Kuka löysi kultaisen leikkauksen. Kuinka kultainen leikkaus toimii
Kultainen suhde on yksinkertainen periaate, joka voi auttaa tekemään kuvioista visuaalisesti miellyttäviä. Tässä artikkelissa selitämme yksityiskohtaisesti, kuinka ja miksi sitä käytetään.
Luonnollinen matemaattinen suhde, jota kutsutaan kultaiseksi suhteeksi tai kultaiseksi keskiarvoksi, perustuu Fibonacci-sekvenssiin (josta olet todennäköisesti kuullut koulussa tai lukenut Dan Brownin kirjasta The Da Vinci Code), ja se tarkoittaa kuvasuhdetta 1: 1.61.
Tällainen suhde löytyy usein elämästämme (kuoret, ananakset, kukat jne.), ja siksi ihminen näkee sen luonnollisena, silmää miellyttävänä.
→ Kultainen suhde on Fibonacci-sekvenssin kahden luvun välinen suhde 
→ Tämän sekvenssin piirtäminen mittakaavassa tuottaa spiraaleja, jotka voidaan nähdä luonnossa.
Uskotaan, että ihmiskunta on käyttänyt kultaista suhdetta taiteessa ja suunnittelussa yli 4 tuhatta vuotta ja ehkä jopa enemmän, jos uskot tiedemiehiä, jotka väittävät, että muinaiset egyptiläiset käyttivät tätä periaatetta pyramidien rakentamisessa.
Kuuluisia esimerkkejä
Kuten sanoimme, kultainen suhde on nähtävissä läpi taiteen ja arkkitehtuurin historian. Tässä on muutamia esimerkkejä, jotka vain vahvistavat tämän periaatteen käytön:
Arkkitehtuuri: Parthenon
Muinaisessa kreikkalaisessa arkkitehtuurissa kultaista suhdetta käytettiin laskettaessa ihanteellista suhdetta rakennuksen korkeuden ja leveyden, porticon koon ja jopa pylväiden välisen etäisyyden välillä. Myöhemmin uusklassismin arkkitehtuuri peri tämän periaatteen.
Taide: Viimeinen ehtoollinen
Taiteilijoille sävellys on perusta. Leonardo da Vinci, kuten monet muutkin taiteilijat, ohjasi kultaisen suhteen periaatetta: esimerkiksi viimeisellä ehtoollisella opetuslasten hahmot sijaitsevat kahdessa alimmassa kolmanneksessa (suurempi kultaisen suhteen kahdesta osasta). ), ja Jeesus asetetaan tiukasti keskelle kahden suorakulmion väliin.
Verkkosuunnittelu: Twitter uusittu vuonna 2010
Twitterin luova johtaja Doug Bowman julkaisi Flickr-tililleen kuvakaappauksen, joka selittää Golden Ration käytön vuoden 2010 uudelleensuunnittelussa. "Kaikki, jotka ovat kiinnostuneita #NewTwitterin mittasuhteista - tiedättehän, tätä ei tehdä turhaan", hän sanoi.
Applen iCloud
ICloud-palvelukuvake ei myöskään ole satunnainen luonnos. Kuten Takamasa Matsumoto selitti blogissaan (alkuperäinen japanilainen versio), kaikki perustuu Golden Ration matematiikkaan, jonka anatomia näkyy oikealla olevassa kuvassa.
Kuinka rakentaa kultainen suhde?
Rakentaminen on melko suoraviivaista ja alkaa pääaukiolta:
Piirrä neliö. Tämä muodostaa suorakulmion "lyhyen sivun" pituuden.
Jaa neliö puoliksi pystyviivalla niin, että saat kaksi suorakulmiota.
Piirrä yhteen suorakulmioon viiva yhdistämällä vastakkaiset kulmat.
Laajenna tätä viivaa vaakasuunnassa kuvan osoittamalla tavalla.
Luo toinen suorakulmio käyttämällä pohjana edellisissä vaiheissa piirtämääsi vaakaviivaa. Valmis!
"kultaiset" soittimet
Jos piirtäminen ja mittaaminen eivät ole suosikkiharrastustasi, jätä kaikki likatyöt erityisesti tähän tarkoitukseen suunniteltujen työkalujen tehtäväksi. Löydä Golden Ratio helposti alla olevien neljän editorin avulla!
GoldenRATIO-sovellus auttaa sinua suunnittelemaan verkkosivustoja, käyttöliittymiä ja asetteluja Golden Ration mukaisesti. Saatavana Mac App Storesta hintaan 2,99 dollaria, siinä on sisäänrakennettu laskin visuaalisella palautteella ja kätevä Suosikit-ominaisuus, joka tallentaa toistuvien tehtävien asetukset. Yhteensopiva Adobe Photoshopin kanssa.
Tämä on laskin, jonka avulla voit luoda verkkosivustollesi täydellisen typografian kultaisen suhteen periaatteiden mukaisesti. Kirjoita vain fontin koko, sisällön leveys sivuston kenttään ja napsauta "Aseta tyyppi"!
Se on yksinkertainen ja ilmainen sovellus Macille ja PC:lle. Syötä vain numero ja se laskee sen osuuden kultaisen suhteen säännön mukaisesti.
Kätevä ohjelma, joka säästää ruudukoiden laskemisen ja piirtämisen vaivan. Täydellisten mittasuhteiden löytäminen on sen avulla helppoa! Toimii kaikkien graafisten muokkausohjelmien kanssa, mukaan lukien Photoshop. Huolimatta siitä, että työkalu on maksettu - 49 dollaria, kokeiluversiota on mahdollista testata 30 päivän ajan.
Kultainen leikkaus on yksinkertainen, kuten kaikki nerokas. Kuvittele jana AB, jonka erottaa piste C. Sinun tarvitsee vain laittaa piste C, jotta voit tehdä yhtälön CB / AC = AC / AB = 0,618. Toisin sanoen luvun, joka saadaan jakamalla pienin segmentti CB keskisegmentin AC pituudella, tulee olla sama kuin luku, joka saadaan jakamalla keskisegmentti AC suuren segmentin AB pituudella. Tämä luku on 0,618. Tämä on kultainen, tai, kuten antiikin aikana sanottiin, jumalallinen osuus - f(kreikaksi "phi"). Erinomaisuusindeksi.
On vaikea sanoa tarkasti, milloin ja kuka on huomannut, että tämän osuuden seuraaminen antaa harmonian tunteen. Mutta heti kun ihmiset alkoivat luoda jotain omin käsin, he yrittivät intuitiivisesti noudattaa tätä suhdetta. Rakennukset pystytetty huomioiden f, näytti aina harmonisemmalta verrattuna niihin, joissa kultaisen leikkauksen mittasuhteita rikotaan. Tämä on todettu useaan otteeseen erilaisilla testeillä.
Geometriassa on kaksi objektia, jotka liittyvät erottamattomasti toisiinsa f: säännöllinen viisikulmio (pentagrammi) ja logaritminen spiraali. Pentagrammissa jokainen viiva, joka leikkaa viereisen, jakaa sen kultaisessa suhteessa, ja logaritmisessa spiraalissa vierekkäisten silmukoiden halkaisijat liittyvät toisiinsa samalla tavalla kuin linjamme AB segmentit AC ja CB. Mutta f ei toimi vain geometriassa. Uskotaan, että minkä tahansa järjestelmän osia (esimerkiksi protonit ja neutronit atomin ytimessä) voi olla kultaista numeroa vastaavassa suhteessa. Tässä tapauksessa tutkijat uskovat, että järjestelmä osoittautuu optimaaliseksi. Totta, hypoteesin tieteellinen vahvistaminen vaatii yli kymmenen vuoden tutkimusta. Missä f ei voida mitata instrumentaalisella menetelmällä, käytetään ns. Fibonacci-lukusarjaa, jossa jokainen seuraava luku on kahden edellisen summa: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 jne. Tämän sarjan erikoisuus on siinä, että jakamalla mikä tahansa sen luku seuraavalla, saadaan tulos mahdollisimman lähellä 0,618:aa. Otetaan esimerkiksi luvut 2,3 ja 5. 2/3 = 0,666 ja 3/5 = 0,6. Itse asiassa suhde on sama kuin segmentin AB komponenttien välillä. Jos siis kohteen tai ilmiön mittausominaisuudet voidaan syöttää Fibonacci-lukusarjaan, se tarkoittaa, että niiden rakenne on kultaisessa suhteessa. Ja tällaisia esineitä ja järjestelmiä on lukemattomia, ja nykyaikainen tiede löytää yhä enemmän uusia. Joten kysymys kuuluu, eikö ole f todella jumalallinen osuus, jolla maailmamme lepää, ei ole ollenkaan retorinen.
