Aritmeettisen keskiarvon kaava. Kuinka löytää ja laskea aritmeettinen keskiarvo kahdelle
) ja näyte keskiarvo (näytteet).
Tietosanakirja YouTube
-
1 / 5
Merkitse tietojoukkoa X = (x 1 , x 2 , …, x n), sitten otoksen keskiarvo merkitään yleensä vaakaviivalla muuttujan (, lausutaan " x viivalla").
Kreikan kirjainta μ käytetään merkitsemään koko väestön aritmeettista keskiarvoa. Satunnaiselle suurelle , jonka keskiarvo määritetään, μ on todennäköisyys keskiarvo tai satunnaismuuttujan matemaattinen odotus. Jos setti X on kokoelma satunnaislukuja, joiden todennäköisyyskeskiarvo on μ, sitten mille tahansa näytteelle x i tästä kokoelmasta μ = E( x i) on tämän otoksen matemaattinen odotus.
Käytännössä ero μ:n ja x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) siinä μ on tyypillinen muuttuja, koska näet otoksen koko populaation sijaan. Siksi, jos otos esitetään satunnaisesti (todennäköisyysteorian kannalta), niin x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))(mutta ei μ) voidaan käsitellä satunnaismuuttujana, jolla on todennäköisyysjakauma otokseen (keskiarvon todennäköisyysjakauma).
Molemmat määrät lasketaan samalla tavalla:
x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)Esimerkkejä
- Kolmea numeroa varten sinun on lisättävä ne ja jaettava 3:lla:
- Neljälle numerolle sinun on lisättävä ne ja jaettava 4:llä:
Tai helpompi 5+5=10, 10:2. Koska lisäsimme 2 numeroa, mikä tarkoittaa, että kuinka monta numeroa lisäämme, jaamme sillä.
Jatkuva satunnaismuuttuja
f (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)Joitakin ongelmia keskiarvon käytössä
Vahvuuden puute
Vaikka aritmeettista keskiarvoa käytetään usein keskiarvona tai keskeisenä trendinä, tämä käsite ei päde robusteihin tilastoihin, mikä tarkoittaa, että "suuret poikkeamat" vaikuttavat voimakkaasti aritmeettiseen keskiarvoon. On huomionarvoista, että jakaumissa, joilla on suuri vinokerroin, aritmeettinen keskiarvo ei välttämättä vastaa käsitettä "keskiarvo", ja keskiarvon arvot vankista tilastoista (esimerkiksi mediaani) voivat kuvata paremmin keskeistä trendi.
Klassinen esimerkki on keskitulon laskeminen. Aritmeettinen keskiarvo voidaan tulkita väärin mediaaniksi, mikä voi johtaa johtopäätökseen, että enemmän tuloja on enemmän kuin todellisuudessa on. "Keskitulot" tulkitaan siten, että useimpien ihmisten tulot ovat lähellä tätä lukua. Tämä "keskimääräinen" (aritmeettisen keskiarvon merkityksessä) tulot ovat korkeammat kuin useimpien ihmisten tulot, koska korkea tulo ja suuri poikkeama keskiarvosta tekee aritmeettisen keskiarvon vahvasti vinoon (sitä vastoin mediaanitulo "vastustaa") sellainen vino). Tämä "keskimääräinen" tulo ei kuitenkaan kerro mitään ihmisten lukumäärästä lähellä mediaanituloa (eikä kerro mitään ihmisten lukumäärästä lähellä modaalituloa). Kuitenkin, jos käsitteitä "keskiarvo" ja "enemmistö" otetaan kevyesti, voidaan virheellisesti päätellä, että useimpien ihmisten tulot ovat korkeammat kuin he todellisuudessa ovat. Esimerkiksi raportti Washingtonin Medinan "keskimääräisistä" nettotuloista laskettuna asukkaiden kaikkien vuosittaisten nettotulojen aritmeettisena keskiarvona antaa yllättävän suuren luvun Bill Gatesin ansiosta. Tarkastellaan näytettä (1, 2, 2, 2, 3, 9). Aritmeettinen keskiarvo on 3,17, mutta viisi kuudesta arvosta on tämän keskiarvon alapuolella.
