حل المتباينات المنطقية بطريقة الفواصل.

طريقة التباعد- هذه طريقة عالمية لحل أي تفاوتات تحدث تقريبًا في مقرر الجبر المدرسي. يعتمد على الخصائص التالية للوظائف:

1. لا يمكن للدالة المستمرة g (x) تغيير الإشارة إلا عند النقطة التي تساوي فيها 0. ويعني هذا بيانياً أن الرسم البياني للدالة المستمرة يمكن أن ينتقل من نصف مستوى إلى آخر فقط إذا كان يتقاطع مع x- المحور (نتذكر أن إحداثيات أي نقطة تقع على محور OX (محور الإحداثي) تساوي صفرًا ، أي أن قيمة الوظيفة في هذه النقطة هي 0):

نرى أن الدالة y = g (x) الموضحة في الرسم البياني تعبر محور OX عند النقاط x = -8 ، x = -2 ، x = 4 ، x = 8. تسمى هذه النقاط أصفار الوظيفة. وفي نفس النقاط تتغير إشارة الدالة g (x).

2. يمكن للدالة أيضًا تغيير العلامة عند أصفار المقام - أبسط مثال على دالة معروفة:

نرى أن إشارة الدالة تتغير عند جذر المقام عند النقطة ، لكنها لا تختفي في أي وقت. وبالتالي ، إذا كانت الوظيفة تحتوي على كسر ، فيمكنها تغيير الإشارة في جذور المقام.

2. ومع ذلك ، لا تغير الدالة دائمًا الإشارة عند جذر البسط أو عند جذر المقام. على سبيل المثال ، الدالة y = x 2 لا تغير الإشارة عند النقطة x = 0:

لأن المعادلة x 2 \ u003d 0 لها جذران متساويان x \ u003d 0 ، عند النقطة x \ u003d 0 ، تتحول الوظيفة ، كما كانت ، إلى 0 مرتين. يسمى هذا الجذر جذر التعددية الثانية.

دور يغير علامة عند صفر من البسط ، لكنه لا يغير العلامة عند صفر المقام: نظرًا لأن الجذر هو جذر التعدد الثاني ، أي حتى التعدد:

الأهمية! في جذور حتى التعددية ، لا تغير الدالة الإشارة.

ملحوظة! أي غير خطييتم حل عدم المساواة في مقرر الجبر المدرسي ، كقاعدة عامة ، باستخدام طريقة الفواصل.

أقدم لك واحدة مفصلة ، وبعد ذلك يمكنك تجنب الأخطاء عندما حل عدم المساواة غير الخطية.

1. تحتاج أولاً إلى إحضار عدم المساواة إلى النموذج

P (x) V0 ،

حيث V هي علامة عدم المساواة:<,>أو ≤ أو ≥. لهذا تحتاج:

أ) انقل كل الحدود إلى الجانب الأيسر من المتباينة ،

ب) ابحث عن جذور التعبير الناتج ،

ج) حلل الجانب الأيسر من المتباينة إلى عوامل

د) اكتب نفس العوامل مثل الدرجة.

انتباه!يجب القيام بالإجراء الأخير حتى لا نخطئ في تعدد الجذور - إذا كانت النتيجة مضاعفة بدرجة متساوية ، فإن الجذر المقابل له تعدد متساوٍ.

2. ضع الجذور الموجودة على خط الأعداد.

3. إذا كانت المتباينة صارمة ، فإن الدوائر التي تشير إلى الجذور على المحور العددي تُترك "فارغة" ، وإذا كانت المتباينة غير صارمة ، يتم رسم الدوائر فوقها.

4. نختار جذور التعددية - فيها ف (س)العلامة لا تتغير.

5. تحديد العلامة ف (س)على الجانب الأيمن من الفجوة. للقيام بذلك ، خذ قيمة عشوائية x 0 ، وهي أكبر من أكبر جذر واستبدل بها ف (س).

إذا كانت P (x 0)> 0 (أو 0) ، فإننا نضع علامة "+" في أقصى اليمين.

إذا كان P (x0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

عند المرور عبر نقطة تدل على جذر حتى من التعددية ، فإن العلامة لا تتغير.

7. مرة أخرى ننظر إلى إشارة المتباينة الأصلية ، ونختار فترات الإشارة التي نحتاجها.

8. انتباه! إذا كانت عدم المساواة لدينا ليست صارمة ، فإننا نتحقق من حالة المساواة إلى الصفر بشكل منفصل.

9. اكتب الإجابة.

إذا كان الأصل المتباينة تحتوي على مجهول في المقام، ثم ننقل أيضًا كل الحدود إلى اليسار ، ونختزل الطرف الأيسر من المتباينة إلى الصورة

(حيث V هي علامة عدم المساواة:< или >)

عدم المساواة الصارمة من هذا النوع تعادل عدم المساواة

ليست صارمةعدم المساواة في الشكل

يعادل النظام:

في الممارسة العملية ، إذا كانت الوظيفة لها الشكل ، فسنمضي على النحو التالي:

1. أوجد جذور البسط والمقام.
2. نضعهم على المحور. تركت جميع الدوائر فارغة. ثم ، إذا لم تكن المتباينة صارمة ، فإننا نرسم جذور البسط ، ونترك دائمًا جذور المقام فارغة.
3. بعد ذلك ، نتبع الخوارزمية العامة:
4. نختار جذور التعددية الزوجية (إذا كان البسط والمقام يحتويان على نفس الجذور ، فإننا نحسب عدد المرات التي تحدث فيها نفس الجذور). لا يوجد تغيير في الإشارة في جذور حتى التعددية.
5. نكتشف العلامة الموجودة في أقصى اليمين.
6. نضع اللافتات.
7. في حالة عدم المساواة غير الصارمة ، يتم فحص شرط المساواة ، شرط المساواة إلى الصفر ، بشكل منفصل.
8. نختار الفترات اللازمة والجذور الدائمة بشكل منفصل.
9. نكتب الجواب.

من أجل فهم أفضل خوارزمية لحل المتباينات بطريقة الفاصل، شاهد درس الفيديو الذي يتم فيه تحليل المثال بالتفصيل حل المتباينة بطريقة الفواصل.

نظم عدم المساواة العقلانية

نص الدرس

• الملخص [Bezdenezhnykh L.V.]

  الجبر ، الصف 9 UMK: A.G. مردكوفيتش. الجبر. الصف 9 في 02:00 الجزء 1. الكتاب المدرسي. الجزء 2. كتاب المهام. موسكو: Mnemosyne ، 2010 مستوى التعليم: الموضوع الأساسي للدرس: أنظمة عدم المساواة العقلانية. (الدرس الأول حول الموضوع ، في المجموع ، يتم تخصيص 3 ساعات لدراسة الموضوع) درس لدراسة موضوع جديد. الغرض من الدرس: تكرار حل المتباينات الخطية ؛ تقديم مفاهيم نظام عدم المساواة ، وشرح حل أبسط أنظمة عدم المساواة الخطية ؛ لتشكيل القدرة على حل أنظمة عدم المساواة الخطية من أي تعقيد. الأهداف التعليمية: دراسة الموضوع بناءً على المعرفة الموجودة ، وترسيخ المهارات والقدرات العملية في حل أنظمة عدم المساواة الخطية نتيجة العمل المستقل للطلاب ومحاضرات وأنشطة استشارية لأكثرهم استعدادًا. التطوير: تنمية الاهتمام المعرفي ، استقلالية التفكير ، الذاكرة ، المبادرة الطلابية من خلال استخدام أساليب النشاط التواصلي وعناصر التعلم القائم على حل المشكلات. التربوية: تكوين مهارات الاتصال وثقافة الاتصال والتعاون. طرق إجراء: - محاضرة مع عناصر المحادثة والتعلم القائم على حل المشاكل. - العمل المستقل للطلاب مع المواد النظرية والعملية وفقًا للكتاب المدرسي ؛ - تطوير ثقافة إضفاء الطابع الرسمي على حل أنظمة عدم المساواة الخطية. النتائج المتوقعة: سيتذكر الطلاب كيفية حل التفاوتات الخطية ، وتحديد تقاطع حلول عدم المساواة على خط حقيقي ، وتعلم كيفية حل أنظمة عدم المساواة الخطية. معدات الدرس: السبورة ، النشرات (التطبيق) ، الكتب المدرسية ، المصنفات. محتوى الدرس: 1. لحظة تنظيمية. فحص الواجبات المنزلية. 2. تفعيل المعرفة. يقوم الطلاب جنبًا إلى جنب مع المعلم بملء الجدول الموجود على السبورة: فجوة الشكل غير المتكافئة أدناه الجدول النهائي: فجوة الشكل غير المتكافئة 3. الإملاء الرياضي. التحضير لتصور موضوع جديد. 1. حل المتباينات وفقًا لنموذج الجدول: الخيار 1 الخيار 2 الخيار 3 الخيار 4 2. حل عدم المساواة ، ارسم شكلين على نفس المحور وتحقق مما إذا كان الرقم 5 هو الحل لاثنين من المتباينات: الخيار 1 الخيار 2 الخيار 3 الخيار 4 4. شرح المادة الجديدة. شرح المادة الجديدة (ص 40-44): 1. حدد نظام المتباينات (ص 41). التعريف: العديد من المتباينات بمتغير واحد x تشكل نظامًا من المتباينات إذا كانت المهمة هي إيجاد كل هذه القيم للمتغير الذي تتحول فيه كل متباينة معطاة مع المتغير إلى متباينة عددية حقيقية. 2. إدخال مفهوم الحل الخاص والعام لنظام عدم المساواة. أي قيمة من x تسمى حلًا (أو حلًا خاصًا) لنظام المتباينات. مجموعة جميع الحلول الخاصة لنظام عدم المساواة هي الحل العام لنظام عدم المساواة. 3. انظر في الكتاب المدرسي إلى حل أنظمة عدم المساواة وفقًا للمثال رقم 3 (أ ، ب ، ج). 4. يعمم الاستدلال من خلال حل النظام:. 5. توحيد المواد الجديدة. حل المهام من رقم 4.20 (أ ، ب) ، 4.21 (أ ، ب). 6. أعمال التحقق تحقق من استيعاب المواد الجديدة ، مما يساعد بنشاط في حل المهام وفقًا للخيارات: الخيار 1 أ ، في الرقم 4.6 ، 4.8 الخيار 2 ب ، د رقم 4.6 ، 4.8 7. التلخيص. انعكاس ما هي المفاهيم الجديدة التي تعلمتها اليوم؟ هل تعلمت كيفية إيجاد حلول لنظام من عدم المساواة الخطية؟ ما أكثر ما حققته ، ما هي اللحظات التي كانت أكثر نجاحًا؟ 8. الواجب المنزلي: رقم 4.5 ، 4.7 ؛ نظرية في الكتاب المدرسي ص 40-44 ؛ للطلاب ذوي الدافعية المتزايدة رقم 4.23 (ج ، د). الملحق. الخيار 1. عدم المساواة الشكل الفترة 2. حل المتباينات ، ارسم شكلين على نفس المحور وتحقق مما إذا كان الرقم 5 هو الحل لمتباينتين: شكل عدم المساواة أجب عن السؤال. الخيار 2. عدم المساواة الشكل الفترة 2. حل المتباينات ، ارسم شكلين على نفس المحور وتحقق مما إذا كان الرقم 5 هو الحل لمتباينتين: شكل عدم المساواة أجب عن السؤال. الخيار 3. عدم المساواة الشكل الفترة 2. حل المتباينات ، ارسم شكلين على نفس المحور وتحقق مما إذا كان الرقم 5 هو الحل لمتباينتين: شكل عدم المساواة أجب عن السؤال. الخيار 4. عدم المساواة الشكل الفترة 2. حل المتباينات ، ارسم شكلين على نفس المحور وتحقق مما إذا كان الرقم 5 هو الحل لمتباينتين: شكل عدم المساواة أجب عن السؤال.

  تحميل: الجبر 9kl - الملخص [Bezdenezhnykh L.V.]. docx

• ملخص الدروس 2-4 [Zvereva L.P.]

