2 nöqtədən düz xətti bərabərləşdirin. Verilmiş iki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyi: misallar, həllər

İki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyi. Məqalə" " Mən sizə söz vermişəm ki, funksiyanın verilmiş qrafiki və bu qrafikə tangens üçün törəmənin tapılması ilə bağlı təqdim olunan məsələlərin həllinin ikinci üsulunu təhlil edəcəyik. Bu üsulu təhlil edəcəyik , qaçırmayın! Niyə növbətisində?

Fakt budur ki, orada düz xəttin tənliyi düsturu istifadə olunacaq. Əlbəttə ki, siz sadəcə bu düsturu göstərə və öyrənməyi məsləhət görə bilərsiniz. Ancaq izah etmək daha yaxşıdır - haradan gəlir (necə əldə edilir). Lazımdır! Əgər unutmusunuzsa, onu tez bərpa edinçətin olmayacaq. Aşağıda hər şey ətraflı təsvir edilmişdir. Beləliklə, koordinat müstəvisində iki A nöqtəmiz var(x 1; y 1) və B (x 2; y 2), göstərilən nöqtələrdən düz xətt çəkilir:

Düz xəttin düsturu budur:

* Yəni nöqtələrin xüsusi koordinatlarını əvəz etdikdə y = kx + b formalı tənlik alırıq.

** Əgər bu düstur sadəcə olaraq “kəsik”dirsə, o zaman indekslərlə səhv düşmə ehtimalı yüksəkdir. X... Bundan əlavə, indekslər müxtəlif yollarla qeyd edilə bilər, məsələn:

Buna görə mənasını başa düşmək vacibdir.

İndi bu formulun nəticəsi. Hər şey çox sadədir!

ABE və ACF üçbucaqları kəskin bucaq baxımından oxşardır (düzbucaqlı üçbucaqların oxşarlığının ilk əlaməti). Buradan belə nəticə çıxır ki, müvafiq elementlərin münasibətləri bərabərdir, yəni:

İndi biz sadəcə olaraq bu seqmentləri nöqtələrin koordinatlarındakı fərq baxımından ifadə edirik:

Elementlərin münasibətlərini fərqli ardıcıllıqla yazsanız, əlbəttə ki, səhv olmaz (əsas odur ki, yazışmaları saxlamaqdır):

Nəticə düz xəttin eyni tənliyi olacaq. Hamısı var!

Yəni, nöqtələrin özləri (və onların koordinatları) necə təyin olunduğundan asılı olmayaraq, bu düsturu başa düşsəniz, həmişə düz xəttin tənliyini tapacaqsınız.

Düstur vektorların xassələrindən istifadə etməklə əldə edilə bilər, lakin nəticə çıxarma prinsipi eyni olacaq, çünki onların koordinatlarının mütənasibliyi haqqında danışacağıq. Bu vəziyyətdə, düzbucaqlı üçbucaqların eyni görünüşü işləyir. Məncə, yuxarıda təsvir olunan çıxış daha aydındır)).

Vektor koordinatları vasitəsilə çıxışa baxın >>>

Verilmiş iki A (x 1; y 1) və B (x 2; y 2) nöqtələrindən keçən koordinat müstəvisində düz xətt çəkilsin. Düz xətt üzərində koordinatları olan ixtiyari C nöqtəsini qeyd edək ( x; y). Biz həmçinin iki vektoru qeyd edirik:

Məlumdur ki, paralel xətlər üzərində (və ya bir düz xətt üzərində) uzanan vektorlar üçün onların müvafiq koordinatları mütənasibdir, yəni:

- müvafiq koordinatların nisbətlərinin bərabərliyini yazırıq:

Məsələni nəzərdən keçirək:

Koordinatları (2; 5) və (7: 3) olan iki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyini tapın.

