المادة النظرية. ما هي الحدود القصوى للدالة: النقاط الحرجة للحد الأقصى والحد الأدنى للوظيفة القصوى والدنيا
معنى
أعظم
معنى
الأقل
النقطة القصوى
النقطة الدنيا
يتم حل مشاكل العثور على نقاط الدالة القصوى وفقًا لمخطط قياسي في 3 خطوات.
الخطوة 1. العثور على مشتق من وظيفة
- تذكر الصيغ المشتقة للدوال الأولية والقواعد الأساسية للتمايز للعثور على المشتقة.
ص′(س)=(x3−243x+19)′=3x2−243.
الخطوة 2. أوجد أصفار المشتقة
- حل المعادلة الناتجة لإيجاد أصفار المشتقة.
3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9.
الخطوه 3. البحث عن النقاط المتطرفة
- استخدم طريقة الفاصل الزمني لتحديد علامات المشتق؛
- عند النقطة الدنيا، تكون المشتقة تساوي صفرًا وتتغير الإشارة من ناقص إلى زائد، وعند النقطة القصوى، من زائد إلى ناقص.
دعونا نستخدم هذا الأسلوب لحل المشكلة التالية:
أوجد النقطة القصوى للدالة y=x3−243x+19.
1) أوجد المشتقة: y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243;
2) حل المعادلة y′(x)=0: 3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9;
3) المشتق موجب لـ x>9 وx<−9 и отрицательная при −9 كيفية العثور على أكبر وأصغر قيمة للدالة لحل مشكلة إيجاد القيم الأكبر والأصغر للدالة ضروري: يساعد في العديد من المهام نظرية: إذا كانت هناك نقطة قصوى واحدة فقط على القطعة، وهذه هي النقطة الدنيا، فسيتم تحقيق أصغر قيمة للدالة عندها. إذا كانت هذه هي النقطة القصوى، فسيتم الوصول إلى القيمة الأكبر هناك. 14. المفهوم والخصائص الأساسية للتكامل غير المحدد. إذا كانت الوظيفة F(س X، و ك- الرقم إذن تحدث باختصار: يمكن إخراج الثابت من علامة التكامل. إذا كانت الوظائف F(س) و ز(س) لها مشتقات عكسية في الفترة X، الذي - التي تحدث باختصار: تكامل المجموع يساوي مجموع التكاملات. إذا كانت الوظيفة F(س) لديه مشتق عكسي في الفترة X، ثم بالنسبة للنقاط الداخلية لهذا الفاصل الزمني: تحدث باختصار: مشتق التكامل يساوي التكامل. إذا كانت الوظيفة F(س) مستمرة على الفترة Xويكون قابلاً للاشتقاق عند النقاط الداخلية لهذه الفترة، إذن: تحدث باختصار: تكامل تفاضل الدالة يساوي هذه الدالة زائد ثابت التكامل. دعونا نعطي تعريفا رياضيا صارما مفاهيم التكامل غير المحدد. يسمى التعبير عن النموذج جزء لا يتجزأ من الوظيفة و (خ)
، أين و (خ)
- الدالة التكاملية المعطاة (المعروفة)، dx
- التفاضلي س
، مع وجود الرمز دائمًا dx
. تعريف. تكامل غير محددتسمى وظيفة و(خ) + ج
، تحتوي على ثابت تعسفي ج
، التفاضل الذي يساوي تكاملتعبير و (خ) دكس
، أي. دعونا نذكركم بأن - وظيفة تفاضليةويتم تعريفه على النحو التالي: العثور على مشكلة تكامل غير محددهو العثور على مثل هذه الوظيفة المشتقوهو ما يساوي التكامل. يتم تحديد هذه الوظيفة بدقة إلى ثابت، لأن مشتقة الثابت هي صفر. على سبيل المثال، من المعروف أن، ثم اتضح ذلك إيجاد المشكلة تكامل غير محددالوظائف ليست بسيطة وسهلة كما تبدو للوهلة الأولى. في كثير من الحالات، يجب أن تكون هناك مهارة في العمل التكاملات غير المحددة,يجب أن تكون هناك خبرة تأتي مع الممارسة والثبات حل أمثلة التكاملات غير المحددةيجدر النظر في حقيقة ذلك التكاملات غير المحددةمن بعض الوظائف (هناك الكثير منها) لا يتم أخذها في الوظائف الأولية. 15. جدول التكاملات الأساسية غير المحددة. الصيغ الأساسية 16. التكامل المحدد هو نهاية مجموع التكامل. المعنى الهندسي والمادي للتكامل. دع الدالة y=ƒ(x) محددة على الفاصل الزمني [a; ب]، أ< b. Выполним следующие действия. 1. استخدام النقاط x 0 = a، x 1، x 2، ...، x n = B (x 0 2. في كل قطعة جزئية i = 1,2,...,n، اختر نقطة اختيارية مع i є واحسب قيمة الدالة فيها، أي القيمة ƒ(مع i). 3. اضرب القيمة التي تم العثور عليها للدالة ƒ (مع i) في الطول ∆x i =x i -x i-1 للقطعة الجزئية المقابلة: ƒ (مع i) ∆x i. 4. دعونا نجمع مجموع S n لجميع هذه المنتجات: مجموع النموذج (35.1) يسمى المجموع التكاملي للدالة y = ƒ(x) على الفاصل الزمني [a; ب]. دعونا نشير بـ lect إلى طول الجزء الجزئي الأكبر: lect = max ∆x i (i = 1,2,..., n). 5. دعونا نجد نهاية المجموع التكاملي (35.1) عندما يكون n → ∞ بحيث يكون α→0. إذا كان في هذه الحالة المبلغ المتكامل S n له حد I، والذي لا يعتمد على طريقة تقسيم المقطع [a؛ ب] على المقاطع الجزئية، ولا على اختيار النقاط فيها، فإن الرقم I يُسمى تكاملًا محددًا للدالة y = ƒ(x) على القطعة [a؛ ب] ويشار إليه بالتالي، يُطلق على الأرقام a و b الحدود الدنيا والعليا للتكامل، على التوالي، ƒ(x) - دالة التكامل، ƒ(x) dx - التكامل، x - متغير التكامل، القطعة [a؛ ب] - منطقة (قطعة) التكامل. الدالة y=ƒ(x)، والتي تكون على الفاصل الزمني [a؛ ب] يوجد تكامل محدد يسمى التكامل في هذه الفترة. دعونا الآن نقوم بصياغة نظرية لوجود تكامل محدد. نظرية 35.1 (كوشي). إذا كانت الدالة y = ƒ(x) متصلة على الفاصل الزمني [a; ب]، ثم التكامل المحدد لاحظ أن استمرارية الدالة شرط كافي لتكاملها. ومع ذلك، يمكن أن يوجد تكامل محدد أيضًا لبعض الدوال غير المتصلة، على وجه الخصوص لأي دالة محدودة بفاصل زمني يحتوي على عدد محدود من نقاط عدم الاستمرارية. دعونا نشير إلى بعض خصائص التكامل المحدد التي تتبع مباشرة تعريفه (35.2). 