Dummies-vektoreiden skalaarituote. Vektoreiden skalaari: teoria ja ongelmat

pää / Rakkaus

Scalar-tuotevektorit

Käsittelemme edelleen vektoreita. Ensimmäisessä oppitunnissa Vektorit teekannoille Tarkastelimme vektorin käsitettä, vektoreita, vektorikoordinaatteja ja yksinkertaisimpia tehtäviä vektoreilla. Jos olet syöttänyt tämän sivun ensimmäistä kertaa hakukoneesta, suosittelen lukemaan edellä mainittua esittelyartikkelia, koska on välttämätöntä navigoida minusta, minusta merkinnän käyttämät ehdot ovat perustiedot vektoreista ja pystyvät ratkaisemaan perusteellisia tehtäviä. Tämä oppitunti on looginen jatkaminen aiheesta, ja se määrittelen tyypillisiä tehtäviä, joissa käytetään vektoreiden skalaarin tuotetta. Tämä on erittäin tärkeä ammatti.. Yritä olla menettämättä esimerkkejä, käyttökelpoinen bonus on liitetty niihin - käytäntö auttaa sinua korjaamaan materiaalin ja "täytä käsi" analyyttisen geometrian yhteisten tehtävien ratkaisemiseksi.

Vektoreiden lisääminen, vektori kertolasku numerolla .... Olisi naiivi ajatella, että matematiikka ei keksinyt mitään muuta. Jo tarkistettujen toimien lisäksi vektoreiden kanssa on useita muita toimintoja, nimittäin: scalar-tuotevektorit, vektori taideteos vektorit ja sekalaiset vektorit. Vektoreiden skalaarituote on tuttu meille koulusta, kaksi muuta työtä perinteisesti viittaavat korkeamman matematiikan kurssiin. Teemat ovat yksinkertaisia, algoritmi monien markkinatehtävien ratkaisemiseksi ja on ymmärrettävää. Ainoa asia. Tiedot ovat kunnollisia, joten ei ole toivottavaa yrittää hallita kaikkea ja välittömästi. Tämä pätee erityisesti teeleihin, uskovat minua, kirjoittaja ei halua tuntea Chikatilosta matematiikasta. No, ei matematiikasta, tietenkin, myös \u003d) valmistetut opiskelijat voivat käyttää materiaaleja selektiivisesti, tietyssä mielessä "saadaksesi" puuttuvat tiedot, sillä minä olen vaaraton kaavio dracula \u003d)

Avoimme lopulta ovea ja intohimoisesti, mitä tapahtuu, kun kaksi versiota tavata toisiaan ....

Määritelmä vektorin skalaarin tuote.
Skalaarisen tuotteen ominaisuudet. Tyypilliset tehtävät

Skalaarisen työn käsite

Ensimmäinen pro Vektoreiden välinen kulma. Mielestäni kaikki ovat intuitiivisia, että tällainen kulma vektoreiden välillä, mutta vain siinä tapauksessa. Harkitse ilmaisia \u200b\u200bei-vektoreita ja. Jos lykkäät näitä vektoreita mielivaltaisesta kohdasta, se osoittautuu kuvan siitä, että monet ovat jo esittäneet henkisesti:

Tunnustan, tässä esitin tilanteen vain ymmärryksen tasolla. Jos tarvitset vektorien välisen kulman tiukan määritelmän, ota yhteyttä oppikirjaan käytännön tehtäviin, se ei periaatteessa ole mitään. Myös jäljempänä olen paikoissa sivuuttaa nollavektoreita niiden pienen käytännön merkityksen vuoksi. Varaus tehtiin erityisesti kehittyneille sivuston kävijöille, jotka voivat häiritä minua myöhempien lausuntojen teoreettisessa epätäydellisyydessä.

Se voi ottaa arvoja 0 - 180 astetta (0-radiaanista) mukaan lukien. Analyyttisesti tämä seikka kirjataan kaksinkertaisen epätasa-arvon muodossa:

tai

(Radialaisissa).

Kirjallisuudessa kulmakuvake ohittaa usein ja kirjoittaa yksinkertaisesti.

Määritelmä: Kahden vektorin skalar-tuote on nimeltään näiden vektorien tuote, joka on yhtä suuri kuin niiden kulman kosine.

