теоретичен материал. Какво представляват екстремумите на функция: критични точки на максимум и минимум. Екстремуми на максимум и минимум на функция

значение

Най велик

значение

Най-малко

Максимална точка

Ниска точка

Задачите за намиране на точките на екстремум на функцията се решават по стандартната схема в 3 стъпки.

Етап 1. Намерете производната на функция

• Запомнете формулите за производна на елементарни функции и основните правила за диференциране, за да намерите производната.

y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243.

Стъпка 2. Намерете нулите на производната

• Решете полученото уравнение, за да намерите нулите на производната.

3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9.

Стъпка 3. Намерете екстремни точки

• Използвайте метода на интервалите, за да определите знаците на производната;
• В минималната точка производната е нула и променя знака от минус на плюс, а в максималната точка от плюс на минус.

Нека приложим този подход за решаване на следния проблем:

Намерете максималната точка на функцията y=x3−243x+19.

1) Намерете производната: y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243;

2) Решете уравнението y′(x)=0: 3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9;

3) Производната е положителна за x>9 и x<−9 и отрицательная при −9

Как да намерите най-голямата и най-малката стойност на функция

За решаване на проблема с намирането на най-големите и най-малките стойности на функцията необходимо:

• Намерете точките на екстремума на функцията на отсечката (интервал).
• Намерете стойностите в краищата на сегмента и изберете най-голямата или най-малката стойност от стойностите в екстремалните точки и в краищата на сегмента.

Помага при много задачи теорема:

Ако на отсечката има само една точка на екстремум и това е минималната точка, то в нея се достига най-малката стойност на функцията. Ако това е максималната точка, тогава максималната стойност е достигната в нея.

14. Понятие и основни свойства на неопределения интеграл.

Ако функцията f(х х, И к- номер, тогава

Накратко казано: константата може да бъде извадена от интегралния знак.

Ако функции f(х) И ж(х) имат противопроизводни на интервала х, Че

Накратко казано: интегралът от сбора е равен на сбора от интегралите.

Ако функцията f(х) има първоизводна на интервала х, тогава за вътрешни точки на този интервал:

Накратко казано: производната на интеграла е равна на интеграла.

Ако функцията f(х) е непрекъснат на интервала хи е диференцируем във вътрешни точки на този интервал, тогава:

Накратко казано: интегралът на диференциала на функция е равен на тази функция плюс константата на интегриране.

Нека дадем строго математическо определение концепции за неопределен интеграл.

Любезният израз се нарича интеграл на функцията f(x) , Където f(x) - функция интегранд, която е дадена (известна), dx - диференциал х , с винаги присъстващ символ dx .

Определение. Неопределен интегралнаречена функция F(x) + C , съдържаща произволна константа ° С , чийто диференциал е равен на интегрантизразяване f(x)dx , т.е. или функцията се извиква противопроизводна функция. Първоизводната на функция се определя до постоянна стойност.

Спомнете си, че - функционален диференциали се определя, както следва:

Откриване на проблем неопределен интеграле да се намери функция производнакоето е равно на подинтегралната функция. Тази функция се определя с точност до константа, т.к производната на константата е нула.

Например, известно е, че , тогава се оказва, че , тук е произволна константа.

Задача за намиране неопределен интегралот функции не е толкова просто и лесно, колкото изглежда на пръв поглед. В много случаи трябва да има умения за работа неопределени интеграли,трябва да бъде опит, който идва с практика и постоянно решаване на примери за неопределени интеграли.Струва си да се има предвид фактът, че неопределени интегралиот някои функции (има доста от тях) не се вземат в елементарни функции.

15. Таблица на основните неопределени интеграли.

Основни формули

16. Определен интеграл като граница на интегралната сума. Геометричен и физически смисъл на интеграла.

Нека функцията y=ƒ(x) е дефинирана на отсечката [a; банда< b. Выполним следующие действия.

1. Използване на точките x 0 \u003d a, x 1, x 2, ..., x n \u003d B (x 0

2. Във всяка частична отсечка , i = 1,2,...,n, избираме произволна точка с i є и изчисляваме стойността на функцията в нея, т.е. стойността ƒ(с i).

3. Умножете намерената стойност на функцията ƒ (от i) по дължината ∆x i =x i -x i-1 на съответния частичен сегмент: ƒ (от i) ∆х i.

4. Съставете сумата S n на всички такива продукти:

Сумата от формуляра (35.1) се нарича интегрална сума на функцията y \u003d ƒ (x) на сегмента [a; b]. Означаваме с λ дължината на най-големия частичен сегмент: λ = max ∆x i (i = 1,2,..., n).

5. Намерете границата на интегралната сума (35.1) при n → ∞, така че λ→0.

Ако освен това интегралната сума S n има граница I, която не зависи от метода на разделяне на сегмента [a; b] в частични сегменти или от избора на точки в тях, тогава числото I се нарича определен интеграл на функцията y \u003d ƒ (x) на сегмента [a; b] и се обозначава така,

Числата a и b се наричат ​​съответно долна и горна граница на интегриране, ƒ(x) - подинтегрална функция, ƒ(x) dx - интегрална функция, x - интегрална променлива, отсечката [a; b] - област (сегмент) на интеграция.

Функцията y \u003d ƒ (x), за която на сегмента [a; b] има определен интеграл, наречен интегрируем на този интервал.

Нека сега формулираме теоремата за съществуване на определен интеграл.