1. التكامل المحدد مستقل عن تسمية متغير التكامل: يأتي هذا من حقيقة أن المجموع المتكامل (35.1)، وبالتالي حده (35.2)، لا يعتمدان على الحرف الذي يُشار إليه بحجة دالة معينة. 2. التكامل المحدد الذي له نفس حدود التكامل يساوي صفراً: 3. لأي عدد حقيقي ج. 17. صيغة نيوتن-لايبنيز. الخصائص الأساسية للتكامل المحدد. دع الوظيفة ص = و(س)المستمر على الجزء
و و(خ)هي إحدى المشتقات العكسية للدالة في هذا الجزء، إذًا صيغة نيوتن-لايبنتز: تسمى صيغة نيوتن-لايبنتز الصيغة الأساسية لحساب التكامل. لإثبات صيغة نيوتن-لايبنتز، نحتاج إلى مفهوم التكامل ذو الحد الأعلى المتغير. إذا كانت الوظيفة ص = و(س)المستمر على الجزء
، إذن بالنسبة للوسيطة، فإن تكامل النموذج هو دالة للحد الأعلى. دعونا نشير إلى هذه الوظيفة في الواقع، دعونا نكتب زيادة الدالة المقابلة لزيادة الوسيطة ونستخدم الخاصية الخامسة للتكامل المحدد والنتيجة الطبيعية من الخاصية العاشرة: دعونا نعيد كتابة هذه المساواة في الصورة دعونا نحسب واو (أ)باستخدام الخاصية الأولى للتكامل المحدد: يُشار عادةً إلى زيادة الوظيفة على أنها لتطبيق صيغة نيوتن-لايبنتز، يكفي أن نعرف إحدى المشتقات العكسية ص = و (س)وظيفة التكامل ص = و (س)على الجزء
وحساب زيادة هذا المشتق العكسي على هذه القطعة. تناقش طرق المقالة للتكامل الطرق الرئيسية للعثور على المشتق العكسي. دعونا نعطي بعض الأمثلة لحساب التكاملات المحددة باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز للتوضيح. مثال. احسب قيمة التكامل المحدد باستخدام صيغة نيوتن-لايبنتز. حل. في البداية، نلاحظ أن التكامل مستمر على الفترة
وبالتالي فهو متكامل عليه. (تحدثنا عن الوظائف القابلة للتكامل في القسم الخاص بالوظائف التي يوجد لها تكامل محدد.) من جدول التكاملات غير المحددة، من الواضح أنه بالنسبة للدالة، يتم كتابة مجموعة المشتقات العكسية لجميع القيم الحقيقية للوسيطة (وبالتالي لـ ) كـ يبقى الآن استخدام صيغة نيوتن-لايبنيز لحساب التكامل المحدد: 18. التطبيقات الهندسية للتكامل المحدد. التطبيقات الهندسية للتكامل المحدد حساب حجم الجسم حساب حجم الجسم من مساحات المقاطع المتوازية المعروفة: حجم الجسم الدوراني : ; . مثال 1. أوجد مساحة الشكل المحدد بالمنحنى y=sinx بخطوط مستقيمة حل:إيجاد مساحة الشكل: مثال 2. حساب مساحة الشكل الذي يحده الخطوط حل:دعونا نجد حدود نقاط التقاطع للرسوم البيانية لهذه الوظائف. للقيام بذلك، نقوم بحل نظام المعادلات من هنا نجد × 1 = 0، × 2 = 2.5. 19. مفهوم الضوابط التفاضلية. المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى. المعادلة التفاضلية- معادلة تربط قيمة مشتقة الدالة بالدالة نفسها وقيم المتغير المستقل والأرقام (المعلمات). يمكن أن يكون ترتيب المشتقات المدرجة في المعادلة مختلفًا (رسميًا لا يقتصر على أي شيء). قد تظهر المشتقات والوظائف والمتغيرات المستقلة والمعلمات في المعادلة في مجموعات مختلفة، أو قد تكون جميع المشتقات غائبة تمامًا باستثناء مشتق واحد. ليست كل معادلة تحتوي على مشتقات دالة مجهولة هي معادلة تفاضلية. على سبيل المثال، المعادلات التفاضلية الجزئية(PDF) هي معادلات تحتوي على دوال غير معروفة لعدة متغيرات ومشتقاتها الجزئية. يمكن تمثيل الشكل العام لهذه المعادلات على النحو التالي: أين هي المتغيرات المستقلة، وهي دالة لهذه المتغيرات. يمكن تحديد ترتيب المعادلات التفاضلية الجزئية بنفس طريقة المعادلات التفاضلية العادية. تصنيف مهم آخر للمعادلات التفاضلية الجزئية هو تقسيمها إلى معادلات من النوع الإهليلجي والقطع المكافئ والقطع الزائد، خاصة في المعادلات من الدرجة الثانية. يمكن تقسيم كل من المعادلات التفاضلية العادية والمعادلات التفاضلية الجزئية إلى خطيو غير خطية. تكون المعادلة التفاضلية خطية إذا كانت الدالة المجهولة ومشتقاتها تدخل المعادلة إلى الدرجة الأولى فقط (ولا تضرب في بعضها البعض). بالنسبة لمثل هذه المعادلات، تشكل الحلول مساحة فرعية متقاربة من مساحة الوظائف. تم تطوير نظرية المعادلات التفاضلية الخطية بشكل أعمق بكثير من نظرية المعادلات غير الخطية. منظر عام للمعادلة التفاضلية الخطية ن- الترتيب الرابع : أين باي(س) هي دوال معروفة للمتغير المستقل تسمى معاملات المعادلة. وظيفة ص(س) على الجانب الأيمن يسمى عضو مجاني(المصطلح الوحيد الذي لا يعتمد على الدالة المجهولة) فئة معينة مهمة