Təbii loqarifm tənliklərini necə həll etmək olar. Loqarifmik tənliklərin həlli üçün bəzi üsullar
Loqarifmik tənlik naməlum (x) və onunla ifadələrin loqarifmik funksiyanın işarəsi altında olduğu tənlik adlanır. Loqarifmik tənliklərin həlli sizin artıq və ilə tanış olduğunuzu nəzərdə tutur.
Loqarifmik tənlikləri necə həll etmək olar?
Ən sadə tənlikdir log a x = b, burada a və b bəzi ədədlərdir, x naməlumdur.
Loqarifmik tənliyin həlli x = a b təmin edilir: a > 0, a 1.
Qeyd etmək lazımdır ki, əgər x loqarifmadan kənar bir yerdədirsə, məsələn log 2 x \u003d x-2, onda belə bir tənlik artıq qarışıq adlanır və onu həll etmək üçün xüsusi bir yanaşma lazımdır.
İdeal vəziyyət, loqarifmin işarəsi altında yalnız ədədlərin olduğu bir tənliyə rast gəldiyiniz zamandır, məsələn, x + 2 \u003d log 2 2. Burada onu həll etmək üçün loqarifmlərin xüsusiyyətlərini bilmək kifayətdir. Ancaq bu cür şanslar tez-tez baş vermir, ona görə də daha çətin şeylərə hazır olun.
Ancaq əvvəlcə sadə tənliklərdən başlayaq. Onları həll etmək üçün loqarifm haqqında ən ümumi fikrə sahib olmaq arzu edilir.
Sadə loqarifmik tənliklərin həlli
Bunlara log 2 x \u003d log 2 16 kimi tənliklər daxildir. Çılpaq gözlə görmək olar ki, loqarifmin işarəsini buraxmaqla x \u003d 16 alırıq.
Daha mürəkkəb loqarifmik tənliyi həll etmək üçün adətən adi cəbr tənliyinin həllinə və ya ən sadə loqarifmik tənliyin log a x = b həllinə aparılır. Ən sadə tənliklərdə bu, bir hərəkətdə baş verir, buna görə də onlar ən sadə adlanır.
Yuxarıdakı loqarifmlərin atılması üsulu loqarifmik tənliklərin və bərabərsizliklərin həllinin əsas yollarından biridir. Riyaziyyatda bu əməliyyat potensiasiya adlanır. Bu cür əməliyyatlar üçün müəyyən qaydalar və ya məhdudiyyətlər var:
- loqarifmlərin ədədi əsasları eynidir
- tənliyin hər iki hissəsindəki loqarifmlər sərbəstdir, yəni. heç bir əmsal və digər müxtəlif növ ifadələr olmadan.
Tutaq ki, log 2 x \u003d 2log 2 (1- x) tənliyində potensiya tətbiq edilmir - sağdakı əmsalı 2 icazə vermir. Aşağıdakı nümunədə log 2 x + log 2 (1 - x) = log 2 (1 + x) məhdudiyyətlərdən biri də təmin edilmir - solda iki loqarifm var. Bu bir olardı - tamamilə fərqli bir məsələ!
Ümumiyyətlə, loqarifmləri yalnız tənliyin forması olduqda silə bilərsiniz:
log a(...) = log a(...)
Tamamilə hər hansı ifadələr mötərizədə ola bilər, bu, potensiallaşdırma əməliyyatına qətiyyən təsir göstərmir. Loqarifmlər aradan qaldırıldıqdan sonra daha sadə bir tənlik qalacaq - xətti, kvadrat, eksponensial və s., Ümid edirəm ki, necə həll edəcəyinizi bilirsiniz.
Başqa bir misal götürək:
log 3 (2x-5) = log 3 x
Potensiallaşdırma tətbiq edərək, əldə edirik:
log 3 (2x-1) = 2
Loqarifmin tərifinə əsaslanaraq, yəni loqarifmin işarəsi altında olan bir ifadəni əldə etmək üçün əsasın qaldırılmalı olduğu nömrədir, yəni. (4x-1), alırıq:
Yenə də gözəl cavab aldıq. Burada biz loqarifmləri ləğv etmədən etdik, lakin potensiasiya burada da tətbiq olunur, çünki loqarifm istənilən ədəddən və tam olaraq bizə lazım olandan edilə bilər. Bu üsul loqarifmik tənliklərin və xüsusilə bərabərsizliklərin həllində çox faydalıdır.
Potensiasiyadan istifadə edərək log 3 (2x-1) = 2 loqarifmik tənliyimizi həll edək:
2 rəqəmini loqarifm kimi təqdim edək, məsələn, belə log 3 9, çünki 3 2 =9.
Sonra log 3 (2x-1) = log 3 9 və yenə eyni tənliyi alırıq 2x-1 = 9. Ümid edirəm ki, hər şey aydındır.
Beləliklə, biz əslində çox vacib olan ən sadə loqarifmik tənliklərin necə həll ediləcəyinə baxdıq, çünki loqarifmik tənliklərin həlli, hətta ən dəhşətli və bükülmüş olanlar, sonda həmişə ən sadə tənliklərin həllinə gəlir.
Yuxarıda gördüyümüz bütün işlərdə biz gələcəkdə həlledici rol oynayacaq çox vacib bir məqamı nəzərdən qaçırmışıq. Fakt budur ki, istənilən loqarifmik tənliyin, hətta ən elementar tənliyin həlli iki ekvivalent hissədən ibarətdir. Birincisi, tənliyin özünün həlli, ikincisi, icazə verilən dəyərlər sahəsi (ODV) ilə işləməkdir. Bu, mənimsədiyimiz ilk hissədir. Yuxarıdakı misallarda ODD heç bir şəkildə cavaba təsir etmir, ona görə də biz bunu nəzərə almadıq.
Başqa bir misal götürək:
log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)
Xarici olaraq, bu tənlik çox uğurla həll olunan elementar tənlikdən fərqlənmir. Amma belə deyil. Xeyr, əlbəttə ki, həll edəcəyik, amma çox güman ki, səhv olacaq, çünki orada həm C tələbələri, həm də əlaçılar dərhal düşdüyü kiçik bir pusqu var. Gəlin buna daha yaxından nəzər salaq.
Tutaq ki, bir neçə varsa, tənliyin kökünü və ya köklərin cəmini tapmaq lazımdır:
log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)
Potensiasiya tətbiq edirik, burada icazə verilir. Nəticədə adi kvadrat tənliyi alırıq.
Tənliyin köklərini tapırıq:
İki kök var.
Cavab: 3 və -1
İlk baxışdan hər şey düzgündür. Ancaq gəlin nəticəni yoxlayaq və onu orijinal tənliyə əvəz edək.
X 1 = 3 ilə başlayaq:
log 3 6 = log 3 6
Yoxlama uğurlu oldu, indi növbə x 2 = -1:
log 3 (-2) = log 3 (-2)
Bəli, dayan! Xarici olaraq hər şey mükəmməldir. Bir an - mənfi ədədlərdən loqarifmlər yoxdur! Və bu o deməkdir ki, x \u003d -1 kökü tənliyimizi həll etmək üçün uyğun deyil. Və buna görə də düzgün cavab yazdığımız kimi 2 yox, 3 olacaq.
Məhz burada ODZ unutduğumuz ölümcül rolunu oynadı.
Nəzərinizə çatdırım ki, icazə verilən dəyərlər sahəsində x-in bu cür dəyərləri icazə verilən və ya orijinal nümunə üçün məna kəsb edən qəbul edilir.
ODZ olmadan, hər hansı bir tənliyin hər hansı bir həlli, hətta tamamilə düzgün olanı, lotereyaya çevrilir - 50/50.
Elementar görünən bir nümunəni həll edərkən necə tutula bilərik? Və burada potensiasiya anındadır. Loqarifmlər getdi və onlarla birlikdə bütün məhdudiyyətlər.
Belə bir vəziyyətdə nə etməli? Loqarifmləri aradan qaldırmaqdan imtina edirsiniz? Və bu tənliyin həllindən tamamilə imtina edin?
Xeyr, biz sadəcə bir məşhur mahnının əsl qəhrəmanları kimi dolanacağıq!
Hər hansı bir loqarifmik tənliyin həllinə davam etməzdən əvvəl ODZ-ni yazacağıq. Amma bundan sonra tənliyimizlə ürəyiniz nə istəyirsə, edə bilərsiniz. Cavab aldıqdan sonra ODZ-yə daxil olmayan kökləri atırıq və son variantı yazırıq.
