Miinus kertaa miinus antaa merkin. Toiminnot miinuksella

"Viholliseni vihollinen on ystäväni."

Miinus ja plus ovat merkkejä negatiivisista ja positiivisista luvuista matematiikassa. He ovat vuorovaikutuksessa itsensä kanssa eri tavoin, joten suoritettaessa mitä tahansa toimintoja numeroilla, esimerkiksi jako, kertominen, vähennys, yhteenlasku jne., on otettava huomioon allekirjoittaa säännöt. Ilman näitä sääntöjä et koskaan pysty ratkaisemaan edes yksinkertaisinta algebrallista tai geometrista ongelmaa. Ilman näiden sääntöjen tuntemusta et voi opiskella paitsi matematiikkaa, myös fysiikkaa, kemiaa, biologiaa ja jopa maantiedettä.

Tarkastellaanpa yksityiskohtaisemmin merkkien perussääntöjä.

Division.

Jos jaamme "plussan" "miinuksella", saamme aina "miinuksen". Jos jaamme "miinuksen" "plussalla", saamme aina myös "miinuksen". Jos jaamme "plus":n "plussalla", saamme "plussan". Jos jaamme "miinuksen" "miinuksella", niin kummallista kyllä, saamme myös "plussin".

Kertominen.

Jos kerromme "miinus" ja "plus", saamme aina "miinus". Jos kerromme "plussan" "miinuksella", saamme aina myös "miinuksen". Jos kerromme "plus":lla "plus", saamme positiivisen luvun, eli "plus". Sama koskee kahta negatiivista lukua. Jos kerromme "miinus" "miinus", saamme "plus".

Vähennys ja yhteenlasku.

Ne perustuvat muihin periaatteisiin. Jos negatiivinen luku on absoluuttisesti suurempi kuin positiivinen lukumme, tulos on tietysti negatiivinen. Varmasti ihmettelet, mikä moduuli on ja miksi se ylipäätään on täällä. Kaikki on hyvin yksinkertaista. Modulus on luvun arvo, mutta ilman etumerkkiä. Esimerkiksi -7 ja 3. Modulo -7 on vain 7 ja 3 jää 3:ksi. Tämän seurauksena näemme, että 7 on suurempi, eli negatiivinen lukumme on suurempi. Joten se tulee ulos -7 + 3 \u003d -4. Se voidaan tehdä vielä helpommaksi. Laita vain positiivinen luku ensin, ja 3-7 = -4 tulee ulos, ehkä se on jollekin ymmärrettävämpää. Vähennys toimii täsmälleen samalla tavalla.

Kaksi negatiivista tekee myöntävän- Tämä on sääntö, jonka opimme koulussa ja sovellamme koko elämämme. Kuka meistä ihmetteli miksi? Tietenkin on helpompi muistaa tämä lausunto ilman lisäkysymyksiä ja olla syventämättä asian ydintä. Nyt on jo tarpeeksi tietoa, joka on "sulatettava". Mutta niille, jotka ovat edelleen kiinnostuneita tästä kysymyksestä, yritämme selittää tämän matemaattisen ilmiön.

Muinaisista ajoista lähtien ihmiset ovat käyttäneet positiivisia luonnollisia lukuja: 1, 2, 3, 4, 5, ... Nautakarja, viljat, viholliset jne. laskettiin numeroiden avulla. Kun lasketaan yhteen ja kerrotaan kaksi positiivista lukua, ne saivat aina positiivisen luvun, kun jaettuna joitain määriä toisilla, he eivät aina saaneet luonnollisia lukuja - näin murtoluvut ilmestyivät. Entä vähennys? Lapsuudesta lähtien tiedämme, että on parempi lisätä pienempi suurempaan ja vähentää pienempi suuresta, kun taas emme käytä negatiivisia lukuja. Osoittautuu, että jos minulla on 10 omenaa, voin antaa jollekin vain alle 10 tai 10. En voi antaa 13 omenaa, koska minulla ei ole yhtään. Negatiivisia lukuja ei tarvittu pitkään aikaan.

Vasta 700-luvulta jKr. negatiivisia lukuja käytettiin joissakin laskentajärjestelmissä apuarvoina, mikä mahdollisti positiivisen luvun saamisen vastaukseen.

Harkitse esimerkkiä, 6x - 30 \u003d 3x - 9. Vastauksen löytämiseksi on välttämätöntä jättää termit tuntemattomilla vasemmalle puolelle ja loput oikealle: 6x - 3x \u003d 30 - 9, 3x \u003d 21, x \u003d 7. Kun ratkaisemme tämän yhtälön, meillä ei edes ole negatiivisia lukuja. Voisimme siirtää termejä, joissa on tuntemattomia oikealle puolelle ja ilman tuntemattomia - vasemmalle: 9 - 30 \u003d 3x - 6x, (-21) \u003d (-3x). Kun jaetaan negatiivinen luku negatiivisella, saadaan positiivinen vastaus: x \u003d 7.

Mitä me näemme?

Negatiivisia lukuja sisältävien toimien pitäisi johtaa meidät samaan vastaukseen kuin toimien, joissa on vain positiivisia lukuja. Emme voi enää ajatella toimien käytännön sopimattomuutta ja mielekkyyttä - ne auttavat ratkaisemaan ongelman paljon nopeammin, ilman, että yhtälöä pelkistetään muotoon vain positiivisilla luvuilla. Esimerkissämme emme käyttäneet monimutkaisia ​​laskelmia, mutta suurella termillä laskelmat negatiivisilla luvuilla voivat helpottaa työtämme.

Ajan mittaan pitkien kokeiden ja laskelmien jälkeen oli mahdollista tunnistaa säännöt, joita kaikki numerot ja niihin liittyvät toimet noudattavat (matematiikassa niitä kutsutaan aksioomeiksi). Sieltä se tuli aksiooma, joka sanoo, että kun kerrot kaksi negatiivista lukua, saat positiivisen luvun.

www.sivusto, kopioitaessa materiaali kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Kun kuuntelee matematiikan opettajaa, useimmat opiskelijat näkevät materiaalin aksioomana. Samaan aikaan harvat yrittävät päästä pohjaan ja selvittää, miksi "miinus" - "plus" antaa "miinus"-merkin, ja kun kerrotaan kaksi negatiivista lukua, positiivinen tulee ulos.