  الجبر للصف 9 UMK: ALGEBRA-9KLASS، A.G. مردكوفيتش. سيميونوف ، 2014. المستوى - التدريب الأساسي موضوع الدرس: أنظمة عدم المساواة المنطقية. إجمالي عدد الساعات المخصصة لدراسة الموضوع هو 4 ساعات. مكان الدرس في نظام الدروس حول موضوع الدرس رقم 2 ؛ رقم 3 ؛ رقم 4. الغرض من الدرس: تعليم الطلاب تكوين أنظمة عدم المساواة ، وكذلك تعليمهم كيفية حل الأنظمة الجاهزة التي اقترحها مؤلف الكتاب المدرسي. أهداف الدرس: لتكوين المهارات: لحل أنظمة التفاوتات بشكل تحليلي بحرية ، وكذلك القدرة على نقل الحل إلى خط الإحداثيات من أجل تسجيل الإجابة بشكل صحيح ، والعمل بشكل مستقل مع المادة المعينة. النتائج المخططة: يجب أن يكون الطلاب قادرين على حل الأنظمة الجاهزة ، وكذلك تكوين أنظمة عدم المساواة وفقًا لشرط النص للمهام وحل النموذج المجمع. الدعم الفني للدرس: UMK: ALGEBRA-9KLASS، A.G. مردكوفيتش. سيميونوف. مصنف ، وجهاز عرض للعد الشفوي ، ومطبوعات لمهام إضافية للطلاب الأقوياء. دعم منهجي وتعليمي إضافي للدرس (روابط لمصادر الإنترنت ممكنة): 1. كتيب N.N. Khlevnyuk، M.V. إيفانوفا ، في. إيفاشينكو ، إن إس. Melkova "تكوين المهارات الحسابية في دروس الرياضيات للصفوف 5-9" 2.G.G. Levitas "إملاء رياضي" للصفوف 7-11.3. ت. غولينا "محاكاة رياضية" 5-11 (4 مستويات من التعقيد) مدرس الرياضيات: زفيريفا ل. أهداف الدرس رقم 2: تنمية المهارات لحل نظام من عدم المساواة المنطقية باستخدام نتيجة حل التفسير الهندسي من أجل الوضوح. تقدم الدرس 1. اللحظة التنظيمية: إعداد الفصل للعمل ، والإبلاغ عن موضوع الدرس والغرض منه 11 التحقق من الواجب المنزلي 1. الجزء النظري: * ما هو التدوين التحليلي لعدم المساواة العقلانية * ما هو التدوين التحليلي لنظام عدم المساواة العقلانية * ماذا يعني حل نظام عدم المساواة * ما هي نتيجة حل نظام من عدم المساواة العقلانية. 2. الجزء العملي: * حل المهام على السبورة التي تسببت في صعوبات للطلاب. في سياق أداء الواجب البيتي II1 تمارين الأداء. 1. كرر طرق تحليل كثير الحدود. 2. كرر طريقة الفاصل عند حل المتباينات. 3. حل النظام. يقود الحل طالب قوي على السبورة تحت سيطرة المعلم. 1) حل المتباينة 3 س - 10> 5 س - 5 ؛ 3x - 5x> - 5 + 10 ؛ - 2x> 5 ؛ X< – 2,5. 2) Решим неравенство х2 + 5х + 6 < 0; Найдём корни данного трёхчлена х2 + 5х + 6 = 0; D = 1; х1=-3 х2 = – 2; тогда квадратный трёхчлен разложим по корням (х + 3)(х + 2) < 0. Имеем – 3 <х< – 2. 3) Найдем решение системы неравенств, для этого вынесим оба решения на одну числовую прямую. Вывод: решения совпали на промежутке от-3 до - 2,5(произошло перекрытие штриховок) О т в е т: – 3 <х< – 2,5. 4. Решить № 4.9 (б) самостоятельно споследующей проверкой. О т в е т: нет решений. 5.Повторяем теорему о квадратном трехчлене с отрицательным и положительным дискриминантом. Решаем №4.10(г) 1) Решим неравенство – 2х2 + 3х – 2 < 0; Найдём корни – 2х2 + 3х – 2 = 0; D = 9 – 16 = = – 7 < 0. По теореме неравенство верно при любых значениях х. 2) Решим неравенство –3(6х – 1) – 2х<х; – 18х + 3 – 2х<х; – 20х – х<< – 3; – 21х<– 3; 3) х>حل نظام عدم المساواة هذا x> الإجابة: x> 6. حل الرقم 4.10 (c) على السبورة وفي أجهزة الكمبيوتر المحمولة. لنحل المتباينة 5x2 - 2x + 1 ≤ 0. 5x2 - 2x + 1 = 0؛ د = 4 - 20 = -16< 0. По теореме неравенство не имеет решений, а это значит, что данная система не имеет решений. О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.11 (в) самостоятельно. Один учащийся решает на доске, другие в тетрадях, потом проверяется решение. в) 1) Решим неравенство 2х2 + 5х + 10 >0. 2x2 + 5x + 10 = 0 ؛ د = -55< 0. По теореме неравенство верно при всех значениях х.-любое число 2) Решим неравенство х2 ≥ 16; х2 – 16 ≥ 0; (х – 4)(х + 4) ≥ 0; х = 4; х = – 4. Решение х ≤ –4 их ≥ 4. Объединяем решения двух неравенств в систему 3) Решение системы неравенств являются два неравенства О т в е т: х ≤ – 4; х ≥ 4. 8. Решить № 4.32 (б) на доске и в тетрадях. Решение Наименьшее целое число равно –2; наибольшее целое число равно 6. О т в е т: –2; 6. 9. Повторение ранее изученного материала. 1) Решить № 4.1 (а; -г) 4.2(а-г) на с. 25 устно. 2) Решить графически уравнение Строим графики функций y = –1 – x. О т в е т: –2. III. Итоги урока. 1. В курсе алгебры 9 класса мы будем рассматривать только системы из двух неравенств. 2. Если в системе из нескольких неравенств с одной переменной одно неравенство не имеет решений, то и система не имеет решений. 3. Если в системе из двух неравенств с одной переменной одно неравенство выполняется при любых значениях переменной, то решением системы служит решение второго неравенства системы. Домашнее задание: рассмотреть по учебнику решение примеров 4 и 5 на с. 44–47 и записать решение в тетрадь; решить № 4.9 (а; в), № 4.10 (а; б), № 4.11 (а; б), № 4.13 (а;б). . У р о к 3 Цели: Научить учащихся при решении двойных неравенств и нахождении области определения выражений, составлять системы неравенств и решать их, а также научить решать системы содержащих модули; Ход урока 1.Организационный момент: Настрой класса на работу, сообщение темы и цели урока 1I. Проверка домашнего задания. 1. Проверить выборочно у нескольких учащихся выполнение ими домашнего задания. 2. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся. 3. Устно решить № 4.2 (б) и № 4.1 (г). 4.Устная вычислительная работа: Вычисли рациональным способом: а)53,76*(-7.9) -53,76 *2,1 б) -0,125*32.6*(-8) в) Выразим указанную переменную из заданной формулы: 2a= ,y=? II. Объяснение нового материала. 1. Двойное неравенство можно решить двумя способами: а) сведением к системе двух неравенств; б) без системы неравенств с помощью преобразований. 2. Решить двойное неравенство № 4.15 (в) двумя способами. а) сведением к системе двух неравенств; I с п о с о б Решение – 2 <х< – 1. О т в е т: (– 2; – 1). б) без системы неравенств с помощью преобразований II с п о с о б 6 < – 6х< 12 | : (– 6) – 1 >x> - 2 ، ثم - 2< х < – 1. О т в е т: (– 2; – 1). 3. Решить № 4.16 (б; в). I с п о с о б сведением к системе двух неравенств; б) – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2. Решим систему неравенств: О т в е т: II с п о с о б без системы неравенств с помощью преобразований – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2; прибавим к каждой части неравенства число (– 1), получим – 3 ≤ – 2х ≤ 1; разделим на (– 2), тогда в) – 3 << 1. Умножим каждую часть неравенства на 2, получим – 6 < 5х + 2 < 2. Решим систему неравенств: О т в е т: – 1,6 <х< 0. III. Выполнение упражнений. 1. Решить № 4.18 (б) и № 4.19 (б) на доске и в тетрадях. 2. Решить № 4.14 (в) методом интервалов. в) 1) х2 – 9х + 14 < 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 7)(х – 2) < 0; х = 7; х = 2 Решение 2<х< 7. 2) х2 – 7х – 8 ≤ 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 8)(х + 1) ≤ 0; х = 8; х = – 1 Решение – 1 ≤ х ≤ 8. Соединим решения каждого неравенства на одной прямой т.е. создадим геометрическую модель. та часть прямой где произошло пересечение решений есть конечный результат О т в е т: 2 <х< 7. 4) Решить № 4.28 (в) самостоятельно с проверкой. в) Решим систему неравенств составленную из подкоренных выражений. 1) (х – 2)(х – 3) ≥ 0; х = 2; х = 3 Решение х ≤ 2 и х ≥ 3. 2) (5 – х)(6 – х) ≥ 0; – 1(х – 5) · (– 1)(х – 6) ≥ 0; (х – 5)(х – 6) ≥ 0 х = 5; х = 6 Решение х ≤ 5 и х ≥ 6. 3) О т в е т: х ≤ 2, 3 ≤ х ≤ 5, х ≥ 6. 5. Решение систем неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. Решить № 4.34 (в; г). Учитель объясняет решение в) 1) | х + 5 | < 3 находим точку где модуль обращается в 0 х = -5 Решение – 8 <х< – 2. 2) | х – 1 | ≥ 4 находим точку где модуль обращается в 0 х = 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ 5. Соединили решения каждого неравенства в единую модель 3) О т в е т: – 8 <х ≤ 3. г) 1) | х – 3 | < 5; Решение – 2 <х< 8. 2) | х + 2 | ≥ 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ – 1. 3) О т в е т: –1 ≤ х< 8. 6. Решить № 4.31 (б). Учащиеся решают самостоятельно. Один ученик решает на доске, остальные в тетрадях, затем проверяется решение. б) Решение Середина промежутка О т в е т: 7. Решить № 4.38 (а; б). Учитель на доске с помощью числовой прямой показывает решение данного упражнения, привлекая к рассуждениям учащихся. О т в е т: а) р< 3; р ≥ 3; б) р ≤ 7; р>7. 8. تكرار مادة سبق دراستها. حل # 2.33. اجعل السرعة الأولية لراكب الدراجة x km / h ، بعد أن تقلص أصبحت (x - 3) km / h. 15x - 45 + 6x = 1.5x (x - 3) ؛ 21x - 45 = 1.5x2 - 4.5x ؛ 1.5 × 2 - 25.5 × + 45 = 0 | : 1.5 ؛ ثم x2 - 17x + 30 = 0 ؛ د = 169 ؛ س 1 = 15 ؛ x2 = 2 لا تفي بمعنى المشكلة. الجواب: 15 كم / ساعة ؛ 12 كم / ساعة. رابعًا: خاتمة الدرس: تعلمنا في الدرس حل أنظمة عدم المساواة من النوع المعقد ، خاصة مع وحدة نمطية ، جربنا أيدينا في عمل مستقل. وضع العلامات. الواجب البيتي: عمل اختبار الواجب البيتي رقم 1 من رقم 7 الى رقم 10 ص. 32-33 ، رقم 4.34 (أ ؛ ب) ، رقم 4.35 (أ ؛ ب). الدرس 4 التحضير للاختبار الأهداف: لتلخيص وتنظيم المواد المدروسة ، وإعداد الطلاب للاختبار حول موضوع "أنظمة عدم المساواة العقلانية". تقدم الدرس 1. اللحظة التنظيمية: إعداد الفصل للعمل ، والإبلاغ عن الموضوع والغرض من درس. 11. تكرار المادة المدروسة. * ماذا يعني حل نظام عدم المساواة * ما هي نتيجة حل نظام من عدم المساواة العقلانية 1. جمع المنشورات مع الواجب المنزلي المكتمل. 2. ما هي القواعد المستخدمة لحل عدم المساواة؟ اشرح حل المتباينات: أ) 3 س - 8<х + 2; б) 7(х – 1) ≥ 9х + 3. 3. Сформулируйте теорему для квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом. Устно решите неравенства: а) х2 + 2х + 11 >0 ؛ ب) - 2x2 + x - 5> 0 ؛ ج) 3x2 - x + 4 0. 4. صِغ تعريف نظام من المتباينات بمتغيرين. ماذا يعني حل نظام من عدم المساواة؟ 5. ما هي طريقة الفواصل المستخدمة بشكل فعال في حل المتباينات المنطقية؟ اشرح هذا بمثال لحل المتباينة: (2x - 4) (3 - x) ≥ 0؛ أنا 11. تمارين تدريبية. 1. حل المتباينة: أ) 12 (1 - س) ≥ 5x - (8x + 2) ؛ ب) - 3 × 2 + 17 × + 6< 0; в) 2. Найдите область определения выражения. а) f(х) = 12 + 4х – х2 ≥ 0; – х2 + 4х + 12 ≥ 0 | · (– 1); х2 – 4х – 12 ≤ 0; D = 64; х1 = 6; х2 = – 2; (х – 6)(х + 2) ≤ 0 О т в е т: – 2 ≤ х ≤ 6 или [– 2; 6]. б) f(х)= х2 + 2х + 14 ≥ 0; D< 0. По теореме о квадратном трехчлене с отрицательным дискриминантом имеемх – любое число. О т в е т: множество решений или (– ∞; ∞). 2. Решите двойное неравенство и укажите, если возможно, наибольшее и наименьшее целое решение неравенства Р е ш е н и е Умножим каждую часть неравенства на 5, получим 0 – 5 < 3 – 8х ≤ 15; – 8 < – 8х ≤ 12; – 1,5 ≤ х< 1. Наибольшее целое число 0, наименьшее целое число (– 1). О т в е т: 0; – 1. 4. Решить № 76 (б) на доске и в тетрадях. б) Р е ш е н и е Для нахождения области определения выражения решим систему неравенств 1) х = х = 5. Решение ≤х< 5. 2) Решение х< 3,5 и х ≥ 4. 3) О т в е т: ≤х< 3,5 и 4 ≤ х< 5. 5. Найти область определения выражения. а) f(х) = б) f(х) = а) О т в е т: – 8 <х ≤ – 5; х ≥ – 3. б) О т в е т: х ≤ – 3; – 2 <х ≤ 4. 6. Решить систему неравенств (самостоятельно). Р е ш е н и е Выполнив преобразования каждого из неравенств системы, получим: О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.40*. Решение объясняет учитель. Если р = 2, то неравенство примет вид 2х + 4 >0 ، x> - 2. هذا لا يتوافق مع المهمة أ) أو المهمة ب). ومن ثم ، يمكننا أن نفترض أن p 2 ، أي أن المتباينة المعطاة مربعة. أ) عدم المساواة التربيعية بالصيغة ax2 + bx + c> 0 ليس لها حلول إذا أ< 0, D< 0. Имеем D = (р – 4)2 – 4(р – 2)(3р – 2) = – 11р2 + 24р. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р< 0. б) Квадратное неравенство вида ах2 + bх + с>يتم تنفيذ 0 لأي من قيم x ، إذا كانت a> 0 و D< 0. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р>رابعا. نتائج الدرس. من الضروري مراجعة جميع المواد المدروسة في المنزل والاستعداد للاختبار. الواجب المنزلي: رقم 1.21 (ب ؛ د) ، رقم 2.15 (ج ؛ د) ؛ رقم 4.14 (د) ، رقم 4.28 (د) ؛ رقم 4.19 (أ) ، رقم 4.33 (د).

  
  

  نستمر في الخوض في موضوع "حل عدم المساواة بمتغير واحد". نحن نعرف بالفعل المتباينات الخطية والتباينات التربيعية. هم حالات خاصة. عدم المساواة العقلانيةالتي سوف ندرسها الآن. لنبدأ باكتشاف نوع المتباينات التي تسمى عقلانية. بعد ذلك ، سنتعامل مع تقسيمهم الفرعي إلى عدد صحيح من المتباينات المنطقية والكسرية. وبعد ذلك سوف ندرس كيفية تنفيذ حل المتباينات المنطقية بمتغير واحد ، ونكتب الخوارزميات المقابلة وننظر في حلول الأمثلة النموذجية مع التفسيرات التفصيلية.

  التنقل في الصفحة.

  ما هي عدم المساواة العقلانية؟

  في المدرسة ، في دروس الجبر ، بمجرد ظهور المحادثة حول حل التفاوتات ، يحدث لقاء عدم المساواة العقلانية على الفور. ومع ذلك ، في البداية لم يتم تسميتهم بأسمائهم الصحيحة ، لأنه في هذه المرحلة تكون أنواع عدم المساواة ذات أهمية قليلة ، والهدف الرئيسي هو اكتساب المهارات الأولية في التعامل مع عدم المساواة. تم تقديم مصطلح "عدم المساواة العقلانية" في وقت لاحق في الصف التاسع ، عندما تبدأ دراسة تفصيلية لعدم المساواة من هذا النوع المعين.

