Løsning af rationelle uligheder ved hjælp af intervalmetoden.

Interval metode er en universel måde at løse næsten alle uligheder, der opstår i et skolealgebrakursus. Det er baseret på følgende egenskaber ved funktioner:

1. En kontinuert funktion g(x) kan kun skifte fortegn ved det punkt, hvor den er lig med 0. Grafisk betyder det, at grafen for en kontinuert funktion kun kan bevæge sig fra en halvplan til en anden, hvis den skærer x -akse (vi husker, at ordinaten for ethvert punkt, der ligger på OX-aksen (abscisse-aksen) er lig med nul, det vil sige, at værdien af ​​funktionen på dette punkt er lig med 0):

Vi ser, at funktionen y=g(x) vist på grafen skærer OX-aksen i punkterne x= -8, x=-2, x=4, x=8. Disse punkter kaldes nuller af funktionen. Og på samme punkter skifter funktionen g(x) fortegn.

2. Funktionen kan også ændre fortegnet ved nullerne i nævneren - det enkleste eksempel er den velkendte funktion:

Vi ser, at funktionen skifter fortegn ved roden af ​​nævneren, ved punkt , men forsvinder ikke på noget tidspunkt. Således, hvis en funktion indeholder en brøk, kan den ændre fortegn ved rødderne af nævneren.

2. Funktionen skifter dog ikke altid fortegn ved roden af ​​tælleren eller ved roden af ​​nævneren. For eksempel ændrer funktionen y=x 2 ikke fortegn ved punktet x=0:

Fordi ligningen x 2 =0 har to lige store rødder x=0, i punktet x=0 ser funktionen ud til at blive to gange til 0. En sådan rod kaldes en rod af den anden multiplicitet.

Fungere ændrer tegnet ved nul af tælleren, , men ændrer ikke tegnet ved nul af nævneren: , da roden er roden af ​​den anden multiplicitet, det vil sige af lige multiplicitet:

Vigtig! I rødder af lige multiplicitet ændrer funktionen ikke fortegn.

Bemærk! Nogen ikke-lineær Uligheder i skolealgebrakurser løses normalt ved hjælp af intervaller.

Jeg tilbyder dig en detaljeret, hvorefter du kan undgå fejl, når løsning af ikke-lineære uligheder.

1. Først skal du bringe uligheden til formen

P(x)V0,

hvor V er ulighedstegnet:<,>,≤ eller ≥. For at gøre dette skal du bruge:

a) flyt alle led til venstre side af uligheden,

b) find rødderne til det resulterende udtryk,

c) faktor venstre side af uligheden

d) skriv identiske faktorer som potenser.

Opmærksomhed! Det sidste trin skal udføres for ikke at lave en fejl med røddernes multiplicitet - hvis resultatet er en multiplikator til en lige potens, så har den tilsvarende rod en lige multiplicitet.

2. Plot de fundne rødder på talaksen.

3. Hvis uligheden er streng, efterlades cirklerne, der angiver rødderne på talaksen, "tomme", hvis uligheden ikke er streng, udfyldes cirklerne.

4. Vi udvælger rødder af jævn mangfoldighed - i dem P(x) skiltet ændres ikke.

5. Bestem tegnet P(x) på hullet længst til højre. For at gøre dette skal du tage en vilkårlig værdi x 0, som er større end den større rod og erstatte den med P(x).

Hvis P(x 0)>0 (eller ≥0), så sætter vi et "+"-tegn længst til højre.

Hvis P(x 0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

Når du passerer gennem punktet, der angiver en rod af lige multiplicitet, ÆNDRES tegnet IKKE.

7. Endnu en gang ser vi på tegnet for den oprindelige ulighed, og vælger intervallerne for det tegn, vi skal bruge.

8. OBS! Hvis vores ulighed IKKE er STRENG, så tjekker vi betingelsen om lighed til nul separat.

9. Skriv svaret ned.

Hvis originalen uligheden indeholder en ukendt i nævneren, så flytter vi også alle led til venstre, og reducerer venstre side af uligheden til formen

(hvor V er ulighedstegnet:< или >)

En streng ulighed af denne type svarer til uligheden

IKKE streng ulighed i formen

tilsvarende system:

I praksis, hvis funktionen har formen , så fortsætter vi som følger:

1. Find rødderne til tælleren og nævneren.
2. Vi påfører dem på akslen. Lad alle cirkler være tomme. Så, hvis uligheden ikke er streng, så maler vi over tællerens rødder og lader altid nævnerens rødder stå tomme.
3. Dernæst følger vi den generelle algoritme:
4. Vi vælger rødder af lige multiplicitet (hvis tælleren og nævneren indeholder de samme rødder, så tæller vi hvor mange gange de samme rødder forekommer). I rødder af jævn mangfoldighed ændres tegnet ikke.
5. Vi finder ud af skiltet på hullet længst til højre.
6. Vi sætter skilte op.
7. I tilfælde af en ikke-streng ulighed tjekker vi lighedsbetingelsen og lighedsbetingelsen til nul hver for sig.
8. Vi udvælger de nødvendige huller og fritstående rødder.
9. Vi skriver svaret ned.

For bedre at forstå algoritme til løsning af uligheder ved hjælp af intervalmetoden, se VIDEO TUTORIAL, som forklarer eksemplet i detaljer løsning af uligheder ved hjælp af intervalmetoden.

Systemer af rationelle uligheder

Lektionstekst

• abstrakt [Bezdenezhnykh L.V.]

  Algebra, 9. klasse UMK: A.G. Mordkovich. Algebra. 9. klasse. Klokken 2 Del 1. Lærebog; Del 2. Problembog; M.: Mnemosyne, 2010 Læringsniveau: grundlæggende Lektionsemne: Systemer af rationelle uligheder. (Første lektion om emnet, der er afsat i alt 3 timer til at studere emnet) Lektion om at studere et nyt emne. Mål med lektionen: gentage løsning af lineære uligheder; introducere begreberne for et system af uligheder, forklare løsningen på de simpleste systemer af lineære uligheder; udvikle evnen til at løse systemer med lineære uligheder af enhver kompleksitet. Mål: Pædagogisk: at studere emnet baseret på eksisterende viden, konsolidere praktiske færdigheder i at løse systemer med lineære uligheder som et resultat af selvstændigt arbejde af studerende og forelæsninger og rådgivningsaktiviteter af de mest forberedte af dem. Udviklingsmæssigt: udvikling af kognitiv interesse, uafhængighed af tænkning, hukommelse, initiativ af elever gennem brug af kommunikative og aktivitetsbaserede metoder og elementer af problembaseret læring. Pædagogisk: dannelse af kommunikationsevner, kommunikationskultur, samarbejde. Formidlingsmetoder: - foredrag med elementer af samtale og problembaseret læring; -selvstændigt arbejde af studerende med teoretisk og praktisk materiale fra lærebogen; - at udvikle en kultur for at formalisere løsninger på systemer med lineære uligheder. Planlagte resultater: Eleverne vil huske, hvordan man løser lineære uligheder, markerer skæringspunktet mellem løsninger til uligheder på tallinjen og lærer at løse systemer med lineære uligheder. Lektionsudstyr: tavle, uddelingskopier (applikation), lærebøger, arbejdsbøger. Lektionens indhold: 1. Organisatorisk øjeblik. Tjek lektier. 2. Opdatering af viden. Elever udfylder sammen med læreren tabellen på tavlen: Ulighedsfigurinterval Herunder ses den færdige tabel: Ulighedsfigurinterval 3. Matematisk diktat. Forberedelse til opfattelsen af ​​et nyt emne. 1. Løs ulighederne ved hjælp af en eksempeltabel: Mulighed 1 Mulighed 2 Mulighed 3 Mulighed 4 2. Løs ulighederne, tegn to billeder på samme akse og kontroller, om tallet 5 er løsningen på to uligheder: Mulighed 1 Mulighed 2 Mulighed 3 Mulighed 4 4. Forklaring af det nye materiale . Forklaring af nyt stof (s. 40-44): 1. Definer ulighedssystemet (s. 41). Definition: Flere uligheder med én variabel x danner et system af uligheder, hvis opgaven er at finde alle sådanne værdier af variablen, for hvilke hver af de givne uligheder med variablen bliver til en korrekt numerisk ulighed. 2. Introducer begrebet en særlig og generel løsning på et system af uligheder. Enhver sådan værdi af x kaldes en løsning (eller særlig løsning) af ulighedssystemet. Sættet af alle særlige løsninger til et system af uligheder repræsenterer den generelle løsning til systemet af uligheder. 3. Overvej i lærebogen løsningen på ulighedssystemer ifølge eksempel nr. 3 (a, b, c). 4. Opsummer ræsonnementet ved at løse systemet:. 5. Konsolidering af nyt materiale. Løs opgaver fra nr. 4.20 (a, b), 4.21 (a, b). 6. Testarbejde Tjek assimileringen af ​​nyt materiale ved aktivt at hjælpe med at løse opgaver i henhold til mulighederne: Mulighed 1 a, c Nr. 4.6, 4.8 Mulighed 2 b, d Nr. 4.6, 4.8 7. Opsummering. Refleksion Hvilke nye begreber lærte du i dag? Har du lært at finde løsninger på et system af lineære uligheder? Hvad lykkedes det dig mest med, hvilke aspekter blev opnået mest succesfuldt? 8. Hjemmearbejde: nr. 4.5, 4.7.; teori i lærebogen s. 40-44; For elever med øget motivation nr. 4.23 (c, d). Ansøgning. Mulighed 1. Ulighedstegningsinterval 2.Løs ulighederne, tegn to tegninger på samme akse og tjek om 5-tallet er løsningen på to uligheder: Ulighedstegning Svar på spørgsmålet. Mulighed 2. Ulighedstegningsinterval 2. Løs ulighederne, tegn to tegninger på samme akse og tjek om 5-tallet er løsningen på to uligheder: Ulighedstegning Svar på spørgsmålet. Mulighed 3. Ulighedstegningsinterval 2.Løs ulighederne, tegn to tegninger på samme akse og tjek om tallet 5 er løsningen på to uligheder: Ulighedstegning Svar på spørgsmålet. Mulighed 4. Ulighedstegningsinterval 2. Løs ulighederne, tegn to tegninger på samme akse og tjek om 5-tallet er løsningen på to uligheder: Ulighedstegning Svar på spørgsmålet.

  Download: Algebra 9kl - noter [Bezdenezhnykh L.V.].docx

• lektionsnoter 2-4 [Zvereva L.P.]