Korkoa korolle
Jos numeroita moninkertaistaa, mutta ei taita, sinun on käytettävä geometristä keskiarvoa, ei aritmeettista keskiarvoa. Useimmiten tämä tapaus tapahtuu laskettaessa rahoitusinvestointien takaisinmaksua.
Esimerkiksi, jos osakkeet laskivat 10 % ensimmäisenä vuonna ja nousivat 30 % toisena vuonna, on väärin laskea näiden kahden vuoden "keskimääräistä" nousua aritmeettisena keskiarvona (−10 % + 30 %) / 2 = 10 %; oikean keskiarvon antaa tässä tapauksessa yhdistetyssä vuosikasvussa, josta vuosikasvu on vain noin 8,16653826392 % ≈ 8,2 %.
Syynä tähän on se, että prosenteilla on joka kerta uusi lähtökohta: 30 % on 30 % numerosta, joka on pienempi kuin ensimmäisen vuoden alun hinta: Jos osake alkoi 30 dollarista ja laski 10%, sen arvo on 27 dollaria toisen vuoden alussa. Jos osake on noussut 30%, sen arvo on 35,1 dollaria toisen vuoden lopussa. Tämän kasvun aritmeettinen keskiarvo on 10 %, mutta koska osake on kasvanut vain 5,1 dollaria kahdessa vuodessa, keskimääräinen 8,2 prosentin nousu antaa lopulliseksi tulokseksi 35,1 dollaria:
[30 $ (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 $ (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 $]. Jos käytämme samalla tavalla 10 %:n aritmeettista keskiarvoa, emme saa todellista arvoa: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].
Korkokorko vuoden 2 lopussa: 90 % * 130 % \u003d 117 % eli yhteensä 17 % lisäys ja keskimääräinen vuosikorko 117 % ≈ 108,2 % (\displaystyle (\sqrt (117\%))\noin 108,2\%), eli keskimääräinen vuosikasvu 8,2 % Tämä luku on virheellinen kahdesta syystä.
Yllä olevan kaavan mukaan laskettu syklisen muuttujan keskiarvo siirretään keinotekoisesti suhteessa todelliseen keskiarvoon numeerisen alueen keskelle. Tästä johtuen keskiarvo lasketaan eri tavalla, eli keskiarvoksi valitaan pienimmän varianssin omaava luku (keskipiste). Vähennyksen sijaan käytetään myös moduloetäisyyttä (eli kehän etäisyyttä). Esimerkiksi modulaarinen etäisyys 1° ja 359° välillä on 2°, ei 358° (ympyrällä 359° ja 360° välillä ==0° - yksi aste, välillä 0° ja 1° - myös 1°, yhteensä -2 °).
Keskimääräisen arvon löytämiseksi Excelistä (olipa se sitten numeerinen, tekstillinen, prosenttiarvo tai muu arvo), on monia toimintoja. Ja jokaisella niistä on omat ominaisuutensa ja etunsa. Loppujen lopuksi tähän tehtävään voidaan asettaa tietyt ehdot.
Esimerkiksi Excelin numerosarjan keskiarvot lasketaan tilastofunktioilla. Voit myös syöttää oman kaavan manuaalisesti. Harkitse erilaisia vaihtoehtoja.
Kuinka löytää lukujen aritmeettinen keskiarvo?
Löytääksesi aritmeettisen keskiarvon, lasket yhteen kaikki joukon luvut ja jaat summan numerolla. Esimerkiksi opiskelijan arvosanat tietojenkäsittelytieteestä: 3, 4, 3, 5, 5. Mikä menee neljännekselle: 4. Löysimme aritmeettisen keskiarvon kaavalla: \u003d (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5.
Kuinka tehdä se nopeasti Excel-toimintojen avulla? Otetaan esimerkiksi sarja satunnaislukuja merkkijonossa:
Tai: aktivoi solu ja syötä kaava manuaalisesti: =KESKIARVO(A1:A8).
Katsotaan nyt, mitä muuta AVERAGE-funktio voi tehdä.