Tämä on nyt varsin tiukka määritelmä.

Keskitymme olennaisiin tietoihin:

Nimitys: Scalar-tuote on merkitty tai yksinkertaisesti.

Toimen tulos on numero: Vektori kerrotaan vektorilla ja numero saadaan. Itse asiassa, jos vektoreiden pituudet ovat numerot, kulman kosini - numero, sitten heidän työnsä Myös myös numero on.

Välittömästi pari lämpenemistä esimerkkejä:

Esimerkki 1.

Päätös: Käytämme kaavaa . Tässä tapauksessa:

Vastaus:

Kosiniarvot löytyvät trigonometrinen pöytä. Suosittelen tulostamaan sitä - se on välttämätöntä lähes kaikissa tornin osissa ja tarvitsee monta kertaa.

Pelkästään matemaattisesta näkökulmasta Scalar-tuote on mitoitettu, eli tulos tässä tapauksessa yksinkertaisesti numero ja se on se. Fysiikan tehtävien näkökulmasta skalaarituotteella on aina tietty fyysinen merkitys, eli tulosten jälkeen sinun on määriteltävä tietty fyysinen yksikkö. Kanoninen esimerkki voiman työn laskemisesta löytyy mistä tahansa oppikirjasta (kaava on täsmälleen skalaari). Voiman työ mitataan jouleissa, joten vastaus kirjataan varsin erityisesti.

Esimerkki 2.

Etsi, jos ja vektorien välinen kulma on yhtä suuri.

Tämä on esimerkki itsenäisestä päätöksestä, vastauksesta oppitunnin lopussa.

Vektoreiden välinen kulma ja skalaarin tuotteen arvo

Esimerkissä 1 skalaari oli positiivinen ja esimerkissä 2 - negatiivinen. Selvitä, mitä Scalar-tuotteen merkki riippuu. Katsomme meidän kaava: . Nonzero-vektoreiden pituudet ovat aina positiivisia: joten merkki voi riippua vain kosini-arvosta.

merkintä: Alla olevasta tiedoista paremmin ymmärrystä on parempi tutkia kosiniaikataulua menetelmissä Toiminnan kaaviot ja ominaisuudet. Katso, kuinka segmentin kosini käyttäytyy.

Kuten jo todettiin, vektorien välinen kulma voi vaihdella Ja seuraavat tapaukset ovat mahdollisia:

1) jos kulma Vektoreiden välillä akuutti: (0 - 90 astetta), sitten , I. scalar tuote on positiivinen soncedNiiden välinen kulma pidetään nollaksi, ja skalaarituote on myös positiivinen. Koska kaava on yksinkertaistettu :.

2) jos kulma Vektoreiden välillä tyhmä: (90-180 astetta) ja vastaavasti, scalar-tuote negatiivinen:. Erityisasia: Jos vektorit suunnattu vastapäätäSitten niiden välillä on kulma lähtenyt: (180 astetta). Scalar-tuote on myös negatiivinen, koska

Oikeudenmukaiset ja palautuslausumat:

1) Jos vektorien datan välinen kulma on terävä. Vaihtoehtoisesti vektorit päällystetään.

2) Jos datavektoreiden välinen kulma on tyhmä. Vaihtoehtoisesti vektorit ohjataan vastapäätä.

Kolmas tapaus on kuitenkin erityisen kiinnostavaa:

3) jos kulma Vektoreiden välillä suoraan: (90 astetta), sitten scalar-tuote on nolla:. Päinvastoin on myös totta: jos sitten. Kompakti lausunto on muotoiltu seuraavasti: Kahden vektorin skalaarituote on nolla, jos ja vain, jos nämä vektorit ovat ortogonaalisia. Lyhyt matemaattinen tallennus:

! Merkintä : Toista matemaattisen logiikan perusteet: Kaksisuuntainen looginen seurauskuvake lukee yleensä "jos ja vain sitten", "siinä ja vain siinä tapauksessa." Kuten näet, nuolet ohjataan molemmille puolille - "Tämä seuraa tästä ja takaisin - siitä seuraa." Mitä muuten ero yksipuolisesta seuraavan kuvakkeen? Kuvake hyväksyy vain seettä "tämä seuraa tästä", eikä sitä, että päinvastoin on oikein. Esimerkiksi: mutta ei jokainen peto on pantteri, joten tässä tapauksessa on mahdotonta käyttää kuvaketta. Samanaikaisesti, sen sijaan, että kuvake voi Käytä yksisuuntaista kuvaketta. Esimerkiksi tehtävän ratkaiseminen huomasimme, että päätimme, että vektorit ovat ortogonaalisia: - tällainen ennätys on oikea ja entistä tärkeämpi kuin .