İndi ODZ-nin necə yazılacağına qərar verək. Bunun üçün ilkin tənliyi diqqətlə araşdırırıq və onda şübhəli yerləri axtarırıq, məsələn, x-ə bölmə, cüt dərəcənin kökü və s. Tənliyi həll edənə qədər biz x-in nəyə bərabər olduğunu bilmirik, amma dəqiq bilirik ki, əvəz edən zaman 0-a bölmə və ya mənfi ədədin kvadrat kökünün çıxarılmasını verəcək belə x aydındır ki, cavab üçün uyğun deyil. Buna görə də, belə x-lər qəbuledilməzdir, qalanları isə ODZ-ni təşkil edəcəkdir.
Eyni tənliyi yenidən istifadə edək:
log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)
log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)
Gördüyünüz kimi, 0-a bölmə yoxdur, kvadrat kök də yoxdur, lakin loqarifmin gövdəsində x ilə ifadələr var. Dərhal xatırlayırıq ki, loqarifmin içindəki ifadə həmişə > 0 olmalıdır. Bu şərt ODZ şəklində yazılır:
Bunlar. biz hələ heç nə həll etməmişik, lakin artıq bütün subloqarifmik ifadə üçün məcburi şərt yazmışıq. Buruq mötərizə o deməkdir ki, bu şərtlər eyni vaxtda yerinə yetirilməlidir.
ODZ yazılır, lakin nəticədə yaranan bərabərsizliklər sistemini həll etmək lazımdır, biz bunu edəcəyik. Biz x > v3 cavabını alırıq. İndi biz dəqiq bilirik ki, hansı x bizə uyğun gəlməyəcək. Və sonra yuxarıda etdiyimiz loqarifmik tənliyin özünü həll etməyə başlayırıq.
X 1 \u003d 3 və x 2 \u003d -1 cavablarını aldıqdan sonra yalnız x1 \u003d 3-ün bizim üçün uyğun olduğunu görmək asandır və biz bunu son cavab kimi yazırıq.
Gələcək üçün aşağıdakıları xatırlamaq çox vacibdir: hər hansı bir loqarifmik tənliyi 2 mərhələdə həll edirik. Birincisi - tənliyin özünü həll edirik, ikincisi - ODZ-nin vəziyyətini həll edirik. Hər iki mərhələ bir-birindən asılı olmayaraq həyata keçirilir və yalnız cavab yazarkən müqayisə edilir, yəni. bütün lazımsızları atırıq və düzgün cavabı yazırıq.
Materialı birləşdirmək üçün videoya baxmağı tövsiyə edirik:
Videoda logun həllinin digər nümunələri. tənliklər və təcrübədə intervallar metodunun işlənməsi.
Bu mövzuda loqarifmik tənlikləri necə həll etmək olar hər şeyə qədər. Əgər jurnalın qərarına görə bir şey. tənliklər anlaşılmaz və ya anlaşılmaz qaldı, suallarınızı şərhlərdə yazın.
Qeyd: Sosial Təhsil Akademiyası (KSUE) yeni tələbələri qəbul etməyə hazırdır.
Riyaziyyatdan yekun imtahana hazırlıq mühüm bölməni - “Loqarifmləri” əhatə edir. Bu mövzudan tapşırıqlar mütləq imtahanda yer alır. Ötən illərin təcrübəsi göstərir ki, loqarifmik tənliklər bir çox məktəblilər üçün çətinlik yaradırdı. Buna görə də, müxtəlif səviyyəli hazırlıqlı tələbələr düzgün cavabı necə tapmalı və tez bir zamanda onların öhdəsindən gəlməlidirlər.
"Şkolkovo" təhsil portalının köməyi ilə sertifikat imtahanından uğurla keçin!
Vahid dövlət imtahanına hazırlaşarkən orta məktəb məzunları test tapşırıqlarının uğurla həlli üçün ən dolğun və dəqiq məlumat verən etibarlı mənbəyə ehtiyac duyurlar. Bununla belə, dərslik həmişə əlinizin altında olmur və lazımi qayda və düsturları internetdə axtarmaq çox vaxt vaxt aparır.
"Şkolkovo" təhsil portalı istənilən vaxt istənilən yerdə imtahana hazırlaşmaq imkanı verir. Saytımız loqarifmlər, eləcə də bir və bir neçə naməlum haqqında çoxlu məlumatların təkrarlanması və mənimsənilməsi üçün ən rahat yanaşma təklif edir. Asan tənliklərlə başlayın. Əgər onlarla çətinlik çəkmədən öhdəsindən gəldinizsə, daha çətin olanlara keçin. Müəyyən bir bərabərsizliyi həll etməkdə çətinlik çəkirsinizsə, onu Sevimlilərinizə əlavə edə bilərsiniz ki, daha sonra ona qayıda biləsiniz.
Tapşırığı yerinə yetirmək üçün lazımi düsturları tapa bilərsiniz, xüsusi halları və standart loqarifmik tənliyin kökünü hesablamaq üçün üsulları təkrarlamaq üçün "Nəzəri arayış" bölməsinə baxa bilərsiniz. "Şkolkovo" müəllimləri ən sadə və başa düşülən formada uğurlu çatdırılma üçün lazım olan bütün materialları topladılar, sistemləşdirdilər və təqdim etdilər.
İstənilən mürəkkəblikdəki tapşırıqların öhdəsindən asanlıqla gəlmək üçün portalımızda bəzi tipik loqarifmik tənliklərin həlli ilə tanış ola bilərsiniz. Bunu etmək üçün "Kataloqlar" bölməsinə keçin. Riyaziyyat üzrə Vahid Dövlət İmtahanının profil səviyyəsinin tənlikləri də daxil olmaqla çox sayda nümunə təqdim etdik.
Rusiyanın hər yerindən olan məktəblilər portalımızdan istifadə edə bilərlər. Başlamaq üçün sistemdə qeydiyyatdan keçmək və tənlikləri həll etməyə başlamaq kifayətdir. Nəticələri birləşdirmək üçün sizə gündəlik olaraq Şkolkovo saytına qayıtmağı məsləhət görürük.
Bu video ilə mən loqarifmik tənliklər haqqında uzun dərslər silsiləsi başlayıram. İndi bir anda üç nümunəniz var, bunun əsasında biz adlanan ən sadə vəzifələri həll etməyi öyrənəcəyik - protozoa.
log 0,5 (3x - 1) = -3
lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5
Nəzərinizə çatdırım ki, ən sadə loqarifmik tənlik aşağıdakı kimidir:
log a f(x) = b
X dəyişəninin yalnız arqument daxilində, yəni yalnız f(x) funksiyasında olması vacibdir. Və a və b ədədləri sadəcə ədədlərdir və heç bir halda x dəyişənini ehtiva edən funksiyalar deyil.
Əsas həll üsulları
Belə strukturları həll etməyin bir çox yolu var. Məsələn, məktəbdə əksər müəllimlər belə təklif edirlər: düsturdan istifadə edərək dərhal f ( x ) funksiyasını ifadə edin f( x ) = a b . Yəni, ən sadə tikinti ilə qarşılaşdığınız zaman, əlavə hərəkətlər və konstruksiyalar olmadan dərhal həllinə davam edə bilərsiniz.
Bəli, əlbəttə ki, qərar doğru çıxacaq. Ancaq bu formulun problemi tələbələrin əksəriyyətindədir başa düşməmək, haradan gəlir və niyə məhz a hərfini b hərfinə qaldırırıq.
Nəticədə, məsələn, bu hərflər bir-birini əvəz edəndə çox təhqiramiz səhvlər görürəm. Bu düstur ya başa düşülməlidir, ya da yadda saxlanılmalıdır, ikinci üsul isə ən uyğun olmayan və ən həlledici məqamlarda səhvlərə yol açır: imtahanlarda, testlərdə və s.
Buna görə bütün tələbələrimə standart məktəb düsturundan imtina etməyi və loqarifmik tənlikləri həll etmək üçün ikinci yanaşmadan istifadə etməyi təklif edirəm, yəqin ki, adından da təxmin etdiyiniz kimi bu adlanır. kanonik forma.
Kanonik forma ideyası sadədir. Tapşırığımıza yenidən baxaq: solda log a var, a hərfi isə tam rəqəmi bildirir və heç bir halda x dəyişənini ehtiva edən funksiyanı ifadə etmir. Buna görə də, bu məktub loqarifmin əsasına qoyulan bütün məhdudiyyətlərə tabedir. yəni:
1 ≠ a > 0
Digər tərəfdən, eyni tənlikdən görürük ki, loqarifm b rəqəminə bərabər olmalıdır və bu hərf üçün heç bir məhdudiyyət qoyulmur, çünki o, istənilən qiymət ala bilər - həm müsbət, həm də mənfi. Hamısı f(x) funksiyasının hansı dəyərləri qəbul etməsindən asılıdır.
