الزوايا المقابلة مستقيمة. علامات التوازي لخطين مستقيمين

دع الخط c يتقاطع مع الخطين المتوازيين a و b. هذا يخلق ثماني زوايا. غالبًا ما تُستخدم الزوايا في الخطوط المستقيمة المتوازية والخطوط القاطعة في المسائل التي تُمنح أسماء خاصة في الهندسة.

الزوايا 1 و 3 - عمودي.بوضوح، الزوايا العمودية متساويةهذا هو
∠1 = ∠3,
∠2 = ∠4.

بالطبع ، الزوايا 5 و 7 و 6 و 8 رأسية أيضًا.

الزوايا 1 و 2 - المجاور، نحن نعلم ذلك بالفعل. مجموع الزوايا المجاورة هو 180º.

الزاويتان 3 و 5 (بالإضافة إلى 2 و 8 و 1 و 7 و 4 و 6) بالعرض. زوايا الكذب بالعرض متساوية.
∠3 = ∠5,
∠1 = ∠7,
∠2 = ∠8,
∠4 = ∠6.

الزوايا 1 و 6 - من جانب واحد.إنها تقع على جانب واحد من "الهيكل" بأكمله. الزاويتان 4 و 7 أحادية الجانب أيضًا. مجموع الزوايا أحادية الجانب 180 درجة، هذا هو
∠1 + 6 = 180 درجة ،
∠4 + ∠7 = 180 درجة.

تسمى الزاويتان 2 و 6 (بالإضافة إلى 3 و 7 و 1 و 5 و 4 و 8) المعني.

الزوايا المتناظرة متساوية، هذا هو
∠2 = ∠6,
∠3 = ∠7.

تسمى الزوايا 3 و 5 (بالإضافة إلى 2 و 8 و 1 و 7 و 4 و 6) الكذب بالعرض.

زوايا الكذب العرضية متساوية، هذا هو
∠3 = ∠5,
∠1 = ∠7,
∠2 = ∠8,
∠4 = ∠6.

لتطبيق كل هذه الحقائق في حل مشاكل الاستخدام ، عليك أن تتعلم رؤيتها على الرسم. على سبيل المثال ، بالنظر إلى متوازي الأضلاع أو شبه منحرف ، يمكنك رؤية زوج من الخطوط المتوازية والقاطع القاطع ، وكذلك الزوايا أحادية الجانب. بعد رسم قطري متوازي الأضلاع ، نرى زوايا الكذب على شكل صليب. هذه إحدى الخطوات التي يتألف منها الحل.

1. يقسم المنصف لزاوية منفرجة متوازي الأضلاع الضلع المقابل بنسبة 3: 4 ، بدءًا من قمة الزاوية المنفرجة. أوجد الضلع الأكبر من متوازي الأضلاع إذا كان محيطه 88.

تذكر أن منصف الزاوية هو شعاع يخرج من قمة الزاوية وينصف الزاوية.

لنفترض أن BM هو المنصف لزاوية منفرجة B. وبحسب الحالة ، فإن المقطعين MD و AB يساويان 3x و 4x ، على التوالي.

ضع في اعتبارك الزوايا CBM و VMA. نظرًا لأن AD و С متوازيان ، فإن ВМ قاطع ، والزاوية CBM و А متصالبتان. نحن نعلم أن الزوايا الواقعة عبر الزوايا متساوية. هذا يعني أن المثلث ABM متساوي الساقين ، لذلك ، AB = AM = 4x.

محيط متوازي الأضلاع هو مجموع أضلاعه ، أي
7 س + 7 س + 4 س + 4 س = 88.
ومن ثم س = 4 ، 7 س = 28.

2. يصنع قطر متوازي الأضلاع زاويتين 26º و 34º مع ضلعيها. أوجد الزاوية الأكبر لمتوازي الأضلاع. أعط إجابتك بالدرجات.

ارسم متوازي أضلاع وقطره. عند ملاحظة الزوايا الكاذبة والزوايا أحادية الجانب في الرسم ، ستحصل بسهولة على الإجابة: 120º.

3. ما هي الزاوية الأكبر لشبه منحرف متساوي الساقين إذا كان الفرق بين الزوايا المتقابلة 50 درجة؟ أعط إجابتك بالدرجات.

نحن نعلم ذلك متساوي الساقين(أو متساوي الساقين) يسمى شبه منحرف ، حيث تكون الأضلاع متساوية. لذلك ، فإن الزوايا الموجودة في القاعدة العلوية متساوية ، وكذلك الزوايا الموجودة في القاعدة السفلية.

دعونا نلقي نظرة على الرسم. حسب الشرط ، α - β = 50 درجة ، أي α = β + 50 درجة.

