رياضيات. قواعد التقريب للقيم الرقمية

يتساءل الكثير من الناس عن كيفية تقريب الأرقام. تنشأ هذه الحاجة غالبًا للأشخاص الذين يربطون حياتهم بالمحاسبة أو الأنشطة الأخرى التي تتطلب حسابات. يمكن إجراء التقريب إلى الكل وأعشار وهكذا. وتحتاج إلى معرفة كيفية القيام بذلك بشكل صحيح بحيث تكون الحسابات أكثر أو أقل دقة.

ما هو الرقم التقريبي بشكل عام؟ هذا هو الذي ينتهي بالرقم 0 (بالنسبة للجزء الأكبر). في الحياة اليومية ، تجعل القدرة على تقريب الأرقام التسوق أسهل بكثير. عند الوقوف عند الخروج ، يمكنك تقدير التكلفة الإجمالية للمشتريات تقريبًا ، ومقارنة تكلفة كيلوغرام من منتج يحمل نفس الاسم في عبوات ذات وزن مختلف. مع تقليص الأرقام إلى شكل مناسب ، يكون من السهل إجراء حسابات شفهية دون اللجوء إلى الآلة الحاسبة.

لماذا يتم تقريب الأرقام؟

يميل الشخص لتقريب أي أرقام في الحالات التي تتطلب إجراء عمليات أكثر بساطة. على سبيل المثال ، تزن حبة البطيخ 3150 كيلوغرامًا. عندما يخبر شخص ما أصدقاءه عن عدد الجرامات الموجودة في فاكهة جنوبية ، فقد لا يعتبر محاوراً مثيراً للاهتمام. تبدو عبارات مثل "لقد اشتريت بطيخًا بثلاثة كيلوغرامات" أكثر اقتضابًا من دون الخوض في أي تفاصيل غير ضرورية.

ومن المثير للاهتمام ، أنه حتى في العلوم ، ليست هناك حاجة دائمًا للتعامل مع الأرقام الأكثر دقة. وإذا كنا نتحدث عن كسور دورية لا نهائية ، والتي لها شكل 3.33333333 ... 3 ، يصبح هذا مستحيلًا. لذلك ، فإن الخيار الأكثر منطقية هو تقريبها كالمعتاد. كقاعدة عامة ، تكون النتيجة مشوهة قليلاً. إذن كيف تقرب الأرقام؟

بعض القواعد المهمة عند تقريب الأرقام

لذا ، إذا أردت تقريب رقم ، فهل من المهم فهم المبادئ الأساسية للتقريب؟ هذه عملية تغيير تهدف إلى تقليل عدد المنازل العشرية. لتنفيذ هذا الإجراء ، تحتاج إلى معرفة العديد من القواعد المهمة:

1. إذا كان الرقم المطلوب في حدود 5-9 ، يتم التقريب لأعلى.
2. إذا كان عدد الخانة المطلوبة في حدود 1-4 ، يتم التقريب لأسفل.

على سبيل المثال ، لدينا الرقم 59. نحن بحاجة لتقريبه. للقيام بذلك ، عليك أن تأخذ الرقم 9 وتضيف واحدًا إليه لتحصل على 60. هذا هو إجابة السؤال عن كيفية تقريب الأرقام. الآن دعونا نلقي نظرة على بعض الحالات الخاصة. في الواقع ، اكتشفنا كيفية تقريب رقم إلى عشرات باستخدام هذا المثال. الآن يبقى فقط لاستخدام هذه المعرفة في الممارسة.

كيفية تقريب رقم إلى أعداد صحيحة

يحدث غالبًا أن هناك حاجة لتقريب الرقم 5.9 على سبيل المثال. هذا الإجراء ليس صعبًا. أولًا ، علينا حذف الفاصلة ، وعند التقريب ، يظهر الرقم المألوف 60 أمام أعيننا ، والآن نضع الفاصلة في مكانها ، ونحصل على 6.0. ونظرًا لحذف الأصفار في الكسور العشرية ، كقاعدة عامة ، فإننا ننتهي بالرقم 6.

