Bir nöqtədə funksiyanın 1 törəməsi. Funksiya törəməsi

Tərif.\(y = f(x) \) funksiyası içərisində \(x_0 \) nöqtəsi olan bəzi intervalda müəyyən edilsin. Bu intervalı tərk etməmək üçün arqumentə \(\Delta x \) artıraq. \(\Delta y \) funksiyasının müvafiq artımını tapın (\(x_0 \) nöqtəsindən \(x_0 + \Delta x \) nöqtəsinə keçərkən) və \(\frac(\Delta y) münasibətini qurun. )(\Delta x) \). Əgər \(\Delta x \rightarrow 0 \) nöqtəsində bu əlaqənin həddi varsa, o zaman göstərilən həddi adlanır. törəmə funksiyası\(y=f(x) \) nöqtəsində \(x_0 \) və işarələyin \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \dan 0-a) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Tez-tez y simvolu törəməni işarələmək üçün istifadə olunur. Qeyd edək ki, y" = f(x) yeni funksiyadır, lakin təbii olaraq yuxarıdakı limitin mövcud olduğu bütün x nöqtələrində müəyyən edilmiş y = f(x) funksiyası ilə əlaqələndirilir. Bu funksiya belə adlanır: y \u003d f (x) funksiyasının törəməsi.

Törəmənin həndəsi mənası aşağıdakılardan ibarətdir. Y oxuna paralel olmayan bir tangens x \u003d a absis ilə bir nöqtədə y \u003d f (x) funksiyasının qrafikinə çəkilə bilərsə, f (a) tangensin yamacını ifadə edir:
\(k = f"(a)\)

\(k = tg(a) \) olduğundan \(f"(a) = tg(a) \) bərabərliyi doğrudur.

İndi isə törəmənin tərifini təxmini bərabərliklər baxımından şərh edirik. \(y = f(x) \) funksiyasının müəyyən \(x \) nöqtəsində törəməsi olsun:
$$ \lim_(\Delta x \dan 0-a) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Bu o deməkdir ki, x nöqtəsinin yaxınlığında təxmini bərabərlik \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \təqribən f"(x) \), yəni \(\Delta y \təxminən f"(x) \cdot \Deltax\). Alınan təxmini bərabərliyin mənalı mənası belədir: funksiyanın artımı arqumentin artımına “demək olar ki, mütənasibdir”, mütənasiblik əmsalı isə verilmiş x nöqtəsində törəmənin qiymətidir. Məsələn, \(y = x^2 \) funksiyası üçün təqribi bərabərlik \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) doğrudur. Əgər törəmənin tərifini diqqətlə təhlil etsək, onun tapmaq üçün alqoritmin olduğunu görərik.

Gəlin onu formalaşdıraq.

y \u003d f (x) funksiyasının törəməsini necə tapmaq olar?

1. \(x \) dəyərini düzəldin, \(f(x) \) tapın
2. \(x \) arqumentini artırın \(\Delta x \), yeni nöqtəyə keçin \(x+ \Delta x \), \(f(x+ \Delta x) \) tapın.
3. Funksiya artımını tapın: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \) münasibətini qurun.
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ hesablayın
Bu hədd funksiyanın x-də törəməsidir.

Əgər y = f(x) funksiyasının x nöqtəsində törəməsi varsa, o zaman x nöqtəsində diferensiallanan adlanır. y \u003d f (x) funksiyasının törəməsinin tapılması proseduru adlanır fərqləndirmə y = f(x) funksiyaları.

Gəlin aşağıdakı sualı müzakirə edək: bir nöqtədə funksiyanın davamlılığı və diferensiallığı necə bağlıdır?

y = f(x) funksiyası x nöqtəsində diferensiallana bilsin. Onda M (x; f (x)) nöqtəsində funksiyanın qrafikinə tangens çəkmək olar və yada salaq ki, tangensin mailliyi f "(x)-ə bərabərdir. Belə bir qrafik "qıra bilməz". M nöqtəsi, yəni funksiya x-də davamlı olmalıdır.

Bu, "barmaqların üstündə" əsaslandırma idi. Gəlin daha ciddi bir arqument təqdim edək. Əgər y = f(x) funksiyası x nöqtəsində diferensiallanarsa, onda təqribi bərabərlik \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) yerinə yetirilir. sıfır, onda \(\Delta y \ ) də sıfıra meyl edəcək və bu, funksiyanın bir nöqtədə davamlılığının şərtidir.

Belə ki, əgər funksiya x nöqtəsində diferensiallana bilirsə, o zaman həmin nöqtədə də davamlıdır.