Matematiikan lait

Useimmat aikuiset eivät pysty selittämään itselleen tai lapsilleen, miksi näin tapahtuu. He olivat oppineet tämän materiaalin perusteellisesti koulussa, mutta he eivät edes yrittäneet selvittää, mistä tällaiset säännöt ovat peräisin. Mutta turhaan. Usein nykylapset eivät ole niin herkkäuskoisia, heidän on päästävä asian ytimeen ja ymmärrettävä esimerkiksi, miksi "plus" miinuksen kohdalla antaa "miinuksen". Ja joskus pojat kysyvät tarkoituksella hankalia kysymyksiä nauttiakseen hetkestä, jolloin aikuiset eivät voi antaa ymmärrettävää vastausta. Ja se on todella katastrofi, jos nuori opettaja joutuu vaikeuksiin ...

Muuten on huomattava, että edellä mainittu sääntö pätee sekä kerto- että jakolaskuihin. Negatiivisen ja positiivisen luvun tulo antaa vain miinuksen. Jos puhumme kahdesta numerosta "-" -merkillä, tulos on positiivinen luku. Sama koskee jakoa. Jos yksi luvuista on negatiivinen, osamäärä on myös "-"-merkillä.

Tämän matematiikan lain oikeellisuuden selittämiseksi on tarpeen muotoilla renkaan aksioomat. Mutta ensin sinun on ymmärrettävä, mikä se on. Matematiikassa on tapana kutsua rengasta joukkoa, jossa on mukana kaksi operaatiota kahdella elementillä. Mutta on parempi ymmärtää tämä esimerkin avulla.

Renkaan aksiooma

Matemaattisia lakeja on useita.

• Ensimmäinen niistä on hänen mukaansa siirrettävä, C + V = V + C.
• Toista kutsutaan assosiatiiviseksi (V + C) + D = V + (C + D).

Myös kertolasku (V x C) x D \u003d V x (C x D) noudattaa niitä.

Kukaan ei kumonnut sääntöjä, joilla sulut avataan (V + C) x D = V x D + C x D, on myös totta, että C x (V + D) = C x V + C x D.

Lisäksi on todettu, että renkaaseen voidaan lisätä erityinen, additioneutraali elementti, jota käyttämällä tulee totta: C + 0 = C. Lisäksi jokaiselle C:lle on vastakkainen elementti, joka voi merkitään (-C). Tässä tapauksessa C + (-C) \u003d 0.

Aksioomien johtaminen negatiivisille luvuille

Hyväksymällä yllä olevat lausunnot voimme vastata kysymykseen: "Plus" miinuksen kohdalla antaa minkä merkin? Kun tiedetään negatiivisten lukujen kertolaskua koskeva aksiooma, on tarpeen varmistaa, että todellakin (-C) x V = -(C x V). Ja myös, että seuraava yhtälö on totta: (-(-C)) = C.

Tätä varten meidän on ensin todistettava, että jokaisella elementillä on vain yksi vastakkainen "veli". Harkitse seuraavaa todisteesimerkkiä. Yritetään kuvitella, että kaksi lukua ovat vastakkaisia ​​C - V:lle ja D:lle. Tästä seuraa, että C + V = 0 ja C + D = 0, eli C + V = 0 = C + D. Siirtymälakien muistaminen ja luvun 0 ominaisuuksista voidaan tarkastella kaikkien kolmen luvun summaa: C, V ja D. Yritetään selvittää V:n arvo. On loogista, että V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, koska C + D:n arvo, kuten yllä hyväksyttiin, on yhtä suuri kuin 0. Siten V = V + C + D.

D:n arvo johdetaan samalla tavalla: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Tämän perusteella käy selväksi, että V = D.

Ymmärtääksesi, miksi kuitenkin "plus" "miinuksen" kohdalla antaa "miinuksen", sinun on ymmärrettävä seuraava. Eli elementin (-C) vastakohdat ovat C ja (-(-C)), eli ne ovat keskenään yhtä suuret.

Silloin on selvää, että 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V. Tästä seuraa, että C x V on vastakohta (-) C x V:lle , mikä tarkoittaa (- C) x V = -(C x V).

Täydellisen matemaattisen tarkkuuden saavuttamiseksi on myös tarpeen varmistaa, että 0 x V = 0 mille tahansa elementille. Jos noudatat logiikkaa, niin 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Tämä tarkoittaa, että tulon 0 x V lisääminen ei muuta asetettua määrää millään tavalla. Loppujen lopuksi tämä tuote on yhtä suuri kuin nolla.

Tietäen kaikki nämä aksioomit, on mahdollista päätellä paitsi kuinka paljon "plus" ja "miinus" antaa, vaan myös mitä tapahtuu, kun negatiiviset luvut kerrotaan.

Kahden luvun kerto- ja jakolasku "-"-merkillä

Jos et syvenny matemaattisiin vivahteisiin, voit yrittää selittää toimintasäännöt negatiivisilla luvuilla yksinkertaisemmalla tavalla.

Oletetaan, että C - (-V) = D, tämän perusteella C = D + (-V), eli C = D - V. Siirrämme V ja saamme, että C + V = D. Eli C + V = C- (-V). Tämä esimerkki selittää, miksi lausekkeessa, jossa on kaksi "miinusta" peräkkäin, mainitut merkit tulisi muuttaa "plussiksi". Nyt käsitellään kertolaskua.

(-C) x (-V) \u003d D, lausekkeeseen voidaan lisätä ja vähentää kaksi identtistä tuotetta, mikä ei muuta sen arvoa: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d D.

Muistamalla sulkeiden kanssa työskentelyn säännöt, saamme:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Tästä seuraa, että C x V \u003d (-C) x (-V).