Kultainen osuus luonnossa
Kultainen osuus havaitaan myös luonnossa ja jopa yksinkertaisimmilla tasoilla. Otetaan esimerkiksi proteiinimolekyylit, jotka muodostavat kaikkien elävien organismien kudokset. Molekyylit eroavat toisistaan painoltaan, mikä riippuu niihin sisältyvien aminohappojen lukumäärästä. Ei niin kauan sitten havaittiin, että yleisimmät proteiinit ovat massaltaan 31; 81,2; 140,6; 231; 319 tuhatta yksikköä. Tutkijat huomauttavat, että tämä sarja vastaa melkein Fibonacci-sarjaa - 3, 8,13, 21, 34 (tässä tutkijat eivät ota huomioon näiden sarjojen desimaalieroa).
Varmasti jatkotutkimuksissa löytyy proteiini, jonka massa korreloi 5:n kanssa. Tämän varmuuden antaa jopa alkueläinten rakenne - monilla viruksilla on viisikulmainen rakenne. Tapana f ja kemiallisten alkuaineiden suhteet. Lähin sitä on plutonium: sen ytimessä olevien protonien lukumäärän suhde neutroneihin on 0,627. Kauimpana on vety. Kemiallisten yhdisteiden atomien määrä puolestaan on yllättävän usein Fibonaccin lukujen kerrannainen. Tämä koskee erityisesti uraanioksideja ja metalliyhdisteitä.
Jos leikkaat puun silmun auki, huomaat, että siinä on kaksi spiraalia, jotka osoittavat vastakkaisiin suuntiin. Nämä ovat lehtien alkeita. Kierroslukujen suhde näiden kahden spiraalin välillä on aina 2/3 tai 3/5 tai 5/8 jne. Eli taas Fibonaccin mukaan. Muuten, näemme saman kuvion auringonkukansiementen järjestelyssä ja havupuiden käpyjen rakenteessa. Mutta takaisin lehtiin. Kun he avautuvat, he eivät menetä yhteyttään f, koska ne sijaitsevat varrella tai oksalla logaritmisessa spiraalissa. Mutta siinä ei vielä kaikki. On olemassa käsite "lehtien erotuskulmasta" - tämä on kulma, jossa lehdet ovat suhteessa toisiinsa. Tämän kulman laskeminen ei ole vaikeaa. Kuvittele, että varteen on kaiverrettu prisma, jonka pohja on viisikulmainen. Aloita nyt spiraali alas varresta. Pisteet, joissa spiraali koskettaa prisman pintaa, vastaavat pisteitä, joista lehdet kasvavat. Piirrä nyt suora viiva ensimmäisestä lehdestä ja katso kuinka monta lehtiä tällä viivalla on. Niiden lukumäärä biologiassa on merkitty kirjaimella n (tapauksessamme nämä ovat kaksi arkkia). Laske nyt varren ympäri kiertävien kierrosten määrä. Tuloksena olevaa numeroa kutsutaan lehtisykliksi ja sitä merkitään kirjaimella p (meidän tapauksessamme se on 5). Nyt kerromme maksimikulman - 360 astetta 2:lla (n) ja jaamme 5:llä (p). Saamme halutun lehtien erotuskulman - 144 astetta. N:n ja p:n suhde jokaisen kasvin tai puun juhlaan on erilainen, mutta ne eivät kaikki jää Fibonacci-sarjan ulkopuolelle: 1/2; 2/5; 3/8; 5/13 jne. Biologit ovat todenneet, että näiden suhteiden muodostamilla kulmilla on taipumus olla äärettömyydessä 137 asteeseen - optimaaliseen erotuskulmaan, jossa auringonvalo jakautuu tasaisesti oksille ja lehdille. Ja itse lehdissä voimme havaita kultaisen leikkauksen noudattamisen, kuten todellakin kukissa - se on helpoin havaita niissä, joilla on pentagrammin muoto.
f ei ohittanut eläinmaailmaa. Tutkijoiden mukaan kultaisen suhteen esiintyminen elävien organismien luuston rakenteessa ratkaisee erittäin tärkeän ongelman. Tällä tavalla saavutetaan luuston suurin mahdollinen lujuus mahdollisimman pienellä painolla, mikä puolestaan mahdollistaa aineen rationaalisen jakautumisen kehon osiin. Tämä koskee melkein kaikkia eläimistön edustajia. Siten meritähdet ovat täydellisiä viisikulmioita, ja monien nilviäisten kuoret ovat logaritmisia spiraaleja. Sudenkorennon hännän pituuden suhde vartaloon on myös yhtä suuri f... Ja hyttynen ei ole yksinkertainen: sillä on kolme paria jalkoja, vatsa on jaettu kahdeksaan segmenttiin ja päässä on viisi antenniantennia - kaikki sama Fibonacci-rivi. Monien eläinten, esimerkiksi valaan tai hevosen, nikamien lukumäärä on 55. Kylkiluita on 13 ja raajoissa olevien luiden lukumäärä on 89. Ja itse raajoissa on kolmiosainen rakenne. Näiden eläinten luiden kokonaismäärä, mukaan lukien hampaat (joita on 21 paria) ja kuulokojeen luut, on 233 (Fibonacci-luku). Mitä ihmetellä, kun jopa muna, josta, kuten monet ihmiset uskovat, kaikki tapahtui, voidaan kirjoittaa kultaisen leikkauksen suorakulmioon - sellaisen suorakulmion pituus on 1,618 kertaa sen leveys.
© Jos tätä artikkelia käytetään osittain tai kokonaan - aktiivinen hyperlinkki, linkki kognitiiviseen päiväkirjaan, sivusto on PAKOLLINEN
18.4.2011 A.F. Afanasiev Päivitetty 16.6.2011
Koot ja mittasuhteet ovat yksi tärkeimmistä tehtävistä etsittäessä taiteellista kuvaa mistä tahansa plastiikkateoksesta. On selvää, että kokokysymys päätetään ottaen huomioon huone, jossa se sijoitetaan, ja sitä ympäröivät esineet.
Mittasuhteista (mitta-arvojen suhteesta) puhuttaessa otamme ne huomioon litteän kuvan muodossa (kuva, marquetry), tilavuusobjektin kokonaismittojen (pituus, korkeus, leveys) suhteessa. yhden kokonaisuuden kahden esineen suhde, jotka eroavat korkeudeltaan tai pituudeltaan, suhteessa saman esineen kahden selvästi näkyvän osan kokoon jne.
Kuvataiteen klassikot ovat vuosisatojen ajan jäljittäneet mittasuhteiden rakentamistekniikkaa, jota kutsutaan kultaiseksi leikkaukseksi tai kultaiseksi numeroksi (tämän termin esitteli Leonardo da Vinci). Kultaisen leikkauksen eli dynaamisen symmetrian periaate on, että "yhden kokonaisuuden kahden osan välinen suhde on yhtä suuri kuin sen suurimman osan suhde kokonaisuuteen" (tai vastaavasti kokonaisuus suurempaan osaan). Matemaattisesti se on
luku ilmaistaan muodossa - 1 ± 2? 5 - mikä antaa 1,6180339 ... tai 0,6180339 ... Taiteessa 1,62 on otettu kultaiseksi luvuksi, eli likimääräinen ilmaus suuremman arvon suhteesta sen pienempi arvo...
Tämä suhde voidaan ilmaista likimääräisestä tarkempaan: jne., jossa: 5 + 3 = 8, 8 + 5 = 13 jne. Tai: 2,2: 3,3: 5,5: 8, 8 jne., jossa 2,2 + 3,3 -5,5 jne.
Graafisesti kultainen suhde voidaan ilmaista eri rakenteilla saatujen segmenttien suhteella. Mielestämme kätevämpi on kuvan 1 mukainen rakenne. 169: jos lisäät sen lyhyen sivun puolineliön lävistäjään, saat arvon suhteessa kultaiseen numeroon sen pitkälle sivulle.
| Riisi. 169. Suorakulmion geometrinen rakenne kultaleikkauksessa 1.62: 1. Kultainen luku 1.62 suhteessa segmentteihin (a ja b) |
 |
|
Riisi. 170. Kultaisen leikkauksen funktion piirtäminen 1,12:1 |
 |
Kultaisen leikkauksen kahden arvon suhde
luo visuaalisen harmonian ja tasapainon tunteen. Kahden vierekkäisen suuren välillä on toinen harmoninen suhde, joka ilmaistaan numerolla 1.12. Se on kultaisen luvun funktio: jos otat kultaisen leikkauksen kahden arvon erotuksen, jaat sen myös kultasuhteeseen ja lisäät kunkin murto-osan alkuperäisen kultaisen leikkauksen pienempään arvoon, saat suhteen 1,12 (kuva 170). Tältä osin esimerkiksi keskielementti (hylly) piirretään kirjaimilla H, P, Z jne. joissain kirjasimissa, korkeuden ja leveyden suhteet otetaan leveillä kirjaimilla ja tämä suhde löytyy myös luonnosta. .
