Müvafiq bucaqlar düzgündür. İki xəttin paralellik əlamətləri

C xətti a və b paralel xətləri ilə kəsişir. Bu səkkiz künc yaradır. Paralel xətlərdəki bucaqlar və sekant məsələlərdə o qədər tez-tez istifadə olunur ki, həndəsədə onlara xüsusi adlar verilir.

Künclər 1 və 3 - şaquli. Aydındır ki, şaquli açılar bərabərdir, yəni
∠1 = ∠3,
∠2 = ∠4.

Təbii ki, 5 və 7, 6 və 8 bucaqları da şaqulidir.

Künclər 1 və 2 - əlaqəli, biz bunu artıq bilirik. Qonşu bucaqların cəmi 180º-dir.

3 və 5 bucaqlar (həmçinin 2 və 8, 1 və 7, 4 və 6) çarpaz şəkildə uzanır. Çarpaz bucaqlar bərabərdir.
∠3 = ∠5,
∠1 = ∠7,
∠2 = ∠8,
∠4 = ∠6.

Künclər 1 və 6 - birtərəfli. Onlar bütün "tikinti" nin bir tərəfində uzanırlar. 4 və 7 bucaqları da birtərəflidir. Birtərəfli bucaqların cəmi 180°-dir, yəni
∠1 + ∠6 = 180°,
∠4 + ∠7 = 180°.

2 və 6 bucaqlar (həmçinin 3 və 7, 1 və 5, 4 və 8) adlanır. müvafiq.

Uyğun açılar, yəni
∠2 = ∠6,
∠3 = ∠7.

3 və 5 bucaqlar (həmçinin 2 və 8, 1 və 7, 4 və 6) adlanır. çarpaz yatmaq.

Çarpaz bucaqlar bərabərdir, yəni
∠3 = ∠5,
∠1 = ∠7,
∠2 = ∠8,
∠4 = ∠6.

Bütün bu faktları USE problemlərinin həllində tətbiq etmək üçün onları rəsmdə görməyi öyrənmək lazımdır. Məsələn, paraleloqrama və ya trapesiyaya baxdıqda bir cüt paralel xətt və sekant, eləcə də birtərəfli bucaqlar görmək olar. Paraleloqramın diaqonalını çəkərək, çarpaz şəkildə uzanan bucaqları görürük. Bu, həlli təşkil edən addımlardan biridir.

1. Paraleloqramın küt bucağının bissektoru küt bucağın təpəsindən hesablanaraq qarşı tərəfi 3:4 nisbətində bölür. Perimetri 88-dirsə, paraleloqramın ən uzun tərəfini tapın.

Xatırladaq ki, bucağın bissektoru bucağın təpəsindən çıxan və bucağı yarıya bölən şüadır.

BM küt bucaq B-nin bissektrisa olsun. Şərtə görə, MD və AB seqmentləri müvafiq olaraq 3x və 4x-ə bərabərdir.

SVM və VMA bucaqlarını nəzərdən keçirin. AD və BC paralel olduğundan, BM sekantdır, CBM və BMA bucaqları çarpazdır. Biz kəsişən bucaqların bərabər olduğunu bilirik. Deməli, AVM üçbucağı ikitərəflidir, ona görə də AB = AM = 4x.

Paraleloqramın perimetri onun bütün tərəflərinin cəmidir, yəni
7x + 7x + 4x + 4x = 88.
Beləliklə, x = 4, 7x = 28.

2. Paraleloqramın diaqonalı iki tərəfi ilə 26º və 34º bucaqlar əmələ gətirir. Paraleloqramın ən böyük bucağını tapın. Cavabınızı dərəcələrlə verin.

Paraleloqramı və onun diaqonalını çəkin. Rəsmdə çarpaz bucaqları və birtərəfli bucaqları görərək, asanlıqla cavab alacaqsınız: 120º.

3. Qarşı bucaqlar arasındakı fərqin 50º olduğu məlumdursa, ikitərəfli trapezoidin ən böyük bucağı hansıdır? Cavabınızı dərəcələrlə verin.

Biz bunu bilirik isosceles(və ya isosceles) tərəfləri bərabər olan trapesiya adlanır. Buna görə də, yuxarı bazadakı bucaqlar, eləcə də aşağı bazadakı bucaqlar bərabərdir.

Rəsmə baxaq. Konvensiyaya görə, α - β = 50 °, yəni α = β + 50 °.

