Kirjattu kulma, ongelmateoria. Ystävät! Tässä artikkelissa keskitymme tehtäviin, joiden ratkaisemiseksi on tarpeen tietää sisäänkirjoitetun kulman ominaisuudet. Tämä on koko ryhmä tehtäviä, ne sisältyvät tenttiin. Useimmat niistä voidaan ratkaista hyvin yksinkertaisesti, yhdellä toimella.

On vaikeampia tehtäviä, mutta ne eivät aiheuta sinulle paljon vaikeuksia, sinun on tiedettävä piirretyn kulman ominaisuudet. Vähitellen analysoimme kaikki tehtävien prototyypit, kutsun sinut blogiin!

Nyt vaadittava teoria. Muistetaan mikä on keski- ja sisäänkirjoitettu kulma, jänne, kaari, johon nämä kulmat lepäävät:

Ympyrän keskikulmaa kutsutaan tasaiseksi kulmaksiyläosa sen keskellä.

Ympyrän osa, joka sijaitsee tasaisen kulman sisälläkutsutaan ympyrän kaareksi.

Ympyrän kaaren astemitta on astemittavastaava keskikulma.

Kulmaa kutsutaan ympyrään piirretyksi, jos kulman kärki sijaitseeympyrällä, ja kulman sivut leikkaavat tämän ympyrän.

Janaa, joka yhdistää kaksi ympyrän pistettä, kutsutaansointu... Suurin sointu kulkee ympyrän keskipisteen läpi ja sitä kutsutaanhalkaisija.

Ratkaistaksesi ympyrään piirrettyjen kulmien ongelmia,sinun on tiedettävä seuraavat ominaisuudet:

1. Kirjattu kulma on yhtä suuri kuin puolet samalla kaarella lepäävästä keskikulmasta.

2. Kaikki samaan kaareen perustuvat piirretyt kulmat ovat yhtä suuret.

3. Kaikki samalla jänteellä lepäävät sisäänkirjoitetut kulmat, joiden kärjet ovat tämän jänteen toisella puolella, ovat yhtä suuret.

4. Mikä tahansa samaan jänteeseen perustuva kulmapari, jonka kärjet ovat jänteen vastakkaisilla puolilla, lasketaan yhteen 180°:een.

Seuraus: ympyrään piirretyn nelikulmion vastakkaiset kulmat laskevat yhteen 180 astetta.

5. Kaikki halkaisijaan perustuvat sisäänkirjoitetut kulmat ovat suoria.

Yleensä tämä ominaisuus on seuraus ominaisuudesta (1), tämä on sen erikoistapaus. Katso - keskikulma on yhtä suuri kuin 180 astetta (ja tämä laajennettu kulma ei ole muuta kuin halkaisija), mikä tarkoittaa, että ensimmäisen ominaisuuden mukaan merkitty kulma C on puolet siitä, eli 90 astetta.

Tämän ominaisuuden tunteminen auttaa ratkaisemaan monia ongelmia ja välttää usein turhat laskelmat. Kun hallitset sen hyvin, pystyt ratkaisemaan yli puolet tämän tyyppisistä tehtävistä suullisesti. On kaksi seurausta, jotka voidaan tehdä:

Seuraus 1: jos kolmio on piirretty ympyrään ja yksi sen sivuista osuu yhteen tämän ympyrän halkaisijan kanssa, niin kolmio on suorakaiteen muotoinen (oikean kulman kärki on ympyrän päällä).

Seuraus 2: suorakulmaisen kolmion ympärille piirretyn ympyrän keskipiste osuu yhteen sen hypotenuusan keskikohdan kanssa.

Myös monet stereometristen ongelmien prototyypit ratkaistaan ​​käyttämällä tätä ominaisuutta ja tietoja seurauksista. Muista itse tosiasia: jos ympyrän halkaisija on piirretyn kolmion sivu, tämä kolmio on suorakaiteen muotoinen (halkaisijaa vastapäätä oleva kulma on 90 astetta). Kaikki muut johtopäätökset ja seuraukset voit tehdä itse, sinun ei tarvitse opetella niitä.

