Bənzər məxrəclərlə kəsrlərin vurulması nümunələri. Tənliklər sisteminin qurulması

) və məxrəcə görə məxrəc (məxrəcin məxrəcini alırıq).

Kəsrləri çoxaltmaq üçün düstur:

Misal üçün:

Numeratorları və məxrəcləri vurmağa başlamazdan əvvəl, kəsrin azaldıla biləcəyini yoxlamaq lazımdır. Əgər kəsri azalda bilsəniz, əlavə hesablamalar aparmağınız daha asan olacaq.

Adi kəsri kəsrə bölmək.

Natural ədədləri əhatə edən kəsrlərin bölünməsi.

Göründüyü qədər qorxulu deyil. Əlavədə olduğu kimi, tam ədədi məxrəcində bir olan kəsrə çeviririk. Misal üçün:

Qarışıq fraksiyaların vurulması.

Kəsrlərin vurulması qaydaları (qarışıq):

• qarışıq fraksiyaları düzgün olmayan fraksiyalara çevirmək;
• kəsrlərin say və məxrəclərinin vurulması;
• fraksiyanı azaltmaq;
• Əgər düzgün olmayan kəsr əldə edirsinizsə, onda düzgün olmayan kəsri qarışıq kəsrə çeviririk.

Qeyd! Qarışıq kəsri başqa bir qarışıq kəsrlə vurmaq üçün əvvəlcə onları düzgün olmayan fraksiyalar formasına çevirməli, sonra isə adi fraksiyaları vurma qaydasına uyğun olaraq çoxaltmalısınız.

Kəsiri natural ədədə vurmağın ikinci yolu.

Adi kəsri ədədə vurmaq üçün ikinci üsuldan istifadə etmək daha rahat ola bilər.

Qeyd! Kəsiri natural ədədə vurmaq üçün kəsrin məxrəcini bu ədədə bölmək və payı dəyişmədən saxlamaq lazımdır.

Yuxarıda verilmiş misaldan aydın olur ki, kəsrin məxrəci qalıqsız natural ədədə bölündükdə bu variantdan istifadə etmək daha əlverişlidir.

Çoxmərtəbəli fraksiyalar.

Orta məktəbdə tez-tez üç mərtəbəli (və ya daha çox) fraksiyalara rast gəlinir. Misal:

Belə bir kəsri adi formaya gətirmək üçün 2 nöqtəyə bölmədən istifadə edin:

Qeyd! Kəsrləri bölərkən bölmə sırası çox vacibdir. Ehtiyatlı olun, burada çaşmaq asandır.

Qeyd, Misal üçün:

Biri hər hansı bir kəsrə böldükdə nəticə eyni kəsr olacaq, yalnız ters çevrilir:

Kəsrləri çoxaltmaq və bölmək üçün praktiki məsləhətlər:

1. Kəsr ifadələrlə işləyərkən ən vacib şey dəqiqlik və diqqətlilikdir. Bütün hesablamaları diqqətlə və dəqiq, konsentrə və aydın şəkildə aparın. Qaralamada bir neçə əlavə sətir yazmaq zehni hesablamalarda itməkdən daha yaxşıdır.

2. Müxtəlif növ kəsrlər olan tapşırıqlarda adi kəsrlərin növünə keçin.

3. Artıq azaltmaq mümkün olmayana qədər bütün fraksiyaları azaldırıq.

4. Çoxsəviyyəli kəsr ifadələrini 2 nöqtəyə bölmədən istifadə edərək adi ifadələrə çeviririk.

5. Başınızdakı vahidi kəsrə bölün, sadəcə olaraq kəsri çevirin.

Keçən dəfə biz kəsrləri toplama və çıxarmağı öyrəndik (“Kəsrlərin əlavə edilməsi və çıxılması” dərsinə baxın). Bu hərəkətlərin ən çətin hissəsi kəsrləri ortaq məxrəcə gətirmək idi.

İndi vurma və bölmə ilə məşğul olmaq vaxtıdır. Yaxşı xəbər budur ki, bu əməliyyatlar əlavə və çıxmadan daha sadədir. Birincisi, ayrılmış tam hissəsi olmayan iki müsbət fraksiya olduqda ən sadə halı nəzərdən keçirək.

İki fraksiyanı çoxaltmaq üçün onların ədədlərini və məxrəclərini ayrıca vurmalısınız. Birinci ədəd yeni kəsrin payı, ikincisi isə məxrəci olacaq.

İki fraksiyanı bölmək üçün birinci fraksiyanı "ters çevrilmiş" ikinci fraksiyaya vurmaq lazımdır.

Təyinat:

Tərifdən belə çıxır ki, kəsrlərin bölünməsi vurmaya qədər azalır. Kəsiri “çevirmək” üçün sadəcə pay və məxrəci dəyişdirin. Buna görə də, dərs boyu biz əsasən vurmağı nəzərdən keçirəcəyik.

Çarpma nəticəsində azaldıla bilən bir fraksiya yarana bilər (və tez-tez yaranır) - əlbəttə ki, azaldılmalıdır. Bütün azalmalardan sonra fraksiya səhv olarsa, bütün hissə vurğulanmalıdır. Ancaq vurma ilə mütləq baş verməyəcək şey ümumi məxrəcə endirmədir: çarpaz metodlar, ən böyük amillər və ən kiçik ümumi çarpanlar yoxdur.

Tərifinə görə bizdə var:

Kəsrləri tam hissələrlə və mənfi kəsrlərlə vurmaq

Əgər fraksiyaların tam hissəsi varsa, onlar düzgün olmayanlara çevrilməlidir və yalnız bundan sonra yuxarıda göstərilən sxemlərə uyğun olaraq çoxaldılmalıdır.

Əgər kəsrin payında, məxrəcində və ya qarşısında mənfi olarsa, o, aşağıdakı qaydalara uyğun olaraq vurmadan çıxarıla və ya tamamilə silinə bilər:

1. Plus minus mənfi verir;
2. İki mənfi bir təsdiq edir.

İndiyə qədər bu qaydalara yalnız mənfi kəsrlərin toplanması və çıxılması zamanı, tam hissədən xilas olmaq lazım olduqda rast gəlinirdi. Bir iş üçün eyni anda bir neçə mənfi cəhətləri "yandırmaq" üçün ümumiləşdirilə bilər:

1. Neqativləri tamamilə yox olana qədər cüt-cüt kəsirik. Həddindən artıq hallarda, bir mənfi sağ qala bilər - yoldaşı olmayan;
2. Heç bir minus qalmazsa, əməliyyat tamamlandı - çarpmağa başlaya bilərsiniz. Sonuncu mənfi onun üçün cüt olmadığı üçün üstündən xətt çəkilməyibsə, onu vurma hüdudlarından kənara çıxarırıq. Nəticə mənfi bir hissədir.

Tapşırıq. İfadənin mənasını tapın:

Bütün fraksiyaları düzgün olmayanlara çeviririk və sonra vurmadan mənfiləri çıxarırıq. Qalanı adi qaydalara uyğun olaraq çoxaldırıq. Biz əldə edirik:

Bir daha xatırladıram ki, vurğulanmış tam hissəsi olan kəsrin qarşısında görünən mənfi yalnız onun bütün hissəsinə deyil, konkret olaraq bütün kəsrə aiddir (bu, son iki nümunəyə aiddir).

Mənfi ədədlərə də diqqət yetirin: çarpan zaman onlar mötərizələrə alınır. Bu, vurma işarələrindən minusları ayırmaq və bütün qeydi daha dəqiq etmək üçün edilir.

Tez fraksiyaların azaldılması

Vurma çox əmək tələb edən bir əməliyyatdır. Buradakı rəqəmlər olduqca böyükdür və problemi sadələşdirmək üçün kəsri daha da azaltmağa cəhd edə bilərsiniz. çarpmadan əvvəl. Həqiqətən də, mahiyyət etibarı ilə kəsrlərin say və məxrəcləri adi amillərdir və deməli, kəsrin əsas xassəsindən istifadə etməklə onları azaltmaq olar. Nümunələrə nəzər salın:

Tapşırıq. İfadənin mənasını tapın:

Tərifinə görə bizdə var:

Bütün nümunələrdə azaldılmış rəqəmlər və onlardan qalanlar qırmızı rənglə qeyd olunur.

Diqqət yetirin: birinci halda çarpanlar tamamilə azaldılıb. Onların yerində, ümumiyyətlə, yazılmasına ehtiyac olmayan vahidlər qalır. İkinci misalda, tam azalmaya nail olmaq mümkün olmadı, lakin hesablamaların ümumi məbləği yenə də azaldı.

Ancaq kəsrləri toplayan və çıxaran zaman bu texnikadan heç vaxt istifadə etməyin! Bəli, bəzən sadəcə azaltmaq istədiyiniz oxşar rəqəmlər var. Budur, baxın:

Sən bunu edə bilməzsən!

Səhv ona görə baş verir ki, toplama zamanı kəsrin payı ədədlərin hasilini deyil, cəmi çıxarır. Nəticə etibarilə, kəsrin əsas xassəsini tətbiq etmək mümkün deyil, çünki bu xassə xüsusi olaraq ədədlərin vurulması ilə məşğul olur.

Fraksiyaları azaltmaq üçün sadəcə başqa səbəblər yoxdur, buna görə də əvvəlki problemin düzgün həlli belə görünür:

Düzgün həll:

Gördüyünüz kimi, düzgün cavab o qədər də gözəl deyil. Ümumiyyətlə, diqqətli olun.

Orta və ali məktəb kurslarında tələbələr “Kəsrlər” mövzusunu əhatə edirdilər. Lakin bu anlayış təlim prosesində veriləndən daha genişdir. Bu gün kəsr anlayışına kifayət qədər tez-tez rast gəlinir və hər kəs hər hansı bir ifadəni hesablaya bilmir, məsələn, kəsrləri vurmaq.

Kəsr nədir?

Tarixən kəsr ədədlər ölçmək ehtiyacından yaranmışdır. Təcrübə göstərir ki, bir seqmentin uzunluğunu və düzbucaqlı düzbucağın həcmini təyin etmək üçün tez-tez nümunələr var.

Əvvəlcə tələbələr pay anlayışı ilə tanış olurlar. Məsələn, bir qarpızı 8 hissəyə bölsəniz, hər kəs qarpızın səkkizdə birini alacaq. Bu səkkizin bir hissəsi pay adlanır.

