Y on lähtömuuttujien vektori, Y = t,

Z on ulkoisten vaikutusten vektori, Z = t,

t on aikakoordinaatti.

Rakennus matemaattinen malli koostuu tiettyjen prosessien ja ilmiöiden välisten yhteyksien määrittämisestä, sellaisen matemaattisen laitteen luomisesta, jonka avulla voidaan kvantitatiivisesti ja laadullisesti ilmaista yhteys tiettyjen prosessien ja ilmiöiden välillä, asiantuntijaa kiinnostavien fysikaalisten suureiden ja lopputulokseen vaikuttavien tekijöiden välillä.

Yleensä niitä on niin paljon, että koko sarjaa ei ole mahdollista esitellä malliin. Rakentaessaan matemaattinen malli ennen tutkimusta tehtävänä on tunnistaa ja jättää huomioimatta tekijät, jotka vaikuttavat merkityksettömästi lopputulokseen ( matemaattinen malli sisältää yleensä huomattavasti vähemmän tekijöitä kuin todellisuudessa). Kokeellisten tietojen perusteella esitetään hypoteeseja lopputulosta ilmaisevien arvojen ja luvussa esitettyjen tekijöiden välisestä suhteesta. matemaattinen malli... Tällainen yhteys ilmaistaan ​​usein differentiaalijärjestelmillä osittaisdifferentiaaliyhtälöt(esimerkiksi kiinteän aineen, nesteen ja kaasun mekaniikan ongelmissa, suodatuksen, lämmönjohtavuuden teoria, sähköstaattisten ja sähködynaamisten kenttien teoria).

Tämän vaiheen perimmäisenä tavoitteena on matemaattisen ongelman muotoilu, jonka ratkaisu ilmaisee asiantuntijaa kiinnostavat tulokset vaaditulla tarkkuudella.

Esityksen muoto ja periaatteet matemaattinen malli riippuu monesta tekijästä.

Rakentamisen periaatteiden mukaan matemaattiset mallit jaettu:

1. analyyttinen;
2. jäljitelmä.

Analyyttisissä malleissa todellisten objektien, prosessien tai järjestelmien toimintaprosessit kirjoitetaan eksplisiittisiin muotoihin. toiminnallisia riippuvuuksia.

Analyyttinen malli on jaettu tyyppeihin matemaattisen ongelman mukaan:

1. yhtälöt (algebrallinen, transsendentaalinen, differentiaali, integraali),
2. approksimaatioongelmia (interpolointi, ekstrapolointi, numeerinen integrointi ja erilaistuminen),
3. optimointiongelmat,
4. stokastiset ongelmat.

Kuitenkin, kun mallinnusobjekti monimutkaistuu, analyyttisen mallin rakentaminen muuttuu ratkaisemattomaksi ongelmaksi. Sitten tutkija pakotetaan käyttämään simulaatiomallinnus.

V simulaatiomallinnus objektien, prosessien tai järjestelmien toimintaa kuvataan joukko algoritmeja. Algoritmit simuloivat todellisia alkeisilmiöitä, jotka muodostavat prosessin tai järjestelmän säilyttäen ne looginen rakenne ja virtauksen järjestys ajassa. Simulaatiomallinnus voit saada tietoa alkutiedoista prosessin tilat tai järjestelmät tietyllä hetkellä, mutta objektien, prosessien tai järjestelmien käyttäytymisen ennustaminen on tässä vaikeaa. Voimme sanoa sen simulaatiomallit suoritetaan tietokoneella laskennalliset kokeet kanssa matemaattiset mallit jotka jäljittelevät todellisten esineiden, prosessien tai järjestelmien käyttäytymistä.

Riippuen tutkittavien todellisten prosessien ja järjestelmien luonteesta matemaattiset mallit voi olla:

1. deterministinen,
2. stokastinen.

Deterministisissa malleissa oletetaan, että satunnaisvaikutuksia ei ole, mallin elementit (muuttujat, matemaattiset suhteet) on riittävän tarkasti todettu, järjestelmän käyttäytyminen voidaan määrittää tarkasti. Determinististen mallien rakentamisessa käytetään useimmiten algebrallisia yhtälöitä, integraaliyhtälöitä, matriisialgebraa.

Stokastinen malli ottaa huomioon tutkittavien kohteiden ja järjestelmien prosessien satunnaisuuden, jota kuvataan todennäköisyysteorian ja matemaattisen tilaston menetelmin.

Syötetietojen tyypin mukaan mallit jaetaan:

1. jatkuva,
2. diskreetti.

Jos tiedot ja parametrit ovat jatkuvia ja matemaattiset suhteet ovat stabiileja, malli on jatkuva. Ja päinvastoin, jos tiedot ja parametrit ovat diskreettejä ja yhteydet ovat epävakaita, silloin matemaattinen malli- diskreetti.

Mallien ajallisen käyttäytymisen mukaan ne jaetaan:

1. staattinen,
2. dynaaminen.

Staattiset mallit kuvaavat kohteen, prosessin tai järjestelmän käyttäytymistä milloin tahansa. Dynaamiset mallit heijastavat kohteen, prosessin tai järjestelmän käyttäytymistä ajan kuluessa.

Mukaan vastaavuusaste välillä

Sovetovin ja Jakovlevin oppikirjan mukaan: "malli (lat. Modulus - mitta) on alkuperäisen objektin korvikeobjekti, joka mahdollistaa joidenkin alkuperäisen ominaisuuksien tutkimisen." (s. 6) "Osen korvaamista toisella, jotta saadaan tietoa alkuperäisen kohteen tärkeimmistä ominaisuuksista malliobjektin avulla, kutsutaan mallintamiseksi." (s. 6) "Matemaattisella mallinnuksella tarkoitamme prosessia, jossa muodostetaan vastaavuus tietylle matemaattiselle objektille, jota kutsutaan matemaattiseksi malliksi, ja tämän mallin tutkimista, jonka avulla voidaan saada todellisen kohteen ominaisuudet. huomioon. Matemaattisen mallin tyyppi riippuu sekä todellisen kohteen luonteesta että kohteen tutkimustehtävistä ja tämän ongelman ratkaisemisen vaadittavasta luotettavuudesta ja tarkkuudesta.

Lopuksi matemaattisen mallin ytimekkäin määritelmä: "Yhtälö, joka ilmaisee ajatuksen."

Mallin luokitus

Mallien muodollinen luokittelu

Mallien muodollinen luokittelu perustuu käytettyjen matemaattisten työkalujen luokitukseen. Usein rakennettu dikotomioiden muodossa. Esimerkiksi yksi suosituimmista dikotomioista:

jne. Jokainen rakennettu malli on lineaarinen tai epälineaarinen, deterministinen tai stokastinen, ... Luonnollisesti myös sekatyypit ovat mahdollisia: toisaalta keskittyneet (parametrien suhteen), toisessa hajautetut mallit jne.

Luokittelu kohteen esittämistavan mukaan

Muodollisen luokituksen ohella mallit eroavat tavasta, jolla objekti esitetään:

• Rakenteelliset tai toiminnalliset mallit

Rakennemallit edustavat objektia järjestelmänä, jolla on oma rakenne ja toimintamekanismi. Funktionaaliset mallit eivät käytä tällaisia ​​esityksiä ja heijastavat vain kohteen ulkoisesti havaittua käyttäytymistä (toimintaa). Äärimmäisessä ilmaisussaan niitä kutsutaan myös "musta laatikko" -malleiksi. Myös yhdistetyt mallit ovat mahdollisia, joita joskus kutsutaan "harmaiksi laatikoiksi".

Sisältö ja muodolliset mallit

Melkein kaikki matemaattisen mallinnuksen prosessia kuvaavat kirjoittajat osoittavat, että ensin rakennetaan erityinen ihanteellinen rakenne, merkityksellinen malli... Täällä ei ole vakiintunutta terminologiaa, ja muut kirjoittajat kutsuvat tätä ihanteellista objektia Havainnemalli , spekulatiivinen malli tai esimalli... Tässä tapauksessa lopullinen matemaattinen konstruktio kutsutaan muodollinen malli tai yksinkertaisesti matemaattinen malli, joka on saatu tietyn merkityksellisen mallin formalisoinnin tuloksena (esimalli). Mielenkiintoisen mallin rakentaminen voidaan suorittaa valmiiden idealisointien avulla, kuten mekaniikassa, jossa ideaaliset jouset, jäykät kappaleet, ideaaliset heilurit, elastiset väliaineet jne. tarjoavat valmiita rakenneelementtejä mielekkääseen mallintamiseen. Kuitenkin niillä tiedon aloilla, joilla ei ole täysin valmiita formalisoituja teorioita (fysiikka, biologia, taloustiede, sosiologia, psykologia ja useimmat muut alueet), mielekkäiden mallien luominen on paljon vaikeampaa.

Olennainen mallien luokittelu

Mikään tieteen hypoteesi ei ole todistettu lopullisesti. Richard Feynman ilmaisi asian hyvin selvästi:

"Meillä on aina mahdollisuus kumota teoria, mutta huomaa, emme voi koskaan todistaa sen olevan oikea. Oletetaan, että olet esittänyt onnistuneen hypoteesin, laskenut, mihin tämä johtaa, ja todennut, että kaikki sen seuraukset vahvistetaan kokeellisesti. Tarkoittaako tämä, että teoriasi on oikea? Ei, se tarkoittaa yksinkertaisesti sitä, että et ole onnistunut kumoamaan sitä."

Jos ensimmäisen tyypin malli rakennetaan, tämä tarkoittaa, että se tunnistetaan tilapäisesti todeksi ja voit keskittyä muihin ongelmiin. Tämä ei kuitenkaan voi olla tutkimuksen pointti, vaan vain väliaikainen tauko: ensimmäisen tyypin mallin tila voi olla vain väliaikainen.

Tyyppi 2: Fenomenologinen malli (käyttäytyä kuin…)

Fenomenologinen malli sisältää mekanismin ilmiön kuvaamiseksi. Tämä mekanismi ei kuitenkaan ole tarpeeksi vakuuttava, sitä ei voida riittävästi vahvistaa saatavilla olevilla tiedoilla tai se ei ole hyvin sopusoinnussa olemassa olevien teorioiden ja kohteesta kertyneen tiedon kanssa. Siksi fenomenologisilla malleilla on tilapäisten ratkaisujen asema. Uskotaan, että vastausta ei vielä tiedetä, ja on tarpeen jatkaa "oikeiden mekanismien" etsimistä. Peierls viittaa toiseen tyyppiin, esimerkiksi alkuainehiukkasten kalorimalliin ja kvarkkimalliin.

