Yanlış fraksiyaları necə əlavə etmək olar. Kəsrlərlə hərəkətlər

ev / sevgi

Bu dərs müxtəlif məxrəcləri olan cəbri kəsrlərin toplanması və çıxılmasını əhatə edəcək. Biz artıq müxtəlif məxrəcləri olan ümumi kəsrləri necə toplamaq və çıxarmaq lazım olduğunu bilirik. Bunun üçün kəsrləri ortaq məxrəcə endirmək lazımdır. Məlum olur ki, cəbri kəsrlər eyni qaydalara tabe olurlar. Üstəlik, cəbri kəsrləri ortaq məxrəcə necə gətirəcəyimizi artıq bilirik. Fərqli məxrəcli kəsrlərin toplanması və çıxarılması 8-ci sinif kursunun ən vacib və çətin mövzularından biridir. Üstəlik, bu mövzu gələcəkdə öyrənəcəyiniz cəbr kursunun bir çox mövzularında tapılacaqdır. Dərs çərçivəsində biz müxtəlif məxrəcli cəbri kəsrlərin toplanması və çıxılması qaydalarını öyrənəcək, həmçinin bir sıra tipik nümunələri təhlil edəcəyik.

Adi kəsrlər üçün ən sadə nümunəni nəzərdən keçirək.

Misal 1. Kəsrlər əlavə edin:.

Həll:

Kəsrlərin əlavə edilməsi qaydasını xatırlayaq. Başlamaq üçün kəsrləri ortaq məxrəcə gətirmək lazımdır. Adi kəsrlərin ortaq məxrəci belədir ən az ümumi çoxluq(LCM) ilkin məxrəclər.

Tərif

Rəqəmlərə və eyni zamanda bölünən ən kiçik natural ədəd.

LCM-i tapmaq üçün məxrəcləri əsas amillərə genişləndirmək və sonra hər iki məxrəcin genişlənməsinə daxil olan bütün əsas amilləri seçmək lazımdır.

; ... Onda nömrələrin LCM-i iki iki və iki üçlü daxil etməlidir:.

Ümumi məxrəci tapdıqdan sonra kəsrlərin hər biri üçün əlavə əmsal tapmaq lazımdır (əslində ümumi məxrəci müvafiq kəsrin məxrəcinə bölmək).

Sonra hər bir fraksiya yaranan əlavə əmsala vurulur. Məxrəcləri eyni olan kəsrlər alınır ki, onları əvvəlki dərslərdə toplamaq və çıxmaqla öyrənmişik.

Biz əldə edirik: .

Cavab:.

İndi müxtəlif məxrəcləri olan cəbri fraksiyaların əlavə edilməsini nəzərdən keçirək. Əvvəlcə məxrəcləri ədədlər olan kəsrləri nəzərdən keçirək.

Misal 2. Kəsrlər əlavə edin:.

Həll:

Həll alqoritmi əvvəlki nümunəyə tamamilə bənzəyir. Bu kəsrlər üçün ortaq məxrəc tapmaq asandır: və onların hər biri üçün əlavə amillər.

Cavab:.

Beləliklə, formalaşdıraq müxtəlif məxrəcli cəbri kəsrlərin toplanması və çıxılması alqoritmi:

1. Kəsrin ən kiçik ortaq məxrəcini tapın.

2. Kəsirin hər biri üçün əlavə əmsalları tapın (ümumi məxrəci verilmiş kəsrin məxrəcinə bölməklə).

3. Sayları müvafiq əlavə amillərlə çarpın.

4. Eyni məxrəcli kəsrlərin toplanması və çıxılması qaydalarından istifadə edərək kəsrləri əlavə və ya çıxın.

İndi məxrəcdə hərfi ifadələri olan kəsrlərlə nümunəyə baxaq.

Misal 3. Kəsrlər əlavə edin:.

Həll:

Hər iki məxrəcdə hərfi ifadələr eyni olduğundan, siz rəqəmlər üçün ortaq məxrəc tapmalısınız. Son ortaq məxrəc belə olacaq:. Beləliklə, bu nümunənin həlli belə görünür:

Cavab:.

Misal 4. Kəsrləri çıxarın:.

Həll:

Əgər ümumi məxrəci seçərkən “fırıldaq” edə bilmirsinizsə (onu faktorlara ayıra və ya qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə edə bilməzsiniz), onda ümumi məxrəc kimi hər iki kəsrin məxrəclərinin hasilini götürməlisiniz.

Cavab:.

Ümumiyyətlə, belə misalları həll edərkən ən çətin məsələ ortaq məxrəci tapmaqdır.

Daha mürəkkəb bir nümunəyə baxaq.

Misal 5. Sadələşdirin:.

Həll:

Ortaq məxrəci taparkən əvvəlcə ilkin fraksiyaların məxrəclərini ayırmağa cəhd etməlisiniz (ortaq məxrəci sadələşdirmək üçün).

Bu xüsusi halda:

Onda ortaq məxrəci müəyyən etmək asandır: .

Əlavə amilləri müəyyənləşdiririk və bu nümunəni həll edirik:

Cavab:.

İndi isə müxtəlif məxrəcli kəsrlərin toplanması və çıxılması qaydalarını təsbit edək.

Misal 6. Sadələşdirin:.

Həll:

Cavab:.

Misal 7. Sadələşdirin:.

Həll:

Cavab:.

İndi iki deyil, üç fraksiyanın əlavə olunduğu bir nümunəyə nəzər salın (axı daha çox fraksiya üçün toplama və çıxma qaydaları eyni qalır).

Misal 8. Sadələşdirin:.

Adi kəsrlər üçün ən sadə nümunəni nəzərdən keçirək.

Misal 1. Kəsrlər əlavə edin:.

Həll:

Tərif

Rəqəmlərə və eyni zamanda bölünən ən kiçik natural ədəd.

LCM-i tapmaq üçün məxrəcləri əsas amillərə genişləndirmək və sonra hər iki məxrəcin genişlənməsinə daxil olan bütün əsas amilləri seçmək lazımdır.

; ... Onda nömrələrin LCM-i iki iki və iki üçlü daxil etməlidir:.

Ümumi məxrəci tapdıqdan sonra kəsrlərin hər biri üçün əlavə əmsal tapmaq lazımdır (əslində ümumi məxrəci müvafiq kəsrin məxrəcinə bölmək).

Sonra hər bir fraksiya yaranan əlavə əmsala vurulur. Məxrəcləri eyni olan kəsrlər alınır ki, onları əvvəlki dərslərdə toplamaq və çıxmaqla öyrənmişik.

Biz əldə edirik: .

Cavab:.

İndi müxtəlif məxrəcləri olan cəbri fraksiyaların əlavə edilməsini nəzərdən keçirək. Əvvəlcə məxrəcləri ədədlər olan kəsrləri nəzərdən keçirək.

Misal 2. Kəsrlər əlavə edin:.

Həll:

Həll alqoritmi əvvəlki nümunəyə tamamilə bənzəyir. Bu kəsrlər üçün ortaq məxrəc tapmaq asandır: və onların hər biri üçün əlavə amillər.

Cavab:.

Beləliklə, formalaşdıraq müxtəlif məxrəcli cəbri kəsrlərin toplanması və çıxılması alqoritmi:

1. Kəsrin ən kiçik ortaq məxrəcini tapın.

2. Kəsirin hər biri üçün əlavə əmsalları tapın (ümumi məxrəci verilmiş kəsrin məxrəcinə bölməklə).

3. Sayları müvafiq əlavə amillərlə çarpın.

4. Eyni məxrəcli kəsrlərin toplanması və çıxılması qaydalarından istifadə edərək kəsrləri əlavə və ya çıxın.

İndi məxrəcdə hərfi ifadələri olan kəsrlərlə nümunəyə baxaq.

Misal 3. Kəsrlər əlavə edin:.

Həll:

Hər iki məxrəcdə hərfi ifadələr eyni olduğundan, siz rəqəmlər üçün ortaq məxrəc tapmalısınız. Son ortaq məxrəc belə olacaq:. Beləliklə, bu nümunənin həlli belə görünür:

Cavab:.

Misal 4. Kəsrləri çıxarın:.

Həll:

Cavab:.

Ümumiyyətlə, belə misalları həll edərkən ən çətin məsələ ortaq məxrəci tapmaqdır.

Daha mürəkkəb bir nümunəyə baxaq.

Misal 5. Sadələşdirin:.

Həll:

Ortaq məxrəci taparkən əvvəlcə ilkin fraksiyaların məxrəclərini ayırmağa cəhd etməlisiniz (ortaq məxrəci sadələşdirmək üçün).

Bu xüsusi halda:

Onda ortaq məxrəci müəyyən etmək asandır: .

Əlavə amilləri müəyyənləşdiririk və bu nümunəni həll edirik:

Cavab:.

İndi isə müxtəlif məxrəcli kəsrlərin toplanması və çıxılması qaydalarını təsbit edək.

Misal 6. Sadələşdirin:.

Həll:

Cavab:.

Misal 7. Sadələşdirin:.

Həll:

Cavab:.

