، أي محدود. هكذا،
، أو

لاحظ أنه إذا كان لبعض القيمة x، على سبيل المثال في س = أ، سلوك
في  xلا تميل 0 إلى حد محدود ، ففي هذه الحالة يُقال أن الوظيفة كذلك و (خ)في س = أ(أو عند هذه النقطة س = أ) ليس له أي مشتق أو غير قابل للاشتقاق عند هذه النقطة س = أ.

2. المعنى الهندسي للمشتق.

ضع في اعتبارك الرسم البياني للدالة y = f (x) القابلة للاشتقاق بالقرب من النقطة x 0

و (خ)

ضع في اعتبارك خطًا مستقيمًا تعسفيًا يمر عبر نقطة على الرسم البياني للوظيفة - النقطة A (x 0، f (x 0)) ويتقاطع مع الرسم البياني عند نقطة ما B (x؛ f (x)). يسمى هذا الخط المستقيم (AB) القاطع. من ∆АВС: АС = ∆x ؛ ВС = ∆у ؛ tgβ = ∆y / ∆x.

منذ AC || Ox ، ثم ALO = BAC = β (على النحو المقابل للتوازي). لكن ALO هي زاوية ميل القاطع AB إلى الاتجاه الإيجابي لمحور Ox. ومن ثم ، فإن tgβ = k هو ميل الخط المستقيم AB.

الآن سنقلل ∆х ، أي ∆х → 0. في هذه الحالة ، ستقترب النقطة B من النقطة A وفقًا للرسم البياني ، وسوف يدور القاطع AB. سيكون الموضع المحدد للقاطع AB عند ∆x → 0 هو الخط المستقيم (أ) ، المماس للرسم البياني للوظيفة y = f (x) عند النقطة A.

إذا تجاوزنا الحد كـ ∆х → 0 في المساواة tanβ = y / ∆x ، فإننا نحصل على
أو tg = f "(x 0) ، منذ ذلك الحين
-زاوية ميل الظل إلى الاتجاه الإيجابي لمحور الثور
، من خلال تعريف المشتق. لكن tg = k هو ميل الظل ، مما يعني أن k = tg = f "(x 0).

إذن ، المعنى الهندسي للمشتق كما يلي:

مشتق التابع عند النقطة x 0 يساوي ميل المماس للرسم البياني للدالة المرسومة عند النقطة التي تحتوي على المحور x 0 .

3. المعنى المادي للمشتق.

ضع في اعتبارك حركة نقطة على طول خط مستقيم. دع إحداثي النقطة يُعطى في أي وقت x (t). من المعروف (من مقرر الفيزياء) أن متوسط ​​السرعة على مدى فترة زمنية يساوي نسبة المسافة المقطوعة خلال هذه الفترة الزمنية ، أي

فاف = ∆x / t. دعونا ننتقل إلى الحد الأقصى في المساواة الأخيرة مثل ∆t → 0.

lim Vav (t) =  (t 0) - السرعة اللحظية في الوقت t 0 ، ∆t → 0.

و lim = ∆x / ∆t = x "(t 0) (حسب تعريف المشتق).

إذن ،  (t) = x "(t).

المعنى المادي للمشتق هو كما يلي: مشتق الوظيفةذ = F(x) عند النقطةx 0 هو معدل تغير الوظيفةF(خ) عند النقطةx 0

يتم استخدام المشتق في الفيزياء لإيجاد السرعة من خلال وظيفة معروفة للإحداثيات من وقت ، التسارع بواسطة دالة معروفة للسرعة من وقت.

 (t) = x "(t) - السرعة ،

أ (و) =  "(تي) - تسارع ، أو

إذا كان قانون حركة نقطة مادية في دائرة معروفًا ، فيمكنك إيجاد السرعة الزاوية والتسارع الزاوي أثناء الحركة الدورانية:

φ = φ (t) - تغير الزاوية بمرور الوقت ،

ω = φ "(t) - السرعة الزاوية ،

ε = φ "(t) - التسارع الزاوي ، أو ε = φ" (t).

إذا كان قانون توزيع كتلة قضيب غير متجانس معروفًا ، فيمكن العثور على الكثافة الخطية للقضيب غير المتجانس:

م = م (س) - الكتلة ،

س  ، ل - طول الشريط ،

ع = م "(س) - الكثافة الخطية.

