Fərqin irəliləmə düsturunu necə tapmaq olar. Arifmetik irəliləyişin n-ci həddi üçün düstur

Formulun əsas mahiyyəti nədir?

Bu formula tapmağa imkan verir hər hansı NÖMRƏSİ İLƏ" n" .

Təbii ki, birinci termini də bilmək lazımdır a 1 və irəliləyiş fərqi d, yaxşı, bu parametrlər olmadan müəyyən bir irəliləyiş yaza bilməzsiniz.

Bu düsturu əzbərləmək (və ya yatmaq) kifayət deyil. Onun mahiyyətini başa düşmək və düsturu müxtəlif məsələlərdə tətbiq etmək lazımdır. Həm də lazımi anda unutmamaq, bəli...) Necə unutma- Bilmirəm. Və burada necə xatırlamaq Lazım olsa, mütləq sizə məsləhət verəcəm. Dərsi sona qədər bitirənlər üçün.)

Beləliklə, arifmetik irəliləyişin n-ci həddi üçün düsturla tanış olaq.

Ümumiyyətlə formula nədir? Yeri gəlmişkən, oxumamısınızsa, baxın. Orada hər şey sadədir. Bunun nə olduğunu anlamaq qalır n-ci dövr.

Ümumilikdə tərəqqi bir sıra ədədlər kimi yazıla bilər:

1, 2, 3, 4, 5, .....

a 1- arifmetik irəliləyişin birinci həddini bildirir; a 3- üçüncü üzv, a 4- dördüncü və s. Əgər bizi beşinci dövr maraqlandırırsa, tutaq ki, işləyirik a 5, əgər yüz iyirminci - s 120.

Bunu ümumi mənada necə müəyyənləşdirə bilərik? hər hansı arifmetik irəliləyişin müddəti, ilə hər hansı nömrə? Çox sadə! Bunun kimi:

a n

Bu budur arifmetik irəliləyişin n-ci həddi. N hərfi bir anda bütün üzv nömrələrini gizlədir: 1, 2, 3, 4 və s.

Və belə bir rekord bizə nə verir? Fikirləşin, rəqəm əvəzinə məktub yazdılar...

Bu qeyd bizə arifmetik irəliləyişlə işləmək üçün güclü alət verir. Qeyddən istifadə a n, tez tapa bilərik hər hansıüzv hər hansı arifmetik irəliləyiş. Və bir sıra digər irəliləyiş problemlərini həll edin. Daha sonra özünüz görəcəksiniz.

Arifmetik irəliləyişin n-ci həddi üçün düsturda:

a 1- arifmetik proqresiyanın birinci həddi;

n- üzv nömrəsi.

Formula istənilən irəliləyişin əsas parametrlərini birləşdirir: a n ; a 1; d Və n. Bütün irəliləyiş problemləri bu parametrlər ətrafında fırlanır.

N-ci müddətli düsturdan da müəyyən irəliləyiş yazmaq üçün istifadə edilə bilər. Məsələn, problem irəliləyişin şərtlə müəyyən edildiyini söyləyə bilər:

a n = 5 + (n-1) 2.

Belə bir problem çıxılmaz ola bilər... Nə sıra, nə də fərq var... Amma şərti düsturla müqayisə etdikdə asanlıqla başa düşmək olar ki, bu irəliləyişdə a 1 =5 və d=2.

Və daha da pis ola bilər!) Eyni şərti götürsək: a n = 5 + (n-1) 2, Bəli, mötərizələri açıb oxşarları gətirin? Yeni bir formula alırıq:

a n = 3 + 2n.

Bu Sadəcə ümumi deyil, konkret irəliləyiş üçün. Tələnin gizləndiyi yer budur. Bəzi insanlar birinci terminin üç olduğunu düşünürlər. Baxmayaraq ki, reallıqda birinci termin beşdir... Bir az aşağı, belə dəyişdirilmiş düsturla işləyəcəyik.

Tərəqqi problemlərində başqa bir qeyd var - a n+1. Bu, təxmin etdiyiniz kimi, irəliləyişin “n plus birinci” terminidir. Onun mənası sadə və zərərsizdir.) Bu, sayı n rəqəmindən birə bərabər olan irəliləyişin üzvüdür. Məsələn, hansısa problemimiz varsa götürürük a n sonra beşinci dövr a n+1 altıncı üzv olacaq. və s.

Ən tez-tez təyinat a n+1 təkrarlanma düsturlarında tapılır. Bu qorxulu sözdən qorxma!) Bu, sadəcə olaraq arifmetik irəliləyişin üzvünü ifadə etmək üsuludur. əvvəlki vasitəsilə. Tutaq ki, təkrarlanan düsturdan istifadə edərək bizə bu formada arifmetik irəliləyiş verilmişdir:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Dördüncü - üçüncü vasitəsilə, beşinci - dördüncü vasitəsilə və s. Deyək ki, iyirminci termini dərhal necə hesablaya bilərik? a 20? Amma heç bir yol yoxdur!) 19-cu dövrü öyrənənə qədər, 20-ni saya bilmərik. Bu, təkrarlanan düsturla n-ci hədd düsturu arasındakı əsas fərqdir. Təkrarlanan yalnız vasitəsilə işləyir əvvəlki termini, n-ci həddinin düsturu isə keçir birinci və imkan verir dərhal nömrəsinə görə istənilən üzvü tapın. Bütün nömrələr seriyasını ardıcıllıqla hesablamadan.

Arifmetik irəliləyişdə təkrarlanan düsturu adi düstura çevirmək asandır. Ardıcıl şərtləri sayın, fərqi hesablayın d, lazım gələrsə, birinci termini tapın a 1, düsturu adi formada yazın və onunla işləyin. Dövlət Elmlər Akademiyasında belə vəzifələrə tez-tez rast gəlinir.

