§ 1 Luonnollisten lukujen jako

Tällä oppitunnilla tutustut käsitteisiin, kuten osinko, jakaja, osamäärä, sekä pohdit joitakin jaon ominaisuuksia ja opit ratkaisemaan yhtälöitä tuntemattomalla tekijällä, tuntemattomalla osinkolla ja tuntemattomalla jakamalla.

Ratkaistaan ​​ongelma:

30 muistikirjaa tulee jakaa tasan 3 pinoon. Kuinka monta muistikirjaa kussakin kasassa on?

Anna jokaisessa pinossa olla X muistikirjaa, sitten ongelman tilanteen mukaan

On helppo arvata, että vain yksi luku kerrottuna kolmella antaa 30. Tämä luku on 10. Vastaus: Jokaisessa pinossa on 10 muistikirjaa. Nuo. olemme löytäneet tuntemattoman tekijän annetusta tuotteesta 30 ja yhden tekijöistä 3. Se on yhtä suuri kuin 10.

Siten saimme määritelmän: toimenpidettä, jolla tuote ja yksi tekijöistä löytävät toisen tekijän, kutsutaan jakamiseksi.

He kirjoittavat näin:

Jaettua lukua kutsutaan osingoksi, lukua, jolla se jaetaan, kutsutaan jakajaksi ja jaon tulosta kutsutaan osamääräksi, osamäärä muuten näyttää kuinka monta kertaa osinko on suurempi kuin jakaja . Meidän tapauksessamme osinko on 30, jakaja on 3 ja osamäärä on 10.

§ 2 Luonnollisten lukujen jaon ominaisuudet

Harkitse nyt jaon ominaisuuksia:

Luuletko, että mikä tahansa luku voi olla jakaja? Ei! Et voi jakaa nollalla!

Onko mahdollista jakaa yhdellä? Joo. Kun jaat minkä tahansa luvun yhdellä, saat saman luvun, esimerkiksi 18 jaettuna yhdellä on 18.

Voiko osinko olla nolla? Joo! Nollan jakaminen millä tahansa luonnollisella luvulla johtaa nollaan. Esimerkiksi 0 jaettuna 4:llä on 0.

Tehdään tehtäviä.

Ensin: ratkaise yhtälö 4x \u003d 144. Jaon merkityksen mukaan meillä on x \u003d 144: 4, eli x \u003d 36. Siten voimme päätellä: tuntemattoman tekijän löytämiseksi sinun on jaettava tuote tunnetulla tekijällä.

Toinen tehtävä: ratkaise yhtälö x: 11 \u003d 22. Jaon merkityksen mukaan x on tekijöiden 11 ja 22 tulo. Joten x on yhtä kuin 11 kertaa 22, eli x \u003d 242.

Joten tuntemattoman osingon löytämiseksi sinun on kerrottava osamäärä jakajalla.

Tehtävä numero 3: ratkaise yhtälö 108: x \u003d 6. Jaon merkityksen mukaan luku 108 on kertoimien 6 ja x tulo, eli 6x \u003d 108. Soveltamalla sääntöä tuntemattoman tekijän löytämiseksi on x \u003d 108: 6, eli x \u003d kahdeksantoista.

Saamme vielä yhden säännön: tuntemattoman jakajan löytämiseksi on tarpeen jakaa osinko osamäärällä.

Joten tällä oppitunnilla tutustuit sellaisiin käsitteisiin kuin osinko, jakaja, osamäärä, ja pohdit myös joitain jaon ominaisuuksia ja sait säännöt yhtälöiden ratkaisemiseksi tuntemattomalla kertoimella, tuntemattomalla osinolla tai tuntemattomalla jakamalla.

Luettelo käytetystä kirjallisuudesta:

1. Matematiikka 5. luokka. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I. ja muut 31. painos, ster. - K: 2013.
2. Matematiikan didaktiset materiaalit luokka 5. Kirjailija - Popov M.A. – 2013
3. Laskemme ilman virheitä. Itsetutkiskelun tekeminen matematiikan luokilla 5-6. Kirjailija - Minaeva S.S. – 2014
4. Matematiikan didaktiset materiaalit luokka 5. Tekijät: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. – 2010
5. Matematiikan valvonta ja itsenäinen työskentely luokka 5. Tekijät - Popov M.A. – 2012
6. Matematiikka. luokka 5: oppikirja. yleissivistävän koulutuksen opiskelijoille. instituutiot / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9. painos, Sr. - M.: Mnemosyne, 2009.

Sarakkeen jako(näet myös nimen jako kulma) on vakiomenettelyaritmetiikka, joka on suunniteltu jakamaan yksinkertaisia ​​tai monimutkaisia ​​moninumeroisia lukuja katkomallajakaminen useisiin yksinkertaisempiin vaiheisiin. Kuten kaikissa jakotehtävissä, yksi numero, nimeltäänjaollinen, on jaettu toiseen, nsjakaja, tuottaa tuloksen nimeltäyksityinen.

Sarakkeella voidaan jakaa sekä luonnolliset luvut ilman jäännöstä että luonnollisten lukujen jako muiden kanssa.

Tallennussäännöt sarakkeella jaettaessa.

Aloitetaan tutkimalla osingon, jakajan, kaikkien välilaskutoimitusten ja tulosten kirjoittamisen sääntöjäluonnollisten lukujen jako sarakkeella. Sanotaan heti, että kirjallisesti tehdä jako sarakkeellase on kätevintä paperilla, jossa on ruudullinen viiva - joten on vähemmän mahdollisuuksia poiketa halutusta rivistä ja sarakkeesta.

Ensin osinko ja jakaja kirjoitetaan yhdelle riville vasemmalta oikealle, jonka jälkeen kirjoitetaannumerot edustavat lomakkeen symbolia.