İstənilən dəyərin ½ hissəsinə bərabər olan pay yarım adlanır; ⅓ - üçüncü; ¼ - dörddə bir. 5/8, 4/5, 2/4 formalı qeydlərə adi kəsrlər deyilir. Adi kəsr paya və məxrəcə bölünür. Onların arasında kəsr çubuğu və ya kəsr çubuğu var. Kəsr xətti üfüqi və ya əyri xətt kimi çəkilə bilər. Bu halda bölgü işarəsini bildirir.

Məxrəc kəmiyyətin və ya obyektin neçə bərabər hissəyə bölündüyünü ifadə edir; sayı isə neçə eyni payın alındığıdır. Hiss kəsr xəttinin üstündə, məxrəc isə onun altında yazılır.

Koordinat şüasında adi fraksiyaları göstərmək ən əlverişlidir. Bir seqment 4 bərabər hissəyə bölünürsə, hər bir hissə Latın hərfi ilə təyin olunursa, nəticə əla vizual yardım ola bilər. Beləliklə, A nöqtəsi bütün vahid seqmentin 1/4 hissəsinə bərabər payı göstərir və B nöqtəsi verilmiş seqmentin 2/8 hissəsini göstərir.

Fraksiyaların növləri

Kəsrlər adi, onluq və qarışıq ədədlər ola bilər. Bundan əlavə, fraksiyaları düzgün və düzgün olmayana bölmək olar. Bu təsnifat adi fraksiyalar üçün daha uyğundur.

Düzgün kəsr, payı məxrəcindən kiçik olan ədəddir. Müvafiq olaraq, düzgün olmayan kəsr, payı məxrəcindən böyük olan ədəddir. İkinci növ adətən qarışıq ədəd kimi yazılır. Bu ifadə tam və kəsr hissədən ibarətdir. Məsələn, 1½. 1 tam hissədir, ½ kəsr hissədir. Bununla belə, ifadə ilə bəzi manipulyasiyalar aparmaq lazımdırsa (kəsrləri bölmək və ya vurmaq, onları azaltmaq və ya çevirmək), qarışıq ədəd düzgün olmayan kəsrə çevrilir.

Düzgün kəsr ifadəsi həmişə birdən kiçik, səhv olan isə həmişə 1-dən böyük və ya bərabərdir.

Bu ifadəyə gəlincə, biz hər hansı bir ədədin təmsil olunduğu, kəsr ifadəsinin məxrəcini bir neçə sıfırla birlə ifadə edə bilən qeydi nəzərdə tuturuq. Əgər kəsr düzgündürsə, onda onluq notasiyada tam hissə sıfıra bərabər olacaqdır.

Onluq kəsri yazmaq üçün əvvəlcə tam hissəni yazmalı, vergüllə kəsrdən ayırmalı və sonra kəsr ifadəsini yazmalısınız. Yadda saxlamaq lazımdır ki, ondalık nöqtədən sonra paylayıcıda məxrəcdə sıfırlar olduğu kimi rəqəmsal simvolların sayı eyni olmalıdır.

Misal. 7 21 / 1000 kəsrini onluq işarə ilə ifadə edin.

Düzgün olmayan kəsri qarışıq ədədə və əksinə çevirmə alqoritmi

Problemin cavabında düzgün olmayan kəsr yazmaq düzgün deyil, ona görə də onu qarışıq ədədə çevirmək lazımdır:

• payı mövcud məxrəcə bölmək;
• konkret misalda natamam hissə bütövdür;
• qalıq isə kəsr hissəsinin payıdır, məxrəc dəyişməz qalır.

Misal. Yanlış kəsri qarışıq ədədə çevirin: 47/5.

Həll. 47: 5. Qismən hissə 9, qalıq = 2. Deməli, 47/5 = 9 2/5.

Bəzən qarışıq ədədi düzgün olmayan kəsr kimi göstərmək lazımdır. Sonra aşağıdakı alqoritmdən istifadə etməlisiniz:

• tam hissə kəsr ifadəsinin məxrəci ilə vurulur;
• nəticədə alınan məhsul paylayıcıya əlavə olunur;
• nəticə payda yazılır, məxrəc dəyişməz qalır.

Misal. Ədədi qarışıq formada yanlış kəsr kimi təqdim edin: 9 8 / 10.

Həll. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 ədəddir.

Cavab verin: 98 / 10.

Fraksiyaların vurulması

Adi kəsrlər üzərində müxtəlif cəbri əməliyyatlar yerinə yetirilə bilər. İki ədədi çoxaltmaq üçün payı payla, məxrəci isə məxrəcə vurmaq lazımdır. Üstəlik, müxtəlif məxrəcli kəsrlərin çoxaldılması eyni məxrəcli kəsrlərin vurulmasından heç bir fərqi yoxdur.

Belə olur ki, nəticəni tapdıqdan sonra fraksiyanı azaltmaq lazımdır. Nəticə ifadəsini mümkün qədər sadələşdirmək vacibdir. Əlbəttə ki, cavabda düzgün olmayan kəsrin səhv olduğunu söyləmək olmaz, lakin onu düzgün cavab adlandırmaq da çətindir.

Misal. İki adi kəsrin hasilini tapın: ½ və 20/18.

Nümunədən göründüyü kimi, hasil tapıldıqdan sonra azaldıla bilən kəsr yazısı alınır. Bu vəziyyətdə həm say, həm də məxrəc 4-ə bölünür və nəticə 5/9 cavabıdır.

Onluq kəsrlərin vurulması

Onluq kəsrlərin hasili öz prinsipinə görə adi kəsrlərin hasilindən xeyli fərqlənir. Beləliklə, kəsrlərin çarpılması aşağıdakı kimidir:

• iki onluq kəsr biri digərinin altına yazılmalıdır ki, ən sağdakı rəqəmlər biri digərinin altında olsun;
• vergüllərə baxmayaraq, yazılı rəqəmləri, yəni natural ədədlər kimi vurmaq lazımdır;
• hər bir nömrədə onluq nöqtədən sonrakı rəqəmlərin sayını hesablayın;
• vurduqdan sonra əldə edilən nəticədə, ondalık nöqtədən sonra hər iki amildə cəmində olan rəqəmsal simvolları sağdan saymaq və ayırıcı işarə qoymaq lazımdır;
• məhsulda daha az ədəd varsa, bu rəqəmi əhatə etmək üçün onların qarşısına bir o qədər sıfır yazmaq, vergül qoymaq və sıfıra bərabər olan bütün hissəni əlavə etmək lazımdır.

Misal. İki onluq kəsrin hasilini hesablayın: 2.25 və 3.6.

Həll.

Qarışıq fraksiyaların vurulması

İki qarışıq fraksiyanın məhsulunu hesablamaq üçün fraksiyaları vurma qaydasından istifadə etməlisiniz:

• qarışıq ədədləri düzgün olmayan kəsrlərə çevirmək;
• sayların hasilini tapın;
• məxrəclərin hasilini tapın;
• nəticəni yazın;
• ifadəni mümkün qədər sadələşdirin.

Misal. 4½ və 6 2/5-in hasilini tapın.

Ədədin kəsrə vurulması (kəsirin ədədə)

İki fraksiya və qarışıq ədədlərin məhsulunu tapmaqdan əlavə, bir kəsrlə çoxaltmaq lazım olan tapşırıqlar var.

Beləliklə, onluq kəsrin və natural ədədin məhsulunu tapmaq üçün sizə lazımdır:

• rəqəmi kəsrin altına yazın ki, ən sağdakı rəqəmlər bir-birinin üstündə olsun;
• vergül olmasına baxmayaraq məhsulu tapın;
• nəticədə sağdan kəsrdəki onluq nöqtədən sonra yerləşən rəqəmlərin sayını vergüldən istifadə edərək tam hissəni kəsr hissədən ayırın.

Adi kəsri ədədə vurmaq üçün payın hasilini və natural faktoru tapmaq lazımdır. Cavab azaldıla bilən bir kəsr verirsə, onu çevirmək lazımdır.

Misal. 5/8 və 12-nin məhsulunu hesablayın.

Həll. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Cavab verin: 7 1 / 2.

Əvvəlki misaldan da göründüyü kimi, yaranan nəticəni azaltmaq və səhv kəsr ifadəsini qarışıq ədədə çevirmək lazım idi.

Kəsrlərin vurulması həm də qarışıq formada ədədin hasilinin və natural amilin tapılmasına aiddir. Bu iki ədədi çoxaltmaq üçün qarışıq faktorun bütün hissəsini ədədə vurmalı, payı eyni qiymətə vurmalı və məxrəci dəyişmədən buraxmalısınız. Lazım gələrsə, əldə edilən nəticəni mümkün qədər sadələşdirməlisiniz.

Misal. 9 5/6 və 9-un hasilini tapın.

Həll. 9 5/6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45/6 = 81 + 7 3/6 = 88 1/2.

Cavab verin: 88 1 / 2.

10, 100, 1000 və ya 0,1 əmsallarına vurma; 0,01; 0.001

Aşağıdakı qayda əvvəlki bənddən irəli gəlir. Onluq kəsri 10, 100, 1000, 10000 və s.-ə vurmaq üçün birdən sonra əmsalda sıfır varsa, ondalık nöqtəni sağa köçürmək lazımdır.

Misal 1. 0,065 və 1000-in hasilini tapın.

Həll. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Cavab verin: 65.

Misal 2. 3.9 və 1000-in hasilini tapın.

Həll. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Cavab verin: 3900.

Natural ədədi və 0,1-i vurmaq lazımdırsa; 0,01; 0,001; 0,0001 və s., birdən əvvəl sıfır varsa, nəticədə alınan məhsulda vergülü sola köçürməlisiniz. Lazım gələrsə, natural ədəddən əvvəl kifayət qədər sıfırlar yazılır.

Misal 1. 56 və 0,01-in hasilini tapın.

Həll. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Cavab verin: 0,56.

Misal 2. 4 və 0,001-in hasilini tapın.

Həll. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Cavab verin: 0,004.

Beləliklə, müxtəlif fraksiyaların hasilini tapmaq, bəlkə də nəticəni hesablamaqdan başqa heç bir çətinlik yaratmamalıdır; bu halda, sadəcə kalkulyator olmadan edə bilməzsiniz.

§ 87. Kəsrlərin toplanması.