Vastaavasti voimme todistaa, että kahden negatiivisen luvun jakamisen tulos on positiivinen.

Yleiset matemaattiset säännöt

Tällainen selitys ei tietenkään sovi alakoululaisille, jotka ovat juuri alkaneet oppia abstrakteja negatiivisia lukuja. Heidän on parempi selittää näkyvillä esineillä manipuloimalla tuttua termiä katselasin läpi. Siellä sijaitsevat esimerkiksi keksityt, mutta ei olemassa olevat lelut. Ne voidaan näyttää "-"-merkillä. Kahden peiliobjektin kertominen vie ne toiseen maailmaan, joka on yhtä suuri kuin todellinen, eli tuloksena meillä on positiivisia lukuja. Mutta abstraktin negatiivisen luvun kertominen positiivisella antaa vain kaikille tutun tuloksen. Loppujen lopuksi "plus" kerrottuna "miinuksella" antaa "miinuksen". Totta, lapset eivät yritä liian lujasti sukeltaa kaikkiin matemaattisiin vivahteisiin.

Vaikka jos kohtaat totuuden, monille ihmisille, jopa korkea-asteen koulutuksen saaneille, monet säännöt jäävät mysteeriksi. Kaikki pitävät itsestäänselvyytenä sitä, mitä heidän opettajansa heille opettavat, eikä heillä ole vaikeuksia sukeltaa matematiikan monimutkaisuuteen. "Miinus" miinuksella antaa "plussan" - kaikki tietävät tämän poikkeuksetta. Tämä koskee sekä kokonaislukuja että murtolukuja.

Kun kuuntelee matematiikan opettajaa, useimmat opiskelijat näkevät materiaalin aksioomana. Samaan aikaan harvat yrittävät päästä pohjaan ja selvittää, miksi "miinus" - "plus" antaa "miinus"-merkin, ja kun kerrotaan kaksi negatiivista lukua, positiivinen tulee ulos.

Matematiikan lait

Useimmat aikuiset eivät pysty selittämään itselleen tai lapsilleen, miksi näin tapahtuu. He olivat oppineet tämän materiaalin perusteellisesti koulussa, mutta he eivät edes yrittäneet selvittää, mistä tällaiset säännöt ovat peräisin. Mutta turhaan. Usein nykylapset eivät ole niin herkkäuskoisia, heidän on päästävä asian ytimeen ja ymmärrettävä esimerkiksi, miksi "plus" miinuksen kohdalla antaa "miinuksen". Ja joskus pojat kysyvät tarkoituksella hankalia kysymyksiä nauttiakseen hetkestä, jolloin aikuiset eivät voi antaa ymmärrettävää vastausta. Ja se on todella katastrofi, jos nuori opettaja joutuu vaikeuksiin ...

Muuten on huomattava, että edellä mainittu sääntö pätee sekä kerto- että jakolaskuihin. Negatiivisen ja positiivisen luvun tulo antaa vain miinuksen. Jos puhumme kahdesta numerosta "-" -merkillä, tulos on positiivinen luku. Sama koskee jakoa. Jos yksi luvuista on negatiivinen, osamäärä on myös "-"-merkillä.

Tämän matematiikan lain oikeellisuuden selittämiseksi on tarpeen muotoilla renkaan aksioomat. Mutta ensin sinun on ymmärrettävä, mikä se on. Matematiikassa on tapana kutsua rengasta joukkoa, jossa on mukana kaksi operaatiota kahdella elementillä. Mutta on parempi ymmärtää tämä esimerkin avulla.

Renkaan aksiooma

Matemaattisia lakeja on useita.

• Ensimmäinen niistä on hänen mukaansa siirrettävä, C + V = V + C.
• Toista kutsutaan assosiatiiviseksi (V + C) + D = V + (C + D).

Myös kertolasku (V x C) x D \u003d V x (C x D) noudattaa niitä.

Kukaan ei kumonnut sääntöjä, joilla sulut avataan (V + C) x D = V x D + C x D, on myös totta, että C x (V + D) = C x V + C x D.

Lisäksi on todettu, että renkaaseen voidaan lisätä erityinen, additioneutraali elementti, jota käyttämällä tulee totta: C + 0 = C. Lisäksi jokaiselle C:lle on vastakkainen elementti, joka voi merkitään (-C). Tässä tapauksessa C + (-C) \u003d 0.

Aksioomien johtaminen negatiivisille luvuille

Hyväksymällä yllä olevat lausunnot voimme vastata kysymykseen: "Plus" miinuksen kohdalla antaa minkä merkin? Kun tiedetään negatiivisten lukujen kertolaskua koskeva aksiooma, on tarpeen varmistaa, että todellakin (-C) x V = -(C x V). Ja myös, että seuraava yhtälö on totta: (-(-C)) = C.

Tätä varten meidän on ensin todistettava, että jokaisella elementillä on vain yksi vastakkainen "veli". Harkitse seuraavaa todisteesimerkkiä. Yritetään kuvitella, että kaksi lukua ovat vastakkaisia ​​C - V:lle ja D:lle. Tästä seuraa, että C + V = 0 ja C + D = 0, eli C + V = 0 = C + D. Siirtymälakien muistaminen ja luvun 0 ominaisuuksista voidaan tarkastella kaikkien kolmen luvun summaa: C, V ja D. Yritetään selvittää V:n arvo. On loogista, että V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, koska C + D:n arvo, kuten yllä hyväksyttiin, on yhtä suuri kuin 0. Siten V = V + C + D.

D:n arvo johdetaan samalla tavalla: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Tämän perusteella käy selväksi, että V = D.

Ymmärtääksesi, miksi kuitenkin "plus" "miinuksen" kohdalla antaa "miinuksen", sinun on ymmärrettävä seuraava. Eli elementin (-C) vastakohdat ovat C ja (-(-C)), eli ne ovat keskenään yhtä suuret.

Silloin on selvää, että 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V. Tästä seuraa, että C x V on vastakohta (-) C x V:lle , mikä tarkoittaa (- C) x V = -(C x V).

