Video dərs 2: Piramida problemi. Piramidanın həcmi

Video dərs 3: Piramida problemi. Düzgün piramida

Mühazirə: Piramida, onun əsası, yan kənarları, hündürlüyü, yan səthi; üçbucaqlı piramida; sağ piramida

piramida- Bu, bazasında çoxbucaqlı olan üçölçülü bir cisimdir və bütün üzləri üçbucaqlardan ibarətdir.

Piramidanın xüsusi bir vəziyyəti, təməlində bir dairə olan bir konusdur.

Piramidanın əsas elementlərini nəzərdən keçirin:

Apotem piramidanın yuxarı hissəsini yan üzün aşağı kənarının ortası ilə birləşdirən seqmentdir. Yəni bu, piramidanın üzünün hündürlüyüdür.

Şəkildə siz ADS, ABS, BCS, CDS üçbucaqlarını görə bilərsiniz. Adlara diqqətlə baxsanız, görə bilərsiniz ki, hər üçbucağın öz adında bir ümumi hərf var - S. Yəni, bütün yan üzlərin (üçbucaqların) bir nöqtədə birləşməsi deməkdir ki, bu da piramidanın zirvəsi adlanır.

Təpənin əsas diaqonallarının kəsişmə nöqtəsi ilə (üçbucaqlar vəziyyətində, hündürlüklərin kəsişmə nöqtəsində) birləşdirən OS seqmenti adlanır. piramida hündürlüyü.

Diaqonal bölmə, piramidanın yuxarı hissəsindən, həmçinin təməlin diaqonallarından birindən keçən bir təyyarədir.

Piramidanın yan səthi üçbucaqlardan ibarət olduğundan yanal səthin ümumi sahəsini tapmaq üçün hər üzün sahələrini tapmaq və onları əlavə etmək lazımdır. Üzlərin sayı və forması bazada yerləşən çoxbucaqlının tərəflərinin forma və ölçüsündən asılıdır.

Piramidada təpəsi olmayan yeganə müstəviyə deyilir əsas piramidalar.

Şəkildə görürük ki, əsas paraleloqramdır, lakin hər hansı bir ixtiyari çoxbucaqlı ola bilər.

Xüsusiyyətlər:

Eyni uzunluqda kənarları olan bir piramidanın ilk halına nəzər salın:

• Belə bir piramidanın əsasının ətrafında bir dairə təsvir edilə bilər. Belə bir piramidanın yuxarı hissəsini proyeksiya etsəniz, onun proyeksiyası dairənin mərkəzində yerləşəcəkdir.
• Piramidanın altındakı bucaqlar hər üz üçün eynidir.
• Eyni zamanda, piramidanın bünövrəsi ətrafında bir dairənin təsvir oluna bilməsi, həmçinin bütün kənarların müxtəlif uzunluqlarda olması üçün əsas və üzlərin hər bir kənarı arasında eyni açılar hesab edilə bilər. .

Yan üzlər və əsas arasındakı bucaqların bərabər olduğu bir piramidaya rast gəlsəniz, aşağıdakı xüsusiyyətlər doğrudur:

• Siz piramidanın təməli ətrafında dairəni təsvir edə biləcəksiniz, onun üstü tam olaraq mərkəzə doğru proqnozlaşdırılır.
• Hündürlüyün hər tərəfini bazaya çəkirsinizsə, onda onlar bərabər uzunluqda olacaqlar.
• Belə bir piramidanın yanal səth sahəsini tapmaq üçün təməlin perimetrini tapmaq və onu hündürlüyün yarısına vurmaq kifayətdir.
• Sbp \u003d 0.5P oc H.
• Piramida növləri.
• Piramidanın təməlində hansı çoxbucaqlı olmasından asılı olaraq, onlar üçbucaqlı, dördbucaqlı və s. ola bilər. Piramidanın təməlində düzgün çoxbucaqlı (tərəfləri bərabər olan) yerləşirsə, belə piramida müntəzəm adlanacaqdır.

Daimi üçbucaqlı piramida

Bu video dərslik istifadəçilərə Piramida mövzusu haqqında fikir əldə etməyə kömək edəcək. Düzgün piramida. Bu dərsdə biz piramida anlayışı ilə tanış olacağıq, ona tərif verəcəyik. Adi bir piramidanın nə olduğunu və hansı xüsusiyyətlərə sahib olduğunu düşünün. Sonra düzgün piramidanın yan səthində teoremi sübut edirik.