Bunun əksi doğru deyil. Məsələn: y = |x| funksiyası hər yerdə, xüsusən x = 0 nöqtəsində davamlıdır, lakin “birgə nöqtəsində” (0; 0) funksiyanın qrafikinə toxunan yoxdur. Əgər hansısa nöqtədə funksiya qrafikinə tangens çəkmək mümkün deyilsə, bu nöqtədə törəmə yoxdur.

Daha bir misal. \(y=\sqrt(x) \) funksiyası x = 0 nöqtəsi də daxil olmaqla bütün say xəttində fasiləsizdir. Və funksiyanın qrafikinə toxunan istənilən nöqtədə, o cümlədən x = 0 nöqtəsində mövcuddur. Lakin bu nöqtədə tangens y oxu ilə üst-üstə düşür, yəni absis oxuna perpendikulyardır, onun tənliyi x \u003d 0 formasına malikdir. f "(0) \) də mövcud deyil

Beləliklə, biz funksiyanın yeni xassəsi - diferensiallıq ilə tanış olduq. Bir funksiyanın qrafikindən diferensiallana biləcəyini necə müəyyən etmək olar?

Cavab əslində yuxarıda verilmişdir. Əgər hansısa nöqtədə x oxuna perpendikulyar olmayan funksiyanın qrafikinə tangens çəkmək olarsa, bu zaman funksiya diferensiallaşır. Əgər hansısa nöqtədə funksiyanın qrafikinə toxunan yoxdursa və ya o, x oxuna perpendikulyardırsa, bu zaman funksiya diferensiallaşmır.

Fərqləndirmə qaydaları

Törəmə tapma əməliyyatı adlanır fərqləndirmə. Bu əməliyyatı yerinə yetirərkən çox vaxt əmsallar, cəmlər, funksiyaların hasilləri, həmçinin "funksiyaların funksiyaları", yəni mürəkkəb funksiyalarla işləməli olursunuz. Törəmə tərifinə əsasən, biz bu işi asanlaşdıran diferensiallaşdırma qaydalarını əldə edə bilərik. Əgər C sabit ədəddirsə və f=f(x), g=g(x) bəzi diferensiallana bilən funksiyalardırsa, aşağıdakılar doğrudur. fərqləndirmə qaydaları:

Bəzi funksiyaların törəmələri cədvəli

Həndəsə, mexanika, fizika və digər bilik sahələrinin müxtəlif məsələlərini həll edərkən, verilmiş funksiyadan eyni analitik prosesdən istifadə etmək zərurəti yarandı. y=f(x) adlı yeni funksiya əldə edin törəmə funksiyası(və ya sadəcə olaraq f(x) funksiyasının törəməsi) və simvollaşdırılır

Verilmiş funksiyanın həyata keçirdiyi proses f(x) yeni funksiya əldə edin f"(x), çağırdı fərqləndirmə və aşağıdakı üç addımdan ibarətdir: 1) arqumenti veririk x artım  x və funksiyanın müvafiq artımını təyin edin  y = f(x+ x)-f(x); 2) əlaqə qurur

3) saymaq x daimi və  x0, tapırıq
ilə işarələnmişdir f"(x), sanki yaranan funksiyanın yalnız qiymətdən asılı olduğunu vurğulayır x, biz limitə keçirik. Tərif: Törəmə y "=f" (x) verilmiş y=f(x) funksiyası x verilmişdir funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinin həddi adlanır, bir şərtlə ki, arqumentin artımı sıfıra meyllidir, əgər təbii ki, bu həddi mövcuddursa, yəni. sonlu. Bu cür,
, və ya

Nəzərə alın ki, bəzi dəyər üçün x, məsələn, nə vaxt x=a, münasibət
saat  x0 sonlu həddə meyl göstərmir, onda bu halda funksiyanı deyirik f(x) saat x=a(və ya nöqtədə x=a) törəməsi yoxdur və ya nöqtədə diferensiallaşmır x=a.

2. Törəmənin həndəsi mənası.

x 0 nöqtəsinin yaxınlığında fərqlənə bilən y \u003d f (x) funksiyasının qrafikini nəzərdən keçirin.

f(x)

Funksiya qrafikinin nöqtəsindən - A (x 0, f (x 0)) nöqtəsindən keçən və qrafiki B nöqtəsində (x; f (x)) kəsən ixtiyari xətti nəzərdən keçirək. Belə düz xəttə (AB) sekant deyilir. ∆ABC-dən: AC = ∆x; BC \u003d ∆y; tgβ=∆y/∆x .

AC-dən bəri || Ox, onda ALO = BAC = β (paralel uyğun olaraq). Lakin ALO AB sekantının Ox oxunun müsbət istiqamətinə meyl bucağıdır. Deməli, tgβ = k AB düz xəttinin mailliyidir.

