Menetelmät trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi käyttämällä erityisiä esimerkkejä. Perusmenetelmät trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi

Voit tilata yksityiskohtaisen ratkaisun ongelmaan !!!

Tasa -arvoa, joka sisältää tuntemattoman trigonometrisen funktion ("sin x, cos x, tan x" tai "ctg x") alla, kutsutaan trigonometriseksi yhtälöksi, ja tarkastelemme niiden kaavoja tarkemmin.

Yksinkertaisimpia yhtälöitä kutsutaan "sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a", missä "x" on löydettävä kulma, "a" on mikä tahansa luku. Kirjoitetaan kunkin juurikaavat.

1. Yhtälö `sin x = a`.

Sillä "| a |> 1" ei ole ratkaisuja.

`| A | \ leq 1` on ääretön määrä ratkaisuja.

Juurikaava: `x = (- 1) ^ n arcsin a + \ pi n, n \ in Z`

2. Yhtälö "cos x = a"

Sillä "| a |> 1" - kuten sinin tapauksessa, sillä ei ole ratkaisuja reaalilukujen joukossa.

`| A | \ leq 1` on ääretön määrä ratkaisuja.

Juurikaava: `x = \ pm arccos a + 2 \ pi n, n \ in Z`

Sinin ja kosinin erityistapaukset kaavioissa.

3. Yhtälö "tg x = a"

Sisältää äärettömän määrän ratkaisuja mille tahansa "a" -arvolle.

Juurikaava: `x = arctan a + \ pi n, n \ in Z`

4. Yhtälö "ctg x = a"

Siinä on myös ääretön määrä ratkaisuja mille tahansa "a" -arvolle.

Juuren kaava: "x = kaareva a + \ pi n, n \ Z: ssä"

Kaavat trigonometristen yhtälöiden juurille taulukossa

Sinulle:
Kosini:
Tangentti ja kotangentti:
Kaavat käänteisiä trigonometrisiä funktioita sisältävien yhtälöiden ratkaisemiseksi:

Menetelmät trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi

Minkä tahansa trigonometrisen yhtälön ratkaisu koostuu kahdesta vaiheesta:

• käyttämällä muunna se yksinkertaisimmaksi;
• ratkaise tuloksena oleva yksinkertaisin yhtälö käyttämällä yllä kirjoitettuja juurikaavoja ja taulukoita.

Katsotaanpa esimerkkejä tärkeimmistä ratkaisumenetelmistä.

Algebrallinen menetelmä.

Tässä menetelmässä muuttuja korvataan ja korvataan tasa -arvolla.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö: `2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3sin (\ frac \ pi 3 - x) + 1 = 0`

"2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3cos (x + \ frac \ pi 6) + 1 = 0",

teemme muutoksen: "cos (x + \ frac \ pi 6) = y", sitten "2y ^ 2-3y + 1 = 0",

löydämme juuret: "y_1 = 1, y_2 = 1/2", josta seuraa kaksi tapausta:

1. "cos (x + \ frac \ pi 6) = 1", "x + \ frac \ pi 6 = 2 \ pi n", "x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

2.` cos (x + \ frac \ pi 6) = 1/2 ', `x + \ frac \ pi 6 = \ pm arccos 1/2 + 2 \ pi n`,` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

Vastaus: `x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`,` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

Faktorointi.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö: "sin x + cos x = 1".

Ratkaisu. Siirrä kaikki yhtälön ehdot vasemmalle: "sin x + cos x-1 = 0". Muuta ja tekijä vasemmalla puolella:

`syn x - 2sin ^ 2 x / 2 = 0`,

"2sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 = 0",

"2sin x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) = 0",

1. `sin x / 2 = 0`,` x / 2 = \ pi n`, `x_1 = 2 \ pi n`.
2. `cos x / 2-sin x / 2 = 0`,` tg x / 2 = 1`, `x / 2 = arctan 1+ \ pi n`,` x / 2 = \ pi / 4 + \ pi n` , `x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

Vastaus: `x_1 = 2 \ pi n`,` x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

Pelkistäminen homogeeniseksi yhtälöksi

Ensinnäkin sinun on saatettava tämä trigonometrinen yhtälö yhteen kahdesta tyypistä:

"sin x + b cos x = 0" (ensimmäisen asteen homogeeninen yhtälö) tai "sin ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x = 0" (toisen asteen homogeeninen yhtälö).

