Handlingsrækkefølge i matematiske udtryk. Pædagogisk og metodisk materiale i matematik (3. klasse) om emnet: Eksempler på rækkefølgen af handlinger

hjem / Skilsmisse

I det femte århundrede f.Kr. formulerede den antikke græske filosof Zeno af Elea sine berømte aporier, hvoraf den mest berømte er aporien "Akilles og skildpadden". Sådan lyder det:

Lad os sige, at Achilleus løber ti gange hurtigere end skildpadden og er tusinde skridt efter den. I løbet af den tid, hvor Achilleus løber denne distance, kravler skildpadden hundrede skridt i samme retning. Når Achilleus har løbet hundrede skridt, vil skildpadden kravle yderligere ti skridt, og så videre. Processen vil fortsætte i det uendelige, Achilles vil aldrig indhente skildpadden.

Dette ræsonnement blev et logisk chok for alle efterfølgende generationer. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... De betragtede alle på en eller anden måde Zenons aporier. Chokket var så stærkt, at " ... diskussioner fortsætter på nuværende tidspunkt, det videnskabelige samfund har endnu ikke formået at komme til en fælles mening om essensen af paradokser ... matematisk analyse, mængdeteori, nye fysiske og filosofiske tilgange var involveret i undersøgelsen af spørgsmålet ; ingen af dem blev en universelt accepteret løsning på problemet ..."[Wikipedia," Zenos Aporias "]. Alle forstår, at de bliver narret, men ingen forstår, hvad bedraget er.

Fra et matematisk synspunkt demonstrerede Zeno i sin aporia tydeligt overgangen fra værdien til. Denne overgang indebærer anvendelse i stedet for konstanter. Så vidt jeg forstår, er det matematiske apparat til anvendelse af variable måleenheder enten ikke udviklet endnu, eller også er det ikke blevet anvendt på Zenos aporia. Anvendelsen af vores sædvanlige logik fører os i en fælde. Vi, ved tænkningens inerti, anvender konstante tidsenheder på det gensidige. Fra et fysisk synspunkt ser det ud til, at tiden går langsommere til at stoppe helt i det øjeblik, hvor Achilleus indhenter skildpadden. Hvis tiden går i stå, kan Achilles ikke længere overhale skildpadden.

Drejer vi den logik, vi er vant til, falder alt på plads. Achilleus løber med konstant hastighed. Hvert efterfølgende segment af dens vej er ti gange kortere end det foregående. Derfor er den tid, der bruges på at overvinde det, ti gange mindre end den foregående. Hvis vi anvender begrebet "uendelighed" i denne situation, så ville det være korrekt at sige "Akilles vil uendeligt hurtigt overhale skildpadden."

Hvordan undgår man denne logiske fælde? Forbliv i konstante tidsenheder og skift ikke til gensidige værdier. På Zenos sprog ser det sådan ud:

I den tid det tager Achilleus at løbe tusind skridt, kravler skildpadden hundrede skridt i samme retning. I løbet af det næste tidsinterval, svarende til det første, vil Achilles løbe yderligere tusinde skridt, og skildpadden vil kravle hundrede skridt. Nu er Achilles otte hundrede skridt foran skildpadden.

Denne tilgang beskriver tilstrækkeligt virkeligheden uden nogen logiske paradokser. Men dette er ikke en komplet løsning på problemet. Einsteins udsagn om lysets hastigheds uoverkommelighed minder meget om Zenos aporia "Akilles og skildpadden". Vi mangler endnu at studere, genoverveje og løse dette problem. Og løsningen skal ikke søges i uendeligt store tal, men i måleenheder.

En anden interessant aporia af Zeno fortæller om en flyvende pil:

En flyvende pil er ubevægelig, da den i hvert tidspunkt er i hvile, og da den er i hvile i hvert øjeblik af tiden, er den altid i hvile.

I denne aporia overvindes det logiske paradoks meget enkelt - det er nok til at præcisere, at den flyvende pil på hvert tidspunkt hviler på forskellige punkter i rummet, hvilket i virkeligheden er bevægelse. Der er et andet punkt at bemærke her. Fra et billede af en bil på vejen er det umuligt at bestemme hverken kendsgerningen om dens bevægelse eller afstanden til den. For at bestemme kendsgerningen af bilens bevægelse er der brug for to fotografier taget fra det samme punkt på forskellige tidspunkter, men de kan ikke bruges til at bestemme afstanden. For at bestemme afstanden til bilen har du brug for to fotografier taget fra forskellige punkter i rummet på samme tid, men du kan ikke bestemme kendsgerningen af bevægelse fra dem (naturligvis har du stadig brug for yderligere data til beregninger, trigonometri vil hjælpe dig). Det, jeg især vil påpege, er, at to punkter i tid og to punkter i rummet er to forskellige ting, som ikke bør forveksles, da de giver forskellige muligheder for udforskning.

