Kuinka löytää geometrisen etenemisen jakajan. Geometrinen eteneminen

Geometrinen eteneminen Matemaattisessa matematiikassa ei ole vähemmän tärkeää aritmeettiseen. Geometrista edistymistä kutsutaan sellaiseksi numeroiksi B1, B2, ..., B [N], joista toinen termi saadaan kertomalla edellinen numero. Tämä on numero, joka myös luonnehtii kasvua tai etenemisen vähenemistä, denomaattorin geometrinen eteneminen Ja merkitsee

Geometrisen etenemisen täydellisen tehtävän osalta nimittäjän lisäksi on välttämätöntä tietää tai määritellä ensimmäisen aikavälin. Nimittäjän positiiviselle arvolle eteneminen on monotoninen sekvenssi, ja jos tämä numeron sekvenssi on yksi yksitoikkoinen ja yksi monotonisesti kasvava. Tapaus, kun nimittäjä on yhtä suuri kuin yksittäinen käytäntö, koska meillä on samanlaiset numerot ja niiden summaus ei aiheuta käytännön kiinnostusta.

Geometrisen etenemisen jäsen Laskea kaavalla

Määrä n ensimmäinen geometrisen etenemisen jäsenet Määritä kaava

Harkitse ratkaisuja geometrisen etenemisen klassisiin tehtäviin. Aloitetaan ymmärtämään yksinkertaisin.

Esimerkki 1. Geometrisen etenemisen ensimmäinen jäsen on 27, ja sen nimittäjä on 1/3. Etsi kuusi ensimmäistä geometrista etenemistä jäsentä.

Ratkaisu: Kirjoita lomakkeen ongelman tila

Laskelmien osalta käytämme geometrisen etenemisen N-Th: n jäsenen kaavaa

Sen perusteella löydämme etenemisen tuntemattomia jäseniä

Miten voit varmistaa, että geometrisen etenemisen jäsenten laskelmat ovat yksinkertaisia. Itse eteneminen näyttää tältä

Esimerkki 2. Geometrisen etenemisen ensimmäistä jäsentä on kolme: 6; -12; 24. Etsi nimittäjä ja seitsemäs hänen munansa.

Ratkaisu: Laske geomitrisen etenemisen nimittäjä sen määritelmän perusteella

Sai vaihtoehtoisen geometrisen etenemisen, jonka nimittäjä on -2. Seitsemäs jäsen laskee kaavan

Tällä ongelmalla ratkaistaan.

Esimerkki 3. Geometrinen eteneminen asettaa kaksi jäsentä . Etsi etenemisen kymmenes jäsen.

Päätös:

Kirjoitamme määritetyt arvot kaavojen kautta

Sääntöjen mukaan olisi tarpeen löytää nimittäjä ja sitten etsiä haluttua arvoa, mutta meillä on kymmenennen jäsen

Sama kaava voidaan saada perustuen ei-kovien manipulointiin syöttödatan avulla. Jaamme kuudennen jäsenen rivin toiselle, minkä seurauksena saamme

Jos arvo vaihtelee kuudenteen jäseneen, saamme kymmenesosaa

Siten samankaltaisiin tehtäviin, joilla on yksinkertaisia \u200b\u200bmuutoksia, voidaan löytää oikea liuos nopeasti.

Esimerkki 4. Geometrinen eteneminen annetaan toistuvat kaavat

Etsi nimittäjä geometrinen eteneminen ja ensimmäisen kuuden jäsenen summa.

Päätös:

Kirjoitamme tietyt tiedot yhtälöjärjestelmän muodossa

Ilmaista nimittäjä, joka toimittaa toisen yhtälön ensimmäiselle

Etsi ensimmäisen yhtälön etenemisen ensimmäinen aika

Lasketaan seuraavat viisi jäsentä geometrisen etenemisen määrän löytämiseksi

Harkitse jotain riviä.

7 28 112 448 1792...

On selvää, että sen elementin merkitys on enemmän kuin edellinen neljä kertaa. Joten tämä sarja on edistystä.

Geometrinen progressiivinen on infinite-numeron sekvenssi, jonka pääpiirre on, että seuraava numero saadaan edellisestä kertomalla jollekin erityiselle numerolle. Tämä ilmaistaan \u200b\u200bseuraavalla kaavalla.

z +1 \u003d A Z · Q, jossa Z on valitun kohteen numero.

Näin ollen Z ∈ N.

Aika, jolloin geometrinen eteneminen tutkitaan koulussa 9. Esimerkkejä auttavat selvittämään käsitteen:

0.25 0.125 0.0625...

Tämän kaavan perusteella etenemisen nimittäjä on mahdollista löytää seuraavasti:

Q, NOR B Z ei voi olla nolla. Myös kukin etenemisen elementistä ei pitäisi olla nolla.

Näin ollen, jotta voit selvittää seuraavan rivien määrä, sinun on kerrottava viimeinen Q.

Voit määrittää tämän etenemisen, sinun on määritettävä ensimmäinen elementti ja nimittäjä. Tämän jälkeen on mahdollista löytää mitä tahansa seuraavista jäsenistä ja niiden summa.

Lajikkeet

Riippuen q ja 1: stä, tämä eteneminen on jaettu useisiin tyyppeihin:

• Jos ja 1 ja Q enemmän yksiköitä, niin tällainen sekvenssi kasvaa toisten elementin geometrisen etenemisen kanssa. Esimerkki esitetään alla.

Esimerkki: A 1 \u003d 3, q \u200b\u200b\u003d 2 - molemmat parametrit ovat suurempia kuin yksi.

Sitten numeerinen sekvenssi voidaan tallentaa seuraavasti:

3 6 12 24 48 ...

• Jos | q | Vähemmän, eli kertolasku, joka vastaa jakamista, eteneminen tällaisissa olosuhteissa vähentää geometrista etenemistä. Esimerkki esitetään alla.

Esimerkki: A 1 \u003d 6, q \u003d 1/3 - 1 useampia yksiköitä, Q on pienempi.