يستخدم المشتق في حل المشكلات من نظرية المرونة والاهتزازات التوافقية. لذلك ، وفقًا لقانون هوك

F = -kx ، x هو إحداثي متغير ، k هو معامل مرونة الزنبرك. بوضع ω 2 = k / m ، نحصل على المعادلة التفاضلية للبندول الزنبركي x "(t) + ω 2 x (t) = 0 ،

حيث ω = √k / √m هو تردد الاهتزاز (l / c) ، k هو صلابة الزنبرك (H / m).

تسمى معادلة بالصيغة у "+ ω 2 y = 0 معادلة الاهتزازات التوافقية (الميكانيكية ، الكهربائية ، الكهرومغناطيسية) حل هذه المعادلات هو الوظيفة

у = Asin (t + 0) أو у = Acos (t + 0) ، حيث

А - سعة الاهتزاز ، ω - تردد دوري ،

φ 0 - المرحلة الأولية.

من المستحيل تمامًا حل المشكلات الفيزيائية أو الأمثلة في الرياضيات دون معرفة المشتق وطرق حسابه. المشتق من أهم المفاهيم في التحليل الرياضي. قررنا تكريس مقال اليوم لهذا الموضوع الأساسي. ما هو المشتق ، ما هو معناه الفيزيائي والهندسي ، كيف نحسب مشتق دالة؟ يمكن دمج كل هذه الأسئلة في سؤال واحد: كيف نفهم المشتق؟

المعنى الهندسي والمادي للمشتق

يجب ألا تكون هناك وظيفة و (خ) تعطى في بعض الفترات (أ ، ب) ... النقاط х و х0 تنتمي إلى هذا الفاصل الزمني. عندما تتغير x ، تتغير الوظيفة نفسها. تغيير الحجة - الفرق بين قيمها x-x0 ... هذا الاختلاف مكتوب كـ دلتا س ويسمى زيادة الوسيطة. التغيير أو الزيادة في دالة هو الفرق في قيم الدالة عند نقطتين. تعريف مشتق:

مشتق دالة عند نقطة ما هو حد نسبة زيادة الدالة عند نقطة معينة إلى زيادة الوسيطة عندما تميل الأخيرة إلى الصفر.

خلاف ذلك ، يمكن كتابتها على النحو التالي:

ما الهدف من إيجاد مثل هذا الحد؟ وإليك ما يلي:

مشتق الوظيفة عند نقطة ما يساوي ظل الزاوية بين محور OX وظل الرسم البياني للوظيفة عند هذه النقطة.

المعنى المادي للمشتق: مشتق المسار فيما يتعلق بالوقت يساوي سرعة الحركة المستقيمة.

في الواقع ، منذ أوقات الدراسة ، يعلم الجميع أن السرعة مسار خاص. س = و (ر) و الوقت ر ... متوسط ​​السرعة خلال فترة زمنية:

لمعرفة سرعة الحركة في وقت واحد t0 تحتاج إلى حساب الحد:

القاعدة الأولى: إخراج ثابت

يمكن نقل الثابت خارج علامة المشتق. علاوة على ذلك ، يجب أن يتم ذلك. عند حل الأمثلة في الرياضيات ، خذ كقاعدة - إذا كان بإمكانك تبسيط التعبير ، فتأكد من التبسيط .

مثال. دعنا نحسب المشتق:

القاعدة الثانية: مشتق مجموع الوظائف

مشتق مجموع وظيفتين يساوي مجموع مشتقات هاتين الدالتين. وينطبق الشيء نفسه على مشتق فرق الوظائف.

لن نعطي دليلاً على هذه النظرية ، بل سننظر في مثال عملي.

أوجد مشتق دالة:

القاعدة الثالثة: مشتق من حاصل ضرب التوابع

يتم حساب مشتق منتج وظيفتين قابلتين للتفاضل بواسطة الصيغة:

مثال: أوجد مشتق دالة:

حل:

من المهم أن نقول هنا عن حساب مشتقات الوظائف المعقدة. مشتق دالة معقدة يساوي حاصل ضرب مشتق هذه الدالة فيما يتعلق بالحجة الوسيطة بمشتق الوسيطة فيما يتعلق بالمتغير المستقل.