Теорема 35.1 (Коши). Ако функцията y = ƒ(x) е непрекъсната на отсечката [a; b], тогава определеният интеграл

Имайте предвид, че непрекъснатостта на функцията е достатъчно условие за нейната интегрируемост. Въпреки това, определен интеграл може да съществува и за някои прекъснати функции, по-специално за всяка функция, която е ограничена в интервал и има краен брой точки на прекъснато върху него.

Нека посочим някои свойства на определения интеграл, които следват пряко от неговата дефиниция (35.2).

1. Определеният интеграл е независим от записа на интеграционната променлива:

Това следва от факта, че интегралната сума (35.1) и следователно нейната граница (35.2) не зависят от това с каква буква е обозначен аргументът на тази функция.

2. Определен интеграл със същите граници на интегриране е равен на нула:

3. За всяко реално число c.

17. Формула на Нютон-Лайбниц. Основни свойства на определен интеграл.

Нека функцията y = f(x)непрекъснат на сегмента И F(x)е една от първопроизводните на функцията в този сегмент, тогава Формула на Нютон-Лайбниц: .

Формулата на Нютон-Лайбниц се нарича основната формула на интегралното смятане.

За да докажем формулата на Нютон-Лайбниц, се нуждаем от концепцията за интеграл с променлива горна граница.

Ако функцията y = f(x)непрекъснат на сегмента , тогава интегралът на формата за аргумента е функция на горната граница. Означаваме тази функция , и тази функция е непрекъсната и равенството .

Наистина, нека напишем нарастването на функцията, съответстващо на увеличението на аргумента, и използваме петото свойство на определения интеграл и следствието от десетото свойство:

Където .

Нека пренапишем това равенство във формата . Ако си припомним дефиницията на производната на функция и отидем до границата при , тогава получаваме . Това е една от първоизводните на функцията y = f(x)на сегмента . По този начин, наборът от всички антипроизводни F(x)може да се напише като , Където СЪСе произволна константа.

Изчислете F(a), използвайки първото свойство на определения интеграл: , следователно, . Използваме този резултат за изчисляване F(b): , това е . Това равенство дава доказуемата формула на Нютон-Лайбниц .

Увеличението на функция обикновено се означава като . Използвайки тази нотация, формулата на Нютон-Лайбниц приема формата .

За да приложим формулата на Нютон-Лайбниц, е достатъчно да знаем една от първоизводните y=F(x)интегрант y=f(x)на сегмента и изчислете увеличението на тази антипроизводна върху този сегмент. В статията методите за интеграция са анализирани основните начини за намиране на антипроизводното. Нека да дадем някои примери за изчисляване на определени интеграли, използвайки формулата на Нютон-Лайбниц за пояснение.

Пример.

Изчислете стойността на определения интеграл, като използвате формулата на Нютон-Лайбниц.

Решение.

Първо, отбележете, че интегрантът е непрекъснат на интервала , следователно, е интегрируем върху него. (Говорихме за интегрируеми функции в раздела за функции, за които има определен интеграл).

От таблицата на неопределените интеграли може да се види, че за функция наборът от антипроизводни за всички реални стойности на аргумента (следователно за ) се записва като . Да вземем примитивното C=0: .

Сега остава да използваме формулата на Нютон-Лайбниц за изчисляване на определения интеграл: .

18. Геометрични приложения на определен интеграл.

ГЕОМЕТРИЧНИ ПРИЛОЖЕНИЯ НА ОПРЕДЕЛЕНИ ИНТЕГРАЛИ

Правоъгълна С.К.	Функция, дефинирана параметрично	Полярная С.К.
Изчисляване на площта на равнинни фигури
Изчисляване на дължината на дъгата на равнинна крива
Изчисляване на площта на въртене

Изчисляване на обема на тялото

Изчисляване на обема на тялото от известни площи на успоредни секции:

Обем на ротационното тяло: ; .

Пример 1. Намерете площта на фигура, ограничена от крива y=sinx, прави линии

Решение:Намиране на площта на фигурата:

Пример 2. Изчислете площта на фигура, ограничена от линии

Решение:Нека намерим абсцисите на пресечните точки на графиките на тези функции. За да направим това, решаваме системата от уравнения

От тук намираме x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2,5.

19. Понятие за диференциални управления. Диференциални уравнения от първи ред.

Диференциално уравнение- уравнение, което свързва стойността на производната на функция със самата функция, стойностите на независимата променлива, числа (параметри). Редът на производните, включени в уравнението, може да бъде различен (формално той не е ограничен от нищо). Производни, функции, независими променливи и параметри могат да бъдат включени в уравнението в различни комбинации или всички производни, освен поне една, могат да отсъстват напълно. Нито едно уравнение, съдържащо производни на неизвестна функция, не е диференциално уравнение. Например, не е диференциално уравнение.

Частични диференциални уравнения(URCHP) са уравнения, съдържащи неизвестни функции на няколко променливи и техните частни производни. Общата форма на такива уравнения може да бъде представена като:

където са независими променливи и е функция на тези променливи. Редът на частичните диференциални уравнения може да се определи по същия начин, както при обикновените диференциални уравнения. Друга важна класификация на частичните диференциални уравнения е тяхното разделяне на уравнения от елиптичен, параболичен и хиперболичен тип, особено за уравнения от втори ред.