α və β bucaqları paralel xətlər və sekant ilə birtərəflidir, buna görə də,
α + β = 180°.

Beləliklə, 2β + 50 ° = 180 °
β = 65 °, sonra α = 115 °.

Cavab: 115.

EGE-Study » Tədris materialları » Həndəsə: sıfırdan C4-ə qədər » Üçbucağın hündürlükləri, medianları, bissektrisaları

İki xəttin paralellik əlamətləri

Teorem 1. Əgər sekansın iki xəttinin kəsişməsində:

diaqonal olaraq uzanan bucaqlar bərabərdir və ya

müvafiq açılar bərabərdir və ya

birtərəfli bucaqların cəmi 180°-dir, onda

xətlər paraleldir(şək. 1).

Sübut. Biz özümüzü 1-ci halın sübutu ilə məhdudlaşdırırıq.

Fərz edək ki, a və b xətlərinin kəsişməsində AB kəsicisi ilə uzanan bucaqlar bərabərdir. Məsələn, ∠ 4 = ∠ 6. Sübut edək ki, a || b.

Tutaq ki, a və b xətləri paralel deyil. Sonra onlar hansısa M nöqtəsində kəsişirlər və nəticədə 4 və ya 6 bucaqlarından biri ABM üçbucağının xarici bucağı olacaqdır. Müəyyənlik üçün ABM üçbucağının xarici küncü ∠ 4, daxili künc isə ∠ 6 olsun. Üçbucağın xarici bucağı ilə bağlı teoremdən belə çıxır ki, ∠ 4 ∠ 6-dan böyükdür və bu şərtə ziddir, yəni a və 6 xətləri kəsişə bilməz, ona görə də onlar paraleldirlər.

Nəticə 1. Eyni xəttə perpendikulyar olan müstəvidə iki fərqli xətt paraleldir(şək. 2).

Şərh. Teorem 1-in 1-ci halını indicə sübut etdiyimiz üsula ziddiyyət və ya absurdluğa endirmə ilə sübut üsulu deyilir. Bu üsul ilk adını ona görə almışdır ki, mülahizənin əvvəlində isbat edilməsi tələb olunanın əksinə (əksinə) olan bir fərziyyə irəli sürülür. Ona görə ki, absurda endirmə adlanır, ona görə ki, irəli sürülən fərziyyə əsasında mübahisə edərək, absurd bir nəticəyə (absurd) gəlirik. Belə bir nəticəyə gəlmək bizi əvvəldən irəli sürülmüş fərziyyəni rədd etməyə və sübut edilməsi tələb olunanı qəbul etməyə məcbur edir.

Tapşırıq 1. Verilmiş M nöqtəsindən keçən və verilmiş a xəttinə paralel, M nöqtəsindən keçməyən xətt qurun.

Qərar. M nöqtəsindən a xəttinə perpendikulyar p xətti çəkirik (şəkil 3).

Sonra M nöqtəsindən p xəttinə perpendikulyar b xətti çəkirik. Teorem 1-in nəticəsinə görə b xətti a xəttinə paraleldir.

Nəzərdən keçirilən problemdən mühüm nəticə çıxır:
Verilmiş xətt üzərində olmayan bir nöqtə vasitəsilə həmişə verilmiş xəttə paralel bir xətt çəkmək olar..

Paralel xətlərin əsas xüsusiyyəti aşağıdakı kimidir.

Paralel xətlərin aksioması. Verilmiş xəttdə olmayan verilmiş nöqtə vasitəsilə verilmiş xəttə paralel yalnız bir xətt keçir.

Bu aksiomadan irəli gələn paralel xətlərin bəzi xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirin.

1) Əgər xətt iki paralel xətdən birini kəsirsə, o, digərini də kəsir (şək. 4).

2) Əgər iki müxtəlif xətt üçüncü xəttə paraleldirsə, o zaman onlar paraleldirlər (şək. 5).

Aşağıdakı teorem də doğrudur.

Teorem 2. Əgər iki paralel xətti sekant kəsirsə, onda:

yalançı açılar bərabərdir;

müvafiq açılar bərabərdir;

birtərəfli bucaqların cəmi 180°-dir.

Nəticə 2. Bir xətt iki paralel xəttdən birinə perpendikulyardırsa, o, digərinə də perpendikulyardır.(Şəkil 2-ə baxın).

