Həndəsi cisimlərin həcmləri üçün düsturlar. Rəqəmlərin həcmi

Həndəsə problemlərini həll etmək üçün üçbucağın sahəsi və ya paraleloqramın sahəsi kimi düsturları, həmçinin danışacağımız sadə fəndləri bilməlisiniz.

Əvvəlcə fiqurların sahələri üçün düsturları öyrənək. Biz onları xüsusi olaraq rahat bir cədvəldə topladıq. Çap edin, öyrənin və tətbiq edin!

Əlbəttə ki, bütün həndəsə düsturları cədvəlimizdə yoxdur. Məsələn, riyaziyyatda istifadə olunan profilin ikinci hissəsində həndəsə və stereometriya problemlərini həll etmək üçün üçbucağın sahəsi üçün digər düsturlardan da istifadə olunur. Onlar haqqında sizə mütləq məlumat verəcəyik.

Bəs trapezoidin və ya üçbucağın sahəsini deyil, hansısa mürəkkəb fiqurun sahəsini tapmaq lazımdırsa nə etməli? Universal yollar var! Gəlin onları FIPI iş bankından nümunələrlə göstərək.

1. Qeyri-standart formanın sahəsini necə tapmaq olar? Məsələn, ixtiyari dördbucaqlı? Sadə bir hiylə, bu rəqəmi hamımızın bildiyimiz rəqəmlərə bölmək və onun sahəsini tapmaqdır - bu rəqəmlərin sahələrinin cəmi kimi.

Üfüqi bir xətt ilə bu dördbucaqlını ümumi əsası bərabər olan iki üçbucağa bölün. Bu üçbucaqların hündürlükləri və-yə bərabərdir. Onda dördbucağın sahəsi iki üçbucağın sahələrinin cəminə bərabərdir:

Cavab: .

2. Bəzi hallarda fiqurun sahəsi bəzi sahələr arasındakı fərq kimi göstərilə bilər.

Bu üçbucağın əsasının və hündürlüyünün nəyə bərabər olduğunu hesablamaq o qədər də asan deyil! Amma deyə bilərik ki, onun sahəsi bir tərəfi olan kvadratın üç düzbucaqlı üçbucağın sahələri arasındakı fərqə bərabərdir. Şəkildə onları görürsən? Alırıq:.

Cavab: .

3. Bəzən tapşırıqda bütün fiqurun deyil, onun hissəsinin sahəsini tapmaq lazımdır. Adətən biz sektorun sahəsindən - dairənin bir hissəsindən danışırıq.Qövsünün uzunluğu olan radiuslu dairənin sektorunun sahəsini tapın.

Bu şəkildə bir dairənin bir hissəsini görürük. Bütün dairənin sahəsi o vaxtdan bərabərdir. Dairənin hansı hissəsinin təsvir edildiyini tapmaq qalır. Bütün dairənin uzunluğu bərabər olduğundan (çünki) və bu sektorun qövsünün uzunluğu buna görə də, qövsün uzunluğu bütün dairənin uzunluğundan bir dəfə azdır. Bu qövsün dayandığı bucaq da tam dairədən (yəni dərəcələrdən) bir dəfə kiçikdir. Bu o deməkdir ki, sektorun sahəsi bütün dairənin sahəsindən bir dəfə az olacaq.

Qədim misirlilər isə bizim üsullarımıza bənzər müxtəlif formalı sahələri hesablamaq üçün üsullardan istifadə edirdilər.

Onların kitablarında "Başlanğıclar" məşhur qədim yunan riyaziyyatçısı Evklid bir çox həndəsi fiqurların sahələrini hesablamaq üçün kifayət qədər çox sayda üsul təsvir etdi. Rusiyada həndəsi məlumatları ehtiva edən ilk əlyazmalar XVI $ əsrdə yazılmışdır. Onlar müxtəlif formalı fiqurların sahələrini tapmaq qaydalarını təsvir edirlər.

Bu gün müasir üsullardan istifadə edərək istənilən formanın sahəsini böyük dəqiqliklə tapa bilərsiniz.

Ən sadə formalardan birini - düzbucaqlı və onun sahəsini tapmaq üçün düsturları nəzərdən keçirək.

Düzbucaqlının sahəsi üçün düstur

Tərəfləri $ 1 $ sm olan 8 $ kvadratlardan ibarət olan bir rəqəmi nəzərdən keçirək (Şəkil 1). Tərəfləri $ 1 $ sm olan bir kvadratın sahəsi kvadrat santimetr adlanır və $ 1 \ sm kimi yazılır. ^ 2 $.