Както обикновените диференциални уравнения, така и частичните диференциални уравнения могат да бъдат разделени на линеенИ нелинейни. Диференциалното уравнение е линейно, ако неизвестната функция и нейните производни влизат в уравнението само на първа степен (и не се умножават помежду си). За такива уравнения решенията образуват афинно подпространство на пространството от функции. Теорията на линейните диференциални уравнения е развита много по-задълбочено от теорията на нелинейните уравнения. Обща форма на линейно диференциално уравнение н-та поръчка:

Където пи(х) са известни функции на независимата променлива, наречени коефициенти на уравнението. функция r(х) от дясната страна се нарича безплатен член(единственият член, който не зависи от неизвестната функция) Важен конкретен клас линейни уравнения са линейните диференциални уравнения с постоянни коефициенти.

Подклас линейни уравнения са хомогенендиференциални уравнения - уравнения, които не съдържат свободен член: r(х) = 0. За хомогенни диференциални уравнения е в сила принципът на суперпозицията: линейна комбинация от конкретни решения на такова уравнение също ще бъде негово решение. Всички други линейни диференциални уравнения се наричат разнороднидиференциални уравнения.

Нелинейните диференциални уравнения в общия случай нямат разработени методи за решаване, с изключение на някои специфични класове. В някои случаи (с използването на определени приближения) те могат да бъдат сведени до линейни. Например линейното уравнение на хармоничен осцилатор може да се разглежда като приближение на нелинейното уравнение на математическото махало за случай на малки амплитуди, когато г≈ грях г.

· е хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти. Решението е семейство от функции , където и са произволни константи, които за конкретно решение се определят от отделно зададени начални условия. Това уравнение, по-специално, описва движението на хармоничен осцилатор с циклична честота 3.

· Вторият закон на Нютон може да бъде записан под формата на диференциално уравнение, където м- телесна маса, х- неговата координата, Е(х, T) е силата, действаща върху тялото с координата хпо това време T. Неговото решение е траекторията на тялото под действието на определената сила.

· Диференциалното уравнение на Бесел е обикновено линейно хомогенно уравнение от втори ред с променливи коефициенти: Неговите решения са функциите на Бесел.

Пример за нехомогенно нелинейно обикновено диференциално уравнение от 1-ви ред:

В следващата група примери неизвестната функция uзависи от две променливи хИ Tили хИ г.

Хомогенно линейно частично диференциално уравнение от първи ред:

Едномерно вълново уравнение - хомогенно линейно уравнение в частни производни от хиперболичен тип от втори ред с постоянни коефициенти, описва вибрацията на струната, ако - отклонението на струната в точка с координатна хпо това време T, и параметърът азадава свойства на низ:

Уравнението на Лаплас в двумерното пространство е хомогенно линейно частично диференциално уравнение от втори ред от елиптичен тип с постоянни коефициенти, което възниква в много физични проблеми на механиката, топлопроводимостта, електростатиката, хидравликата:

Уравнението на Korteweg-de Vries, нелинейно частично диференциално уравнение от трети ред, описващо стационарни нелинейни вълни, включително солитони:

20. Диференциални уравнения със сепарабилно приложение. Линейни уравнения и методът на Бернули.

Линейно диференциално уравнение от първи ред е уравнение, което е линейно по отношение на неизвестна функция и нейната производна. Има формата на цяло число. Наистина, ако намерим и заместим в уравненията на разглежданите видове, получаваме правилното равенство. Както е отбелязано в статията за хомогенни уравнения, ако по условие се изисква да се намери само конкретно решение, тогава функцията, по очевидни причини, не ни притеснява, но когато се изисква да се намери общо решение / интеграл, тогава е необходимо да се гарантира, че тази функция е не се губи!

Донесох всички популярни разновидности на уравнението на Бернули в голяма торба с подаръци и продължих с раздаването. Закачете чорапите си под дървото.

Пример 1

Намерете конкретно решение на диференциалното уравнение, съответстващо на даденото начално условие.
,

Вероятно мнозина бяха изненадани, че първият подарък веднага беше изваден от чантата заедно с Проблем с Коши. Това не е инцидент. Когато за решение се предлага уравнение на Бернули, по някаква причина често се изисква да се намери конкретно решение. В моята колекция направих произволна извадка от 10 уравнения на Бернули и общото решение (без конкретно решение) трябва да бъде намерено само в 2 уравнения. Но всъщност това е дреболия, тъй като във всеки случай ще трябва да се търси общото решение.

Решение:Тази разлика има формата и следователно е уравнението на Бернули

Функцията и изучаването на нейните характеристики заема една от ключовите глави в съвременната математика. Основният компонент на всяка функция са графики, изобразяващи не само нейните свойства, но и параметрите на производната на тази функция. Нека да разгледаме тази трудна тема. Кой е най-добрият начин да намерим максималните и минималните точки на функция?

Функция: определение

Всяка променлива, която зависи по някакъв начин от стойностите на друго количество, може да се нарече функция. Например функцията f(x 2) е квадратна и определя стойностите за целия набор x. Да кажем, че x = 9, тогава стойността на нашата функция ще бъде равна на 9 2 = 81.

Функциите се предлагат в различни видове: логически, векторни, логаритмични, тригонометрични, числови и други. Такива изключителни умове като Лакроа, Лагранж, Лайбниц и Бернули бяха ангажирани в тяхното изследване. Техните писания служат като опора в съвременните начини за изучаване на функциите. Преди да намерите минималните точки, е много важно да разберете самото значение на функцията и нейната производна.

