Логаритмичните неравенства на високо ниво са примери за решения. Всичко за логаритмичните неравенства

Цели на урока:

Дидактически:

• Ниво 1 - да ви научи да решавате най-простите логаритмични неравенства, използвайки определението на логаритъм, свойствата на логаритмите;
• Ниво 2 - решавайте логаритмични неравенства, избирайки свой собствен метод на решение;
• Ниво 3 - умейте да прилагате знания и умения в нестандартни ситуации.

Развитие: развиват памет, внимание, логическо мислене, умения за сравняване, способност да обобщават и да правят изводи

Образователна:да възпитаваме точност, отговорност за задачата, взаимопомощ.

Методи на преподаване: глаголен , графичен , практичен , частично търсене , себе си , контрол.

Форми на организация на познавателната дейност на учениците: челен , индивидуален , работете по двойки.

оборудване: набор от тестови предмети, поддържащ синопсис, празни листове за решения.

Тип на урока: изучаване на нов материал.

По време на часовете

1. Организационен момент. Темата и целите на урока, схемата на урока се обявяват: на всеки ученик се дава оценителен лист, който студентът попълва по време на урока; за всеки чифт ученици - печатни материали със задачи; заданията трябва да се изпълняват по двойки; празни листове за решения; основни листове: дефиниция на логаритъм; графика на логаритмична функция, нейните свойства; свойства на логаритми; алгоритъм за решаване на логаритмични неравенства.

Всички решения след самооценка се дават на учителя.

Учебен лист

2. Актуализиране на знанията.

Указания на учителя. Помнете дефиницията на логаритъм, графика на логаритмична функция и нейните свойства. За целта прочетете текста на стр. 88–90, 98–101 от учебника „Алгебра и началото на анализа 10–11”, редактиран от С. А. Алимов, Ю. М. Колягин и др.

На учениците се дават листовете, на които е написано: определението на логаритъм; графика на логаритмична функция, нейните свойства; свойства на логаритми; алгоритъм за решаване на логаритмични неравенства, пример за решаване на логаритмично неравенство, свеждащ се до квадрат.

3. Учене на нов материал.

Решението на логаритмичните неравенства се основава на монотонността на логаритмичната функция.

Алгоритъмът за решаване на логаритмични неравенства:

А) Намерете областта на дефиниране на неравенството (под-логаритмичното изражение е по-голямо от нула).
Б) Представете (ако е възможно) лявата и дясната страна на неравенството под формата на логаритми на една и съща основа.
Б) Определете дали логаритмичната функция се увеличава или намалява: ако t\u003e 1, тогава се увеличава; ако 0 1 след това намалява.
Г) Преминете към по-просто неравенство (суб-логаритмични изрази), като се има предвид, че знакът за неравенство ще се запази, ако функцията се увеличи, и ще се промени, ако тя намалее.

Учебен елемент номер 1.

Цел: да се определи решението на най-простите логаритмични неравенства

Формата на организация на познавателната дейност на учениците: индивидуална работа.

Задачи за самостоятелна работа за 10 минути. За всяко неравенство има няколко отговора, трябва да изберете правилния и да проверите с ключа.

КЛЮЧ: 13321, максималният брой точки е 6 б.

Учебен елемент номер 2.

Цел: да се определи решението на логаритмичните неравенства, като се използват свойствата на логаритмите.

Указания на учителя. Спомнете си основните свойства на логаритмите. За целта прочетете учебника на страници 92, 103–104.

Задачи за самостоятелна работа за 10 минути.

КЛЮЧ: 2113, максималният брой точки е 8 б.

Учебен елемент номер 3.

Цел: да се проучи решението на логаритмичните неравенства по метода на редукция до квадрат.

Указания на учителя: методът за намаляване на неравенството до квадратна е да преобразува неравенството в такава форма, че определена логаритмична функция се обозначава с нова променлива, като същевременно се получава квадратно неравенство по отношение на тази променлива.

Прилагаме метода на интервала.

Преминахте първото ниво на усвояване на материала. Сега трябва да изберете свой собствен метод за решаване на логаритмични уравнения, като използвате всичките си знания и възможности.

Учебен елемент номер 4.