من المعادلات الخطية هي المعادلات التفاضلية الخطية ذات معاملات ثابتة. فئة فرعية من المعادلات الخطية هي متجانسالمعادلات التفاضلية - المعادلات التي لا تحتوي على حد حر: ص(س) = 0. بالنسبة للمعادلات التفاضلية المتجانسة، فإن مبدأ التراكب ينص على أن مجموعة خطية من الحلول الجزئية لمثل هذه المعادلة ستكون أيضًا حلاً لها. تسمى جميع المعادلات التفاضلية الخطية الأخرى غير متجانسةالمعادلات التفاضلية. المعادلات التفاضلية غير الخطية في الحالة العامة ليس لها طرق حل متطورة، باستثناء بعض الفئات الخاصة. في بعض الحالات (باستخدام بعض التقديرات التقريبية) يمكن اختزالها إلى الخطية. على سبيل المثال، المعادلة الخطية للمذبذب التوافقي · - معادلة تفاضلية متجانسة من الدرجة الثانية ذات معاملات ثابتة. الحل هو مجموعة من الوظائف، حيث و هي ثوابت عشوائية، والتي يتم تحديدها لحل معين من الشروط الأولية المحددة بشكل منفصل. تصف هذه المعادلة، على وجه الخصوص، حركة المذبذب التوافقي بتردد دوري قدره 3. يمكن كتابة قانون نيوتن الثاني على شكل معادلة تفاضلية حيث م- كتلة الجسم، س- إحداثياتها، F(س, ر) - القوة المؤثرة على الجسم بالإحداثيات سفي وقت معين ر. حلها هو مسار الجسم تحت تأثير القوة المحددة. · معادلة بيسل التفاضلية هي معادلة خطية متجانسة عادية من الدرجة الثانية ذات معاملات متغيرة: حلولها هي دوال بيسل. · مثال على معادلة تفاضلية عادية غير خطية غير متجانسة من الدرجة الأولى: في المجموعة التالية من الأمثلة هناك وظيفة غير معروفة شيعتمد على متغيرين سو رأو سو ذ. · معادلة تفاضلية جزئية خطية متجانسة من الدرجة الأولى: · معادلة موجية أحادية البعد - معادلة خطية متجانسة في المشتقات الجزئية من النوع الزائدي من الدرجة الثانية مع معاملات ثابتة، تصف تذبذب السلسلة إذا - انحراف السلسلة عند نقطة مع الإحداثيات سفي وقت معين ر، والمعلمة أيحدد خصائص السلسلة: · معادلة لابلاس في الفضاء ثنائي الأبعاد هي معادلة تفاضلية جزئية خطية متجانسة من الرتبة الثانية من النوع الإهليلجي ذات معاملات ثابتة، تنشأ في العديد من المسائل الفيزيائية للميكانيكا والتوصيل الحراري والكهرباء الساكنة والهيدروليكا: · معادلة كورتيويغ دي فريس، معادلة تفاضلية جزئية غير خطية من الدرجة الثالثة تصف الموجات غير الخطية الثابتة، بما في ذلك السوليتونات: 20. المعادلات التفاضلية القابلة للفصل قابلة للتطبيق. المعادلات الخطية وطريقة برنولي. المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى هي معادلة خطية بالنسبة إلى دالة مجهولة ومشتقتها. لديها شكل القوة الكاملة. في الواقع، إذا وجدت وعوضت في معادلات من الأنواع المذكورة، فسوف تحصل على مساواة حقيقية. كما هو مذكور في المقال حول معادلات متجانسة، إذا كان مطلوبًا وفقًا للشرط إيجاد حل معين فقط، فإن الدالة، لأسباب واضحة، لا تزعجنا، ولكن عندما يتطلب الأمر إيجاد حل عام/تكامل، فمن الضروري التأكد من ذلك لا تضيع هذه الوظيفة! أحضرت جميع الأشكال الشائعة لمعادلة برنولي في حقيبة كبيرة من الهدايا وبدأت في توزيعها. شنق الجوارب الخاصة بك تحت الشجرة. مثال 1 أوجد حلاً محددًا للمعادلة التفاضلية المقابلة للشرط الأولي المحدد. ربما فوجئ الكثيرون بإخراج الهدية الأولى على الفور من الحقيبة مشكلة كوشي. هذا ليس من قبيل الصدفة. عندما يتم اقتراح معادلة برنولي لحل ما، لسبب ما، غالبا ما يكون من الضروري إيجاد حل معين. من مجموعتي، قمت باختيار عشوائي لـ 10 معادلات برنولي، ويجب العثور على الحل العام (بدون حل معين) في معادلتين فقط. ولكن، في الواقع، هذا تافه، حيث سيتعين عليك البحث عن حل عام في أي حال. حل:هذا الناشر له الشكل، وبالتالي فهو معادلة برنولي تحتل الدالة ودراسة خصائصها أحد الفصول الرئيسية في الرياضيات الحديثة. المكون الرئيسي لأي وظيفة هو الرسوم البيانية التي تصور ليس فقط خصائصها، ولكن أيضا معلمات مشتق هذه الوظيفة. دعونا نفهم هذا الموضوع الصعب. إذن ما هي أفضل طريقة للعثور على النقاط القصوى والدنيا للدالة؟ أي متغير يعتمد بطريقة ما على قيم كمية أخرى يمكن أن يسمى دالة. على سبيل المثال، الدالة f(x 2) هي دالة تربيعية وتحدد قيم المجموعة x بأكملها. لنفترض أن x = 9، فإن قيمة الدالة ستكون 9 2 = 81. تأتي الوظائف في أنواع مختلفة: منطقية، متجهة، لوغاريتمية، مثلثية، رقمية وغيرها. لقد تمت دراستهم من قبل عقول بارزة مثل لاكروا ولاغرانج ولايبنيز وبرنولي. تعتبر أعمالهم بمثابة الدعامة الأساسية في الطرق الحديثة لدراسة الوظائف. قبل العثور على الحد الأدنى من النقاط، من المهم جدًا فهم معنى الدالة ومشتقتها. تعتمد جميع الدوال على متغيراتها، مما يعني أنها يمكن أن تغير قيمتها في أي وقت. على الرسم البياني، سيتم تصوير ذلك على أنه منحنى إما أن ينخفض أو يرتفع على طول المحور الإحداثي (هذه هي المجموعة الكاملة من أرقام "y" على