Onsdag den 4. juli 2018

Meget godt er forskellene mellem sæt og multisæt beskrevet i Wikipedia. Vi ser.

Som du kan se, "kan sættet ikke have to identiske elementer", men hvis der er identiske elementer i sættet, kaldes et sådant sæt et "multiset". Fornuftige væsener vil aldrig forstå en sådan absurditetslogik. Dette er niveauet af talende papegøjer og trænede aber, hvor sindet er fraværende fra ordet "helt." Matematikere fungerer som almindelige trænere og prædiker deres absurde ideer for os.

Engang var ingeniørerne, der byggede broen, i en båd under broen under testene af broen. Hvis broen kollapsede, døde den middelmådige ingeniør under murbrokkerne af sin skabelse. Hvis broen kunne holde til belastningen, byggede den dygtige ingeniør andre broer.

Uanset hvordan matematikere gemmer sig bag sætningen "pas på mig, jeg er i huset", eller rettere "matematikken studerer abstrakte begreber", er der én navlestreng, der uløseligt forbinder dem med virkeligheden. Denne navlestreng er penge. Lad os anvende matematisk mængdeteori på matematikere selv.

Vi har studeret matematik rigtig godt, og nu sidder vi ved kassen og betaler løn. Her kommer en matematiker til os for sine penge. Vi tæller hele beløbet for ham og lægger det ud på vores bord i forskellige bunker, hvori vi lægger sedler af samme pålydende. Så tager vi en regning fra hver bunke og giver matematikeren hans "matematiske lønsæt". Vi forklarer matematikken, at han først vil modtage resten af regningerne, når han beviser, at mængden uden identiske elementer ikke er lig med mængden med identiske elementer. Det er her det sjove begynder.

Først og fremmest vil de deputeredes logik fungere: "du kan anvende det på andre, men ikke på mig!" Yderligere vil forsikringer begynde om, at der er forskellige seddelnumre på sedler af samme pålydende værdi, hvilket betyder, at de ikke kan betragtes som identiske elementer. Nå, vi tæller lønnen i mønter – der er ingen tal på mønterne. Her vil matematikeren febrilsk huske fysikken: forskellige mønter har forskellige mængder snavs, krystalstrukturen og arrangementet af atomer for hver mønt er unik ...

Og nu har jeg det mest interessante spørgsmål: hvor går grænsen ud over hvilken elementer i et multisæt bliver til elementer i et sæt og omvendt? En sådan linje eksisterer ikke - alt bestemmes af shamaner, videnskaben her er ikke engang tæt på.

Se her. Vi udvælger fodboldstadioner med samme baneareal. Arealet af felterne er det samme, hvilket betyder, at vi har et multisæt. Men hvis vi overvejer navnene på de samme stadioner, får vi mange, fordi navnene er forskellige. Som du kan se, er det samme sæt af elementer både et sæt og et multisæt på samme tid. Hvordan rigtigt? Og her tager matematikeren-shaman-shulleren et trumf-es frem fra ærmet og begynder at fortælle os enten om et sæt eller et multisæt. Under alle omstændigheder vil han overbevise os om, at han har ret.

For at forstå, hvordan moderne shamaner opererer med mængdeteori og binder den til virkeligheden, er det nok at besvare et spørgsmål: hvordan adskiller elementerne i et sæt sig fra elementerne i et andet sæt? Jeg vil vise dig, uden nogen "tænkelig som ikke en enkelt helhed" eller "ikke tænkelig som en enkelt helhed."

Søndag den 18. marts 2018

Summen af cifrene i et tal er en dans af shamaner med en tamburin, som ikke har noget med matematik at gøre. Ja, i matematiktimerne bliver vi lært at finde summen af cifrene i et tal og bruge det, men de er shamaner til det, for at lære deres efterkommere deres færdigheder og visdom, ellers vil shamaner simpelthen dø ud.