Sitten numeerinen sekvenssi voidaan kirjoittaa tällä tavoin:

6 2 2/3 ... - mikä tahansa elementti on suurempi kuin se, 3 kertaa.

• Merkki. Jos Q.<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Esimerkki: A 1 \u003d -3, q \u003d -2 - molemmat parametrit ovat alle nolla.

Sitten numeerinen sekvenssi voidaan kirjoittaa seuraavasti:

3, 6, -12, 24,...

Kaavat

Geometrisen etenemisen kätevä käyttö on monia kaavoja:

• Formula Z-Th-jäsen. Voit laskea elementin tiettyyn numeroon ilman edellisten numeroiden laskemista.

Esimerkki:q. = 3, a. 1 \u003d 4. Vaatii etenemisen neljännen elementin.

Päätös:a. 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Ensimmäisten elementtien summa, jonka numero on yhtä suuri z.. Voit laskea kaikkien sekvenssielementtien summanz. mukaan lukien.

Kuten (1-q.) seisoo nimittäjällä, sitten (1 - Q)≠ 0 Siksi Q ei ole yhtä suuri kuin 1.

HUOMAUTUS: Jos Q \u003d 1, eteneminen edustaisi useita äärettömän toistuvia numeroita.

Geometrisen etenemisen määrä, esimerkkejä:a. 1 = 2, q. \u003d -2. Laske S 5.

Päätös:S. 5 = 22 - Kaavan laskenta.

• Määrä jos |q.| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Esimerkki:a. 1 = 2 , q. \u003d 0,5. Etsi määrä.

Päätös:S Z. = 2 · = 4

S Z. = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Jotkut ominaisuudet:

• Ominaisuus. Jos seuraava ehto suoritetaan millä tahansaz., sitten tietty numeerinen rivi - geometrinen eteneminen:

z. 2 = z. -1 · a. Z + 1.

• Myös minkä tahansa geometrisen etenemisen neliö sijaitsee lisäämällä kahden muun numeron neliöitä tietyssä rivissä, jos ne ovat yhtä suuria kuin tämä tuote.

z. 2 = z. - T. 2 + z. + T. 2 missät. - näiden numeroiden välinen etäisyys.

• Elementit eroavat Q.aika.
• Edistymisen elementtien logaritmit muodostavat myös etenemisen, mutta jo aritmeettinen, toisin sanoen jokainen niistä on enemmän kuin edellinen tietystä numerosta.

Esimerkkejä joistakin klassisista tehtävistä

Parempi ymmärtää, mitä geometrinen eteneminen on, esimerkkejä 9-luokan ratkaisu voi auttaa.

• Edellytykset:a. 1 = 3, a. 3 \u003d 48. Etsiq..

Ratkaisu: Jokainen myöhempi elementti on suurempi kuin edellinenq. aika.On tarpeen ilmaista joitakin elementtejä muiden kautta nimittäjällä.

Siten,a. 3 = q. 2 · a. 1

Korvattaessaq.= 4

• Edellytykset:a. 2 = 6, a. 3 \u003d 12. Laske S 6.

Päätös:Tehdä tämä, riittää löytämään Q, ensimmäinen elementti ja korvata kaavassa.

a. 3 = q.· a. 2 , näin ollen,q.= 2

2 \u003d q · 1,niin 1 \u003d. 3

S 6 \u003d. 189

• · a. 1 = 10, q. \u003d -2. Etsi neljäs etenemistä.

Ratkaisu: Tee näin riittää ilmaista neljännen elementin ensimmäisen ja nimittäjän kautta.

a 4 \u003d Q3· 1 \u003d -80

Esimerkki sovelluksesta:

• Pankin asiakkaat osallistuivat 10 000 ruplan määrään, jonka mukaan vuosittain asiakkaan pääasiallinen summa lisätään 6 prosenttiin siitä. Kuinka monta varoja on tilin 4 vuoden kuluttua?

Ratkaisu: Alkuperäinen määrä on yhtä kuin 10 tuhatta ruplaa. Joten vuosi sijoittumisen jälkeen tilillä on vähintään 10 000 + 10 000 · 0,06 \u003d 10000 · 1,06

Näin ollen toisen vuoden tilinpäätös ilmaistaan \u200b\u200bseuraavasti:

(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 \u003d 1,06 · 1,06 · 10 000

Toisin sanoen määrä kasvaa 1,06 kertaa. Se tarkoittaa, että riittää löytämään varojen määrän tilin 4 vuoden kuluttua, riittää löytämään etenemisen neljännen elementin, joka on asetettu ensimmäisellä elementillä, joka on 10 tuhatta, ja nimittäjä, joka on 1,06 .

S \u003d 1.06 · 1.06 · 1.06 · 1.06 · 10000 \u003d 12625

Esimerkkejä määrän laskemiseksi:

Eri tehtävissä käytetään geometristä etenemistä. Esimerkki määrän löytämisestä voidaan määritellä seuraavasti:

a. 1 = 4, q. \u003d 2, laskeS 5..

Ratkaisu: Kaikki laskennassa tarvittavat tiedot ovat tiedossa, sinun tarvitsee vain korvata ne kaavalla.

S. 5 = 124

• a. 2 = 6, a. 3 \u003d 18. Laske ensimmäisen kuuden elementin määrä.

Päätös:

Geomissa. Edistyminen Kunkin seuraavan elementin on suurempi kuin edellinen q kertaa, eli laskea summa, jonka sinun täytyy tietää elementtia. 1 ja nimittäjäq..

a. 2 · q. = a. 3

q. = 3

Vastaavasti sinun täytyy löytääa. 1 , tietäena. 2 jaq..

a. 1 · q. = a. 2

1 \u003d.2

S. 6 = 728.

Jos jokainen luonnollinen numero n. laittaa kelvollinen n. , sitten he sanovat, mitä on asetettu numeerinen sekvenssi :

a. 1 , a. 2 , a. 3 , . . . , n. , . . . .

Joten numeerinen sekvenssi on luonnollisen argumentin toiminta.

Määrä a. 1 Puhelu sekvenssin ensimmäinen jäsen , Numero a. 2 — sekvenssin toinen jäsen , Numero a. 3 — kolmas jne. Määrä n. Puhelu n-M-sekvenssin jäsen ja luonnollinen numero n. — hänen numeronsa .