  لنكتشف ما هي المتباينات المنطقية. هنا التعريف:

  في التعريف الصوتي ، لا يذكر أي شيء عن عدد المتغيرات ، مما يعني أن أي عدد منها مسموح به. بناءً على ذلك ، يتم تمييز المتباينات العقلانية مع واحد ، اثنين ، إلخ. المتغيرات. بالمناسبة ، يقدم الكتاب المدرسي تعريفًا مشابهًا ، ولكن للتفاوتات العقلانية بمتغير واحد. هذا أمر مفهوم ، لأن المدرسة تركز على حل التفاوتات بمتغير واحد (أدناه ، سنتحدث أيضًا فقط عن حل التفاوتات العقلانية بمتغير واحد). المتباينات بمتغيرينيتم أخذ القليل في الاعتبار ، وعدم المساواة التي تحتوي على ثلاثة متغيرات أو أكثر لا يتم الاهتمام بها على الإطلاق.

  لذلك ، يمكن التعرف على المتباينة المنطقية من خلال التدوين الخاص بها ، لذلك يكفي النظر إلى التعابير الموجودة على جانبيها الأيمن والأيسر والتأكد من أنها تعبيرات منطقية. تسمح لنا هذه الاعتبارات بإعطاء أمثلة على عدم المساواة العقلانية. على سبيل المثال x> 4 ، x 3 +2 y≤5 (y 1) (x 2 +1)، هي متباينات عقلانية. وعدم المساواة ليس عقلانيًا ، لأن جانبه الأيسر يحتوي على متغير تحت علامة الجذر ، وبالتالي فهو ليس تعبيرًا منطقيًا. كما أن عدم المساواة ليست عقلانية ، لأن كلا الجزأين ليسا تعبيرات عقلانية.

  لتسهيل المزيد من الوصف ، نقدم التقسيم الفرعي لعدم المساواة المنطقية إلى عدد صحيح وكسور.

  تعريف.

  سيتم استدعاء عدم المساواة العقلانية كامل، إذا كان كلا أجزائه عبارة عن تعبيرات منطقية عدد صحيح.

  تعريف.

  عدم المساواة المنطقية الكسريةهي متباينة عقلانية ، جزء واحد منها على الأقل عبارة عن تعبير كسري.

  لذا 0.5 × 3 (2−5 ص) ، هي متباينات عدد صحيح ، و 1: x + 3> 0 و - عقلاني كسري.

  الآن لدينا فهم واضح لماهية المتباينات المنطقية ، ويمكننا أن نبدأ بأمان في التعامل مع مبادئ حل المتباينات المنطقية الكسرية مع متغير واحد.

  حل متباينات الأعداد الصحيحة

  دعنا نضع المهمة لأنفسنا: دعنا نحتاج إلى حل عدد صحيح من المتباينة المنطقية بمتغير واحد x من الصورة r (x) ، ≥) ، حيث r (x) و s (x) هي بعض التعبيرات المنطقية الصحيحة. لحلها ، سنستخدم تحويلات مكافئة لعدم المساواة.

  نقوم بنقل التعبير من الطرف الأيمن إلى اليسار ، وهو ما سيقودنا إلى متباينة مكافئة للصيغة r (x) - s (x)<0 (≤, >، ≥) مع صفر على اليمين. من الواضح أن التعبير r (x) −s (x) ، المكون على الجانب الأيسر ، هو أيضًا عدد صحيح ، ومن المعروف أن أي تعبير. بعد تحويل التعبير r (x) −s (x) إلى كثير الحدود المتساوي h (x) (هنا نلاحظ أن التعبيرات r (x) −s (x) و h (x) لها نفس المتغير x) ، نمرر إلى المتباينة المكافئة h (x)<0 (≤, >, ≥).

  في أبسط الحالات ، ستكون التحويلات التي تم إجراؤها كافية للحصول على الحل المطلوب ، لأنها ستقودنا من المتباينة المنطقية الأصلية إلى متباينة يمكننا حلها ، على سبيل المثال ، إلى خطي أو مربع واحد. ضع في اعتبارك الأمثلة.

  مثال.

  أوجد حلًا لكامل المتباينة المنطقية x · (x + 3) + 2 · x≤ (x + 1) 2 +1.

  المحلول.

  أولاً ، ننقل التعبير من الجانب الأيمن إلى اليسار: x (x + 3) +2 x− (x + 1) 2 −1≤0. بعد أن قمنا بكل شيء في الطرف الأيسر ، نصل إلى المتباينة الخطية 3 · x − 2≤0 ، والتي تعادل متباينة الأعداد الصحيحة الأصلية. حله ليس عسيرًا:
  3 × 2 ،
  × 2/3.

  إجابه:

  × 2/3.

  مثال.

  حل المتباينة (x 2 +1) 2 3 x 2> (x 2 - x) (x 2 + x).

  المحلول.

  نبدأ كالمعتاد بتحريك التعبير من الجانب الأيمن ، ثم نقوم بإجراء تحويلات على الجانب الأيسر باستخدام:
  (x 2 +1) 2 −3 x 2 - (x 2 - x) (x 2 + x)> 0,
  x 4 +2 x 2 + 1−3 x 2 x 4 + x 2> 0,
  1>0 .

  لذلك ، عند إجراء تحويلات مكافئة ، توصلنا إلى المتباينة 1> 0 ، وهذا صحيح لأي قيم للمتغير x. وهذا يعني أن حل متباينة الأعداد الصحيحة الأصلية هو أي عدد حقيقي.

  إجابه:

  س - أي.

  مثال.

  حل المتباينة x + 6 + 2 x 3 2 x (x 2 + x − 5)> 0.

  المحلول.

  يوجد صفر في الجانب الأيمن ، لذا لا داعي لنقل أي شيء منه. دعنا نحول التعبير كله على الجانب الأيسر إلى كثير الحدود:
  x + 6 + 2 x 3 2 x 3 2 x 2 +10 x> 0,
  −2 x 2 +11 x + 6> 0.

  لقد حصلنا على متباينة تربيعية ، والتي تعادل المتباينة الأصلية. نحن نحلها بأي طريقة معروفة لنا. سنحل المتباينة التربيعية بيانيًا.

  أوجد جذور المثلث التربيعي −2 x 2 +11 x + 6:
  

  نصنع رسمًا تخطيطيًا نحدد عليه الأصفار التي تم العثور عليها ، ونأخذ في الاعتبار أن فروع القطع المكافئ موجهة إلى الأسفل ، لأن المعامل الرئيسي سالب:
  

  نظرًا لأننا نحل المتباينة بعلامة> ، فإننا مهتمون بالفترات التي يقع فيها القطع المكافئ فوق المحور x. يحدث هذا في الفترة الزمنية (−0.5، 6) ، وهو الحل المطلوب.

  إجابه:

  (−0,5, 6) .

  في الحالات الأكثر تعقيدًا ، على الجانب الأيسر من المتباينة الناتجة h (x)<0 (≤, >، ≥) ستكون كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة أو أعلى. لحل مثل هذه المتباينات ، فإن طريقة الفاصل الزمني مناسبة ، وفي الخطوة الأولى ستحتاج إلى إيجاد جميع جذور كثير الحدود h (x) ، والذي يتم غالبًا من خلاله.

  مثال.

  أوجد حلًا لكامل المتباينة المنطقية (x 2 +2) (x + 4)<14−9·x .

  المحلول.

  دعنا ننتقل كل شيء إلى الجانب الأيسر ، وبعد ذلك هناك و:
  (س 2 +2) (س + 4) 14 + 9 س<0 ,
  x 3 +4 x 2 +2 x + 8−14 + 9 x<0 ,
  × 3 +4 × 2 +11 × 6<0 .

  تقودنا التلاعبات التي تم إجراؤها إلى عدم المساواة التي تعادل المتباينة الأصلية. على الجانب الأيسر كثير الحدود من الدرجة الثالثة. يمكن حلها باستخدام طريقة الفاصل الزمني. للقيام بذلك ، عليك أولاً إيجاد جذور كثير الحدود التي تقع على x 3 +4 x 2 +11 x − 6 = 0. دعنا نكتشف ما إذا كانت لها جذور عقلانية ، والتي يمكن أن تكون فقط من بين قواسم المصطلح الحر ، أي من بين الأعداد ± 1 ، ± 2 ، ± 3 ، ± 6. بالتناوب مع هذه الأرقام بدلاً من المتغير x في المعادلة x 3 +4 x 2 +11 x − 6 = 0 ، نجد أن جذور المعادلة هي الأرقام 1 و 2 و 3. هذا يسمح لنا بتمثيل كثير الحدود x 3 +4 x 2 +11 x − 6 كمنتج (x − 1) (x − 2) (x − 3) ، وعدم المساواة x 3 +4 x 2 +11 x− 6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.

  وبعد ذلك يبقى تنفيذ الخطوات القياسية لطريقة الفاصل: تحديد النقاط على خط الأعداد بالإحداثيات 1 و 2 و 3 ، والتي تقسم هذا الخط إلى أربع فترات ، وتحديد العلامات ووضعها ، ورسم الفقس على الفواصل بعلامة ناقص (نظرًا لأننا نحل مشكلة عدم المساواة بعلامة<) и записать ответ.
  

  من أين لدينا (−∞ ، 1) ∪ (2 ، 3).

  إجابه:

  (−∞, 1)∪(2, 3) .

  وتجدر الإشارة إلى أنه في بعض الأحيان يكون غير عملي من عدم المساواة r (x) - s (x)<0 (≤, >، ≥) مرر إلى المتباينة h (x)<0 (≤, >، ≥) ، حيث h (x) هي كثيرة الحدود من الدرجة أكبر من اثنين. ينطبق هذا على الحالات التي يكون فيها تحليل متعدد الحدود h (x) أكثر صعوبة من تمثيل التعبير r (x) - s (x) كمنتج للقيم ذات الحدين الخطي وثلاثية الحدود المربعة ، على سبيل المثال ، عن طريق وضع العامل المشترك بين أقواس. دعنا نشرح هذا بمثال.

  مثال.

  حل المتباينة (× 2 2 × − 1) (× 2 19) ≥2 × (× 2 × 2 × − 1).

  المحلول.

  هذه عدم مساواة كاملة. إذا قمنا بتحريك التعبير من جانبه الأيمن إلى الجانب الأيسر ، ثم فتحنا الأقواس وجلبنا الحدود المتشابهة ، نحصل على المتباينة × 4 −4 × 3 16 × 2 +40 × + 19≥0. حلها صعب للغاية ، لأنه يتضمن إيجاد جذور كثيرة الحدود من الدرجة الرابعة. من السهل التحقق من عدم وجود جذور عقلانية لها (يمكن أن تكون الأرقام 1 أو -1 أو 19 أو -19) ، ومن الصعب البحث عن جذورها الأخرى. لذلك ، هذا الطريق هو طريق مسدود.

  لنبحث عن حلول أخرى ممكنة. من السهل ملاحظة أنه بعد نقل التعبير من الطرف الأيمن لمتباينة العدد الصحيح الأصلي إلى الطرف الأيسر ، يمكننا أخذ العامل المشترك x 2 −2 x −1 من الأقواس:
  (× 2 −2 × − 1) (× 2 −19) −2 × (× 2 −2 × − 1) ≥0,
  (س 2 −2 س − 1) (س 2 2 س − 19) ≥0.

  التحويل الذي تم إجراؤه مكافئ ، لذا فإن حل المتباينة الناتجة سيكون هو حل المتباينة الأصلية.

  والآن يمكننا إيجاد أصفار التعبير الواقع على الجانب الأيسر من المتباينة الناتجة ، لذلك نحتاج إلى x 2 −2 x − 1 = 0 و x 2 −2 x − 19 = 0. جذورهم أعداد . هذا يسمح لنا بالمرور إلى متباينة مكافئة ، ويمكننا حلها بطريقة الفترة:
  

  وفقًا للرسم ، نكتب الإجابة.

  إجابه:

  في ختام هذه الفقرة ، أود فقط أن أضيف أنه ليس من الممكن دائمًا العثور على جميع جذور كثير الحدود h (x) ، ونتيجة لذلك ، قم بتوسيعها إلى منتج ذي حدين خطي وثلاثيات حدود مربعة. في هذه الحالات ، لا توجد طريقة لحل المتباينة h (x)<0 (≤, >، ≥) ، مما يعني أنه لا توجد طريقة لإيجاد حل للمعادلة المنطقية الكاملة الأصلية.

  حل المتباينات الكسرية المنطقية

  لنتعامل الآن مع حل مثل هذه المشكلة: دعنا نطلب حل متباينة جزئية بمتغير واحد x من الصورة r (x) ، ≥) ، حيث r (x) و s (x) هي بعض التعبيرات المنطقية ، وواحد منها على الأقل كسري. دعنا نعطي على الفور خوارزمية لحلها ، وبعد ذلك سنقدم التفسيرات اللازمة.

  خوارزمية لحل متباينة جزئيةمع متغير واحد r (x) , ≥):

  • أولًا ، عليك إيجاد مدى القيم المقبولة (ODV) للمتغير x للمتباينة الأصلية.
  • بعد ذلك ، تحتاج إلى نقل التعبير من الجانب الأيمن من المتباينة إلى اليسار ، وتحويل التعبير r (x) - s (x) المكون هناك إلى شكل كسر p (x) / q (x) ، حيث p (x) و q (x) عبارة عن تعبيرات أعداد صحيحة ناتجة عن قيم ذات حدين خطي ، وثلاثيات حدود مربعة غير قابلة للتحلل وقوى ذات أس طبيعي.
  • بعد ذلك ، تحتاج إلى حل المتباينة الناتجة بطريقة الفواصل.
  • أخيرًا ، من الحل الذي تم الحصول عليه في الخطوة السابقة ، من الضروري استبعاد النقاط التي لم يتم تضمينها في DPV للمتغير x للمتباينة الأصلية ، والتي تم العثور عليها في الخطوة الأولى.

  وبالتالي ، سيتم الحصول على الحل المطلوب للتفاوت المنطقي الكسري.

  تتطلب الخطوة الثانية من الخوارزمية بعض الشرح. نقل التعبير من الطرف الأيمن للمتراجحة إلى اليسار يعطي المتراجحة r (x) −s (x)<0 (≤, >، ≥) ، وهو ما يعادل الأصل. كل شيء واضح هنا. لكن الأسئلة تثار من خلال تحولها الإضافي إلى النموذج p (x) / q (x)<0 (≤, >, ≥).

  السؤال الأول هو: "هل من الممكن دائما القيام بذلك"؟ من الناحية النظرية ، نعم. نحن نعلم أن كل شيء ممكن. بسط ومقام الكسر الكسري متعدد الحدود. ومن النظرية الأساسية للجبر ونظرية بيزوت ، يترتب على ذلك أن أي متعدد الحدود من الدرجة n مع متغير واحد يمكن تمثيله كمنتج ذو الحدين الخطي. وهذا ما يفسر إمكانية إجراء هذا التحول.