طول الرسم البياني الرأسي). لذا، فإن تحديد النقاط القصوى والدنيا للدالة يرتبط بدقة بهذه "التذبذبات". دعونا نوضح ما هي هذه العلاقة. يتم رسم مشتق أي دالة بيانيا من أجل دراسة خصائصها الأساسية وحساب مدى سرعة تغير الدالة (أي تغير قيمتها اعتمادا على المتغير "x"). في اللحظة التي تزيد فيها الوظيفة، سيزداد الرسم البياني لمشتقتها أيضًا، ولكن في أي ثانية يمكن أن تبدأ الدالة في الانخفاض، ثم سينخفض الرسم البياني للمشتقة. تلك النقاط التي يتغير عندها المشتق من علامة الطرح إلى علامة الجمع تسمى نقاط الحد الأدنى. من أجل معرفة كيفية العثور على الحد الأدنى من النقاط، يجب أن تفهم بشكل أفضل يتضمن التعريف والوظائف عدة مفاهيم بشكل عام، يمكن التعبير عن تعريف المشتق على النحو التالي: هذه هي الكمية التي توضح معدل تغير الوظيفة. تبدو الطريقة الرياضية لتحديدها معقدة بالنسبة للعديد من الطلاب، ولكن في الواقع كل شيء أبسط بكثير. كل ما عليك فعله هو اتباع الخطة القياسية للعثور على مشتق أي دالة. نوضح أدناه كيف يمكنك العثور على النقطة الدنيا للدالة دون تطبيق قواعد التفاضل ودون حفظ جدول المشتقات. في منهج الرياضيات المدرسي، من الممكن العثور على الحد الأدنى لنقطة دالة بطريقتين. لقد ناقشنا بالفعل الطريقة الأولى باستخدام الرسم البياني، ولكن كيف يمكننا تحديد القيمة العددية للمشتقة؟ للقيام بذلك، ستحتاج إلى تعلم العديد من الصيغ التي تصف خصائص المشتق وتساعد في تحويل المتغيرات مثل "x" إلى أرقام. الطريقة التالية عالمية، لذا يمكن تطبيقها على جميع أنواع الوظائف تقريبًا (سواء الهندسية أو اللوغاريتمية). إن العنصر الأساسي في دراسة الدالة ومشتقاتها هو معرفة قواعد التفاضل. فقط بمساعدتهم يمكنك تحويل التعبيرات المرهقة والوظائف المعقدة الكبيرة. دعونا نتعرف عليهم، هناك الكثير منهم، لكنهم جميعا بسيطون للغاية بسبب الخصائص الطبيعية لكل من وظائف الطاقة واللوغاريتمية. لقد ناقشنا بالفعل كيفية العثور على الحد الأدنى من النقاط، ولكن هناك أيضًا مفهوم الحد الأقصى من النقاط للدالة. إذا كان الحد الأدنى يشير إلى تلك النقاط التي تتغير عندها الدالة من علامة الطرح إلى علامة الجمع، فإن النقاط القصوى هي تلك النقاط الموجودة على المحور السيني التي يتغير عندها مشتق الدالة من علامة الزائد إلى العكس - ناقص. يمكنك العثور عليها باستخدام الطريقة الموضحة أعلاه، ولكن يجب أن تأخذ في الاعتبار أنها تشير إلى تلك المناطق التي تبدأ فيها الدالة في الانخفاض، أي أن المشتق سيكون أقل من الصفر. في الرياضيات، من المعتاد تعميم كلا المفهومين، واستبدالهما بعبارة "النقاط القصوى". عندما تطلب منك المهمة تحديد هذه النقاط، فهذا يعني أنك بحاجة إلى حساب مشتق دالة معينة والعثور على الحد الأدنى والحد الأقصى للنقاط. أكبر قيمة دالة أصغر قيمة دالة وكما قال العراب: "لا شيء شخصي". المشتقات فقط! تعتبر المهمة الإحصائية 12 صعبة للغاية، وكل ذلك لأن الرجال لم يقرؤوا هذه المقالة (نكتة). في معظم الحالات، يقع اللوم على الإهمال. 12 مهمة تأتي على نوعين: مهام امتحان الدولة الموحدة: أوجد النقطة القصوى للدالة أوجد أدنى نقطة للدالة مهام امتحان الدولة الموحدة: أوجد القيمة الأكبر للدالة في الفترة [−4; −1] الجواب: -6 أوجد أكبر قيمة للدالة على القطعة الجواب: 11 الاستنتاجات: نظرية.
(شرط ضروري لوجود الحد الأقصى) إذا كانت الدالة f(x) قابلة للاشتقاق عند النقطة x = x 1 والنقطة x 1 هي نقطة متطرفة، فإن مشتق الدالة يختفي عند هذه النقطة. دليل.
لنفترض أن الدالة f(x) لها قيمة عظمى عند النقطة x = x 1. ثم بالنسبة إلى Dx>0 الموجب الصغير بدرجة كافية يكون عدم المساواة التالي صحيحًا: أ-بريوري: أولئك. إذا كان Dx®0، ولكن Dx<0, то f¢(x 1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0، ثم f‚(x 1) £ 0. وهذا ممكن فقط إذا كان عند Dx®0 f¢(x 1) = 0. في الحالة التي يكون فيها للدالة f(x) حد أدنى عند النقطة x 2، يتم إثبات النظرية بطريقة مماثلة. لقد تم إثبات النظرية. عاقبة.
البيان العكسي غير صحيح. إذا كانت مشتقة الدالة عند نقطة معينة تساوي صفرًا، فهذا لا يعني أن للدالة حدًا أقصى عند هذه النقطة. ومثال بليغ على ذلك هو الدالة y = x 3، التي يكون مشتقها عند النقطة x = 0 يساوي الصفر، ولكن في هذه المرحلة يكون للدالة انعطاف فقط، وليس الحد الأقصى أو الأدنى. تعريف.نقاط حرجةالدوال هي النقاط التي لا يوجد عندها مشتق الدالة أو يساوي الصفر. النظرية التي نوقشت أعلاه تعطينا الشروط اللازمة لوجود الحد الأقصى، ولكن هذا لا يكفي. مثال:و(خ) = ôxô مثال:و(خ) = عند النقطة x = 0 يكون للدالة حد أدنى، ولكن عند النقطة x = 0 ليس للدالة أي منهما ليس له مشتق. الحد الأقصى، لا الحد الأدنى، لا الإنتاج بشكل عام، قد يكون للدالة f(x) حد أقصى عند النقاط التي لا يوجد فيها المشتق أو يساوي الصفر. نظرية.