Jaa sitten molemmat osat "cos x \ ne 0" - ensimmäisessä tapauksessa ja "cos ^ 2 x \ ne 0" - toisessa. Saamme yhtälöt "tg x": "a tg x + b = 0" ja "a tg ^ 2 x + b tg x + c = 0", jotka on ratkaistava tunnetuilla menetelmillä.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x = 1`.

Ratkaisu. Kirjoita oikea puoli uudelleen muotoon "1 = sin ^ 2 x + cos ^ 2 x":

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x =` `sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`,

`` 2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x -`` sin ^ 2 x - cos ^ 2 x = 0`

`sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x = 0`.

Tämä on toisen asteen homogeeninen trigonometrinen yhtälö, jaamme sen vasemman ja oikean puolen "cos ^ 2 x \ ne 0", saamme:

`\ frac (sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \ frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - \ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) = 0`

"tg ^ 2 x + tg x - 2 = 0". Otamme käyttöön korvauksen "tg x = t", minkä seurauksena "t ^ 2 + t - 2 = 0". Tämän yhtälön juuret ovat `t_1 = -2` ja` t_2 = 1`. Sitten:

1. `tg x = -2`,` x_1 = arctg (-2) + \ pi n`, `n \ in Z`
2. `tg x = 1`,` x = arctan 1+ \ pi n`, `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n`,` n \ in Z`.

Vastaus. `x_1 = arctg (-2) + \ pi n`,` n \ in Z`, `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n`,` n \ in Z`.

Siirrytään puoli kulmaan

Esimerkki. Ratkaise yhtälö: "11 sin x - 2 cos x = 10".

Ratkaisu. Käytä kaksoiskulmakaavoja tuloksena: `22 sin (x / 2) cos (x / 2) -`` 2 cos ^ 2 x / 2 + 2 sin ^ 2 x / 2 =` `10 sin ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2`

"4 tg ^ 2 x / 2-11 tg x / 2 + 6 = 0"

Soveltamalla yllä olevaa algebrallista menetelmää saamme:

1. `tg x / 2 = 2`,` x_1 = 2 arctan 2 + 2 \ pi n`, `n \ in Z`,
2. "tg x / 2 = 3/4", "x_2 = arctan 3/4 + 2 \ pi n", "n \ in Z".

Vastaus. "x_1 = 2 arktania 2 + 2 \ pi n, n \ in Z", "x_2 = arctan 3/4 + 2 \ pi n", "n \ in Z".

Esittelyssä apukulma

Trigonometrisessä yhtälössä "a sin x + b cos x = c", jossa a, b, c ovat kertoimet ja x on muuttuja, jaamme molemmat puolet "sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)":

`\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) sin x +` `\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) cos x = '' \ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) ".

Vasemman puolen kertoimilla on sinin ja kosinin ominaisuudet, nimittäin niiden neliöiden summa on 1 ja niiden absoluuttiset arvot eivät ole suurempia kuin 1. Merkitään ne seuraavasti: `\ frac a (sqrt ( a ^ 2 + b ^ 2)) = cos \ varphi`, \ \ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) = sin \ varphi`, \ \ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^) 2)) = C`, sitten:

"cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = C`.

Katsotaanpa tarkemmin seuraavaa esimerkkiä:

Esimerkki. Ratkaise yhtälö: `3 sin x + 4 cos x = 2`.

Ratkaisu. Jaa tasa -arvon molemmat puolet `sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)`: Saamme:

`\ frac (3 sin x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +` `\ frac (4 cos x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) = '' \ frac 2 (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) "

"3/5 sin x + 4/5 cos x = 2/5".