Kaksi naapurimaista jäsentä n. ja n. +1 Jäsensekvenssit n. +1 Puhelu seuranta (kohti n. ), mutta n. — edellinen (kohti n. +1 ).

Sekvenssin määrittäminen sinun on määritettävä menetelmä, jonka avulla voit löytää sekvenssin jäsenen mihin tahansa numeroon.

Usein sekvenssi on määritelty käyttäen formulas n-Th-jäsen Eli kaava, jonka avulla voit määrittää sekvenssin jäsenen sen numerolla.

Esimerkiksi,

positiivisten parittomien lukujen sekvenssi voidaan asettaa kaavalla

n.= 2n -1,

ja sekvenssi vuorotellen 1 ja -1 - kaava

b. N. = (-1) N. +1 . ◄

Sekvenssi voidaan määritellä toistuva kaava, Toisin sanoen kaava, joka ilmaisee sekvenssin jäsenen, aloittaen jonkin verran edellisen (yhden tai useamman) jäsenen kautta.

Esimerkiksi,

jos a. 1 = 1 , mutta n. +1 = n. + 5

a. 1 = 1,

a. 2 = a. 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a. 3 = a. 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a. 4 = a. 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a. 5 = a. 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jos 1.= 1, 2. = 1, n. +2 = n. + n. +1 , Numeerisen sekvenssin ensimmäiset seitsemän jäsentä asetetaan seuraavasti:

1. = 1,

2. = 1,

a 3. = 1. + 2. = 1 + 1 = 2,

a 4. = 2. + a 3. = 1 + 2 = 3,

5. = a 3. + a 4. = 2 + 3 = 5,

a. 6 = a. 4 + a. 5 = 3 + 5 = 8,

a. 7 = a. 5 + a. 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekvenssit voivat olla loppu ja ääretön .

Sekvenssiä kutsutaan Äärellinen Jos sillä on äärellinen määrä jäseniä. Sekvenssiä kutsutaan ääretön Jos sillä on äärettömän monia jäseniä.

Esimerkiksi,

kaksinumeroinen luonnollinen numero:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

finite.

Prime-numeroiden järjestys:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

Ääretön. ◄

Sekvenssiä kutsutaan kasvaa Jos jokainen jäsen alkaa toisesta, enemmän kuin edellinen.

Sekvenssiä kutsutaan laskeva Jos jokainen jäsen on toisesta, vähemmän kuin edellinen.

Esimerkiksi,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n., . . . - yhä sekvenssi;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 / N., . . . - Vähentyvä sekvenssi. ◄

Sekvenssi, joiden elementit ovat kasvava määrä, eivät vähene tai päinvastoin, älä lisää, monotoninen sekvenssi .

Erityisesti monotoniset sekvenssit kasvavat sekvenssejä ja laskevat sekvenssejä.

Aritmeettinen eteneminen

Aritmeettinen eteneminen sekvenssiä kutsutaan kukin jäseneksi, josta toisesta toisesta, on edellinen, johon sama numero lisätään.

a. 1 , a. 2 , a. 3 , . . . , n., . . .

on aritmeettinen eteneminen, jos mille tahansa luonnolliselle numerolle n. Ehto on tyytyväinen:

n. +1 = n. + d.,

missä d. - jonkinlaista numeroa.

Näin ollen tämän aritmeettisen etenemisen seuraavien ja aiempien jäsenten välinen ero on aina vakio:

2. - a. 1 = ja 3. - a. 2 = . . . = n. +1 - n. = d..

Määrä d. Puhelu aritmeettisen etenemisen ero.

Asettaa aritmeettinen eteneminen, riittää määrittelemään ensimmäisen aikavälin ja eron.

Esimerkiksi,

jos a. 1 = 3, d. = 4 , sekvenssin ensimmäiset viisi sekvenssia ovat seuraavat:

1. =3,

2. = 1. + d. = 3 + 4 = 7,

a 3. = 2. + d.= 7 + 4 = 11,

a 4. = a 3. + d.= 11 + 4 = 15,

a. 5 = a. 4 + d.= 15 + 4 = 19. ◄

Aritmeettinen eteneminen ensimmäisen jäsenen kanssa a. 1 ja ero d. hänen n.

n. = 1. + (n.- 1)d.

Esimerkiksi,

etsi kolmikkoinen jäsen aritmeettisesta etenemisestä

1, 4, 7, 10, . . .

1. =1, d. = 3,

30. = 1. + (30 - 1)d \u003d.1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = 1. + (n.- 2)d,

n.= 1. + (n.- 1)d,

n. +1 = a. 1 + nD.,

sitten ilmeisesti

jokainen aritmeettisen etenemisen jäsen toisesta on yhtä suuri kuin keskimääräiset aritmeettiset edeltävät ja sen jälkeiset jäsenet.

numerot A, B ja C ovat johdonmukaisia \u200b\u200bjäseniä jonkin aritmeettisen etenemisen, jos ja vain, jos jokin niistä on yhtä suuri kuin keskimääräinen aritmeettinen kaksi muuta.

Esimerkiksi,

n. = 2n.- 7 on aritmeettinen eteneminen.

Käytämme edellä mainittua lausuntoa. Meillä on:

n. = 2n.- 7,

n-1 = 2(n -1) - 7 = 2n.- 9,

n + 1 = 2(n +.1) - 7 = 2n.- 5.

Siten,

◄

Ota huomioon, että n. - aritmeettisen etenemisen jäsen ei löydy paitsi a. 1 Mutta myös kaikki aiemmat k.

n. = k. + (n.- k.)d..

Esimerkiksi,

varten a. 5 voidaan tallentaa

5. = 1. + 4d.,

5. = 2. + 3d.,

5. = a 3. + 2d.,

5. = a 4. + d.. ◄

n. = n-k + kD.,

n. = n + k - kD.,

sitten ilmeisesti

mikä tahansa aritmeettinen eteneminen, alkaen toisesta, yhtä suuri kuin puolet tämän aritmeettisen etenemisen jäsenistä.