Şərh. Teorem 2, Teorem 1-in tərsi adlanır. Teorem 1-in nəticəsi Teorem 2-nin şərtidir. Teorem 1-in şərti isə Teorem 2-nin nəticəsidir. Hər bir teorem tərsinə malik deyil, yəni verilmiş teorem doğrudursa, onda tərs teorem yalan ola bilər.

Bunu şaquli bucaqlar haqqında teorem nümunəsi ilə izah edək. Bu teoremi aşağıdakı kimi tərtib etmək olar: əgər iki bucaq şaquli olarsa, onda onlar bərabərdirlər. Tərs teorem belə olardı: əgər iki bucaq bərabərdirsə, onlar şaquli olurlar. Və bu, təbii ki, doğru deyil. İki bərabər bucaq ümumiyyətlə şaquli olmamalıdır.

Misal 1İki paralel xətt üçdə biri ilə kəsişir. Məlumdur ki, iki daxili birtərəfli bucaq arasındakı fərq 30°-dir. Bu açıları tapın.

Qərar. Şəkil 6 şərtə cavab versin.

Sual 1. Hansı bucaqlara bitişik deyilir?
Cavab verin. Bir tərəfi ortaqdırsa və bu bucaqların digər tərəfləri bir-birini tamamlayan yarım xətlərdirsə, iki bucaq bitişik adlanır.
Şəkil 31-də künclər (a 1 b) və (a 2 b) bitişikdir. Onların ümumi b tərəfi var və a 1 və a 2 tərəfləri əlavə yarım xətlərdir.

Sual 2. Qonşu bucaqların cəminin 180° olduğunu sübut edin.
Cavab verin. Teorem 2.1. Qonşu bucaqların cəmi 180°-dir.
Sübut. Bucaq (a 1 b) və bucaq (a 2 b) bitişik bucaqlar verilsin (bax şək. 31). Şüa b işlənmiş bucağın a 1 və a 2 tərəfləri arasından keçir. Buna görə də (a 1 b) və (a 2 b) bucaqların cəmi işlənmiş bucağa bərabərdir, yəni. 180 °. Q.E.D.

Sual 3. Sübut edin ki, iki bucaq bərabərdirsə, onlara bitişik olan bucaqlar da bərabərdir.
Cavab verin.

Teoremdən 2.1 Buradan belə çıxır ki, əgər iki bucaq bərabərdirsə, onlara bitişik olan bucaqlar da bərabərdir.
Tutaq ki, (a 1 b) və (c 1 d) bucaqları bərabərdir. (a 2 b) və (c 2 d) bucaqlarının da bərabər olduğunu sübut etməliyik.
Qonşu bucaqların cəmi 180°-dir. Buradan belə nəticə çıxır ki, a 1 b + a 2 b = 180° və c 1 d + c 2 d = 180°. Beləliklə, a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b və c 2 d \u003d 180 ° - c 1 d. Bucaqlar (a 1 b) və (c 1 d) bərabər olduğundan, a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b \u003d c 2 d olduğunu alırıq. Bərabər işarənin keçicilik xassəsindən belə nəticə çıxır ki, a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Sual 4. Hansı bucaq düz (kəskin, küt) adlanır?
Cavab verin. 90°-yə bərabər olan bucaq düz bucaq adlanır.
90°-dən kiçik bucaq kəskin bucaq adlanır.
90°-dən böyük və 180°-dən kiçik bucaq küt bucaq adlanır.

Sual 5. Düz bucağa bitişik bucağın düz bucaq olduğunu sübut edin.
Cavab verin. Qonşu bucaqların cəminə dair teoremdən belə çıxır ki, düz bucağa bitişik bucaq düz bucaqdır: x + 90° = 180°, x= 180° - 90°, x = 90°.

Sual 6.Şaquli bucaqlar hansılardır?
Cavab verin. Bir bucağın tərəfləri digərinin tərəflərinin tamamlayıcı yarım xətləri olarsa, iki bucaq şaquli adlanır.

Sual 7.Şaquli bucaqların bərabər olduğunu sübut edin.
Cavab verin. Teorem 2.2. Şaquli açılar bərabərdir.
Sübut.(a 1 b 1) və (a 2 b 2) şaquli bucaqlar verilsin (şək. 34). Künc (a 1 b 2) küncə (a 1 b 1) və küncə (a 2 b 2) bitişikdir. Buradan, bitişik bucaqların cəminə dair teoremlə belə nəticəyə gəlirik ki, bucaqların hər biri (a 1 b 1) və (a 2 b 2) 180 ° -ə qədər (a 1 b 2) bucağı tamamlayır, yəni. bucaqlar (a 1 b 1) və (a 2 b 2) bərabərdir. Q.E.D.