في المثال أعلاه ، نلتقي بالتعبير:

في هذه الحالة ، الوسيطة الوسيطة هي 8x أس الخامس. من أجل حساب مشتق مثل هذا التعبير ، نحسب أولاً مشتق الوظيفة الخارجية فيما يتعلق بالوسيطة الوسيطة ، ثم نضرب في مشتق الوسيطة الفورية فيما يتعلق بالمتغير المستقل.

القاعدة الرابعة: مشتق خارج القسمة لوظيفتين

صيغة لتحديد مشتق حاصل قسمة وظيفتين:

حاولنا إخباركم عن مشتقات الدمى من الصفر. هذا الموضوع ليس بالبساطة التي يبدو عليها ، لذا كن حذرًا: غالبًا ما تكون هناك عيوب في الأمثلة ، لذا كن حذرًا عند حساب المشتقات.

لأي سؤال حول هذا الموضوع وموضوعات أخرى ، يمكنك الاتصال بخدمة الطلاب. في وقت قصير ، سنساعدك في حل أصعب اختبار والتعامل مع المهام ، حتى لو لم تكن قد قمت بحساب المشتقات من قبل.

عندما يتخذ الشخص أولى الخطوات المستقلة في دراسة التحليل الرياضي ويبدأ في طرح أسئلة غير مريحة ، لم يعد من السهل الخروج بعبارة "تم العثور على حساب التفاضل في الملفوف". لذلك حان الوقت لاكتساب العزيمة وكشف سر الولادة. جداول المشتقات وقواعد التفاضل... تم البدء في المقال على معنى المشتق، والتي أوصي بشدة بدراستها ، لأننا هناك نظرنا للتو في مفهوم المشتق وبدأنا في النقر فوق المشكلات المتعلقة بالموضوع. نفس الدرس له توجه عملي واضح ، علاوة على ذلك ،

الأمثلة المذكورة أدناه ، من حيث المبدأ ، يمكن إتقانها وبشكل رسمي بحت (على سبيل المثال ، عندما لا يكون هناك وقت / رغبة في الخوض في جوهر المشتق). من المرغوب أيضًا (ولكن ليس ضروريًا أيضًا) أن تكون قادرًا على إيجاد المشتقات بالطريقة "المعتادة" - على الأقل على مستوى درسين أساسيين:كيفية إيجاد المشتقة ومشتقة دالة معقدة.

لكن الشيء الذي لا يمكنك الاستغناء عنه الآن هو بدونه حدود الوظائف... يجب أن تفهم ما هو الحد وأن تكون قادرًا على حلها ، على الأقل في المستوى المتوسط. وكل ذلك بسبب المشتق

وظيفة عند نقطة تحددها الصيغة:

أذكرك بالتدوين والمصطلحات: إنهم يدعون زيادة الحجة;

- زيادة الوظيفة ؛

- هذه رموز فردية (لا يمكن "تمزيق" دلتا "من" x "أو" اللعبة ").

من الواضح أنه متغير "ديناميكي" ، وهو ثابت ونتيجة حساب الحد - عدد (في بعض الأحيان - "زائد" أو "ناقص" ما لا نهاية).

كنقطة واحدة ، يمكنك التفكير في أي قيمة تنتمي إلى مجالات التعريفالوظيفة التي يوجد فيها المشتق.

ملاحظة: عبارة "حيث يوجد المشتق" - بشكل عام ضروري! لذلك ، على سبيل المثال ، يتم تضمين النقطة ويتم تضمينها في مجال تعريف الوظيفة ، ولكن المشتق

غير موجود هناك. لذلك فإن الصيغة

لا ينطبق في هذه المرحلة

وستكون الصياغة المختصرة بدون تحفظ غير صحيحة. تنطبق الحقائق المماثلة أيضًا على الدوال الأخرى ذات "القطع المقطوعة" للرسم البياني ، ولا سيما بالنسبة للجيب العكسي وجيب التمام العكسي.

وبالتالي ، بعد الاستبدال ، نحصل على صيغة العمل الثانية:

انتبه إلى الظرف الخبيث الذي يمكن أن يربك إبريق الشاي: في هذا الحد ، تلعب "x" ، كونها المتغير المستقل نفسه ، دور عنصر إضافي ، ويتم تعيين "الديناميكيات" مرة أخرى من خلال الزيادة. نتيجة حساب الحد

هي الوظيفة المشتقة.

