Диференцируемост на функциите. непрекъснатост на диференцируема функция

Теорема.Ако функцията в даден момент х = х 0 има (крайна) производна , Че

1) увеличението на функцията може да бъде представено като

или накратко, , Където ае количество, зависещо от D хи клоняща към нула заедно с него, т.е. ;

2) функцията задължително е непрекъсната в тази точка.

Доказателство. 1) Според дефиницията на производната, . Използвайки теоремата за представянето на функция, която има граница като сума от тази граница и безкрайно малка, пишем

, Където .

Определяне от тук D г, стигаме до формула (3.6).

2) За да докажете непрекъснатостта на функцията, разгледайте израза (3.6). В Д х®0 сумата от дясната страна на (3.6) изчезва. следователно , или , което означава, че функцията в точката х 0 е непрекъснат.

От доказаната теорема следва, че функция, която има производна в дадена точка, ще бъде непрекъсната в тази точка. Въпреки това, функция, непрекъсната в дадена точка, не винаги има производна в тази точка. Да, по същество х 0 = 1 функция y=|х– 1| е непрекъснат, но няма производна в тази точка. Това означава, че това условие е само необходимо.

Производна на сложна функция

Теорема.Нека 1) функцията v=j(х) има в някакъв момент хпроизводна , 2) функция y=f(v) има в съответната точка vпроизводна Тогава комплексната функция y = f(й(х)) в споменатата точка хсъщо ще има производна, равна на произведението на производните функции f(v) И й(х): [f(й(х)) ]" = или по-кратко

Доказателство.Да дадем хпроизволно увеличение Δ х; нека Δ vе съответното увеличение на функцията v=j(х) и накрая Δ при– увеличение на функцията y=f(v), причинени от увеличението Δ v. Нека използваме релацията (3.6), която, замествайки хНа v, препишете във формата (азависи от Δ vи клони към нула с него. Разделяйки го термин по термин на D х, получаваме

Ако Д хклонят към нула, тогава съгласно (3.6) (при условие, че y = v), ще клони към нула и Δ v, и след това, както знаем, Δ-зависимата vвеличина а. Следователно има ограничение

което е търсената производна.

По този начин, производната на сложна функция е равна на произведението на производната на външната функция и производната на вътрешната функция.

Случаят на сложна функция, получена в резултат на няколко суперпозиции, се изчерпва с последователното прилагане на правилото (3.7). Така че, ако y = f(u), u = j(v), v = y(х), Че

Примери. 1. Нека y=дневник агрях х,с други думи, y=дневник a v, Където v=грях х. Според правилото (3.7)

2. , т.е. г = ЕС,u=v 2 , v=грях х.Според правилото (3.8)

1.7. Производната е експоненциална– степенна функция

Позволявам u = u(х) > 0 и v=v(х) са функции с производни във фиксирана точка х. Нека намерим производната на функцията y = u v. Като вземем логаритъм на това равенство, получаваме: ln y=vвътре u.

Нека разграничим двете страни на това равенство по отношение на х:

От тук, или

По този начин производната на експоненциална степенна функция се състои от два члена: първият член се получава, ако при диференциране приемем, че Иима функция от х, А vе константа (т.е. помислете u vкато степенна функция); Вторият член се получава, като приемем, че vима функция от х, А u = const(т.е. помислете u vкато експоненциална функция).

Примери. 1. Ако y = x tg x, тогава, ако приемем u=x,v = tg x, съгласно (3.9) имаме

= tg x x tg x – 1 + x tg xвътре хсек 2 х.

Техниката, използвана в този случай за намиране на производната и състояща се в първо намиране на производната на логаритъма на разглежданата функция, се използва широко при диференциране на функции: когато се намира производната на функция, тези функции първо се логаритмират, а след това от равенство, получено след диференциране на логаритъма на функцията, определяне на производните функции. Такава операция се нарича логаритмично диференциране.

2. Изисква се да се намери производната на функцията

Като логаритмираме, намираме:

вътре y= 2ln( x + 1) + ln( х– 1) – 3 ln( x + 4) – х.

Разграничаваме двете части на последното равенство:

Умножение по прии заместване вместо при, получаваме.

функция y = f(x)Наречен диференцируемив някакъв момент х 0, ако има определена производна в тази точка, т.е. ако границата на отношението съществува и е крайна.