Etsi kahden ensimmäisen ja kolmen viimeisen luvun aritmeettinen keskiarvo. Kaava: =KESKIARVO(A1:B1;F1:H1). Tulos:
Keskimäärin kunnon mukaan
Aritmeettisen keskiarvon löytämisen ehto voi olla numeerinen kriteeri tai teksti. Käytämme funktiota: =AVERAGEIF().
Etsi aritmeettinen keskiarvo lukuille, jotka ovat suurempia tai yhtä suuria kuin 10.
Funktio: =AVERAGEIF(A1:A8,">=10")
AVERAGEIF-funktion käytön tulos ehdolla ">=10": Kolmas argumentti - "Averaging range" - jätetään pois. Ensinnäkin sitä ei vaadita. Toiseksi ohjelman jäsentämä alue sisältää VAIN numeerisia arvoja. Ensimmäisessä argumentissa määritetyissä soluissa haku suoritetaan toisessa argumentissa määritetyn ehdon mukaisesti.
Huomio! Hakuehto voidaan määrittää solussa. Ja kaavassa tehdä viittaus siihen.
Etsitään lukujen keskiarvo tekstikriteerin mukaan. Esimerkiksi tuotteen keskimääräinen myynti "taulukot".
Funktio näyttää tältä: =AVERAGEIF($A$2:$A$12;A7;$B$2:$B$12). Alue – sarake, jossa on tuotteiden nimiä. Hakuehto on linkki soluun, jossa on sana "taulukot" (voit lisätä sanan "taulukot" linkin A7 sijaan). Keskiarvoalue - solut, joista otetaan tiedot keskiarvon laskemiseksi.
Toiminnon laskemisen tuloksena saamme seuraavan arvon:
Huomio! Tekstikriteerille (ehdolle) on määritettävä keskiarvoalue.
Kuinka laskea painotettu keskihinta Excelissä?
Mistä tiedämme painotetun keskihinnan?
Kaava: =SUMMATUOTE(C2:C12,B2:B12)/SUMMA(C2:C12).
SUMPRODUCT-kaavalla saadaan selville kokonaistulot koko tavaramäärän myynnin jälkeen. Ja SUM-funktio - summaa tavaroiden määrän. Jakamalla tavaroiden myynnistä saadut kokonaistulot tavarayksiköiden kokonaismäärällä saatiin painotettu keskihinta. Tämä indikaattori ottaa huomioon kunkin hinnan "painon". Sen osuus arvojen kokonaismassasta.
Keskihajonta: kaava Excelissä
Tee ero yleisen perusjoukon ja otoksen keskihajonnan välillä. Ensimmäisessä tapauksessa tämä on yleisen varianssin juuri. Toisessa otosvarianssista.
Tämän tilastollisen indikaattorin laskemiseksi laaditaan hajontakaava. Juuri on otettu siitä. Mutta Excelissä on valmis toiminto keskihajonnan löytämiseksi.
Keskihajonta on sidottu lähdetietojen mittakaavaan. Tämä ei riitä kuvaamaan analysoidun alueen vaihtelua. Datan suhteellisen sirontatason saamiseksi lasketaan variaatiokerroin:
keskihajonta / aritmeettinen keskiarvo
Excelin kaava näyttää tältä:
STDEV (arvoalue) / AVERAGE (arvoalue).
Variaatiokerroin lasketaan prosentteina. Siksi asetamme soluun prosenttimuodon.
Matematiikassa lukujen aritmeettinen keskiarvo (tai yksinkertaisesti keskiarvo) on kaikkien tietyn joukon lukujen summa jaettuna niiden lukumäärällä. Tämä on yleisin ja yleisin keskiarvon käsite. Kuten jo ymmärsit, löytääksesi sinun on laskettava yhteen kaikki sinulle annetut numerot ja jaettava tulos termien lukumäärällä.
Mikä on aritmeettinen keskiarvo?
Katsotaanpa esimerkkiä.
Esimerkki 1. Numerot annetaan: 6, 7, 11. Sinun on löydettävä niiden keskiarvo.
Ratkaisu.
Ensin selvitetään kaikkien annettujen lukujen summa.
