وفقًا لكتاب سوفيتوف وياكوفليف: "النموذج (مقياس الطول - القياس) هو كائن بديل عن الكائن الأصلي ، مما يوفر دراسة بعض خصائص الأصل". (ص 6) "استبدال كائن بآخر من أجل الحصول على معلومات حول أهم خصائص الكائن الأصلي باستخدام كائن النموذج يسمى النمذجة." (ص 6) "من خلال النمذجة الرياضية ، نعني عملية إنشاء مراسلات مع كائن حقيقي معين من كائن رياضي ما ، يسمى النموذج الرياضي ، ودراسة هذا النموذج ، الذي يسمح للشخص بالحصول على خصائص الكائن الحقيقي المدروس . يعتمد نوع النموذج الرياضي على طبيعة الشيء الحقيقي وعلى مهام دراسة الكائن والموثوقية المطلوبة والدقة لحل هذه المشكلة ".

أخيرًا ، التعريف الأكثر إيجازًا للنموذج الرياضي: "معادلة تعبر عن فكرة».

تصنيف النموذج

التصنيف الرسمي للنماذج

يعتمد التصنيف الرسمي للنماذج على تصنيف الأدوات الرياضية المستخدمة. غالبا ما تكون مبنية على شكل انقسامات. على سبيل المثال ، إحدى مجموعات الانقسامات الشائعة:

إلخ. كل نموذج مبني هو خطي أو غير خطي ، حتمي أو عشوائي ، ... بطبيعة الحال ، الأنواع المختلطة ممكنة أيضًا: من ناحية ، مركزة (من حيث المعلمات) ، في جانب آخر ، نماذج موزعة ، إلخ.

التصنيف حسب طريقة عرض الكائن

إلى جانب التصنيف الرسمي ، تختلف النماذج في طريقة تمثيل الكائن:

• النماذج الهيكلية أو الوظيفية

النماذج الهيكلية يمثل كائنًا كنظام بجهازه الخاص وآلية عمله. النماذج الوظيفية لا تستخدم مثل هذه التمثيلات وتعكس فقط السلوك المدرك خارجيًا (أداء) الكائن. في تعبيرهم النهائي ، يطلق عليهم أيضًا نماذج "الصندوق الأسود". أنواع النماذج المجمعة ممكنة أيضًا ، يشار إليها أحيانًا باسم " صندوق رمادي».

النماذج الجوهرية والرسمية

يشير جميع المؤلفين الذين يصفون عملية النمذجة الرياضية تقريبًا إلى أنه يتم أولاً بناء بنية مثالية خاصة ، نموذج هادف ... لا توجد مصطلحات ثابتة هنا ، ويسمي مؤلفون آخرون هذا الشيء المثالي النموذج المفاهيمي , نموذج المضاربة أو نموذج مسبق ... في هذه الحالة ، يسمى البناء الرياضي النهائي نموذج رسمي أو مجرد نموذج رياضي تم الحصول عليه كنتيجة لإضفاء الطابع الرسمي على نموذج ذي معنى معين (نموذج مسبق). يمكن تنفيذ بناء نموذج ذي مغزى باستخدام مجموعة من التحسينات الجاهزة ، كما هو الحال في الميكانيكا ، حيث توفر الينابيع المثالية ، والأجسام الصلبة ، والبندولات المثالية ، والوسائط المرنة ، وما إلى ذلك ، عناصر هيكلية جاهزة لنمذجة ذات معنى. ومع ذلك ، في مجالات المعرفة حيث لا توجد نظريات رسمية مكتملة بالكامل (طليعة الفيزياء ، وعلم الأحياء ، والاقتصاد ، وعلم الاجتماع ، وعلم النفس ، ومعظم المجالات الأخرى) ، يصبح إنشاء نماذج ذات مغزى أكثر صعوبة.

تصنيف كبير للنماذج

لم يتم إثبات أي فرضية في العلم بشكل نهائي. أوضح ريتشارد فاينمان الأمر بوضوح:

"لدينا دائمًا فرصة لدحض النظرية ، ولكن لاحظ أنه لا يمكننا أبدًا إثبات صحتها. لنفترض أنك قدمت فرضية ناجحة ، وحسبت أين يؤدي ذلك ، ووجدت أن جميع عواقبها تم تأكيدها تجريبياً. هل هذا يعني أن نظريتك صحيحة؟ لا ، هذا يعني ببساطة أنك فشلت في دحضه ".

إذا تم بناء نموذج من النوع الأول ، فهذا يعني أنه تم التعرف عليه مؤقتًا على أنه صحيح ومن الممكن التركيز على المشكلات الأخرى. ومع ذلك ، لا يمكن أن تكون هذه نقطة في البحث ، ولكنها مجرد وقفة مؤقتة: يمكن أن تكون حالة نموذج من النوع الأول مؤقتة فقط.

النوع 2: نموذج الظواهر (تتصرف كما لو…)

يحتوي النموذج الفينومينولوجي على آلية لوصف الظاهرة. ومع ذلك ، فإن هذه الآلية ليست مقنعة بدرجة كافية ، ولا يمكن تأكيدها بشكل كافٍ من خلال البيانات المتاحة ، أو لا تتفق جيدًا مع النظريات الموجودة والمعرفة المتراكمة حول الكائن. لذلك ، فإن النماذج الظاهراتية لها حالة الحلول المؤقتة. يُعتقد أن الإجابة لا تزال غير معروفة ويجب أن يستمر البحث عن "آليات حقيقية". يتضمن Peierls ، على سبيل المثال ، نموذج السعرات الحرارية ونموذج الكوارك للجسيمات الأولية إلى النوع الثاني.

قد يتغير دور النموذج في البحث بمرور الوقت ، وقد يحدث أن تؤكد البيانات والنظريات الجديدة النماذج الظاهراتية وسيتم ترقيتها إلى حالة الفرضية. وبالمثل ، يمكن أن تتعارض المعرفة الجديدة تدريجيًا مع النماذج الافتراضية من النوع الأول ، ويمكن ترجمة تلك النماذج إلى النوع الثاني. وهكذا ، فإن نموذج الكوارك ينتقل تدريجياً إلى فئة الفرضيات ؛ نشأت الذرية في الفيزياء كحل مؤقت ، ولكن مع مسار التاريخ انتقل إلى النوع الأول. لكن نماذج الأثير شقت طريقها من النوع 1 إلى النوع 2 ، وهي الآن خارج نطاق العلم.

تحظى فكرة التبسيط بشعبية كبيرة عند بناء النماذج. لكن التبسيط مختلف. يميز Peierls ثلاثة أنواع من تبسيط النمذجة.

النوع 3: تقريب (نحن نعتبر شيئًا كبيرًا جدًا أو صغيرًا جدًا)

إذا كان من الممكن إنشاء معادلات تصف النظام قيد الدراسة ، فهذا لا يعني أنه يمكن حلها حتى باستخدام الكمبيوتر. الأسلوب المقبول بشكل عام في هذه الحالة هو استخدام التقريبات (نماذج من النوع 3). فيما بينها نماذج الاستجابة الخطية... يتم استبدال المعادلات بخطية. المثال القياسي هو قانون أوم.

وهنا النوع 8 ، يستخدم على نطاق واسع في النماذج الرياضية للأنظمة البيولوجية.

النوع 8: إثبات الاحتمال (الشيء الرئيسي هو إظهار التناسق الداخلي للاحتمال)

هذه أيضًا تجارب فكرية. مع الكيانات الخيالية ، مما يدل على ذلك ظاهرة مزعومة تتفق مع المبادئ الأساسية ومتسقة داخليا. هذا هو الاختلاف الرئيسي عن طرازات Type 7 ، والذي يكشف عن تناقضات خفية.

واحدة من أشهر هذه التجارب هي هندسة Lobachevsky (أطلق عليها Lobachevsky "الهندسة التخيلية"). مثال آخر هو الإنتاج الضخم للنماذج الحركية الرسمية للتذبذبات الكيميائية والبيولوجية ، والموجات الآلية ، وما إلى ذلك. تم تصور مفارقة أينشتاين - بودولسكي - روزين كنموذج من النوع 7 لإثبات عدم اتساق ميكانيكا الكم. وبطريقة غير مخططة تمامًا ، تحولت بمرور الوقت إلى نموذج من النوع 8 - عرض لإمكانية النقل الآني الكمي للمعلومات.

مثال

ضع في اعتبارك نظامًا ميكانيكيًا يتكون من زنبرك متصل في أحد طرفيه ووزن جماعي متصل بالنهاية الحرة للزنبرك. سنفترض أن الوزن يمكن أن يتحرك فقط في اتجاه محور الزنبرك (على سبيل المثال ، تحدث الحركة على طول القضيب). دعونا نبني نموذجًا رياضيًا لهذا النظام. سنصف حالة النظام من خلال المسافة من مركز الحمل إلى موضع توازنه. دعونا نصف تفاعل الزنبرك والحمل باستخدام قانون هوك () وبعد ذلك سنستخدم قانون نيوتن الثاني للتعبير عنه في شكل معادلة تفاضلية:

حيث تعني مشتق المرة الثانية :.

تصف المعادلة الناتجة النموذج الرياضي للنظام المادي المدروس. يسمى هذا النمط "المذبذب التوافقي".

وفقًا للتصنيف الرسمي ، هذا النموذج خطي ، حتمي ، ديناميكي ، مركز ، مستمر. في عملية بنائه ، وضعنا العديد من الافتراضات (حول غياب القوى الخارجية ، وغياب الاحتكاك ، والانحرافات الصغيرة ، وما إلى ذلك) ، والتي قد لا تتحقق في الواقع.

فيما يتعلق بالواقع ، غالبًا ما يكون هذا نموذجًا من النوع 4. تبسيط ("نحذف بعض التفاصيل من أجل الوضوح") ، حيث تم حذف بعض السمات العامة الأساسية (مثل التبديد). بالنسبة لبعض التقريب (على سبيل المثال ، طالما أن انحراف الحمل عن التوازن صغير ، مع احتكاك منخفض ، لفترة ليست طويلة جدًا وفي ظل ظروف أخرى معينة) ، يصف هذا النموذج نظامًا ميكانيكيًا حقيقيًا جيدًا ، نظرًا لأن العوامل المهملة لها تأثير ضئيل على سلوكها ... ومع ذلك ، يمكن تحسين النموذج من خلال مراعاة بعض هذه العوامل. سيؤدي ذلك إلى نموذج جديد ذي نطاق تطبيق أوسع (وإن كان محدودًا مرة أخرى).

ومع ذلك ، عندما يتم تنقيح النموذج ، يمكن أن يزداد تعقيد أبحاثه الرياضية بشكل كبير ويجعل النموذج عديم الفائدة تقريبًا. في كثير من الأحيان ، يسمح النموذج الأبسط بإجراء تحقيق أفضل وأعمق للنظام الحقيقي أكثر من نموذج أكثر تعقيدًا (وبشكل رسمي "أكثر صحة").

إذا طبقنا نموذج المذبذب التوافقي على أشياء بعيدة عن الفيزياء ، فقد تكون حالته ذات مغزى مختلفة. على سبيل المثال ، عند تطبيق هذا النموذج على المجموعات البيولوجية ، يجب على الأرجح تصنيفها على أنها من النوع 6 تشبيه ("دعونا نأخذ في الاعتبار فقط بعض الميزات").

