Pifaqor teoreminin sübutunun müxtəlif yolları. Pifaqor teoremi haqqında maraqlı faktlar: məşhur teorem haqqında yeni şeylər öyrənin

(Berlin muzeyinin 6619 papirusuna görə). Kantorun fikrincə, harpedonaptlar və ya "ip dartıcılar" tərəfləri 3, 4 və 5 olan düzbucaqlı üçbucaqlardan istifadə edərək düzgün bucaqlar düzəldirdilər.

Onların tikinti üsulunu təkrarlamaq çox asandır. 12 m uzunluğunda bir ip götürün və bir ucundan 3 m, digərindən 4 metr məsafədə rəngli bir zolaq boyunca ona bağlayın. Düzgün bucaq 3 və 4 metr uzunluğunda tərəflər arasında bağlanacaq. Harpedonaptlar iddia edə bilərlər ki, məsələn, bütün dülgərlərin istifadə etdiyi taxta kvadratdan istifadə etsək, onların tikinti metodu lazımsız olur. Həqiqətən, belə bir alətin tapıldığı məlum Misir rəsmləri var, məsələn, dülgərlik atelyesini təsvir edən rəsmlər.

Babil Pifaqor teoremi haqqında bir qədər daha çox şey məlumdur. Hammurabi dövrünə, yəni eramızdan əvvəl 2000-ci ilə aid bir mətndə. e. , düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzasının təxmini hesablanması verilmişdir. Buradan belə nəticəyə gəlmək olar ki, Mesopotamiyada ən azı bəzi hallarda düzbucaqlı üçbucaqlarla hesablama aparmağı bilirdilər. Bir tərəfdən Misir və Babil riyaziyyatı ilə bağlı mövcud bilik səviyyəsinə, digər tərəfdən isə yunan mənbələrinin tənqidi tədqiqinə əsaslanaraq Van der Vaerden (Hollandiya riyaziyyatçısı) belə bir nəticəyə gəldi ki, riyaziyyat haqqında teorem böyük ehtimala malikdir. hipotenuzanın kvadratı eramızdan əvvəl 18-ci əsrdə Hindistanda məlum idi. e.

Təxminən eramızdan əvvəl 400-cü il. e., Proclusa görə, Platon cəbr və həndəsəni birləşdirən Pifaqor üçlüyü tapmaq üçün bir üsul verdi. Təxminən eramızdan əvvəl 300-cü il. e. Pifaqor teoreminin ən qədim aksiomatik sübutu Evklidin “Elementlər” əsərində ortaya çıxdı.

Sözlər

Həndəsi formalaşdırma:

Əvvəlcə teorem aşağıdakı kimi tərtib edilmişdir:

Cəbri düstur:

Yəni, keçən üçbucağın hipotenuzasının uzunluğunu və keçən ayaqların uzunluğunu və:

Teoremin hər iki ifadəsi ekvivalentdir, lakin ikinci müddəa daha elementardır, bunun üçün sahə anlayışı tələb olunmur. Yəni, ikinci ifadəni sahə haqqında heç nə bilmədən və düzbucaqlı üçbucağın yalnız tərəflərinin uzunluqlarını ölçmədən yoxlamaq olar.

Əks Pifaqor teoremi:

Sübut

Hazırda elmi ədəbiyyatda bu teoremin 367 sübutu qeydə alınıb. Yəqin ki, Pifaqor teoremi belə təsir edici sayda sübuta malik yeganə teoremdir. Bu müxtəlifliyi yalnız həndəsə üçün teoremin əsas mənası ilə izah etmək olar.

Əlbəttə ki, konseptual olaraq onların hamısını az sayda siniflərə bölmək olar. Onlardan ən məşhurları: sahə üsulu ilə sübutlar, aksiomatik və ekzotik sübutlar (məsələn, diferensial tənliklərdən istifadə etməklə).

Bənzər üçbucaqlar vasitəsilə

Cəbri tərtibin aşağıdakı sübutu bilavasitə aksiomalardan qurulmuş sübutların ən sadəsidir. Xüsusilə, fiqurun sahəsi anlayışından istifadə etmir.

Qoy ABC düz bucaqlı düzbucaqlı üçbucaq var C... Gəlin hündürlüyü ondan çəkək C və onun əsasını ilə işarələyin H... Üçbucaq ACHüçbucaq kimi ABC iki küncdə. Eynilə, üçbucaq CBH oxşardır ABC... Qeydin təqdimatı

alırıq

Ekvivalenti nədir

Əlavə edərək, alırıq

Sahələrin sübutu

Aşağıdakı sübutlar, görünən sadəliklərinə baxmayaraq, heç də o qədər də sadə deyil. Onların hamısı sahənin xüsusiyyətlərindən istifadə edir, bunun sübutu Pifaqor teoreminin özünün sübutundan daha çətindir.

Bərabər tamamlayıcı sübut

1. Şəkil 1-də göstərildiyi kimi dörd bərabər düzbucaqlı üçbucaq qoyun.
2. Yanları olan dördbucaqlı c kvadratdır, çünki iki iti bucağın cəmi 90 °, açılmamış bucaq isə 180 °-dir.
3. Bütün fiqurun sahəsi, bir tərəfdən tərəfləri (a + b) olan kvadratın sahəsi, digər tərəfdən isə dörd üçbucağın sahələrinin cəmidir. daxili kvadrat.

Q.E.D.

Evklidin sübutu

Evklidin sübutunun arxasında duran fikir belədir: hipotenuza üzərində qurulmuş kvadratın sahəsinin yarısının ayaqlar üzərində qurulmuş kvadratların sahələrinin yarısının cəminə, sonra isə sahələrin cəminə bərabər olduğunu sübut etməyə çalışaq. böyük və iki kiçik kvadrat bərabərdir.

Soldakı rəsmə nəzər salın. Onun üzərində düzbucaqlı üçbucağın tərəflərində kvadratlar qurduq və AB hipotenuzasına perpendikulyar olan C düzgün bucağının təpəsindən s şüası çəkdik, o, hipotenuza üzərində qurulmuş ABİK kvadratını iki düzbucaqlıya - BHJI-yə kəsir. və HAKJ. Belə çıxır ki, bu düzbucaqlıların sahələri uyğun ayaqlar üzərində qurulmuş kvadratların sahələrinə tam bərabərdir.

DECA kvadratının sahəsinin AHJK düzbucağının sahəsinə bərabər olduğunu sübut etməyə çalışaq Bunun üçün köməkçi müşahidədən istifadə edək: Bu düzbucaqlı ilə eyni hündürlüyü və əsası olan üçbucağın sahəsi verilmiş düzbucaqlının sahəsinin yarısına bərabərdir. Bu, üçbucağın sahəsinin baza və hündürlüyün məhsulunun yarısı kimi təyin edilməsinin nəticəsidir. Bu müşahidədən belə çıxır ki, ACK üçbucağının sahəsi AHK üçbucağının sahəsinə bərabərdir (şəkildə göstərilmir), bu da öz növbəsində AHJK düzbucaqlının sahəsinin yarısına bərabərdir. .

İndi sübut edək ki, ACK üçbucağının sahəsi də DECA kvadratının sahəsinin yarısına bərabərdir. Bunun üçün edilməli olan yeganə şey ACK və BDA üçbucaqlarının bərabərliyini sübut etməkdir (çünki BDA üçbucağının sahəsi yuxarıdakı xüsusiyyətə görə kvadratın sahəsinin yarısına bərabərdir). Bərabərlik göz qabağındadır: üçbucaqlar iki tərəfdən bərabərdir və aralarındakı bucaq. Məhz - AB = AK, AD = AC - CAK və BAD bucaqlarının bərabərliyini hərəkət üsulu ilə sübut etmək asandır: biz CAK üçbucağını saat əqrəbinin əksinə 90 ° döndəririk, onda iki üçbucağın müvafiq tərəflərinin altında olduğu aydın olur. baxılması üst-üstə düşəcək (çünki kvadratın zirvəsindəki bucaq 90 °-dir).

BCFG kvadratının və BHJI düzbucağının sahələrinin bərabərliyi haqqında əsaslandırma tamamilə analojidir.

Beləliklə, hipotenuza üzərində qurulmuş kvadratın sahəsinin ayaqlar üzərində qurulmuş kvadratların sahələrinin cəmi olduğunu sübut etdik. Bu sübutun arxasındakı fikir yuxarıdakı animasiya ilə daha da təsvir edilmişdir.