  من الناحية العملية ، من الصعب تحليل كثيرات الحدود ، وإذا كانت درجتها أعلى من الرابعة ، فلن يكون ذلك ممكنًا دائمًا. إذا كان التحليل إلى عوامل مستحيلة ، فلن تكون هناك طريقة لإيجاد حل لعدم المساواة الأصلية ، ولكن مثل هذه الحالات لا تحدث عادة في المدرسة.

  السؤال الثاني: هل المتباينة p (x) / q (x)<0 (≤, >، ≥) تساوي عدم المساواة r (x) −s (x)<0 (≤, >، ≥) ، وبالتالي أيضًا الأصل "؟ يمكن أن تكون إما مكافئة أو غير متكافئة. يكون مكافئًا عندما يكون ODZ للتعبير p (x) / q (x) هو نفسه ODZ للتعبير r (x) −s (x). في هذه الحالة ، ستكون الخطوة الأخيرة من الخوارزمية زائدة عن الحاجة. لكن DPV للتعبير p (x) / q (x) قد يكون أوسع من DPV للتعبير r (x) −s (x). يمكن أن يحدث تمدد ODZ عندما يتم تقليل الكسور ، على سبيل المثال ، عند الانتقال من ل . أيضًا ، يمكن تسهيل توسيع منطقة ODZ من خلال تقليل المصطلحات المماثلة ، كما هو الحال ، على سبيل المثال ، في الانتقال من ل . في هذه الحالة ، فإن الخطوة الأخيرة من الخوارزمية مقصودة ، والتي تقضي على الحلول الخارجية الناشئة عن توسيع ODZ. دعنا نراقب هذا عندما نحلل أدناه حلول الأمثلة.

  نشأ مفهوم عدم المساواة الرياضية في العصور القديمة. حدث هذا عندما كان الشخص البدائي بحاجة إلى مقارنة عددهم وحجمهم عند العد والإجراءات مع أشياء مختلفة. منذ العصور القديمة ، تم استخدام التفاوتات في تفكيرهم من قبل أرخميدس وإقليدس وعلماء مشهورين آخرين: علماء الرياضيات والفلك والمصممين والفلاسفة.

  لكنهم ، كقاعدة عامة ، استخدموا المصطلحات اللفظية في أعمالهم. لأول مرة ، تم اختراع الإشارات الحديثة التي تشير إلى مفهومي "أكثر" و "أقل" بالشكل الذي يعرفه كل تلميذ اليوم ووضعت موضع التنفيذ في إنجلترا. قدم عالم الرياضيات توماس هاريوت مثل هذه الخدمة للأحفاد. وقد حدث ذلك منذ حوالي أربعة قرون.

  هناك أنواع عديدة من عدم المساواة. من بينها بسيطة ، تحتوي على متغير واحد أو متغيرين أو أكثر ، نسب مربعة ، جزئية ، معقدة ، وحتى يتم تمثيلها بواسطة نظام من التعبيرات. ولفهم كيفية حل عدم المساواة ، من الأفضل استخدام أمثلة مختلفة.

  لا تفوت القطار

  بادئ ذي بدء ، تخيل أن أحد سكان منطقة ريفية في عجلة من أمره إلى محطة السكة الحديد التي تقع على مسافة 20 كيلومترًا من قريته. حتى لا يفوتك القطار الذي يغادر الساعة 11:00 ، يجب عليه مغادرة المنزل في الوقت المحدد. في أي وقت يتم ذلك إذا كانت سرعة حركته 5 كم / ساعة؟ يتم تقليل حل هذه المهمة العملية لاستيفاء شروط التعبير: 5 (11 - X) ≥ 20 ، حيث X هو وقت المغادرة.

  هذا أمر مفهوم ، لأن المسافة التي يحتاج القروي للتغلب عليها إلى المحطة تساوي سرعة الحركة مضروبة في عدد الساعات على الطريق. يمكن لأي شخص أن يصل في وقت مبكر ، لكنه لا يمكن أن يتأخر. بمعرفة كيفية حل التفاوتات ، وتطبيق مهاراتنا عمليًا ، سنحصل في النهاية على X ≤ 7 ، وهي الإجابة. هذا يعني أن على القروي أن يذهب إلى محطة السكة الحديد في الساعة السابعة صباحًا أو قبل ذلك بقليل.

  عدد الفجوات على خط الإحداثيات

  الآن دعنا نتعرف على كيفية تعيين العلاقات الموصوفة على المتباينة التي تم الحصول عليها أعلاه ليست صارمة. هذا يعني أن المتغير يمكن أن يأخذ قيمًا أقل من 7 ، ويمكن أن يكون مساويًا لهذا الرقم. دعنا نعطي أمثلة أخرى. للقيام بذلك ، ضع في اعتبارك الأرقام الأربعة أدناه.

  

  في أولها يمكنك رؤية تمثيل رسومي للفاصل الزمني [-7 ؛ 7]. يتكون من مجموعة من الأرقام الموجودة على خط الإحداثيات وتقع بين -7 و 7 ، بما في ذلك الحدود. في هذه الحالة ، تظهر النقاط على الرسم البياني كدوائر مملوءة ، ويتم تسجيل الفاصل الزمني باستخدام

  الشكل الثاني هو تمثيل رسومي لعدم المساواة الصارمة. في هذه الحالة ، لا يتم تضمين أرقام الحدود -7 و 7 ، الموضحة بنقطتين مثقوبة (غير مملوءة) ، في المجموعة المحددة. ويتم تسجيل الفترة نفسها بين قوسين على النحو التالي: (-7 ؛ 7).

  أي بعد معرفة كيفية حل عدم المساواة من هذا النوع ، وبعد تلقي إجابة مماثلة ، يمكننا أن نستنتج أنها تتكون من أرقام تقع بين الحدود المدروسة ، باستثناء -7 و 7. يجب تقييم الحالتين التاليتين بطريقة مماثلة. يوضح الشكل الثالث صور الفجوات (-∞ ؛ -7] U

  دعنا الآن نعقد المهمة قليلاً ولا نفكر فقط في كثيرات الحدود ، ولكن ما يسمى بالكسور المنطقية في النموذج:

  حيث $ P \ left (x \ right) $ و $ Q \ left (x \ right) $ هي نفس كثيرات الحدود للصيغة $ ((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + ( (أ) _ (n-1)) ((x) ^ (n-1)) + ... + ((a) _ (0)) $ ، أو منتج كثيرات الحدود.

  سيكون هذا عدم مساواة عقلانية. النقطة الأساسية هي وجود المتغير $ x $ في المقام. على سبيل المثال ، فيما يلي عدم المساواة المنطقية:

  \ [\ start (محاذاة) & \ frac (x-3) (x + 7) \ lt 0 ؛ \\ & \ frac (\ يسار (7x + 1 \ يمين) \ يسار (11x + 2 \ يمين)) (13x-4) \ ge 0 ؛ \\ & \ frac (3 ((x) ^ (2)) + 10x + 3) (((\ left (3-x \ right)) ^ (2)) \ left (4 - ((x) ^ ( 2)) \ right)) \ ge 0. \\ \ end (align) \]

  وهذه ليست متباينة عقلانية ، ولكنها المتباينة الأكثر شيوعًا ، والتي يتم حلها بطريقة الفترة:

  \ [\ frac (((x) ^ (2)) + 6x + 9) (5) \ ge 0 \]

  بالنظر إلى المستقبل ، سأقول على الفور: هناك طريقتان على الأقل لحل المتباينات المنطقية ، ولكن يتم اختزالهما جميعًا بطريقة أو بأخرى إلى طريقة الفترات التي نعرفها بالفعل. لذلك ، قبل تحليل هذه الأساليب ، دعونا نتذكر الحقائق القديمة ، وإلا فلن يكون هناك معنى من المادة الجديدة.

  ما تحتاج إلى معرفته بالفعل

  لا توجد حقائق مهمة كثيرة. نحتاج حقًا إلى أربعة فقط.

  صيغ الضرب المختصرة

  نعم ، نعم: سوف يطاردوننا طوال مناهج الرياضيات المدرسية. وفي الجامعة أيضًا. يوجد عدد غير قليل من هذه الصيغ ، لكننا نحتاج فقط إلى ما يلي:

  \ [\ start (align) & ((a) ^ (2)) \ pm 2ab + ((b) ^ (2)) = ((\ left (a \ pm b \ right)) ^ (2)) ؛ \\ & ((a) ^ (2)) - ((b) ^ (2)) = \ left (a-b \ right) \ left (a + b \ right) ؛ \\ & ((أ) ^ (3)) + ((ب) ^ (3)) = \ يسار (أ + ب \ يمين) \ يسار (((أ) ^ (2)) - أب + ((ب) ^ (2)) حق) ؛ \\ & ((a) ^ (3)) - ((b) ^ (3)) = \ left (ab \ right) \ left (((a) ^ (2)) + ab + ((b) ^ ( 2)) \ حق). \\ \ end (محاذاة) \]

  انتبه للصيغتين الأخيرتين - هذه هي مجموع المكعبات وفرقها (وليس مكعب المجموع أو الفرق!). يسهل تذكرها إذا لاحظت أن الإشارة الموجودة في القوس الأول هي نفس العلامة الموجودة في التعبير الأصلي ، وفي القوس الثاني تكون هذه إشارة عكس الإشارة الموجودة في التعبير الأصلي.

  المعادلات الخطية

  هذه أبسط المعادلات بالصيغة $ ax + b = 0 $ ، حيث $ a $ و $ b $ أرقام عادية ، و $ a \ ne 0 $. هذه المعادلة سهلة الحل:

  \ [\ تبدأ (محاذاة) & الفأس + ب = 0 ؛ \\ & الفأس = -ب ؛ \\ & x = - \ frac (ب) (أ). \\ \ end (محاذاة) \]

  ألاحظ أن لدينا الحق في القسمة على المعامل $ a $ ، لأن $ a \ ne 0 $. هذا المطلب منطقي تمامًا ، نظرًا لأن $ a = 0 $ نحصل على هذا:

  أولاً ، لا يوجد متغير $ x $ في هذه المعادلة. هذا ، بشكل عام ، لا ينبغي أن يربكنا (يحدث هذا ، على سبيل المثال ، في الهندسة ، وفي كثير من الأحيان) ، لكن ما زلنا لم نعد معادلة خطية.

  ثانيًا ، يعتمد حل هذه المعادلة فقط على المعامل $ b $. إذا كان $ b $ صفرًا أيضًا ، فإن معادلتنا هي $ 0 = 0 $. هذه المساواة دائما صحيحة. ومن ثم ، فإن $ x $ هو أي رقم (يُكتب عادةً كـ $ x \ in \ mathbb (R) $). إذا كان المعامل $ b $ لا يساوي الصفر ، فإن المساواة $ b = 0 $ لن تتحقق أبدًا ، أي لا توجد إجابات (كتبت $ x \ في \ varnothing $ واقرأ "مجموعة الحلول فارغة").

  لتجنب كل هذه التعقيدات ، نفترض ببساطة $ a \ ne 0 $ ، والذي لا يمنعنا بأي شكل من الأشكال من المزيد من الانعكاسات.

  المعادلات التربيعية

  دعني أذكرك أن هذا يسمى المعادلة التربيعية:

  هنا على اليسار توجد كثيرة حدود من الدرجة الثانية ، ومرة ​​أخرى $ a \ ne 0 $ (وإلا ، فبدلاً من المعادلة التربيعية ، نحصل على واحدة خطية). يتم حل المعادلات التالية من خلال المميز:

  1. إذا $ D \ gt 0 $ ، نحصل على جذرين مختلفين ؛
  2. إذا كان $ D = 0 $ ، فسيكون الجذر واحدًا ، ولكن من التعددية الثانية (ما هو نوع التعددية وكيفية أخذها في الاعتبار - المزيد حول ذلك لاحقًا). أو يمكننا القول أن المعادلة لها جذران متطابقان ؛
  3. بالنسبة إلى $ D \ lt 0 $ ، لا توجد جذور على الإطلاق ، وعلامة كثير الحدود $ a ((x) ^ (2)) + bx + c $ لأي $ x $ تتطابق مع علامة المعامل $ a $. هذه ، بالمناسبة ، حقيقة مفيدة للغاية ، والتي لسبب ما يتم نسيانها في دروس الجبر.

  يتم حساب الجذور نفسها وفقًا للصيغة المعروفة:

  \ [((x) _ (1،2)) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \]

  ومن ثم ، بالمناسبة ، القيود المفروضة على التمييز. بعد كل شيء ، الجذر التربيعي لعدد سالب غير موجود. بالنسبة للجذور ، يعاني العديد من الطلاب من فوضى رهيبة في رؤوسهم ، لذلك سجلت درسًا كاملاً بشكل خاص: ما هو الجذر في الجبر وكيفية حسابه - أوصي بشدة بقراءته. :)

  العمليات ذات الكسور النسبية

  كل ما كتب أعلاه ، أنت تعرف بالفعل ما إذا كنت قد درست طريقة الفواصل الزمنية. لكن ما سنحلله الآن ليس له نظائر في الماضي - هذه حقيقة جديدة تمامًا.

  تعريف. الكسر الكسري هو تعبير عن الصورة

  \ [\ فارك (ف \ يسار (س \ يمين)) (س \ يسار (س \ يمين)) \]

  حيث $ P \ left (x \ right) $ و $ Q \ left (x \ right) $ هي كثيرة الحدود.

  من الواضح أنه من السهل الحصول على عدم مساواة من هذا الكسر - يكفي فقط أن ننسب العلامة "أكبر من" أو "أقل من" إلى اليمين. وبعد ذلك بقليل سنجد أن حل مثل هذه المشكلات أمر ممتع ، كل شيء بسيط للغاية هناك.

  تبدأ المشاكل عندما يكون هناك العديد من هذه الكسور في تعبير واحد. يجب اختزالها إلى قاسم مشترك - وفي هذه اللحظة يتم ارتكاب عدد كبير من الأخطاء الهجومية.

  لذلك ، من أجل حل المعادلات المنطقية بنجاح ، من الضروري إتقان مهارتين:

  1. تحليل كثير الحدود $ P \ left (x \ right) $؛
  2. في الواقع ، تحويل الكسور إلى قاسم مشترك.