Və burada biz gözəl qaydamızı xatırlayırıq ki, istənilən b ədədi a əsasında a-dan b-nin qüvvəsinə qədər loqarifm kimi təqdim edilə bilər:
b = log a a b
Bu formulu necə yadda saxlamaq olar? Bəli, çox sadə. Aşağıdakı konstruksiyanı yazaq:
b = b 1 = b log a a
Təbii ki, bu halda başlanğıcda yazdığımız bütün məhdudiyyətlər yaranır. İndi isə loqarifmin əsas xassəsindən istifadə edək və b faktorunu a-nın gücü kimi daxil edək. Biz əldə edirik:
b = b 1 = b log a a = log a a b
Nəticədə, orijinal tənlik aşağıdakı formada yenidən yazılacaq:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
Hamısı budur. Yeni funksiya artıq loqarifmi ehtiva etmir və standart cəbri üsullarla həll edilir.
Təbii ki, indi kimsə etiraz edəcək: ümumiyyətlə, bir növ kanonik düsturla çıxış etmək nəyə lazım idi, ilkin konstruksiyadan dərhal son düstura keçmək mümkün idisə, nə üçün əlavə iki lazımsız addım atmaq lazımdır? Bəli, yalnız ona görə ki, əksər tələbələr bu formulun haradan gəldiyini başa düşmürlər və nəticədə onu tətbiq edərkən müntəzəm olaraq səhvlər edirlər.
Amma üç addımdan ibarət belə hərəkətlər ardıcıllığı, o son formulun haradan gəldiyini başa düşməsəniz belə, ilkin loqarifmik tənliyi həll etməyə imkan verir. Yeri gəlmişkən, bu giriş kanonik düstur adlanır:
log a f(x) = log a a b
Kanonik formanın rahatlığı həm də ondan ibarətdir ki, bu gün nəzərdən keçirdiyimiz ən sadələri deyil, çox geniş bir sinif loqarifmik tənlikləri həll etmək üçün istifadə edilə bilər.
Həll nümunələri
İndi real nümunələrə baxaq. Beləliklə, qərar verək:
log 0,5 (3x - 1) = -3
Gəlin bunu belə yenidən yazaq:
log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3
Bir çox tələbə tələsir və dərhal 0,5 rəqəmini ilkin problemdən bizə gələn gücə qaldırmağa çalışır. Və həqiqətən də, bu cür problemlərin həllində artıq yaxşı təlim keçmişsinizsə, dərhal bu addımı yerinə yetirə bilərsiniz.
Ancaq indi bu mövzunu öyrənməyə başlayırsınızsa, təhqiramiz səhvlərə yol verməmək üçün heç yerə tələsməmək daha yaxşıdır. Beləliklə, kanonik formaya sahibik. Bizdə:
3x - 1 = 0,5 -3
Bu, artıq loqarifmik tənlik deyil, x dəyişəninə münasibətdə xətti tənlikdir. Bunu həll etmək üçün əvvəlcə 0,5 rəqəminin −3 dərəcəsi ilə məşğul olaq. Qeyd edək ki, 0,5 1/2-dir.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Loqarifmik tənliyi həll edərkən bütün onluqları kəsrlərə çevirin.
Yenidən yazırıq və alırıq:
3x − 1 = 8
3x=9
x=3
Hamısının cavabını aldıq. Birinci vəzifə həll olunur.
İkinci tapşırıq
İkinci tapşırığa keçək:
Gördüyünüz kimi, bu tənlik artıq ən sadə deyil. Yalnız fərq solda olduğuna görə və bir bazada bir loqarifm olmasın.
Ona görə də bu fərqdən birtəhər qurtulmaq lazımdır. Bu vəziyyətdə hər şey çox sadədir. Əsaslara daha yaxından nəzər salaq: solda kökün altındakı rəqəm var:
Ümumi tövsiyə: bütün loqarifmik tənliklərdə radikallardan, yəni kökləri olan girişlərdən xilas olmağa çalışın və güc funksiyalarına keçin, sadəcə olaraq, bu güclərin eksponentləri loqarifmin işarəsindən asanlıqla çıxarılır və nəticədə belədir. notation hesablamaları xeyli asanlaşdırır və sürətləndirir. Bunu belə yazaq:
İndi loqarifmin diqqətəlayiq xüsusiyyətini xatırlayırıq: arqumentdən, həm də əsasdan dərəcələri çıxara bilərsiniz. Baza vəziyyətində aşağıdakılar baş verir:
log a k b = 1/k loqa b
Başqa sözlə, əsas dərəcəsində dayanan ədəd irəli çəkilir və eyni zamanda çevrilir, yəni ədədin əksi olur. Bizim vəziyyətimizdə 1/2 göstərici ilə baza dərəcəsi var idi. Buna görə də onu 2/1 olaraq çıxara bilərik. Biz əldə edirik:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18
Diqqət edin: bu addımda heç bir halda loqarifmlərdən qurtulmamalısınız. 4-5-ci sinif riyaziyyatını və əməliyyatların ardıcıllığını xatırlayın: əvvəlcə vurma yerinə yetirilir, yalnız bundan sonra toplama və çıxma yerinə yetirilir. Bu halda 10 elementdən eyni elementlərdən birini çıxarırıq:
9 log 5 x = 18
log 5 x = 2
İndi tənliyimiz lazım olduğu kimi görünür. Bu, ən sadə tikintidir və biz onu kanonik formadan istifadə edərək həll edirik:
log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25
Hamısı budur. İkinci problem həll olunur.
Üçüncü misal
Üçüncü tapşırığa keçək:
lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5
Aşağıdakı düsturu xatırlayın:
log b = log 10 b
Əgər nədənsə lg b yazmaqla çaşıbsınızsa, onda bütün hesablamaları apararkən sadəcə olaraq log 10 b yaza bilərsiniz. Onluq loqarifmlərlə başqaları ilə eyni şəkildə işləyə bilərsiniz: səlahiyyətləri çıxarın, əlavə edin və istənilən ədədi lg 10 kimi təqdim edin.
Məhz bu xassələrdən indi problemi həll etmək üçün istifadə edəcəyik, çünki bu, dərsimizin əvvəlində yazdığımız ən sadə deyil.
Başlamaq üçün qeyd edək ki, lg 5-dən əvvəl 2 amil daxil edilə bilər və baza 5-in gücünə çevrilir. Bundan əlavə, sərbəst termin 3 də loqarifm kimi təqdim edilə bilər - bunu bizim qeydimizdən müşahidə etmək çox asandır.
Özünüz mühakimə edin: istənilən rəqəm 10-cu bazaya log kimi təqdim edilə bilər:
3 = log 10 10 3 = log 10 3
Alınan dəyişiklikləri nəzərə alaraq orijinal problemi yenidən yazaq:
lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000
Qarşımızda yenə kanonik forma var və biz onu çevrilmə mərhələsini keçərək əldə etdik, yəni ən sadə loqarifmik tənlik bizimlə heç yerdə gəlmədi.
Dərsin lap əvvəlində mən də bundan danışırdım. Kanonik forma əksər məktəb müəllimləri tərəfindən verilən standart məktəb düsturundan daha geniş sinif problemləri həll etməyə imkan verir.
Hamısı budur, ondalık loqarifmin işarəsindən xilas oluruq və sadə xətti tikinti əldə edirik:
x + 3 = 25.000
x = 24997
Hamısı! Problem həll edildi.
Əhatə dairəsi haqqında qeyd
Burada mən tərif sahəsi haqqında mühüm qeyd etmək istərdim. Şübhəsiz ki, indi tələbələr və müəllimlər var: "Biz loqarifmlərlə ifadələri həll edərkən, f (x) arqumentinin sıfırdan böyük olması lazım olduğunu xatırlamaq vacibdir!" Bu baxımdan məntiqi sual yaranır: nə üçün nəzərdən keçirilən problemlərin heç birində bu bərabərsizliyin təmin olunmasını tələb etmədik?
Narahat olma. Bu hallarda əlavə köklər görünməyəcəkdir. Və bu, həlli sürətləndirməyə imkan verən başqa bir böyük hiylədir. Sadəcə bilin ki, əgər problemdə x dəyişəni yalnız bir yerdə (daha doğrusu, bir və yeganə loqarifmin tək və yeganə arqumentində) baş verirsə və bizim vəziyyətimizdə x dəyişəni başqa heç bir yerdə baş vermirsə, o zaman domenini yazın. lazım deyilçünki avtomatik işləyəcək.