Yleensä puolet piirretyn kulman ongelmista annetaan luonnoksella, mutta ilman merkintöjä. Päättelyprosessin ymmärtämiseksi ongelmia ratkaistaessa (alla artikkelissa) esitellään kärkien (kulmien) nimitykset. Sinun ei tarvitse tehdä tätä kokeessa.Harkitse tehtäviä:

Mikä on terävä sisäänkirjoitettu kulma, joka lepää jänteessä, joka on yhtä suuri kuin ympyrän säde? Kerro vastauksesi asteina.

Muodostetaan keskikulma annetulle sisäänkirjoitetulle kulmille, merkitään kärjet:

Ympyrään piirretyn kulman ominaisuuden mukaan:

AOB-kulma on 60 0, koska AOB-kolmio on tasasivuinen ja tasasivuisessa kolmiossa kaikki kulmat ovat 60 0. Kolmion sivut ovat yhtä suuret, koska ehto sanoo, että jänne on yhtä suuri kuin säde.

Siten sisäänkirjoitettu kulma ACB on yhtä suuri kuin 30 0.

Vastaus: 30

Etsi jänne, johon kulma 30 0 lepää, piirrettynä ympyrään, jonka säde on 3.

Tämä on pohjimmiltaan päinvastainen ongelma (edelliselle). Rakennetaan keskusnurkkaus.

Se on kaksi kertaa niin suuri kuin piirretty, eli AOB-kulma on 60 0. Tästä voimme päätellä, että AOB-kolmio on tasasivuinen. Siten jänne on yhtä suuri kuin säde, eli kolme.

Vastaus: 3

Ympyrän säde on 1. Etsi tylpän kulman arvo, joka lepää jänteessä, joka on yhtä suuri kuin kahden juuren. Kerro vastauksesi asteina.

Rakennetaan keskusnurkkaus:

Kun tiedämme säteen ja jänteen, voimme löytää keskikulman ACB. Tämä voidaan tehdä kosinilauseen avulla. Kun tiedämme keskikulman, voimme helposti löytää sisäänkirjoitetun kulman ACB.

Kosinilause: kolmion minkä tahansa sivun neliö on yhtä suuri kuin kahden muun sivun neliöiden summa ilman näiden sivujen kaksoistuloa niiden välisen kulman kosinilla.

Siksi toinen keskikulma on 360 0 – 90 0 = 270 0 .

Kulma ACB sisäänkirjoitetun kulman ominaisuudella on sen puolikas, eli 135 astetta.

Vastaus: 135

Etsi jänne, johon 120 asteen kulma lepää, sädeympyrään kirjoitetun kolmen juuri.

Yhdistämme pisteet A ja B ympyrän keskipisteeseen. Nimetään se O:ksi:

Tiedämme säteen ja sisäänkirjoitetun kulman ACB. Voimme löytää keskikulman AOB (suurempi kuin 180 astetta), sitten löytää kulman AOB kolmiosta AOB. Ja sitten kosinilauseen avulla laske AB.

Sisäänkirjoitetun kulman ominaisuuden mukaan keskikulma AOB (joka on yli 180 astetta) on yhtä suuri kuin kaksinkertainen sisäänkirjoitettu kulma, eli 240 astetta. Tämä tarkoittaa, että kulma AOB kolmiossa AOB on 360 0 - 240 0 = 120 0.

Kosinilauseen mukaan:

Vastaus: 3

Etsi kaaren päällä oleva merkitty kulma, joka on 20 % ympyrästä. Kerro vastauksesi asteina.

Sisäänkirjoitetun kulman ominaisuuden mukaan se on puolet samalla kaarella olevasta keskikulmasta, tässä tapauksessa puhumme kaaresta AB.

Kaaren AB sanotaan olevan 20 prosenttia kehästä. Tämä tarkoittaa, että AOB:n keskikulma on myös 20 prosenttia 360 0:sta.* Ympyrä on 360 asteen kulma. tarkoittaa,

Siten sisäänkirjoitettu kulma ACB on 36 astetta.

Vastaus: 36

Ympyrän kaari AC ei sisällä pistettä B, on 200 astetta. Ympyräkaari BC, joka ei sisällä pistettä A, on 80 astetta. Etsi merkitty kulma ACB. Kerro vastauksesi asteina.

Selvyyden vuoksi merkitsemme kaaria, joiden kulmamitat on annettu. 200 astetta vastaava kaari on sininen, 80 astetta vastaava kaari on punainen, muu ympyrä on keltainen.