Kəsrlərin əlavə edilməsinin tam ədədlərin toplanması ilə çox oxşarlıqları var. Kəsrlərin toplanması, verilmiş bir neçə ədədin (şərtlərin) bir ədədə (cəm) birləşdirilməsindən ibarət olan, termin vahidlərinin bütün vahidlərini və kəsrlərini ehtiva edən bir hərəkətdir.

Üç halı ardıcıl olaraq nəzərdən keçirəcəyik:

1. Bənzər məxrəcli kəsrlərin toplanması.
2. Məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlərin toplanması.
3. Qarışıq ədədlərin toplanması.

1. Bənzər məxrəcli kəsrlərin toplanması.

Məsələni nəzərdən keçirək: 1/5 + 2/5.

AB seqmentini götürək (şək. 17), onu bir kimi götürüb 5 bərabər hissəyə bölək, onda bu seqmentin AC hissəsi AB seqmentinin 1/5 hissəsinə, eyni CD seqmentinin hissəsi isə bərabər olacaq. 2/5 AB.

Rəsmdən aydın olur ki, AD seqmentini götürsək, 3/5 AB-ə bərabər olacaq; lakin AD seqmenti məhz AC və CD seqmentlərinin cəmidir. Beləliklə, yaza bilərik:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Bu şərtləri və yaranan cəmini nəzərə alsaq görərik ki, cəminin payı hədlərin paylarını toplamaqla alınmış, məxrəc isə dəyişməz qalmışdır.

Buradan aşağıdakı qaydanı alırıq: Eyni məxrəcli kəsrləri əlavə etmək üçün onların paylarını əlavə edib eyni məxrəci tərk etmək lazımdır.

Bir misala baxaq:

2. Məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlərin toplanması.

Fraksiyaları əlavə edək: 3/4 + 3/8 Əvvəlcə onları ən aşağı ortaq məxrəcə endirmək lazımdır:

Ara keçid 6/8 + 3/8 yazıla bilməz; aydınlıq üçün bura yazdıq.

Beləliklə, müxtəlif məxrəcləri olan kəsrləri toplamaq üçün əvvəlcə onları ən kiçik ortaq məxrəcə endirməli, onların saylarını əlavə etməli və ortaq məxrəci etiketləməlisiniz.

Məsələni nəzərdən keçirək (uyğun fraksiyaların üstündə əlavə amillər yazacağıq):

3. Qarışıq ədədlərin toplanması.

Rəqəmləri əlavə edək: 2 3/8 + 3 5/6.

Əvvəlcə ədədlərimizin kəsr hissələrini ortaq məxrəcə gətirək və onları yenidən yazaq:

İndi ardıcıl olaraq tam və kəsr hissələri əlavə edirik:

§ 88. Kəsrlərin çıxılması.

Kəsrlərin çıxarılması tam ədədlərin çıxılması ilə eyni şəkildə müəyyən edilir. Bu, iki terminin və onlardan birinin cəmini nəzərə alaraq, başqa bir terminin tapıldığı bir hərəkətdir. Ardıcıl üç halı nəzərdən keçirək:

1. Bənzər məxrəcli kəsrlərin çıxılması.
2. Məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlərin çıxılması.
3. Qarışıq ədədlərin çıxılması.

1. Bənzər məxrəcli kəsrlərin çıxılması.

Bir misala baxaq:

13 / 15 - 4 / 15

AB seqmentini götürək (şəkil 18), onu vahid kimi götürək və 15 bərabər hissəyə bölək; onda bu seqmentin AC hissəsi AB-nin 1/15 hissəsini, eyni seqmentin AD hissəsi isə 13/15 AB-yə uyğun olacaq. 4/15 AB-yə bərabər olan başqa bir ED seqmentini kənara qoyaq.

13/15-dən 4/15 kəsrini çıxarmalıyıq. Rəsmdə bu o deməkdir ki, ED seqmenti AD seqmentindən çıxılmalıdır. Nəticədə, AB seqmentinin 9/15 hissəsi olan AE seqmenti qalacaq. Beləliklə, yaza bilərik:

Verdiyimiz misal göstərir ki, fərqin payı sayları çıxmaqla alınmış, lakin məxrəc eyni qalmışdır.

Buna görə də, oxşar məxrəcləri olan kəsrləri çıxmaq üçün minuendin payından çıxılanın payını çıxarmaq və eyni məxrəci tərk etmək lazımdır.

2. Məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlərin çıxılması.

Misal. 3/4 - 5/8

Əvvəlcə bu kəsrləri ən aşağı ortaq məxrəcə endirək:

Aralıq 6 / 8 - 5 / 8 burada aydınlıq üçün yazılmışdır, lakin daha sonra atlana bilər.

Beləliklə, kəsrdən kəsri çıxarmaq üçün əvvəlcə onları ən kiçik ortaq məxrəcə endirməli, sonra minuendin payını minuendin payından çıxarmalı və onların fərqinin altındakı ümumi məxrəcə işarə etməlisiniz.

Bir misala baxaq:

3. Qarışıq ədədlərin çıxılması.

Misal. 10 3/4 - 7 2/3.

Minuendin kəsr hissələrini azaldaq və ən aşağı ortaq məxrəcə çıxaraq:

Tamdan tamı, kəsirdən isə kəsri çıxardıq. Amma elə hallar olur ki, çıxarmanın kəsr hissəsi minuendin kəsir hissəsindən böyük olur. Belə hallarda, minuendin bütün hissəsindən bir vahid götürmək, kəsr hissəsinin ifadə olunduğu hissələrə bölmək və onu minuendin kəsr hissəsinə əlavə etmək lazımdır. Və sonra çıxma əvvəlki nümunədə olduğu kimi həyata keçiriləcək:

§ 89. Kəsrlərin vurulması.

Kəsrin vurulmasını öyrənərkən aşağıdakı sualları nəzərdən keçirəcəyik:

1. Kəsirin tam ədədə vurulması.
2. Verilmiş ədədin kəsirinin tapılması.
3. Tam ədədi kəsrə vurmaq.
4. Kəsirin kəsrə vurulması.
5. Qarışıq ədədlərin vurulması.
6. Maraq anlayışı.
7. Verilmiş ədədin faizini tapmaq. Onları ardıcıl olaraq nəzərdən keçirək.

1. Kəsirin tam ədədə vurulması.

Kəsri tam ədədə vurmaq tam ədədi tam ədədə vurmaqla eyni məna daşıyır. Kəsri (çoxluğu) tam ədədə (amillə) vurmaq hər bir həddi çarpana, hədlərin sayı isə çarpana bərabər olan eyni şərtlərin cəmini yaratmaq deməkdir.

Bu o deməkdir ki, əgər 1/9-u 7-yə vurmaq lazımdırsa, bunu belə etmək olar:

Nəticəni asanlıqla əldə etdik, çünki hərəkət eyni məxrəcləri olan kəsrlərin əlavə edilməsinə qədər azaldıldı. Beləliklə,

Bu hərəkətin nəzərdən keçirilməsi göstərir ki, kəsri tam ədədə vurmaq bu kəsiri tam ədəddə vahidlərin sayı qədər artırmağa bərabərdir. Və bir kəsrin artırılması ya onun payını artırmaqla əldə edildiyi üçün

yaxud onun məxrəcini azaltmaqla , onda biz ya payı tam ədədə vura bilərik, ya da məxrəci ona bölə bilərik, əgər belə bölmə mümkündürsə.

Buradan qaydanı alırıq:

Kəsri tam ədədə vurmaq üçün siz payı həmin tam ədədə vurub məxrəci eyni qoyursunuz və ya mümkünsə məxrəci həmin ədədə bölərək, payı dəyişməz qoyursunuz.

Çoxaldıqda, qısaltmalar mümkündür, məsələn:

2. Verilmiş ədədin kəsirinin tapılması. Verilmiş ədədin bir hissəsini tapmalı və ya hesablamalı olduğunuz bir çox problem var. Bu problemlərin digərlərindən fərqi ondadır ki, onlar bəzi obyektlərin və ya ölçü vahidlərinin sayını verirlər və bu ədədin bir hissəsini tapmaq lazımdır ki, bu da burada müəyyən bir kəsrlə göstərilir. Anlamağı asanlaşdırmaq üçün əvvəlcə bu cür problemlərə nümunələr verəcəyik, sonra isə onların həlli üsulunu təqdim edəcəyik.

Tapşırıq 1. 60 rublum var idi; Bu pulun 1/3-ni kitab almağa xərcləmişəm. Kitabların qiyməti nə qədərdi?

Tapşırıq 2. Qatar A və B şəhərləri arasında 300 km-ə bərabər məsafə qət etməlidir. O, artıq bu məsafənin 2/3 hissəsini qət edib. Bu neçə kilometrdir?

Tapşırıq 3. Kənddə 400 ev var, onun 3/4 hissəsi kərpic, qalanı taxtadır. Ümumilikdə neçə kərpic ev var?

Bunlar verilmiş ədədin bir hissəsini tapmaq üçün qarşılaşdığımız çoxsaylı problemlərdən bəziləridir. Onlar adətən verilmiş ədədin kəsrini tapmaq üçün problemlər adlanır.

Problemin həlli 1. 60 rubldan. 1/3-ni kitablara sərf etdim; Bu o deməkdir ki, kitabların qiymətini tapmaq üçün 60 rəqəmini 3-ə bölmək lazımdır:

Problemin həlli 2. Problemin mahiyyəti ondan ibarətdir ki, 300 km-in 2/3 hissəsini tapmaq lazımdır. Əvvəlcə 300-ün 1/3 hissəsini hesablayaq; buna 300 km-i 3-ə bölməklə nail olunur:

300: 3 = 100 (bu 300-dən 1/3-ə bərabərdir).

300-ün üçdə ikisini tapmaq üçün ortaya çıxan əmsalı ikiqat artırmalı, yəni 2-yə vurmalısınız:

100 x 2 = 200 (bu 300-dən 2/3-ə bərabərdir).

Problemin həlli 3. Burada 400-ün 3/4-ni təşkil edən kərpic evlərin sayını müəyyən etmək lazımdır. Gəlin əvvəlcə 400-ün 1/4 hissəsini tapaq,

400: 4 = 100 (bu 400-dən 1/4-ə bərabərdir).