  Algebra 9. klasse UMK: ALGEBRA-9. KLASSE, A.G. MORDKOVICH.P.V. Semyonov, 2014. Niveau - grundlæggende læring Lektionens emne: Systemer med rationelle uligheder Samlet antal timer afsat til at studere emnet - 4 timer Lektionens sted i systemet med lektioner om emnet lektion nr. 2, nr. 3; nr. 4. Formål med lektionen: At lære eleverne at skabe ulighedssystemer, samt at lære at løse færdige systemer foreslået af lærebogens forfatter. Lektionens mål: At udvikle færdighederne: at frit løse ulighedssystemer analytisk, og også at kunne overføre løsningen til koordinatlinjen for at skrive svaret korrekt, at arbejde selvstændigt med det givne materiale. .Planlagte resultater: Eleverne skal kunne løse færdige systemer, samt skabe ulighedssystemer ud fra opgavernes tekstforhold og løse den kompilerede model. Lektion teknisk support: UMK: ALGEBRA-9TH CLASS, A.G. MORDKOVICH.P.V. Semyonov. Arbejdsbog, projektor til udførelse af hovedberegninger, udskrifter af tillægsopgaver for stærke elever. Yderligere metodisk og didaktisk støtte til lektionen (links til internetressourcer er mulige): 1. Manual N.N. Khlevnyuk, M.V. Ivanova, V.G. Ivashchenko, N.S. Melkova "Uddannelse af beregningsmæssige færdigheder i matematiktimer, klasse 5-9" 2.G.G. Levitas "Matematiske diktater" karakterer 7-11.3. T.G. Gulina “Matematisk simulator” 5-11 (4 sværhedsgrader) Matematiklærer: Zvereva L.P. Lektion nr. 2 Mål: At udvikle færdigheder i at løse et system af rationelle uligheder ved hjælp af geometrisk fortolkning til at illustrere løsningsresultatet. Lektionens forløb 1. Organisatorisk moment: Indstilling af klassen til arbejde, formidling af emnet og formålet med lektionen 11 Kontrol af lektier 1. Teoretisk del: * Hvad er en analytisk registrering af en rationel ulighed * Hvad er en analytisk registrering af en system af rationelle uligheder * Hvad vil det sige at løse et system af uligheder * Hvad er resultatet af at løse et system af rationelle uligheder. 2. Praktisk del: *Løs de problemer på tavlen, der voldte vanskeligheder for eleverne. Mens du laver lektier II1 Laver øvelser. 1. Gentag metoderne til faktorisering af et polynomium. 2. Gentag, hvad intervalmetoden er til at løse uligheder. 3. Løs systemet. Løsningen ledes af den stærke elev ved tavlen under opsyn af læreren. 1) Lad os løse uligheden 3x – 10 > 5x – 5; 3x – 5x> – 5 + 10; – 2х> 5; x< – 2,5. 2) Решим неравенство х2 + 5х + 6 < 0; Найдём корни данного трёхчлена х2 + 5х + 6 = 0; D = 1; х1=-3 х2 = – 2; тогда квадратный трёхчлен разложим по корням (х + 3)(х + 2) < 0. Имеем – 3 <х< – 2. 3) Найдем решение системы неравенств, для этого вынесим оба решения на одну числовую прямую. Вывод: решения совпали на промежутке от-3 до - 2,5(произошло перекрытие штриховок) О т в е т: – 3 <х< – 2,5. 4. Решить № 4.9 (б) самостоятельно споследующей проверкой. О т в е т: нет решений. 5.Повторяем теорему о квадратном трехчлене с отрицательным и положительным дискриминантом. Решаем №4.10(г) 1) Решим неравенство – 2х2 + 3х – 2 < 0; Найдём корни – 2х2 + 3х – 2 = 0; D = 9 – 16 = = – 7 < 0. По теореме неравенство верно при любых значениях х. 2) Решим неравенство –3(6х – 1) – 2х<х; – 18х + 3 – 2х<х; – 20х – х<< – 3; – 21х<– 3; 3) х>Løsningen på dette system af uligheder x> Svar: x> 6. Løs nr. 4.10 (c) på tavlen og i notesbøger. Lad os løse uligheden 5x2 – 2x + 1 ≤ 0. 5x2–2x + 1 = 0; D = 4 – 20 = –16< 0. По теореме неравенство не имеет решений, а это значит, что данная система не имеет решений. О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.11 (в) самостоятельно. Один учащийся решает на доске, другие в тетрадях, потом проверяется решение. в) 1) Решим неравенство 2х2 + 5х + 10 >0. 2x2 + 5x + 10 = 0; D = –55< 0. По теореме неравенство верно при всех значениях х.-любое число 2) Решим неравенство х2 ≥ 16; х2 – 16 ≥ 0; (х – 4)(х + 4) ≥ 0; х = 4; х = – 4. Решение х ≤ –4 их ≥ 4. Объединяем решения двух неравенств в систему 3) Решение системы неравенств являются два неравенства О т в е т: х ≤ – 4; х ≥ 4. 8. Решить № 4.32 (б) на доске и в тетрадях. Решение Наименьшее целое число равно –2; наибольшее целое число равно 6. О т в е т: –2; 6. 9. Повторение ранее изученного материала. 1) Решить № 4.1 (а; -г) 4.2(а-г) на с. 25 устно. 2) Решить графически уравнение Строим графики функций y = –1 – x. О т в е т: –2. III. Итоги урока. 1. В курсе алгебры 9 класса мы будем рассматривать только системы из двух неравенств. 2. Если в системе из нескольких неравенств с одной переменной одно неравенство не имеет решений, то и система не имеет решений. 3. Если в системе из двух неравенств с одной переменной одно неравенство выполняется при любых значениях переменной, то решением системы служит решение второго неравенства системы. Домашнее задание: рассмотреть по учебнику решение примеров 4 и 5 на с. 44–47 и записать решение в тетрадь; решить № 4.9 (а; в), № 4.10 (а; б), № 4.11 (а; б), № 4.13 (а;б). . У р о к 3 Цели: Научить учащихся при решении двойных неравенств и нахождении области определения выражений, составлять системы неравенств и решать их, а также научить решать системы содержащих модули; Ход урока 1.Организационный момент: Настрой класса на работу, сообщение темы и цели урока 1I. Проверка домашнего задания. 1. Проверить выборочно у нескольких учащихся выполнение ими домашнего задания. 2. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся. 3. Устно решить № 4.2 (б) и № 4.1 (г). 4.Устная вычислительная работа: Вычисли рациональным способом: а)53,76*(-7.9) -53,76 *2,1 б) -0,125*32.6*(-8) в) Выразим указанную переменную из заданной формулы: 2a= ,y=? II. Объяснение нового материала. 1. Двойное неравенство можно решить двумя способами: а) сведением к системе двух неравенств; б) без системы неравенств с помощью преобразований. 2. Решить двойное неравенство № 4.15 (в) двумя способами. а) сведением к системе двух неравенств; I с п о с о б Решение – 2 <х< – 1. О т в е т: (– 2; – 1). б) без системы неравенств с помощью преобразований II с п о с о б 6 < – 6х< 12 | : (– 6) – 1 >x> – 2, derefter – 2< х < – 1. О т в е т: (– 2; – 1). 3. Решить № 4.16 (б; в). I с п о с о б сведением к системе двух неравенств; б) – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2. Решим систему неравенств: О т в е т: II с п о с о б без системы неравенств с помощью преобразований – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2; прибавим к каждой части неравенства число (– 1), получим – 3 ≤ – 2х ≤ 1; разделим на (– 2), тогда в) – 3 << 1. Умножим каждую часть неравенства на 2, получим – 6 < 5х + 2 < 2. Решим систему неравенств: О т в е т: – 1,6 <х< 0. III. Выполнение упражнений. 1. Решить № 4.18 (б) и № 4.19 (б) на доске и в тетрадях. 2. Решить № 4.14 (в) методом интервалов. в) 1) х2 – 9х + 14 < 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 7)(х – 2) < 0; х = 7; х = 2 Решение 2<х< 7. 2) х2 – 7х – 8 ≤ 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 8)(х + 1) ≤ 0; х = 8; х = – 1 Решение – 1 ≤ х ≤ 8. Соединим решения каждого неравенства на одной прямой т.е. создадим геометрическую модель. та часть прямой где произошло пересечение решений есть конечный результат О т в е т: 2 <х< 7. 4) Решить № 4.28 (в) самостоятельно с проверкой. в) Решим систему неравенств составленную из подкоренных выражений. 1) (х – 2)(х – 3) ≥ 0; х = 2; х = 3 Решение х ≤ 2 и х ≥ 3. 2) (5 – х)(6 – х) ≥ 0; – 1(х – 5) · (– 1)(х – 6) ≥ 0; (х – 5)(х – 6) ≥ 0 х = 5; х = 6 Решение х ≤ 5 и х ≥ 6. 3) О т в е т: х ≤ 2, 3 ≤ х ≤ 5, х ≥ 6. 5. Решение систем неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. Решить № 4.34 (в; г). Учитель объясняет решение в) 1) | х + 5 | < 3 находим точку где модуль обращается в 0 х = -5 Решение – 8 <х< – 2. 2) | х – 1 | ≥ 4 находим точку где модуль обращается в 0 х = 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ 5. Соединили решения каждого неравенства в единую модель 3) О т в е т: – 8 <х ≤ 3. г) 1) | х – 3 | < 5; Решение – 2 <х< 8. 2) | х + 2 | ≥ 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ – 1. 3) О т в е т: –1 ≤ х< 8. 6. Решить № 4.31 (б). Учащиеся решают самостоятельно. Один ученик решает на доске, остальные в тетрадях, затем проверяется решение. б) Решение Середина промежутка О т в е т: 7. Решить № 4.38 (а; б). Учитель на доске с помощью числовой прямой показывает решение данного упражнения, привлекая к рассуждениям учащихся. О т в е т: а) р< 3; р ≥ 3; б) р ≤ 7; р>7. 8. Gentagelse af tidligere studeret materiale. Løs nr. 2.33. Lad cyklistens begyndelseshastighed være x km/t, efter fald bliver den (x – 3) km/t. 15x – 45 + 6x = 1,5x(x – 3); 21x – 45 = 1,5x2 – 4,5x; 1,5x2 – 25,5x + 45 = 0 | : 1,5; derefter x2 – 17x + 30 = 0; D = 169; x1 = 15; x2 = 2 opfylder ikke problemets betydning. SVAR: 15 km/t; 12 km/t. IV Konklusion fra lektionen: I lektionen lærte vi at løse systemer af uligheder af en kompleks type, især med et modul, vi forsøgte os med selvstændigt arbejde. At lave mærker. Lektier: færdiggør lektietest nr. 1 fra nr. 7 til nr. 10 på s. 32–33, nr. 4.34 (a; b), nr. 4.35 (a; b). Lektion 4 Forberedelse til testen Mål: opsummere og systematisere det undersøgte materiale, forberede eleverne til testen om emnet "Systemer af rationelle uligheder." Lektionens fremskridt 1. Organisatorisk øjeblik: Indstilling af klassen til arbejde, formidling af emne og mål vedr. lektionen. 11. Gentagelse af det undersøgte materiale. *Hvad vil det sige at løse et system af uligheder *Hvad er resultatet af at løse et system med rationelle uligheder 1. Saml stykker papir fra din lektietest. 2. Hvilke regler bruges ved løsning af uligheder? Forklar løsningen på ulighederne: a) 3x – 8<х + 2; б) 7(х – 1) ≥ 9х + 3. 3. Сформулируйте теорему для квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом. Устно решите неравенства: а) х2 + 2х + 11 >0; b) – 2x2 + x – 5 > 0; c) 3x2 – x + 4 ≤ 0. 4. Formuler definitionen af ​​et system af uligheder med to variable. Hvad vil det sige at løse et system af uligheder? 5. Hvad er metoden til intervaller, som aktivt bruges til at løse rationelle uligheder? Forklar dette ved at bruge eksemplet på løsning af uligheden: (2x – 4)(3 – x) ≥ 0; I11. Træningsøvelser. 1. Løs uligheden: a) 12(1 – x) ≥ 5x – (8x + 2); b) – 3x2 + 17x + 6< 0; в) 2. Найдите область определения выражения. а) f(х) = 12 + 4х – х2 ≥ 0; – х2 + 4х + 12 ≥ 0 | · (– 1); х2 – 4х – 12 ≤ 0; D = 64; х1 = 6; х2 = – 2; (х – 6)(х + 2) ≤ 0 О т в е т: – 2 ≤ х ≤ 6 или [– 2; 6]. б) f(х)= х2 + 2х + 14 ≥ 0; D< 0. По теореме о квадратном трехчлене с отрицательным дискриминантом имеемх – любое число. О т в е т: множество решений или (– ∞; ∞). 2. Решите двойное неравенство и укажите, если возможно, наибольшее и наименьшее целое решение неравенства Р е ш е н и е Умножим каждую часть неравенства на 5, получим 0 – 5 < 3 – 8х ≤ 15; – 8 < – 8х ≤ 12; – 1,5 ≤ х< 1. Наибольшее целое число 0, наименьшее целое число (– 1). О т в е т: 0; – 1. 4. Решить № 76 (б) на доске и в тетрадях. б) Р е ш е н и е Для нахождения области определения выражения решим систему неравенств 1) х = х = 5. Решение ≤х< 5. 2) Решение х< 3,5 и х ≥ 4. 3) О т в е т: ≤х< 3,5 и 4 ≤ х< 5. 5. Найти область определения выражения. а) f(х) = б) f(х) = а) О т в е т: – 8 <х ≤ – 5; х ≥ – 3. б) О т в е т: х ≤ – 3; – 2 <х ≤ 4. 6. Решить систему неравенств (самостоятельно). Р е ш е н и е Выполнив преобразования каждого из неравенств системы, получим: О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.40*. Решение объясняет учитель. Если р = 2, то неравенство примет вид 2х + 4 >0, x> – 2. Dette svarer hverken til opgave a) eller opgave b). Det betyder, at vi kan antage, at p ≠ 2, dvs. den givne ulighed er kvadratisk. a) En kvadratisk ulighed på formen ax2 + bx + c> 0 har ingen løsninger, hvis en< 0, D< 0. Имеем D = (р – 4)2 – 4(р – 2)(3р – 2) = – 11р2 + 24р. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р< 0. б) Квадратное неравенство вида ах2 + bх + с>0 er opfyldt for alle værdier af x, hvis a> 0 og D< 0. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р>IV. Lektionsopsummering. Du skal gennemgå alt det materiale, du har studeret derhjemme, og forberede dig til testen. Hjemmearbejde: nr. 1.21 (b; d), nr. 2.15 (c; d); nr. 4,14 (g), nr. 4,28 (g); nr. 4.19 (a), nr. 4.33 (d).