Özünüz mühakimə edin: birinci tənlikdə biz əldə etdik ki, 3x - 1, yəni arqument 8-ə bərabər olmalıdır. Bu avtomatik olaraq o deməkdir ki, 3x - 1 sıfırdan böyük olacaq.
Eyni müvəffəqiyyətlə yaza bilərik ki, ikinci halda x 5 2-yə bərabər olmalıdır, yəni, əlbəttə ki, sıfırdan böyükdür. Və üçüncü halda, burada x + 3 = 25.000, yəni, yenidən, açıq-aydın sıfırdan böyükdür. Başqa sözlə, əhatə dairəsi avtomatikdir, ancaq x yalnız bir loqarifmin arqumentində baş verərsə.
Sadə problemləri həll etmək üçün bilməli olduğunuz hər şey budur. Təkcə bu qayda transformasiya qaydaları ilə birlikdə çox geniş bir sinif problemləri həll etməyə imkan verəcəkdir.
Ancaq gəlin dürüst olaq: bu texnikanı nəhayət başa düşmək üçün, loqarifmik tənliyin kanonik formasını tətbiq etməyi öyrənmək üçün sadəcə bir video dərsinə baxmaq kifayət deyil. Buna görə də, indi bu video təlimatına əlavə edilmiş müstəqil həll variantlarını yükləyin və bu iki müstəqil işdən ən azı birini həll etməyə başlayın.
Bu sizə bir neçə dəqiqə çəkəcək. Ancaq bu video təlimatına baxdığınız təqdirdə belə bir təlimin təsiri daha yüksək olacaqdır.
Ümid edirəm ki, bu dərs sizə loqarifmik tənlikləri başa düşməyə kömək edəcək. Kanonik formanı tətbiq edin, loqarifmlərlə işləmə qaydalarından istifadə edərək ifadələri sadələşdirin - və heç bir tapşırıqdan qorxmayacaqsınız. Və bu gün üçün əlimdə olan şey budur.
Əhatə dairəsinin nəzərə alınması
İndi isə loqarifmik funksiyanın oblastından, eləcə də bunun loqarifmik tənliklərin həllinə necə təsir etdiyindən danışaq. Formanın qurulmasını nəzərdən keçirin
log a f(x) = b
Belə bir ifadə ən sadə adlanır - onun yalnız bir funksiyası var və a və b ədədləri sadəcə ədədlərdir və heç bir halda x dəyişənindən asılı olan funksiya deyil. Çox sadə həll olunur. Yalnız formuladan istifadə etməlisiniz:
b = log a a b
Bu düstur loqarifmin əsas xassələrindən biridir və orijinal ifadəmizi əvəz etdikdə aşağıdakıları əldə edirik:
log a f(x) = log a a b
f(x) = a b
Bu, artıq məktəb dərsliklərindən tanış olan düsturdur. Yəqin ki, bir çox tələbələrin sualı olacaq: orijinal ifadədəki f ( x ) funksiyası log işarəsinin altında olduğu üçün ona aşağıdakı məhdudiyyətlər qoyulur:
f(x) > 0
Bu məhdudiyyət etibarlıdır, çünki mənfi ədədlərin loqarifmi mövcud deyil. Beləliklə, bəlkə bu məhdudiyyətə görə cavablar üçün bir yoxlama təqdim etməlisiniz? Bəlkə onları mənbədə əvəz etmək lazımdır?
Xeyr, ən sadə loqarifmik tənliklərdə əlavə yoxlamaya ehtiyac yoxdur. Və buna görə. Son düsturumuza nəzər salın:
f(x) = a b
Fakt budur ki, a sayı istənilən halda 0-dan böyükdür - bu tələb də loqarifm tərəfindən qoyulur. a sayı əsasdır. Bu halda b sayına heç bir məhdudiyyət qoyulmur. Amma bunun heç bir əhəmiyyəti yoxdur, çünki müsbət rəqəmi hansı dərəcədə qaldırsaq da, çıxışda yenə də müsbət rəqəm alacağıq. Beləliklə, f (x) > 0 tələbi avtomatik yerinə yetirilir.
Həqiqətən yoxlamağa dəyər olan, log işarəsi altındakı funksiyanın əhatə dairəsidir. Olduqca mürəkkəb dizaynlar ola bilər və onların həlli prosesində mütləq onlara əməl etməlisiniz. Gəlin nəzər salaq.
Birinci tapşırıq:
Birinci addım: sağdakı kəsri çevirin. Biz əldə edirik:
Loqarifmin işarəsindən xilas oluruq və adi irrasional tənliyi alırıq:
Əldə edilən köklərdən yalnız birincisi bizə uyğun gəlir, çünki ikinci kök sıfırdan azdır. Yeganə cavab 9 rəqəmi olacaq. Budur, problem həll olundu. Loqarifm işarəsi altındakı ifadənin 0-dan böyük olması üçün heç bir əlavə yoxlama tələb olunmur, çünki o, sadəcə 0-dan böyük deyil, tənliyin şərtinə görə 2-yə bərabərdir. Buna görə də “sıfırdan böyük” tələbi avtomatik olaraq həyata keçirilir. razı.
İkinci tapşırığa keçək:
Burada hər şey eynidir. Üçlüyü əvəz edərək tikintini yenidən yazırıq:
Loqarifmin işarələrindən xilas oluruq və irrasional tənlik alırıq:
Məhdudiyyətləri nəzərə alaraq hər iki hissəni kvadratlaşdırırıq və alırıq:
4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2
4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16
x2 + 8x + 16 −4 + 6x + x2 = 0
2x2 + 14x + 12 = 0 |:2
x2 + 7x + 6 = 0
Yaranan tənliyi diskriminant vasitəsilə həll edirik:
D \u003d 49 - 24 \u003d 25
x 1 = −1
x 2 \u003d -6
Lakin x = −6 bizə uyğun gəlmir, çünki bu ədədi bərabərsizliyimizdə əvəz etsək, alırıq:
−6 + 4 = −2 < 0
Bizim vəziyyətimizdə onun 0-dan böyük və ya ekstremal hallarda bərabər olması tələb olunur. Lakin x = −1 bizə uyğundur:
−1 + 4 = 3 > 0
Bizim vəziyyətimizdə yeganə cavab x = −1-dir. Bütün həll yolu budur. Gəlin hesablamalarımızın ən əvvəlinə qayıdaq.
Bu dərsdən çıxan əsas nəticə ondan ibarətdir ki, ən sadə loqarifmik tənliklərdə funksiyanın hədlərini yoxlamaq tələb olunmur. Çünki həll prosesində bütün məhdudiyyətlər avtomatik olaraq yerinə yetirilir.
Bununla belə, bu, heç bir halda yoxlamanı tamamilə unuda biləcəyiniz anlamına gəlmir. Loqarifmik tənlik üzərində işləmə prosesində, bu gün iki fərqli nümunədə gördüyümüz sağ tərəf üçün öz məhdudiyyətləri və tələbləri olan irrasional bir tənliyə çevrilə bilər.
Bu cür problemləri həll etməkdə çekinmeyin və mübahisədə bir kök varsa xüsusilə diqqətli olun.
Müxtəlif əsaslı loqarifmik tənliklər
Biz loqarifmik tənlikləri öyrənməyə davam edirik və daha mürəkkəb strukturları həll etmək üçün dəb olan daha iki maraqlı fəndləri təhlil edirik. Ancaq əvvəlcə ən sadə vəzifələrin necə həll edildiyini xatırlayaq:
log a f(x) = b
Bu qeyddə a və b sadəcə ədədlərdir və f (x) funksiyasında x dəyişəni olmalıdır və yalnız orada, yəni x yalnız arqumentdə olmalıdır. Bu cür loqarifmik tənlikləri kanonik formadan istifadə edərək çevirəcəyik. Bunun üçün qeyd edirik ki
b = log a a b
Və a b sadəcə bir arqumentdir. Bu ifadəni aşağıdakı kimi yenidən yazaq:
log a f(x) = log a a b
Biz məhz buna nail olmağa çalışırıq ki, həm solda, həm də sağda a əsasına loqarifm olsun. Bu halda, biz, obrazlı desək, log işarələrini kəsə bilərik və riyaziyyat baxımından, sadəcə olaraq, arqumentləri bərabərləşdirdiyimizi söyləyə bilərik:
f(x) = a b
Nəticədə daha asan həll ediləcək yeni bir ifadə alırıq. Gəlin bu qaydanı bugünkü tapşırıqlarımıza tətbiq edək.