(الشروط الكافية لوجود الحد الأقصى) دع الدالة f(x) تكون مستمرة في الفترة (a, b)، التي تحتوي على النقطة الحرجة x 1، وقابلة للتمييز عند جميع نقاط هذه الفترة (ربما باستثناء النقطة x 1 نفسها). إذا، عند المرور بالنقطة x 1 من اليسار إلى اليمين، يغير مشتق الدالة f ¢ (x) الإشارة من "+" إلى "-"، ثم عند النقطة x = x 1 تكون الدالة f(x) الحد الأقصى، وإذا كانت علامة التغييرات المشتقة من "-" إلى "+" - فإن الدالة لها قيمة صغرى. دليل.
يترك وفقا لنظرية لاغرانج: و (خ) - و (س 1) = و ™ (ه) (س - س 1)،حيث س< e < x 1 . ثم: 1) إذا س< x 1 , то e < x 1 ; f¢(e)>0; و ¢ (ه) (س - س 1)<0, следовательно و(خ) – و(× 1)<0 или f(x) < f(x 1). 2) إذا كانت x > x 1، فإن e > x 1 f¢(e)<0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно و(خ) – و(× 1)<0 или f(x) < f(x 1). بما أن الإجابات متطابقة، يمكننا القول أن f(x)< f(x 1) в любых точках вблизи х 1 , т.е. х 1 – точка максимума. والدليل على نظرية النقطة الدنيا مشابه. لقد تم إثبات النظرية. بناءً على ما سبق، يمكنك تطوير إجراء موحد للعثور على أكبر وأصغر قيم دالة على مقطع ما: 1) أوجد النقاط الحرجة للدالة. 2) أوجد قيم الدالة عند النقاط الحرجة. 3) أوجد قيم الدالة في نهايات المقطع. 4) حدد الأكبر والأصغر من بين القيم التي تم الحصول عليها. دراسة دالة للاستخدام الأقصى مشتقات الأوامر العليا. دع عند النقطة x = x 1 f ™ (x 1) = 0 و f ™ (x 1) موجودة ومستمرة في بعض جوار النقطة x 1. نظرية.
إذا كانت f¢(x 1) = 0، فإن الدالة f(x) عند النقطة x = x 1 لها قيمة عظمى إذا كانت fˈ(x 1)<0 и минимум, если f¢¢(x 1)>0.
دليل.
دع f ¢ (x 1) = 0 و f ™ (x 1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 . لأن f ™ ™ (x) = (f ™ (x) ™).< 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , но f¢(x 1)=0, т.е. f¢(x) >0 في س في حالة الدالة الدنيا، يتم إثبات النظرية بطريقة مماثلة. إذا كانت f ¢ ™ (x) = 0، فإن طبيعة النقطة الحرجة غير معروفة. هناك حاجة إلى مزيد من البحث لتحديد ذلك. التحدب وتقعر المنحنى. نقاط الانقلاب. تعريف.
المنحنى محدب أعلىعلى الفترة (أ، ب) إذا كانت جميع نقاطها تقع تحت أي مماس لها في هذه الفترة. ويسمى المنحنى المحدب للأعلى محدب، ويسمى المنحنى المتجه للأسفل بشكل محدب مقعر. ويبين الشكل توضيحا للتعريف أعلاه. النظرية 1.
إذا كان المشتق الثاني للدالة f(x) سالبًا في جميع نقاط الفاصل الزمني (a، b)، فإن المنحنى y = f(x) يكون محدبًا لأعلى (محدبًا). دليل.
دع x 0 О (أ، ب). دعونا نرسم مماسا للمنحنى عند هذه النقطة. معادلة المنحنى: y = f(x); معادلة الظل: ويجب إثبات ذلك. بواسطة نظرية لاغرانج لـ f(x) – f(x 0): , x 0< c < x. وفقا لنظرية لاغرانج ل دع x > x 0 ثم x 0< c 1 < c < x. Т.к. x – x 0 >0 و c – x 0 > 0، وبالإضافة إلى ذلك، حسب الحالة لذلك، . دع س< x 0 тогда x < c < c 1 < x 0 и x – x 0 < 0, c – x 0 < 0, т.к. по условию то وثبت بالمثل أنه إذا كانت f ™ ™ (x) > 0 على الفترة (a، b)، فإن المنحنى y=f(x) يكون مقعرًا على الفترة (a، b). لقد تم إثبات النظرية. تعريف.
تسمى النقطة التي تفصل الجزء المحدب من المنحنى عن الجزء المقعر نقطة الأنحراف. ومن الواضح أنه عند نقطة الانقلاب يتقاطع المماس مع المنحنى. النظرية 2.
دع المنحنى يتم تعريفه بالمعادلة y = f(x). إذا كان المشتق الثاني f ¢ ¢ (a) = 0 أو f ¢ ¢ (a) غير موجود وعند المرور عبر النقطة x = a f ¢ ¢ (x) علامة التغييرات، فإن نقطة المنحنى مع الإحداثي المحوري x = أ هي نقطة انعطاف. دليل.
1) دع f ™ ™ (x)< 0 при х < a и f¢¢(x) >0 لـ x > أ. ثم في س< a кривая выпукла, а при x >أ المنحنى مقعر ، أي. النقطة س = أ – نقطة انعطاف. 2) دع f ™ ™ (x) > 0 لـ x< b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x >ب – محدب للأعلى . ثم x = b هي نقطة الانعطاف. لقد تم إثبات النظرية. الخطوط المقاربة. عند دراسة الوظائف، غالبًا ما يحدث أنه عندما يتحرك الإحداثي x لنقطة على منحنى إلى ما لا نهاية، فإن المنحنى يقترب إلى أجل غير مسمى من خط مستقيم معين. تعريف.
