محاضرة: إحداثيات المتجهات ؛ المنتج النقطي للناقلات ؛ الزاوية بين النواقل

إحداثيات المتجهات

لذلك ، كما ذكرنا سابقًا ، المتجه هو مقطع موجه له بدايته ونهايته. إذا تم تمثيل البداية والنهاية ببعض النقاط ، فحينئذٍ يكون لكل منهما إحداثيات خاصة بهما على المستوى أو في الفضاء.

إذا كان لكل نقطة إحداثياتها الخاصة ، فيمكننا الحصول على إحداثيات المتجه بأكمله.

لنفترض أن لدينا متجهًا له بداية ونهاية المتجه التعيينات والإحداثيات التالية: A (A x؛ Ay) and B (B x؛ By)

للحصول على إحداثيات هذا المتجه ، من الضروري طرح إحداثيات البداية المقابلة من إحداثيات نهاية المتجه:

لتحديد إحداثيات متجه في الفضاء ، استخدم الصيغة التالية:

حاصل الضرب النقطي للناقلات

هناك طريقتان لتعريف مفهوم المنتج النقطي:

• بطريقة هندسية. ووفقًا له ، فإن الناتج القياسي يساوي حاصل ضرب قيم هذه الوحدات وجيب تمام الزاوية بينهما.

• المعنى الجبري. من وجهة نظر الجبر ، فإن الناتج القياسي لمتجهين هو قيمة معينة تنتج من مجموع حاصل ضرب المتجهات المقابلة.

إذا تم إعطاء المتجهات في الفراغ ، فعليك استخدام صيغة مماثلة:

الخصائص:

• إذا قمت بضرب متجهين متطابقين بشكل عددي ، فإن حاصل الضرب القياسي سيكون غير سالب:

• إذا تبين أن الناتج القياسي لمتجهين متطابقين يساوي صفرًا ، فإن هذين المتجهين يعتبران صفرًا:

• إذا تم ضرب متجه معين في نفسه ، فسيكون حاصل الضرب القياسي مساويًا لمربع مقياسه:

• المنتج القياسي له خاصية تواصل ، أي أن المنتج القياسي لن يتغير من تبديل المتجهات:

• يمكن أن يكون الناتج القياسي للمتجهات غير الصفرية صفرًا فقط إذا كانت المتجهات متعامدة مع بعضها البعض:

• بالنسبة للمنتج القياسي للمتجهات ، يكون القانون التبادلي صالحًا في حالة ضرب أحد المتجهات في رقم:

• باستخدام حاصل الضرب النقطي ، يمكنك أيضًا استخدام خاصية التوزيع الخاصة بالضرب:

الزاوية بين النواقل

التعريف 1

يُطلق على الناتج القياسي للمتجهات عددًا يساوي حاصل ضرب دينات هذه المتجهات وجيب الزاوية بينهما.

تدوين منتج المتجهات a → و b → له شكل a → ، b →. دعنا نحول إلى الصيغة:

a → ، b → = a → b → cos a → ، b → ^. a → و b → تشير إلى أطوال المتجهات ، a → ، b → ^ تشير إلى الزاوية بين المتجهات المعطاة. إذا كان هناك متجه واحد على الأقل يساوي صفرًا ، أي أنه يحتوي على قيمة 0 ، فستكون النتيجة صفرًا ، a → ، b → = 0

عند ضرب متجه في نفسه ، نحصل على مربع داينه:

a → ، b → = a → b → cos a → ، a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

التعريف 2

يسمى الضرب القياسي للمتجه بحد ذاته بالمربع العددي.

محسوبة بالصيغة:

a → ، b → = a → b → cos a → ، b → ^.

كتابة a → ، b → = a → b → cos a → ، b → ^ = a → npa → b → = b → npb → a → يوضح أن npb → a → هو إسقاط رقمي لـ a → على b → ، npa → a → - إسقاط b → على a → على التوالي.

نصوغ تعريف المنتج لمتجهين:

يُطلق على المنتج القياسي لمتجهين a → بواسطة b → منتج طول المتجه a → بإسقاط b → بالاتجاه a → أو منتج طول b → بإسقاط a → ، على التوالى.

حاصل الضرب النقطي في الإحداثيات

يمكن حساب المنتج القياسي من خلال إحداثيات المتجهات في مستوى معين أو في الفضاء.

يُطلق على الناتج القياسي لمتجهين على مستوى ، في مساحة ثلاثية الأبعاد ، مجموع إحداثيات المتجهات المعطاة a → و b →.

عند الحساب على مستوى حاصل الضرب النقطي لمتجهات معينة a → = (a x، a y)، b → = (b x، b y) في النظام الديكارتي ، استخدم:

أ → ، ب → = أ س ب س + أ ص ب ص ،

بالنسبة للفضاء ثلاثي الأبعاد ، يكون التعبير قابلاً للتطبيق:

أ → ، ب → = أ س ب س + أ ص ب ص + أ ع ض ب ع.

في الواقع ، هذا هو التعريف الثالث للمنتج النقطي.

دعنا نثبت ذلك.

إثبات 1

لإثبات ذلك ، نستخدم a → ، b → = a → b → cos a → ، b → ^ = ax bx + ay بواسطة المتجهات a → = (ax ، ay) ، b → = (bx ، by) على الديكارتي النظام.

يجب تأجيل النواقل

O A → = a → = a x و a y و O B → = b → = b x، b y.

ثم سيكون طول المتجه A B → مساويًا لـ A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x، b y - a y).

اعتبر المثلث O A B.

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) صحيح ، بناءً على نظرية جيب التمام.

حسب الشرط ، يمكن ملاحظة أن O A = a → ، O B = b → ، A B = b → - a → ، ∠ A O B = a → ، b → ^ ، لذلك نكتب الصيغة لإيجاد الزاوية بين المتجهات بشكل مختلف

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2-2 a → b → cos (a →، b → ^).

ثم يتبع من التعريف الأول أن ب → - أ → 2 = أ → 2 + ب → 2-2 (أ → ، ب →) ، لذلك (أ → ، ب →) = 1 2 (أ → 2 + ب → 2 - ب → - أ → 2).

بتطبيق صيغة حساب طول المتجهات نحصل على:
a → ، b → = 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + by 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (by - ay) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) = = ax bx + ay by

دعنا نثبت المساواة:

(أ → ، ب →) = أ → ب → كوس (أ → ، ب → ^) = = أ س ب س + أ ص ب ص + أ ع ض ب ض

- على التوالي لناقلات الفضاء ثلاثي الأبعاد.

يوضح المنتج القياسي للمتجهات ذات الإحداثيات أن المربع القياسي للمتجه يساوي مجموع مربعات إحداثياته ​​في الفضاء وعلى المستوى ، على التوالي. أ → = (أ س ، أ ص ، أ ض) ، ب → = (ب س ، ب ص ، ب ض) و (أ → ، أ →) = أ س 2 + أ ص 2.

المنتج النقطي وخصائصه

هناك خصائص المنتج النقطي التي تنطبق على a → ، b → و c →:

1. التبديل (أ → ، ب →) = (ب → ، أ →) ؛
2. التوزيع (أ → + ب → ، ج →) = (أ → ، ج →) + (ب → ، ج →) ، (أ → + ب → ، ج →) = (أ → ، ب →) + (أ → ، ج →) ؛
3. الخاصية الترابطية (λ a → ، b →) = λ (a → ، b →) ، (a → ، λ b →) = λ (a → ، b →) ، λ - أي رقم ؛
4. دائمًا ما يكون المربع القياسي أكبر من الصفر (a → ، a →) ≥ 0 ، حيث (a → ، a →) = 0 عندما a → صفر.