Цел: да се консолидира решението на логаритмичните неравенства, като се избере независимо рационален метод на решение.

Задачи за самостоятелна работа за 10 минути

Учебен елемент номер 5.

Указания на учителя. Много добре! Усвоили сте решението на уравнения от второ ниво на сложност. Целта на по-нататъшната ви работа е да приложите своите знания и умения в по-сложни и нестандартни ситуации.

Задачи за независимо решение:

Указания на учителя. Страхотно, ако сте се справили с цялата задача. Много добре!

Оценката за целия урок зависи от броя точки, набрани за всички учебни елементи:

• ако N ≥ 20, тогава получавате оценка „5“,
• при 16 ≤ N ≤ 19 - рейтингът е „4“,
• при 8 ≤ N ≤ 15 - рейтингът е „3“,
• при N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Оценка Фокс преминават от учителя.

5. Домашна работа: ако сте вкарали не повече от 15 б, свършете работата по грешките (решенията могат да се вземат от учителя), ако сте вкарали повече от 15 б, изпълнете творческата задача по темата „Логаритмични неравенства“.

ЛОГАРИТИЧНИ НЕРАВНОСТИ В ПОЛЗВАНЕТО

Сечин Михаил Александрович

Малката академия на науките на студентите на Република Казахстан „Търсител“

МБОУ "Съветско училище № 1", 11 клас, село. Советски Советски окръг

Гунко Людмила Дмитриевна, учител на МБОУ "Съветско училище № 1"

Советски окръг

Цел на работата: изучаването на механизма за решаване на логаритмичните неравенства на С3 с помощта на нестандартни методи, идентифицирането на интересни факти от логаритма.

Предмет на изследване:

3) Научете се да решавате специфични логаритмични неравенства на C3, използвайки нестандартни методи.

Резултати:

съдържание

Въведение ………………………………………………………………………………… .4

Глава 1. Основна информация …………………………………………………………… ... 5

Глава 2. Събиране на логаритмични неравенства ………………………… 7

2.1. Еквивалентни преходи и метод на обобщен интервал ................... 7

2.2. Методът на рационализация ………………………………………………… 15

2.3. Персонализирана подмяна ............................................................................. ..... 22

2.4. Задачи с капани …………………………………………………… 27

Заключение ………………………………………………………… 30

Литература ............................................................................... 31

Въведение

Аз съм в 11 клас и планирам да вляза в университет, където математиката е специализиран предмет. Следователно аз работя много със задачите от част В. В задача C3 трябва да разрешите нестандартно неравенство или система от неравенства, обикновено свързани с логаритми. При подготовката за изпита се сблъсках с проблема с липсата на методи и техники за решаване на логаритмичните неравенства на изпита, предложени в С3. Методите, които се изучават в училищната програма по тази тема, не дават основа за решаване на задачи C3. Учителят по математика ме покани да работя по заданията C3 самостоятелно под нейно ръководство. Освен това ме заинтересува въпросът: срещат ли се логаритми в нашия живот?

Имайки това предвид, беше избрана темата:

„Логаритмични неравенства в изпита“

Цел на работата: изследване на механизма за решаване на C3 задачи с помощта на нестандартни методи, разкриващи интересни факти от логаритма.

Предмет на изследване:

1) Намерете необходимата информация за нестандартните методи за решаване на логаритмични неравенства.

2) Намерете повече информация за логаритмите.

3) Научете как да решавате конкретни проблеми на C3, използвайки нестандартни методи.

Резултати:

Практическото значение се състои в разширяване на апарата за решаване на C3 задачи. Този материал може да се използва в някои уроци, за провеждане на кръгове, избираеми часове по математика.

Продуктът на проекта ще бъде колекцията „Логаритмични неравенства C3 с решения“.

Глава 1. Обща информация

През целия 16 век броят на приблизителните изчисления бързо нараства, предимно в астрономията. Усъвършенстването на инструментите, изучаването на движенията на планетата и друга работа изисква колосални, понякога много години изчисления. Астрономията беше в реална опасност да се удави при неизпълнени изчисления. Трудности възникнаха и в други области, например в застрахователния бизнес бяха необходими сложни таблици за лихви за различни лихвени стойности. Основната трудност беше умножението, делението на многоцифрени числа, особено тригонометрични величини.