Leonardo da Vinçinin sübutu

Sübutun əsas elementləri simmetriya və hərəkətdir.

Rəsmi nəzərdən keçirin, simmetriyadan göründüyü kimi, seqment kvadratı iki eyni hissəyə kəsir (çünki üçbucaqlar və tikinti bərabərdir).

Bir nöqtə ətrafında saat əqrəbinin əksinə 90 dərəcə fırlanaraq, kölgələnmiş rəqəmlərin və bərabər olduğunu görürük.

İndi aydın oldu ki, kölgəli fiqurun sahəsi kiçik kvadratların (ayaqlar üzərində qurulmuş) sahələrinin yarısının cəminə və orijinal üçbucağın sahəsinə bərabərdir. Digər tərəfdən, bu, böyük kvadratın (hipotenuza üzərində qurulmuş) sahəsinin yarısına və orijinal üçbucağın sahəsinə bərabərdir. Beləliklə, kiçik kvadratların sahələrinin cəminin yarısı böyük kvadratın sahəsinin yarısına bərabərdir və buna görə də ayaqları üzərində qurulmuş kvadratların sahələrinin cəmi kvadratın sahəsinə bərabərdir. hipotenuza üzərində qurulur.

Sonsuz kiçik metodu ilə sübut

Diferensial tənliklərdən istifadə edərək aşağıdakı sübut çox vaxt 20-ci əsrin birinci yarısında yaşamış məşhur ingilis riyaziyyatçısı Hardiyə aid edilir.

Şəkildə göstərilən rəsmə baxmaq və tərəfin dəyişməsini müşahidə etmək a, tərəflərin sonsuz kiçik artımları üçün aşağıdakı əlaqəni yaza bilərik ilə və a(üçbucaqların oxşarlığından istifadə etməklə):

Dəyişənləri ayırma metodundan istifadə edərək tapırıq

Hər iki ayağın artımı halında hipotenuzun dəyişdirilməsi üçün daha ümumi ifadə

Bu tənliyi inteqral edərək və ilkin şərtlərdən istifadə edərək əldə edirik

Beləliklə, istədiyimiz cavaba çatırıq

Gördüyünüz kimi, son düsturdakı kvadratik asılılıq üçbucağın tərəfləri və artımlar arasındakı xətti mütənasibliyə görə görünür, cəmi isə müxtəlif ayaqların artımlarından müstəqil töhfələrlə əlaqələndirilir.

Ayaqlardan birinin artım (bu vəziyyətdə ayaq) olmadığını fərz etsək, daha sadə bir sübut əldə edilə bilər. Sonra inteqrasiya sabiti üçün əldə edirik

Variasiya və ümumiləşdirmələr

Üç tərəfdən oxşar həndəsi fiqurlar

Bənzər üçbucaqlar üçün ümumiləşdirmə, yaşıl formaların sahəsi A + B = mavi C sahəsi

Bənzər düzbucaqlı üçbucaqlardan istifadə edən Pifaqor teoremi

Pifaqor teoreminin ümumiləşdirilməsi Evklid tərəfindən öz işində edilmişdir Başlanğıclar, yanlardakı kvadratların sahələrini oxşar həndəsi formaların sahələrinə genişləndirmək:

Düzbucaqlı üçbucağın tərəflərində oxşar həndəsi formalar (bax Evklid həndəsəsi) qurursanız, iki kiçik fiqurun cəmi daha böyük fiqurun sahəsinə bərabər olacaqdır.

Bu ümumiləşdirmənin əsas ideyası ondan ibarətdir ki, belə bir həndəsi fiqurun sahəsi onun istənilən xətti ölçülərinin kvadratına, xüsusən də hər hansı tərəfin uzunluğunun kvadratına mütənasibdir. Buna görə də, sahələri olan oxşar rəqəmlər üçün A, B və C uzunluğu ilə yanlarda tikilir a, b və c, bizdə:

Lakin Pifaqor teoreminə görə a 2 + b 2 = c 2, onda A + B = C.

Əksinə, əgər bunu sübut edə bilsək A + B = C Pifaqor teoremindən istifadə etmədən üç oxşar həndəsi fiqur üçün, əks istiqamətdə hərəkət edərək teoremin özünü sübut edə bilərik. Məsələn, başlanğıc mərkəzi üçbucaq üçbucaq kimi təkrar istifadə edilə bilər C hipotenuzda və iki oxşar düzbucaqlı üçbucaq ( A və B), mərkəzi üçbucağın hündürlüyünə bölünməsi nəticəsində yaranan digər iki tərəfdə tikilmişdir. Üçbucaqların iki kiçik sahəsinin cəmi üçüncünün sahəsinə bərabərdir, beləliklə A + B = C və əvvəlki sübutları tərs qaydada yerinə yetirərək, a 2 + b 2 = c 2 Pifaqor teoremini əldə edirik.

Kosinus teoremi

Pifaqor teoremi ixtiyari üçbucaqda tərəflərin uzunluqlarını əlaqələndirən daha ümumi kosinus teoreminin xüsusi halıdır:

burada θ tərəflər arasındakı bucaqdır a və b.

Əgər θ 90 dərəcədirsə, cos θ = 0 və düstur adi Pifaqor teoreminə qədər sadələşdirilir.

İxtiyari üçbucaq

Tərəfləri olan ixtiyari üçbucağın istənilən seçilmiş küncünə a, b, c biz ikitərəfli üçbucağı elə yazacağıq ki, onun əsasında θ bərabər bucaqlar seçilmiş bucağa bərabər olsun. Tutaq ki, seçilmiş θ bucaq işarələnmiş tərəfin əksinədir c... Nəticədə yan tərəfə qarşı yerləşən θ bucağı olan ABD üçbucağı əldə etdik a və partiyalar r... İkinci üçbucaq tərəfə qarşı olan θ bucağı ilə əmələ gəlir b və partiyalar ilə Uzunluq s, şəkildə göstərildiyi kimi. Sabit İbn Qurra bu üç üçbucağın tərəflərinin aşağıdakı kimi bir-birinə bağlı olduğunu müdafiə etdi:

θ bucağı π / 2-yə yaxınlaşdıqca, ikitərəfli üçbucağın əsası azalır və hər iki tərəf r ​​və s daha az üst-üstə düşür. θ = π / 2 olduqda, AİB düzbucaqlı üçbucaq olur, r + s = c və biz ilkin Pifaqor teoremini alırıq.

Səbəblərdən birini nəzərdən keçirək. ABC üçbucağı ABD üçbucağı ilə eyni açılara malikdir, lakin tərs qaydada. (İki üçbucağın B təpəsində ümumi bucağı var, hər ikisinin θ bucağı var və həmçinin üçbucağın bucaqlarının cəminə görə eyni üçüncü bucağa malikdir.) Müvafiq olaraq, ABC DBA üçbucağının ABD əks olunmasına bənzəyir, aşağı şəkildə göstərildiyi kimi. Qarşı tərəflər ilə θ bucağına bitişik nisbəti yazaq,

Həmçinin başqa bir üçbucağın əksi,

Gəlin kəsrləri çoxaldaq və bu iki nisbəti əlavə edək:

Q.E.D.

Paraleloqramlar vasitəsilə ixtiyari üçbucaqlar üçün ümumiləşdirmə

İxtiyari üçbucaqlar üçün ümumiləşdirmə,
yaşıllıq sahəsi sahə = sahə mavi

Yuxarıdakı şəkildəki tezisin sübutu

Kvadrat əvəzinə üç tərəfdən paraleloqramlardan istifadə edərək düzbucaqlı olmayan üçbucaqları daha da ümumiləşdirək. (kvadratlar xüsusi haldır.) Üst rəqəm göstərir ki, kəskin bucaqlı üçbucaq üçün uzun tərəfdəki paraleloqramın sahəsi digər iki tərəfdəki paraleloqramların cəminə bərabərdir, bir şərtlə ki, paraleloqram uzun tərəfi şəkildə göstərildiyi kimi qurulur (oxlarla işarələnmiş ölçülər eynidir və aşağı paraleloqramın tərəflərini müəyyən edir). Kvadratların paraleloqramlarla bu şəkildə dəyişdirilməsi Pifaqorun ilkin teoreminə açıq-aydın bənzəyir, onun eramızın 4-cü ilində İsgəndəriyyəli Pappus tərəfindən tərtib edildiyi güman edilir. e.