النماذج الصلبة والناعمة

المذبذب التوافقي هو مثال لما يسمى بالنموذج "الصلب". يتم الحصول عليها كنتيجة لمثالية قوية لنظام فيزيائي حقيقي. لحل مشكلة قابلية تطبيقه ، من الضروري فهم مدى أهمية العوامل التي أهملناها. بعبارة أخرى ، من الضروري فحص النموذج "الناعم" ، الذي يتم الحصول عليه من خلال اضطراب بسيط في النموذج "الصعب". يمكن إعطاؤه ، على سبيل المثال ، من خلال المعادلة التالية:

هنا وظيفة معينة ، والتي يمكن أن تأخذ في الاعتبار قوة الاحتكاك أو اعتماد معامل صلابة الزنبرك على درجة امتدادها ، وهي معلمة صغيرة. لسنا مهتمين بالشكل الصريح للدالة في الوقت الحالي. إذا أثبتنا أن سلوك النموذج الناعم لا يختلف جوهريًا عن سلوك النموذج الجامد (بغض النظر عن الشكل الصريح للعوامل المزعجة ، إذا كانت صغيرة بما يكفي) ، فسيتم تقليل المشكلة إلى دراسة جامدة نموذج. خلاف ذلك ، فإن تطبيق النتائج التي تم الحصول عليها في دراسة النموذج الجامد سوف يتطلب بحثًا إضافيًا. على سبيل المثال ، حل معادلة المذبذب التوافقي هو وظائف النموذج ، أي التذبذبات ذات الاتساع الثابت. هل يترتب على ذلك أن المذبذب الحقيقي سوف يتأرجح لفترة طويلة غير متناهية بسعة ثابتة؟ لا ، نظرًا لأن التفكير في نظام به احتكاك صغير عشوائيًا (موجود دائمًا في نظام حقيقي) ، فإننا نحصل على تذبذبات مائلة. لقد تغير سلوك النظام بشكل كبير.

إذا احتفظ النظام بسلوكه النوعي في ظل اضطرابات صغيرة ، يقال إنه مستقر هيكليًا. المذبذب التوافقي هو مثال على نظام غير مستقر هيكليًا (غير خشن). ومع ذلك ، يمكن تطبيق هذا النموذج لدراسة العمليات على فترات زمنية محدودة.

براعة النماذج

عادة ما يكون لأهم النماذج الرياضية خاصية مهمة عالمية: يمكن وصف الظواهر الحقيقية المختلفة اختلافًا جذريًا من خلال نفس النموذج الرياضي. على سبيل المثال ، لا يصف المذبذب التوافقي سلوك الحمل على الزنبرك فحسب ، بل يصف أيضًا العمليات التذبذبية الأخرى ، والتي غالبًا ما تكون ذات طبيعة مختلفة تمامًا: التذبذبات الصغيرة للبندول ، وتذبذبات مستوى السائل في وعاء على شكل ، أو تغيير في شدة التيار في دائرة متذبذبة. وهكذا ، عند دراسة نموذج رياضي واحد ، ندرس دفعة واحدة فئة كاملة من الظواهر التي وصفها ذلك النموذج. إن هذا التماثل في القوانين ، الذي عبرت عنه النماذج الرياضية في قطاعات مختلفة من المعرفة العلمية ، هو ما قام به لودفيج فون برتالانفي في إنشاء نظرية النظم العامة.

المسائل المباشرة والمعكوسة للنمذجة الرياضية

هناك العديد من المشاكل المرتبطة بالنمذجة الرياضية. أولاً ، من الضروري التوصل إلى المخطط الأساسي للكائن النموذجي ، لإعادة إنتاجه في إطار عمليات إضفاء المثالية على هذا العلم. لذلك ، تتحول عربة القطار إلى نظام من الألواح وأجسام أكثر تعقيدًا مصنوعة من مواد مختلفة ، ويتم تعيين كل مادة على أنها مثالية ميكانيكية قياسية (الكثافة ، ومعايير المرونة ، وخصائص القوة القياسية) ، وبعد ذلك يتم وضع المعادلات ، على طول الطريق يتم تجاهل بعض التفاصيل باعتبارها غير ذات أهمية ، ويتم إجراء الحسابات ، مقارنة بالقياسات ، ويتم تنقيح النموذج ، وما إلى ذلك. ومع ذلك ، من أجل تطوير تقنيات النمذجة الرياضية ، من المفيد تفكيك هذه العملية إلى العناصر الأساسية المكونة لها.

تقليديا ، هناك فئتان رئيسيتان من المشاكل المرتبطة بالنماذج الرياضية: المباشر والمعكوس.

مهمة مباشرة: تعتبر بنية النموذج وجميع معلماته معروفة ، والمهمة الرئيسية هي إجراء دراسة للنموذج لاستخراج معرفة مفيدة حول الكائن. ما هو الحمل الثابت الذي يتحمله الجسر؟ كيف ستتفاعل مع الحمل الديناميكي (على سبيل المثال ، في مسيرة مجموعة من الجنود ، أو عند مرور قطار بسرعات مختلفة) ، وكيف ستتغلب الطائرة على حاجز الصوت ، وما إذا كانت ستنهار من الرفرفة - هذه أمثلة نموذجية لمهمة مباشرة. يتطلب تحديد المشكلة المباشرة الصحيحة (طرح السؤال الصحيح) مهارة خاصة. إذا لم يتم طرح الأسئلة الصحيحة ، يمكن أن ينهار الجسر ، حتى لو تم بناء نموذج جيد لسلوكه. لذلك ، في عام 1879 في بريطانيا العظمى ، انهار جسر معدني فوق نهر تاي ، قام المصممون ببناء نموذج للجسر ، واحتسبوا ذلك لعامل أمان 20 ضعفًا للحمولة ، لكنهم نسوا الرياح التي تهب باستمرار في تلك الأماكن. وبعد عام ونصف انهار.

في أبسط الحالات (معادلة مذبذب واحد ، على سبيل المثال) تكون المشكلة المباشرة بسيطة للغاية وتختزل إلى حل واضح لهذه المعادلة.

مشكلة معكوسة: العديد من النماذج الممكنة معروفة ، تحتاج إلى اختيار نموذج معين بناءً على بيانات إضافية حول الكائن. غالبًا ما تكون بنية النموذج معروفة وتحتاج إلى تحديد بعض المعلمات غير المعروفة. قد تتكون المعلومات الإضافية في بيانات تجريبية إضافية ، أو في متطلبات الكائن ( تحدي التصميم). يمكن أن تأتي البيانات الإضافية بشكل مستقل عن عملية حل المشكلة العكسية ( المراقبة السلبية) أو تكون نتيجة تجربة مخطط لها خصيصًا ( المراقبة النشطة).

كان أحد الأمثلة الأولى على حل مبدع للمشكلة العكسية مع أقصى استخدام ممكن للبيانات المتاحة هو طريقة استعادة قوى الاحتكاك من التذبذبات المخففة المرصودة ، التي أنشأها أ. نيوتن.

مثال آخر هو الإحصاء الرياضي. تتمثل مهمة هذا العلم في تطوير طرق تسجيل ووصف وتحليل البيانات الملاحظة والتجريبية بهدف بناء نماذج احتمالية لظواهر عشوائية جماعية. أولئك. تقتصر مجموعة النماذج الممكنة على النماذج الاحتمالية. في مهام محددة ، تكون مجموعة النماذج أكثر محدودية.

أنظمة المحاكاة الحاسوبية

لدعم النمذجة الرياضية ، تم تطوير أنظمة الرياضيات الحاسوبية ، على سبيل المثال ، Maple ، و Mathematica ، و Mathcad ، و MATLAB ، و VisSim ، وما إلى ذلك ، فهي تسمح لك بإنشاء نماذج رسمية وكتلة لكل من العمليات والأجهزة البسيطة والمعقدة وتغيير معلمات النموذج بسهولة أثناء النمذجة. نماذج القوالب يتم تمثيلها بواسطة كتل (غالبًا رسومية) ، يتم تعيين مجموعة واتصالها بواسطة مخطط النموذج.

أمثلة إضافية

نموذج Malthus

معدل النمو يتناسب مع حجم السكان الحالي. يتم وصفه بواسطة المعادلة التفاضلية

حيث يتم تحديد بعض المعلمات من خلال الفرق بين الخصوبة والوفيات. حل هذه المعادلة هو دالة أسية. إذا تجاوز معدل المواليد معدل الوفيات () ، يزداد حجم السكان إلى أجل غير مسمى وبسرعة كبيرة. من الواضح أن هذا في الواقع لا يمكن أن يحدث بسبب الموارد المحدودة. عندما يتم الوصول إلى حجم حرج معين من السكان ، يتوقف النموذج عن كونه مناسبًا ، لأنه لا يأخذ في الاعتبار الموارد المحدودة. يمكن تنقيح نموذج Malthus بواسطة النموذج اللوجستي الموصوف بواسطة معادلة Verhulst التفاضلية

أين هو حجم السكان "المتوازن" ، حيث يتم تعويض معدل المواليد بالضبط بمعدل الوفيات. يميل حجم السكان في مثل هذا النموذج إلى قيمة التوازن ، وهذا السلوك مستقر من الناحية الهيكلية.

نظام بريداتور فريسة

لنفترض أن نوعين من الحيوانات يعيشان في منطقة معينة: الأرانب (التي تتغذى على النباتات) والثعالب (تتغذى على الأرانب). دع عدد الأرانب ، عدد الثعالب. باستخدام نموذج Malthus مع التعديلات اللازمة مع مراعاة اكل الارانب من قبل الثعالب نأتي الى النظام التالي الذي يحمل الاسم موديلات لوتكي - فولتيرا:

هذا النظام لديه حالة توازن عندما يكون عدد الأرانب والثعالب ثابتًا. يؤدي الانحراف عن هذه الحالة إلى تقلبات في عدد الأرانب والثعالب ، مشابهة لتقلبات المذبذب التوافقي. كما في حالة المذبذب التوافقي ، فإن هذا السلوك غير مستقر من الناحية الهيكلية: يمكن أن يؤدي تغيير بسيط في النموذج (على سبيل المثال ، مع الأخذ في الاعتبار الموارد المحدودة التي تحتاجها الأرانب) إلى تغيير نوعي في السلوك. على سبيل المثال ، يمكن أن تصبح حالة التوازن مستقرة ، وسوف تتلاشى التقلبات في الأرقام. الوضع المعاكس ممكن أيضًا ، عندما يؤدي أي انحراف صغير عن وضع التوازن إلى عواقب وخيمة ، حتى الانقراض الكامل لأحد الأنواع. لا يقدم نموذج Volterra-Lotka إجابة على السؤال حول أي من هذه السيناريوهات يتم تحقيقه: مطلوب بحث إضافي هنا.