Beləliklə, ilk dizayn:
İlk növbədə qeyd edirəm ki, sağda kəsr var, məxrəci logdur. Belə bir ifadə gördüyünüz zaman loqarifmlərin gözəl xüsusiyyətini xatırlamağa dəyər:
Rus dilinə tərcümə edilərsə, bu o deməkdir ki, istənilən loqarifm hər hansı c əsası ilə iki loqarifmin bölünməsi kimi təqdim edilə bilər. Təbii ki, 0< с ≠ 1.
Beləliklə: c dəyişəni dəyişənə bərabər olduqda bu düsturun bir gözəl xüsusi halı var b. Bu halda, formanın tikintisini alırıq:
Tənliyimizdə sağdakı işarədən müşahidə etdiyimiz bu konstruksiyadır. Bu konstruksiyanı log a b ilə əvəz edək, alırıq:
Başqa sözlə, ilkin tapşırıqla müqayisədə biz arqumenti və loqarifmin əsasını dəyişdirdik. Əvəzində fraksiyanı çevirməli olduq.
Xatırlayırıq ki, istənilən dərəcə aşağıdakı qaydaya əsasən bazadan çıxarıla bilər:
Başqa sözlə, əsasın dərəcəsi olan k əmsalı ters çevrilmiş kəsr kimi çıxarılır. Onu tərs kəsr kimi çıxaraq:
Kəsr amili qabağında qala bilməz, çünki bu halda biz bu qeydi kanonik forma kimi təqdim edə bilməyəcəyik (axı, kanonik formada ikinci loqarifmin qarşısında əlavə amil yoxdur). Buna görə də arqumentdə 1/4 kəsri güc kimi qoyaq:
İndi biz əsasları eyni olan arqumentləri bərabərləşdiririk (və həqiqətən də eyni əsaslara sahibik) və yazırıq:
x + 5 = 1
x = −4
Hamısı budur. Birinci loqarifmik tənliyin cavabını aldıq. Diqqət edin: orijinal məsələdə x dəyişəni yalnız bir logda baş verir və o, öz arqumentindədir. Buna görə də, domeni yoxlamağa ehtiyac yoxdur və x = −4 nömrəmiz həqiqətən cavabdır.
İndi ikinci ifadəyə keçək:
log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)
Burada adi loqarifmlərə əlavə olaraq lg f (x) ilə işləməli olacağıq. Belə bir tənliyi necə həll etmək olar? Hazırlıqsız bir tələbəyə bunun bir növ qalay olduğu görünə bilər, amma əslində hər şey elementar şəkildə həll olunur.
lg 2 log 2 termininə diqqətlə baxın 7. Bu barədə nə deyə bilərik? log və lg-nin əsasları və arqumentləri eynidir və bu, bəzi ipuçlarını verməlidir. Loqarifmin işarəsi altından dərəcələrin necə çıxarıldığını bir daha xatırlayaq:
log a b n = n log a b
Başqa sözlə desək, arqumentdəki b rəqəminin gücü nə idi logun özü qarşısında faktora çevrilir. Gəlin bu düsturu lg 2 log 2 7 ifadəsinə tətbiq edək. lg 2-dən qorxma - bu, ən çox yayılmış ifadədir. Bunu belə yenidən yaza bilərsiniz:
Onun üçün hər hansı digər loqarifmə aid olan bütün qaydalar etibarlıdır. Xüsusilə, arqumentin gücünə qarşıdakı faktor daxil edilə bilər. Gəlin yazaq:
Çox vaxt tələbələr bu hərəkəti görmürlər, çünki bir log digərinin işarəsi altında daxil olmaq yaxşı deyil. Əslində bunda heç bir cinayət yoxdur. Üstəlik, vacib bir qaydanı xatırlayırsınızsa, hesablamaq asan olan bir düstur alırıq:
Bu düstur həm tərif kimi, həm də onun xüsusiyyətlərindən biri kimi qəbul edilə bilər. Hər halda, loqarifmik tənliyi çevirsəniz, bu düsturla hər hansı bir ədədin log şəklində təqdim edilməsi ilə eyni şəkildə bilməlisiniz.
Vəzifəmizə qayıdırıq. Bərabər işarənin sağındakı birinci həddin sadəcə olaraq lg 7-yə bərabər olacağını nəzərə alaraq onu yenidən yazırıq. Bizdə:
lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)
lg 7-ni sola keçirək, əldə edirik:
lg 56 - lg 7 = -3lg (x + 4)
Soldakı ifadələri çıxarırıq, çünki onlar eyni bazaya malikdirlər:
lg (56/7) = -3lg (x + 4)
İndi isə əldə etdiyimiz tənliyə daha yaxından nəzər salaq. Praktik olaraq kanonik formadır, lakin sağda −3 amili var. Gəlin bunu düzgün lg arqumentinə qoyaq:
lg 8 = lg (x + 4) −3
Qarşımızda loqarifmik tənliyin kanonik forması var, buna görə də lg işarələrini kəsirik və arqumentləri bərabərləşdiririk:
(x + 4) -3 = 8
x + 4 = 0,5
Hamısı budur! İkinci loqarifmik tənliyi həll etdik. Bu halda heç bir əlavə yoxlama tələb olunmur, çünki orijinal məsələdə x yalnız bir arqumentdə mövcud idi.
İcazə verin, bu dərsin əsas məqamlarını təkrar edim.
Bu səhifədə loqarifmik tənliklərin həllinə həsr olunmuş bütün dərslərdə öyrənilən əsas düstur kanonik formadır. Məktəb dərsliklərinin çoxunun sizə bu cür problemləri fərqli şəkildə həll etməyin yollarını öyrətdiyinə görə ümidinizi kəsməyin. Bu alət çox səmərəli işləyir və dərsimizin əvvəlində öyrəndiyimiz ən sadə problemlərdən daha geniş sinif problemləri həll etməyə imkan verir.
Bundan əlavə, loqarifmik tənlikləri həll etmək üçün əsas xüsusiyyətləri bilmək faydalı olacaq. Məhz:
- Bir bazaya keçmək üçün düstur və jurnalı çevirdiyimiz zaman xüsusi bir vəziyyət (bu, ilk tapşırıqda bizim üçün çox faydalı oldu);
- Loqarifmin işarəsi altında səlahiyyətlərin daxil edilməsi və çıxarılması düsturu. Burada bir çox tələbələr ilişib qalır və boşluq görmürlər ki, çıxarılan və gətirilən gücün özündə log f (x) ola bilər. Bununla səhv bir şey yoxdur. Bir jurnalı digərinin işarəsinə uyğun olaraq təqdim edə bilərik və eyni zamanda problemin həllini əhəmiyyətli dərəcədə sadələşdirə bilərik, ikinci halda müşahidə etdiyimiz budur.
Sonda əlavə etmək istərdim ki, bu halların hər birində əhatə dairəsini yoxlamaq tələb olunmur, çünki hər yerdə x dəyişəni logun yalnız bir işarəsində mövcuddur və eyni zamanda onun arqumentindədir. Nəticədə, bütün domen tələbləri avtomatik olaraq yerinə yetirilir.
Dəyişən baza ilə problemlər
Bu gün bir çox tələbələr üçün qeyri-standart görünən, tamamilə həll olunmayan loqarifmik tənlikləri nəzərdən keçirəcəyik. Söhbət rəqəmlərə deyil, dəyişənlərə və hətta funksiyalara əsaslanan ifadələrdən gedir. Bu cür konstruksiyaları standart texnikamızdan istifadə edərək, yəni kanonik forma vasitəsilə həll edəcəyik.
Başlamaq üçün, adi ədədlərə əsaslanan ən sadə məsələlərin necə həll edildiyini xatırlayaq. Beləliklə, ən sadə tikinti adlanır
log a f(x) = b
Bu cür problemləri həll etmək üçün aşağıdakı düsturdan istifadə edə bilərik:
b = log a a b
Orijinal ifadəmizi yenidən yazırıq və alırıq:
log a f(x) = log a a b
Sonra arqumentləri bərabərləşdiririk, yəni yazırıq:
f(x) = a b
Beləliklə, biz log işarəsindən xilas oluruq və adi problemi həll edirik. Bu halda məhlulda alınan köklər ilkin loqarifmik tənliyin kökləri olacaqdır. Bundan əlavə, həm sol, həm də sağ eyni əsasla eyni loqarifmdə olduqda qeyd kanonik forma adlanır. Məhz bu rekorda görə biz bugünkü tikintiləri azaltmağa çalışacağıq. Beləliklə, gedək.