400-ün dörddə üçünü hesablamaq üçün nəticədə əmsal üçqat, yəni 3-ə vurulmalıdır:

100 x 3 = 300 (bu 400-dən 3/4-ə bərabərdir).

Bu problemlərin həllinə əsaslanaraq aşağıdakı qaydanı əldə edə bilərik:

Verilmiş ədəddən kəsrin qiymətini tapmaq üçün bu ədədi kəsrin məxrəcinə bölmək və yaranan hissəni onun payına vurmaq lazımdır.

3. Tam ədədi kəsrə vurmaq.

Əvvəllər (§ 26) müəyyən edilmişdir ki, tam ədədlərin vurulması dedikdə, eyni şərtlərin əlavə edilməsi başa düşülməlidir (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Bu bənddə (1-ci bənd) müəyyən edilmişdir ki, kəsri tam ədədə vurmaq bu kəsrə bərabər olan eyni hədlərin cəmini tapmaq deməkdir.

Hər iki halda vurma eyni şərtlərin cəminin tapılmasından ibarət idi.

İndi tam ədədi kəsrə vurmağa davam edirik. Burada, məsələn, çarpma ilə qarşılaşacağıq: 9 2 / 3. Aydındır ki, vurmanın əvvəlki tərifi bu işə aid deyil. Bu, bərabər ədədləri toplamaqla belə vurmanı əvəz edə bilməyəcəyimizdən aydın olur.

Bu səbəbdən biz vurmanın yeni tərifini verməli olacağıq, yəni kəsrə vurmaqla nə başa düşülməlidir, bu hərəkət necə başa düşülməlidir sualına cavab verməliyik.

Tam ədədi kəsrə vurmağın mənası aşağıdakı tərifdən aydın olur: tam ədədi (çoxluğu) kəsrə (çoxluq) vurmaq vurmanın bu hissəsini tapmaq deməkdir.

Yəni 9-u 2/3-ə vurmaq doqquz vahidin 2/3-ni tapmaq deməkdir. Əvvəlki paraqrafda belə problemlər həll edildi; ona görə də başa düşmək asandır ki, biz 6 ilə yekunlaşacağıq.

Amma indi maraqlı və vacib sual yaranır: niyə bərabər ədədlərin cəmini tapmaq və ədədin kəsrini tapmaq kimi bir-birindən fərqli görünən əməliyyatlar arifmetikada eyni “vurma” sözü ilə adlanır?

Bu ona görə baş verir ki, əvvəlki hərəkət (bir neçə dəfə şərtlərlə ədədi təkrarlamaq) və yeni hərəkət (ədədin kəsirini tapmaq) eynicinsli suallara cavab verir. Bu o deməkdir ki, biz burada homojen sualların və ya vəzifələrin eyni hərəkətlə həll edildiyi mülahizələrindən çıxış edirik.

Bunu başa düşmək üçün aşağıdakı problemi nəzərdən keçirək: “1 m parça 50 rubla başa gəlir. Belə bir parçanın 4 m-i nə qədər olacaq?

Bu problem rublun sayını (50) sayğacların sayına (4), yəni 50 x 4 = 200 (rubl) vurmaqla həll edilir.

Gəlin eyni problemi götürək, amma orada parça miqdarı fraksiya şəklində ifadə olunacaq: “1 m parça 50 rubla başa gəlir. Belə parçanın 3/4 m-i neçəyə başa gələcək?”

Bu problemi də rublun sayını (50) sayğacların sayına (3/4) vurmaqla həll etmək lazımdır.

Problemin mənasını dəyişdirmədən içindəki nömrələri bir neçə dəfə dəyişdirə bilərsiniz, məsələn, 9/10 m və ya 2 3/10 m və s.

Bu məsələlər eyni məzmuna malik olduğundan və yalnız ədədlərlə fərqləndiyindən onların həllində istifadə olunan hərəkətləri eyni söz - vurma adlandırırıq.

Tam ədədi kəsrə necə vurmaq olar?

Son problemdə rast gəlinən rəqəmləri götürək:

Tərifə görə 50-nin 3/4-ni tapmalıyıq.Əvvəlcə 50-nin 1/4, sonra isə 3/4-ü tapaq.

50-nin 1/4-ü 50/4-dür;

50 ədədinin 3/4 hissəsi .

Beləliklə.

Başqa bir misala baxaq: 12 5/8 =?

12 rəqəminin 1/8 hissəsi 12/8-dir,

12 rəqəminin 5/8 hissəsidir.

Beləliklə,

Buradan qaydanı alırıq:

Tam ədədi kəsrə vurmaq üçün tam ədədi kəsrin payına vurmaq və bu hasili paya çevirmək və bu kəsrin məxrəcini məxrəc kimi imzalamaq lazımdır.

Bu qaydanı hərflərdən istifadə edərək yazaq:

Bu qaydanı tamamilə aydınlaşdırmaq üçün bir kəsirin bir hissə kimi qəbul edilə biləcəyini xatırlamaq lazımdır. Buna görə də, tapılmış qaydanı § 38-də göstərilən ədədi bölməyə vurma qaydası ilə müqayisə etmək faydalıdır.

Yadda saxlamaq lazımdır ki, vurma etməzdən əvvəl (mümkünsə) etməlisiniz. azalmalar, Misal üçün:

4. Kəsirin kəsrə vurulması. Kəsri kəsrə vurmaq tam ədədi kəsrə vurmaqla eyni məna daşıyır, yəni bir kəsi kəsrə vurarkən birinci kəsrdən (vurmalı) əmsalda olan kəsri tapmaq lazımdır.

Yəni 3/4-ü 1/2-yə (yarım) vurmaq 3/4-ün yarısını tapmaq deməkdir.

Kəsiri kəsrə necə vurmaq olar?

Bir misal götürək: 3/4 5/7 ilə vurulur. Bu o deməkdir ki, 3/4-dən 5/7-ni tapmaq lazımdır. Əvvəlcə 3/4-ün 1/7 hissəsini, sonra isə 5/7-ni tapaq

3/4 ədədinin 1/7 hissəsi aşağıdakı kimi ifadə olunacaq:

5/7 rəqəmləri 3/4 aşağıdakı kimi ifadə olunacaq:

Beləliklə,

Başqa bir misal: 5/8 4/9 ilə vurulur.

5/8-in 1/9-u ,

5/8 ədədinin 4/9 hissəsidir.

Beləliklə,

Bu nümunələrdən aşağıdakı qaydanı çıxarmaq olar:

Kəsiri kəsrə vurmaq üçün payı paya, məxrəci isə məxrəcə vurmalı və birinci hasilini paya, ikinci hasilini isə hasilin məxrəcinə çevirmək lazımdır.

Bu qayda ümumi formada aşağıdakı kimi yazıla bilər:

Çoxaldıqda (mümkünsə) azalmalar etmək lazımdır. Nümunələrə baxaq:

5. Qarışıq ədədlərin vurulması. Qarışıq ədədləri düzgün olmayan kəsrlərlə asanlıqla əvəz etmək mümkün olduğundan, bu hal adətən qarışıq ədədləri vurarkən istifadə olunur. Bu o deməkdir ki, çarpan və ya çarpan və ya hər iki amil qarışıq ədədlər kimi ifadə edildikdə, onlar düzgün olmayan kəsrlərlə əvəz olunur. Məsələn, qarışıq ədədləri çoxaldaq: 2 1/2 və 3 1/5. Gəlin onların hər birini düzgün olmayan kəsrə çevirək və sonra yaranan fraksiyaları kəsri kəsrə vurma qaydasına uyğun olaraq çoxaldaq:

Qayda. Qarışıq ədədləri çoxaltmaq üçün əvvəlcə onları düzgün olmayan kəsrlərə çevirməli və sonra kəsrləri kəsrlərə vurma qaydasına uyğun olaraq çoxaltmalısınız.

Qeyd.Əgər amillərdən biri tam ədəddirsə, onda vurma paylanma qanununa əsasən aşağıdakı kimi həyata keçirilə bilər:

6. Maraq anlayışı. Məsələləri həll edərkən və müxtəlif praktiki hesablamalar apararkən biz hər növ kəsrlərdən istifadə edirik. Ancaq nəzərə almaq lazımdır ki, bir çox miqdar onlar üçün hər hansı bir deyil, təbii bölünməyə imkan verir. Məsələn, rublun yüzdə birini (1/100) götürə bilərsiniz, bir qəpik olacaq, iki yüzdə biri 2 qəpik, üç yüzdə biri 3 qəpikdir. Rublun 1/10 hissəsini götürə bilərsiniz, "10 qəpik, ya da on qəpiklik olacaq. Rublun dörddə biri, yəni 25 qəpik, yarım rubl, yəni 50 qəpik (əlli qəpik) ala bilərsiniz. Amma onlar praktiki olaraq götürmürlər, məsələn , rublun 2/7 hissəsi, çünki rubl yeddiyə bölünmür.

Çəki vahidi, yəni kiloqram, ilk növbədə onluq bölmələrə imkan verir, məsələn, 1/10 kq və ya 100 q. Və kiloqramın 1/6, 1/11, 1/13 kimi fraksiyaları ümumi deyil.

Ümumiyyətlə, bizim (metrik) ölçülərimiz ondalıkdır və onluq bölmələrə imkan verir.

Bununla belə, qeyd etmək lazımdır ki, kəmiyyətləri bölmək üçün eyni (vahid) üsuldan istifadə etmək çox müxtəlif hallarda son dərəcə faydalı və rahatdır. Çoxillik təcrübə göstərdi ki, belə əsaslandırılmış bölgü “yüzüncü” bölgüdür. İnsan praktikasının ən müxtəlif sahələrinə aid bir neçə nümunəni nəzərdən keçirək.

1. Kitabların qiyməti əvvəlki qiymətdən 12/100 ucuzlaşıb.

Misal. Kitabın əvvəlki qiyməti 10 rubl idi. 1 rubl azaldı. 20 qəpik

2. Əmanət kassaları əmanətçilərə il ərzində əmanət üçün qoyulan məbləğin 2/100 hissəsini ödəyir.

Misal. Kassaya 500 rubl qoyulur, il ərzində bu məbləğdən gəlir 10 rubl təşkil edir.

3. Bir məktəbi bitirənlərin sayı ümumi şagirdlərin 5/100 hissəsini təşkil edirdi.

NÜMUNƏ Məktəbdə cəmi 1200 şagird var idi, onlardan 60-ı bitirdi.