يسمى الخط المستقيم الخط المقاربمنحنى إذا كانت المسافة من النقطة المتغيرة للمنحنى إلى هذا الخط المستقيم تميل إلى الصفر عندما تتحرك النقطة إلى ما لا نهاية. تجدر الإشارة إلى أنه ليس كل منحنى له خط مقارب. يمكن أن تكون الخطوط المقاربة مستقيمة أو مائلة. تعد دراسة الوظائف لوجود الخطوط المقاربة ذات أهمية كبيرة وتتيح لك تحديد طبيعة الوظيفة وسلوك الرسم البياني المنحني بدقة أكبر. بشكل عام، يمكن للمنحنى الذي يقترب إلى ما لا نهاية من خط التقارب أن يتقاطع معه، وليس عند نقطة واحدة، كما هو موضح في الرسم البياني للدالة أدناه دعونا نفكر بمزيد من التفصيل في طرق العثور على الخطوط المقاربة للمنحنيات. الخطوط المقاربة الرأسية. من تعريف الخط المقارب، يترتب على ذلك أنه إذا كان أو أو، فإن الخط المستقيم x = a هو الخط المقارب للمنحنى y = f(x). على سبيل المثال، بالنسبة للدالة، السطر x = 5 هو خط مقارب عمودي. الخطوط المقاربة المائلة. لنفترض أن المنحنى y = f(x) له خط مقارب مائل y = kx + b. دعونا نشير إلى نقطة تقاطع المنحنى والعمودي على الخط المقارب - M، P - نقطة تقاطع هذا العمودي مع الخط المقارب. دعونا نشير إلى الزاوية بين الخط المقارب ومحور الثور بالرمز j. يتقاطع خط MQ المتعامد مع محور الثور مع الخط المقارب عند النقطة N. إذن MQ = y هو إحداثي النقطة على المنحنى، NQ = هو إحداثي النقطة N على الخط المقارب. حسب الشرط: , ÐNMP = j, . الزاوية j ثابتة ولا تساوي 900 إذن ثم لذا، فإن الخط المستقيم y = kx + b هو الخط المقارب للمنحنى. لتحديد هذا الخط بدقة، من الضروري إيجاد طريقة لحساب المعاملين k وb. في التعبير الناتج نخرج x من الأقواس: لأن س®¥، ثم ثم لأن لاحظ أن الخطوط المقاربة الأفقية هي حالة خاصة من الخطوط المقاربة المائلة لـ k = 0. مثال. 1) الخطوط المقاربة الرأسية: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0، وبالتالي فإن x = 0 هو خط مقارب عمودي. 2) الخطوط المقاربة المائلة: وبالتالي، فإن الخط المستقيم y = x + 2 هو خط مقارب مائل. لنرسم الدالة: مثال.ابحث عن الخطوط المقاربة وارسم الدالة رسمًا بيانيًا. الخطان x = 3 و x = -3 هما خطوط تقارب رأسية للمنحنى. دعونا نجد الخطوط المقاربة المائلة: ذ = 0 – الخط المقارب الأفقي. مثال.ابحث عن الخطوط المقاربة وارسم الدالة رسمًا بيانيًا الخط المستقيم x = -2 هو الخط المقارب الرأسي للمنحنى. دعونا نجد الخطوط المقاربة المائلة. في المجمل، الخط المستقيم y = x – 4 هو خط مقارب مائل. مخطط دراسة الوظيفة تتكون عملية البحث الوظيفي من عدة مراحل. للحصول على فهم أكمل لسلوك الوظيفة وطبيعة الرسم البياني الخاص بها، من الضروري العثور على: 1) مجال وجود الوظيفة. يشمل هذا المفهوم كلاً من مجال القيم ومجال تعريف الوظيفة. 2) نقاط الانهيار. (إن وجد). 3) فترات الزيادة والنقصان. 4) الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط. 5) القيمة القصوى والدنيا للدالة في مجال تعريفها. 6) مناطق التحدب والتقعر. 7) نقاط الانعطاف (إن وجدت). 8) الخطوط المقاربة (إن وجدت). 9) بناء الرسم البياني. دعونا نلقي نظرة على تطبيق هذا المخطط باستخدام مثال. مثال.استكشاف الدالة وإنشاء الرسم البياني الخاص بها. نجد مجال وجود الدالة. من الواضح أن مجال التعريفالدالة هي المنطقة (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥). ومن الواضح أن الخطوط المستقيمة x = 1، x = -1 هي الخطوط المقاربة الرأسيةملتوية. مدى من القيملهذه الدالة الفاصل الزمني (-¥; ¥). نقاط الاستراحةالوظائف هي النقاط x = 1، x = -1. نجد نقاط حرجة. دعونا نجد مشتقة الدالة النقاط الحرجة: س = 0؛ س = - ; س = ; س = -1; س = 1. دعونا نجد المشتقة الثانية للدالة دعونا نحدد تحدب وتقعر المنحنى على فترات. -¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая - < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая 1 < x < 0, y¢¢ >0، منحنى مقعر 0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая 1 < x < , y¢¢ >0، منحنى مقعر < x < ¥, y¢¢ >0، منحنى مقعر العثور على الثغرات في ازديادو تنازليالمهام. للقيام بذلك، نحدد علامات مشتقة الدالة على فترات. -¥ < x < - , y¢ >0، الدالة آخذة في الازدياد - < x < -1, y¢ < 0, функция убывает 1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает 0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает 1 < x < , y¢ < 0, функция убывает < x < ¥, y¢¢ >0، الدالة آخذة في الازدياد يمكن ملاحظة أن النقطة x = - هي نقطة أقصىوالنقطة x = هي نقطة الحد الأدنى. قيم الدالة عند هذه النقاط تساوي -3 /2 و 3 /2 على التوالي. حول العمودي الخطوط المقاربةوقد سبق أن قيل أعلاه. الآن دعونا نجد الخطوط المقاربة المائلة. في المجمل، معادلة الخط المقارب المائل هي y = x. لنبني جدولسمات: وظائف العديد من المتغيرات
عند النظر في وظائف العديد من المتغيرات، سنقتصر على وصف تفصيلي لوظائف متغيرين، منذ ذلك الحين جميع النتائج التي تم الحصول عليها ستكون صالحة لوظائف عدد تعسفي من المتغيرات. التعريف: إذا كان كل زوج من الأرقام المستقلة بشكل متبادل (x، y) من مجموعة معينة، وفقًا لقاعدة ما، مرتبطًا بواحدة أو أكثر من قيم المتغير z، فإن المتغير z يسمى دالة لمتغيرين. تعريف:
إذا كان زوج من الأرقام (x، y) يتوافق مع قيمة واحدة z، فسيتم استدعاء الدالة خالية من الغموض، وإذا كان أكثر من واحد، ثم - متعدد الأقدام. تعريف:مجال التعريفالدالة z هي مجموعة الأزواج (x، y) التي توجد لها الدالة z. تعريف:حي نقطة M 0 (x 0, y 0) لنصف القطر r هي مجموعة جميع النقاط (x, y) التي تحقق الشرط تعريف:
الرقم أ يسمى حدالدالة f(x, y) حيث أن النقطة M(x, y) تميل إلى النقطة M 0 (x 0, y 0)، إذا كان لكل رقم e > 0 رقم r > 0 بحيث يكون لأي نقطة M (x، y)، حيث يكون الشرط صحيحًا الشرط صحيح أيضا اكتب: تعريف:
دع النقطة M 0 (x 0, y 0) تنتمي إلى مجال تعريف الدالة f(x, y). ثم يتم استدعاء الدالة z = f(x, y). مستمرعند النقطة M 0 (x 0، y 0)، إذا والنقطة M(x, y) تتجه نحو النقطة M 0 (x 0, y 0) بطريقة عشوائية. إذا لم يتم استيفاء الشرط (1) في أي نقطة، فسيتم استدعاء هذه النقطة نقطة الاستراحةوظائف و (س، ص). وقد يكون ذلك في الحالات التالية: 1) لم يتم تعريف الدالة z = f(x, y) عند النقطة M 0 (x 0, y 0). 2) ليس هناك حد. 3) هذه النهاية موجودة ولكنها لا تساوي f(x 0 , y 0). ملكية.