يتم شرح الخصائص من خلال تعريف حاصل الضرب النقطي في المستوى وخصائص جمع وضرب الأعداد الحقيقية.

إثبات خاصية التبديل (أ → ، ب →) = (ب → ، أ →). من التعريف لدينا (a → ، b →) = a y b y + a y b y and (b → a →) = b x a x + b y a y.

من خلال خاصية التبادلية ، فإن المعادلات a x · b x = b x · a x و a y · b y = b y · a y صحيحة ، لذا فإن a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y.

ويترتب على ذلك (أ → ، ب →) = (ب → ، أ →). Q.E.D.

التوزيع صالح لأي أرقام:

(a (1) → + a (2) → +.. + a (n) →، b →) = (a (1) →، b →) + (a (2) →، b →) +. . . + (أ (ن) → ، ب →)

و (a → ، b (1) → + b (2) → +.. + b (n) →) = (a →، b (1) →) + (a →، b (2) →) + . . . + (أ → ، ب → (ن)) ،

ومن ثم لدينا

(a (1) → + a (2) → +.. + a (n) →، b (1) → + b (2) → +.. + b (m) →) = = (a ( 1) → ، ب (1) →) + (أ (1) → ، ب (2) →) +. . . + (أ (1) → ، ب (م) →) + + (أ (2) → ، ب (1) →) + (أ (2) → ، ب (2) →) +. . . + (أ (2) → ، ب (م) →) +. . . + + (a (n) →، b (1) →) + (a (n) →، b (2) →) +. . . + (أ (ن) → ، ب (م) →)

المنتج النقطي مع الأمثلة والحلول

يتم حل أي مشكلة في مثل هذه الخطة باستخدام الخصائص والصيغ المتعلقة بالمنتج القياسي:

1. (أ → ، ب →) = أ → ب → كوس (أ → ، ب → ^) ؛
2. (a → ، b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ؛
3. (أ → ، ب →) = أ س ب س + أ ص ب ص أو (أ → ، ب →) = أ س ب س + أ ص ب ص + أ ض ب ع ؛
4. (أ → ، أ →) = أ → 2.

لنلقِ نظرة على بعض أمثلة الحلول.

مثال 2

طول a → هو 3 ، وطول b → هو 7. أوجد حاصل الضرب القياسي إذا كانت الزاوية 60 درجة.

المحلول

حسب الشرط ، لدينا جميع البيانات ، لذلك نحسب بالصيغة:

(a → ، b →) = a → b → cos (a →، b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

الجواب: (أ → ، ب →) = 21 2.

مثال 3

معطى المتجهات أ → = (1 ، - 1 ، 2-3) ، ب → = (0 ، 2 ، 2 + 3). ما هو المنتج القياسي.

المحلول

في هذا المثال ، يتم أخذ صيغة حساب الإحداثيات في الاعتبار ، نظرًا لأنها محددة في بيان المشكلة:

(أ → ، ب →) = فأس ب س + عاي بي + أز ب ز = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + (2-9) = - 9

الجواب: (أ → ، ب →) = - 9

مثال 4

أوجد حاصل الضرب الداخلي لـ A B → و A C →. النقاط أ (1 ، - 3) ، ب (5 ، 4) ، ج (1 ، 1) معطاة على المستوى الإحداثي.

المحلول

بادئ ذي بدء ، يتم حساب إحداثيات المتجهات ، حيث يتم إعطاء إحداثيات النقاط حسب الشرط:

أ ب → = (5-1 ، 4 - (- 3)) = (4 ، 7) أ ج → = (1-1 ، 1 - (- 3)) = (0 ، 4)

بالتعويض في الصيغة باستخدام الإحداثيات ، نحصل على:

(أ ب ← ، أ ج ←) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28.

الجواب: (أ ب ← ، أ ج ←) = 28.

مثال 5

بالنظر إلى المتجهات a → = 7 m → + 3 n → و b → = 5 m → + 8 n → ، أوجد حاصل ضربهما. m → يساوي 3 و n → يساوي وحدتين ، وهما عموديان.

المحلول

(أ → ، ب →) = (7 م → + 3 ن → ، 5 م → + 8 ن →). بتطبيق خاصية التوزيع نحصل على:

(7 م → + 3 ن → ، 5 م → + 8 ن →) = = (7 م → ، 5 م →) + (7 م → ، 8 ن →) + (3 ن ن → ، 5 م →) + (3 ن ← ، 8 ن ←)

نخرج المعامل خارج علامة المنتج ونحصل على:

(7 م → ، 5 م →) + (7 م → ، 8 ن →) + (3 ن → ، 5 م →) + (3 ن → ، 8 ن →) = = 7 5 (م → ، م →) + 7 8 (م → ، ن →) + 3 5 (ن → ، م →) + 3 8 (ن → ، ن →) = = 35 (م → ، م →) + 56 (م → ، ن →) + 15 (ن → ، م →) + 24 (ن → ، ن →)

من خلال خاصية التبديل ، نحول:

35 (م → ، م →) + 56 (م → ، ن →) + 15 (ن → ، م →) + 24 (ن → ، ن →) = 35 (م → ، م →) + 56 (م → ، n →) + 15 (m →، n →) + 24 (n →، n →) = = 35 (m →، m →) + 71 (m →، n →) + 24 (n →، n →)

نتيجة لذلك ، نحصل على:

(أ → ، ب →) = 35 (م → ، م →) + 71 (م → ، ن →) + 24 (ن → ، ن →).

نطبق الآن معادلة المنتج العددي بالزاوية المحددة بالشرط:

(a → ، b →) = 35 (m → ، m →) + 71 (m → ، n →) + 24 (n → ، n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m → ، n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411.

الجواب: (أ → ، ب →) = 411

إذا كان هناك إسقاط رقمي.

مثال 6

ابحث عن المنتج الداخلي لـ a → و b →. المتجه a → له إحداثيات a → = (9 ، 3 ، - 3) ، الإسقاط b → له إحداثيات (- 3 ، - 1 ، 1).

المحلول

حسب الشرط ، يتم توجيه المتجهات a → والإسقاط b → بشكل معاكس ، لأن a → = - 1 3 npa → b → → ، لذا فإن الإسقاط b → يتوافق مع الطول npa → b → → ومع "-" لافتة:

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11 ،

بالتعويض في الصيغة ، نحصل على التعبير:

(أ → ، ب →) = أ → ن ص أ → ب → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33.

الجواب: (أ → ، ب →) = - 33.

مشاكل مع منتج عددي معروف ، حيث يكون من الضروري إيجاد طول متجه أو إسقاط رقمي.

مثال 7

ما القيمة التي يجب أن تأخذها λ لمنتج عددي معين a → \ u003d (1 ، 0 ، λ + 1) و b → \ u003d (λ ، 1 ، λ) ستكون مساوية لـ -1.

المحلول

من الصيغة يمكن ملاحظة أنه من الضروري إيجاد مجموع حاصل ضرب الإحداثيات:

(أ → ، ب →) = 1 + 0 1 + (+ 1) λ = λ 2 + 2 λ.