Täydellisen matemaattisen tarkkuuden saavuttamiseksi on myös tarpeen varmistaa, että 0 x V = 0 mille tahansa elementille. Jos noudatat logiikkaa, niin 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Tämä tarkoittaa, että tulon 0 x V lisääminen ei muuta asetettua määrää millään tavalla. Loppujen lopuksi tämä tuote on yhtä suuri kuin nolla.

Tietäen kaikki nämä aksioomit, on mahdollista päätellä paitsi kuinka paljon "plus" ja "miinus" antaa, vaan myös mitä tapahtuu, kun negatiiviset luvut kerrotaan.

Kahden luvun kerto- ja jakolasku "-"-merkillä

Jos et syvenny matemaattisiin vivahteisiin, voit yrittää selittää toimintasäännöt negatiivisilla luvuilla yksinkertaisemmalla tavalla.

Oletetaan, että C - (-V) = D, tämän perusteella C = D + (-V), eli C = D - V. Siirrämme V ja saamme, että C + V = D. Eli C + V = C- (-V). Tämä esimerkki selittää, miksi lausekkeessa, jossa on kaksi "miinusta" peräkkäin, mainitut merkit tulisi muuttaa "plussiksi". Nyt käsitellään kertolaskua.

(-C) x (-V) \u003d D, lausekkeeseen voidaan lisätä ja vähentää kaksi identtistä tuotetta, mikä ei muuta sen arvoa: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d D.

Muistamalla sulkeiden kanssa työskentelyn säännöt, saamme:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Tästä seuraa, että C x V \u003d (-C) x (-V).

Vastaavasti voimme todistaa, että kahden negatiivisen luvun jakamisen tulos on positiivinen.

Yleiset matemaattiset säännöt

Tällainen selitys ei tietenkään sovi alakoululaisille, jotka ovat juuri alkaneet oppia abstrakteja negatiivisia lukuja. Heidän on parempi selittää näkyvillä esineillä manipuloimalla tuttua termiä katselasin läpi. Siellä sijaitsevat esimerkiksi keksityt, mutta ei olemassa olevat lelut. Ne voidaan näyttää "-"-merkillä. Kahden lasiesineen kertominen siirtää ne toiseen maailmaan, joka rinnastetaan nykyhetkeen, eli tuloksena meillä on positiivisia lukuja. Mutta abstraktin negatiivisen luvun kertominen positiivisella antaa vain kaikille tutun tuloksen. Loppujen lopuksi "plus" kerrottuna "miinuksella" antaa "miinuksen". Totta, lapset eivät yritä liian lujasti sukeltaa kaikkiin matemaattisiin vivahteisiin.

Vaikka jos kohtaat totuuden, monille ihmisille, jopa korkea-asteen koulutuksen saaneille, monet säännöt jäävät mysteeriksi. Kaikki pitävät itsestäänselvyytenä sitä, mitä heidän opettajansa heille opettavat, eikä heillä ole vaikeuksia sukeltaa matematiikan monimutkaisuuteen. "Miinus" miinuksella antaa "plussan" - kaikki tietävät tämän poikkeuksetta. Tämä koskee sekä kokonaislukuja että murtolukuja.

Ymmärretäänkö kertolasku oikein?

"- A ja B istuivat putken päällä. A putosi, B katosi, mitä putkeen jäi?
"Minä kirjeesi jää."

(Elokuvasta "Youths in the Universe")

Miksi luvun kertominen nollalla johtaa nollaan?

7 * 0 = 0

Miksi kun kerrot kaksi negatiivista lukua, saat positiivisen luvun?

7 * (-3) = + 21

Mitä opettajat eivät vain keksi vastatakseen näihin kahteen kysymykseen.

Mutta kukaan ei uskalla myöntää, että kertolaskussa on kolme semanttista virhettä!

Onko aritmetiikan perusteissa virheitä? Loppujen lopuksi matematiikka asettaa itsensä eksaktiksi tieteeksi ...

Koulun matematiikan oppikirjat eivät anna vastauksia näihin kysymyksiin, vaan ne korvaavat selitykset muistettavilla säännöillä. Ehkä heidän on vaikea selittää tätä aihetta yläasteella? Yritetään ymmärtää nämä ongelmat.

7 - kerroin. 3 on kerroin. 21 - työ.

Virallisen sanamuodon mukaan:

• luvun kertominen toisella luvulla tarkoittaa niin monta kertojaa kuin kertoja määrää.

Hyväksytyn sanamuodon mukaan tekijä 3 kertoo, että tasa-arvon oikealla puolella tulee olla kolme seitsemää.

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

Mutta tämä kertolasku ei voi selittää edellä esitettyjä kysymyksiä.

Korjataan kertolaskujen sanamuoto

Yleensä matematiikassa tarkoitetaan paljon, mutta sitä ei sanota tai kirjoiteta ylös.

Tämä viittaa plusmerkkiin ensimmäisen seitsemän edessä tasa-arvon oikealla puolella. Kirjoitetaan tämä muistiin.

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

Mutta mihin seitsemän ensimmäistä lisätään. Se tarkoittaa tietysti nollaa. kirjoitetaan nolla.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

Entä jos kerromme kolmella miinus seitsemällä?

7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = - 21

Kirjoitamme kertojan -7 lisäyksen, itse asiassa teemme moninkertaisen vähennyksen nollasta. Laajennamme sulkuja.

7 * 3 = 0 - 7 - 7 - 7 = - 21

Nyt voimme antaa tarkennetun kertolaskun.

• Kertominen on kertojan (-7) toistuva yhteenlasku nollaan (tai vähennys nollasta) niin monta kertaa kuin kertoja osoittaa. Tekijä (3) ja sen etumerkki (+ tai -) osoittavat, kuinka monta operaatiota lisätään nollaan tai vähennetään nollasta.

Tämän hienostuneen ja jonkin verran muunnetun kertolaskun mukaan "merkkisäännöt" kertomiselle, kun kertoja on negatiivinen, on helppo selittää.