Kultainen numero havaitaan harmonisesti kehittyneen ihmisen mittasuhteissa (kuva 171): pään pituus jakaa kultaisessa leikkauksessa etäisyyden vyötäröstä kruunuun; polvilumpio jakaa myös etäisyyden vyötäröstä jalkapohjiin; ojennetun käden keskisormen kärki jakaa kultaisessa suhteessa ihmisen koko pituuden; myös sormien sormien suhde on kultainen luku. Sama ilmiö havaitaan muissa luonnon rakenteissa: nilviäisten spiraaleissa, kukkien terimoissa jne.
| Riisi. 172. Kultaiset mittasuhteet veistetystä geraniumin (pelargonium) lehdestä. Rakenne: 1) Rakennamme mittakaavakuvaajan (katso kuva 171) avulla? ABC, | Riisi. 173. Viisi- ja kolmilehtinen rypäleen lehti. Pituuden ja leveyden suhde on 1,12. Kultainen osuus ilmaistaan |
 |
 |
 |
 |
Kuvassa 172 ja 173 esittävät piirustuksen pelargoniumin lehdestä (pelargonium) ja rypäleen lehdestä kultaisten numeroiden 1,62 ja 1,12 suhteissa. Geraniumlehdessä rakennuspohja on kaksi kolmiota: ABC ja CEF, joissa kunkin korkeuden ja pohjan suhde ilmaistaan numeroilla 0,62 ja 1,62 sekä etäisyydet kolmen kaukaisimpien pisteiden parin välillä. lehdet ovat yhtä suuret: AB = CE = SF. Rakenne on esitetty piirustuksessa. Tällaisen lehden muotoilu on tyypillistä geraniumeille, joilla on samalla tavalla veistetyt lehdet.
Yleistetyllä sycamore-lehdellä (kuva 173) on samat mittasuhteet kuin rypäleen lehdellä, suhteessa 1,12, mutta suuri osa rypäleen lehdestä on sen pituus ja sykomorin lehden leveys. Sycamore-lehdellä on kolme suhteellista kokoa, joiden suhde on 1,62. Tällaista vastaavuutta arkkitehtuurissa kutsutaan triadiksi (neljälle suhteelle - tetradi ja edelleen: pektadi, heksodi).
Kuvassa 174 esittää menetelmän vaahteranlehden rakentamiseksi kultaisen leikkauksen mittasuhteissa. Leveyden ja pituuden suhteen 1,12, sillä on useita mittasuhteita numerolla 1,62. Rakenne perustuu kahteen puolisuunnikkaan, joissa pohjan korkeuden ja pituuden suhde ilmaistaan kultaisella numerolla. Rakenne on esitetty piirustuksessa ja myös vaahteranlehden muotovaihtoehdot.
Taiteilija tai kuvanveistäjä käyttää taiteilija tai kuvanveistäjä tietoisesti tai alitajuisesti taiteilija silmänsä luottaen taiteellisissa teoksissa usein kokosuhdetta kultaisessa leikkauksessa. Joten työskennellessään kopiota Kristuksen päästä (Michelangelon jälkeen) tämän kirjan kirjoittaja huomasi, että hiussäikeiden viereiset kiharat heijastavat kooltaan kultaisen leikkauksen suhdetta ja muodoltaan - Arkhimedesin spiraalia, involuutio. Lukija voi itsekin vakuuttua siitä, että useissa klassisten taiteilijoiden maalauksissa keskushahmo sijaitsee muodon sivuilta etäisyyksillä, jotka muodostavat kultaleikkauksen osuuden (esim. pään asento sekä pysty- että vaakasuunnassa MI Lopukhina V. Borovikovskyn muotokuva; pään pystysuora keskikohta O. Kiprenskyn ja muiden A. S. Pushkinin muotokuvassa). Sama näkyy joskus horisonttiviivan sijoittelussa (F. Vasiliev: "Märkä niitty", I. Levitan: "Maaliskuu", "Iltakellot").
Tämä sääntö ei tietenkään aina ole ratkaisu sävellysongelmaan, eikä sen pitäisi korvata taiteilijan työn rytmin ja mittasuhteiden intuitiota. Tiedetään esimerkiksi, että jotkut taiteilijat käyttivät sävellyksissään "musiikkinumeroiden" suhdetta: tertsit, kvartit, kvintit (2:3, 3:4 jne.). Taidekriitikot huomaavat ilman syytä, että minkä tahansa klassisen arkkitehtonisen monumentin tai veistoksen suunnittelua voidaan haluttaessa säätää mihin tahansa lukusuhteeseen. Tehtävämme tässä tapauksessa ja varsinkin aloittelevan taiteilijan tai puunveistäjän tehtävänä on oppia rakentamaan teoksestasi tietoinen sommittelu ei satunnaisten suhteiden mukaan, vaan harmonisten mittasuhteiden mukaan, jotka ovat käytännössä todistettu. Nämä harmoniset mittasuhteet on kyettävä tunnistamaan ja korostamaan tuotteen suunnittelusta ja muodosta.
Harkitse esimerkkinä harmonisen mittasuhteen löytämisestä kehyksen koon määrittämistä kuvassa 2 esitetylle työlle. 175. Siihen sijoitetun kuvan muoto asetetaan kultaisen leikkauksen suhteeseen. Kehyksen ulkomitat, joiden sivujen leveys on sama, eivät anna kultaista suhdetta. Siksi sen pituuden ja leveyden suhteen (ЗЗ0X220) oletetaan olevan hieman pienempi kuin kultainen luku, eli yhtä suuri kuin 1,5, ja poikittaislinkkien leveyttä kasvatetaan vastaavasti sivusivuihin verrattuna. Tämä mahdollisti kehyksen koon saavuttamisen valossa (kuvaa varten), mikä antoi kultaisen leikkauksen mittasuhteet. Rungon alalenkin leveyden suhde sen ylävarren leveyteen säädetään toiseen kultaiseen numeroon, eli 1,12:een. Myös vetovarren leveyden suhde sivutangon leveyteen (94:63) on lähellä 1,5 (kuvassa - vaihtoehto vasemmalla).
Tehdään nyt kokeilu: lisäämme rungon pitkän sivun 366 mm:iin alalenkin leveyden vuoksi (se on 130 mm) (kuvassa - vaihtoehto oikealla), mikä tuo lähemmäksi ei vain suhteessa vaan myös kultaan
numero 1,62 1,12:n sijaan. Tuloksena on uusi koostumus, jota voidaan käyttää missä tahansa muussa tuotteessa, mutta kehykselle halutaan lyhentää. Sulje sen alaosa viivaimella niin, että silmä "ottaa" tuloksena olevan osuuden, ja saamme sen pituuden 330 mm, eli lähestymme alkuperäistä versiota.
Joten analysoimalla erilaisia vaihtoehtoja (voi olla muitakin kuin kaksi analysoitua), mestari pysähtyy hänen näkökulmastaan ainoaan mahdolliseen ratkaisuun.
Kultaisen leikkauksen periaatetta on parempi soveltaa halutun koostumuksen etsimiseen yksinkertaisella laitteella, jonka suunnittelun kaavio on esitetty kuvassa. 176. Tämän laitteen kaksi viivainta voivat pyöritessään saranan B ympäri muodostaa mielivaltaisen kulman. Jos missä tahansa kulmaratkaisussa etäisyys AC kultaisessa leikkauksessa jaetaan pisteellä K ja asennetaan vielä kaksi viivainta: KM \\ BC ja KE \\ AB saranoilla pisteissä K, E ja M, niin mille tahansa AC-ratkaisulle tämä etäisyys jaetaan pisteellä K kultaisen leikkauksen suhteen.
Kultainen suhde - matematiikka
Ihminen erottaa ympärillään olevat esineet muodon mukaan. Kiinnostus minkä tahansa esineen muotoa kohtaan voi johtua elintärkeästä välttämättömyydestä tai sen voi aiheuttaa muodon kauneus. Muoto, joka perustuu symmetrian ja kultaisen leikkauksen yhdistelmään, edistää parasta visuaalista havaintoa sekä kauneuden ja harmonian tunnetta. Kokonaisuus koostuu aina osista, erikokoiset osat ovat tietyssä suhteessa toisiinsa ja kokonaisuuteen. Kultaisen leikkauksen periaate on korkein ilmentymä kokonaisuuden ja sen osien rakenteellisesta ja toiminnallisesta täydellisyydestä taiteessa, tieteessä, tekniikassa ja luonnossa.