Nyt jaamme tuloksena olevan summan termien lukumäärällä. Koska meillä on vastaavasti kolme termiä, jaamme kolmella.
Siksi 6, 7 ja 11 keskiarvo on 8. Miksi 8? Kyllä, koska 6, 7 ja 11 summa on sama kuin kolme kahdeksaa. Tämä näkyy selvästi kuvassa.
Keskimääräinen arvo muistuttaa jonkin verran numerosarjan "kohdistusta". Kuten näette, kynäpinoista on tullut yksi taso.
Harkitse toista esimerkkiä saadun tiedon vahvistamiseksi.
Esimerkki 2 Numerot annetaan: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Sinun on löydettävä niiden aritmeettinen keskiarvo.
Ratkaisu.
Löydämme summan.
3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330
Jaa termien lukumäärällä (tässä tapauksessa 15).
Siksi tämän numerosarjan keskiarvo on 22.
Harkitse nyt negatiivisia lukuja. Muistetaan, kuinka ne tiivistetään. Sinulla on esimerkiksi kaksi numeroa 1 ja -4. Etsitään heidän summansa.
1 + (-4) = 1 - 4 = -3
Kun tiedät tämän, harkitse toista esimerkkiä.
Esimerkki 3 Etsi lukusarjan keskiarvo: 3, -7, 5, 13, -2.
Ratkaisu.
Lukujen summan löytäminen.
3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12
Koska termejä on 5, jaamme tuloksena saadun summan viidellä.
Siksi lukujen 3, -7, 5, 13, -2 aritmeettinen keskiarvo on 2,4.
Teknologisen kehityksen aikana on paljon helpompaa käyttää tietokoneohjelmia keskiarvon löytämiseen. Microsoft Office Excel on yksi niistä. Keskiarvon löytäminen Excelissä on nopeaa ja helppoa. Lisäksi tämä ohjelma sisältyy Microsoft Officen ohjelmistopakettiin. Tarkastellaanpa lyhyttä ohjetta, arvoa tämän ohjelman avulla.
Lukusarjan keskiarvon laskemiseksi sinun on käytettävä AVERAGE-funktiota. Tämän funktion syntaksi on:
=Keskiarvo(argumentti1, argumentti2, ... argumentti255)
jossa argumentti1, argumentti2, ... argumentti255 ovat joko numeroita tai soluviittauksia (solut tarkoittavat alueita ja taulukoita).Selvittääksemme sen, testataanpa saatuja tietoja.
- Syötä numerot 11, 12, 13, 14, 15, 16 soluihin C1 - C6.
- Valitse solu C7 napsauttamalla sitä. Tässä solussa näytämme keskiarvon.
- Napsauta "Kaavat"-välilehteä.
- Avaa valitsemalla Lisää toimintoja > Tilastollinen
- Valitse AVERAGE. Tämän jälkeen valintaikkunan pitäisi avautua.
- Valitse ja vedä solut C1-C6 sinne asettaaksesi alueen valintaikkunassa.
- Vahvista toimintasi "OK"-painikkeella.
- Jos teit kaiken oikein, solussa C7 pitäisi olla vastaus - 13.7. Kun napsautat solua C7, funktio (=Keskiarvo(C1:C6)) näkyy kaavapalkissa.
On erittäin hyödyllistä käyttää tätä toimintoa kirjanpitoon, laskuihin tai kun sinun on vain löydettävä erittäin pitkän lukualueen keskiarvo. Siksi sitä käytetään usein toimistoissa ja suurissa yrityksissä. Näin voit pitää kirjat järjestyksessä ja mahdollistaa nopean laskennan (esimerkiksi keskitulon kuukaudessa). Voit myös käyttää Exceliä löytääksesi funktion keskiarvon.
Kolme lasta meni metsään marjoille. Vanhin tytär löysi 18 marjaa, keskimmäinen 15 ja pikkuveli 3 marjaa (ks. kuva 1). He toivat marjat äidilleni, joka päätti jakaa marjat tasan. Kuinka monta marjaa kukin lapsi sai?
Riisi. 1. Ongelman kuva
Ratkaisu
(yag.) - lapset keräsivät kaiken
2) Jaa marjojen kokonaismäärä lasten lukumäärällä:
(yag.) meni jokaiselle lapselle
Vastaus: Jokainen lapsi saa 12 marjaa.