بناءً على ما سبق ، سنقوم بصياغة الشروط لمشكلتين نموذجيتين:

- تجد المشتق عند النقطةباستخدام تعريف المشتق.

- تجد دالة مشتقةباستخدام تعريف المشتق. هذا الإصدار ، وفقًا لملاحظاتي ، أكثر شيوعًا وسيكون التركيز الرئيسي.

الفرق الأساسي بين المهام هو أنه في الحالة الأولى مطلوب إيجاد الرقم (اختياريًا ، ما لا نهاية)، وفي الثانية -

وظيفة. بالإضافة إلى ذلك ، قد لا يكون المشتق موجودًا على الإطلاق.

كيف ؟

ارسم النسبة واحسب النهاية.

من أين أتىجدول المشتقات وقواعد التفاضل ؟ بفضل الحد الوحيد

يبدو وكأنه سحر ، ولكن في

الواقع - خفة اليد ولا احتيال. في الدرس ما هو المشتق؟بدأت في دراسة أمثلة محددة ، حيث وجدت ، باستخدام التعريف ، مشتقات دالة خطية وتربيعية. لغرض الاحماء التربوي ، سوف نستمر في الإزعاج جدول المشتقاتشحذ الخوارزمية والحلول التقنية:

في الواقع ، مطلوب إثبات حالة خاصة لمشتق دالة القدرة ، والتي تظهر عادةً في الجدول :.

تم إضفاء الطابع الرسمي على الحل من الناحية الفنية بطريقتين. لنبدأ بالنهج الأول المألوف بالفعل: يبدأ السلم بلوح ، وتبدأ الوظيفة المشتقة بالمشتق عند النقطة.

ضع في اعتبارك بعض النقاط (المحددة) التي تنتمي إلى مجالات التعريفالوظيفة التي يوجد فيها المشتق. دعونا نحدد الزيادة في هذه المرحلة (بالطبع ، لن تتجاوز o / o-s) وقم بتكوين الزيادة المقابلة للوظيفة:

لنحسب الحد:

يتم التخلص من عدم اليقين 0: 0 بواسطة تقنية قياسية ، اعتُبرت في وقت مبكر من القرن الأول قبل الميلاد. دعونا نضاعف

البسط والمقام لكل تعبير مترافق :

تتم مناقشة تقنية حل هذا الحد بالتفصيل في الدرس التمهيدي. حول حدود الوظائف.

حيث يمكنك تحديد أي نقطة من الفاصل الزمني

بعد ذلك ، بعد إجراء الاستبدال ، نحصل على:

مرة أخرى ، دعونا نبتهج باللوغاريتمات:

أوجد مشتق دالة باستخدام تعريف المشتق

الحل: ضع في اعتبارك نهجًا مختلفًا للترويج لنفس المشكلة. إنه نفس الشيء تمامًا ، لكنه أكثر عقلانية من حيث التصميم. الفكرة هي التخلص من

منخفض واستخدم حرفًا بدلاً من حرف.

ضع في اعتبارك نقطة تعسفية تنتمي إلى مجالات التعريفوظيفة (فترة) ، وضبط الزيادة فيها. ولكن هنا ، بالمناسبة ، كما هو الحال في معظم الحالات ، يمكنك الاستغناء عن أي تحفظات ، لأن الوظيفة اللوغاريتمية قابلة للتفاضل في أي نقطة في مجال التعريف.

ثم الزيادة المقابلة للوظيفة:

لنجد المشتق:

يتم موازنة سهولة التصميم من خلال الارتباك الذي يمكن

تنشأ في المبتدئين (وليس فقط). بعد كل شيء ، لقد تعودنا على حقيقة أن الحرف "X" يتغير في الحد! لكن هنا كل شيء مختلف: - تمثال عتيق ، لكن - زائر حي ، يسير بخفة على طول ممر المتحف. وهذا يعني أن "x" "نوع من ثابت".

سأعلق على إزالة عدم اليقين خطوة بخطوة:

(1) نستخدم خاصية اللوغاريتم.

(2) اقسم البسط على المقام الموجود بين قوسين.