Mallin rooli tutkimuksessa voi muuttua ajan myötä, voi tapahtua, että uusi tieto ja teoriat vahvistavat fenomenologiset mallit ja ne nousevat hypoteesin asemaan. Samoin uusi tieto voi vähitellen joutua ristiriitaan ensimmäisen tyypin hypoteettisten mallien kanssa, ja ne voidaan muuntaa toiseksi. Siten kvarkkimalli on vähitellen siirtymässä hypoteesien kategoriaan; Fysiikan atomismi syntyi väliaikaisena ratkaisuna, mutta historian kuluessa siirtyi ensimmäiseen tyyppiin. Mutta eetterimallit ovat päässeet tiensä tyypistä 1 tyyppiin 2, ja nyt ne ovat tieteen ulkopuolella.

Yksinkertaistamisen idea on erittäin suosittu mallien rakentamisessa. Mutta yksinkertaistaminen on eri asia. Peierls tunnistaa kolme mallintamisen yksinkertaistamista.

Tyyppi 3: Lähentäminen (pidämme jotain hyvin suurta tai hyvin pientä)

Jos tutkittavaa järjestelmää kuvaavia yhtälöitä on mahdollista rakentaa, se ei tarkoita, että ne voitaisiin ratkaista edes tietokoneen avulla. Yleisesti hyväksytty tekniikka tässä tapauksessa on approksimaatioiden käyttö (tyypin 3 mallit). Heidän joukossa lineaariset vastemallit... Yhtälöt korvataan lineaarisilla. Tavallinen esimerkki on Ohmin laki.

Ja tässä on tyyppi 8, jota käytetään laajalti biologisten järjestelmien matemaattisissa malleissa.

Tyyppi 8: Mahdollisuuden esittely (tärkeintä on näyttää mahdollisuuden sisäinen johdonmukaisuus)

Nämä ovat myös ajatuskokeita kuvitteellisilla kokonaisuuksilla, jotka osoittavat sen väitetty ilmiö johdonmukainen taustalla olevien periaatteiden kanssa ja sisäisesti johdonmukainen. Tämä on tärkein ero Type 7 -malleihin, jotka paljastavat piilotetut ristiriidat.

Yksi tunnetuimmista tällaisista kokeista on Lobatševskin geometria (Lobatševski kutsui sitä "kuvitteelliseksi geometriaksi"). Toinen esimerkki on kemiallisten ja biologisten värähtelyjen, autoaaltojen jne. muoto-kineettisten mallien massatuotanto. Einstein-Podolsky-Rosen-paradoksi suunniteltiin tyypin 7 malliksi kvanttimekaniikan epäjohdonmukaisuuden osoittamiseksi. Täysin suunnittelemattomalla tavalla ajan myötä siitä tuli tyypin 8 malli - osoitus tiedon kvanttiteleportaation mahdollisuudesta.

Esimerkki

Tarkastellaan mekaanista järjestelmää, joka koostuu toiseen päähän kiinnitetystä jousesta ja painosta m kiinnitetty jousen vapaaseen päähän. Oletetaan, että kuorma voi liikkua vain jousen akselin suunnassa (esimerkiksi liike tapahtuu tankoa pitkin). Rakennetaan tästä järjestelmästä matemaattinen malli. Kuvaamme järjestelmän tilaa etäisyyden perusteella x kuorman keskeltä sen tasapainoasentoon. Kuvataan jousen ja kuorman vuorovaikutusta käyttämällä Hooken laki (F = − kx ) ja käytä sitten Newtonin toista lakia ilmaisemaan se differentiaaliyhtälön muodossa:

jossa tarkoittaa toista johdannaista x ajan kanssa:.

Tuloksena oleva yhtälö kuvaa tarkasteltavan fyysisen järjestelmän matemaattista mallia. Tätä mallia kutsutaan "harmoniseksi oskillaattoriksi".

Muodollisen luokituksen mukaan tämä malli on lineaarinen, deterministinen, dynaaminen, keskittynyt, jatkuva. Sen rakentamisprosessissa teimme monia oletuksia (ulkoisten voimien puuttumisesta, kitkan puuttumisesta, pienistä poikkeamista jne.), jotka eivät todellisuudessa välttämättä toteudu.

Todellisuudessa tämä on useimmiten tyypin 4 malli. yksinkertaistaminen("Jätämme pois joitain yksityiskohtia selvyyden vuoksi"), koska jotkin olennaiset yleismaailmalliset ominaisuudet (esimerkiksi hajaantuminen) jätetään pois. Tietyllä likiarvolla (esim. kun kuorman poikkeama tasapainosta on pieni, pienellä kitkalla, ei liian pitkäksi ajaksi ja tietyissä muissa olosuhteissa) tällainen malli kuvaa varsin hyvin todellista mekaanista järjestelmää, koska hylätyt tekijät ovat mitätön vaikutus sen käyttäytymiseen... Mallia voidaan kuitenkin jalostaa ottamalla huomioon joitain näistä tekijöistä. Tämä johtaa uuteen malliin, jolla on laajempi (joskin jälleen rajoitettu) soveltamisala.

Kuitenkin, kun mallia jalostetaan, sen matemaattisen tutkimuksen monimutkaisuus voi kasvaa merkittävästi ja tehdä mallista käytännössä hyödyttömän. Usein yksinkertaisempi malli mahdollistaa todellisen järjestelmän paremman ja syvemmän tutkimuksen kuin monimutkaisempi (ja muodollisesti "oikeampi").

Jos käytämme harmonista oskillaattorimallia objekteihin, jotka ovat kaukana fysiikasta, sen merkityksellinen tila voi olla erilainen. Esimerkiksi kun tätä mallia sovelletaan biologisiin populaatioihin, se tulisi mitä todennäköisimmin luokitella tyyppiin 6 analogia("Otetaan huomioon vain osa ominaisuuksista").

Kovia ja pehmeitä malleja

Harmoninen oskillaattori on esimerkki niin sanotusta "kovasta" mallista. Se saadaan todellisen fyysisen järjestelmän vahvan idealisoinnin tuloksena. Sen sovellettavuuden ratkaisemiseksi on välttämätöntä ymmärtää, kuinka merkittäviä ovat tekijät, jotka olemme laiminlyöneet. Toisin sanoen on tarpeen tutkia "pehmeää" mallia, joka saadaan "kovan" pienellä häiriöllä. Se voidaan antaa esimerkiksi seuraavalla yhtälöllä:

Tässä on tietty toiminto, joka voi ottaa huomioon kitkavoiman tai jousen jäykkyyskertoimen riippuvuuden sen venymisasteesta, on pieni parametri. Selkeä toiminto f emme ole tällä hetkellä kiinnostuneita. Jos todistetaan, että pehmeän mallin käyttäytyminen ei pohjimmiltaan poikkea kovan mallin käyttäytymisestä (riippumatta häiritsevien tekijöiden eksplisiittisestä muodosta, jos ne ovat tarpeeksi pieniä), ongelma rajoittuu jäykän mallin tutkimukseen. malli. Muuten jäykän mallin tutkimuksessa saatujen tulosten soveltaminen vaatii lisätutkimusta. Esimerkiksi harmonisen oskillaattoriyhtälön ratkaisut ovat muodon funktioita, eli värähtelyjä, joilla on vakioamplitudi. Seuraako tästä, että todellinen oskillaattori värähtelee äärettömän pitkän ajan vakioamplitudilla? Ei, koska kun otetaan huomioon järjestelmä, jossa on mielivaltaisen pieni kitka (joka on aina läsnä todellisessa järjestelmässä), saamme vaimentuneet värähtelyt. Järjestelmän käyttäytyminen on muuttunut dramaattisesti.

Jos järjestelmä säilyttää laadullisen käyttäytymisensä pienissä häiriöissä, sen sanotaan olevan rakenteellisesti vakaa. Harmoninen oskillaattori on esimerkki rakenteellisesti epävakaasta (ei-karkeasta) järjestelmästä. Tätä mallia voidaan kuitenkin soveltaa tutkimusprosesseihin rajoitetuilla aikaväleillä.

Mallien monipuolisuus

Tärkeimmillä matemaattisilla malleilla on yleensä tärkeä ominaisuus universaalisuus: olennaisesti erilaisia ​​todellisia ilmiöitä voidaan kuvata samalla matemaattisella mallilla. Esimerkiksi harmoninen oskillaattori ei kuvaa vain jousen kuormituksen käyttäytymistä, vaan myös muita värähtelyprosesseja, usein täysin erilaisia: heilurin pieniä värähtelyjä, nesteen tason värähtelyjä U-muotoinen suoni tai muutos virran voimakkuudessa värähtelypiirissä. Siten tutkimalla yhtä matemaattista mallia tutkimme kerralla kokonaista luokkaa sen kuvaamia ilmiöitä. Juuri tämä lakien isomorfismi, joka ilmaistaan ​​matemaattisilla malleilla tieteellisen tiedon eri segmenteissä, on Ludwig von Bertalanffyn saavutus luoda "yleinen järjestelmäteoria".

Matemaattisen mallinnuksen suorat ja käänteiset ongelmat

Matemaattiseen mallinnukseen liittyy monia ongelmia. Ensinnäkin on tarpeen keksiä mallinnetun kohteen peruskaavio, toistaa se tämän tieteen idealisaatioiden puitteissa. Joten junavaunu muuttuu eri materiaaleista valmistettujen levyjen ja monimutkaisempien runkojen järjestelmäksi, jokaiselle materiaalille asetetaan standardi mekaaninen idealisointi (tiheys, elastisuusmoduulit, vakiolujuusominaisuudet), minkä jälkeen matkan varrella laaditaan yhtälöt. Jotkut yksityiskohdat hylätään merkityksettöminä, tehdään laskelmia, verrataan mittauksiin, mallia jalostetaan ja niin edelleen. Matemaattisten mallinnustekniikoiden kehittämisen kannalta on kuitenkin hyödyllistä purkaa tämä prosessi sen tärkeimpiin osatekijöihin.

Perinteisesti matemaattisiin malleihin liittyy kaksi pääasiallista ongelmaluokkaa: suora ja käänteinen.

Suora tehtävä: mallin rakenne ja kaikki sen parametrit katsotaan tunnetuiksi, päätehtävänä on suorittaa mallin tutkimus hyödyllisen tiedon saamiseksi kohteesta. Minkä staattisen kuormituksen silta kestää? Miten se reagoi dynaamiseen kuormaan (esimerkiksi sotilaskomppanian marssiin tai junan ohitukseen eri nopeuksilla), kuinka lentokone ylittää äänivallin, hajoaako se lepatusta - Nämä ovat tyypillisiä esimerkkejä suorasta tehtävästä. Oikean suoran ongelman asettaminen (oikean kysymyksen esittäminen) vaatii erityistaitoa. Jos oikeita kysymyksiä ei kysytä, silta voi romahtaa, vaikka sen käyttäytymiselle on rakennettu hyvä malli. Joten vuonna 1879 Englannissa romahti Tayn yli oleva metallisilta, jonka suunnittelijat rakensivat sillan mallin, laskivat sen hyötykuorman 20-kertaiseksi turvallisuuskertoimeksi, mutta unohtivat noissa paikoissa jatkuvasti puhaltavat tuulet. Ja puolentoista vuoden kuluttua se romahti.