Arifmetik irəliləyişin n-ci həddi üçün düsturun tətbiqi.

Əvvəlcə düsturun birbaşa tətbiqinə baxaq. Əvvəlki dərsin sonunda bir problem var idi:

Arifmetik irəliləyiş (a n) verilmişdir. a 1 =3 və d=1/6 olarsa, 121-i tapın.

Bu problemi heç bir düstur olmadan, sadəcə olaraq arifmetik irəliləyişin mənasına əsaslanaraq həll etmək olar. Əlavə et və əlavə et... Bir-iki saat.)

Və formulaya görə, həll bir dəqiqədən az vaxt aparacaq. Siz vaxt ayıra bilərsiniz.) Gəlin qərar verək.

Şərtlər düsturdan istifadə üçün bütün məlumatları təqdim edir: a 1 =3, d=1/6. Nəyin bərabər olduğunu anlamaq qalır n. Problem deyil! tapmaq lazımdır a 121. Beləliklə, yazırıq:

Diqqət edin! Bir indeks əvəzinə n konkret rəqəm meydana çıxdı: 121. Bu olduqca məntiqlidir.) Bizi arifmetik proqresiyanın üzvü maraqlandırır. yüz iyirmi bir nömrə. Bu bizim olacaq n. Mənası budur n= 121 biz mötərizədə daha sonra düsturda əvəz edəcəyik. Bütün rəqəmləri düsturla əvəz edirik və hesablayırıq:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Bu belədir. Beş yüz onuncu həddi, min üçüncü isə hər hansı birini tez tapmaq olar. Əvəzinə qoyuruq n hərf indeksində istədiyiniz nömrə " a" və mötərizədə və biz sayırıq.

Bir məqamı xatırlatmaq istəyirəm: bu düstur sizə tapmağa imkan verir hər hansı arifmetik irəliləyiş termini NÖMRƏSİ İLƏ" n" .

Problemi daha hiyləgər şəkildə həll edək. Gəlin aşağıdakı problemlə qarşılaşaq:

Arifmetik irəliləyişin (a n) birinci üzvünü tapın, əgər a 17 =-2; d=-0,5.

Hər hansı bir çətinlik varsa, sizə ilk addımı söyləyəcəyəm. Arifmetik irəliləyişin n-ci həddi üçün düsturunu yazın! Hə hə. Əllərinizlə düz dəftərinizə yazın:

İndi düsturun hərflərinə baxaraq hansı məlumatların olduğunu və nəyin çatışmadığını başa düşürük? Mövcuddur d=-0,5, on yeddinci üzv var... Elədir? Bunun belə olduğunu düşünürsənsə, problemi həll etməyəcəksən, bəli...

Hələ bir nömrəmiz var n! Vəziyyətdə a 17 =-2 gizli iki parametr. Bu, həm on yeddinci hədisin (-2) qiymətidir, həm də onun sayıdır (17). Bunlar. n=17. Bu "xırdalıq" tez-tez başın üstündən sürüşür və onsuz (baş deyil, "xırdalıq" olmadan!) problem həll edilə bilməz. Baxmayaraq ki... və başsız da.)

İndi məlumatlarımızı düsturla sadəcə axmaqcasına əvəz edə bilərik:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Bəli, a 17-2 olduğunu bilirik. Yaxşı, əvəz edək:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Əsasən hamısı budur. Düsturdan arifmetik irəliləyişin birinci həddini ifadə etmək və onu hesablamaq qalır. Cavab belə olacaq: a 1 = 6.

Bu texnika - düsturun yazılması və sadəcə olaraq məlum verilənlərin əvəz edilməsi - sadə tapşırıqların yerinə yetirilməsində böyük köməkdir. Yaxşı, əlbəttə, düsturdan dəyişən ifadə etməyi bacarmalısan, amma nə etməli!? Bu bacarıq olmadan riyaziyyat heç öyrənilməyə bilər...

Başqa bir məşhur tapmaca:

Arifmetik irəliləyişin fərqini tapın (a n), əgər a 1 =2; a 15 =12.

Biz nə edirik? Təəccüblənəcəksiniz, formulu yazırıq!)

Gəlin bildiklərimizi nəzərdən keçirək: a 1 =2; a 15 =12; və (xüsusilə vurğulayacağam!) n=15. Bunu formula ilə əvəz etməkdən çekinmeyin:

12=2 + (15-1)d

Hesab edirik.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Bu düzgün cavabdır.

Beləliklə, tapşırıqlar a n, a 1 Və d qərar verdi. Yalnız nömrəni necə tapmağı öyrənmək qalır:

99 rəqəmi arifmetik irəliləyişin (a n) üzvüdür, burada a 1 =12; d=3. Bu üzvün nömrəsini tapın.

Bizə məlum olan kəmiyyətləri n-ci hədisin düsturunda əvəz edirik:

a n = 12 + (n-1) 3

İlk baxışdan burada iki naməlum kəmiyyət var: a n və n. Amma a n- bu nömrə ilə irəliləyişin bəzi üzvüdür n...Və biz irəliləyişin bu üzvünü tanıyırıq! 99-dur. Biz onun nömrəsini bilmirik. n, Beləliklə, bu nömrəni tapmaq lazımdır. 99 irəliləyişinin müddətini düsturla əvəz edirik:

99 = 12 + (n-1) 3

Düsturdan ifadə edirik n, düşünürük. Cavabı alırıq: n=30.