Kultainen suhde - harmoninen osuus
Matematiikassa suhde (latinalainen proportio) on kahden suhteen yhtäläisyys: a: b = c: d.
Suora jana AB voidaan jakaa kahteen osaan seuraavilla tavoilla:
kahteen yhtä suureen osaan - AB: AC = AB: BC;
kahteen epätasaiseen osaan missä tahansa suhteessa (sellaiset osat eivät muodosta mittasuhteita);
siis kun AB: AC = AC: BC.
Jälkimmäinen on segmentin kultainen jako tai jako äärimmäisen ja keskiarvon suhteen.
Kultainen leikkaus on sellainen jaon suhteellinen jako epätasaisiin osiin, jossa koko segmentti viittaa suurempaan osaan samalla tavalla kuin suurempi osa itse pienempää; tai toisin sanoen pienempi segmentti viittaa suurempaan kuin suurempi kaikkiin
a: b = b: c tai c: b = b: a.
Riisi. 1. Kultaisen leikkauksen geometrinen kuva
Käytännön tutustuminen kultaiseen leikkaukseen alkaa jakamalla suora jana kultaiseen leikkaukseen kompassin ja viivaimen avulla.
Riisi. 2. Suoran janan jako kultaista leveyttä pitkin. BC = 1/2 AB; CD = BC
Pisteestä B nousee kohtisuora, joka on yhtä suuri kuin puolikas AB. Tuloksena oleva piste C yhdistetään suoralla pisteeseen A. Tuloksena olevalle suoralle asetetaan jana BC, joka päättyy pisteeseen D. Jana AD siirretään suoralle AB. Tuloksena oleva piste E jakaa janan AB kultaisessa suhteessa.
Kultaisen leikkauksen segmentit ilmaistaan äärettömällä irrationaalisella murtoluvulla AE = 0,618 ... jos AB otetaan yksikkönä, BE = 0,382 ... Käytännön tarkoituksiin käytetään usein likimääräisiä arvoja 0,62 ja 0,38. Jos segmentti AB otetaan 100 osaksi, niin suurin osa segmentistä on 62 ja pienempi osa 38 osaa.
Kultaisen leikkauksen ominaisuuksia kuvataan yhtälöllä:
x2 - x - 1 = 0.
Ratkaisu tähän yhtälöön:
Kultaisen leikkauksen ominaisuudet ovat luoneet tämän numeron ympärille romanttisen mysteerin ja lähes mystisen palvonnan sädekehän.
Toinen kultainen suhde
Bulgarialainen aikakauslehti Otechestvo (nro 10, 1983) julkaisi Tsvetan Tsekov-Karandashin artikkelin "Toisesta kultaisesta leikkauksesta", joka seuraa pääosiosta ja antaa erilaisen suhteen 44:56.
Tämä osuus löytyy arkkitehtuurista, ja se esiintyy myös rakennettaessa koostumuksia pitkänomaisen vaakamuodon kuvista.
Jako suoritetaan seuraavasti. Segmentti AB jaetaan kultaisen leikkauksen suhteessa. Pisteestä C kohtisuora CD palautetaan. Piste D sijaitsee säteellä AB, jota yhdistää viiva pisteeseen A. Suora kulma ACD jaetaan puoliksi. Pisteestä C vedetään suora suoran AD leikkauspisteeseen. Piste Edelitin segmentti AD suhteessa 56:44.
Riisi. 3. Toisen kultaisen leikkauksen rakentaminen
Riisi. 4. Suorakulmion jakaminen toisen kultaleikkauksen viivalla
Kuvassa näkyy toisen kultaisen leikkauksen viivan sijainti. Se sijaitsee keskellä kultaisen leikkausviivan ja suorakulmion keskiviivan välissä.
Kultainen kolmio
Voit etsiä nousevan ja laskevan sarjan kultaisen suhteen segmentit käyttämällä pentagrammia.
Riisi. 5. Säännöllisen viisikulmion ja pentagrammin rakentaminen
Pentagrammin rakentamiseksi sinun on rakennettava tavallinen viisikulmio. Sen rakennusmenetelmän on kehittänyt saksalainen taidemaalari ja graafikko Albrecht Durer (1471 ... 1528). Olkoon O ympyrän keskipiste, A ympyrän piste ja E janan OA keskipiste. Pisteessä O palautettu kohtisuora säteeseen OA leikkaa ympyrän pisteessä D. Siirrämme kompassin avulla halkaisijan janaa CE = ED. Ympyrään piirretyn säännöllisen viisikulmion sivun pituus on DC. Laitamme sivuun ympyrän segmentit DC ja saamme viisi pistettä säännöllisen viisikulmion piirtämisestä. Yhdistämme viisikulmion kulmat yhden lävistäjän läpi ja saamme pentagrammin. Kaikki viisikulmion lävistäjät jakavat toisensa segmenteiksi, jotka on yhdistetty kultaisella leikkauksella.
Viisikulmaisen tähden kumpikin pää on kultainen kolmio. Sen sivut muodostavat 36°:n kulman ylhäällä, ja sivulle varattu pohja jakaa sen suhteessa kultaiseen leikkaukseen.
Piirrämme suoran AB. Pisteestä A laitamme siihen mielivaltaisen arvon segmentin kolme kertaa, tuloksena olevan pisteen P kautta piirretään kohtisuora suoraa AB vastaan, kohtisuoraan pisteen P oikealle ja vasemmalle puolelle jätetään segmentit O. Yhdistämme sai pisteet d ja d1 suorilla viivoilla pisteeseen A. , saaden pisteen C. Hän jakoi suoran Ad1 kultaisen leikkauksen suhteessa. Viivoja Ad1 ja dd1 käytetään "kultaisen" suorakulmion piirtämiseen.
Riisi. 6. Kultaisen kolmion rakentaminen
Kultaisen leikkauksen historia
Uskotaan, että muinaisen kreikkalaisen filosofi ja matemaatikko Pythagoras otti kullanjaon käsitteen tieteelliseen käyttöön (VI vuosisadalla eKr.). Oletetaan, että Pythagoras lainasi tietämyksensä kultaisesta jakautumisesta egyptiläisiltä ja babylonialaisilta. Itse asiassa Kheopsin pyramidin, temppelien, bareljeefien, taloustavaroiden ja Tutankhamonin haudan koristeiden mittasuhteet osoittavat, että egyptiläiset käsityöläiset käyttivät kultaisia jakosuhteita luodessaan niitä. Ranskalainen arkkitehti Le Corbusier havaitsi, että Abydoksen farao Seti I:n temppelin kohokuviossa ja farao Ramsesta kuvaavassa reliefissä kuvien mittasuhteet vastaavat kultaisen jaon arvoja. Arkkitehti Khesira, joka on kuvattu nimensä haudan puulevyn kohokuviossa, pitää käsissään mittalaitteita, joissa kultaisen jaon mittasuhteet on kiinnitetty.
Kreikkalaiset olivat taitavia geometrioita. He jopa opettivat aritmetiikkaa lapsilleen geometristen muotojen avulla. Pythagoraan neliö ja tämän neliön diagonaali olivat perustana dynaamisten suorakulmioiden rakentamiselle.
Riisi. 7. Dynaamiset suorakulmiot
Platon (427 ... 347 eKr.) tiesi myös kultajaosta. Hänen dialoginsa "Timaeus" on omistettu Pythagoraan koulukunnan matemaattisille ja esteettisille näkemyksille ja erityisesti kultaisen jaon kysymyksiin.
Muinaisen kreikkalaisen Parthenon-temppelin julkisivussa on kultaiset mittasuhteet. Kaivausten aikana löydettiin kompasseja, joita käyttivät muinaisen maailman arkkitehdit ja kuvanveistäjät. Pompejin kompassissa (museo Napolissa) lasketaan myös kultaisen jaon mittasuhteet.
Riisi. 8. Antiikkiset kultaisen leikkauksen kompassit
Muinaisessa kirjallisuudessa, joka on tullut meille, kultainen jako mainittiin ensimmäisen kerran Eukleideen "elementeissä". "Alkujen" toisessa kirjassa on esitetty kultajaon geometrinen rakenne. Eukleideen jälkeen kullanjakoa tutkivat Gipsicles (II vuosisata eKr.), Pappus (III vuosisata eKr.) ym. Keskiaikaisessa Euroopassa kultadivisioona Tapasimme Euclid's Elements -kirjan arabiankielisten käännösten kautta. Kääntäjä J. Campano Navarrasta (III vuosisata) kommentoi käännöstä. Kultadivisioonan salaisuuksia vartioitiin mustasukkaisesti ja pidettiin tiukasti salassa. Ne olivat vain vihkivien tiedossa.