Yksinkertaisimmassa tapauksessa (esim. yksi oskillaattoriyhtälö) suora ongelma on hyvin yksinkertainen ja pelkistyy tämän yhtälön eksplisiittiseksi ratkaisuksi.

Käänteinen ongelma: monia mahdollisia malleja tunnetaan, sinun on valittava tietty malli objektia koskevien lisätietojen perusteella. Useimmiten mallin rakenne on tiedossa ja joitain tuntemattomia parametreja on määritettävä. Lisätiedot voivat koostua empiirisista lisätiedoista tai kohteen vaatimuksista ( suunnittelun haaste). Lisätietoa voi tulla käänteisen ongelman ratkaisuprosessista riippumatta ( passiivinen valvonta) tai olla erityisesti suunnitellun kokeen tulos ( aktiivinen valvonta).

Yksi ensimmäisistä esimerkeistä käänteisen ongelman virtuoosista ratkaisusta mahdollisimman täydellä käytettävissä olevalla datalla oli I. Newtonin rakentama menetelmä kitkavoimien palauttamiseksi havaituista vaimennetuista värähtelyistä.

Muita esimerkkejä

missä x s- ”tasapainoinen” populaatiokoko, jossa kuolleisuus kompensoi hedelmällisyyden täsmälleen. Populaatiokoko tällaisessa mallissa pyrkii tasapainoarvoon x s ja tämä käyttäytyminen on rakenteellisesti vakaata.

Tässä järjestelmässä on tasapainotila, kun kanien ja kettujen lukumäärä on vakio. Poikkeaminen tästä tilasta johtaa vaihteluihin kanien ja kettujen lukumäärässä, analogisesti harmonisen oskillaattorin vaihteluiden kanssa. Kuten harmonisen oskillaattorin tapauksessa, tämä käyttäytyminen ei ole rakenteellisesti vakaata: pieni muutos mallissa (esimerkiksi ottaen huomioon kanien vaatimat rajalliset resurssit) voi johtaa laadulliseen käyttäytymisen muutokseen. Esimerkiksi tasapainotila voi muuttua vakaaksi ja lukujen vaihtelut häviävät. Myös päinvastainen tilanne on mahdollinen, kun pienikin poikkeama tasapainoasennosta johtaa katastrofaalisiin seurauksiin, aina yhden lajin täydelliseen sukupuuttoon asti. Volterra-Lotka-malli ei anna vastausta kysymykseen, mikä näistä skenaarioista toteutuu: tässä tarvitaan lisätutkimusta.

Huomautuksia (muokkaa)

1. "Matemaattinen esitys todellisuudesta" (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I.B., Kyberneettisen mallintamisen filosofisista kysymyksistä. M., Knowledge, 1964.
3. B. Ya Soviets, S. A. Yakovlev, Järjestelmän mallinnus: Oppikirja. yliopistoille - 3. painos, rev. ja lisää. - M .: Korkeampi. shk., 2001 .-- 343 s. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarskiy A.A., Mikhailov A.P. Matemaattinen mallinnus. Ideoita. menetelmät. Esimerkkejä. ... - 2. painos, Rev .. - M .: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A.D., Matemaattisten mallien teorian elementit. - 3. painos, Rev. - M .: KomKniga, 2007 .-- 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
6. Wikisanakirja: matemaattinen malli
7. CliffsNotes
8. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity-sarja, Berliini-Heidelberg-New York, 2006. XII + 562 s. ISBN 3-540-35885-4
9. ”Teoriaa pidetään lineaarisena tai epälineaarisena sen mukaan, onko se lineaarinen vai epälineaarinen matemaattinen laitteisto ja millaisia ​​lineaarisia tai epälineaarisia matemaattisia malleja se käyttää. … Jälkimmäistä kieltämättä. Moderni fyysikko, jos hän olisi luonut uudelleen määritelmän niin tärkeästä olemuksesta kuin epälineaarisuus, olisi todennäköisesti toiminut eri tavalla ja pitäessään parempana epälineaarisuutta tärkeimpänä ja laajempana kahdesta vastakohdasta, määrittelisi lineaarisuuden "ei epälineaariseksi". ." Danilov Yu.A., Luennot epälineaarisesta dynamiikasta. Alkuperäinen johdanto. Synergia: menneisyydestä tulevaisuuteen. Painos 2. - M .: URSS, 2006 .-- 208 s. ISBN 5-484-00183-8
10. ”Dynaamisia järjestelmiä, jotka on mallinnettu rajallisella määrällä tavallisia differentiaaliyhtälöitä, kutsutaan pistejärjestelmiksi. Ne kuvataan äärellisulotteisen vaiheavaruuden avulla ja niille on tunnusomaista äärellinen määrä vapausasteita. Yhtä ja samaa järjestelmää eri olosuhteissa voidaan pitää joko keskittyneenä tai hajautettuna. Hajautettujen järjestelmien matemaattiset mallit ovat osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, integraaliyhtälöitä tai tavallisia yhtälöitä, joissa on viivästynyt argumentti. Hajautetun järjestelmän vapausasteiden määrä on ääretön, ja sen tilan määrittämiseen tarvitaan ääretön määrä tietoa." Anischenko V.S., Dynaamiset järjestelmät, Soros-koulutuslehti, 1997, nro 11, s. 77-84.
11. ”S-järjestelmässä tutkittavien prosessien luonteesta riippuen kaikki mallinnuksen tyypit voidaan jakaa deterministiseen ja stokastiseen, staattiseen ja dynaamiseen, diskreettiin, jatkuvaan ja diskreetti-jatkuvaan. Deterministinen mallinnus näyttää deterministisiä prosesseja, eli prosesseja, joissa oletetaan satunnaisten vaikutusten puuttumista; stokastinen mallinnus näyttää todennäköisyysprosesseja ja tapahtumia. ... Staattista mallinnusta käytetään kuvaamaan kohteen käyttäytymistä milloin tahansa, kun taas dynaaminen mallinnus heijastaa kohteen käyttäytymistä ajassa. Diskreetti mallinnus kuvaa prosesseja, jotka oletetaan diskreeteiksi, vastaavasti jatkuvalla mallinnuksella voit heijastaa jatkuvia prosesseja järjestelmissä ja diskreetti-jatkuvaa mallinnusta käytetään tapauksissa, joissa halutaan korostaa sekä diskreettien että jatkuvien prosessien olemassaoloa. B. Ya Soviets, S. A. Yakovlev, Järjestelmän mallinnus: Oppikirja. yliopistoille - 3. painos, rev. ja lisää. - M .: Korkeampi. shk., 2001 .-- 343 s. ISBN 5-06-003860-2
12. Yleensä matemaattinen malli heijastaa simuloidun kohteen rakennetta (laitetta), tämän objektin komponenttien tutkimuksen kannalta oleellisia ominaisuuksia ja keskinäisiä suhteita; tällaista mallia kutsutaan rakenteelliseksi. Jos malli heijastaa vain sitä, miten esine toimii - esimerkiksi kuinka se reagoi ulkoisiin vaikutuksiin -, sitä kutsutaan toiminnalliseksi tai kuvaannollisesti mustaksi laatikoksi. Myös yhdistetyt mallit ovat mahdollisia. Myshkis A.D., Matemaattisten mallien teorian elementit. - 3. painos, Rev. - M .: KomKniga, 2007 .-- 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
13. ”Ilmeä, mutta tärkein alkuvaihe matemaattisen mallin rakentamisessa tai valinnassa on mahdollisimman selkeä käsitys mallinnetusta kohteesta ja sen merkityksellisen mallin selkiyttäminen epävirallisten keskustelujen pohjalta. Tässä vaiheessa ei pidä tuhlata aikaa ja vaivaa, siitä riippuu pitkälti koko tutkimuksen onnistuminen. Useammin kuin kerran tapahtui, että matemaattisen ongelman ratkaisemiseen käytetty merkittävä työ osoittautui tehottomaksi tai jopa hukkaan, koska asiaan ei kiinnitetty riittävästi huomiota." Myshkis A.D., Matemaattisten mallien teorian elementit. - 3. painos, Rev. - M .: KomKniga, 2007 .-- 192 s ISBN 978-5-484-00953-4, s. 35.
14. « Järjestelmän käsitteellisen mallin kuvaus. Järjestelmän mallin rakentamisen tässä alivaiheessa: a) käsitteellinen malli M kuvataan abstraktein termein ja käsittein; b) mallin kuvaus annetaan standardinmukaisia ​​matemaattisia kaavioita käyttäen; c) hypoteesit ja oletukset hyväksytään lopulta; d) menetelmän valinta todellisten prosessien approksimointiin mallin rakentamisessa on perusteltu." B. Ya Soviets, S. A. Yakovlev, Järjestelmän mallinnus: Oppikirja. yliopistoille - 3. painos, rev. ja lisää. - M .: Korkeampi. shk., 2001 .-- 343 s. ISBN 5-06-003860-2, s. 93.

Malli ja mallinnuskonsepti.

Malli laajassa merkityksessäon mikä tahansa kuva, analoginen, mielikuva tai vakiintunut kuva, kuvaus, kaavio, piirros, kartta jne. mistä tahansa tilavuudesta, prosessista tai ilmiöstä, jota käytetään sen korvikkeena tai edustajana. Itse esinettä, prosessia tai ilmiötä kutsutaan tämän mallin alkuperäiseksi.

Mallintaminen - on minkä tahansa kohteen tai esinejärjestelmän tutkimusta rakentamalla ja tutkimalla niiden malleja. Se on mallien käyttöä ominaisuuksien määrittämiseen tai tarkentamiseen ja uusien objektien rakennustapojen järkeistämiseen.

Kaikki tieteellisen tutkimuksen menetelmät perustuvat mallintamisen ajatukseen, kun taas teoreettisissa menetelmissä käytetään erilaisia ​​​​merkkejä, abstrakteja malleja, kokeellisissa - aihemalleja.