(3) في المقام ، نضرب بشكل مصطنع ونقسم على "x" بحيث

استفد من الحد الرائع ، بينما متناهي الصغريتحدث.

الجواب: حسب تعريف المشتق:

أو مختصر:

أقترح تصميم صيغتين جدوليتين بشكل مستقل:

أوجد المشتق بالتعريف

في هذه الحالة ، من المناسب إحضار الزيادة المجمعة على الفور إلى قاسم مشترك. عينة تقريبية من الواجب في نهاية الدرس (الطريقة الأولى).

أوجد المشتق بالتعريف

وهنا يجب اختزال كل شيء إلى حد رائع. يتم إضفاء الطابع الرسمي على القرار بالطريقة الثانية.

عدد من الآخرين المشتقات المجدولة... يمكن العثور على قائمة كاملة في الكتاب المدرسي ، أو ، على سبيل المثال ، المجلد الأول من Fichtengolz. لا أرى فائدة كبيرة في إعادة كتابة البراهين الخاصة بقواعد التمايز عن الكتب - فقد تم إنشاؤها أيضًا

معادلة.

الانتقال إلى مهام الحياة الواقعية: مثال 5

أوجد مشتق دالة باستخدام تعريف المشتق

الحل: استخدم أسلوب التصميم الأول. ضع في اعتبارك نقطة ما تنتمي إليها ، وقم بتعيين زيادة الحجة فيها. ثم الزيادة المقابلة للوظيفة:

ربما لم يفهم بعض القراء بعد تمامًا المبدأ الذي يجب أن تتم الزيادة فيه. نأخذ نقطة (رقم) ونجد قيمة الوظيفة فيها: ، وهذا هو ، في الوظيفة

بدلاً من "x" يجب أن يتم استبداله. الآن نحن نأخذ

زيادة الوظيفة المترجمة قد يكون من المفيد التبسيط على الفور... لأي غرض؟ تسهيل واختصار الحل إلى أقصى حد.

نستخدم الصيغ ونوسع الأقواس ونختصر كل شيء يمكن اختصاره:

الديك الرومي محترق ، لا مشكلة في الشواء:

في النهاية:

نظرًا لأنه يمكنك اختيار أي رقم حقيقي كجودة ، فسنقوم بالاستبدال والحصول عليه .

إجابة : الدير.

لأغراض التحقق ، نجد المشتق باستخدام القواعد

التمايز والجداول:

من المفيد والممتع دائمًا معرفة الإجابة الصحيحة مسبقًا ، لذلك من الأفضل عقليًا أو في المسودة التمييز بين الوظيفة المقترحة بطريقة "سريعة" في بداية الحل.

أوجد مشتق دالة بتعريف المشتق

هذا مثال لحل افعل ذلك بنفسك. النتيجة تكمن في السطح:

العودة إلى النمط رقم 2: مثال 7

دعنا نكتشف على الفور ما يجب أن يحدث. بواسطة قاعدة اشتقاق دالة معقدة:

الحل: ضع في اعتبارك نقطة عشوائية تنتمي إليها ، واضبط زيادة الوسيطة فيها وقم بتكوين الزيادة

لنجد المشتق:

(1) نستخدم الصيغة المثلثية

(2) نفتح القوسين أسفل الجيب ، ونعطي حدًا متشابهًا تحت جيب التمام.

(3) نلغي حدي الجيب ، ونقسم البسط على المقام تحت حد جيب التمام.

(4) بسبب الجيب الغريب ، وضعنا "ناقص". تحت جيب التمام

تشير إلى أن المصطلح.

(5) نجري عملية ضرب اصطناعي في المقام من أجل استخدامها أول حد رائع... وبالتالي ، يتم التخلص من عدم اليقين ، نقوم بتمشيط النتيجة.

الإجابة: حسب التعريف كما ترى ، تكمن الصعوبة الرئيسية للمشكلة قيد الدراسة

تعقيد الحد نفسه + خصوصية طفيفة للعبوة. في الممارسة العملية ، هناك طريقتان للتصميم ، لذلك أصف كلا النهجين بأكبر قدر ممكن من التفاصيل. إنها متساوية ، ولكن مع ذلك ، في انطباعي الشخصي ، من الملائم أكثر لأباريق الشاي أن تلتزم بالخيار 1 بـ "× صفر".