Откриването на логаритмите се основаваше на свойствата на прогресиите, добре познати до края на 16 век. Връзката между термините на геометричната прогресия q, q2, q3, ... и аритметичната прогресия на техните индекси 1, 2, 3, ... вече беше спомената в Псалмита от Архимед. Друга предпоставка беше разширяването на концепцията за степен до отрицателни и дробни показатели. Много автори посочват, че умножението, делението, експонирането и извличането на корен експоненциално съответстват в аритметика - в същия ред - събиране, изваждане, умножение и деление.

Тук дебне идеята за логаритъм като експонент.

В историята на развитието на учението за логаритмите са преминали няколко етапа.

Етап 1

Логаритмите са изобретени не по-късно от 1594 г. независимо от шотландския барон Напиер (1550-1617) и десет години по-късно от швейцарския механик Бурги (1552-1632). И двамата искаха да дадат ново удобно средство за аритметични изчисления, въпреки че подходиха към тази задача по различни начини. Непер кинематично изрази логаритмична функция и по този начин влезе в нова област на теорията на функциите. Бурги остана мотивиран от съобразяването с дискретни прогресии. Определението на логаритъма и на двамата не е като на съвременния. Терминът "логаритъм" (логаритъм) принадлежи на Нефер. Произлиза от комбинация от гръцки думи: logos - „отношение“ и ariqmo - „число“, което означаваше „брой отношения“. Първоначално Непер използва друг термин: numeri artsiciales - „изкуствени числа“, за разлика от numeri naturalts - „естествени числа“.

През 1615 г. в разговор с професора по математика в Лондонския колеж Греш Хенри Бригс (1561-1631 г.) Непер предлага да се вземат единици от нула за логаритъм и 100 като логаритъм на десет, или което се свежда до същото, просто 1. По този начин десетичните логаритми и бяха отпечатани първите логаритмични таблици. По-късно таблиците на Бригс са допълнени от холандския продавач на книги и математик Андриан Флак (1600-1667). Нейпър и Бригс, въпреки че са стигнали до логаритмите по-рано от всички останали, публикуват таблиците си по-късно от други - през 1620 година. Дневникът на знаците и дневника са въведени през 1624 г. от И. Кеплер. Терминът "естествен логаритъм" е въведен от Менголи през 1659 г. и последван от Н. Меркатор през 1668 г. и публикува таблици с естествени логаритми с числа от 1 до 1000 под името "Нови логаритми" от лондонския учител Джон Шпедел.

На руски език първите логаритмични таблици са публикувани през 1703 г. Но във всички логаритмични таблици бяха направени грешки при изчисляването. Първите таблици без грешки са публикувани в Берлин през 1857 г. от немския математик К. Бремикер (1804-1877).

2 етап

По-нататъшното развитие на теорията на логаритмите е свързано с по-широко приложение на аналитичната геометрия и смятането на безкрайност. Установяването на връзката между квадратурата на равностранна хипербола и естествения логаритъм датира от това време. Теорията на логаритмите от този период е свързана с имената на редица математици.

Немски математик, астроном и инженер Николаус Меркатор в състава

Logarithmotechnics (1668) дава серия, даваща разширяване на ln (x + 1) в

градуса х:

Този израз съответства точно на хода на неговата мисъл, въпреки че той, разбира се, не използва знаците d, ..., но по-тромава символика. С откриването на логаритмичната серия техниката за изчисляване на логаритмите се промени: те започнаха да се определят с помощта на безкрайни серии. В своите лекции „Елементарна математика от по-висша гледна точка“, изнесени през 1907-1908 г., Ф. Клайн предлага използването на формулата като отправна точка за изграждането на теорията на логаритмите.

3 етап

Определяне на логаритмична функция като функция на обратното

експоненциален, логаритъм като показател за степента на дадена база

тя не беше формулирана веднага. Работата на Леонард Ойлер (1707-1783)

„Въведение в анализа на безкрайните животни“ (1748) послужи като допълнително

развитие на теорията за логаритмична функция. По този начин,

изминаха 134 години от първото въвеждане на логаритмите

(брои от 1614 г.), преди математиците да стигнат до определението

концепцията за логаритъм, която сега е в основата на училищния курс.