Siz hətta düz xəttin özünü qurmaq məcburiyyətində deyilsiniz. Formulu tətbiq edirik:

Nisbəti tərtib edərkən yazışmaları tutmağınız vacibdir. Yazsanız, səhv edə bilməzsiniz:

Cavab: y = -2 / 5x + 29/5 get y = -0,4x + 5,8

Əldə edilmiş tənliyin düzgün tapıldığından əmin olmaq üçün bir yoxlama apardığınızdan əmin olun - məlumatların koordinatlarını oradakı nöqtələr vəziyyətində əvəz edin. Düzgün bərabərlikləri əldə etməlisiniz.

Hamısı budur. Ümid edirəm material sizin üçün faydalı oldu.

Hörmətlə, Aleksandr.

P.S: Sosial şəbəkələrdə sayt haqqında məlumat versəniz minnətdar olaram.

tənlik parabolalar kvadratik funksiyadır. Bu tənliyi qurmaq üçün bir neçə variant var. Hamısı problem bəyanatında hansı parametrlərin göstərilməsindən asılıdır.

Təlimatlar

Parabola formasına görə qövsə bənzəyən və güc funksiyasının qrafiki olan əyridir. Parabolanın xüsusiyyətlərindən asılı olmayaraq, bu cütdür. Belə bir funksiya cüt adlanır; tərifdən arqumentin bütün qiymətləri üçün, arqumentin işarəsi dəyişdikdə, dəyər dəyişmir: f (-x) = f (x) Ən sadə funksiya ilə başlayın: y = x ^ 2. Onun formasından belə nəticəyə gələ bilərik ki, o, x arqumentinin həm müsbət, həm də mənfi qiymətləri üçündür. X = 0 və eyni zamanda y = 0 olan nöqtə nöqtə hesab olunur.

Aşağıda bu funksiyanı və onu qurmaq üçün bütün əsas variantlar verilmişdir. Birinci misal olaraq, aşağıda f (x) = x ^ 2 + a formasının funksiyasını nəzərdən keçiririk, burada a tam ədəddir Bu funksiyanın qrafikini çəkmək üçün funksiyanın qrafikini yerdəyişdirmək lazımdır. f (x) vahidlərlə. Nümunə olaraq y = x ^ 2 + 3 funksiyasını göstərmək olar, burada funksiya y oxu boyunca iki vahidlə yerdəyişmişdir. Əgər əks işarəli funksiya verilirsə, məsələn, y = x ^ 2-3, onda onun qrafiki y oxu boyunca aşağı sürüşdürülür.

Parabola verilə bilən başqa bir funksiya növü f (x) = (x + a) ^ 2-dir. Belə hallarda qrafik, əksinə, absis (x oxu) boyunca vahidlərlə sürüşdürülür. Məsələn, funksiyaları nəzərdən keçirək: y = (x +4) ^ 2 və y = (x-4) ^ 2. Birinci halda, artı işarəsi olan funksiya olduqda, qrafik x oxu boyunca sola, ikinci halda isə sağa sürüşdürülür. Bütün bu hallar şəkildə göstərilmişdir.

İki xal verilir M(X 1 ,var 1) və N(X 2,y 2). Bu nöqtələrdən keçən düz xəttin tənliyini tapaq.

Çünki bu xətt nöqtədən keçir M, onda (1.13) düsturuna görə onun tənliyi formaya malikdir

var – Y 1 = K(X - x 1),

Harada K- naməlum yamac.

Bu əmsalın qiyməti istənilən düz xəttin nöqtədən keçməsi şərtindən müəyyən edilir N, və deməli, onun koordinatları (1.13) tənliyini ödəyir.

Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),

Buradan bu düz xəttin yamacını tapa bilərsiniz:

,

Və ya çevrildikdən sonra

(1.14)

Formula (1.14) müəyyən edir İki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyi M(X 1, Y 1) və N(X 2, Y 2).

Xüsusi halda, nöqtələr olduqda M(A, 0), N(0, B), A ¹ 0, B¹ 0, koordinat oxları üzərində yerləşir, (1.14) tənliyi daha sadə forma alır

Tənlik (1.15)çağırdı Seqmentlərdə düz xəttin tənliyi ilə, burada A və B oxlar üzərində düz xətt ilə kəsilmiş seqmentləri qeyd edin (Şəkil 1.6).