في المعطى لدينا (أ → ، ب →) = - 1.

لإيجاد λ نحسب المعادلة:

λ 2 + 2 · λ = - 1 ، ومن ثم λ = - 1.

الجواب: λ = - 1.

المعنى المادي للمنتج العددي

تنظر الميكانيكا في تطبيق المنتج النقطي.

عند العمل A بقوة ثابتة F → جسم متحرك من النقطة M إلى N ، يمكنك إيجاد حاصل ضرب أطوال المتجهات F → و MN → مع جيب التمام للزاوية بينهما ، مما يعني أن الشغل متساوي إلى حاصل ضرب متجهات القوة والإزاحة:

أ = (F → ، M N →).

المثال 8

إن إزاحة نقطة مادية بمقدار 3 أمتار تحت تأثير قوة تساوي 5 نيوتن يتم توجيهها بزاوية 45 درجة بالنسبة للمحور. إعثر على .

المحلول

نظرًا لأن الشغل هو ناتج متجه القوة والإزاحة ، إذن ، بناءً على الحالة F → = 5 ، S → = 3 ، (F → ، S → ^) = 45 ° ، نحصل على A = (F → ، S → ) = F → S → cos (F →، S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2.

الجواب: أ = 15 2 2.

المثال 9

نقطة المادة ، التي تتحرك من M (2 ، - 1 ، - 3) إلى N (5 ، 3 λ - 2 ، 4) تحت القوة F → = (3 ، 1 ، 2) ، عملت بالفعل مساوية لـ 13 J. احسب طول الحركة.

المحلول

لإحداثيات معينة للمتجه M N → لدينا M N → = (5-2 ، 3 λ - 2 - (- 1) ، 4 - (- 3)) = (3 ، 3 λ - 1 ، 7).

بصيغة إيجاد العمل مع المتجهات F → = (3 ، 1 ، 2) و MN → = (3 ، 3 λ - 1 ، 7) نحصل على A = (F ⇒ ، MN →) = 3 3 + 1 (3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3λ.

بشرط أن يكون A \ u003d 13 J ، وهو ما يعني 22 + 3 λ \ u003d 13. هذا يعني λ = - 3 ، وبالتالي M N → = (3 ، 3 λ - 1 ، 7) = (3 ، - 10 ، 7).

لإيجاد طول السفر M N → ، نطبق الصيغة ونستبدل القيم:

م N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158.

الجواب: 158.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

ستكون هناك أيضًا مهام لحل مستقل ، يمكنك رؤية الإجابات عليها.

إذا تم عرض كل من أطوال المتجهات والزاوية بينهما في المشكلة "على طبق من الفضة" ، فإن حالة المشكلة وحلها تبدو كما يلي:

مثال 1يتم إعطاء النواقل. ابحث عن الناتج القياسي للمتجهات إذا تم تمثيل أطوالها والزاوية بينهما بالقيم التالية:

هناك تعريف آخر صالح أيضًا ، وهو مكافئ تمامًا للتعريف 1.

التعريف 2. الناتج القياسي للمتجهات هو رقم (قياسي) يساوي حاصل ضرب طول أحد هذه المتجهات وإسقاط متجه آخر على المحور الذي يحدده أول هذه المتجهات. الصيغة حسب التعريف 2:

سنحل المشكلة باستخدام هذه الصيغة بعد النقطة النظرية المهمة التالية.

تعريف المنتج العددي للمتجهات من حيث الإحداثيات

يمكن الحصول على نفس العدد إذا أعطيت المتجهات المضاعفة بإحداثياتها.

التعريف 3.حاصل الضرب القياسي للمتجهات هو الرقم الذي يساوي مجموع حاصل الضرب الزوجي للإحداثيات الخاصة بهما.

على السطح

إذا تم تعريف متجهين وفي المستوى بواسطة اثنين الإحداثيات الديكارتية

ثم حاصل الضرب القياسي لهذه المتجهات يساوي مجموع حاصل الضرب الزوجي للإحداثيات الخاصة بكل منهما:

.

مثال 2أوجد القيمة العددية لإسقاط المتجه على المحور الموازي للمتجه.

المحلول. نجد حاصل الضرب القياسي للمتجهات بإضافة حاصل الضرب الزوجي لإحداثياتها:

نحتاج الآن إلى مساواة الناتج القياسي الناتج بحاصل ضرب طول المتجه وإسقاط المتجه على محور موازٍ للمتجه (وفقًا للصيغة).

نجد طول المتجه باعتباره الجذر التربيعي لمجموع مربعات إحداثياته:

.

اكتب معادلة وحلها:

إجابه. القيمة العددية المطلوبة هي 8 سالب.

في الفضاء

إذا تم تحديد متجهين وفي الفضاء من خلال إحداثيات المستطيلات الثلاثة الديكارتية

,

ثم يكون الناتج القياسي لهذه المتجهات أيضًا مساويًا لمجموع حاصل الضرب الزوجي للإحداثيات الخاصة بكل منهما ، وهناك فقط ثلاثة إحداثيات:

.

مهمة العثور على المنتج القياسي بالطريقة المدروسة هي بعد تحليل خصائص المنتج القياسي. لأنه في المهمة سيكون من الضروري تحديد الزاوية التي تشكل المتجهات المضاعفة.

خصائص المنتج النقطي للمتجهات

الخصائص الجبرية

1. (خاصية التبديل: قيمة منتجهم القياسي لا تتغير من تغيير أماكن المتجهات المضاعفة).

2. (الملكية الترابطية فيما يتعلق بعامل عددي: الناتج القياسي لمتجه مضروبًا في عامل ومتجه آخر يساوي الناتج القياسي لهذه المتجهات مضروبًا في نفس العامل).

3. (التوزيعية فيما يتعلق بمجموع النواقل: الناتج القياسي لمجموع متجهين بواسطة المتجه الثالث يساوي مجموع المنتجات العددية للمتجه الأول بواسطة المتجه الثالث والمتجه الثاني بواسطة المتجه الثالث).

4. (المربع القياسي لمتجه أكبر من الصفر) إذا كان متجهًا غير صفري ، وإذا كان متجهًا صفريًا.

الخصائص الهندسية

في تعريفات العملية قيد الدراسة ، تطرقنا بالفعل إلى مفهوم الزاوية بين متجهين. حان الوقت لتوضيح هذا المفهوم.

في الشكل أعلاه ، هناك متجهان مرئيان ، يتم إحضارهما إلى بداية مشتركة. وأول شيء يجب الانتباه إليه: هناك زاويتان بين هذه المتجهات - φ 1 و φ 2 . أي من هذه الزوايا يظهر في تعريفات وخصائص المنتج القياسي للمتجهات؟ مجموع الزوايا المدروسة هو 2 π وبالتالي فإن جيب التمام لهذه الزوايا متساوي. يتضمن تعريف حاصل الضرب النقطي جيب تمام الزاوية فقط ، وليس قيمة تعبيرها. لكن يتم النظر في ركن واحد فقط في العقارات. وهذه هي إحدى الزاويتين التي لا تتعدى π أي 180 درجة. تظهر هذه الزاوية في الشكل كـ φ 1 .