الزاويتان α و أحادية الجانب مع خطوط مستقيمة متوازية وقاطع ، لذلك ،
α + β = 180 درجة.

إذن 2β + 50 درجة = 180 درجة
β = 65 درجة ، ثم α = 115 درجة.

الجواب: 115.

دراسة EGE »المواد المنهجية» الهندسة: من صفر إلى C4 »مرتفعات ومتوسطات ومنصفات مثلث

علامات التوازي لخطين مستقيمين

نظرية 1. إذا كان عند تقاطع خطين قاطعين:

زوايا التقاطع متساوية ، أو

الزوايا المتناظرة متساوية ، أو

مجموع زوايا جانب واحد هو 180 درجة ، إذن

الخطوط المستقيمة متوازية(رسم بياني 1).

دليل. نحن نقتصر على إثبات الحالة 1.

افترض أنه عند تقاطع الخطين a و b القاطع AB ، تكون الزوايا المتقاطعة متساوية. على سبيل المثال ، ∠ 4 = ∠ 6. دعنا نثبت أن a || ب.

افترض أن المستقيمين أ وب ليسا متوازيين. ثم يتقاطعان عند نقطة ما M ، وبالتالي ، ستكون إحدى الزاويتين 4 أو 6 هي الزاوية الخارجية للمثلث ABM. وللتوضيح ، تكون 4 هي الزاوية الخارجية للمثلث ABM ، و ∠ 6 - الزاوية الداخلية. من النظرية المتعلقة بالزاوية الخارجية للمثلث ، يترتب على ذلك أن ∠ 4 أكبر من 6 ، وهذا يتعارض مع الشرط ، مما يعني أن الخطين a و 6 لا يمكن أن يتقاطعا ، لذا فهما متوازيان.

النتيجة الطبيعية 1. خطان مستقيمان مختلفان في مستوى متعامد على نفس الخط المستقيم متوازيان(الصورة 2).

تعليق. الطريقة التي أثبتنا بها للتو الحالة 1 من النظرية 1 تسمى التناقض أو الاختزال إلى السخافة. حصلت هذه الطريقة على اسمها الأول لأنه في بداية التفكير ، يتم افتراض عكس (عكس) ما هو مطلوب لإثباته. يطلق عليه اختزالًا للسخافة نظرًا لحقيقة أننا ، بالجدل على أساس الافتراض الذي تم التوصل إليه ، نصل إلى نتيجة سخيفة (إلى السخافة). إن استلام مثل هذا الاستنتاج يجبرنا على رفض الافتراض الذي تم تقديمه في البداية وقبول الافتراض المطلوب إثباته.

الهدف 1.أنشئ خطًا مستقيمًا يمر عبر نقطة معينة M وموازٍ لخط مستقيم معين أ ، ولا يمر بنقطة م.

حل. ارسم من خلال النقطة M خطًا مستقيمًا p عموديًا على خط مستقيم أ (الشكل 3).

ثم نرسم خطًا مستقيمًا ب يمر بالنقطة م عموديًا على خط مستقيم ص. الخط ب موازٍ للخط أ وفقًا للنتيجة الطبيعية للنظرية 1.

يتبع استنتاج مهم من المشكلة المدروسة:
من خلال نقطة لا تقع على خط مستقيم معين ، يمكنك دائمًا رسم خط مستقيم موازٍ لخط معين.

الخاصية الرئيسية للخطوط المتوازية هي كما يلي.

بديهية الخطوط المتوازية. من خلال نقطة معينة لا تقع على خط مستقيم معين ، يمر خط مستقيم واحد فقط موازي للنقطة المحددة.

تأمل في بعض خصائص الخطوط المتوازية التي تتبع هذه البديهية.

1) إذا تقاطع خط مع أحد الخطين المتوازيين ، فإنه يتقاطع أيضًا مع الآخر (الشكل 4).

2) إذا كان هناك خطان مختلفان متوازيان مع الخط الثالث ، فإنهما متوازيان (الشكل 5).

النظرية التالية صحيحة أيضًا.

النظرية 2. إذا تم تقاطع خطين متوازيين بواسطة قاطع ، فحينئذٍ:

زوايا متقاطعة متساوية ؛

الزوايا المقابلة متساوية ؛

مجموع الزوايا أحادية الجانب 180 درجة.

النتيجة الطبيعية 2. إذا كان الخط متعامدًا على أحد الخطين المتوازيين ، فإنه يكون عموديًا على الآخر(انظر الشكل 2).