Esimerkiksi, jos osinko on luku 6105 ja jakaja on 55, niin niiden oikea merkintä jaettaessasarake näyttää tältä:

Katso seuraavaa kaaviota, joka havainnollistaa osingon, jakajan, osamäärän,jäännös- ja välilaskelmat sarakkeella jaettuna:

Yllä olevasta kaaviosta voidaan nähdä, että haluttu osamäärä (tai epätäydellinen osamäärä kun jaetaan jäännöksellä) onkirjoitettu jakajan alle vaakapalkin alle. Ja välilaskelmat suoritetaan allajaettavissa, ja sivun tilan saatavuudesta on huolehdittava etukäteen. Sitä tehdessä tulee olla opastettusääntö: mitä suurempi ero merkkien lukumäärässä osingon ja jakajan tietueissa, sitä enemmäntilaa tarvitaan.

Jako luonnollisen luvun sarakkeella yksinumeroisella luonnollisella luvulla, sarakkeen jakoalgoritmi.

Sarakkeeksi jakaminen selitetään parhaiten esimerkin avulla.Laskea:

512:8=?

Kirjoita ensin osinko ja jakaja sarakkeeseen. Se näyttää tältä:

Niiden osamäärä (tulos) kirjoitetaan jakajan alle. Numeromme on 8.

1. Määrittelemme epätäydellisen osamäärän. Ensin katsomme ensimmäistä numeroa vasemmalta osinkomerkinnässä.Jos tämän luvun määrittelemä luku on suurempi kuin jakaja, niin seuraavassa kappaleessa on työskenneltävätällä numerolla. Jos tämä luku on pienempi kuin jakaja, meidän on lisättävä huomioimaan seuraavavasemmalla osinkotietueen numero ja jatka näiden kahden määrittämän numeron kanssanumeroita. Mukavuuden vuoksi valitsemme tietueestamme numeron, jonka kanssa työskentelemme.

2. Ota 5. Luku 5 on pienempi kuin 8, joten sinun on otettava osingosta yksi numero lisää. 51 on suurempi kuin 8. Joten.tämä on epätäydellinen osamäärä. Laitamme pisteen osamäärään (jakajan kulman alle).

51:n jälkeen on vain yksi numero 2. Joten lisäämme tulokseen vielä yhden pisteen.

3. Nyt, muistaen kertotaulu 8:lla löydämme tuotteen, joka on lähinnä arvoa 51 → 6 x 8 = 48→ kirjoita osamäärään numero 6:

Kirjoitamme 48 51:n alle (jos kerrotaan 6 osamäärästä jakajasta 8, saadaan 48).

Huomio! Kun epätäydellisen osamäärän alle kirjoitetaan, epätäydellisen osamäärän oikeanpuoleisen numeron on oltava yläpuolellaoikeanpuoleisin numero toimii.

4. Kirjoita "-" (miinus) numeroiden 51 ja 48 väliin vasemmalla. Vähennä vähennyssääntöjen mukaisesti sarakkeessa 48 ja rivin alapuolellakirjoita tulos ylös.

Jos vähennyksen tulos on kuitenkin nolla, sitä ei tarvitse kirjoittaa ylös (ellei vähennysTämä kappale ei ole viimeinen toimenpide, joka päättää jakoprosessin kokonaan sarake).

Jäännös osoittautui 3:ksi. Verrataan jäännösosaa jakajan kanssa. 3 on pienempi kuin 8.

Huomio!Jos jäännös on suurempi kuin jakaja, teimme virheen laskennassa ja siinä on tulolähempänä kuin se, jonka otimme.

5. Nyt vaakaviivan alla siellä olevien numeroiden oikealla puolella (tai sen paikan oikealla puolella, jossa emmealkoi kirjoittaa nollaa) kirjoitamme samassa sarakkeessa olevan luvun osinkotietueeseen. Jos sisääntässä sarakkeessa ei ole numeroita, ja sarakkeella jako päättyy tähän.

Luku 32 on suurempi kuin 8. Ja jälleen, käyttämällä 8:n kertotaulukkoa, löydämme lähimmän tulon → 8 x 4 = 32:

Loppuosa on nolla. Tämä tarkoittaa, että luvut jaetaan kokonaan (ilman jäännöstä). Jos viimeisen jälkeenkun vähennetään nolla ja numeroita ei ole enää jäljellä, tämä on jäännös. Lisäämme sen yksityiseensuluissa (esim. 64(2)).

Jako moniarvoisten luonnollisten lukujen sarakkeella.

Jako luonnollisella moninumeroisella luvulla tehdään samalla tavalla. Samaan aikaan ensimmäisessä"Välimääräinen" osinko sisältää niin monta korkean kertaluvun numeroa, että se on enemmän kuin jakaja.

Esimerkiksi, 1976 jaettuna 26:lla.

• Merkittävimmän merkin numero 1 on pienempi kuin 26, joten harkitse kahdesta numerosta koostuvaa lukua vanhempi arvosana - 19.
• Luku 19 on myös pienempi kuin 26, joten harkitse lukua, joka koostuu kolmen merkittävimmän numeron numeroista - 197.
• Luku 197 on suurempi kuin 26, jaa 197 kymmeniä 26:lla: 197: 26 = 7 (15 kymmentä jäljellä).
• Käännämme 15 kymmeniä yksiköiksi, lisäämme yksikköluokista 6 yksikköä, saamme 156.
• Jaa 156 26:lla saadaksesi 6.

Joten 1976: 26 = 76.

Jos jossain jakovaiheessa "väliosinko" osoittautui pienemmäksi kuin jakaja, niin osamäärässä0 kirjoitetaan ja numero tästä numerosta siirretään seuraavaan, alempaan numeroon.

Jakaminen osamäärän desimaaliluvulla.

Desimaalilukuja verkossa. Muunna desimaalit yleisiksi murtoluvuiksi ja yhteiset murtoluvut desimaaleiksi.