1. يتم استدعاء اثنين من النواقل متعامد و الزاوية بين هذين المتجهين صحيحة (90 درجة أو π / 2) إذا الناتج القياسي لهذه المتجهات هو صفر :

.

التعامد في الجبر المتجه هو عمودي متجهين.

2. اثنين من النواقل غير الصفرية تشكل زاوية حادة (من 0 إلى 90 درجة ، أو ، وهو نفس الشيء - أقل π حاصل الضرب النقطي إيجابي .

3. اثنين من النواقل غير الصفرية تشكل زاوية منفرجة (من 90 إلى 180 درجة ، أو ما هو نفسه - أكثر π / 2) إذا وفقط إذا حاصل الضرب النقطي سلبي .

مثال 3يتم إعطاء المتجهات في الإحداثيات:

.

احسب حاصل الضرب القياسي لجميع أزواج المتجهات المعطاة. ما الزاوية (الحادة ، اليمنى ، المنفرجة) التي تتكون منها أزواج المتجهات هذه؟

المحلول. سنحسب بإضافة حاصل ضرب الإحداثيات المقابلة.

حصلنا على عدد سالب ، لذا فإن المتجهات تشكل زاوية منفرجة.

حصلنا على عدد موجب ، وبالتالي تشكل المتجهات زاوية حادة.

حصلنا على صفر ، لذا فإن المتجهات تشكل زاوية قائمة.

حصلنا على عدد موجب ، وبالتالي تشكل المتجهات زاوية حادة.

.

حصلنا على عدد موجب ، وبالتالي تشكل المتجهات زاوية حادة.

للاختبار الذاتي ، يمكنك استخدام آلة حاسبة على الإنترنت حاصل الضرب النقطي للمتجهات وجيب التمام للزاوية بينهما .

مثال 4بالنظر إلى أطوال متجهين والزاوية بينهما:

.

تحديد ما هي قيمة عدد المتجهات والمتعامدة (عمودي).

المحلول. نضرب المتجهات وفقًا لقاعدة ضرب كثيرات الحدود:

الآن دعنا نحسب كل مصطلح:

.

دعنا نؤلف معادلة (تساوي المنتج مع الصفر) ، ونعطي مصطلحات متشابهة ونحل المعادلة:

الجواب: حصلنا على القيمة λ = 1.8 ، حيث تكون المتجهات متعامدة.

مثال 5إثبات أن المتجه متعامد (عمودي) على المتجه

المحلول. للتحقق من التعامد ، نقوم بضرب المتجهات وكعديد حدود ، مع استبدال التعبير الوارد في حالة المشكلة بدلاً من التعبير:

.

للقيام بذلك ، تحتاج إلى ضرب كل مصطلح (مصطلح) من كثير الحدود الأول في كل مصطلح من الثانية وإضافة الضربات الناتجة:

.

نتيجة لذلك ، يتم تقليل الكسر المستحق. يتم الحصول على النتيجة التالية:

الخلاصة: نتيجة الضرب ، حصلنا على صفر ، لذلك تم إثبات تعامد (عمودية) المتجهات.

قم بحل المشكلة بنفسك ثم انظر إلى الحل

مثال 6بالنظر إلى أطوال المتجهات و ، والزاوية بين هذين المتجهين هي π / 4. حدد بأي قيمة μ المتجهات ومتعامدة بشكل متبادل.

للاختبار الذاتي ، يمكنك استخدام آلة حاسبة على الإنترنت حاصل الضرب النقطي للمتجهات وجيب التمام للزاوية بينهما .

تمثيل مصفوفة للمنتج العددي للمتجهات وحاصل ضرب متجهات الأبعاد n

في بعض الأحيان ، من أجل الوضوح ، من المفيد تمثيل متجهين مضروبين في شكل مصفوفات. ثم يتم تمثيل المتجه الأول كمصفوفة صف ، والثاني - كمصفوفة عمود:

ثم سيكون الناتج القياسي للناقلات حاصل ضرب هذه المصفوفات :

والنتيجة هي نفسها التي تم الحصول عليها بالطريقة التي درسناها بالفعل. حصلنا على رقم واحد ، وحاصل ضرب صف المصفوفة بعمود المصفوفة هو أيضًا رقم واحد.

في شكل مصفوفة ، من الملائم تمثيل ناتج متجهات مجردة ذات أبعاد n. وبالتالي ، فإن حاصل ضرب متجهين رباعي الأبعاد سيكون ناتج مصفوفة صف مكونة من أربعة عناصر بواسطة مصفوفة عمود أيضًا مع أربعة عناصر ، وحاصل ضرب متجهين خماسي الأبعاد سيكون ناتج مصفوفة صف مكونة من خمسة عناصر بواسطة مصفوفة عمود أيضًا تحتوي على خمسة عناصر ، وهكذا.

مثال 7أوجد حاصل الضرب النقطي لأزواج المتجهات

,

باستخدام تمثيل المصفوفة.

المحلول. الزوج الأول من النواقل. نمثل المتجه الأول كمصفوفة صف ، والثاني كمصفوفة عمود. نجد حاصل الضرب القياسي لهذه المتجهات كحاصل ضرب مصفوفة الصف بواسطة مصفوفة العمود:

وبالمثل ، فإننا نمثل الزوج الثاني ونجد:

كما ترى ، فإن النتائج هي نفسها للأزواج نفسها من المثال 2.

الزاوية بين متجهين

اشتقاق صيغة جيب تمام الزاوية بين متجهين جميل وموجز للغاية.

للتعبير عن حاصل الضرب النقطي للمتجهات

(1)

في صيغة الإحداثيات ، نجد أولًا حاصل الضرب القياسي للأشكال. المنتج القياسي للمتجه مع نفسه هو بالتعريف:

ما هو مكتوب في الصيغة أعلاه يعني: الناتج القياسي للمتجه مع نفسه يساوي مربع طوله. جيب تمام الصفر يساوي واحدًا ، لذا فإن مربع كل أورث سيساوي واحدًا:

منذ النواقل

تكون متعامدة في اتجاه زوجي ، فإن حاصل الضرب الزوجي للأزواج سيكون مساويًا للصفر:

لنقم الآن بضرب كثيرات حدود المتجه:

نحن نستبدل في الجانب الأيمن من المساواة قيم المنتجات العددية المقابلة للأوضاع:

نحصل على صيغة جيب تمام الزاوية بين متجهين:

المثال 8معطى ثلاث نقاط أ(1;1;1), ب(2;2;1), ج(2;1;2).

جد زاوية.

المحلول. نجد إحداثيات المتجهات:

,

.

باستخدام صيغة جيب تمام الزاوية ، نحصل على:

لذلك، .

للاختبار الذاتي ، يمكنك استخدام آلة حاسبة على الإنترنت حاصل الضرب النقطي للمتجهات وجيب التمام للزاوية بينهما .

المثال 9نظرا اثنين من النواقل

أوجد المجموع والفرق والطول وحاصل الضرب القياسي والزاوية بينهما.