Aşağıdakı rəqəm sübutun gedişatını göstərir. Üçbucağın sol tərəfinə baxaq. Sol yaşıl paraleloqram mavi paraleloqramın sol tərəfi ilə eyni sahəyə malikdir, çünki onların əsası eynidir b və hündürlük h... Bundan əlavə, sol yaşıl paraleloqram yuxarı şəkildəki sol yaşıl paraleloqramla eyni sahəyə malikdir, çünki onların ümumi əsası (üçbucağın yuxarı sol tərəfi) və üçbucağın həmin tərəfinə perpendikulyar olan ümumi hündürlüyü var. Üçbucağın sağ tərəfi üçün eyni şəkildə mübahisə edərək, aşağı paraleloqramın iki yaşıl paraleloqramın sahəsi ilə eyni olduğunu sübut edirik.

Kompleks ədədlər

Pifaqor teoremi Kartezyen koordinat sistemində iki nöqtə arasındakı məsafəni tapmaq üçün istifadə olunur və bu teorem bütün həqiqi koordinatlar üçün doğrudur: məsafə s iki nöqtə arasında ( a, b) və ( c, d) bərabərdir

Mürəkkəb ədədləri həqiqi komponentləri olan vektorlar kimi qəbul etsəniz, düsturla bağlı heç bir problem yoxdur x + mən y = (x, y). ... Məsələn, məsafə s 0 + 1 arasında i və 1 + 0 i vektorun modulu kimi hesablayırıq (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), və ya

Buna baxmayaraq, mürəkkəb koordinatları olan vektorlarla əməliyyatlar üçün Pifaqor düsturunu müəyyən bir təkmilləşdirmək lazımdır. Kompleks ədədləri olan nöqtələr arasındakı məsafə ( a, b) və ( c, d); a, b, c, və d bütün kompleks, biz mütləq dəyərlərdən istifadə edərək formalaşdıracağıq. Məsafə s vektor fərqinə əsaslanır (a − c, b − d) aşağıdakı formada: fərq qoysun a − c = səh+ i q, harada səh- fərqin əsl hissəsi, q xəyali hissədir və i = √ (−1). Eynilə, icazə verin b − d = r+ i s... Sonra:

üçün kompleks qoşa sayı haradadır. Məsələn, nöqtələr arasındakı məsafə (a, b) = (0, 1) və (c, d) = (i, 0) , fərqi hesablayacağıq (a − c, b − d) = (−i, 1) və nəticədə mürəkkəb konjuqatlardan istifadə edilməsəydi, 0 alacaqdıq. Buna görə də, təkmilləşdirilmiş düsturdan istifadə edərək əldə edirik

Modul aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

Stereometriya

Üçölçülü fəza üçün Pifaqor teoreminin əhəmiyyətli ümumiləşdirilməsi J.-P-nin adını daşıyan de Qua teoremidir. de Gua: əgər tetraedrin düzgün bucağı varsa (kubdakı kimi), onda düzgün bucağın qarşısında yerləşən üzün sahəsinin kvadratı digər üç üzün sahələrinin kvadratlarının cəminə bərabərdir. Bu qənaəti belə ümumiləşdirmək olar: “ n-ölçülü Pifaqor teoremi ":

Üç ölçülü fəzada Pifaqor teoremi AD diaqonalını üç tərəflə birləşdirir.

Başqa bir ümumiləşdirmə: Pifaqor teoremini stereometriyaya aşağıdakı formada tətbiq etmək olar. Şəkildə göstərildiyi kimi düzbucaqlı paralelepipedi nəzərdən keçirək. Pifaqor teoremi ilə BD diaqonalının uzunluğunu tapaq:

burada üç tərəf düzbucaqlı üçbucaq əmələ gətirir. AD diaqonalının uzunluğunu tapmaq üçün BD üfüqi diaqonalından və AB şaquli kənarından istifadə edirik, bunun üçün yenidən Pifaqor teoremindən istifadə edirik:

və ya hər şey bir tənliklə yazılıbsa:

Bu nəticə vektorun böyüklüyünü təyin etmək üçün 3D ifadəsidir v(diaqonal AD) onun perpendikulyar komponentləri ilə ifadə edilir ( v k) (üç qarşılıqlı perpendikulyar tərəf):

Bu tənliyə çoxölçülü fəza üçün Pifaqor teoreminin ümumiləşdirilməsi kimi baxmaq olar. Bununla belə, nəticə əslində Pifaqor teoreminin ardıcıl perpendikulyar müstəvilərdə düzbucaqlı üçbucaqlar ardıcıllığına təkrar tətbiqindən başqa bir şey deyil.

Vektor məkanı

Ortoqonal vektorlar sistemi vəziyyətində bərabərlik yerinə yetirilir ki, bu da Pifaqor teoremi adlanır:

Vektorun koordinat oxlarına proyeksiyasıdırsa, bu düstur Evklid məsafəsi ilə üst-üstə düşür - və vektorun uzunluğunun onun komponentlərinin kvadratlarının cəminin kvadrat kökünə bərabər olduğunu bildirir.

Sonsuz vektorlar sistemi vəziyyətində bu bərabərliyin analoqu Parseval bərabərliyi adlanır.

Qeyri-evklid həndəsəsi

Pifaqor teoremi Evklid həndəsəsinin aksiomlarından götürülüb və əslində yuxarıda yazıldığı formada qeyri-Evklid həndəsəsi üçün keçərli deyil. (Yəni Pifaqor teoreminin Evklidin paralellik postulatına bir növ ekvivalent olduğu ortaya çıxır) Yəni qeyri-Evklid həndəsəsində üçbucağın tərəfləri arasındakı nisbət mütləq Pifaqor teoremindən fərqli formada olacaq. . Məsələn, sferik həndəsədə düzbucaqlı üçbucağın hər üç tərəfi (məsələn a, b və c Vahid sferanın oktantını (səkkizinci hissəsi) məhdudlaşdıran π / 2 uzunluğuna malikdir, bu Pifaqor teoreminə ziddir, çünki a 2 + b 2 ≠ c 2 .

Burada qeyri-Evklid həndəsəsinin iki halını - sferik və hiperbolik həndəsəni nəzərdən keçirək; hər iki halda, düzbucaqlı üçbucaqlar üçün Evklid fəzasında olduğu kimi, kosinus teoremindən Pifaqor teoremini əvəz edən nəticə çıxır.

Bununla belə, Pifaqor teoremi hiperbolik və elliptik həndəsə üçün etibarlı olaraq qalır, əgər üçbucağın düzbucaqlılığı tələbi üçbucağın iki bucağının cəminin üçüncüyə bərabər olması şərti ilə əvəz edilərsə, deyək ki, A+B = C... Sonra tərəflər arasındakı nisbət belə görünür: diametrli dairələrin sahələrinin cəmi a və b diametrli bir dairənin sahəsinə bərabərdir c.

Sferik həndəsə

Radiuslu bir sferada istənilən düzbucaqlı üçbucaq üçün R(məsələn, üçbucaqda γ bucağı düz xəttdirsə) tərəfləri ilə a, b, c Tərəflər arasında münasibətlər belə görünəcək:

Bu bərabərlik bütün sferik üçbucaqlar üçün doğru olan sferik kosinus teoreminin xüsusi halı kimi əldə edilə bilər:

burada cosh hiperbolik kosinusdur. Bu düstur bütün üçbucaqlar üçün keçərli olan hiperbolik kosinus teoreminin xüsusi halıdır:

burada γ təpəsi tərəfə əks olan bucaqdır c.

harada g ij metrik tensor adlanır. Bu mövqe funksiyası ola bilər. Belə əyri fəzalara ümumi nümunə kimi Riman həndəsəsi daxildir. Bu düstur əyrixətti koordinatlardan istifadə edərkən Evklid məkanı üçün də uyğundur. Məsələn, qütb koordinatları üçün:

Vektor məhsulu

Pifaqor teoremi vektor məhsulunun böyüklüyünün iki ifadəsini birləşdirir. Çarpaz məhsulu təyin etmək üçün bir yanaşma onun tənliyi təmin etməsini tələb edir:

bu formula nöqtə məhsulundan istifadə edir. Tənliyin sağ tərəfi Qram determinantı adlanır a və b, bu iki vektorun yaratdığı paraleloqramın sahəsinə bərabərdir. Bu tələbə, eləcə də vektor məhsulunun onun komponentlərinə perpendikulyar olması tələbinə əsasən a və b buradan belə nəticə çıxır ki, 0 və 1 ölçülü fəzanın əhəmiyyətsiz halları istisna olmaqla, vektor məhsulu yalnız üç və yeddi ölçüdə müəyyən edilir. Bucağın tərifindən istifadə edirik n-ölçülü fəza:

vektor məhsulunun bu xassəsi öz dəyərini aşağıdakı formada verir:

Pifaqorun əsas triqonometrik şəxsiyyəti vasitəsilə biz onun dəyərini qeyd etməyin başqa formasını əldə edirik:

Çarpaz məhsulu müəyyən etmək üçün alternativ yanaşma onun böyüklüyü üçün ifadədən istifadə edir. Sonra tərs qaydada mübahisə edərək nöqtə məhsulu ilə əlaqə əldə edirik:

həmçinin bax

Qeydlər (redaktə)

1. Tarix mövzusu: Babil riyaziyyatında Pifaqor teoremi
2. (, S. 351) səh. 351
3. (, I cild, səh. 144)
4. Tarixi faktların müzakirəsi (, s. 351) s. 351-də verilmişdir
5. Kurt Von Fritz (aprel 1945). "Metapontumlu Hippasus tərəfindən müqayisə olunmazlığın kəşfi." Riyaziyyat Salnamələri, İkinci Seriya(Riyaziyyat Salnamələri) 46 (2): 242–264.
6. Lewis Carroll, "Düyünlü hekayə", M., Mir, 1985, s. 7
7. Asger aaboe Riyaziyyatın erkən tarixindən epizodlar. - Amerika Riyaziyyat Assosiasiyası, 1997. - S. 51. - ISBN 0883856131
8. Pifaqor təklifi, Elisha Scott Loomis tərəfindən
9. Evklidin Elementlər: Kitab VI, Təklif VI 31: "Düzbucaqlı üçbucaqlarda düz bucağa daxil olan tərəfdəki fiqur, düz bucağı olan tərəflərdəki oxşar və oxşar şəkildə təsvir edilmiş fiqurlara bərabərdir."
10. Lawrence S. Leff istinad edilən əsər... - Barron Təhsil Seriyası. - S. 326. - ISBN 0764128922
11. Howard Whiteley Eves§4.8: ... Pifaqor teoreminin ümumiləşdirilməsi // Riyaziyyatda möhtəşəm məqamlar (1650-ci ilə qədər). - Amerika Riyaziyyat Assosiasiyası, 1983. - S. 41. - ISBN 0883853108
12. Tabit ibn Qorra (tam adı Sabit ibn Qurra ibn Mərvan Əl-Səbi əl-Hərrani) (miladi 826-901) Bağdadda yaşayan, Evklidin Elementləri və digər riyazi mövzularda geniş yazan həkim idi.
13. Aydın Sayılı (Mart 1960). "Sabit ibn Qurra"nın Pifaqor teoreminin ümumiləşdirilməsi." Isis 51 (1): 35–37. DOI: 10.1086 / 348837.
14. Judith D. Sally, Paul Sallyİş 2.10 (ii) // İstinad edilən iş. - S. 62. - ISBN 0821844032
15. Belə bir tikintinin təfərrüatları üçün baxın Corc CenninqsŞəkil 1.32: Ümumiləşdirilmiş Pifaqor teoremi // Tətbiqlərlə müasir həndəsə: 150 rəqəmlə. - 3-cü. - Springer, 1997. - S. 23. - ISBN 038794222X
16. Arlen Brown, Carl M. Pearcy Maddə C: ixtiyari üçün norma n-tuple ... // Analizlərə giriş. - Springer, 1995. - S. 124. - ISBN 0387943692 Həmçinin 47-50-ci səhifələrə baxın.
17. Alfred Grey, Elza Abbena, Simon Salamon Mathematica ilə əyrilərin və səthlərin müasir diferensial həndəsəsi. - 3-cü. - CRC Press, 2006. - S. 194. - ISBN 1584884487
18. Rajendra Bhatia Matris analizi. - Springer, 1997. - S. 21. - ISBN 0387948465
19. Stephen W. Hawking istinad edilən əsər... - 2005. - S. 4. - ISBN 0762419229
20. Eric W. Weisstein CRC qısa riyaziyyat ensiklopediyası. - 2-ci. - 2003. - S. 2147. - ISBN 1584883472
21. Alexander R. Pruss

Yüz faiz əmin olmaq olar ki, hipotenuzanın kvadratının nə olduğunu soruşduqda, istənilən yetkin insan cəsarətlə cavab verəcək: "Ayaqların kvadratlarının cəmi". Bu teorem hər bir savadlı insanın beynində möhkəm kök salıb, amma bunun sübutunu kimdənsə istəmək kifayətdir, sonra çətinliklər yarana bilər. Buna görə də Pifaqor teoreminin müxtəlif sübut yollarını xatırlayaq və nəzərdən keçirək.

Qısa tərcümeyi-halı

Pifaqor teoremi demək olar ki, hər kəsə tanışdır, lakin nədənsə onu dünyaya gətirən şəxsin tərcümeyi-halı o qədər də populyar deyil. Bu düzəldilə bilər. Buna görə də Pifaqor teoreminin müxtəlif sübut yollarını öyrənməzdən əvvəl onun şəxsiyyəti ilə qısaca tanış olmaq lazımdır.

Pifaqor əslən filosof, riyaziyyatçı, mütəfəkkirdir. Bu gün onun tərcümeyi-halını bu böyük insanın xatirəsinə yaranmış əfsanələrdən ayırmaq çox çətindir. Lakin onun ardıcıllarının yazılarından belə çıxır ki, Samoslu Pifaqor Samos adasında anadan olub. Atası adi daş kəsən idi, anası isə zadəgan ailəsindən idi.

Rəvayətə görə, Pifaqorun doğumunu Pifiya adlı bir qadın proqnozlaşdırmışdı, onun şərəfinə oğlan adını verdi. Onun proqnozuna görə, doğulan oğlan uşağı bəşəriyyətə çoxlu xeyir və xeyirlər gətirməli idi. Hansı ki, o, əslində etdi.

Teoremin doğulması

Pifaqor gəncliyində Misirin məşhur müdrikləri ilə görüşmək üçün Misirə köçdü. Onlarla görüşdükdən sonra təhsilə qəbul olundu və Misir fəlsəfəsinin, riyaziyyatının və təbabətinin bütün böyük nailiyyətlərini orada öyrəndi.

Yəqin ki, məhz Misirdə Pifaqor piramidaların əzəmətindən və gözəlliyindən ilhamlanaraq özünün böyük nəzəriyyəsini yaratmışdır. Bu, oxucuları şoka sala bilər, lakin müasir tarixçilər Pifaqorun öz nəzəriyyəsini sübut etmədiyinə inanırlar. O, yalnız öz biliklərini sonradan bütün lazımi riyazi hesablamaları tamamlayan ardıcıllarına ötürdü.

Nə olursa olsun, bu gün bu teoremi sübut etməyin bir üsulu deyil, bir neçəsi məlumdur. Bu gün yalnız qədim yunanların hesablamalarını necə dəqiq apardıqlarını təxmin etmək qalır, buna görə də burada Pifaqor teoremini sübut etməyin müxtəlif yollarını nəzərdən keçirəcəyik.

Pifaqor teoremi

Hər hansı bir hesablamaya başlamazdan əvvəl, hansı nəzəriyyənin sübuta yetiriləcəyini anlamaq lazımdır. Pifaqor teoremi belə deyilir: “Bucaqlarından biri 90 ° olan üçbucaqda ayaqların kvadratlarının cəmi hipotenuzanın kvadratına bərabərdir”.

Ümumilikdə Pifaqor teoremini sübut etməyin 15 müxtəlif yolu var. Bu kifayət qədər böyük rəqəmdir, ona görə də onlardan ən populyarına diqqət yetirək.

Birinci üsul

Əvvəlcə bizə nə verildiyini təyin edək. Bu məlumatlar Pifaqor teoremini sübut etməyin digər üsullarına da aid olacaq, buna görə də bütün mövcud təyinləri dərhal xatırlamalısınız.