İndi biz ∆x-i azaldacağıq, yəni. ∆x→ 0. Bu zaman B nöqtəsi qrafikə uyğun olaraq A nöqtəsinə yaxınlaşacaq və AB sekantı fırlanacaq. AB sekantının ∆x → 0 nöqtəsində məhdudlaşdırıcı mövqeyi A nöqtəsində y \u003d f (x) funksiyasının qrafikinə tangens adlanan düz xətt (a) olacaqdır.

Əgər tgβ =∆y/∆x bərabərliyində ∆х → 0 kimi limitə keçsək, onda alarıq.
və ya tg \u003d f "(x 0), çünki
-ox oxunun müsbət istiqamətinə tangensin meyl bucağı
, törəmənin tərifinə görə. Lakin tg \u003d k tangensin yamacıdır, yəni k \u003d tg \u003d f "(x 0).

Beləliklə, törəmənin həndəsi mənası aşağıdakı kimidir:

X nöqtəsində funksiyanın törəməsi 0 absis x nöqtəsində çəkilmiş funksiyanın qrafikinə toxunan meylin mailliyinə bərabərdir. 0 .

3. Törəmənin fiziki mənası.

Bir nöqtənin düz xətt boyunca hərəkətini nəzərdən keçirək. İstənilən andakı nöqtənin koordinatı x(t) verilsin. Məlumdur ki, (fizika kursundan) müəyyən vaxt ərzində orta sürət bu müddət ərzində qət edilən məsafənin zamana nisbətinə bərabərdir, yəni.

Vav = ∆x/∆t. Son bərabərlikdə həddinə ∆t → 0 kimi keçək.

lim Vav (t) = (t 0) - t 0, ∆t → 0 zamanında ani sürət.

və lim = ∆x/∆t = x "(t 0) (törəmə tərifi ilə).

Beləliklə, (t) = x"(t).

Törəmənin fiziki mənası belədir: funksiyanın törəməsiy = f(x) nöqtəsindəx 0 funksiyanın dəyişmə sürətidirf(x) nöqtəsindəx 0

Törəmə fizikada koordinatların zamana görə məlum funksiyasından sürəti, zamana görə sürətin məlum funksiyasından sürəti tapmaq üçün istifadə olunur.

 (t) \u003d x "(t) - sürət,

a(f) = "(t) - sürətlənmə və ya

Maddi nöqtənin çevrə boyunca hərəkət qanunu məlumdursa, onda fırlanma hərəkəti zamanı bucaq sürətini və bucaq sürətini tapmaq olar:

φ = φ(t) - zamanla bucağın dəyişməsi,

ω \u003d φ "(t) - bucaq sürəti,

ε = φ"(t) - açısal sürətlənmə və ya ε = φ"(t).

Qeyri-homogen çubuqun kütləsi üçün paylanma qanunu məlumdursa, qeyri-homogen çubuqun xətti sıxlığını tapmaq olar:

m \u003d m (x) - kütlə,

x  , l - çubuq uzunluğu,

p \u003d m "(x) - xətti sıxlıq.

Törəmənin köməyi ilə elastiklik və harmonik vibrasiya nəzəriyyəsindən məsələlər həll edilir. Bəli, Hooke qanununa görə

F = -kx, x – dəyişən koordinat, k – yayın elastiklik əmsalı. ω 2 \u003d k / m qoyaraq, yay sarkacının diferensial tənliyini əldə edirik x "(t) + ω 2 x (t) \u003d 0,

burada ω = √k/√m rəqs tezliyidir (l/c), k yay sürətidir (H/m).

y "+ ω 2 y \u003d 0 formalı tənliyə harmonik rəqslərin tənliyi (mexaniki, elektrik, elektromaqnit) deyilir. Belə tənliklərin həlli funksiyadır.

y = Asin(ωt + φ 0) və ya y = Acos(ωt + φ 0), burada

A - salınım amplitudası, ω - siklik tezlik,

φ 0 - ilkin mərhələ.

Törəmə və onun hesablanması üsulları haqqında məlumat olmadan riyaziyyatda fiziki məsələləri və ya nümunələri həll etmək qətiyyən mümkün deyil. Törəmə riyazi analizin ən vacib anlayışlarından biridir. Bugünkü məqaləmizi bu fundamental mövzuya həsr etmək qərarına gəldik. Törəmə nədir, onun fiziki və həndəsi mənası nədir, funksiyanın törəməsi necə hesablanır? Bütün bu suallar bir yerdə birləşdirilə bilər: törəməni necə başa düşmək olar?