تعليق. تسمى النظرية 2 العكس من النظرية 1. استنتاج النظرية 1 هو شرط النظرية 2. وحالة النظرية 1 هي نتيجة النظرية 2. ليست كل نظرية لها عكس ، أي إذا كانت النظرية المعطاة هي صحيح ، فإن عكس النظرية قد لا يكون صحيحًا.

دعونا نشرح هذا باستخدام مثال النظرية على الزوايا الرأسية. يمكن صياغة هذه النظرية على النحو التالي: إذا كانت زاويتان عموديتان ، فإنهما متساويتان. ستكون النظرية المعاكسة لها كما يلي: إذا تساوت زاويتان ، فإنهما عموديتان. وهذا بالطبع ليس صحيحا. زاويتان متساويتان لا يجب أن تكونا عموديتين على الإطلاق.

مثال 1.يتقاطع خطين متوازيين بمقدار الثلث. من المعروف أن الفرق بين زاويتين داخليتين من جانب واحد هو 30 درجة. ابحث عن هذه الزوايا.

حل. دع الشكل 6 يلبي الشرط.

السؤال رقم 1.ما هي الزوايا المسماة المجاور؟
إجابة.يُطلق على الزاويتين اسم المجاور إذا كان لهما جانب واحد مشترك ، والجوانب الأخرى من هذه الزوايا عبارة عن خطوط أنصاف إضافية.
في الشكل 31 ، الزاويتان (أ 1 ب) و (أ 2 ب) متجاورتان. لديهم الضلع b مشترك ، والجانبان 1 و 2 عبارة عن أنصاف خطوط إضافية.

السؤال 2.إثبات أن مجموع الزوايا المتجاورة 180 درجة.
إجابة. نظرية 2.1.مجموع الزوايا المجاورة 180 درجة.
دليل.اجعل الزاوية (أ 1 ب) والزاوية (أ 2 ب) هما الزاويتان المتجاورتان المعطاة (انظر الشكل 31). يمر شعاع ب بين الجانبين أ 1 و 2 من الزاوية المتطورة. لذلك ، مجموع الزوايا (أ 1 ب) و (أ 2 ب) يساوي الزاوية الممتدة ، أي 180 درجة. Q.E.D.

السؤال 3.أثبت أنه إذا تساوت زاويتان ، فإن الزاويتين المجاورتين لهما متساوية أيضًا.
إجابة.

من النظرية 2.1 ويترتب على ذلك أنه إذا تساوت زاويتان ، فإن الزاويتين المجاورتين لهما متساويتان.
لنفترض أن الزاويتين (أ 1 ب) و (ج 1 د) متساويتان. علينا إثبات أن الزاويتين (أ 2 ب) و (ج 2 د) متساويتان أيضًا.
مجموع الزوايا المجاورة 180 درجة. ويترتب على ذلك أن أ 1 ب + أ 2 ب = 180 درجة وج 1 د + ص 2 د = 180 درجة. ومن ثم ، أ 2 ب = 180 درجة - أ 1 ب وج 2 د = 180 درجة - ص 1 د. بما أن الزاويتين (أ 1 ب) و (ج 1 د) متساويتان ، نحصل على أ 2 ب = 180 درجة - أ 1 ب = ج 2 د. بخاصية انتقالية علامة التساوي ، يتبع ذلك أ 2 ب = ج 2 د. Q.E.D.

السؤال 4.ما هي الزاوية التي تسمى الزاوية اليمنى (حادة ، منفرجة)؟
إجابة.الزاوية التي تساوي 90 درجة تسمى الزاوية القائمة.
الزاوية الأقل من 90 درجة تسمى الزاوية الحادة.
الزاوية الأكبر من 90 درجة وأقل من 180 درجة تسمى منفرجة.

السؤال 5.برهن أن الزاوية المجاورة للزاوية القائمة هي الزاوية القائمة.
إجابة.من نظرية مجموع الزوايا المجاورة ، يترتب على ذلك أن الزاوية المجاورة للزاوية القائمة هي الزاوية القائمة: x + 90 ° = 180 ° ، x = 180 ° - 90 ° ، x = 90 °.

السؤال 6.ما الزوايا تسمى الرأسي؟
إجابة.يُطلق على الزاويتين رأسيًا إذا كانت جوانب أحدهما جوانب نصف مستقيمة مكملة للزاوية الأخرى.

السؤال 7.إثبات تساوي الزوايا الرأسية.
إجابة. نظرية 2.2. الزوايا الرأسية متساوية.
دليل.لنفترض (أ 1 ب 1) و (أ 2 ب 2) أن تكون الزوايا العمودية المعطاة (شكل 34). الزاوية (أ 1 ب 2) مجاورة للزاوية (أ 1 ب 1) والزاوية (أ 2 ب 2). ومن ثم ، من خلال النظرية الخاصة بمجموع الزوايا المجاورة ، نستنتج أن كل زاوية من الزوايا (أ 1 ب 1) و (أ 2 ب 2) تكمل الزاوية (أ 1 ب 2) إلى 180 درجة ، أي الزاويتان (أ 1 ب 1) و (أ 2 ب 2) متساويتان. Q.E.D.