ملاحظات

1. "تمثيل رياضي للواقع" (Encyclopaedia Britanica)
2. نوفيك آي.، في القضايا الفلسفية للنمذجة السيبرانية. م ، المعرفة ، 1964.
3. سوفيتوف ب. ، ياكوفليف س.نمذجة النظام: كتاب مدرسي. للجامعات - الطبعة الثالثة ، مراجعة. و أضف. - م: العالي. shk. ، 2001. - 343 ص. ردمك 5-06-003860-2
4. Samarskiy A.A. ، Mikhailov A.P. النمذجة الرياضية. الأفكار. أساليب. أمثلة. - الطبعة الثانية ، القس. - م: فيزماتليت ، 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A. D.، عناصر نظرية النماذج الرياضية. - الطبعة الثالثة ، القس. - م: KomKniga ، 2007. - 192 ثانية ISBN 978-5-484-00953-4
6. سيفوستيانوف ، أ. نمذجة العمليات التكنولوجية: كتاب مدرسي / A.G. سيفوستيانوف ، ب. سيفوستيانوف. - م: الصناعات الخفيفة والغذائية ، 1984 ، 344 ص.
7. ويكاموس: نموذج رياضي
8. CliffsNotes.com. مسرد علوم الأرض. 20 سبتمبر 2010
9. أساليب التخفيض والنمو الخشنة للظواهر متعددة النطاقات ، Springer ، سلسلة التعقيد ، برلين-هايدلبرغ-نيويورك ، 2006. XII + 562 pp. ردمك 3-540-35885-4
10. "تعتبر النظرية خطية أو غير خطية ، اعتمادًا على ما إذا كانت جهازًا رياضيًا خطيًا أو غير خطي ، ونوع النماذج الرياضية الخطية أو غير الخطية التي تستخدمها. ... دون نفي هذا الأخير. فيزيائي حديث ، لو أعاد إنشاء تعريف لجوهر مهم مثل اللاخطية ، على الأرجح ، لكان قد فعل بشكل مختلف ، وفضلًا على عدم الخطية باعتباره الأكثر أهمية وانتشارًا بين الأضداد ، سيعرف الخطية على أنها `` لا خطية "." دانيلوف يو.، محاضرات عن الديناميات اللاخطية. مقدمة أولية. سلسلة "التآزر: من الماضي إلى المستقبل". الإصدار 2. - م: URSS ، 2006. - 208 ص. ردمك 5-484-00183-8
11. تسمى الأنظمة الديناميكية المصممة بواسطة عدد محدود من المعادلات التفاضلية العادية أنظمة مجمعة أو نقطية. يتم وصفها باستخدام مساحة طور ذات أبعاد محدودة وتتميز بعدد محدود من درجات الحرية. يمكن اعتبار نفس النظام في ظل ظروف مختلفة إما مركزًا أو موزعًا. النماذج الرياضية للأنظمة الموزعة هي معادلات تفاضلية جزئية أو معادلات تكاملية أو معادلات عادية بحجة متأخرة. عدد درجات الحرية لنظام موزع لا حصر له ، وكمية غير محدودة من البيانات مطلوبة لتحديد حالته ". أنيشينكو ف.، النظم الديناميكية ، مجلة سوروس التعليمية ، 1997 ، العدد 11 ، ص. 77-84.
12. "اعتمادًا على طبيعة العمليات المدروسة في نظام S ، يمكن تقسيم جميع أنواع النمذجة إلى حتمية وعشوائية وثابتة وديناميكية ومنفصلة ومستمرة ومنفصلة مستمرة. النمذجة الحتمية تعرض عمليات حتمية ، أي العمليات التي يفترض فيها عدم وجود أي تأثيرات عشوائية ؛ النمذجة العشوائية تعرض العمليات والأحداث الاحتمالية. ... تستخدم النمذجة الثابتة لوصف سلوك كائن في أي وقت ، بينما تعكس النمذجة الديناميكية سلوك الكائن في الوقت المناسب. تُستخدم النمذجة المنفصلة لوصف العمليات التي يُفترض أنها منفصلة ، على التوالي ، تسمح لك النمذجة المستمرة بعكس العمليات المستمرة في الأنظمة ، ويتم استخدام النمذجة المستمرة المنفصلة للحالات التي تريد فيها إبراز وجود عمليات منفصلة ومستمرة. " سوفيتوف ب. ، ياكوفليف س. ردمك 5-06-003860-2
13. عادة ، يعكس النموذج الرياضي بنية (جهاز) الكائن المحاكى ، والخصائص والعلاقات المتبادلة لمكونات هذا الكائن التي تعتبر ضرورية لأغراض البحث ؛ مثل هذا النموذج يسمى الهيكلي. إذا كان النموذج يعكس فقط كيفية عمل الكائن - على سبيل المثال ، كيفية تفاعله مع التأثيرات الخارجية - عندئذٍ يطلق عليه وظيفي أو ، مجازيًا ، الصندوق الأسود. النماذج المجمعة ممكنة أيضًا. Myshkis A. D. ردمك 978-5-484-00953-4
14. "تتمثل إحدى المراحل الأولية الواضحة ، ولكن الأكثر أهمية في بناء أو اختيار نموذج رياضي ، في الحصول على فكرة واضحة قدر الإمكان حول الكائن النموذجي وتوضيح نموذجه الهادف بناءً على المناقشات غير الرسمية. لا ينبغي إضاعة الوقت والجهد في هذه المرحلة ؛ يعتمد نجاح الدراسة بأكملها عليها إلى حد كبير. لقد حدث أكثر من مرة أن العمل الكبير الذي تم إنفاقه على حل مشكلة رياضية تبين أنه غير فعال أو حتى ضائع بسبب عدم الاهتمام الكافي بهذا الجانب من المسألة ". Myshkis A. D.، عناصر نظرية النماذج الرياضية. - الطبعة الثالثة ، القس. - م: KomKniga ، 2007. - 192 ثانية ISBN 978-5-484-00953-4 ، ص. 35.
15. « وصف النموذج المفاهيمي للنظام. في هذه المرحلة الفرعية من بناء نموذج للنظام: أ) يتم وصف النموذج المفاهيمي M بمصطلحات ومفاهيم مجردة ؛ ب) وصف النموذج معطى باستخدام مخططات رياضية نموذجية. ج) قبول الفرضيات والافتراضات بشكل نهائي ؛ د) تم إثبات اختيار الإجراء لتقريب العمليات الحقيقية في بناء النموذج. " سوفيتوف ب. ، ياكوفليف س.نمذجة النظام: كتاب مدرسي. للجامعات - الطبعة الثالثة ، مراجعة. و أضف. - م: العالي. shk. ، 2001. - 343 ص. ISBN 5-06-003860-2 ، ص. 93.
16. بلخمان الأول ، ميشكيس أ.د. ، بانوفكو ن.الرياضيات التطبيقية: الموضوع والمنطق وخصائص المناهج. مع أمثلة من الميكانيكا: البرنامج التعليمي. - الطبعة الثالثة ، القس. و أضف. - م: URSS ، 2006. - 376 ص. ISBN 5-484-00163-3 الفصل الثاني.

من الممكن تتبع ديناميكيات تطور كائن ، والجوهر الداخلي لنسب عناصره والحالات المختلفة في عملية التصميم فقط بمساعدة النماذج التي تستخدم مبدأ القياس الديناميكي ، أي بمساعدة النماذج الرياضية.

نموذج رياضي هو نظام للعلاقات الرياضية يصف العملية أو الظاهرة قيد الدراسة. لإنشاء نموذج رياضي ، يمكنك استخدام أي وسيلة رياضية - نظرية المجموعات أو المنطق الرياضي أو لغة المعادلات التفاضلية أو التكاملية. تسمى عملية تجميع نموذج رياضي النمذجة الرياضية... مثل الأنواع الأخرى من النماذج ، يقدم النموذج الرياضي مشكلة في شكل مبسط ويصف فقط الخصائص والأنماط الأكثر أهمية لكائن أو عملية معينة. يسمح النموذج الرياضي بالتحليل الكمي متعدد الجوانب. تغيير البيانات الأولية والمعايير والقيود ، في كل مرة يمكنك الحصول على الحل الأمثل للشروط المحددة وتحديد الاتجاه الإضافي للبحث.

يتطلب إنشاء النماذج الرياضية من مطوريها ، بالإضافة إلى معرفة الأساليب المنطقية الرسمية ، تحليلًا شاملاً للكائن قيد الدراسة من أجل صياغة الأفكار والقواعد الأساسية بدقة ، فضلاً عن تحديد قدر كافٍ من الحقائق الموثوقة ، البيانات الإحصائية والمعيارية.

وتجدر الإشارة إلى أن جميع النماذج الرياضية المستخدمة حاليًا تشير إلى إلزامية... الهدف من تطوير النماذج الوصفية هو تحديد اتجاه إيجاد حل ، بينما الهدف من التطوير وصف النماذج - انعكاس للعمليات الفعلية للتفكير البشري.

تنتشر وجهة النظر على نطاق واسع أنه بمساعدة الرياضيات ، من الممكن الحصول فقط على بعض البيانات الرقمية حول الكائن أو العملية قيد الدراسة. بالطبع ، تهدف العديد من التخصصات الرياضية إلى الحصول على النتيجة الرقمية النهائية. لكن اختزال الأساليب الرياضية فقط إلى مشكلة الحصول على عدد يعني إفقار الرياضيات إلى ما لا نهاية ، وإفقار إمكانية هذا السلاح الجبار الذي يمتلكه الباحثون اليوم ...

يعكس النموذج الرياضي المكتوب بلغة معينة أو أخرى (على سبيل المثال ، المعادلات التفاضلية) خصائص معينة للعمليات الفيزيائية الحقيقية. نتيجة لتحليل النماذج الرياضية ، نحصل أولاً وقبل كل شيء على أفكار نوعية حول ميزات العمليات قيد الدراسة ، ونؤسس أنماطًا تحدد السلسلة الديناميكية للحالات المتسلسلة ، ونحصل على فرصة للتنبؤ بمسار عملية وتحديد خصائصها الكمية ".

تستخدم النماذج الرياضية في العديد من تقنيات النمذجة المعروفة. من بينها تطوير النماذج التي تصف الحالة الثابتة والديناميكية للكائن ، ونماذج التحسين.

يمكن أن يكون أحد الأمثلة على النماذج الرياضية التي تصف الحالة الثابتة والديناميكية للكائن طرقًا مختلفة للحسابات التقليدية للهياكل. تتيح لنا عملية الحساب ، المقدمة في شكل سلسلة من العمليات الرياضية (الخوارزمية) ، أن نقول إنه تم وضع نموذج رياضي لحساب بنية معينة.

في الاقويتحتوي النماذج على ثلاثة عناصر:

وظيفة موضوعية تعكس معايير الجودة المقبولة ؛

معلمات قابلة للتعديل

قيود مفروضة.

يجب وصف كل هذه العناصر رياضيًا في شكل معادلات وشروط منطقية وما إلى ذلك. حل مشكلة التحسين هو عملية إيجاد الحد الأدنى (الأقصى) لقيمة الوظيفة الهدف ، مع مراعاة القيود المحددة. تعتبر نتيجة الحل مثالية إذا وصلت وظيفة الهدف إلى قيمتها القصوى.

مثال على نموذج التحسين هو وصف رياضي لمعيار "طول الرابطة" في منهجية التصميم المتغير للمباني الصناعية.

تعكس الوظيفة الهدف إجمالي الطول المرجح لجميع الوصلات الوظيفية ، والتي يجب أن تسعى إلى الحد الأدنى:

أين هي قيمة وزن اتصال العنصر ؛

- طول الاتصال بين العناصر ؛

- العدد الإجمالي للعناصر التي سيتم وضعها.

نظرًا لأن مناطق العناصر الموضوعة للمباني في جميع المتغيرات الخاصة بحل التصميم متساوية ، فإن المتغيرات تختلف عن بعضها البعض فقط من خلال المسافات المختلفة بين العناصر وموقعها بالنسبة لبعضها البعض. لذلك ، في هذه الحالة ، تكون إحداثيات العناصر الموضوعة في مخططات الأرضية هي المعلمات القابلة للتعديل.

قيود مفروضة على ترتيب العناصر (في مكان محدد مسبقًا للخطة ، في المحيط الخارجي ، واحد فوق الآخر ، إلخ) وعلى طول الروابط (قيم طول الروابط بين و يتم تعيين العناصر بشكل صارم ، ويتم تعيين الحدود الدنيا أو القصوى للقيم ، وحدود التغيير هي قيم محددة) مكتوبة بشكل رسمي.

يعتبر المتغير هو الأمثل (وفقًا لهذا المعيار) إذا كانت قيمة دالة الهدف المحسوبة لهذا المتغير ضئيلة.

نوع من النماذج الرياضية - النموذج الاقتصادي والرياضي - هو نموذج للعلاقة بين الخصائص الاقتصادية ومعايير النظام.