Birinci tapşırıq:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
1-i log x − 2 (x − 2) 1 ilə əvəz edin. Arqumentdə müşahidə etdiyimiz dərəcə, əslində, bərabər işarəsinin sağında olan b rəqəmidir. Beləliklə, ifadəmizi yenidən yazaq. Biz əldə edirik:
log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)
Biz nə görürük? Qarşımızda loqarifmik tənliyin kanonik forması var, buna görə də arqumentləri etibarlı şəkildə bərabərləşdirə bilərik. Biz əldə edirik:
2x2 - 13x + 18 = x - 2
Ancaq həll yolu bununla bitmir, çünki bu tənlik ilkin tənliyə bərabər deyil. Axı, nəticədə qurulan quruluş bütün say xəttində müəyyən edilmiş funksiyalardan ibarətdir və orijinal loqarifmlərimiz hər yerdə və həmişə deyil.
Buna görə də tərif sahəsini ayrıca yazmalıyıq. Gəlin daha müdrik olmayaq və əvvəlcə bütün tələbləri yazaq:
Birincisi, loqarifmlərin hər birinin arqumenti 0-dan böyük olmalıdır:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
İkincisi, baza yalnız 0-dan böyük deyil, həm də 1-dən fərqli olmalıdır:
x − 2 ≠ 1
Nəticədə sistemi əldə edirik:
Ancaq narahat olmayın: loqarifmik tənlikləri işləyərkən belə bir sistem çox sadələşdirilə bilər.
Özünüz mühakimə edin: bir tərəfdən bizdən kvadrat funksiyanın sıfırdan böyük olması tələb olunur, digər tərəfdən isə bu kvadrat funksiya hansısa xətti ifadəyə bərabər tutulur ki, onun da sıfırdan böyük olması tələb olunur.
Bu halda, əgər x − 2 > 0 olmasını tələb etsək, onda 2x 2 − 13x + 18 > 0 tələbi avtomatik ödəniləcək.Buna görə də kvadrat funksiyası olan bərabərsizliyi təhlükəsiz şəkildə kəsə bilərik. Beləliklə, sistemimizdəki ifadələrin sayı üçə qədər azalacaq.
Əlbəttə ki, biz xətti bərabərsizliyi də kəsə bilərik, yəni x - 2 > 0-ın üstündən xətt çəkə və 2x 2 - 13x + 18 > 0 olmasını tələb edə bilərik. Amma etiraf etməlisiniz ki, ən sadə xətti bərabərsizliyi həll etmək daha sürətli və asandır, kvadratdan daha çox, hətta bütün bu sistemin həlli nəticəsində eyni kökləri alsaq belə.
Ümumiyyətlə, mümkün olduqda hesablamaları optimallaşdırmağa çalışın. Loqarifmik tənliklər vəziyyətində isə ən çətin bərabərsizlikləri kəsin.
Gəlin sistemimizi yenidən yazaq:
Budur, üç ifadədən ibarət belə bir sistemdir, onlardan ikisini, əslində, artıq başa düşmüşük. Kvadrat tənliyi ayrıca yazaq və həll edək:
2x2 - 14x + 20 = 0
x2 − 7x + 10 = 0
Qarşımızda azaldılmış kvadrat trinomial var və buna görə də Vyeta düsturlarından istifadə edə bilərik. Biz əldə edirik:
(x − 5)(x − 2) = 0
x 1 = 5
x2 = 2
İndi sistemimizə qayıdaq, görürük ki, x = 2 bizə uyğun deyil, çünki bizdən x-in 2-dən ciddi şəkildə böyük olması tələb olunur.
Ancaq x \u003d 5 bizə olduqca uyğundur: 5 rəqəmi 2-dən böyükdür və eyni zamanda 5 3-ə bərabər deyil. Buna görə də, bu sistemin yeganə həlli x \u003d 5 olacaqdır.
Hər şey, vəzifə ODZ nəzərə alınmaqla həll edilir. İkinci tənliyə keçək. Burada daha maraqlı və mənalı hesablamalar gözləyirik:
İlk addım: son dəfə olduğu kimi, biz bütün bu işi kanonik formaya gətiririk. Bunun üçün 9 rəqəmini aşağıdakı kimi yaza bilərik:
Kökü olan bazaya toxunmaq olmaz, amma arqumenti çevirmək daha yaxşıdır. Rasional göstərici ilə kökdən gücə keçək. Gəlin yazaq:
İcazə verin, bütün böyük loqarifmik tənliyimizi yenidən yazmayım, sadəcə olaraq arqumentləri bərabərləşdirək:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Bizdən əvvəl yenidən azaldılmış kvadrat trinomial var, biz Vyeta düsturlarından istifadə edəcəyik və yazacağıq:
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = -3
x 2 = -1
Beləliklə, biz kökləri aldıq, lakin heç kim bizə onların orijinal loqarifmik tənliyə uyğun olacağına zəmanət vermədi. Axı, log işarələri əlavə məhdudiyyətlər qoyur (burada sistemi yazmaq məcburiyyətində qalacağıq, lakin bütün tikintinin çətinliyinə görə mən tərif sahəsini ayrıca hesablamaq qərarına gəldim).
Hər şeydən əvvəl, arqumentlərin 0-dan böyük olması lazım olduğunu unutmayın, yəni:
Bunlar tərif sahəsinin qoyduğu tələblərdir.
Dərhal qeyd edirik ki, sistemin ilk iki ifadəsini bir-birinə bərabərləşdirdiyimiz üçün onlardan hər hansı birinin üstündən xətt çəkə bilərik. Gəlin birincinin üstündən xətt çəkək, çünki ikincidən daha qorxulu görünür.
Əlavə olaraq qeyd edək ki, ikinci və üçüncü bərabərsizliklərin həlli eyni dəstlər olacaq (bəzi ədədin kubu sıfırdan böyükdür, əgər bu ədədin özü sıfırdan böyükdürsə; üçüncü dərəcənin kökü ilə eynilə - bu bərabərsizliklər tamamilə oxşardır, ona görə də onlardan birinin üstündən xətt çəkə bilərik).
Ancaq üçüncü bərabərsizliklə bu işləməyəcək. Sol tərəfdəki radikalın işarəsindən xilas olaq, bunun üçün hər iki hissəni bir kuba qaldırırıq. Biz əldə edirik:
Beləliklə, aşağıdakı tələbləri alırıq:
−2 ≠ x > −3
Köklərimizdən hansı: x 1 = -3 və ya x 2 = -1 bu tələblərə cavab verir? Aydındır ki, yalnız x = −1, çünki x = −3 birinci bərabərsizliyi təmin etmir (çünki bizim bərabərsizliyimiz sərtdir). Ümumilikdə problemimizə qayıdaraq bir kök alırıq: x = −1. Budur, problem həll olundu.
Bir daha bu tapşırığın əsas məqamları:
- Kanonik formadan istifadə edərək loqarifmik tənlikləri tətbiq etməkdən və həll etməkdən çəkinməyin. Belə qeyd aparan və ilkin məsələdən birbaşa log a f ( x ) = b kimi konstruksiyaya getməyən tələbələr harasa tələsən, hesablamaların aralıq addımlarını atlayanlarla müqayisədə xeyli az səhvə yol verirlər;
- Loqarifmdə dəyişən baza görünən kimi problem ən sadə olmaqdan çıxır. Buna görə də onu həll edərkən tərif sahəsini nəzərə almaq lazımdır: arqumentlər sıfırdan böyük olmalıdır və əsaslar nəinki 0-dan böyük olmalıdır, həm də 1-ə bərabər olmamalıdır.
Yekun cavablara son tələbləri müxtəlif yollarla qoya bilərsiniz. Məsələn, bütün domen tələblərini ehtiva edən bütöv bir sistemi həll etmək mümkündür. Digər tərəfdən, əvvəlcə problemin özünü həll edə, sonra tərif sahəsi haqqında xatırlaya, onu ayrı-ayrılıqda sistem şəklində işləyə və əldə edilmiş köklərə tətbiq edə bilərsiniz.
Müəyyən bir loqarifmik tənliyi həll edərkən hansı yolu seçmək sizin ixtiyarınızdadır. Hər halda cavab eyni olacaq.
Məktəbdə riyaziyyat dərslərində o qədər də tez-tez nəzərə alınmayan, lakin rəqabətli tapşırıqların hazırlanmasında, o cümlədən USE üçün geniş istifadə olunan bəzi loqarifmik tənlik növlərini nəzərdən keçirək.
1. Loqarifm üsulu ilə həll olunan tənliklər
Həm əsasda, həm də eksponentdə dəyişən olan tənliklərin həlli zamanı loqarifm metodundan istifadə olunur. Əgər əlavə olaraq eksponentdə loqarifm varsa, onda tənliyin hər iki tərəfi bu loqarifmin əsasına qədər loqarifmallaşdırılmalıdır.
Misal 1
Tənliyi həll edin: x log 2 x + 2 = 8.