يمكن إجراء عملية مماثلة بأرقام أكثر تعقيدًا. على سبيل المثال ، كيف تقرب أرقامًا مثل 5.49 إلى أعداد صحيحة؟ كل هذا يتوقف على الأهداف التي حددتها لنفسك. بشكل عام ، وفقًا لقواعد الرياضيات ، لا يزال 5.49 ليس 5.5. لذلك ، لا يمكن تقريبها. ولكن يمكنك تقريبه إلى 5.5 ، وبعد ذلك يصبح قانونيًا التقريب إلى 6. لكن هذه الحيلة لا تعمل دائمًا ، لذلك عليك توخي الحذر الشديد.

من حيث المبدأ ، تم بالفعل النظر أعلاه في مثال للتقريب الصحيح لعدد إلى عشرة ، لذلك من المهم الآن عرض المبدأ الرئيسي فقط. في الواقع ، كل شيء يحدث بنفس الطريقة. إذا كان الرقم الموجود في الموضع الثاني بعد الفاصلة العشرية يقع ضمن 5-9 ، فسيتم إزالته تمامًا ، ويزداد الرقم الموجود أمامه بمقدار واحد. إذا كان أقل من 5 ، فسيتم إزالة هذا الرقم ، ويبقى الرقم السابق في مكانه.

على سبيل المثال ، عند 4.59 إلى 4.6 ، يختفي الرقم "9" ويضاف واحد إلى الخمسة. ولكن عند التقريب 4.41 ، يتم حذف الوحدة ، وتبقى الأربعة في شكل غير مسمى.

كيف يستخدم المسوقون عدم قدرة المستهلك الشامل على تقريب الأرقام؟

اتضح أن معظم الناس في العالم ليسوا معتادين على تقييم التكلفة الحقيقية للمنتج ، والتي يتم استغلالها بنشاط من قبل المسوقين. يعرف الجميع شعارات الأسهم مثل "اشتر 9.99 فقط". نعم ، نحن ندرك بوعي أن هذا هو في الأساس عشرة دولارات. ومع ذلك ، فإن دماغنا مصمم بطريقة تجعله يدرك الرقم الأول فقط. لذا فإن العملية البسيطة المتمثلة في تحويل الرقم إلى شكل مناسب يجب أن تصبح عادة.

في كثير من الأحيان ، يسمح التقريب بتقدير أفضل للنجاحات المتوسطة ، معبراً عنها في شكل رقمي. على سبيل المثال ، بدأ الشخص يكسب 550 دولارًا شهريًا. سيقول المتفائل إن العدد يقارب 600 ، وهو متشائم - وهذا يزيد قليلاً عن 500. يبدو أن هناك فرقًا ، لكن من اللطيف أن "يرى" الدماغ أن الكائن قد حقق شيئًا أكثر ( أو العكس).

هناك أمثلة لا حصر لها حيث تكون القدرة على الدوران مفيدة بشكل لا يصدق. من المهم أن تكون مبدعًا ، وإذا أمكن ، لا يتم تحميلك بمعلومات غير ضرورية. ثم سيكون النجاح فوريًا.

غالبًا ما نستخدم التقريب في الحياة اليومية. إذا كانت المسافة من المنزل إلى المدرسة 503 أمتار. يمكننا القول ، بالتقريب ، أن المسافة من المنزل إلى المدرسة هي 500 متر. هذا يعني أننا قرّبنا الرقم 503 من الرقم الذي يسهل إدراكه أكثر من 500. على سبيل المثال ، يزن رغيف الخبز 498 جرامًا ، ثم يمكننا القول ، بتقريب النتيجة ، أن رغيف الخبز يزن 500 جرام.

التقريب- هذا تقريب رقم لرقم "أخف" للإدراك البشري.

نتيجة التقريب هي تقريبي عدد. يُشار إلى التقريب بالرمز ≈ ، ويقرأ هذا الرمز "متساوٍ تقريبًا".

يمكنك كتابة 503≈500 أو 498≈500.