Renessanssin aikana kiinnostus kultajakoa kohtaan lisääntyi tiedemiesten ja taiteilijoiden keskuudessa sen soveltamisen yhteydessä sekä geometriassa että taiteessa, erityisesti arkkitehtuurissa Taiteilija ja tiedemies Leonardo da Vinci näki, että italialaisilla taiteilijoilla oli paljon empiiristä kokemusta, mutta vähän tietoa... Hän tuli raskaaksi ja alkoi kirjoittaa kirjaa geometriasta, mutta tällä hetkellä ilmestyi munkki Luca Paciolin kirja, ja Leonardo luopui yrityksestään. Aikalaisten ja tieteen historioitsijoiden mukaan Luca Pacioli oli todellinen valomies, Italian suurin matemaatikko Fibonaccin ja Galileon välisenä aikana. Luca Pacioli oli taidemaalari Piero della Franceschin oppilas, joka kirjoitti kaksi kirjaa, joista toinen oli nimeltään On Perspective in Painting. Häntä pidetään kuvailevan geometrian luojana.
Luca Pacioli tiesi hyvin tieteen merkityksen taiteelle. Vuonna 1496 hän saapui Moreaun herttuan kutsusta Milanoon, jossa hän luennoi matematiikasta. Leonardo da Vinci työskenteli tuolloin myös Milanossa Moron hovissa. Vuonna 1509 Venetsiassa julkaistiin Luca Paciolin kirja Divine Proportion, jossa on nerokkaasti toteutettuja kuvituksia, minkä vuoksi uskotaan, että ne ovat Leonardo da Vinci. Kirja oli hurmaava hymni kultaiselle leikkaukselle. Kultaisen leikkauksen monien hyveiden joukossa munkki Luca Pacioli ei jättänyt nimeämättä sen "jumalallista olemusta" ilmaisuksi Jumala Pojan, Isän Jumalan ja Pyhän Hengen jumalallisesta kolminaisuudesta (ymmärrettiin, että pieni segmentti on Pojan Jumalan personifikaatio, suurempi segmentti on Isän Jumala ja koko segmentti - pyhän hengen jumala).
Leonardo da Vinci kiinnitti myös paljon huomiota kultadivisioonan tutkimukseen. Hän teki osioita stereometrisestä kiinteästä aineesta, joka muodostui säännöllisistä viisikulmioista, ja joka kerta hän sai suorakulmioita, joiden kuvasuhteet olivat kultajako. Siksi hän antoi tälle jaolle nimen Golden Ratio. Joten se on edelleen suosituin.
Samaan aikaan Pohjois-Euroopassa, Saksassa, Albrecht Durer työskenteli samojen ongelmien parissa. Hän luonnostelee johdannon mittasuhteita käsittelevän tutkielman ensimmäiseen luonnokseen. Durer kirjoittaa. ”On välttämätöntä, että joku, joka osaa opettaa sen muille, jotka sitä tarvitsevat. Tämä on se, mitä päätin tehdä."
Yhdestä Dürerin kirjeestä päätellen hän tapasi Luca Paciolin Italiassa oleskelunsa aikana. Albrecht Durer kehittää yksityiskohtaisesti teoriaa ihmiskehon mittasuhteista. Dürer osoitti kultaiselle leikkaukselle tärkeän paikan suhdejärjestelmässään. Ihmisen korkeus jaetaan kultaisissa mittasuhteissa vyöviivalla, samoin kuin alas laskettujen käsien keskisormien kärkien läpi, kasvojen alaosan suulla jne. Dürerin suhteellinen kompassi tunnetaan.
XVI vuosisadan suuri tähtitieteilijä. Johannes Kepler kutsui kultaista leikkausta yhdeksi geometrian aarteista. Hän kiinnitti ensimmäisenä huomion kultaisen leikkauksen merkitykseen kasvitieteen (kasvien kasvun ja rakenteen) kannalta.
Kepler kutsui itsensä jatkuvuuden kultaista osuutta "Se on järjestetty näin", hän kirjoitti, "että tämän loputtoman osuuden kaksi alinta termiä laskevat yhteen kolmannen termin ja mitkä tahansa kaksi viimeistä termiä, jos ne lisätään, antavat seuraavan aikavälillä, ja sama osuus pysyy äärettömään asti".
Useiden kultaisen leikkauksen segmenttien rakentaminen voidaan tehdä sekä ylöspäin (kasvava rivi) että alaspäin (laskeva rivi).
Jos mielivaltaisen pituisella suoralla lykätään segmenttiä m, sen viereen jätetään segmentti M. Näiden kahden segmentin perusteella rakennetaan nousevan ja laskevan sarjan kultaisen leikkauksen segmenttien asteikko
Riisi. 9. Kultaisen leikkauksen segmenttien asteikon rakentaminen
Seuraavina vuosisatoina kultaisen leikkauksen sääntö muuttui akateemiseksi kaanoniksi, ja kun taiteessa ajan myötä alkoi kamppailu akateemisen rutiinin kanssa, taistelun kuumuudessa "lapsi heitettiin veden mukana" . Kultaleikkaus "löydettiin" uudelleen 1800-luvun puolivälissä. Saksalainen kultaisen leikkauksen tutkija, professori Zeising julkaisi vuonna 1855 teoksensa Esteettinen tutkimus. Zeisingin kanssa tapahtui juuri sitä, mitä väistämättä tapahtui tutkijalle, joka pitää ilmiötä sellaisenaan ilman yhteyttä muihin ilmiöihin. Hän absolutisoi kultaisen leikkauksen osuuden ja julisti sen universaaliksi kaikille luonnonilmiöille ja taiteelle. Zeisingillä oli lukuisia seuraajia, mutta oli myös vastustajia, jotka julistivat hänen mittasuhteiden oppinsa "matemaattiseksi estetiikaksi".
Riisi. 10. Kultaiset mittasuhteet ihmiskehon osissa
Zeising on tehnyt valtavan työn. Hän mittasi noin kaksituhatta ihmisruumista ja tuli siihen tulokseen, että kultainen leikkaus kuvaa keskimääräistä tilastollista lakia. Kehon jakautuminen napapisteen mukaan on kultaisen leikkauksen tärkein indikaattori. Miehen vartalon mittasuhteet vaihtelevat keskimääräisen suhteen 13:8 = 1,625 sisällä ja ovat jonkin verran lähempänä kultaista leikkausta kuin naisen ruumiin mittasuhteet, joihin suhteutettuna osuuden keskiarvo ilmaistaan suhteessa 8 : 5 = 1,6. Vastasyntyneellä suhde on 1:1, 13-vuotiaana se on 1,6 ja 21-vuotiaana sama kuin miehellä. Kultaisen leikkauksen mittasuhteet ilmenevät myös suhteessa muihin kehon osiin - olkapään, kyynärvarren ja käden, käden ja sormien pituuteen jne.
Riisi. 11. Kultaiset mittasuhteet ihmishahmossa
Zeising testasi teoriansa pätevyyttä kreikkalaisilla patsailla. Yksityiskohtaisimmin hän kehitti Apollo Belvederen mittasuhteet. Tutkimuksen kohteena olivat kreikkalaiset maljakot, eri aikakausien arkkitehtoniset rakenteet, kasvit, eläimet, linnunmunat, musiikin sävyt ja runolliset mitat. Zeising määritteli kultaisen leikkauksen, osoitti kuinka se ilmaistaan viivanosina ja numeroina. Kun osien pituuksia ilmaisevat luvut saatiin, Zeising näki niiden muodostavan Fibonacci-sarjan, jota voitiin jatkaa loputtomiin suuntaan tai toiseen. Hänen seuraava kirjansa oli nimeltään "Kultainen jako luonnon ja taiteen morfologisena peruslaina". Vuonna 1876 Venäjällä julkaistiin pieni kirja, melkein esite, joka esitteli tätä Zeisingin työtä. Kirjoittaja turvautui nimikirjaimiin Yu.F.V. Tässä painoksessa ei mainita maalausta.
XIX lopulla - XX vuosisadan alussa. Monet puhtaasti formalistiset teoriat ilmestyivät kultaisen leikkauksen käytöstä taideteoksissa ja arkkitehtuurissa. Muotoilun ja teknisen estetiikan kehittyessä kultaisen leikkauksen laki ulottui autojen, huonekalujen jne. suunnitteluun.