Kolmas tapaus on erittäin käytännöllinen merkitys.Koska sen avulla voit tarkistaa, ortogonaalisia vektoreita vai ei. Ratkaista tämän tehtävän oppitunnin toisessa osassa.

Skalaarikappaleen ominaisuudet

Palataan tilanteeseen, kun kaksi versiota sonced. Tällöin niiden välinen kulma on nolla ja skalaarin tuotteen kaava on lomakkeen :.

Ja mitä tapahtuu, jos vektori kerrotaan itsellesi? On selvää, että vektori päällystetään itsensä kanssa, joten käytämme yllä yksinkertaistettua kaava:

Numero on nimeltään scalar Square Vektori ja kutsutaan nimellä.

Tällä tavalla, Vector Scalar Square on yhtä suuri kuin tämän vektorin pituuden neliö:

Tästä tasa-arvosta saat kaavan vektorin pituuden laskemiseksi:

Vaikka se näyttää keskeytyksettä, mutta oppitunnin tehtävät katoavat paikalleen. Ongelmien ratkaisemiseksi tarvitsemme skalaarikappaleen ominaisuudet.

Mielivaltaisille vektoreille ja mikä tahansa numero, seuraavat ominaisuudet ovat voimassa:

1) - liike tai kommutatiivinen Skalaarisen työn laki.

2) - Jakelu tai jakelu Skalaarisen työn laki. Yksinkertaisesti voit paljastaa suluissa.

3) - hengittävä tai assosiatiivinen Skalaarisen työn laki. Vakio voidaan ottaa pois skalaarituotteesta.

Usein kaikenlaisia \u200b\u200bominaisuuksia (joita tarvitaan vielä!), Joita opiskelijat ovat tarpeetonta roskakoriin, joka on vain lähetettävä ja heti sen jälkeen, kun tentti on turvallisesti unohdettu. Näyttäisi siltä, \u200b\u200bettä tässä on tärkeää, kaikki ja niin ensimmäisestä luokasta tietää, että työ ei muutu kertojien permutaatiosta :. On varoittava, korkeammalla matematiikalla, jolla on samanlainen lähestymistapa, se on helppo estää polttopuut. Joten esimerkiksi siirtymäomaisuus ei ole oikeudenmukaista algebralliset matriisit. Se on väärin vektori-vektorit. Siksi kaikki ominaisuudet, jotka tapaat korkeamman matematiikan aikana, ainakin on parempi tuhota ymmärtämään, mitä voit tehdä, mutta miksi se on mahdotonta.

Esimerkki 3.

Päätös:Ensinnäkin selventää tilannetta vektorin kanssa. Mikä se on ollenkaan? Vektorien summa on täysin määritelty vektori, joka on merkitty. Vektoreihin liittyvien toimien geometrinen tulkinta löytyy artikkelista Vektorit teekannoille. Sama persilja, jossa vektori on vektorien summa ja.

Joten kun edellytys on välttämätöntä löytää skalaari tuote. Teoriassa sinun on sovellettava työkaavaa Mutta vaivaa on se, että vektoreiden pituus on tuntematon ja niiden välinen kulma. Mutta kunnolla annetaan samankaltaisia \u200b\u200bparametreja vektoreille, joten menemme eri tavoin:

(1) Korvaamme vektorien ekspression.

(2) paljastaa sulkeet polynomien moninkertaistumisen sääntöjen mukaisesti, löydät artikkelin loitsun. Monimutkaiset numerot tai Fraction Rational Functionin integrointi. En toista \u003d) muuten, paljastaa sulkeet meille kaikki skalaarin tuotteen jakeluominaisuudet. Meillä on oikein.

(3) Ensimmäisessä ja viimeisessä termillä vektoreiden skalaari neliöt ovat kompakteja: . Toiseksi käytämme skalaarin tuotteen uudelleenjärjestelyä :.