Ако една функция е диференцируема във всяка точка на някакъв сегмент [ А; b] или интервал ( А; b), тогава те казват, че то диференцируемина сегмента [ А; b] или съответно в интервала ( А; b).

Валидна е следната теорема, която установява връзка между диференцируеми и непрекъснати функции.

Теорема.Ако функцията y = f(x)диференцируеми в даден момент x0, тогава той е непрекъснат в тази точка.

По този начин диференцируемостта на функцията предполага нейната непрекъснатост.

доказателство Ако , тогава

където α е безкрайно малка стойност, т.е. количество, клонящо към нула при Δ х→0. Но след това

Δ г=f "(x0) Δ х+αΔ х=> Δ г→0 при Δ х→0, т.е. f(x) - f(x0)→0 при х→х 0 , което означава, че функцията f(x)непрекъснато в точка х 0 . Q.E.D.

По този начин в точките на прекъсване функцията не може да има производна. Обратното твърдение не е вярно: има непрекъснати функции, които не са диференцируеми в някои точки (т.е. те нямат производна в тези точки).

Разгледайте точките на фигурата a, b, c.

В точката апри Δ х→0 връзката няма граница (защото едностранните граници са различни за Δ х→0-0 и ∆ х→0+0). В точката Аграфиката няма дефинирана допирателна, но има две различни едностранни тангенти с наклони Да се 1 и Да се 2. Този тип точка се нарича ъглова точка.

В точката bпри Δ х→0 отношението е с постоянен знак безкрайно голяма стойност. Функцията има безкрайна производна. В тази точка графиката има вертикална допирателна. Тип точка - "инфлексна точка" с вертикална допирателна.

В точката ° Седностранните производни са безкрайно големи количества от различни знаци. В този момент графиката има две обединени вертикални допирателни. Тип - "куспид" с вертикална допирателна - частен случай на ъглова точка.

Примери.

1. Разгледайте функцията y=|x|. Тази функция е непрекъсната в точката х= 0, защото .

Нека покажем, че няма производна в тази точка.

f(0+Δ х) = f(Δ х) = |Δ х|. Следователно, Δ г = f(Δ х) - f(0) = |Δ х|

Но тогава за Δ х< 0 (т.е. при Δхклоняща към 0 отляво)

И при Δ х > 0

По този начин съотношението при Δ х→ 0 отдясно и отляво има различни граници, което означава, че връзката няма граница, т.е. производна на функция y=|x| в точката х= 0 не съществува. Геометрично това означава, че в точката х= 0 тази "крива" няма определена допирателна (в тази точка има две).

2. Функцията е дефинирана и непрекъсната върху цялата реална права. Нека разберем дали тази функция има производна при х= 0.

Следователно разглежданата функция не е диференцируема в точката х= 0. Допирателната към кривата в тази точка образува ъгъл p/2 с оста x, т.е. съвпада с оста Ой.

Производни на елементарни функции.

1.
y = x n .Ако не положително цяло число, тогава, използвайки биномната формула на Нютон:

(а + b) n = а n+ n a n-1 b + 1/2?n(n - 1)a n-2? b 2 + 1/(2?3)?n(n - 1)(n - 2)a n-3 b 3 +…+ b n ,

може да се докаже, че

Така че, ако хполучава увеличение Δ х, Че f(x+Δ x) = (x + Δ x)n, и следователно

Формули 3 и 5 се докажете.

Ако функцията г = f(х) е диференцируем в даден момент х = х 0, тогава той е непрекъснат в тази точка.

По този начин в точките на прекъсване функцията не може да има производна. Обратният извод е неверен, т.е. от факта, че в един момент х = х 0 функция г = f(х) е непрекъснат, не следва, че е диференцируем в тази точка. Например функцията г = |х| непрекъснато за всички х (–< х < ), но в точке х= 0 няма производна. В този момент няма допирателна към графиката. Има дясна допирателна и лява допирателна, но те не съвпадат.