Bu dərsdə biz piramida anlayışı ilə tanış olacağıq, ona tərif verəcəyik.

Çoxbucaqlı düşünün A 1 A 2...A n müstəvisində yerləşən α və nöqtə P, α müstəvisində yatmayan (şək. 1). Nöqtəni birləşdirək P zirvələri ilə A 1, A 2, A 3, … A n. alın nüçbucaqlar: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R və sair.

Tərif. Çoxüzlü RA 1 A 2 ... A n, ibarətdir n-qon A 1 A 2...A n və nüçbucaqlar RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 , çağırdı n- kömür piramidası. düyü. bir.

düyü. bir

Dördbucaqlı bir piramidaya nəzər salın PABCD(şək. 2).

R- piramidanın zirvəsi.

A B C D- piramidanın əsası.

RA- yan qabırğa.

AB- əsas kənar.

Bir nöqtədən R perpendikulyar buraxın RN yer müstəvisində A B C D. Perpendikulyar çəkilmiş piramidanın hündürlüyüdür.

düyü. 2

Piramidanın ümumi səthi yanal səthdən, yəni bütün yan üzlərin sahəsindən və baza sahəsindən ibarətdir:

S tam \u003d S tərəf + S əsas

Piramida düzgün adlanır, əgər:

• onun əsası müntəzəm çoxbucaqlıdır;
• piramidanın yuxarı hissəsini təməlin mərkəzi ilə birləşdirən seqment onun hündürlüyüdür.

Müntəzəm dördbucaqlı piramida nümunəsi üzrə izahat

Adi dördbucaqlı piramidaya nəzər salın PABCD(şək. 3).

R- piramidanın zirvəsi. piramidanın əsası A B C D- müntəzəm dördbucaqlı, yəni kvadrat. Nöqtə O, diaqonalların kəsişmə nöqtəsi, kvadratın mərkəzidir. O deməkdir ki, RO piramidanın hündürlüyüdür.

düyü. 3

İzah: sağda n-qon, yazılan dairənin mərkəzi ilə çevrənin mərkəzi üst-üstə düşür. Bu mərkəz çoxbucaqlının mərkəzi adlanır. Bəzən deyirlər ki, yuxarı mərkəzə proyeksiya olunub.

Normal piramidanın yuxarı hissəsindən çəkilmiş yan üzünün hündürlüyü deyilir apotema və işarələnmişdir h a.

1. müntəzəm piramidanın bütün yan kənarları bərabərdir;

2. yan üzlər bərabər ikitərəfli üçbucaqlardır.

Bu xassələri adi dördbucaqlı piramida nümunəsi ilə sübut edək.

verilmiş: RABSD- müntəzəm dördbucaqlı piramida,

A B C D- kvadrat,

RO piramidanın hündürlüyüdür.

Sübut et:

1. RA = PB = PC = PD

2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Bax şək. dörd.

düyü. dörd

Sübut.

RO piramidanın hündürlüyüdür. Yəni düz RO müstəviyə perpendikulyar ABC, və buna görə də birbaşa AO, VO, SO və EDİN içində yatmaq. Beləliklə, üçbucaqlar ROA, ROV, ROS, ROD- düzbucaqlı.

Bir kvadrat düşünün A B C D. Kvadratın xüsusiyyətlərindən belə çıxır ki AO = BO = CO = EDİN.

Sonra düz üçbucaqlar ROA, ROV, ROS, ROD ayaq RO- ümumi və ayaqları AO, VO, SO və EDİN bərabərdir, buna görə də bu üçbucaqlar iki ayaqda bərabərdir. Üçbucaqların bərabərliyindən seqmentlərin bərabərliyi gəlir, RA = PB = PC = PD. 1-ci nöqtə sübut edilmişdir.

Seqmentlər AB və günəş bərabərdir, çünki onlar eyni kvadratın tərəfləridir, RA = RV = PC. Beləliklə, üçbucaqlar AVR və VCR - ikitərəfli və üç tərəfdən bərabərdir.