Jos luonnollinen luku ei ole tasan jaollinen yksinumeroisella luonnollisella luvulla, voit jatkaabittikohtainen jako ja saada osamäärä desimaali.

Esimerkiksi, 64 jaettuna 5:llä.

• Jaa 6 kymmentä viidellä saadaksesi 1 kymmenen ja 1 kymmenen jäljellä.
• Muutamme loput kymmenen yksiköiksi, lisäämme 4 yksikköluokasta, saamme 14.
• 14 yksikköä jaettuna viidellä, saamme 2 yksikköä ja 4 yksikköä jäljellä.
• Muunnamme 4 yksikköä kymmenesosiksi, saamme 40 kymmenesosaa.
• Jaa 40 kymmenesosaa viidellä saadaksesi 8 kymmenesosaa.

Joten 64:5 = 12,8

Jos siis jaettuna luonnollinen luku luonnollisella yksi- tai moninumeroisella luvullaloppuosa saadaan, voit laittaa yksityisen pilkun, muuntaa loput seuraavan yksiköiksi,pienempi numero ja jatka jakamista.

Tässä artikkelissa tutkimme luonnollisten lukujen jakoon liittyviä yleisiä esityksiä. Niitä kutsutaan fissioprosessin ominaisuuksiksi. Analysoimme tärkeimmät, selitämme niiden merkityksen ja tuemme päättelyämme esimerkein.

Kahden yhtä suuren luonnollisen luvun jako

Ymmärtääksesi kuinka jakaa yksi luonnollinen luku toisella sitä vastaavalla, sinun on palattava ymmärtämään itse jakoprosessin merkitys. Lopputulos riippuu siitä, minkä merkityksen annamme jakajalle. Tarkastellaan kahta mahdollista vaihtoehtoa.

Joten meillä on alkio (a on mielivaltainen luonnollinen luku). Jaetaan objektit ryhmiin tasaisesti, kun taas ryhmien lukumäärän tulee olla yhtä suuri kuin a. On selvää, että tässä tapauksessa kussakin ryhmässä on vain yksi aihe.

Muotoilkaamme hieman eri tavalla: kuinka jakaa kohteet kohteiden ryhmiin kussakin? Kuinka monta ryhmää lopulta tulee olemaan? Tietysti vain yksi.

Tehdään yhteenveto ja johdetaan ensimmäinen ominaisuus samankokoisten luonnollisten lukujen jakamisesta:

Määritelmä 1

Luonnollisen luvun jakaminen sen yhtäläisyydellä antaa tulokseksi luvun. Toisin sanoen a: a = 1 (a on mikä tahansa luonnollinen luku).

Katsotaanpa kahta esimerkkiä havainnollistamaan:

Esimerkki 1

Jos 450 jaetaan 450:llä, se on 1. Jos 67 jaetaan 67:llä, saat 1.

Kuten näet, mikään ei riipu tietyistä luvuista, tulos on sama, jos osinko ja jakaja ovat yhtä suuret.

Luonnollisen luvun jako ykkösellä

Kuten edellisessä kappaleessa, aloitetaan tehtävistä. Oletetaan, että meillä on kohteita, joiden määrä on yhtä suuri kuin . On tarpeen jakaa ne useisiin osiin, kukin yksi aihe. On selvää, että meillä on osia.

Ja jos kysytään: kuinka monta esinettä on ryhmässä, jos siihen sijoitetaan esine? Vastaus on ilmeinen - a.

Siten lähestymme luonnollisten lukujen 1:llä jakamisen ominaisuuden muotoilua:

Määritelmä 2

Kun mikä tahansa luonnollinen luku jaetaan yhdellä, saadaan sama luku, eli a: 1 = a.

Katsotaanpa 2 esimerkkiä:

Esimerkki 2

Jos jaat 25 1:llä, saat 25.

Esimerkki 3

Jos jaat 11 345 1:llä, tulos on 11 345.

Kommutatiivisen ominaisuuden puute luonnollisten lukujen jakamiselle

Kertolaskussa voimme vapaasti vaihtaa kertoimet ja saada saman tuloksen, mutta tämä sääntö ei koske jakoa. Osingon ja jakajan vaihtaminen on mahdollista vain, jos ne ovat yhtä suuria luonnollisia lukuja (olemme jo käsitelleet tätä ominaisuutta ensimmäisessä kappaleessa). Toisin sanoen voidaan sanoa, että kommutatiivinen ominaisuus koskee vain tapausta, jossa jakoon osallistuu yhtä suuret luonnolliset luvut.

Muissa tapauksissa on mahdotonta vaihtaa osinkoa jakajan kanssa, koska tämä johtaa tuloksen vääristymiseen. Selvitetään tarkemmin miksi.

Emme voi aina jakaa luonnollisia lukuja toisiin, myös mielivaltaisesti otettuina. Esimerkiksi, jos osinko on pienempi kuin jakaja, emme voi ratkaista tällaista esimerkkiä (analysoimme, kuinka luonnolliset luvut jaetaan jäännöksellä erillisessä materiaalissa). Toisin sanoen, jos jokin luonnollinen luku on yhtä kuin a, voimmeko jakaa b:llä? Ja niiden arvot eivät ole samat, niin a on suurempi kuin b, ja merkinnällä b: a ei ole järkeä. Johdetaan sääntö:

Määritelmä 3

Kahden luonnollisen luvun summan jako toisella luonnollisella luvulla

Selvittääksemme tätä sääntöä paremmin, otamme joitain havainnollistavia esimerkkejä.