İndi iki deyil, üç fraksiyanın əlavə olunduğu bir nümunəyə nəzər salın (axı daha çox fraksiya üçün toplama və çıxma qaydaları eyni qalır).

Misal 8. Sadələşdirin:.

Kəsr ifadələri uşaq üçün anlamaq çətindir. Ən çox bağlı çətinliklər var. "Tam ədədlərlə kəsrlərin əlavə edilməsi" mövzusunu öyrənərkən uşaq tapşırığı həll etməkdə çətinlik çəkərək stupor vəziyyətinə düşür. Bir çox misalda hərəkəti yerinə yetirməzdən əvvəl bir sıra hesablamalar aparılmalıdır. Məsələn, kəsrləri çevirin və ya düzgün olmayan kəsri düzgün birinə çevirin.

Gəlin uşağa vizual olaraq izah edək. Üç alma götürək, onlardan ikisi bütöv, üçüncüsü isə 4 hissəyə kəsiləcək. Kəsilmiş almadan bir dilim ayırırıq, qalan üçünü iki tam meyvənin yanına qoyuruq. Bir tərəfdən ¼ alma, digər tərəfdən 2 ¾ alma alırıq. Onları birləşdirsək, üç tam alma alırıq. Gəlin 2 ¾ almanı ¼ azaltmağa çalışaq, yəni daha bir dilim çıxarın, 2 2/4 alma alırıq.

Tam ədədləri ehtiva edən kəsrlərlə hərəkətlərə daha yaxından nəzər salaq:

Başlamaq üçün, ümumi məxrəci olan kəsr ifadələri üçün hesablama qaydasını xatırlayaq:

İlk baxışdan hər şey asan və sadədir. Lakin bu, yalnız çevrilmə tələb etməyən ifadələrə aiddir.

Məxrəclərin fərqli olduğu ifadənin mənasını necə tapmaq olar

Bəzi tapşırıqlarda məxrəclərin fərqli olduğu ifadənin mənasını tapmaq lazımdır. Konkret bir halı nəzərdən keçirək:
3 2/7+6 1/3

Bu ifadənin qiymətini tapacağıq, bunun üçün iki fraksiya üçün ortaq məxrəc tapacağıq.

7 və 3 nömrələri üçün - bu 21-dir. Biz bütün hissələri eyni, kəsr hissələrini - 21-ə gətiririk, bunun üçün birinci kəsri 3-ə, ikincini - 7-yə vururuq, alırıq:
6/21 + 7/21, bütün hissələrin çevrilə bilməyəcəyini unutmayın. Nəticədə bir məxrəcli iki kəsr alırıq və onların cəmini hesablayırıq:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Əgər əlavə artıq tam hissəyə malik olan yanlış kəsrlə nəticələnərsə nə etməli?
2 1/3+3 2/3
Bu halda, bütün hissələri və kəsr hissələri əlavə edirik, alırıq:
5 3/3, bildiyiniz kimi, 3/3 vahiddir, ona görə də 2 1/3 + 3 2/3 = 5 3/3 = 5 + 1 = 6

Cəmi tapmaqla hər şey aydındır, çıxma əməliyyatını təhlil edək:

Bütün deyilənlərdən qarışıq nömrələrlə hərəkətlərin qaydası belə səslənir:

Əgər kəsr ifadəsindən tam ədədi çıxarmaq lazımdırsa, ikinci ədədi kəsr kimi göstərmək lazım deyil, yalnız tam ədədlər üzərində hərəkət etmək kifayətdir.

İfadələrin dəyərini özümüz hesablamağa çalışaq:

Gəlin "m" hərfi altında olan nümunəyə daha yaxından nəzər salaq:

4 5 / 11-2 8/11, birinci fraksiyanın payı ikincidən kiçikdir. Bunu etmək üçün birinci kəsirdən bir tam ədəd alırıq, alırıq:
3 5/11 + 11/11 = 3 tam 16/11, birinci kəsrdən ikincini çıxarın:
3 16 / 11-2 8/11 = 1 tam ədəd 8/11

Tapşırığı yerinə yetirərkən diqqətli olun, bütün hissəni vurğulayaraq nizamsız fraksiyaları qarışıq olanlara çevirməyi unutmayın. Bunun üçün payın qiymətini məxrəcin dəyərinə bölmək lazımdır, sonra baş verənlər bütün hissənin yerini tutur, qalan hissə pay olacaq, məsələn:

19/4 = 4 ¾, yoxlayın: 4 * 4 + 3 = 19, məxrəcdə 4 dəyişməz qalır.

Ümumiləşdirin:

Kəsrlərlə bağlı tapşırığa keçməzdən əvvəl onun hansı ifadə olduğunu, həllin düzgün olması üçün kəsr üzərində hansı çevrilmələrin aparılmalı olduğunu təhlil etmək lazımdır. Daha rasional həll yolu axtarın. Çətin yollara getməyin. Bütün hərəkətləri planlaşdırın, əvvəlcə qaralamada qərar verin, sonra məktəb dəftərinə köçürün.

Kəsr ifadələri həll edərkən çaşqınlığın qarşısını almaq üçün ardıcıllıq qaydasına əməl etməlisiniz. Hər şeyi diqqətlə, tələsmədən qərar verin.

Tətbiqi kimya, fizika və hətta biologiya kimi elmlərdə görülə bilən ən mühüm elmlərdən biri də riyaziyyatdır. Bu elmin öyrənilməsi bəzi zehni keyfiyyətləri inkişaf etdirməyə, təkmilləşdirməyə və konsentrə olmaq qabiliyyətinə imkan verir. “Riyaziyyat” kursunda xüsusi diqqət yetirilməli olan mövzulardan biri də kəsrlərin toplama və çıxmasıdır. Bir çox tələbələr üçün öyrənmək çətindir. Bəlkə də məqaləmiz bu mövzunu daha yaxşı başa düşməyə kömək edəcək.

Eyni məxrəcləri olan kəsrləri necə çıxarmaq olar

Kəsrlər müxtəlif hərəkətləri yerinə yetirə biləcəyiniz eyni ədədlərdir. Onlar tam ədədlərdən məxrəcin olması ilə fərqlənirlər. Buna görə də kəsrlərlə hərəkətlər edərkən onların bəzi xüsusiyyətlərini və qaydalarını öyrənmək lazımdır. Ən sadə hal məxrəcləri eyni ədədlə təmsil olunan adi fraksiyaların çıxılmasıdır. Sadə bir qayda bilsəniz, bu hərəkət çətin olmayacaq:

Bir kəsrdən ikincini çıxarmaq üçün, çıxarılan kəsrin payını azaldılmış kəsrin payından çıxmaq lazımdır. Bu rəqəmi fərqin payına yazırıq və məxrəci eyni olaraq buraxırıq: k / m - b / m = (k-b) / m.

Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin çıxılması nümunələri

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Çıxarılan “3” kəsrinin payını “7” kəsirinin payından çıxarırıq, “4” alırıq. Bu rəqəmi cavabın sayında yazırıq, məxrəcdə isə birinci və ikinci kəsirlərin məxrəclərində olan eyni rəqəmi - “19”-u qoyuruq.

Aşağıdakı şəkil daha bir neçə oxşar nümunə göstərir.

Eyni məxrəcləri olan fraksiyaların çıxıldığı daha mürəkkəb bir nümunəyə nəzər salın:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Bütün sonrakı fraksiyaların - "3", "8", "2", "7" -ni növbə ilə çıxararaq, "29" azaldılmış kəsirinin paylayıcısından. Nəticədə cavabın payına yazdığımız “9” nəticəsini alırıq və məxrəcdə bütün bu kəsrlərin məxrəclərində olan rəqəmi - “47” yazırıq.

Eyni məxrəcli kəsrlərin əlavə edilməsi

Adi kəsrlərin toplanması və çıxması eyni prinsipə əsasən həyata keçirilir.

Məxrəcləri eyni olan kəsrləri əlavə etmək üçün sayları əlavə etmək lazımdır. Nəticədə çıxan ədəd cəminin payıdır və məxrəc eyni qalır: k / m + b / m = (k + b) / m.

Bir nümunədə bunun necə göründüyünü görək:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Kəsirin birinci həddinin payına - "1" - kəsrin ikinci üzvünün payına - "2" əlavə edin. Nəticə - "3" - cəminin payında yazılır və məxrəc kəsrlərdə olduğu kimi - "4"dür.

Fərqli məxrəcli kəsrlər və onların çıxılması

Biz artıq eyni məxrəci olan kəsrlərlə hərəkəti nəzərdən keçirdik. Gördüyünüz kimi, sadə qaydaları bilməklə belə nümunələri həll etmək olduqca asandır. Bəs fərqli məxrəcləri olan kəsrlərlə bir hərəkət etmək lazımdırsa necə? Bir çox orta məktəb şagirdləri bu nümunələrlə çaşqınlıq içindədirlər. Ancaq burada da həll prinsipini bilsəniz, nümunələr artıq sizin üçün heç bir çətinlik yaratmayacaq. Burada da bir qayda var ki, onsuz belə fraksiyaların həlli sadəcə mümkün deyil.

Fərqli məxrəcləri olan kəsrləri çıxarmaq üçün onları eyni ən aşağı məxrəcə gətirmək lazımdır.