7 * (-3) - nollan jälkeen on oltava kolme miinusmerkkiä = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = -21

7 * (-3) - jälleen pitäisi olla kolme miinusmerkkiä nolla = jälkeen

0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

Kertominen nollalla

7 * 0 = 0 + ... ei nollan lisäysoperaatioita.

Jos kertolasku lisää nollaan ja kerroin näyttää nollaan lisättävien operaatioiden lukumäärän, nollakerroin osoittaa, että mitään ei lisätä nollaan. Siksi se pysyy nollassa.

Joten olemassa olevasta kertolaskumuodosta löysimme kolme semanttista virhettä, jotka estävät kahden "merkkisäännön" ymmärtämisen (kun kertoja on negatiivinen) ja luvun kertomisen nollalla.

1. Kerrointa ei tarvitse lisätä, vaan se on lisättävä nollaan.
2. Kertominen ei ole vain nollaan lisäämistä, vaan myös nollasta vähentämistä.
3. Kerroin ja sen etumerkki eivät näytä termien lukumäärää, vaan plus- tai miinusmerkkien määrää, kun kertolasku jaetaan termeiksi (tai vähennetään).

Sanamuotoa hieman selvennettyämme pystyimme selittämään merkkien kertomisen ja luvun nollalla kertomisen säännöt ilman kertolaskua, ilman distributiivista lakia, käyttämättä analogioita lukujonon kanssa, ilman yhtälöitä. , ilman päinvastaista näyttöä jne.

Tarkennetun kertolaskun mukaiset merkkisäännöt johdetaan hyvin yksinkertaisesti.

7 * (+3) = 0 + (+7) + (+7) + (+7) = +21 (++ = +)

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (+ - = -)

7 * (-3) = 0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- - = +)

Kerroin ja sen etumerkki (+3 tai -3) osoittavat "+"- tai "-"-merkkien lukumäärän yhtälön oikealla puolella.

Kertolaskun muunneltu sanamuoto vastaa operaatiota, jossa luku nostetaan potenssiksi.

2^3 = 1*2*2*2 = 8

2^0 = 1 (yksittä ei kerrota tai jaeta millään, joten se jää yhdeksi)

2^-1 = 1: 2 = 1/2

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

Matemaatikot ovat yhtä mieltä siitä, että luvun nostaminen positiiviseen potenssiin on yhden monikertakerta. Ja luvun nostaminen negatiiviseen potenssiin on yhden moninkertainen jako.

Kertolaskuoperaation tulee olla samanlainen kuin eksponentiooperaation.

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*2 = 0 + 2 + 2 = 4

2*0 = 0 (mitään ei lisätä nollaan eikä mitään vähennetä nollasta)

2*-1 = 0 - 2 = -2

2*-2 = 0 - 2 - 2 = -4

2*-3 = 0 - 2 - 2 - 2 = -6

Kertolaskun modifioitu sanamuoto ei muuta matematiikassa mitään, vaan palauttaa kertolaskuoperaation alkuperäisen merkityksen, selittää "merkkien säännöt", luvun kertomisen nollalla ja sovittaa kertolaskua eksponentioon.

Tarkastetaan, sopiiko kertolaskumme jakooperaation kanssa.

15: 5 = 3 (käänteinen kertolasku 5 * 3 = 15)

Osamäärä (3) vastaa yhteenlaskuoperaatioiden määrää nollaan (+3) kertolaskussa.

Lukun 15 jakaminen 5:llä tarkoittaa, kuinka monta kertaa sinun tulee vähentää 5 luvusta 15. Tämä tehdään peräkkäisellä vähennyksellä, kunnes saadaan nollatulos.

Jaon tuloksen löytämiseksi sinun on laskettava miinusmerkkien määrä. Niitä on kolme.

15: 5 = 3 operaatiota viiden vähentämiseksi 15:stä, kunnes saadaan nolla.

15 - 5 - 5 - 5 = 0 (jako 15:5)

0 + 5 + 5 + 5 = 15 (kerro 5 * 3)

Jako loppuosalla.

17 - 5 - 5 - 5 - 2 = 0

17:5 = 3 ja 2 jäljellä

Jos on jako jäännös, miksi ei kertolasku liitteenä?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

Tarkastelemme sanamuotojen eroa laskimessa

Nykyinen kertolaskumuoto (kolme termiä).

10 + 10 + 10 = 30

Korjattu kertolasku (kolme yhteenlaskuoperaatiota nollaan).

0 + 10 = = = 30

(Napsauta "on yhtä kuin" kolme kertaa.)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Kerroin 3 tarkoittaa, että kerroin 10 on lisättävä nollaan kolme kertaa.

Kokeile kertoa (-10) * (-3) lisäämällä termi (-10) miinus kolme kertaa!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 - 10 - 10 = -30 ?

Mitä miinusmerkki kolmelle tarkoittaa? Ehkä niin?

(-10) * (-3) = (-10) - (-10) - (-10) = - 10 + 10 + 10 = 10?

Ops... Tuotetta ei voi jakaa termien summaksi (tai erotukseksi) (-10).

Muutetulla sanamuodolla tämä tehdään oikein.

0 - (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 - (-10) - (-10) - (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Kerroin (-3) osoittaa, että kertoja (-10) on vähennettävä nollasta kolme kertaa.

Allekirjoitussäännöt yhteen- ja vähennyslaskua varten

Yllä on esitetty yksinkertainen tapa johtaa kertolaskujen merkkisäännöt muuttamalla kertolaskun merkitystä.

Mutta tulostuksessa käytimme etumerkkien sääntöjä yhteen- ja vähennyslaskujen lisäksi. Ne ovat melkein samat kuin kertolaskussa. Tehdään visualisointi yhteen- ja vähennysmerkkien säännöistä niin, että ekaluokkalainenkin ymmärtää sen.

Mikä on "miinus", "negatiivinen"?

Luonnossa ei ole mitään negatiivista. Ei ole negatiivista lämpötilaa, ei negatiivista suuntaa, ei negatiivista massaa, ei negatiivisia varauksia... Jopa sini voi luonteeltaan olla vain positiivinen.