Tutkimuksen aikana monimutkainen todellinen ilmiö korvataan jollain yksinkertaistetulla kopiolla tai kaaviolla, joskus tällainen kopio palvelee vain muistamista ja seuraavassa kokouksessa tarpeellisen ilmiön tunnistamista. Joskus rakennettu kaavio heijastaa joitain olennaisia ​​piirteitä, mahdollistaa ilmiön mekanismin ymmärtämisen, mahdollistaa sen muutoksen ennustamisen. Eri mallit voivat vastata samaa ilmiötä.

Tutkijan tehtävänä on ennustaa ilmiön luonne ja prosessin kulku.

Joskus käy niin, että esine on saatavilla, mutta sen kokeilut ovat kalliita tai aiheuttavat vakavia ympäristövaikutuksia. Tietoa tällaisista prosesseista saadaan mallien avulla.

Tärkeä seikka on se, että tieteen luonne ei edellytä yhden tietyn ilmiön tutkimista, vaan laajan luokan siihen liittyviä ilmiöitä. Olettaa, että on tarpeen muotoilla joitain yleisiä kategorisia lausuntoja, joita kutsutaan laeiksi. Luonnollisesti tällaisella muotoilulla monet yksityiskohdat jätetään huomiotta. Kuvion selvemmin tunnistamiseksi he menevät tietoisesti karkeuttamiseen, idealisointiin, kaavamaisuuteen, eli eivät tutki itse ilmiötä, vaan sen enemmän tai vähemmän tarkkaa kopiota tai mallia. Kaikki lait ovat mallilakeja, ja siksi ei ole yllättävää, että ajan myötä jotkin tieteelliset teoriat katsotaan sopimattomiksi. Tämä ei johda tieteen romahtamiseen, koska yksi malli on korvattu toisella. modernimpi.

Matemaattisilla malleilla on erityinen rooli tieteessä, näiden mallien rakennusmateriaali ja työkalut - matemaattiset käsitteet. Ne ovat kertyneet ja parantuneet vuosituhansien aikana. Moderni matematiikka tarjoaa erittäin tehokkaita ja monipuolisia tutkimustyökaluja. Lähes jokainen matematiikan käsite, jokainen matemaattinen objekti, alkaen luvun käsitteestä, on matemaattinen malli. Muodostettaessa matemaattista mallia tutkittavasta kohteesta tai ilmiöstä erotetaan ne ominaisuudet, piirteet ja yksityiskohdat, jotka toisaalta sisältävät enemmän tai vähemmän täydellistä tietoa kohteesta ja toisaalta mahdollistavat matemaattisen formalisoinnin. Matemaattinen formalisointi tarkoittaa, että kohteen ominaisuudet ja yksityiskohdat voidaan liittää sopiviin, riittäviin matemaattisiin käsitteisiin: numerot, funktiot, matriisit ja niin edelleen. Sitten tutkittavasta objektista löydetyt ja oletetut yhteydet ja suhteet sen yksittäisten osien ja komponenttien välillä voidaan kirjoittaa matemaattisten suhteiden avulla: yhtäläisyydet, epäyhtälöt, yhtälöt. Tuloksena on matemaattinen kuvaus tutkitusta prosessista tai ilmiöstä eli sen matemaattisesta mallista.

Matemaattisen mallin tutkimiseen liittyy aina joitain toimintasääntöjä tutkittavien kohteiden suhteen. Nämä säännöt kuvastavat syiden ja seurausten välisiä yhteyksiä.

Matemaattisen mallin rakentaminen on keskeinen vaihe minkä tahansa järjestelmän tutkimuksessa tai suunnittelussa. Kaikki myöhemmät kohteen analyysit riippuvat mallin laadusta. Mallin rakentaminen ei ole muodollinen menettely. Se riippuu vahvasti tutkijasta, hänen kokemuksestaan ​​ja maustaan, luottaa aina tiettyyn kokeelliseen materiaaliin. Mallin tulee olla kohtuullisen tarkka, riittävä ja mukava käyttää.

Matemaattinen mallinnus.

Matemaattisten mallien luokittelu.

Matemaattiset mallit voivat olladeterministinen ja stokastinen .

Deterministinen malli- ja - nämä ovat malleja, joissa objektia tai ilmiötä kuvaavien muuttujien välille muodostetaan yksi-yhteen vastaavuus.

Tämä lähestymistapa perustuu tietoon esineiden toimintamekanismista. Usein mallinnettu kohde on monimutkainen ja sen mekanismin purkaminen voi olla hyvin työlästä ja aikaa vievää. Tässä tapauksessa ne edetään seuraavasti: kokeita suoritetaan alkuperäisellä, tulokset käsitellään ja, ilman matemaattisen tilaston ja todennäköisyysteorian menetelmiä mallinnetun kohteen mekanismiin ja teoriaan, luodaan yhteyksiä objektia kuvaavat muuttujat. Tässä tapauksessa saastokastinen malli- . V stokastinen Mallissa muuttujien välinen suhde on satunnainen, joskus se tapahtuu periaatteessa. Valtavan määrän tekijöiden vaikutus, niiden yhdistelmä johtaa sattumanvaraiseen joukkoon muuttujia, jotka kuvaavat objektia tai ilmiötä. Moodin luonteen mukaan malli ontilastollinen ja dynaaminen.

Tilastollinenmalli-sisältää kuvauksen mallinnetun kohteen päämuuttujien välisistä suhteista vakaassa tilassa ottamatta huomioon parametrien muutosta ajan myötä.

V dynaaminenmalli-kuvataan mallinnetun kohteen päämuuttujien väliset suhteet siirtymisen aikana tilasta toiseen.

Mallit ovat diskreetti ja jatkuva, ja sekoitettu tyyppi. V jatkuva muuttujat ottavat arvot tietystä intervallista, indiskreettimuuttujat saavat yksittäisiä arvoja.

Lineaariset mallit- kaikki mallia kuvaavat funktiot ja relaatiot riippuvat lineaarisesti muuttujista jaei lineaarinenmuuten.

Matemaattinen mallinnus.

Vaatimukset , n ilmoitti malleihin.

1. Monipuolisuus- luonnehtii todellisen kohteen tutkittujen ominaisuuksien näyttämisen täydellisyyttä mallilla.

1. Riittävyys - kyky heijastaa kohteen haluttuja ominaisuuksia virheellä, joka ei ylitä annettua.
2. Tarkkuus - mitataan todellisen kohteen ominaisuuksien arvojen ja näiden mallien avulla saatujen ominaisuuksien arvojen yhteensopivuusasteen mukaan.
3. Kannattavuus - määräytyy tietokoneen muistiresurssien kustannuksista ja sen toteuttamiseen ja käyttöön käytetystä ajasta.

Matemaattinen mallinnus.

Mallintamisen päävaiheet.

1. Ongelman kuvaus.

Analyysin tavoitteen ja sen saavuttamiskeinojen määrittäminen ja yleisen lähestymistavan kehittäminen tutkittavaan ongelmaan. Tämä vaihe vaatii syvällistä ymmärrystä käsillä olevan tehtävän olemuksesta. Joskus tehtävän asettaminen oikein ei ole yhtä vaikeaa kuin sen ratkaiseminen. Asettaminen ei ole muodollinen prosessi, yleisiä sääntöjä ei ole.

2. Teoreettisten perusteiden tutkiminen ja tiedon kerääminen alkuperäisestä esineestä.

Tässä vaiheessa valitaan tai kehitetään sopiva teoria. Jos sitä ei ole, objektia kuvaavien muuttujien välille muodostetaan syy-seuraussuhteet. Tulot ja lähdöt määritellään ja tehdään yksinkertaistavia oletuksia.

3. Formalisointi.

Se koostuu symbolijärjestelmän valitsemisesta ja niiden käyttämisestä objektin komponenttien välisten suhteiden kirjoittamiseen matemaattisten lausekkeiden muodossa. Muodostetaan ongelmaluokka, jolle saatu objektin matemaattinen malli voidaan liittää. Joidenkin parametrien arvoja ei ehkä ole vielä määritetty tässä vaiheessa.

4. Ratkaisumenetelmän valinta.

Tässä vaiheessa määritetään mallien lopulliset parametrit ottaen huomioon kohteen toiminnan edellytykset. Saatulle matemaattiselle tehtävälle valitaan ratkaisumenetelmä tai kehitetään erityinen menetelmä. Menetelmää valittaessa otetaan huomioon käyttäjän tieto, hänen mieltymyksensä sekä kehittäjän mieltymykset.

5. Mallin toteutus.

Algoritmin kehittelyn jälkeen kirjoitetaan ohjelma, josta tehdään virheenkorjaus, testataan ja löydetään ratkaisu haluttuun ongelmaan.

6. Saatujen tietojen analyysi.

Saatuja ja odotettuja ratkaisuja verrataan ja simulointivirhettä tarkkaillaan.

7. Todellisen kohteen riittävyyden tarkistaminen.

Mallilla saatuja tuloksia verrataanjoko kohteesta saatavilla olevilla tiedoilla tai koe on käynnissä ja sen tuloksia verrataan laskettuihin.

Mallinnusprosessi on iteratiivinen. Jos vaiheiden tulokset eivät ole tyydyttäviä 6. tai 7. suoritetaan paluu johonkin alkuvaiheesta, mikä voi johtaa epäonnistuneen mallin kehittämiseen. Tätä ja kaikkia myöhempiä vaiheita jalostetaan, ja tällaista mallin jalostusta tapahtuu, kunnes saadaan hyväksyttäviä tuloksia.

Matemaattinen malli on likimääräinen kuvaus todellisen maailman ilmiöiden tai esineiden luokasta matematiikan kielellä. Mallintamisen päätarkoituksena on tutkia näitä kohteita ja ennustaa tulevien havaintojen tuloksia. Mallintaminen on kuitenkin myös menetelmä ympäröivän maailman tuntemiseen, mikä mahdollistaa sen hallitsemisen.

Matemaattinen mallintaminen ja siihen liittyvä tietokonekoe ovat välttämättömiä tapauksissa, joissa luonnollinen koe on syystä tai toisesta mahdoton tai vaikea. Esimerkiksi historiassa on mahdotonta perustaa luonnollista koetta tarkistaakseen "mitä olisi tapahtunut, jos ..." On mahdotonta varmistaa yhden tai toisen kosmologisen teorian oikeellisuutta. Periaatteessa on mahdollista, mutta tuskin järkevää, kokeilla taudin, kuten ruton, leviämistä tai suorittaa ydinräjähdys sen seurausten tutkimiseksi. Kaikki tämä voidaan kuitenkin tehdä tietokoneella, kun on aiemmin rakennettu matemaattisia malleja tutkituista ilmiöistä.