Siten kaaren AB (keltainen) astemitta ja siten keskikulma AOB on: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

Sisäänkirjoitettu kulma ACB on puolet AOB:n keskikulmasta, eli se on 40 astetta.

Vastaus: 40

Mikä on piirretty kulma ympyrän halkaisijan perusteella? Kerro vastauksesi asteina.

Kulma ABC on sisäänkirjoitettu kulma. Se lepää AC:n kaarella, joka päättyy sen sivujen väliin (kuva 330).

Lause. Sisäänkirjoitettu kulma mitataan puolella kaaresta, jolla se lepää.

Se on ymmärrettävä seuraavasti: sisäänkirjoitettu kulma sisältää yhtä monta kulma-astetta, minuuttia ja sekuntia kuin kaariasteet, minuutit ja sekunnit sisältyvät puoleen kaaresta, jolla se lepää.

Tämän lauseen todistamisessa on otettava huomioon kolme tapausta.

Ensimmäinen tapaus. Ympyrän keskipiste on kirjoitetun kulman sivulla (kuva 331).

Olkoon ∠ABC sisäänkirjoitettu kulma ja ympyrän O keskipiste on sivulla BC. On todistettava, että se mitataan puolella kaaresta AC.

Yhdistä piste A ympyrän keskustaan. Saamme tasakylkiset \ (\ Delta \) AOB, joissa AO = OB, saman ympyrän säteiksi. Siksi ∠A = ∠B.

∠AOC on kolmion AOB ulkopuolinen, joten ∠AOC = ∠A + ∠B, ja koska kulmat A ja B ovat yhtä suuret, ∠B on 1/2 ∠AOC.

Mutta AOC mitataan AC-kaarella, joten ∠B mitataan puolella vaihtovirtakaaresta.

Jos esimerkiksi \ (\ breve (AC) \) sisältää 60 ° 18 ', niin ∠В sisältää 30 ° 9'.

Toinen tapaus. Ympyrän keskipiste on sisäänkirjoitetun kulman sivujen välissä (kuva 332).

Olkoon ∠ABD sisäänkirjoitettu kulma. Ympyrän O keskipiste on sen sivujen välissä. On todistettava, että ∠ABD mitataan puolella kaaresta AD.

Tämän todistamiseksi piirrämme halkaisijan BC. Kulma ABD jaettu kahteen kulmaan: ∠1 ja ∠2.

∠1 mitataan puolella vaihtovirtakaaresta ja ∠2 mitataan puolella CD-kaaresta, joten koko ∠ABD mitataan 1/2 \ (\ breve (AC) \) + 1/2 \ (\ breve (CD) \), eli puolet AD-kaaresta.

Jos esimerkiksi \ (\ breve (AD) \) sisältää 124 °, niin ∠В sisältää 62 °.

Kolmas tapaus. Ympyrän keskipiste on piirretyn kulman ulkopuolella (kuva 333).

Olkoon ∠MAD sisäänkirjoitettu kulma. Ympyrän O keskipiste on kulman ulkopuolella. On todistettava, että ∠MAD mitataan puolella MD-kaaresta.

Tämän todistamiseksi piirrämme halkaisijan AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Mutta ∠MAB mitataan 1/2 \ (\ breve (MB) \) ja ∠DAB mitataan 1/2 \ (\ breve (DB) \).

Siksi ∠MAD mitataan 1/2 (\ (\ breve (MB) - \ breve (DB)) \), eli 1/2 \ (\ breve (MD) \).

Jos esimerkiksi \ (\ breve (MD) \) sisältää 48 ° 38 ", niin ∠MAD sisältää 24 ° 19 '8".

Seuraukset
1. Kaikki samaan kaareen perustuvat piirretyt kulmat ovat keskenään yhtä suuret, koska ne mitataan puolella samasta kaaresta (Kuva 334, a).

2. Halkaisijaan perustuva sisäänkirjoitettu kulma on oikea, koska se lepää puolessa ympyrästä. Puolet ympyrästä sisältää 180 kaariastetta, mikä tarkoittaa, että halkaisijaan perustuva kulma sisältää 90 kulmaastetta (kuva 334, b).