2-الاختلاف

حاصل الضرب المتجه والنقطي يجعل من السهل حساب الزاوية بين المتجهات. دع متجهين $ \ overline (a) $ و $ \ overline (b) $ يُعطى ، الزاوية الموجهة بينهما تساوي $ \ varphi $. لنحسب القيم $ x = (\ overline (a)، \ overline (b)) $ و $ y = [\ overline (a)، \ overline (b)] $. ثم $ x = r \ cos \ varphi $، $ y = r \ sin \ varphi $ ، حيث $ r = | \ overline (a) | \ cdot | \ overline (b) | $ و $ \ varphi $ هو المطلوب الزاوية ، أي أن النقطة $ (x، y) $ لها زاوية قطبية تساوي $ \ varphi $ ، وبالتالي يمكن إيجاد $ varphi $ كـ atan2 (y، x).

مساحة المثلث

نظرًا لأن منتج المتجه يحتوي على حاصل ضرب طولين متجهين وجيب الزاوية بينهما ، يمكن استخدام منتج المتجه لحساب مساحة المثلث ABC:

$ S_ (ABC) = \ frac (1) (2) | [\ overline (AB) ، \ overline (AC)] | $.

نقطة تنتمي إلى خط

لنحصل على نقطة $ P $ وخط $ AB $ (معطاة بنقطتين $ A $ و $ B $). من الضروري التحقق مما إذا كانت النقطة تنتمي إلى السطر $ AB $.

تنتمي النقطة إلى السطر $ AB $ إذا وفقط إذا كان المتجهان $ AP $ و $ AB $ متواصلين ، أي إذا كان $ [\ overline (AP) ، \ overline (AB)] = 0 $.

انتماء نقطة إلى شعاع

لنفترض أن نقطة $ P $ وشعاع $ AB $ (معطاة بنقطتين - بداية الشعاع $ A $ ونقطة على الشعاع $ B $). من الضروري التحقق مما إذا كانت النقطة تنتمي إلى الشعاع $ AB $.

يجب إضافة شرط إضافي إلى الشرط الذي يشير إلى أن النقطة $ P $ تنتمي إلى السطر $ AB $ - المتجهان $ AP $ و $ AB $ هما اتجاهان مشفران ، أي أنهما مترابطان ومنتجهما القياسي غير سالب ، وهذا يعني ، $ (\ overline (AB) ، \ overline (AP)) \ ge $ 0.

نقطة تنتمي إلى قطعة

أعط نقطة $ P $ وقطعة $ AB $. من الضروري التحقق مما إذا كانت النقطة تنتمي إلى المقطع $ AB $.

في هذه الحالة ، يجب أن تنتمي النقطة إلى كل من ray $ AB $ و ray $ BA $ ، لذلك يجب التحقق من الشروط التالية:

$ [\ overline (AP)، \ overline (AB)] = 0 $،

$ (\ overline (AB)، \ overline (AP)) \ ge 0 $،

$ (\ overline (BA)، \ overline (BP)) \ ge 0 $.

المسافة من نقطة إلى خط

لنحصل على نقطة $ P $ وخط $ AB $ (معطاة بنقطتين $ A $ و $ B $). من الضروري إيجاد المسافة من نقطة الخط المستقيم $ AB $.

خذ بعين الاعتبار المثلث ABP. من ناحية أخرى ، مساحتها $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) | [\ overline (AB) ، \ overline (AP)] | $.

من ناحية أخرى ، مساحتها هي $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) h | AB | $ ، حيث $ h $ هو الارتفاع من $ P $ ، أي المسافة من $ P $ إلى $ AB $. من أين $ h = | [\ overline (AB) ، \ overline (AP)] | / | AB | $.

المسافة من نقطة إلى شعاع

لنفترض أن نقطة $ P $ وشعاع $ AB $ (معطاة بنقطتين - بداية الشعاع $ A $ ونقطة على الشعاع $ B $). من الضروري إيجاد المسافة من النقطة إلى الشعاع ، أي طول أقصر جزء من النقطة $ P $ إلى أي نقطة من الشعاع.

هذه المسافة تساوي إما الطول $ AP $ أو المسافة من النقطة $ P $ إلى الخط $ AB $. يمكن تحديد أي من الحالات التي تحدث بسهولة من خلال الموضع النسبي للحزمة والنقطة. إذا كانت الزاوية PAB حادة ، مثل $ (\ overline (AB) ، \ overline (AP))> 0 $ ، فإن الإجابة هي المسافة من النقطة $ P $ إلى السطر $ AB $ ، وإلا فإن الإجابة هي الطول من الجزء $ AB $.

المسافة من نقطة إلى خط

أعط نقطة $ P $ وقطعة $ AB $. من الضروري إيجاد المسافة من $ P $ إلى المقطع $ AB $.

إذا انخفض أساس العمود العمودي من $ P $ إلى السطر $ AB $ يقع في المقطع $ AB $ ، والذي يمكن التحقق منه وفقًا للشروط

$ (\ overline (AP)، \ overline (AB)) \ ge 0 $،

$ (\ overline (BP) \ overline (BA)) \ ge 0 $،

إذن الإجابة هي المسافة من النقطة $ P $ إلى السطر $ AB $. وإلا فإن المسافة ستكون مساوية لـ $ \ min (AP، BP) $.

حاصل الضرب النقطي للناقلات

نواصل التعامل مع النواقل. في الدرس الأول ناقلات للدمىلقد درسنا مفهوم المتجه والإجراءات ذات المتجهات وإحداثيات المتجهات وأبسط المشاكل مع المتجهات. إذا أتيت إلى هذه الصفحة لأول مرة من محرك بحث ، فإنني أوصي بشدة بقراءة المقالة التمهيدية أعلاه ، لأنه من أجل استيعاب المادة ، يجب أن يتم إرشادك في المصطلحات والترميز الذي أستخدمه ، ولديك معرفة أساسية بالمتجهات وتكون قادرة على حل المشاكل الأولية. هذا الدرس هو استمرار منطقي للموضوع ، وفيه سأحلل بالتفصيل المهام النموذجية التي تستخدم المنتج القياسي للمتجهات. هذه وظيفة مهمة جدا.. حاول ألا تتخطى الأمثلة ، فهي مصحوبة بمكافأة مفيدة - ستساعدك الممارسة على دمج المادة المغطاة و "الحصول على يدك" في حل المشكلات الشائعة للهندسة التحليلية.

إضافة المتجهات ، وضرب متجه برقم…. سيكون من السذاجة الاعتقاد بأن علماء الرياضيات لم يأتوا بشيء آخر. بالإضافة إلى الإجراءات التي تم النظر فيها بالفعل ، هناك عدد من العمليات الأخرى ذات النواقل ، وهي: حاصل الضرب النقطي من النواقل, عبر المنتج من النواقلو منتج مختلط من النواقل. المنتج القياسي للناقلات مألوف لنا من المدرسة ، والمنتجان الآخران مرتبطان تقليديًا بمسار الرياضيات العليا. المواضيع بسيطة ، وخوارزمية حل العديد من المشاكل مقولبة ومفهومة. الشيء الوحيد. هناك قدر لا بأس به من المعلومات ، لذلك من غير المرغوب فيه محاولة إتقان كل شيء وحله مرة واحدة. هذا ينطبق بشكل خاص على الدمى ، صدقوني ، المؤلف لا يريد مطلقًا أن يشعر وكأنه تشيكاتيلو من الرياضيات. حسنًا ، ليس من الرياضيات ، بالطبع ، إما =) يمكن للطلاب الأكثر استعدادًا استخدام المواد بشكل انتقائي ، بمعنى معين ، "اكتساب" المعرفة المفقودة ، لأنني سأكون الكونت دراكولا غير ضار =)

أخيرًا ، لنفتح الباب قليلاً ونلقي نظرة على ما يحدث عندما يلتقي متجهان مع بعضهما البعض….