Lisäksi tasa-arvo on totta mille tahansa aritmeettiselle etenemiseen:

a M + A N \u003d A K + A L,

m + N \u003d K + L.

Esimerkiksi,

aritmeettisessa etenemisessä

1) a. 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a. 9 + a. 11 )/2;

2) 28 = 10. = a 3. + 7d.\u003d 7 + 7 · 3 \u003d 7 + 21 \u003d 28;

3) 10.= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + A 12 \u003d A 5 + A 9, kuten

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + A 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S N.= a1 + A 2 + A 3 +. . .+ n.,

ensimmäinen n. Aritmeettisen etenemisen jäsenet ovat yhtä suuret kuin äärimmäisen varajäsenet termien lukumäärään:

Tältä erityisesti seuraa, että jos jäsenyys on tiivistettävä

k., k. +1 , . . . , n.,

edellisellä kaavalla säilyttää rakenteensa:

Esimerkiksi,

aritmeettisessa etenemisessä 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S. 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S. 10 - S. 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jos aritmeettinen eteneminen annetaan, arvot a. 1 , n., d., n. jaS. n. kaksi kaavaa:

Siksi, jos kolmen näiden arvojen arvot annetaan, molempien jäljellä olevien arvojen vastaavat arvot määritetään näistä kaavoista yhdistettynä kahden yhtälön järjestelmään kahdella tuntemattomalla.

Aritmeettinen eteneminen on yksitoikkoinen sekvenssi. Jossa:

• jos d. > 0 , sitten se kasvaa;
• jos d. < 0 , se laskee;
• jos d. = 0 Sekvenssi on paikallaan.

Geometrinen eteneminen

Geometrinen eteneminen sekvenssiä kutsutaan, jokainen jäsen, josta toisesta alkaen edellinen, kerrotaan samalla numerolla.

b. 1 , b. 2 , b. 3 , . . . , b N., . . .

on geometrinen eteneminen, jos luonnollinen numero n. Ehto on tyytyväinen:

b N. +1 = b N. · q.,

missä q. ≠ 0 - jonkinlaista numeroa.

Näin ollen tämän geometrisen etenemisen myöhemmän jäsenen suhde edelliseen on pysyvä:

b. 2 / b. 1 = b. 3 / b. 2 = . . . = b N. +1 / b N. = q..

Määrä q. Puhelu denomaattorin geometrinen eteneminen.

Geometrisen etenemisen asettaminen riittää määrittelemään ensimmäisen aikavälin ja nimittäjänsä.

Esimerkiksi,

jos b. 1 = 1, q. = -3 , sekvenssin ensimmäiset viisi sekvenssia ovat seuraavat:

b 1. = 1,

b 2. = b 1. · q. = 1 · (-3) = -3,

b 3. = b 2. · q.= -3 · (-3) = 9,

b 4. = b 3. · q.= 9 · (-3) = -27,

b. 5 = b. 4 · q.= -27 · (-3) = 81. ◄

b. 1 ja nimittäjä q. hänen n. - Minua löytyy kaava:

b N. = b. 1 · q N. -1 .

Esimerkiksi,

etsi geometrisen etenemisen seitsemäs jäsen 1, 2, 4, . . .

b. 1 = 1, q. = 2,

b. 7 = b. 1 · q. 6 = 1 · 2 6 \u003d 64. ◄

b n-1 = b 1. · q N. -2 ,

b N. = b 1. · q N. -1 ,

b N. +1 = b. 1 · q N.,

sitten ilmeisesti

b N. 2 = b N. -1 · b N. +1 ,

jokainen geometrisen etenemisen jäsen toisesta on yhtä suuri kuin keskimääräinen geometrinen (suhteellinen) edeltävä ja myöhempi jäsen.

Koska vastakkainen lausunto on myös totta, tapahtuu seuraavasti:

numerot A, B ja C ovat johdonmukaisia \u200b\u200bjoidenkin geometrisen etenemisen jäseniä, jos ja vain jos yhden heistä neliö on yhtä suuri kuin kahden muun työn, toinen numero on keskimääräinen geometrinen kaksi muuta.

Esimerkiksi,

todistamme, että kaavan määrittämä sekvenssi b N. \u003d -3 · 2 N. on geometrinen eteneminen. Käytämme edellä mainittua lausuntoa. Meillä on:

b N. \u003d -3 · 2 N.,

b N. -1 \u003d -3 · 2 N. -1 ,

b N. +1 \u003d -3 · 2 N. +1 .

Siten,

b N. 2 \u003d (-3 · 2 N.) 2 \u003d (-3 · 2 N. -1 ) · (-3 · 2 N. +1 ) = b N. -1 · b N. +1 ,

mikä osoittaa tarpeellisen lausunnon. ◄

Ota huomioon, että n. -Y Geometrisen etenemisen jäsen ei löydy paitsi b. 1 , mutta myös aiempi jäsen b K. Miksi on tarpeeksi käyttää kaavaa

b N. = b K. · q N. - K..

Esimerkiksi,

varten b. 5 voidaan tallentaa

b 5. = b 1. · q. 4 ,

b 5. = b 2. · q3.,

b 5. = b 3. · q 2.,

b 5. = b 4. · q.. ◄

b N. = b K. · q N. - K.,

b N. = b N. - K. · q K.,

sitten ilmeisesti

b N. 2 = b N. - K.· b N. + K.

geometrisen etenemisen jäsenen neliö, joka alkaa toisesta, joka on yhtä suuri kuin tämän etenemisen jäsenten työ.

Lisäksi tasa-arvo on totta mihinkään geometriseen etenemiseen:

b M.· b N.= b K.· b L.,

m.+ n.= k.+ l..