21 Намиране на правила. производство суми

Правило 1Ако функциите y \u003d f (x) и y \u003d g (x) имат производна в точката x, тогава тяхната сума също има производна в точката x, а производната на сумата е равна на сумата от производните:
(f (x) + 8 (x))" \u003d f (x) + (x).
На практика това правило се формулира по-кратко: производната на сбора е равна на сбора на производните.
Например,
Правило 2Ако функцията y \u003d f (x) има производна в точката x, тогава функцията y \u003d kf (x) има производна в точката x и:

На практика това правило се формулира по-кратко: постоянният множител може да бъде изваден от знака на производната. Например,

Правило 3Ако функциите y \u003d f (x) и y \u003d g (x) имат производна в точката x, тогава техният продукт също има производна в точката x и:

На практика това правило се формулира по следния начин: производната на произведението на две функции е равна на сумата от два члена. Първият член е произведението на производната на първата функция и втората функция, а вторият член е произведението на първата функция и производната на втората функция.
Например:
Правило 4Ако функциите y \u003d f (x) и y \u003d g (x) имат производна в тогава и коефициентът има производна в точката x, освен това:

Таблица на сложните производни

22 диф. функция в точката

функция г=f(х) се нарича диференцируема в точка х 0, ако неговото увеличение Δ г(х 0,Δ х) могат да бъдат представени като

Δ г(х 0,Δ х)=АΔ х+о(Δ х).

Основна линейна част АΔ хувеличава Δ гсе нарича диференциал на тази функция в точката х 0, съответстващ на увеличението Δ х, и се обозначава със символа dy(х 0,Δ х).

За да може функцията г=f(х) беше диференцируем в точката х 0, е необходимо и достатъчно производната f′( х 0), докато равенството А=f′( х 0).

Изразът за диференциала има формата

dy(х 0,dx)=f′( х 0)dx,

Където dx=Δ х.

23 Прод. разл. Функции

Производна на сложна функция. Производна на функция, дефинирана параметрично

Позволявам г - комплексна функция х, т.е. г = f(u), u = ж(х), или

Ако ж(х) И f(u) са диференцируеми функции на техните аргументи, съответно, в точките хИ u = ж(х), тогава комплексната функция също е диференцируема в точката х и се намира по формулата

Производна на функция, зададена параметрично.

24 Прод.и диф. По-висок ред

Нека сега производната от ти порядък е дефинирана в някаква околност на точката и е диференцируема. Тогава

Ако дадена функция има частична производна по отношение на една от променливите в дадена област D, тогава посочената производна, бидейки сама по себе си функция на , може да има частични производни по отношение на същата или всяка друга променлива в даден момент. За оригиналната функция тези производни ще бъдат частични производни от втори порядък (или втори частични производни).

Частна производна от втори или по-висок ред, взета по отношение на различни променливи, се нарича смесена частна производна. Например,

диференциал на поръчката н, Където n > 1, на функция в дадена точка се нарича диференциал в тази точка на диференциала на порядъка (n - 1), това е

За функция, която зависи от една променлива, вторият и третият диференциал изглеждат така:

От това можем да изведем общата форма на диференциала н-та поръчка от функцията:

25 Теореми на Ферма, Рол, Ланграж

v Теорема на Ферма:Нека функцията да бъде дефинирана и да достигне своите максимални и минимални стойности ( МИ м) в някои от . Ако има производна в , то тя задължително е равна на 0.

Доказателство: Има. Възможни са два случая:

1) , => , => .

2) , => , => .

От 1) и 2) следва, че

v Теорема на Рол (за корените на производната):Нека функцията е непрекъсната на и диференцируема на и приема същите стойности в краищата на сегмента: . Тогава има поне една точка в , чиято производна е .

v Доказателство: Непрекъснато достига до МИ м. Тогава са възможни два случая:

2) най-голямата стойност се постига в рамките на интервала съгласно теоремата на Ферма.

v Теорема на Ланграж (относно крайните стъпки):Нека функцията е непрекъсната на и диференцируема на . Тогава съществува поне един от тях, за който е в сила следното равенство: .

Доказателство: Нека въведем функцията . (непрекъснато на и диференцируемо на ).

Функцията удовлетворява съществува теорема на Рол, за която: , , , .

Функцията се извиква строго нараствана ако

Функцията се извиква намаляващина ако

Функцията се извиква строго намаляващна ако

Съдържанието на статията

ПРОИЗВОДНО- производна на функцията г = f(х), определени на някакъв интервал ( а, b) в точката хтози интервал се нарича границата, към която клони съотношението на нарастването на функцията fв тази точка към съответното увеличение на аргумента, когато увеличението на аргумента се доближава до нула.

Производната обикновено се обозначава по следния начин:

Други обозначения също се използват широко:

Незабавна скорост.