Şəkil 1.6

Misal 1.10. Nöqtələrdən keçən düz xətti bərabərləşdirin M(1, 2) və B(3, –1).

. (1.14) uyğun olaraq axtarılan xəttin tənliyi formaya malikdir

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Bütün şərtləri sol tərəfə köçürərək nəhayət tələb olunan tənliyi əldə edirik

3X + 2Y – 7 = 0.

Misal 1.11. Bir nöqtədən keçən düz xətti bərabərləşdirin M(2, 1) və xətlərin kəsişmə nöqtəsi X+ Y - 1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. Verilmiş tənlikləri birlikdə həll etməklə düz xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapırıq

Bu tənlikləri həd-həd əlavə etsək, 2-ni alırıq X+ 1 = 0, haradandır. Tapılan dəyəri istənilən tənliyə əvəz edərək, ordinatın qiymətini tapırıq var:

İndi (2, 1) nöqtələrindən keçən düz xəttin tənliyini yazırıq və:

və ya .

Beləliklə, və ya -5 ( Y – 1) = X – 2.

Nəhayət, formada istədiyiniz düz xəttin tənliyini əldə edirik X + 5Y – 7 = 0.

Misal 1.12. Nöqtələrdən keçən düz xəttin tənliyini tapın M(2,1) və N(2,3).

(1.14) düsturundan istifadə edərək tənliyi əldə edirik

İkinci məxrəc sıfır olduğu üçün bunun mənası yoxdur. Məsələnin ifadəsindən görünür ki, hər iki nöqtənin absisləri eyni qiymətə malikdir. Beləliklə, axtarılan xətt oxa paraleldir OY və onun tənliyi belədir: x = 2.

Şərh . Əgər düz xəttin tənliyini (1.14) düsturuna görə yazarkən məxrəclərdən biri sıfıra bərabər olarsa, onda müvafiq payı sıfıra bərabərləşdirməklə istənilən tənliyi əldə etmək olar.

Müstəvidə düz xətti təyin etməyin başqa yollarını nəzərdən keçirin.

1. Sıfırdan fərqli vektor verilmiş xəttə perpendikulyar olsun L və nöqtə M 0(X 0, Y 0) bu düz xətt üzərində yerləşir (Şəkil 1.7).

Şəkil 1.7

işarə edirik M(X, Y) xəttin ixtiyari nöqtəsi L... Vektorlar və Ortoqonal. Bu vektorlar üçün ortoqonallıq şərtlərindən istifadə edərək hər ikisini əldə edirik A(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Bir nöqtədən keçən düz xəttin tənliyini əldə etdik M vektora perpendikulyar 0. Bu vektor deyilir Normal vektor düzə L... Nəticə tənliyi kimi yenidən yazmaq olar

Oh + Woo + İLƏ= 0, harada İLƏ = –(AX 0 + tərəfindən 0), (1.16),

Harada A və V- normal vektorun koordinatları.

Düz xəttin ümumi tənliyini parametrik formada alaq.

2. Müstəvidə düz xətti aşağıdakı kimi təyin etmək olar: sıfırdan fərqli vektor verilmiş düz xəttə paralel olsun. L və nöqtə M 0(X 0, Y 0) bu düz xətt üzərində yerləşir. Yenə də özbaşına bir məqamı götürək M(X, y) düz xətt üzərində (Şəkil 1.8).

Şəkil 1.8

Vektorlar və kollinear.

Bu vektorlar üçün kollinearlıq şərtini yazaq:, harada T- parametr adlanan ixtiyari nömrə. Bu bərabərliyi koordinatlarda yazaq:

Bu tənliklər adlanır Parametrik tənliklər Düz... Bu tənliklərdən parametri xaric edirik T:

Bu tənliklər başqa cür də formada yazıla bilər

. (1.18)

Nəticədə yaranan tənlik deyilir Düz xəttin kanonik tənliyi... vektor deyilir Düz xəttin istiqamət vektoru .