Har du brug for bevis? Åbn Wikipedia, og prøv at finde siden "Sum af cifre for et tal". Hun eksisterer ikke. Der er ingen formel i matematik, hvormed du kan finde summen af cifrene i et hvilket som helst tal. Tal er jo grafiske symboler, som vi skriver tal med, og på matematiksproget lyder opgaven sådan: "Find summen af grafiske symboler, der repræsenterer et hvilket som helst tal." Matematikere kan ikke løse dette problem, men shamaner kan gøre det elementært.

Lad os finde ud af, hvad og hvordan vi gør for at finde summen af cifrene i et givet tal. Så lad os sige, at vi har tallet 12345. Hvad skal der gøres for at finde summen af cifrene i dette tal? Lad os overveje alle trinene i rækkefølge.

1. Skriv tallet ned på et stykke papir. Hvad har vi gjort? Vi har konverteret tallet til et talgrafisk symbol. Dette er ikke en matematisk operation.

2. Vi klippede et modtaget billede i flere billeder med separate numre. At klippe et billede er ikke en matematisk operation.

3. Konverter individuelle grafiske tegn til tal. Dette er ikke en matematisk operation.

4. Læg de resulterende tal sammen. Nu er det matematik.

Summen af cifrene i tallet 12345 er 15. Disse er "klippe- og sykurser" fra shamaner brugt af matematikere. Men det er ikke alt.

Ud fra et matematisk synspunkt er det lige meget i hvilket talsystem vi skriver tallet. Så i forskellige talsystemer vil summen af cifrene i det samme tal være forskellig. I matematik er talsystemet angivet som et underskrift til højre for tallet. Med et stort antal på 12345 ønsker jeg ikke at narre mit hoved, overvej tallet 26 fra artiklen om. Lad os skrive dette tal i binære, oktale, decimale og hexadecimale talsystemer. Vi vil ikke overveje hvert trin under et mikroskop, det har vi allerede gjort. Lad os se på resultatet.

Som du kan se, er summen af cifrene i det samme tal forskellig i forskellige talsystemer. Dette resultat har intet med matematik at gøre. Det er som at finde arealet af et rektangel i meter og centimeter ville give dig helt andre resultater.

Nul i alle talsystemer ser ens ud og har ingen sum af cifre. Dette er endnu et argument for, at . Et spørgsmål til matematikere: hvordan betegnes det i matematik, hvad der ikke er et tal? Hvad, for matematikere, findes der ikke andet end tal? For shamaner kan jeg tillade dette, men for videnskabsmænd nej. Virkeligheden handler ikke kun om tal.

Det opnåede resultat bør betragtes som bevis på, at talsystemer er måleenheder for tal. Vi kan jo ikke sammenligne tal med forskellige måleenheder. Hvis de samme handlinger med forskellige måleenheder af samme størrelse fører til forskellige resultater efter at have sammenlignet dem, så har dette intet med matematik at gøre.

Hvad er ægte matematik? Dette er, når resultatet af en matematisk handling ikke afhænger af værdien af tallet, den anvendte måleenhed og af, hvem der udfører denne handling.

Skilt på døren Åbner døren og siger:

Av! Er det ikke dametoilettet?
- Ung kvinde! Dette er et laboratorium til at studere sjælenes ubestemte hellighed ved opstigning til himlen! Nimbus på toppen og pil op. Hvilket andet toilet?

Kvinde... En glorie på toppen og en pil ned er en mand.

Hvis du har sådan et design-kunstværk, der blinker for dine øjne flere gange om dagen,

Så er det ikke overraskende, at du pludselig finder et mærkeligt ikon i din bil:

Personligt bestræber jeg mig på at se minus fire grader hos en poopende person (et billede) (sammensætning af flere billeder: minustegn, nummer fire, gradersbetegnelse). Og jeg betragter ikke denne pige som et fjols, der ikke kan fysik. Hun har bare en bue stereotyp opfattelse af grafiske billeder. Og matematikere lærer os det hele tiden. Her er et eksempel.

1A er ikke "minus fire grader" eller "én a". Dette er "pooping mand" eller tallet "seksogtyve" i det hexadecimale talsystem. De mennesker, der konstant arbejder i dette talsystem, opfatter automatisk tallet og bogstavet som ét grafisk symbol.

I denne lektion gennemgås proceduren for udførelse af aritmetiske operationer i udtryk uden parenteser og med parenteser i detaljer. Eleverne får i løbet af opgaveløsningen mulighed for at afgøre, om betydningen af udtryk afhænger af rækkefølgen af regneoperationer, at finde ud af, om rækkefølgen af regneoperationer adskiller sig i udtryk uden parentes og med parentes. øv dig i at anvende den indlærte regel, for at finde og rette fejl, der er begået ved bestemmelse af rækkefølgen af handlinger.