1.1.2 2. Matemaattisen mallinnuksen päävaiheet

1) Mallin rakentaminen. Tässä vaiheessa asetetaan tietty "ei-matemaattinen" objekti - luonnonilmiö, suunnittelu, taloudellinen suunnitelma, tuotantoprosessi jne. Tässä tapauksessa tilanteen selkeä kuvaus on yleensä vaikeaa. Ensin tunnistetaan ilmiön pääpiirteet ja niiden väliset laadulliset yhteydet. Sitten löydetyt laadulliset riippuvuudet muotoillaan matematiikan kielellä, eli rakennetaan matemaattinen malli. Tämä on mallintamisen vaikein vaihe.

2) Matemaattisen ongelman ratkaisu, johon malli johtaa... Tässä vaiheessa kiinnitetään paljon huomiota algoritmien ja numeeristen menetelmien kehittämiseen ongelman ratkaisemiseksi tietokoneella, joiden avulla tulos voidaan löytää vaaditulla tarkkuudella ja kohtuullisessa ajassa.

3) Matemaattisesta mallista saatujen tulosten tulkinta.Matematiikan kielellä mallista johdetut seuraukset tulkitaan kyseisellä alalla hyväksytyllä kielellä.

4) Mallin riittävyyden tarkistaminen.Tässä vaiheessa selvitetään, ovatko kokeelliset tulokset yhtenevät mallin teoreettisten seurausten kanssa tietyllä tarkkuudella.

5) Mallin muutos.Tässä vaiheessa on joko mallin monimutkaisuus niin, että se vastaa paremmin todellisuutta, tai sen yksinkertaistaminen käytännössä hyväksyttävän ratkaisun saavuttamiseksi.

1.1.3 3. Mallin luokitus

Mallit voidaan luokitella eri kriteerien mukaan. Esimerkiksi ratkaistavien ongelmien luonteen mukaan mallit voidaan jakaa toiminnallisiin ja rakenteellisiin. Ensimmäisessä tapauksessa kaikki ilmiötä tai objektia kuvaavat suureet ilmaistaan ​​kvantitatiivisesti. Tässä tapauksessa joitain niistä pidetään itsenäisinä muuttujina, kun taas toisia - näiden määrien funktioina. Matemaattinen malli on yleensä erityyppisten (differentiaali-, algebrallisten jne.) yhtälöiden järjestelmä, joka muodostaa kvantitatiivisia suhteita tarkasteltavien suureiden välille. Toisessa tapauksessa malli luonnehtii monimutkaisen kohteen rakennetta, joka koostuu erillisistä osista, joiden välillä on tiettyjä yhteyksiä. Yleensä näitä suhteita ei voida mitata. Tällaisten mallien rakentamiseen on kätevää käyttää graafiteoriaa. Graafi on matemaattinen objekti, joka on joukko pisteitä (pisteitä) tasossa tai avaruudessa, joista osa on yhdistetty viivoilla (reunat).

Lähtötietojen ja ennustetulosten luonteen perusteella mallit voidaan jakaa deterministisiin ja todennäköisyysstatistisiin. Ensimmäisen tyypin mallit tarjoavat selkeitä, yksiselitteisiä ennusteita. Toisen tyypin mallit perustuvat tilastotietoon, ja niiden avulla saadut ennusteet ovat luonteeltaan todennäköisyyspohjaisia.

MATEMAATTINEN SIMULAATIO JA YLEISTÄ TIETOKONE TAI SIMULAATIOMALLIT

Nyt, kun maassa tapahtuu lähes yleismaailmallista tietokoneistamista, joudumme kuulemaan lausuntoja eri ammattien asiantuntijoilta: "Jos otamme käyttöön tietokoneen, kaikki tehtävät ratkeavat välittömästi." Tämä näkökulma on täysin väärä, tietokoneet ilman matemaattisia malleja tietyistä prosesseista eivät pysty tekemään mitään, ja yleisestä tietokoneistamisesta voi vain haaveilla.

Yllä olevan tueksi pyrimme perustelemaan mallinnuksen, mukaan lukien matemaattisen mallinnuksen, tarvetta, paljastamme sen edut ihmisen kognitiossa ja ulkomaailman muuttamisessa, tunnistamme olemassa olevat puutteet ja siirrymme ... simulaatioon, ts. tietokonesimulaatio. Mutta kaikki on kunnossa.

Ensinnäkin vastataan kysymykseen: mikä on malli?

Malli on materiaalinen tai henkisesti esitelty esine, joka kognitioprosessissa (tutkimuksessa) korvaa alkuperäisen säilyttäen joitakin tämän tutkimuksen kannalta tärkeitä tyypillisiä ominaisuuksia.

Hyvin rakennettu malli on tutkimukseen paremmin saatavilla kuin todellinen esine. Esimerkiksi maan talouden kokeilua koulutustarkoituksiin on mahdotonta hyväksyä, täällä et tule toimeen ilman mallia.

Yhteenvetona sanotusta voimme vastata kysymykseen: mitä varten mallit ovat? Vastaanottaja

• ymmärtää, miten esine on järjestetty (sen rakenne, ominaisuudet, kehityslait, vuorovaikutus ulkomaailman kanssa).
• oppia hallitsemaan kohdetta (prosessia) ja määrittämään parhaat strategiat
• ennustaa iskun seurauksia esineeseen.

Mitä positiivista missä tahansa mallissa on? Sen avulla voit saada uutta tietoa kohteesta, mutta valitettavasti se on tavalla tai toisella epätäydellinen.

MalliMatemaattisilla menetelmillä muotoiltua matematiikan kielellä kutsutaan matemaattiseksi malliksi.

Sen rakentamisen lähtökohtana on yleensä jokin ongelma, esimerkiksi taloudellinen. Laajalle levinnyt, sekä kuvaava että optimoiva matemaattinen, luonnehtiva erilaisia taloudellisia prosesseja ja ilmiöt, esim.

• resurssien kohdentaminen
• järkevä leikkaus
• kuljetus
• yritysten laajentuminen
• verkon suunnittelu.

Miten matemaattinen malli rakennetaan?

• Ensin määritellään tutkimuksen tavoite ja aihe.
• Toiseksi korostetaan tätä tavoitetta vastaavia tärkeimpiä ominaisuuksia.
• Kolmanneksi mallin elementtien välinen suhde kuvataan sanallisesti.
• Lisäksi suhde virallistetaan.
• Ja laskelma tehdään matemaattisen mallin ja saadun ratkaisun analyysin mukaan.

Tämän algoritmin avulla voit ratkaista minkä tahansa optimointiongelman, mukaan lukien monikriteerit, ts. sellainen, jossa ei tavoitella yhtä, vaan useita päämääriä, myös ristiriitaisia.

Otetaan esimerkki. Jonoteoria on jonoongelma. On tarpeen tasapainottaa kaksi tekijää - palvelulaitteiden ylläpitokustannukset ja jonossa pysymisen kustannukset. Mallin muodollisen kuvauksen rakentamisen jälkeen laskelmat suoritetaan analyyttisin ja laskennallisin menetelmin. Jos malli on hyvä, niin sen avulla löydetyt vastaukset sopivat mallinnusjärjestelmään, jos se on huono, niin sitä tulee parantaa ja korvata. Käytäntö on riittävyyden kriteeri.

Optimointimalleilla, myös monikriteerisillä, on yhteinen ominaisuus - on tiedossa tavoite (tai useita tavoitteita), joiden saavuttamiseksi on usein tarpeen käsitellä monimutkaisia ​​järjestelmiä, joissa ei ole niinkään kyse optimointiongelmien ratkaisemisesta kuin tutkimisesta. ja tilojen ennustaminen valittavissa olevista hallintastrategioista riippuen. Ja tässä kohtaamme edellisen suunnitelman toteuttamisen vaikeudet. Ne ovat seuraavat:

• monimutkainen järjestelmä sisältää monia yhteyksiä elementtien välillä
• todelliseen järjestelmään vaikuttavat satunnaiset tekijät, niitä on mahdotonta ottaa analyyttisesti huomioon
• mahdollisuus verrata alkuperäistä malliin on olemassa vain matemaattisen laitteen käytön alussa ja sen jälkeen, koska välituloksilla ei välttämättä ole analogeja todellisessa järjestelmässä.

Listattujen monimutkaisten järjestelmien tutkimuksessa ilmenevien vaikeuksien yhteydessä käytäntö vaati joustavampaa menetelmää, ja se ilmestyi - simulaatiomallinnus "Simujaatiomallinnus".

Yleensä simulaatiomallilla tarkoitetaan tietokoneohjelmien kokonaisuutta, joka kuvaa yksittäisten järjestelmälohkojen toimintaa ja niiden välisen vuorovaikutuksen sääntöjä. Satunnaismuuttujien käyttö edellyttää toistuvien kokeiden suorittamista simulaatiojärjestelmällä (tietokoneella) ja tulosten tilastollista analysointia. Hyvin yleinen esimerkki simulaatiomallien käytöstä on jonotusongelman ratkaisu MONTE – CARLO -menetelmällä.

Simulaatiojärjestelmän kanssa työskentely on siis tietokoneella suoritettua koetta. Mitä hyötyä siitä on?

– Suuri läheisyys todelliseen järjestelmään kuin matemaattiset mallit;

- Lohkoperiaate mahdollistaa jokaisen lohkon tarkistamisen ennen kuin se sisällytetään kokonaisjärjestelmään;

– Käyttää monimutkaisempia riippuvuuksia, joita ei kuvata yksinkertaisilla matemaattisilla suhteilla.

Luetellut edut määrittelevät haitat

– Rakenna simulaatiomalli pidempi, vaikeampi ja kalliimpi;

- simulaatiojärjestelmän kanssa työskentelyyn tarvitaan tunnille sopiva tietokone;

- käyttäjän ja simulaatiomallin (rajapinnan) välinen vuorovaikutus ei saa olla liian monimutkaista, kätevää ja hyvin tunnettua;

– Simulaatiomallin rakentaminen vaatii todellisen prosessin syvempää tutkimista kuin matemaattista mallintamista.

Herää kysymys: voiko jäljitelmämallinnus korvata optimointimenetelmät? Ei, mutta täydentää niitä kätevästi. Simulaatiomalli on ohjelma, joka toteuttaa tietyn algoritmin, jonka ohjauksen optimoimiseksi optimointiongelma ratkaistaan ​​ensin.

Joten ei tietokone, matemaattinen malli tai sen tutkimuksen algoritmi erikseen pysty ratkaisemaan riittävän monimutkaista ongelmaa. Mutta yhdessä he edustavat voimaa, jonka avulla voit tuntea ympäröivän maailman, hallita sitä ihmisen etujen mukaisesti.

1.2 Mallin luokitus

Mikä on matemaattinen malli?

Matemaattisen mallin käsite.

Matemaattinen malli on hyvin yksinkertainen käsite. Ja erittäin tärkeä. Matemaattiset mallit yhdistävät matematiikan ja tosielämän.