  كيفية تحليل كثير الحدود؟ بسيط جدا. دعونا نحصل على كثير الحدود من النموذج

  دعونا نساويها بالصفر. نحصل على معادلة الدرجة $ n $:

  \ [((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + ((a) _ (n-1)) ((x) ^ (n-1)) + ... + (( أ) _ (1)) x + ((أ) _ (0)) = 0 \]

  لنفترض أننا حللنا هذه المعادلة وحصلنا على الجذور $ ((x) _ (1)) ، \ ... ، \ ((x) _ (n)) $ (لا تقلق: في معظم الحالات لن يكون هناك أكثر من اثنين من هذه الجذور). في هذه الحالة ، يمكن إعادة كتابة كثير الحدود الأصلي كما يلي:

  \ [\ start (align) & P \ left (x \ right) = ((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + ((a) _ (n-1)) ((x ) ^ (n-1)) + ... + ((a) _ (1)) x + ((a) _ (0)) = \\ & = ((a) _ (n)) \ left (x - ((x) _ (1)) \ right) \ cdot \ left (x - ((x) _ (2)) \ right) \ cdot ... \ cdot \ left (x - ((x) _ ( n)) \ right) \ end (محاذاة) \]

  هذا كل شئ! يرجى ملاحظة: المعامل الرئيسي $ ((a) _ (n)) $ لم يختف في أي مكان - سيكون عاملاً منفصلاً أمام الأقواس ، وإذا لزم الأمر ، يمكن إدراجه في أي من هذه الأقواس (عروض الممارسة أنه مع $ ((a) _ (n)) \ ne \ pm 1 $ ، هناك دائمًا كسور بين الجذور).

  مهمة. تبسيط التعبير:

  \ [\ frac (((x) ^ (2)) + x-20) (x-4) - \ frac (2 ((x) ^ (2)) - 5x + 3) (2x-3) - \ frac (4-8x-5 ((x) ^ (2))) (x + 2) \]

  المحلول. أولاً ، لنلقِ نظرة على القواسم: جميعها ذات حدين خطي ، ولا يوجد شيء يمكن تحليله هنا. فلنعمل على تحليل البسط إلى عوامل:

  \ [\ start (align) & ((x) ^ (2)) + x-20 = \ left (x + 5 \ right) \ left (x-4 \ right) ؛ \\ & 2 ((x) ^ (2)) - 5x + 3 = 2 \ left (x- \ frac (3) (2) \ right) \ left (x-1 \ right) = \ left (2x- 3 \ يمين \ يسار (س -1 \ يمين) ؛ \\ & 4-8x-5 ((x) ^ (2)) = - 5 \ left (x + 2 \ right) \ left (x- \ frac (2) (5) \ right) = \ left (x +2 \ يمين) \ يسار (2-5x \ يمين). \\\ end (محاذاة) \]

  يرجى ملاحظة: في كثير الحدود الثاني ، ظهر المعامل الأقدم "2" ، بالتوافق التام مع مخططنا ، أولاً أمام القوس ، ثم تم تضمينه في القوس الأول ، حيث ظهر الكسر هناك.

  حدث الشيء نفسه في كثير الحدود الثالث ، فقط هناك خلط أيضًا في ترتيب المصطلحات. ومع ذلك ، انتهى الأمر بإدراج المعامل "−5" في القوس الثاني (تذكر: يمكنك إدخال عامل في شريحة واحدة فقط!) ، مما وفر لنا الإزعاج المرتبط بالجذور الكسرية.

  بالنسبة إلى كثير الحدود الأول ، كل شيء بسيط هناك: يتم البحث عن جذوره إما بالطريقة القياسية من خلال المميز ، أو باستخدام نظرية فييتا.

  دعنا نعود إلى التعبير الأصلي ونعيد كتابته مع تحليل البسط إلى عوامل:

  \ [\ start (matrix) \ frac (\ left (x + 5 \ right) \ left (x-4 \ right)) (x-4) - \ frac (\ left (2x-3 \ right) \ left ( x-1 \ right)) (2x-3) - \ frac (\ left (x + 2 \ right) \ left (2-5x \ right)) (x + 2) = \\ = \ left (x + 5 \ يمين) - \ يسار (x-1 \ يمين) - \ يسار (2-5x \ يمين) = \\ = x + 5-x + 1-2 + 5x = \\ = 5x + 4. \\ نهاية (مصفوفة) \]

  الجواب: $ 5x + 4 $.

  كما ترون ، لا شيء معقد. القليل من رياضيات الصف السابع إلى الثامن وهذا كل شيء. الهدف من كل التحولات هو تحويل تعبير معقد ومخيف إلى شيء بسيط وسهل التعامل معه.

  ومع ذلك ، لن يكون هذا هو الحال دائمًا. لذا سننظر الآن في مشكلة أكثر خطورة.

  لكن أولًا ، لنتعرف على كيفية تقريب كسرين إلى مقام مشترك. الخوارزمية بسيطة للغاية:

  1. حلل كلا المقامين إلى عوامل ؛
  2. ضع في اعتبارك المقام الأول وأضف إليه العوامل الموجودة في المقام الثاني ، ولكن ليس في المقام الأول. سيكون الناتج الناتج هو القاسم المشترك ؛
  3. اكتشف العوامل التي يفتقر إليها كل من الكسور الأصلية حتى تصبح المقامات مساوية للعدد المشترك.

  ربما ستبدو لك هذه الخوارزمية مجرد نص يحتوي على "الكثير من الأحرف". لذلك دعونا نلقي نظرة على مثال محدد.

  مهمة. تبسيط التعبير:

  \ [\ يسار (\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3) ) -8) - \ frac (1) (x-2) \ right) \ cdot \ left (\ frac (((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - \ فارك (2) (2-س) \ يمين) \]

  المحلول. من الأفضل حل هذه المهام الضخمة في أجزاء. دعنا نكتب ما هو موجود في القوس الأول:

  \ [\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3)) - 8 ) - \ فارك (1) (س -2) \]

  على عكس المشكلة السابقة ، هنا القواسم ليست بهذه البساطة. دعونا نحلل كل واحد منهم.

  لا يمكن تحليل المثلث التربيعي $ ((x) ^ (2)) + 2x + 4 $ لأن المعادلة $ ((x) ^ (2)) + 2x + 4 = 0 $ ليس لها جذور (المميز سالب) . نتركه دون تغيير.

  المقام الثاني ، المكعب متعدد الحدود $ ((x) ^ (3)) - 8 $ ، عند الفحص الدقيق هو الفرق بين المكعبات ويمكن تحللها بسهولة باستخدام صيغ الضرب المختصرة:

  \ [((x) ^ (3)) - 8 = ((x) ^ (3)) - ((2) ^ (3)) = \ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right) \]

  لا يمكن تحليل أي شيء آخر ، لأن القوس الأول يحتوي على خطي ذي الحدين ، والثاني عبارة عن بناء مألوف لنا بالفعل ، وليس له جذور حقيقية.

  أخيرًا ، المقام الثالث هو خطي ذو حدين لا يمكن أن يتحلل. وبالتالي ، ستأخذ معادلتنا الشكل:

  \ [\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (\ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right)) - \ frac (1) (x-2) \]

  من الواضح تمامًا أن $ \ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right) $ سيكون المقام المشترك ، ولتقليل كل الكسور إليه ، أنت تحتاج إلى ضرب الكسر الأول في $ \ left (x-2 \ right) $ ، والأخير في $ \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right) $. ثم يبقى فقط إحضار ما يلي:

  \ [\ start (matrix) \ frac (x \ cdot \ left (x-2 \ right)) (\ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ يمين)) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (\ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right)) - \ frac (1 \ cdot \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right)) (\ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x +4 \ right)) = \\ = \ frac (x \ cdot \ left (x-2 \ right) + \ left (((x) ^ (2)) + 8 \ right) - \ left (((x ) ^ (2)) + 2x + 4 \ right)) (\ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right)) = \\ = \ frac (((x) ^ (2)) - 2x + ((x) ^ (2)) + 8 - ((x) ^ (2)) - 2x-4) (\ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right)) = \\ = \ frac (((x) ^ (2)) - 4x + 4) (\ left (x-2 \ right) \ يسار (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right)). \\ نهاية (مصفوفة) \]

  انتبه إلى السطر الثاني: عندما يكون المقام شائعًا بالفعل ، أي بدلاً من ثلاثة كسور منفصلة ، كتبنا واحدًا كبيرًا ، يجب ألا تتخلص من الأقواس على الفور. من الأفضل كتابة سطر إضافي مع ملاحظة أنه ، على سبيل المثال ، كان هناك سالب قبل الكسر الثالث - ولن يتم نقله إلى أي مكان ، ولكنه "يتدلى" في البسط أمام القوس. سيوفر لك هذا الكثير من الأخطاء.

  حسنًا ، من المفيد تحليل البسط في السطر الأخير. علاوة على ذلك ، هذا مربع دقيق ، وتساعدنا صيغ الضرب المختصرة مرة أخرى. لدينا:

  \ [\ frac (((x) ^ (2)) - 4x + 4) (\ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right)) = \ frac (((\ left (x-2 \ right)) ^ (2))) (\ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right) ) = \ frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \]

  الآن دعونا نتعامل مع القوس الثاني بنفس الطريقة. سأكتب هنا ببساطة سلسلة من المساواة:

  \ [\ start (matrix) \ frac (((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - \ frac (2) (2-x) = \ frac ((( x) ^ (2))) (\ left (x-2 \ right) \ left (x + 2 \ right)) - \ frac (2) (2-x) = \\ = \ frac (((x) ^ (2))) (\ left (x-2 \ right) \ left (x + 2 \ right)) + \ frac (2) (x-2) = \\ = \ frac (((x) ^ ( 2)) (\ يسار (x-2 \ يمين) \ يسار (x + 2 \ يمين)) + \ فارك (2 \ cdot \ يسار (x + 2 \ يمين)) (\ يسار (x-2 \ يمين) ) \ cdot \ left (x + 2 \ right)) = \\ = \ frac (((x) ^ (2)) + 2 \ cdot \ left (x + 2 \ right)) (\ left (x-2) \ يمين) \ يسار (س + 2 \ يمين)) = \ فارك (((س) ^ (2)) + 2 س + 4) (\ يسار (س -2 \ يمين) \ يسار (س + 2 \ يمين) ). \\ نهاية (مصفوفة) \]

  نعود إلى المشكلة الأصلية وننظر إلى المنتج:

  \ [\ frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \ cdot \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\ left (x-2) \ يمين) \ يسار (س + 2 \ يمين)) = \ فارك (1) (س + 2) \]

  الجواب: \ [\ frac (1) (x + 2) \].

  معنى هذه المشكلة هو نفسه السابق: لإظهار مقدار التعبيرات المنطقية التي يمكن تبسيطها إذا اقتربت من تحولها بحكمة.

  والآن ، عندما تعرف كل هذا ، دعنا ننتقل إلى الموضوع الرئيسي لدرس اليوم - حل المتباينات المنطقية الكسرية. علاوة على ذلك ، بعد هذا التحضير ، ستنقر التفاوتات نفسها مثل الجوز. :)

  الطريقة الرئيسية لحل عدم المساواة المنطقية

  هناك طريقتان على الأقل لحل التفاوتات المنطقية. الآن سننظر في واحد منهم - الذي يتم قبوله بشكل عام في دورة الرياضيات المدرسية.

  لكن أولاً ، دعنا نلاحظ تفاصيل مهمة. تنقسم جميع المتباينات إلى نوعين:

  1. صارم: $ f \ left (x \ right) \ gt 0 $ أو $ f \ left (x \ right) \ lt 0 $؛
  2. غير مقيد: $ f \ left (x \ right) \ ge 0 $ أو $ f \ left (x \ right) \ le 0 $.

  يتم تقليل عدم المساواة من النوع الثاني بسهولة إلى النوع الأول وكذلك المعادلة:

  هذه "الإضافة" الصغيرة $ f \ left (x \ right) = 0 $ تؤدي إلى شيء مزعج مثل النقاط الممتلئة - لقد قابلناهم مرة أخرى في طريقة الفاصل الزمني. خلاف ذلك ، لا توجد فروق بين عدم المساواة الصارمة وغير الصارمة ، لذلك دعونا نحلل الخوارزمية العامة:

  1. اجمع كل العناصر غير الصفرية في أحد جانبي علامة المتباينة. على سبيل المثال ، على اليسار ؛
  2. أحضر جميع الكسور إلى قاسم مشترك (إذا كان هناك العديد من هذه الكسور) ، أحضر كسورًا متشابهة. ثم ، إذا أمكن ، حلل العوامل في البسط والمقام. بطريقة أو بأخرى ، نحصل على متباينة بالصيغة $ \ frac (P \ left (x \ right)) (Q \ left (x \ right)) \ vee 0 $ ، حيث العلامة هي علامة عدم المساواة.
  3. يساوي البسط بالصفر: $ P \ left (x \ right) = 0 $. نحل هذه المعادلة ونحصل على الجذور $ ((x) _ (1)) $، $ ((x) _ (2)) $، $ ((x) _ (3)) $، ... ثم نطلب أن المقام لا يساوي الصفر: $ Q \ left (x \ right) \ ne 0 $. بالطبع ، من حيث الجوهر ، علينا حل المعادلة $ Q \ left (x \ right) = 0 $ ، ونحصل على الجذور $ x_ (1) ^ (*) $ ، $ x_ (2) ^ (*) $، $ x_ (3) ^ (*) $، ... (في المشاكل الحقيقية لن يكون هناك أكثر من ثلاثة جذور).
  4. نقوم بتمييز كل هذه الجذور (سواء كانت بها علامات نجمية أو بدونها) على خط رقم واحد ، ويتم رسم الجذور التي لا تحتوي على نجوم ، ويتم ثقب الجذور التي لا تحتوي على نجوم.
  5. نضع علامتي الجمع والطرح ، ونحدد الفترات التي نحتاجها. إذا كانت المتباينة بالصيغة $ f \ left (x \ right) \ gt 0 $ ، فإن الإجابة ستكون الفواصل الزمنية المميزة بعلامة "plus". إذا كان $ f \ left (x \ right) \ lt 0 $ ، فإننا ننظر إلى الفواصل الزمنية باستخدام "سالب".

  تبين الممارسة أن النقطتين 2 و 4 تسببان أكبر الصعوبات - التحولات المختصة والترتيب الصحيح للأرقام بترتيب تصاعدي. حسنًا ، في الخطوة الأخيرة ، كن حذرًا للغاية: فنحن دائمًا نضع إشارات بناءً على آخر متباينة مكتوبة قبل الانتقال إلى المعادلات. هذه قاعدة عالمية موروثة من طريقة الفاصل الزمني.

  لذا ، هناك مخطط. لنتمرن.