Нека точката Мсе движи по права линия. Разстояние сподвижна точка, считано от някаква начална позиция М 0 , зависи от времето T, т.е. се функция на времето T: с= f(T). Нека в някакъв момент от времето Tподвижна точка Мбеше на разстояние сот изходна позиция М 0 и в някой следващ момент T+ D Tбеше в положение М 1 - на разстояние с+ D сот начална позиция ( виж снимка.).

Така за определен период от време Д Tразстояние ссе променя със стойността D с. В този случай казваме, че през времевия интервал D Tвеличина сполучено увеличение D с.

Средната скорост не може във всички случаи точно да характеризира скоростта на движение на точка. Мпо това време T. Ако, например, тялото в началото на интервала D Tсе движи много бързо и накрая много бавно, тогава средната скорост няма да може да отрази посочените характеристики на движението на точката и да даде представа за истинската скорост на нейното движение в момента T. За да изразите по-точно истинската скорост, като използвате средната скорост, трябва да вземете по-малък период от време D T. Тя най-пълно характеризира скоростта на движение на дадена точка в момента Tграницата, към която клони средната скорост при D T® 0. Тази граница се нарича скорост на движение в даден момент:

По този начин скоростта на движение в даден момент е границата на съотношението на нарастването на пътя D скъм нарастването на времето D Tкогато нарастването на времето клони към нула. защото

Геометричната стойност на производната. Тангента към графиката на функция.

Конструирането на допирателни е един от онези проблеми, довели до раждането на диференциалното смятане. Първата публикувана работа върху диференциалното смятане, написана от Лайбниц, беше озаглавена Нов метод за максимуми и минимуми, както и допирателни, за които нито дробните, нито ирационалните величини са пречка, и специален вид смятане за това.

Нека кривата е графиката на функцията г =f(х) в правоъгълна координатна система ( см. ориз.).

За някаква стойност хфункцията има значение г =f(х). Тези ценности хИ гточка на кривата М 0(х, г). Ако аргументът хдайте увеличение D х, след това новата стойност на аргумента х+ D хсъответства на новата стойност на функцията y+д г = f(х + д х). Съответстващата точка на кривата ще бъде точката М 1(х+ D х,г+ D г). Ако начертаем секуща М 0М 1 и означаваме с j ъгъл, образуван от секанс с положителна посока на оста вол, пряко се вижда от фигурата, че .

Ако сега Д хклони към нула, тогава точката М 1 се движи по кривата, приближавайки се до точката М 0 и ъгъл й промени с промяна D х. При Dx® 0 ъгълът j клони към някаква граница a и правата, минаваща през точката М 0 и компонентът с положителна посока на абсцисната ос, ъгъл a, ще бъде желаната тангенс. Неговият наклон:

следователно f´( х) = tga

тези. производна стойност f´( х) за дадена стойност на аргумента хе равен на тангенса на ъгъла, образуван от допирателната към графиката на функцията f(х) в съответната точка М 0(х,г) с положителна посока на оста вол.

Диференцируемост на функциите.

Определение. Ако функцията г = f(х) има производна в точката х = х 0, тогава функцията е диференцируема в тази точка.

Непрекъснатост на функция, която има производна. Теорема.

Ако функцията г = f(х) е диференцируем в даден момент х = х 0, тогава той е непрекъснат в тази точка.

По този начин в точките на прекъсване функцията не може да има производна. Обратният извод е неверен, т.е. от факта, че в един момент х = х 0 функция г = f(х) е непрекъснат, не следва, че е диференцируем в тази точка. Например функцията г = |х| непрекъснато за всички х(–Ґ x x = 0 няма производна. В тази точка няма допирателна към графиката. Има дясна допирателна и лява допирателна, но те не съвпадат.

Някои теореми за диференцируеми функции. Теорема за корените на производната (теорема на Рол).Ако функцията f(х) е непрекъснат на интервала [а,b], е диференцируем във всички вътрешни точки на този сегмент и в краищата х = аИ х = bизчезва ( f(а) = f(b) = 0), след това вътре в сегмента [ а,b] има поне една точка х= с, а c b, в която производната fў( х) изчезва, т.е. fў( ° С) = 0.

Теорема за крайно нарастване (теорема на Лагранж).Ако функцията f(х) е непрекъснат на интервала [ а, b] и е диференцируем във всички вътрешни точки на този сегмент, след това вътре в сегмента [ а, b] има поне една точка с, а c b това

f(b) – f(а) = fў( ° С)(b– а).