Qərar.
2-ci bazada tənliyin sol və sağ tərəflərinin loqarifmini alırıq
log 2 (x log 2 x + 2) = log 2 8,
(log 2 x + 2) log 2 x = 3.
Log 2 x = t olsun.
Onda (t + 2)t = 3.
t 2 + 2t - 3 = 0.
D \u003d 16. t 1 \u003d 1; t 2 \u003d -3.
Beləliklə, log 2 x \u003d 1 və x 1 \u003d 2 və ya log 2 x \u003d -3 və x 2 \u003d 1/8
Cavab: 1/8; 2.
2. Homojen loqarifmik tənliklər.
Misal 2
log 2 3 (x 2 - 3x + 4) - 3log 3 (x + 5) log 3 (x 2 - 3x + 4) - 2log 2 3 (x + 5) = 0 tənliyini həll edin
Qərar.
Tənlik sahəsi
(x 2 - 3x + 4 > 0,
(x + 5 > 0. → x > -5.
log 3 (x + 5) = 0 x = -4 üçün. Yoxlamaqla müəyyən edirik ki, x-in verilmiş qiyməti yoxdur 
orijinal tənliyin köküdür. Buna görə də tənliyin hər iki tərəfini log 2 3 (x + 5) ilə bölmək olar.
Biz log 2 3 (x 2 - 3x + 4) / log 2 3 (x + 5) - 3 log 3 (x 2 - 3x + 4) / log 3 (x + 5) + 2 = 0 alırıq.
Log 3 (x 2 - 3x + 4) / log 3 (x + 5) = t olsun. Onda t 2 - 3 t + 2 = 0. Bu tənliyin kökləri 1-dir; 2. İlkin dəyişənə qayıdaraq iki tənlik toplusunu alırıq
Lakin loqarifmin mövcudluğunu nəzərə alaraq, yalnız (0; 9] dəyərləri nəzərə alınmalıdır. Bu o deməkdir ki, sol tərəfdəki ifadə x \u003d 1-də ən böyük 2 dəyərini alır. İndi düşünün y \u003d 2 x-1 + 2 1-x funksiyası. Əgər t \u003d 2 x -1 alsaq, o, y \u003d t + 1 / t formasını alacaq, burada t > 0. Belə şərtlərdə, onun tək kritik nöqtəsi var t \u003d 1. Bu minimum nöqtədir. Y vin \u003d 2. Və x \u003d 1-də əldə edilir.
İndi aydın olur ki, nəzərdən keçirilən funksiyaların qrafikləri (1; 2) nöqtəsində yalnız bir dəfə kəsişə bilər. Belə çıxır ki, x \u003d 1 həll olunan tənliyin yeganə köküdür.
Cavab: x = 1.
Misal 5. log 2 2 x + (x - 1) log 2 x \u003d 6 - 2x tənliyini həll edin
Qərar.
log 2 x üçün bu tənliyi həll edək. Log 2 x = t olsun. Sonra t 2 + (x - 1) t - 6 + 2x \u003d 0.
D \u003d (x - 1) 2 - 4 (2x - 6) \u003d (x - 5) 2. t 1 \u003d -2; t 2 \u003d 3 - x.
log 2 x \u003d -2 və ya log 2 x \u003d 3 - x tənliyini alırıq.
Birinci tənliyin kökü x 1 = 1/4-dür. 
Log 2 x \u003d 3 - x tənliyinin kökü seçim yolu ilə tapılacaqdır. Bu rəqəm 2-dir. Bu kök unikaldır, çünki y \u003d log 2 x funksiyası bütün tərif sahəsi üzrə artır və y \u003d 3 - x funksiyası isə azalır.
Yoxlamaqla hər iki rəqəmin tənliyin kökü olduğuna əmin olmaq asandır
Cavab: 1/4; 2.
sayt, materialın tam və ya qismən surəti ilə mənbəyə keçid tələb olunur.
Bildiyiniz kimi, ifadələri dərəcələrlə vurarkən onların göstəriciləri həmişə toplanır (a b * a c = a b + c). Bu riyazi qanunu Arximed çıxarmışdır və sonralar 8-ci əsrdə riyaziyyatçı Virasen tam ədədlər cədvəlini yaratmışdır. Məhz onlar loqarifmlərin sonrakı kəşfinə xidmət etmişlər. Bu funksiyadan istifadə nümunələri, demək olar ki, hər yerdə tapıla bilər, burada sadə toplamaya çətin vurmanı sadələşdirmək lazımdır. Bu yazını oxumağa 10 dəqiqə vaxt ayırsanız, sizə loqarifmlərin nə olduğunu və onlarla necə işləməyi izah edəcəyik. Sadə və əlçatan dil.
Riyaziyyatda tərif
Loqarifm aşağıdakı formanın ifadəsidir: log a b=c, yəni hər hansı qeyri-mənfi ədədin (yəni hər hansı müsbət) “b”-nin “a” əsasına görə loqarifmi “c”-nin gücü hesab olunur. , bunun üçün "a" bazası qaldırılmalıdır ki, sonda "b" dəyəri alınsın. Nümunələrdən istifadə edərək loqarifmanı təhlil edək, tutaq ki, log 2 ifadəsi var 8. Cavabı necə tapmaq olar? Çox sadədir, elə bir dərəcə tapmaq lazımdır ki, 2-dən tələb olunan dərəcəyə qədər 8-i alırsınız. Fikrinizdə bəzi hesablamalar apardıqdan sonra 3 rəqəmini alırıq! Və haqlı olaraq belədir, çünki 2-nin 3-ün qüvvəsi cavabda 8 rəqəmini verir.
Loqarifmlərin növləri
Bir çox şagird və tələbələr üçün bu mövzu mürəkkəb və anlaşılmaz görünür, amma əslində loqarifmlər o qədər də qorxulu deyil, əsas odur ki, onların ümumi mənasını başa düşmək və xassələrini və bəzi qaydaları yadda saxlamaq lazımdır. Üç fərqli loqarifmik ifadə var:
- Təbii loqarifm ln a, burada əsas Eyler ədədidir (e = 2.7).
- Ondalık a, burada əsas 10-dur.
- İstənilən b ədədinin a>1 əsasına loqarifmi.
Onların hər biri loqarifmik teoremlərdən istifadə etməklə sadələşdirmə, azalma və sonradan bir loqarifmə endirmə daxil olmaqla standart şəkildə həll edilir. Loqarifmlərin düzgün dəyərlərini əldə etmək üçün onların xüsusiyyətlərini və qərarlarında hərəkətlərin ardıcıllığını yadda saxlamaq lazımdır.
Qaydalar və bəzi məhdudiyyətlər
Riyaziyyatda aksioma kimi qəbul edilən, yəni müzakirə mövzusu olmayan və doğru olan bir neçə qayda-məhdudiyyət var. Məsələn, ədədləri sıfıra bölmək mümkün deyil, mənfi ədədlərdən cüt dərəcənin kökünü çıxarmaq da mümkün deyil. Loqarifmlərin də öz qaydaları var, onlara əməl etməklə hətta uzun və tutumlu loqarifmik ifadələrlə işləməyi asanlıqla öyrənə bilərsiniz:
- "a" bazası həmişə sıfırdan böyük olmalı və eyni zamanda 1-ə bərabər olmamalıdır, əks halda ifadə öz mənasını itirəcək, çünki "1" və "0" istənilən dərəcədə həmişə öz qiymətlərinə bərabərdir;
- a > 0, onda a b > 0 olarsa, belə çıxır ki, "c" sıfırdan böyük olmalıdır.
Loqarifmləri necə həll etmək olar?
Məsələn, 10 x \u003d 100 tənliyinə cavab tapmaq tapşırığı verilir. Bu, çox asandır, 100 aldığımız on rəqəmini qaldıraraq belə bir güc seçmək lazımdır. Bu, əlbəttə ki, 10 2-dir. \u003d 100.
İndi bu ifadəni loqarifmik kimi təqdim edək. Biz log 10 100 = 2 alırıq. Loqarifmləri həll edərkən bütün hərəkətlər praktiki olaraq verilmiş ədədi əldə etmək üçün loqarifmin əsasının hansı dərəcədə daxil edilməli olduğunu tapmaq üçün birləşir.