السؤال 8.أثبت أنه إذا كان أحد الزوايا عند تقاطع خطين مستقيمين عبارة عن خط مستقيم ، فإن الزوايا الثلاثة الأخرى تكون أيضًا خطوطًا مستقيمة.
إجابة.افترض أن الخطين AB و CD يلتقيان عند النقطة O. افترض أن الزاوية AOD تساوي 90 درجة. نظرًا لأن مجموع الزوايا المجاورة هو 180 درجة ، فإننا نحصل على AOC = 180 درجة -AOD = 180 درجة - 90 درجة = 90 درجة. زاوية COB رأسية لزاوية AOD ، لذا فهي متساوية. أي زاوية COB = 90 درجة. تكون شهادة توثيق البرامج عمودية على الطلب الأوكسجيني البيولوجي ، لذا فهي متساوية. أي أن زاوية الطلب الأوكسجيني البيولوجي هي 90 درجة. وبالتالي ، فإن جميع الزوايا تساوي 90 درجة ، أي أنها كلها صحيحة. Q.E.D.

السؤال 9.ما هي الخطوط المستقيمة التي تسمى الخطوط العمودية؟ ما العلامة المستخدمة للإشارة إلى عمودية الخطوط المستقيمة؟
إجابة.يسمى الخطان المستقيمان عموديًا إذا تقاطعا بزوايا قائمة.
يتم الإشارة إلى عمودية الخطوط بواسطة \ (\ perp \). الإدخال \ (a \ perp b \) يقرأ: "السطر a عمودي على السطر b".

السؤال 10.اثبت أنه من خلال أي نقطة من الخط المستقيم يمكنك رسم خط مستقيم عمودي عليه وواحد فقط.
إجابة. نظرية 2.3.من خلال كل خط مستقيم ، يمكنك رسم خط مستقيم عمودي عليه وواحد فقط.
دليل.لنفترض أن a خطًا معينًا ويكون A نقطة معينة عليه. دعونا نشير بواحد من نصف خطوط الخط المستقيم أ مع النقطة الأولية أ (الشكل 38). لنضع جانباً الزاوية (أ 1 ب 1) التي تساوي 90 درجة من نصف الخط أ 1. ثم يكون الخط المستقيم الذي يحتوي على الشعاع b 1 متعامدًا على الخط المستقيم a.

افترض أن هناك خطًا آخر يمر أيضًا بالنقطة أ ومتعامد على الخط أ. لنفترض أن c 1 تدل على نصف خط هذا الخط الذي يقع في نفس نصف المستوى مع الشعاع b 1.
الزاويتان (أ 1 ب 1) و (أ 1 ج 1) ، كل منهما تساوي 90 درجة ، تم رسمهما في نصف مستوى واحد من نصف الخط أ 1. ولكن من نصف الخط أ 1 إلى نصف المستوى هذا ، يمكن تأجيل زاوية واحدة فقط ، تساوي 90 درجة. لذلك ، لا ينبغي أن يكون هناك خط مستقيم آخر يمر بالنقطة أ وعمودي على الخط المستقيم أ. تم إثبات النظرية.

السؤال 11.ما هو عمودي على خط؟
إجابة.العمودي على خط مستقيم معين هو جزء من خط مستقيم متعامد على خط معطى ، له أحد طرفيه نقطة تقاطعها. يسمى هذا نهاية المقطع أساسعمودي.

السؤال 12.اشرح ما هو الدليل المعاكس.
إجابة.يُطلق على طريقة الإثبات التي استخدمناها في نظرية 2.3 إثبات التناقض. طريقة الإثبات هذه هي أننا نفترض أولاً افتراضًا مخالفًا لما تدعيه النظرية. ثم ، من خلال التفكير ، بالاعتماد على البديهيات والنظريات المثبتة ، نصل إلى استنتاج يتعارض إما مع حالة النظرية ، أو إحدى البديهيات ، أو النظرية التي تم إثباتها سابقًا. على هذا الأساس ، نستنتج أن افتراضنا كان غير صحيح ، مما يعني أن بيان النظرية صحيح.

السؤال 13.ما يسمى بمنصف الزاوية؟
إجابة.منصف الزاوية هو شعاع ينبعث من قمة الزاوية ويمر بين جانبيها ويقسم الزاوية إلى نصفين.