Törəmənin həndəsi və fiziki mənası

Qoy bir funksiya olsun f(x) , müəyyən intervalla verilir (a,b) . x və x0 nöqtələri bu intervala aiddir. X dəyişdikdə, funksiyanın özü də dəyişir. Arqument dəyişikliyi - onun dəyərlərinin fərqi x-x0 . Bu fərq kimi yazılır delta x və arqument artımı adlanır. Bir funksiyanın dəyişməsi və ya artması, funksiyanın iki nöqtədə qiymətləri arasındakı fərqdir. Törəmə tərifi:

Bir nöqtədə funksiyanın törəməsi, sonuncu sıfıra meyl etdikdə, verilmiş nöqtədə funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinin həddidir.

Əks halda belə yazıla bilər:

Belə bir hədd tapmağın nə mənası var? Amma hansı:

bir nöqtədə funksiyanın törəməsi OX oxu arasındakı bucağın tangensi ilə verilmiş nöqtədə funksiyanın qrafikinə olan tangensə bərabərdir.

Törəmənin fiziki mənası: yolun zaman törəməsi düzxətli hərəkətin sürətinə bərabərdir.

Həqiqətən, məktəb günlərindən hər kəs sürətin şəxsi yol olduğunu bilir. x=f(t) və vaxt t . Müəyyən bir müddət ərzində orta sürət:

Bir anda hərəkət sürətini tapmaq üçün t0 limiti hesablamaq lazımdır:

Birinci qayda: sabiti çıxarın

Sabit törəmənin işarəsindən çıxarıla bilər. Üstəlik, bunu etmək lazımdır. Riyaziyyatda nümunələri həll edərkən, bir qayda olaraq götürün - ifadəni sadələşdirə bilirsinizsə, sadələşdirməyə əmin olun .

Misal. Törəməni hesablayaq:

İkinci qayda: funksiyaların cəminin törəməsi

İki funksiyanın cəminin törəməsi bu funksiyaların törəmələrinin cəminə bərabərdir. Eyni şey funksiyalar fərqinin törəməsi üçün də keçərlidir.

Biz bu teoremin isbatını verməyəcəyik, daha çox praktiki bir misal nəzərdən keçirəcəyik.

Funksiyanın törəməsini tapın:

Üçüncü qayda: funksiyaların hasilinin törəməsi

İki diferensiallanan funksiyanın hasilinin törəməsi düsturla hesablanır:

Nümunə: funksiyanın törəməsini tapın:

Həll:

Burada mürəkkəb funksiyaların törəmələrinin hesablanması haqqında danışmaq vacibdir. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi bu funksiyanın törəməsinin müstəqil dəyişənə münasibətdə aralıq arqumentin törəməsi ilə hasilinə bərabərdir.

Yuxarıdakı nümunədə aşağıdakı ifadə ilə qarşılaşırıq:

Bu halda, ara arqument beşinci gücə 8x-dir. Belə ifadənin törəməsini hesablamaq üçün əvvəlcə aralıq arqumentə münasibətdə xarici funksiyanın törəməsini nəzərdən keçiririk, sonra isə müstəqil dəyişənə münasibətdə ara arqumentin özünün törəməsi ilə vururuq.

Dördüncü qayda: İki funksiyanın bölünməsinin törəməsi

İki funksiyanın bölünməsinin törəməsini təyin etmək üçün düstur:

Biz sıfırdan dummies üçün törəmələr haqqında danışmağa çalışdıq. Bu mövzu göründüyü qədər sadə deyil, ona görə də xəbərdar olun: misallarda tez-tez tələlər olur, ona görə də törəmələri hesablayarkən diqqətli olun.

Bu və digər mövzularla bağlı istənilən sualınız üçün tələbə xidmətinə müraciət edə bilərsiniz. Qısa müddətdə, əvvəllər törəmələrin hesablanması ilə heç vaxt məşğul olmasanız belə, ən çətin nəzarəti həll etməyə və tapşırıqların öhdəsindən gəlməyə kömək edəcəyik.

İnsan riyazi analizin öyrənilməsində ilk müstəqil addımları atdıqda və narahat suallar verməyə başlayanda “diferensial hesab kələmdə tapıldı” ifadəsindən qurtulmaq artıq o qədər də asan deyil. Buna görə də, qərarlı olmaq və doğum sirrini həll etmək vaxtıdır törəmələrin cədvəlləri və diferensiasiya qaydaları. Məqalədə başladı törəmənin mənası haqqında, öyrənməyi çox tövsiyə edirəm, çünki orada biz sadəcə törəmə anlayışını nəzərdən keçirdik və mövzu ilə bağlı tapşırıqları tıklamağa başladıq. Eyni dərs aydın praktik istiqamətə malikdir, üstəlik,

aşağıda nəzərdən keçirilən nümunələr, prinsipcə, sırf formal şəkildə mənimsənilə bilər (məsələn, törəmənin mahiyyətini araşdırmaq üçün vaxt / arzu olmadıqda). Ən azı iki əsas sinif səviyyəsində "adi" metoddan istifadə edərək törəmələri tapa bilmək də çox arzuolunandır (lakin yenə lazım deyil): Mürəkkəb funksiyanın törəməsi və törəməsi necə tapılır.