Eynilə, üçbucaqları alırıq ABP, BCP, CDP, DAP 2-ci bənddə sübut etmək üçün tələb olunan ikitərəfli və bərabərdir.

Müntəzəm piramidanın yan səthinin sahəsi təməlin perimetri və apoteminin məhsulunun yarısına bərabərdir:

Sübut üçün adi üçbucaqlı piramida seçirik.

verilmiş: RAVS müntəzəm üçbucaqlı piramidadır.

AB = BC = AC.

RO- hündürlük.

Sübut et: . Bax şək. 5.

düyü. 5

Sübut.

RAVS müntəzəm üçbucaqlı piramidadır. Yəni AB= AC = BC. Qoy O- üçbucağın mərkəzi ABC, sonra RO piramidanın hündürlüyüdür. Piramidanın əsası bərabərtərəfli üçbucaqdır. ABC. qeyd et ki .

üçbucaqlar RAV, RVS, RSA- bərabər ikitərəfli üçbucaqlar (xassəyə görə). Üçbucaqlı piramidanın üç yan üzü var: RAV, RVS, RSA. Beləliklə, piramidanın yan səthinin sahəsi:

S tərəfi = 3S RAB

Teorem sübut edilmişdir.

Düzgün dördbucaqlı piramidanın bünövrəsinə yazılmış dairənin radiusu 3 m, piramidanın hündürlüyü 4 m. Piramidanın yan səthinin sahəsini tapın.

verilmiş: müntəzəm dördbucaqlı piramida A B C D,

A B C D- kvadrat,

r= 3 m,

RO- piramidanın hündürlüyü,

RO= 4 m.

tapın: S tərəfi. Bax şək. 6.

düyü. 6

Həll.

Sübut edilmiş teoremə görə, .

Əvvəlcə təməlin tərəfini tapın AB. Bilirik ki, müntəzəm dördbucaqlı piramidanın bünövrəsinə daxil edilmiş dairənin radiusu 3 m-dir.

Sonra, m.

Kvadratın perimetrini tapın A B C D 6 m tərəfi ilə:

Üçbucağı nəzərdən keçirək BCD. Qoy M- orta tərəf DC. Çünki O- orta BD, sonra (m).

Üçbucaq DPC- ikitərəfli. M- orta DC. Yəni, RM- median və buna görə də üçbucaqdakı hündürlük DPC. Sonra RM- piramidanın apothemi.

RO piramidanın hündürlüyüdür. Sonra düz RO müstəviyə perpendikulyar ABC, və deməli, birbaşa OM içində yatmaq. Gəlin bir apotem tapaq RM düz üçbucaqdan ROM.

İndi piramidanın yan səthini tapa bilərik:

Cavab verin: 60 m2.

Düzgün üçbucaqlı piramidanın bünövrəsinə yaxın ətrafa çəkilmiş çevrənin radiusu m, yanal səthinin sahəsi 18 m 2-dir. Apotemin uzunluğunu tapın.

verilmiş: ABCP- müntəzəm üçbucaqlı piramida,

AB = BC = SA,

R= m,

S tərəfi = 18 m 2.

tapın: . Bax şək. 7.

düyü. 7

Həll.

Düzbucaqlı üçbucaqda ABC verilmiş dairənin radiusu verilmişdir. Gəlin bir tərəf tapaq AB sinus teoremindən istifadə edərək bu üçbucaq.

Düzgün üçbucağın tərəfini (m) bilməklə onun perimetrini tapırıq.

Müntəzəm piramidanın yan səthinin sahəsinə dair teoremə görə, burada h a- piramidanın apothemi. Sonra:

Cavab verin: 4 m.

Beləliklə, biz piramidanın nə olduğunu, nizamlı piramidanın nə olduğunu araşdırdıq, düzgün piramidanın yan səthi ilə bağlı teoremi sübut etdik. Növbəti dərsdə biz kəsilmiş piramida ilə tanış olacağıq.

Biblioqrafiya

1. Həndəsə. 10-11-ci siniflər: təhsil müəssisələrinin tələbələri üçün dərslik (əsas və profil səviyyələri) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-ci nəşr, Rev. və əlavə - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: xəstə.
2. Həndəsə. 10-11-ci sinif: Ümumi təhsil müəssisələri üçün dərslik / Sharygin I. F. - M .: Bustard, 1999. - 208 s.: ill.
3. Həndəsə. 10-cu sinif: Riyaziyyatın dərindən və profilli öyrənilməsi ilə ümumi təhsil müəssisələri üçün dərslik / E. V. Potoskuev, L. I. Zvaliç. - 6-cı nəşr, stereotip. - M.: Bustard, 008. - 233 s.: xəstə.