إذا كانت الدالة f(x, y,…) محددة ومستمرة في ملف مغلق و النطاق المحدود D، ثم في هذا المجال توجد نقطة واحدة على الأقل N(x 0 , y 0 , …) بحيث تكون المتراجحة صحيحة بالنسبة للنقاط المتبقية و(س 0، ص 0، …) ³ و(س، ص، …) وكذلك النقطة N 1 (x 01, y 01, ...) بحيث تكون المتراجحة صحيحة بالنسبة لجميع النقاط الأخرى و(س 01، ص 01، …) £ و(س، ص، …) ثم و(س 0، ص 0، ...) = م - أعلى قيمةالدوال، و f(x 01 , y 01 , ...) = m – أصغر قيمةالوظائف f(x, y,…) في المجال D. دالة مستمرة في مجال مغلق ومحدود D تصل إلى أكبر قيمة لها مرة واحدة على الأقل وأصغر قيمة لها مرة واحدة. ملكية.
إذا كانت الدالة f(x, y,…) محددة ومستمرة في مجال مغلق D، وكانت M وm، على التوالي، أكبر وأصغر قيم للدالة في هذا المجال، فبالنسبة لأي نقطة m О هناك نقطة N 0 (x 0 , y 0 , …) بحيث f(x 0 , y 0 , …) = m. ببساطة، الدالة المستمرة تأخذ في المجال D جميع القيم المتوسطة بين M وm. نتيجة لهذه الخاصية يمكن أن نستنتج أنه إذا كان الرقمان M وm لهما إشارات مختلفة، فإن الدالة في المجال D تختفي مرة واحدة على الأقل. ملكية.
الدالة f(x, y, …)، مستمرة في مجال مغلق ومحدود D، محدودفي هذه المنطقة، إذا كان هناك رقم K بحيث تكون المتراجحة صحيحة لجميع النقاط في المنطقة ملكية.
إذا كانت الدالة f(x, y,…) محددة ومستمرة في مجال مغلق ومحدود D، فهي كذلك مستمر بشكل موحدفي هذا المجال، أي. لأي رقم موجب e يوجد رقم D > 0 بحيث بالنسبة لأي نقطتين (x 1, y 1) و (x 2, y 2) من المنطقة الواقعة على مسافة أقل من D، فإن عدم المساواة يظل قائمًا الخصائص المذكورة أعلاه تشبه خصائص دوال متغير واحد مستمرة على فترة زمنية. انظر خصائص الدوال المستمرة على فترة. المشتقات والتفاضلات من الوظائف عدة متغيرات. تعريف.
دع الدالة z = f(x, y) تعطى في بعض المجالات. لنأخذ نقطة عشوائية M(x, y) ونضبط الزيادة Dx على المتغير x. ثم يتم استدعاء الكمية D x z = f(x + Dx, y) – f(x, y). الزيادة الجزئية للدالة في x. يمكنك الكتابة ثم يطلق عليه اشتقاق جزئيوظائف ض = و (س، ص) في س. تعيين: يتم تحديد المشتق الجزئي للدالة بالنسبة إلى y بالمثل. الحس الهندسيالمشتق الجزئي (على سبيل المثال) هو ظل زاوية ميل المماس المرسوم عند النقطة N 0 (x 0, y 0, z 0) إلى قسم السطح بالمستوى y = y 0. الزيادة الكاملة والفرق الكامل.
طائرة تماسية دع N و N 0 يكونان نقطتين على هذا السطح. لنرسم خطًا مستقيمًا NN 0. يسمى المستوى الذي يمر بالنقطة N 0 طائرة تماسيةإلى السطح إذا كانت الزاوية بين القاطع NN 0 وهذا المستوى تميل إلى الصفر، عندما تكون المسافة NN 0 تميل إلى الصفر. تعريف.طبيعيإلى السطح عند النقطة N 0 خط مستقيم يمر بالنقطة N 0 عموديًا على المستوى المماس لهذا السطح. عند أي نقطة، يكون السطح إما لديه مستوى مماس واحد فقط أو لا يحتوي عليه على الإطلاق. إذا تم إعطاء السطح بالمعادلة z = f(x, y)، حيث f(x, y) هي دالة قابلة للاشتقاق عند النقطة M 0 (x 0, y 0)، فإن مستوى المماس عند النقطة N 0 ( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) موجود وله المعادلة: معادلة العمودي على السطح عند هذه النقطة هي: الحس الهندسيالتفاضل الكلي لدالة متغيرين f(x, y) عند النقطة (x 0, y 0) هو زيادة التطبيق (إحداثيات z) لمستوى الظل على السطح عند التحرك من النقطة (x 0) ، y 0) إلى النقطة (x 0 + Dx، y 0 +Dу). كما ترون، فإن المعنى الهندسي للفرق الكلي لدالة متغيرين هو التناظرية المكانية للمعنى الهندسي للفرق لدالة متغير واحد. مثال.أوجد معادلات مستوى الظل والعمودي على السطح عند النقطة م(1، 1، 1). معادلة المستوى المماس: المعادلة العادية: الحسابات التقريبية باستخدام الفروق الإجمالية.