Fibonacci sarja
Pisalaisen italialaisen matemaatikkomunkin Leonardon nimi, joka tunnetaan paremmin nimellä Fibonacci (Bonaccin poika), liittyy epäsuorasti kultaisen leikkauksen historiaan. Hän matkusti paljon idässä, esitteli Euroopassa intialaisia (arabialaisia) numeroita. Vuonna 1202 julkaistiin hänen matemaattinen teoksensa "The Book of the Abacus" (laskentalauta), johon koottiin kaikki tuolloin tunnetut ongelmat. Yksi tehtävistä oli ”Kuinka monta paria kania syntyy yhdestä parista vuoden aikana”. Pohdittuaan tätä aihetta Fibonacci rakensi seuraavan numerosarjan:
Numerorivi 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 jne. tunnetaan Fibonacci-sarjana. Numerosarjan erikoisuus on, että jokainen sen jäsen kolmannesta alkaen on yhtä suuri kuin kahden edellisen 2 + 3 = 5 summa; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 jne., ja vierekkäisten lukujen suhde sarjassa lähestyy kultajaon suhdetta. Joten 21:34 = 0,617 ja 34: 55 = 0,618. Tämä suhde on merkitty symbolilla F. Vain tämä suhde - 0,618: 0,382 - antaa jatkuvan suoran jaon jaon kultaisessa suhteessa, sen kasvun tai pienenemisen äärettömyyteen, kun pienempi segmentti liittyy suurempaan ja suurempi kaikkeen .
Fibonacci käsitteli myös kaupankäynnin käytännön tarpeita: mikä on pienin painojen määrä hyödykkeen punnitsemiseen? Fibonacci todistaa, että seuraava painojärjestelmä on optimaalinen: 1, 2, 4, 8, 16 ...
Yleistetty kultainen suhde
Fibonacci-sarja olisi voinut jäädä vain matemaattiseksi tapahtumaksi, elleivät kaikki kasvi- ja eläinmaailman kultaisen jaon tutkijat, taiteesta puhumattakaan, poikkeuksetta tulivat tähän sarjaan kultaisen jaon lain aritmeettisena ilmaisuna. .
Tiedemiehet jatkoivat aktiivisesti Fibonacci-lukujen ja kultaisen leikkauksen teorian kehittämistä. Yu. Matiyasevitš ratkaisee Hilbertin 10. tehtävän käyttämällä Fibonacci-lukuja. On olemassa kehittyneitä menetelmiä useiden kyberneettisten ongelmien ratkaisemiseen (hakuteoria, pelit, ohjelmointi) Fibonacci-lukujen ja kultaisen leikkauksen avulla. Yhdysvaltoihin ollaan perustamassa jopa Mathematical Fibonacci Associationia, joka on julkaissut erikoislehteä vuodesta 1963 lähtien.
Yksi edistysaskeleista tällä alalla on yleistettyjen Fibonacci-lukujen ja yleisten kultaisten suhteiden löytäminen.
Fibonacci-sarja (1, 1, 2, 3, 5, 8) ja hänen löytämänsä "binääripainorivi" 1, 2, 4, 8, 16 ovat ensi silmäyksellä täysin erilaisia. Mutta niiden rakentamisen algoritmit ovat hyvin samankaltaisia toistensa kanssa: ensimmäisessä tapauksessa jokainen luku on edellisen luvun summa itsensä kanssa 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2…, toisessa se on kahden edellisen luvun summa 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2…. Onko mahdollista löytää yleinen matemaattinen kaava, josta saadaan sekä "binääri"- että Fibonacci-sarja? Tai ehkä tämä kaava antaa meille uusia numeerisia joukkoja, joilla on uusia ainutlaatuisia ominaisuuksia?
Todellakin, asetetaan numeerinen parametri S, joka voi saada mitä tahansa arvoa: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ... Tarkastellaan numerosarjaa, S+ 1 ensimmäisistä jäsenistä on yksiköitä, ja jokainen myöhemmistä on yhtä suuri kuin edellisen kahden jäsenen summa ja välimatka edellisestä S askeleet. Jos n Tämän sarjan -th termi merkitään φ:llä
S (n), niin saadaan yleinen kaava φ S ( n) = φ S ( n-1) + φ S (n – S – 1).Ilmeisesti varten S= 0 tästä kaavasta saamme "binaarisen" sarjan, for S= 1 - Fibonacci-sarja, varten S= 2, 3, 4. uudet numerosarjat, jotka nimettiin S-Fibonaccin numerot.
Yleensä kultaa S-osuus on kultaisen yhtälön positiivinen juuri S-osat x
S + 1 - x S - 1 = 0.On helppo osoittaa, että kun S = 0, segmentti jaetaan puoliksi ja kun S = 1, tuttu klassinen kultainen suhde.
Vierekkäisten Fibonaccin S-lukujen suhteet osuvat absoluuttisella matemaattisella tarkkuudella rajaan kultaisten S-suhteiden kanssa! Matemaatikot sanovat tällaisissa tapauksissa, että kultaiset S-suhteet ovat Fibonaccin S-lukujen numeerisia invariantteja.
Tosiasiat, jotka vahvistavat kultaisten S-leikkeiden olemassaolon luonnossa, lainaavat valkovenäläinen tiedemies E.M. Neljäkymmentä kirjassa "Järjestelmien rakenteellinen harmonia" (Minsk, "Science and Technology", 1984). Osoittautuu esimerkiksi, että hyvin tutkituilla binääriseoksilla on erityisiä, korostuneita toiminnallisia ominaisuuksia (lämpöstabiileja, kovia, kulutusta kestäviä, hapettumisenkestäviä jne.) vain, jos alkukomponenttien ominaispainot ovat sidoksissa toisiinsa. yhdellä kultaisista S-mitoista. Tämä antoi tekijälle mahdollisuuden esittää hypoteesin, että kultaiset S-leikkaukset ovat itseorganisoituvien järjestelmien numeerisia invariantteja. Kokeellisesti vahvistettu tämä hypoteesi voi olla perustavanlaatuinen synergian, uuden itseorganisoituvien järjestelmien prosesseja tutkivan tieteenalan, kehittämiselle.
Kultaisten S-suhdekoodien avulla voit ilmaista minkä tahansa reaaliluvun kultaisten S-suhteiden asteiden summana kokonaislukukertoimilla.
Perimmäinen ero tämän lukujen koodausmenetelmän välillä on se, että uusien koodien, jotka ovat kultaisia S-suhteita, S> 0 kantaluvut osoittautuvat irrationaaleiksi luvuiksi. Siten uudet numerojärjestelmät, joissa on irrationaalisia perusteita, ikään kuin panivat historiallisesti vakiintuneen rationaalisten ja irrationaalisten lukujen välisten suhteiden hierarkian "ylösalaisin". Tosiasia on, että aluksi luonnolliset luvut "löydettiin"; silloin niiden suhteet ovat rationaalilukuja. Ja vasta myöhemmin - sen jälkeen, kun pythagoralaiset löysivät suhteettomia segmenttejä - ilmestyi irrationaalisia lukuja. Esimerkiksi desimaali-, viisi-, binääri- ja muissa klassisissa paikkalukujärjestelmissä luonnolliset luvut - 10, 5, 2 - valittiin eräänlaiseksi perusperiaatteeksi, josta rakennettiin kaikki muut luonnolliset luvut sekä rationaaliset ja irrationaaliset luvut. tiettyjen sääntöjen mukaan.
Eräänlainen vaihtoehto olemassa oleville numerointimenetelmille on perusperiaatteena uusi irrationaalinen järjestelmä, jonka alku on irrationaalinen luku (joka muistaakseni on kultaleikkauksen yhtälön juuri); muut reaaliluvut ilmaistaan jo sen kautta.
Tällaisessa lukujärjestelmässä mikä tahansa luonnollinen luku on aina esitettävissä äärellisenä - eikä äärettömänä, kuten aiemmin ajateltiin! - minkä tahansa kultaisen S-suhteen asteiden summat. Tämä on yksi syistä, miksi "irrationaalinen" aritmetiikka, jolla on hämmästyttävä matemaattinen yksinkertaisuus ja tyylikkyys, näyttää imeneen klassisen binääri- ja "Fibonacci"-aritmetiikan parhaat ominaisuudet.
Muotoilun periaatteet luonnossa
Kaikki, mikä otti jonkin muodon, muodostui, kasvoi, pyrki ottamaan paikan avaruudessa ja säilyttämään itsensä. Tämä pyrkimys löytää toteutuksen pääasiassa kahdessa versiossa - ylöspäin kasvavana tai maan pintaa pitkin leviävänä ja spiraalina kiertyvänä.
Kuori on kierretty spiraaliksi. Jos avaat sen, saat hieman käärmeen pituutta pienemmän pituuden. Pienessä kymmenen senttimetrin kuoressa on 35 cm pitkä spiraali, joka on luonnossa hyvin yleistä. Kultainen leikkaus olisi epätäydellinen, ellei kierre.