Meillä on ryhmä lapsia, joiden kesken meidän on jaettava mandariinit tasan. Hedelmät pinotaan kahteen pussiin. Otetaan ehto, että mandariinien määrä on sellainen, että voit jakaa ne kaikille lapsille ilman jälkiä. Voit kaataa mandariinit yhteen yhteiseen pakkaukseen ja sitten jakaa ja jakaa. Ja voit ensin jakaa hedelmät yhdestä pakkauksesta ja sitten toisesta. Ilmeisesti molemmissa tapauksissa kukaan ei loukkaantunut ja kaikki jaetaan tasan. Siksi voimme sanoa:

Määritelmä 4

Kahden luonnollisen luvun summan jakaminen toisella luonnollisella luvulla on yhtä suuri kuin tulos, joka saadaan jakamalla jokainen termi samalla luonnollisella luvulla osamäärät, ts. (a + b) : c = a: c + b: c . Tässä tapauksessa kaikkien muuttujien arvot ovat luonnollisia lukuja, a:n arvo voidaan jakaa c:llä ja b voidaan jakaa myös c:llä ilman jäännöstä.

Meillä on yhtälö, jonka oikealla puolella jako suoritetaan ensin ja yhteenlasku suoritetaan toisena (muista kuinka aritmeettiset toiminnot suoritetaan oikein järjestyksessä).

Todistakaamme tuloksena olevan yhtäläisuuden pätevyys esimerkillä.

Esimerkki 4

Otetaan sille sopivat luonnolliset luvut: (18 + 36) : 6 = 18: 6 + 36: 6 .

Nyt lasketaan ja selvitetään, onko se totta. Lasketaan vasemman puolen arvo: 18 + 36 = 54 ja (18 + 36) : 6 = 54: 6 .

Muistamme kertolaskutaulukon tuloksen (jos unohdit, etsi siitä haluttu arvo): 54: 6 = 9.

Muistamme kuinka paljon se on 18: 6 \u003d 3 ja 36: 6 \u003d 6. Joten 18: 6 + 36: 6 = 3 + 6 = 9.

Osoittautuu oikea yhtälö: (18 + 36) : 6 = 18: 6 + 36: 6 .

Luonnollisten lukujen summa, joka on esimerkissä osinkona, voi olla paitsi 2, myös 3 tai enemmän. Tämä ominaisuus yhdistettynä luonnollisten lukujen yhteenlaskuominaisuuteen mahdollistaa myös tällaisten laskelmien suorittamisen.

Esimerkki 5

Joten (14 + 8 + 4 + 2) : 2 on yhtä suuri kuin 14: 2 + 8: 2 + 4: 2 + 2: 2 .

Kahden luonnollisen luvun eron jako toisella luonnollisella luvulla

Samalla tavalla voimme johtaa säännön luonnollisten lukujen erolle, jonka jaamme toisella luonnollisella luvulla:

Määritelmä 5

Kahden luonnollisen luvun eron jakaminen kolmannella on yhtä suuri kuin se, jonka saamme vähentämällä minuutin ja kolmannen luvun osamäärästä aliosan ja kolmannen luvun osamäärä.

Nuo. (a - b): c = a: c - b: c. Muuttujien arvot ovat luonnollisia lukuja, kun taas a on suurempi tai yhtä suuri kuin b, a ja b voidaan jakaa c:llä.

Osoitamme tämän säännön pätevyyden esimerkillä.

Esimerkki 6

Korvaa yhtälöön sopivat arvot ja laske: (45 - 25) : 5 = 45: 5 - 25: 5 . 45 - 25 = 20 (kirjoitimme jo luonnollisten lukujen välisen eron löytämisestä). (45 - 25): 5 = 20:5.

Kertotaulukon mukaan muistamme, että tulos on yhtä suuri kuin 4.

Otamme huomioon oikean puolen: 45:5 - 25:5. 45: 5 = 9 ja 25: 5 = 5, jolloin tuloksena on 45: 5 - 25: 5 = 9 - 5 = 4. 4 \u003d 4, käy ilmi, että (45 - 25) : 5 \u003d 45: 5 - 25: 5 on oikea yhtälö.

Kahden luonnollisen luvun tulon jako toisella luonnollisella luvulla

Muistakaamme, mikä yhteys on jaolla ja kertolaskulla, niin ominaisuus jakaa tulo luonnollisella luvulla, joka on yhtä suuri kuin yksi tekijä, on meille ilmeinen. Johdetaan sääntö:

Määritelmä 6

Jos jaamme kahden luonnollisen luvun tulon kolmannella, joka on yhtä suuri kuin toinen tekijä, saamme luvun, joka on yhtä suuri kuin toinen tekijä.

Kirjaimellisessa muodossa tämä voidaan kirjoittaa muodossa (a b) : a = b tai (a b) : b = a (arvot a ja b ovat luonnollisia lukuja).

Esimerkki 7

Joten tulos 2:n ja 8:n tulon jakamisesta 2:lla on yhtä suuri kuin 8 ja (3 7): 7 = 3.

Mutta entä jos jakaja ei ole yhtä suuri kuin mikään osingon muodostavista tekijöistä? Sitten tässä pätee toinen sääntö:

Määritelmä 7

Kahden luonnollisen luvun tulon jakaminen kolmannella luonnollisella luvulla on yhtä suuri kuin se, mitä tapahtuu, jos yksi tekijöistä jaetaan tällä luvulla ja tulos kerrotaan toisella tekijällä.

Olemme saaneet ensisilmäyksellä hyvin epäselvän lausunnon. Jos kuitenkin otamme huomioon, että luonnollisten lukujen kertolasku itse asiassa pelkistyy arvoltaan yhtäläisten termien yhteenlaskemiseen (katso materiaali luonnollisten lukujen kertomisesta), niin tämä ominaisuus voidaan johtaa toisesta, jonka me puhuttiin hieman korkeammalta.

Kirjoitetaan tämä sääntö kirjaimellisessa muodossa (kaikkien muuttujien arvot ovat luonnollisia lukuja).