I livet udfører vi konstant en form for handling: vi går, studerer, læser, skriver, tæller, smiler, skændes og gør op. Vi udfører disse trin i en anden rækkefølge. Nogle gange kan de byttes, nogle gange kan de ikke. For eksempel, når du går i skole om morgenen, kan du først lave øvelser, derefter rede sengen, eller omvendt. Men du kan ikke gå i skole først og derefter tage tøj på.

Og i matematik er det nødvendigt at udføre aritmetiske operationer i en bestemt rækkefølge?

Lad os tjekke

Lad os sammenligne udtrykkene:
8-3+4 og 8-3+4

Vi ser, at begge udtryk er nøjagtig ens.

Lad os udføre handlinger i ét udtryk fra venstre mod højre og i et andet fra højre mod venstre. Tal kan angive den rækkefølge, handlingerne udføres i (fig. 1).

Ris. 1. Fremgangsmåde

I det første udtryk vil vi først udføre subtraktionsoperationen og derefter tilføje tallet 4 til resultatet.

I det andet udtryk finder vi først værdien af summen og trækker derefter resultatet 7 fra 8.

Vi ser, at værdierne af udtrykkene er forskellige.

Lad os konkludere: Den rækkefølge, som aritmetiske operationer udføres i, kan ikke ændres..

Lad os lære reglen for at udføre aritmetiske operationer i udtryk uden parentes.

Hvis udtrykket uden parentes kun omfatter addition og subtraktion, eller kun multiplikation og division, så udføres handlingerne i den rækkefølge, de er skrevet i.

Lad os øve.

Overvej udtrykket

Dette udtryk har kun additions- og subtraktionsoperationer. Disse handlinger kaldes handlinger i første trin.

Vi udfører handlinger fra venstre mod højre i rækkefølge (fig. 2).

Ris. 2. Fremgangsmåde

Overvej det andet udtryk

I dette udtryk er der kun operationer med multiplikation og division - Dette er handlingerne i andet trin.

Vi udfører handlinger fra venstre mod højre i rækkefølge (fig. 3).

Ris. 3. Fremgangsmåde

I hvilken rækkefølge udføres aritmetiske operationer, hvis udtrykket ikke kun indeholder addition og subtraktion, men også multiplikation og division?

Hvis udtrykket uden parentes ikke kun inkluderer addition og subtraktion, men også multiplikation og division, eller begge disse operationer, skal du først udføre multiplikation og division i rækkefølge (fra venstre mod højre), og derefter addition og subtraktion.

Overvej et udtryk.

Vi ræsonnerer sådan. Dette udtryk indeholder operationerne addition og subtraktion, multiplikation og division. Vi handler efter reglen. Først udfører vi i rækkefølge (fra venstre mod højre) multiplikation og division, og derefter addition og subtraktion. Lad os fastlægge proceduren.

Lad os beregne værdien af udtrykket.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

I hvilken rækkefølge udføres aritmetiske operationer, hvis udtrykket indeholder parenteser?

Hvis udtrykket indeholder parenteser, beregnes værdien af udtrykkene i parentes først.

Overvej et udtryk.

30 + 6 * (13 - 9)

Vi ser, at der i dette udtryk er en handling i parentes, hvilket betyder, at vi vil udføre denne handling først, derefter i rækkefølge, multiplikation og addition. Lad os fastlægge proceduren.

30 + 6 * (13 - 9)

Lad os beregne værdien af udtrykket.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

Hvordan skal man ræsonnere for korrekt at fastslå rækkefølgen af aritmetiske operationer i et numerisk udtryk?

Før du fortsætter med beregningerne, er det nødvendigt at overveje udtrykket (find ud af, om det indeholder parenteser, hvilke handlinger det har) og først derefter udføre handlingerne i følgende rækkefølge:

1. handlinger skrevet i parentes;

2. multiplikation og division;

3. addition og subtraktion.

Diagrammet hjælper dig med at huske denne enkle regel (fig. 4).

Ris. 4. Fremgangsmåde

Lad os øve.

Overvej udtrykkene, fastlæg rækkefølgen af operationer og udfør beregningerne.