Şərh . Xəttin normal vektorunun if olduğunu görmək asandır L, onda onun istiqamət vektoru vektor ola bilər, çünki, yəni.

Misal 1.13. Nöqtədən keçən düz xəttin tənliyini yazın M 0 (1, 1) düz xəttə paralel 3 X + 2var– 8 = 0.

Həll . Vektor verilmiş və istənilən düz xətlərin normal vektorudur. Nöqtədən keçən düz xəttin tənliyindən istifadə edəcəyik M 0 verilmiş normal vektor 3 ( X –1) + 2(var- 1) = 0 və ya 3 X + 2y- 5 = 0. İstədiyiniz düz xəttin tənliyini aldı.

K (x 0; y 0) nöqtəsindən keçən və y = kx + a düz xəttinə paralel düz xətt düsturla tapılır:

y - y 0 = k (x - x 0) (1)

Burada k düz xəttin mailliyidir.

Alternativ formula:
M 1 (x 1; y 1) nöqtəsindən keçən və Ax + By + C = 0 düz xəttinə paralel düz xətt tənliyi ilə təmsil olunur.

A (x-x 1) + B (y-y 1) = 0. (2)

Nümunə № 2. 2x + 5y = 0 düz xəttinə paralel düz xəttin tənliyini yazın və koordinat oxları ilə birlikdə sahəsi 5 olan üçbucaq əmələ gətirin.
Həll ... Düz xətlər paralel olduğundan, istədiyiniz düz xəttin tənliyi 2x + 5y + C = 0-dır. Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi, burada a və b onun ayaqlarıdır. İstədiyiniz düz xəttin koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrini tapın:
;
.
Beləliklə, A (-C / 2.0), B (0, -C / 5). Düsturda sahəni əvəz edin: ... İki həlli alırıq: 2x + 5y + 10 = 0 və 2x + 5y - 10 = 0.

Nümunə № 3. (-2; 5) nöqtəsindən keçən və 5x-7y-4 = 0 düz xəttinə paralel düz xəttin tənliyini qurun.
Həll. Bu düz xətt y = 5/7 x - 4/7 tənliyi ilə göstərilə bilər (burada a = 5/7). Tələb olunan düz xəttin tənliyi y - 5 = 5/7 (x - (-2)), yəni. 7 (y-5) = 5 (x + 2) və ya 5x-7y + 45 = 0.

Nümunə № 4. 3-cü misalın (A = 5, B = -7) həllini (2) düsturundan istifadə edərək, 5 (x + 2) -7 (y-5) = 0 tapırıq.

Nümunə № 5. (-2; 5) nöqtəsindən keçən və 7x + 10 = 0 düz xəttinə paralel düz xətti bərabərləşdirin.
Həll. Burada A = 7, B = 0. Formula (2) 7 (x + 2) = 0 verir, yəni. x + 2 = 0. Formula (1) tətbiq olunmur, çünki bu tənliyi y-ə görə həll etmək mümkün deyil (bu xətt ordinat oxuna paraleldir).

Evklid həndəsəsində düz xəttin xassələri.

İstənilən nöqtədən sonsuz sayda düz xətt çəkə bilərsiniz.

İstənilən iki üst-üstə düşməyən nöqtədən tək düz xətt çəkilə bilər.

Müstəvidə uyğun olmayan iki düz xətt ya bir nöqtədə kəsişir, ya da kəsişir

paralel (əvvəlkidən sonra).

Üç ölçülü fəzada iki düz xəttin nisbi mövqeyi üçün üç seçim var:

• düz xətlər kəsişir;

• düz xətlər paraleldir;

• düz xətlər kəsişir.

Düz xətt- birinci dərəcəli cəbr əyrisi: Kartezian koordinat sistemində düz xətt

müstəvidə birinci dərəcəli tənlik (xətti tənlik) ilə verilir.