1. "Yaklass" internet portalı ()
2. İnternet portalı "Birinci Sentyabr" Pedaqoji İdeyalar Festivalı ()
3. İnternet portalı "Slideshare.net" ()

Ev tapşırığı

1. Düzgün çoxbucaqlı nizamsız piramidanın əsası ola bilərmi?
2. Normal piramidanın kəsişməyən kənarlarının perpendikulyar olduğunu sübut edin.
3. Normal dördbucaqlı piramidanın bünövrəsinin yan tərəfindəki dihedral bucağın qiymətini tapın, əgər piramidanın apotemi onun əsasının tərəfinə bərabərdir.
4. RAVS müntəzəm üçbucaqlı piramidadır. Piramidanın təməlində dihedral bucağın xətti bucağını qurun.

Tərif. Yan üz- bu, bir bucağın piramidanın yuxarı hissəsində yerləşdiyi və əks tərəfinin əsas tərəfi (poliqon) ilə üst-üstə düşdüyü üçbucaqdır.

Tərif. Yan qabırğalar yan üzlərin ümumi tərəfləridir. Piramidanın çoxbucaqlının küncləri qədər kənarları var.

Tərif. piramida hündürlüyü piramidanın yuxarısından bazasına endirilmiş perpendikulyardır.

Tərif. Apotem- bu, piramidanın yuxarısından təməlin yan tərəfinə endirilmiş piramidanın yan üzünün perpendikulyarıdır.

Tərif. Diaqonal bölmə- bu, piramidanın yuxarı hissəsindən və təməlin diaqonalından keçən bir təyyarə ilə piramidanın bir hissəsidir.

Tərif. Düzgün piramida- Bu, əsasının müntəzəm çoxbucaqlı olduğu və hündürlüyün əsasın mərkəzinə endiyi bir piramidadır.

Piramidanın həcmi və səthi

Düstur. piramidanın həcmi baza sahəsi və hündürlüyü ilə:

piramida xüsusiyyətləri

Bütün yan kənarlar bərabərdirsə, o zaman piramidanın əsasının ətrafında bir dairə çəkilə bilər və təməlin mərkəzi dairənin mərkəzi ilə üst-üstə düşür. Həmçinin, yuxarıdan düşmüş perpendikulyar bazanın (dairə) mərkəzindən keçir.

Bütün yan qabırğalar bərabərdirsə, o zaman eyni açılarda baza müstəvisinə meyllidirlər.

Yan qabırğalar baza müstəvisi ilə bərabər bucaqlar meydana gətirdikdə və ya piramidanın əsasının ətrafında bir dairə təsvir edilə bildikdə bərabər olur.

Yan üzlər bir bucaq altında təməl müstəvisinə meyllidirsə, o zaman piramidanın əsasına bir dairə yazıla bilər və piramidanın yuxarı hissəsi onun mərkəzinə proyeksiya olunur.

Yan üzlər bir bucaq altında əsas müstəviyə meyllidirsə, yan üzlərin apotemləri bərabərdir.

Adi piramidanın xassələri

1. Piramidanın yuxarı hissəsi təməlin bütün künclərindən bərabər məsafədə yerləşir.

2. Bütün yan kənarlar bərabərdir.

3. Bütün yan qabırğalar bazaya eyni açılarda meyllidir.

4. Bütün yan üzlərin apotemləri bərabərdir.

5. Bütün yan üzlərin sahələri bərabərdir.

6. Bütün üzlər eyni dihedral (düz) bucaqlara malikdir.

7. Piramidanın ətrafında kürə təsvir edilə bilər. Təsvir edilən sferanın mərkəzi kənarların ortasından keçən perpendikulyarların kəsişmə nöqtəsi olacaqdır.

8. Piramidaya kürə həkk oluna bilər. Yazılı kürənin mərkəzi kənar və əsas arasındakı bucaqdan çıxan bisektorların kəsişmə nöqtəsi olacaqdır.