Tutaq ki, ayaqları a, b və hipotenuzası c-yə bərabər olan düzbucaqlı üçbucaq verilmişdir. Birinci sübut üsulu düzbucaqlı üçbucaqdan kvadrat çəkməyiniz lazım olduğuna əsaslanır.

Bunu etmək üçün, b ayağına bərabər bir seqmenti a uzunluğunun ayağına və əksinə çəkmək lazımdır. Bu kvadratın iki bərabər tərəfini yaratmalıdır. Yalnız iki paralel xətt çəkmək qalır və kvadrat hazırdır.

Yaranan rəqəmin içərisində orijinal üçbucağın hipotenuzasına bərabər olan tərəfi olan başqa bir kvadrat çəkməlisiniz. Bunun üçün ac və sv təpələrindən c-ə bərabər iki paralel seqment çəkmək lazımdır. Beləliklə, kvadratın üç tərəfini alırıq, onlardan biri orijinal düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzasıdır. Yalnız dördüncü seqmenti bitirmək qalır.

Yaranan rəqəmə əsasən, xarici kvadratın sahəsinin (a + b) 2 olduğu qənaətinə gələ bilərik. Şəklin içərisinə baxsanız, görə bilərsiniz ki, daxili kvadratdan əlavə, dörd düzbucaqlı üçbucaq var. Hər birinin sahəsi 0,5 av.

Buna görə də, sahə bərabərdir: 4 * 0,5av + s 2 = 2av + s 2

Deməli (a + b) 2 = 2ab + c 2

Və buna görə də c 2 = a 2 + b 2

Teorem isbat olunur.

İkinci üsul: oxşar üçbucaqlar

Pifaqor teoreminin isbatı üçün bu düstur oxşar üçbucaqlar haqqında həndəsə bölməsindən verilən ifadə əsasında əldə edilmişdir. Burada deyilir ki, düzbucaqlı üçbucağın ayağı onun hipotenuzası və 90 ° bucağın zirvəsindən çıxan hipotenuz seqmenti üçün mütənasib ortadır.

İlkin məlumatlar eyni qalır, ona görə də dərhal sübuta başlayaq. AB tərəfinə perpendikulyar SD seqmentini çəkək. Yuxarıdakı ifadəyə əsasən, üçbucaqların ayaqları:

AC = √AB * HELL, SV = √AB * DV.

Pifaqor teoreminin necə isbat ediləcəyi sualına cavab vermək üçün isbat hər iki bərabərsizliyin kvadratı ilə tamamlanmalıdır.

AC 2 = AB * HELL və SV 2 = AB * DV

İndi ortaya çıxan bərabərsizlikləri toplamaq lazımdır.

AC 2 + SV 2 = AB * (HELL * DV), burada HELL + DV = AB

Belə çıxır ki:

AC 2 + SV 2 = AB * AB

Və buna görə də:

AC 2 + CB 2 = AB 2

Pifaqor teoreminin sübutu və onun həllinin müxtəlif yolları bu problemə çox yönlü yanaşma tələb edir. Ancaq bu seçim ən sadələrdən biridir.

Başqa bir hesablama texnikası

Pifaqor teoremini sübut etməyin müxtəlif yollarının təsviri, özünüz məşq etməyə başlayana qədər heç nə deməyə bilər. Bir çox texnika təkcə riyazi hesablamaları deyil, həm də orijinal üçbucaqdan yeni fiqurların qurulmasını təmin edir.

Bu halda, BC-nin ayağından VSD-nin başqa bir düzbucaqlı üçbucağını tamamlamaq lazımdır. Beləliklə, indi ortaq ayaqlı BC olan iki üçbucaq var.

Belə fiqurların sahələrinin oxşar xətti ölçülərinin kvadratları kimi nisbətə malik olduğunu bilərək, onda:

S awd * s 2 - S awd * 2-də = S awd * a 2 - S awd * a 2

S abc * (s 2 -v 2) = a 2 * (S awd -S vd)

s 2 -w 2 = a 2

c 2 = a 2 + b 2

Bu seçim 8-ci sinif üçün Pifaqor teoremini sübut etməyin müxtəlif üsullarından çətin uyğun gəldiyi üçün aşağıdakı texnikadan istifadə edə bilərsiniz.

Pifaqor teoremini sübut etməyin ən asan yolu. Rəylər

Tarixçilər hesab edirlər ki, bu üsul ilk dəfə qədim Yunanıstanda bir teoremi sübut etmək üçün istifadə edilmişdir. Bu ən sadədir, çünki heç bir hesablama tələb etmir. Əgər rəqəmi düzgün tərtib etsəniz, o zaman 2-də 2 + = c 2 olması ifadəsinin sübutu aydın görünəcəkdir.

Bu metodun şərtləri əvvəlkindən bir qədər fərqli olacaq. Teoremi sübut etmək üçün fərz edək ki, düzbucaqlı ABC üçbucağı ikitərəflidir.

Kvadratın tərəfi kimi AC hipotenuzunu götürürük və onun üç tərəfini hissələrə bölürük. Bundan əlavə, yaranan kvadratda iki diaqonal xətt çəkmək lazımdır. Belə ki, onun içərisində dörd ikitərəfli üçbucaq var.

AB və CB ayaqlarına da bir kvadrat çəkmək və hər birində bir diaqonal xətt çəkmək lazımdır. Birinci sətir A təpəsindən, ikincisi isə C-dən çəkilir.

İndi ortaya çıxan rəsmə yaxından baxmaq lazımdır. AC hipotenuzasında orijinala bərabər olan dörd üçbucaq və ayaqlarda ikisi olduğundan, bu, bu teoremin doğruluğundan danışır.

Yeri gəlmişkən, Pifaqor teoreminin bu sübut üsulu sayəsində məşhur ifadə yarandı: "Pifaqor şalvarları bütün istiqamətlərdə bərabərdir".

J. Qarfildin sübutu

Ceyms Qarfild Amerika Birləşmiş Ştatlarının 20-ci prezidentidir. O, ABŞ-ın hökmdarı kimi tarixdə iz buraxmaqla yanaşı, həm də özünü öyrədən istedadlı bir insan idi.

O, əmək fəaliyyətinin əvvəlində xalq məktəbində sıravi müəllim olsa da, tezliklə ali təhsil ocaqlarından birinə direktor təyin olunub. Özünü inkişaf etdirmək istəyi və ona Pifaqor teoreminin sübutunun yeni bir nəzəriyyəsini təklif etməyə imkan verdi. Teorem və onun həlli nümunəsi aşağıdakı kimidir.

Birincisi, bir vərəqdə iki düzbucaqlı üçbucaq çəkməlisiniz ki, onlardan birinin ayağı ikincinin davamı olsun. Bu üçbucaqların təpələrini birləşdirmək lazımdır ki, nəticədə trapesiya əmələ gəlsin.

Bildiyiniz kimi, trapezoidin sahəsi onun əsaslarının və hündürlüyünün yarısının cəminə bərabərdir.

S = a + b / 2 * (a + b)

Yaranan trapesiyanı üç üçbucaqdan ibarət fiqur hesab etsək, onda onun sahəsini aşağıdakı kimi tapmaq olar:

S = av / 2 * 2 + s 2/2

İndi iki orijinal ifadəni bərabərləşdirmək lazımdır

2av / 2 + s / 2 = (a + b) 2/2

c 2 = a 2 + b 2

Pifaqor teoremi və onun isbat üsulları haqqında bir cilddən çox dərslik yazmaq olar. Bəs bu biliklərin praktikada tətbiqi mümkün olmadıqda bunun mənası varmı?

Pifaqor teoreminin praktiki tətbiqi

Təəssüf ki, müasir məktəb proqramları bu teoremin yalnız həndəsi məsələlərdə istifadəsini nəzərdə tutur. Məzunlar öz bilik və bacarıqlarını praktikada necə tətbiq edə biləcəklərini bilmədən məktəb divarlarını tezliklə tərk edəcəklər.

Əslində Pifaqor teoremindən hər kəs gündəlik həyatında istifadə edə bilər. Həm də təkcə peşəkar fəaliyyətdə deyil, həm də adi ev işlərində. Pifaqor teoreminin və onun sübut üsullarının son dərəcə zəruri ola biləcəyi bir neçə halı nəzərdən keçirək.