İndi eyni mövzuda bir problem, lakin daha yaradıcı):

117 rəqəminin arifmetik irəliləyişin (a n) üzvü olub-olmadığını müəyyən edin:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Düsturu yenidən yazaq. Nə, heç bir parametr yoxdur? Hm... Bizə nə üçün gözlər verilir?) Proqresiyanın birinci dövrünü görürük? Biz görürük. Bu -3.6. Təhlükəsiz yaza bilərsiniz: a 1 = -3,6. Fərq d Serialdan deyə bilərsiniz? Arifmetik irəliləyişin fərqinin nə olduğunu bilsəniz, asan olar:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Beləliklə, ən sadə şeyi etdik. Naməlum nömrə ilə məşğul olmaq qalır n və anlaşılmaz rəqəm 117. Əvvəlki məsələdə ən azı məlum idi ki, irəliləyişin müddəti verilmişdir. Amma burada heç bilmirik... Nə etməli!? Yaxşı, necə olmaq, necə olmaq... Yaradıcı qabiliyyətlərinizi işə salın!)

Biz güman ki, 117, nəhayət, bizim irəliləyişimizin üzvüdür. Naməlum nömrə ilə n. Və əvvəlki problemdə olduğu kimi, gəlin bu nömrəni tapmağa çalışaq. Bunlar. düsturu yazırıq (bəli, bəli!)) və nömrələrimizi əvəz edirik:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Yenə düsturdan ifadə edirikn, sayırıq və alırıq:

Vay! Nömrə çıxdı fraksiya! Yüz bir yarım. Proqressiyalardakı kəsr ədədləri ola bilməz. Nə nəticə çıxara bilərik? Bəli! Nömrə 117 deyil inkişafımızın üzvü. Bu, yüz birinci və yüz ikinci şərtlər arasında bir yerdədir. Əgər rəqəm təbii çıxsa, yəni. müsbət tam ədəddirsə, o zaman ədəd tapılan ədədlə irəliləyişin üzvü olacaqdır. Və bizim vəziyyətimizdə problemin cavabı belə olacaq: Yox.

GIA-nın real versiyasına əsaslanan tapşırıq:

Arifmetik irəliləyiş şərtlə verilir:

a n = -4 + 6.8n

Proqresiyanın birinci və onuncu hədlərini tapın.

Burada irəliləyiş qeyri-adi şəkildə qurulur. Bir növ düstur... Belə olur.) Ancaq bu düstur (yuxarıda yazdığım kimi) - həm də arifmetik irəliləyişin n-ci həddi üçün düstur! O da icazə verir Proqresiyanın istənilən üzvünü sayına görə tapın.

İlk üzvü axtarırıq. Düşünən. birinci hədisin mənfi dörd olması ölümcül səhvdir!) Çünki məsələdəki düstur dəyişdirilib. Ondakı arifmetik irəliləyişin birinci həddi gizli. Yaxşı, indi tapacağıq.)

Əvvəlki problemlərdə olduğu kimi, biz əvəz edirik n=1 bu düsturla:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Budur! Birinci termin -4 deyil, 2.8-dir!

Onuncu termini eyni şəkildə axtarırıq:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Bu belədir.

İndi bu sətirləri oxuyanlar üçün vəd edilmiş bonus.)

Tutaq ki, Dövlət İmtahanının və ya Vahid Dövlət İmtahanının çətin döyüş vəziyyətində siz arifmetik irəliləyişin n-ci həddi üçün faydalı düsturu unutmusunuz. Nəyisə xatırlayıram, amma nədənsə qeyri-müəyyən bir şəkildə... Ya da n orada və ya n+1 və ya n-1... Necə olmaq!?

Sakit ol! Bu formula asanlıqla əldə edilir. Bu, çox sərt deyil, amma əminlik və düzgün qərar üçün mütləq kifayətdir!) Nəticə çıxarmaq üçün arifmetik irəliləyişin elementar mənasını xatırlamaq və bir neçə dəqiqə vaxt ayırmaq kifayətdir. Sadəcə bir şəkil çəkmək lazımdır. Aydınlıq üçün.

Nömrə xətti çəkin və üzərində birincini qeyd edin. ikinci, üçüncü və s. üzvləri. Və fərqi qeyd edirik düzvlər arasında. Bunun kimi:

Şəkilə baxıb düşünürük: ikinci termin nəyə bərabərdir? İkinci bir d:

a 2 =a 1 + 1 d

Üçüncü müddət nədir? üçüncü müddət birinci müddətli plusa bərabərdir iki d.

a 3 =a 1 + 2 d

başa düşürsən? Bəzi sözləri qalın hərflərlə vurğulamağım əbəs yerə deyil. Yaxşı, daha bir addım).

Dördüncü müddət nədir? Dördüncü müddət birinci müddətli plusa bərabərdir üç d.

a 4 =a 1 + 3 d

Anlamaq vaxtıdır ki, boşluqların sayı, yəni. d, Həmişə axtardığınız üzvün sayından bir az n. Yəni nömrəyə n, boşluqların sayı olacaq n-1. Beləliklə, düstur belə olacaq (dəyişikliklər olmadan!):

Ümumiyyətlə, vizual şəkillər riyaziyyatda bir çox məsələlərin həllində çox kömək edir. Şəkillərə laqeyd yanaşmayın. Ancaq şəkil çəkmək çətindirsə, onda... yalnız bir düstur!) Bundan əlavə, n-ci həddin düsturu riyaziyyatın bütün güclü arsenalını həll yolu ilə birləşdirməyə imkan verir - tənliklər, bərabərsizliklər, sistemlər və s. Siz tənliyə şəkil daxil edə bilməzsiniz...

Müstəqil həll üçün tapşırıqlar.

İstiləşmə üçün:

1. Arifmetik irəliləyişdə (a n) a 2 =3; a 5 =5.1. 3 tapın.

İpucu: şəklə görə problem 20 saniyəyə həll oluna bilər... Formula görə daha çətin çıxır. Amma düsturun mənimsənilməsi üçün bu daha faydalıdır.) 555-ci bölmədə bu problem həm şəkil, həm də düsturdan istifadə etməklə həll olunur. Fərqi hiss edin!)