Merkitään "3/5 = cos \ varphi", "4/5 = sin \ varphi". Koska "sin \ varphi> 0", "cos \ varphi> 0", otamme apukulmaksi "\ varphi = arcsin 4/5". Sitten kirjoitamme tasa -arvon muotoon:

"cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = 2 / 5`

Sovellettaessa sinin kulmien summan kaavaa, kirjoitamme tasa -arvon seuraavassa muodossa:

"sin (x + \ varphi) = 2 / 5`,

`x + \ varphi = (- 1) ^ n arcsin 2/5 + \ pi n`,` n \ in Z`,

`x = (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \ pi n`,` n \ in Z`.

Vastaus. `x = (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \ pi n`,` n \ in Z`.

Murto-rationaaliset trigonometriset yhtälöt

Nämä ovat yhtälöitä murtoluvuilla, joilla on trigonometriset funktiot lukijoissa ja nimittäjissä.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö. "\ frac (sin x) (1 + cos x) = 1-cos x".

Ratkaisu. Kerro ja jaa yhtälön oikea puoli numerolla "(1 + cos x)". Tämän seurauksena saamme:

`\ frac (sin x) (1 + cos x) =` `\ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x) '

`\ frac (sin x) (1 + cos x) =` `\ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x) '

`\ frac (sin x) (1 + cos x) =` `\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) '

`\ frac (sin x) (1 + cos x) -`` frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0`

"\ frac (sin x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0"

Ottaen huomioon, että nimittäjä ei voi olla nolla, saamme "1 + cos x \ ne 0", "cos x \ ne -1", "x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ in Z".

Vastaa murtolukijan nollaajaksi: `sin x-sin ^ 2 x = 0`,` sin x (1-sin x) = 0`. Sitten "sin x = 0" tai "1-sin x = 0".

1. `sin x = 0`,` x = \ pi n`, `n \ in Z`
2. "1 -sin x = 0", "sin x = -1", "x = \ pi / 2 + 2 \ pi n, n \ in Z".

Ottaen huomioon, että "x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ in Z", ratkaisut ovat "x = 2 \ pi n, n \ in Z" ja "x = \ pi / 2 + 2 \ pi n" , "n \ Z: ssä".

Vastaus. `x = 2 \ pi n`,` n \ in Z`, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n`,` n \ in Z`.

Trigonometriaa ja erityisesti trigonometrisiä yhtälöitä käytetään lähes kaikilla geometrian, fysiikan ja tekniikan aloilla. Tutkimus alkaa luokalla 10, tentissä on varmasti tehtäviä, joten yritä muistaa kaikki trigonometristen yhtälöiden kaavat - ne tulevat varmasti tarpeeseen!

Sinun ei kuitenkaan tarvitse edes muistaa niitä, tärkeintä on ymmärtää ydin ja pystyä päättämään. Se ei ole niin vaikeaa kuin miltä se kuulostaa. Katso itse katsomalla video.

Vaatii tietoa trigonometrian peruskaavoista - sinin ja kosinin neliöiden summasta, tangentin ilmentymisestä sinin ja kosinin kautta ja muista. Niille, jotka ovat unohtaneet ne tai eivät tiedä, suosittelemme lukemaan artikkelin "".
Joten tiedämme trigonometriset peruskaavat, on aika käyttää niitä käytännössä. Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen Oikealla lähestymistavalla se on varsin jännittävää toimintaa, kuten esimerkiksi Rubikin kuution ratkaiseminen.

Nimen perusteella on selvää, että trigonometrinen yhtälö on yhtälö, jossa tuntematon on trigonometrisen funktion merkin alla.
On olemassa niin sanotut yksinkertaisimmat trigonometriset yhtälöt. Tältä ne näyttävät: sinx = a, cos x = a, tg x = a. Harkitse miten ratkaista tällaiset trigonometriset yhtälöt Selvyyden vuoksi käytämme jo tuttua trigonometristä ympyrää.

sinx = a

cos x = a

tg x = a

pinnasänky x = a

Mikä tahansa trigonometrinen yhtälö ratkaistaan ​​kahdessa vaiheessa: viemme yhtälön yksinkertaisimpaan muotoon ja ratkaisemme sen sitten yksinkertaisimpana trigonometrisenä yhtälönä.
On 7 päämenetelmää, joilla trigonometriset yhtälöt ratkaistaan.