مثال على النماذج الاقتصادية والرياضية هو الوصف الرياضي لمعايير التكلفة في الطريقة المذكورة أعلاه للتصميم المتغير للمباني الصناعية. تعكس النماذج الرياضية التي تم الحصول عليها باستخدام طرق الإحصاء الرياضي الاعتماد على تكلفة الإطار والأساسات وأعمال الحفر للمباني الصناعية المكونة من طابق واحد والمتعددة الطوابق وارتفاعها وامتدادها ودرجة هياكلها الداعمة.

وفقًا لطريقة المحاسبة لتأثير العوامل العشوائية على اتخاذ القرار ، تنقسم النماذج الرياضية إلى حتمية واحتمالية. حتمية لا يأخذ النموذج في الاعتبار تأثير العوامل العشوائية في عملية تشغيل النظام ويستند إلى تمثيل تحليلي لقوانين الأداء. احتمالية (ستوكاستيك)يأخذ النموذج في الاعتبار تأثير العوامل العشوائية في عملية تشغيل النظام ويستند إلى إحصائية ، أي التقييم الكمي للظواهر الجماعية ، مما يسمح بمراعاة عدم الخطية والديناميكيات والاضطرابات العشوائية الموصوفة في قوانين التوزيع المختلفة.

باستخدام الأمثلة المذكورة أعلاه ، يمكننا القول أن النموذج الرياضي الذي يصف معيار "طول الروابط" يشير إلى الحتمية ، والنماذج الرياضية التي تصف مجموعة المعايير "التكاليف" - إلى النماذج الاحتمالية.

النماذج اللغوية والدلالية والمعلوماتية

تتمتع النماذج الرياضية بميزة واضحة ، حيث أن قياس جوانب المشكلة يعطي فكرة واضحة عن أولويات الأهداف. من المهم أن يستطيع المتخصص دائمًا تبرير اتخاذ قرار من خلال تقديم البيانات الرقمية المقابلة. ومع ذلك ، فإن الوصف الرياضي الكامل لأنشطة المشروع أمر مستحيل ، وبالتالي فإن معظم المهام التي تم حلها في المرحلة الأولية من التصميم المعماري والإنشائي تشير إلى شبه منظم.

تتمثل إحدى ميزات المهام شبه المنظمة في الوصف اللفظي للمعايير المستخدمة فيها. إدخال معايير موصوفة بلغة طبيعية (تسمى هذه المعايير لغوي) ، يتيح لك استخدام طرق أقل تعقيدًا للعثور على حلول التصميم المثلى. بالنظر إلى هذه المعايير ، يتخذ المصمم قرارًا بناءً على تعبيرات غرض مألوفة لا لبس فيها.

إن الوصف الهادف لجميع جوانب المشكلة يجلب التنظيم المنهجي إلى عملية حلها ، من ناحية ، ومن ناحية أخرى ، يسهل إلى حد كبير عمل المتخصصين الذين ، دون دراسة الأقسام ذات الصلة من الرياضيات ، يمكنهم حلها بشكل أكثر عقلانية مشاكلهم المهنية. في التين. يتم إعطاء 5.2 نموذج لغويوصف إمكانيات تهيئة الظروف للتهوية الطبيعية في المتغيرات المختلفة لحلول التخطيط للمخابز.

المزايا الأخرى لوصف المشكلة المفيد هي كما يلي:

القدرة على وصف جميع المعايير التي تحدد فعالية حل التصميم. في الوقت نفسه ، من المهم أن يتم إدخال المفاهيم المعقدة في الوصف ، وفي مجال رؤية المتخصص ، إلى جانب العوامل الكمية والقابلة للقياس ، سيتم أيضًا تضمين العوامل النوعية وغير القابلة للقياس. وبالتالي ، في وقت اتخاذ القرار ، سيتم استخدام جميع المعلومات الذاتية والموضوعية ؛

شكل: 5.2 وصف محتوى معيار "التهوية" في شكل نموذج لغوي

إمكانية إجراء تقييم لا لبس فيه لدرجة تحقيق الهدف في الخيارات الخاصة بمعيار معين بناءً على الصياغة المعتمدة من قبل الخبراء ، والتي تضمن موثوقية المعلومات الواردة ؛

القدرة على مراعاة عدم اليقين المرتبط بالمعرفة غير الكاملة لجميع عواقب القرارات المتخذة ، وكذلك المعلومات ذات الطبيعة التنبؤية.

تنتمي النماذج الدلالية أيضًا إلى النماذج التي تستخدم اللغة الطبيعية لوصف موضوع البحث.

النموذج الدلالي - يوجد مثل هذا التمثيل للكائن ، والذي يعكس درجة الترابط (القرب) بين مختلف الأجزاء المكونة والجوانب وخصائص الكائن. لا يُفهم الترابط على أنه ترتيب مكاني نسبي ، ولكن كاتصال بالمعنى.

لذلك ، بالمعنى الدلالي ، سيتم تقديم العلاقة بين معامل الإضاءة الطبيعية ومنطقة ضوء العبوات الشفافة على أنها أقرب من العلاقة بين فتحات النوافذ والأقسام الفارغة المجاورة من الجدار.

يُظهر مجموع علاقات الاتصال ما يتم تخصيصه لكل عنصر وكائن ككل في كائن. في الوقت نفسه ، يعكس النموذج الدلالي ، بالإضافة إلى درجة اتصال الجوانب المختلفة في الكائن ، محتوى المفاهيم أيضًا. المفاهيم المعبر عنها باللغة الطبيعية بمثابة نماذج أولية.

يعتمد بناء النماذج الدلالية على المبادئ التي بموجبها لا تتغير المفاهيم والعلاقات خلال كامل فترة استخدام النموذج ؛ محتوى أحد المفاهيم لا ينتقل إلى مفهوم آخر ؛ الروابط بين المفهومين لها تفاعل متساو وغير موجه فيما يتعلق بهما.

يهدف كل تحليل للنموذج إلى اختيار عناصر النموذج التي لها جودة عامة معينة. يوفر هذا أساسًا لإنشاء خوارزمية تأخذ في الاعتبار الاتصالات المباشرة فقط. عند تحويل نموذج إلى رسم بياني غير موجه ، يتم البحث عن مسار بين عنصرين يتتبعان الحركة من عنصر إلى آخر ، باستخدام كل عنصر مرة واحدة فقط. يسمى ترتيب العناصر تسلسل العنصرين. يمكن أن تكون التسلسلات ذات أطوال مختلفة. ويطلق على أقصر هذه العلاقات علاقات العناصر. يوجد أيضًا تسلسل من عنصرين إذا كان هناك اتصال مباشر بينهما ، ولكن في هذه الحالة لا توجد علاقة.

كمثال على النموذج الدلالي ، سنقدم وصفًا لتخطيط الشقة مع روابط الاتصال. المفهوم هو مبنى الشقة. الاتصال المباشر يعني اتصال وظيفي لغرفتين ، على سبيل المثال باب (انظر الجدول 5.1).

يتيح لك تحويل النموذج إلى نموذج رسم بياني غير موجه الحصول على تسلسل من العناصر (الشكل 5.3).

أمثلة على التسلسل المتكون بين العنصر 2 (الحمام) والعنصر 6 (المخزن) موضحة في الجدول. 5.2. كما ترى من الجدول ، يمثل التسلسل 3 نسبة هذين العنصرين.

الجدول 5.1

وصف تخطيط الشقة

شكل: 5.3 وصف حل التخطيط في شكل رسم بياني غير موجه

نموذج رياضي هو نظام للعلاقات الرياضية - الصيغ والمعادلات وعدم المساواة وما إلى ذلك ، مما يعكس الخصائص الأساسية لكائن أو ظاهرة.

كل ظاهرة في الطبيعة لانهائية في تعقيدها... دعونا نوضح ذلك باستخدام مثال مأخوذ من V.N. Trostnikov "الإنسان والمعلومات" (دار النشر "Science" ، 1970).

يصوغ الشخص العادي مسألة الرياضيات على النحو التالي: "ما طول سقوط الحجر من ارتفاع 200 متر؟" سيبدأ عالم الرياضيات في إنشاء نسخته من المشكلة كالتالي: "لنفترض أن الحجر سقط في فراغ وأن تسارع الجاذبية هو 9.8 أمتار في الثانية في الثانية. ثم ..."

- دعني - يمكن أن تقول "زبون" ، - أنا لست راضيا عن هذا التبسيط. أريد أن أعرف بالضبط كم من الوقت سوف يسقط الحجر في ظروف حقيقية ، وليس في فراغ غير موجود.

- تمام، - عالم الرياضيات سيوافق. - لنفترض أن الحجر له شكل وقطر كروي ... ما هو قطره تقريبًا؟

- حوالي خمسة سنتيمترات. لكنها ليست كروية على الإطلاق ، ولكنها مستطيلة.

- ثم سنفترض أنهبيضاوي مع أعمدة المحور أربعة وثلاثة وثلاثة سنتيمترات وهذا هويسقط بحيث يظل المحور شبه الرئيسي عموديًا طوال الوقت ... من المفترض أن يكون ضغط الهواء760 ملم زئبق ومن هنا نجد كثافة الهواء...

إذا لم يتدخل الشخص الذي طرح المشكلة في اللغة "البشرية" في مسار تفكير عالم الرياضيات ، فإن الأخير سيعطي إجابة عددية بعد فترة. لكن "المستهلك" يمكن أن يعترض كما كان من قبل: الحجر في الواقع ليس بيضاويًا على الإطلاق ، وضغط الهواء في ذلك المكان وفي تلك اللحظة لم يكن مساوياً لـ 760 مم زئبق ، إلخ ماذا سيجيب عليه عالم الرياضيات؟

سوف يجيب على ذلك إن الحل الدقيق لمشكلة حقيقية أمر مستحيل بشكل عام... ليس فقط هذا شكل الحجرمما يؤثر على مقاومة الهواء ، لا يمكن وصفه بأي معادلة رياضية ؛ كما أن دورانها في الرحلة يتجاوز الرياضيات بسبب تعقيدها. بالإضافة إلى ذلك، الهواء غير متجانس ، منذ ذلك الحين ، نتيجة لتأثير العوامل العشوائية ، تنشأ فيه تقلبات في تقلبات الكثافة. إذا تعمقت أكثر ، فعليك التفكير في ذلك وفقًا لقانون الجاذبية الكونية ، يعمل كل جسم على كل جسم آخر... ومن ثم فإنه يترتب على ذلك أنه حتى بندول ساعة الحائط يغير مسار الحجر بحركته.

باختصار ، إذا أردنا بجدية التحقيق بدقة في سلوك كائن ما ، فعلينا أولاً معرفة موقع وسرعة جميع الكائنات الأخرى في الكون. وهذا بالطبع. مستحيل.

يمكن تنفيذ النموذج الرياضي الأكثر فاعلية على جهاز الكمبيوتر في شكل نموذج خوارزمي - ما يسمى "بالتجربة الحسابية" (انظر [1] ، الفقرة 26).

بالطبع ، قد تكون نتائج التجربة الحسابية غير صحيحة إذا لم يأخذ النموذج بعين الاعتبار بعض الجوانب المهمة للواقع.

لذلك ، عند إنشاء نموذج رياضي لحل مشكلة ما ، فإنك تحتاج إلى:

1. إبراز الافتراضات التي سيعتمد عليها النموذج الرياضي ؛
2. تحديد ما يجب اعتباره بيانات الإدخال والنتائج ؛
3. تدوين العلاقات الرياضية التي تربط النتائج بالبيانات الأصلية.