Ancaq indi mütləq əvəzolunmaz olan bir şey olmadan, onsuzdur funksiya məhdudiyyətləri. Siz limitin nə olduğunu başa düşməli və ən azı orta səviyyədə həll etməyi bacarmalısınız. Və bütün çünki törəmə

nöqtədəki funksiya düsturla müəyyən edilir:

Sizə təyinatları və şərtləri xatırladıram: çağırırlar arqument artımı;

– funksiya artımı;

- bunlar TƏK simvollardır (“delta” “X” və ya “Y” dən “kökülə bilməz”).

Aydındır ki, "dinamik" dəyişəndir, sabitdir və limitin hesablanmasının nəticəsidir - nömrə (bəzən - "artı" və ya "mənfi" sonsuzluq).

Bir nöqtə olaraq, aid olan HƏR dəyəri hesab edə bilərsiniz domenlər törəməsi olan funksiya.

Qeyd: "törəmənin mövcud olduğu" bəndi - ümumiyyətlə əhəmiyyətlidir.! Beləliklə, məsələn, nöqtə, funksiyanın oblastına daxil olsa da, törəmədir

orada yoxdur. Buna görə də formula

nöqtədə tətbiq edilmir

və qeyd-şərtsiz qısaldılmış ifadə düzgün olmazdı. Oxşar faktlar qrafikdə “qırılmaları” olan digər funksiyalar üçün, xüsusən də arksinus və arkkosin üçün etibarlıdır.

Beləliklə, əvəz etdikdən sonra ikinci iş düsturu alırıq:

Çaydanı çaşdıra biləcək məkrli bir vəziyyətə diqqət yetirin: bu limitdə "x" özü müstəqil dəyişən olmaqla əlavə rol oynayır və "dinamika" yenidən artımla təyin olunur. Limitin hesablanmasının nəticəsi

törəmə funksiyasıdır.

Yuxarıda göstərilənlərə əsaslanaraq, iki tipik problemin şərtlərini tərtib edirik:

- Tap bir nöqtədə törəmə törəmənin tərifindən istifadə etməklə.

- Tap törəmə funksiyası törəmənin tərifindən istifadə etməklə. Bu versiya, mənim müşahidələrimə görə, daha tez-tez baş verir və əsas diqqət yetiriləcəkdir.

Tapşırıqlar arasındakı əsas fərq ondan ibarətdir ki, birinci halda nömrəni tapmaq tələb olunur (isteğe bağlı olaraq sonsuzluq), və ikincidə

funksiyası. Bundan əlavə, törəmə ümumiyyətlə mövcud olmaya bilər.

Necə ?

Bir nisbət qurun və limiti hesablayın.

Harda oldu törəmələr cədvəli və fərqləndirmə qaydaları ? Tək limitlə

Sehrli kimi görünür, amma

reallıq - əl cəldliyi və saxtakarlıq yoxdur. Dərsdə Törəmə nədir? Xüsusi misalları nəzərdən keçirməyə başladım, burada tərifdən istifadə edərək xətti və kvadrat funksiyanın törəmələrini tapdım. Bilişsel istiləşmə məqsədi ilə biz narahat etməyə davam edəcəyik törəmə cədvəli, alqoritmi və texniki həlləri dəqiqləşdirmək:

Əslində, adətən cədvəldə görünən güc funksiyasının törəməsinin xüsusi halını sübut etmək tələb olunur: .

Həll texniki olaraq iki şəkildə rəsmiləşdirilir. Birinci, artıq tanış olan yanaşma ilə başlayaq: nərdivan taxtadan başlayır, törəmə funksiya isə bir nöqtədə törəmə ilə başlayır.

aid olan bəzi (konkret) məqamı nəzərdən keçirək domenlər törəməsi olan funksiya. Bu nöqtədə artımı təyin edin (əlbəttə ki, kənarda deyil o / o - z) və funksiyanın müvafiq artımını tərtib edin:

Limiti hesablayaq:

0:0 qeyri-müəyyənlik hələ eramızdan əvvəl I əsrdə hesab edilən standart texnika ilə aradan qaldırılır. çoxalmaq

bitişik ifadəyə görə say və məxrəc :

Belə bir məhdudiyyətin həlli texnikası giriş dərsində ətraflı müzakirə olunur. funksiyaların hədləri haqqında.