يقرأ المرء مثل هذا الإدخال مثل "خمسمائة وثلاثة تساوي تقريبًا خمسمائة" أو "أربعمائة وثمانية وتسعين يساوي تقريبًا خمسمائة".

لنأخذ مثالًا آخر:

44 71≈4000 45 71≈5000

43 71≈4000 46 71≈5000

42 71≈4000 47 71≈5000

41 71≈4000 48 71≈5000

40 71≈4000 49 71≈5000

في هذا المثال ، تم تقريب الأرقام إلى الآلاف. إذا نظرنا إلى انتظام التقريب ، فسنرى أنه في إحدى الحالات يتم تقريب الأرقام إلى أسفل ، وفي الحالة الأخرى - إلى الأعلى. بعد التقريب ، تم استبدال جميع الأرقام الأخرى بعد خانة الألف بالأصفار.

قواعد التقريب للأرقام:

1) إذا كان الرقم المطلوب تقريبه هو 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، فإن رقم الرقم الذي يتم التقريب إليه لا يتغير ، ويتم استبدال الأرقام المتبقية بالأصفار.

2) إذا كان الرقم المطلوب تقريبه هو 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، فإن رقم الرقم الذي سيصبح التقريب له 1 إضافي ، ويتم استبدال باقي الأرقام بالأصفار.

على سبيل المثال:

1) قرّب لأقرب خانة العشرات وهي 364.

مكان العشرات في هذا المثال هو الرقم 6. بعد الستة يوجد الرقم 4. وفقًا لقاعدة التقريب ، لا يغير الرقم 4 مكان العشرات. نكتب صفرًا بدلاً من 4. نحن نحصل:

36 4 ≈360

2) قرّب إلى خانة المئات 4 781.

مكان المئات في هذا المثال هو الرقم 7. بعد السبعة هو الرقم 8 ، والذي يؤثر على تغيير مكان المئات أم لا. وفقًا لقاعدة التقريب ، يزيد الرقم 8 خانة المئات بمقدار 1 ، ويستبدل الأرقام المتبقية بالأصفار. نحن نحصل:

47 8 1≈48 00

3) قرّب إلى خانة الآلاف 215،936.

خانة الألف في هذا المثال هي الرقم 5. بعد الخمسة ، يوجد الرقم 9 ، الذي يؤثر على تغيير خانة الألف أم لا. وفقًا لقاعدة التقريب ، يزيد الرقم 9 خانة الألف بمقدار 1 ، ويتم استبدال باقي الأرقام بالأصفار. نحن نحصل:

215 9 36≈216 000

4) قرّب إلى عشرات الآلاف من 1302894.

خانة الألف في هذا المثال هي الرقم 0. بعد الصفر هو الرقم 2 ، والذي يؤثر على ما إذا كانت عشرات الآلاف ستتغير أم لا. وفقًا لقاعدة التقريب ، لا يغير الرقم 2 رقم عشرات الآلاف ، فنحن نستبدل هذا الرقم وجميع الأرقام الأقل أهمية بصفر. نحن نحصل:

130 2 894≈130 0000

إذا كانت القيمة الدقيقة للرقم غير مهمة ، فسيتم تقريب قيمة الرقم ويمكنك إجراء عمليات حسابية باستخدام القيم التقريبية... يتم استدعاء نتيجة الحساب تقدير نتيجة الإجراءات.

على سبيل المثال: 598⋅23≈600⋅20≈12000 مقارنة بـ 598⋅23 \u003d 13754

يتم استخدام تقدير لنتيجة الإجراءات من أجل حساب الإجابة بسرعة.

أمثلة على التخصيصات حول موضوع التقريب:

مثال 1:
حدد إلى أي رقم يتم التقريب:
أ) 3457987-3500000 ب) 4573426≈4573000 ج) 16784-17000
لنتذكر ما هي الأرقام الموجودة على الرقم 3457987.

7 - رقم الوحدات ،

8 - خانة العشرات ،

9 - المئات رتبة ،

7 - مكان بالآلاف ،

5- عشرات الآلاف ،

4 - مكان بمئات الآلاف ،
3 - مكان الملايين.
الجواب: أ) 3 4 57 987≈3 5 00000 رقم من مئات الآلاف ب) 4573 426≈4 573000 رقم بالآلاف ج) 16 7841-17 00000 رقم من عشرات الآلاف.