Ədədin yüzüncü hissəsi faiz adlanır.

"Faiz" sözü latın dilindən götürülmüşdür və onun kökü "cent" yüz deməkdir. Ön söz (pro centum) ilə birlikdə bu söz "yüz üçün" mənasını verir. Bu ifadənin mənası ondan irəli gəlir ki, əvvəlcə qədim Romada faiz borclunun borc verənə “hər yüz üçün” ödədiyi pula verilən ad idi. “Sent” sözü belə tanış sözlərdə eşidilir: sentner (yüz kiloqram), santimetr (santimetr deyin).

Məsələn, son bir ayda zavodun istehsal etdiyi bütün məhsulların 1/100-də qüsurlu olduğunu demək əvəzinə, belə deyəcəyik: son bir ayda zavod bir faiz qüsur istehsal edib. Zavod müəyyən edilmiş plandan 4/100 çox məhsul istehsal etmək əvəzinə, deyəcəyik: zavod planı 4 faiz artıqlaması ilə yerinə yetirmişdir.

Yuxarıdakı nümunələr fərqli şəkildə ifadə edilə bilər:

1. Kitabların qiyməti əvvəlki qiymətdən 12 faiz ucuzlaşıb.

2. Əmanət kassaları əmanətçilərə əmanətə qoyulan məbləğdən ildə 2 faiz ödəyir.

3. Bir məktəbi bitirənlərin sayı bütün məktəb şagirdlərinin 5 faizini təşkil edirdi.

Hərfi qısaltmaq üçün “faiz” sözünün yerinə % simvolunun yazılması adətdir.

Bununla belə, yadda saxlamaq lazımdır ki, hesablamalarda % işarəsi adətən yazılmır, onu problem bəyanatında və yekun nəticədə yazmaq olar. Hesablamalar apararkən bu işarə ilə tam ədədin yerinə məxrəci 100 olan kəsr yazmaq lazımdır.

Göstərilən işarə ilə tam ədədi məxrəci 100 olan kəsrlə əvəz edə bilməlisiniz:

Əksinə, məxrəci 100 olan kəsrin əvəzinə göstərilən simvolu olan tam ədədi yazmağa alışmalısınız:

7. Verilmiş ədədin faizini tapmaq.

Tapşırıq 1. Məktəbə 200 kubmetr qaz verilib. m odun, ağcaqayın odunun 30%-ni təşkil edir. Nə qədər ağcaqayın odun var idi?

Bu problemin mənası ondan ibarətdir ki, ağcaqayın odunları məktəbə gətirilən odunların yalnız bir hissəsini təşkil edirdi və bu hissə 30/100 fraksiyasında ifadə edilir. Bu o deməkdir ki, bizim qarşımızda ədədin kəsirini tapmaq vəzifəsi var. Onu həll etmək üçün 200-ü 30/100-ə vurmalıyıq (ədədin kəsirinin tapılması məsələləri ədədi kəsrə vurmaqla həll edilir.).

Bu o deməkdir ki, 200-ün 30%-i 60-a bərabərdir.

Bu problemdə rast gəlinən 30/100 fraksiyasını 10-a endirmək olar. Bu azalmanı lap əvvəldən həyata keçirmək olardı; problemin həlli dəyişməzdi.

Tapşırıq 2. Düşərgədə müxtəlif yaşlarda olan 300 uşaq var idi. 11 yaşlı uşaqlar 21%, 12 yaşlı uşaqlar 61% və nəhayət 13 yaşlı uşaqlar 18% təşkil edib. Düşərgədə hər yaşda neçə uşaq var idi?

Bu problemdə üç hesablama aparmalısınız, yəni ardıcıl olaraq 11 yaşında, sonra 12 yaşında və nəhayət 13 yaşında olan uşaqların sayını tapın.

Bu o deməkdir ki, burada üç dəfə ədədin kəsirini tapmaq lazımdır. Gəl edək:

1) 11 yaşında neçə uşaq var idi?

2) 12 yaşında neçə uşaq var idi?

3) 13 yaşında neçə uşaq var idi?

Problemi həll etdikdən sonra tapılan nömrələri əlavə etmək faydalıdır; onların cəmi 300 olmalıdır:

63 + 183 + 54 = 300

Onu da qeyd etmək lazımdır ki, problem bəyanatında verilən faizlərin cəmi 100-dür:

21% + 61% + 18% = 100%

Bu, düşərgədəki uşaqların ümumi sayının 100% kimi götürüldüyünü deməyə əsas verir.

3 a d a h a 3.İşçi ayda 1200 rubl alırdı. Bunun 65 faizini yeməyə, 6 faizini mənzillərə və istiliyə, 4 faizini qaz, işıq və radioya, 10 faizini mədəni ehtiyaclara, 15 faizini isə qənaət edib. Problemdə göstərilən ehtiyaclara nə qədər vəsait xərclənib?

Bu məsələni həll etmək üçün 1200-ün kəsrini 5 dəfə tapmaq lazımdır.Bunu edək.

1) Yemək üçün nə qədər pul xərcləndi? Problem deyir ki, bu xərc ümumi qazancın 65%-ni, yəni 1200 rəqəminin 65/100-ünü təşkil edir. Gəlin hesablama aparaq:

2) İstilikli mənzilə nə qədər pul ödəmisiniz? Əvvəlki ilə eyni şəkildə əsaslandıraraq, aşağıdakı hesablamaya gəlirik:

3) Qaz, işıq və radio üçün nə qədər pul ödəmisiniz?

4) Mədəni ehtiyaclara nə qədər pul xərclənib?

5) İşçi nə qədər pul yığdı?

Yoxlamaq üçün bu 5 sualda tapılan rəqəmləri toplamaq faydalıdır. Məbləğ 1200 rubl olmalıdır. Bütün qazanclar 100% kimi qəbul edilir, problem bəyanatında verilən faiz rəqəmlərini əlavə etməklə yoxlamaq asandır.

Üç problemi həll etdik. Baxmayaraq ki, bu problemlər müxtəlif məsələlərdən (məktəb üçün odun tədarükü, müxtəlif yaşda olan uşaqların sayı, fəhlənin xərcləri) məşğul olurdu. Bu ona görə baş verdi ki, bütün məsələlərdə verilmiş ədədlərin bir neçə faizini tapmaq lazım idi.

§ 90. Kəsrlərin bölünməsi.

Kəsrlərin bölünməsini öyrənərkən aşağıdakı sualları nəzərdən keçirəcəyik:

1. Tam ədədi tam ədədə bölün.
2. Kəsirin tam ədədə bölünməsi
3. Tam ədədin kəsrə bölünməsi.
4. Kəsirin kəsrə bölünməsi.
5. Qarışıq ədədlərin bölünməsi.
6. Verilmiş kəsrindən ədədin tapılması.
7. Ədədin faizinə görə tapılması.

Onları ardıcıl olaraq nəzərdən keçirək.

1. Tam ədədi tam ədədə bölün.

Tam ədədlər bölməsində göstərildiyi kimi, bölmə iki amilin (dividend) hasilini (bölən) və bu amillərdən birinin (bölən) hasilini nəzərə alaraq, başqa bir amilin tapılmasından ibarət olan hərəkətdir.

Tam ədədlər bölməsində tam ədədin tam ədədə bölünməsinə baxdıq. Orada iki bölmə halı ilə qarşılaşdıq: qalıqsız bölmə və ya “bütün” (150: 10 = 15) və qalıq ilə bölmə (100: 9 = 11 və 1 qalıq). Buna görə deyə bilərik ki, tam ədədlər sahəsində dəqiq bölmə həmişə mümkün olmur, çünki dividend həmişə bölənin tam ədədə hasili olmur. Kəsrə vurma tətbiq edildikdən sonra tam ədədlərin bölünməsinin istənilən halını mümkün hesab edə bilərik (yalnız sıfıra bölmə istisna olunur).

Məsələn, 7-nin 12-yə bölünməsi hasilinin 12-yə bərabər olacağı bir ədədin tapılması deməkdir. Belə bir ədəd 7/12 kəsridir, çünki 7/12 12 = 7. Başqa bir misal: 14: 25 = 14/25, çünki 14/25 25 = 14.

Beləliklə, tam ədədi tam ədədə bölmək üçün payı dividendlərə, məxrəci isə bölənə bərabər olan kəsr yaratmaq lazımdır.

2. Kəsirin tam ədədə bölünməsi.

6/7 kəsri 3-ə bölün. Yuxarıda verilmiş bölmənin tərifinə əsasən, burada hasil (6/7) və amillərdən biri (3) var; 3-ə vurulduqda verilmiş hasili 6/7 verəcək ikinci amili tapmaq tələb olunur. Aydındır ki, bu məhsuldan üç dəfə kiçik olmalıdır. Bu o deməkdir ki, qarşımıza qoyulan vəzifə 6/7 kəsri 3 dəfə azaltmaq idi.

Biz artıq bilirik ki, kəsri azaltmaq ya onun payını azaltmaqla, ya da məxrəci artırmaqla edilə bilər. Buna görə yaza bilərsiniz:

Bu halda 6 ədədi 3-ə bölünür, ona görə də pay 3 dəfə azaldılmalıdır.

Başqa bir misal götürək: 5/8 2-yə bölünür. Burada 5 ədədi 2-yə bölünmür, yəni məxrəci bu ədədə vurmaq lazım gələcək:

Buna əsaslanaraq bir qayda yaratmaq olar: Kəsiri tam ədədə bölmək üçün kəsrin payını həmin tam ədədə bölmək lazımdır.(Əgər mümkünsə), eyni məxrəci tərk edərək və ya kəsrin məxrəcini bu ədədə vuraraq eyni payı qoyub.

3. Tam ədədin kəsrə bölünməsi.

5-i 1/2-yə bölmək lazım gəlsin, yəni 1/2-yə vurduqdan sonra hasili 5-i verəcək ədəd tapılsın. Aydındır ki, bu rəqəm 5-dən böyük olmalıdır, çünki 1/2 düzgün kəsrdir. , və ədədi vurarkən düzgün kəsrin hasili vurulan hasildən az olmalıdır. Bunu daha aydın etmək üçün hərəkətlərimizi belə yazaq: 5: 1/2 = X , bu x 1/2 = 5 deməkdir.