43 - (20 - 7) +15

32 + 9 * (19 - 16)

Lad os følge reglerne. Udtrykket 43 - (20 - 7) +15 har operationer i parentes, såvel som operationer med addition og subtraktion. Lad os sætte handlingsforløbet. Det første trin er at udføre handlingen i parentes, og derefter i rækkefølge fra venstre mod højre, subtraktion og addition.

43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45

Udtrykket 32 + 9 * (19 - 16) har operationer i parentes, såvel som operationer med multiplikation og addition. Ifølge reglen udfører vi først handlingen i parentes, derefter multiplikation (tallet 9 ganges med resultatet opnået ved subtraktion) og addition.

32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

I udtrykket 2*9-18:3 er der ingen parenteser, men der er operationer med multiplikation, division og subtraktion. Vi handler efter reglen. Først udfører vi multiplikation og division fra venstre mod højre, og derefter fra resultatet opnået ved multiplikation, trækker vi resultatet opnået ved division. Det vil sige, at den første handling er multiplikation, den anden er division, og den tredje er subtraktion.

2*9-18:3=18-6=12

Lad os finde ud af, om rækkefølgen af handlinger i de følgende udtryk er defineret korrekt.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

18: (11 - 5) + 47=

7 * 3 - (16 + 4)=

Vi ræsonnerer sådan.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

Der er ingen parenteser i dette udtryk, hvilket betyder, at vi først udfører multiplikation eller division fra venstre mod højre, derefter addition eller subtraktion. I dette udtryk er den første handling division, den anden er multiplikation. Den tredje handling skal være addition, den fjerde - subtraktion. Konklusion: rækkefølgen af handlinger er defineret korrekt.

Find værdien af dette udtryk.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

Vi fortsætter med at skændes.

Det andet udtryk indeholder parenteser, hvilket betyder, at vi først udfører handlingen i parentes, derefter fra venstre mod højre multiplikation eller division, addition eller subtraktion. Vi tjekker: den første handling er i parentes, den anden er division, den tredje er tilføjelse. Konklusion: rækkefølgen af handlinger er forkert defineret. Ret fejlene, find værdien af udtrykket.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

Dette udtryk indeholder også parentes, hvilket betyder, at vi først udfører handlingen i parentes, derefter fra venstre mod højre multiplikation eller division, addition eller subtraktion. Vi tjekker: den første handling er i parentes, den anden er multiplikation, den tredje er subtraktion. Konklusion: rækkefølgen af handlinger er forkert defineret. Ret fejlene, find værdien af udtrykket.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

Lad os fuldføre opgaven.

Lad os arrangere rækkefølgen af handlinger i udtrykket ved hjælp af den undersøgte regel (fig. 5).

Ris. 5. Fremgangsmåde

Vi ser ikke numeriske værdier, så vi vil ikke kunne finde betydningen af udtryk, men vi vil øve os i at anvende den tillærte regel.

Vi handler efter algoritmen.

Det første udtryk har parenteser, så den første handling er i parentes. Derefter fra venstre mod højre multiplikation og division, derefter fra venstre mod højre subtraktion og addition.

Det andet udtryk indeholder også parenteser, hvilket betyder, at vi udfører den første handling i parentes. Derefter, fra venstre mod højre, multiplikation og division, derefter - subtraktion.

Lad os tjekke os selv (fig. 6).

Ris. 6. Fremgangsmåde

I dag i lektionen stiftede vi bekendtskab med reglen om rækkefølgen for udførelse af handlinger i udtryk uden parentes og med parentes.

Bibliografi

M.I. Moro, M.A. Bantova m.fl. Matematik: Lærebog. Karakter 3: i 2 dele, del 1. - M .: "Enlightenment", 2012.
M.I. Moro, M.A. Bantova m.fl. Matematik: Lærebog. Karakter 3: i 2 dele, del 2. - M .: "Enlightenment", 2012.
M.I. Moreau. Matematiktimer: Retningslinjer for lærere. 3. klasse - M.: Uddannelse, 2012.
Reguleringsdokument. Monitorering og evaluering af læringsudbytte. - M.: "Oplysning", 2011.
"Ruslands Skole": Programmer for grundskolen. - M.: "Oplysning", 2011.
S.I. Volkov. Matematik: Testarbejde. 3. klasse - M.: Uddannelse, 2012.
V.N. Rudnitskaya. Tests. - M.: "Eksamen", 2012.

Festival.1september.ru ().
Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
Openclass.ru ().