عند إنشاء نماذج رياضية ، ليس من الممكن دائمًا العثور على الصيغ التي تعبر صراحة عن الكميات المطلوبة من حيث البيانات. في مثل هذه الحالات ، تُستخدم الأساليب الرياضية لإعطاء إجابات بدرجة أو بأخرى من الدقة. لا يوجد نمذجة رياضية لأي ظاهرة فحسب ، بل هناك أيضًا نمذجة بصرية كاملة النطاق ، والتي يتم توفيرها من خلال عرض هذه الظواهر عن طريق رسومات الكمبيوتر ، أي. نوع من "الكارتون الحاسوبي" تم تصويره بالوقت الحقيقي يتم عرضه أمام الباحث. الرؤية عالية جدا هنا.

مداخل أخرى

10.06.2016. 8.3 ما هي المراحل الرئيسية لعملية تطوير البرنامج؟ 8.4 كيف تتحقق من نص البرنامج قبل الذهاب للحاسوب؟

8.3 ما هي المراحل الرئيسية لعملية تطوير البرمجيات؟ يمكن التعبير عن عملية تطوير البرنامج بالصيغة التالية: من الطبيعي تمامًا وجود أخطاء في برنامج تم تطويره حديثًا ...

10.06.2016. 8.5 ما هو التصحيح والاختبار؟ 8.6 ما هو التصحيح؟ 8.7 ما هو الاختبار والاختبار؟ 8.8 ماذا يجب أن تكون بيانات الاختبار؟ 8.9 ما هي مراحل عملية الاختبار؟

8.5 ما هو التصحيح والاختبار؟ تصحيح أخطاء البرنامج هي عملية البحث عن الأخطاء وإزالتها في البرنامج بناءً على نتائج تشغيله على الكمبيوتر. اختبارات…

10.06.2016. 8.10. ما هي أخطاء البرمجة الشائعة؟ 8.11. هل عدم وجود أخطاء نحوية مؤشر على صحة البرنامج؟ 8.12. ما هي الأخطاء التي لم يكتشفها المترجم؟ 8.13. ما هي صيانة البرنامج؟

8.10. ما هي أخطاء البرمجة الشائعة؟ يمكن ارتكاب الأخطاء في جميع مراحل حل المشكلة - من صياغتها إلى تنفيذها. يتم إعطاء أنواع الأخطاء والأمثلة المقابلة ...

مستوى اول

نماذج رياضية لـ OGE و USE (2019)

مفهوم النموذج الرياضي

تخيل طائرة: أجنحة ، جسم الطائرة ، وحدة الذيل ، كل هذا معًا - طائرة حقيقية ضخمة ، هائلة ، وكاملة. أو يمكنك صنع نموذج لطائرة ، صغيرة ، لكن كل شيء في الواقع ، نفس الأجنحة ، وما إلى ذلك ، لكنه مضغوط. هذا هو النموذج الرياضي. هناك مشكلة كلامية ، مرهقة ، يمكنك أن تنظر إليها ، تقرأها ، لكن لا تفهمها تمامًا ، بل وأكثر من ذلك ، ليس من الواضح كيفية حلها. ولكن ماذا لو صنعنا نموذجًا صغيرًا لمشكلة لفظية كبيرة ، نموذجًا رياضيًا؟ ماذا تعني الرياضيات؟ هذا يعني ، باستخدام قواعد وقوانين التدوين الرياضي ، إعادة صياغة النص إلى تمثيل صحيح منطقيًا باستخدام الأرقام والعلامات الحسابية. وبالتالي، النموذج الرياضي هو تمثيل لموقف حقيقي باستخدام لغة رياضية.

لنبدأ برقم بسيط: الرقم أكبر من الرقم. نحتاج إلى تدوين ذلك بدون استخدام الكلمات ، ولكن بلغة الرياضيات فقط. إذا كان أكثر من ذلك ، فقد اتضح أنه إذا قمنا بالطرح من ، فسيظل نفس الفرق بين هذه الأرقام متساويًا. أولئك. أو. فهمت الجوهر؟

الآن الأمر أكثر تعقيدًا ، الآن سيكون هناك نص يجب أن تحاول تمثيله في شكل نموذج رياضي ، حتى تقرأ كيف سأفعل ذلك ، جربه بنفسك! هناك أربعة أرقام: و. العمل أكبر من الشغل ومرتين.

ماذا حدث؟

في شكل نموذج رياضي ، سيبدو كما يلي:

أولئك. المنتج مرتبط باثنين إلى واحد ، ولكن لا يزال من الممكن تبسيط ذلك:

حسنًا ، حسنًا ، بأمثلة بسيطة ستفهم هذه النقطة ، على ما أعتقد. دعنا ننتقل إلى المشكلات الكاملة التي لا تزال هناك حاجة لحل هذه النماذج الرياضية! ها هو التحدي.

نموذج رياضي في الممارسة

المشكلة 1

بعد المطر ، قد يرتفع منسوب المياه في البئر. يقيس الصبي وقت سقوط الحجارة الصغيرة في البئر ويحسب المسافة إلى الماء وفقًا للصيغة ، حيث المسافة بالأمتار ووقت السقوط بالثواني. قبل المطر ، كان وقت سقوط الحجارة s. كم يجب أن يرتفع منسوب المياه بعد المطر حتى يتغير الوقت المقاس بمقدار s؟ عبر عن إجابتك بالأمتار.

يا إلهي! ما الصيغ ، أي نوع من البئر ، ماذا يحدث ، ماذا تفعل؟ هل قرأت أفكارك؟ استرخ ، في مشاكل من هذا النوع تكون الظروف أسوأ ، الشيء الرئيسي هو أن تتذكر أنك في هذه المشكلة تهتم بالصيغ والعلاقات بين المتغيرات ، وما يعنيه كل هذا في معظم الحالات ليس مهمًا جدًا. ماذا ترى مفيدا هنا؟ أنا شخصيا أرى. مبدأ حل هذه المشكلات هو كما يلي: خذ جميع الكميات المعروفة واستبدلها.لكن ، في بعض الأحيان تحتاج إلى التفكير!

باتباع نصيحتي الأولى ، واستبدال كل ما هو معروف في المعادلة ، نحصل على:

كنت أنا من استبدل الوقت بالثانية ، ووجدت الارتفاع الذي طار فيه الحجر قبل المطر. والآن علينا العد بعد المطر وإيجاد الفرق!

الآن استمع إلى النصيحة الثانية وفكر فيها ، السؤال يحدد "كم يجب أن يرتفع منسوب الماء بعد المطر حتى يتغير الوقت المقاس بمقدار ثانية". من الضروري على الفور تقدير ارتفاع منسوب المياه بعد المطر ، مما يعني أن وقت سقوط الحجر على مستوى الماء يكون أقل ، وهنا تأخذ العبارة المزخرفة "بحيث يتغير الوقت المقاس" المعنى: لا يزداد وقت السقوط بل يقل بالثواني المحددة. هذا يعني أنه في حالة الرمية بعد المطر ، نحتاج فقط إلى طرح c من الوقت الأولي c ، ونحصل على معادلة الارتفاع الذي سيطير فيه الحجر بعد المطر:

وأخيرًا ، لمعرفة مقدار ارتفاع منسوب المياه بعد المطر ، بحيث يتغير الوقت المقاس بمقدار s. ، ما عليك سوى طرح ارتفاع السقوط الثاني من الأول!

نحصل على الجواب: بالمتر.

كما ترون ، لا يوجد شيء معقد ، الشيء الرئيسي هو ، لا تهتم كثيرًا من أين جاءت مثل هذه المعادلة غير المفهومة والمعقدة أحيانًا في الظروف وما يعنيه كل شيء فيها ، خذ كلامي لذلك ، معظم هذه المعادلات مأخوذة من الفيزياء ، وهناك غابة أسوأ مما كانت عليه في الجبر. يبدو لي أحيانًا أن هذه المهام تم اختراعها لتخويف الطالب في الامتحان بوفرة من الصيغ والمصطلحات المعقدة ، وفي معظم الحالات لا تتطلب أي معرفة تقريبًا. ما عليك سوى قراءة الشرط بعناية وإدخال القيم المعروفة في الصيغة!

ها هي مشكلة أخرى ، لم تعد في الفيزياء ، ولكن من عالم النظرية الاقتصادية ، على الرغم من أن المعرفة بالعلوم بخلاف الرياضيات ليست مطلوبة هنا مرة أخرى.

المشكلة 2

تعتمد الصيغة على اعتماد حجم الطلب (الوحدات الشهرية) لمنتجات المؤسسة الاحتكارية على السعر (ألف روبل)

يتم حساب إيرادات الشركة للشهر (بالألف روبل) باستخدام الصيغة. حدد أعلى سعر يكون فيه الدخل الشهري على الأقل ألف روبل. أعط إجابتك بالألف روبل.

خمن ماذا سأفعل الآن؟ نعم ، سأبدأ في استبدال ما نعرفه ، لكن ، مرة أخرى ، سأفكر قليلاً. لننتقل من النهاية ، علينا إيجاد أيهما. لذا ، هناك ، بالإضافة إلى البعض الآخر ، نجد ما يساوي ، وهو متساوٍ ، لذلك نكتبه. كما ترون ، أنا لا أهتم حقًا بمعنى كل هذه القيم ، أنا فقط أنظر من الشروط إلى أن ما هو متساوٍ ، لذلك عليك القيام بذلك. دعنا نعود إلى المشكلة ، لديك بالفعل ، ولكن كما تتذكر من معادلة واحدة ذات متغيرين ، لا يمكن العثور على أي منهما ، فماذا تفعل؟ نعم ، لا يزال لدينا قطعة غير مستخدمة في الحالة. الآن ، هناك بالفعل معادلتان ومتغيرين ، مما يعني أنه يمكن الآن العثور على كلا المتغيرين - رائع!

- هل يمكنك حل مثل هذا النظام؟

قمنا بالحل بالتعويض ، وعبرنا عنه بالفعل ، لذلك نعوض به في المعادلة الأولى ونبسطه.

اتضح أن مثل هذه المعادلة التربيعية: ، نحلها ، الجذور على هذا النحو ،. في المهمة ، تحتاج إلى العثور على أعلى سعر يتم فيه استيفاء جميع الشروط التي أخذناها في الاعتبار عند تجميع النظام. أوه ، اتضح أن هذا كان الثمن. رائع ، لذلك وجدنا الأسعار: و. أعلى سعر ، كما تقول؟ حسنًا ، من الواضح أن أكبرهم هو الرد ونكتب. حسنًا ، هل هذا صعب؟ لا أعتقد ذلك ، وليست هناك حاجة للخوض كثيرًا!

وإليكم الفيزياء المرعبة ، أو بالأحرى تحدٍ آخر:

مشكلة 3

لتحديد درجة الحرارة الفعالة للنجوم ، يتم استخدام قانون ستيفان بولتزمان ، والذي بموجبه تكون الطاقة الإشعاعية للنجم ثابتة ، ومساحة سطح النجم ، ودرجة الحرارة. من المعروف أن مساحة سطح بعض النجوم متساوية ، وقوة إشعاعها تساوي W. أوجد درجة حرارة هذا النجم بالدرجات بالكلفن.

حيث أنها لا تأتي من؟ نعم ، الشرط يقول ما يساوي. في السابق ، أوصيت باستبدال جميع العناصر المجهولة دفعة واحدة ، ولكن من الأفضل هنا التعبير عن المجهول المطلوب أولاً. انظر كم هو بسيط كل شيء: هناك صيغة معروفة فيها ، و (هذا هو الحرف اليوناني "سيغما". بشكل عام ، يحب الفيزيائيون الحروف اليونانية ، يعتادون عليها). ودرجة الحرارة غير معروفة. دعنا نعبر عنها كصيغة. أتمنى أن تعرف كيف تفعل هذا؟ عادة ما تعطي مثل هذه التعيينات لـ GIA في الصف التاسع:

الآن يبقى استبدال الأرقام بدلاً من الأحرف على الجانب الأيمن وتبسيط:

إليكم الجواب: درجات كلفن! ويا لها من مهمة رهيبة!