Производна и нейната роля

Всички функции зависят от своите променливи, което означава, че могат да променят стойността си по всяко време. На графиката това ще бъде изобразено като крива, която или се спуска или издига по оста y (това е целият набор от числа "y" по вертикалата на графиката). И така дефинирането на точка на максимум и минимум на функцията просто е свързано с тези "колебания". Нека обясним каква е тази връзка.

Производната на всяка функция се начертава на графика, за да се проучат нейните основни характеристики и да се изчисли колко бързо се променя функцията (т.е. променя стойността си в зависимост от променливата "x"). В момента, в който функцията нараства, графиката на нейната производна също ще нараства, но във всяка секунда функцията може да започне да намалява и тогава графиката на производната ще намалява. Тези точки, в които производната преминава от минус към плюс, се наричат ​​минимални точки. За да знаете как да намерите минимални точки, трябва да разберете по-добре

Как да изчислим производната?

Дефиницията и функциите предполагат няколко концепции от Като цяло самата дефиниция на производната може да се изрази по следния начин: това е стойността, която показва скоростта на промяна на функцията.

Математическият начин за определянето му за много ученици изглежда сложен, но всъщност всичко е много по-просто. Необходимо е само да следвате стандартния план за намиране на производната на всяка функция. По-долу е описано как можете да намерите минималната точка на функция, без да прилагате правилата за диференциране и без да запаметявате таблицата с производни.

1. Можете да изчислите производната на функция с помощта на графика. За да направите това, трябва да изобразите самата функция, след това да вземете една точка върху нея (точка А на фигурата), да начертаете права вертикално надолу към абсцисната ос (точка x 0) и в точка А да начертаете допирателна към графика на функцията. Абсцисната ос и тангентата образуват ъгъл a. За да изчислите стойността на това колко бързо нараства функцията, трябва да изчислите тангенса на този ъгъл a.
2. Оказва се, че тангенсът на ъгъла между допирателната и посоката на оста x е производната на функцията в малка област с точка A. Този метод се счита за геометричен начин за определяне на производната.

Методи за изследване на функция

В училищната програма по математика е възможно да се намери минималната точка на функция по два начина. Вече анализирахме първия метод с помощта на графиката, но как да определим числената стойност на производната? За да направите това, ще трябва да научите няколко формули, които описват свойствата на производната и помагат за преобразуването на променливи като "x" в числа. Следният метод е универсален, така че може да се прилага към почти всички видове функции (както геометрични, така и логаритмични).

1. Необходимо е функцията да се приравни към производната функция и след това да се опрости изразът, като се използват правилата за диференциране.
2. В някои случаи, когато е дадена функция, в която променливата "x" е делител, е необходимо да се определи обхватът на приемливите стойности, като се изключи точката "0" от нея (по простата причина, че в математиката вие никога не може да се дели на нула).
3. След това първоначалната форма на функцията трябва да се преобразува в просто уравнение, приравнявайки целия израз на нула. Например, ако функцията изглеждаше така: f (x) \u003d 2x 3 + 38x, тогава според правилата за диференциране нейната производна е равна на f "(x) \u003d 3x 2 + 1. След това трансформираме това израз в уравнение със следната форма: 3x 2 +1 \u003d 0 .
4. След като решите уравнението и намерите точките "x", трябва да ги изобразите върху оста x и да определите дали производната в тези области между маркираните точки е положителна или отрицателна. След обозначението ще стане ясно в кой момент функцията започва да намалява, тоест променя знака от минус на обратния. По този начин можете да намерите както минималните, така и максималните точки.

Правила за диференциране

Най-основният компонент в изучаването на функция и нейната производна е познаването на правилата за диференциране. Само с тяхна помощ е възможно да се трансформират тромави изрази и големи сложни функции. Нека се запознаем с тях, има много от тях, но всички те са много прости поради редовните свойства както на степенните, така и на логаритмичните функции.

1. Производната на всяка константа е нула (f(x) = 0). Тоест производната f (x) \u003d x 5 + x - 160 ще приеме следната форма: f "(x) \u003d 5x 4 +1.
2. Производната на сумата от два члена: (f+w)" = f"w + fw".
3. Производна на логаритмична функция: (log a d)" = d/ln a*d. Тази формула се прилага за всички видове логаритми.
4. Производна на степен: (x n)"= n*x n-1. Например (9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. Производна на синусоидалната функция: (sin a)" = cos a. Ако sin на ъгъл a е 0,5, тогава нейната производна е √3/2.

екстремни точки

Вече обсъдихме как да намерим минималните точки, но съществува понятието максимални точки на функция. Ако минимумът означава тези точки, в които функцията преминава от минус към плюс, тогава максималните точки са тези точки на оста x, в които производната на функцията се променя от плюс към обратното - минус.

Можете да го намерите, като използвате описания по-горе метод, само че трябва да се има предвид, че те обозначават тези области, където функцията започва да намалява, т.е. производната ще бъде по-малка от нула.

В математиката е обичайно да се обобщават и двете понятия, като се заменят с фразата „точки на екстремуми“. Когато задачата изисква да се определят тези точки, това означава, че е необходимо да се изчисли производната на тази функция и да се намерят минималната и максималната точка.

Функционални стойности и максимални и минимални точки

Най-голямата стойност на функцията

Най-малката стойност на функцията

Както каза кумът: „Нищо лично“. Само деривати!

Задача 12 в статистиката се счита за доста трудна и всичко това, защото момчетата не са чели тази статия (шега). В повечето случаи вината е невниманието.