تعريف المنتج العددي للناقلات.
خصائص المنتج العددي. المهام النموذجية

مفهوم المنتج النقطي

أولا الزاوية بين النواقل. أعتقد أن الجميع يفهم بشكل حدسي الزاوية بين المتجهات ، ولكن فقط في حالة ، أكثر من ذلك بقليل. ضع في اعتبارك ناقلات غير صفرية و. إذا قمنا بتأجيل هذه النواقل من نقطة اعتباطية ، فسنحصل على صورة قدمها الكثيرون بالفعل ذهنيًا:

أعترف ، هنا وصفت الوضع فقط على مستوى التفاهم. إذا كنت بحاجة إلى تعريف صارم للزاوية بين المتجهات ، فيرجى الرجوع إلى الكتاب المدرسي ، ولكن بالنسبة للمهام العملية ، فنحن ، من حيث المبدأ ، لسنا في حاجة إليها. هنا أيضًا وأكثر ، سأتجاهل أحيانًا صفر نواقل نظرًا لأهميتها العملية المنخفضة. لقد قمت بالحجز خصيصًا لزوار الموقع المتقدمين ، والذين يمكنهم أن يوبخوني لعدم اكتمال بعض العبارات التالية نظريًا.

في الأدبيات ، غالبًا ما يتم حذف رمز الزاوية وكتابته ببساطة.

تعريف:الناتج العددي لمتجهين هو رقم يساوي حاصل ضرب أطوال هذه المتجهات وجيب الزاوية بينهما:

الآن هذا تعريف صارم جدًا.

نحن نركز على المعلومات الأساسية:

تعيين:يتم الإشارة إلى المنتج القياسي بواسطة أو ببساطة.

نتيجة العملية هي NUMBER: اضرب المتجه بمتجه للحصول على رقم. في الواقع ، إذا كانت أطوال المتجهات أرقامًا ، فإن جيب تمام الزاوية هو رقم ، ثم حاصل ضربها سيكون أيضًا رقمًا.

فقط بعض الأمثلة على الإحماء:

مثال 1

المحلول:نستخدم الصيغة . في هذه الحالة:

إجابه:

يمكن العثور على قيم جيب التمام في الجدول المثلثي. أوصي بطباعته - ستكون مطلوبة في جميع أقسام البرج تقريبًا وستكون مطلوبة عدة مرات.

من وجهة نظر رياضية بحتة ، المنتج القياسي بلا أبعاد ، أي أن النتيجة ، في هذه الحالة ، هي مجرد رقم وهذا كل شيء. من وجهة نظر المشاكل الفيزيائية ، يكون للمنتج القياسي دائمًا معنى فيزيائي معين ، أي بعد النتيجة ، يجب الإشارة إلى وحدة مادية أو أخرى. يمكن العثور على المثال الأساسي لحساب عمل القوة في أي كتاب مدرسي (الصيغة هي بالضبط حاصل الضرب النقطي). يتم قياس عمل القوة بالجول ، لذلك ستتم كتابة الإجابة بشكل محدد تمامًا ، على سبيل المثال ،.

مثال 2

ابحث عما إذا كان ، والزاوية بين المتجهات.

هذا مثال للقرار الذاتي ، الجواب في نهاية الدرس.

الزاوية بين المتجهات وقيمة المنتج النقطي

في المثال 1 ، تبين أن المنتج القياسي موجب ، وفي المثال 2 ، تبين أنه سلبي. دعنا نتعرف على ما تعتمد عليه علامة المنتج القياسي. لنلقِ نظرة على صيغتنا: . أطوال المتجهات غير الصفرية تكون دائمًا موجبة: لذلك يمكن أن تعتمد الإشارة فقط على قيمة جيب التمام.

ملحوظة: لفهم المعلومات الواردة أدناه بشكل أفضل ، من الأفضل دراسة الرسم البياني لجيب التمام في الدليل الرسوم البيانية وخصائص الوظيفة. انظر كيف يتصرف جيب التمام على القطعة.

كما لوحظ بالفعل ، يمكن أن تختلف الزاوية بين المتجهات في الداخل ، والحالات التالية ممكنة:

1) إذا حقنةبين النواقل حار: (من 0 إلى 90 درجة) ، إذن ، و سيكون المنتج النقطي موجبًا شارك في الإخراج، فإن الزاوية بينهما تعتبر صفرًا ، ويكون الناتج القياسي أيضًا موجبًا. منذ ذلك الحين ، يتم تبسيط الصيغة:.

2) إذا حقنةبين النواقل حاد: (من 90 إلى 180 درجة) ، إذن و بالمقابل حاصل الضرب النقطي سلبي:. حالة خاصة: إذا كانت النواقل موجهة بشكل معاكسثم تعتبر الزاوية بينهما نشر: (180 درجة). المنتج القياسي هو أيضا سلبي ، منذ ذلك الحين

العبارات المعاكسة صحيحة أيضًا:

1) إذا كانت الزاوية بين هذه المتجهات حادة. بدلاً من ذلك ، تكون النواقل ذات اتجاه مشفر.

2) إذا كانت الزاوية بين هذين المتجهين منفرجة. بدلا من ذلك ، يتم توجيه المتجهات بشكل معاكس.

لكن الحالة الثالثة ذات أهمية خاصة:

3) إذا حقنةبين النواقل مستقيم: (90 درجة) ثم و حاصل الضرب القياسي هو صفر:. والعكس صحيح أيضًا: إذا ، إذن. تم صياغة بيان الاتفاق على النحو التالي: يكون الناتج القياسي لمتجهين صفرًا فقط إذا كانت المتجهات المعطاة متعامدة. تدوين رياضي قصير:

! ملحوظة : كرر أسس المنطق الرياضي: عادةً ما تتم قراءة رمز النتيجة المنطقية على الوجهين "إذا وفقط عندها" ، "إذا وفقط إذا". كما ترى ، يتم توجيه الأسهم في كلا الاتجاهين - "من هذا يتبع هذا ، والعكس صحيح - من هذا يتبع هذا". بالمناسبة ، ما هو الاختلاف عن رمز المتابعة أحادي الاتجاه؟ مطالبات أيقونة هذا فقطأن "من هذا يتبع هذا" ، وليس حقيقة أن العكس هو الصحيح. على سبيل المثال: ، ولكن ليس كل حيوان هو النمر ، لذلك لا يمكن استخدام الرمز في هذه الحالة. في نفس الوقت ، بدلا من الأيقونة علبةاستخدام رمز من جانب واحد. على سبيل المثال ، أثناء حل المشكلة ، اكتشفنا أننا استنتجنا أن المتجهات متعامدة: - سيكون هذا السجل صحيحًا ، بل وسيكون أكثر ملاءمة من .

الحالة الثالثة ذات أهمية عملية كبيرة.، لأنه يسمح لك بالتحقق مما إذا كانت المتجهات متعامدة أم لا. سنحل هذه المشكلة في القسم الثاني من الدرس.

خصائص المنتج نقطة

دعنا نعود إلى الحالة عند اثنين من النواقل شارك في الإخراج. في هذه الحالة ، الزاوية بينهما صفر ، وتأخذ صيغة المنتج العددية الشكل:.