Tehtävässä 1 vastauksessa saatu luku on aritmeettinen keskiarvo.
aritmeettinen keskiarvo Useita lukuja kutsutaan osamääräksi, jossa näiden lukujen summa jaetaan niiden lukumäärällä.
Esimerkki 1
Meillä on kaksi numeroa: 10 ja 12. Etsi niiden aritmeettinen keskiarvo.
Ratkaisu
1) Määritetään näiden lukujen summa: .
2) Näiden lukujen lukumäärä on 2, joten näiden lukujen aritmeettinen keskiarvo on: .
Vastaus: lukujen 10 ja 12 aritmeettinen keskiarvo on luku 11.
Esimerkki 2
Meillä on viisi numeroa: 1, 2, 3, 4 ja 5. Selvitä niiden aritmeettinen keskiarvo.
Ratkaisu
1) Näiden lukujen summa on: .
2) Määritelmän mukaan aritmeettinen keskiarvo on osamäärä, jossa lukujen summa jaetaan niiden lukumäärällä. Meillä on viisi numeroa, joten aritmeettinen keskiarvo on:
Vastaus: Numeroehdon tietojen aritmeettinen keskiarvo on 3.
Sen lisäksi, että sitä tarjotaan jatkuvasti luokkahuoneessa, aritmeettisen keskiarvon löytäminen on erittäin hyödyllistä jokapäiväisessä elämässä. Oletetaan esimerkiksi, että haluamme mennä lomalle Kreikkaan. Oikeiden vaatteiden valitsemiseksi tarkastelemme tämän maan lämpötilaa tällä hetkellä. Emme kuitenkaan tiedä yleistä kuvaa säästä. Siksi on tarpeen selvittää ilman lämpötila esimerkiksi Kreikassa viikon ajan ja löytää näiden lämpötilojen aritmeettinen keskiarvo.
Esimerkki 3
Viikon lämpötila Kreikassa: maanantai - ; Tiistai - ; keskiviikko -; Torstai - ; perjantai - ; lauantai - ; Sunnuntai -. Laske viikon keskilämpötila.
Ratkaisu
1) Laske lämpötilojen summa: .
2) Jaa saatu summa päivien määrällä: .
Vastaus: viikoittainen keskilämpötila n.
Kykyä löytää aritmeettinen keskiarvo voi olla tarpeen myös jalkapallojoukkueen pelaajien keski-iän määrittämiseksi, eli sen selvittämiseksi, onko joukkue kokenut vai ei. Kaikkien pelaajien iät on laskettava yhteen ja jaettava heidän lukumäärällään.
Tehtävä 2
Kauppias myi omenoita. Aluksi hän myi niitä hintaan 85 ruplaa kilolta. Joten hän myi 12 kg. Sitten hän laski hinnan 65 ruplaan ja myi loput 4 kg omenoita. Mikä oli omenoiden keskihinta?
Ratkaisu
1) Lasketaan kuinka paljon kauppias ansaitsi yhteensä. Hän myi 12 kiloa hintaan 85 ruplaa kilolta:
(hieroa.).Hän myi 4 kiloa hintaan 65 ruplaa kilolta: (rub.).
Siksi ansaitun rahan kokonaismäärä on: (ruplaa).
2) Myytyjen omenoiden kokonaispaino on: .
3) Jaa saatu rahamäärä myytyjen omenoiden kokonaispainolla ja saa 1 kg omenoiden keskihinta: (ruplaa).
Vastaus: myytyjen omenoiden kilon keskihinta on 80 ruplaa.
Aritmeettinen keskiarvo auttaa arvioimaan dataa kokonaisuutena ottamatta kutakin arvoa erikseen.
Aina ei kuitenkaan ole mahdollista käyttää aritmeettisen keskiarvon käsitettä.
Esimerkki 4
Ampuja ampui kaksi laukausta maaliin (katso kuva 2): ensimmäisen kerran hän osui metrin maalitaulun yläpuolelle ja toisen metrin alle. Aritmeettinen keskiarvo osoittaa, että hän osui keskelle tarkasti, vaikka hän epäonnistui molemmat kertaa.