Düz xəttin ümumi tənliyi.

Tərif... Müstəvidəki istənilən düz xətt birinci dərəcəli tənliklə verilə bilər

Axe + Wu + C = 0,

daimi ilə A, B eyni zamanda sıfıra bərabər deyil. Bu birinci dərəcəli tənliyə deyilir ümumi

düz xəttin tənliyi. Sabitlərin dəyərlərindən asılı olaraq A, B və İLƏ aşağıdakı xüsusi hallar mümkündür:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- düz xətt başlanğıcdan keçir

. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C = 0)- oxa paralel düz xətt Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- oxa paralel düz xətt OU

. B = C = 0, A ≠ 0- düz xətt oxla üst-üstə düşür OU

. A = C = 0, B ≠ 0- düz xətt oxla üst-üstə düşür Oh

Düz xəttin tənliyi hər hansı verilmişdən asılı olaraq müxtəlif formalarda təqdim oluna bilər

ilkin şərtlər.

Nöqtə və normal vektor boyunca düz xəttin tənliyi.

Tərif... Kartezyen düzbucaqlı koordinat sistemində komponentləri olan vektor (A, B)

tənliklə verilən düz xəttə perpendikulyar

Axe + Wu + C = 0.

Misal... Nöqtədən keçən düz xəttin tənliyini tapın A (1, 2) vektora perpendikulyar (3, -1).

Həll... A = 3 və B = -1 olduqda, düz xəttin tənliyini tərtib edirik: 3x - y + C = 0. C əmsalını tapmaq üçün

alınan ifadədə verilmiş A nöqtəsinin koordinatlarını əvəz edin.Alırıq: 3 - 2 + C = 0, buna görə də

C = -1. Cəmi: tələb olunan tənlik: 3x - y - 1 = 0.

İki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyi.

Kosmosda iki nöqtə verilsin M 1 (x 1, y 1, z 1) və M2 (x 2, y 2, z 2), sonra düz xəttin tənliyi,

bu nöqtələrdən keçərək:

Məxrəclərdən hər hansı biri sıfırdırsa, müvafiq pay sıfıra bərabər tutulmalıdır. Üstündə

müstəvidə yuxarıda yazılmış düz xəttin tənliyi sadələşdirilmişdir:

əgər x 1 ≠ x 2 və x = x 1, əgər x 1 = x 2 .

Fraksiya = kçağırdı yamac düz.

Misal... A (1, 2) və B (3, 4) nöqtələrindən keçən düz xəttin tənliyini tapın.

Həll... Yuxarıdakı düsturdan istifadə edərək əldə edirik:

Nöqtə və yamac üzrə düz xəttin tənliyi.

Əgər düz xəttin ümumi tənliyi Axe + Wu + C = 0 formaya gətirib çıxarır:

və təyin edin , onda yaranan tənlik çağırılır

yamacı k olan düz xəttin tənliyi.

Nöqtə və istiqamət vektoru boyunca düz xəttin tənliyi.

Normal vektordan keçən düz xəttin tənliyini nəzərə alan paraqrafa bənzətməklə, tapşırığı daxil edə bilərsiniz

nöqtədən keçən düz xətt və düz xəttin istiqamət vektoru.

Tərif... Hər sıfırdan fərqli vektor (α 1, α 2) onun komponentləri şərti ödəyir

Аα 1 + Вα 2 = 0çağırdı düz xəttin yönləndirici vektoru.

Axe + Wu + C = 0.

Misal... İstiqamət vektoru (1, -1) olan və A (1, 2) nöqtəsindən keçən düz xəttin tənliyini tapın.

Həll... Tələb olunan düz xəttin tənliyi aşağıdakı formada axtarılacaq: Axe + By + C = 0. Tərifə görə,

əmsallar aşağıdakı şərtlərə cavab verməlidir:

1 * A + (-1) * B = 0, yəni. A = B.