Теорема за съотношението на нарастванията на две функции (теорема на Коши).Ако f(х) И ж(х) са две функции, непрекъснати на сегмента [а, b] и диференцируеми във всички вътрешни точки на този сегмент, и жў( х) не изчезва никъде в този сегмент, след това в сегмента [ а, b] има такава точка х = с, а c b това

Производни от различни поръчки.

Нека функцията г =f(х) е диференцируем на някакъв интервал [ а, b]. Производни стойности f ў( х), най-общо казано, зависят от х, т.е. производна f ў( х) също е функция на х. Когато тази функция се диференцира, се получава така наречената втора производна на функцията f(х), което е означено f ўў ( х).

производна н-ред на функцията f(х) се нарича производна (от първи ред) на производната н- 1- и се обозначава със символа г(н) = (г(н– 1))ў.

Диференциали от различни поръчки.

Функционален диференциал г = f(х), Където хе независима променлива, е dy = f ў( х)dx, някаква функция от х, но от хсамо първият фактор може да зависи f ў( х), докато вторият фактор ( dx) е нарастването на независимата променлива хи не зависи от стойността на тази променлива. защото dyима функция от х, тогава можем да определим диференциала на тази функция. Диференциалът на диференциала на функция се нарича диференциал от втори или втори ред на тази функция и се обозначава д 2г:

д(dx) = д 2г = f ўў( х)(dx) 2 .

Диференциал н-ред се нарича първи диференциал на диференциала н- 1- поръчка:

d n y = д(d n–1г) = f(н)(х)dx(н).

Частен дериват.

Ако функцията зависи не от един, а от няколко аргумента x i(азпромени от 1 до н,аз= 1, 2,… н),f(х 1,х 2,… x n), тогава в диференциалното смятане се въвежда концепцията за частична производна, която характеризира скоростта на промяна на функция на няколко променливи, когато се променя само един аргумент, например, x i. Частична производна от 1-ви ред по отношение на x iсе определя като обикновена производна, се приема, че всички аргументи освен x i, поддържайте постоянни стойности. За частни производни въвеждаме нотацията

Дефинираните по този начин частни производни от 1-ви ред (като функции на едни и същи аргументи) могат от своя страна също да имат частни производни, това са частни производни от втори ред и т.н. Взети по отношение на различни аргументи, такива производни се наричат смесени. Непрекъснатите смесени производни от един и същи ред не зависят от реда на диференциране и са равни една на друга.

Анна Чугайнова

Проблемът за скоростта на движеща се точка

Нека е законът за праволинейно движение на материална точка. Означаваме с пътя, изминат от точката във времето, и с пътя, изминат от времето. Тогава след време точката ще измине път, равен на: . Съотношението се нарича средната скорост на точката за времето от до . Колкото по-малко, т.е. колкото по-кратък е интервалът от време от до, толкова по-добре средната скорост характеризира движението на точката в момента от време. Ето защо е естествено да се въведе понятието скорост в даден момент, като се дефинира като граница на средната скорост за интервала от до когато:

Стойността се нарича моментна скорост на точката в даден момент.

Задачата за допирателна към дадена крива

Нека една непрекъсната крива е дадена на равнината от уравнението . Изисква се да се начертае невертикална допирателна към дадената крива в точката . Тъй като допирателната точка е дадена, за решаване на задачата е необходимо да се намери наклонът на допирателната. От геометрията е известно, че , където е ъгълът на наклон на допирателната към положителната посока на оста (виж фиг.). чрез точки И начертайте секанс, където е ъгълът, образуван от секанса с положителната посока на оста. От фигурата се вижда, че , където . Наклонът на допирателната към дадена крива в точка може да се намери въз основа на следното определение.

Допирателната към кривата в точка е граничната позиция на секанса, когато точката клони към точката . Оттук следва, че .

Производна дефиниция

Математическата операция, необходима за решаване на проблемите, обсъдени по-горе, е същата. Нека изясним аналитичната същност на тази операция, като се абстрахираме от конкретните въпроси, които са я предизвикали.

Нека функцията е дефинирана на някакъв интервал. Нека вземем стойност от този интервал. Нека дадем някакво увеличение (положително или отрицателно). Тази нова стойност на аргумента съответства на новата стойност на функцията , Където .