1. Muuttuva korvaaminen ja korvaaminen

Ratkaise yhtälö 2cos 2 (x + / 6) - 3sin ( / 3 - x) +1 = 0

Pelkistyskaavoja käyttämällä saamme:

2cos 2 (x + / 6) - 3cos (x + / 6) +1 = 0

Korvaa cos (x + / 6) y: llä yksinkertaisuuden vuoksi ja saat tavallisen toisen asteen yhtälön:

2 v 2 - 3 v + 1 + 0

Kenen juuret y 1 = 1, y 2 = 1/2

Mennään nyt päinvastaisessa järjestyksessä

Korvaamme löydetyt y -arvot ja saamme kaksi vastausta:

2. Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen teknogaation avulla

Kuinka ratkaista yhtälö sin x + cos x = 1?

Siirrä kaikki vasemmalle niin, että 0 jää oikealle:

sin x + cos x - 1 = 0

Käytämme yllä olevia identiteettejä yksinkertaistamaan yhtälöä:

sin x - 2 sin 2 (x / 2) = 0

Teemme tekijöitä:

2sin (x / 2) * cos (x / 2) - 2 sin 2 (x / 2) = 0

2sin (x / 2) * = 0

Saamme kaksi yhtälöä

3. Pelkistäminen homogeeniseksi yhtälöksi

Yhtälö on homogeeninen sinin ja kosinin suhteen, jos kaikki sen ja sinin väliset termit ovat saman tehon samaa kulmaa. Ratkaise homogeeninen yhtälö seuraavasti:

a) siirtää kaikki jäsenensä vasemmalle puolelle;

b) poista kaikki yhteiset tekijät suluista;

c) rinnastaa kaikki tekijät ja hakasulkeet arvoon 0;

d) suluissa saadaan pienemmän tason homogeeninen yhtälö, joka puolestaan ​​jaetaan korkeimmassa määrin siniksi tai kosiniksi;

e) ratkaise tuloksena oleva yhtälö tg: lle.

Ratkaise yhtälö 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Käytämme kaavaa sin 2 x + cos 2 x = 1 ja päästä eroon avoimista kahdesta oikealla:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Jaa cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Korvaa tg x y: llä ja saat toisen asteen yhtälön:

y 2 + 4y +3 = 0, jonka juuret y 1 = 1, y 2 = 3

Täältä löydämme kaksi ratkaisua alkuperäiseen yhtälöön:

x 2 = arkaani 3 + k

4. Yhtälöiden ratkaiseminen siirtymällä puolikulmaan

Ratkaise yhtälö 3sin x - 5cos x = 7

Siirry kohtaan x / 2:

6sin (x / 2) * cos (x / 2) - 5cos 2 (x / 2) + 5sin 2 (x / 2) = 7sin 2 (x / 2) + 7cos 2 (x / 2)

Siirrä kaikki vasemmalle:

2sin 2 (x / 2) - 6sin (x / 2) * cos (x / 2) + 12cos 2 (x / 2) = 0

Jaa cos (x / 2):

tg 2 (x / 2) - 3 tg (x / 2) + 6 = 0

5. Esittelyssä apukulma

Tarkastelua varten otamme muodon yhtälön: sin x + b cos x = c,

jossa a, b, c ovat mielivaltaisia ​​kertoimia, ja x on tuntematon.