نستمر في تعذيب المهام في الفيزياء.

المشكلة 4

يتغير الارتفاع فوق الأرض للكرة التي تم رميها لأعلى وفقًا للقانون ، حيث الارتفاع بالأمتار ، هو الوقت المنقضي بالثواني منذ الرمية. كم ثانية ستبقى الكرة بارتفاع ثلاثة أمتار على الأقل؟

كانت هذه جميع المعادلات ، ولكن من الضروري هنا تحديد مقدار ارتفاع الكرة على الأقل ثلاثة أمتار ، وهذا يعني ارتفاعها. ماذا سنؤلف؟ عدم المساواة بالضبط! لدينا دالة تصف كيف تطير الكرة ، حيث يكون الارتفاع نفسه بالأمتار ، نحتاج إلى الارتفاع. وسائل

والآن أنت فقط تحل المتباينة ، الشيء الرئيسي هو ، لا تنس تغيير علامة عدم المساواة من أكبر من أو يساوي أصغر أو يساوي ، عندما تضرب في كلا طرفي المتباينة ، من أجل التخلص من السالب قبل.

هذه هي الجذور ، نبني فترات لعدم المساواة:

نحن مهتمون بالفترة التي تكون فيها علامة الطرح ، نظرًا لأن المتباينة تأخذ قيمًا سالبة هناك ، فهذا من إلى كليهما. والآن ندير الدماغ ونفكر مليًا: في حالة عدم المساواة ، استخدمنا المعادلة التي تصف طيران الكرة ، وهي تطير بطريقة ما في قطع مكافئ ، أي تقلع وتصل إلى ذروتها وتنخفض ، كيف نفهم كم ستكون على ارتفاع لا يقل عن متر؟ وجدنا نقطتين كسر ، أي في اللحظة التي يرتفع فيها أعلى من أمتار واللحظة التي يسقط فيها ويصل إلى نفس العلامة ، يتم التعبير عن هاتين النقطتين من قبلنا في شكل الوقت ، أي نعلم في أي ثانية من الرحلة دخل المنطقة التي تهمنا (فوق الأمتار) وفي أي واحدة غادرها (سقطت تحت علامة الأمتار). كم ثانية كان في هذه المنطقة؟ من المنطقي أن نأخذ وقت مغادرة المنطقة ونطرح منها وقت دخول هذه المنطقة. وعليه: - لدرجة أنه كان في منطقة فوق الأمتار ، هذا هو الجواب.

أنت محظوظ جدًا لأن معظم الأمثلة حول هذا الموضوع يمكن أخذها من فئة المشكلات في الفيزياء ، لذا عليك أن تلتقط واحدة أخرى ، إنها الأخيرة ، لذا ادفع نفسك ، فهناك القليل منها!

المشكلة 5

بالنسبة لعنصر التسخين بجهاز معين ، تم الحصول تجريبيًا على اعتماد درجة الحرارة على وقت التشغيل:

أين الوقت بالدقائق. من المعروف أنه عند درجة حرارة عنصر التسخين فوق الجهاز قد تتدهور ، لذلك يجب إيقاف تشغيله. ابحث عن أطول وقت بعد بدء العمل لإيقاف تشغيل الجهاز. عبر عن إجابتك في دقائق.

نتصرف وفقًا لمخطط تم تصحيحه ، كل ما يتم تقديمه ، نكتب أولاً:

الآن نأخذ الصيغة ونعادلها بقيمة درجة الحرارة التي يمكن أن يسخن بها الجهاز قدر الإمكان حتى يحترق ، أي:

نحن الآن نستبدل الأرقام بدلاً من الأحرف التي تُعرف بها:

كما ترى ، يتم وصف درجة الحرارة أثناء تشغيل الجهاز بمعادلة من الدرجة الثانية ، مما يعني أنه يتم توزيعها على طول القطع المكافئ ، أي يسخن الجهاز إلى درجة حرارة معينة ، ثم يبرد. لقد تلقينا إجابات ، وبالتالي ، مع دقائق من التسخين ، تكون درجة الحرارة مساوية للحرجة ، ولكن بين ودقائق - إنها أعلى من الحد الأقصى!

هذا يعني أنك بحاجة إلى إيقاف تشغيل الجهاز في دقائق.

النماذج الرياضية. باختصار حول الرئيسي

في أغلب الأحيان ، تُستخدم النماذج الرياضية في الفيزياء: فبعد كل شيء ، ربما كان عليك حفظ عشرات الصيغ الفيزيائية. والصيغة هي التمثيل الرياضي للوضع.

يوجد في OGE و Unified State Exam مهام تتعلق بهذا الموضوع فقط. في الاختبار (الملف الشخصي) ، هذه هي المشكلة رقم 11 (سابقًا B12). في OGE - المهمة رقم 20.

مخطط الحل واضح:

1) من الضروري "عزل" المعلومات المفيدة من نص الحالة - ما نكتبه تحت كلمة "معطى" في مسائل الفيزياء. هذه المعلومات المفيدة هي:

• معادلة
• الكميات الفيزيائية المعروفة.

أي أن كل حرف من الصيغة يجب أن يقترن برقم معين.

2) تأخذ جميع الكميات المعروفة وتستبدلها في الصيغة. تبقى القيمة المجهولة في شكل حرف. الآن كل ما عليك فعله هو حل المعادلة (عادة ما تكون بسيطة جدًا) والإجابة جاهزة.

حسنًا ، لقد انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور ، فأنت رائع جدًا.

لأن 5٪ فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بمفردهم. وإذا كنت قد قرأت حتى النهاية ، فأنت في هذه النسبة 5٪!

الآن يأتي أهم شيء.

لقد اكتشفت النظرية حول هذا الموضوع. ومرة أخرى ، هذا ... إنه رائع فقط! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من أقرانك.

المشكلة أن هذا قد لا يكون كافيا ...

لماذا؟

لاجتياز الامتحان بنجاح ، ودخول المعهد بميزانية محدودة ، والأهم من ذلك ، مدى الحياة.

لن أقنعك بأي شيء ، سأقول شيئًا واحدًا ...

الأشخاص الذين حصلوا على تعليم جيد يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يتلقوه. هذه إحصائيات.

لكن هذا ليس الشيء الرئيسي أيضًا.

الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (توجد مثل هذه الدراسات). ربما لأن هناك الكثير من الفرص المتاحة لهم وتصبح الحياة أكثر إشراقًا؟ لا اعرف...

لكن فكر بنفسك ...

ما الذي يتطلبه الأمر لتكون بالتأكيد أفضل من الآخرين في الامتحان وتكون في النهاية أكثر سعادة؟

احصل على مساعدة وحل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.

في الامتحان لن يطلب منك النظرية.

سوف تحتاج حل المهام لفترة من الوقت.

وإذا لم تحلها (الكثير!) ، فمن المؤكد أنك ستذهب إلى مكان ما مخطئًا بغباء أو ببساطة لن يكون لديك الوقت.

إنه مثل الرياضة - عليك تكراره عدة مرات للفوز بالتأكيد.

ابحث عن مجموعة حيث تريد ، بالضرورة مع الحلول والتحليل التفصيلي وتقرر ، تقرر ، تقرر!

يمكنك استخدام مهامنا (اختياري) ونحن بالطبع نوصي بها.

لكي تملأ يدك بمهامنا ، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.

كيف؟ هناك خياران:

1. شارك جميع المهام المخفية في هذا المقال - 299 ص
2. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع مقالات 99 من البرنامج التعليمي - 999 روبل

نعم ، لدينا 99 مقالًا من هذا القبيل في كتابنا المدرسي ، ويمكن الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها في وقت واحد.

في الحالة الثانية سنقدم لكم جهاز محاكاة "6000 مشكلة مع حلول وإجابات ، لكل موضوع ، لجميع مستويات التعقيد." سيكون من المؤكد أن التعامل مع حل المشاكل في أي موضوع سيكون كافيًا.

في الواقع ، هذا أكثر بكثير من مجرد جهاز محاكاة - برنامج تدريبي كامل. إذا لزم الأمر ، يمكنك أيضًا استخدامه مجانًا.

يتم توفير الوصول إلى جميع النصوص والبرامج طوال عمر الموقع بالكامل.

ختاما...

إذا كنت لا تحب مهامنا ، فابحث عن مهام أخرى. فقط لا أسهب في الحديث عن النظرية.

"المفهوم" و "أنا قادر على الحل" هما مهارات مختلفة تمامًا. تحتاج كلاهما.

البحث عن المشاكل وحلها!

وفقًا لكتاب سوفيتوف وياكوفليف: "النموذج (مقياس الطول - القياس) هو كائن بديل عن الكائن الأصلي ، والذي يوفر دراسة بعض خصائص الأصل." (ص 6) "استبدال كائن بآخر من أجل الحصول على معلومات حول أهم خصائص الكائن الأصلي باستخدام كائن النموذج يسمى النمذجة." (ص 6) "من خلال النمذجة الرياضية ، نعني عملية إنشاء مراسلات مع كائن حقيقي معين من كائن رياضي ما ، يسمى النموذج الرياضي ، ودراسة هذا النموذج ، الذي يسمح للشخص بالحصول على خصائص الكائن الحقيقي المدروس . ويعتمد نوع النموذج الرياضي على طبيعة الشيء الحقيقي وعلى مهام دراسة الكائن والموثوقية المطلوبة والدقة لحل هذه المشكلة ".

أخيرًا ، التعريف الأكثر إيجازًا للنموذج الرياضي: "معادلة تعبر عن فكرة."

تصنيف النموذج

التصنيف الرسمي للنماذج

يعتمد التصنيف الرسمي للنماذج على تصنيف الأدوات الرياضية المستخدمة. غالبا ما تكون مبنية على شكل انقسامات. على سبيل المثال ، إحدى مجموعات الانقسامات الشائعة:

إلخ. كل نموذج مبني هو خطي أو غير خطي ، حتمي أو عشوائي ، ... بطبيعة الحال ، الأنواع المختلطة ممكنة أيضًا: من ناحية ، مركزة (من حيث المعلمات) ، في جانب آخر ، نماذج موزعة ، إلخ.

التصنيف حسب طريقة عرض الكائن

إلى جانب التصنيف الرسمي ، تختلف النماذج في طريقة تمثيل الكائن:

• النماذج الهيكلية أو الوظيفية

تمثل النماذج الهيكلية كائنًا كنظام له هيكله الخاص وآلية عمله. لا تستخدم النماذج الوظيفية مثل هذه التمثيلات وتعكس فقط السلوك المدرك خارجيًا (أداء) الكائن. في تعبيرهم المتطرف ، يطلق عليهم أيضًا نماذج "الصندوق الأسود". أنواع النماذج المجمعة ممكنة أيضًا ، والتي تسمى أحيانًا نماذج "الصندوق الرمادي".