  مهمة. حل المتباينة:

  \ [\ frac (x-3) (x + 7) \ lt 0 \]

  المحلول. لدينا تفاوت صارم بالصيغة $ f \ left (x \ right) \ lt 0 $. من الواضح أن النقطتين 1 و 2 من مخططنا قد اكتملت بالفعل: تم جمع جميع عناصر عدم المساواة على اليسار ، ولا داعي لاختزال أي شيء إلى قاسم مشترك. فلننتقل إلى النقطة الثالثة.

  اضبط البسط على صفر:

  \ [\ start (محاذاة) & x-3 = 0 ؛ \\ & x = 3. \ نهاية (محاذاة) \]

  والمقام:

  \ [\ تبدأ (محاذاة) & س + 7 = 0 ؛ \\ & ((x) ^ (*)) = - 7. \\ \ end (محاذاة) \]

  في هذا المكان ، يتعثر العديد من الأشخاص ، لأنه من الناحية النظرية تحتاج إلى كتابة $ x + 7 \ ne 0 $ ، كما هو مطلوب بواسطة ODZ (لا يمكنك القسمة على صفر ، هذا كل شيء). ولكن بعد كل شيء ، سنقوم في المستقبل باستخلاص النقاط التي جاءت من المقام ، لذلك لا ينبغي لك تعقيد حساباتك مرة أخرى - اكتب علامة المساواة في كل مكان ولا تقلق. لن يقوم أحد بخصم نقاط مقابل ذلك. :)

  النقطة الرابعة. نحتفل بالجذور التي تم الحصول عليها على خط الأعداد:

  يتم ثقب جميع النقاط لأن عدم المساواة صارم

  ملحوظة: يتم ثقب جميع النقاط لأن المتباينة الأصلية صارمة. وهنا لم يعد الأمر مهمًا: هذه النقاط جاءت من البسط أو من المقام.

  حسنًا ، انظر إلى العلامات. خذ أي رقم $ ((x) _ (0)) \ gt 3 $. على سبيل المثال ، $ ((x) _ (0)) = 100 $ (ولكن يمكنك أيضًا أخذ $ ((x) _ (0)) = 3.1 $ أو $ ((x) _ (0)) = 1 \ 000 \ 000 $). نحن نحصل:

  إذن ، على يمين كل الجذور لدينا مساحة موجبة. وعند المرور عبر كل جذر ، تتغير العلامة (لن يكون هذا هو الحال دائمًا ، ولكن المزيد عن ذلك لاحقًا). لذلك ننتقل إلى النقطة الخامسة: نضع الإشارات ونختار العلامة الصحيحة:

  

  نعود إلى المتباينة الأخيرة ، والتي كانت قبل حل المعادلات. في الواقع ، إنه يتطابق مع الأصل ، لأننا لم نجري أي تحولات في هذه المهمة.

  نظرًا لأنه من الضروري حل متباينة بالصيغة $ f \ left (x \ right) \ lt 0 $ ، فقد قمت بتظليل الفاصل $ x \ in \ left (-7؛ 3 \ right) $ - إنه الوحيد ملحوظ بعلامة ناقص. هذا هو الجواب.

  الإجابة: $ x \ in \ left (-7؛ 3 \ right) $

  هذا كل شئ! هل هي صعبة؟ لا ، هذا ليس بالأمر الصعب. في الواقع ، كانت مهمة سهلة. دعونا الآن نعقد المهمة قليلاً ونفكر في عدم مساواة أكثر "خيالية". عند حلها ، لن أقدم مثل هذه الحسابات التفصيلية - سأقوم ببساطة بتحديد الخطوط العريضة للنقاط الرئيسية. بشكل عام ، سوف نرتبها بالطريقة التي كنا سنقوم بها في عمل أو امتحان مستقل. :)

  مهمة. حل المتباينة:

  \ [\ frac (\ يسار (7x + 1 \ يمين) \ يسار (11x + 2 \ يمين)) (13x-4) \ ge 0 \]

  المحلول. هذه متباينة غير صارمة بالصيغة $ f \ left (x \ right) \ ge 0 $. يتم جمع جميع العناصر غير الصفرية على اليسار ، ولا توجد قواسم مختلفة. دعنا ننتقل إلى المعادلات.

  البسط:

  \ [\ start (align) & \ left (7x + 1 \ right) \ left (11x + 2 \ right) = 0 \\ & 7x + 1 = 0 \ rightarrow ((x) _ (1)) = - \ فارك (1) (7) ؛ \\ & 11x + 2 = 0 \ Rightarrow ((x) _ (2)) = - \ frac (2) (11). \\ \ end (محاذاة) \]

  المقام - صفة مشتركة - حالة:

  \ [\ start (محاذاة) & 13x-4 = 0 ؛ \\ & 13x = 4 ؛ \\ & ((x) ^ (*)) = \ frac (4) (13). \\ \ end (محاذاة) \]

  لا أعرف أي نوع من الانحراف الذي شكل هذه المشكلة ، لكن الجذور لم تظهر بشكل جيد: سيكون من الصعب ترتيبها على خط الأعداد. وإذا كان كل شيء أكثر أو أقل وضوحًا مع الجذر $ ((x) ^ (*)) = (4) / (13) \؛ $ (هذا هو الرقم الموجب الوحيد - سيكون على اليمين) ، إذن $ ((x) _ (1)) = - (1) / (7) \؛ $ and $ ((x) _ (2)) = - (2) / (11) \؛ $ تتطلب مزيدًا من الدراسة: أيهما أكبر؟

  يمكنك معرفة ذلك ، على سبيل المثال:

  \ [((x) _ (1)) = - \ frac (1) (7) = - \ frac (2) (14) \ gt - \ frac (2) (11) = ((x) _ (2 )) \]

  آمل ألا تكون هناك حاجة لشرح سبب الكسر الرقمي $ - (2) / (14) \؛ \ gt - (2) / (11) \؛ $؟ إذا لزم الأمر ، أوصي بتذكر كيفية تنفيذ الإجراءات مع الكسور.

  ونحدد الجذور الثلاثة على خط الأعداد:

  النقاط من البسط مظللة ، من المقام مقطوعة

  نضع اللافتات. على سبيل المثال ، يمكنك أن تأخذ $ ((x) _ (0)) = 1 $ وتكتشف العلامة في هذه المرحلة:

  \ [\ start (align) & f \ left (x \ right) = \ frac (\ left (7x + 1 \ right) \ left (11x + 2 \ right)) (13x-4) ؛ \\ & f \ left (1 \ right) = \ frac (\ left (7 \ cdot 1 + 1 \ right) \ left (11 \ cdot 1 + 2 \ right)) (13 \ cdot 1-4) = \ frac (8 \ cdot 13) (9) \ gt 0. \\\ end (محاذاة) \]

  كانت آخر متباينة قبل المعادلات هي $ f \ left (x \ right) \ ge 0 $ ، لذلك نحن مهتمون بعلامة الجمع.

  

  لدينا مجموعتان: الأولى قطعة عادية ، والأخرى عبارة عن شعاع مفتوح على خط الأعداد.

  الإجابة: $ x \ in \ left [- \ frac (2) (11)؛ - \ frac (1) (7) \ right] \ bigcup \ left (\ frac (4) (13)؛ + \ infty \ right ) $

  ملاحظة مهمة حول الأعداد التي نستبدلها لإيجاد العلامة الموجودة في أقصى اليمين. ليس من الضروري استبدال رقم قريب من الجذر الموجود في أقصى اليمين. يمكنك أن تأخذ المليارات أو حتى "زائد اللانهاية" - في هذه الحالة ، يتم تحديد علامة كثير الحدود في القوس أو البسط أو المقام فقط من خلال علامة المعامل الأول.

  دعنا نلقي نظرة أخرى على الدالة $ f \ left (x \ right) $ من المتباينة الأخيرة:

  يحتوي على ثلاث كثيرات الحدود:

  \ [\ start (align) & ((P) _ (1)) \ left (x \ right) = 7x + 1 ؛ \\ & ((P) _ (2)) \ يسار (x \ يمين) = 11x + 2 ؛ \\ & Q \ يسار (x \ يمين) = 13x-4. \ نهاية (محاذاة) \]

  جميعها ذات حدين خطي ، وكلها لها معاملات موجبة (الأرقام 7 و 11 و 13). لذلك ، عند استبدال أعداد كبيرة جدًا ، ستكون كثيرات الحدود نفسها موجبة أيضًا. :)

  قد تبدو هذه القاعدة معقدة للغاية ، ولكن فقط في البداية ، عندما نحلل مشاكل سهلة للغاية. في التفاوتات الخطيرة ، فإن استبدال "زائد اللانهاية" سيسمح لنا باكتشاف العلامات بشكل أسرع بكثير من $ ((x) _ (0)) = 100 $ القياسي.

  سنواجه مثل هذه التحديات في القريب العاجل. لكن أولاً ، لنلقِ نظرة على طريقة بديلة لحل المتباينات المنطقية الكسرية.

  طريقة بديلة

  تم اقتراح هذه التقنية من قبل أحد طلابي. أنا شخصياً لم أستخدمه مطلقًا ، لكن الممارسة أظهرت أنه من الملائم حقًا للعديد من الطلاب حل عدم المساواة بهذه الطريقة.

  لذا ، فإن البيانات الأصلية هي نفسها. نحتاج إلى حل مشكلة عدم المساواة المنطقية الكسرية:

  \ [\ فارك (ف \ يسار (س \ يمين)) (س \ يسار (س \ يمين)) \ جي تي 0 \]

  لنفكر: لماذا كثير الحدود $ Q \ left (x \ right) $ "أسوأ" من كثير الحدود $ P \ left (x \ right) $؟ لماذا يتعين علينا التفكير في مجموعات منفصلة من الجذور (مع وبدون علامة النجمة) ، والتفكير في النقاط المثقوبة ، وما إلى ذلك؟ الأمر بسيط: الكسر له مجال تعريف ، والذي وفقًا له يكون الكسر منطقيًا فقط عندما يكون مقامه مختلفًا عن الصفر.

  بخلاف ذلك ، لا توجد فروق بين البسط والمقام: فنحن أيضًا نساويها بالصفر ، ونبحث عن الجذور ، ثم نضع علامة عليها على خط الأعداد. فلماذا لا تستبدل الشريط الكسري (في الواقع ، علامة القسمة) بالضرب المعتاد ، وتكتب جميع متطلبات DHS على أنها متباينة منفصلة؟ على سبيل المثال ، مثل هذا:

  \ [\ frac (P \ left (x \ right)) (Q \ left (x \ right)) \ gt 0 \ Rightarrow \ left \ (\ start (align) & P \ left (x \ right) \ cdot Q \ يسار (x \ يمين) \ gt 0 ، \\ & Q \ يسار (x \ يمين) \ ne 0. \\ \ end (محاذاة) \ يمين. \]

  يرجى ملاحظة: سيسمح لك هذا النهج بتقليل المشكلة إلى طريقة الفواصل الزمنية ، لكنه لن يعقد الحل على الإطلاق. بعد كل شيء ، على أي حال ، سنساوي $ متعدد الحدود $ Q \ left (x \ right) $ بالصفر.

  دعونا نرى كيف يعمل على المهام الحقيقية.

  مهمة. حل المتباينة:

  \ [\ frac (x + 8) (x-11) \ gt 0 \]

  المحلول. لذلك ، دعنا ننتقل إلى طريقة الفاصل الزمني:

  \ [\ frac (x + 8) (x-11) \ gt 0 \ Rightarrow \ left \ (\ start (align) & \ left (x + 8 \ right) \ left (x-11 \ right) \ gt 0 ، \\ & x-11 \ ne 0. \\ \ end (محاذاة) \ يمين. \]

  يتم حل المتباينة الأولى بشكل أساسي. فقط اضبط كل قوس على الصفر:

  \ [\ start (align) & x + 8 = 0 \ Rightarrow ((x) _ (1)) = - 8 ؛ \\ & x-11 = 0 \ Rightarrow ((x) _ (2)) = 11. \\ \ end (محاذاة) \]

  مع عدم المساواة الثانية ، كل شيء بسيط أيضًا:

  نحتفل بالنقطتين $ ((x) _ (1)) $ و $ ((x) _ (2)) $ على السطر الحقيقي. كلهم مثقوبون لأن عدم المساواة صارم:

  تبين أن النقطة الصحيحة تم ثقبها مرتين. هذا جيد.

  انتبه للنقطة $ x = 11 $. اتضح أنه "تم اقتلاعه مرتين": من ناحية ، قمنا بقطعه بسبب شدة عدم المساواة ، من ناحية أخرى ، بسبب المتطلبات الإضافية لـ ODZ.

  على أي حال ، ستكون مجرد نقطة مثقوبة. لذلك ، نضع إشارات للتباين $ \ left (x + 8 \ right) \ left (x-11 \ right) \ gt 0 $ - آخر علامة رأيناها قبل أن نبدأ في حل المعادلات:

  

  نحن مهتمون بالمناطق الموجبة ، حيث إننا نقوم بحل عدم المساواة على الشكل $ f \ left (x \ right) \ gt 0 $ ، وسنقوم بتلوينها. يبقى فقط لكتابة الإجابة.

  إجابه. $ x \ in \ left (- \ infty ؛ -8 \ right) \ bigcup \ left (11 ؛ + \ infty \ right) $

  باستخدام هذا الحل كمثال ، أود أن أحذرك من خطأ شائع بين الطلاب المبتدئين. وهي: لا تفتح الأقواس أبدًا في عدم المساواة! على العكس من ذلك ، حاول تحليل كل شيء - سيؤدي ذلك إلى تبسيط الحل وتوفير الكثير من المشاكل لك.

  الآن دعونا نجرب شيئًا أكثر صعوبة.

  مهمة. حل المتباينة:

  \ [\ frac (\ left (2x-13 \ right) \ left (12x-9 \ right)) (15x + 33) \ le 0 \]

  المحلول. هذه متباينة غير صارمة بالصيغة $ f \ left (x \ right) \ le 0 $ ، لذلك عليك هنا مراقبة النقاط المعبأة بعناية.

  دعنا ننتقل إلى طريقة الفاصل الزمني:

  \ [\ يسار \ (\ ابدأ (محاذاة) & \ يسار (2x-13 \ يمين) \ يسار (12x-9 \ يمين) \ يسار (15x + 33 \ يمين) \ le 0، \\ & 15x + 33 \ ني 0. \\ \ end (محاذاة) \ يمين. \]

  دعنا ننتقل إلى المعادلة:

  \ [\ start (align) & \ left (2x-13 \ right) \ left (12x-9 \ right) \ left (15x + 33 \ right) = 0 \\ & 2x-13 = 0 \ rightarrow ((x ) _ (1)) = 6.5 ؛ \\ & 12x-9 = 0 \ Rightarrow ((x) _ (2)) = 0.75 ؛ \\ & 15x + 33 = 0 \ Rightarrow ((x) _ (3)) = - 2،2. \\ \ end (محاذاة) \]

  نأخذ في الاعتبار المتطلبات الإضافية:

  نحتفل بجميع الجذور التي تم الحصول عليها على خط الأعداد:

  إذا تم ثقب نقطة ما وتم ملؤها في نفس الوقت ، فإنها تعتبر مثقوبة.