Mutta matemaatikot ovat keksineet negatiivisia lukuja. Minkä vuoksi? Mitä "miinus" tarkoittaa?

Miinus tarkoittaa päinvastaista suuntaa. Vasen oikea. Yläpohja. Myötäpäivään - vastapäivään. Edestakaisin. Kylmä kuuma. Kevyt raskas. Hitaasti - nopeasti. Jos ajattelet sitä, voit antaa monia muita esimerkkejä, joissa on kätevää käyttää negatiivisia arvoja.

Tunnetussa maailmassa äärettömyys alkaa nollasta ja jatkuu plus äärettömyyteen.

"Miinus ääretöntä" ei ole olemassa todellisessa maailmassa. Tämä on sama matemaattinen sopimus kuin käsite "miinus".

Joten "miinus" tarkoittaa päinvastaista suuntaa: liikettä, pyörimistä, prosessia, kertolaskua, yhteenlaskua. Analysoidaan eri suuntia, kun positiivisia ja negatiivisia (toiseen suuntaan kasvavia) lukuja lisätään ja vähennetään.

Yhteen- ja vähennysmerkkien sääntöjen ymmärtämisen monimutkaisuus johtuu siitä, että nämä säännöt yrittävät yleensä selittää lukujonolla. Lukuviivalla sekoitetaan kolme eri komponenttia, joista johdetaan säännöt. Ja sekoituksen vuoksi, erilaisten käsitteiden upottamisesta yhteen kasaan, syntyy ymmärtämisvaikeuksia.

Ymmärtääksemme säännöt, meidän on erotettava:

• ensimmäinen termi ja summa (ne ovat vaaka-akselilla);
• toinen termi (se on pystyakselilla);
• yhteen- ja vähennysoperaatioiden suunta.

Tämä jako näkyy selvästi kuvassa. Kuvittele henkisesti, että pystyakseli voi pyöriä vaaka-akselin päällä.

Lisäys suoritetaan aina kiertämällä pystyakselia myötäpäivään (plus-merkki). Vähennystoiminto suoritetaan aina kiertämällä pystyakselia vastapäivään (miinusmerkki).

Esimerkki. Kaavio oikeassa alakulmassa.

Voidaan nähdä, että kahdella vierekkäisellä miinusmerkillä (vähennysoperaation etumerkki ja luvun 3 etumerkki) on eri merkitys. Ensimmäinen miinus osoittaa vähennyssuunnan. Toinen miinus on pystyakselin numeron merkki.

Etsi ensimmäinen termi (-2) vaaka-akselilta. Etsi toinen termi (-3) pystyakselilta. Pyöritä pystyakselia henkisesti vastapäivään, kunnes (-3) osuu yhteen vaaka-akselin numeron (+1) kanssa. Luku (+1) on summauksen tulos.

vähennysoperaatio

antaa saman tuloksen kuin summausoperaatio oikean yläkulman kaaviossa.

Siksi kaksi vierekkäistä "miinus" -merkkiä voidaan korvata yhdellä "plus" -merkillä.

Olemme kaikki tottuneet käyttämään valmiita aritmeettisia sääntöjä ajattelematta niiden merkitystä. Siksi emme usein edes huomaa, kuinka yhteen- (vähennys-) merkkien säännöt eroavat kerto- (jako-) merkkien säännöistä. Näyttävätkö ne olevan samoja? Melkein... Voit nähdä pienen eron seuraavassa kuvassa.

Nyt meillä on kaikki mitä tarvitsemme merkkisääntöjen johtamiseen kertolaskua varten. Tulostusjärjestys on seuraava.

1. Näytämme selvästi, kuinka yhteen- ja vähennysmerkkien säännöt saadaan.
2. Teemme semanttisia muutoksia olemassa olevaan kertolaskumuotoon.
3. Kertomisen muokatun sanamuodon ja merkkien yhteenlaskusääntöjen perusteella johdamme merkkien kertolaskusäännöt.

Huomautus.

Alla on kirjoitettu yhteen- ja vähennysmerkkien sääntö saatu visualisoinnista. Ja punaisena vertailun vuoksi samat merkkisäännöt matematiikan oppikirjasta. Harmaa plus suluissa on näkymätön plus, jota ei ole kirjoitettu positiiviselle luvulle.

Termien välissä on aina kaksi merkkiä: operaation etumerkki ja luvun etumerkki (emme kirjoita plussaa, mutta tarkoitamme sitä). Etumerkkisäännöt määräävät yhden merkkiparin korvaamisen toisella parilla muuttamatta yhteenlaskua (vähennyslaskua). Itse asiassa on vain kaksi sääntöä.

Säännöt 1 ja 3 (visualisoinnille) - kaksoissäännöt 4 ja 2 .. Säännöt 1 ja 3 koulun tulkinnassa eivät vastaa visuaalista kaavaa, joten ne eivät päde lisäksi merkkien sääntöihin. Nämä ovat muita sääntöjä...

1. +(+) = -- ......... + (+) = + ???

2. +- = -(+)........ + - = - (+) ok

3. -(+) = +- ......... - (+) = - ???

4. -- = +(+) ......... - - = + (+) ok

Koulusääntö 1. (punainen) mahdollistaa kahden peräkkäisen plusmerkin korvaamisen yhdellä plussalla. Sääntö ei koske merkkien korvaamista yhteen- ja vähennyslaskulla.

Koulusääntö 3. (punainen väri) sallii, että et kirjoita plusmerkkiä positiiviselle luvulle vähennyslaskennan jälkeen. Sääntö ei koske merkkien korvaamista yhteen- ja vähennyslaskulla.

Merkkisääntöjen tarkoitus on lisäksi yhden merkkiparin korvaaminen toisella merkkiparilla ilman, että lisäyksen tulos muuttuu.

Koulumetodologit sekoittivat kaksi sääntöä yhteen sääntöön:

Kaksi merkkisääntöä positiivisten ja negatiivisten lukujen lisäämiseksi ja vähentämiseksi (yhden merkkiparin korvaaminen toisella merkkiparilla);

Kaksi sääntöä, joiden mukaan et voi kirjoittaa plusmerkkiä positiiviselle numerolle.