Lektier

1. Bestem rækkefølgen af handlinger i disse udtryk. Find betydningen af udtryk.

2. Bestem, i hvilket udtryk denne rækkefølge af handlinger udføres:

1. multiplikation; 2. division;. 3. tilføjelse; 4. subtraktion; 5. tilføjelse. Find værdien af dette udtryk.

3. Sammensæt tre udtryk, hvor følgende rækkefølge af handlinger udføres:

1. multiplikation; 2. tilføjelse; 3. subtraktion

1. tilføjelse; 2. subtraktion; 3. tilføjelse

1. multiplikation; 2. division; 3. tilføjelse

Find betydningen af disse udtryk.

Rækkefølgen af handlinger - Matematik 3. klasse (Moro)

Kort beskrivelse:

I livet udfører du konstant forskellige handlinger: stå op, vaske dit ansigt, lave øvelser, spise morgenmad, gå i skole. Tror du, at denne procedure kan ændres? For eksempel spise morgenmad, og derefter vaske. Sandsynligvis kan du. Det er måske ikke særlig bekvemt at få morgenmaden uvasket, men der vil ikke ske noget forfærdeligt på grund af dette. Og i matematik er det muligt at ændre rækkefølgen af handlinger efter behag? Nej, matematik er en eksakt videnskab, så selv den mindste ændring i rækkefølgen af operationer vil få svaret på et numerisk udtryk til at blive forkert. I anden klasse stiftede du allerede bekendtskab med nogle regler for handlingsrækkefølgen. Så du husker sikkert, at parenteser styrer rækkefølgen i udførelsen af handlinger. De angiver, at handlinger skal udføres først. Hvilke andre forretningsorden er der? Er rækkefølgen af operationer i udtryk med parentes og uden parentes forskellig? Du finder svar på disse spørgsmål i 3. klasses matematiklærebog, når du studerer emnet "Rækkefølge af handlinger". Du skal helt sikkert øve dig i at anvende de indlærte regler, og om nødvendigt finde og rette fejl ved fastlæggelse af rækkefølgen af handlinger i numeriske udtryk. Husk at orden er vigtig i enhver virksomhed, men i matematik har det en særlig betydning!

I det femte århundrede f.Kr. formulerede den antikke græske filosof Zeno af Elea sine berømte aporier, hvoraf den mest berømte er aporien "Akilles og skildpadden". Sådan lyder det:

Hvordan undgår man denne logiske fælde? Forbliv i konstante tidsenheder og skift ikke til gensidige værdier. På Zenos sprog ser det sådan ud:

En anden interessant aporia af Zeno fortæller om en flyvende pil:

En flyvende pil er ubevægelig, da den i hvert tidspunkt er i hvile, og da den er i hvile i hvert øjeblik af tiden, er den altid i hvile.

Onsdag den 4. juli 2018

Meget godt er forskellene mellem sæt og multisæt beskrevet i Wikipedia. Vi ser.

Søndag den 18. marts 2018

1. Skriv tallet ned på et stykke papir. Hvad har vi gjort? Vi har konverteret tallet til et talgrafisk symbol. Dette er ikke en matematisk operation.

2. Vi klippede et modtaget billede i flere billeder med separate numre. At klippe et billede er ikke en matematisk operation.

3. Konverter individuelle grafiske tegn til tal. Dette er ikke en matematisk operation.

4. Læg de resulterende tal sammen. Nu er det matematik.

Summen af cifrene i tallet 12345 er 15. Disse er "klippe- og sykurser" fra shamaner brugt af matematikere. Men det er ikke alt.

Hvad er ægte matematik? Dette er, når resultatet af en matematisk handling ikke afhænger af værdien af tallet, den anvendte måleenhed og af, hvem der udfører denne handling.

Skilt på døren Åbner døren og siger:

Av! Er det ikke dametoilettet?
- Ung kvinde! Dette er et laboratorium til at studere sjælenes ubestemte hellighed ved opstigning til himlen! Nimbus på toppen og pil op. Hvilket andet toilet?

Kvinde... En glorie på toppen og en pil ned er en mand.

Hvis du har sådan et design-kunstværk, der blinker for dine øjne flere gange om dagen,

Så er det ikke overraskende, at du pludselig finder et mærkeligt ikon i din bil:

Når vi arbejder med forskellige udtryk, herunder tal, bogstaver og variable, skal vi udføre en lang række aritmetiske operationer. Når vi laver en transformation eller beregner en værdi, er det meget vigtigt at følge den korrekte rækkefølge af disse handlinger. Med andre ord har aritmetiske operationer deres egen særlige udførelsesrækkefølge.