Bunu necə etmək barədə daha ətraflı danışacağıq.

Fraksiya xüsusiyyəti

Bir neçə kəsri eyni məxrəcə gətirmək üçün məhlulda kəsrin əsas xassəsindən istifadə etmək lazımdır: pay və məxrəci eyni ədədə böldükdən və ya vurduqdan sonra verilənə bərabər kəsr alınır.

Beləliklə, məsələn, 2/3 kəsrində "6", "9", "12" və s. kimi məxrəclər ola bilər, yəni "3"-ə çox olan istənilən ədədin formasına sahib ola bilər. Pay və məxrəci "2"-yə vurduqdan sonra 4/6 kəsri alırıq. İlkin kəsrin payını və məxrəcini “3”ə vurduqdan sonra 6/9, “4” rəqəmi ilə eyni hərəkəti yerinə yetirsək, 8/12 alırıq. Bir bərabərliklə belə yazmaq olar:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Çoxsaylı fraksiyaları eyni məxrəcə necə çevirmək olar

Gəlin bir neçə kəsri eyni məxrəcə necə gətirməyi nəzərdən keçirək. Məsələn, aşağıdakı şəkildə göstərilən kəsrləri götürün. Əvvəlcə onların hamısı üçün hansı ədədin məxrəc ola biləcəyini müəyyən etməlisiniz. Bunu asanlaşdırmaq üçün mövcud məxrəcləri nəzərə alırıq.

1/2 və 2/3-ün məxrəci faktorlara bölünə bilməz. 7/9 məxrəcində iki amil 7/9 = 7 / (3 x 3), kəsrin məxrəci 5/6 = 5 / (2 x 3) var. İndi bütün bu dörd fraksiya üçün hansı amillərin ən kiçik olacağını müəyyən etməlisiniz. Məxrəcdə birinci kəsr “2” rəqəmini ehtiva etdiyinə görə onun bütün məxrəclərdə olması lazımdır, 7/9 kəsrində iki üçlük var, yəni onların hər ikisi də məxrəcdə olmalıdır. Yuxarıdakıları nəzərə alaraq, məxrəcin üç amildən ibarət olduğunu müəyyən edirik: 3, 2, 3 və 3 x 2 x 3 = 18-ə bərabərdir.

Birinci fraksiyaya nəzər salın - 1/2. Onun məxrəcində "2" var, lakin bir rəqəm "3" yoxdur, ancaq iki olmalıdır. Bunu etmək üçün məxrəci iki üçə vururuq, lakin kəsrin xassəsinə görə, payı da iki üçə vurmalıyıq:
1/2 = (1 x 3 x 3) / (2 x 3 x 3) = 9/18.

Eynilə, qalan fraksiyalarla hərəkətlər edirik.

2/3 - məxrəcdə bir üç və bir iki yoxdur:
2/3 = (2 x 3 x 2) / (3 x 3 x 2) = 12/18.
7/9 və ya 7 / (3 x 3) - məxrəcdə iki yoxdur:
7/9 = (7 x 2) / (9 x 2) = 14/18.
5/6 və ya 5 / (2 x 3) - məxrəcdə üçlük yoxdur:
5/6 = (5 x 3) / (6 x 3) = 15/18.

Birlikdə bu belə görünür:

Fərqli məxrəcləri olan kəsrləri necə çıxarmaq və toplamaq olar

Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, müxtəlif məxrəcli kəsrləri toplamaq və ya çıxmaq üçün onları eyni məxrəcə endirmək lazımdır, sonra isə artıq təsvir olunmuş eyni məxrəcli kəsrləri çıxmaq qaydalarından istifadə etmək lazımdır.

Bir nümunəyə baxaq: 4/18 - 3/15.

18 və 15-in qatını tapın:

18 rəqəmi 3 x 2 x 3-dən ibarətdir.
15 rəqəmi 5 x 3-dən ibarətdir.
Ümumi çoxluq 5 x 3 x 3 x 2 = 90 olacaqdır.

Məxrəc tapıldıqdan sonra hər kəsr üçün fərqli olacaq əmsalı, yəni təkcə məxrəci deyil, həm də payı çoxaltmaq lazım olan ədədi hesablamaq lazımdır. Bunu etmək üçün tapdığımız ədəd (ümumi çoxluq) əlavə amillərin müəyyən edilməli olduğu kəsrin məxrəcinə bölünür.

90 15-ə bölünür. Nəticədə çıxan "6" rəqəmi 3/15 üçün faktor olacaqdır.
90 18-ə bölünür. Nəticədə "5" sayı 4/18 üçün çarpan olacaqdır.

Bizim həllimizdə növbəti addım hər kəsri "90" məxrəcə gətirməkdir.

Bunun necə edildiyini artıq müzakirə etdik. Bunun bir nümunədə necə yazıldığını görək:

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Əgər kəsrlər kiçik ədədlərdən ibarətdirsə, aşağıdakı şəkildəki nümunədə olduğu kimi ortaq məxrəc müəyyən edilə bilər.

Eynilə, istehsal olunur və müxtəlif məxrəclərə malikdir.

Çıxarma və tam hissələrin olması

Biz artıq kəsrlərin çıxılması və onların əlavə edilməsini ətraflı şəkildə əhatə etmişik. Bəs kəsrin tam hissəsi varsa, onu necə çıxarmaq olar? Yenə də bir neçə qaydadan istifadə edək:

Tam hissəsi olan bütün kəsrlər səhv olanlara çevrilməlidir. Sadə dillə desək, bütün hissəni çıxarın. Bunu etmək üçün, tam hissənin sayını kəsrin məxrəci ilə çarpın, nəticədə alınan məhsulu paya əlavə edin. Bu hərəkətlərdən sonra alınacaq rəqəm düzgün olmayan kəsrin payıdır. Məxrəc dəyişməz olaraq qalır.
Kəsrlərin fərqli məxrəcləri varsa, onları eyni hala gətirməlisiniz.
Eyni məxrəclərlə əlavə edin və ya çıxın.
Səhv kəsr əldə etsəniz, bütün hissəni seçin.

Tam hissələrlə kəsrləri əlavə edib çıxmağın başqa bir yolu var. Bunun üçün hərəkətlər ayrı-ayrılıqda bütöv hissələrlə, ayrı-ayrılıqda isə kəsrlərlə hərəkətlər yerinə yetirilir və nəticələr birlikdə qeyd olunur.

Yuxarıdakı misal eyni məxrəcə malik kəsrlərdən ibarətdir. Məxrəclərin fərqli olduğu halda, onlar eyni hala salınmalı və sonra nümunədə göstərildiyi kimi hərəkətlər edilməlidir.

Tam ədəddən kəsrlərin çıxarılması

Kəsrə aid hərəkətlərin digər növlərindən biri də kəsrdən kəsrin çıxılmalı olduğu haldır. İlk baxışdan bu nümunəni həll etmək çətin görünür. Ancaq burada hər şey olduqca sadədir. Onu həll etmək üçün tam ədədi kəsrə çevirmək lazımdır və çıxılan kəsrdə olan eyni məxrəclə. Sonra, eyni məxrəclərlə çıxma əməliyyatına bənzər bir çıxma əməli edirik. Məsələn, belə görünür:

7 - 4/9 = (7 x 9) / 9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Bu məqalədə verilmiş kəsrlərin çıxılması (6-cı dərəcəli) sonrakı siniflərdə nəzərdən keçirilən daha mürəkkəb misalların həlli üçün əsasdır. Bu mövzuya dair biliklər sonradan funksiyaları, törəmələri və s. həll etmək üçün istifadə olunur. Buna görə də yuxarıda müzakirə edilən fraksiyalarla hərəkətləri başa düşmək və anlamaq çox vacibdir.

§ 87. Kəsrlərin toplanması.

Kəsrin toplanmasının tam ədədlərin toplanması ilə çox oxşarlıqları var. Kəsrlərin toplanması, verilmiş bir neçə ədədin (şərtlərin) bütün vahidləri və vahidlərinin kəsrlərini ehtiva edən bir ədədə (cəm) birləşdirilməsindən ibarət bir hərəkətdir.

Üç halı ardıcıl olaraq nəzərdən keçirəcəyik:

1. Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin toplanması.
2. Fərqli məxrəcli kəsrlərin toplanması.
3. Qarışıq ədədlərin toplanması.

1. Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin toplanması.

Məsələni nəzərdən keçirək: 1/5 + 2/5.

AB seqmentini götürün (şəkil 17), onu vahid kimi götürün və 5 bərabər hissəyə bölün, onda bu seqmentin AC hissəsi AB seqmentinin 1/5 hissəsinə və eyni CD seqmentinin hissəsinə bərabər olacaqdır. 2/5 AB-ə bərabər olacaq.

Rəsm göstərir ki, AD seqmentini götürsəniz, o zaman 3/5 AB-ə bərabər olacaqdır; lakin AD seqmenti sadəcə AC və CD seqmentlərinin cəmidir. Beləliklə, yaza bilərik:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Bu şərtləri və yaranan cəmini nəzərə alsaq görərik ki, cəminin payı hədlərin paylarının toplanmasından alınmış, məxrəc isə dəyişməz qalmışdır.