Esimerkiksi,

geometrisessa etenemisessä

1) b. 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b. 5 · b. 7 ;

2) 1024 = b. 11 = b. 6 · q. 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b. 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b. 4 · b. 8 ;

4) b. 2 · b. 7 = b. 4 · b. 5 , kuten

b. 2 · b. 7 = 2 · 64 = 128,

b. 4 · b. 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S N.= b. 1 + b. 2 + b. 3 + . . . + b N.

ensimmäinen n. Geometrisen etenemisen jäsenet nimittäjällä q. ≠ 0 Laskettu kaava:

Ja- q. = 1 - Kaavan mukaan

S N.= hUOM. 1

Huomaa, että jos haluat tiivistää jäseniä

b K., b K. +1 , . . . , b N.,

kaavaa käytetään:

Esimerkiksi,

geometrisessa etenemisessä 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S. 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S. 10 - S. 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jos geometrinen eteneminen annetaan, arvot b. 1 , b N., q., n. ja S N. kaksi kaavaa:

Siksi, jos kolmen näiden arvojen arvot annetaan, näiden kahden jäljellä olevan arvojen vastaavat arvot määritetään näistä kaavoista yhdistettynä kahden yhtälön järjestelmään kahdella tuntemattomalla.

Geometrinen eteneminen ensimmäisen jäsenen kanssa b. 1 ja nimittäjä q. Seuraavassa on seuraava monotonian ominaisuudet :

• edistyminen kasvaa, jos jokin seuraavista ehdoista suoritetaan:

b. 1 > 0 ja q.> 1;

b. 1 < 0 ja 0 < q.< 1;

• edistyminen lasketaan, jos suoritetaan yksi seuraavista ehdoista:

b. 1 > 0 ja 0 < q.< 1;

b. 1 < 0 ja q.> 1.

Jos q.< 0 , sitten geometrinen eteneminen on merkki): Sen jäsenillä on parittomat numerot, joilla on sama merkki kuin sen ensimmäinen jäsen, ja jopa numerot - vastakkainen merkki. On selvää, että vaihtoehtoinen geometrinen eteneminen ei ole yksitoikkoinen.

Ensimmäisen työn n. Geometrisen etenemisen jäsenet voidaan laskea kaavalla:

P N.= b 1. · B 2. · B 3. · . . . · B N. = (b 1. · b N.) n. / 2 .

Esimerkiksi,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Äärettömän väheneminen geometrisen etenemisen

Äärettömän väheneminen geometrisen edistyksen Soita ääretön geometrinen eteneminen, jonka nimittäjä moduuli on vähemmän 1 , toisin sanoen

|q.| < 1 .

Huomaa, että geometrisen etenemisen äärettömän väheneminen ei välttämättä ole vähenevä sekvenssi. Tämä vastaa tapausta

1 < q.< 0 .

Tämän nimittäjän kanssa sekvenssi vaihtelee. Esimerkiksi,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Geometrisen etenemisen vähenemisen summa soita numero, johon ensimmäisen summa on rajoittamaton n. Etenemisen jäsenet, joilla on rajoittamaton kasvu n. . Tämä numero on aina tietysti ja ilmaistaan \u200b\u200bkaava

Esimerkiksi,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Aritmeettisten ja geometristen eteneminen

Aritmeettinen ja geometrinen eteneminen liittyvät läheisesti toisiinsa. Harkitse vain kaksi esimerkkiä.

a. 1 , a. 2 , a. 3 , . . . d. T.

b A. 1 , b A. 2 , b A. 3 , . . . b D. .

Esimerkiksi,

1, 3, 5, . . . - aritmeettinen eteneminen erolla 2 ja

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - Geometrinen eteneminen nimittäjällä 7 2 . ◄

b. 1 , b. 2 , b. 3 , . . . - Geometrinen eteneminen nimittäjällä q. T.

kirjaudu A B 1, kirjaudu A B 2, kirjaudu A B 3, . . . - aritmeettinen eteneminen erolla loki A.q. .

Esimerkiksi,

2, 12, 72, . . . - Geometrinen eteneminen nimittäjällä 6 ja

lG. 2, lG. 12, lG. 72, . . . - aritmeettinen eteneminen erolla lG. 6 . ◄

Oppitunti ja esitys aiheesta: "numeeriset sekvenssit. Geometrinen eteneminen"

Lisämateriaalit
Rakkaat käyttäjät, älä unohda jättää kommenttisi, arvostelut, toiveita! Kaikki materiaalit tarkistetaan virustentorjuntaohjelmalla.

Koulutuskäsikirjat ja simulaattorit online-myymälässä "Integraaliset" palkkaluokkaan 9
Tutkinnot ja juuret toiminnot ja grafiikka

Kaverit, tänään esitämme toisen etenemisen.
Tämän päivän oppitunnin teema on geometrinen eteneminen.

Geometrinen eteneminen

Esimerkki. 1,2,4,8,16 ... Geometrinen eteneminen, jossa ensimmäinen termi on yhtä kuin yksi ja $ Q \u003d $ 2.

Esimerkki. 8,88,88 ... Geometrinen eteneminen, joka on kahdeksan,
A $ Q \u003d 1 $.

Esimerkki. 3, -3,3, -3,3 ... Geometrinen eteneminen, joka ensimmäinen jäsen on kolme,
A $ Q \u003d -1 $.

Geometrinen eteneminen on yksitoikkoisominaisuuksia.
Jos $ b_ (1)\u003e 0 $, $ q\u003e $ 1,
sitten sekvenssi kasvaa.
Jos $ b_ (1)\u003e 0 $, $ 0 Sekvenssi on merkitty muodossa: $ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n), ... $.

Myös kuten aritmeettisessa etenemisessä, jos geometrisessa etenemisessä tietenkin elementtien määrä, eteneminen kutsutaan lopulliseksi geometriseksi etenemiseksi.

$ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n - 2), b_ (n - 1), b_ (n) $.
Huomautus Jos sekvenssi on geometrinen eteneminen, jäsenten neliöiden sekvenssi on myös geometrinen eteneminen. Toisessa sekvenssissä ensimmäinen termi on $ b_ (1) ^ 2 $ ja nimittäjä on $ Q ^ 2 $.

Geometrisen etenemisen N-Bous-jäsenen kaava

Mennään takaisin esimerkkeihimme.