12 задача е от два вида:

1. Намерете високата/ниската точка (помолен да намерите стойностите на "x").
2. Намерете най-голямата/най-малката стойност на характеристика (помолен да намерите стойности на "y").

Намерете висока/ниска точка

1. Приравнете го към нула.
2. Намерени или намерени "x" и ще бъдат минималните или максималните точки.
3. Определете знаците с помощта на интервалния метод и изберете коя точка е необходима в задачата.

Задачи към изпита:

Намерете максималната точка на функцията

• Взимаме производната:

Намерете минималната точка на функцията

• Трансформирайте и вземете производната:

• Страхотен! Първо функцията намалява, след това нараства - това е минималната точка!

Намерете най-голямата/най-малката стойност на функция

1. Вземете производната на предложената функция.
   
2. Приравнете го към нула.
   
3. Намереното „x“ ще бъде минималната или максималната точка.
   
4. Определете знаците с помощта на интервалния метод и изберете коя точка е необходима в задачата.
5. В такива задачи винаги се задава празнина: x-овете в параграф 3 трябва да бъдат включени в тази празнина.
6. Заместете в оригиналното уравнение получената максимална или минимална точка, получаваме най-голямата или най-малката стойност на функцията.

Задачи към изпита:

Намерете най-голямата стойност на функцията на интервала [−4; −1]

Отговор: -6

Намерете най-голямата стойност на функцията върху отсечката

• Най-високата стойност на функцията е "11" в максималната точка (на този сегмент) "0".

Отговор: 11

Изводи:

1. 70% от грешките са, че момчетата не помнят какво отговарят най-голямата/най-малката стойност на функцията, която трябва да напишете "y", и на напишете максималната / минималната точка "x".
2. Производната има ли решение при намиране на стойностите на функцията?Няма значение, заменете крайните точки на празнината!
3. Отговорът винаги може да бъде записан като число или десетична запетая.Не? След това сменете примера.
4. В повечето задачи ще се получи една точка и мързелът ни да проверим максимума или минимума ще бъде оправдан. Имаме една точка - можете спокойно да пишете в отговор.
5. И тук с търсене на стойност на функция, не трябва да правите това!Уверете се, че това е желаната точка, в противен случай екстремните стойности на празнината може да са по-големи или по-малки.

Теорема. (необходимо условие за съществуване на екстремум) Ако функцията f (x) е диференцируема в точката x \u003d x 1 и точката x 1 е точка на екстремум, тогава производната на функцията изчезва в тази точка.

Доказателство. Да предположим, че функцията f(x) има максимум в точката x = x 1.

Тогава за достатъчно малки положителни Dх>0 е вярно следното неравенство:

A-приори:

Тези. ако Dх®0, но Dх<0, то f¢(x 1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, тогава f¢(x 1) £ 0.

А това е възможно само ако при Dх®0 f¢(x 1) = 0.

За случая, когато функцията f(x) има минимум в точката x 2, теоремата се доказва аналогично.

Теоремата е доказана.

Последица. Обратното не е вярно. Ако производната на функция в дадена точка е равна на нула, това не означава, че функцията има екстремум в тази точка. Красноречив пример за това е функцията y \u003d x 3, чиято производна в точката x \u003d 0 е равна на нула, но в тази точка функцията има само инфлексия, а не максимум или минимум.

Определение.критични точкиФункциите са точки, в които производната на функцията не съществува или е равна на нула.

Разгледаната по-горе теорема ни дава необходимите условия за съществуването на екстремум, но това не е достатъчно.

Пример: f(x) = ôxô Пример: f(x) =

y y

В точката x = 0 функцията има минимум, но в точката x = 0 функцията няма нито едно от двете

няма производна. максимум, без минимум, не

Най-общо казано, функцията f(x) може да има екстремум в точки, където производната не съществува или е равна на нула.

Теорема. (Достатъчни условия за съществуване на екстремум)

Нека функцията f(x) е непрекъсната в интервала (a, b), който съдържа критичната точка x 1 , и е диференцируема във всички точки от този интервал (освен може би самата точка x 1).

Ако при преминаване през точката x 1 отляво надясно производната на функцията f¢(x) смени знака от „+“ на „-“, то в точката x = x 1 функцията f(x) има максимум, а ако производната смени знака от “- “ на “+” - тогава функцията има минимум.

Доказателство.

Позволявам

Според теоремата на Лагранж: f(x) - f(x 1) = f¢(e)(x - x 1),където x< e < x 1 .

Тогава: 1) Ако x< x 1 , то e < x 1 ; f¢(e)>0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно

f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1).

2) Ако x > x 1, тогава e > x 1 f¢(e)<0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно

f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1).

Тъй като отговорите са еднакви, можем да кажем, че f(x)< f(x 1) в любых точках вблизи х 1 , т.е. х 1 – точка максимума.

Доказателството на теоремата за минималната точка е подобно.

Теоремата е доказана.

Въз основа на гореизложеното е възможно да се разработи единна процедура за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция в сегмент:

1) Намерете критичните точки на функцията.

2) Намерете стойностите на функцията в критични точки.

3) Намерете стойностите на функцията в краищата на сегмента.

4) Изберете сред получените стойности най-голямата и най-малката.

Изследване на функция до екстремум с помощта

производни от по-високи разряди.

Нека f¢(x 1) = 0 в точката x = x 1 и нека f¢¢(x 1) съществува и е непрекъсната в някаква околност на точката x 1 .