  
  

  Vi fortsætter med at dykke ned i emnet "løsning af uligheder med en variabel." Vi er allerede bekendt med lineære uligheder og kvadratiske uligheder. Det er særlige tilfælde rationelle uligheder, som vi nu vil studere. Lad os starte med at finde ud af, hvilken type uligheder der kaldes rationelle. Dernæst vil vi se på deres opdeling i hele rationelle og fraktionerede rationelle uligheder. Og efter dette vil vi studere, hvordan man løser rationelle uligheder med én variabel, nedskriver de tilsvarende algoritmer og overvejer løsninger til typiske eksempler med detaljerede forklaringer.

  Sidenavigation.

  Hvad er rationelle uligheder?

  I algebratimerne i skolen, så snart samtalen starter om at løse uligheder, støder vi straks på rationelle uligheder. Men i første omgang kaldes de ikke ved deres navn, da typerne af uligheder på dette stadium er af ringe interesse, og hovedmålet er at få indledende færdigheder i at arbejde med uligheder. Selve begrebet "rationel ulighed" introduceres senere i 9. klasse, når en detaljeret undersøgelse af uligheder af denne type begynder.

  Lad os finde ud af, hvad rationelle uligheder er. Her er definitionen:

  Den angivne definition siger ikke noget om antallet af variable, hvilket betyder, at et hvilket som helst antal af dem er tilladt. Afhængig af dette skelnes der rationelle uligheder med en, to osv.. variabler. Lærebogen giver i øvrigt en lignende definition, men for rationelle uligheder med én variabel. Dette er forståeligt, eftersom skolen fokuserer på at løse uligheder med én variabel (nedenfor vil vi også kun tale om at løse rationelle uligheder med én variabel). Uligheder med to variable betragtes som små, og uligheder med tre eller flere variable er praktisk talt ikke tillagt nogen opmærksomhed.

  Så en rationel ulighed kan genkendes på dens notation; for at gøre dette skal du bare se på udtrykkene på dens venstre og højre side og sikre dig, at de er rationelle udtryk. Disse overvejelser giver os mulighed for at give eksempler på rationelle uligheder. For eksempel, x>4 , x 3 +2 y≤5 (y−1) (x 2 +1), er rationelle uligheder. Og ulighed er ikke rationel, da dens venstre side indeholder en variabel under rodtegnet, og derfor ikke er et rationelt udtryk. Ulighed er heller ikke rationel, da begge dens dele ikke er rationelle udtryk.

  For at lette yderligere beskrivelse introducerer vi opdelingen af ​​rationelle uligheder i heltal og brøk.

  Definition.

  Vi vil kalde den rationelle ulighed hel, hvis begge dens dele er hele rationelle udtryk.

  Definition.

  Fraktionel rationel ulighed er en rationel ulighed, hvoraf mindst en del er et brøkudtryk.

  Så 0,5 x≤3 (2−5 y) , er heltals uligheder, og 1:x+3>0 og - brøkdel rationel.

  Nu har vi en klar forståelse af, hvad rationelle uligheder er, og vi kan roligt begynde at forstå principperne for at løse heltals- og brøkrationelle uligheder med én variabel.

  Løsning af hele uligheder

  Lad os stille os selv en opgave: Lad os sige, at vi skal løse en hel rationel ulighed med en variabel x på formen r(x) , ≥), hvor r(x) og s(x) er nogle heltals rationelle udtryk. For at løse det vil vi bruge tilsvarende ulighedstransformationer.

  Lad os flytte udtrykket fra højre side til venstre, hvilket vil føre os til en ækvivalent ulighed på formen r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) med et nul til højre. Det er klart, at udtrykket r(x)−s(x) dannet på venstre side også er et heltal, og det er kendt, at enhver . Efter at have transformeret udtrykket r(x)−s(x) til det identisk lige store polynomium h(x) (her bemærker vi, at udtrykkene r(x)−s(x) og h(x) har samme variabel x ), vi går videre til den ækvivalente ulighed h(x)<0 (≤, >, ≥).

  I de simpleste tilfælde vil de udførte transformationer være nok til at opnå den ønskede løsning, da de vil føre os fra den oprindelige hele rationelle ulighed til en ulighed, som vi ved, hvordan vi løser, for eksempel til en lineær eller kvadratisk. Lad os se på eksempler.

  Eksempel.

  Find løsningen på hele den rationelle ulighed x·(x+3)+2·x≤(x+1) 2 +1.

  Løsning.

  Først flytter vi udtrykket fra højre side til venstre: x·(x+3)+2·x−(x+1) 2 −1≤0. Efter at have fuldført alt på venstre side, kommer vi frem til den lineære ulighed 3 x−2≤0, hvilket svarer til den oprindelige heltalsulighed. Løsningen er ikke svær:
  3 x≤2 ,
  x≤2/3.

  Svar:

  x≤2/3.

  Eksempel.

  Løs uligheden (x 2 +1) 2 −3 x 2 >(x 2 −x) (x 2 +x).

  Løsning.

  Vi starter som sædvanligt med at overføre udtrykket fra højre side og udfører derefter transformationer på venstre side ved hjælp af:
  (x 2 +1) 2 −3 x 2 −(x 2 −x) (x 2 +x)>0,
  x 4 +2 x 2 +1−3 x 2 −x 4 +x 2 >0,
  1>0 .

  Ved at udføre ækvivalente transformationer nåede vi således frem til uligheden 1>0, hvilket er sandt for enhver værdi af variablen x. Det betyder, at løsningen til den oprindelige heltalsulighed er et hvilket som helst reelt tal.

  Svar:

  x - enhver.

  Eksempel.

  Løs uligheden x+6+2 x 3 −2 x (x 2 +x−5)>0.

  Løsning.

  Der er et nul i højre side, så det er ikke nødvendigt at flytte noget fra det. Lad os omdanne hele udtrykket på venstre side til et polynomium:
  x+6+2 x 3 −2 x 3 −2 x 2 +10 x>0,
  −2 x 2 +11 x+6>0 .

  Vi opnåede en kvadratisk ulighed, som svarer til den oprindelige ulighed. Vi løser det ved hjælp af enhver metode, vi kender. Lad os løse den kvadratiske ulighed grafisk.

  Find rødderne af det kvadratiske trinomium −2 x 2 +11 x+6:
  

  Vi laver en skematisk tegning, hvorpå vi markerer de fundne nuller og tager højde for, at grenene af parablen er rettet nedad, da den førende koefficient er negativ:
  

  Da vi løser en ulighed med et >-tegn, er vi interesserede i de intervaller, hvori parablen er placeret over x-aksen. Dette sker på intervallet (−0,5, 6), som er den ønskede løsning.

  Svar:

  (−0,5, 6) .

  I mere komplekse tilfælde, på venstre side af den resulterende ulighed h(x)<0 (≤, >, ≥) vil være et polynomium af tredje eller højere grad. For at løse sådanne uligheder er intervalmetoden velegnet, hvor du i det første trin skal finde alle rødderne af polynomiet h(x), hvilket ofte gøres gennem .

  Eksempel.

  Find løsningen på hele den rationelle ulighed (x 2 +2)·(x+4)<14−9·x .

  Løsning.

  Lad os flytte alt til venstre side, hvorefter der er:
  (x 2 +2)·(x+4)−14+9·x<0 ,
  x 3 +4 x 2 +2 x+8−14+9 x<0 ,
  x 3 +4 x 2 +11 x−6<0 .