Esimerkki. 1,2,4,8,16 ... geometrinen eteneminen, jossa ensimmäinen termi on yhtä suuri,
a $ Q \u003d $ 2.
$ b_ (n) \u003d 1 * 2 ^ (n) \u003d 2 ^ (n - 1) $.

Esimerkki. 16,84,2,11 / 2 ... geometrinen eteneminen, jossa ensimmäinen termi on kuusitoista, ja $ Q \u003d \\ frac (1) (2) $.
$ b_ (n) \u003d 16 * (1 frac (1) (2)) ^ (n - 1) $.

Esimerkki. 8,88,88 ... Geometrinen eteneminen, jossa ensimmäinen termi on kahdeksan ja $ Q \u003d 1 $.
$ b_ (n) \u003d 8 * 1 ^ (n - 1) \u003d 8 dollaria.

Esimerkki. 3, -3,3, -3,3 ... Geometrinen eteneminen, jossa ensimmäinen termi on kolme, ja $ q \u003d -1 $.
$ b_ (n) \u003d 3 * (- 1) ^ (n - 1) $.

Esimerkki. Geometrinen eteneminen $ b_ (1), b_ (2), ..., b_ (n), ... $.
a) Tiedetään, että $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d $ 3. Etsi $ b_ (5) $.
b) Tiedetään, että $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d 2, b_ (n) \u003d $ 768. Etsi N.
c) Tiedetään, että $ q \u003d -2, b_ (6) \u003d 96 dollaria. Etsi $ b_ (1) $.
d) Tiedetään, että $ b_ (1) \u003d - 2, b_ (12) \u003d 4096 dollaria. Etsi Q.

Päätös.
a) $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 \u003d 6 * 3 ^ 4 \u003d 486 dollaria.
b) $ b_n \u003d b_1 * q ^ (n - 1) \u003d 6 * 2 ^ (n - 1) \u003d 768 dollaria.
$ 2 ^ (n - 1) \u003d \\ frac (768) (6) \u003d 128 $, koska $ 2 ^ 7 \u003d 128 \u003d\u003e n - 1 \u003d 7; N \u003d 8 dollaria.
c) $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 \u003d b_ (1) * (- 2) ^ 5 \u003d -32 * b_ (1) \u003d 96 \u003d\u003e b_ (1) \u003d - $ 3.
d) $ b_ (12) \u003d b_ (1) * q ^ (11) \u003d - 2 * q ^ (11) \u003d 4096 \u003d\u003e q ^ (11) \u003d - 2048 \u003d\u003e q \u003d -2 $.

Esimerkki. Geometrisen etenemisen seitsemännen ja viidennen jäsenen välinen ero on 192, etenemisen viidennen ja kuudennen jäsenen määrä on 192. Etsi tämän etenemisen kymmenes jäsen.

Päätös.
Tiedämme, että: $ b_ (7) -b_ (5) \u003d 192 $ ja $ b_ (5) + b_ (6) \u003d 192 $.
Tiedämme myös: $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 $; $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 $; $ b_ (7) \u003d b_ (1) * q ^ 6 $.
Sitten:
$ B_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * q ^ 4 \u003d 192 $.
$ B_ (1) * q ^ 4 + b_ (1) * q ^ 5 \u003d 192 $.
Vastaanotettu yhtälöjärjestelmä:
$ \\ aloita (kotelot) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d 192 \\\\ b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) \u003d 192 \\ Lopeta (kotelot) $.
Valmistelu, yhtälömme saadaan:
$ B_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) $.
$ Q ^ 2-1 \u003d q + 1 $.
$ Q ^ 2-Q-2 \u003d 0 $.
Vastaanotettu kaksi ratkaisua Q: $ Q_ (1) \u003d 2, q_ (2) \u003d - 1 $.
Korvataan myöhemmin toisen yhtälön:
$ B_ (1) * 2 ^ 4 * 3 \u003d 192 \u003d\u003e b_ (1) \u003d $ 4.
$ b_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 \u003d 192 \u003d\u003e $ Ei ratkaisuja.
Vastaanotettu: $ b_ (1) \u003d 4, q \u003d $ 2.
Löydämme kymmenennen jäsenen: $ b_ (10) \u003d b_ (1) * q ^ 9 \u003d 4 * 2 ^ 9 \u003d 2048 dollaria.

Lopettavan geometrisen etenemisen määrä

Anna lopullinen geometrinen eteneminen: $ b_ (1), b_ (2), ..., b_ (n - 1), b_ (n) $.
Esittelemme jäsentensä summan nimeämisen: $ s_ (n) \u003d b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n) $.
Siinä tapauksessa, kun $ q \u003d 1 $. Kaikki geometrisen etenemisen jäsenet ovat yhtä suuria kuin ensimmäinen jäsen, niin on selvää, että $ s_ (n) \u003d n * b_ (1) $.
Harkitse nyt $ Q ≠ $ 1.
Kerro edellä mainittu määrä Q.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) * q \u003d b_ (1) * q + b_ (2) * q + ⋯ + b_ (n - 1) * q + b_ (n) * q \u003d b_ (2) + b_ (3) + ⋯ + b_ (n) + b_ (n) * q $.
merkintä:
$ S_ (n) \u003d b_ (1) + (b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) $.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) + b_ (n) * q $.

$ S_ (n) * q-s_ (n) \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n) + b_ (n) * q-b_ (1) - (b_ (2) ) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) (q-1) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (n) * q-b_ (1)) (Q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) * q ^ (n - 1) * q-b_ (1)) (Q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (Q-1) $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (Q-1) $.

Saimme äärellisen geometrisen etenemisen määrän kaavan.

Päätös.
$ S_ (7) \u003d \\ frac (4 * (3 ^ (7) -1) (3-1) \u003d 2 * (3 ^ (7) -1) \u003d $ 4372.

Esimerkki.
Etsi geometrisen etenemisen viides jäsen, joka tunnetaan: $ b_ (1) \u003d - $ 3; $ b_ (n) \u003d - 3072 $; $ S_ (n) \u003d - 4095 dollaria.