Глава 2. Събиране на логаритмични неравенства

2.1. Еквивалентни преходи и метод на обобщен интервал.

Еквивалентни преходи

ако a\u003e 1

ако 0 < а < 1

Обобщен интервален метод

Този метод е най-универсален при решаване на неравенства от почти всеки тип. Схемата за решение е следната:

1. Приведете неравенството във формата, в която функцията е от лявата страна
, а вдясно 0.

2. Намерете обхвата на функцията
.

3. Намерете нули на функция
, тоест решете уравнението
(и решаването на уравнение обикновено е по-лесно от решаването на неравенство).

4. В числовия ред нарисувайте областта на дефиниция и нулите на функцията.

5. Идентифицирайте функционалните знаци
на получените интервали.

6. Изберете интервалите, в които функцията приема необходимите стойности, и запишете отговора.

Пример 1

Решение:

Прилагайте интервалния метод

от къде

С тези стойности всички изрази под знаците на логаритмите са положителни.

Отговор:

Пример 2

Решение:

1-ви път . DLD се определя от неравенството х \u003e 3. Логаритъм с х въз основа на 10, ние получаваме

Последното неравенство би могло да се реши чрез прилагане на правилата за разлагане, т.е. сравняване на факторите с нула. В този случай обаче е лесно да се определят интервалите на постоянна функция

следователно, интервалният метод може да се приложи.

функция е(х) = 2х(х- 3,5) lgǀ х- 3ǀ непрекъснато при х \u003e 3 и изчезва в точки х 1 = 0, х 2 = 3,5, х 3 = 2, х 4 \u003d 4. Така определяме интервалите на постоянна функция е(х):

Отговор:

2-ри метод . Прилагаме директно към първоначалното неравенство идеите на интервалния метод.

За това припомнете, че изразите а б - а в и ( а - 1)(б - 1) имат един знак. Тогава нашето неравенство за х \u003e 3 е еквивалентно на неравенството

или

Последното неравенство се решава чрез метода на интервала

Отговор:

Пример 3

Решение:

Прилагайте интервалния метод

Отговор:

Пример 4

Решение:

От 2 х 2 - 3х + 3\u003e 0 за всички валидни хтогава

За да разрешим второто неравенство, използваме метода на интервала

При първото неравенство правим замяната

тогава стигаме до неравенството 2y 2 - ш - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те шкоито отговарят на неравенството -0.5< ш < 1.

Откъде, тъй като

получаваме неравенството

която се извършва, когато хза които 2 х 2 - 3х - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Сега, като вземем предвид решението на второто неравенство на системата, най-накрая получаваме

Отговор:

Пример 5

Решение:

Неравенството е равносилно на комбинация от системи

или

Прилагаме метода на интервала или

Отговор:

Пример 6

Решение:

Неравенството е равносилно на система

Нека бъде

тогава ш > 0,

и първо неравенство

система приема формата

или обзавеждане

квадратен триномен умножител,

Прилагайки метода на интервала към последното неравенство,

вижте, че неговите решения отговарят на условието ш \u003e 0 ще бъде всичко ш > 4.

По този начин първоначалното неравенство е еквивалентно на системата:

И така, решенията на неравенството са всички

2.2. Метод на рационализация.

Преди това те не решаваха неравенствата чрез рационализация, не го познаваха. Това е "нов съвременен ефективен метод за решаване на експоненциални и логаритмични неравенства" (цитат от книгата Колесникова С.И.)
И дори ако учителят го позна, имаше страх - познава ли го изпитващият и защо не го дадоха в училище? Имаше ситуации, когато учителят каза на ученика: "Къде си го взел? Седни - 2."
Сега методът напредва навсякъде. И за експертите има указания, свързани с този метод, и в „Най-пълните издания на типичните варианти ...“ в разтвор C3 се използва този метод.
ЧУДЕН МЕТОД!

Магическата маса

В други източници

ако a\u003e 1 и b\u003e 1, след това регистрирайте a b\u003e 0 и (a -1) (b -1)\u003e 0;

ако a\u003e 1 и 0

ако 0<а<1 и b >1, след това влезте в b<0 и (a -1)(b -1)<0;