المثال الثاني:
قم بتقريب العدد حتى 5،999،994 رقمًا: أ) عشرات ب) مئات ج) ملايين.
الإجابة: أ) 5،999،994 ≈5،999،990 ب) 5،999،99 4≈6،000،000 (نظرًا لأن أرقام المئات والآلاف وعشرات الآلاف ومئات الآلاف هي رقم 9 ، فقد زاد كل رقم بمقدار 1) 5 9 99994 6،000،000.

عند التقريب ، يتم ترك العلامات الصحيحة فقط ، ويتم التخلص من الباقي.

القاعدة 1. يتم التقريب ببساطة عن طريق إسقاط الأرقام إذا كان أول رقم من الخانات المهملة أقل من 5.

القاعدة 2. إذا كان الرقم الأول من الأرقام المهملة أكبر من 5 ، فسيتم زيادة الرقم الأخير بمقدار واحد. يتم أيضًا زيادة الرقم الأخير في الحالة التي يكون فيها أول رقم تم تجاهله هو 5 ، متبوعًا برقم واحد أو أكثر بخلاف الصفر. على سبيل المثال ، سيكون تقريب مختلف 35.856 هو 35.86 ؛ 35.9 ؛ 36.

القاعدة 3. إذا كان الرقم المهمل هو 5 ، ولا توجد أرقام ذات دلالة خلفه ، فسيتم التقريب لأقرب رقم زوجي ، أي يبقى الرقم الأخير المخزن بدون تغيير إذا كان زوجيًا ومتزايدًا إذا كان فرديًا. على سبيل المثال ، تقريب 0.435 إلى 0.44 ؛ قرب 0.465 إلى 0.46.

8. مثال على معالجة نتائج القياس

تحديد كثافة المواد الصلبة. افترض أن مادة صلبة على شكل أسطوانة. ثم يمكن تحديد الكثافة بالصيغة:

حيث D هو قطر الاسطوانة ، h ارتفاعها ، م هي الكتلة.

دع البيانات التالية يتم الحصول عليها نتيجة لقياسات m و D و h:

دعونا نحدد متوسط \u200b\u200bقيمة D̃:

أوجد أخطاء القياسات الفردية ومربعاتها

حدد خطأ الجذر التربيعي لسلسلة من القياسات:

قمنا بتعيين قيمة الموثوقية α \u003d 0.95 ومن الجدول نجد معامل الطالب t α. ن \u003d 2.8 (ن \u003d 5). تحديد حدود فاصل الثقة:

نظرًا لأن القيمة المحسوبة ΔD \u003d 0.07 مم تتجاوز بشكل كبير الخطأ المطلق للميكرومتر ، الذي يساوي 0.01 مم (يتم إجراء القياس بميكرومتر) ، يمكن أن تكون القيمة الناتجة بمثابة تقدير لفاصل الثقة:

د = د̃ ± Δ د; د \u003d (12.61 ± 0.07) ملم.

دعونا نحدد قيمة h̃:

بناء على ذلك:

بالنسبة إلى α \u003d 0.95 و n \u003d 5 ، معامل الطالب t α ، n \u003d 2.8.

تحديد حدود فاصل الثقة

نظرًا لأن القيمة التي تم الحصول عليها Δh \u003d 0.11 مم لها نفس ترتيب خطأ الفرجار الذي يساوي 0.1 مم (يتم قياس h باستخدام الفرجار) ، يجب تحديد حدود فترة الثقة بواسطة الصيغة:

بناء على ذلك:

نحسب متوسط \u200b\u200bقيمة الكثافة ρ:

لنجد تعبيرًا للخطأ النسبي:

أين

7. GOST 16263-70 المترولوجيا. المصطلحات والتعريفات.

8. GOST 8.207-76 قياسات مباشرة مع ملاحظات متعددة. طرق معالجة نتائج المراقبة.

9. GOST 11.002-73 (المادة CMEA 545-77) قواعد لتقييم الشذوذ في نتائج المراقبة.

تساركوفسكايا ناديجدا إيفانوفنا

ساخاروف يوري جورجييفيتش

الفيزياء العامة

تعليمات منهجية للعمل المخبري "مقدمة في نظرية أخطاء القياس" للطلبة من جميع التخصصات

تنسيق 60 * 84 1/16 المجلد 1 الكتاب المدرسي. ل. تداول 50 نسخة.