9. Yazılı sferanın mərkəzi dairəvi sferanın mərkəzi ilə üst-üstə düşürsə, o zaman zirvədəki düz bucaqların cəmi π-ə bərabərdir və ya əksinə, bir bucaq π / n-ə bərabərdir, burada n ədəddir. piramidanın təməlindəki bucaqlar.

Piramidanın kürə ilə əlaqəsi

Piramidanın təməlində çevrənin təsvir oluna biləcəyi çoxüzlü yerləşdiyi zaman piramidanın ətrafında bir kürə təsvir edilə bilər (zəruri və kifayət qədər şərt). Kürənin mərkəzi piramidanın yan kənarlarının orta nöqtələrindən perpendikulyar keçən təyyarələrin kəsişmə nöqtəsi olacaqdır.

Bir kürə həmişə hər hansı üçbucaqlı və ya müntəzəm piramidanın ətrafında təsvir edilə bilər.

Piramidanın daxili dihedral bucaqlarının bisektor müstəviləri bir nöqtədə kəsişirsə, kürə piramidaya daxil edilə bilər (zəruri və kifayət qədər şərt). Bu nöqtə kürənin mərkəzi olacaq.

Piramidanın konusla əlaqəsi

Konusun təpələri üst-üstə düşürsə və konusun əsası piramidanın əsasına həkk olunubsa, konus piramidaya yazılı deyilir.

Piramidanın apotemləri bərabər olarsa, konus piramidaya yazıla bilər.

Konusun təpələri üst-üstə düşürsə və konusun əsası piramidanın əsası ətrafında dairəvi olarsa, bir konus bir piramidanın ətrafına çəkilir.

Piramidanın bütün yan kənarları bir-birinə bərabər olarsa, bir konus bir piramida ətrafında təsvir edilə bilər.

Piramidanın silindrlə birləşdirilməsi

Piramidanın yuxarı hissəsi silindrin bir əsasına, piramidanın əsası isə silindrin başqa bir əsasına yazılmışdırsa, onun silindrin içinə yazılmış olduğu deyilir.

Piramidanın təməli ətrafında bir dairə çəkilə bilsə, silindr bir piramidanın ətrafına çəkilə bilər.

Tetraedrin dörd üzü, dörd təpəsi və altı kənarı var, burada hər iki kənarın ümumi təpələri yoxdur, lakin toxunmur.

Hər bir təpə üç üzdən və meydana gələn kənarlardan ibarətdir üçbucaqlı bucaq.

Tetraedrin təpəsini əks üzün mərkəzi ilə birləşdirən seqment deyilir tetraedrin medianı(GM).

Bimedian toxunmayan əks kənarların orta nöqtələrini birləşdirən seqment adlanır (KL).

Tetraedrin bütün bimedianları və medianları bir nöqtədə (S) kəsişir. Bu vəziyyətdə, bimedianlar yarıya bölünür və medianlar yuxarıdan başlayaraq 3: 1 nisbətindədir.

Tərif. Kəskin Bucaqlı Piramida apotem əsas tərəfinin uzunluğunun yarısından çox olduğu piramidadır.

Tərif. küt piramida apotem əsas tərəfinin uzunluğunun yarısından az olduğu piramidadır.

Tərif. müntəzəm tetraedr Dörd üzü bərabərtərəfli üçbucaqlar olan tetraedr. Beş müntəzəm çoxbucaqlılardan biridir. Müntəzəm tetraedrdə bütün dihedral bucaqlar (üzlər arasında) və üçbucaqlı bucaqlar (təpədə) bərabərdir.

Tərif. Düzbucaqlı tetraedr təpəsində üç kənar arasında düz bucaq (kənarları perpendikulyar) olan bir tetraedr deyilir. Üç üz formalaşır düzbucaqlı üçbucaqlı bucaq və üzləri düzbucaqlı üçbucaqlar, əsası isə ixtiyari üçbucaqdır. İstənilən sifətin apotemi apotem düşdüyü bazanın tərəfinin yarısına bərabərdir.

Tərif. İzohedral tetraedr Yan üzlərinin bir-birinə bərabər olduğu və əsasının müntəzəm üçbucaq olduğu bir tetraedr deyilir. Belə bir tetraedrin üzləri ikitərəfli üçbucaqlardır.