Və bu artıq istiləşmə deyil.)

2. Arifmetik irəliləyişdə (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. 3-ü tapın.

Nə, şəkil çəkmək istəmirsən?) Əlbəttə! Formula görə daha yaxşıdır, bəli...

3. Arifmetik irəliləmə şərtlə verilir:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Bu irəliləyişin yüz iyirmi beşinci hədini tapın.

Bu tapşırıqda gedişat təkrarlanan şəkildə müəyyən edilir. Amma yüz iyirmi beşinci həddi hesablasaq... Hər kəs belə bir şücaətə qadir deyil.) Amma n-ci hədisin düsturu hər kəsin ixtiyarındadır!

4. Arifmetik irəliləyiş (a n) verilmişdir:

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Proqresiyanın ən kiçik müsbət üzvünün sayını tapın.

5. 4-cü tapşırığın şərtlərinə uyğun olaraq proqresiyanın ən kiçik müsbət və ən böyük mənfi şərtlərinin cəmini tapın.

6. Artan arifmetik proqresiyanın beşinci və on ikinci hədlərinin hasili -2,5-ə, üçüncü və on birinci hədlərin cəmi isə sıfıra bərabərdir. 14 tapın.

Ən asan iş deyil, bəli...) Burada “barmaq ucu” üsulu işləməyəcək. Düsturlar yazmalı və tənlikləri həll etməli olacaqsınız.

Cavablar (qarışıq):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

baş verdi? gözəldir!)

Hər şey alınmır? baş verir. Yeri gəlmişkən, sonuncu tapşırıqda bir incə məqam var. Problemi oxuyarkən diqqətli olmaq tələb olunacaq. Və məntiq.

Bütün bu problemlərin həlli 555-ci bölmədə ətraflı müzakirə olunur. Dördüncü üçün fantaziya elementi, altıncı üçün isə incə məqam və n-ci hədd düsturu ilə bağlı hər hansı bir problemin həlli üçün ümumi yanaşmalar - hər şey təsvir edilmişdir. Mən məsləhət görürəm.

Bu saytı bəyənirsinizsə...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)

Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Gəlin öyrənək - maraqla!)

Funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.

Bəzi insanlar “tərəqqi” sözünə ehtiyatla yanaşır, ali riyaziyyatın budaqlarından çox mürəkkəb bir termindir. Bu vaxt, ən sadə arifmetik irəliləyiş taksi sayğacının işidir (onların hələ də mövcud olduğu yerdə). Bir neçə elementar anlayışı təhlil edərək arifmetik ardıcıllığın mahiyyətini (və riyaziyyatda “mahiyyəti dərk etməkdən” vacib heç nə yoxdur) başa düşmək o qədər də çətin deyil.

Riyazi ədədlər ardıcıllığı

Ədədi ardıcıllığa adətən hər birinin öz nömrəsi olan nömrələr seriyası deyilir.

a 1 ardıcıllığın ilk üzvüdür;

və 2 ardıcıllığın ikinci şərtidir;

və 7 ardıcıllığın yeddinci üzvüdür;

n isə ardıcıllığın n-ci üzvüdür;

Bununla belə, heç bir ixtiyari rəqəmlər və rəqəmlər dəsti bizi maraqlandırmır. Diqqətimizi n-ci həddinin qiymətinin onun sıra nömrəsi ilə riyazi şəkildə aydın şəkildə ifadə oluna bilən əlaqə ilə əlaqəli olduğu ədədi ardıcıllığa yönəldəcəyik. Başqa sözlə: n-ci ədədin ədədi qiyməti n-in hansısa funksiyasıdır.

a ədədi ardıcıllığın üzvünün qiymətidir;

n onun seriya nömrəsidir;

f(n) funksiyadır, burada n ədədi ardıcıllıqdakı sıra nömrəsi arqumentdir.

Tərif

Arifmetik irəliləyiş adətən hər bir sonrakı terminin əvvəlkindən eyni sayda böyük (kiçik) olduğu ədədi ardıcıllıq adlanır. Arifmetik ardıcıllığın n-ci həddi üçün düstur aşağıdakı kimidir:

a n - arifmetik irəliləyişin cari üzvünün qiyməti;

a n+1 - növbəti ədədin düsturu;

d - fərq (müəyyən sayda).

Müəyyən etmək asandır ki, fərq müsbət olarsa (d>0), onda nəzərdən keçirilən silsilənin hər bir sonrakı üzvü əvvəlkindən böyük olacaq və belə arifmetik irəliləyiş artacaq.

Aşağıdakı qrafikdə nömrə ardıcıllığının niyə “artan” adlandırıldığını görmək asandır.

Fərqin mənfi olduğu hallarda (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Müəyyən edilmiş üzv dəyəri

Bəzən arifmetik irəliləyişin hər hansı ixtiyari a n-nin qiymətini təyin etmək lazımdır. Bu, birincidən istədiyinizə qədər arifmetik irəliləyişin bütün üzvlərinin dəyərlərini ardıcıl olaraq hesablamaqla edilə bilər. Lakin, məsələn, beş minlik və ya səkkiz milyonuncu terminin dəyərini tapmaq lazımdırsa, bu yol həmişə məqbul deyil. Ənənəvi hesablamalar çox vaxt aparacaq. Bununla belə, müəyyən arifmetik irəliləyiş müəyyən düsturlardan istifadə etməklə öyrənilə bilər. n-ci həd üçün də bir düstur var: arifmetik irəliləyişin hər hansı bir üzvünün qiyməti, irəliləyişin fərqi ilə irəliləyişin birinci həddinin cəmi kimi müəyyən edilə bilər, istədiyiniz hədd sayına vurulur, azalır. bir.