Belə bir rəqəm tapmalıyıq X , bu, 1/2-yə vurularsa, 5 verəcəkdir. Müəyyən bir ədədi 1/2-yə vurmaq bu ədədin 1/2 hissəsini tapmaq deməkdir, deməli, naməlum ədədin 1/2-i X 5-ə və tam ədədə bərabərdir X iki dəfə çox, yəni 5 2 = 10.

Beləliklə, 5: 1/2 = 5 2 = 10

yoxlayaq:

Başqa bir misala baxaq. Tutaq ki, 6-nı 2/3-ə bölmək lazımdır. Əvvəlcə rəsmdən istifadə edərək istədiyiniz nəticəni tapmağa çalışaq (şək. 19).

Şəkil 19

6 vahidə bərabər AB seqmentini çəkək və hər bir vahidi 3 bərabər hissəyə bölək. Hər bir vahiddə bütün AB seqmentinin üçdə üçü (3/3) 6 dəfə böyükdür, yəni. e. 18/3. Kiçik mötərizələrdən istifadə edərək, nəticədə 2-nin 18 seqmentini birləşdiririk; Cəmi 9 seqment olacaq. Bu o deməkdir ki, 2/3 kəsr 6 vahiddə 9 dəfə olur və ya başqa sözlə, 2/3 kəsir 6 tam vahiddən 9 dəfə azdır. Beləliklə,

Yalnız hesablamalardan istifadə edərək rəsm çəkmədən bu nəticəni necə əldə etmək olar? Gəlin belə əsaslandıraq: 6-nı 2/3-ə bölmək lazımdır, yəni 6-da 2/3-ün neçə dəfə olduğu sualına cavab verməliyik. Əvvəlcə öyrənək: 6-da 1/3 neçə dəfədir? Bütöv vahiddə üçdə 3, 6 vahiddə isə 6 dəfə çox, yəni üçdə 18; bu rəqəmi tapmaq üçün 6-nı 3-ə vurmalıyıq. Bu o deməkdir ki, 1/3 b vahidlərində 18 dəfə, 2/3 isə b vahidlərində 18 dəfə deyil, yarısı qədərdir, yəni 18: 2 = 9 Beləliklə, 6-nı 2/3-ə bölərkən aşağıdakıları etdik:

Buradan tam ədədi kəsrə bölmə qaydasını alırıq. Tam ədədi kəsrə bölmək üçün bu tam ədədi verilmiş kəsrin məxrəcinə vurmalı və bu hasili saya çevirərək, onu verilmiş kəsrin payına bölmək lazımdır.

Hərflərdən istifadə edərək qaydanı yazaq:

Bu qaydanı tamamilə aydınlaşdırmaq üçün bir kəsirin bir hissə kimi qəbul edilə biləcəyini xatırlamaq lazımdır. Buna görə də, tapılmış qaydanı § 38-də göstərilən ədədi bölməyə bölmək qaydası ilə müqayisə etmək faydalıdır. Nəzərə alın ki, eyni düstur orada da alınıb.

Bölmə zamanı ixtisarlar mümkündür, məsələn:

4. Kəsirin kəsrə bölünməsi.

Tutaq ki, 3/4-ü 3/8-ə bölmək lazımdır. Bölmə nəticəsində yaranan rəqəm nə deməkdir? 3/8 kəsrinin 3/4 kəsrində neçə dəfə olduğu sualına cavab verəcəkdir. Bu məsələni başa düşmək üçün rəsm çəkək (şək. 20).

AB seqmentini götürək, onu bir kimi götürək, 4 bərabər hissəyə bölək və 3 belə hissəni qeyd edək. AC seqmenti AB seqmentinin 3/4 hissəsinə bərabər olacaq. İndi dörd orijinal seqmentin hər birini yarıya bölək, onda AB seqmenti 8 bərabər hissəyə bölünəcək və hər belə hissə AB seqmentinin 1/8 hissəsinə bərabər olacaqdır. 3 belə seqmenti qövslərlə birləşdirək, onda AD və DC seqmentlərinin hər biri AB seqmentinin 3/8 hissəsinə bərabər olacaqdır. Rəsm göstərir ki, 3/8-ə bərabər bir seqment 3/4-ə bərabər olan seqmentdə tam olaraq 2 dəfə yer alır; Bu o deməkdir ki, bölmənin nəticəsi aşağıdakı kimi yazıla bilər:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Başqa bir misala baxaq. Tutaq ki, 15/16-nı 3/32-yə bölmək lazımdır:

Bunu belə əsaslandıra bilərik: 3/32-yə vurduqdan sonra 15/16-ya bərabər məhsul verəcək bir ədəd tapmaq lazımdır. Hesablamaları belə yazaq:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 naməlum nömrə X 15/16-dır

Naməlum nömrənin 1/32-si X ,

32/32 nömrələr X makiyaj etmək.

Beləliklə,

Beləliklə, bir kəsi kəsrə bölmək üçün birinci kəsrin payını ikincinin məxrəcinə vurmalı və birinci kəsrin məxrəcini ikincinin payına vurmalı və birinci hasilini paya çevirməlisən. ikincisi isə məxrəcdir.

Hərflərdən istifadə edərək qaydanı yazaq:

Bölmə zamanı ixtisarlar mümkündür, məsələn:

5. Qarışıq ədədlərin bölünməsi.

Qarışıq ədədləri bölərkən əvvəlcə düzgün olmayan kəsrlərə çevirmək, sonra isə yaranan kəsrləri kəsrlərin bölünməsi qaydalarına uyğun olaraq bölmək lazımdır. Bir misala baxaq:

Qarışıq ədədləri düzgün olmayan kəsrlərə çevirək:

İndi bölünək:

Beləliklə, qarışıq ədədləri bölmək üçün onları düzgün olmayan kəsrlərə çevirməli və sonra kəsrlərin bölünməsi qaydasından istifadə edərək bölmək lazımdır.

6. Verilmiş kəsrindən ədədin tapılması.

Müxtəlif fraksiya məsələləri arasında bəzən naməlum ədədin hansısa kəsrinin qiymətinin verildiyi və bu ədədi tapmaq lazım olanlar var. Bu tip məsələ verilmiş ədədin kəsrini tapmaq məsələsinin tərsi olacaq; orada bir ədəd verilmişdi və bu ədədin bir hissəsini tapmaq tələb olunurdu, burada ədədin bir hissəsi verilmişdir və bu ədədin özünü tapmaq tələb olunurdu. Bu tip problemin həllinə müraciət etsək, bu fikir daha da aydınlaşacaq.

Tapşırıq 1.İlk gün şüşəçilər 50 pəncərəni şüşələyiblər ki, bu da tikilmiş evin bütün pəncərələrinin 1/3 hissəsidir. Bu evdə neçə pəncərə var?

Həll. Problem deyir ki, 50 şüşəli pəncərə evin bütün pəncərələrinin 1/3-ni təşkil edir, yəni cəmi 3 dəfə çox pəncərə var, yəni.

Evin 150 pəncərəsi var idi.

Tapşırıq 2. Mağazada 1500 kq un satılıb ki, bu da mağazada olan ümumi un ehtiyatının 3/8-ni təşkil edir. Mağazanın ilkin un ehtiyatı nə qədər idi?

Həll. Problemin şərtlərindən aydın olur ki, satılan 1500 kq un ümumi ehtiyatın 3/8-ni təşkil edir; Bu o deməkdir ki, bu ehtiyatın 1/8 hissəsi 3 dəfə az olacaq, yəni onu hesablamaq üçün 1500-ü 3 dəfə azaltmaq lazımdır:

1500: 3 = 500 (bu ehtiyatın 1/8 hissəsidir).

Aydındır ki, bütün tədarük 8 dəfə çox olacaq. Beləliklə,

500 8 = 4000 (kq).

Mağazada ilkin un ehtiyatı 4000 kq olub.

Bu problemi nəzərə alaraq aşağıdakı qaydanı çıxarmaq olar.

Onun kəsrinin verilmiş qiymətindən ədəd tapmaq üçün bu dəyəri kəsrin payına bölmək və nəticəni kəsrin məxrəcinə vurmaq kifayətdir.

Kəsri verilmiş ədədin tapılması ilə bağlı iki məsələni həll etdik. Bu cür məsələlər, xüsusilə sonuncudan aydın göründüyü kimi, iki hərəkətlə həll olunur: bölmə (bir hissə tapıldıqda) və vurma (tam ədəd tapıldıqda).

Ancaq kəsrlərin bölünməsini öyrəndikdən sonra yuxarıda göstərilən problemləri bir hərəkətlə həll etmək olar, yəni: kəsrə bölmə.

Məsələn, sonuncu vəzifəni belə bir hərəkətlə həll etmək olar:

Gələcəkdə onun kəsrindən ədədin tapılması məsələlərini bir hərəkətlə - bölmə ilə həll edəcəyik.

7. Ədədin faizinə görə tapılması.

Bu problemlərdə siz bu rəqəmin bir neçə faizini bilən bir nömrə tapmalısınız.

Tapşırıq 1. Bu ilin əvvəlində əmanət bankından 60 rubl aldım. bir il əvvəl əmanətlərə qoyduğum məbləğdən gəlir. Əmanət kassasına nə qədər pul qoymuşam? (Kassalar əmanətçilərə ildə 2% gəlir verir.)

Problemin mahiyyəti odur ki, mən müəyyən məbləğdə pulu əmanət kassasına qoydum və bir il orada qaldım. Bir ildən sonra mən ondan 60 rubl aldım. əmanət qoyduğum pulun 2/100 hissəsi olan gəlir. Mən nə qədər pul qoymuşdum?

Nəticə etibarı ilə, bu pulun iki şəkildə (rubl və fraksiya ilə) ifadə olunan bir hissəsini bilə-bilə, hələlik naməlum olan bütün məbləği tapmalıyıq. Bu, kəsri verilmiş ədədi tapmaq üçün adi bir problemdir. Bölmə yolu ilə aşağıdakı problemlər həll olunur:

Bu o deməkdir ki, əmanət kassasına 3000 rubl qoyulub.

Tapşırıq 2. Balıqçılar iki həftədə 512 ton balıq yığaraq aylıq planı 64 faiz yerinə yetirmişlər. Onların planı nə idi?

Problemin şərtlərindən məlum olur ki, balıqçılar planın bir hissəsini yerinə yetiriblər. Bu hissə 512 tona bərabərdir ki, bu da planın 64 faizini təşkil edir. Plana görə neçə ton balıq hazırlamaq lazım olduğunu bilmirik. Bu nömrəni tapmaq problemin həlli olacaq.