Jos voimme jakaa a:lla c , niin se on totta (a b) : c = (a: c) b .

Jos b on jaollinen c:llä, niin (a b) on tosi: c = a (b: c) .

Jos sekä a että b ovat jaollisia c:llä, voidaan yhtäläisyys rinnastaa toiseen: (a b) : c = (a: c) b = a (b: c) .

Kun otetaan huomioon yllä oleva ominaisuus jakaa tulo toisella luonnollisella luvulla, yhtälöt (8 6) : 2 = (8: 2) 6 ja (8 6) : 2 = 8 (6: 2) ovat tosia.

Voimme kirjoittaa ne kaksoisyhtälöiksi: (8 6) : 2 = (8: 2) 6 = 8 (6: 2) .

Luonnollisen luvun jako 2 muun luonnollisen luvun tulolla

Aloitamme jälleen esimerkillä. Meillä on muutamia palkintoja, sanotaanpa sitä . Ne on jaettava tasaisesti joukkueen jäsenten kesken. Merkitään osallistujien lukumäärä kirjaimella c ja joukkueiden lukumäärä kirjaimella b. Tässä tapauksessa otamme sellaiset muuttujien arvot, joille jaotietueessa on järkeä. Ongelma voidaan ratkaista kahdella eri tavalla. Harkitse molempia.

1. Voit laskea osallistujien kokonaismäärän kertomalla b:llä c ja jakamalla sitten kaikki palkinnot saadulla luvulla. Kirjaimellisessa muodossa tämä ratkaisu voidaan kirjoittaa muodossa a: (b c) .

2. Voit ensin jakaa palkinnot joukkueiden lukumäärällä ja sitten jakaa ne kunkin joukkueen sisällä. Kirjoita se muodossa (a: b) : c .

Ilmeisesti molemmat menetelmät antavat meille identtiset vastaukset. Siksi voimme rinnastaa molemmat yhtäläisyydet toisiinsa: a: (b c) = (a: b) : c . Tämä on kirjaimellinen tietue jakoominaisuudesta, jota tarkastelemme tässä kappaleessa. Muotoillaan sääntö:

Määritelmä 8

Luonnollisen luvun jakaminen tulolla on yhtä suuri kuin luku, jonka saamme jakamalla tämä luku yhdellä tekijöistä ja jakamalla saatu osamäärä toisella tekijällä.

Esimerkki 8

Otetaan esimerkki tehtävästä. Osoitetaan, että yhtälö 18 on totta: (2 3) = (18: 2) : 3 .

Lasketaan vasen puoli: 2 3 = 6 ja 18: (2 3) on 18: 6 = 3.

Otamme huomioon oikean puolen: (18: 2) : 3 . 18: 2 = 9 ja 9: 3 = 3, sitten (18: 2): 3 = 3.

Päädyimme 18: (2 3) = (18: 2) : 3 . Tämä yhtäläisyys havainnollistaa meille jaon ominaisuutta, jonka olemme antaneet tässä kappaleessa.

Nollan jako luonnollisella luvulla

Mikä on nolla? Aiemmin sovimme, että se tarkoittaa jonkin puuttumista. Nolla ei ole luonnollinen luku. Osoittautuu, että jos jaamme nollan luonnollisella luvulla, tämä tarkoittaa sitä, että yritämme jakaa tyhjiön osiin. On selvää, että loppujen lopuksi saamme silti "ei mitään", riippumatta siitä kuinka moneen osaan sen jaamme. Sääntö johdetaan tästä:

Määritelmä 9

Kun jaamme nollan millä tahansa luonnollisella luvulla, saamme nollan. Kirjaimellisessa muodossa tämä kirjoitetaan muodossa 0: a = 0 , kun taas muuttujan arvo voi olla mikä tahansa.

Esimerkki 9

Joten esimerkiksi 0:19 = 0 ja 0:46869 olisivat myös nolla.

Luonnollisen luvun jako nollalla

Tätä toimintoa ei voi suorittaa. Selvitetään tarkalleen miksi.

Otetaan mielivaltainen luku a ja oletetaan, että se voidaan jakaa 0:lla, jolloin tuloksena saadaan jokin luku b. Kirjoitetaan se muodossa a: 0 = b . Muistetaan nyt kuinka kertominen ja jako liittyvät toisiinsa, ja johdetaan yhtälö b · 0 = a, jonka pitäisi myös olla voimassa.

Mutta aiemmin selitimme jo ominaisuuden kertoa luonnolliset luvut nollalla. Hänen mukaansa b · 0 = 0 . Jos vertaamme tuloksena olevia yhtälöitä, saamme, että a \u003d 0, ja tämä on ristiriidassa alkuperäisen ehdon kanssa (nolla ei loppujen lopuksi ole luonnollinen luku). Osoittautuu, että meillä on ristiriita, mikä todistaa sellaisen toiminnan mahdottomuuden.

Määritelmä 10

Luonnollista lukua ei voi jakaa nollalla.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Luonnollisten lukujen jako

Oppitunti tiedon ja toimintatapojen integroidusta soveltamisesta

perustuu systeemi-aktiiviseen opetusmenetelmään

5. luokka

Koko nimi Zhukova Nadezhda Nikolaevna

Työpaikka : MAOU lukio №6 Pestovo

asema : matematiikan opettaja

Aihe Luonnollisten lukujen jako

(koulutus tiedon ja toimintatapojen integroitua soveltamista varten)

Kohde: edellytysten luominen tietojen ja taitojen parantamisellesekä luonnollisten lukujen jakamisen taidot ja toimintatavat muuttuneissa olosuhteissaja epätavallisia tilanteita

UDD:

aihe

He simuloivat aritmeettista operaatiota ja sen etenemistä kuvaavaa tilannetta, valitsevat algoritmin epästandardin tehtävän ratkaisemiseksi, ratkaisevat yhtälöitä komponenttien ja aritmeettisen operaation tuloksen välisen suhteen perusteella.