النماذج الجوهرية والرسمية

يشير جميع المؤلفين الذين يصفون عملية النمذجة الرياضية تقريبًا إلى أنه يتم أولاً بناء بنية مثالية خاصة ، نموذج هادف ... لا توجد مصطلحات ثابتة هنا ، ويسمي مؤلفون آخرون هذا الشيء المثالي النموذج المفاهيمي , نموذج المضاربة أو نموذج مسبق ... في هذه الحالة ، يسمى البناء الرياضي النهائي نموذج رسمي أو مجرد نموذج رياضي تم الحصول عليه كنتيجة لإضفاء الطابع الرسمي على نموذج ذي معنى معين (نموذج مسبق). يمكن تنفيذ بناء نموذج ذي مغزى باستخدام مجموعة من التحسينات الجاهزة ، كما هو الحال في الميكانيكا ، حيث توفر الينابيع المثالية ، والأجسام الصلبة ، والبندولات المثالية ، والوسائط المرنة ، وما إلى ذلك ، عناصر هيكلية جاهزة لنمذجة ذات مغزى. ومع ذلك ، في مجالات المعرفة حيث لا توجد نظريات رسمية مكتملة بالكامل (طليعة الفيزياء وعلم الأحياء والاقتصاد وعلم الاجتماع وعلم النفس ومعظم المجالات الأخرى) ، يصبح إنشاء نماذج ذات مغزى أكثر صعوبة.

تصنيف كبير للنماذج

لم يتم إثبات أي فرضية في العلم بشكل نهائي. أوضح ريتشارد فاينمان الأمر بوضوح:

"لدينا دائمًا فرصة لدحض النظرية ، لكن لاحظ أنه لا يمكننا أبدًا إثبات صحتها. لنفترض أنك قدمت فرضية جيدة ، وحسبت أين يؤدي ذلك ، ووجدت أن جميع عواقبها تم تأكيدها تجريبيًا. هل هذا يعني أن نظريتك صحيحة؟ لا ، هذا يعني ببساطة أنك فشلت في دحضه ".

إذا تم إنشاء نموذج من النوع الأول ، فهذا يعني أنه تم التعرف عليه مؤقتًا على أنه صحيح ويمكنك التركيز على المشكلات الأخرى. ومع ذلك ، لا يمكن أن تكون هذه نقطة في البحث ، ولكنها مجرد وقفة مؤقتة: يمكن أن تكون حالة نموذج من النوع الأول مؤقتة فقط.

النوع 2: نموذج الظواهر (تتصرف كما لو…)

يحتوي النموذج الفينومينولوجي على آلية لوصف الظاهرة. ومع ذلك ، فإن هذه الآلية ليست مقنعة بدرجة كافية ، ولا يمكن تأكيدها بشكل كافٍ من خلال البيانات المتاحة ، أو لا تتفق جيدًا مع النظريات الموجودة والمعرفة المتراكمة حول الكائن. لذلك ، فإن النماذج الظاهراتية لها حالة الحلول المؤقتة. يُعتقد أن الإجابة لا تزال غير معروفة ويجب أن يستمر البحث عن "آليات حقيقية". يتضمن Peierls ، على سبيل المثال ، نموذج السعرات الحرارية ونموذج الكوارك للجسيمات الأولية إلى النوع الثاني.

قد يتغير دور النموذج في البحث بمرور الوقت ، وقد يحدث أن تؤكد البيانات والنظريات الجديدة النماذج الظاهراتية وسيتم ترقيتها إلى حالة الفرضية. وبالمثل ، يمكن أن تتعارض المعرفة الجديدة تدريجيًا مع النماذج الافتراضية من النوع الأول ، ويمكن ترجمة تلك النماذج إلى النوع الثاني. وهكذا ، فإن نموذج الكوارك ينتقل تدريجياً إلى فئة الفرضيات ؛ نشأت الذرية في الفيزياء كحل مؤقت ، ولكن مع مسار التاريخ انتقل إلى النوع الأول. لكن نماذج الأثير شقت طريقها من النوع 1 إلى النوع 2 ، وهي الآن خارج نطاق العلم.

تحظى فكرة التبسيط بشعبية كبيرة عند بناء النماذج. لكن التبسيط مختلف. يميز Peierls ثلاثة أنواع من تبسيط النمذجة.

النوع 3: تقريب (نحن نعتبر شيئًا كبيرًا جدًا أو صغيرًا جدًا)

إذا كان من الممكن إنشاء معادلات تصف النظام قيد الدراسة ، فهذا لا يعني أنه يمكن حلها حتى باستخدام الكمبيوتر. الأسلوب المقبول بشكل عام في هذه الحالة هو استخدام التقريبات (نماذج من النوع 3). فيما بينها نماذج الاستجابة الخطية... يتم استبدال المعادلات بخطية. المثال القياسي هو قانون أوم.

وهنا النوع 8 ، يستخدم على نطاق واسع في النماذج الرياضية للأنظمة البيولوجية.

النوع 8: إثبات الاحتمال (الشيء الرئيسي هو إظهار التناسق الداخلي للاحتمال)

هذه أيضًا تجارب فكرية مع كيانات خيالية ، توضح ذلك ظاهرة مزعومة تتفق مع المبادئ الأساسية ومتسقة داخليا. هذا هو الاختلاف الرئيسي عن طرازات Type 7 ، والذي يكشف عن تناقضات خفية.

واحدة من أشهر هذه التجارب هي هندسة Lobachevsky (أطلق عليها Lobachevsky "الهندسة التخيلية"). مثال آخر هو الإنتاج الضخم للنماذج الحركية الرسمية للتذبذبات الكيميائية والبيولوجية ، والموجات الآلية ، وما إلى ذلك. تم تصور مفارقة أينشتاين - بودولسكي - روزين كنموذج من النوع 7 لإثبات عدم اتساق ميكانيكا الكم. وبطريقة غير مخططة تمامًا ، تحولت بمرور الوقت إلى نموذج من النوع 8 - عرض لإمكانية النقل الآني الكمي للمعلومات.

مثال

ضع في اعتبارك نظامًا ميكانيكيًا يتكون من زنبرك مثبت في أحد طرفيه ووزن م تعلق على نهاية الربيع الحرة. سنفترض أن الوزن يمكن أن يتحرك فقط في اتجاه محور الزنبرك (على سبيل المثال ، تحدث الحركة على طول القضيب). دعونا نبني نموذجًا رياضيًا لهذا النظام. سوف نصف حالة النظام من خلال المسافة x من مركز الحمل إلى موضع توازنه. دعونا نصف تفاعل الزنبرك والحمل باستخدام قانون هوك (F = − كx ) وبعد ذلك نستخدم قانون نيوتن الثاني للتعبير عنه في شكل معادلة تفاضلية:

حيث يعني المشتق الثاني من x بالوقت:.

تصف المعادلة الناتجة النموذج الرياضي للنظام المادي المدروس. يسمى هذا النمط "المذبذب التوافقي".

وفقًا للتصنيف الرسمي ، هذا النموذج خطي ، حتمي ، ديناميكي ، مركز ، مستمر. في عملية بنائه ، وضعنا العديد من الافتراضات (حول غياب القوى الخارجية ، وغياب الاحتكاك ، والانحرافات الصغيرة ، وما إلى ذلك) ، والتي قد لا تتحقق في الواقع.

فيما يتعلق بالواقع ، غالبًا ما يكون هذا نموذجًا من النوع 4. تبسيط ("نحذف بعض التفاصيل من أجل الوضوح") ، حيث تم حذف بعض السمات العامة الأساسية (مثل التبديد). بالنسبة لبعض التقريب (على سبيل المثال ، طالما أن انحراف الحمل عن التوازن صغير ، مع احتكاك منخفض ، لفترة ليست طويلة جدًا وفي ظل ظروف أخرى معينة) ، يصف هذا النموذج نظامًا ميكانيكيًا حقيقيًا جيدًا ، نظرًا لأن العوامل المهملة لها تأثير ضئيل على سلوكها ... ومع ذلك ، يمكن تحسين النموذج من خلال مراعاة بعض هذه العوامل. سيؤدي ذلك إلى نموذج جديد ذي نطاق تطبيق أوسع (وإن كان محدودًا مرة أخرى).

ومع ذلك ، عندما يتم تنقيح النموذج ، يمكن أن يزداد تعقيد أبحاثه الرياضية بشكل كبير ويجعل النموذج عديم الفائدة تقريبًا. في كثير من الأحيان ، يسمح النموذج الأبسط بإجراء تحقيق أفضل وأعمق للنظام الحقيقي أكثر من نموذج أكثر تعقيدًا (وبشكل رسمي "أكثر صحة").

إذا طبقنا نموذج المذبذب التوافقي على أشياء بعيدة عن الفيزياء ، فقد تكون حالته ذات مغزى مختلفة. على سبيل المثال ، عند تطبيق هذا النموذج على المجموعات البيولوجية ، يجب على الأرجح تصنيفها على أنها من النوع 6 تشبيه ("دعونا نأخذ في الاعتبار فقط بعض الميزات").

النماذج الصلبة والناعمة

المذبذب التوافقي هو مثال لما يسمى بالنموذج "الصلب". يتم الحصول عليها كنتيجة لمثالية قوية لنظام فيزيائي حقيقي. لحل مشكلة قابلية تطبيقه ، من الضروري فهم مدى أهمية العوامل التي أهملناها. بعبارة أخرى ، من الضروري فحص النموذج "الناعم" ، الذي يتم الحصول عليه من خلال اضطراب بسيط في النموذج "الصعب". يمكن إعطاؤه ، على سبيل المثال ، من خلال المعادلة التالية:

هنا وظيفة معينة ، والتي يمكن أن تأخذ في الاعتبار قوة الاحتكاك أو اعتماد معامل صلابة الزنبرك على درجة امتدادها ، وهي معلمة صغيرة. وظيفة صريحة f لسنا مهتمين في الوقت الحالي. إذا أثبتنا أن سلوك النموذج الناعم لا يختلف جوهريًا عن سلوك النموذج الجامد (بغض النظر عن الشكل الصريح للعوامل المربكة ، إذا كانت صغيرة بما يكفي) ، فسيتم تقليل المشكلة إلى دراسة جامدة نموذج. خلاف ذلك ، فإن تطبيق النتائج التي تم الحصول عليها في دراسة النموذج الجامد سوف يتطلب بحثًا إضافيًا. على سبيل المثال ، حل معادلة المذبذب التوافقي هو وظائف النموذج ، أي التذبذبات ذات الاتساع الثابت. هل يترتب على ذلك أن المذبذب الحقيقي سوف يتأرجح لفترة طويلة غير متناهية بسعة ثابتة؟ لا ، نظرًا لأن التفكير في نظام به احتكاك صغير عشوائيًا (موجود دائمًا في نظام حقيقي) ، فإننا نحصل على تذبذبات مبطنة. لقد تغير سلوك النظام نوعياً.

إذا احتفظ النظام بسلوكه النوعي في ظل اضطرابات صغيرة ، يقال إنه مستقر هيكليًا. المذبذب التوافقي هو مثال على نظام غير مستقر هيكليًا (غير خشن). ومع ذلك ، يمكن تطبيق هذا النموذج لدراسة العمليات على فترات زمنية محدودة.

براعة النماذج

عادة ما يكون لأهم النماذج الرياضية خاصية مهمة عالمية: يمكن وصف الظواهر الحقيقية المختلفة اختلافًا جذريًا من خلال نفس النموذج الرياضي. على سبيل المثال ، لا يصف المذبذب التوافقي سلوك الحمل على الزنبرك فحسب ، بل يصف أيضًا العمليات التذبذبية الأخرى ، والتي غالبًا ما تكون ذات طبيعة مختلفة تمامًا: التذبذبات الصغيرة للبندول ، وتذبذبات مستوى السائل في يو - وعاء على شكل أو تغيير في القوة الحالية في الدائرة التذبذبية. وهكذا ، عند دراسة نموذج رياضي واحد ، ندرس دفعة واحدة فئة كاملة من الظواهر التي وصفها ذلك النموذج. إن هذا التماثل في القوانين الذي عبرت عنه النماذج الرياضية في قطاعات مختلفة من المعرفة العلمية هو ما قام به لودفيج فون برتالانفي في إنشاء "نظرية عامة للأنظمة".