Formula irəliləyişin artması və azalması üçün universaldır.

Verilmiş bir terminin dəyərinin hesablanması nümunəsi

Arifmetik irəliləyişin n-ci üzvünün qiymətini tapmaq üçün aşağıdakı məsələni həll edək.

Şərt: parametrləri olan arifmetik irəliləyiş var:

Ardıcıllığın birinci həddi 3-dür;

Nömrə seriyasındakı fərq 1.2-dir.

Tapşırıq: 214 şərtin qiymətini tapmaq lazımdır

Həlli: verilmiş terminin dəyərini müəyyən etmək üçün düsturdan istifadə edirik:

a(n) = a1 + d(n-1)

Problem ifadəsindəki məlumatları ifadəyə əvəz edərək, əldə edirik:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Cavab: Ardıcıllığın 214-cü həddi 258,6-ya bərabərdir.

Bu hesablama metodunun üstünlükləri göz qabağındadır - bütün həll 2 sətirdən çox deyil.

Verilmiş sayda terminlərin cəmi

Çox vaxt müəyyən bir arifmetik seriyada onun bəzi seqmentlərinin qiymətlərinin cəmini müəyyən etmək lazımdır. Bunu etmək üçün hər bir terminin dəyərlərini hesablamağa və sonra onları əlavə etməyə ehtiyac yoxdur. Bu üsul, cəmi tapılmalı olan terminlərin sayı az olduqda tətbiq edilir. Digər hallarda aşağıdakı düsturdan istifadə etmək daha rahatdır.

1-dən n-ə qədər olan arifmetik irəliləyişin hədlərinin cəmi birinci və n-ci hədlərin cəminə bərabərdir, n həddinin sayına vurulur və ikiyə bölünür. Düsturda n-ci həddin qiyməti məqalənin əvvəlki abzasındakı ifadə ilə əvəz edilərsə, alırıq:

Hesablama nümunəsi

Məsələn, aşağıdakı şərtlərlə problemi həll edək:

Ardıcıllığın birinci üzvü sıfırdır;

Fərq 0,5-dir.

Problem 56-dan 101-ə qədər seriyanın şərtlərinin cəminin müəyyən edilməsini tələb edir.

Həll. Proqresiyanın miqdarını təyin etmək üçün düsturdan istifadə edək:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Əvvəlcə problemimizin verilmiş şərtlərini düsturla əvəz etməklə irəliləyişin 101 şərtlərinin qiymətlərinin cəmini təyin edirik:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

Aydındır ki, 56-dan 101-ə qədər irəliləyişin şərtlərinin cəmini tapmaq üçün S 101-dən S 55-i çıxarmaq lazımdır.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Beləliklə, bu nümunə üçün arifmetik irəliləyişin cəmi:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742,5 = 1,782,5

Arifmetik proqresiyanın praktik tətbiqi nümunəsi

Məqalənin sonunda birinci abzasda verilən arifmetik ardıcıllığın nümunəsinə qayıdaq - taksimetrə (taksi avtomobili sayğacı). Bu misalı nəzərdən keçirək.

Taksiyə minmək (buraya 3 km səyahət daxildir) 50 rubla başa gəlir. Hər bir sonrakı kilometr 22 rubl/km dərəcəsi ilə ödənilir. Səyahət məsafəsi 30 km-dir. Gəzintinin qiymətini hesablayın.

1. Qiyməti eniş qiymətinə daxil olan ilk 3 km-i ataq.

30 - 3 = 27 km.

2. Sonrakı hesablama arifmetik ədədlər seriyasını təhlil etməkdən başqa bir şey deyil.

Üzv sayı - səyahət edilmiş kilometrlərin sayı (mənfi ilk üç).

Üzvün dəyəri cəmidir.

Bu problemdə ilk müddət 1 = 50 rubla bərabər olacaqdır.

Tərəqqi fərqi d = 22 r.

bizi maraqlandıran rəqəm arifmetik proqresiyanın (27+1)-ci həddinin qiymətidir - 27-ci kilometrin sonunda sayğacın göstəricisi 27,999... = 28 km-dir.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Özbaşına uzun müddət üçün təqvim məlumatlarının hesablamaları müəyyən ədədi ardıcıllıqları təsvir edən düsturlara əsaslanır. Astronomiyada orbitin uzunluğu həndəsi cəhətdən göy cisminin ulduza olan məsafəsindən asılıdır. Bundan əlavə, müxtəlif ədəd seriyaları statistikada və riyaziyyatın digər tətbiqi sahələrində uğurla istifadə olunur.

Say ardıcıllığının başqa bir növü həndəsidir

Həndəsi irəliləyiş arifmetik irəliləyişlə müqayisədə daha çox dəyişmə sürəti ilə xarakterizə olunur. Təsadüfi deyil ki, siyasətdə, sosiologiyada, tibbdə müəyyən bir hadisənin, məsələn, xəstəliyin epidemiya zamanı yüksək yayılma sürətini göstərmək üçün prosesin həndəsi irəliləyişlə inkişaf etdiyini deyirlər.

Həndəsi ədədlər seriyasının N-ci həddi əvvəlkindən onunla fərqlənir ki, o, hansısa sabit ədədə vurulur - məxrəc, məsələn, birinci hədd 1, məxrəc müvafiq olaraq 2-yə bərabərdir, onda:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - həndəsi proqresiyanın cari müddətinin qiyməti;

b n+1 - həndəsi proqresiyanın növbəti həddinin düsturu;

q həndəsi irəliləyişin məxrəcidir (sabit ədəd).