Teorem və astronomiya arasında əlaqə

Ulduzları və üçbucaqları kağız üzərində necə birləşdirə biləcəyi görünür. Əslində astronomiya Pifaqor teoreminin geniş istifadə olunduğu bir elm sahəsidir.

Məsələn, işıq şüasının fəzada hərəkətini nəzərdən keçirək. Məlumdur ki, işıq hər iki istiqamətdə eyni sürətlə hərəkət edir. İşıq şüasının hərəkət etdiyi AB trayektoriyası adlanacaq l. Və işığın A nöqtəsindən B nöqtəsinə keçməsi üçün lazım olan vaxtın yarısı, gəlin zəng edək t... Və şüanın sürəti - c. Belə çıxır ki: c * t = l

Bu şüaya başqa müstəvidən, məsələn, v sürəti ilə hərəkət edən kosmik laynerdən baxsanız, cisimlərin belə müşahidəsi ilə onların sürəti dəyişəcək. Bu halda hətta stasionar elementlər v sürəti ilə əks istiqamətdə hərəkət etməyə başlayacaqlar.

Tutaq ki, komik layner sağa doğru üzür. Sonra şüanın atıldığı A və B nöqtələri sola doğru hərəkət edəcək. Üstəlik, şüa A nöqtəsindən B nöqtəsinə hərəkət etdikdə, A nöqtəsinin hərəkət etmək üçün vaxtı var və müvafiq olaraq, işıq artıq yeni C nöqtəsinə çatacaq. A nöqtəsinin yerdəyişdiyi məsafənin yarısını tapmaq üçün onu çoxaltmaq lazımdır. laynerin sürəti şüanın səyahət vaxtının yarısı (t ").

Bir işıq şüasının bu müddət ərzində nə qədər məsafə qət edə biləcəyini tapmaq üçün yolun yarısını yeni s hərfi ilə təyin etməli və aşağıdakı ifadəni almalısınız:

Təsəvvür etsək ki, işıq C və B nöqtələri, eləcə də fəza layneri ikitərəfli üçbucağın təpələridir, onda A nöqtəsindən laynerə qədər olan seqment onu iki düzbucaqlı üçbucağa böləcək. Beləliklə, Pifaqor teoremi sayəsində bir işıq şüasının keçə biləcəyi məsafəni tapa bilərsiniz.

Bu nümunə, əlbəttə ki, ən yaxşısı deyil, çünki yalnız bir neçəsinə bunu praktikada sınamaq şanslı ola bilər. Buna görə də, bu teoremin daha dünyəvi tətbiqlərini nəzərdən keçirəcəyik.

Mobil siqnalın ötürülmə radiusu

Müasir həyatı smartfonlar olmadan təsəvvür etmək artıq mümkün deyil. Bəs abunəçiləri mobil rabitə vasitəsilə birləşdirə bilməsələr, çox faydası olarmı?!

Mobil rabitənin keyfiyyəti birbaşa mobil operatorun antennasının yerləşdiyi hündürlükdən asılıdır. Telefonun mobil qüllədən nə qədər siqnal qəbul edə biləcəyini hesablamaq üçün Pifaqor teoremini tətbiq edə bilərsiniz.

Tutaq ki, 200 kilometr radiusda siqnalı yaymaq üçün stasionar qüllənin təxmini hündürlüyünü tapmaq lazımdır.

AB (qüllə hündürlüyü) = x;

Təyyarə (siqnal ötürmə radiusu) = 200 km;

ƏS (dünyanın radiusu) = 6380 km;

OB = OA + ABOV = r + x

Pifaqor teoremini tətbiq edərək, qüllənin minimum hündürlüyünün 2,3 kilometr olması lazım olduğunu öyrənirik.

Gündəlik həyatda Pifaqor teoremi

Qəribədir ki, Pifaqor teoremi hətta gündəlik məsələlərdə də faydalı ola bilər, məsələn, qarderobun hündürlüyünü təyin etmək kimi. İlk baxışdan belə mürəkkəb hesablamalardan istifadə etməyə ehtiyac yoxdur, çünki sadəcə lent ölçüsündən istifadə edərək ölçmə apara bilərsiniz. Ancaq çoxları, bütün ölçmələr daha dəqiq aparılıbsa, montaj prosesində niyə müəyyən problemlərin yarandığına təəccüblənir.

Fakt budur ki, qarderob üfüqi vəziyyətdə yığılır və yalnız bundan sonra qalxır və divara qarşı quraşdırılır. Buna görə də, strukturun qaldırılması prosesində şkafın tərəfi həm hündürlükdə, həm də otağın diaqonalında sərbəst şəkildə keçməlidir.

Tutaq ki, 800 mm dərinlikdə bir qarderobunuz var. Döşəmədən tavana qədər olan məsafə - 2600 mm. Təcrübəli mebel ustası sizə şkafın hündürlüyünün otağın hündürlüyündən 126 mm az olması lazım olduğunu söyləyəcək. Bəs niyə məhz 126 mm? Bir nümunəyə baxaq.

Şkafın ideal ölçüləri ilə Pifaqor teoreminin hərəkətini yoxlayırıq:

AC = √AB 2 + √BC 2

AC = √2474 2 +800 2 = 2600 mm - hər şey birləşir.

Deyək ki, kabinetin hündürlüyü 2474 mm deyil, 2505 mm-dir. Sonra:

AC = √2505 2 + √800 2 = 2629 mm.

Buna görə də, bu kabinet bu otaqda quraşdırmaq üçün uyğun deyil. Çünki onu dik vəziyyətə qaldırmaq bədəninə zərər verə bilər.

Ola bilsin ki, müxtəlif elm adamları tərəfindən Pifaqor teoremini sübut etməyin müxtəlif yollarını nəzərdən keçirərək, bunun həqiqətdən daha çox olduğu qənaətinə gələ bilərik. İndi gündəlik həyatınızda alınan məlumatlardan istifadə edə bilərsiniz və bütün hesablamaların yalnız faydalı deyil, həm də düzgün olacağına tam əmin ola bilərsiniz.

Pifaqor teoreminin animasiyalı sübutu bunlardan biridir Əsas düzbucaqlı üçbucağın tərəfləri arasında əlaqə quran Evklid həndəsəsinin teoremləri. Onun adını daşıyan yunan riyaziyyatçısı Pifaqor tərəfindən sübut edildiyi güman edilir (başqa versiyalar da var, xüsusən də bu teoremin ümumi formada Pifaqor riyaziyyatçısı Hippasus tərəfindən tərtib edildiyinə dair alternativ fikir).
Teorem deyir:

Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuza üzərində qurulmuş kvadratın sahəsi ayaqlar üzərində qurulmuş kvadratların sahələrinin cəminə bərabərdir.

Üçbucağın hipotenuzunun uzunluğunu ifadə edən c, və ayaqların uzunluqları kimi a və b, aşağıdakı düsturu alırıq:

Beləliklə, Pifaqor teoremi digər ikisinin uzunluğunu bilməklə düzbucaqlı üçbucağın tərəfini təyin etməyə imkan verən əlaqə qurur. Pifaqor teoremi ixtiyari üçbucağın tərəfləri arasındakı nisbəti təyin edən kosinus teoreminin xüsusi halıdır.
Əks müddəa da sübut olunur (əks Pifaqor teoremi də deyilir):

Hər hansı üç müsbət ədəd üçün a, b və c belə ki, a? + b? = c?, ayaqları a və b və hipotenuzası c olan düzbucaqlı üçbucaq var.