Tämä on kahden muodostama kulma sointuja peräisin yhdestä ympyrän pisteestä. Kirjatun kulman sanotaan olevan luottaa johonkin sen sivujen välisellä kaarella.

Kirjoitettu kulma yhtä suuri kuin puolet kaaresta, jolla se lepää.

Toisin sanoen, merkitty kulma sisältää niin monta kulma-astetta, minuuttia ja sekuntia kuin kaaren asteet, minuutit ja sekunnit on suljettu puoleen kaaresta, jolla se lepää. Analysoidaan kolmea tapausta perusteeksi:

Ensimmäinen tapaus:

Keskus O sijaitsee sivulla merkitty kulma ABC. Piirtämällä säde AO saadaan ΔABO, jossa OA = OB (säteinä) ja vastaavasti ∠ABO = ∠BAO. Tähän liittyen kolmio, kulma AOC - ulkoinen. Tämä tarkoittaa, että se on yhtä suuri kuin kulmien ABO ja BAO summa tai yhtä suuri kuin kaksoiskulma ABO. Joten ∠ABO on yhtä suuri kuin puolet keskikulma AOC. Mutta tämä kulma mitataan AC-kaarella. Toisin sanoen sisäänkirjoitettu kulma ABC mitataan puolella kaaresta AC.

Toinen tapaus:

Keskus O sijaitsee sivujen välissä merkitty kulma ABC Piirrettyään halkaisijan BD jaamme kulman ABC kahteen kulmaan, joista yksi mitataan puoleen ensimmäisessä tapauksessa määritetyn kulman mukaisesti. kaaria AD, ja toinen puoli kaari-CD:stä. Ja vastaavasti kulma ABC mitataan (AD + DC) / 2, ts. 1/2 AC.

Kolmas tapaus:

Center O sijaitsee ulkopuolella merkitty kulma ABC. Kun halkaisija BD on piirretty, meillä on: ∠ABС = ∠ABD - ∠CBD . Mutta kulmat ABD ja CBD mitataan aiemmin perusteltujen puolikkaiden perusteella kaaria AD ja CD. Ja koska ∠ABC mitataan (AD-CD) / 2, eli puolet kaaresta AC.

Seuraus 1. Kaikki samaan kaareen perustuvat ovat samoja, eli ne ovat samanarvoisia keskenään. Koska ne jokainen mitataan puolella samasta kaaria .

Seuraus 2. Kirjoitettu kulma halkaisijan perusteella - oikea kulma... Koska jokainen tällainen kulma mitataan puoliympyrän puolivälissä ja sisältää vastaavasti 90 °.

Tässä artikkelissa kerron sinulle, kuinka ratkaista ongelmat, joissa niitä käytetään.

Ensin, kuten tavallista, muistetaan määritelmät ja lauseet, jotka sinun on tiedettävä ongelmien ratkaisemiseksi onnistuneesti.

1.Kirjoitettu kulma on kulma, jonka kärki on ympyrällä ja sen sivut leikkaavat ympyrän:

2.Keskikulma on kulma, jonka kärki on yhtäpitävä ympyrän keskipisteen kanssa:

Ympyrän kaaren astearvo mitattuna sen päällä lepäävän keskikulman arvolla.

Tässä tapauksessa AC-kaaren astearvo on yhtä suuri kuin AOC-kulman arvo.

3. Jos piirretty ja keskikulma lepäävät yhdellä kaarella, niin sisäänkirjoitetun kulman arvo on kaksi kertaa pienempi kuin keskikulman arvo:

4. Kaikki merkityt kulmat, jotka lepäävät yhdellä kaarella, ovat keskenään yhtä suuret:

5. Sisäänkirjoitettu kulma halkaisijan perusteella on 90°:

Ratkaistaan ​​useita ongelmia.

1. Tehtävä B7 (# 27887)

Etsitään keskikulman arvo, joka lepää samalla kaarella:

Ilmeisesti kulman AOC arvo on 90 °, joten kulma ABC on yhtä suuri kuin 45 °

Vastaus: 45 °

2. Tehtävä B7 (# 27888)

Etsi kulma ABC. Kerro vastauksesi asteina.

Ilmeisesti kulma AOC on 270 °, sitten kulma ABC on 135 °.