Bu rəqəmin sahəsi (Şəkil 1) $ 8 \ sm ^ 2 $ bərabər olacaqdır.

Tərəfləri $ 1 \ sm $ (məsələn, $ p $) olan bir neçə kvadrata bölünə bilən fiqurun sahəsi $ p \ sm ^ 2 $ bərabər olacaqdır.

Başqa sözlə, fiqurun sahəsi $ sm ^ 2 $ qədər bərabər olacaq, bu rəqəmi $ 1 \ sm $ olan tərəfi olan neçə kvadrata bölmək olar.

$ 3 $ zolaqdan ibarət olan düzbucaqlı (Şəkil 2) nəzərdən keçirək, hər biri $ 1 \ sm $ tərəfləri olan $ 5 $ kvadratlara bölünür. bütün düzbucaqlı $ 5 \ cdot 3 = 15 $ belə kvadratlardan ibarətdir və onun sahəsi $ 15 \ sm ^ 2 $ təşkil edir.

Şəkil 1.

Şəkil 2.

Rəqəmlərin sahəsi adətən $ S $ hərfi ilə işarələnir.

Düzbucaqlının sahəsini tapmaq üçün onun uzunluğunu eninə vurmaq lazımdır.

Uzunluğunu $ a $ hərfi ilə, enini isə $ b $ hərfi ilə işarələsək, düzbucaqlının sahəsi üçün düstur belə görünəcək:

Tərif 1

Rəqəmlər adlanır bərabər, bir-birinin üstünə qoyulduqda formalar üst-üstə düşürsə. Bərabər formalar bərabər sahələrə və bərabər perimetrlərə malikdir.

Fiqurun sahəsi onun hissələrinin sahələrinin cəmi kimi tapıla bilər.

Misal 1

Məsələn, $ 3 $ şəklində $ ABCD $ düzbucaqlı $ KLMN $ xətti ilə iki hissəyə bölünür. Bir hissənin sahəsi $ 12 \ sm ^ 2 $, digəri isə $ 9 \ sm ^ 2 $ təşkil edir. Sonra $ ABCD $ düzbucağının sahəsi $ 12 \ sm ^ 2 + 9 \ sm ^ 2 = 21 \ sm ^ 2 $ bərabər olacaq. Dördbucaqlının sahəsini düsturla tapaq:

Gördüyünüz kimi, hər iki üsulla tapılan sahələr bərabərdir.

Şəkil 3.

Şəkil 4.

$ AC $ seqmenti düzbucaqlını iki bərabər üçbucağa bölür: $ ABC $ və $ ADC $. Bu o deməkdir ki, üçbucaqların hər birinin sahəsi bütün düzbucağın sahəsinin yarısına bərabərdir.

Tərif 2

Tərəfləri bərabər olan düzbucaqlıya deyilir kvadrat.

Kvadratın tərəfini $ a $ hərfi ilə təyin etsək, kvadratın sahəsi düsturla tapılacaq:

Beləliklə, $ a $ rəqəminin ad kvadratı.

Misal 2

Məsələn, kvadratın tərəfi $ 5 $ sm-dirsə, onun sahəsi:

Cildlər

Qədim sivilizasiyalar dövründə ticarət və tikintinin inkişafı ilə cildlər tapmaq zərurəti yarandı. Riyaziyyatda fəza fiqurlarının öyrənilməsi ilə məşğul olan həndəsənin stereometriya adlanan bölməsi var. Riyaziyyatın bu ayrı sahəsinin qeydlərinə artıq eramızdan əvvəl IV $ əsrdə rast gəlinmişdir.

Qədim riyaziyyatçılar sadə fiqurların - kub və paralelepipedin həcminin hesablanması metodunu işləyib hazırladılar. O dövrün bütün strukturları məhz bu formada idi. Lakin sonradan daha mürəkkəb formaların fiqurlarının həcmini hesablamaq üçün üsullar tapıldı.

Düzbucaqlı paralelepipedin həcmi

Kalıbı yaş qumla doldursanız və sonra onu çevirsəniz, həcmlə xarakterizə olunan həcmli bir rəqəm alırıq. Eyni qəlibdən istifadə edərək bir neçə belə fiqur düzəltsəniz, eyni həcmə malik fiqurlar alacaqsınız. Kalıbı su ilə doldursanız, suyun həcmi və qum rəqəminin həcmi də bərabər olacaqdır.

Şəkil 5.