Eramızdan əvvəl 500-200-cü illər "Çu Pei" kitabından üçbucaq (3, 4, 5) üçün əyani sübut. Teoremin tarixini dörd hissəyə bölmək olar: Pifaqor ədədləri haqqında biliklər, düzbucaqlı üçbucağın tərəflərinin nisbəti haqqında biliklər, bitişik bucaqların nisbəti haqqında biliklər və teoremin sübutu.
Eramızdan əvvəl 2500-cü illərdə meqalitik tikililər Misirdə və Şimali Avropada tərəfləri tam ədədlərdən ibarət düzbucaqlı üçbucaqlardan ibarətdir. Bartel Leendert van der Waerden o dövrdə Pifaqor ədədlərinin cəbri olaraq tapıldığını fərz edirdi.
Eramızdan əvvəl 2000-1876-cı illər arasında yazılmışdır Orta Misir krallığının papirusu Berlin 6619 həlli Pifaqor ədədləri olan bir problemi ehtiva edir.
Böyük Hammurapinin hakimiyyəti dövründə Babil lövhəsi Plimpton 322, eramızdan əvvəl 1790-1750-ci illər arasında yazılmış, Pifaqorların sayları ilə yaxından əlaqəli bir çox qeydləri ehtiva edir.
Müxtəlif versiyalara görə eramızdan əvvəl səkkizinci və ya ikinci əsrlərə aid edilən Budhayana sutralarında. Hindistanda, cəbri yolla əldə edilən Pifaqor ədədlərini, Pifaqor teoreminin tərtibini və sagittal düzbucaqlı üçbucağın həndəsi sübutunu ehtiva edir.
Apastamba sutraları (e.ə. 600-cü il) sahə hesablamalarından istifadə etməklə Pifaqor teoreminin ədədi sübutunu təqdim edir. Van der Waerden hesab edir ki, o, sələflərinin ənənələrinə əsaslanırdı. Albert Burkonun fikrincə, bu, teoremin orijinal sübutudur və o, Pifaqorun Arakonları ziyarət etdiyini və onu köçürdüyünü güman edir.
Həyat illəri adətən eramızdan əvvəl 569 - 475-ci illərdə göstərilən Pifaqor. Proklovun Evklid şərhinə görə Pifaqor ədədlərinin hesablanması üçün cəbri üsullardan istifadə edir. Prokl eramızın 410-485-ci illəri arasında yaşamışdır. Tomas Giese görə, Pifaqordan sonra beş əsr ərzində teoremin müəllifliyinə heç bir işarə yoxdur. Bununla belə, Plutarx və ya Siseron kimi müəlliflər teoremi Pifaqora aid etdikdə, sanki müəllifliyi hamıya məlumdur və danılmazdır.
Təxminən eramızdan əvvəl 400-cü il Prokla görə Platon cəbr və həndəsəni birləşdirərək Pifaqor ədədlərinin hesablanması metodunu verdi. Təxminən eramızdan əvvəl 300-cü ildə Başlanğıclar Evklid, bu günə qədər gəlib çatmış ən qədim aksiomatik sübuta sahibik.
Eramızdan əvvəl 500-cü illər arasında yazılmışdır və eramızdan əvvəl 200-cü ildə Çin riyazi kitabı "Çu Pei" (????), tərəfləri (3) olan üçbucaq üçün Çində gugu (????) teoremi adlanan Pifaqor teoreminin əyani sübutunu verir. , 4, 5). Han sülaləsinin hakimiyyəti dövründə, eramızdan əvvəl 202-ci ildən 220-ci ildən əvvəl Pifaqor nömrələri Riyaziyyat Sənətinin Doqquz Bölməsində düzbucaqlı üçbucaqların qeydi ilə birlikdə görünür.
Teoremdən istifadə ilk dəfə gugu (????) teoremi kimi tanınan Çində və Baskar teoremi kimi tanınan Hindistanda qeydə alınıb.
Pifaqor teoreminin bir və ya bir neçə dəfə kəşf edildiyi müzakirə edilmişdir. Boyer (1991) Şulba Sutrada tapılan biliklərin Mesopotamiya mənşəli ola biləcəyinə inanır.
Cəbri sübut
Dörd düzbucaqlı üçbucaqdan kvadratlar əmələ gəlir. Pifaqor teoreminin yüzdən çox sübutu məlumdur. Fiqurun sahəsi üçün mövcudluq teoreminə əsaslanan bir sübut:

Şəkildə göstərildiyi kimi dörd eyni düzbucaqlı üçbucaq yerləşdirin.
Yanları olan dördbucaqlı c kvadratdır, çünki iki iti bucağın cəmi, A açılmamış bucaq.
Bütün fiqurun sahəsi, bir tərəfdən "a + b" tərəfləri olan kvadratın sahəsi, digər tərəfdən isə dörd üçbucağın və daxili kvadratın sahələrinin cəmidir.

Hansı ki, bunu sübut etmək lazımdır.
Üçbucaqların oxşarlığına görə
Bənzər üçbucaqlardan istifadə. Qoy ABC Bucağı olan düzbucaqlı üçbucaqdır Cşəkildə göstərildiyi kimi düz. Nöqtədən hündürlüyü çəkək C, və zəng edin H yan kəsişmə nöqtəsi AB.Üçbucaq əmələ gəlir ACHüçbucaq kimi ABC,çünki onların hər ikisi düzbucaqlıdır (hündürlüyün tərifinə görə) və ümumi bucaqları var A,üçüncü bucaq bu üçbucaqlarda da eyni olacaq. Eynilə mirkuyuchy, üçbucaq CBH həm də üçbucaq kimi ABC.Üçbucaqların oxşarlığından: Əgər

Bunu belə yazmaq olar

Bu iki bərabərliyi əlavə etsək, alarıq

HB + c dəfə AH = c dəfə (HB + AH) = c ^ 2,! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

Başqa sözlə, Pifaqor teoremi:

Evklidin sübutu
Evklid “Prinsiplərində” Evklidin sübutu, Pifaqor teoremində paraleloqramlar üsulu ilə sübut edilir. Qoy A, B, C düzbucaqlı üçbucağın təpələri, düzbucaqlı A. Nöqtədən perpendikulyar atın A hipotenuza üzərində qurulmuş kvadratda hipotenuza qarşı tərəfə. Xətt kvadratı iki düzbucaqlıya bölür, hər biri ayaqları üzərində qurulmuş kvadratlarla eyni sahəyə malikdir. Sübutda əsas fikir ondan ibarətdir ki, yuxarı kvadratlar eyni sahənin paraleloqramlarına çevrilir, sonra geri qayıdıb aşağı kvadratda və yenidən eyni sahə ilə düzbucaqlılara çevrilir.

Seqmentləri çəkək CF və AD,üçbucaqlar alırıq BCF və BDA.
Künclər KABİNƏ və ÇANTA- düz xətlər; müvafiq olaraq xal C, A və G Kollineardırlar. Eyni şəkildə B, A və H.
Künclər CBD və FBA- hər iki düz xətt, sonra bucaq ABD bucağa bərabərdir FBC,çünki hər ikisi düz bucaq və bucağın cəmidir ABC.
Üçbucaq ABD və FBC hər iki tərəfdən səviyyə və aralarındakı künc.
Nöqtələrdən bəri A, K və L- kollinear, BDLK düzbucağının sahəsi üçbucağın iki sahəsinə bərabərdir ABD (BDLK = BAGF = AB 2)
Eynilə, biz də alırıq CKLE = ACIH = AC 2
Bir tərəfi sahə CBDE düzbucaqlıların sahələrinin cəminə bərabərdir BDLK və CKLE, və digər tərəfdən, meydanın sahəsi BC 2, və ya AB 2 + AC 2 = eramızdan əvvəl 2.

Diferensiallardan istifadə
Diferensiallardan istifadə. Pifaqor teoreminə yan qazancın sağdakı şəkildə göstərildiyi kimi hipotenuzanın böyüklüyünə necə təsir etdiyini öyrənməklə və bir az hesablama tətbiq etməklə əldə etmək olar.
Yan tərəfdəki artım nəticəsində a, sonsuz kiçik artımlar üçün oxşar üçbucaqlar

İnteqrasiya alırıq

Əgər a= 0 onda c = b, belə ki, "sabit" b 2. Sonra

Gördüyünüz kimi, kvadratlar artımlar və tərəflər arasındakı nisbətə görə əldə edilir, cəmi isə həndəsi sübutlardan aydın olmayan tərəflərin artımlarının müstəqil töhfəsinin nəticəsidir. Bu tənliklərdə da və DC- müvafiq olaraq, tərəflərin sonsuz kiçik artımları a və c. Amma onların yerinə biz istifadə edirik? a və? c, onda nisbətin həddi sıfıra meyllidirlər da / DC, törəmədir və eyni zamanda bərabərdir c / a,üçbucaqların tərəflərinin uzunluqlarının nisbəti, nəticədə diferensial tənlik alırıq.
Ortoqonal vektorlar sistemi vəziyyətində bərabərlik yerinə yetirilir ki, bu da Pifaqor teoremi adlanır:

Əgər - Bu vektorun koordinat oxlarına proyeksiyasıdır, onda bu düstur Evklid məsafəsi ilə üst-üstə düşür və vektorun uzunluğunun onun komponentlərinin kvadratlarının cəminin kvadrat kökünə bərabər olduğunu bildirir.
Sonsuz vektorlar sistemi vəziyyətində bu bərabərliyin analoqu Parseval bərabərliyi adlanır.