Yksinkertaisin termein, matemaattinen malli on matemaattinen kuvaus mistä tahansa tilanteesta. Ja siinä kaikki. Malli voi olla primitiivinen, se voi olla erittäin monimutkainen. Oli tilanne mikä tahansa, niin on mallikin.)

Missä tahansa (toistan - missä tahansa!) liiketoiminta, jossa sinun on laskettava jotain ja laskettava - harjoitamme matemaattista mallintamista. Vaikka emme edes tiedä siitä.)

R = 2 CB + 3 CM

Tämä tietue on ostojemme kustannusten matemaattinen malli. Malli ei ota huomioon pakkauksen väriä, viimeistä käyttöpäivää, kassojen kohteliaisuutta jne. Siksi hän malli, ei varsinainen ostos. Mutta kustannukset, ts. mitä tarvitsemme– Selvitämme varmasti. Tietysti jos malli on oikea.

On hyödyllistä kuvitella, mikä matemaattinen malli on, mutta tämä ei riitä. Tärkeintä on pystyä rakentamaan näitä malleja.

Ongelman matemaattisen mallin laatiminen (konstruointi).

Matemaattisen mallin laatiminen tarkoittaa ongelman ehtojen kääntämistä matemaattiseen muotoon. Nuo. muuttaa sanat yhtälöiksi, kaaviksi, epäyhtälöiksi jne. Lisäksi muunna se niin, että tämä matematiikka vastaa tarkasti alkuperäistä tekstiä. Muuten päädymme matemaattiseen malliin jostain muusta, meille tuntemattomasta ongelmasta.)

Tarkemmin sanottuna tarvitset

Maailmassa on ääretön määrä tehtäviä. Siksi tarjota selkeät vaiheittaiset ohjeet matemaattisen mallin laatimiseen minkä tahansa tehtävät ovat mahdottomia.

Mutta on kolme pääkohtaa, joihin on kiinnitettävä huomiota.

1. Jokaisessa tehtävässä on kummallista kyllä ​​tekstiä.) Tässä tekstissä yleensä on selkeää, avointa tietoa. Numerot, arvot jne.

2. Mikä tahansa ongelma on piilotettua tietoa. Tämä on teksti, joka edellyttää lisätietoa päässä. Ilman niitä - ei mitään. Lisäksi matemaattinen tieto piiloutuu usein yksinkertaisten sanojen taakse ja ... lipsaa huomion ohi.

3. Jokaisessa tehtävässä on annettava tiedonsiirtoa keskenään. Tämä yhteys voidaan antaa pelkkänä tekstinä (jokin vastaa jotain), tai se voidaan piilottaa yksinkertaisten sanojen taakse. Mutta yksinkertaiset ja suoraviivaiset tosiasiat jäävät usein huomiotta. Ja mallia ei ole koottu millään tavalla.

Kerron heti: näiden kolmen kohdan soveltamiseksi ongelma on luettava (ja huolellisesti!) Useita kertoja. Tavallinen juttu.

Ja nyt esimerkkejä.

Aloitetaan yksinkertaisesta ongelmasta:

Petrovich palasi kalastuksesta ja esitteli ylpeänä saaliin perheelle. Tarkemmin tarkasteltuna kävi ilmi, että 8 kalaa on peräisin pohjoisista meristä, 20% kaikista kaloista on eteläisistä, eikä yhtään paikallisesta joesta, jossa Petrovich kalasti. Kuinka monta kalaa Petrovich osti Seafood-kaupasta?

Kaikki nämä sanat on muutettava jonkinlaiseksi yhtälöksi. Tätä varten tarvitset, toistan, muodostaa matemaattisen yhteyden ongelman kaikkien tietojen välille.

Mistä aloittaa? Otetaan ensin kaikki tiedot tehtävästä. Aloitetaan järjestyksessä:

Kiinnitämme huomiota ensimmäiseen hetkeen.

Mitä täällä on selkeää matemaattista tietoa? 8 kalaa ja 20 %. Ei paljon, mutta emme tarvitse paljon.)

Kiinnitämme huomion toiseen kohtaan.

Etsivät piilotettu tiedot. Hän on täällä. Nämä ovat sanat: "20% kaikista kaloista". Täällä sinun on ymmärrettävä, mitkä prosentit ovat ja miten ne lasketaan. Muuten ongelma ei ratkea. Tämä on vain lisätietoa, jonka pitäisi olla päässäsi.

Siellä on yhä matemaattinen täysin näkymätöntä tietoa. se tehtävä kysymys: "Kuinka monta kalaa olen ostanut..." Tämäkin on joku luku. Ja ilman sitä mallia ei voida tehdä. Siksi merkitsemme tätä numeroa kirjaimella "NS". Emme vielä tiedä, mikä x on, mutta tällainen nimitys on meille erittäin hyödyllinen. Lisätietoja siitä, mitä X:lle pitää ottaa ja miten sitä käsitellään, katso oppitunti Kuinka ratkaista matematiikan tehtäviä? Joten heti ja kirjoita:

x kpl - kalojen kokonaismäärä.

Ongelmassamme eteläiset kalat on annettu prosentteina. Meidän on käännettävä ne paloiksi. Mitä varten? Sitten se sisään minkä tahansa mallitehtävän tulee olla samoissa määrissä. Palaset - joten kaikki on palasissa. Jos esimerkiksi annetaan tunnit ja minuutit, käännämme kaiken yhdeksi asiaksi - joko vain tunniksi tai vain minuutiksi. Ei väliä mitä. On tärkeää kaikki arvot olivat samaa tyyppiä.

Palaamme tietojen julkistamiseen. Joka ei tiedä mikä on prosenttiosuus, ei koskaan paljasta, kyllä... Ja kuka tietää, hän sanoo heti, että tässä on annettu prosenttiosuus kalojen kokonaismäärästä. Ja tätä numeroa emme tiedä. Se ei onnistu!

Kalojen kokonaismäärä (palasina!) Emme ole turhaan kirjaimella "NS" nimetty. Emme voi laskea etelän kaloja paloiksi, mutta voimmeko kirjoittaa sen muistiin? Kuten tämä:

0,2 x kappaletta - eteläisten merien kalojen lukumäärä.

Nyt olemme ladaneet kaikki tiedot ongelmasta. Sekä selkeää että piilotettua.

Kiinnitämme huomiota kolmanteen kohtaan.

Etsivät matemaattinen yhteys tehtävätietojen välillä. Tämä yhteys on niin yksinkertainen, että monet eivät huomaa sitä ... Näin tapahtuu usein. Täällä on hyödyllistä kirjoittaa kerätyt tiedot pinoon ja jopa nähdä, mikä on mitä.

Mitä meillä on? On 8 kpl pohjoiset kalat, 0,2 x kappaletta- eteläiset kalat ja x kala- kokonaismäärä. Pystytkö yhdistämään nämä tiedot jotenkin? Kyllä helppoa! Kalojen kokonaismäärä on yhtä suuri etelän ja pohjoisen summa! No, kuka olisi arvannut...) Joten kirjoitamme:

x = 8 + 0,2x

Tämä yhtälö tulee olemaan ongelmamme matemaattinen malli.

Huomaa, että tässä ongelmassa meitä ei pyydetä lisäämään mitään! Me itse päätimme, että etelän ja pohjoisen kalojen summa antaa meille lopputuloksen. Asia on niin ilmeinen, että se lipsaa huomion ohi. Mutta ilman tätä näyttöä matemaattista mallia ei voida koota. Kuten tämä.

Nyt voit käyttää kaikkea matematiikan voimaa tämän yhtälön ratkaisemiseen). Tästä syystä matemaattinen malli laadittiin. Ratkaisemme tämän lineaarisen yhtälön ja saamme vastauksen.

Vastaus: x = 10

Tehdään matemaattinen malli vielä yhdestä ongelmasta:

He kysyivät Petrovitšilta: "Onko sinulla paljon rahaa?" Petrovich purskahti itkuun ja vastaa: "Kyllä, vain vähän. Jos käytän puolet kaikista rahoista, mutta puolet lopusta, minulle jää vain yksi pussi rahaa ..." Kuinka paljon rahaa Petrovitshilla on?

Taas työstetään pisteitä.

1. Etsimme täsmällistä tietoa. Täältä et löydä sitä heti! Selkeä tieto on yksi rahasäkki. Vielä on puolikkaita... No, analysoimme tämän toisessa kappaleessa.

2. Etsimme piilotettua tietoa. Nämä ovat puolikkaat. Mitä? Ei kovin selkeää. Etsimme pidemmälle. On myös ongelmakysymys: "Kuinka paljon rahaa Petrovitshilla on?" Merkitään rahan määrä kirjaimella "NS":

NS- kaikki rahat

Ja taas luimme ongelman. Tietäen jo sen Petrovich NS rahasta. Tässä puolikkaat toimivat! Kirjoitamme muistiin:

0,5 x- puolet kaikista rahoista.

Lopusta tulee myös puolet, ts. 0,5 x. Ja puolet puoliskosta voidaan kirjoittaa näin:

0,5 · 0,5 · x = 0,25x- puolet lopusta.

Nyt kaikki piilotetut tiedot paljastetaan ja tallennetaan.

3. Etsimme yhteyttä tallennettujen tietojen välillä. Täällä voit yksinkertaisesti lukea Petrovitšin kärsimyksiä ja kirjoittaa ne ylös matemaattisesti):

Jos käytän puolet kaikista rahoistani...

Kirjoitetaan tämä prosessi muistiin. Kaikki rahat - NS. puoli- 0,5 x... Kuluttaminen on viemistä. Lauseesta tulee ennätys:

x - 0,5 x

kyllä ​​puolet loput...

Vähennetään puolet jäännöksestä:

x - 0,5 x - 0,25x

niin minulle jää vain yksi pussi rahaa ...

Ja tässä on tasa-arvo! Kaikkien vähennysten jälkeen jäljelle jää yksi pussi rahaa:

x - 0,5 x - 0,25x = 1

Tässä se on, matemaattinen malli! Tämä on taas lineaarinen yhtälö, ratkaisemme, saamme:

Kysymys pohdittavaksi. Neljä on mitä? Ruplaa, dollaria, juania? Ja missä yksiköissä raha on kirjoitettu matemaattiseen malliin? Laukuissa! Siis neljä laukku rahaa Petrovichilta. Hyvä myös.)

Tehtävät ovat tietysti alkeellisia. Tämä on nimenomaan matemaattisen mallin kokoamisen ydin. Joissakin tehtävissä voi olla paljon enemmän dataa, mikä on helppo hämmentää. Tämä tapahtuu usein ns. pätevyystehtävät. Matemaattisen sisällön poimiminen sanojen ja numeroiden kasasta on esitetty esimerkein.