  مرة أخرى ، "تتداخل" نقطتان مع بعضهما البعض - وهذا أمر طبيعي ، وسيظل كذلك دائمًا. من المهم فقط أن نفهم أن النقطة التي تم تمييزها على أنها مثقوبة ومعبأة هي في الواقع نقطة مثقوبة. أولئك. "التلاعب" عمل أقوى من "التلوين".

  هذا منطقي تمامًا ، لأننا بالثقب نحدد النقاط التي تؤثر على إشارة الوظيفة ، لكن لا تشارك نفسها في الإجابة. وإذا توقف الرقم عن ملاءمتنا في وقت ما (على سبيل المثال ، لا يقع في ODZ) ، فإننا نحذفه من الاعتبار حتى نهاية المهمة.

  بشكل عام ، توقف عن التفلسف. نرتب العلامات ونرسم على تلك الفواصل الزمنية التي تم تمييزها بعلامة ناقص:

  

  إجابه. $ x \ in \ left (- \ infty؛ -2،2 \ right) \ bigcup \ left [0،75؛ 6،5 \ right] $.

  ومرة أخرى أردت أن ألفت انتباهكم إلى هذه المعادلة:

  \ [\ يسار (2x-13 \ يمين) \ يسار (12x-9 \ يمين) \ يسار (15x + 33 \ يمين) = 0 \]

  مرة أخرى: لا تفتح الأقواس في مثل هذه المعادلات! أنت فقط تجعل الأمر أكثر صعوبة على نفسك. تذكر: حاصل الضرب يساوي صفرًا عندما يكون أحد العوامل على الأقل صفرًا. وبالتالي ، فإن هذه المعادلة ببساطة "تنقسم" إلى عدة معادلات أصغر ، والتي قمنا بحلها في المسألة السابقة.

  مع مراعاة تعدد الجذور

  من خلال المشاكل السابقة ، من السهل أن نرى أن التفاوتات غير الصارمة هي الأكثر صعوبة ، لأنه يتعين عليك فيها تتبع النقاط الممتلئة.

  لكن هناك شر أكبر في العالم - هذه جذور متعددة في عدم المساواة. هنا من الضروري بالفعل عدم اتباع بعض النقاط المعبأة هناك - هنا قد لا تتغير علامة عدم المساواة فجأة عند المرور بهذه النقاط نفسها.

  لم نأخذ في الاعتبار أي شيء كهذا في هذا الدرس (على الرغم من أنه تمت مواجهة مشكلة مماثلة غالبًا في طريقة الفاصل الزمني). لذلك دعونا نقدم تعريفًا جديدًا:

  تعريف. جذر المعادلة $ ((\ left (x-a \ right)) ^ (n)) = 0 $ يساوي $ x = a $ ويسمى جذر $ n $ th.

  في الواقع ، لسنا مهتمين بشكل خاص بالقيمة الدقيقة للتعددية. الشيء الوحيد المهم هو ما إذا كان هذا الرقم $ n $ زوجي أو فردي. لأن:

  1. إذا كان $ x = a $ هو أحد جذر التعددية الزوجية ، فإن إشارة الدالة لا تتغير عند المرور بها ؛
  2. والعكس صحيح ، إذا كان $ x = a $ هو جذر تعدد فردي ، فإن إشارة الدالة ستتغير.

  هناك حالة خاصة لجذر التعدد الفردي هي جميع المشكلات السابقة التي تم أخذها في الاعتبار في هذا الدرس: حيث أن التعددية تساوي واحدًا في كل مكان.

  و كذلك. قبل أن نبدأ في حل المشكلات ، أود أن ألفت انتباهك إلى دقة واحدة تبدو واضحة للطالب المتمرس ، ولكنها تدفع العديد من المبتدئين إلى الذهول. يسمى:

  ينشأ جذر التعددية $ n $ فقط عندما يتم رفع التعبير بالكامل إلى هذه القوة: $ ((\ left (xa \ right)) ^ (n)) $ ، وليس $ \ left (((x) ^ (n) ) -أ حق) $.

  مرة أخرى: القوس $ ((\ left (xa \ right)) ^ (n)) $ يعطينا الجذر $ x = a $ من التعددية $ n $ ، لكن القوس $ \ left (((x) ^ ( n)) -a \ right) $ أو ، كما يحدث غالبًا ، $ (a - ((x) ^ (n))) $ يعطينا جذرًا (أو جذرين ، إذا كان $ n $ زوجيًا) من التعددية الأولى ، بغض النظر عن ما يساوي $ n $.

  قارن:

  \ [((\ left (x-3 \ right)) ^ (5)) = 0 \ Rightarrow x = 3 \ left (5k \ right) \]

  كل شيء واضح هنا: تم رفع القوس بالكامل إلى الأس الخامس ، لذا عند الخرج حصلنا على جذر الدرجة الخامسة. و الأن:

  \ [\ left (((x) ^ (2)) - 4 \ right) = 0 \ Rightarrow ((x) ^ (2)) = 4 \ Rightarrow x = \ pm 2 \]

  لدينا جذران ، لكن كلاهما لهما التعددية الأولى. أو هذا واحد آخر:

  \ [\ left (((x) ^ (10)) - 1024 \ right) = 0 \ Rightarrow ((x) ^ (10)) = 1024 \ Rightarrow x = \ pm 2 \]

  ولا تخلطوا بالدرجة العاشرة. الشيء الرئيسي هو أن 10 عدد زوجي ، لذلك لدينا جذرين عند الخرج ، وكلاهما لهما التعددية الأولى مرة أخرى.

  بشكل عام ، كن حذرا: التعدد يحدث فقط عندما تنطبق الدرجة على القوس بأكمله ، وليس فقط المتغير.

  مهمة. حل المتباينة:

  \ [\ frac (((x) ^ (2)) ((\ left (6-x \ right)) ^ (3)) \ left (x + 4 \ right)) (((\ left (x + 7 \ يمين)) ^ (5))) \ ge 0 \]

  المحلول. دعنا نحاول حلها بطريقة بديلة - من خلال الانتقال من الخاص إلى المنتج:

  \ [\ left \ (\ begin (align) & ((x) ^ (2)) ((\ left (6-x \ right)) ^ (3)) \ left (x + 4 \ right) \ cdot ( (\ left (x + 7 \ right)) ^ (5)) \ ge 0، \\ & ((\ left (x + 7 \ right)) ^ (5)) \ ne 0. \\ \ end (محاذاة )\الصحيح.\]

  نتعامل مع المتباينة الأولى باستخدام طريقة الفترة:

  \ [\ start (align) & ((x) ^ (2)) ((\ left (6-x \ right)) ^ (3)) \ left (x + 4 \ right) \ cdot ((\ left ( س + 7 \ يمين)) ^ (5)) = 0 ؛ \\ & ((x) ^ (2)) = 0 \ Rightarrow x = 0 \ left (2k \ right) ؛ \\ & ((\ left (6-x \ right)) ^ (3)) = 0 \ Rightarrow x = 6 \ left (3k \ right) ؛ \\ & x + 4 = 0 \ Rightarrow x = -4 ؛ \\ & ((\ left (x + 7 \ right)) ^ (5)) = 0 \ Rightarrow x = -7 \ left (5k \ right). \\ \ end (محاذاة) \]

  بالإضافة إلى ذلك ، نحل المتباينة الثانية. في الواقع ، لقد حللناها بالفعل ، ولكن حتى لا يجد المراجعون خطأ في الحل ، فمن الأفضل حلها مرة أخرى:

  \ [((\ left (x + 7 \ right)) ^ (5)) \ ne 0 \ Rightarrow x \ ne -7 \]

  لاحظ أنه لا توجد تعدد في المتباينة الأخيرة. بالفعل: ما الفرق الذي يحدثه كم مرة يتم شطب النقطة $ x = -7 $ على خط الأعداد؟ مرة واحدة على الأقل ، خمس مرات على الأقل - ستكون النتيجة هي نفسها: نقطة مثقوبة.

  دعنا نلاحظ كل شيء حصلنا عليه على خط الأعداد:

  

  كما قلت ، فإن $ x = -7 $ نقطة ستنتهي في النهاية. يتم ترتيب المضاعفات بناءً على حل المتباينة بطريقة المجال.

  يبقى وضع العلامات:

  

  بما أن النقطة $ x = 0 $ هي جذر لعدد متساوٍ من التعددية ، فإن الإشارة لا تتغير عند المرور بها. النقاط المتبقية لها تعدد فردي ، وكل شيء بسيط معها.

  إجابه. $ x \ in \ left (- \ infty ؛ -7 \ right) \ bigcup \ left [-4 ؛ 6 \ right] $

  انتبه إلى $ x = 0 $ مرة أخرى. بسبب التعددية المتساوية ، ينشأ تأثير مثير للاهتمام: كل شيء على يساره مرسوم ، إلى اليمين - أيضًا ، والنقطة نفسها مطلية بالكامل.

  نتيجة لذلك ، لا يلزم عزلها عند تسجيل الاستجابة. أولئك. ليس عليك كتابة شيء مثل $ x \ in \ left [-4؛ 0 \ right] \ bigcup \ left [0؛ 6 \ right] $ (على الرغم من أن هذه الإجابة ستكون صحيحة أيضًا رسميًا). بدلاً من ذلك ، نكتب على الفور $ x \ in \ left [-4؛ 6 \ right] $.

  هذه التأثيرات ممكنة فقط للجذور ذات التعددية. وفي المهمة التالية ، سنواجه "المظهر" العكسي لهذا التأثير. مستعد؟

  مهمة. حل المتباينة:

  \ [\ frac (((\ left (x-3 \ right)) ^ (4)) \ left (x-4 \ right)) (((\ left (x-1 \ right)) ^ (2)) \ يسار (7x-10 - ((x) ^ (2)) \ right)) \ ge 0 \]

  المحلول. هذه المرة سوف نتبع المخطط القياسي. اضبط البسط على صفر:

  \ [\ start (align) & ((\ left (x-3 \ right)) ^ (4)) \ left (x-4 \ right) = 0 ؛ \\ & ((\ left (x-3 \ right)) ^ (4)) = 0 \ Rightarrow ((x) _ (1)) = 3 \ left (4k \ right) ؛ \\ & x-4 = 0 \ Rightarrow ((x) _ (2)) = 4. \\ \ end (محاذاة) \]

  والمقام:

  \ [\ start (align) & ((\ left (x-1 \ right)) ^ (2)) \ left (7x-10 - ((x) ^ (2)) \ right) = 0 ؛ \\ & ((\ left (x-1 \ right)) ^ (2)) = 0 \ Rightarrow x_ (1) ^ (*) = 1 \ left (2k \ right) ؛ \\ & 7x-10 - ((x) ^ (2)) = 0 \ Rightarrow x_ (2) ^ (*) = 5 ؛ \ x_ (3) ^ (*) = 2. \\ \ end (محاذاة) \]

  نظرًا لأننا نحل متباينة غير صارمة بالصيغة $ f \ left (x \ right) \ ge 0 $ ، فسيتم اقتطاع جذور المقام (التي تحتوي على علامات نجمية) ، وسيتم رسم الجذور الموجودة في البسط. .

  

  نرتب العلامات ونضرب المناطق المميزة بعلامة "زائد":

  النقطة $ x = 3 $ معزولة. هذا جزء من الجواب

  قبل كتابة الإجابة النهائية ، ألق نظرة فاحصة على الصورة:

  1. النقطة $ x = 1 $ لها تعدد زوجي ، لكنها هي نفسها مثقوبة. لذلك ، يجب أن تكون معزولة في الإجابة: تحتاج إلى كتابة $ x \ in \ left (- \ infty؛ 1 \ right) \ bigcup \ left (1؛ 2 \ right) $ وليس $ x \ in \ يسار (- infty ؛ 2 \ يمين) $.
  2. النقطة $ x = 3 $ لها أيضًا تعدد زوجي ومظللة. يشير ترتيب العلامات إلى أن النقطة نفسها تناسبنا ، لكنها خطوة إلى اليسار واليمين - ونجد أنفسنا في منطقة لا تناسبنا بالتأكيد. تسمى هذه النقاط معزولة وتتم كتابتها على النحو التالي $ x \ in \ left \ (3 \ right \) $.

  نجمع كل القطع التي تم الحصول عليها في مجموعة مشتركة ونكتب الإجابة.

  الإجابة: $ x \ in \ left (- \ infty؛ 1 \ right) \ bigcup \ left (1؛ 2 \ right) \ bigcup \ left \ (3 \ right \) \ bigcup \ left [4 ؛ 5 \ right) $

  تعريف. حل المتباينة يعني ابحث عن مجموعة حلولها، أو إثبات أن هذه المجموعة فارغة.

  يبدو: ما الذي يمكن أن يكون غير مفهوم هنا؟ نعم ، حقيقة الأمر هي أنه يمكن تحديد المجموعات بطرق مختلفة. دعنا نعيد كتابة إجابة المشكلة الأخيرة:

  نقرأ حرفيا ما هو مكتوب. ينتمي المتغير "x" إلى مجموعة معينة ، يتم الحصول عليها من خلال الاتحاد (الرمز "U") المكون من أربع مجموعات منفصلة:

  • الفاصل $ \ left (- \ infty؛ 1 \ right) $ ، والذي يعني حرفيًا "كل الأرقام أقل من واحد ، لكن ليس الرقم نفسه" ؛
  • الفاصل الزمني هو $ \ left (1 ؛ 2 \ right) $ ، أي "كل الأرقام بين 1 و 2 ، لكن ليس الأرقام 1 و 2 نفسها" ؛
  • المجموعة $ \ left \ (3 \ right \) $ تتكون من رقم واحد - ثلاثة ؛
  • الفاصل الزمني $ \ left [4؛ 5 \ right) $ يحتوي على جميع الأرقام بين 4 و 5 ، زائد 4 نفسه ، لكن ليس 5.

  النقطة الثالثة ذات أهمية هنا. على عكس الفواصل الزمنية ، التي تحدد مجموعات لا نهائية من الأرقام وتشير فقط إلى حدود هذه المجموعات ، فإن المجموعة $ \ left \ (3 \ right \) $ تحدد بالضبط رقمًا واحدًا عن طريق التعداد.