Arifmetik irəliləyişin qrafiki düz xəttdirsə, həndəsi irəliləyiş bir qədər fərqli bir şəkil çəkir:

Arifmetikada olduğu kimi, həndəsi irəliləyişdə də ixtiyari bir müddətin qiyməti üçün bir düstur var. Həndəsi irəliləyişin hər hansı n-ci həddi birinci hədisin hasilinə və n-in gücünə bir azalmış irəliləyişin məxrəcinə bərabərdir:

Misal. Birinci həddi 3-ə, məxrəci isə 1,5-ə bərabər olan həndəsi irəliləyişimiz var. Proqresiyanın 5-ci həddini tapaq

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Verilmiş sayda terminlərin cəmi də xüsusi düsturla hesablanır. Həndəsi proqresiyanın ilk n hədlərinin cəmi, irəliləyişin n-ci həddi ilə onun məxrəci ilə irəliləyişin birinci həddi arasındakı fərqin bir azalmış məxrəcə bölünməsinə bərabərdir:

Əgər b n yuxarıda müzakirə olunan düsturla əvəz edilərsə, nəzərdən keçirilən ədəd seriyasının ilk n şərtlərinin cəminin qiyməti aşağıdakı formanı alacaq:

Misal. Həndəsi irəliləyiş 1-ə bərabər olan birinci həddlə başlayır. Məxrəc 3-ə qoyulur. İlk səkkiz üzvün cəmini tapaq.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Ədəd ardıcıllığı anlayışı hər bir natural ədədin hansısa real qiymətə uyğun olduğunu nəzərdə tutur. Belə bir sıra nömrələr ya ixtiyari ola bilər, ya da müəyyən xüsusiyyətlərə malik ola bilər - irəliləyiş. Sonuncu halda, ardıcıllığın hər bir sonrakı elementi (üzvü) əvvəlkindən istifadə etməklə hesablana bilər.

Arifmetik irəliləyiş, qonşu üzvlərinin bir-birindən eyni sayda fərqləndiyi ədədi dəyərlər ardıcıllığıdır (2-cidən başlayaraq seriyanın bütün elementləri oxşar xüsusiyyətə malikdir). Bu ədəd - əvvəlki və sonrakı şərtlər arasındakı fərq - sabitdir və irəliləmə fərqi adlanır.

Tərəqqi fərqi: tərif

j qiymətlərindən ibarət ardıcıllığı nəzərdən keçirək A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j N natural ədədlər çoxluğuna aiddir. Arifmetik Proqressiya, tərifinə görə, a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – ardıcıllığıdır. a(j-1) = d. D dəyəri bu irəliləyişin istənilən fərqidir.

d = a(j) – a(j-1).

Vurğulayın:

• Artan irəliləyiş, bu halda d > 0. Misal: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• İrəliləyişin azalması, sonra d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Fərqin irəliləməsi və onun ixtiyari elementləri

Proqresiyanın 2 ixtiyari şərti məlumdursa (i-ci, k-ci), onda verilmiş ardıcıllıq üçün fərq əlaqə əsasında müəyyən edilə bilər:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, d = (a(i) – a(k))/(i-k) deməkdir.

Proqresiyanın fərqi və onun birinci müddəti

Bu ifadə yalnız ardıcıllıq elementinin sayı məlum olduğu hallarda naməlum dəyəri təyin etməyə kömək edəcəkdir.

Tərəqqi fərqi və onun cəmi

Proqresiyanın cəmi onun şərtlərinin cəmidir. Onun ilk j elementlərinin ümumi dəyərini hesablamaq üçün müvafiq düsturdan istifadə edin:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, lakin o vaxtdan a(j) = a(1) + d(j – 1), onda S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Arifmetik və həndəsi irəliləyişlər

Nəzəri məlumat

	Arifmetik irəliləyiş	Həndəsi irəliləmə
Tərif	Arifmetik irəliləyiş a n ikincidən başlayaraq hər bir üzvün eyni nömrəyə əlavə olunan əvvəlki üzvə bərabər olduğu ardıcıllıqdır d (d- irəliləmə fərqi)	Həndəsi irəliləmə b n sıfırdan fərqli ədədlər ardıcıllığıdır, hər bir üzvü ikincidən başlayaraq əvvəlki terminin eyni ədədə vurulmasına bərabərdir. q (q- irəliləmənin məxrəci)
Təkrarlanma düsturu	İstənilən təbii üçün n a n + 1 = a n + d	İstənilən təbii üçün n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Formula n-ci dövr	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Xarakterik xüsusiyyət
İlk n şərtlərin cəmi

Şərhlərlə tapşırıqların nümunələri

Məşq 1

Arifmetik irəliləyişdə ( a n) a 1 = -6, a 2

n-ci həddinin düsturuna görə:

a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 gün

Şərtə görə:

a 1= -6, onda a 22= -6 + 21 d .

Proqressivlərin fərqini tapmaq lazımdır:

d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Cavab: a 22 = -48.

Tapşırıq 2

Həndəsi proqresiyanın beşinci hədini tapın: -3; 6;......

1-ci üsul (n-müddətli düsturdan istifadə etməklə)

Həndəsi irəliləyişin n-ci həddi üçün düstura görə:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Çünki b 1 = -3,

2-ci üsul (təkrarlanan düsturdan istifadə etməklə)

Proqresiyanın məxrəci -2 (q = -2) olduğundan, onda:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Cavab: b 5 = -48.

Tapşırıq 3

Arifmetik irəliləyişdə ( a n ) a 74 = 34; a 76= 156. Bu irəliləyişin yetmiş beşinci hədini tapın.

Arifmetik irəliləyiş üçün xarakterik xüsusiyyət formaya malikdir .