Tərif. Ortosentrik tetraedr yuxarıdan əks üzə endirilən bütün hündürlüklərin (perpendikulyarların) bir nöqtədə kəsişdiyi tetraedr deyilir.

Tərif. ulduz piramidasıƏsası ulduz olan çoxüzlüyə deyilir.

piramida. Kəsilmiş piramida

piramidaçoxbucaqlı adlanır, üzlərindən biri çoxbucaqlıdır ( əsas ) və bütün digər üzlər ümumi təpəsi olan üçbucaqlardır ( yan üzlər ) (Şəkil 15). Piramida adlanır düzgün , əgər onun əsası düzgün çoxbucaqlıdırsa və piramidanın yuxarı hissəsi bünövrənin mərkəzinə proqnozlaşdırılıbsa (şək. 16). Bütün kənarlarının bərabər olduğu üçbucaqlı piramida deyilir tetraedr .

Yan qabırğa piramida yan üzün bazaya aid olmayan tərəfi adlanır Hündürlük piramida onun yuxarısından baza müstəvisinə qədər olan məsafədir. Normal piramidanın bütün yan kənarları bir-birinə bərabərdir, bütün yan üzlər bərabər ikitərəfli üçbucaqlardır. Təpədən çəkilmiş nizamlı piramidanın yan üzünün hündürlüyü deyilir apotema . diaqonal bölmə Piramidanın bir hissəsi eyni üzə aid olmayan iki yan kənardan keçən müstəvi adlanır.

Yan səth sahəsi piramida bütün yan üzlərin sahələrinin cəmi adlanır. Tam səth sahəsi bütün yan üzlərin və əsasın sahələrinin cəmidir.

Teoremlər

1. Əgər piramidada bütün yan kənarlar eyni dərəcədə təməl müstəvisinə meyllidirsə, onda piramidanın yuxarı hissəsi bazaya yaxın olan dairəvi dairənin mərkəzinə proyeksiya edilir.

2. Əgər piramidada bütün yan kənarların uzunluğu bərabərdirsə, onda piramidanın yuxarı hissəsi bazaya yaxın olan dairənin mərkəzinə proyeksiya edilir.

3. Piramidada bütün üzlər eyni dərəcədə əsas müstəvisinə meyllidirsə, o zaman piramidanın yuxarı hissəsi bazaya yazılmış dairənin mərkəzinə proyeksiya edilir.

İxtiyari bir piramidanın həcmini hesablamaq üçün düstur düzgündür:

harada V- həcm;

S əsas- baza sahəsi;

H piramidanın hündürlüyüdür.

Adi bir piramida üçün aşağıdakı düsturlar doğrudur:

harada səh- təməlin perimetri;

h a- apotem;

H- hündürlük;

S dolu

S tərəfi

S əsas- baza sahəsi;

V müntəzəm piramidanın həcmidir.

kəsilmiş piramida piramidanın baza ilə paralel kəsici müstəvi arasında qapalı olan hissəsi adlanır (şək. 17). Düzgün kəsilmiş piramida müntəzəm piramidanın baza ilə piramidanın təməlinə paralel kəsici müstəvi arasında qapalı hissəsi adlanır.

Vəqflər kəsilmiş piramida - oxşar çoxbucaqlılar. Yan üzlər - trapesiya. Hündürlük kəsilmiş piramida onun əsasları arasındakı məsafə adlanır. Diaqonal Kəsilmiş piramida, eyni üzdə yatmayan təpələrini birləşdirən bir seqmentdir. diaqonal bölmə Kəsilmiş piramidanın bir hissəsi eyni üzə aid olmayan iki yan kənardan keçən müstəvi adlanır.

Kəsilmiş piramida üçün düsturlar etibarlıdır:

(4)

harada S 1 , S 2 - yuxarı və aşağı əsasların sahələri;

S doluümumi səth sahəsidir;

S tərəfi yanal səth sahəsidir;

H- hündürlük;

V kəsilmiş piramidanın həcmidir.

Müntəzəm kəsilmiş piramida üçün aşağıdakı düstur doğrudur:

harada səh 1 , səh 2 - əsas perimetrlər;

h a- müntəzəm kəsilmiş piramidanın apotemi.