  De udførte manipulationer fører os til en ulighed, der svarer til den oprindelige. På dens venstre side er et polynomium af tredje grad. Det kan løses ved hjælp af intervalmetoden. For at gøre dette skal du først og fremmest finde rødderne af polynomiet, der hviler på x 3 +4 x 2 +11 x−6=0. Lad os finde ud af, om det har rationelle rødder, som kun kan være blandt divisorerne af det frie led, det vil sige blandt tallene ±1, ±2, ±3, ±6. Ved at erstatte disse tal på skift i stedet for variablen x i ligningen x 3 +4 x 2 +11 x−6=0, finder vi ud af, at ligningens rødder er tallene 1, 2 og 3. Dette giver os mulighed for at repræsentere polynomiet x 3 +4 x 2 +11 x−6 som et produkt (x−1) (x−2) (x−3) , og uligheden x 3 +4 x 2 +11 x− 6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.

  Og så er der kun tilbage at udføre standardtrinene for intervalmetoden: marker på tallinjen punkterne med koordinaterne 1, 2 og 3, som deler denne linje i fire intervaller, bestemmer og placer tegnene, tegn skygger over intervaller med et minustegn (da vi løser en ulighed med et minustegn<) и записать ответ.
  

  Hvorfra har vi (−∞, 1)∪(2, 3) .

  Svar:

  (−∞, 1)∪(2, 3) .

  Det skal bemærkes, at det nogle gange er upassende ud fra uligheden r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) gå til uligheden h(x)<0 (≤, >, ≥), hvor h(x) er et polynomium med grader højere end to. Dette gælder tilfælde, hvor det er sværere at faktorisere polynomiet h(x) end at repræsentere udtrykket r(x)−s(x) som et produkt af lineære binomialer og kvadratiske trinomier, for eksempel ved at udfaktore den fælles faktor. . Lad os forklare dette med et eksempel.

  Eksempel.

  Løs uligheden (x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)≥2·x·(x 2 −2·x−1).

  Løsning.

  Dette er en hel ulighed. Hvis vi flytter udtrykket fra dets højre side til venstre, åbner parenteserne og tilføjer lignende udtryk, får vi uligheden x 4 −4 x 3 −16 x 2 +40 x+19≥0. At løse det er meget vanskeligt, da det involverer at finde rødderne til et fjerdegrads polynomium. Det er let at verificere, at det ikke har rationelle rødder (de kunne være tallene 1, −1, 19 eller −19), men det er problematisk at lede efter dets andre rødder. Derfor er denne vej en blindgyde.

  Lad os se efter andre mulige løsninger. Det er let at se, at efter at have overført udtrykket fra højre side af den oprindelige heltalsulighed til venstre, kan vi tage den fælles faktor x 2 −2 x−1 ud af parentes:
  (x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)−2·x·(x 2 −2·x−1)≥0,
  (x 2 −2·x−1)·(x 2 −2·x−19)≥0.

  Den udførte transformation er ækvivalent, derfor vil løsningen på den resulterende ulighed også være en løsning på den oprindelige ulighed.

  Og nu kan vi finde nullerne af udtrykket placeret på venstre side af den resulterende ulighed, til dette har vi brug for x 2 −2·x−1=0 og x 2 −2·x−19=0. Deres rødder er tal . Dette giver os mulighed for at gå til den tilsvarende ulighed, og vi kan løse den ved hjælp af intervalmetoden:
  

  Vi skriver svaret ned efter tegningen.

  Svar:

  For at afslutte dette punkt vil jeg blot tilføje, at det ikke altid er muligt at finde alle rødderne af polynomiet h(x) og som følge heraf udvide det til et produkt af lineære binomier og kvadratiske trinomier. I disse tilfælde er der ingen måde at løse uligheden h(x) på<0 (≤, >, ≥), hvilket betyder, at der ikke er nogen måde at finde en løsning på den oprindelige heltals rationelle ligning.

  Løsning af fraktioneret rationelle uligheder

  Lad os nu løse følgende problem: Lad os sige, at vi skal løse en rationel brøk-ulighed med en variabel x på formen r(x) , ≥), hvor r(x) og s(x) er nogle rationelle udtryk, og mindst et af dem er fraktioneret. Lad os straks præsentere algoritmen til at løse den, hvorefter vi vil lave de nødvendige forklaringer.

  Algoritme til løsning af fraktioneret rationelle uligheder med en variabel r(x) , ≥):

  • Først skal du finde intervallet af acceptable værdier (APV) af variablen x for den oprindelige ulighed.
  • Dernæst skal du flytte udtrykket fra højre side af uligheden til venstre og konvertere udtrykket r(x)−s(x) dannet der til formen af ​​en brøk p(x)/q(x) , hvor p(x) og q(x) er heltalsudtryk, der er produkter af lineære binomialer, uopløselige kvadratiske trinomier og deres potenser med en naturlig eksponent.
  • Dernæst skal vi løse den resulterende ulighed ved hjælp af intervalmetoden.
  • Endelig, fra løsningen opnået i det foregående trin, er det nødvendigt at udelukke punkter, der ikke er inkluderet i ODZ af variablen x for den oprindelige ulighed, som blev fundet i det første trin.

  På denne måde opnås den ønskede løsning på den fraktionelle rationelle ulighed.

  Det andet trin i algoritmen kræver forklaring. Overførsel af udtrykket fra højre side af uligheden til venstre giver uligheden r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), hvilket svarer til den originale. Alt er klart her. Men spørgsmål rejses af dens yderligere transformation til formen p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥).

  Det første spørgsmål er: "Er det altid muligt at udføre det"? Teoretisk, ja. Vi ved, at alt er muligt. Tælleren og nævneren af ​​en rationel brøk indeholder polynomier. Og af algebras grundlæggende sætning og Bezouts sætning følger det, at ethvert polynomium af grad n med én variabel kan repræsenteres som et produkt af lineære binomier. Dette forklarer muligheden for at udføre denne transformation.

  I praksis er det ret svært at faktorisere polynomier, og hvis deres grad er højere end fire, så er det ikke altid muligt. Hvis faktorisering er umulig, så vil der ikke være nogen måde at finde en løsning på den oprindelige ulighed, men sådanne tilfælde forekommer normalt ikke i skolen.

  Andet spørgsmål: "Vil uligheden p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥) er ækvivalent med uligheden r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), og derfor til originalen”? Det kan enten være ækvivalent eller ulige. Det er ækvivalent, når ODZ for udtrykket p(x)/q(x) falder sammen med ODZ for udtrykket r(x)−s(x) . I dette tilfælde vil det sidste trin i algoritmen være overflødigt. Men ODZ for udtrykket p(x)/q(x) kan være bredere end ODZ for udtrykket r(x)−s(x) . Udvidelse af ODZ kan forekomme, når fraktioner reduceres, som for eksempel ved flytning fra Til . Udvidelsen af ​​ODZ kan også lettes ved at bringe lignende vilkår, som for eksempel ved flytning fra Til . Det sidste trin i algoritmen er beregnet til dette tilfælde, hvor uvedkommende beslutninger, der opstår på grund af udvidelsen af ​​ODZ, er udelukket. Lad os følge dette, når vi ser på løsningerne til eksemplerne nedenfor.

  Begrebet matematisk ulighed opstod i oldtiden. Dette skete, da det primitive menneske begyndte at få brug for at sammenligne deres mængde og størrelse, når de tæller og håndterer forskellige genstande. Siden oldtiden har Arkimedes, Euklid og andre berømte videnskabsmænd: matematikere, astronomer, designere og filosoffer brugt uligheder i deres ræsonnement.

  Men de brugte som regel verbal terminologi i deres værker. For første gang blev moderne tegn til at betegne begreberne "mere" og "mindre" i den form, som ethvert skolebarn kender dem i dag, opfundet og sat i praksis i England. Matematikeren Thomas Harriot leverede en sådan service til sine efterkommere. Og dette skete for omkring fire århundreder siden.

  Der er mange typer uligheder kendt. Blandt dem er simple, der indeholder en, to eller flere variable, kvadratiske, brøkdele, komplekse forhold og endda dem, der er repræsenteret af et system af udtryk. Den bedste måde at forstå, hvordan man løser uligheder, er at bruge forskellige eksempler.

  Gå ikke glip af toget

  Til at begynde med, lad os forestille os, at en beboer i et landområde skynder sig til banegården, som ligger 20 km fra hans landsby. For ikke at gå glip af toget, der kører ved 11-tiden, skal han forlade huset til tiden. På hvilket tidspunkt skal dette gøres, hvis dens hastighed er 5 km/t? Løsningen på dette praktiske problem kommer ned til at opfylde betingelserne for udtrykket: 5 (11 - X) ≥ 20, hvor X er afgangstidspunktet.

  Dette er forståeligt, fordi den afstand, som en landsbyboer skal tilbagelægge til stationen, er lig med bevægelseshastigheden ganget med antallet af timer på vejen. En person kan komme tidligt, men han kan ikke komme for sent. Når du ved, hvordan du løser uligheder og anvender dine færdigheder i praksis, vil du ende med X ≤ 7, som er svaret. Det betyder, at landsbyboeren skal gå til banegården klokken syv om morgenen eller lidt tidligere.

  Numeriske intervaller på en koordinatlinje

  Lad os nu finde ud af, hvordan man kortlægger de beskrevne relationer på Uligheden opnået ovenfor er ikke streng. Det betyder, at variablen kan have værdier mindre end 7, eller den kan være lig med dette tal. Lad os give andre eksempler. For at gøre dette skal du nøje overveje de fire figurer nedenfor.

  

  På den første af dem kan du se en grafisk gengivelse af intervallet [-7; 7]. Den består af et sæt tal placeret på en koordinatlinje og placeret mellem -7 og 7, inklusive grænserne. I dette tilfælde er punkterne på grafen afbildet som udfyldte cirkler, og intervallet registreres vha.

  Den anden figur er en grafisk fremstilling af den strenge ulighed. I dette tilfælde er grænsetallene -7 og 7, vist med punkterede (ikke udfyldte) prikker, ikke inkluderet i det angivne sæt. Og selve intervallet er skrevet i parentes som følger: (-7; 7).

  Det vil sige, efter at have fundet ud af, hvordan man løser uligheder af denne type og fået et lignende svar, kan vi konkludere, at det består af tal, der er mellem de pågældende grænser, undtagen -7 og 7. De næste to tilfælde skal evalueres i en lignende måde. Den tredje figur viser billeder af intervallerne (-∞; -7] U

  Lad os nu komplicere problemet lidt og overveje ikke kun polynomier, men såkaldte rationelle fraktioner af formen:

  hvor $P\left(x \right)$ og $Q\left(x \right)$ er de samme polynomier af formen $((a)_(n))((x)^(n))+( (a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, eller produktet af sådanne polynomier.

  Dette vil være en rationel ulighed. Det grundlæggende punkt er tilstedeværelsen af ​​variablen $x$ i nævneren. For eksempel er disse rationelle uligheder:

  \[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\venstre(3-x \højre))^(2))\venstre(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(align)\]

  Og dette er ikke en rationel ulighed, men den mest almindelige ulighed, som kan løses ved intervalmetoden:

  \[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

  Ser jeg fremad, vil jeg sige med det samme: der er mindst to måder at løse rationelle uligheder på, men alle af dem, på den ene eller den anden måde, kommer ned til metoden med intervaller, der allerede er kendt for os. Derfor, før vi analyserer disse metoder, lad os huske de gamle fakta, ellers vil der ikke være nogen mening fra det nye materiale.