Sonra düz xəttin tənliyi formaya malikdir: Ax + Ay + C = 0, və ya x + y + C / A = 0.

saat x = 1, y = 2 alırıq C / A = -3, yəni. tələb olunan tənlik:

x + y - 3 = 0

Seqmentlərdə düz xəttin tənliyi.

Əgər düz xəttin ümumi tənliyində Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0 olarsa, onda -C-yə bölünsək, alırıq:

və ya harada

Əmsalların həndəsi mənası ondan ibarətdir ki, a əmsalı kəsişmə nöqtəsinin koordinatıdır

ox ilə düz Oh, a b- düz xəttin oxla kəsişmə nöqtəsinin koordinatı OU.

Misal... Düz xəttin ümumi tənliyi verilmişdir x - y + 1 = 0. Bu düz xəttin seqmentlərdə tənliyini tapın.

C = 1, a = -1, b = 1.

Düz xəttin normal tənliyi.

Tənliyin hər iki tərəfi varsa Axe + Wu + C = 0ədədə bölün hansı adlanır

normallaşdıran amildir, onda alırıq

xcosφ + ysinφ - p = 0 -xəttin normal tənliyi.

Normallaşdırıcı amilin ± işarəsi elə seçilməlidir ki μ * C< 0.

R- başlanğıcdan düz xəttə düşən perpendikulyarın uzunluğu,

a φ - bu perpendikulyarın oxun müsbət istiqaməti ilə yaratdığı bucaq Oh.

Misal... Düz xəttin ümumi tənliyi verilmişdir 12x - 5y - 65 = 0... Müxtəlif növ tənliklərin yazılması tələb olunur

bu düz xətt.

Bu xəttin seqmentlərdə tənliyi:

Bu xəttin yamacla bərabərliyi: (5-ə bölün)

Düz xəttin tənliyi:

cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5.

Qeyd etmək lazımdır ki, hər düz xətt seqmentlərdə tənlik ilə təmsil oluna bilməz, məsələn, düz xətlər,

oxlara paralel və ya başlanğıcdan keçən.

Təyyarədə düz xətlər arasındakı bucaq.

Tərif... Əgər iki sətir verilirsə y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, sonra bu xətlər arasında kəskin bucaq

kimi müəyyən ediləcək

Əgər iki xətt paraleldirsə k 1 = k 2... İki düz xətt perpendikulyardır,

əgər k 1 = -1 / k 2 .

teorem.

Birbaşa Axe + Wu + C = 0 və A 1 x + B 1 y + C 1 = 0əmsallar mütənasib olduqda paralel olur

А 1 = λА, В 1 = λВ... Əgər də С 1 = λС, onda düz xətlər üst-üstə düşür. İki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatları

bu düz xətlərin tənliklər sisteminin həlli kimi tapılır.

Verilmiş düz xəttə perpendikulyar verilmiş nöqtədən keçən düz xəttin tənliyi.

Tərif... Nöqtədən keçən xətt M 1 (x 1, y 1) və xəttə perpendikulyar y = kx + b

tənlik ilə təmsil olunur:

Nöqtədən xəttə qədər olan məsafə.

teorem... Bir xal verilirsə M (x 0, y 0), düz xəttə qədər olan məsafə Axe + Wu + C = 0 kimi müəyyən edilir:

Sübut... Qoy nöqtə olsun M 1 (x 1, y 1)- nöqtədən düşmüş perpendikulyarın əsası M verilmiş üçün

düz xətt. Sonra nöqtələr arasındakı məsafə M və M 1:

(1)

Koordinatlar x 1 və 1-də tənliklər sisteminin həlli kimi tapıla bilər:

Sistemin ikinci tənliyi verilmiş M 0 nöqtəsindən perpendikulyar keçən düz xəttin tənliyidir.

verilmiş düz xətt. Sistemin birinci tənliyini formaya çevirsək:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sonra həll edərək əldə edirik:

Bu ifadələri (1) tənliyində əvəz edərək tapırıq:

Teorem isbat olunur.