باستخدام التعريف ، أوجد مشتق التابع

هذه مهمة مستقلة. تم تصميم العينة بنفس روح المثال السابق.

دعنا نحلل نسخة نادرة من المشكلة:

أوجد مشتق دالة عند نقطة باستخدام تعريف المشتق.

أولا ، ماذا يجب أن يكون المحصلة النهائية؟ رقم دعونا نحسب الإجابة بالطريقة القياسية:

الحل: من وجهة نظر الوضوح ، هذه المهمة أسهل بكثير ، لأنه في الصيغة ، بدلاً من

يعتبر المعنى المحدد.

دعنا نضبط الزيادة عند النقطة ونؤلف الزيادة المقابلة للدالة:

دعنا نحسب المشتق عند النقطة:

نستخدم صيغة نادرة جدًا لاختلاف الظل ومرة أخرى سنختزل الحل إلى الأول

حد رائع:

الجواب: بتعريف المشتق عند النقطة.

المهمة ليست صعبة الحل و "بشكل عام" - يكفي استبدال واحد أو أكثر ، اعتمادًا على طريقة التصميم. في هذه الحالة ، بالطبع ، لا تحصل على رقم ، بل وظيفة مشتقة.

مثال 10 باستخدام التعريف ، أوجد مشتق التابع في هذه النقطة

هذا مثال لحل افعل ذلك بنفسك.

مشكلة المكافأة النهائية مخصصة بشكل أساسي للطلاب ذوي الدراسة المتقدمة للتحليل الرياضي ، ولكنها لن تؤذي أي شخص آخر أيضًا:

هل ستكون الوظيفة قابلة للتفاضل في هذه النقطة؟

الحل: من الواضح أن دالة معرفة متعددة التعريف تكون متصلة عند نقطة ما ، ولكن هل ستكون قابلة للاشتقاق هناك؟

خوارزمية الحل ، وليس فقط للوظائف متعددة التعريف ، هي كما يلي:

1) أوجد المشتق الأيسر عند هذه النقطة :.

2) أوجد المشتق الأيمن في هذه المرحلة :.

3) إذا كانت المشتقات أحادية الجانب محدودة ومتوافقة:

، فإن الوظيفة قابلة للاشتقاق عند النقطة و

هندسيًا ، هناك ظل مشترك (انظر الجزء النظري من الدرس تعريف المشتق ومعنى).

في حالة تلقي قيمتين مختلفتين: (قد يكون أحدها غير محدود)، إذن الوظيفة غير قابلة للاشتقاق عند هذه النقطة.

إذا كان كلا المشتقين من جانب واحد يساوي ما لا نهاية

(حتى مع وجود علامات مختلفة) ، فإن الوظيفة لا تفعل ذلك

قابل للاشتقاق عند نقطة ما ، ولكن يوجد مشتق لانهائي وظل عمودي مشترك للرسم البياني (انظر مثال الدرس 5معادلة عادية) .

في هذا الدرس ، سوف نتعلم كيفية تطبيق قواعد وصيغ التفاضل.

أمثلة. أوجد مشتقات الدوال.

1. ص = س 7 + س 5-س 4 + س 3-س 2 + س -9. طبق القاعدة أنا، الصيغ 4 و 2 و 1... نحن نحصل:

ص '= 7 س 6 + 5 س 4 -4 س 3 + 3 س 2 -2 س + 1.

2. ص = 3 س 6 -2 س + 5. نحل بطريقة مماثلة باستخدام نفس الصيغ والصيغة 3.

ص '= 3 ∙ 6 س 5 -2 = 18 س 5 -2.

طبق القاعدة أنا، الصيغ 3, 5 و 6 و 1.

طبق القاعدة رابعا، الصيغ 5 و 1 .

في المثال الخامس حسب القاعدة أنامشتق المجموع يساوي مجموع المشتقات ، ووجدنا للتو مشتق المصطلح الأول (مثال 4 ) ، لذلك سنجد المشتقات الثانيو الثالثشروط و ل 1stالمصطلح ، يمكننا كتابة النتيجة على الفور.

التفريق الثانيو الثالثالشروط وفقًا للصيغة 4 ... للقيام بذلك ، نقوم بتحويل جذور الدرجتين الثالثة والرابعة في مقامات إلى درجات ذات أس سالب ، ثم عن طريق 4 الصيغة ، نوجد مشتقات القوى.