  Hvad du allerede har brug for at vide

  Der er aldrig for mange vigtige fakta. Vi mangler egentlig kun fire.

  Forkortede multiplikationsformler

  Ja, ja: de vil forfølge os gennem hele skolens matematikpensum. Og også på universitetet. Der er en del af disse formler, men vi har kun brug for følgende:

  \[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\venstre(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\venstre(a-b \højre)\venstre(a+b \højre); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\venstre(a+b \højre)\venstre(((a)^(2))-ab+((b) ^(2)) \right); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\venstre(a-b \højre)\venstre(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\højre). \\ \end(align)\]

  Vær opmærksom på de sidste to formler - disse er summen og forskellen af ​​terninger (og ikke terningen af ​​summen eller forskellen!). De er nemme at huske, hvis du bemærker, at tegnet i den første parentes falder sammen med tegnet i det oprindelige udtryk, og i det andet er det modsat tegnet i det oprindelige udtryk.

  Lineære ligninger

  Dette er de enkleste ligninger af formen $ax+b=0$, hvor $a$ og $b$ er almindelige tal, og $a\ne 0$. Denne ligning kan løses ganske enkelt:

  \[\begin(align) & ax+b=0; \\&ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(align)\]

  Lad mig bemærke, at vi har ret til at dividere med koefficienten $a$, fordi $a\ne 0$. Dette krav er ret logisk, da vi for $a=0$ får dette:

  For det første er der ingen variabel $x$ i denne ligning. Dette bør generelt set ikke forvirre os (dette sker f.eks. i geometri og ret ofte), men alligevel er dette ikke længere en lineær ligning.

  For det andet afhænger løsningen af ​​denne ligning udelukkende af koefficienten $b$. Hvis $b$ også er nul, så har vores ligning formen $0=0$. Denne lighed er altid sand; dette betyder $x$ er et hvilket som helst tal (normalt skrevet sådan: $x\in \mathbb(R)$). Hvis koefficienten $b$ ikke er lig med nul, så er ligheden $b=0$ aldrig opfyldt, dvs. der er ingen svar (skriv $x\i \varnothing $ og læs "løsningssættet er tomt").

  For at undgå alle disse vanskeligheder, antager vi blot $a\ne 0$, hvilket slet ikke begrænser os i videre tænkning.

  Kvadratiske ligninger

  Lad mig minde dig om, at dette er hvad en andengradsligning kaldes:

  Her til venstre er et polynomium af anden grad, og igen $a\ne 0$ (ellers får vi i stedet for en andengradsligning en lineær). Følgende ligninger løses gennem diskriminanten:

  1. Hvis $D \gt 0$, får vi to forskellige rødder;
  2. Hvis $D=0$, så vil roden være den samme, men af ​​den anden multiplicitet (hvilken slags multiplicitet er dette, og hvordan man tager højde for det - mere om det senere). Eller vi kan sige, at ligningen har to identiske rødder;
  3. For $D \lt 0$ er der slet ingen rødder, og tegnet for polynomiet $a((x)^(2))+bx+c$ for enhver $x$ falder sammen med tegnet for koefficienten $a $. Dette er i øvrigt et meget nyttigt faktum, som de af en eller anden grund glemmer at tale om i algebratimerne.

  Selve rødderne beregnes ved hjælp af den velkendte formel:

  \[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

  Deraf i øvrigt begrænsningerne for diskriminanten. Kvadratroden af ​​et negativt tal eksisterer jo ikke. Mange elever har et frygteligt rod i hovedet om rødder, så jeg skrev specielt en hel lektion ned: hvad er en rod i algebra og hvordan man beregner det - jeg kan varmt anbefale at læse den. :)

  Operationer med rationelle brøker

  Du ved allerede alt, hvad der er skrevet ovenfor, hvis du har studeret intervalmetoden. Men det, vi vil analysere nu, har ingen analoger i fortiden - det er en helt ny kendsgerning.

  Definition. En rationel brøk er et udtryk for formen

  \[\frac(P\venstre(x \højre))(Q\venstre(x \højre))\]

  hvor $P\left(x \right)$ og $Q\left(x \right)$ er polynomier.

  Det er klart, at det er nemt at få en ulighed fra en sådan brøk - du skal bare tilføje tegnet "større end" eller "mindre end" til højre. Og lidt længere vil vi opdage, at det er en fornøjelse at løse sådanne problemer, alt er meget enkelt.

  Problemer begynder, når der er flere sådanne brøker i et udtryk. De skal bringes til en fællesnævner – og det er i dette øjeblik, der begås en lang række offensive fejl.

  For at løse rationelle ligninger med succes skal du derfor forstå to færdigheder:

  1. Faktorering af polynomiet $P\left(x \right)$;
  2. Faktisk at bringe brøker til en fællesnævner.

  Hvordan faktoriserer man et polynomium? Meget simpelt. Lad os have et polynomium af formen

  Vi sidestiller det til nul. Vi får en ligning på $n$th grad:

  \[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

  Lad os sige, at vi løste denne ligning og fik rødderne $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (bliv ikke foruroliget: i de fleste tilfælde vil der være ikke mere end to af disse rødder). I dette tilfælde kan vores oprindelige polynomium omskrives som følger:

  \[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x) )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\venstre(x) -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \right) \end(align)\]

  Det er alt! Bemærk venligst: den førende koefficient $((a)_(n))$ er ikke forsvundet nogen steder - den vil være en separat multiplikator foran parenteserne, og om nødvendigt kan den indsættes i en hvilken som helst af disse parenteser (praksis viser at der med $((a)_ (n))\ne \pm 1$ næsten altid er brøker blandt rødderne).

  Opgave. Forenkle udtrykket:

  \[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

  Løsning. Lad os først se på nævnerne: de er alle lineære binomialer, og der er intet at tage højde for her. Så lad os faktorisere tællerne:

  \[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\venstre(x+5 \højre)\venstre(x-4 \højre); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\venstre(x-\frac(3)(2) \højre)\venstre(x-1 \højre)=\venstre(2x- 3 \højre)\venstre(x-1 \højre); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\venstre(x+2 \højre)\venstre(x-\frac(2)(5) \højre)=\venstre(x +2 \højre)\venstre(2-5x \højre). \\\end(align)\]

  Bemærk venligst: I det andet polynomium optrådte den førende koefficient "2", i fuld overensstemmelse med vores skema, først foran parentesen og blev derefter inkluderet i den første parentes, da brøken optrådte der.

  Det samme skete i det tredje polynomium, kun dér er rækkefølgen af ​​vilkårene også omvendt. Koefficienten "−5" endte dog med at blive inkluderet i den anden parentes (husk: du kan indtaste faktoren i én og kun en parentes!), hvilket reddede os fra ulejligheden forbundet med brøkrødder.

  Hvad angår det første polynomium, er alt simpelt: dets rødder søges enten standardiseret gennem diskriminanten eller ved hjælp af Vietas sætning.

  Lad os vende tilbage til det oprindelige udtryk og omskrive det med tællere indregnet:

  \[\begin(matrix) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \højre))(2x-3)-\frac(\venstre(x+2 \højre)\venstre(2-5x \højre))(x+2)= \\ =\venstre(x+5 \højre)-\venstre(x-1 \højre)-\venstre(2-5x \højre)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(matrix)\]

  Svar: $5x+4$.

  Som du kan se, intet kompliceret. Lidt 7.-8. klasses matematik og det er det. Pointen med alle transformationer er at få noget enkelt og nemt at arbejde med fra et komplekst og skræmmende udtryk.

  Dette vil dog ikke altid være tilfældet. Så nu vil vi se på et mere alvorligt problem.

  Men lad os først finde ud af, hvordan man bringer to brøker til en fællesnævner. Algoritmen er ekstremt enkel:

  1. Faktor begge nævnere;
  2. Overvej den første nævner og tilføj faktorer, der er til stede i den anden nævner, men ikke i den første. Det resulterende produkt vil være fællesnævneren;
  3. Find ud af, hvilke faktorer hver af de oprindelige brøker mangler, så nævnerne bliver lig med fælles.

  Denne algoritme kan for dig virke som bare tekst med "mange bogstaver." Lad os derfor se på alt ved hjælp af et specifikt eksempel.

  Opgave. Forenkle udtrykket:

  \[\venstre(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \højre)\cdot \venstre(\frac(((x)^(2)))((x)^(2)))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

  Løsning. Det er bedre at løse sådanne store problemer i dele. Lad os skrive ned, hvad der står i den første parentes:

  \[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

  I modsætning til det tidligere problem er nævnerne her ikke så enkle. Lad os tage hensyn til hver af dem.

  Det kvadratiske trinomium $((x)^(2))+2x+4$ kan ikke faktoriseres, da ligningen $((x)^(2))+2x+4=0$ ikke har nogen rødder (diskriminanten er negativ ). Vi lader det være uændret.

  Den anden nævner - det kubiske polynomium $((x)^(3))-8$ - ved omhyggelig undersøgelse er forskellen på terninger og kan let udvides ved hjælp af de forkortede multiplikationsformler:

  \[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\venstre(x-2 \højre)\venstre(((x) ^(2))+2x+4 \right)\]

  Intet andet kan faktoriseres, da der i den første parentes er et lineært binomial, og i det andet er der en konstruktion, der allerede er kendt for os, som ikke har nogen reelle rødder.

  Endelig er den tredje nævner et lineært binomium, der ikke kan udvides. Således vil vores ligning have formen:

  \[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2)))+8)(\venstre(x-2 \højre)\venstre (((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)\]

  Det er helt indlysende, at fællesnævneren vil være præcis $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$, og for at reducere alle brøker til det er nødvendig for at gange den første brøk på $\left(x-2 \right)$, og den sidste - på $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Så er der kun tilbage at give lignende:

  \[\begin(matrix) \frac(x\cdot \venstre(x-2 \højre))(\venstre(x-2 \højre)\venstre(((x)^(2))+2x+4 \ højre))+\frac(((x)^(2))+8)(\venstre(x-2 \højre)\venstre(((x)^(2))+2x+4 \højre))- \frac(1\cdot \venstre(((x)^(2))+2x+4 \højre))(\venstre(x-2 \højre)\venstre(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \venstre(x-2 \højre)+\venstre(((x)^(2))+8 \højre)-\venstre(((x) )^(2))+2x+4 \højre))(\venstre(x-2 \højre)\venstre(((x)^(2))+2x+4 \højre))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\venstre(x-2 \højre)\venstre (((x)^(2))+2x+4 \højre))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\venstre(x-2 \højre)\ venstre(((x)^(2))+2x+4 \højre)). \\ \end(matrix)\]

  Vær opmærksom på den anden linje: når nævneren allerede er fælles, dvs. I stedet for tre separate brøker skrev vi en stor; du skal ikke slippe af med parenteserne med det samme. Det er bedre at skrive en ekstra linje og bemærke, at der f.eks. var et minus før den tredje fraktion - og det vil ikke gå nogen steder, men vil "hænge" i tælleren foran parentesen. Dette vil spare dig for en masse fejl.