Metasubjekti

Sääntely : määritä koulutustoiminnan tavoite, toteuta keinot sen saavuttamiseksi.

kognitiivinen : Siirrä sisältöä pakattuna tai laajennetussa muodossa.

Kommunikaatiokykyinen: he osaavat ilmaista näkemyksensä, yrittävät perustella sitä ja esittävät argumentteja.

Henkilökohtainen:

He selittävät itselleen henkilökohtaiset välittömät itsensä kehittämistavoitteensa, antavat positiivisen itsearvioinnin koulutustoiminnan tuloksesta, ymmärtävät koulutustoiminnan onnistumisen syyt ja osoittavat kognitiivista kiinnostusta aiheen opiskeluun.

Tuntien aikana

1. Organisatorinen hetki.

Työssä käytämme lisäystä,

Kunnia ja kunnia lisäys!

Lisätään kärsivällisyyttä taitoihin,

Ja määrä tuo menestystä.

Älä unohda vähennyslaskua.

Jotta päivä ei menisi hukkaan,

Työn ja tiedon summasta

Vähennämme joutilaisuuden ja laiskuuden!

Kertominen auttaa synnytyksessä,

Jotta työ olisi hyödyllistä

Moninkertaistetaan ahkeruus sata kertaa -

Meidän tekomme lisääntyvät.

Jaosto palvelee teossa,

Se auttaa meitä aina.

Kuka jakaa vaikeudet tasapuolisesti

Jaa työn menestys!

Mikä tahansa seuraavista auttaa

Ne tuovat meille onnea.

Ja elämässä siis yhdessä

Tieteen ja työvoiman marssi.

II. Oppitunnin aiheen ja tavoitteiden muotoilu

Piditkö runosta? Mitä pidit siitä?

(opiskelija vastaa)

Sanoit erittäin hyvin. Luetut rivit sopivat erittäin hyvin tämän päivän oppitunnillemme. Muista kuulemasi runo ja yritä tunnistaa se oppitunnin aihe.

(Luonnollisten lukujen jako) (dia 1) . Kirjoita oppitunnin päivämäärä ja aihe vihkoon.

Tänään on ensimmäinen oppitunti aiheesta "Numeroiden jako"? Missä et ole vielä hyvä ja mitä haluaisit oppia? (opiskelija vastaa)

Tänään siis kehitämme jakotaitoja, opimme perustelemaan päätöksiämme, löytämään virheitä ja korjaamaan niitä, arvioimaan omaa ja luokkatovereiden työtä.

III Valmistautuminen aktiiviseen koulutus- ja kognitiiviseen toimintaan

1. Motivaatio koululaisten opetukseen

Ihmiskunta on oppinut jakautumista pisimpään. Tähän asti Italiassa on säilynyt sanonta "kova asia on jakautuminen". Se on vaikeaa matematiikan kannalta niin teknisesti kuin moraalisestikin. Kaikille ihmisille ei anneta mahdollisuutta jakaa ja jakaa.

Keskiajalla jaon hallitseva henkilö sai tittelin "abacus doctor"

Abacus on abacus.

Aluksi divisioonan toiminnasta ei ollut merkkiäkään. Tämä toiminta on kirjoitettu sanoin.

Ja Intian matemaatikot kirjoittivat jaon muistiin toiminnan nimen ensimmäisellä kirjaimella.

Jakolaskun kaksoispiste otettiin käyttöön vuonna 1684 saksalaisen matemaatikon Gottfried Wilhelm Leibnizin ansiosta.

Jako on myös merkitty vinoviivalla tai vaakaviivalla. Tätä merkkiä käytti ensin italialainen tiedemies Fibonacci.

- Kuinka moninumeroisten lukujen jako suoritetaan? (kulma)

Muistatko mitä komponentteja kutsutaan jakaessasi?(dia 2)

- Tiesitkö, että jakokomponentit: osinko, jakaja, osamäärä otti Venäjällä ensimmäisenä käyttöön Magnitski Kuka tämä on ja mikä oli tämän tiedemiehen oikea nimi? Valmistele vastaukset näihin kysymyksiin seuraavaa oppituntia varten.

2) Opiskelijoiden perustietojen päivittäminen

1. Graafinen sanelu

1. Jako on toimenpide, jolla tuotteen ja yhden tekijän mukaan löydetään toinen tekijä.

2. Jaolla on kommutoiva ominaisuus.

3. Löytääksesi osingon, sinun on kerrottava osamäärä jakajalla.

4. Voit jakaa millä tahansa numerolla.

5. Löytääksesi jakajan, sinun on jaettava osinko osamäärällä.

6. Yhtälöä sen kirjaimen kanssa, jonka arvo on löydettävä, kutsutaan yhtälöksi

(Merkintä: kyllä; - ei) (dia 3)

AVAIN: (dia 4)

B) Opiskelijoiden yksilötyöt korteilla.

(samalla sanelun kanssa)

1. Todista, että luku 4 on yhtälön 44 juuri: x + 9 = 20.
2. Ratkaisu . Jos x=4.niin 44:4+9=20

11+9=20

20=20 on oikein.

2. Laske: a) 16224: 52 = (312) d) 13725:45 = (305)

B) 4230:18 = (235) e) 54756: 39 = (1404)

c) 9800: 28= (350)

3. Ratkaise yhtälö: 124: (y - 5) = 31

Vastaus: y=9

4. Kaksi opiskelijaa työskentelee korteilla: ratkaisee kukin 3 tehtävää ja kysy toisiltaan teoriakysymyksiä

c) Yksittäisen työn kollektiivinen todentaminen (dia 5)

(Opiskelijat esittävät vastauksia teoriaan liittyviin kysymyksiin)

1. Tiedon ja toimintatapojen soveltaminen

MUTTA) Itsenäinen työskentely itsetestauksella(Diat 6-7)

Valitse ja ratkaise vain ne esimerkit, joiden osamäärässä on kolme numeroa:

Vaihtoehto 1 Vaihtoehto 2

A) 2888: 76 = (38) a) 2491: 93 = (47)

B) 6539: 13 = (503) b) 5698: 14 = (407)

C) 5712: 28 = (204) c) 9792: 32 = (306)

B) Liikuntakasvatus.