Vastaus: 135 °

3. Tehtävä B7 (nro 27890)

Etsi ympyrän kaaren AC astearvo, jolla kulma ABC lepää. Kerro vastauksesi asteina.

Etsitään keskikulman arvo, joka lepää kaarella AC:

Kulman AOC suuruus on 45 °, joten kaaren AC astemitta on 45 °.

Vastaus: 45 °.

4. Tehtävä B7 (# 27885)

Etsi kulma ACB, jos sisäänkirjoitetut kulmat ADB ja DAE lepäävät ympyräkaareilla, joiden astearvot ovat yhtä suuria kuin ja vastaavasti. Kerro vastauksesi asteina.

Kulma ADB lepää kaarella AB, joten keskikulman AOB arvo on 118 °, joten kulma BDA on 59 ° ja viereinen kulma ADC on 180 ° -59 ° = 121 °

Samoin DOE on 38° ja vastaava merkitty DAE on 19°.

Harkitse kolmiota ADC:

Kolmion kulmien summa on 180°.

ACB-kulma on 180 ° - (121 ° + 19 °) = 40 °

Vastaus: 40°

5. Tehtävä B7 (nro 27872)

Nelikulman ABCD AB, BC, CD ja AD sivut supistavat rajatun ympyrän kaaria, joiden astearvot ovat vastaavasti, ja. Etsi tämän nelikulmion kulma B. Kerro vastauksesi asteina.

Kulma B lepää kaarella ADC, jonka arvo on yhtä suuri kuin kaarien AD ja CD arvojen summa, eli 71 ° + 145 ° = 216 °

Sisäänkirjoitettu kulma B on yhtä suuri kuin puolet kaaren koosta ADC, eli 108°

Vastaus: 108 °

6. Tehtävä B7 (# 27873)

Ympyrässä sijaitsevat pisteet A, B, C, D jakavat tämän ympyrän neljään kaareen AB, BC, CD ja AD, joiden astearvot liittyvät vastaavasti suhteessa 4:2:3:6. Etsi nelikulmion ABCD kulma A. Kerro vastauksesi asteina.

(katso piirros edellisestä tehtävästä)

Koska olemme antaneet kaarien suuruussuhteen, otamme käyttöön yksikköelementin x. Sitten kunkin kaaren arvot ilmaistaan ​​seuraavasti:

AB = 4x, BC = 2x, CD = 3x, AD = 6x. Kaikki kaaret muodostavat ympyrän, eli niiden summa on 360 °.

4x + 2x + 3x + 6x = 360 °, joten x = 24 °.

Kulma A lepää kaarilla BC ja CD, joiden yhteisarvo on 5x = 120°.

Siksi kulma A on 60 °

Vastaus: 60°

7. Tehtävä B7 (# 27874)

Nelikulmio ABCD piirrettynä ympyrään. Injektio ABC yhtä suuri, kulma CAD

Keskitaso

Ympärysmitta ja merkitty kulma. Visuaalinen opas (2019)

Perustermit.

Muistatko hyvin kaikki piiriin liittyvät nimet? Varmuuden vuoksi muistutamme - katso kuvia - päivitä tietosi.

Ensinnäkin - ympyrän keskipiste on piste, jonka etäisyydet kaikkiin ympyrän pisteisiin ovat samat.

Toiseksi - säde - jana, joka yhdistää ympyrän keskustan ja pisteen.

Säteitä on paljon (yhtä monta kuin ympyrän pisteitä), mutta kaikkien säteiden pituus on sama.

Joskus lyhyyden vuoksi säde kutsutaan täsmälleen segmentin pituus"Keskipiste on ympyrän piste", ei itse viiva.

Mutta mitä tapahtuu jos yhdistät kaksi pistettä ympyrässä? Myös segmentti?

Joten tätä segmenttiä kutsutaan "sointu".

Aivan kuten säteen tapauksessa, halkaisijaa kutsutaan usein janan pituudeksi, joka yhdistää kaksi ympyrän pistettä ja kulkee keskustan läpi. Muuten, miten halkaisija ja säde liittyvät toisiinsa? Katso tarkkaan. Tietysti, säde on puolet halkaisijasta.

Sointujen lisäksi on myös sekantti.

Muistatko yksinkertaisimman asian?