Buna görə də:

.

Verilənləri düsturla əvəz edək:

Cavab: 95.

Tapşırıq 4

Arifmetik irəliləyişdə ( a n ) a n= 3n - 4. İlk on yeddi üzvün cəmini tapın.

Arifmetik irəliləyişin ilk n üzvünün cəmini tapmaq üçün iki düsturdan istifadə olunur:

.

Bu halda onlardan hansından istifadə etmək daha əlverişlidir?

Şərtlə, ilkin irəliləyişin n-ci həddi üçün düstur məlumdur ( a n) a n= 3n - 4. Dərhal tapa bilərsiniz və a 1, Və a 16 tapmadan d. Buna görə də birinci düsturdan istifadə edəcəyik.

Cavab: 368.

Tapşırıq 5

Arifmetik irəliləyişdə ( a n) a 1 = -6; a 2= -8. Proqresiyanın iyirmi ikinci həddini tapın.

n-ci həddinin düsturuna görə:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21g.

Şərtlə, əgər a 1= -6, onda a 22= -6 + 21d. Proqressivlərin fərqini tapmaq lazımdır:

d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Cavab: a 22 = -48.

Tapşırıq 6

Həndəsi irəliləyişin bir neçə ardıcıl şərti yazılır:

X ilə işarələnmiş irəliləyişin müddətini tapın.

Həll edərkən n-ci hədd üçün düsturdan istifadə edəcəyik b n = b 1 ∙ q n - 1 həndəsi irəliləmələr üçün. Tərəqqinin birinci müddəti. q tərəqqisinin məxrəcini tapmaq üçün irəliləyişin verilmiş şərtlərindən hər hansı birini götürüb əvvəlkinə bölmək lazımdır. Bizim nümunəmizdə götürüb bölə bilərik. Alırıq ki, q = 3. Verilmiş həndəsi proqresiyanın üçüncü hədini tapmaq lazım olduğundan düsturda n əvəzinə 3-ü əvəz edirik.

Tapılan dəyərləri düsturla əvəz edərək, əldə edirik:

.

Cavab: .

Tapşırıq 7

n-ci hədd düsturu ilə verilən arifmetik irəliləyişlərdən şərtin ödənildiyi birini seçin. a 27 > 9:

Verilmiş şərt irəliləyişin 27-ci həddi üçün ödənilməli olduğundan, dörd irəliləyişin hər birində n əvəzinə 27 əvəz edirik. 4-cü irəliləyişdə alırıq:

.

Cavab: 4.

Tapşırıq 8

Arifmetik irəliləyişdə a 1= 3, d = -1,5. Bərabərsizliyin mövcud olduğu n-in ən böyük qiymətini təyin edin a n > -6.

Bir çox insan arifmetik irəliləyiş haqqında eşitmişdir, lakin hər kəs bunun nə olduğu barədə yaxşı təsəvvürə malik deyil. Bu yazıda müvafiq tərif verəcəyik, həmçinin arifmetik irəliləyişin fərqini necə tapmaq məsələsini nəzərdən keçirəcəyik və bir sıra nümunələr verəcəyik.

Riyazi tərif

Deməli, əgər arifmetik və ya cəbri proqressiyadan danışırıqsa (bu anlayışlar eyni şeyi müəyyənləşdirir), onda bu o deməkdir ki, aşağıdakı qanuna cavab verən müəyyən ədəd seriyası var: sıradakı hər iki bitişik ədəd eyni qiymətlə fərqlənir. Riyazi olaraq belə yazılır:

Burada n ardıcıllıqdakı a n elementinin sayını, d sayı isə irəliləyişin fərqini bildirir (onun adı təqdim olunan düsturdan irəli gəlir).

d fərqini bilmək nə deməkdir? Qonşu nömrələrin bir-birindən nə qədər "uzaq" olduğu haqqında. Bununla belə, d haqqında bilik bütün irəliləyişi müəyyən etmək (bərpa etmək) üçün zəruri, lakin kifayət deyil. Nəzərə alınan seriyanın tamamilə hər hansı bir elementi ola biləcək daha bir ədəd bilmək lazımdır, məsələn, 4, a10, lakin, bir qayda olaraq, birinci rəqəmdən, yəni 1-dən istifadə edirlər.

Proqressiya elementlərinin təyini üçün düsturlar

Ümumiyyətlə, yuxarıda göstərilən məlumatlar konkret problemlərin həllinə keçmək üçün artıq kifayətdir. Buna baxmayaraq, arifmetik irəliləyiş verilməzdən əvvəl və onun fərqini tapmaq lazım olacaq, biz bir neçə faydalı düstur təqdim edəcəyik və bununla da problemlərin həllinin sonrakı prosesini asanlaşdıracağıq.

Ardıcıllığın n nömrəli istənilən elementini aşağıdakı kimi tapmaq olar:

a n = a 1 + (n - 1) * d

Həqiqətən də, hər kəs bu düsturu sadə axtarışla yoxlaya bilər: n = 1-i əvəz etsəniz, birinci elementi alırsınız, n = 2-ni əvəz etsəniz, ifadə birinci ədədin və fərqin cəmini verir və s.

Bir çox məsələlərin şərtləri elə qurulmuşdur ki, nömrələri də ardıcıllıqla verilmiş məlum cüt ədədi nəzərə alaraq, bütün ədəd seriyasını yenidən qurmaq lazımdır (fərqi və birinci elementi tapın). İndi bu problemi ümumi formada həll edəcəyik.