Kaksi erilaista sääntöä yhdeksi sekoitettuna ovat samanlaisia ​​kuin merkkien kertolaskusäännöt, joissa kolmas seuraa kahdesta merkistä. Näytä kuin yksi yhteen.

Hyvin hämmentynyt! Tee sama uudelleen, jotta se selviää paremmin. Korostetaan operaatioiden merkit punaisella erottaaksemme ne numeroiden merkeistä.

1. Yhteen- ja vähennyslasku. Kaksi merkkisääntöä, joilla termien väliset merkkiparit vaihdetaan. Toimintamerkki ja numeromerkki.

+ + = - - |||||||||| 2 + (+2) = 2 - (-2)

+ - = - + |||||||||| 2 + (-2) = 2 - (+2)

2. Kaksi sääntöä, joiden mukaan positiivisen luvun plusmerkkiä ei saa kirjoittaa. Nämä ovat ilmoittautumislomakkeen säännöt. Ei koske lisäystä. Positiiviselle luvulle kirjoitetaan vain operaation etumerkki.

- + = - |||||||||| - (+2) = - 2

+ + = + |||||||||| + (+2) = + 2

3. Neljä merkkien sääntöä kertolaskussa. Kun tuotteen kolmas merkki seuraa kahdesta kerroinmerkistä. Kertolaskusäännöissä vain numeroiden merkit.

+ * + = + |||||||||| 2 * 2 = 2

+ * - = - |||||||||| 2 * (-2) = -2

- * + = - |||||||||| -2 * 2 = - 2

- * - = + |||||||||| -2 * -2 = 2

Nyt kun merkintäsäännöt on erotettu, pitäisi olla selvää, että yhteen- ja vähennyslaskusäännöt eivät ole ollenkaan samanlaisia ​​kuin kertolaskujen merkkisäännöt.

V.Kozarenko

Todellakin, miksi? Helpoin vastaus on: "Koska nämä ovat negatiivisten lukujen kanssa työskentelyn säännöt." Säännöt, joita opimme koulussa ja joita sovelletaan koko elämämme ajan. Oppikirjoissa ei kuitenkaan selitetä, miksi säännöt ovat sellaisia ​​kuin ne ovat. Muistimme - siinä se, emmekä enää kysy kysymystä.

Ja kysytään...

Kauan sitten ihmiset tunsivat vain luonnolliset luvut: 1, 2, 3, ... Niitä käytettiin laskemaan välineitä, saalista, vihollisia jne. Mutta itse luvut ovat melko hyödyttömiä - sinun on osattava käsitellä niitä. Yhteenlasku on selkeää ja ymmärrettävää, ja lisäksi kahden luonnollisen luvun summa on myös luonnollinen luku (matemaatikko sanoisi, että luonnollisten lukujen joukko on suljettu yhteenlaskuoperaatiossa). Kertominen on itse asiassa sama summa, jos puhumme luonnollisista luvuista. Elämässä teemme usein näihin kahteen operaatioon liittyviä toimia (esimerkiksi ostoksia tehdessämme lisäämme ja kerromme), ja on outoa ajatella, että esi-isämme kohtasivat niitä harvemmin - ihmiskunta hallitsi yhteen- ja kertolaskua hyvin pitkään. sitten. Usein on tarpeen jakaa yksi määrä toisella, mutta tässä tulosta ei aina ilmaista luonnollisella luvulla - näin murtoluvut ilmestyivät.

Vähennys on tietysti myös välttämätöntä. Mutta käytännössä meillä on tapana vähentää pienempi luku suuremmasta, eikä negatiivisia lukuja tarvitse käyttää. (Jos minulla on 5 karkkia ja annan 3 siskolleni, minulla on 5 - 3 = 2 karkkia, mutta en voi antaa hänelle 7 karkkia kaikesta halustani.) Tämä voi selittää, miksi ihmiset eivät käyttäneet negatiivisia lukuja pitkään aikaan.


Negatiiviset numerot esiintyvät Intian asiakirjoissa 7. vuosisadalta jKr. kiinalaiset alkoivat ilmeisesti käyttää niitä vähän aikaisemmin. Niitä käytettiin velkojen selvittämiseen tai välilaskuissa yhtälöiden ratkaisun yksinkertaistamiseksi - se oli vain väline myönteisen vastauksen saamiseksi. Se, että negatiiviset luvut, toisin kuin positiiviset, eivät ilmaise minkään kokonaisuuden läsnäoloa, herätti vahvaa epäluottamusta. Ihmiset sanan kirjaimellisessa merkityksessä välttelivät negatiivisia lukuja: jos ongelma sai kielteisen vastauksen, he uskoivat, ettei vastausta ollut ollenkaan. Tämä epäluottamus jatkui hyvin pitkään, ja jopa Descartes, yksi modernin matematiikan "perustajista", kutsui niitä "vääriksi" (1600-luvulla!).

Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä 7x - 17 \u003d 2x - 2. Se voidaan ratkaista seuraavasti: siirrä termit tuntemattomilla vasemmalle puolelle ja loput oikealle, saat 7x - 2x \u003d 17 - 2, 5x \u003d 15, x \u003d 3. Tällä Emme löytäneet ratkaisussa edes negatiivisia lukuja.

Mutta se olisi voitu tehdä toisin: siirrä termit tuntemattomilla oikealle puolelle ja saat 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5)x. Tuntemattoman löytämiseksi sinun on jaettava yksi negatiivinen luku toisella: x = (-15)/(-5). Mutta oikea vastaus tiedetään, ja on vielä pääteltävä, että (-15)/(-5) = 3.