Naməlum dərəcənin dəyərini dəqiq müəyyən etmək üçün dərəcələr cədvəli ilə işləməyi öyrənməlisiniz. Bu belə görünür:
Gördüyünüz kimi, texniki zehniyyətiniz və vurma cədvəli haqqında məlumatınız varsa, bəzi eksponentləri intuitiv olaraq təxmin etmək olar. Bununla birlikdə, daha böyük dəyərlər bir güc masası tələb edəcəkdir. Onu hətta mürəkkəb riyazi mövzularda ümumiyyətlə heç nə başa düşməyənlər də istifadə edə bilər. Sol sütunda rəqəmlər var (a bazası), nömrələrin yuxarı cərgəsi a rəqəminin qaldırıldığı c gücünün dəyəridir. Hüceyrələrdəki kəsişmədə cavab olan nömrələrin dəyərləri müəyyən edilir (a c = b). Məsələn, 10 rəqəmi olan ilk xananı götürək və onun kvadratına çevirək, iki xanamızın kəsişməsində göstərilən 100 qiymətini alırıq. Hər şey o qədər sadə və asandır ki, hətta ən real humanist də başa düşəcək!
Tənliklər və bərabərsizliklər
Belə çıxır ki, müəyyən şərtlərdə göstərici loqarifmdir. Buna görə də istənilən riyazi ədədi ifadələr loqarifmik tənlik kimi yazıla bilər. Məsələn, 3 4 =81 81-in 3 əsasına loqarifm kimi yazıla bilər ki, bu da dörddür (log 3 81 = 4). Mənfi güclər üçün qaydalar eynidir: 2 -5 = 1/32 loqarifm kimi yazırıq, log 2 (1/32) = -5 alırıq. Riyaziyyatın ən maraqlı bölmələrindən biri “loqarifmlər” mövzusudur. Tənliklərin nümunələrini və həllərini xassələrini öyrəndikdən dərhal sonra bir az aşağı nəzərdən keçirəcəyik. İndi bərabərsizliklərin necə göründüyünə və onları tənliklərdən necə ayırd etməyə baxaq.
Aşağıdakı formanın ifadəsi verilmişdir: log 2 (x-1) > 3 - loqarifmik bərabərsizlikdir, çünki naməlum "x" qiyməti loqarifmin işarəsi altındadır. Həm də ifadədə iki kəmiyyət müqayisə edilir: ikinci bazada istədiyiniz ədədin loqarifmi üç rəqəmindən böyükdür.
Loqarifmik tənliklər və bərabərsizliklər arasındakı ən mühüm fərq ondan ibarətdir ki, loqarifmalı tənliklər (məsələn, 2 x = √9 loqarifmi) cavabda bir və ya bir neçə xüsusi ədədi dəyəri nəzərdə tutur, bərabərsizliyi həll edərkən, həm də məqbul dəyərlər və bu funksiyanı pozan nöqtələr. Nəticə etibarı ilə cavab tənliyin cavabında olduğu kimi sadə fərdi ədədlər toplusu deyil, fasiləsiz sıra və ya ədədlər toplusudur.
Loqarifmlər haqqında əsas teoremlər
Loqarifmin qiymətlərini tapmaq üçün ibtidai tapşırıqları həll edərkən, onun xüsusiyyətləri məlum olmaya bilər. Lakin loqarifmik tənliklərdən və ya bərabərsizliklərdən söhbət gedəndə, ilk növbədə, loqarifmanın bütün əsas xassələrini aydın başa düşmək və praktikada tətbiq etmək lazımdır. Tənlik nümunələri ilə daha sonra tanış olacağıq, əvvəlcə hər bir xassəni daha ətraflı təhlil edək.
- Əsas şəxsiyyət belə görünür: a logaB =B. O, yalnız a 0-dan böyükdürsə, birə bərabər deyilsə və B sıfırdan böyükdürsə tətbiq edilir.
- Məhsulun loqarifmini aşağıdakı düsturla təqdim etmək olar: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Bu halda ilkin şərt: d, s 1 və s 2 > 0; a≠1. Bu loqarifm düsturuna misallar və həll yolu ilə sübut verə bilərsiniz. Qoy log a s 1 = f 1 və log a s 2 = f 2 , sonra a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Alırıq ki, s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (dərəcə xassələri) ), və daha sonra tərifinə görə: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, sübut edilməli idi.
- Hissənin loqarifmi belə görünür: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Düstur şəklində olan teorem aşağıdakı formanı alır: log a q b n = n/q log a b.
Bu düstur “loqarifmin dərəcəsinin xassəsi” adlanır. O, adi dərəcələrin xassələrinə bənzəyir və təəccüblü deyil, çünki bütün riyaziyyat müntəzəm postulatlara əsaslanır. Gəlin sübuta baxaq.
Qoy log a b \u003d t, belə çıxır a t \u003d b. Hər iki hissəni m gücünə qaldırsanız: a tn = b n ;
lakin a tn = (a q) nt/q = b n olduğundan log a q b n = (n*t)/t, sonra log a q b n = n/q log a b. Teorem sübut edilmişdir.
Problemlər və bərabərsizliklər nümunələri
Loqarifm məsələlərinin ən çox yayılmış növləri tənlik və bərabərsizlik nümunələridir. Onlar demək olar ki, bütün problem kitablarında olur və riyaziyyatdan imtahanların məcburi hissəsinə də daxil edilir. Universitetə daxil olmaq və ya riyaziyyatdan qəbul imtahanlarından keçmək üçün bu cür tapşırıqları necə düzgün həll edəcəyinizi bilməlisiniz.
Təəssüf ki, loqarifmin naməlum dəyərinin həlli və müəyyən edilməsi üçün vahid plan və ya sxem yoxdur, lakin hər bir riyazi bərabərsizliyə və ya loqarifmik tənliyə müəyyən qaydalar tətbiq edilə bilər. Hər şeydən əvvəl, ifadənin sadələşdirilə və ya ümumi formaya salına biləcəyini öyrənməlisiniz. Uzun loqarifmik ifadələrin xassələrindən düzgün istifadə etsəniz, onları sadələşdirə bilərsiniz. Gəlin tezliklə onlarla tanış olaq.
Loqarifmik tənlikləri həll edərkən qarşımızda hansı növ loqarifm olduğunu müəyyən etmək lazımdır: ifadə nümunəsində təbii loqarifm və ya onluq ola bilər.
Budur ln100, ln1026 nümunələri. Onların həlli ondan ibarətdir ki, 10-cu bazanın müvafiq olaraq 100 və 1026-ya bərabər olacağını müəyyən etmək lazımdır. Təbii loqarifmlərin həlli üçün loqarifmik eyniliklər və ya onların xassələri tətbiq edilməlidir. Müxtəlif tipli loqarifmik məsələlərin həlli nümunələrinə baxaq.
Loqarifm Düsturlarından Necə İstifadə Edilir: Nümunələr və Həlllərlə
Beləliklə, loqarifmlər üzrə əsas teoremlərdən istifadə nümunələrinə baxaq.
- Məhsulun loqarifminin xassəsindən b ədədinin böyük qiymətini daha sadə amillərə parçalamaq lazım olan tapşırıqlarda istifadə oluna bilər. Məsələn, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Cavab 9-dur.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - gördüyünüz kimi, loqarifmin dərəcəsinin dördüncü xassəsindən istifadə edərək biz ilk baxışdan mürəkkəb və həll olunmayan ifadəni həll edə bildik. Yalnız bazanı faktorlara ayırmaq və sonra eksponent dəyərləri loqarifmin işarəsindən çıxarmaq lazımdır.
İmtahandan tapşırıqlar
Logarifmlərə tez-tez qəbul imtahanlarında, xüsusən Vahid Dövlət İmtahanında bir çox logarifmik problemə rast gəlinir (bütün məktəb məzunları üçün dövlət imtahanı). Adətən bu tapşırıqlar təkcə A hissəsində (imtahanın ən asan test hissəsi) deyil, həm də C hissəsində (ən çətin və həcmli tapşırıqlar) mövcuddur. İmtahan “Natural loqarifmlər” mövzusunda dəqiq və mükəmməl biliyi nəzərdə tutur.
Nümunələr və problemlərin həlli imtahanın rəsmi versiyalarından götürülüb. Bu cür vəzifələrin necə həll edildiyini görək.
Verilmiş log 2 (2x-1) = 4. Həlli:
ifadəni bir az sadələşdirərək yenidən yazaq log 2 (2x-1) = 2 2 , loqarifmin tərifindən alırıq ki, 2x-1 = 2 4 , ona görə də 2x = 17; x = 8.5.
- Bütün loqarifmlər ən yaxşı şəkildə eyni bazaya endirilir ki, həll çətin və çaşdırıcı olmasın.
- Loqarifmin işarəsi altında olan bütün ifadələr müsbət kimi göstərilir, buna görə də loqarifmin işarəsi altında olan və əsası olan ifadənin göstəricisinin göstəricisi çıxarıldıqda, loqarifmin altında qalan ifadə müsbət olmalıdır.