Buradan aşağıdakı qaydanı alırıq: eyni məxrəcli kəsrləri toplamaq üçün onların paylarını əlavə edin və eyni məxrəci buraxın.

Məsələni nəzərdən keçirək:

2. Fərqli məxrəcli kəsrlərin toplanması.

Kəsrləri əlavə edirik: 3/4 + 3/8 Əvvəlcə onları ən aşağı ortaq məxrəcə endirmək lazımdır:

Ara keçid 6/8 + 3/8 yazıla bilməzdi; aydınlıq üçün bura yazdıq.

Beləliklə, müxtəlif məxrəcli kəsrləri toplamaq üçün əvvəlcə onları ən aşağı ortaq məxrəcə gətirməli, onların saylarını əlavə etməli və ortaq məxrəcə imza atmalısınız.

Bir nümunə nəzərdən keçirin (uyğun fraksiyalar üzərində əlavə amillər yazacağıq):

3. Qarışıq ədədlərin toplanması.

Rəqəmləri əlavə edin: 2 3/8 + 3 5/6.

Əvvəlcə ədədlərimizin kəsr hissələrini ortaq məxrəcə gətiririk və onları yenidən yazırıq:

İndi tam və kəsr hissələrini ardıcıl olaraq əlavə edək:

§ 88. Kəsrlərin çıxılması.

Kəsrlərin çıxarılması tam ədədlərin çıxılması ilə eyni şəkildə müəyyən edilir. Bu, iki şərtin və onlardan birinin verilmiş cəmi üçün başqa bir terminin tapıldığı bir hərəkətdir. Üç halı ardıcıl olaraq nəzərdən keçirək:

1. Məxrəci eyni olan kəsrlərin çıxılması.
2. Məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlərin çıxılması.
3. Qarışıq ədədlərin çıxılması.

1. Məxrəci eyni olan kəsrlərin çıxılması.

Məsələni nəzərdən keçirək:

13 / 15 - 4 / 15

AB seqmentini götürün (şəkil 18), onu vahid kimi götürün və 15 bərabər hissəyə bölün; onda bu seqmentin AC hissəsi AB-nin 1/15 hissəsinə, eyni seqmentin AD hissəsi isə 13/15 AB-ə uyğun olacaq. 4/15 AB-yə bərabər olan ED seqmentini kənara qoyaq.

13/15-dən 4/15-i çıxarmalıyıq. Rəsmdə bu o deməkdir ki, AD seqmentindən ED seqmentini çıxarmaq lazımdır. Nəticədə, AB seqmentinin 9/15 hissəsi olan AE seqmenti qalacaq. Beləliklə, yaza bilərik:

Nümunəmiz göstərir ki, fərqin payı sayları çıxmaqla alınır, lakin məxrəc eyni qalır.

Buna görə də, eyni məxrəcli kəsrləri çıxmaq üçün, azalanların sayından çıxılanın payını çıxarmaq və eyni məxrəci tərk etmək lazımdır.

2. Məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlərin çıxılması.

Misal. 3/4 - 5/8

Əvvəlcə bu kəsrləri ən aşağı ortaq məxrəcə çatdırırıq:

Aralıq 6/8 - 5/8 burada aydınlıq üçün yazılmışdır, lakin bundan sonra buraxıla bilər.

Beləliklə, kəsrdən kəsri çıxarmaq üçün əvvəlcə onları ən kiçik ortaq məxrəcə gətirməli, sonra kiçildənin payını kiçildənin payından çıxarmalı və onların fərqinin altındakı ümumi məxrəcə imza atmalısan.

Məsələni nəzərdən keçirək:

3. Qarışıq ədədlərin çıxılması.

Misal. 10 3/4 - 7 2/3.

Ən kiçik ortaq məxrəcə endirilən və çıxılanların kəsr hissələrini gətirək:

Tamdan tamı, kəsrdən isə kəsri çıxarırıq. Amma elə vaxtlar olur ki, çıxarılanın kəsr hissəsi azaldılanın kəsir hissəsindən böyük olur. Belə hallarda, kiçilmiş hissənin bütün hissəsindən bir vahid götürməli, onu kəsr hissəsinin ifadə olunduğu hissələrə bölməli və azalmış hissənin kəsir hissəsinə əlavə etməlisiniz. Və sonra çıxma əvvəlki nümunədə olduğu kimi həyata keçiriləcək:

§ 89. Kəsrlərin vurulması.

Kəsrlərin vurulmasını öyrənərkən aşağıdakı sualları nəzərdən keçirəcəyik:

1. Kəsirin tam ədədə vurulması.
2. Verilmiş ədədin kəsirinin tapılması.
3. Tam ədədin kəsrə vurulması.
4. Kəsirin kəsrə vurulması.
5. Qarışıq ədədlərin vurulması.
6. Maraq anlayışı.
7. Verilmiş ədədin faizini tapmaq. Onları ardıcıl olaraq nəzərdən keçirək.

1. Kəsirin tam ədədə vurulması.

Kəsri tam ədədə vurmaq tam ədədi tam ədədə vurmaqla eyni məna daşıyır. Kəsri (vurğacı) tam ədədə (vurğacı) vurmaq, hər bir hədd çarpana, hədlərin sayı isə çarpana bərabər olan eyni şərtlərin cəmini yaratmaq deməkdir.

Beləliklə, 1/9-u 7-yə vurmaq lazımdırsa, bu belə edilə bilər:

Nəticəni asanlıqla əldə etdik, çünki hərəkət eyni məxrəcləri olan kəsrlərin əlavə edilməsinə qədər azaldıldı. Beləliklə,

Bu hərəkətin nəzərdən keçirilməsi göstərir ki, kəsri tam ədədə vurmaq bu kəsiri tam ədəddə vahidlərin sayı qədər artırmağa bərabərdir. Və kəsrdə artım ya onun payını artırmaqla əldə edildiyi üçün

və ya onun məxrəcini azaltmaqla , onda biz ya payı tam ədədə vura bilərik, ya da məxrəci ona bölə bilərik, əgər belə bölmə mümkündürsə.

Buradan qaydanı alırıq:

Kəsri tam ədədə vurmaq üçün payı həmin tam ədədə vurub məxrəci eyni qalsın və ya mümkünsə, məxrəci həmin ədədə bölmək, payı dəyişməz qoymaq lazımdır.

Çoxaldıqda, qısaltmalar mümkündür, məsələn:

2. Verilmiş ədədin kəsirinin tapılması. Həllində verilmiş ədədin bir hissəsini tapmalı və ya hesablamalı olduğunuz bir çox problem var. Bu tapşırıqların digərlərindən fərqi ondadır ki, onlar bəzi obyektlərin və ya ölçü vahidlərinin sayını verirlər və bu ədədin bir hissəsini tapmaq tələb olunur ki, bu da burada müəyyən kəsrlə göstərilir. Daha asan başa düşülməsi üçün əvvəlcə bu cür problemlərdən nümunələr verəcəyik, sonra isə onların həlli yolu ilə sizi tanış edəcəyik.

Məqsəd 1. 60 rublum var idi; Bu pulun 1/3-ni kitab almağa xərcləmişəm. Kitabların qiyməti nə qədərdi?

Məqsəd 2. Qatar A və B şəhərləri arasında 300 km-ə bərabər olan məsafəni qət etməlidir. O, artıq bu məsafənin 2/3 hissəsini qət edib. Neçə kilometrdir?

Məqsəd 3. Kənddə 400 ev var ki, bunun 3/4-ü kərpic, qalanı taxtadır. Neçə kərpic ev var?

Verilmiş ədədin kəsirini tapmaqda qarşılaşmalı olduğumuz çoxsaylı problemlərdən bəziləri buradadır. Onlara adətən verilmiş ədədin kəsirini tapmaq problemləri deyilir.

Problemin həlli 1. 60 rubldan. 1/3-ni kitablara xərclədim; Beləliklə, kitabların qiymətini tapmaq üçün 60 rəqəmini 3-ə bölmək lazımdır:

Problemin həlli 2. Problemin mənası budur ki, 300 km-in 2/3 hissəsini tapmaq lazımdır. 300-ün ilk 1/3 hissəsini hesablayaq; buna 300 km-i 3-ə bölməklə nail olunur:

300: 3 = 100 (bu 300-dən 1/3-dir).

300-ün üçdə ikisini tapmaq üçün nəticədə alınan nisbəti ikiqat artırmalı, yəni 2-yə vurmalısınız:

100 x 2 = 200 (bu 300-dən 2/3-dir).

Problemin həlli 3. Burada 400-dən 3/4-ə bərabər olan kərpic evlərin sayını təyin etməlisiniz. 400-ün ilk 1/4 hissəsini tapaq,

400: 4 = 100 (bu 400-ün 1/4-üdür).

400-ün dörddə üçünü hesablamaq üçün nəticədə əmsal üçqat, yəni 3-ə vurulmalıdır:

100 x 3 = 300 (bu 400-ün 3/4-üdür).