Keskikulma on kahden säteen välinen kulma.

Ja nyt - kaiverrettu kulma

Sisäänkirjoitettu kulma - kulma kahden jänteen välillä, jotka leikkaavat ympyrän pisteessä.

Sanotaan, että merkitty kulma lepää kaarella (tai jänteellä).

Katso kuvaa:

Kaarien ja kulmien mittaukset.

Ympärysmitta. Kaaret ja kulmat mitataan asteina ja radiaaneina. Ensinnäkin tutkinnoista. Kulmien osalta ei ongelmaa - sinun on opittava mittaamaan kaari asteina.

Astemitta (kaaren koko) on vastaavan keskikulman arvo (asteina).

Mitä sana "sopiva" tarkoittaa tässä? Katsomme tarkasti:

Näetkö kaksi kaaria ja kaksi keskikulmaa? No, suurempi kaari vastaa suurempaa kulmaa (ja se on ok, että se on suurempi), ja pienempi kaari vastaa pienempää kulmaa.

Joten sovimme: kaari sisältää saman määrän asteita kuin vastaava keskikulma.

Ja nyt kauheasta - radiaaneista!

Millainen peto tämä "radiaani" on?

Kuvittele tämä: radiaanit ovat tapa mitata kulma ... säteinä!

Radiaanikulma on keskikulma, jonka kaaren pituus on yhtä suuri kuin ympyrän säde.

Sitten herää kysymys - kuinka monta radiaania on avautuneessa kulmassa?

Toisin sanoen: kuinka monta sädettä "sopii" puoliympyrään? Tai toisella tavalla: kuinka monta kertaa puoliympyrän pituus on suurempi kuin säde?

Tämän kysymyksen esittivät tiedemiehet muinaisessa Kreikassa.

Ja niin pitkän etsinnän jälkeen he havaitsivat, että ympärysmitan suhdetta säteeseen ei haluttu ilmaista "inhimillisillä" numeroilla, kuten jne.

Enkä voi edes ilmaista tätä asennetta juurien kautta. Eli käy ilmi, ettei voi sanoa, että puolet ympyrästä on kertaa tai kertaa suurempi kuin säde! Voitteko kuvitella kuinka hämmästyttävää oli, että ihmiset löysivät sen ensimmäistä kertaa?! Puolen ympyrän pituuden suhteessa säteeseen "normaalit" luvut eivät riittäneet. Minun piti kirjoittaa kirje.

Joten on luku, joka ilmaisee puoliympyrän pituuden suhteen säteeseen.

Nyt voimme vastata kysymykseen: kuinka monta radiaania on taittamattomassa kulmassa? Se sisältää radiaaneja. Juuri siksi, että puolet ympyrästä on kertaa suurempi kuin säde.

Muinaiset (ja eivät niin) ihmiset vuosisatojen ajan (!) yritti laskea tämän salaperäisen luvun tarkemmin, ilmaista sitä paremmin (ainakin suunnilleen) "tavallisten" lukujen kautta. Ja nyt olemme mahdottoman laiskoja - kaksi merkkiä kiireisen jälkeen riittää meille, olemme tottuneet siihen, että

Ajattele sitä, tämä tarkoittaa esimerkiksi sitä, että ympyrän y, jonka säde on yksi, on suunnilleen yhtä suuri kuin pituus, mutta on yksinkertaisesti mahdotonta kirjoittaa tätä pituutta "ihmisen" numerolla - tarvitset kirjaimen. Ja sitten tämä ympärysmitta on yhtä suuri. Ja tietysti säteen ympärysmitta on.

Palataan radiaaneihin.

Olemme jo havainneet, että taittamaton kulma sisältää radiaaneja.

Mitä meillä on:

Se tarkoittaa, että olen iloinen, eli olen iloinen. Samalla tavalla saadaan levy, jolla on suosituimmat kulmat.

Kirjatun ja keskikulman arvojen välinen suhde.

Ihmeellinen tosiasia tapahtuu:

Sisäänkirjoitettu kulma on puolet vastaavasta keskikulmasta.

Katso, miltä tämä lausunto näyttää kuvasta. "Vastaava" keskikulma on sellainen, jossa päät osuvat yhteen piirretyn kulman päiden kanssa ja kärki on keskellä. Ja samaan aikaan "vastaavan" keskikulman on "katsottava" samasta jänteestä () kuin merkitty kulma.