Yhdessä he nousivat seisomaan ja venyttelivät.

Kädet vyöllä, käännettynä.

Oikea, vasen, yksi, kaksi,

He käänsivät päänsä.

Seisten varpailla

He pitivät selästä nyörillä

Istu nyt hiljaa

Emme ole vielä tehneet kaikkea.

C) Työskentele pareittain (dia 8)

(parityöskentelyn aikana opettaja neuvoo tarvittaessa)

Nro 484 (oppikirja, s. 76)

X cm on kahdeksankulmion yhden sivun pituus

4x+4 4 =24

4x+16=24

4x = 24-16

4x = 8

X = 2

2 cm on kahdeksankulmion yhden sivun pituus

Ratkaise yhtälöt:

a) 96: x = 8 b) x: 60 = 14 c) 19 * x = 76

D) Työskentele ryhmissä

Lue ryhmätyön säännöt ennen tehtävien aloittamista.

Ryhmä I (1 rivi)

Ryhmän säännöt

Korjata virheitä:

A) 9100:10 = 91; a) 9100:10 = 910

B) 5427: 27 = 21; b) 5427: 27 = 201

C) 474747: 47 = 101; c) 474 747: 47 = 10101

D) 42 11 = 442. d) 42 11 = 462

Ryhmä II (2. rivi)

Ryhmän säännöt

• Osallistu aktiivisesti yhteistyöhön.
• Kuuntele tarkasti keskustelukumppania.
• Älä keskeytä ystävääsi ennen kuin hän on saanut tarinansa loppuun.
• Ilmaise näkemyksesi tästä asiasta ja ole kohtelias.
• Älä naura toisten puutteille ja virheille, vaan osoita ne hienotunteisesti.

Tarkista, suoritettiinko tehtävä oikein. Ehdota ratkaisuasi

Etsi lausekkeen arvo x:19 +95, jos x =1995.

Ratkaisu.

Jos x=1995, niin x:19 +95 = 1995:19 +95=15+95=110

(1995: 19 + 95 = 200)

Ryhmä III (3. rivi)

Ryhmän säännöt

• Osallistu aktiivisesti yhteistyöhön.
• Kuuntele tarkasti keskustelukumppania.
• Älä keskeytä ystävääsi ennen kuin hän on saanut tarinansa loppuun.
• Ilmaise näkemyksesi tästä asiasta ja ole kohtelias.
• Älä naura toisten puutteille ja virheille, vaan osoita ne hienotunteisesti.

Todista, että yhtälön ratkaisussa on tehty virhe.

Ratkaise yhtälö.

124: (y-5) = 31

Y-5 \u003d 124 31 y - 5 \u003d 124: 31

Y-5 \u003d 3844 y - 5 \u003d 4

Y \u003d 3844 + 5 v \u003d 4 + 5

K \u003d 3849 v \u003d 9

Vastaus: 3849 Vastaus: 9

D) Keskinäinen tarkastus pareittain

Oppilaat vaihtavat muistikirjoja ja tarkistavat toistensa töitä, alleviivaavat virheet yksinkertaisella lyijykynällä ja laittavat merkinnän

E) Ryhmien raportti tehdystä työstä

(Diat 5-7)

Dia näyttää kunkin ryhmän tehtävän. Ryhmänjohtaja selittää tehdyn virheen ja kirjoittaa taululle ryhmän ehdottaman ratkaisun.

V. Opiskelijoiden tiedon hallinta

Yksilöllinen testaus "Totuuden hetki"

Testi aiheesta "Divisioona"

Vaihtoehto 1

1.Etsi lukujen 2876 ja 1 osamäärä.

a) 1; b) 2876; c) 2875; d) vastauksesi _______________

2. Etsi yhtälön 96 juuri: x = 8

a) 88; b) 12; c) 768; d) vastauksesi ________________

3 .Etsi 3900:n ja 13:n osamäärä.

a) 300; b) 3913; c) 30; d) vastauksesi _______________

4 .Yhdessä laatikossa on 48 kynää ja toisessa 4 kertaa vähemmän. Kuinka monta kynää on kahdessa laatikossa?

a) 192; b) 60; c) 240; d) vastauksesi ________________

5. Etsi kaksi numeroa, jos toinen niistä on 3 kertaa toinen ja heidän

Niiden summa on 32.

a) 20 ja 12; b) 18 ja 14; c) 26 ja 6; d) vastauksesi _________

Testi aiheesta "Divisioona"

Sukunimi Nimi ___________________________________________

Vaihtoehto 2

Alleviivaa oikea vastaus tai kirjoita vastauksesi ylös

1 .Etsi lukujen 2563 ja 1 osamäärä.

a) 1; b) 2563; c) 2564; d) vastauksesi _______________

2. Etsi yhtälön 105 juuri: x = 3

a) 104; b) 35; c) 315; d) vastauksesi ________________

3 .Etsi 7800:n ja 13:n osamäärä.

a) 600; b) 7813; c) 60; d) vastauksesi _______________

4 . Yhdessä ammeessa mehiläishoitajalla oli 24 kg. hunajaa ja toisessa 2 kertaa enemmän. Kuinka monta kiloa hunajaa mehiläishoitajalla oli kahdessa tynnyrissä?

a) 12; b) 72; c) 48; d) vastauksesi _______________

5. Etsi kaksi numeroa, jos toinen niistä on 4 kertaa pienempi kuin toinen, ja

Niiden ero on 27

A) 39 ja 12; b) 32 ja 8; c) 2 ja 29; d) vastauksesi _____________

Testin validointiavain

Vaihtoehto 1

VI. Yhteenveto oppitunnista. Kotitehtävät.

Talo. Tehtävä. P.12, nro 520,523,528 (koostumus).