Çünki intervalın HƏR Nöqtəsi kimi seçilə bilər

Sonra, əvəz edərək, əldə edirik:

Bir daha loqarifmlərə sevinək:

Törəmənin tərifindən istifadə edərək funksiyanın törəməsini tapın

Həll yolu: Gəlin eyni tapşırığı yerinə yetirmək üçün fərqli bir yanaşma nəzərdən keçirək. Tamamilə eynidir, lakin dizayn baxımından daha rasionaldır. İdeya ondan qurtulmaqdır

alt yazı və hərf əvəzinə hərf istifadə edin.

aid olan ixtiyari bir nöqtəni nəzərdən keçirək domenlər funksiyasını (interval) və onda artımı təyin edin. Və burada, yeri gəlmişkən, əksər hallarda olduğu kimi, heç bir qeyd-şərtsiz edə bilərsiniz, çünki loqarifmik funksiya tərif sahəsində istənilən nöqtədə diferensiallana bilər.

Sonra müvafiq funksiya artımı:

Törəməni tapaq:

Dizaynın sadəliyi çaşqınlıqla balanslaşdırılır, bu da ola bilər

yeni başlayanlarda (və təkcə deyil) yaranır. Axı biz “X” hərfinin limitdə dəyişməsinə öyrəşmişik! Ancaq burada hər şey fərqlidir: - antik heykəl və - muzeyin dəhlizi ilə sürətlə gedən canlı bir qonaq. Yəni “x” “sabit kimi”dir.

Qeyri-müəyyənliyin aradan qaldırılmasını addım-addım şərh edəcəyəm:

(1) Loqarifmin xassəsindən istifadə.

(2) Nömrəni mötərizə içərisindəki məxrəcə bölün.

(3) Məxrəcdə süni şəkildə "x"-ə vurub bölürük ki

möcüzələrdən yararlanın , kimi isə sonsuz kiçik həyata keçirir.

Cavab: Törəmə tərifinə görə:

Və ya qısaca:

Müstəqil olaraq daha iki cədvəl formulunu qurmağı təklif edirəm:

Tərifinə görə törəmə tapın

Bu halda, tərtib edilmiş artım dərhal ümumi məxrəcə endirmək üçün əlverişlidir. Dərsin sonunda tapşırığın təxmini nümunəsi (birinci üsul).

Tərifinə görə törəmə tapın

Və burada hər şey əlamətdar bir həddə qədər azaldılmalıdır. Həll ikinci şəkildə çərçivəyə salınır.

Eynilə, bir sıra digərləri cədvəl törəmələri. Tam siyahı məktəb dərsliyində və ya məsələn, Fichtenholtzun 1-ci cildində tapıla bilər. Kitablardan və fərqləndirmə qaydalarının sübutlarından yenidən yazmağın çox mənası yoxdur - onlar da yaradılır

düstur .

Gəlin real həyat tapşırıqlarına keçək: Nümunə 5

Funksiyanın törəməsini tapın , törəmənin tərifindən istifadə etməklə

Həll yolu: birinci üslubdan istifadə edin. Gəlin aid olan bəzi nöqtəni nəzərdən keçirək və orada arqumentin artımını təyin edək. Sonra müvafiq funksiya artımı:

Ola bilsin ki, bəzi oxucular artımın hansı prinsip əsasında həyata keçirilməli olduğunu hələ tam başa düşməyiblər. Bir nöqtə (ədəd) götürürük və içindəki funksiyanın qiymətini tapırıq: , yəni funksiyaya daxil olur

"x" əvəzinə "x" əvəz edilməlidir. İndi alırıq

Tərtib edilmiş funksiya artımı dərhal sadələşdirmək faydalıdır. Nə üçün? Əlavə limitin həllini asanlaşdırın və qısaldın.

Düsturlardan istifadə edirik, mötərizələri açır və azaldıla bilən hər şeyi azaldır:

Hinduşkanın bağırsaqları soyulub, qovurmada problem yoxdur:

Nəhayət:

Keyfiyyət kimi istənilən real ədəd seçilə bildiyi üçün biz əvəzləmə edirik və alırıq .

Cavab: tərifinə görə.

Doğrulama məqsədləri üçün biz qaydalardan istifadə edərək törəməni tapırıq

fərqlər və cədvəllər:

Düzgün cavabı əvvəlcədən bilmək həmişə faydalı və xoşdur, buna görə də həllin əvvəlində təklif olunan funksiyanı zehni olaraq və ya layihədə "sürətli" şəkildə fərqləndirmək daha yaxşıdır.

Törəmənin tərifi ilə funksiyanın törəməsini tapın

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Nəticə səthdə yatır:

Üslub №2-ə qayıt: Misal 7

Nə baş verməli olduğunu dərhal öyrənək. By mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydası:

Qərar: aid olan ixtiyari nöqtəni nəzərdən keçirin, orada arqumentin artımını təyin edin və artımı edin

Törəməni tapaq:

(1) Biz triqonometrik düsturdan istifadə edirik

(2) Sinusun altında mötərizələri açırıq, kosinusun altında oxşar şərtləri veririk.