Miksi se on niin? Katsotaanpa ensin yksinkertaista tapausta. Anna yhden sointujen mennä keskustan läpi. Sitä tapahtuu joskus, eikö?

Mitä täällä tapahtuu? Harkitsemme. Se on tasakylkinen - loppujen lopuksi ja ovat säteitä. Siksi (nimesi ne).

Katsotaan nyt. Tämä on ulkokulma! Muistamme, että ulkokulma on yhtä suuri kuin kahden sisäkulman summat, jotka eivät ole sen vieressä, ja kirjoitamme:

Tuo on! Odottamaton vaikutus. Mutta on myös keskuskulma kirjoitettavaksi.

Tämä tarkoittaa, että tässä tapauksessa osoitettiin, että keskikulma on kaksi kertaa merkitty kulma. Mutta se on hyvin erikoinen tapaus: onko totta, että sointu ei aina mene suoraan keskustan läpi? Mutta ei mitään, nyt tämä tapaus auttaa meitä paljon. Katso: toinen tapaus: anna keskustan olla sisällä.

Tehdään näin: piirrä halkaisija. Ja sitten... näemme kaksi kuvaa, jotka on jo analysoitu ensimmäisessä tapauksessa. Siksi meillä on se jo

Siksi (piirustuksessa a)

No, viimeinen tapaus jää: keskusta on kulman ulkopuolella.

Teemme samoin: vedä halkaisija pisteen läpi. Kaikki on sama, mutta summan sijaan - ero.

Siinä kaikki!

Muodostetaan nyt kaksi pääasiallista ja erittäin tärkeää johtopäätöstä väittämästä, että sisäänkirjoitettu kulma on puolet keskikulmasta.

Seuraus 1

Kaikki yhteen kaareen perustuvat piirretyt kulmat ovat keskenään yhtä suuret.

Havainnollistetaan:

Samalla kaarella (meillä on tämä kaari) on lukemattomia sisäänkirjoitettuja kulmia, ne voivat näyttää täysin erilaisilta, mutta niillä kaikilla on sama keskikulma (), mikä tarkoittaa, että kaikki nämä piirretyt kulmat ovat keskenään yhtä suuret.

Seuraus 2

Halkaisijaan perustuva kulma on suora.

Katso: mihin kulmaan keskikulma on tarkoitettu?

Tietysti, . Mutta se on tasa-arvoista! No, siksi (sekä monet kirjoitetut kulmat perustuvat) ja on yhtä suuri.

Kahden sointeen ja sekanttien välinen kulma

Mutta entä jos meitä kiinnostava kulma EI ole kirjoitettu eikä keskeinen, vaan esimerkiksi näin:

vai niin?

Onko mahdollista ilmaista sitä jotenkin joidenkin keskeisten kulmien kautta? Osoittautuu, että voit. Katso: olemme kiinnostuneita.

a) (kuten ulkokulma). Mutta - kaiverrettu, lepää kaarella -. - kaiverrettu, lepää kaarella -.

Kauneudesta he sanovat:

Painteiden välinen kulma on yhtä suuri kuin tähän kulmaan sisältyvien kaarien kulma-arvojen puolisumma.

Tämä on kirjoitettu lyhyyden vuoksi, mutta tietysti tätä kaavaa käytettäessä sinun on pidettävä mielessä keskikulmat

b) Ja nyt - "ulkopuolella"! Kuinka olla? Kyllä, melkein sama! Vasta nyt (taas käyttää ulkokulman ominaisuutta). Eli nyt.

Ja se tarkoittaa. Tuodaan kauneutta ja ytimekkyyttä tietueisiin ja muotoiluihin:

Sekanttien välinen kulma on yhtä suuri kuin tähän kulmaan sisältyvien kaarien kulma-arvojen puolet.

No, nyt sinulla on kaikki perustiedot ympyrään liittyvistä kulmista. Eteenpäin, tehtävien hyökkäykseen!

YMPYRÄ JA KIRJALLINEN KULMA. KESKITASO

Viisivuotias tietää, mitä ympyrä on, eikö niin? Matemaatikoilla, kuten aina, on tästä epämääräinen määritelmä, mutta emme anna sitä (katso), vaan muistamme ympyrään liittyvien pisteiden, viivojen ja kulmien nimet.