Riisi. 2. Esimerkki esimerkiksi
Tällä oppitunnilla tutustuimme aritmeettisen keskiarvon käsitteeseen. Opimme tämän käsitteen määritelmän, opimme laskemaan useiden lukujen aritmeettisen keskiarvon. Opimme myös tämän konseptin käytännön soveltamisen.
- N.Ya. Vilenkin. Matematiikka: oppikirja. 5 solulle. yleistä konst. - Toim. 17. - M.: Mnemosyne, 2005. )
- Igorilla oli mukanaan 45 ruplaa, Andreylla 28 ja Denisillä 17 ruplaa.
- Kaikilla rahoillaan he ostivat 3 elokuvalippua. Paljonko yksi lippu maksoi?
Kun stationaarisen satunnaisprosessin lukujoukon alkioiden lukumäärä pyrkii äärettömyyteen, aritmeettinen keskiarvo pyrkii satunnaismuuttujan matemaattiseen odotukseen.
Johdanto
Merkitse lukujoukkoa X = (x 1 , x 2 , …, x n), sitten otoksen keskiarvo merkitään yleensä vaakaviivalla muuttujan (, lausutaan " x viivalla").
Kreikan kirjainta μ käytetään yleensä ilmaisemaan koko lukujoukon aritmeettista keskiarvoa. Satunnaismuuttujalle , jonka keskiarvo on määritelty, μ on todennäköisyys keskiarvo tai satunnaismuuttujan matemaattinen odotus. Jos setti X on kokoelma satunnaislukuja, joiden todennäköisyyskeskiarvo on μ, sitten mille tahansa näytteelle x i tästä kokoelmasta μ = E( x i) on tämän näytteen odotus.
Käytännössä ero μ:n ja x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) siinä μ on tyypillinen muuttuja, koska näet otoksen koko populaation sijaan. Siksi, jos otos esitetään satunnaisesti (todennäköisyysteorian kannalta), niin x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))(mutta ei μ) voidaan käsitellä satunnaismuuttujana, jolla on todennäköisyysjakauma otokseen (keskiarvon todennäköisyysjakauma).
Molemmat määrät lasketaan samalla tavalla:
x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)Esimerkkejä
- Kolmea numeroa varten sinun on lisättävä ne ja jaettava 3:lla:
- Neljälle numerolle sinun on lisättävä ne ja jaettava 4:llä:
Jatkuva satunnaismuuttuja
Jos jonkin funktion integraali on olemassa f (x) (\displaystyle f(x)) yksi muuttuja, sitten tämän funktion aritmeettinen keskiarvo segmentillä [a; b] (\displaystyle) määritellään tietyllä integraalilla:
f (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x . (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b)f(x)dx.)Tässä viitataan siihen b > a. (\displaystyle b>a.)
Joitakin ongelmia keskiarvon käytössä
Vahvuuden puute
Vaikka aritmeettista keskiarvoa käytetään usein keskiarvona tai keskeisenä trendinä, tämä käsite ei päde robusteihin tilastoihin, mikä tarkoittaa, että "suuret poikkeamat" vaikuttavat voimakkaasti aritmeettiseen keskiarvoon. On huomionarvoista, että jakaumissa, joissa on suuri vinouma, aritmeettinen keskiarvo ei välttämättä vastaa käsitettä "keskiarvo", ja keskiarvon arvot vankista tilastoista (esimerkiksi mediaani) voivat kuvata paremmin keskeistä trendiä.