Pifaqor teoremi

Sübut

Hazırda elmi ədəbiyyatda bu teoremin 367 sübutu qeydə alınıb. Yəqin ki, Pifaqor teoremi belə təsir edici sayda sübuta malik yeganə teoremdir. Bu müxtəlifliyi yalnız həndəsə üçün teoremin əsas mənası ilə izah etmək olar.
Əlbəttə ki, konseptual olaraq onların hamısını az sayda siniflərə bölmək olar. Onlardan ən məşhurları bunlardır: sahə üsulu ilə sübutlar, aksiomatik və ekzotik sübutlar (məsələn, diferensial tənliklərdən istifadə etməklə).

Bənzər üçbucaqlar vasitəsilə

Cəbri tərtibin aşağıdakı sübutu bilavasitə aksiomalardan qurulmuş sübutların ən sadəsidir. Xüsusilə, fiqurun sahəsi anlayışından istifadə etmir.
ABC düzbucaqlı C düzbucaqlı üçbucaq olsun. C nöqtəsindən hündürlüyü çəkin və əsasını H ilə işarələyin. ACH üçbucağı iki bucaqda ABC üçbucağına bənzəyir.
Eynilə, CBH üçbucağı ABC-yə bənzəyir. Qeydin təqdimatı

alırıq

Ekvivalenti nədir

Əlavə edərək, alırıq

və ya

Sahələrin sübutu

Aşağıdakı sübutlar, görünən sadəliklərinə baxmayaraq, heç də o qədər də sadə deyil. Onların hamısı sahənin xüsusiyyətlərindən istifadə edir, bunun sübutu Pifaqor teoreminin özünün sübutundan daha çətindir.

Bərabər tamamlayıcı sübut

Səpələnmə vasitəsilə sübut

Belə sübutlardan birinin nümunəsi sağdakı rəsmdə göstərilmişdir, burada hipotenuza üzərində qurulmuş kvadrat permutasiya ilə ayaqlar üzərində qurulmuş iki kvadrata çevrilir.

Evklidin sübutu

Leonardo da Vinçinin sübutu

Sübutun əsas elementləri simmetriya və hərəkətdir.

Rəsmi nəzərdən keçirək, simmetriyadan göründüyü kimi, CI seqmenti ABHJ kvadratını iki eyni hissəyə kəsir (çünki ABC və JHI üçbucaqları konstruksiya baxımından bərabərdir). Onu saat əqrəbinin əksi istiqamətində 90 dərəcə çevirməklə, CAJI və GDAB kölgəli rəqəmlərinin bərabər olduğunu görürük. İndi aydın oldu ki, kölgəli fiqurun sahəsi ayaqlar üzərində qurulmuş kvadratların sahələrinin yarısının cəminə və orijinal üçbucağın sahəsinə bərabərdir. Digər tərəfdən, hipotenuza üzərində qurulmuş kvadratın yarısına və orijinal üçbucağın sahəsinə bərabərdir. Sübutun son mərhələsi oxucunun ixtiyarına verilir.

PİFAQOR TEOREMİNİN ən maraqlı sübutları

Pifaqor teoremi düzbucaqlı üçbucağın tərəfləri arasında əlaqə quran Evklid həndəsəsinin əsas teoremlərindən biridir. c2 = a2 + b2 Bu teoremi sübut etməyin bir çox yolu var, lakin biz ən maraqlısını seçdik ...

Gəlin kreslosu Şəkildə ayaqlar üzərində qurulmuş kvadratlar bir-birinin ardınca pillələrlə yerləşdirilib. Eramızın 9-cu əsrinə aid dəlillərdə tapılan bu rəqəm. e., hindlilər "gəlin kreslosu" adlandırdılar. Yanı hipotenuzaya bərabər olan kvadratın qurulması üsulu rəsmdən aydındır. Ayaqlar üzərində qurulmuş iki kvadratın və hipotenuza üzərində qurulmuş kvadratın ümumi hissəsi nizamsız kölgəli beşbucaqlıdır 5. Ona 1 və 2 üçbucaqlarını əlavə edərək, ayaqlar üzərində qurulmuş hər iki kvadratı alırıq; 1 və 2 üçbucaqlarını bərabər 3 və 4 üçbucaqları ilə əvəz etsək, hipotenuza üzərində qurulmuş kvadrat alarıq. Aşağıdakı rəqəmlər birinci şəkildə verilənə yaxın iki fərqli yeri göstərir.

Hind riyaziyyatçısı Bhaskari-nin sübutu Şəkildə göstərilən kvadratı nəzərdən keçirək. Kvadratın tərəfi b-yə bərabərdir, şəkildə göstərildiyi kimi kvadratın üzərinə ayaqları a və c olan 4 orijinal üçbucaq qoyulur. Mərkəzdəki kiçik kvadratın tərəfi c - a, onda: b2 = 4 * a * c / 2 + (ca) 2 = = 2 * a * c + c2 - 2 * a * c + a2 = = a2 + c2

Pifaqor teoreminin ən sadə sübutu. Şəkildə göstərilən kvadratı nəzərdən keçirin. Kvadratın tərəfi a + c-dir. Bir halda (solda) kvadrat tərəfi b olan kvadrata və ayaqları a və c olan dörd düzbucaqlı üçbucağa bölünür. Digər halda (sağda) kvadrat tərəfləri a və c olan iki kvadrata və ayaqları a və c olan dörd düzbucaqlı üçbucağa bölünür. Beləliklə, tapırıq ki, tərəfi b olan kvadratın sahəsi a və c tərəfləri olan kvadratların sahələrinin cəminə bərabərdir.

Oxşar üçbucaqlar vasitəsilə sübut edək ki, ABC düzbucaqlı C bucağı ilə düzbucaqlı üçbucaq olsun. C-dən hündürlüyü çəkin və əsasını H ilə işarələyin. ACH üçbucağı iki bucaq baxımından ABC üçbucağına bənzəyir. Eynilə, CBH üçbucağı ABC-yə bənzəyir. Qeydi təqdim edərək, Ekvivalent olanı əldə edirik.Əlavə edərək hər ikisini əldə edirik

Hawkinsin sübutu Burada hesablama xarakteri daşıyan, lakin əvvəlkilərdən çox fərqli olan daha bir sübut var. 1909-cu ildə ingilis Hawkins tərəfindən nəşr edilmişdir; əvvəllər məlum olub-olmadığını söyləmək çətindir. Düzbucaqlı ABC üçbucağını C düzgün bucağı ilə 90 ° çevirin ki, A "CB" mövqeyini tutsun. Gəlin A "B" hipotenuzunu AB xəttini D nöqtəsində kəsənə qədər A "B" nöqtəsindən kənara uzadaq. B seqmenti D "AB" üçbucağının hündürlüyü olacaq. İndi kölgələnmiş A" AB "B dördbucağını nəzərdən keçirək. O, ola bilər. CAA" və SVB "(yaxud iki A" B "A və A" B "B" üçbucaqları. SCAA" = b² / 2 SCBB "= a² / 2 SA" AB "B = (a² + b²)) iki ikitərəfli üçbucaqlara parçalanmışdır. / 2 A" B " A və A "B" B üçbucaqlarının ümumi c əsası və DA və DB hündürlükləri var, buna görə də: SA "AB" B = c * DA / 2 + c * DB / 2 = c (DA + DB) ) / 2 = c² / 2 Sahə üçün alınan iki ifadəni müqayisə etdikdə alarıq: a ² + b ² = c ² Teorem isbat olundu.

Woldheim sübutu Bu sübut hesablama xarakterlidir. Birinci rəqəmdən istifadə edərək teoremi sübut etmək üçün trapezoidin sahəsini iki şəkildə ifadə etmək kifayətdir. Strapesiya = (a + b) ² / 2 Strapesiya = a²b² + c² / 2 Sağ tərəfləri bərabərləşdirərək alırıq: a² + b² = c² Teorem isbat edilmişdir.