Beləliklə, n və m ədədləri olan iki element verilsin. Yuxarıdakı düsturdan istifadə edərək iki tənlik sistemi yarada bilərsiniz:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Naməlum kəmiyyətləri tapmaq üçün belə bir sistemin həlli üçün məşhur sadə texnikadan istifadə edəcəyik: sol və sağ tərəfləri cüt-cüt çıxarın, bərabərlik qüvvədə qalacaq. Bizdə:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Beləliklə, bir naməlumu (a 1) istisna etdik. İndi d-ni təyin etmək üçün son ifadəni yaza bilərik:

d = (a n - a m) / (n - m), burada n > m

Çox sadə bir düstur aldıq: məsələnin şərtlərinə uyğun olaraq d fərqini hesablamaq üçün yalnız elementlərin özləri ilə onların seriya nömrələri arasındakı fərqlərin nisbətini götürmək lazımdır. Bir vacib məqama diqqət yetirilməlidir: fərqlər “böyük” və “kiçik” üzvlər arasında götürülür, yəni n > m (“böyük” ardıcıllığın əvvəlindən daha uzaqda dayanan deməkdir, onun mütləq dəyəri ya ola bilər. daha çox və ya daha çox "kiçik" element).

Birinci həddin qiymətini almaq üçün məsələnin həllinin əvvəlində d proqressiyası fərqinin ifadəsi hər hansı tənlikdə əvəz edilməlidir.

Kompüter texnologiyalarının inkişaf etdiyi əsrimizdə bir çox məktəblilər İnternetdə tapşırıqları həll etməyə çalışırlar, buna görə də bu tip suallar tez-tez yaranır: arifmetik irəliləyişin fərqini onlayn tapın. Belə bir sorğu üçün axtarış sistemi bir sıra veb səhifələri qaytaracaq, onlara getməklə şərtdən məlum olan məlumatları daxil etməli olacaqsınız (bu, irəliləyişin iki şərti və ya müəyyən sayda onların cəmi ola bilər) ) və dərhal cavab alın. Bununla belə, problemin həllinə bu cür yanaşma tələbənin inkişafı və ona tapşırılan tapşırığın mahiyyətini dərk etməsi baxımından səmərəsizdir.

Düsturlardan istifadə etmədən həll

Verilmiş düsturlardan heç birini istifadə etmədən birinci məsələni həll edək. Silsilənin elementləri verilsin: a6 = 3, a9 = 18. Arifmetik irəliləyişin fərqini tapın.

Məlum elementlər bir cərgədə bir-birinə yaxın dayanır. Ən böyüyü almaq üçün d fərqini ən kiçiyə neçə dəfə əlavə etmək lazımdır? Üç dəfə (ilk dəfə d əlavə etdikdə 7-ci elementi alırıq, ikinci dəfə - səkkizinci, nəhayət, üçüncü dəfə - doqquzuncu). 18-i əldə etmək üçün üç dəfəyə hansı rəqəmi əlavə etmək lazımdır? Bu beş nömrədir. Həqiqətən:

Beləliklə, naməlum fərq d = ​​5.

Əlbəttə ki, həll uyğun düsturdan istifadə etməklə həyata keçirilə bilərdi, lakin bu, qəsdən edilməmişdir. Məsələnin həllinin ətraflı izahı arifmetik irəliləyişin nə olduğunun aydın və aydın nümunəsinə çevrilməlidir.

Əvvəlki birinə bənzər bir tapşırıq

İndi oxşar problemi həll edək, lakin giriş məlumatlarını dəyişdirək. Beləliklə, a3 = 2, a9 = 19 olduğunu tapmalısınız.

Əlbəttə ki, yenidən "baş-üstə" həll üsuluna müraciət edə bilərsiniz. Ancaq bir-birindən nisbətən uzaq olan seriyanın elementləri verildiyi üçün bu üsul tamamilə rahat olmayacaq. Ancaq ortaya çıxan düsturdan istifadə bizi tez bir zamanda cavaba aparacaq:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2.83

Burada son rəqəmi yuvarlaqlaşdırdıq. Bu yuvarlaqlaşdırmanın nə dərəcədə xətaya səbəb olduğunu nəticəni yoxlamaqla qiymətləndirmək olar:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Bu nəticə şərtdə verilən dəyərdən cəmi 0,1% fərqlənir. Buna görə də, yüzdə biri qədər istifadə olunan yuvarlaqlaşdırma uğurlu seçim hesab edilə bilər.

Termin formulunun tətbiqi ilə bağlı problemlər

Naməlum d-ni təyin etmək üçün məsələnin klassik nümunəsini nəzərdən keçirək: a1 = 12, a5 = 40 olarsa, arifmetik irəliləyişin fərqini tapın.

Naməlum cəbri ardıcıllığın iki ədədi verildikdə və onlardan biri a 1 elementi olduqda, o zaman çox düşünmək lazım deyil, dərhal a n termini üçün düstur tətbiq etməlisiniz. Bu halda bizdə:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Bölmə zamanı dəqiq rəqəm aldıq, buna görə də əvvəlki paraqrafda edildiyi kimi hesablanmış nəticənin düzgünlüyünü yoxlamağın mənası yoxdur.

Başqa bir oxşar məsələni həll edək: a1 = 16, a8 = 37 olarsa, arifmetik irəliləyişin fərqini tapmalıyıq.

Əvvəlki birinə bənzər bir yanaşma istifadə edirik və əldə edirik:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Arifmetik irəliləyiş haqqında başqa nə bilməlisiniz?

Naməlum fərqin və ya ayrı-ayrı elementlərin tapılması məsələlərinə əlavə olaraq, çox vaxt ardıcıllığın ilk üzvlərinin cəminə aid məsələləri həll etmək lazımdır. Bu problemlərin nəzərdən keçirilməsi məqalənin əhatə dairəsi xaricindədir, lakin məlumatın tamlığı üçün bir sıradakı n ədədin cəmi üçün ümumi bir düstur təqdim edirik:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2