Jaamme yhtälön molemmat puolet:



Nyt yhtälön kertoimilla on trigonometristen kaavojen mukaan sinin ja cosin ominaisuudet, nimittäin: niiden moduuli on enintään 1 ja neliöiden summa = 1. Merkitään ne vastaavasti cos: ksi ja siniksi, missä ns. apukulma. Sitten yhtälö on muotoa:

cos * sin x + sin * cos x = С

tai synti (x +) = C

Ratkaisu tähän yksinkertaisimpaan trigonometriseen yhtälöön on

x = (-1) k * arcsin С - + k, missä



On huomattava, että cos: ta ja syntiä käytetään keskenään.

Ratkaise yhtälö sin 3x - cos 3x = 1

Tässä yhtälössä kertoimet ovat:

a =, b = -1, joten jaamme molemmat puolet = 2: lla

Yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen.

Minkä tahansa monimutkaisuuden trigonometristen yhtälöiden ratkaisu ratkaistaan ​​lopulta yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi. Ja tässä trigonometrinen ympyrä osoittautuu jälleen parhaaksi auttajaksi.

Muistetaan kosinin ja sinin määritelmät.

Kulman kosini on yksikköympyrän pisteen abscissa (eli koordinaatti akselia pitkin), joka vastaa tietyn kulman kiertoa.

Kulman sini on yksikköympyrän pisteen ordinaatti (eli koordinaatti akselia pitkin), joka vastaa tietyn kulman kiertoa.

Positiivinen liikesuunta trigonometrisessä ympyrässä on liike vastapäivään. 0 asteen (tai 0 radiaanin) kierto vastaa pistettä, jolla on koordinaatit (1; 0)

Käytämme näitä määritelmiä ratkaistaksemme yksinkertaisimmat trigonometriset yhtälöt.

1. Ratkaistaan ​​yhtälö

Tämä yhtälö täyttää kaikki sellaiset kiertokulman arvot, jotka vastaavat ympyrän pisteitä, joiden ordinaatti on yhtä suuri.

Merkitään piste ordinaattiin ordinaattiakselilla:

Piirretään vaakasuora viiva abskissa -akselin suuntaisesti, kunnes se leikkaa ympyrän. Saamme kaksi pistettä, jotka sijaitsevat ympyrässä ja joilla on ordinaatti. Nämä pisteet vastaavat pyörimiskulmia ja radiaaneja:

Jos me, jättäen radiaanien pyörimiskulmaa vastaavan pisteen, kiertämme koko ympyrän, niin tulemme pisteeseen, joka vastaa radiaanien kiertokulmaa ja jolla on sama ordinaatti. Toisin sanoen tämä kiertokulma täyttää myös yhtälömme. Voimme tehdä niin monta "tyhjäkäyntiä" kuin haluamme ja palata samaan pisteeseen, ja kaikki nämä kulmien arvot täyttävät yhtälömme. Tyhjäkäyntien määrä ilmoitetaan kirjaimella (tai). Koska voimme tehdä nämä kierrokset sekä positiiviseen että negatiiviseen suuntaan, (tai) voi ottaa mitä tahansa kokonaislukuarvoja.

Toisin sanoen alkuperäisen yhtälön ensimmäisen ratkaisusarjan muoto on:

,, on kokonaislukujen joukko (1)

Vastaavasti toinen ratkaisusarja on:

, missä , . (2)

Kuten olette arvanneet, tämä ratkaisusarja perustuu ympyrän pisteeseen, joka vastaa pyörimiskulmaa.

Nämä kaksi ratkaisusarjaa voidaan yhdistää yhteen kohtaan:

Jos otamme tämän ennätyksen (eli jopa), saamme ensimmäisen ratkaisusarjan.

Jos otamme tämän ennätyksen (eli parittoman), saamme toisen ratkaisusarjan.

2. Nyt ratkaistaan ​​yhtälö

Koska yksikköympyrän piste on abscissa, joka saadaan kääntämällä kulmaa, merkitse piste absksilla akselilla:

Piirrä pystysuora akselin suuntainen viiva, kunnes se leikkaa ympyrän. Saamme kaksi pistettä makaa ympyrässä ja ottaa abscissan. Nämä pisteet vastaavat pyörimiskulmia ja radiaaneja. Muista, että myötäpäivään liikkuessamme saamme negatiivisen kiertokulman:

Kirjoitetaan kaksi ratkaisusarjaa:

,

,

(Pääsemme haluttuun pisteeseen kulkiessamme pääpiiristä, toisin sanoen.