Bu cür problemlər bölmə ilə həll olunur:

Bu o deməkdir ki, plana görə 800 ton balıq hazırlamaq lazımdır.

Tapşırıq 3. Qatar Riqadan Moskvaya gedib. 276-cı kilometri keçəndə sərnişinlərdən biri yoldan keçən konduktordan artıq yolun nə qədərini qət etdiklərini soruşdu. Buna dirijor cavab verdi: "Biz artıq bütün səyahətin 30%-ni keçdik." Riqa şəhəri Moskva şəhərindən hansı məsafədə yerləşir?

Problemli şərtlərdən aydın olur ki, Riqadan Moskvaya marşrutun 30%-i 276 km-dir. Bu şəhərlər arasındakı bütün məsafəni tapmalıyıq, yəni bu hissə üçün tamı tapmalıyıq:

§ 91. Qarşılıqlı ədədlər. Bölməni vurma ilə əvəz etmək.

2/3 kəsri götürək və məxrəcin yerinə payı əvəz edək, 3/2 alırıq. Bu kəsrin tərsini aldıq.

Verilmiş kəsrin tərsini almaq üçün onun payını məxrəc yerinə, məxrəci isə pay yerinə qoymaq lazımdır. Bu yolla istənilən kəsrin əksini əldə edə bilərik. Misal üçün:

3/4, tərs 4/3; 5/6, tərs 6/5

Birincinin payının ikincinin məxrəci, birincinin məxrəcinin ikincinin payı olması xassəsinə malik iki kəsr adlanır. qarşılıqlı tərs.

İndi fikirləşək ki, 1/2-nin əksi hansı kəsr olacaq. Aydındır ki, 2/1 və ya sadəcə 2 olacaq. Verilənin tərs hissəsini axtararaq tam ədəd əldə etdik. Və bu iş tək deyil; əksinə, payı 1 (bir) olan bütün kəsrlər üçün əkslər tam ədədlər olacaq, məsələn:

1/3, tərs 3; 1/5, tərs 5

Qarşılıqlı kəsrlərin tapılmasında tam ədədlərlə də qarşılaşdığımızdan, bundan sonra biz qarşılıqlı kəsrlərdən deyil, əks ədədlərdən danışacağıq.

Tam ədədin tərsini necə yazacağımızı anlayaq. Kəsrlər üçün bu, sadəcə olaraq həll edilə bilər: payın yerinə məxrəci qoymaq lazımdır. Eyni şəkildə, siz tam ədədin tərsini ala bilərsiniz, çünki istənilən tam ədədin məxrəci 1 ola bilər. Bu o deməkdir ki, 7-nin tərsi 1/7 olacaq, çünki 7 = 7/1; 10 rəqəmi üçün tərs 1/10 olacaq, çünki 10 = 10/1

Bu fikri fərqli ifadə etmək olar: verilmiş ədədin əksi birini verilmiş ədədə bölmək yolu ilə alınır. Bu ifadə təkcə tam ədədlər üçün deyil, həm də kəsrlər üçün də doğrudur. Əslində, 5/9 kəsrinin tərsini yazmaq lazımdırsa, onda 1-i götürüb 5/9-a bölmək olar, yəni.

İndi bir şeyi qeyd edək əmlak bizim üçün faydalı olacaq qarşılıqlı nömrələr: qarşılıqlı ədədlərin hasili birə bərabərdir. Həqiqətən:

Bu xassədən istifadə edərək qarşılıqlı ədədləri aşağıdakı şəkildə tapa bilərik. Tutaq ki, 8-in tərsini tapmalıyıq.

Onu hərflə qeyd edək X , sonra 8 X = 1, deməli X = 1/8. 7/12-nin tərsi olan başqa bir ədəd tapaq və onu hərflə işarə edək X , sonra 7/12 X = 1, deməli X = 1: 7/12 və ya X = 12 / 7 .

Bölmə kəsrləri haqqında məlumatı bir qədər əlavə etmək üçün burada qarşılıqlı ədədlər anlayışını təqdim etdik.

6 ədədini 3/5-ə böldükdə aşağıdakıları edirik:

İfadəyə xüsusi diqqət yetirin və onu verilmiş ifadə ilə müqayisə edin: .

Əgər ifadəni əvvəlki ilə əlaqəsi olmadan ayrıca götürsək, onda onun haradan gəldiyi sualını həll etmək mümkün deyil: 6-nı 3/5-ə bölməkdən və ya 6-nı 5/3-ə vurmaqla. Hər iki halda eyni şey olur. Ona görə də deyə bilərik ki, bir ədədi digərinə bölmək dividendləri bölənin tərsinə vurmaqla əvəz edilə bilər.

Aşağıda verdiyimiz misallar bu qənaəti tam təsdiq edir.

Tutaq ki, Axilles tısbağadan on dəfə tez qaçır və ondan min addım arxadadır. Bu məsafəni qaçmaq üçün Axillesə lazım olan müddət ərzində tısbağa eyni istiqamətdə yüz addım sürünəcək. Axilles yüz addım qaçanda, tısbağa daha on addım sürünür və s. Proses sonsuza qədər davam edəcək, Axilles heç vaxt tısbağaya yetişməyəcək.

Bu mülahizə bütün sonrakı nəsillər üçün məntiqi sarsıntıya çevrildi. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert... Hamısı bu və ya digər şəkildə Zenon aporiyasını hesab edirdilər. Sarsıntı o qədər güclü idi ki, " ... müzakirələr bu günə qədər davam edir, elmi ictimaiyyət hələ də paradoksların mahiyyəti haqqında ortaq fikrə gələ bilməmişdir ... məsələnin öyrənilməsinə riyazi analiz, çoxluqlar nəzəriyyəsi, yeni fiziki və fəlsəfi yanaşmalar cəlb edilmişdir. ; onların heç biri problemin ümumi qəbul edilmiş həllinə çevrilmədi..."[Vikipediya, "Zenonun Aporiyası". Hamı başa düşür ki, onları aldadırlar, amma hiylənin nədən ibarət olduğunu heç kim başa düşmür.

Riyazi nöqteyi-nəzərdən Zenon öz aporiyasında kəmiyyətdən -ə keçidi aydın şəkildə nümayiş etdirdi. Bu keçid daimi olanlar əvəzinə tətbiqi nəzərdə tutur. Mən başa düşdüyümə görə, dəyişən ölçü vahidlərindən istifadə üçün riyazi aparat ya hələ hazırlanmayıb, ya da Zenon aporiyasına tətbiq edilməyib. Adi məntiqimizi tətbiq etmək bizi tələyə salır. Biz təfəkkür ətalətinə görə qarşılıqlı dəyərə sabit zaman vahidlərini tətbiq edirik. Fiziki nöqteyi-nəzərdən bu, Axillesin tısbağaya yetişdiyi anda tam dayanana qədər vaxtın yavaşlaması kimi görünür. Zaman dayanarsa, Axilles daha tısbağadan üstün ola bilməz.

Adi məntiqimizi tərsinə çevirsək, hər şey öz yerinə düşür. Axilles sabit sürətlə qaçır. Onun yolunun hər bir sonrakı seqmenti əvvəlkindən on dəfə qısadır. Müvafiq olaraq, onu aradan qaldırmaq üçün sərf olunan vaxt əvvəlkindən on dəfə azdır. Bu vəziyyətdə “sonsuzluq” anlayışını tətbiq etsək, “Axilles sonsuz sürətlə tısbağaya yetişəcək” demək düzgün olardı.

Bu məntiqi tələdən necə qaçmaq olar? Sabit zaman vahidlərində qalın və qarşılıqlı vahidlərə keçməyin. Zenon dilində bu belə görünür:

Axillesin min addım qaçması lazım olan müddətdə, tısbağa da eyni istiqamətdə yüz addım sürünəcək. Birinciyə bərabər gələn növbəti vaxt intervalında Axilles daha min addım qaçacaq, tısbağa isə yüz addım sürünəcək. İndi Axilles tısbağadan səkkiz yüz addım qabaqdadır.

Bu yanaşma heç bir məntiqi paradoks olmadan reallığı adekvat şəkildə təsvir edir. Amma bu problemin tam həlli deyil. Eynşteynin işıq sürətinin qarşısıalınmazlığı ilə bağlı ifadəsi Zenonun “Axilles və Tısbağa” aporiyasına çox bənzəyir. Biz hələ də bu problemi öyrənməli, yenidən düşünməli və həll etməliyik. Və həlli sonsuz sayda deyil, ölçü vahidlərində axtarmaq lazımdır.

Zenonun başqa bir maraqlı aporiyası uçan oxdan bəhs edir:

Uçan ox hərəkətsizdir, çünki zamanın hər anında dincəlmişdir və hər an istirahətdə olduğu üçün həmişə istirahətdədir.

Bu aporiyada məntiqi paradoks çox sadə şəkildə aradan qaldırılır - hər an uçan oxun kosmosun müxtəlif nöqtələrində sükunətdə olduğunu aydınlaşdırmaq kifayətdir ki, bu da əslində hərəkətdir. Burada başqa bir məqamı da qeyd etmək lazımdır. Yolda olan bir avtomobilin bir fotoşəkilindən onun nə hərəkət faktını, nə də ona olan məsafəni müəyyən etmək mümkün deyil. Avtomobilin hərəkət edib-etmədiyini müəyyən etmək üçün eyni nöqtədən zamanın müxtəlif nöqtələrində çəkilmiş iki fotoşəkil lazımdır, lakin siz onlardan məsafəni təyin edə bilməzsiniz. Avtomobilə olan məsafəni müəyyən etmək üçün bir anda kosmosun müxtəlif nöqtələrindən çəkilmiş iki fotoşəkil lazımdır, lakin onlardan hərəkət faktını müəyyən edə bilməzsiniz (əlbəttə ki, hesablamalar üçün hələ də əlavə məlumat lazımdır, triqonometriya sizə kömək edəcəkdir ). Xüsusi diqqət çəkmək istədiyim odur ki, iki zaman nöqtəsi və kosmosdakı iki nöqtə fərqli şeylərdir, onları qarışdırmaq olmaz, çünki onlar tədqiqat üçün müxtəlif imkanlar yaradır.