  لفهم أننا ندرج الأرقام المحددة المضمنة في المجموعة (وليس وضع حدود أو أي شيء آخر) ، يتم استخدام الأقواس المتعرجة. على سبيل المثال ، الرمز $ \ left \ (1؛ 2 \ right \) $ يعني بالضبط "مجموعة تتكون من رقمين: 1 و 2" ، ولكن ليس مقطعًا من 1 إلى 2. لا تخلط بين هذه المفاهيم بأي حال من الأحوال .

  قاعدة الجمع بين التعددية

  حسنًا ، في نهاية درس اليوم ، القليل من الصفيح من بافل بيردوف. :)

  ربما يكون الطلاب اليقظون قد طرحوا على أنفسهم السؤال التالي: ماذا سيحدث إذا وجدت نفس الجذور في البسط والمقام؟ لذلك تعمل القاعدة التالية:

  تمت إضافة تعدد الجذور المتطابقة. دائما. حتى لو حدث هذا الجذر في كل من البسط والمقام.

  في بعض الأحيان يكون من الأفضل أن تقرر من أن تتحدث. لذلك نحل المشكلة التالية:

  مهمة. حل المتباينة:

  \ [\ frac (((x) ^ (2)) + 6x + 8) (\ left (((x) ^ (2)) - 16 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 9x + 14 \ right)) \ ge 0 \]

  \ [\ start (align) & ((x) ^ (2)) + 6x + 8 = 0 \\ & ((x) _ (1)) = - 2 ؛ \ ((x) _ (2)) = -4. \\ \ end (محاذاة) \]

  حتى الآن ، لا يوجد شيء مميز. اضبط المقام على صفر:

  \ [\ start (align) & \ left (((x) ^ (2)) - 16 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 9x + 14 \ right) = 0 \\ & ( (x) ^ (2)) - 16 = 0 \ Rightarrow x_ (1) ^ (*) = 4 ؛ \ x_ (2) ^ (*) = - 4 ؛ \\ & ((x) ^ (2)) + 9x + 14 = 0 \ Rightarrow x_ (3) ^ (*) = - 7 ؛ \ x_ (4) ^ (*) = - 2. \\ \ end (محاذاة) \]

  تم العثور على جذرين متطابقين: $ ((x) _ (1)) = - 2 $ و $ x_ (4) ^ (*) = - 2 $. كلاهما له التعددية الأولى. لذلك ، نستبدلها بجذر واحد $ x_ (4) ^ (*) = - 2 $ ، لكن مع تعدد 1 + 1 = 2.

  بالإضافة إلى ذلك ، هناك أيضًا جذور متطابقة: $ ((x) _ (2)) = - 4 $ و $ x_ (2) ^ (*) = - 4 $. هم أيضًا من التعددية الأولى ، لذلك يبقى فقط $ x_ (2) ^ (*) = - 4 $ من التعددية 1 + 1 = 2.

  يرجى ملاحظة ما يلي: في كلتا الحالتين ، تركنا الجذر "المقطوع" بالضبط ، وتخلصنا من الجذر "المطلي" من الاعتبار. لأنه حتى في بداية الدرس ، اتفقنا على ما يلي: إذا تم حفر نقطة ورسمها في نفس الوقت ، فلا نزال نعتبرها مثقوبة.

  نتيجة لذلك ، لدينا أربعة جذور ، وقد تم اقتلاعها جميعًا:

  \ [\ start (align) & x_ (1) ^ (*) = 4 ؛ \\ & x_ (2) ^ (*) = - 4 \ يسار (2 كيلو \ يمين) ؛ \\ & x_ (3) ^ (*) = - 7 ؛ \\ & x_ (4) ^ (*) = - 2 \ يسار (2 كيلو \ يمين). \\ \ end (محاذاة) \]

  نحتفل بها على خط الأعداد ، مع مراعاة التعدد:

  

  نضع اللافتات ونرسم فوق المناطق التي تهمنا:

  

  كل شئ. لا توجد نقاط منعزلة وانحرافات أخرى. يمكنك كتابة الجواب.

  إجابه. $ x \ in \ left (- \ infty ؛ -7 \ right) \ bigcup \ left (4 ؛ + \ infty \ right) $.

  قاعدة الضرب

  في بعض الأحيان يحدث موقف غير سار: المعادلة التي لها جذور متعددة يتم رفعها إلى قوة معينة. هذا يغير تعدد الجذور الأصلية.

  هذا نادر ، لذلك معظم الطلاب ليس لديهم خبرة في حل مثل هذه المشاكل. والحكم هنا:

  عندما يتم رفع المعادلة إلى قوة $ n $ ، فإن تعدد كل جذورها يزيد أيضًا بمعامل قدره $ n $.

  بمعنى آخر ، ينتج عن الرفع إلى قوة ضرب المضاعفات بنفس القوة. لنأخذ هذه القاعدة كمثال:

  مهمة. حل المتباينة:

  \ [\ frac (x ((\ left (((x) ^ (2)) - 6x + 9 \ right)) ^ (2)) ((\ left (x-4 \ right)) ^ (5)) ) (((\ left (2-x \ right)) ^ (3)) ((\ left (x-1 \ right)) ^ (2))) \ le 0 \]

  المحلول. اضبط البسط على صفر:

  حاصل الضرب يساوي صفرًا عندما يكون أحد العوامل على الأقل يساوي صفرًا. كل شيء واضح مع المضاعف الأول: $ x = 0 $. وهنا تبدأ المشاكل:

  \ [\ start (align) & ((\ left (((x) ^ (2)) - 6x + 9 \ right)) ^ (2)) = 0 ؛ \\ & ((x) ^ (2)) - 6x + 9 = 0 \ left (2k \ right) ؛ \\ & D = ((6) ^ (3)) - 4 \ cdot 9 = 0 \\ & ((x) _ (2)) = 3 \ left (2k \ right) \ left (2k \ right) \ \ & ((س) _ (2)) = 3 \ يسار (4 كيلو \ يمين) \ \ نهاية (محاذاة) \]

  كما ترى ، فإن المعادلة $ ((x) ^ (2)) - 6x + 9 = 0 $ لها جذر فريد للمضاعفة الثانية: $ x = 3 $. ثم يتم تربيع المعادلة بأكملها. إذن ، تعدد الجذر سيكون $ 2 \ cdot 2 = 4 $ ، وهو ما كتبناه أخيرًا.

  \ [((\ left (x-4 \ right)) ^ (5)) = 0 \ Rightarrow x = 4 \ left (5k \ right) \]

  لا مشكلة في المقام سواء:

  \ [\ start (align) & ((\ left (2-x \ right)) ^ (3)) ((\ left (x-1 \ right)) ^ (2)) = 0 ؛ \\ & ((\ left (2-x \ right)) ^ (3)) = 0 \ Rightarrow x_ (1) ^ (*) = 2 \ left (3k \ right) ؛ \\ & ((\ left (x-1 \ right)) ^ (2)) = 0 \ Rightarrow x_ (2) ^ (*) = 1 \ left (2k \ right). \\ \ end (محاذاة) \]

  في المجموع ، حصلنا على خمس نقاط: اثنتان مثقبتان وثلاث مملوءتان. لا توجد جذور متطابقة في البسط والمقام ، لذلك نضعها على خط الأعداد فقط:

  

  نرتب العلامات مع مراعاة التعدد ونرسم على فترات تهمنا:

  مرة أخرى نقطة معزولة واحدة وثقبت واحدة

  بسبب جذور حتى التعددية ، تلقينا مرة أخرى عنصرين "غير قياسيين". هذا $ x \ in \ left [0؛ 1 \ right) \ bigcup \ left (1؛ 2 \ right) $ ، وليس $ x \ in \ left [0؛ 2 \ right) $ ، وأيضًا نقطة معزولة $ س \ في \ يسار \ (3 \ يمين \) $.

  إجابه. $ x \ in \ left [0؛ 1 \ right) \ bigcup \ left (1 ؛ 2 \ right) \ bigcup \ left \ (3 \ right \) \ bigcup \ left [4 ؛ + \ infty \ right) $

  كما ترى ، كل شيء ليس بهذه الصعوبة. الشيء الرئيسي هو الانتباه. القسم الأخير من هذا الدرس مخصص للتحولات - تلك التي ناقشناها في البداية.

  ما قبل التحويلات

  المتباينات التي سنناقشها في هذا القسم ليست معقدة. ومع ذلك ، على عكس المهام السابقة ، سيتعين عليك هنا تطبيق المهارات من نظرية الكسور المنطقية - التحليل والاختزال إلى قاسم مشترك.

  لقد ناقشنا هذه المسألة بالتفصيل في بداية درس اليوم. إذا لم تكن متأكدًا من فهمك لما يدور حوله ، فإنني أوصيك بشدة بالعودة والتكرار. لأنه لا جدوى من حشر طرق حل التفاوتات إذا "سبحت" في تحويل الكسور.

  بالمناسبة ، في الواجبات المنزلية ، سيكون هناك أيضًا العديد من المهام المماثلة. يتم وضعها في قسم فرعي منفصل. وهناك ستجد أمثلة غير تافهة للغاية. لكن هذا سيكون في الواجب المنزلي ، لكن دعونا الآن نحلل بعض المتباينات.

  مهمة. حل المتباينة:

  \ [\ frac (x) (x-1) \ le \ frac (x-2) (x) \]

  المحلول. تحريك كل شيء إلى اليسار:

  \ [\ frac (x) (x-1) - \ frac (x-2) (x) \ le 0 \]

  نختزل إلى قاسم مشترك ، ونفتح الأقواس ، ونعطي الحدود المتشابهة في البسط:

  \ [\ start (align) & \ frac (x \ cdot x) (\ left (x-1 \ right) \ cdot x) - \ frac (\ left (x-2 \ right) \ left (x-1 \ يمين)) (x \ cdot \ left (x-1 \ right)) \ le 0 ؛ \\ & \ frac (((x) ^ (2)) - \ left (((x) ^ (2)) - 2x-x + 2 \ right)) (x \ left (x-1 \ right)) \ جنيه 0 ؛ \\ & \ frac (((x) ^ (2)) - ((x) ^ (2)) + 3x-2) (x \ left (x-1 \ right)) \ le 0 ؛ \\ & \ frac (3x-2) (x \ left (x-1 \ right)) \ le 0. \\\ end (align) \]

  الآن لدينا متباينة عقلانية كسرية تقليدية ، لم يعد حلها صعبًا. أقترح حلها بطريقة بديلة - من خلال طريقة الفواصل الزمنية:

  \ [\ start (align) & \ left (3x-2 \ right) \ cdot x \ cdot \ left (x-1 \ right) = 0 ؛ \\ & ((x) _ (1)) = \ frac (2) (3) ؛ \ ((x) _ (2)) = 0 ؛ \ ((x) _ (3)) = 1. \\ \ end (محاذاة) \]

  لا تنس القيد الذي يأتي من المقام:

  نحتفل بجميع الأرقام والقيود على خط الأعداد:

  كل الجذور لها تعدد أول. لا مشكلة. نحن فقط نضع اللافتات ونرسم فوق المساحات التي نحتاجها:

  

  هذا كل شيء. يمكنك كتابة الجواب.

  إجابه. $ x \ in \ left (- \ infty؛ 0 \ right) \ bigcup \ left [(2) / (3) \ ؛؛ 1 \ right) $.

  بالطبع ، كان هذا مثالًا بسيطًا جدًا. والآن دعونا نلقي نظرة فاحصة على المشكلة. وبالمناسبة ، فإن مستوى هذه المهمة متوافق تمامًا مع العمل المستقل والتحكم في هذا الموضوع في الصف الثامن.

  مهمة. حل المتباينة:

  \ [\ frac (1) (((x) ^ (2)) + 8x-9) \ ge \ frac (1) (3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2) \]

  المحلول. تحريك كل شيء إلى اليسار:

  \ [\ frac (1) (((x) ^ (2)) + 8x-9) - \ frac (1) (3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2) \ ge 0 \]

  قبل تحويل كلا الكسرين إلى قاسم مشترك ، نحلل هذين المقامين إلى عوامل. ستخرج فجأة نفس الأقواس؟ الأمر سهل مع المقام الأول:

  \ [((x) ^ (2)) + 8x-9 = \ left (x-1 \ right) \ left (x + 9 \ right) \]

  الثاني أكثر صعوبة بقليل. لا تتردد في إضافة مضاعف ثابت إلى القوس حيث تم العثور على الكسر. تذكر: كثير الحدود الأصلي يحتوي على معاملات عدد صحيح ، لذلك من المحتمل جدًا أن يكون للعوامل أيضًا معاملات عدد صحيح (في الواقع ، سيكون دائمًا ، إلا عندما يكون المميز غير منطقي).

  \ [\ start (align) & 3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2 = 3 \ left (x-1 \ right) \ left (x- \ frac (2) (3) \ right) = \\ & = \ يسار (x-1 \ يمين) \ يسار (3x-2 \ يمين) \ نهاية (محاذاة) \]

  كما ترى ، هناك شريحة مشتركة: $ \ left (x-1 \ right) $. نعود إلى عدم المساواة ونضع كلا الكسرين في قاسم مشترك:

  \ [\ start (align) & \ frac (1) (\ left (x-1 \ right) \ left (x + 9 \ right)) - \ frac (1) (\ left (x-1 \ right) \ يسار (3x-2 \ يمين)) \ ge 0 ؛ \\ & \ frac (1 \ cdot \ left (3x-2 \ right) -1 \ cdot \ left (x + 9 \ right)) (\ left (x-1 \ right) \ left (x + 9 \ right) ) \ يسار (3x-2 \ يمين)) \ ge 0 ؛ \\ & \ frac (3x-2-x-9) (\ left (x-1 \ right) \ left (x + 9 \ right) \ left (3x-2 \ right)) \ ge 0 ؛ \\ & \ frac (2x-11) (\ left (x-1 \ right) \ left (x + 9 \ right) \ left (3x-2 \ right)) \ ge 0 ؛ \\ \ end (محاذاة) \]

  اضبط المقام على صفر:

  \ [\ start (align) & \ left (x-1 \ right) \ left (x + 9 \ right) \ left (3x-2 \ right) = 0 ؛ \\ & x_ (1) ^ (*) = 1 ؛ \ x_ (2) ^ (*) = - 9 ؛ \ x_ (3) ^ (*) = \ frac (2) (3) \\ \ end ( محاذاة) \]

  لا تعدد ولا جذور متطابقة. نحتفل بأربعة أرقام على خط مستقيم:

  نضع العلامات:

  

  نكتب الجواب.

  الإجابة: $ x \ in \ left (- \ infty؛ -9 \ right) \ bigcup \ left ((2) / (3) \ ؛؛ 1 \ right) \ bigcup \ left [5،5؛ + \ infty \ حق) $.