Misal 1 Müntəzəm üçbucaqlı piramidada təməldəki dihedral bucaq 60º-dir. Yan kənarın baza müstəvisinə meyl bucağının tangensini tapın.

Həll. Bir rəsm çəkək (şək. 18).

Piramida nizamlıdır, yəni əsas bərabərtərəfli üçbucaqdır və bütün yan üzlər bərabər ikitərəfli üçbucaqlardır. Bazadakı dihedral bucaq piramidanın yan üzünün təməl müstəvisinə meyl bucağıdır. Xətti bucaq bucaq olacaq a iki perpendikulyar arasında: yəni. Piramidanın yuxarı hissəsi üçbucağın mərkəzində proyeksiya edilmişdir (üçbucaqda dairəvi dairənin mərkəzi və yazılı dairə) ABC). Yan qabırğanın meyl açısı (məsələn SB) kənarın özü ilə onun əsas müstəvisinə proyeksiyası arasındakı bucaqdır. Qabırğa üçün SB bu bucaq bucaq olacaq SBD. Tangensi tapmaq üçün ayaqları bilmək lazımdır BELƏ Kİ və OB. Seqmentin uzunluğuna icazə verin BD 3-dür a. nöqtə O xətt seqmenti BD hissələrə bölünür: və Biz tapırıq BELƏ Kİ: Biz tapırıq:

Cavab:

Misal 2 Düzgün kəsilmiş dördbucaqlı piramidanın əsaslarının diaqonalları sm və sm, hündürlüyü 4 sm olduqda onun həcmini tapın.

Həll. Kəsilmiş piramidanın həcmini tapmaq üçün (4) düsturundan istifadə edirik. Bazaların sahələrini tapmaq üçün onların diaqonallarını bilməklə əsas kvadratların tərəflərini tapmaq lazımdır. Əsasların tərəfləri müvafiq olaraq 2 sm və 8 sm-dir.Bu, əsasların sahələri deməkdir və Bütün məlumatları düsturda əvəz edərək, kəsilmiş piramidanın həcmini hesablayırıq:

Cavab: 112 sm3.

Misal 3Əsaslarının kənarları 10 sm və 4 sm, piramidanın hündürlüyü 2 sm olan müntəzəm üçbucaqlı kəsikli piramidanın yan üzünün sahəsini tapın.

Həll. Gəlin rəsm çəkək (şək. 19).

Bu piramidanın yan üzü isosceles trapezoiddir. Trapezoidin sahəsini hesablamaq üçün əsasları və hündürlüyünü bilməlisiniz. Əsaslar şərtlə verilir, yalnız hündürlük naməlum olaraq qalır. Hardan tapın AMMA 1 E bir nöqtədən perpendikulyar AMMA 1 alt bazanın müstəvisində, A 1 D-dən perpendikulyar AMMA 1 haqqında AC. AMMA 1 E\u003d 2 sm, çünki bu piramidanın hündürlüyüdür. Tapmaq üçün DE biz əlavə bir rəsm çəkəcəyik, orada yuxarıdan görünüşü təsvir edəcəyik (şək. 20). Nöqtə O- yuxarı və aşağı əsasların mərkəzlərinin proyeksiyası. bəri (bax. Şəkil 20) və Digər tərəfdən tamam yazılmış çevrənin radiusudur və OM yazılmış dairənin radiusudur:

MK=DE.

-dən Pifaqor teoreminə görə

Yan üz sahəsi:

Cavab:

Misal 4 Piramidanın təməlində əsasları ikitərəfli trapesiya yerləşir a və b (a> b). Hər bir yan üz piramidanın təməlinin müstəvisinə bərabər bir bucaq əmələ gətirir j. Piramidanın ümumi səth sahəsini tapın.

Həll. Bir rəsm çəkək (şək. 21). Piramidanın ümumi səth sahəsi SABCD trapezoidin sahələrinin və sahəsinin cəminə bərabərdir A B C D.