Çərşənbə, 4 iyul 2018-ci il

Set və multiset arasındakı fərqlər Vikipediyada çox yaxşı təsvir edilmişdir. Görək.

Gördüyünüz kimi, "bir çoxluqda iki eyni element ola bilməz", lakin çoxluqda eyni elementlər varsa, belə çoxluğa "multiset" deyilir. Ağıllı varlıqlar heç vaxt belə absurd məntiqi başa düşməyəcəklər. Bu, danışan tutuquşuların və öyrədilmiş meymunların səviyyəsidir, onlar "tamamilə" sözündən heç bir zəkaya sahib deyillər. Riyaziyyatçılar adi təlimçilər kimi çıxış edərək öz absurd fikirlərini bizə təbliğ edirlər.

Bir vaxtlar körpünü tikən mühəndislər körpünü sınaqdan keçirərkən körpünün altında qayıqda olublar. Körpü dağılırsa, orta səviyyəli mühəndis yaratdığının dağıntıları altında ölür. Əgər körpü yükə tab gətirə bilsəydi, istedadlı mühəndis başqa körpülər də tikdi.

Riyaziyyatçılar “mənə fikir ver, mən evdəyəm”, daha doğrusu, “riyaziyyat mücərrəd anlayışları öyrənir” ifadəsinin arxasında nə qədər gizlənsələr də, onları reallıqla ayrılmaz şəkildə birləşdirən bir göbək bağı var. Bu göbək bağı puldur. Riyazi çoxluqlar nəzəriyyəsini riyaziyyatçıların özlərinə tətbiq edək.

Biz riyaziyyatı çox yaxşı oxumuşuq və indi kassada oturub maaş veririk. Beləliklə, bir riyaziyyatçı pulu üçün bizə gəlir. Bütün məbləği ona hesablayırıq və eyni nominallı əskinasları qoyduğumuz müxtəlif yığınlarda masamıza qoyuruq. Sonra hər yığından bir veksel götürürük və riyaziyyatçıya onun “riyazi əmək haqqı dəstini” veririk. Riyaziyyatçıya başa salaq ki, o, yalnız eyni elementləri olmayan çoxluğun eyni elementli çoxluğa bərabər olmadığını sübut etdikdə qalan əskinasları alacaq. Əyləncə burada başlayır.

İlk növbədə deputatların məntiqi işləyəcək: “Bunu başqalarına şamil etmək olar, mənə yox!”. Sonra bizi əmin etməyə başlayacaqlar ki, eyni nominallı əskinasların müxtəlif əskinas nömrələri var, yəni onları eyni elementlər hesab etmək olmaz. Yaxşı, maaşları sikkələrlə hesablayaq - sikkələrdə rəqəmlər yoxdur. Burada riyaziyyatçı fizikanı çılğınlıqla xatırlamağa başlayacaq: müxtəlif sikkələrdə müxtəlif miqdarda kir var, kristal quruluşu və atomların düzülüşü hər bir sikkə üçün unikaldır...

İndi isə məndə ən maraqlı sual var: multisetin elementlərinin çoxluğun elementlərinə çevrildiyi və əksinə olan xətt haradadır? Belə bir xətt yoxdur - hər şeyi şamanlar həll edir, elm burada yatmağa belə yaxın deyil.

Bura baxın. Biz eyni sahəyə malik futbol stadionlarını seçirik. Sahələrin sahələri eynidir - bu o deməkdir ki, bizim multisetimiz var. Amma bu eyni stadionların adlarına nəzər salsaq, adları fərqli olduğu üçün çoxunu alırıq. Gördüyünüz kimi, eyni elementlər dəsti həm çoxluq, həm də multisetdir. Hansı düzgündür? Və burada riyaziyyatçı-şaman-kəskin qolundan bir kozır çıxarır və bizə ya dəst, ya da multiset haqqında danışmağa başlayır. Hər halda o, bizi haqlı olduğuna inandıracaq.

Müasir şamanların çoxluq nəzəriyyəsi ilə necə işlədiyini, onu reallığa bağladığını başa düşmək üçün bir suala cavab vermək kifayətdir: bir çoxluğun elementləri digər çoxluğun elementlərindən nə ilə fərqlənir? Mən sizə göstərəcəyəm, heç bir "tək bir bütöv olaraq düşünülə bilməz" və ya "tək bir bütöv olaraq düşünülə bilməz".

Bazar günü, 18 mart 2018-ci il

Ədədin rəqəmlərinin cəmi riyaziyyatla heç bir əlaqəsi olmayan şamanların qavalla rəqsidir. Bəli, riyaziyyat dərslərində bizə ədədin rəqəmlərinin cəmini tapıb ondan istifadə etməyi öyrədirlər, amma buna görə də onlar şamandırlar, öz nəsillərinə öz bacarıqlarını və hikmətlərini öyrətmək, əks halda şamanlar sadəcə olaraq öləcəklər.

Sizə sübut lazımdır? Vikipediyanı açın və "Rəqəmlərin cəmi" səhifəsini tapmağa çalışın. O, mövcud deyil. Riyaziyyatda hər hansı bir ədədin rəqəmlərinin cəmini tapmaq üçün istifadə edilə bilən düstur yoxdur. Axı, rəqəmlər rəqəmləri yazdığımız qrafik simvollardır və riyaziyyatın dilində tapşırıq belə səslənir: "İstənilən rəqəmi təmsil edən qrafik simvolların cəmini tapın." Riyaziyyatçılar bu problemi həll edə bilməzlər, lakin şamanlar bunu asanlıqla həll edə bilərlər.

Verilmiş ədədin rəqəmlərinin cəmini tapmaq üçün nə və necə etdiyimizi anlayaq. Beləliklə, 12345 rəqəminə sahib olaq. Bu ədədin rəqəmlərinin cəmini tapmaq üçün nə etmək lazımdır? Bütün addımları ardıcıllıqla nəzərdən keçirək.

1. Nömrəni bir kağız parçasına yazın. Biz nə etmişik? Biz rəqəmi qrafik rəqəm simvoluna çevirdik. Bu riyazi əməliyyat deyil.

2. Yaranan bir şəkli fərdi nömrələri olan bir neçə şəkilə kəsdik. Şəklin kəsilməsi riyazi əməliyyat deyil.

3. Fərdi qrafik simvolları rəqəmlərə çevirin. Bu riyazi əməliyyat deyil.

4. Yaranan rəqəmləri əlavə edin. İndi bu riyaziyyatdır.

12345 rəqəminin rəqəmlərinin cəmi 15-dir. Bunlar riyaziyyatçıların istifadə etdikləri şamanların öyrətdiyi “kəsmə və tikiş kursları”dır. Ancaq bu hamısı deyil.

Riyazi nöqteyi-nəzərdən ədədi hansı say sistemində yazmağımızın fərqi yoxdur. Deməli, müxtəlif say sistemlərində eyni ədədin rəqəmlərinin cəmi fərqli olacaq. Riyaziyyatda say sistemi rəqəmin sağında alt yazı kimi göstərilir. Çox sayda 12345 ilə başımı aldatmaq istəmirəm, məqalədəki 26 nömrəsini nəzərdən keçirək. Bu ədədi ikilik, səkkizlik, onluq və onaltılıq say sistemlərində yazaq. Biz hər addıma mikroskop altında baxmayacağıq; biz bunu artıq etdik. Nəticəyə baxaq.

Göründüyü kimi müxtəlif say sistemlərində eyni ədədin rəqəmlərinin cəmi fərqli olur. Bu nəticənin riyaziyyatla heç bir əlaqəsi yoxdur. Düzbucaqlının sahəsini metr və santimetrlə təyin etsəniz, tamamilə fərqli nəticələr əldə edəcəksiniz.

Sıfır bütün say sistemlərində eyni görünür və rəqəmlərin cəmi yoxdur. Bu, bunun lehinə başqa bir arqumentdir. Riyaziyyatçılar üçün sual: riyaziyyatda rəqəm olmayan bir şey necə təyin olunur? Nə, riyaziyyatçılar üçün rəqəmlərdən başqa heç nə yoxdur? Mən buna şamanlar üçün icazə verə bilərəm, amma alimlər üçün yox. Reallıq təkcə rəqəmlərdən ibarət deyil.

Alınan nəticə say sistemlərinin ədədlər üçün ölçü vahidləri olduğuna sübut kimi qəbul edilməlidir. Axı biz rəqəmləri müxtəlif ölçü vahidləri ilə müqayisə edə bilmərik. Əgər eyni kəmiyyətin müxtəlif ölçü vahidləri ilə eyni hərəkətlər onları müqayisə etdikdən sonra fərqli nəticələrə gətirib çıxarırsa, bunun riyaziyyatla heç bir əlaqəsi yoxdur.

Əsl riyaziyyat nədir? Bu, riyazi əməliyyatın nəticəsinin rəqəmin ölçüsündən, istifadə olunan ölçü vahidindən və bu hərəkəti kimin yerinə yetirməsindən asılı olmadığı zamandır.

Oh! Bura qadın tualeti deyilmi?
- Gənc qadın! Bu, ruhların cənnətə yüksəlişləri zamanı onların qeyri-adi müqəddəsliyini öyrənmək üçün laboratoriyadır! Üstdə halo və yuxarı ox. Başqa hansı tualet?

Qadın... Üstündəki halo və aşağı ox kişidir.

Belə bir dizayn sənəti gündə bir neçə dəfə gözünüzün önündə yanıb-sönürsə,

Sonra birdən avtomobilinizdə qəribə bir simvol tapmağınız təəccüblü deyil:

Şəxsən mən nəcis edən insanda mənfi dörd dərəcəni görməyə çalışıram (bir şəkil) (bir neçə şəkildən ibarət kompozisiya: mənfi işarə, dörd rəqəm, dərəcə təyinatı). Və mən bu qızın fizikanı bilməyən axmaq olduğunu düşünmürəm. O, sadəcə olaraq qrafik şəkilləri qəbul etməkdə güclü stereotipə malikdir. Riyaziyyatçılar bunu bizə hər zaman öyrədirlər. Budur bir nümunə.

1A “mənfi dörd dərəcə” və ya “bir a” deyil. Bu, "pooping man" və ya onaltılıq qeyddə "iyirmi altı" rəqəmidir. Daim bu say sistemində işləyən insanlar avtomatik olaraq rəqəmi və hərfi bir qrafik simvol kimi qəbul edirlər.