Riisi. 12. Archimedesin spiraali
Spiraalimaisesti käpristyneen kuoren muoto kiinnitti Archimedesin huomion. Hän tutki sitä ja päätteli spiraaliyhtälön. Tästä yhtälöstä vedetty spiraali on nimetty hänen mukaansa. Hänen askeleen nousu on aina tasaista. Tällä hetkellä Archimedes-spiraalia käytetään laajalti tekniikassa.
Jopa Goethe korosti luonnon taipumusta spiraaliin. Lehtien kierteinen ja kierteinen asettuminen puiden oksiin on huomattu kauan sitten. Spiraali nähtiin auringonkukansiementen asettelussa, käpyissä, ananaksissa, kaktuksissa jne. Kasvitieteilijöiden ja matemaatikoiden yhteinen työ on tuonut valoa näihin hämmästyttäviin luonnonilmiöihin. Kävi ilmi, että lehtien sijoittelussa oksalle (phylotaxis), auringonkukansiemenissä, käpyissä ilmenee Fibonacci-sarja, ja siksi kultaisen leikkauksen laki ilmenee. Hämähäkki kutoo verkkoa spiraalimaisesti. Hurrikaani pyörii spiraalina. Pelästynyt porolauma hajoaa kierteessä. DNA-molekyyli on kierretty kaksoiskierteeksi. Goethe kutsui spiraalia "elämän käyräksi".
Tienvarsien ruohojen joukossa kasvaa huomaamaton kasvi - sikuri. Katsotaanpa häntä tarkemmin. Päävarresta on muodostunut prosessi. Ensimmäinen arkki sijaitsee siellä.
Riisi. 13. Sikuri
Verso tekee voimakkaan työntymisen avaruuteen, pysähtyy, irrottaa lehden, mutta on lyhyempi kuin ensimmäinen, sinkoutuu jälleen avaruuteen, mutta pienemmällä voimalla, vapauttaa vielä pienemmän lehden ja sinkoutuu uudelleen. Jos ensimmäinen päästö on 100 yksikköä, niin toinen on 62 yksikköä, kolmas on 38, neljäs on 24 jne. Terälehtien pituus on myös kultaisen leikkauksen alainen. Kasvussa, avaruuden valloittamisessa kasvi säilytti tietyt mittasuhteet. Sen kasvuimpulssit vähenivät vähitellen suhteessa kultaiseen leikkuun.
Riisi. 15. Linnunmuna
Suuri Goethe, runoilija, luonnontieteilijä ja taiteilija (hän maalasi ja maalasi vesiväreillä), haaveili yhtenäisen opetuksen luomisesta orgaanisten ruumiiden muodosta, muodostumisesta ja muodonmuutoksesta. Hän otti termin morfologia käyttöön tieteellisessä käytössä.
Pierre Curie muotoili tämän vuosisadan alussa useita syvällisiä ajatuksia symmetriasta. Hän väitti, ettei minkään kappaleen symmetriaa voida tarkastella ottamatta huomioon ympäristön symmetriaa.
"Kultaisen" symmetrian mallit ilmenevät alkuainehiukkasten energiasiirtymissä, joidenkin kemiallisten yhdisteiden rakenteessa, planeetta- ja avaruusjärjestelmissä, elävien organismien geneettisissä rakenteissa. Nämä kuviot, kuten edellä mainittiin, ovat ihmisen yksittäisten elinten ja koko kehon rakenteessa, ja ne ilmenevät myös biorytmeissä ja aivojen toiminnassa ja visuaalisessa havainnoissa.
Kultainen suhde ja symmetria
Kultaista suhdetta ei voida tarkastella sellaisenaan, erikseen, ilman yhteyttä symmetriaan. Suuri venäläinen kristallografi G.V. Wolfe (1863 ... 1925) piti kultaista leikkausta yhtenä symmetrian ilmentymistä.
Kultajako ei ole epäsymmetrian ilmentymä, jotain symmetrian vastakohtaa, vaan nykykäsityksen mukaan kultajako on epäsymmetrinen symmetria. Symmetriatiede sisältää käsitteitä, kuten staattinen ja dynaaminen symmetria. Staattinen symmetria luonnehtii lepoa, tasapainoa ja dynaamisuutta - liikettä, kasvua. Joten luonnossa staattista symmetriaa edustaa kiteiden rakenne, ja taiteessa se luonnehtii rauhaa, tasapainoa ja liikkumattomuutta. Dynaaminen symmetria ilmaisee aktiivisuutta, luonnehtii liikettä, kehitystä, rytmiä, se on todiste elämästä. Staattiselle symmetrialle on tunnusomaista yhtäläiset segmentit, samat arvot. Dynaamiselle symmetrialle on ominaista segmenttien kasvu tai lasku, ja se ilmaistaan kasvavan tai laskevan sarjan kultaisen leikkauksen arvoina.
Bibliografinen kuvaus: Maksimenko O.V., Pastori V.S., Vorfolomeeva P.V., Mozikova K.A., Nikolaeva M.E., Shmeleva O.V. Kultaisen leikkeen käsitteeseen // Nuori tutkija. - 2016. - Nro 6.1. - S. 35-39..02.2019).
"Geometria omistaa kaksi aarretta:
yksi niistä on Pythagoraan lause,
toinen on segmentin jakaminen keskimääräiseen ja äärimmäiseen suhteeseen "
Johannes Kepler
Avainsanat: kultainen leikkaus, kultaiset mittasuhteet, tieteellinen ilmiö.
Työmme tarkoituksena on tutkia "kultaiseen leikkuun" liittyviä tietolähteitä eri osaamisaloilla, tunnistaa malleja ja yhteyksiä tieteiden välillä, tunnistaa Kultaleikkauksen käytännön merkitys.
Tämän tutkimuksen relevanssin määrää kultaisen leikkauksen käytön vuosisatoja vanha historia matematiikassa ja taiteessa. Se, mitä muinaiset ihmettelivät, on edelleen ajankohtainen ja herättää aikalaisten kiinnostusta.
Ihmiset ovat aina yrittäneet löytää malleja ympäröivästä maailmasta. He ympäröivät itsensä "oikean" muodon esineillä heidän näkökulmastaan. Vain matematiikan kehittyessä ihmiset onnistuivat mittaamaan "kultaisen suhteen", joka myöhemmin tunnettiin nimellä "kultainen leikkaus".
kultainen leikkaus- harmoninen suhde
Kultainen leikkaus on sellainen jaon suhteellinen jako epätasaisiin osiin, jossa koko segmentti viittaa suurempaan osaan samalla tavalla kuin suurempi osa itse pienempää; eli toisin sanoen pienempi segmentti viittaa isompaan kuin suurempi kaikkiin (kuva 1).
a: b = b: c
Riisi. 1. Jakson jako kultaisilla mittasuhteilla
Muistutetaanpa, mikä on kultainen leikkaus. Kultaisen leikkauksen tilavin määritelmä sanoo, että pienempi osa viittaa suurempaan, yhtä suuri kokonaisuuteen. Sen likimääräinen arvo on 1,6180339887. Pyöristetyllä prosentilla kokonaisuuden osien suhteet ovat 62 % - 38 %. Tämä suhde toimii tilan ja ajan muodoissa.
Kultainen kolmio jasuorakulmio
Sen lisäksi, että segmentti jaetaan eriarvoisiin osiin (kultainen suhde), otetaan huomioon kultainen kolmio ja kultainen suorakulmio.
Kultainen suorakulmio on suorakulmio, jonka sivujen pituudet ovat kultaisessa suhteessa (kuva 2).
Viisikulmaisen tähden kumpikin pää on kultainen kolmio. Sen sivut muodostavat 36° kulman kärjessä, ja sivulle asetettu pohja jakaa sen suhteessa kultaiseen leikkaukseen (kuva 3).
Kuva 2. Kultainen suorakulmio
Kuva 3 Kultainen kolmio
Pentacle
Tavallisessa viisisakaraisessa tähdessä kukin segmentti on jaettu segmentillä, joka leikkaa sen kultaisessa leikkauksessa, eli sinisen segmentin suhde vihreään, punaisen ja sinisen, vihreän ja violetin suhde on 1,618 (kuva 4).
Kuva 4. Pentagrammi-hygieya
Pythagoras väitti, että pentagrammi tai, kuten hän sitä kutsui, hygieia on matemaattinen täydellisyys, koska se kätkee kultaisen leikkauksen itsessään. Sinisen ja vihreän, punaisen ja sinisen, vihreän ja violetin suhde on kultainen suhde.
Fibonacci sarja
Lukusarjat 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 jne. tunnetaan Fibonacci-sarjana. Numerosarjan erikoisuus on, että jokainen sen jäsen, alkaen kolmannesta, yhtä suuri kuin kahden edellisen summa, ja vierekkäisten lukujen suhde sarjassa lähestyy kultajaon suhdetta.