Birini su ilə doldurub ikinci qaba tökməklə iki qabın həcmini müqayisə edə bilərsiniz. İkinci qab tamamilə doldurulursa, qablar bərabər həcmdə olur. Əgər eyni zamanda birincidə su qalsa, onda birinci qabın həcmi ikincinin həcmindən böyükdür. Əgər birinci qabdan su tökərkən ikinci qabı tam doldurmaq mümkün deyilsə, onda birinci qabın həcmi ikincinin həcmindən az olur.

Həcmi aşağıdakı vahidlərdən istifadə edərək ölçülür:

$ mm ^ 3 $ - kub millimetr,

$ sm ^ 3 $ - kub santimetr,

$ dm ^ 3 $ - kub desimetr,

$ m ^ 3 $ - kubmetr,

$ km ^ 3 $ - kub kilometr.

Ümumi baxış. Stereometriya düsturları!

Salam əziz dostlar! Bu yazıda stereometriyada olacaq tapşırıqların ümumi icmalını etmək qərarına gəldim Riyaziyyat üzrə Vahid Dövlət İmtahanı e) Deməliyəm ki, bu qrupun vəzifələri olduqca müxtəlifdir, lakin çətin deyil. Bunlar həndəsi kəmiyyətləri tapmaq üçün tapşırıqlardır: uzunluqlar, bucaqlar, sahələr, həcmlər.

Nəzərə alınır: kub, düzbucaqlı paralelepiped, prizma, piramida, mürəkkəb polihedron, silindr, konus, top. Onların 50%-dən çoxunun ibtidai, demək olar ki, şifahi şəkildə həll edilməsinə baxmayaraq, bəzi məzunların imtahan zamanı belə problemlərin öhdəsindən belə gəlməməsi təəssüf doğurur.

Qalanları az səy, bilik və xüsusi texnika tələb edir. Gələcək məqalələrdə bu vəzifələri nəzərdən keçirəcəyik, bunu qaçırmayın, blog yeniləməsinə abunə olun.

Həll etmək üçün bilmək lazımdır səth sahələri və həcmlər üçün düsturlar paralelepiped, piramida, prizma, silindr, konus və top. Çətin vəzifələr yoxdur, hamısı 2-3 addımda həll olunur, hansı formulun tətbiq edilməsi lazım olduğunu "görmək" vacibdir.

Bütün lazımi düsturlar aşağıda təqdim olunur:

Top və ya kürə. Sferik və ya sferik səth (bəzən sadəcə kürə) kosmosda bir nöqtədən - topun mərkəzindən bərabər məsafədə olan nöqtələrin yeridir.

Topun həcmi bazası topun səthi ilə eyni sahəyə malik olan piramidanın həcminə bərabərdir, hündürlüyü isə topun radiusudur.

Kürənin həcmi onun ətrafında təsvir olunan silindrin həcmindən bir yarım dəfə azdır.

Dəyirmi konus düzbucaqlı üçbucağı ayaqlarından birinin ətrafında fırlatmaqla əldə edilə bilər, buna görə də yuvarlaq konusa inqilab konusu da deyilir. Dairəvi konusun səth sahəsinə də baxın

Dairəvi konus həcmi H hündürlüyünə görə əsas S sahəsinin məhsulunun üçdə birinə bərabərdir:

(H kubun kənarının hündürlüyüdür)

Paralelepiped əsası paraleloqram olan prizmadır. Paralelepipedin altı üzü var və hamısı paraleloqramdır. Dörd tərəfi düzbucaqlı olan paralelepiped düz adlanır. Düzbucaqlının bütün altı tərəfi olan düzbucaqlı paralelepipedə düzbucaqlı deyilir.

Düzbucaqlı paralelepipedin həcmi hündürlüyə görə təməl sahəsinin məhsuluna bərabərdir:

(S piramidanın təməlinin sahəsi, h piramidanın hündürlüyüdür)

Piramida bir üzü olan çoxüzlüdür - piramidanın əsası - ixtiyari çoxbucaqlı, qalanları - yan üzləri - piramidanın zirvəsi adlanan ümumi təpəsi olan üçbucaqlar.

Piramidanın təməlinə paralel olan kəsik piramidanı iki hissəyə ayırır. Piramidanın əsası ilə bu bölmə arasındakı hissəsi kəsilmiş piramidadır.

Kəsilmiş piramida həcmi hündürlüyün məhsulunun üçdə birinə bərabərdir h (ƏS) yuxarı əsasın sahələrinin cəmi üçün S1 (abcde), kəsilmiş piramidanın aşağı bazası S2 (ABCDE) və onların arasında orta mütənasiblik.

n - düzgün çoxbucaqlının tərəflərinin sayı - müntəzəm piramidanın əsası
a - müntəzəm çoxbucaqlının tərəfi - müntəzəm piramidanın əsası
h - müntəzəm piramidanın hündürlüyü

Müntəzəm üçbucaqlı piramida, bir üzü - piramidanın əsası - müntəzəm üçbucaq, qalanları - yan üzlər - ortaq təpəsi olan bərabər üçbucaqlar olan çoxüzlüdür. Hündürlük yuxarıdan bazanın mərkəzinə düşür.