المسائل المباشرة والمعكوسة للنمذجة الرياضية

هناك العديد من المشاكل المرتبطة بالنمذجة الرياضية. أولاً ، من الضروري التوصل إلى المخطط الأساسي للكائن النموذجي ، لإعادة إنتاجه في إطار عمليات إضفاء المثالية على هذا العلم. لذلك ، تتحول عربة القطار إلى نظام من الألواح وأجسام أكثر تعقيدًا مصنوعة من مواد مختلفة ، ويتم تعيين كل مادة على أنها مثالية ميكانيكية قياسية (الكثافة ، ومعايير المرونة ، وخصائص القوة القياسية) ، وبعد ذلك يتم وضع المعادلات ، على طول الطريق يتم تجاهل بعض التفاصيل باعتبارها غير ذات أهمية ، ويتم إجراء الحسابات ، مقارنة بالقياسات ، ويتم تنقيح النموذج ، وما إلى ذلك. ومع ذلك ، من أجل تطوير تقنيات النمذجة الرياضية ، من المفيد تفكيك هذه العملية إلى العناصر الأساسية المكونة لها.

تقليديا ، هناك فئتان رئيسيتان من المشاكل المرتبطة بالنماذج الرياضية: المباشر والمعكوس.

مهمة مباشرة: تعتبر بنية النموذج وجميع معلماته معروفة ، وتتمثل المهمة الرئيسية في إجراء دراسة للنموذج لاستخراج معرفة مفيدة حول الكائن. ما هو الحمل الثابت الذي يتحمله الجسر؟ كيف ستتفاعل مع الحمل الديناميكي (على سبيل المثال ، لمسيرة مجموعة من الجنود ، أو مرور قطار ليس له سرعة مختلفة) ، وكيف ستتغلب الطائرة على حاجز الصوت ، وما إذا كانت ستنهار من الرفرفة - هذه أمثلة نموذجية لمهمة مباشرة. يتطلب تحديد المشكلة المباشرة الصحيحة (طرح السؤال الصحيح) مهارة خاصة. إذا لم يتم طرح الأسئلة الصحيحة ، يمكن أن ينهار الجسر ، حتى لو تم بناء نموذج جيد لسلوكه. لذلك ، في عام 1879 في إنجلترا ، انهار جسر معدني فوق نهر تاي ، قام المصممون ببناء نموذج للجسر ، وقاموا بحسابه لعامل أمان بمقدار 20 ضعفًا للحمولة ، لكنهم نسوا الرياح التي تهب باستمرار في تلك الأماكن. وبعد عام ونصف انهار.

في أبسط الحالات (معادلة مذبذب واحد ، على سبيل المثال) تكون المشكلة المباشرة بسيطة للغاية وتختزل إلى حل واضح لهذه المعادلة.

مشكلة معكوسة: العديد من النماذج الممكنة معروفة ، تحتاج إلى اختيار نموذج معين بناءً على بيانات إضافية حول الكائن. غالبًا ما تكون بنية النموذج معروفة وتحتاج إلى تحديد بعض المعلمات غير المعروفة. قد تتكون المعلومات الإضافية في بيانات تجريبية إضافية ، أو في متطلبات الكائن ( تحدي التصميم). يمكن أن تأتي البيانات الإضافية بشكل مستقل عن عملية حل المشكلة العكسية ( المراقبة السلبية) أو تكون نتيجة تجربة مخطط لها خصيصًا ( المراقبة النشطة).

كان أحد الأمثلة الأولى على حل مبدع للمشكلة العكسية مع أقصى استخدام ممكن للبيانات المتاحة هو طريقة استعادة قوى الاحتكاك من التذبذبات المخففة المرصودة ، التي أنشأها أ. نيوتن.

أمثلة إضافية

أين x س - حجم السكان "التوازن" ، حيث يتم تعويض معدل المواليد بالوفيات. حجم السكان في مثل هذا النموذج يميل إلى قيمة التوازن x س وهذا السلوك مستقر من الناحية الهيكلية.

هذا النظام لديه حالة توازن عندما يكون عدد الأرانب والثعالب ثابتًا. يؤدي الانحراف عن هذه الحالة إلى تقلبات في عدد الأرانب والثعالب ، مشابهة لتقلبات المذبذب التوافقي. كما في حالة المذبذب التوافقي ، فإن هذا السلوك غير مستقر من الناحية الهيكلية: يمكن أن يؤدي تغيير بسيط في النموذج (على سبيل المثال ، مع الأخذ في الاعتبار الموارد المحدودة التي تحتاجها الأرانب) إلى تغيير نوعي في السلوك. على سبيل المثال ، يمكن أن تصبح حالة التوازن مستقرة ، وسوف تتلاشى التقلبات في الأرقام. الوضع المعاكس ممكن أيضًا ، عندما يؤدي أي انحراف صغير عن وضع التوازن إلى عواقب وخيمة ، حتى الانقراض الكامل لأحد الأنواع. لا يقدم نموذج Volterra-Lotka إجابة على السؤال حول أي من هذه السيناريوهات يتم تحقيقه: مطلوب بحث إضافي هنا.

ملاحظات

1. "تمثيل رياضي للواقع" (Encyclopaedia Britanica)
2. نوفيك آي.، حول القضايا الفلسفية للنمذجة السيبرانية. م ، المعرفة ، 1964.
3. سوفيتوف ب. ، ياكوفليف س.نمذجة النظام: كتاب مدرسي. للجامعات - الطبعة الثالثة ، مراجعة. و أضف. - م: العالي. shk. ، 2001. - 343 ص. ردمك 5-06-003860-2
4. Samarskiy A.A. ، Mikhailov A.P. النمذجة الرياضية. الأفكار. أساليب. أمثلة. ... - الطبعة الثانية ، القس .. - م: Fizmatlit ، 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A. D.، عناصر نظرية النماذج الرياضية. - الطبعة الثالثة ، القس. - م: KomKniga ، 2007. - 192 ثانية ISBN 978-5-484-00953-4
6. ويكاموس: نموذج رياضي
7. Cliffs ملاحظات
8. أساليب التخفيض والنمو الخشنة للظواهر متعددة النطاقات ، Springer ، سلسلة التعقيد ، برلين-هايدلبرغ-نيويورك ، 2006. XII + 562 pp. ردمك 3-540-35885-4
9. "تعتبر النظرية خطية أو غير خطية ، اعتمادًا على ما إذا كان جهازًا رياضيًا خطيًا أو غير خطي ، وهو عبارة عن نماذج رياضية خطية أو غير خطية. ... دون نفي هذا الأخير. فيزيائي حديث ، لو أعاد إنشاء تعريف لجوهر مهم مثل اللاخطية ، على الأرجح ، كان سيتصرف بشكل مختلف ، ويفضل اللاخطية باعتباره الأكثر أهمية وانتشارًا بين الأضداد ، سيعرف الخطية على أنها `` لا خطية '' . " دانيلوف يو.، محاضرات عن الديناميات اللاخطية. مقدمة أولية. سلسلة "التآزر: من الماضي إلى المستقبل". الإصدار 2. - م: URSS ، 2006. - 208 ق. ردمك 5-484-00183-8
10. تسمى الأنظمة الديناميكية المصممة بواسطة عدد محدود من المعادلات التفاضلية العادية أنظمة مجمعة أو نقطية. يتم وصفها باستخدام مساحة طور ذات أبعاد محدودة وتتميز بعدد محدود من درجات الحرية. يمكن اعتبار نفس النظام في ظل ظروف مختلفة إما مركزًا أو موزعًا. النماذج الرياضية للأنظمة الموزعة هي معادلات تفاضلية جزئية أو معادلات تكاملية أو معادلات عادية بحجة متأخرة. عدد درجات الحرية لنظام موزع لا حصر له ، وكمية غير محدودة من البيانات مطلوبة لتحديد حالتها ". أنيشينكو ف.، النظم الديناميكية ، مجلة سوروس التعليمية ، 1997 ، العدد 11 ، ص. 77-84.
11. "اعتمادًا على طبيعة العمليات المدروسة في نظام S ، يمكن تقسيم جميع أنواع النمذجة إلى حتمية وعشوائية وثابتة وديناميكية ومنفصلة ومستمرة ومنفصلة مستمرة. النمذجة الحتمية تعرض عمليات حتمية ، أي العمليات التي يفترض فيها عدم وجود أي تأثيرات عشوائية ؛ النمذجة العشوائية تعرض العمليات والأحداث الاحتمالية. ... تستخدم النمذجة الثابتة لوصف سلوك كائن في أي وقت ، بينما تعكس النمذجة الديناميكية سلوك الكائن في الوقت المناسب. تُستخدم النمذجة المنفصلة لوصف العمليات التي يُفترض أنها منفصلة ، على التوالي ، تسمح لك النمذجة المستمرة بعكس العمليات المستمرة في الأنظمة ، ويتم استخدام النمذجة المستمرة المنفصلة للحالات التي تريد فيها إبراز وجود عمليات منفصلة ومستمرة. " سوفيتوف ب. ، ياكوفليف س.نمذجة النظام: كتاب مدرسي. للجامعات - الطبعة الثالثة ، مراجعة. و أضف. - م: العالي. shk. ، 2001. - 343 ص. ردمك 5-06-003860-2
12. عادة ، يعكس النموذج الرياضي بنية (جهاز) الكائن المحاكى ، وخصائص وعلاقات مكونات هذا الكائن التي تعتبر ضرورية لأغراض البحث ؛ مثل هذا النموذج يسمى الهيكلي. إذا كان النموذج يعكس فقط كيفية عمل الكائن - على سبيل المثال ، كيفية تفاعله مع التأثيرات الخارجية - عندئذٍ يطلق عليه وظيفي أو ، مجازيًا ، الصندوق الأسود. النماذج المجمعة ممكنة أيضًا. Myshkis A. D.، عناصر نظرية النماذج الرياضية. - الطبعة الثالثة ، القس. - م: KomKniga ، 2007. - 192 ثانية ISBN 978-5-484-00953-4
13. "تتمثل إحدى المراحل الأولية الواضحة ، ولكن الأكثر أهمية في بناء أو اختيار نموذج رياضي ، في الحصول على فكرة واضحة قدر الإمكان حول الكائن النموذجي وتوضيح نموذجه الهادف بناءً على المناقشات غير الرسمية. لا ينبغي للمرء أن يضيع الوقت والجهد في هذه المرحلة ؛ يعتمد نجاح الدراسة بأكملها على ذلك إلى حد كبير. لقد حدث أكثر من مرة أن العمل الكبير الذي تم إنفاقه على حل مشكلة رياضية تبين أنه غير فعال أو حتى ضائع بسبب عدم الاهتمام الكافي بهذا الجانب من المسألة ". Myshkis A. D.، عناصر نظرية النماذج الرياضية. - الطبعة الثالثة ، القس. - م: KomKniga ، 2007. - 192 ثانية ISBN 978-5-484-00953-4 ، ص. 35.
14. « وصف النموذج المفاهيمي للنظام. في هذه المرحلة الفرعية من بناء نموذج للنظام: أ) يتم وصف النموذج المفاهيمي M بمصطلحات ومفاهيم مجردة ؛ ب) وصف النموذج معطى باستخدام مخططات رياضية نموذجية. ج) قبول الفرضيات والافتراضات بشكل نهائي ؛ د) تم إثبات اختيار الإجراء لتقريب العمليات الحقيقية في بناء النموذج. " سوفيتوف ب. ، ياكوفليف س.نمذجة النظام: كتاب مدرسي. للجامعات - الطبعة الثالثة ، مراجعة. و أضف. - م: العالي. shk. ، 2001. - 343 ص. ISBN 5-06-003860-2 ، ص. 93.