Bu problemlərin həllinə əsaslanaraq aşağıdakı qaydanı əldə edə bilərik:

Verilmiş ədədin kəsirinin qiymətini tapmaq üçün bu ədədi kəsrin məxrəcinə bölmək və nəticədə əldə olunan hissəni onun payına vurmaq lazımdır.

3. Tam ədədin kəsrə vurulması.

Əvvəllər (§ 26) müəyyən edilmişdir ki, tam ədədlərin vurulması dedikdə, eyni şərtlərin (5 x 4 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20) əlavə edilməsi başa düşülməlidir. Bu paraqrafda (1-ci bənd) müəyyən edilmişdir ki, kəsri tam ədədə vurmaq bu kəsrə bərabər olan eyni şərtlərin cəmini tapmaq deməkdir.

Hər iki halda vurma eyni şərtlərin cəminin tapılmasından ibarət idi.

İndi biz tam ədədləri kəsrə vurmağa müraciət edirik. Burada, məsələn, vurma ilə qarşılaşacağıq: 9 2/3. Tamamilə aydındır ki, vurmanın əvvəlki tərifi bu vəziyyətə uyğun gəlmir. Bunu bir-birinə bərabər ədədləri əlavə etməklə belə vurmanı əvəz edə bilməyəcəyimizdən də görmək olar.

Bununla əlaqədar olaraq vurmanın yeni tərifini verməli olacağıq, yəni kəsrə vurmaqla nə başa düşülməlidir, bu hərəkət necə başa düşülməlidir sualına cavab verməli olacağıq.

Tam ədədi kəsrə vurmağın mənası aşağıdakı tərifdən aydınlaşdırılır: tam ədədi (vurğacı) kəsrə (çoxalmaya) vurmaq, çarpanın bu hissəsini tapmaq deməkdir.

Yəni, 9-u 2/3-ə vurmaq doqquz vahidin 2/3 hissəsini tapmaq deməkdir. Əvvəlki paraqrafda belə vəzifələr həll edildi; ona görə də başa düşmək asandır ki, biz 6 ilə yekunlaşacağıq.

Amma indi maraqlı və vacib sual yaranır: niyə bərabər ədədlərin cəmini tapmaq və ədədin kəsrini tapmaq kimi bir-birindən fərqli görünən hərəkətlər arifmetikada eyni “vurma” sözü ilə adlandırılır?

Bu, əvvəlki hərəkətin (ədədin bir neçə dəfə cəmləmə ilə təkrarlanması) və yeni hərəkətin (ədədin kəsirinin tapılması) homojen suallara cavab verməsi səbəbindən baş verir. Bu o deməkdir ki, biz burada homojen sualların və ya problemlərin eyni hərəkətlə həll edildiyi mülahizələrindən çıxış edirik.

Bunu başa düşmək üçün aşağıdakı problemi nəzərdən keçirək: “1 metr parça 50 rubla başa gəlir. Belə bir parçanın 4 m-i nə qədər olacaq?"

Bu problem rublun sayını (50) sayğacların sayına (4), yəni 50 x 4 = 200 (rubl) vurmaqla həll edilir.

Eyni məsələni götürək, amma onda parça miqdarı kəsr rəqəmi ilə ifadə olunacaq: “1 m parça 50 rubla başa gəlir. Belə bir parçanın 3/4 m-i neçəyə başa gələcək?"

Bu problemi də rublun sayını (50) sayğacların sayına (3/4) vurmaqla həll etmək lazımdır.

Məsələnin mənasını dəyişmədən, oradakı rəqəmləri dəyişdirmək mümkündür və daha bir neçə dəfə, məsələn, 9/10 m və ya 2 3/10 m və s.

Bu tapşırıqlar eyni məzmuna malik olduğundan və yalnız ədədlərlə fərqləndiyindən onları həll etmək üçün istifadə olunan hərəkətləri eyni sözlə - vurma adlandırırıq.

Tam ədədi kəsrə necə vurmaq olar?

Son problemdə rast gəlinən rəqəmləri götürək:

Tərifə görə 50-nin 3/4-ünü tapmalıyıq.Əvvəl 50-nin 1/4-ünü, sonra isə 3/4-ü tapırıq.

50 rəqəminin 1/4 hissəsi 50/4-dür;

50 rəqəminin 3/4 hissəsidir.

Beləliklə.

Başqa bir misala nəzər salaq: 12 5/8 =?

12-dən 1/8-i 12/8-dir,

12 rəqəminin 5/8 hissəsidir.

Beləliklə,

Buradan qaydanı alırıq:

Tam ədədi kəsrə vurmaq üçün tam ədədi kəsrin payına vurmaq və bu hasili paya çevirmək və bu kəsrin məxrəcini məxrəc kimi imzalamaq lazımdır.

Bu qaydanı hərflərdən istifadə edərək yazaq:

Bu qaydanı tamamilə aydınlaşdırmaq üçün bir kəsirə bir hissə kimi baxıla biləcəyini xatırlamaq lazımdır. Buna görə də, tapılan qaydanı § 38-də təqdim olunan ədədi bölməyə vurma qaydası ilə müqayisə etmək faydalıdır.

Yadda saxlamaq lazımdır ki, vurma etməzdən əvvəl (mümkünsə) etməlisiniz. azalmalar, Misal üçün:

4. Kəsirin kəsrə vurulması. Kəsri kəsrə vurmaq tam ədədi kəsrə vurmaqla eyni məna daşıyır, yəni kəsri kəsrə vurarkən birinci kəsirdən (vurma) amildəki kəsri tapmaq lazımdır.

Yəni 3/4-ü 1/2-yə (yarım) vurmaq 3/4-ün yarısını tapmaq deməkdir.

Kəsirin kəsrə vurulması necə aparılır?

Bir misal götürək: 3/4 çarpı 5/7. Bu o deməkdir ki, 3/4-ün 5/7 hissəsini tapmaq lazımdır. Əvvəlcə 3/4-ün 1/7 hissəsini, sonra isə 5/7-ni tapın

3/4-ün 1/7 hissəsi belə ifadə olunacaq:

3/4-ün 5/7 hissəsi belə ifadə olunacaq:

Bu cür,

Başqa bir misal: 5/8 dəfə 4/9.

5/8-in 1/9-u,

5/8 rəqəminin 4/9 hissəsidir.

Bu cür,

Bu nümunələri nəzərə alaraq, aşağıdakı qaydanı çıxarmaq olar:

Kəsiri kəsrə vurmaq üçün payı paya, məxrəci isə məxrəcə vurmalı və birinci hasilini hasilin payına, ikincisini isə məxrəcə çevirməlisən.

Ümumiyyətlə, bu qayda aşağıdakı kimi yazıla bilər:

Çoxaldıqda (mümkünsə) azalmalar etmək lazımdır. Bəzi nümunələri nəzərdən keçirək:

5. Qarışıq ədədlərin vurulması. Qarışıq ədədləri düzgün olmayan kəsrlərlə asanlıqla əvəz etmək mümkün olduğundan, bu hal adətən qarışıq ədədləri vurarkən istifadə olunur. Bu o deməkdir ki, çarpan və ya amil və ya hər iki amil qarışıq ədədlərlə ifadə edildikdə, onlar yanlış kəsrlərlə əvəz olunur. Məsələn, qarışıq ədədləri çoxaldaq: 2 1/2 və 3 1/5. Gəlin onların hər birini qeyri-müntəzəm kəsrə çevirək və sonra yaranan kəsrləri kəsri kəsrə vurma qaydasına uyğun olaraq vuracağıq:

Qayda. Qarışıq ədədləri çoxaltmaq üçün əvvəlcə onları düzgün olmayan kəsrlərə çevirməli, sonra isə kəsri kəsrə vurma qaydasına uyğun olaraq çoxaltmalısınız.

Qeyd.Əgər amillərdən biri tam ədəddirsə, onda vurma paylanma qanununa əsasən aşağıdakı kimi həyata keçirilə bilər:

6. Maraq anlayışı. Məsələləri həll edərkən və müxtəlif praktiki hesablamalar apararkən biz hər növ kəsrlərdən istifadə edirik. Ancaq nəzərə almaq lazımdır ki, bir çox kəmiyyət onlar üçün hər hansı bir deyil, təbii bölmələrə imkan verir. Məsələn, bir rublun yüzdə birini (1/100) götürə bilərsiniz, bir qəpik olacaq, iki yüzdə biri 2 qəpik, üç yüzdə biri - 3 qəpik. Rublun 1/10 hissəsini götürə bilərsiniz, "10 qəpik, ya da qəpik olacaq. Rublun dörddə birini, yəni 25 qəpik, yarım rubl, yəni 50 qəpik (əlli qəpik) ala bilərsiniz. Lakin onlar praktiki olaraq, məsələn, 2/7 rubl götürmürlər, çünki rubl yeddiyə bölünmür.

Çəki ölçü vahidi, yəni kiloqram, ilk növbədə onluq bölmələrə imkan verir, məsələn, 1/10 kq və ya 100 q.Və kiloqramın 1/6, 1/11, 1/13 kimi fraksiyaları. nadirdir.

Ümumiyyətlə, bizim (metrik) ölçülərimiz ondalıkdır və onluq bölmələrə imkan verir.