Yhdistetään nämä kaksi sarjaa yhdeksi merkiksi:

3. Ratkaise yhtälö

Tangenttilinja kulkee pisteen läpi, jonka yksikköympyrän koordinaatit (1,0) ovat OY -akselin suuntaisia

Merkitsemme siihen pisteen ordinaatilla, joka on yhtä suuri kuin 1 (etsimme tangenttia, jonka kulmat ovat 1):

Yhdistämme tämän pisteen koordinaattien alkuperään suoralla viivalla ja merkitsemme suoran leikkauspisteet yksikköympyrän kanssa. Suoran ja ympyrän leikkauspisteet vastaavat pyörimiskulmia ja:

Koska yhtälöämme täyttävät kiertokulmia vastaavat pisteet sijaitsevat radiaanien etäisyydellä toisistaan, voimme kirjoittaa ratkaisun tällä tavalla:

4. Ratkaise yhtälö

Kotangenttien linja kulkee pisteen läpi yksikköympyrän koordinaattien kanssa akselin suuntaisesti.

Merkitään cotangents -linjalle piste, jossa on abscissa -1:

Yhdistämme tämän pisteen suoran koordinaattien alkuperään ja jatkamme sitä ympyrän leikkauspisteeseen. Tämä viiva leikkaa ympyrän pisteissä, jotka vastaavat radiaaneiden ja radiaanien kiertokulmia:

Koska nämä pisteet ovat toisiaan vastaavalla etäisyydellä, voimme kirjoittaa tämän yhtälön yleisen ratkaisun seuraavasti:

Annetuissa esimerkeissä, jotka havainnollistavat yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisua, käytettiin trigonometristen funktioiden taulukkoarvoja.

Jos yhtälön oikealla puolella ei kuitenkaan ole taulukkoarvoa, korvaamme arvon yhtälön yleisessä ratkaisussa:

ERITYISET RATKAISUT:

Huomaa ympyrässä pisteet, joiden ordinaatti on 0:

Merkitään ympyrään yksi piste, jonka ordinaatti on 1:

Merkitään ympyrään ainoa piste, jonka ordinaatti on -1:

Koska on tapana ilmoittaa arvot, jotka ovat lähimpänä nollaa, kirjoitamme ratkaisun seuraavasti:

Huomaa ympyrässä pisteet, joiden abscissa on 0:

5.
Merkitään ympyrään ainoa piste, jonka abskissa on 1:

Merkitään ympyrään ainoa piste, jonka abskissa on -1:

Ja hieman monimutkaisempia esimerkkejä:

1.

Sini on yksi, jos argumentti on

Sini -argumenttimme on sama, joten saamme:

Jaa tasa -arvon molemmat puolet kolmella:

Vastaus:

2.

Kosini on nolla, jos kosinin argumentti on

Kosinuksen argumentti on sama, joten saamme:

Ilmaiskaamme, tätä varten siirrymme ensin oikealle päinvastaisella merkillä:

Yksinkertaistetaan oikea puoli:

Jaa molemmat osat -2:

Huomaa, että merkki ei muutu termin edessä, koska k voi ottaa mitä tahansa kokonaislukua.

Vastaus:

Ja lopuksi, katso video -opetusohjelma "Juurten valitseminen trigonometrisestä yhtälöstä käyttämällä trigonometristä ympyrää"

Tämä päättää keskustelun yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisesta. Seuraavalla kerralla puhumme kuinka ratkaista.

Käsite trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi.

• Voit ratkaista trigonometrisen yhtälön muuntamalla sen yhdeksi tai useammaksi trigonometriseksi perusyhtälöksi. Trigonometrisen yhtälön ratkaiseminen johtaa lopulta neljän trigonometrisen perusyhtälön ratkaisemiseen.