Vielä yksi huomautus. Klassisissa kouluongelmissa (putket täyttävät altaan, veneet purjehtivat jossain jne.) Yleensä kaikki tiedot valitaan erittäin huolellisesti. Siellä noudatetaan kahta sääntöä:
- ongelmassa on tarpeeksi tietoa sen ratkaisemiseksi,
- tehtävässä ei ole turhaa tietoa.

Tämä on vihje. Jos matemaattisessa mallissa on käyttämätön määrä, mieti, onko siinä virhe. Jos tietoja ei ole tarpeeksi, kaikkea piilotettua tietoa ei todennäköisesti ole tunnistettu ja tallennettu.

Osaamisperusteisissa ja muissa elämäntehtävissä näitä sääntöjä ei noudateta tarkasti. Ei ole aavistustakaan. Mutta myös tällaiset tehtävät voidaan ratkaista. Jos tietysti harjoittelet klassikoilla.)

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Välitön validointitestaus. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Matemaattinen mallinnus

1. Mitä matemaattinen mallinnus on?

XX vuosisadan puolivälistä. ihmisen toiminnan eri aloilla matemaattisia menetelmiä ja tietokoneita alettiin käyttää laajalti. Uusia tieteenaloja, kuten "matemaattinen taloustiede", "matemaattinen kemia", "matemaattinen kielitiede" jne., on syntynyt, jotka tutkivat vastaavien esineiden ja ilmiöiden matemaattisia malleja sekä menetelmiä näiden mallien tutkimiseksi.

Matemaattinen malli on likimääräinen kuvaus todellisen maailman ilmiöiden tai esineiden luokasta matematiikan kielellä. Mallintamisen päätarkoituksena on tutkia näitä kohteita ja ennustaa tulevien havaintojen tuloksia. Mallintaminen on kuitenkin myös menetelmä ympäröivän maailman tuntemiseen, mikä mahdollistaa sen hallitsemisen.

Matemaattinen mallintaminen ja siihen liittyvä tietokonekoe ovat välttämättömiä tapauksissa, joissa luonnollinen koe on syystä tai toisesta mahdoton tai vaikea. Esimerkiksi historiassa on mahdotonta perustaa luonnollista koetta tarkistaakseen "mitä olisi tapahtunut, jos ..." On mahdotonta varmistaa yhden tai toisen kosmologisen teorian oikeellisuutta. Periaatteessa on mahdollista, mutta tuskin järkevää, kokeilla taudin, kuten ruton, leviämistä tai suorittaa ydinräjähdys sen seurausten tutkimiseksi. Kaikki tämä voidaan kuitenkin tehdä tietokoneella, kun on aiemmin rakennettu matemaattisia malleja tutkituista ilmiöistä.

2. Matemaattisen mallinnuksen päävaiheet

1) Mallin rakentaminen... Tässä vaiheessa asetetaan tietty "ei-matemaattinen" objekti - luonnonilmiö, suunnittelu, taloudellinen suunnitelma, tuotantoprosessi jne. Tässä tapauksessa tilanteen selkeä kuvaus on yleensä vaikeaa. Ensin tunnistetaan ilmiön pääpiirteet ja niiden väliset laadulliset yhteydet. Sitten löydetyt laadulliset riippuvuudet muotoillaan matematiikan kielellä, eli rakennetaan matemaattinen malli. Tämä on mallintamisen vaikein vaihe.

2) Matemaattisen ongelman ratkaisu, johon malli johtaa... Tässä vaiheessa kiinnitetään paljon huomiota algoritmien ja numeeristen menetelmien kehittämiseen ongelman ratkaisemiseksi tietokoneella, joiden avulla tulos voidaan löytää vaaditulla tarkkuudella ja kohtuullisessa ajassa.

3) Matemaattisesta mallista saatujen tulosten tulkinta. Matematiikan kielellä mallista johdetut seuraukset tulkitaan kyseisellä alalla hyväksytyllä kielellä.

4) Mallin riittävyyden tarkistaminen. Tässä vaiheessa selvitetään, ovatko kokeelliset tulokset yhtenevät mallin teoreettisten seurausten kanssa tietyllä tarkkuudella.

5) Mallin muutos. Tässä vaiheessa on joko mallin monimutkaisuus niin, että se vastaa paremmin todellisuutta, tai sen yksinkertaistaminen käytännössä hyväksyttävän ratkaisun saavuttamiseksi.

3. Mallien luokittelu

Mallit voidaan luokitella eri kriteerien mukaan. Esimerkiksi ratkaistavien ongelmien luonteen mukaan mallit voidaan jakaa toiminnallisiin ja rakenteellisiin. Ensimmäisessä tapauksessa kaikki ilmiötä tai objektia kuvaavat suureet ilmaistaan ​​kvantitatiivisesti. Tässä tapauksessa joitain niistä pidetään itsenäisinä muuttujina, kun taas toisia - näiden määrien funktioina. Matemaattinen malli on yleensä erityyppisten (differentiaali-, algebrallisten jne.) yhtälöiden järjestelmä, joka muodostaa kvantitatiivisia suhteita tarkasteltavien suureiden välille. Toisessa tapauksessa malli luonnehtii monimutkaisen kohteen rakennetta, joka koostuu erillisistä osista, joiden välillä on tiettyjä yhteyksiä. Yleensä näitä suhteita ei voida mitata. Tällaisten mallien rakentamiseen on kätevää käyttää graafiteoriaa. Graafi on matemaattinen objekti, joka on joukko pisteitä (pisteitä) tasossa tai avaruudessa, joista osa on yhdistetty viivoilla (reunat).

Lähtötietojen ja ennustetulosten luonteen perusteella mallit voidaan jakaa deterministisiin ja todennäköisyysstatistisiin. Ensimmäisen tyypin mallit tarjoavat selkeitä, yksiselitteisiä ennusteita. Toisen tyypin mallit perustuvat tilastotietoon, ja niiden avulla saadut ennusteet ovat luonteeltaan todennäköisyyspohjaisia.

4. Esimerkkejä matemaattisista malleista

1) Ongelmia ammuksen liikkeessä.

Harkitse seuraavaa mekaniikan ongelmaa.

Ammus laukaistiin maasta alkunopeudella v 0 = 30 m/s kulmassa a = 45° sen pintaan nähden; on löydettävä sen liikkeen liikerata ja etäisyys S tämän lentoradan alku- ja loppupisteiden välillä.

Sitten, kuten koulun fysiikan kurssista tiedetään, ammuksen liikettä kuvataan kaavoilla:

missä t on aika, g = 10 m/s 2 on painovoimakiihtyvyys. Nämä kaavat antavat matemaattisen mallin käsiteltävästä tehtävästä. Ilmaisemalla t x:llä ensimmäisestä yhtälöstä ja korvaamalla sen toisella, saamme ammuksen liikeradan yhtälön:

Tämä käyrä (paraabeli) leikkaa x-akselin kahdessa pisteessä: x 1 = 0 (radan alku) ja (paikka, johon ammus putosi). Korvaamalla annetut arvot v0 ja a tuloksena oleviin kaavoihin saadaan

vastaus: y = x - 90x 2, S = 90 m.

Huomaa, että tämän mallin rakentamisessa käytettiin useita oletuksia: esimerkiksi oletetaan, että maa on litteä, ja maapallon ilma ja pyöriminen eivät vaikuta ammuksen liikkeeseen.

2) Pienimmän pinta-alan omaavan säiliön ongelma.

V = 30 m 3 :n tilavuudeltaan suljetun pyöreän sylinterin muotoisen tinasäiliön korkeus h 0 ja säde r 0 on löydettävä, jolloin sen pinta-ala S on minimaalinen (tässä tapauksessa sen valmistukseen käytetään pienin määrä tinaa).

Kirjoitetaan seuraavat kaavat sylinterin tilavuudelle ja pinta-alalle, jonka korkeus on h ja säde r:

V = p r 2 h, S = 2 p r (r + h).

Ilmaisemalla h:n r:llä ja V:llä ensimmäisestä kaavasta ja korvaamalla tuloksena olevan lausekkeen toisella, saamme:

Siten matemaattisesti katsottuna ongelma rajoittuu sellaisen r:n arvon määrittämiseen, jossa funktio S(r) saavuttaa miniminsä. Etsitään ne r 0:n arvot, joille derivaatta

katoaa: Voit tarkistaa, että funktion S (r) toinen derivaatta muuttaa etumerkkiä miinuksesta plussiksi, kun argumentti r kulkee pisteen r 0 kautta. Siksi pisteessä r0 funktiolla S (r) on minimi. Vastaava arvo on h 0 = 2r 0. Korvaamalla annettu arvo V lausekkeisiin r 0 ja h 0, saadaan vaadittu säde ja korkeus

3) Kuljetusongelma.

Kaupungissa on kaksi jauhovarastoa ja kaksi leipomoa. Joka päivä ensimmäisestä varastosta kuljetetaan 50 tonnia jauhoja ja toisesta - 70 tonnia tehtaille ja ensimmäiseen - 40 tonnia ja toiseen - 80 tonnia.

Merkitään a ij 1 tonnin jauhojen kuljetuskustannukset i:nnestä varastosta j:nnelle tehtaalle (i, j = 1,2). Anna olla

a 11 = 1,2 p., a 12 = 1,6 p., a 21 = 0,8 p., a 22 = 1 p.

Miten kuljetukset kannattaa suunnitella niin, että niiden kustannukset ovat mahdollisimman pienet?

Annetaan ongelmalle matemaattinen muotoilu. Merkitään x 1:llä ja x 2:lla jauhomäärä, joka on kuljetettava ensimmäisestä varastosta ensimmäiseen ja toiseen tehtaaseen ja x 3:n ja x 4:n kautta - toisesta varastosta ensimmäiseen ja toiseen tehtaaseen. Sitten:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Kaikkien kuljetusten kokonaiskustannukset määräytyvät kaavan mukaan

f = 1,2 x 1 + 1,6 x 2 + 0,8 x 3 + x 4.

Matemaattisesti tehtävänä on löytää neljä lukua x 1, x 2, x 3 ja x 4, jotka täyttävät kaikki annetut ehdot ja antavat funktion f minimin. Ratkaistaan ​​yhtälöjärjestelmä (1) xi:lle (i = 1, 2, 3, 4) eliminoimalla tuntemattomat. Me ymmärrämme sen

x 1 = x 4 - 30, x 2 = 80 - x 4, x 3 = 70 - x 4, (2)

ja x 4:ää ei voida määrittää yksiselitteisesti. Koska xi і 0 (i = 1, 2, 3, 4), niin yhtälöistä (2) seuraa, että 30Ј x 4 Ј 70. Korvaamalla lausekkeen x 1, x 2, x 3 kaavassa f, me saada

f = 148 - 0,2 x 4.