Bununla belə, qeyd etmək lazımdır ki, kəmiyyətləri bölmək üçün eyni (vahid) üsuldan istifadə etmək çox müxtəlif hallarda son dərəcə faydalı və rahatdır. Çoxillik təcrübə göstərdi ki, bu cür özünü doğrultmuş bölgü “yüzüncü” bölgüdür. İnsan təcrübəsinin müxtəlif sahələrindən bir neçə nümunəyə nəzər salın.

1. Kitabların qiyməti əvvəlki qiymətdən 12/100 ucuzlaşıb.

Misal. Kitabın əvvəlki qiyməti 10 rubl təşkil edir. 1 rubl ucuzlaşdı. 20 qəpik

2. Əmanət kassaları əmanətçilərə il ərzində əmanət üçün ayrılmış məbləğin 2/100 hissəsini ödəyir.

Misal. Kassirin 500 rublu var, il ərzində bu məbləğdən gəlir 10 rubl təşkil edir.

3. Bir məktəbin məzunlarının sayı ümumi şagirdlərin 5/100-ünü təşkil edirdi.

NÜMUNƏ Məktəbdə cəmi 1200 şagird təhsil alırdı, onlardan 60-ı məktəbi bitirib.

Ədədin yüzdə biri faiz adlanır..

“Faiz” sözü latın dilindən götürülmüşdür və onun kökü “cent” yüz deməkdir. Ön söz (pro centum) ilə birlikdə bu söz "yüzdən çox" mənasını verir. Bu ifadənin mənası ondan irəli gəlir ki, əvvəlcə qədim Romada faiz borclunun borc verənə “hər yüz üçün” ödədiyi pul adlanırdı. “Sent” sözü belə tanış sözlərdə eşidilir: sentner (yüz kiloqram), santimetr (sözdə santimetr).

Məsələn, zavodun son bir ayda bütün məhsullarının 1/100-ni hurda verib demək əvəzinə, belə deyəcəyik: zavod son bir ayda hurdanın bir faizini verib. Zavod müəyyən edilmiş plandan 4/100 çox məhsul istehsal etmək əvəzinə, deyəcəyik: zavod planı 4 faiz artıqlaması ilə yerinə yetirmişdir.

Yuxarıdakı nümunələr fərqli şəkildə ifadə edilə bilər:

1. Kitabların qiyməti əvvəlki qiymətdən 12 faiz ucuzlaşıb.

2. Əmanət kassaları əmanətçilərə əmanət üçün ayrılmış məbləğin ildə 2 faizini ödəyir.

3. Bir məktəbi bitirənlərin sayı məktəbdəki bütün şagirdlərin 5 faizini təşkil edirdi.

Hərfi qısaltmaq üçün “faiz” sözünün yerinə % simvolunun yazılması adətdir.

Bununla belə, yadda saxlamaq lazımdır ki, hesablamalarda % işarəsi adətən yazılmır, problemin ifadəsində və yekun nəticədə yazıla bilər. Hesablamalar apararkən bu işarəli tam ədəd əvəzinə məxrəci 100 olan kəsr yazmaq lazımdır.

Göstərilən işarə ilə tam ədədi məxrəci 100 olan kəsrlə əvəz edə bilməlisiniz:

Əksinə, məxrəci 100 olan kəsrin əvəzinə göstərilən işarə ilə tam ədəd yazmağa alışmalısınız:

7. Verilmiş ədədin faizini tapmaq.

Məqsəd 1. Məktəbə 200 kubmetr qaz verilib. m odun, ağcaqayın odunu 30% təşkil edir. Neçə ağcaqayın odunu var idi?

Bu problemin mənası ondan ibarətdir ki, ağcaqayın odunları məktəbə gətirilən odunların yalnız bir hissəsi idi və bu hissə 30/100 nisbətində bir hissə kimi ifadə edilir. Bu o deməkdir ki, bizim qarşımızda ədədin kəsirini tapmaq vəzifəsi durur. Onu həll etmək üçün 200-ü 30/100-ə vurmalıyıq (ədədin kəsirinin tapılması məsələləri ədədi kəsrə vurmaqla həll edilir.).

Bu o deməkdir ki, 200-ün 30%-i 60-a bərabərdir.

Bu problemdə rast gəlinən 30/100 kəsirini 10-a endirmək olar. Bu azalmanı əvvəldən etmək olardı; problemin həlli dəyişməzdi.

Məqsəd 2. Düşərgədə müxtəlif yaşlarda olan 300 uşaq var idi. 11 yaşlı uşaqlar 21%, 12 yaşlı uşaqlar 61% və nəhayət 13 yaşlı uşaqlar 18% təşkil edib. Düşərgədə hər yaşda neçə uşaq var idi?

Bu problemdə üç hesablama aparmalısınız, yəni ardıcıl olaraq 11 yaşında, sonra 12 yaşında və nəhayət 13 yaşında olan uşaqların sayını tapmalısınız.

Bu o deməkdir ki, burada üç dəfə ədədin kəsirini tapmaq lazımdır. Gəl edək:

1) 11 yaşında neçə uşaq var idi?

2) 12 yaşında neçə uşaq var idi?

3) 13 yaşında neçə uşaq var idi?

Problemi həll etdikdən sonra tapılan nömrələri əlavə etmək faydalıdır; onların cəmi 300 olmalıdır:

63 + 183 + 54 = 300

Problemin şərti ilə verilən faizlərin cəminin 100 olmasına da diqqət yetirməlisiniz:

21% + 61% + 18% = 100%

Bu, düşərgədəki uşaqların ümumi sayının 100% kimi götürüldüyünü deməyə əsas verir.

3 hal 3.İşçi ayda 1200 rubl alırdı. Bunun 65 faizini yeməyə, 6 faizini mənzilə və isitməyə, 4 faizini qaz, işıq və radioya, 10 faizini mədəni ehtiyaclara, 15 faizini isə qənaət edib. Tapşırıqda göstərilən ehtiyaclara nə qədər pul xərclənib?

Bu məsələni həll etmək üçün 1 200 ədədinin kəsrini 5 dəfə tapmaq lazımdır.Gəlin bunu edək.

1) Yemək üçün nə qədər pul xərcləndi? Problemdə deyilir ki, bu xərc ümumi qazancın 65%-ni, yəni 1200 rəqəminin 65/100-ünü təşkil edir. Gəlin hesablama aparaq:

2) İstilikli mənzilə nə qədər pul ödənilib? Əvvəlki kimi düşünərək, aşağıdakı hesablamaya gəlirik:

3) Qaz, işıq və radio üçün nə qədər pul ödəmisiniz?

4) Mədəni ehtiyaclara nə qədər pul xərclənib?

5) İşçi nə qədər pul yığdı?

Test etmək üçün bu 5 sualda olan rəqəmləri əlavə etmək faydalıdır. Məbləğ 1200 rubl olmalıdır. Bütün qazanclar 100% olaraq qəbul edilir, problem bəyanatında verilən faizləri əlavə etməklə yoxlamaq asandır.

Üç problemi həll etdik. Baxmayaraq ki, bu problemlər müxtəlif məsələlərdən (məktəb üçün odun daşınması, müxtəlif yaşlarda olan uşaqların sayı, fəhlə xərcləri) məşğul olurdu. Bu ona görə baş verdi ki, bütün məsələlərdə verilən rəqəmlərin bir neçə faizini tapmaq lazım idi.

§ 90. Kəsrlərin bölünməsi.

Kəsrlərin bölünməsini öyrənərkən aşağıdakı məsələləri nəzərdən keçirəcəyik:

1. Tam ədədin tam ədədə bölünməsi.
2. Kəsrin tam ədədə bölünməsi
3. Tam ədədin kəsrə bölünməsi.
4. Kəsirin kəsrə bölünməsi.
5. Qarışıq ədədlərin bölünməsi.
6. Verilmiş kəsr üçün ədədin tapılması.
7. Ədədin faizinə görə tapılması.

Onları ardıcıl olaraq nəzərdən keçirək.

1. Tam ədədin tam ədədə bölünməsi.

Tam ədədlər bölməsində göstərildiyi kimi, bölmə iki amilin (bölünən) və bu amillərdən birinin (bölən) hasilinə görə başqa bir amilin tapılmasından ibarət hərəkətdir.

Tam ədədin tam ədədə bölünməsinə tam ədədlər bölməsində baxdıq. Biz orada iki bölgü halı ilə qarşılaşdıq: qalıqsız bölmə və ya "bütünlüklə" (150: 10 = 15) və qalıqla bölmə (100: 9 = 11 və qalıqda 1). Buna görə də deyə bilərik ki, tam ədədlər sahəsində dəqiq bölmə həmişə mümkün olmur, çünki dividend həmişə bölənin tam ədədə hasili olmur. Kəsrə vurma tətbiq edildikdən sonra tam ədədlərin bölünməsinin istənilən halını mümkün hesab edə bilərik (yalnız sıfıra bölmə istisna olunur).

Məsələn, 7-ni 12-yə bölmək hasili 12-yə bərabər olan ədədi tapmaq deməkdir. Bu rəqəm 7/12-dir, çünki 7/12 12 = 7-dir. Başqa bir misal: 14:25 = 14/25, çünki 14/25 25 = 14.