ماذا يحدث إذا تم ضرب المتجه في نفسه؟ من الواضح أن المتجه موجه بشكل مشترك مع نفسه ، لذلك نستخدم الصيغة المبسطة أعلاه:

الرقم يسمى مربع عدديمتجه ، ويشار إليها باسم.

في هذا الطريق، المربع القياسي للمتجه يساوي مربع طول المتجه المحدد:

من هذه المساواة ، يمكنك الحصول على صيغة لحساب طول المتجه:

بينما يبدو الأمر غامضًا ، إلا أن مهام الدرس ستضع كل شيء في مكانه. لحل المشاكل ، نحتاج أيضًا خصائص المنتج نقطة.

بالنسبة إلى المتجهات التعسفية وأي رقم ، فإن الخصائص التالية صحيحة:

1) - للإزاحة أو تبادليقانون المنتجات العددية.

2) - التوزيع أو توزيعيقانون المنتجات العددية. ببساطة ، يمكنك فتح الأقواس.

3) - مجموعة أو ترابطيقانون المنتجات العددية. يمكن إخراج الثابت من الناتج القياسي.

في كثير من الأحيان ، ينظر الطلاب إلى جميع أنواع الخصائص (التي تحتاج أيضًا إلى إثبات!) على أنها سلة مهملات غير ضرورية ، والتي تحتاج فقط إلى حفظها ونسيانها بأمان فور الامتحان. يبدو أن ما هو مهم هنا ، الجميع يعرف بالفعل من الصف الأول أن المنتج لا يتغير من تقليب العوامل :. يجب أن أحذرك ، في الرياضيات العليا باستخدام مثل هذا النهج ، من السهل إفساد الأشياء. لذلك ، على سبيل المثال ، الخاصية التبادلية غير صالحة لـ المصفوفات الجبرية. هذا ليس صحيحا ل عبر المنتج من النواقل. لذلك ، من الأفضل على الأقل الخوض في أي خصائص ستقابلها في سياق الرياضيات العليا لفهم ما يمكن وما لا يمكن فعله.

مثال 3

.

المحلول:أولاً ، دعنا نوضح الموقف بالمتجه. ما هو كل شيء؟ مجموع المتجهات وهو متجه محدد جيدًا ، يتم الإشارة إليه بواسطة. يمكن العثور على التفسير الهندسي للإجراءات ذات النواقل في المقالة ناقلات للدمى. نفس البقدونس مع المتجه هو مجموع المتجهات و.

لذلك ، وفقًا للشرط ، من الضروري العثور على المنتج القياسي. من الناحية النظرية ، تحتاج إلى تطبيق صيغة العمل ولكن المشكلة أننا لا نعرف أطوال المتجهات والزاوية بينهما. لكن في الحالة ، يتم إعطاء معلمات متشابهة للناقلات ، لذلك سنذهب في الاتجاه الآخر:

(1) نحن نستبدل تعبيرات المتجهات.

(2) نفتح الأقواس وفقًا لقاعدة ضرب كثيرات الحدود ، يمكن العثور على عبارة لسان مبتذلة في المقالة ارقام مركبةأو تكامل دالة كسرية منطقية. لن أكرر نفسي =) بالمناسبة ، تسمح لنا خاصية التوزيع للمنتج القياسي بفتح الأقواس. لدينا الحق.

(3) في المصطلحين الأول والأخير ، نكتب بشكل مضغوط المربعات العددية للمتجهات: . في المصطلح الثاني ، نستخدم قابلية تبديل المنتج القياسي:.

(4) فيما يلي مصطلحات متشابهة:.

(5) في المصطلح الأول ، نستخدم صيغة المربع العددي ، التي تم ذكرها منذ وقت ليس ببعيد. في الفصل الأخير ، على التوالي ، يعمل نفس الشيء:. يتم توسيع المصطلح الثاني وفقًا للصيغة القياسية .

(6) استبدل هذه الشروط ، ونفذ بدقة الحسابات النهائية.

إجابه:

توضح القيمة السالبة للمنتج النقطي حقيقة أن الزاوية بين المتجهين منفرجة.

المهمة نموذجية ، وإليك مثال لحل مستقل:

مثال 4

ابحث عن المنتج القياسي للمتجهات وإذا كان معروفًا ذلك .

الآن مهمة أخرى مشتركة ، فقط لصيغة طول المتجه الجديدة. ستتداخل التعيينات هنا قليلاً ، لذا من أجل الوضوح ، سأعيد كتابتها بحرف مختلف:

مثال 5

أوجد طول المتجه إذا .

المحلولسيكون على النحو التالي:

(1) نحن نوفر التعبير المتجه.

(2) نستخدم صيغة الطول: بينما لدينا تعبير عدد صحيح مثل المتجه "ve".

(3) نستخدم صيغة المدرسة لمربع المجموع. انتبه إلى كيفية عملها بشكل غريب هنا: - في الواقع ، هذا هو مربع الاختلاف ، وفي الواقع ، هو كذلك. يمكن لأولئك الذين يرغبون في إعادة ترتيب المتجهات في الأماكن: - اتضح نفس الشيء حتى إعادة ترتيب الشروط.

(4) ما يلي هو مألوف بالفعل من المشكلتين السابقتين.

إجابه:

بما أننا نتحدث عن الطول ، لا تنس الإشارة إلى البعد - "الوحدات".

مثال 6

أوجد طول المتجه إذا .

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

نستمر في إخراج الأشياء المفيدة من المنتج القياسي. لنلقِ نظرة على الصيغة مرة أخرى . وفقًا لقاعدة التناسب ، نعيد ضبط أطوال المتجهات إلى مقام الجانب الأيسر:

لنقم بتبديل الأجزاء:

ما معنى هذه الصيغة؟ إذا كان أطوال متجهين وحاصل ضربهما القياسي معروفين ، فيمكن عندئذٍ حساب جيب تمام الزاوية بين هذين المتجهين ، وبالتالي قياس الزاوية نفسها.

هل المنتج العددي رقم؟ عدد. هل أطوال المتجهات أرقام؟ أعداد. إذن ، الكسر هو أيضًا عدد. وإذا عرف جيب تمام الزاوية: ، ثم باستخدام الدالة العكسية ، من السهل العثور على الزاوية نفسها: .

مثال 7

أوجد الزاوية بين المتجهين وإذا عرفت ذلك.

المحلول:نستخدم الصيغة:

في المرحلة الأخيرة من الحسابات ، تم استخدام تقنية - القضاء على اللاعقلانية في المقام. للتخلص من اللاعقلانية ، قمت بضرب البسط والمقام في.

حتى إذا ، ومن بعد:

يمكن العثور على قيم الدوال المثلثية العكسية من خلال الجدول المثلثي. على الرغم من أن هذا نادرًا ما يحدث. في مشاكل الهندسة التحليلية ، تظهر بعض الدببة الخرقاء في كثير من الأحيان ، ويجب إيجاد قيمة الزاوية تقريبًا باستخدام الآلة الحاسبة. في الواقع ، سنرى هذه الصورة مرارًا وتكرارًا.