Klassinen esimerkki on keskitulon laskeminen. Aritmeettinen keskiarvo voidaan tulkita väärin mediaaniksi, mikä voi johtaa johtopäätökseen, että enemmän tuloja on enemmän kuin todellisuudessa on. "Keskitulot" tulkitaan siten, että useimpien ihmisten tulot ovat lähellä tätä lukua. Tämä "keskimääräinen" (aritmeettisen keskiarvon merkityksessä) tulot ovat korkeammat kuin useimpien ihmisten tulot, koska korkea tulo ja suuri poikkeama keskiarvosta tekee aritmeettisen keskiarvon vahvasti vinoon (sitä vastoin mediaanitulo "vastustaa") sellainen vino). Tämä "keskimääräinen" tulo ei kuitenkaan kerro mitään ihmisten lukumäärästä lähellä mediaanituloa (eikä kerro mitään ihmisten lukumäärästä lähellä modaalituloa). Kuitenkin, jos käsitteitä "keskiarvo" ja "enemmistö" otetaan kevyesti, voidaan virheellisesti päätellä, että useimpien ihmisten tulot ovat korkeammat kuin he todellisuudessa ovat. Esimerkiksi raportti Washingtonin Medinan "keskimääräisistä" nettotuloista laskettuna asukkaiden kaikkien vuosittaisten nettotulojen aritmeettisena keskiarvona antaa yllättävän suuren luvun Bill Gatesin ansiosta. Tarkastellaan näytettä (1, 2, 2, 2, 3, 9). Aritmeettinen keskiarvo on 3,17, mutta viisi kuudesta arvosta on tämän keskiarvon alapuolella.
Korkoa korolle
Jos numeroita moninkertaistaa, mutta ei taita, sinun on käytettävä geometristä keskiarvoa, ei aritmeettista keskiarvoa. Useimmiten tämä tapaus tapahtuu laskettaessa rahoitussijoituksen tuottoa.
Esimerkiksi, jos osakkeet laskivat 10 % ensimmäisenä vuonna ja nousivat 30 % toisena vuonna, on väärin laskea näiden kahden vuoden "keskimääräistä" nousua aritmeettisena keskiarvona (−10 % + 30 %) / 2 = 10 %; oikean keskiarvon antaa tässä tapauksessa yhdistetyssä vuosikasvussa, josta vuosikasvu on vain noin 8,16653826392 % ≈ 8,2 %.
Syynä tähän on se, että prosenteilla on joka kerta uusi lähtökohta: 30 % on 30 % numerosta, joka on pienempi kuin ensimmäisen vuoden alun hinta: Jos osake alkoi 30 dollarista ja laski 10%, sen arvo on 27 dollaria toisen vuoden alussa. Jos osake on noussut 30%, sen arvo on 35,1 dollaria toisen vuoden lopussa. Tämän kasvun aritmeettinen keskiarvo on 10 %, mutta koska osake on kasvanut vain 5,1 dollaria kahdessa vuodessa, keskimääräinen 8,2 prosentin nousu antaa lopulliseksi tulokseksi 35,1 dollaria:
[30 $ (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 $ (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 $]. Jos käytämme samalla tavalla 10 %:n aritmeettista keskiarvoa, emme saa todellista arvoa: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].
Korkokorko vuoden 2 lopussa: 90 % * 130 % \u003d 117 % eli yhteensä 17 % lisäys ja keskimääräinen vuosikorko 117 % ≈ 108,2 % (\displaystyle (\sqrt (117\%))\noin 108,2\%) eli keskimäärin 8,2 % vuotuinen lisäys.
Ohjeet
Pääartikkeli: Kohdetilastot
Laskettaessa jonkin syklisesti muuttuvan muuttujan (esimerkiksi vaiheen tai kulman) aritmeettista keskiarvoa on oltava erityisen varovainen. Esimerkiksi lukujen 1 ja 359 keskiarvo on yhtä suuri 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180 . Tämä numero on virheellinen kahdesta syystä.
Yllä olevan kaavan mukaan laskettu syklisen muuttujan keskiarvo siirretään keinotekoisesti suhteessa todelliseen keskiarvoon numeerisen alueen keskelle. Tästä johtuen keskiarvo lasketaan eri tavalla, eli keskiarvoksi valitaan pienimmän varianssin omaava luku (keskipiste). Vähennyksen sijaan käytetään myös moduloetäisyyttä (eli kehän etäisyyttä). Esimerkiksi modulaarinen etäisyys 1° ja 359° välillä on 2°, ei 358° (ympyrällä 359° ja 360° välillä ==0° - yksi aste, välillä 0° ja 1° - myös 1°, yhteensä -2 °).