ألق نظرة على هذا المثال والنتيجة. حصلت على نمط؟ حسن. هذا يعني أن لدينا صيغة جديدة ويمكننا إضافتها إلى جدول المشتقات.

لنحل المثال السادس ونشتق صيغة أخرى.

نحن نستخدم القاعدة رابعاوالصيغة 4 ... اختصر الكسور الناتجة.

ننظر إلى هذه الدالة ومشتقتها. أنت ، بالطبع ، فهمت النمط وجاهز لتسمية الصيغة:

تعلم الصيغ الجديدة!

أمثلة.

1. أوجد زيادة الوسيطة وزيادة الدالة y = × 2إذا كانت القيمة الأولية للوسيطة 4 و الجديد - 4,01 .

حل.

قيمة الوسيطة الجديدة س = س 0 + Δx... عوّض بالبيانات: 4.01 = 4 + Δx ، ومن هنا تأتي زيادة الوسيطة Δx= 4.01-4 = 0.01. زيادة دالة ، حسب التعريف ، تساوي الفرق بين القيم الجديدة والسابقة للوظيفة ، أي Δy = f (x 0 + Δx) - f (x 0). لأن لدينا وظيفة ص = س 2، من ثم Δy= (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 = (x 0) 2 + 2x 0 · Δx + (Δx) 2 - (x 0) 2 = 2x 0 · Δx + (Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

إجابة: زيادة الحجة Δx= 0.01 ؛ زيادة الوظيفة Δy=0,0801.

كان من الممكن إيجاد زيادة الدالة بطريقة مختلفة: Δy= y (x 0 + x) -y (x 0) = y (4.01) -y (4) = 4.01 2-4 2 = 16.0801-16 = 0.0801.

2. أوجد زاوية ميل المماس لرسم بياني لدالة ص = و (س)في هذه النقطة × 0، لو و "(× 0) = 1.

حل.

القيمة المشتقة عند نقطة التماس × 0وهناك قيمة ظل زاوية ميل الظل (المعنى الهندسي للمشتق). نملك: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45 ° ،لأن tg45 درجة = 1.

إجابة: المماس للرسم البياني لهذه الوظيفة يشكل زاوية مع الاتجاه الموجب لمحور Ox يساوي 45 درجة.

3. اشتق صيغة مشتق دالة ص = س ن.

التفاضلهي عملية إيجاد مشتق دالة.

عند البحث عن المشتقات ، يتم استخدام الصيغ التي تم اشتقاقها بناءً على تعريف المشتق ، بنفس الطريقة التي اشتقنا بها معادلة الدرجة المشتقة: (س ن) "= nx n-1.

هذه هي الصيغ.

جدول المشتقاتسيكون الحفظ أسهل من خلال نطق الصياغات اللفظية:

1. مشتق الثابت هو صفر.

2. x شرطة يساوي واحدًا.

3. يمكن إخراج العامل الثابت من علامة المشتق.

4. مشتق الأس يساوي حاصل ضرب الأس لهذا الأس بواسطة الأس الذي له نفس الأساس ، لكن الأس أقل بمقدار واحد.

5. مشتق الجذر يساوي واحدًا على اثنين من نفس الجذور.

6. مشتق الوحدة على x يساوي سالب واحد على x تربيع.

7. مشتق الجيب يساوي جيب التمام.

8. مشتق جيب التمام يساوي سالب الجيب.

9. مشتق المماس يساوي واحدًا على مربع جيب التمام.

10. مشتق ظل التمام يساوي سالب واحد على مربع الجيب.

نحن نعلم قواعد التمايز.

1. مشتق المجموع الجبري يساوي المجموع الجبري لمشتقات المصطلحات.

2. مشتق المنتج يساوي حاصل ضرب مشتق العامل الأول بالثاني زائد حاصل ضرب العامل الأول بمشتق الثاني.

3. مشتق "y" مقسومًا على "ve" يساوي الكسر ، في بسطه "y هو الحد مضروبًا في" ve "ناقص" y مضروبًا في الشرطة "، وفي المقام -" ve تربيع " .

4. حالة خاصة للصيغة 3.

نحن نعلم معا!

الصفحة 1 من 1 1