Joten 21:34 = 0,617
34: 55 = 0,618.
Kultaisen leikkauksen historia
Uskotaan, että muinaisen kreikkalaisen filosofi ja matemaatikko Pythagoras otti kullanjaon käsitteen tieteelliseen käyttöön (VI vuosisadalla eKr.). Oletetaan, että Pythagoras lainasi tietämyksensä kultaisesta jakautumisesta egyptiläisiltä ja babylonialaisilta. Itse asiassa Kheopsin pyramidin, temppelien, bareljeefien, taloustavaroiden ja Tutankhamonin haudan koristeiden mittasuhteet osoittavat, että egyptiläiset käsityöläiset käyttivät kultaisia jakosuhteita luodessaan niitä.
Kultaiset mittasuhteet sisälläihmiskehon osia
Saksalainen kultaisen leikkauksen tutkija, professori Zeising julkaisi vuonna 1855 teoksensa Esteettinen tutkimus.
Zeising mittasi noin kaksituhatta ihmisruumista ja tuli siihen tulokseen, että kultainen leikkaus kuvaa keskimääräistä tilastollista lakia (kuva 5).
Kuva 5 Kultaiset mittasuhteet ihmiskehon osissa
Kultainen suhde sisäänvillieläimiä
On hämmästyttävää, kuinka vain yksi matemaattinen käsite esiintyy monilla ihmistiedon alueilla. Se tunkeutuu kaikkeen maailmassa ikään kuin yhdistäen harmonian ja kaaoksen, matematiikan ja taiteen.
Biologisessa tutkimuksessa osoitettiin, että viruksista ja kasveista ihmiskehoon paljastuu kaikkialla kultainen osuus, joka kuvaa niiden rakenteen suhteellisuutta ja harmoniaa. Kultainen leikkaus tunnustetaan elävien järjestelmien universaaliksi laiksi.
Liskossa vangitaan ensi silmäyksellä silmiämme miellyttävät mittasuhteet - sen hännän pituus on yhtä paljon suhteessa muun kehon pituuteen kuin 62-38 (kuva 6).
Kuva 6 Kultaiset mittasuhteet liskon ruumiinosissa
Kultainen suhde sisäänarkkitehtuuri
"Kultaista leikkausta" käsittelevistä kirjoista löytyy huomautus, että arkkitehtuurissa, kuten maalauksessa, kaikki riippuu tarkkailijan asemasta, ja jos rakennuksen jotkin mittasuhteet näyttävät muodostavan "kultaisen leikkauksen", niin muista näkökulmista ne näyttävät erilaisilta. "Kultainen osa" antaa rauhallisimman suhteen tiettyjen pituuksien kokoihin.
Yksi antiikin Kreikan arkkitehtuurin kauneimmista esineistä on Parthenon (kuva 7). Rakennuksen korkeuden suhde sen pituuteen on 0,618. Jos jaamme Parthenonin "kultaisen suhteen" mukaan, saamme julkisivun tiettyjä ulkonemia.
Toinen esimerkki antiikin arkkitehtuurista on Cheopsin pyramidi (kuva 8).
Suuren pyramidin mittasuhteet pidetään "kultaisessa suhteessa"
Muinaiset rakentajat onnistuivat pystyttämään tämän majesteettisen muistomerkin lähes täydellisellä teknisellä tarkkuudella ja symmetrialla.
Kuva 7. Parthenon
Kuva 8. Cheopsin pyramidi
Kultainen suhde sisäänveistos
"Kultaisen osan" mittasuhteet luovat vaikutelman kauneuden harmoniasta, joten kuvanveistäjät käyttivät niitä teoksissaan. Joten esimerkiksi kuuluisa Apollo Belvederen patsas koostuu kultasuhteiden mukaan jaetuista osista (kuva 9).
Kuva 9 Apollo Belvederen patsas
Kultainen suhde sisäänmaalaus
Siirtyen esimerkkeihin maalauksen "kultaisesta leikkauksesta", ei voi muuta kuin keskittyä Leonardo da Vincin työhön. Katsotaanpa tarkemmin maalausta "La Gioconda". Muotokuvan sommittelu on rakennettu kultaisiin kolmioihin (kuva 10).
Kuva 10 Leonardo da Vinci "La Gioconda"
Toinen esimerkki maalauksen kultaisesta leikkauksesta on Rafaelin maalaus "Vauvojen lyöminen" (kuva 11). Rafaelin valmistelevassa luonnoksessa piirretään punaisia viivoja, jotka tulevat sävellyksen semanttisesta keskustasta. Jos yhdistät nämä osat luonnollisesti kaarevalla katkoviivalla, saat erittäin suurella tarkkuudella ... kultaisen spiraalin!
Kuva 11. Rafael "Vauvojen hakkaaminen"
Kultainen suhde sisäänkirjallisia teoksia
Tilapäiset taiteen muodot omalla tavallaan osoittavat meille kultaisen jaon periaatteen. Kultaisen leikkauksen sääntö pätee myös venäläisen klassikon yksittäisissä teoksissa. Joten tarinassa "Patakuningatar" on 853 riviä, ja huipentuma on rivillä 535 (853: 535 = 1,6) - tämä on kultaisen leikkauksen piste.
Kultainen suhde sisäänelokuvat
Elokuvaohjaaja Sergei Eisenstein koordinoi tietoisesti elokuvansa "Battleship Potemkin" käsikirjoituksen kultaisen leikkauksen säännön kanssa jakaen nauhan viiteen osaan.
Johtopäätös
Kultainen leikkaus tunnettiin jopa muinaisessa Egyptissä ja Babylonissa, Intiassa ja Kiinassa. Suuri Pythagoras loi salaisen koulun, jossa tutkittiin "kultaisen osan" mystistä olemusta. Euclid sovelsi sitä luoden geometriansa ja Phidias - kuolemattomia veistoksiaan. Platon sanoi, että maailmankaikkeus on järjestetty "kultaisen suhteen" mukaan. Ja Aristoteles löysi "kultaisen osan" vastaavuuden eettiseen lakiin. "Kultaisen leikkauksen" korkeinta harmoniaa saarnaavat Leonardo da Vinci ja Michelangelo, koska kauneus ja "kultainen leikkaus" ovat yksi ja sama. Ja kristityt mystikot maalaavat "kultaisen osan" pentagrammeja luostareidensa seinille pakeneessaan paholaista. Samaan aikaan tiedemiehet - Paciolista Einsteiniin - etsivät, mutta eivät koskaan löydä sen tarkkaa merkitystä. Ääretön luku desimaalipilkun jälkeen - 1,6180339887 ... Outo, salaperäinen, selittämätön asia: tämä jumalallinen osuus seuraa mystisesti kaikkea elävää. Eloton luonto ei tiedä mitä "kultainen suhde" on. Mutta näet varmasti tämän osuuden simpukoiden kaarevissa ja kukkien muodossa ja kovakuoriaisten muodossa ja kauniissa ihmiskehossa. Kaikki elävä ja kaikki kaunis - kaikki noudattaa jumalallista lakia, jonka nimi on "kultainen leikkaus". Joten mikä on kultainen suhde? Mikä on tämä täydellinen, jumalallinen yhdistelmä? Ehkä tämä on kauneuden laki? Vai onko hän mystinen salaisuus? Tieteellinen ilmiö vai eettinen periaate? Vastaus on edelleen tuntematon. Tarkemmin sanottuna - ei, se tiedetään. "Kultainen suhde" on sekä yksi että toinen ja kolmas. Ei vain erikseen, vaan samanaikaisesti... Ja tämä on sen todellinen mysteeri, sen suuri salaisuus.
Kirjallisuus:
- Vilenkin N. Ya., Zhokhov V. I. et al. Matematiikka - 6. - M .: Mnemosina, 2015
- Korbalan F. Kultainen osa. Kauneuden matemaattinen kieli. (Matematiikan maailma, osa 1). - M .: DeAgostini, 2014
- Ajastin G.E. Kultainen osa. - M .: Librokom, 2009
Avainsanat: kultainen leikkaus, kultaiset mittasuhteet, tieteellinen ilmiö.
Huomautus: Kultainen suhde on rakenteellisen harmonian universaali ilmentymä. Sitä löytyy luonnosta, tieteestä, taiteesta - kaikesta, minkä kanssa ihminen voi joutua kosketuksiin. Artikkelin kirjoittajat tutkivat kirjallisuutta, löytävät yhteyksiä kultaleikkaukseen liittyvien tieteiden välillä ja paljastavat kultasuhteiden käytännön merkityksen.