(4) Annamme samanlaisia \u200b\u200behtoja :.

(5) Ensimmäisellä aikavälillä käytämme sklarin neliön kaavaa, jota mainittiin niin kauan sitten. Viimeisessä aikavälillä sama asia toimii :. Toinen termi laajenee standardikaavan mukaisesti .

(6) Korvaamme nämä ehdot ja suorittaa huolellisesti lopulliset laskelmat.

Vastaus:

Skalaarin tuotteen negatiivinen arvo osoittaa, että vektorien välinen kulma on tylsää.

Tehtävä tyypillinen, tässä on esimerkki itsenäisestä ratkaisusta:

Esimerkki 4.

Etsi vektoreiden skalaari- ja, jos tiedät sen .

Nyt toinen yleinen tehtävä on vain uusi vektorin pituus. Nimitykset ovat hieman samat, joten selkeyden vuoksi kirjoitan sen uudelleen toisella kirjeellä:

Esimerkki 5.

Etsi vektorin pituus, jos .

Päätös Se on seuraava:

(1) Toimitamme vektorin ilmaisun.

(2) Pituuskaavan käyttö:, kun vektori "ve", meillä on kokonaisluku ilmaisu.

(3) Käytämme kesän yhteenvedon yhteenvedon kaavaa. Huomaa, miten se toimii utelias täällä: "Itse asiassa tämä on ero ero, ja itse asiassa se on." Ne, jotka haluavat, voivat järjestää vektorit paikoissa: - se osoittautui samanaikaisuuden tarkkuudella.

(4) Lisäksi on jo tuttu kahdesta aiemmasta tehtävistä.

Vastaus:

Jos puhut pituudesta, älä unohda määrittää ulottuvuutta - "yksiköt".

Esimerkki 6.

Etsi vektorin pituus, jos .

Tämä on esimerkki itsenäisestä ratkaisusta. Täydellinen ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Puristamme edelleen hyödyllisiä asioita skalaarituotteesta. Katsotaan jälleen kaavaa . Sääntöjen mukaan suhteessa palauttaa vektorien pituus vasemmanpuoleisen nimellisjännekseen:

Ja osat muuttavat paikkoja:

Mikä on tämän kaavan merkitys? Jos kahden vektorin pituudet ja niiden skalaarituote tunnetaan, datavektoreiden välisen kulman kosinaa voidaan laskea ja siten itse kulma.

Scalar-tuote on numero? Määrä. Vector pituus - numerot? Numerot. Joten murto-osa on myös jonkinlaista numeroa. Ja jos nurkan kosini on tunnettu: , On helppo löytää kulma itse käänteisen toiminnon avulla: .

Esimerkki 7.

Etsi vektoreiden välinen kulma ja jos tiedetään.

Päätös: Käytämme kaava:

Laskelmien lopullisessa vaiheessa käytettiin teknistä vastaanottoa - irrationaalisuuden poistaminen nimittäjältä. Irrotaalisuuden poistamiseksi olen domnoved nizer ja nimittäjä päälle.

Niin jos , sitten:

Käänteisten trigonometristen toimintojen arvot löytyvät trigonometrinen pöytä. Vaikka se tapahtuu harvoin. Analyyttisen geometrian tehtävissä eräänlainen epämääräinen karhu näyttää näyttävän paljon useammin, ja kulma-arvon on löydettävä suunnilleen laskimen käyttäminen. Itse asiassa toistetaan vielä tällaisen kuvan.

Vastaus:

Jälleen, älä unohda osoittaa ulottuvuutta - radiaaneja ja tutkintoja. Henkilökohtaisesti, aion varmasti "poistaa kaikki kysymykset", mieluummin haluaisin osoittaa molemmat (jos tietenkin edellyttäen tietysti ei ole tarpeen esittää vastausta vain radialaisissa tai vain asteina).

Nyt voit selviytyä monimutkaisemmasta tehtävästä:

Esimerkki 7 *

Danies - vektorien pituudet ja niiden välinen kulma. Etsi vektorien välinen kulma ,.

Tehtävä ei ole edes niin monimutkainen kuin moninkertainen.
Analysoimme liuosalgoritmia:

1) kunto on tarpeen löytää vektorien välinen kulma ja sinun on käytettävä kaavaa .