Yandex.RTB R-A-339285-1

I denne artikel vil vi fortælle dig, hvilke handlinger der skal udføres først og hvilke derefter. Lad os først se på nogle få simple udtryk, der kun indeholder variabler eller numeriske værdier, såvel som divisions-, multiplikations-, subtraktions- og additionstegn. Derefter vil vi tage eksempler med parentes og overveje, i hvilken rækkefølge de skal vurderes. I den tredje del vil vi give den korrekte rækkefølge af transformationer og beregninger i de eksempler, der inkluderer tegn på rødder, potenser og andre funktioner.

Definition 1

I tilfælde af udtryk uden parentes bestemmes rækkefølgen af handlinger entydigt:

Alle handlinger udføres fra venstre mod højre.
Først og fremmest udfører vi division og multiplikation, og for det andet subtraktion og addition.

Betydningen af disse regler er let at forstå. Den traditionelle skriverækkefølge fra venstre mod højre bestemmer den grundlæggende rækkefølge af beregninger, og behovet for først at multiplicere eller dividere er forklaret af selve essensen af disse operationer.

Lad os tage et par opgaver for klarhedens skyld. Vi har kun brugt de simpleste numeriske udtryk, så alle udregninger kan udføres mentalt. Så du hurtigt kan huske den ønskede rækkefølge og hurtigt tjekke resultaterne.

Eksempel 1

Tilstand: beregne hvor meget 7 − 3 + 6 .

Løsning

Der er ingen parenteser i vores udtryk, multiplikation og division er også fraværende, så vi udfører alle handlingerne i den angivne rækkefølge. Træk først tre fra syv, læg derefter seks til resten, og som et resultat får vi ti. Her er en oversigt over hele løsningen:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Svar: 7 − 3 + 6 = 10 .

Eksempel 2

Tilstand: i hvilken rækkefølge skal beregningerne udføres i udtrykket 6:2 8:3?

Løsning

For at besvare dette spørgsmål genlæser vi reglen for udtryk uden parentes, som vi formulerede tidligere. Vi har kun multiplikation og division her, hvilket betyder, at vi holder den skrevne rækkefølge af beregninger og tæller sekventielt fra venstre mod højre.

Svar: først dividerer vi seks med to, ganger resultatet med otte og dividerer det resulterende tal med tre.

Eksempel 3

Tilstand: beregn hvor meget der bliver 17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2.

Løsning

Lad os først bestemme den korrekte rækkefølge af operationer, da vi her har alle de grundlæggende typer aritmetiske operationer - addition, subtraktion, multiplikation, division. Det første vi skal gøre er at dividere og gange. Disse handlinger har ikke prioritet over hinanden, så vi udfører dem i den skriftlige rækkefølge fra højre mod venstre. Det vil sige, at 5 skal ganges med 6 og få 30, derefter skal 30 divideres med 3 og få 10. Derefter dividerer vi 4 med 2, det er 2. Erstat de fundne værdier i det originale udtryk:

17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 17 - 10 - 2 + 2

Der er ingen division eller multiplikation her, så vi laver de resterende udregninger i rækkefølge og får svaret:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Svar:17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 7.

Indtil rækkefølgen for at udføre handlinger er fast lært, kan du sætte tal over fortegnene for aritmetiske operationer, hvilket angiver rækkefølgen af beregningen. For eksempel, for problemet ovenfor, kunne vi skrive det sådan:

Hvis vi har bogstavelige udtryk, så gør vi det samme med dem: først gange og dividere, så adderer og subtraherer vi.

Hvad er trin et og to

Nogle gange er alle aritmetiske operationer i opslagsbøger opdelt i operationer af første og andet trin. Lad os formulere den nødvendige definition.

Operationerne i den første fase inkluderer subtraktion og addition, den anden - multiplikation og division.

Når vi kender disse navne, kan vi skrive reglen givet tidligere om rækkefølgen af handlinger som følger:

Definition 2

I et udtryk, der ikke indeholder parentes, skal du først udføre handlingerne i det andet trin i retningen fra venstre mod højre, derefter handlingerne i det første trin (i samme retning).

Bedømmelsesrækkefølge i udtryk med parentes

Parenteser i sig selv er et tegn, der fortæller os den ønskede rækkefølge, hvori vi skal udføre handlinger. I dette tilfælde kan den ønskede regel skrives som følger:

Definition 3

Hvis der er parenteser i udtrykket, så udføres handlingen i dem først, hvorefter vi gange og dividere, og derefter addere og trække fra i retningen fra venstre mod højre.