Päätös.
$ b_ (n) \u003d (- 3) * q ^ (n - 1) \u003d - $ 3072.
$ Q ^ (n - 1) \u003d 1024 $.
$ Q ^ (n) \u003d 1024q $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (-3 * (q ^ (n) -1)) (Q-1) \u003d - 4095 dollaria.
$ -4095 (Q-1) \u003d - 3 * (q ^ (n) -1) $.
$ -4095 (Q-1) \u003d - 3 * (1024Q-1) $.
$ 1365Q-1365 \u003d 1024Q-1 $.
$ 341Q \u003d $ 1364.
$ Q \u003d $ 4.
$ b_5 \u003d b_1 * q ^ 4 \u003d -3 * 4 ^ 4 \u003d -3 * 256 \u003d -768 $.

Geometrisen etenemisen ominaispiirteet

Numeerinen sekvenssi on geometrinen edistys vain silloin, kun kunkin jäsenen neliö on yhtä suuri kuin kahden vierekkäisen etenemisen tuotteen. Älä unohda, että lopullisen etenemisen vuoksi tätä ehtoa ei suoriteta ensimmäiselle ja viimeiselle jäsenelle.

Geometrisen etenemisen jäsenen moduuli on yhtä suuri kuin keskimääräiset geometriset kaksi jäsentä sen vieressä.

Päätös.
Käytämme ominaisuutta:
$ (2x + 2) ^ 2 \u003d (x + 2) (3x + 3) $.
$ 4x ^ 2 + 8x + 4 \u003d 3x ^ 2 + 3x + 6x + $ 6.
$ x ^ 2-x-2 \u003d 0 $.
$ x_ (1) \u003d 2 $ ja $ x_ (2) \u003d - 1 $.
Korvaa jatkuvasti alkuperäisessä ilmaisussa, ratkaisut:
$ X \u003d $ 2, sekvenssi saatiin: 4; 6; 9 - Geometrinen eteneminen, jossa $ q \u003d $ 1,5 $.
$ X \u003d -1 $, vastaanotettu sekvenssi: 1; 0; 0.
Vastaus: $ x \u003d 2. $

Tehtävät itseratkaisuille

Geometrinen eteneminen sekä aritmeettinen, on tärkeä numeerinen lähellä, jota tutkitaan Algebran kouluvuonna luokassa 9. Tässä artikkelissa käsitellään geometrisen etenemisen nimittäjää ja miten sen arvo vaikuttaa sen ominaisuuksiin.

Määritelmä eteneminen geometrinen

Aluksi annamme tämän numeerisen sarjan määritelmän. Geometrisen edistymistä kutsutaan sellaisiksi järkeväksi lukumääriksi, joka muodostuu ensimmäisen elementin johdonmukaisesta kerroksesta vakionumerolle, jota kutsutaan nimittäjäksi.

Esimerkiksi numerot peräkkäin 3, 6, 12, 24, ... on geometrinen eteneminen, koska jos moninkertaistat 3 (ensimmäinen elementti) 2: lla, saamme 6. jos 6 kerrotaan 2: lla, niin saamme sitten 12 Ja niin edelleen.

Tarkasteltavana olevan sekvenssin jäsenet ovat tavanomaisia \u200b\u200bAI-symbolin merkitsemiseksi, jossa i on kokonaisluku, joka ilmaisee rivin elementin numeron.

Edellinen etenemisen määritelmä voidaan kirjoittaa matematiikan kielellä seuraavasti: An \u003d BN-1 * A1, jossa B on nimittäjä. Tutustu tähän kaavaan helposti: jos n \u003d 1, sitten B1-1 \u003d 1, ja saamme A1 \u003d A1. Jos n \u003d 2, sitten An \u003d B * A1, ja tulemme jälleen määrittelemään tarkasteltavana olevien lukumäärän. Samankaltaisia \u200b\u200bargumentteja voidaan jatkaa N. suurien arvojen osalta

Geometrisen etenemisen nimittäjä

Numero B määrittää täysin, mikä merkki on kaikki numeerinen sarja. Nimittäjä B voi olla positiivinen, negatiivinen ja sillä on myös arvo enemmän kuin yksi tai vähemmän. Kaikki luetellut vaihtoehdot johtavat eri sekvensseihin:

• b\u003e 1. Kasvava määrä järkeviä numeroita. Esimerkiksi 1, 2, 4, 8, ... jos elementti A1 on negatiivinen, koko sekvenssi kasvaa vain moduulilla, mutta pienenee numeron merkkiä.
• b \u003d 1. Usein tätä tapausta ei ole nimeltään edistystä, koska on normaalia määrää samanlaisia \u200b\u200bjärkeviä numeroita. Esimerkiksi -4, -4, -4.

Kaava summa

Ennen kuin tarkastellaan erityisiä tehtäviä, jotka käyttävät tarkasteltavana olevan etenemissuunnitelman nimittäjää, on välttämätöntä tuoda tärkeä kaava ensimmäisten N-elementtien määrästä. Kaavassa on muoto: Sn \u003d (BN - 1) * A1 / (B - 1).

Voit saada tämän ilmaisun itse, jos pidät progressiivisten jäsenten rekursiivisen sekvenssin. Huomaa myös, että edellä olevassa kaavassa riittää vain ensimmäisen elementin ja nimittäjän löytämiseksi jäsenten mielivaltaisen määrän löytämiseksi.

Äärettömän vähenevä sekvenssi

Edellä mainitaan selitys, jota se edustaa. Nyt, tietäen SN: n kaavan, käytämme sitä tähän numeeriseen riviin. Koska mikä tahansa numero, jonka moduuli ei ylitä 1, pystytettiin, se pyrkii nollaan, eli b∞ \u003d\u003e 0, if -1

Koska ero (1 - b) on aina positiivinen, riippumatta nimittäjän arvoista, geometrisen S∞ äärettömän etenemisen vähenemisestä määräytyy ainutlaatuisesti ensimmäisen elementin A1 merkki.

Nyt harkitse useita tehtäviä, joissa näytämme, miten soveltaa tietyn numeron saantia.