Düzgün üçbucaqlı piramidanın həcmiəsası olan müntəzəm üçbucağın sahəsinin hasilinin üçdə birinə bərabərdir S (ABC) hündürlüyə h (ƏS)

a - müntəzəm üçbucağın tərəfi - müntəzəm üçbucaqlı piramidanın əsası
h - müntəzəm üçbucaqlı piramidanın hündürlüyü

Tetraedrin həcmi üçün düsturun çıxarılması

Tetraedrin həcmi piramidanın həcmi üçün klassik düsturla hesablanır. Tetraedrin hündürlüyünü və nizamlı (bərabərtərəfli) üçbucağın sahəsini ona əvəz etmək lazımdır.

Tetraedr həcmi- məxrəcində ikinin kvadrat kökü on iki olan paydakı kəsrə bərabərdir, tetraedrin kənarının uzunluğunun kubuna vurulur.

(h romb tərəfinin uzunluğudur)

Dövrə səh dairənin diametrinin təxminən üç tam və yeddidə bir uzunluğudur. Bir dairənin çevrəsinin onun diametrinə dəqiq nisbəti yunan hərfi ilə göstərilir π

Nəticədə, bir dairənin perimetri və ya dairənin ətrafı düsturla hesablanır

(r qövsün radiusu, n dərəcə ilə qövsün mərkəzi bucağıdır.)

Bütün tələb olunan məsafələri metrlə ölçün.Çoxlu üçölçülü fiqurların həcmi müvafiq düsturlardan istifadə etməklə asanlıqla hesablana bilər. Bununla birlikdə, düsturlara daxil edilmiş bütün dəyərlər metrlərlə ölçülməlidir. Buna görə də, düsturdakı dəyərləri əvəz etməzdən əvvəl onların hamısının metrlə ölçüldüyünə və ya digər vahidləri sayğaclara çevirdiyinizə əmin olun.

• 1 mm = 0,001 m
• 1 sm = 0,01 m
• 1 km = 1000 m

“Get an A” video kursu riyaziyyatdan 60-65 balla imtahandan uğurla keçmək üçün lazım olan bütün mövzuları əhatə edir. Riyaziyyat üzrə Profil Vahid Dövlət İmtahanının 1-13-cü tapşırıqlarını tamamlayın. Riyaziyyatdan Əsas imtahanı vermək üçün də uyğundur. Əgər 90-100 balla imtahandan keçmək istəyirsinizsə, 1-ci hissəni 30 dəqiqə ərzində və səhvsiz həll etməlisiniz!

10-11-ci siniflər, həmçinin müəllimlər üçün imtahana hazırlıq kursu. Riyaziyyatdan imtahanın 1-ci hissəsini (ilk 12 məsələ) və 13-cü məsələni (triqonometriya) həll etmək üçün sizə lazım olan hər şey. Bu isə imtahanda 70 baldan yuxarıdır və onlarsız nə yüz bal toplayan tələbə, nə də humanitar fənlər tələbəsi ola bilməz.

Sizə lazım olan bütün nəzəriyyə. Tez həll yolları, tələlər və imtahanın sirləri. FIPI-nin Tapşırıqlar Bankından 1-ci hissənin bütün müvafiq tapşırıqlarını sökdü. Kurs imtahan-2018 tələblərinə tam cavab verir.

Kurs hər biri 2,5 saat olmaqla 5 böyük mövzudan ibarətdir. Hər bir mövzu sıfırdan, sadə və aydın şəkildə verilir.

Yüzlərlə imtahan tapşırığı. Söz problemləri və ehtimal nəzəriyyəsi. Problemlərin həlli üçün sadə və yaddaqalan alqoritmlər. Həndəsə. Nəzəriyyə, istinad materialı, bütün növ USE tapşırıqlarının təhlili. Stereometriya. Çətin həllər, faydalı fırıldaq vərəqləri, məkan təxəyyülünü inkişaf etdirmək. Sıfırdan problemə triqonometriya 13. Sıxmaq əvəzinə başa düşmək. Mürəkkəb anlayışların vizual izahı. Cəbr. Köklər, dərəcələr və loqarifmlər, funksiya və törəmə. İmtahanın 2-ci hissəsinin mürəkkəb məsələlərinin həlli üçün əsas.