  Nå, i den sidste linje er det nyttigt at faktorisere tælleren. Desuden er dette et nøjagtigt kvadrat, og forkortede multiplikationsformler kommer igen til vores hjælp. Vi har:

  \[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\venstre(x-2 \højre)\venstre(((x)^(2))+2x+4 \højre))= \frac(((\venstre(x-2 \højre))^(2)))(\venstre(x-2 \højre)\venstre(((x)^(2))+2x+4 \højre) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

  Lad os nu behandle den anden beslag på nøjagtig samme måde. Her vil jeg bare skrive en kæde af ligheder:

  \[\begin(matrix) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\venstre(x-2 \højre)\venstre(x+2 \højre))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\venstre(x-2 \højre)\venstre(x+2 \højre))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\venstre(x-2 \højre)\venstre(x+2 \højre))+\frac(2\cdot \venstre(x+2 \højre))(\venstre(x-2 \højre) )\cdot \venstre(x+2 \højre))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \venstre(x+2 \højre))(\venstre(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \end(matrix)\]

  Lad os vende tilbage til det oprindelige problem og se på produktet:

  \[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\venstre(x-2) \højre)\venstre(x+2 \højre))=\frac(1)(x+2)\]

  Svar: \[\frac(1)(x+2)\].

  Betydningen af ​​denne opgave er den samme som den foregående: at vise, hvordan rationelle udtryk kan forenkles, hvis man nærmer sig deres transformation klogt.

  Og nu hvor du ved alt dette, lad os gå videre til hovedemnet i dagens lektion - at løse fraktioneret rationelle uligheder. Desuden vil du efter sådan forberedelse knække selve ulighederne som nødder. :)

  Den vigtigste måde at løse rationelle uligheder på

  Der er mindst to tilgange til at løse rationelle uligheder. Nu skal vi se på en af ​​dem - den, der er almindeligt accepteret i skolens matematikkursus.

  Men lad os først bemærke en vigtig detalje. Alle uligheder er opdelt i to typer:

  1. Strenge: $f\left(x \right) \gt 0$ eller $f\left(x \right) \lt 0$;
  2. Lax: $f\left(x \right)\ge 0$ eller $f\left(x \right)\le 0$.

  Uligheder af den anden type kan nemt reduceres til den første, såvel som ligningen:

  Denne lille "tilføjelse" $f\left(x \right)=0$ fører til en så ubehagelig ting som udfyldte punkter - vi blev bekendt med dem i intervalmetoden. Ellers er der ingen forskelle mellem strenge og ikke-strenge uligheder, så lad os se på den universelle algoritme:

  1. Saml alle ikke-nul elementer på den ene side af ulighedstegnet. For eksempel til venstre;
  2. Reducer alle brøker til en fællesnævner (hvis der er flere sådanne brøker), medbring lignende. Faktorer derefter, hvis det er muligt, tælleren og nævneren. På en eller anden måde vil vi få en ulighed af formen $\frac(P\venstre(x \højre))(Q\venstre(x \højre))\vee 0$, hvor "fluebenet" er ulighedstegnet .
  3. Vi sætter lighedstegn mellem tælleren og nul: $P\left(x \right)=0$. Vi løser denne ligning og får rødderne $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Så kræver vi at nævneren ikke var lig med nul: $Q\left(x \right)\ne 0$. Selvfølgelig skal vi i det væsentlige løse ligningen $Q\left(x \right)=0$, og vi får rødderne $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*)$ , $x_(3 )^(*)$, ... (i virkelige problemer vil der næppe være mere end tre sådanne rødder).
  4. Vi markerer alle disse rødder (både med og uden stjerner) på en enkelt tallinje, og rødderne uden stjerner males over, og dem med stjerner er punkteret.
  5. Vi placerer "plus" og "minus" tegnene, vælg de intervaller, vi har brug for. Hvis uligheden har formen $f\left(x \right) \gt 0$, så vil svaret være intervallerne markeret med et "plus". Hvis $f\left(x \right) \lt 0$, så ser vi på intervallerne med "minusser".

  Praksis viser, at de største vanskeligheder er forårsaget af punkt 2 og 4 - kompetente transformationer og det korrekte arrangement af tal i stigende rækkefølge. Nå, ved det sidste trin, vær yderst forsigtig: vi placerer altid skilte baseret på den allersidste ulighed skrevet før man går videre til ligningerne. Dette er en universel regel, nedarvet fra intervalmetoden.

  Så der er en ordning. Lad os øve.

  Opgave. Løs uligheden:

  \[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

  Løsning. Vi har en streng ulighed af formen $f\left(x \right) \lt 0$. Det er klart, at punkt 1 og 2 fra vores ordning allerede er blevet opfyldt: alle elementer af ulighed er samlet til venstre, der er ingen grund til at bringe noget til en fællesnævner. Lad os derfor gå direkte til det tredje punkt.

  Vi sætter lighedstegn mellem tælleren og nul:

  \[\begin(align) & x-3=0; \\ & x=3. \end(align)\]

  Og nævneren:

  \[\begin(align) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(align)\]

  Det er her, mange mennesker går i stå, for i teorien skal du skrive $x+7\ne 0$, som krævet af ODZ (du kan ikke dividere med nul, det er alt). Men i fremtiden vil vi prikke de punkter ud, der kom fra nævneren, så der er ingen grund til at komplicere dine beregninger igen - skriv et lighedstegn overalt og bare rolig. Ingen vil trække point for dette. :)

  Fjerde punkt. Vi markerer de resulterende rødder på tallinjen:

  Alle punkter er fastgjort, da uligheden er streng

  Bemærk: alle punkter er fastgjort, da den oprindelige ulighed er streng. Og her er det lige meget, om disse punkter kom fra tælleren eller nævneren.

  Nå, lad os se på skiltene. Lad os tage et hvilket som helst tal $((x)_(0)) \gt 3$. For eksempel, $((x)_(0))=100$ (men med samme succes kunne man tage $((x)_(0))=3.1$ eller $((x)_(0)) = 1\ 000\ 000 $). Vi får:

  Så til højre for alle rødderne har vi en positiv region. Og når man passerer gennem hver rod, ændres tegnet (det vil ikke altid være tilfældet, men mere om det senere). Lad os derfor gå videre til det femte punkt: arrangere skiltene og vælg det, du har brug for:

  

  Lad os vende tilbage til den sidste ulighed, der var før løsningen af ​​ligningerne. Faktisk falder det sammen med den oprindelige, fordi vi ikke udførte nogen transformationer i denne opgave.

  Da vi skal løse en ulighed på formen $f\left(x \right) \lt 0$, skraverede jeg intervallet $x\in \left(-7;3 \right)$ - det er det eneste, der er markeret med et minustegn. Dette er svaret.

  Svar: $x\in \left(-7;3 \right)$

  Det er alt! Er det svært? Nej, det er ikke svært. Sandt nok var opgaven let. Lad os nu komplicere missionen lidt og overveje en mere "sofistikeret" ulighed. Når jeg løser det, vil jeg ikke længere give så detaljerede beregninger - jeg vil blot skitsere nøglepunkterne. Generelt vil vi formatere det på samme måde, som vi ville formatere det under selvstændigt arbejde eller en eksamen. :)

  Opgave. Løs uligheden:

  \[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

  Løsning. Dette er en ikke-streng ulighed af formen $f\left(x \right)\ge 0$. Alle ikke-nul elementer er samlet til venstre, der er ingen forskellige nævnere. Lad os gå videre til ligningerne.

  Tæller:

  \[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Højrepil ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(align)\]

  Nævner:

  \[\begin(align) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(align)\]

  Jeg ved ikke, hvilken slags pervers der skabte dette problem, men rødderne viste sig ikke særlig godt: det ville være svært at placere dem på tallinjen. Og hvis alt med roden $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ er mere eller mindre klart (dette er det eneste positive tal - det vil være til højre), så er $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ og $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ kræver yderligere forskning: hvilken er større?

  Det kan du for eksempel finde ud af sådan her:

  \[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2) ))\]

  Jeg håber, der ikke er behov for at forklare, hvorfor den numeriske brøk $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Hvis det er nødvendigt, anbefaler jeg at huske, hvordan man udfører operationer med brøker.

  Og vi markerer alle tre rødder på tallinjen:

  Prikkerne fra tælleren udfyldes, prikkerne fra nævneren er punkteret

  Vi sætter skilte op. For eksempel kan du tage $((x)_(0))=1$ og finde ud af tegnet på dette tidspunkt:

  \[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

  Den sidste ulighed før ligningerne var $f\left(x \right)\ge 0$, så vi er interesserede i plustegnet.

  

  Vi har to sæt: det ene er et almindeligt segment, og det andet er en åben stråle på tallinjen.

  Svar: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

  En vigtig bemærkning om de tal, som vi erstatter for at finde ud af tegnet på intervallet længst til højre. Det er absolut ikke nødvendigt at erstatte det tal, der er tættest på roden længst til højre. Du kan tage milliarder eller endda "plus-uendelighed" - i dette tilfælde bestemmes tegnet for polynomiet i parentesen, tælleren eller nævneren udelukkende af tegnet for den førende koefficient.

  Lad os se igen på funktionen $f\left(x \right)$ fra den sidste ulighed:

  Dens notation indeholder tre polynomier:

  \[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\venstre(x \højre)=11x+2; \\ & Q\venstre(x \højre)=13x-4. \end(align)\]

  Alle er lineære binomier, og alle deres ledende koefficienter (tal 7, 11 og 13) er positive. Derfor, når du erstatter meget store tal, vil polynomierne i sig selv også være positive. :)

  Denne regel kan virke alt for kompliceret, men kun i første omgang, når vi analyserer meget nemme problemer. I alvorlige uligheder vil substituering af "plus-uendelighed" give os mulighed for at finde ud af tegnene meget hurtigere end standarden $((x)_(0))=100$.

  Vi vil meget snart stå over for sådanne udfordringer. Men lad os først se på en alternativ måde at løse fraktioneret rationelle uligheder på.

  Alternativ måde

  Denne teknik blev foreslået af en af ​​mine elever. Jeg har selv aldrig brugt det, men praksis har vist, at mange elever virkelig finder det mere bekvemt at løse uligheder på denne måde.

  Så de indledende data er de samme. Vi skal løse den fraktionelle rationelle ulighed:

  \[\frac(P\venstre(x \højre))(Q\venstre(x \højre)) \gt 0\]

  Lad os tænke: hvorfor er polynomiet $Q\left(x \right)$ "værre" end polynomiet $P\left(x \right)$? Hvorfor skal vi overveje separate grupper af rødder (med og uden stjerne), tænke på punkterede punkter osv.? Det er enkelt: en brøk har et definitionsdomæne, ifølge hvilket brøken kun giver mening, når dens nævner er forskellig fra nul.