Tärkeitä termejä

Ensinnäkin:

Toiseksi:

On toinenkin hyväksytty ilmaus: "sointu supistaa kaaren." Tässä kuvassa esimerkiksi sointu supistaa kaaren. Ja jos sointu yhtäkkiä kulkee keskustan läpi, sillä on erityinen nimi: "halkaisija".

Muuten, miten halkaisija ja säde liittyvät toisiinsa? Katso tarkkaan. Tietysti,

Ja nyt kulmien nimet.

Luonnollisesti, eikö niin? Kulman sivut menevät ulos keskustasta, mikä tarkoittaa, että kulma on keskellä.

Tässä kohtaa joskus vaikeuksia. Kiinnittää huomiota - EI MITÄÄN kulmaa ympyrän sisällä - merkitty, mutta vain sellainen, jonka kärki "istuu" aivan ympyrän päällä.

Katsotaanpa eroa kuvista:

He sanovat myös toisella tavalla:

Tässä on yksi hankala kohta. Mikä on "sopiva" tai "mukautettu" keskikulma? Vain kulma, jossa kärki on ympyrän keskellä ja päät kaaren päissä? Ei varmasti sillä tavalla. Katso piirustus.

Yksi niistä ei kuitenkaan näytä kulmalta - se on suurempi. Mutta kolmiossa ei voi olla enempää kulmia, mutta ympyrässä - voi! Joten: pienempi kaari AB vastaa pienempää kulmaa (oranssi) ja suurempi - suurempaa. Miten, eikö niin?

Kirjatun ja keskikulman arvojen välinen suhde

Muista hyvin tärkeä lause:

Oppikirjoissa he haluavat kirjoittaa tämän tosiasian näin:

Eikö sanamuoto ole helpompi keskikulman kanssa?

Mutta silti, etsitään vastaavuus näiden kahden muotoilun välillä ja samalla opitaan kuinka löytää "vastaava" keskikulma ja kaari, johon merkitty kulma "lepää" kuvissa.

Katso: tässä on ympyrä ja merkitty kulma:

Missä on sen "vastaava" keskikulma?

Katsomme uudelleen:

Mikä on sääntö?

Mutta! Tässä tapauksessa on tärkeää, että merkitty ja keskikulma "näkevät" toiselta puolelta kaarelle. Esimerkiksi:

Kummallista kyllä, sininen! Koska kaari on pitkä, pidempi kuin puoli ympyrää! Älä siis koskaan sekoita!

Mitä seurauksia voidaan päätellä sisäänkirjoitetun kulman "puoleisuudesta"?

Ja tässä esimerkiksi:

Halkaisijaan perustuva kulma

Oletko jo huomannut, että matemaatikot puhuvat kovasti samasta asiasta eri sanoin? Miksi he tekisivät? Katsos, matematiikan kieli, vaikka se onkin muodollinen, on elävää, ja siksi, kuten tavallisessa kielessä, joka kerta, kun haluat sanoa sen niin kuin se on mukavampaa. No, olemme jo nähneet mitä "kulma lepää kaarella" on. Ja kuvittele, samaa kuvaa kutsutaan "kulma lepää soinnolla". millä? Kyllä, tietysti sillä, joka vetää tätä kaaria!

Milloin on kätevämpää luottaa sointuun kuin kaariin?

No, varsinkin kun tämä jänne on halkaisija.

Tällaista tilannetta varten on yllättävän yksinkertainen, kaunis ja hyödyllinen lausunto!

Katso: tässä on ympärysmitta, halkaisija ja kulma, joka lepää sen päällä.

YMPYRÄ JA KIRJALLINEN KULMA. LYHYESTI TÄRKEISTÄ

1. Peruskäsitteet.

3. Kaarien ja kulmien mittaukset.

Radiaanikulma on keskikulma, jonka kaaren pituus on yhtä suuri kuin ympyrän säde.

Tämä on luku, joka ilmaisee puoliympyrän pituuden suhteen säteeseen.

Säteen ympärysmitta on.

4. Kirjatun ja keskikulman arvojen välinen suhde.