On helppo nähdä, että tämän funktion minimi saavutetaan suurimmalla mahdollisella arvolla x 4, eli kohdassa x 4 = 70. Muiden tuntemattomien vastaavat arvot määritetään kaavoilla (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Radioaktiivisen hajoamisen ongelma.

Olkoon N (0) radioaktiivisen aineen alkuatomien lukumäärä ja N (t) hajoamattomien atomien lukumäärä hetkellä t. On kokeellisesti osoitettu, että näiden atomien lukumäärän muutosnopeus N "(t) on verrannollinen N (t)":iin, eli N" (t) = - l N (t), l> 0 on tietyn aineen radioaktiivisuusvakio. Matemaattisen analyysin koulukurssilla osoitetaan, että tämän differentiaaliyhtälön ratkaisu on muotoa N (t) = N (0) e –l t. Aikaa T, jonka aikana alkuatomien lukumäärä on puolittunut, kutsutaan puoliintumisajaksi, ja se on tärkeä aineen radioaktiivisuuden ominaisuus. T:n määrittämiseksi on asetettava kaava Sitten Esimerkiksi radonille l = 2,084 · 10 –6 ja siten T = 3,15 päivää.

5) Matkamyyjän ongelma.

Kaupungissa A 1 asuvan matkustavan myyjän täytyy käydä kaupungeissa A 2, A 3 ja A 4, kussakin kaupungissa täsmälleen kerran, ja palata sitten takaisin A 1:een. Tiedetään, että kaikkia kaupunkeja yhdistää pareittain tiet, ja kaupunkien A i ja A j välisten teiden b ij pituudet (i, j = 1, 2, 3, 4) ovat seuraavat:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

On tarpeen määrittää kaupungeissa vierailujärjestys, jossa vastaavan polun pituus on minimaalinen.

Esitetään jokaista kaupunkia pisteellä tasossa ja merkitään se vastaavalla merkinnällä Ai (i = 1, 2, 3, 4). Yhdistämme nämä pisteet suorilla viivoilla: ne edustavat kaupunkien välisiä teitä. Jokaisen "tien" kohdalla ilmoitetaan sen pituus kilometreinä (kuva 2). Tuloksena on graafi - matemaattinen objekti, joka koostuu joukosta tason pisteitä (kutsutaan kärkipisteiksi) ja joukosta näitä pisteitä yhdistäviä viivoja (kutsutaan reunoiksi). Lisäksi tämä graafi on merkitty, koska jotkut tunnisteet on määritetty sen kärkipisteille ja reunoille - numerot (reunat) tai symbolit (vertices). Graafin sykli on sarja pisteitä V 1, V 2, ..., V k, V 1 siten, että kärjet V 1, ..., V k ovat erillisiä ja mikä tahansa kärkipari V i, V i + 1 (i = 1, ..., k - 1) ja pari V 1, V k on yhdistetty reunalla. Näin ollen tarkasteltavana oleva ongelma on löytää graafista sellainen sykli, joka kulkee kaikkien neljän kärjen kautta ja jonka kaikkien reunapainojen summa on minimaalinen. Etsitään tyhjentävällä haulla kaikki eri syklit, jotka kulkevat neljän kärjen kautta ja alkavat kohdasta A 1:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1, A 3, A 4, A 2, A 1.

Etsitään nyt näiden syklien pituudet (km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Eli lyhimmän pituinen reitti on ensimmäinen.

Huomaa, että jos graafissa on n kärkeä ja kaikki kärjet on yhdistetty pareittain reunoilla (tällaista graafia kutsutaan täydelliseksi), niin kaikkien pisteiden läpi kulkevien syklien määrä on Näin ollen tässä tapauksessa sykliä on tasan kolme .

6) Ongelma aineiden rakenteen ja ominaisuuksien välisen suhteen löytämisessä.

Harkitse useita kemiallisia yhdisteitä, joita kutsutaan normaaleiksi alkaaneiksi. Ne koostuvat n hiiliatomista ja n + 2 vetyatomista (n = 1, 2 ...), jotka on kytketty toisiinsa kuvan 3 mukaisesti, kun n = 3. Olkoon näiden yhdisteiden kiehumispisteiden kokeelliset arvot tiedossa:

y e (3) = - 42 °, y e (4) = 0 °, y e (5) = 28 °, y e (6) = 69 °.

Näiden yhdisteiden kiehumispisteen ja luvun n välillä on löydettävä likimääräinen suhde. Oletetaan, että tällä riippuvuudella on muoto

y" a n + b,

missä a, b - määritettävät vakiot. Löytää a ja b korvaamme tähän kaavaan peräkkäin n = 3, 4, 5, 6 ja vastaavat kiehumispisteet. Meillä on:

- 42 "3 a+ b, 0 "4 a+ b, 28 "5 a+ b, 69 "6 a+ b.

Parhaan määrittämiseksi a ja b on olemassa monia erilaisia ​​menetelmiä. Käytetään niistä yksinkertaisinta. Ilmaistakaamme b:llä a näistä yhtälöistä:

b "- 42 - 3 a, b "-4 a, b "28 - 5 a, b "69 - 6 a.

Otetaan vaadituksi b näiden arvojen aritmeettinen keskiarvo, eli laitetaan b »16 - 4,5 a... Korvaamme tämän arvon b ja alkuperäiseen yhtälöjärjestelmään laskemalla a, saamme a seuraavat arvot: a"37, a"28, a"28, a"36. Ota tarpeen mukaan a näiden lukujen keskiarvo, eli laitamme a»34. Vaaditulla yhtälöllä on siis muoto

y "34n - 139.

Tarkastetaan mallin tarkkuus neljälle alkuyhdisteelle, joiden kiehumispisteet lasketaan saadun kaavan avulla:

y р (3) = - 37 °, y р (4) = - 3 °, y р (5) = 31 °, y р (6) = 65 °.

Näin ollen virhe tämän ominaisuuden laskemisessa näille yhdisteille ei ylitä 5 °. Laskemme saadun yhtälön avulla kiehumispisteen yhdisteelle, jonka n = 7 ja joka ei sisälly alkuperäiseen joukkoon, jonka korvaamme n = 7 tähän yhtälöön: y p (7) = 99 °. Tulos on melko tarkka: tiedetään, että kiehumispisteen kokeellinen arvo y e (7) = 98 °.

7) Ongelma sähköpiirin luotettavuuden määrittämisessä.

Tässä tarkastellaan esimerkkiä todennäköisyysmallista. Ensin annamme tietoa todennäköisyysteoriasta - matemaattisesta tieteenalasta, joka tutkii satunnaisten ilmiöiden malleja, joita havaitaan kokeen toistuessa. Kutsutaan satunnaista tapahtumaa A jonkin kokeen mahdolliseksi tulokseksi. Tapahtumat A 1, ..., A k muodostavat täydellisen ryhmän, jos kokeen tuloksena yksi niistä välttämättä tapahtuu. Tapahtumia kutsutaan epäjohdonmukaisiksi, jos ne eivät voi tapahtua samanaikaisesti samassa kokemuksessa. Oletetaan, että sen jälkeen, kun koe on toistettu n kertaa, tapahtuma A toistuu m kertaa. Tapahtuman A taajuus on luku W =. On selvää, että W:n arvoa ei voida ennustaa tarkasti ennen n kokeen sarjan suorittamista. Satunnaisten tapahtumien luonne on kuitenkin sellainen, että käytännössä joskus havaitaan seuraava vaikutus: kokeiden määrän kasvaessa arvo lakkaa käytännössä olemasta satunnainen ja vakiintuu jonkin ei-satunnaisen luvun P (A) ympärille, ns. tapahtuman A todennäköisyys. Mahdottomalle tapahtumalle (jota ei koskaan tapahdu kokeessa) P (A) = 0 ja luotettavalle tapahtumalle (joka esiintyy aina kokeessa) P (A) = 1. Jos tapahtumat A 1, ..., A k muodostavat täydellisen ryhmän yhteensopimattomia tapahtumia, niin P (A 1) + ... + P (A k) = 1.

Oletetaan esimerkiksi, että koe koostuu noppaa heittämisestä ja pudonneiden pisteiden lukumäärän X tarkkailusta. Sitten voidaan ottaa käyttöön seuraavat satunnaiset tapahtumat A i = (X = i), i = 1, ..., 6. Ne muodostavat täydellinen ryhmä yhteensopimattomia tasatodennäköisiä tapahtumia, joten P (A i) = (i = 1, ..., 6).

Tapahtumien A ja B summaa kutsutaan tapahtumaksi A + B, joka koostuu siitä, että ainakin yksi niistä esiintyy kokemuksessa. Tapahtumien A ja B tuloa kutsutaan tapahtumaksi AB, joka koostuu näiden tapahtumien samanaikaisesta esiintymisestä. Riippumattomille tapahtumille A ja B seuraavat kaavat pätevät:

P (AB) = P (A) P (B), P (A + B) = P (A) + P (B).

8) Mieti nyt seuraavaa tehtävä... Oletetaan, että kolme elementtiä on kytketty sarjaan sähköpiirissä, jotka toimivat toisistaan ​​riippumatta. 1., 2. ja 3. elementin epäonnistumistodennäköisyydet ovat P 1 = 0,1, P 2 = 0,15, P 3 = 0,2. Pidämme piiriä luotettavana, jos todennäköisyys, että piirissä ei ole virtaa, on enintään 0,4. On määritettävä, onko annettu piiri luotettava.

Koska elementit on kytketty sarjaan, piirissä ei ole virtaa (tapahtuma A), jos ainakin yksi elementeistä epäonnistuu. Olkoon A i se tapahtuma, jossa i. elementti toimii (i = 1, 2, 3). Sitten P (A1) = 0,9, P (A2) = 0,85, P (A3) = 0,8. Ilmeisesti A 1 A 2 A 3 on tapahtuma, jossa kaikki kolme elementtiä toimivat samanaikaisesti, ja

P (A 1 A 2 A 3) = P (A 1) P (A 2) P (A 3) = 0,612.

Silloin P (A) + P (A 1 A 2 A 3) = 1, joten P (A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

Lopuksi totean, että esitetyt esimerkit matemaattisista malleista (joiden joukossa on funktionaalisia ja rakenteellisia, deterministisiä ja todennäköisyyksiä) ovat luonteeltaan havainnollistavia eivätkä tietenkään tyhjennä kaikkea luonnontieteissä ja humanistisissa tieteissä esiintyviä matemaattisia malleja. .