إجابه:

مرة أخرى ، لا تنس تحديد البعد - راديان ودرجات. شخصيًا ، من أجل "إزالة جميع الأسئلة" عن عمد ، أفضل الإشارة إلى كليهما (ما لم يكن مطلوبًا بالطبع تقديم الإجابة بالراديان فقط أو بالدرجات فقط).

الآن ستتمكن من التعامل مع مهمة أكثر صعوبة بمفردك:

المثال 7 *

معطى أطوال المتجهات ، والزاوية بينهما. أوجد الزاوية بين المتجهين.

المهمة ليست صعبة بقدر ما هي متعددة الاتجاهات.
دعنا نحلل خوارزمية الحل:

1) وفقًا للشرط ، يلزم إيجاد الزاوية بين المتجهات ، وبالتالي تحتاج إلى استخدام الصيغة .

2) نجد حاصل الضرب القياسي (انظر الأمثلة رقم 3 ، 4).

3) أوجد طول المتجه وطول المتجه (انظر الأمثلة رقم 5 ، 6).

4) تطابق نهاية الحل مع المثال رقم 7 - نعرف الرقم ، مما يعني أنه من السهل إيجاد الزاوية نفسها:

حل قصير والإجابة في نهاية الدرس.

القسم الثاني من الدرس مخصص لنفس المنتج النقطي. إحداثيات. سيكون أسهل مما كان عليه في الجزء الأول.

حاصل الضرب النقطي للناقلات ،
أعطيت بواسطة الإحداثيات على أساس متعامد

إجابه:

وغني عن القول ، أن التعامل مع الإحداثيات أكثر متعة.

المثال 14

أوجد المنتج العددي للمتجهات وإذا

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". هنا يمكنك استخدام ترابط العملية ، أي لا تحسب ، ولكن على الفور اخرج الثلاثي من الناتج العددي وضربه في النهاية. الحل والجواب في نهاية الدرس.

في نهاية الفقرة مثال استفزازي لحساب طول المتجه:

المثال 15

أوجد أطوال المتجهات ، إذا

المحلول:مرة أخرى ، تقترح طريقة المقطع السابق نفسها: ولكن هناك طريقة أخرى:

لنجد المتجه:

وطوله حسب الصيغة التافهة :

المنتج القياسي غير مناسب هنا على الإطلاق!

كيف يكون خارج العمل عند حساب طول المتجه:
قف. لماذا لا تستفيد من خاصية الطول الواضحة للمتجه؟ ماذا يمكن أن يقال عن طول المتجه؟ هذا المتجه أطول بخمس مرات من المتجه. الاتجاه معاكس لكن لا يهم لأننا نتحدث عن الطول. من الواضح أن طول المتجه يساوي المنتج وحدةعدد لكل متجه طول:
- علامة الوحدة "تأكل" محتمل ناقص الرقم.

في هذا الطريق:

إجابه:

صيغة جيب تمام الزاوية بين المتجهات المعطاة بالإحداثيات

الآن لدينا معلومات كاملة للتعبير عن الصيغة المشتقة مسبقًا لجيب الزاوية بين المتجهات من حيث إحداثيات المتجهات:

جيب التمام للزاوية بين متجهات المستوىو ، على أساس متعامد ، يتم التعبير عنها بالصيغة:
.

جيب التمام للزاوية بين متجهات الفراغ، في الأساس المتعامد ، يتم التعبير عنها بالصيغة:

المثال 16

معطيات ثلاثة رؤوس لمثلث. أوجد (زاوية الرأس).

المحلول:حسب الشرط ، الرسم غير مطلوب ، ولكن لا يزال:

الزاوية المطلوبة محددة بقوس أخضر. نذكر على الفور تسمية المدرسة للزاوية: - اهتمام خاص بـ وسطالحرف - هذا هو رأس الزاوية التي نحتاجها. للإيجاز ، يمكن أيضًا كتابته ببساطة.

يتضح من الرسم أن زاوية المثلث تتطابق مع الزاوية بين المتجهات ، وبعبارة أخرى: .

من المستحسن معرفة كيفية إجراء التحليل عقليًا.

دعنا نجد المتجهات:

دعنا نحسب المنتج القياسي:

وأطوال المتجهات:

جيب التمام لزاوية:

هذا هو ترتيب المهمة الذي أوصي به للدمى. يمكن للقراء الأكثر تقدمًا كتابة الحسابات "في سطر واحد":

فيما يلي مثال على قيمة جيب التمام "السيئة". القيمة الناتجة ليست نهائية ، لذلك لا فائدة من التخلص من اللاعقلانية في المقام.

لنجد الزاوية:

إذا نظرت إلى الرسم ، فإن النتيجة معقولة تمامًا. للتحقق من الزاوية ، يمكن أيضًا قياسها بمنقلة. لا تتلف طلاء الشاشة =)

إجابه:

في الجواب لا تنسوا ذلك سئل عن زاوية المثلث(وليس حول الزاوية بين المتجهات) ، لا تنس الإشارة إلى الإجابة الدقيقة: والقيمة التقريبية للزاوية: وجدت مع آلة حاسبة.

يمكن لأولئك الذين استمتعوا بالعملية حساب الزوايا والتأكد من صحة المساواة القانونية

المثال 17

يُعطى المثلث في الفضاء بإحداثيات رءوسه. أوجد الزاوية بين الجانبين و

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس

سيتم تخصيص قسم أخير صغير للإسقاطات ، حيث يكون المنتج القياسي أيضًا "متورطًا":

إسقاط متجه على متجه. إسقاط متجه على محاور الإحداثيات.
جيب التمام الاتجاه المتجه

ضع في اعتبارك النواقل و:

نسقط المتجه على المتجه ، لذلك نحذف من بداية ونهاية المتجه عموديلكل متجه (خطوط منقطة خضراء). تخيل أن أشعة الضوء تسقط بشكل عمودي على متجه. ثم المقطع (الخط الأحمر) سيكون "ظل" المتجه. في هذه الحالة ، يكون إسقاط المتجه على متجه هو طول المقطع. وهذا يعني أن الإسقاط رقم.

يتم الإشارة إلى هذا الرقم كما يلي: يشير "المتجه الكبير" إلى متجه الذيمشروع ، "ناقل منخفض منخفض" يشير إلى المتجه على الوهو ما كان متوقعا.

الإدخال نفسه يقرأ مثل هذا: "إسقاط المتجه" a "على المتجه" be ".

ماذا يحدث إذا كان المتجه "be" "قصير جدًا"؟ نرسم خطًا مستقيمًا يحتوي على المتجه "be". وسيتم إسقاط المتجه "أ" بالفعل في اتجاه المتجه "يكون"، ببساطة - على خط مستقيم يحتوي على المتجه "be". سيحدث نفس الشيء إذا تم وضع المتجه "a" جانبًا في المملكة الثلاثين - سيظل من السهل إسقاطه على الخط الذي يحتوي على المتجه "be".

إذا كانت الزاويةبين النواقل حار(كما في الصورة) إذن

إذا كانت النواقل متعامد، إذن (الإسقاط هو نقطة يُفترض أن تكون أبعادها صفرًا).

إذا كانت الزاويةبين النواقل حاد(في الشكل ، أعد ترتيب سهم المتجه عقليًا) ، ثم (بنفس الطول ، ولكن بعلامة ناقص).

ضع هذه النواقل جانبًا من نقطة واحدة:

من الواضح ، عند تحريك ناقل ، لا يتغير إسقاطه