(3) Sinus altında biz şərtləri azaldırıq, kosinusun altında payı məxrəc termininə bölürük.

(4) Sinusun qəribəliyinə görə "mənfi" çıxarırıq. Kosinus altında

termin olduğunu göstərir.

(5) İstifadə etmək üçün məxrəci süni şəkildə çoxaldırıq ilk gözəl hədd. Beləliklə, qeyri-müəyyənlik aradan qaldırılır, nəticəni darayırıq.

Cavab: tərifinə görə Gördüyünüz kimi, baxılan problemin əsas çətinliyi ondan ibarətdir

limitin özünün mürəkkəbliyi + qablaşdırmanın bir qədər orijinallığı. Praktikada hər iki dizayn üsuluna rast gəlinir, ona görə də hər iki yanaşmanı mümkün qədər ətraflı təsvir edirəm. Onlar ekvivalentdirlər, amma yenə də mənim subyektiv təəssüratımda dummilərin “X sıfır” ilə 1-ci varianta sadiq qalması daha məqsədəuyğundur.

Tərifdən istifadə edərək, funksiyanın törəməsini tapın

Bu müstəqil qərar vermək üçün bir vəzifədir. Nümunə əvvəlki nümunə ilə eyni ruhda formatlanır.

Problemin daha nadir versiyasını təhlil edək:

Törəmə tərifindən istifadə edərək bir nöqtədə funksiyanın törəməsini tapın.

Birincisi, nəticə nə olmalıdır? Nömrə Cavabı standart şəkildə hesablayın:

Qərar: aydınlıq nöqteyi-nəzərindən bu tapşırıq daha sadədir, çünki əvəzinə düsturda

xüsusi dəyər hesab edilir.

Nöqtədə artım təyin edirik və funksiyanın müvafiq artımını tərtib edirik:

Bir nöqtədə törəməni hesablayın:

Tangenslərin fərqi üçün çox nadir bir düsturdan istifadə edirik və on ikinci dəfə həlli birinciyə endiririk

heyrətamiz hədd:

Cavab: bir nöqtədə törəmənin tərifinə görə.

Tapşırığı həll etmək o qədər də çətin deyil və "ümumi mənada" - dizayn üsulundan asılı olaraq dırnaqları dəyişdirmək və ya sadəcə olaraq kifayətdir. Bu halda, təbii ki, siz rəqəm deyil, törəmə funksiya alırsınız.

Misal 10 Tərifdən istifadə edərək funksiyanın törəməsini tapın nöqtədə

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir.

Yekun bonus tapşırığı ilk növbədə riyazi analizi dərindən öyrənən tələbələr üçün nəzərdə tutulub, lakin bu, başqalarına da zərər verməyəcək:

Funksiya diferensiallana bilərmi? nöqtədə?

Həll yolu: Aydındır ki, hissə-hissə verilmiş funksiya bir nöqtədə davamlıdır, lakin orada diferensiallana bilərmi?

Həll alqoritmi, yalnız hissə-hissə funksiyalar üçün deyil, aşağıdakı kimidir:

1) Verilmiş nöqtədə sol törəməni tapın: .

2) Verilmiş nöqtədə sağ törəməni tapın: .

3) Əgər birtərəfli törəmələr sonludursa və üst-üstə düşürsə:

, onda funksiya və nöqtəsində diferensiallanır

həndəsi cəhətdən burada ümumi bir tangens var (dərsin nəzəri hissəsinə baxın Törəmənin tərifi və mənası).

İki fərqli dəyər alınarsa: (bunlardan biri sonsuz ola bilər), onda funksiya bir nöqtədə diferensiallaşmır.

Əgər hər iki birtərəfli törəmə sonsuzluğa bərabərdirsə

(hətta müxtəlif işarələrə malik olsalar belə), onda funksiya yoxdur

nöqtədə diferensiallana bilir, lakin qrafikin sonsuz törəməsi və ümumi şaquli tangensi mövcuddur. (dərs 5-ci nümunəyə baxınNormal tənlik) .

Bu dərsdə düsturları və fərqləndirmə qaydalarını necə tətbiq edəcəyimizi öyrənəcəyik.

Nümunələr. Funksiyaların törəmələrini tapın.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Qaydanın tətbiqi I, düsturlar 4, 2 və 1. Biz əldə edirik:

y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x6 -2x+5. Eyni düsturlardan və düsturdan istifadə edərək, eyni şəkildə həll edirik 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Qaydanın tətbiqi I, düsturlar 3, 5 və 6 və 1.

Qaydanın tətbiqi IV, düsturlar 5 və 1 .