  Ellers er der ingen forskelle mellem tælleren og nævneren: Vi sætter også lig med nul, leder efter rødderne og markerer dem derefter på tallinjen. Så hvorfor ikke erstatte brøklinjen (faktisk divisionstegnet) med almindelig multiplikation og nedskrive alle kravene til ODZ i form af en separat ulighed? For eksempel sådan her:

  \[\frac(P\venstre(x \højre))(Q\venstre(x \højre)) \gt 0\Højrepil \venstre\( \begin(align) & P\venstre(x \højre)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

  Bemærk venligst: denne tilgang vil reducere problemet til intervalmetoden, men vil slet ikke komplicere løsningen. Når alt kommer til alt, vil vi stadig sidestille polynomiet $Q\left(x \right)$ med nul.

  Lad os se, hvordan dette virker på reelle problemer.

  Opgave. Løs uligheden:

  \[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

  Løsning. Så lad os gå videre til intervalmetoden:

  \[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Højrepil \venstre\( \begin(align) & \venstre(x+8 \højre)\venstre(x-11 \højre) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

  Den første ulighed kan løses på en elementær måde. Vi sætter simpelthen lighedstegn mellem hver parentes til nul:

  \[\begin(align) & x+8=0\Højrepil ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Højrepil ((x)_(2))=11. \\ \end(align)\]

  Den anden ulighed er også enkel:

  Marker punkterne $((x)_(1))$ og $((x)_(2))$ på tallinjen. Alle er slået ud, da uligheden er streng:

  Det rigtige punkt blev revet ud to gange. Det er fint.

  Vær opmærksom på punktet $x=11$. Det viser sig, at det er "dobbeltpunkteret": På den ene side prikker vi det ud på grund af sværhedsgraden af ​​ulighed, på den anden side på grund af det yderligere krav om DL.

  Det bliver i hvert fald bare et punkteret punkt. Derfor arrangerer vi fortegnene for uligheden $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - det sidste vi så før vi begyndte at løse ligningerne:

  

  Vi er interesserede i positive regioner, da vi løser en ulighed på formen $f\left(x \right) \gt 0$ - vi skygger dem. Tilbage er blot at skrive svaret ned.

  Svar. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

  Med denne løsning som eksempel vil jeg gerne advare dig mod en almindelig fejl blandt begynderelever. Nemlig: aldrig åbne parenteser i uligheder! Tværtimod, prøv at faktorisere alt - dette vil forenkle løsningen og spare dig for mange problemer.

  Lad os nu prøve noget mere kompliceret.

  Opgave. Løs uligheden:

  \[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

  Løsning. Dette er en ikke-streng ulighed af formen $f\left(x \right)\le 0$, så her skal du være meget opmærksom på de skraverede punkter.

  Lad os gå videre til intervalmetoden:

  \[\venstre\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(align) \right.\]

  Lad os gå til ligningen:

  \[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow ((x) )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\Højrepil ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Højrepil ((x)_(3))=-2.2. \\ \end(align)\]

  Vi tager højde for det yderligere krav:

  Vi markerer alle de resulterende rødder på tallinjen:

  Hvis et punkt både er punkteret og udfyldt, anses det for at være punkteret

  Igen "overlapper" to punkter hinanden - det er normalt, det vil altid være sådan. Det er kun vigtigt at forstå, at et punkt markeret som både punkteret og malet over faktisk er et punkteret punkt. De der. "stikning" er en stærkere handling end "maling."

  Det er helt logisk, for ved at knibe markerer vi punkter, der påvirker funktionens fortegn, men som ikke selv deltager i besvarelsen. Og hvis nummeret på et tidspunkt ikke længere passer os (det falder f.eks. ikke ind i ODZ), krydser vi det ud fra overvejelse indtil opgavens afslutning.

  Generelt hold op med at filosofere. Vi placerer skilte og maler over de intervaller, der er markeret med et minustegn:

  

  Svar. $x\in \left(-\infty ;-2.2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

  Og igen ville jeg henlede din opmærksomhed på denne ligning:

  \[\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0\]

  Endnu en gang: Åbn aldrig parenteserne i sådanne ligninger! Du vil kun gøre tingene sværere for dig selv. Husk: produktet er lig nul, når mindst én af faktorerne er lig nul. Følgelig "falder denne ligning fra hinanden" i flere mindre, som vi løste i den forrige opgave.

  Under hensyntagen til mangfoldigheden af ​​rødder

  Ud fra de tidligere problemer er det let at se, at det er de ikke-strenge uligheder, der er de sværeste, fordi man i dem skal holde styr på de skraverede punkter.

  Men der er et endnu større onde i verden - disse er flere rødder i uligheder. Her skal du ikke længere holde styr på nogle skraverede prikker - her ændrer ulighedstegnet måske ikke pludseligt, når du passerer gennem de samme prikker.

  Vi har endnu ikke overvejet noget lignende i denne lektion (selvom et lignende problem ofte blev stødt på i intervalmetoden). Derfor introducerer vi en ny definition:

  Definition. Roden af ​​ligningen $((\venstre(x-a \right))^(n))=0$ er lig med $x=a$ og kaldes roden af ​​$n$th multiplicitet.

  Faktisk er vi ikke specielt interesserede i den nøjagtige værdi af multipliciteten. Det eneste, der betyder noget, er, om det samme tal $n$ er lige eller ulige. Fordi:

  1. Hvis $x=a$ er en rod af lige multiplicitet, så ændres funktionens fortegn ikke, når den passeres gennem den;
  2. Og omvendt, hvis $x=a$ er en rod af ulige multiplicitet, så vil fortegnet for funktionen ændre sig.

  Alle tidligere problemer diskuteret i denne lektion er et specialtilfælde af en rod til ulige multiplicitet: overalt er multipliciteten lig med én.

  Og videre. Inden vi begynder at løse problemer, vil jeg gerne henlede din opmærksomhed på en subtilitet, der virker indlysende for en erfaren studerende, men som driver mange begyndere til en svimmelhed. Nemlig:

  Roden af ​​multiplicitet $n$ opstår kun i det tilfælde, hvor hele udtrykket hæves til denne potens: $((\venstre(x-a \right))^(n))$, og ikke $\left(((x) ^( n))-a \right)$.

  Endnu en gang: parentesen $((\left(x-a \right))^(n))$ giver os roden $x=a$ af multiplicitet $n$, men parentesen $\left(((x)^( n)) -a \right)$ eller, som det ofte sker, $(a-((x)^(n)))$ giver os en rod (eller to rødder, hvis $n$ er lige) af den første multiplicitet , uanset hvad der er lig med $n$.

  Sammenligne:

  \[((\venstre(x-3 \højre))^(5))=0\Højrepil x=3\venstre(5k \højre)\]

  Alt er klart her: hele beslaget blev hævet til femte potens, så det output, vi fik, var roden til femte potens. Og nu:

  \[\venstre(((x)^(2))-4 \højre)=0\Højrepil ((x)^(2))=4\Højrepil x=\pm 2\]

  Vi har to rødder, men begge har første multiplicitet. Eller her er en anden:

  \[\venstre(((x)^(10))-1024 \højre)=0\Højrepil ((x)^(10))=1024\Højrepil x=\pm 2\]

  Og lad ikke den tiende grad genere dig. Det vigtigste er, at 10 er et lige tal, så ved udgangen har vi to rødder, og begge har igen det første multiplum.

  Generelt skal du være forsigtig: multiplicitet opstår kun når graden refererer til hele parentesen, ikke kun variablen.

  Opgave. Løs uligheden:

  \[\frac(((x)^(2))((\venstre(6-x \højre))^(3))\venstre(x+4 \højre))((\venstre(x+7) \right))^(5)))\ge 0\]

  Løsning. Lad os prøve at løse det på en alternativ måde - gennem overgangen fra kvotienten til produktet:

  \[\venstre\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\højre.\]

  Lad os behandle den første ulighed ved hjælp af intervalmetoden:

  \[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \right))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Højrepil x=0\venstre(2k \højre); \\ & ((\venstre(6-x \højre))^(3))=0\Højrepil x=6\venstre(3k \højre); \\ & x+4=0\Højrepil x=-4; \\ & ((\venstre(x+7 \højre))^(5))=0\Højrepil x=-7\venstre(5k \højre). \\ \end(align)\]

  Derudover løser vi den anden ulighed. Faktisk har vi allerede løst det, men for at anmelderne ikke skal finde fejl i løsningen, er det bedre at løse det igen:

  \[((\venstre(x+7 \højre))^(5))\ne 0\Højrepil x\ne -7\]

  Bemærk venligst: der er ingen multipliciteter i den sidste ulighed. Faktisk: hvilken forskel gør det, hvor mange gange du krydser punktet $x=-7$ ud på tallinjen? Mindst én gang, mindst fem gange, vil resultatet være det samme: et punkteret punkt.

  Lad os markere alt, hvad vi har på tallinjen:

  

  Som sagt vil punktet $x=-7$ til sidst blive punkteret. Multiplikiteterne er arrangeret ud fra løsning af uligheden ved hjælp af intervalmetoden.

  Tilbage er blot at placere skiltene:

  

  Da punktet $x=0$ er en rod af lige multiplicitet, ændres tegnet ikke, når det passerer gennem det. De resterende punkter har en ulige mangfoldighed, og alt er enkelt med dem.

  Svar. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

  Endnu en gang, vær opmærksom på $x=0$. På grund af den jævne mangfoldighed opstår der en interessant effekt: alt til venstre for det er malet over, alt til højre er også malet over, og selve punktet er malet helt over.

  Som et resultat behøver det ikke at være isoleret, når svaret optages. De der. der er ingen grund til at skrive noget som $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (selvom formelt et sådant svar også ville være korrekt). I stedet skriver vi straks $x\in \left[ -4;6 \right]$.

  Sådanne effekter er kun mulige med rødder af jævn mangfoldighed. Og i det næste problem vil vi støde på den omvendte "manifestation" af denne effekt. Parat?

  Opgave. Løs uligheden:

  \[\frac(((\venstre(x-3 \højre))^(4))\venstre(x-4 \højre))(((\venstre(x-1 \højre))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

  Løsning. Denne gang følger vi standardordningen. Vi sætter lighedstegn mellem tælleren og nul:

  \[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\venstre(x-3 \højre))^(4))=0\Højrepil ((x)_(1))=3\venstre(4k \højre); \\ & x-4=0\Højrepil ((x)_(2))=4. \\ \end(align)\]

  Og nævneren:

  \[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\venstre(x-1 \højre))^(2))=0\Højrepil x_(1)^(*)=1\venstre(2k \højre); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Højrepil x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(align)\]

  Da vi løser en ikke-streng ulighed af formen $f\left(x \right)\ge 0$, vil rødderne fra nævneren (som har stjerner) blive fjernet, og rødderne fra tælleren vil blive skraveret.