Mitä tämä yksinkertainen esimerkki osoittaa? Ensinnäkin tulee selväksi logiikka, joka määritti negatiivisten lukujen toimien säännöt: näiden toimien tulosten on vastattava vastauksia, jotka on saatu eri tavalla, ilman negatiivisia lukuja. Toiseksi, sallimalla negatiivisten lukujen käytön, pääsemme eroon ikävästä (jos yhtälö osoittautuu monimutkaisemmaksi, suurella määrällä termejä) ratkaisupolun etsimisestä, jossa kaikki toiminnot suoritetaan vain luonnollisille luvuille. Lisäksi emme voi enää joka kerta ajatella muunnettavien suureiden mielekkyyttä - ja tämä on jo askel kohti matematiikan muuttamista abstraktiksi tieteeksi.

Negatiivisia lukuja koskevia toimia koskevia sääntöjä ei muodostettu heti, vaan niistä tuli yleistys lukuisista esimerkeistä, jotka syntyivät sovellettavien ongelmien ratkaisemisessa. Yleisesti ottaen matematiikan kehitys voidaan jakaa ehdollisesti vaiheisiin: jokainen seuraava vaihe eroaa edellisestä uudella abstraktiotasolla objektien tutkimuksessa. Joten 1800-luvulla matemaatikot ymmärsivät, että kokonaisluvuilla ja polynomeilla on kaikista ulkoisista eroistaan ​​huolimatta paljon yhteistä: molempia voidaan lisätä, vähentää ja kertoa. Nämä operaatiot noudattavat samoja lakeja - sekä lukujen että polynomien tapauksessa. Mutta kokonaislukujen jakaminen keskenään niin, että tuloksena saadaan jälleen kokonaislukuja, ei ole aina mahdollista. Sama pätee polynomeihin.

Sitten löydettiin muita matemaattisten objektien kokoelmia, joille tällaisia ​​operaatioita voidaan suorittaa: muodolliset potenssisarjat, jatkuvat funktiot ... Lopulta tuli ymmärrys, että jos tutkii itse operaatioiden ominaisuuksia, niin tuloksia voidaan soveltaa kaikkiin näihin. esinekokoelmia (tämä lähestymistapa on tyypillinen kaikelle modernille matematiikalle).

Tämän seurauksena ilmestyi uusi konsepti: sormus. Se on vain joukko elementtejä ja toimintoja, jotka voidaan suorittaa niille. Perussäännöt ovat tässä vain sääntöjä (niitä kutsutaan aksioomiksi), jotka ovat toimien alaisia, eivätkä joukon elementtien luonnetta (tässä se on abstraktion uusi taso!). Halutaen korostaa, että juuri aksioomien käyttöönoton jälkeen syntyvä rakenne on tärkeä, matemaatikot sanovat: kokonaislukujen rengas, polynomien rengas jne. Aksioomista alkaen voidaan johtaa muita renkaiden ominaisuuksia.

Muotoilemme renkaan aksioomit (jotka ovat tietysti samanlaisia ​​​​kuin kokonaislukuoperaatioiden säännöt), ja sitten todistamme, että missä tahansa renkaassa miinuksen kertominen miinuksella johtaa plussaan.

Rengas on joukko kahdella binäärioperaatiolla (eli jokaisessa operaatiossa on mukana kaksi renkaan elementtiä), joita kutsutaan perinteisesti yhteen- ja kertolaskuksi, ja seuraavat aksioomat:

Rengaselementtien lisääminen noudattaa kommutatiivisia (A + B = B + A kaikille elementeille A ja B) ja kombinaatiolakeja (A + (B + C) = (A + B) + C); renkaassa on erityinen elementti 0 (neutraali elementti lisäyksenä) siten, että A + 0 = A, ja mille tahansa A:n elementille on vastakkainen elementti (merkitty (-A)) siten, että A + (-A) = 0 ;
- kertolasku noudattaa yhdistelmälakia: A (B C) = (A B) C;
yhteen- ja kertolasku liittyvät toisiinsa seuraavilla hakasulkeiden laajennussäännöillä: (A + B) C = A C + B C ja A (B + C) = A B + A C.

Huomaamme, että yleisimmässä rakenteessa renkaat eivät vaadi kertomista ollakseen muuttuvia, eikä se ole käännettävissä (eli ei aina ole mahdollista jakaa), eikä se vaadi yksikön, neutraalin elementin olemassaoloa. kertomisen suhteen. Jos nämä aksioomit otetaan käyttöön, saadaan muita algebrallisia rakenteita, mutta kaikki renkaille todistetut lauseet ovat totta niissä.

Todistakaamme nyt, että mielivaltaisen renkaan mille tahansa elementille A ja B ensinnäkin (-A) B = -(A B) ja toiseksi (-(-A)) = A. Tämä tarkoittaa helposti lauseita yksiköistä: (- 1) 1 = -(1 1) = -1 ja (-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1.

Tätä varten meidän on vahvistettava joitain tosiasioita. Ensin todistetaan, että jokaisella elementillä voi olla vain yksi vastakohta. Olkoonkin elementillä A kaksi vastakkaista: B ja C. Eli A + B = 0 = A + C. Tarkastellaan summaa A + B + C. Assosiatiivisia ja kommutatiivisia lakeja sekä nollan ominaisuutta käyttämällä saada, että toisaalta summa on yhtä suuri kuin B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, ja toisaalta se on yhtä suuri kuin C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Näin ollen B = C.

Huomaa nyt, että sekä A että (-(-A)) ovat saman elementin (-A) vastakohtia, joten niiden on oltava yhtä suuret.

Ensimmäinen tosiasia saadaan seuraavasti: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, eli (-A) B on vastakohta A B:lle, joten se on yhtä suuri kuin - (AB).

Ollaksemme matemaattisesti tarkkoja, selitetään myös, miksi 0·B = 0 mille tahansa B:n alkiolle. Todellakin, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. Eli 0 B:n lisääminen ei muuta summaa. Tämä tuote on siis nolla.

Ja se, että renkaassa on täsmälleen yksi nolla (aksioomit sanovat, että sellainen elementti on olemassa, mutta sen ainutlaatuisuudesta ei sanota mitään!), jätämme lukijalle yksinkertaisena harjoituksena.

Jevgeni Epifanov