Hvad angår selve udtrykket i parentes, kan det betragtes som en komponent af hovedudtrykket. Når vi beregner værdien af udtrykket i parentes, beholder vi samme procedure kendt for os. Lad os illustrere vores idé med et eksempel.

Eksempel 4

Tilstand: beregne hvor meget 5 + (7 − 2 3) (6 − 4): 2.

Løsning

Dette udtryk har parenteser, så lad os starte med dem. Lad os først og fremmest beregne, hvor meget 7 − 2 · 3 vil være. Her skal vi gange 2 med 3 og trække resultatet fra 7:

7 − 2 3 = 7 − 6 = 1

Vi betragter resultatet i anden parentes. Der har vi kun én handling: 6 − 4 = 2 .

Nu skal vi erstatte de resulterende værdier i det originale udtryk:

5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 5 + 1 2: 2

Lad os starte med multiplikation og division, derefter trække fra og få:

5 + 1 2:2 = 5 + 2:2 = 5 + 1 = 6

Dette afslutter beregningerne.

Svar: 5 + (7 − 2 3) (6 − 4): 2 = 6.

Bliv ikke forskrækket, hvis tilstanden indeholder et udtryk, hvor nogle parenteser omslutter andre. Vi behøver kun at anvende reglen ovenfor konsekvent på alle udtryk i parentes. Lad os tage denne opgave.

Eksempel 5

Tilstand: beregne hvor meget 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).

Løsning

Vi har parentes inden for parentes. Vi starter med 3 + 1 + 4 (2 + 3), nemlig 2 + 3 . Det bliver 5. Værdien skal erstattes i udtrykket og beregne, at 3 + 1 + 4 5 . Vi husker, at vi først skal gange, og derefter tilføje: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. Ved at erstatte de fundne værdier i det oprindelige udtryk, beregner vi svaret: 4 + 24 = 28 .

Svar: 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)) = 28.

Med andre ord, når vi vurderer værdien af et udtryk, der involverer parenteser inden for parentes, starter vi med de indre parenteser og arbejder os frem til de ydre.

Lad os sige, at vi skal finde ud af, hvor meget der vil være (4 + (4 + (4 - 6: 2)) - 1) - 1. Vi starter med udtrykket i de inderste parenteser. Da 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 , kan det oprindelige udtryk skrives som (4 + (4 + 1) − 1) − 1 . Igen vender vi os til de indre parenteser: 4 + 1 = 5 . Vi er kommet til udtrykket (4 + 5 − 1) − 1 . Vi tror 4 + 5 − 1 = 8 og som et resultat får vi forskellen 8 - 1, hvis resultat bliver 7.

Beregningsrækkefølgen i udtryk med potenser, rødder, logaritmer og andre funktioner

Hvis vi har et udtryk i tilstanden med en grad, rod, logaritme eller trigonometrisk funktion (sinus, cosinus, tangent og cotangens) eller andre funktioner, så beregner vi først og fremmest funktionens værdi. Derefter handler vi efter reglerne angivet i de foregående afsnit. Med andre ord, funktioner er lige vigtige med udtrykket i parentes.

Lad os se på et eksempel på en sådan beregning.

Eksempel 6

Tilstand: find hvor meget der vil være (3 + 1) 2 + 6 2: 3 - 7 .

Løsning

Vi har et udtryk med en grad, hvis værdi skal findes først. Vi betragter: 6 2 \u003d 36. Nu erstatter vi resultatet i udtrykket, hvorefter det får formen (3 + 1) 2 + 36: 3 − 7 .

(3 + 1) 2 + 36: 3 - 7 = 4 2 + 36: 3 - 7 = 8 + 12 - 7 = 13

Svar: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 − 7 = 13.

I en separat artikel, der er afsat til at beregne værdierne af udtryk, giver vi andre, mere komplekse eksempler på beregninger i tilfælde af udtryk med rødder, grader osv. Vi anbefaler, at du gør dig bekendt med det.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Onsdag den 4. juli 2018

Søndag den 18. marts 2018

Onsdag den 4. juli 2018

Søndag den 18. marts 2018

Hvad er trin et og to

Bedømmelsesrækkefølge i udtryk med parentes

Beregningsrækkefølgen i udtryk med potenser, rødder, logaritmer og andre funktioner

Redaktørens valg