Tehtävänumero 1. Edistymisen ja määrän tuntemattomien elementtien laskeminen

Geometrisen geometrisen, etenemisen nimittäjän eteneminen 2 ja sen ensimmäinen elementti 3 on yhtä suuri kuin seitsemän ja kymmenennen jäsenen ja mikä on sen seitsemän alkuelementin summa?

Ongelman tila on melko yksinkertainen ja merkitsee edellä olevien kaavojen suoraa käyttöä. Joten laskea elementti numero n, käytämme ilmaisua An \u003d BN-1 * A1. Seitsemännen elementin osalta meillä on: A7 \u003d B6 * A1, korvaamalla tunnetut tiedot, saamme: A7 \u003d 26 * 3 \u003d 192. Samalla tavalla tehdään 10. jäsenelle: A10 \u003d 29 * 3 \u003d 1536.

Käytämme tunnettuja kaavaa määrää ja määrittää tämän arvon sarjan seitsemännestä ensimmäiselle elementille. Meillä on: S7 \u003d (27 - 1) * 3 / (2 - 1) \u003d 381.

Tehtävänumero 2. Edistymisen mielivaltaisten elementtien määrittäminen

Let -2 olla yhtä suuri kuin bn-1 * 4: n geometrisen etenemisen denometrisen etenemisen, jossa n on kokonaisluku. On tarpeen määrittää 5: sta tämän sarjan osakehittävän 5: sta 10. osaksi.

Ongelmaa ei saa ratkaista suoraan tunnetuilla kaavoilla. Se voidaan ratkaista kahdella eri menetelmällä. Topicin esittämisen täydellisyydestä tuodaan molemmat.

Menetelmä 1. Ajatus siitä on yksinkertainen: sinun on laskettava ensimmäisten jäsenten kaksi asiaa koskevaa summaa ja vähennetään sitten toisesta. Laske pienempi määrä: S10 \u003d ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -1364. Nyt lasketaan suuri määrä: S4 \u003d ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -20. Huomaa, että jälkimmäisessä ilmaisussa vain 4 termiä tiivistettiin, koska viides on jo sisällytetty määrään, jonka haluat laskea ongelman ongelman alla. Lopuksi otetaan ero: S510 \u003d S10 - S4 \u003d -1364 - (-20) \u003d -1344.

Menetelmä 2. Ennen kuin korvaa numerot ja laskenta, on mahdollista saada kaava tarkasteltavana olevan sarjan jäsenten M- ja N jäsenten välillä. Teemme ehdottomasti samat kuin menetelmällä 1, vain me työskentelemme ensin määrän symbolin esittämisellä. Meillä on: SNM \u003d (BN - 1) * A1 / (B - 1) - (BM-1 - 1) * A1 / (B - 1) \u003d A1 * (BN - BM-1) / (B - 1) . Tuloksena olevassa ilmaisussa voit korvata tunnetut numerot ja laskea lopputulos: S105 \u003d 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) \u003d -1344.

Tehtävä # 3. Mikä on nimittäjä?

Anna A1 \u003d 2: n, löytää geometrisen etenemisen nimittäjä, edellyttäen, että sen ääretön määrä on 3, ja tiedetään, että tämä on numeron määrä.

Tehtävän perusteella ei ole vaikea arvata, millä kaavalla olisi käytettävä sen ratkaisemiseen. Tietenkin, jotta summa muuttuu äärettömän vähenemisen. Meillä on: S∞ \u003d A1 / (1 - B). Jossa ilmaisee nimittäjä: B \u003d 1 - A1 / S∞. Se on vielä korvata tunnetut arvot ja saada haluttu lukumäärä: B \u003d 1 - 2/3 \u003d -1 / 3 tai -0,333 (3). Voit tarkistaa tämän tuloksen laadullisesti, jos muistat tämän sekvenssin osalta moduulin B ei pidä ylittää yli 1. Kuten voidaan nähdä, | -1 / 3 |

Tehtävänumero 4. Useiden numeroiden palauttaminen

Let 2 elementtiä numeerisen sarjan elementit, esimerkiksi 5th, joka on 30. ja 10. kuin 60. On tarpeen palauttaa koko alue näiden tietojen mukaan, tietäen, että se täyttää geometrisen etenemisen ominaisuudet.

Tehtävän ratkaiseminen on välttämätöntä aloittaa vastaava ilmaisu jokaiselle tunnetulle jäsenelle. Meillä on: A5 \u003d B4 * A1 ja A10 \u003d B9 * A1. Nyt me jakaamme toisen lausekkeen ensimmäisellä, saamme: A10 / A5 \u003d B9 * A1 / (B4 * A1) \u003d B5. Täältä määritämme nimittäjä, ottamalla viidennen asteen juuret jäsenten tehtävän ehdoista, B \u003d 1,148698. Tuloksena oleva numero korvataan yhdeksi tunnetulle elementille, saamme: A1 \u003d A5 / B4 \u003d 30 / (1,148698) 4 \u003d 17,230,4966.

Siten löysimme, mikä on yhtä suuri kuin BN: n etenemisen nimittäjä ja BN-1 * 17,2304966 \u003d A, jossa B \u003d 1,148698.

Missä on geometrisen eteneminen?

Jos se ei ollut tämän numeerisen sarjan käyttöön käytännössä, hänen tutkimuksensa vähennettäisiin puhtaasti teoreettiselle eduksi. Mutta tämä sovellus on olemassa.

Seuraavassa on 3 kuuluisinta esimerkkiä:

• Zenon paradoksi, jossa dekstraaliset akillit eivät pysty kiinni hitaasti kilpikonna, ratkaistaan \u200b\u200bkäyttämällä käsitettä pienentää äärettömän numeron sekvenssit.
• Jos shakkilaudan kussakin solussa on vehnää jyviä, niin että ensimmäisessä solussa laittaa 1 viljaa 2.-2: lla 3. - 3: ssä, niin täyttää kaikki levyn solut tarvitaan 18446744073709551615 jyviä!
• Pelissä "Hanoi Tower" järjestää levyjä yhdestä sauvasta toiseen, on tarpeen suorittaa 2N - 1 toimintaa, eli niiden lukumäärä kasvaa geometriseen etenemiseen käytettyjen levyjen lukumäärään.