Beşinci misalda, qaydaya görə I cəminin törəməsi törəmələrin cəminə bərabərdir və biz indicə 1-ci həddin törəməsini tapdıq (nümunə 4 ), buna görə də biz törəmələri tapacağıq 2-ci və 3-cüşərtləri və 1-ci üçün Termin, dərhal nəticəni yaza bilərik.

Fərqləndirmə 2-ci və 3-cü düstura görə şərtlər 4 . Bunun üçün məxrəclərdə üçüncü və dördüncü dərəcələrin köklərini mənfi göstəriciləri olan güclərə çeviririk, sonra isə uyğun olaraq 4 düsturla güclərin törəmələrini tapırıq.

Bu nümunəyə və nəticəyə baxın. Nümunəni tutdun? tamam. Bu o deməkdir ki, bizim yeni düsturumuz var və onu törəmələr cədvəlimizə əlavə edə bilərik.

Altıncı misalı həll edək və daha bir düstur çıxaraq.

Qaydadan istifadə edirik IV və formula 4 . Yaranan fraksiyaları azaldır.

Bu funksiyaya və onun törəməsinə baxırıq. Siz, əlbəttə ki, nümunəni başa düşdünüz və düsturu adlandırmağa hazırsınız:

Yeni düsturları öyrənin!

Nümunələr.

1. Arqument artımını və funksiya artımını y= tapın x2 arqumentin ilkin qiyməti olsaydı 4 , və yeni 4,01 .

Həll.

Yeni arqument dəyəri x \u003d x 0 + Δx. Verilənləri əvəz edin: 4.01=4+Δx, deməli, arqumentin artımı Δх=4,01-4=0,01. Bir funksiyanın artımı, tərifinə görə, funksiyanın yeni və əvvəlki dəyərləri arasındakı fərqə bərabərdir, yəni. Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). Çünki bizim funksiyamız var y=x2, sonra Δy\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Cavab: arqument artımı Δх=0,01; funksiya artımı Δy=0,0801.

Funksiya artımını başqa şəkildə tapmaq mümkün idi: Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4.01) -y (4) \u003d 4.01 2 -4 2 \u003d 16.0801-16 \u003d 0.0801.

2. Funksiya qrafikinə toxunanın meyl bucağını tapın y=f(x) nöqtədə x 0, əgər f "(x 0) \u003d 1.

Həll.

Təmas nöqtəsində törəmənin dəyəri x 0 və tangensin yamacının tangensinin qiymətidir (törəmənin həndəsi mənası). Bizdə: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °,çünki tg45°=1.

Cavab: bu funksiyanın qrafikinə toxunan Ox oxunun müsbət istiqaməti ilə bərabər bucaq əmələ gətirir 45°.

3. Funksiyanın törəməsi üçün düstur çıxarın y=xn.

Fərqləndirmə funksiyanın törəməsinin tapılması aktıdır.

Törəmələri taparkən, törəmə dərəcəsi üçün düstur əldə etdiyimiz kimi, törəmənin tərifi əsasında alınan düsturlardan istifadə olunur: (x n)" = nx n-1.

Budur düsturlar.

Törəmə cədvəlişifahi ifadələri tələffüz etməklə yadda saxlamaq daha asan olacaq:

1. Sabit dəyərin törəməsi sıfırdır.

2. X vuruşu birinə bərabərdir.

3. Daimi amili törəmənin işarəsindən çıxarmaq olar.

4. Dərəcənin törəməsi bu dərəcənin göstəricisinin eyni əsaslı dərəcə hasilinə bərabərdir, lakin göstərici bir azdır.

5. Kökün törəməsi eyni köklərdən ikisinə bölünən birinə bərabərdir.

6. X-ə bölünən birliyin törəməsi mənfi bir bölünən x kvadratına bərabərdir.

7. Sinusun törəməsi kosinusa bərabərdir.

8. Kosinusun törəməsi mənfi sinusa bərabərdir.

9. Tangensin törəməsi kosinusun kvadratına bölünən birinə bərabərdir.

10. Kotangensin törəməsi minus bir sinusun kvadratına bölünür.

Biz öyrədirik fərqləndirmə qaydaları.

1. Cəbri cəminin törəməsi törəmə şərtlərin cəbri cəminə bərabərdir.

2. Məhsulun törəməsi birinci amilin törəməsinin ikincinin hasilinə üstəgəl birinci amilin ikincinin törəməsinin hasilinə bərabərdir.

3. “Y”-nin “ve” ilə bölünən törəməsi kəsrə bərabərdir, onun paylayıcısında “y vuruşu “ve” minus “y, vuruşla vurulan”, məxrəcdə isə “ve kvadratı” ilə vurulur. ”.

4. Formulun xüsusi halı 3.

Gəlin birlikdə öyrənək!

Səhifə 1/1 1