طلب ______ مجاني

أكاديمية بريانسك الحكومية للهندسة والتكنولوجيا

بريانسك ، شارع ستانك ديميتروفا ، 3 ، بجيتا ،

قسم التحرير والنشر

مطبوعة - قسم مطبعة العمليات بجيتا

للنظر في ميزة تقريب الرقم ، من الضروري تحليل أمثلة محددة وبعض المعلومات الأساسية.

كيفية تقريب الأعداد لأقرب جزء من مائة

• لتقريب رقم إلى جزء من مائة ، يجب أن تترك رقمين بعد الفاصلة العشرية ، ويتم تجاهل الباقي بالطبع. إذا كان الرقم الأول الذي سيتم تجاهله هو 0 أو 1 أو 2 أو 3 أو 4 ، فسيظل الرقم السابق دون تغيير.
• إذا كان الرقم المهمل هو 5 أو 6 أو 7 أو 8 أو 9 ، فأنت بحاجة إلى زيادة الرقم السابق بمقدار واحد.
• على سبيل المثال ، إذا كنت بحاجة لتقريب الرقم 75.748 ، فبعد التقريب نحصل على 75.75. إذا كان لدينا 19.912 ، فنتيجة التقريب ، أو بالأحرى ، في غياب الحاجة لاستخدامه ، نحصل على 19.91. في حالة الرقم 19.912 ، لا يتم تقريب الرقم بعد المئات ، لذلك يتم تجاهلها ببساطة.
• إذا كنا نتحدث عن الرقم 18.4893 ، فإن التقريب إلى المئات يكون على النحو التالي: أول رقم يجب التخلص منه هو 3 ، لذلك لا يتم إجراء أي تغييرات. اتضح 18.48.
• في حالة الرقم 0.2254 ، لدينا الرقم الأول الذي يتم تجاهله عند تقريبه إلى جزء من مائة. هذا هو خمسة ، مما يشير إلى أن الرقم السابق يحتاج إلى زيادة بمقدار واحد. أي أننا نحصل على 0.23.
• هناك أيضًا أوقات يغير فيها التقريب جميع الأرقام في الرقم. على سبيل المثال ، لتقريب 64.9972 لأقرب جزء من مائة ، نرى أن الرقم 7 يقرب العدد السابق. نحصل على 65.00.

كيفية تقريب الأعداد إلى أعداد صحيحة

الوضع هو نفسه عند تقريب الأرقام إلى أعداد صحيحة. إذا كان لدينا ، على سبيل المثال ، 25.5 ، فبعد التقريب نحصل على 26. في حالة وجود عدد كافٍ من الأرقام بعد الفاصلة العشرية ، يتم التقريب على النحو التالي: بعد التقريب 4.371251 ، نحصل على 4.

يتم التقريب لأجزاء من عشرة بنفس طريقة التقريب لأجزاء من المئات. على سبيل المثال ، إذا كنت بحاجة إلى تقريب الرقم 45.21618 ، فسنحصل على 45.2. إذا كان الرقم الثاني بعد العاشر هو 5 أو أكثر ، فإن الرقم السابق يزيد بمقدار واحد. كمثال ، يمكنك تقريب 13.6734 لتحصل على 13.7.

من المهم الانتباه إلى الرقم الموجود أمام الرقم المقطوع. على سبيل المثال ، إذا كان لدينا الرقم 1.450 ، فبعد التقريب نحصل على 1.4. ومع ذلك ، في حالة 4.851 ، يُنصح بالتقريب إلى 4.9 ، حيث لا يزال هناك واحد بعد الخمسة.