Теорема. Ако f¢(x 1) = 0, тогава функцията f(x) в точката x = x 1 има максимум, ако f¢¢(x 1)<0 и минимум, если f¢¢(x 1)>0.

Доказателство.

Нека f¢(x 1) = 0 и f¢¢(x 1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 .

защото f¢¢(x) = (f¢(x))¢< 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , но f¢(x 1)=0, т.е. f¢(x) >0 при х х 1. Това означава, че при преминаване през точката x = x 1 производната f¢(x) променя знака от “+” на “-”, т.е.

За случай на минимум на функция теоремата се доказва по подобен начин.

Ако f¢¢(x) = 0, тогава природата на критичната точка е неизвестна. Необходими са допълнителни изследвания, за да се определи.

Изпъкналост и вдлъбнатост на крива.

Инфлексни точки.

Определение. Кривата е изпъкнала нагоревърху интервала (a, b), ако всички негови точки лежат под някоя от неговите допирателни на този интервал. Крива с изпъкнала точка нагоре се нарича изпъкнал, а кривата изпъкнала надолу се нарича вдлъбнат.

при

Фигурата показва илюстрация на горната дефиниция.

Теорема 1. Ако във всички точки на интервала (a, b) втората производна на функцията f(x) е отрицателна, тогава кривата y = f(x) е изпъкнала нагоре (изпъкнала).

Доказателство. Нека x 0 О (a, b). Начертайте допирателна към кривата в тази точка.

Уравнение на кривата: y = f(x);

Допирателно уравнение:

Трябва да се докаже, че.

Според теоремата на Лагранж за f(x) – f(x 0): , x 0< c < x.

Според теоремата на Лагранж за

Нека x > x 0, тогава x 0< c 1 < c < x. Т.к. x – x 0 >0 и c - x 0 > 0, и в допълнение, по условие

Следователно, .

Нека x< x 0 тогда x < c < c 1 < x 0 и x – x 0 < 0, c – x 0 < 0, т.к. по условию то

По подобен начин може да се докаже, че ако f¢¢(x) > 0 на интервала (a, b), тогава кривата y=f(x) е вдлъбната на интервала (a, b).

Теоремата е доказана.

Определение. Точката, разделяща изпъкналата част на кривата от вдлъбнатата част, се нарича инфлексна точка.

Очевидно в точката на инфлексия допирателната пресича кривата.

Теорема 2. Нека кривата е дефинирана от уравнението y = f(x). Ако втората производна f¢¢(a) = 0 или f¢¢(a) не съществува и при преминаване през точката x = a f¢¢(x) променя знака, тогава точката на кривата с абсцисата x = a е инфлексна точка.

Доказателство. 1) Нека f¢¢(x)< 0 при х < a и f¢¢(x) >0 за x > a. След това при

х< a кривая выпукла, а при x >кривата е вдлъбната, т.е. точката x = a е инфлексната точка.

2) Нека f¢¢(x) > 0 за x< b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x >б - издуване нагоре. Тогава x = b е инфлексна точка.

Теоремата е доказана.

Асимптоти.

При изучаването на функциите често се случва, че когато х-координатата на точка от крива се отстрани до безкрайност, кривата неограничено се доближава до определена права линия.

Определение. Директно обаждане асимптотакрива, ако разстоянието от променливата точка на кривата до тази права линия клони към нула, когато точката се отдалечи до безкрайност.

Трябва да се отбележи, че не всяка крива има асимптота. Асимптотите могат да бъдат прави или наклонени. Изследването на функциите за наличието на асимптоти е от голямо значение и ви позволява по-точно да определите естеството на функцията и поведението на графиката на кривата.

Най-общо казано, кривата, приближавайки безкрайно своята асимптота, може да я пресича, а не в една точка, както е показано на графиката на функцията по-долу . Нейната наклонена асимптота y = x.

Нека разгледаме по-подробно методите за намиране на асимптотите на кривите.

Вертикални асимптоти.

От дефиницията на асимптотата следва, че ако или или , тогава правата x = a е асимптотата на кривата y = f(x).

Например, за функция правата x = 5 е вертикалната асимптота.

Наклонени асимптоти.

Да приемем, че кривата y = f(x) има наклонена асимптота y = kx + b.

Нека обозначим пресечната точка на кривата и перпендикуляра към асимптотота - M, P - точката на пресичане на този перпендикуляр с асимптотота. Ъгълът между асимптотата и оста x ще бъде означен с j. Перпендикулярът MQ към оста x пресича асимптотота в точка N.

Тогава MQ = y е ординатата на точката на кривата, NQ = е ординатата на точката N върху асимптотота.

По условие: , РNMP = j, .

Тогава ъгъл j е постоянен и не е равен на 90 0

Тогава .

И така, правата y = kx + b е асимптота на кривата. За да се определи точно тази линия, е необходимо да се намери начин за изчисляване на коефициентите k и b.

В получения израз изваждаме x извън скоби:

защото x®¥, тогава , защото b = const, тогава .

Тогава , следователно,

.

защото , Че , следователно,

Обърнете внимание, че хоризонталните асимптоти са специален случай на наклонени асимптоти за k =0.

Пример. .

1) Вертикални асимптоти: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, следователно x = 0 е вертикална асимптота.

2) Наклонени асимптоти:

Така правата линия y = x + 2 е наклонена асимптота.

Нека начертаем функцията:

Пример.Намерете асимптоти и начертайте графика на функцията.

Правите x=3 и x=-3 са вертикалните асимптоти на кривата.