التفاضل الكلي للدالة u يساوي: القيمة الدقيقة لهذا التعبير هي 1.049275225687319176. المشتقات الجزئية للطلبات العليا. إذا تم تعريف الدالة f(x, y) في بعض المجالات D، فسيتم أيضًا تعريف مشتقاتها الجزئية في نفس المجال أو جزء منه. سوف نسمي هذه المشتقات المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى. مشتقات هذه الوظائف ستكون المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية. ومن خلال الاستمرار في التمييز بين المساواة الناتجة، نحصل على مشتقات جزئية من الرتب الأعلى. النظر في الدالة y = f(x)، والتي تعتبر في الفترة (a، b). إذا كان من الممكن الإشارة إلى جوار b لنقطة x1 تنتمي إلى المجال (a, b) بحيث يظل عدم المساواة f(x1) > f(x) ثابتًا بالنسبة لجميع x (x1, b)، ثم y1 = يتم استدعاء f1(x1). الحد الأقصى للوظيفةص = و(خ) انظر الشكل. نشير إلى الحد الأقصى للدالة y = f(x) بواسطة الحد الأقصى f(x). إذا كان من الممكن الإشارة إلى جوار b لنقطة x2 تنتمي إلى المجال (a، b) بحيث تنتمي جميع x إلى O (x2، 6)، x لا تساوي x2، فإن عدم المساواة يظل قائمًا و(×2)< f(x)
، ثم y2= f(x2) يسمى الحد الأدنى للدالة y-f(x) (انظر الشكل). للحصول على مثال لإيجاد الحد الأقصى، شاهد الفيديو التالي نشير إلى الحد الأدنى للدالة y = f(x) بواسطة min f(x). بعبارة أخرى، الحد الأقصى أو الأدنى للوظيفةص = و(س) مُسَمًّىقيمتها أكبر (أقل) من جميع القيم الأخرى المقبولة عند نقاط قريبة بدرجة كافية من القيمة المعطاة ومختلفة عنها. ملاحظة 1. الوظيفة القصوى، الذي يحدده عدم المساواة يسمى الحد الأقصى الصارم؛ يتم تحديد الحد الأقصى غير الصارم من خلال عدم المساواة f(x1) > = f(x2) ملاحظة 2. لها طابع محلي (هذه هي القيم الأكبر والأصغر للدالة في حي صغير بدرجة كافية من النقطة المقابلة)؛ قد يكون الحد الأدنى الفردي للدالة أكبر من الحد الأقصى لنفس الوظيفة الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة يسمى أقصى
. تم العثور على الحدود القصوى لبناء الرسوم البيانية للوظائف اللاتينية أقصى يعني "المتطرفة"
معنى. تسمى قيمة الوسيطة x التي يتم الوصول عندها إلى الحد الأقصى بالنقطة القصوى. يتم التعبير عن الشرط الضروري للأقصى من خلال النظرية التالية. نظرية. عند النقطة القصوى للدالة القابلة للتفاضل، تكون مشتقتها تساوي صفرًا. النظرية لها معنى هندسي بسيط: مماس الرسم البياني للدالة القابلة للتفاضل عند النقطة المقابلة يكون موازيًا لمحور الثور
أو يتم استدعاء الدالة وظيفة مضاد. يتم تحديد المشتق العكسي للدالة حتى قيمة ثابتة.
، هنا ثابت تعسفي.
.
وهذه الدالة مستمرة والمساواة صحيحة 
.
أين .
. إذا تذكرنا تعريف مشتق الدالة وذهبنا إلى الحد عند ، فسنحصل على . أي أن هذه إحدى المشتقات العكسية للدالة ص = و(س)على الجزء
. وهكذا، مجموعة من جميع المشتقات المضادة و(خ)يمكن كتابتها كما 
، أين مع- ثابت تعسفي.
، لذلك، . دعونا نستخدم هذه النتيجة عند الحساب و(ب): ، إنه 
. هذه المساواة تعطي صيغة نيوتن-لايبنتز المثبتة .
. باستخدام هذا الترميز، تأخذ صيغة نيوتن-لايبنتز الشكل 
.
. دعونا نأخذ المشتق العكسي لـ ج = 0: .
.مستطيلة الوظيفة المحددة حدوديا بوليارنايا إس.ك.
حساب مساحات الأشكال المستوية
حساب طول قوس منحنى المستوى
حساب مساحة سطح الثورة
ليست معادلة تفاضلية
يمكن اعتباره تقريبيًا لمعادلة البندول الرياضية غير الخطية 
في حالة السعات الصغيرة، متى ذ≈ الخطيئة ذ.
, الوظيفة: التعريف
المشتقة ودورها
كيفية حساب المشتقة؟
طرق دراسة الوظيفة
قواعد التمايز
النقاط القصوى
قيم الوظائف والحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط
كيف تتصرف في هذه الحالات؟ العثور على الحد الأقصى/الحد الأدنى للنقطة
هذا صحيح، أولاً تزيد الدالة، ثم تنخفض - هذه هي النقطة القصوى!
الجواب: -15 
الجواب: -2 أوجد أكبر/أصغر قيمة للدالة
ذ ذ
في
. خط التقارب المائل هو y = x.
.
، لأن ب = ثابت، ثم 
.
، لذلك،
.
، الذي - التي 
، لذلك،
.
.
.
.
(1)
.
.
وظائف الحد الأدنى
ونتيجة لذلك، يتم استدعاء الحد الأقصى (الحد الأدنى) للدالة الحد الأقصى المحلي(الحد الأدنى المحلي) على عكس الحد الأقصى المطلق (الحد الأدنى) - أكبر (أصغر) قيمة في مجال تعريف الوظيفة.