Beləliklə, tam ədədi tam ədədə bölmək üçün payı dividend, məxrəci isə bölən olan kəsr tərtib etməlisiniz.

2. Kəsrin tam ədədə bölünməsi.

6/7 kəsrini 3-ə bölün. Bölmənin yuxarıda verilmiş tərifinə əsasən, burada hasil (6/7) və amillərdən biri (3) var; belə ikinci amili tapmaq tələb olunur ki, 3-ə vurmaqdan verilmiş məhsul 6/7 verəcək. Aydındır ki, bu parçadan üç dəfə az olmalıdır. Bu o deməkdir ki, qarşımızda duran vəzifə 6/7 kəsri 3 dəfə azaltmaq idi.

Biz artıq bilirik ki, kəsri azaltmaq ya onun payını azaltmaqla, ya da məxrəci artırmaqla həyata keçirilə bilər. Buna görə də yaza bilərsiniz:

Bu halda, 6-nın payı 3-ə bölünür, ona görə də payı 3 dəfə azaltmaq lazımdır.

Başqa bir misal götürək: 5/8-i 2-yə bölün. Burada 5-in payı 2-yə bərabər bölünmür, ona görə də məxrəci bu ədədə vurmalısınız:

Buna əsaslanaraq bir qayda tərtib edə bilərik: kəsri tam ədədə bölmək üçün kəsrin payını bu tam ədədə bölmək lazımdır.(Əgər mümkünsə), eyni məxrəci tərk edərək və ya kəsrin məxrəcini bu ədədə vuraraq eyni payı qoyub.

3. Tam ədədin kəsrə bölünməsi.

Tutaq ki, 5-i 1/2-ə bölmək lazımdır, yəni 1/2-yə vurduqdan sonra hasili 5 verəcək ədədi tapmaq lazımdır. Aydındır ki, bu rəqəm 5-dən çox olmalıdır, çünki 1/2 nizamlıdır. kəsr və adi bir kəsr üçün ədədi vurarkən məhsul vurula biləndən az olmalıdır. Daha aydın olması üçün hərəkətlərimizi belə yazaq: 5: 1/2 = X , belə ki, x 1/2 = 5.

Belə bir rəqəm tapmalıyıq X , bu, 1/2-yə vurulsa, 5 verəcəkdir. Bəzi ədədi 1/2-yə vurduqda - bu, bu ədədin 1/2-ni tapmaq deməkdir, deməli, naməlum ədədin 1/2-ni tapmaq deməkdir. X 5-ə və tam ədədə bərabərdir X iki dəfə çox, yəni 5 2 = 10.

Beləliklə, 5: 1/2 = 5 2 = 10

yoxlayaq:

Başqa bir misal götürək. Tutaq ki, siz 6-nı 2/3-ə bölmək istəyirsiniz. Əvvəlcə rəsmdən istifadə edərək istədiyiniz nəticəni tapmağa çalışaq (şək. 19).

Şəkil 19

Bəzi 6 vahidə bərabər olan AB seqmentini çəkək və hər bir vahidi 3 bərabər hissəyə bölək. Hər bir vahiddə, bütün AB seqmentində üçdə üç (3/3) 6 dəfə çoxdur, yəni. e. 18/3. Kiçik mötərizələrin köməyi ilə 18 əldə edilən 2 seqmenti birləşdiririk; yalnız 9 seqment olacaq. Bu o deməkdir ki, 2/3 kəsir 9 dəfə 6 vahiddə olur, ya da başqa sözlə, 2/3 kəsir 6 tam vahiddən 9 dəfə azdır. Beləliklə,

Yalnız hesablamalardan istifadə edərək plansız bu nəticəni necə əldə edə bilərsiniz? Aşağıdakı kimi mübahisə edəcəyik: 6-nı 2/3-ə bölmək tələb olunur, yəni 6-da 2/3 neçə dəfə var sualına cavab vermək tələb olunur. Əvvəlcə öyrənək: 1/3 neçə dəfədir 6-da var? Tam vahiddə - üçdə 3, 6 vahiddə isə 6 dəfə çox, yəni üçdə 18; bu rəqəmi tapmaq üçün 6-nı 3-ə vurmalıyıq. Bu o deməkdir ki, 1/3 6 vahiddə 18 dəfə, 2/3 isə 6-da 18 dəfə deyil, yarısı qədər, yəni 18: 2-də olur. = 9. Buna görə də 6-nı 2/3-ə bölərkən aşağıdakıları etdik:

Buradan tam ədədi kəsrə bölmə qaydasını alırıq. Tam ədədi kəsrə bölmək üçün bu tam ədədi verilmiş kəsrin məxrəcinə vurmalı və bu hasili saya çevirərək onu verilmiş kəsrin payına bölmək lazımdır.

Hərflərdən istifadə edərək qaydanı yazaq:

Bu qaydanı tamamilə aydınlaşdırmaq üçün bir kəsirə bir hissə kimi baxıla biləcəyini xatırlamaq lazımdır. Buna görə də, tapılan qaydanı § 38-də təqdim olunan ədədi hissəyə bölmək qaydası ilə müqayisə etmək faydalıdır. Qeyd edək ki, orada da eyni düstur alınıb.

Bölmə zamanı ixtisarlar mümkündür, məsələn:

4. Kəsirin kəsrə bölünməsi.

Tutaq ki, siz 3/4-ü 3/8-ə bölmək istəyirsiniz. Bölmənin nəticəsi nə qədər olacaq? 3/8 kəsrinin 3/4 kəsrində neçə dəfə olması sualına cavab verəcəkdir. Bu məsələni başa düşmək üçün bir rəsm çəkək (şək. 20).

AB seqmentini götürün, vahid kimi götürün, 4 bərabər hissəyə bölün və 3 belə hissəni qeyd edin. AC seqmenti AB seqmentinin 3/4 hissəsinə bərabər olacaq. İndi dörd ilkin seqmentin hər birini yarıya bölək, onda AB seqmenti 8 bərabər hissəyə bölünəcək və hər belə hissə AB seqmentinin 1/8 hissəsinə bərabər olacaqdır. 3 belə seqmenti qövslərlə birləşdirək, onda AD və DC seqmentlərinin hər biri AB seqmentinin 3/8 hissəsinə bərabər olacaqdır. Rəsm göstərir ki, 3/8-ə bərabər olan seqment 3/4-ə bərabər olan seqmentdə tam olaraq 2 dəfə yer alır; deməli, bölmənin nəticəsi aşağıdakı kimi yazıla bilər:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Başqa bir misal götürək. 15/16-nı 3/32-ə bölək:

Bunu belə əsaslandıra bilərik: 3/32-yə vurduqdan sonra 15/16-ya bərabər məhsul verəcək bir ədəd tapmaq lazımdır. Hesablamaları belə yazaq:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 naməlum nömrə X 15/16-dır

Naməlum nömrənin 1/32-si X edir,

32/32 nömrələri X makiyaj etmək.

Beləliklə,

Beləliklə, kəsri kəsrə bölmək üçün birinci kəsrin payını ikincinin məxrəcinə vurmaq, birinci kəsrin məxrəcini ikincinin payına vurmaq və birinci hasili pay etmək lazımdır, ikincisi, məxrəc.

Hərflərdən istifadə edərək qaydanı yazaq:

Bölmə zamanı ixtisarlar mümkündür, məsələn:

5. Qarışıq ədədlərin bölünməsi.

Qarışıq ədədləri bölərkən əvvəlcə onları düzgün olmayan kəsrlərə çevirmək, sonra isə yaranan kəsrləri kəsr ədədlərinin bölünmə qaydalarına uyğun bölmək lazımdır. Məsələni nəzərdən keçirək:

Qarışıq ədədləri düzgün olmayan kəsrlərə çevirək:

İndi bölünək:

Beləliklə, qarışıq ədədləri bölmək üçün onları düzgün olmayan kəsrlərə çevirmək və sonra kəsrlərin bölünməsi qaydası ilə bölmək lazımdır.

6. Verilmiş kəsr üçün ədədin tapılması.

Kəsrə aid müxtəlif məsələlər arasında bəzən elələri də olur ki, orada naməlum ədədin hansısa kəsrinin qiyməti verilir və bu ədədi tapmaq tələb olunur. Bu tip məsələ verilmiş ədədin kəsirinin tapılması məsələsinə münasibətdə tərs olacaq; orada bir ədəd verilmişdi və bu ədədin müəyyən hissəsini tapmaq tələb olunurdu, burada ədədin bir hissəsi verilir və bu ədədin özünü tapmaq tələb olunur. Bu tip problemlərin həllinə müraciət etsək, bu fikir daha da aydınlaşacaq.

Məqsəd 1.İlk gün şüşəçilər 50 pəncərəni şüşələyiblər ki, bu da tikilmiş evdəki bütün pəncərələrin 1/3 hissəsidir. Bu evdə neçə pəncərə var?

Həll. Problem deyir ki, 50 şüşəli pəncərə evdəki bütün pəncərələrin 1/3-ni təşkil edir, yəni cəmi 3 dəfə daha çox pəncərə var, yəni.

Evin 150 pəncərəsi var idi.