Sual 8. Sübut edin ki, iki xəttin kəsişməsində bucaqlardan biri düz bucaqdırsa, digər üç bucaq da düzdür.
Cavab verin. Fərz edək ki, AB və CD xətləri bir-birini O nöqtəsində kəsir. Fərz edək ki, AOD bucaq 90°-dir. Qonşu bucaqların cəmi 180° olduğundan AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90° alırıq. COB bucağı AOD bucağına dikdir, ona görə də onlar bərabərdir. Yəni COB bucağı = 90°-dir. COA BOD-a dikdir, ona görə də onlar bərabərdir. Yəni BOD bucağı = 90°-dir. Beləliklə, bütün bucaqlar 90 ° -ə bərabərdir, yəni hamısı yaxşıdır. Q.E.D.

Sual 9. Hansı xətlərə perpendikulyar deyilir? Xətlərin perpendikulyarlığını göstərmək üçün hansı işarədən istifadə olunur?
Cavab verin.İki xətt düz bucaq altında kəsişirsə, ona perpendikulyar deyilir.
Xətlərin perpendikulyarlığı \(\perp\) ilə işarələnir. \(a\perp b\) girişində deyilir: "A xətti b xəttinə perpendikulyardır".

Sual 10. Sübut edin ki, xəttin istənilən nöqtəsi vasitəsilə ona perpendikulyar bir xətt çəkmək olar və yalnız bir.
Cavab verin. Teorem 2.3. Hər bir xətt vasitəsilə ona perpendikulyar bir xətt çəkə bilərsiniz və yalnız bir.
Sübut. Qoy a verilmiş xətt, A isə onun üzərində verilmiş nöqtə olsun. Başlanğıc nöqtəsi A olan a düz xətti ilə yarım xətlərdən birini 1 ilə işarələyin (şək. 38). Yarım xəttdən a 1 bucağı (a 1 b 1) 90 ° -ə bərabər bir kənara qoyun. Onda b 1 şüasını ehtiva edən xətt a xəttinə perpendikulyar olacaqdır.

Fərz edək ki, A nöqtəsindən də keçən və a xəttinə perpendikulyar olan başqa bir xətt var. b 1 şüası ilə eyni yarımmüstəvidə yerləşən bu xəttin yarım xəttini c 1 ilə işarələyin.
Hər biri 90°-yə bərabər olan bucaqlar (a 1 b 1) və (a 1 c 1) a 1 yarım xəttindən bir yarım müstəvidə düzülür. Ancaq yarım xəttdən 1, bu yarım müstəvidə yalnız 90 ° -ə bərabər olan bir bucaq kənara qoyula bilər. Buna görə də A nöqtəsindən keçən və a xəttinə perpendikulyar başqa bir xətt ola bilməz. Teorem sübut edilmişdir.

Sual 11. Xəttə perpendikulyar nədir?
Cavab verin. Verilmiş xəttə perpendikulyar, uclarından biri kəsişmə nöqtəsində olan, verilmiş xəttə perpendikulyar olan xətt seqmentidir. Seqmentin bu sonu deyilir əsas perpendikulyar.

Sual 12. Ziddiyyətlə sübutun nə olduğunu izah edin.
Cavab verin. Teorem 2.3-də istifadə etdiyimiz sübut üsuluna ziddiyyətlə sübut deyilir. Bu sübut üsulu ondan ibarətdir ki, biz əvvəlcə teoremdə deyilənlərin əksinə bir fərziyyə irəli sürək. Sonra mülahizə yürütməklə, aksiomlara və sübut edilmiş teoremlərə əsaslanaraq ya teoremin şərtinə, ya aksiomlardan birinə, ya da əvvəllər sübut edilmiş teoremə zidd olan nəticəyə gəlirik. Buna əsaslanaraq, fərziyyəmizin səhv olduğu qənaətinə gəlirik ki, bu da teoremin təsdiqinin doğru olması deməkdir.

Sual 13. Bucaq bisektoru nədir?
Cavab verin. Bucağın bissektoru bucağın təpəsindən gələn, onun tərəfləri arasından keçən və bucağı yarıya bölən şüadır.