Намерете наклонени асимптоти:

y = 0 е хоризонталната асимптота.

Пример.Намерете асимптоти и начертайте графика на функцията .

Правата x = -2 е вертикалната асимптота на кривата.

Нека намерим наклонени асимптоти.

Като цяло правата y = x - 4 е наклонена асимптота.

Схема за изследване на функцията

Процесът на изследване на функция се състои от няколко етапа. За най-пълна представа за поведението на функцията и естеството на нейната графика е необходимо да се намери:

1) Обхватът на функцията.

Тази концепция включва както областта на стойностите, така и обхвата на функцията.

2) Точки на прекъсване. (Ако са налични).

3) Интервали на нарастване и намаляване.

4) Точки на максимум и минимум.

5) Максималната и минималната стойност на функцията в нейната област на дефиниране.

6) Зони на изпъкналост и вдлъбнатост.

7) Точки на инфлексия (ако има такива).

8) Асимптоти (ако има такива).

9) Изграждане на графика.

Нека използваме тази схема с пример.

Пример.Изследвайте функцията и начертайте нейната графика.

Намерете областта на съществуване на функцията. Очевидно е, че област на дефиницияфункция е областта (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

От своя страна се вижда, че линиите x = 1, x = -1 са вертикални асимптотикрив.

Зона на стойносттана тази функция е интервалът (-¥; ¥).

точки на прекъсванефункции са точките x=1, x=-1.

Намираме критични точки.

Нека намерим производната на функцията

Критични точки: x = 0; x = - ; x = ; х = -1; х = 1.

Нека намерим втората производна на функцията

Нека определим изпъкналостта и вдлъбнатостта на кривата на интервалите.

-¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая

- < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < 0, y¢¢ >0, вдлъбната крива

0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < , y¢¢ >0, вдлъбната крива

< x < ¥, y¢¢ >0, вдлъбната крива

Намиране на пропуски повишаване наИ низходящфункции. За да направите това, ние определяме знаците на производната на функцията върху интервалите.

-¥ < x < - , y¢ >0, функцията се увеличава

- < x < -1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢¢ >0, функцията се увеличава

Вижда се, че точката x = - е точка максимум, а точката x = е точката минимум. Стойностите на функцията в тези точки са съответно -3/2 и 3/2.

Относно вертикала асимптотивече беше казано по-горе. Сега да намерим наклонени асимптоти.

И така, уравнението на наклонената асимптота е y = x.

Да строим графикХарактеристика:

Функции на няколко променливи

Когато разглеждаме функциите на няколко променливи, ние се ограничаваме до подробно описание на функциите на две променливи, тъй като всички получени резултати ще бъдат валидни за функции на произволен брой променливи.

Определение: Ако на всяка двойка независими числа (x, y) от определен набор се присвоят една или повече стойности на променливата z според някакво правило, тогава променливата z се нарича функция на две променливи.

определение: Ако двойка числа (x, y) съответства на една стойност на z, тогава функцията се извиква недвусмислен, а ако са повече от един, тогава - двусмислен.

определение:Обхват на определениетофункцията z е множеството от двойки (x, y), за които съществува функцията z.

определение:Квартална точка M 0 (x 0, y 0) с радиус r е сборът от всички точки (x, y), които отговарят на условието .

определение: Извиква се числото А лимитфункция f(x, y), тъй като точката M(x, y) клони към точката M 0 (x 0, y 0), ако за всяко число e > 0 има такова число r > 0, че за всяка точка M (x, y), за които условието

условието също е вярно .

Записвам:

определение: Нека точката M 0 (x 0, y 0) принадлежи на областта на функцията f(x, y). След това се извиква функцията z = f(x, y). непрекъснатов точката M 0 (x 0, y 0), ако

(1)

освен това точката M(x, y) клони към точката M 0 (x 0, y 0) по произволен начин.

Ако условие (1) не е изпълнено в нито една точка, тогава се извиква тази точка до точката на пречупванефункции f(x, y). Това може да е в следните случаи:

1) Функцията z \u003d f (x, y) не е дефинирана в точката M 0 (x 0, y 0).

2) Няма ограничение.

3) Тази граница съществува, но не е равна на f(x 0 , y 0).

Имот. Ако функцията f(x, y, …) е дефинирана и непрекъсната в затворено и

ограничена област D, тогава в тази област има поне една точка

N(x 0 , y 0 , …), така че неравенството

f(x 0 , y 0 , …) ³ f(x, y, …)

както и точка N 1 (x 01 , y 01 , ...), така че за всички останали точки неравенството е вярно

f(x 01, y 01, …) £ f(x, y, …)

тогава f(x 0 , y 0 , …) = M – най-висока стойностфункции и f(x 01, y 01, ...) = m - най-малка стойностфункции f(x, y, …) в областта D.

Непрекъсната функция в затворена и ограничена област D достига поне веднъж максималната си стойност и веднъж минималната си стойност.

Имот. Ако функцията f(x, y, …) е дефинирана и непрекъсната в затворена ограничена област D, а M и m са съответно най-големите и най-малките стойности на функцията в тази област, тогава за всяка точка m О там е точка

N 0 (x 0 , y 0 , …), така че f(x 0 , y 0 , …) = m.

Просто казано, непрекъсната функция приема в домейна D всички междинни стойности между M и m. Следствие от това свойство може да бъде изводът, че ако числата M и m имат различни знаци, тогава в областта D функцията се нулира поне веднъж.