Məqsəd 2. Mağazada 1500 kq un satılıb ki, bu da mağazanın ümumi un ehtiyatının 3/8-ni təşkil edir. Mağazanın orijinal un ehtiyatı nə idi?

Həll. Problem bəyanatından görünür ki, satılan 1500 kq un ümumi ehtiyatın 3/8-ni təşkil edir; Bu o deməkdir ki, bu ehtiyatın 1/8 hissəsi 3 dəfə az olacaq, yəni onu hesablamaq üçün 1500-ü 3 dəfə azaltmaq lazımdır:

1500: 3 = 500 (bu, səhmin 1/8 hissəsidir).

Aydındır ki, bütün ehtiyat 8 dəfə çox olacaq. Beləliklə,

500 8 = 4000 (kq).

Mağazada orijinal un anbarı 4000 kq idi.

Bu problemi nəzərdən keçirərək aşağıdakı qaydanı çıxarmaq olar.

Onun kəsrinin verilmiş qiyməti üçün ədəd tapmaq üçün bu dəyəri kəsrin payına bölmək və nəticəni kəsrin məxrəcinə vurmaq kifayətdir.

Verilmiş kəsrdən ədəd tapmaq üçün iki məsələni həll etdik. Bu cür problemlər, xüsusilə sonuncudan aydın göründüyü kimi, iki hərəkətlə həll olunur: bölmə (bir hissə tapıldıqda) və vurma (bütün ədəd tapıldıqda).

Bununla belə, kəsrlərin bölünməsini öyrəndikdən sonra yuxarıda göstərilən problemləri bir hərəkətlə həll etmək olar, yəni: kəsrə bölmə.

Məsələn, son tapşırıq belə bir addımda həll edilə bilər:

Gələcəkdə biz bir hərəkətdə - bölmədə bir ədədi kəsrinə görə tapmaq məsələsini həll edəcəyik.

7. Ədədin faizinə görə tapılması.

Bu tapşırıqlarda siz bu rəqəmin bir neçə faizini bilməklə bir nömrə tapmalısınız.

Məqsəd 1. Bu ilin əvvəlində bir əmanət bankından 60 rubl aldım. bir il əvvəl əmanətlərə qoyduğum məbləğdən gəlir. Mən əmanət kassasına nə qədər pul qoymuşdum? (Kassalar əmanətçilərə ildə 2% gəlir verir.)

Problemin mənası odur ki, mənim tərəfimdən əmanət kassasına müəyyən məbləğ qoyulub və bir il orada qalıb. Bir ildən sonra mən ondan 60 rubl aldım. gəlir, bu da qoyduğum pulun 2/100 hissəsidir. Mən nə qədər pul qoymuşdum?

Buna görə də, bu pulun iki şəkildə (rubl və fraksiya ilə) ifadə olunan bir hissəsini bilməklə, indiyə qədər bilinməyən bütün məbləği tapmalıyıq. Bu verilmiş kəsrdən ədəd tapmaq üçün adi bir işdir. Bölmə yolu ilə aşağıdakı vəzifələr həll olunur:

Bu o deməkdir ki, əmanət kassasına 3000 rubl qoyulub.

Məqsəd 2. Balıqçılar iki həftədə 512 ton balıq yığaraq aylıq planı 64 faiz yerinə yetirmişlər. Onların planı nə idi?

Problem açıqlamasından məlum olur ki, balıqçılar planın bir hissəsini yerinə yetiriblər. Bu hissə 512 tona bərabərdir ki, bu da planın 64 faizini təşkil edir. Plana görə neçə ton balıq hazırlamaq lazım olduğunu bilmirik. Bu nömrəni tapmaq problemin həlli olacaq.

Bu cür vəzifələr bölmək yolu ilə həll olunur:

Bu o deməkdir ki, plana görə 800 ton balıq hazırlamaq lazımdır.

Məqsəd 3. Qatar Riqadan Moskvaya gedib. 276-cı kilometri keçəndə sərnişinlərdən biri yoldan keçən konduktordan artıq yolun hansı hissəsini keçdiklərini soruşub. Buna konduktor belə cavab verdi: “Biz artıq bütün marşrutun 30%-ni əhatə etmişik”. Riqa şəhəri Moskva şəhərindən hansı məsafədə yerləşir?

Problem bəyanatından görünür ki, Riqadan Moskvaya marşrutun 30%-i 276 km-dir. Bu şəhərlər arasındakı bütün məsafəni, yəni müəyyən bir hissə üçün tamı tapmalıyıq:

§ 91. Qarşılıqlı qarşılıqlı ədədlər. Bölməni vurma ilə əvəz etmək.

2/3 kəsri götürün və payı məxrəcə köçürün, beləliklə 3/2 alırsınız. Bu kəsrin tərsini aldıq.

Verilmiş kəsrin tərsini almaq üçün onun payını məxrəc yerinə, məxrəci isə pay yerinə qoymaq lazımdır. Bu yolla istənilən kəsrin qarşılığını ala bilərik. Məsələn:

3/4, tərs 4/3; 5/6, tərs 6/5

Birincinin payının ikincinin məxrəci, birincinin məxrəcinin isə ikincinin payı olması xüsusiyyətinə malik iki kəsr adlanır. qarşılıqlı tərs.

İndi düşünək ki, hansı kəsr 1/2-nin tərsi olacaq. Aydındır ki, 2/1 və ya sadəcə 2 olacaq. Verilmiş kəsrin tərsini axtararaq, tam ədədi əldə etdik. Və bu iş tək deyil; əksinə, say 1 (bir) olan bütün kəsrlər üçün tam ədədlər tərs olacaq, məsələn:

1/3, tərs 3; 1/5, tərs 5

Qarşılıqlı kəsrləri axtararkən tam ədədlərlə də rastlaşdığımız üçün sonrakı hissədə qarşılıqlı kəsrlərdən deyil, əks ədədlərdən danışacağıq.

Tam ədədin əksini necə yazacağımızı anlayaq. Kəsrlər üçün bu, sadəcə olaraq həll edilə bilər: məxrəci payın yerinə qoymaq lazımdır. Eyni şəkildə, siz tam ədəd üçün əksi əldə edə bilərsiniz, çünki istənilən tam ədədin məxrəci 1 ola bilər. Beləliklə, 7-nin əksi 1/7 olacaq, çünki 7 = 7/1; 10 rəqəmi üçün tərs 1/10 olacaq, çünki 10 = 10/1

Bu fikri başqa cür də ifadə etmək olar: verilmiş ədədin tərsi birini verilmiş ədədə bölmək yolu ilə alınır... Bu ifadə təkcə tam ədədlər üçün deyil, həm də kəsrlər üçün də doğrudur. Həqiqətən də, 5/9 kəsirinin əksini yazmaq istəsək, onda 1-i götürüb 5/9-a bölmək olar, yəni.

İndi birini qeyd edək əmlak bizim üçün faydalı olacaq qarşılıqlı nömrələr: qarşılıqlı qarşılıqlı ədədlərin hasili birə bərabərdir. Həqiqətən:

Bu xassədən istifadə edərək, aşağıdakı şəkildə qarşılıqları tapa bilərik. Tutaq ki, 8-in tərsini tapmaq lazımdır.

Onu hərflə işarə edək X , sonra 8 X = 1, deməli X = 1/8. Başqa bir ədəd tapaq, 7/12-nin tərsi, onu hərflə işarə edək X , sonra 7/12 X = 1, deməli X = 1: 7/12 və ya X = 12 / 7 .

Biz burada kəsrlərin bölünməsi ilə bağlı məlumatları bir qədər əlavə etmək üçün qarşılıqlı əks ədədlər anlayışını təqdim etdik.

6 ədədini 3/5-ə böldükdə aşağıdakıları edirik:

İfadəyə çox diqqət yetirin və onu verilmiş ifadə ilə müqayisə edin:.

Əgər ifadəni əvvəlki ilə əlaqəsi olmadan ayrıca götürsək, onun haradan gəldiyi sualını həll etmək mümkün deyil: 6-nı 3/5-ə bölmək və ya 6-nı 5/3-ə vurmaqla. Hər iki halda nəticə eynidir. Beləliklə, deyə bilərik ki, bir ədədi digərinə bölmək dividentləri bölənin əksinə vurmaqla əvəz edilə bilər.

Aşağıda verdiyimiz misallar bu qənaəti tam təsdiq edir.

Tam ədədləri ehtiva edən kəsrlərlə hərəkətlərə daha yaxından nəzər salaq:

Məxrəclərin fərqli olduğu ifadənin mənasını necə tapmaq olar

Eyni məxrəcləri olan kəsrləri necə çıxarmaq olar

Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin çıxılması nümunələri

Eyni məxrəcli kəsrlərin əlavə edilməsi

Fərqli məxrəcli kəsrlər və onların çıxılması

Fraksiya xüsusiyyəti

Çoxsaylı fraksiyaları eyni məxrəcə necə çevirmək olar

Fərqli məxrəcləri olan kəsrləri necə çıxarmaq və toplamaq olar

Çıxarma və tam hissələrin olması

Tam ədəddən kəsrlərin çıxarılması

Redaktor seçimi