  

  Vi placerer skilte og skygger for områderne markeret med et "plus":

  Punkt $x=3$ er isoleret. Dette er en del af svaret

  Før du skriver det endelige svar ned, lad os se nærmere på billedet:

  1. Punktet $x=1$ har en jævn multiplicitet, men er selv punkteret. Derfor skal det isoleres i svaret: du skal skrive $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, og ikke $x\in \left(-\ infty ;2 \right)$.
  2. Punktet $x=3$ har også en jævn multiplicitet og er skraveret. Arrangementet af tegn indikerer, at selve punktet passer os, men et skridt til venstre eller højre – og vi befinder os i et område, der absolut ikke passer os. Sådanne punkter kaldes isolerede og skrives på formen $x\in \left\( 3 \right\)$.

  Vi kombinerer alle de modtagne brikker i et fælles sæt og skriver svaret ned.

  Svar: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

  Definition. At løse ulighed betyder finde alle dets løsninger, eller bevis at dette sæt er tomt.

  Det ser ud til: hvad kunne være uforståeligt her? Ja, sagen er, at sæt kan defineres på forskellige måder. Lad os skrive svaret på det sidste problem ned igen:

  Vi læser bogstaveligt talt, hvad der står. Variablen "x" tilhører et bestemt sæt, som opnås ved at kombinere (U-tegnet) fire separate sæt:

  • Interval $\left(-\infty ;1 \right)$, som bogstaveligt betyder "alle tal mindre end et, men ikke selve enheden";
  • Interval $\left(1;2 \right)$, dvs. "alle tal i området fra 1 til 2, men ikke selve tallene 1 og 2";
  • Sættet $\left\( 3 \right\)$, bestående af et enkelt tal - tre;
  • Intervallet $\left[ 4;5 \right)$ indeholder alle tal i området fra 4 til 5, samt de fire selv, men ikke de fem.

  Det tredje punkt er af interesse her. I modsætning til intervaller, som definerer uendelige sæt af tal og kun angiver grænserne for disse mængder, angiver sættet $\left\( 3 \right\)$ strengt taget ét tal ved opregning.

  For at forstå, at vi angiver specifikke tal inkluderet i sættet (og ikke sætter grænser eller noget andet), bruges krøllede seler. For eksempel betyder notationen $\left\( 1;2 \right\)$ nøjagtigt "et sæt bestående af to tal: 1 og 2," men ikke et segment fra 1 til 2. Forveksle ikke disse begreber under nogen omstændigheder .

  Regel for tilføjelse af multipla

  Nå, i slutningen af ​​dagens lektion, en lille dåse fra Pavel Berdov. :)

  Opmærksomme elever har sikkert allerede undret sig: hvad vil der ske, hvis tæller og nævner har samme rødder? Så følgende regel virker:

  Mangfoldigheden af ​​identiske rødder tilføjes. Altid. Også selvom denne rod forekommer i både tælleren og nævneren.

  Nogle gange er det bedre at beslutte sig end at tale. Derfor løser vi følgende problem:

  Opgave. Løs uligheden:

  \[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\venstre(((x)^(2))-16 \højre)\venstre(((x)^(2))+ 9x+14 \right))\ge 0\]

  \[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(align)\]

  Ikke noget særligt endnu. Vi sætter lighedstegn mellem nævneren og nul:

  \[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Højrepil x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Højrepil x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(align)\]

  To identiske rødder blev opdaget: $((x)_(1))=-2$ og $x_(4)^(*)=-2$. Begge har den første multiplicitet. Derfor erstatter vi dem med én rod $x_(4)^(*)=-2$, men med en multiplicitet på 1+1=2.

  Derudover er der også identiske rødder: $((x)_(2))=-4$ og $x_(2)^(*)=-4$. De er også af den første multiplicitet, så kun $x_(2)^(*)=-4$ af multipliciteten 1+1=2 vil være tilbage.

  Bemærk venligst: i begge tilfælde forlod vi præcis den "punkterede" rod og udelukkede den "malede" fra overvejelse. For i begyndelsen af ​​lektionen blev vi enige: Hvis et punkt både er punkteret og malet over, så anser vi det stadig for at være punkteret.

  Som et resultat har vi fire rødder, og alle blev skåret ud:

  \[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\venstre(2k \højre); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\venstre(2k \højre). \\ \end(align)\]

  Vi markerer dem på tallinjen under hensyntagen til multipliciteten:

  

  Vi placerer skilte og maler over de områder af interesse for os:

  

  Alle. Ingen isolerede punkter eller andre perversioner. Du kan skrive svaret ned.

  Svar. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

  Regel for at gange multipla

  Nogle gange opstår en endnu mere ubehagelig situation: en ligning, der har flere rødder, hæves selv til en vis magt. I dette tilfælde ændres mangfoldigheden af ​​alle oprindelige rødder.

  Dette er sjældent, så de fleste studerende har ingen erfaring med at løse sådanne problemer. Og reglen her er:

  Når en ligning hæves til $n$-potensen, øges multipliciteten af ​​alle dens rødder også med $n$ gange.

  Med andre ord, at hæve til en potens fører til at gange multiplerne med den samme potens. Lad os se på denne regel ved at bruge et eksempel:

  Opgave. Løs uligheden:

  \[\frac(x((\venstre(((x)^(2))-6x+9 \højre))^(2))((\venstre(x-4 \højre))^(5)) )(((\venstre(2-x \højre))^(3))((\venstre(x-1 \højre))^(2)))\le 0\]

  Løsning. Vi sætter lighedstegn mellem tælleren og nul:

  Produktet er nul, når mindst én af faktorerne er nul. Alt er klart med den første faktor: $x=0$. Men så begynder problemerne:

  \[\begin(align) & ((\venstre(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\venstre(2k \højre); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\venstre(2k \højre)\venstre(2k \højre) \ \& ((x)_(2))=3\venstre(4k \højre) \\ \end(align)\]

  Som vi ser, har ligningen $((x)^(2))-6x+9=0$ en enkelt rod af den anden multiplicitet: $x=3$. Hele denne ligning er så kvadreret. Derfor vil multipliciteten af ​​roden være $2\cdot 2=4$, hvilket vi til sidst skrev ned.

  \[((\venstre(x-4 \højre))^(5))=0\Højrepil x=4\venstre(5k \højre)\]

  Der er heller ingen problemer med nævneren:

  \[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\venstre(2-x \højre))^(3))=0\Højrepil x_(1)^(*)=2\venstre(3k \højre); \\ & ((\venstre(x-1 \højre))^(2))=0\Højrepil x_(2)^(*)=1\venstre(2k \højre). \\ \end(align)\]

  I alt fik vi fem prikker: to punkterede og tre malede. Der er ingen sammenfaldende rødder i tælleren og nævneren, så vi markerer dem blot på tallinjen:

  

  Vi arrangerer skiltene under hensyntagen til mangfoldighed og maler over de intervaller, der interesserer os:

  Igen et isoleret punkt og et punkteret

  På grund af rødderne til jævn mangfoldighed fik vi igen et par "ikke-standard" elementer. Dette er $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, og ikke $x\in \left[ 0;2 \right)$, og også et isoleret punkt $ x\i \venstre\( 3 \højre\)$.

  Svar. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

  Som du kan se, er alt ikke så kompliceret. Det vigtigste er opmærksomhed. Det sidste afsnit af denne lektion er viet til transformationer - de samme, som vi diskuterede i begyndelsen.

  Før-konverteringer

  De uligheder, som vi vil undersøge i dette afsnit, kan ikke kaldes komplekse. Men i modsætning til tidligere opgaver vil du her skulle anvende færdigheder fra teorien om rationelle brøker – faktorisering og reduktion til en fællesnævner.

  Vi diskuterede dette spørgsmål i detaljer i begyndelsen af ​​dagens lektion. Hvis du ikke er sikker på, at du forstår, hvad jeg taler om, anbefaler jeg stærkt at gå tilbage og gentage det. For der nytter ikke noget at proppe metoder til at løse uligheder, hvis du "flyder" i at konvertere brøker.

  I lektier vil der i øvrigt også være mange lignende opgaver. De er placeret i et særskilt underafsnit. Og der finder du meget ikke-trivielle eksempler. Men dette vil være hjemmearbejde, og lad os nu se på et par af sådanne uligheder.

  Opgave. Løs uligheden:

  \[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

  Løsning. Flyt alt til venstre:

  \[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

  Vi reducerer til en fællesnævner, åbner parenteserne og bringer lignende udtryk i tælleren:

  \[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ højre))(x\cdot \venstre(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\venstre(((x)^(2))-2x-x+2 \højre))(x\venstre(x-1 \højre)) \le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\venstre(x-1 \højre))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\venstre(x-1 \højre))\le 0. \\\end(align)\]

  Nu har vi foran os en klassisk fraktionel-rationel ulighed, hvis løsning ikke længere er vanskelig. Jeg foreslår at løse det ved hjælp af en alternativ metode - gennem metoden med intervaller:

  \[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(align)\]

  Glem ikke den begrænsning, der kommer fra nævneren:

  Vi markerer alle numre og begrænsninger på tallinjen:

  Alle rødder har første multiplicitet. Intet problem. Vi placerer blot skilte og maler over de områder, vi har brug for:

  

  Dette er alt. Du kan skrive svaret ned.

  Svar. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

  Selvfølgelig var dette et meget simpelt eksempel. Så lad os nu se på problemet mere seriøst. Og i øvrigt er niveauet af denne opgave ret i overensstemmelse med selvstændigt og testarbejde om dette emne i 8. klasse.

  Opgave. Løs uligheden:

  \[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

  Løsning. Flyt alt til venstre:

  \[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

  Inden vi bringer begge brøker til en fællesnævner, lad os faktorisere disse nævnere. Hvad hvis de samme parenteser kommer frem? Med den første nævner er det nemt:

  \[((x)^(2))+8x-9=\venstre(x-1 \højre)\venstre(x+9 \højre)\]

  Den anden er lidt sværere. Tilføj gerne en konstant faktor i parentesen, hvor brøken optræder. Husk: det oprindelige polynomium havde heltalskoefficienter, så der er en god chance for, at faktoriseringen vil have heltalskoefficienter (faktisk vil den altid, medmindre diskriminanten er irrationel).

  \[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\venstre(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(align)\]

  Som du kan se, er der en fælles parentes: $\left(x-1 \right)$. Vi vender tilbage til uligheden og bringer begge brøker til en fællesnævner:

  \[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ venstre(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right )\venstre(3x-2 \højre))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\venstre(x-1 \højre)\venstre(x+9 \højre)\venstre(3x-2 \højre))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\venstre(x-1 \højre)\venstre(x+9 \højre)\venstre(3x-2 \højre))\ge 0; \\ \end(align)\]

  Vi sætter lighedstegn mellem nævneren og nul:

  \[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( justere)\]

  Ingen multipla eller sammenfaldende rødder. Vi markerer fire tal på linjen:

  Vi placerer skilte:

  

  Vi skriver svaret ned.

  Svar: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5.5;+\infty \ right) $.