Joten oppituntimme on päättynyt. Haluaisin haastatella sinua työsi tuloksista.

Jatka ehdotuksia:

Olen ... tyytyväinen / tyytymätön työhöni oppitunnilla

Onnistuin …

Se oli vaikeaa...

Oppitunnin materiaali oli… minulle hyödyllistä/hyödytöntä

Mitä matematiikka opettaa?

Jako on kertolaskujen käänteisluku; sen avulla tulo ja yksi tekijöistä löydetään toinen tekijä.

Jaa luku mutta numeroa kohti b- tämä tarkoittaa luvun löytämistä, joka kerrotaan luvulla b antaa numeron mutta:

a: b = c, jos c b = a.

Määrä mutta kutsutaan jaettavaksi b-jakaja alkaen- yksityinen.

Jos tunnetut ja halutut tekijät ovat luonnollisia yksinumeroisia lukuja, niin tuntematon kerroin löytyy kertotaulukosta.

Luonnollisen moninumeroisen luvun jako luonnollisella yksinumeroisella luvulla suoritetaan bitti kerrallaan merkitsevimmästä numerosta alkaen.

Jos osingon korkean kertaluvun numero sisältää luvun, joka on pienempi kuin jakaja, niin korkeimman luvun yksiköt muunnetaan viereisen alemman asteen luvun yksiköiksi ja jako alkaa tästä numerosta.

Esimerkiksi 896 jaetaan seitsemällä.

• Jaa 8 sataa seitsemällä saadaksesi 1 sata ja sata jäi.
• Muutamme loput sadat kymmeniksi, lisäämme 9 kymmeniä kymmenien luokasta, saamme 19 kymmeniä.
• 19 kymmeniä jaettuna seitsemällä, saamme 2 tusinaa, 5 kymppiä jäljellä.
• Muutamme loput kymmenet yksiköiksi, saamme 50 yksikköä, lisäämme 6 yksikköä yksikköluokasta, saamme 56 yksikköä.
• 56 yksikköä jaettuna seitsemällä, saamme 8 yksikköä.

tarkoittaa, 896: 7 = 128 .

Yleensä jakoprosessi tallennetaan "sarakkeeseen".

Jako luonnollisella moninumeroisella luvulla tehdään samalla tavalla. Samaan aikaan niin monta vanhempi numeroa sisältyy ensimmäiseen "väli"osinkoon, jotta se osoittautuu enemmän kuin jakajaksi.

Esimerkiksi vuosi 1976 on jaettu 26:lla.

• Merkittävimmän merkin numero 1 on pienempi kuin 26, joten harkitse lukua, joka koostuu kahden merkittävimmän luvun numeroista - 19.
• Luku 19 on myös pienempi kuin 26, joten harkitse lukua, joka koostuu kolmen merkittävimmän numeron numeroista - 197.
• Luku 197 on suurempi kuin 26, jaa 197 kymmeniä 26:lla: 197: 26 = 7 (15 kymmentä jäljellä).
• Käännämme 15 kymmeniä yksiköiksi, lisäämme yksikköluokista 6 yksikköä, saamme 156.
• Jaa 156 26:lla saadaksesi 6.

Jos jossain jakovaiheessa "väliosinko" osoittautui pienemmäksi kuin jakaja, niin osamäärään kirjoitetaan 0 ja numero tästä numerosta siirretään seuraavaan, alempaan numeroon.

Luonnollisten lukujen jakaminen tasaisesti (ilman jäännöstä) ei ole aina mahdollista. Esimerkiksi 45:tä ei voi jakaa 8:lla, koska ei ole olemassa luonnollista lukua, joka kertomalla 8:lla antaisi 45:n.

Tällaisissa tapauksissa harkitaan jakamista jäännöksellä.

Jako loppuosalla

Jos luonnollisia lukuja ei voida jakaa kokonaan, suoritetaan jako jäännöksellä. Tämä toiminto etsii suurin luonnollinen luku, joka kerrottuna jakajalla antaa luvun, joka on pienempi kuin jakaja.

a: b \u003d c (lop. d), missä alkaen Ja d sellasta c b + d = a, d.

Moniarvoisten luonnollisten lukujen jako suoritetaan "sarakkeessa", jäännös kirjoitetaan osamäärän jälkeen suluissa.

284: 15 = 18 (loput 14).

Jako desimaaliluvulla osamäärässä

Jos luonnollinen luku ei ole täysin jaollinen yksinumeroisella luonnollisella luvulla, voit jatkaa bittijakoa ja saada desimaalimurto osamäärässä.

Esimerkiksi 64 jaettuna 5:llä.

• Jaa 6 kymmentä viidellä saadaksesi 1 kymmenen ja 1 kymmenen jäljellä.
• Muutamme loput kymmenen yksiköiksi, lisäämme 4 yksikköluokasta, saamme 14.
• 14 yksikköä jaettuna viidellä, saamme 2 yksikköä ja 4 yksikköä jäljellä.
• Muunnamme 4 yksikköä kymmenesosiksi, saamme 40 kymmenesosaa.
• Jaa 40 kymmenesosaa viidellä saadaksesi 8 kymmenesosaa.

Jos siis jakamalla luonnollinen luku luonnollisella yksi- tai moninumeroisella luvulla saadaan jäännös, voit laittaa pilkun yksityiseen numeroon, kääntää jäännöksen seuraavan, pienemmän numeron yksiköiksi ja jatkaa jakamalla.