Имот. Функция f(x, y, …), непрекъсната в затворена ограничена област D, ограниченв тази област, ако има такова число K, че за всички точки от областта неравенството е вярно .

Имот. Ако функция f(x, y, …) е дефинирана и непрекъсната в затворена ограничена област D, тогава тя равномерно непрекъснатов тази област, т.е. за всяко положително число e има такова число D > 0, че за всеки две точки (x 1, y 1) и (x 2, y 2) от областта, разположени на разстояние, по-малко от D, неравенството

Горните свойства са подобни на свойствата на функции на една променлива, които са непрекъснати на интервал. Вижте Свойства на функции, непрекъснати на интервал.

Производни и диференциали на функции

множество променливи.

Определение. Нека функция z = f(x, y) е дадена в някаква област. Вземете произволна точка M(x, y) и задайте увеличението Dx на променливата x. Тогава количеството D x z = f(x + Dx, y) – f(x, y) се нарича частично нарастване на функцията в x.

Може да се пише

.

След това се обади частична производнафункции z = f(x, y) в x.

Обозначаване:

Частната производна на функция по отношение на y се дефинира по подобен начин.

геометричен смисълчастната производна (да речем) е тангентата на наклона на допирателната, начертана в точката N 0 (x 0, y 0, z 0) към сечението на повърхността от равнината y \u003d y 0.

Общо увеличение и общ диференциал.

допирателна равнина

Нека N и N 0 са точки от дадената повърхност. Нека начертаем права линия NN 0 . Равнината, която минава през точка N 0 се нарича допирателна равнинакъм повърхността, ако ъгълът между секущата NN 0 и тази равнина клони към нула, когато разстоянието NN 0 клони към нула.

Определение.нормалнокъм повърхността в точката N 0 се нарича права линия, минаваща през точката N 0, перпендикулярна на допирателната равнина към тази повърхност.

В даден момент повърхността има или само една допирателна равнина, или изобщо я няма.

Ако повърхността е дадена от уравнението z \u003d f (x, y), където f (x, y) е функция, диференцируема в точката M 0 (x 0, y 0), допирателната равнина в точката N 0 (x 0, y 0, ( x 0, y 0)) съществува и има уравнението:

Уравнението за нормалата към повърхността в тази точка е:

геометричен смисълна общия диференциал на функция на две променливи f (x, y) в точката (x 0, y 0) е увеличението на приложението (z-координата) на допирателната равнина към повърхността по време на прехода от точката (x 0, y 0) до точката (x 0 + Dx, y 0 + Dy).

Както можете да видите, геометричният смисъл на общия диференциал на функция на две променливи е пространствен аналог на геометричния смисъл на диференциала на функция на една променлива.

Пример.Намерете уравненията на допирателната равнина и нормалата към повърхността

в точката M(1, 1, 1).

Уравнение на допирателната равнина:

Нормално уравнение:

Приблизителни изчисления с помощта на общия диференциал.

Общият диференциал на функцията u е:

Точната стойност на този израз е 1,049275225687319176.

Частични производни от по-високи разряди.

Ако функцията f(x, y) е дефинирана в някаква област D, тогава нейните частични производни и също ще бъдат дефинирани в същата област или част от нея.

Ще наречем тези производни частни производни от първи ред.

Производните на тези функции ще бъдат частни производни от втори ред.

Продължавайки да диференцираме получените равенства, получаваме частни производни от по-високи разряди.

Да разгледаме функцията y = f(x), която се разглежда на интервала (a, b).

Ако е възможно да се определи такава b-околност на точката x1, принадлежаща на интервала (a, b), че за всички x (x1, b) да е изпълнено неравенството f(x1) > f(x), тогава y1 = f1(x1) се извиква максимална функция y = f(x) вижте фиг.

Максимумът на функцията y = f(x) се означава с max f(x). Ако е възможно да се определи 6-околност на точката x2, принадлежаща на интервала (a, b), така че за всички x да принадлежи на O(x2, 6), x не е равно на x2, неравенството f(x2)< f(x) , тогава y2= f(x2) се нарича минимум на функцията y-f(x) (виж Фиг.).

Пример за намиране на максимума вижте следното видео

Минимум характеристики

Минимумът на функцията y = f(x) се означава с min f(x). С други думи, максимума или минимума на дадена функция y = f(x) Нареченнеговата стойност, която е по-голяма (по-малка) от всички други стойности, взети в точки, достатъчно близки до дадената и различни от нея.

Забележка 1. Функция максимум, определено от неравенството се нарича строг максимум; нестриктният максимум се определя от неравенството f(x1) > = f(x2)

Забележка 2. имат локален характер (това са най-големите и най-малките стойности на функцията в достатъчно малък квартал на съответната точка); отделните минимуми на дадена функция могат да бъдат по-големи от максимумите на същата функция

В резултат на това се извиква максимумът (минимумът) на функцията локален максимум(локален минимум) за разлика от абсолютния максимум (минимум) - най-голямата (най-малката) стойност в областта на функцията.

Максимумът и минимумът на функцията се наричат ​​екстремум. . Крайности в намирането за чертане на функции

латински екстремум означава "екстремно" значение. Стойността на аргумента x, при която се достига екстремума, се нарича точка на екстремум. Необходимото условие за екстремум се изразява със следната теорема.

Теорема. В точката на екстремума на диференцируемата функция и нейната производна е равна на нула.

Теоремата има просто геометрично значение: допирателната към графиката на диференцируема функция в съответната точка е успоредна на оста x