Нека направим връзка , това е функция на .

Производната на функция по отношение на променлива в точка е границата на съотношението на нарастването на функцията в тази точка към увеличението на аргумента, който го е причинил, когато произволно:

Коментирайте. Счита се, че производната на функция в точка съществува, ако границата от дясната страна на формулата съществува и е крайна и не зависи от това как нарастването на променливата клони към 0 (ляво или дясно).

Процесът на намиране на производната на функция се нарича нейното диференциране.

Намиране на производни на някои функции по дефиниция

а) Производна на константа.

Нека , където е константа, защото стойностите на тази функция са еднакви за всички, тогава нейното увеличение е нула и следователно,

И така, производната на константата е равна на нула, т.е. .

б) Производната на функцията.

Нека направим увеличение на функцията:

При намирането на производната се използва свойството на границата на произведението на функциите, първата забележителна граница и непрекъснатостта на функцията.

По този начин, .

Връзка между диференцируемостта на функция и нейната непрекъснатост

Функция, която има производна в дадена точка, се нарича диференцируема в тази точка. Функция, която има производна във всички точки на даден интервал, се нарича диференцируема на този интервал.

Теорема.Ако една функция е диференцируема в точка, тогава тя е непрекъсната в тази точка.

Доказателство. Нека дадем на аргумента произволно увеличение. След това функцията ще бъде увеличена. Нека запишем равенството и преминем към границата от лявата и дясната страна при :

Тъй като за непрекъсната функция безкрайно малко нарастване на аргумента съответства на безкрайно малко увеличение на функцията, теоремата може да се счита за доказана.

Коментирайте. Обратното твърдение не важи, т.е. непрекъснатостта на функция в дадена точка по принцип не предполага диференцируемост в тази точка. Например функцията е непрекъсната за всички , но не е диференцируема при . Наистина ли:

Границата е безкрайна, което означава, че функцията не е диференцируема в точката .

Таблица на производните на елементарни функции

Коментирайте. Припомнете си свойствата на степени и корени, използвани при диференциране на функции:

Нека дадем примери за намиране на производни.

1) .

Производна на сложна функция

Позволявам . Тогава функцията ще бъде сложна функция от х.

Ако функцията е диференцируема в точка х, а функцията е диференцируема в точката u, тогава той също е диференцируем в точката х, и

Тогава предполагаме. Следователно

С достатъчно умения, междинна променлива uне пишете, въвеждайки го само мислено.

Диференциал

Начертайте допирателна към графиката на непрекъсната функция в точка MT, обозначаващ чрез йнеговият ъгъл на наклон спрямо положителната посока на оста оТъй като , Тогава от триъгълника MEFследва това

Въвеждаме нотацията

Този израз се нарича диференциалфункции . Така

Забелязвайки, че , т.е. че диференциалът на независима променлива е равен на нейното увеличение, получаваме

По този начин диференциалът на функция е равен на произведението на нейната производна и диференциала (или увеличението) на независимата променлива.

От последната формула следва, че , т.е. производната на функция е равна на отношението на диференциала на тази функция към диференциала на аргумента.

Функционален диференциал dyгеометрично представлява нарастването на ординатата на тангентата, съответстващо на нарастването на аргумента D х.

От фигурата може да се види, че за достатъчно малък D хв абсолютна стойност може да се приеме нарастването на функция приблизително равно на нейния диференциал, т.е.

Да разгледаме сложна функция , където , и е диференцируема по отношение на u, и - от х. Според правилото за диференциране на сложна функция

Нека умножим това уравнение по dx:

Тъй като (по дефиницията на диференциал), тогава

Така диференциалът на сложна функция има същата форма като променливата uне беше междинен аргумент, а независима променлива.

Това свойство на диференциала се нарича инвариантност(неизменност) форми на диференц.

Пример. .

Всички правила за диференциране могат да бъдат написани за диференциали.

Позволявам са диференцируеми в точка х. Тогава

Нека докажем второто правило.

Производна на неявна функция

Нека е дадено уравнение от вида, свързващо променливите и . Ако е невъзможно да се изрази изрично чрез , (да се разреши относително), тогава се извиква такава функция имплицитно дадено. За да се намери производната на такава функция, двете страни на уравнението трябва да бъдат диференцирани по отношение на , разглеждайки като функция на . От полученото ново уравнение намерете .