Piramidanın bütün üzləri təməl müstəvisinə bərabər şəkildə meyllidirsə, onda təpənin təmələ yazılmış dairənin mərkəzinə proyeksiya edildiyi ifadəsini istifadə edirik. Nöqtə O- təpə proyeksiyası S piramidanın təməlində. Üçbucaq SODüçbucağın ortoqonal proyeksiyasıdır CSD baza müstəvisinə. Düz fiqurun ortoqonal proyeksiyasının sahəsinə dair teoremə görə alırıq:

Eynilə, o deməkdir Beləliklə, problem trapezoidin sahəsini tapmaq üçün azaldı A B C D. Trapesiya çəkin A B C D ayrıca (şək. 22). Nöqtə O trapesiyaya daxil edilmiş dairənin mərkəzidir.

Dairə trapesiyaya yazıla bildiyi üçün Pifaqor teoreminə görə

• apotem- nizamlı piramidanın yuxarı hissəsindən çəkilmiş yan üzünün hündürlüyü (əlavə olaraq apotem düzgün çoxbucaqlının ortasından onun tərəflərinin 1-nə endirilən perpendikulyarın uzunluğudur);
• yan üzlər (ASB, BSC, CSD, DSA) - yuxarıda birləşən üçbucaqlar;
• yan qabırğalar ( AS , BS , CS , D.S. ) - yan üzlərin ümumi tərəfləri;
• piramidanın üstü (v. S) - yan kənarları birləşdirən və əsas müstəvisində yatmayan nöqtə;
• hündürlük ( BELƏ Kİ ) - piramidanın yuxarı hissəsindən əsasının müstəvisinə çəkilmiş perpendikulyar seqment (belə seqmentin ucları piramidanın yuxarı hissəsi və perpendikulyarın əsası olacaqdır);
• piramidanın diaqonal hissəsi- piramidanın yuxarı hissəsindən və əsasın diaqonalından keçən hissəsi;
• əsas (A B C D) piramidanın yuxarı hissəsinin aid olmadığı çoxbucaqlıdır.

piramida xüsusiyyətləri.

1. Bütün yan kənarlar eyni ölçüdə olduqda, onda:

• piramidanın əsasının yaxınlığında bir dairəni təsvir etmək asandır, piramidanın yuxarı hissəsi isə bu dairənin mərkəzinə proyeksiya ediləcək;
• yan qabırğalar əsas təyyarə ilə bərabər açılar təşkil edir;
• əlavə olaraq, əksi də doğrudur, yəni. yan kənarları təməl müstəvisi ilə bərabər bucaqlar əmələ gətirdikdə və ya piramidanın əsasının yaxınlığında bir dairə təsvir edilə biləndə və piramidanın yuxarı hissəsi bu dairənin mərkəzinə proyeksiya edildikdə, piramidanın bütün yan kənarları eyni ölçüdə.

2. Yan üzlərin eyni qiymətli əsasın müstəvisinə meyl bucağı olduqda:

• piramidanın təməlinin yaxınlığında bir dairəni təsvir etmək asandır, piramidanın yuxarı hissəsi isə bu dairənin mərkəzinə proyeksiya ediləcək;
• yan üzlərin hündürlüyü bərabər uzunluqdadır;
• yan səthin sahəsi bazanın perimetri ilə yan üzün hündürlüyünün məhsulunun ½ hissəsidir.

3. Piramidanın yaxınlığında kürə təsvir oluna bilər, əgər piramidanın əsası ətrafında dairə təsvir edilə bilən çoxbucaqlıdır (zəruri və kafi şərt). Kürənin mərkəzi onlara perpendikulyar olan piramidanın kənarlarının orta nöqtələrindən keçən müstəvilərin kəsişmə nöqtəsi olacaqdır. Bu teoremdən belə nəticəyə gəlirik ki, kürə həm hər hansı üçbucaq, həm də hər hansı normal piramida ətrafında təsvir edilə bilər.

4. Piramidanın daxili dihedral bucaqlarının bissektrisa müstəviləri 1-ci nöqtədə kəsişirsə, kürə piramidaya daxil edilə bilər (zəruri və kafi şərt). Bu nöqtə sferanın mərkəzinə çevriləcək.

Ən sadə piramida.

Piramidanın əsasının künclərinin sayına görə onlar üçbucaqlı, dördbucaqlı və s.

Piramida olacaq üçbucaqlı, dördbucaqlı, və s., piramidanın əsası üçbucaq, dördbucaqlı olduqda və s. Üçbucaqlı piramida tetraedrdir - tetraedr. Dördbucaqlı - beşbucaqlı və s.