2) Etsi skalaarituote (katso esimerkit 3, 4).

3) Löydämme vektorin pituuden ja vektorin pituuden (ks. Esimerkit 5, 6).

4) Päätöksen päättyminen vastaa esimerkkiä numero 7 - Tiedämme numeron, ja siksi on helppo löytää kulma itse:

Lyhyt ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Oppitunnin toinen osa on omistettu samaan skalaarituotteeseen. Koordinaatit. Se on vieläkin helpompaa kuin ensimmäisessä osassa.

Vektoreiden skalarin tuote,
Kysyi koordinaatteja ortonormal perusteella

Vastaus:

Mitä sanoa, koordinaattien käsitteleminen on paljon miellyttävämpää.

Esimerkki 14.

Etsi vektoreiden skalaarituote ja jos

Tämä on esimerkki itsenäisestä ratkaisusta. Täällä voit käyttää operaation yhdistyvyyttä, eli ei lasketa, mutta välittömästi tuo kolme parasta kolmen ulkopuolella skalaarin tuotteen ulkopuolella ja päivittää sen viimeiseksi. Ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Kohdan provosoivan esimerkin päätteeksi vektorin pituuden laskemisesta:

Esimerkki 15.

Etsi pituusvektorit , jos

Päätös:edellisen osan menetelmä näkyy uudelleen: Mutta toinen tie on:

Etsi vektori:

Ja sen pituus triviaalisessa kaavassa :

Scalar-tuote ei ole täällä lainkaan.

Ei niin kuin se ei, laskettaessa vektorin pituutta:
Lopettaa. Älä käytä vektorin pituuden ilmeistä ominaisuutta? Mitä voidaan sanoa vektorin pituudesta? Tämä vektori on pidempi vektori 5 kertaa. Suunta on päinvastoin, mutta sillä ei ole roolia, koska puhua pituudesta. Ilmeisesti vektorin pituus on yhtä suuri kuin työ moduuli Vektorin pituuden numerot:
- Moduulin merkki "syö" mahdollinen miinusnumero.

Tällä tavalla:

Vastaus:

Koordinaattien asettamien vektoreiden välisen kulman kosinin kaava

Nyt meillä on täydelliset tiedot aiemmin johdettuun kosinin kaavalle vektorien välillä Ilmaista vektoreiden koordinaatit:

Kostin kulma tason vektorien välillä ja määritelty ortonormaalisella perusteella, kaava ilmaistaan:
.

Kostin kulma avaruusvektoreiden välillä määritelty ortonormaalisella perusteella kaava ilmaistaan:

Esimerkki 16.

Trianglen kolme pistettä annetaan. Etsi (kulma yläreunassa).

Päätös:Edellytyksellä piirustusta ei tarvita, mutta silti:

Haluttu kulma on merkitty vihreällä kaarella. Muista välittömästi koulun nimi nurkan: - erityistä huomiota keskellä Kirje on yläosan yläkulma, jota tarvitset. Lyhyydestä oli myös mahdollista tallentaa yksinkertaisesti.

Piirustuksesta ilmenee, että kolmiokulma vastaa vektoreiden välistä kulmaa ja toisin sanoen: .

Analyysi on edullisesti oppinut suorittamaan henkisesti.

Etsi vektorit:

Lasketaan skalaarin tuote:

Ja vektoreiden pituus:

Coseenin kulma:

Tämä menettely on tehtävä, joka suosittelee teekannuksia. Valmiemmat lukijat voivat tallentaa "yhden rivin" laskelmat:

Tässä on esimerkki "huono" kosini-arvosta. Saatu arvo ei ole lopullinen, joten ei ole erityistä järkeä päästä eroon irrationaalisuudesta nimittäjältä.

Etsi itse kulma:

Jos katsot piirustusta, tulos on varsin uskottava. Kulman tarkistaminen voidaan myös mitata ja kuljettaja. Älä vahingoita näyttöpäällystystä \u003d)

Vastaus:

Vastauksena älä unohda sitä kysyi kolmiosta kulmasta (eikä vektoreiden välisestä kulmasta), älä unohda määrittää tarkkaa vastausta: ja kulman likimääräinen arvo: löytyy laskimen avulla.

Ne, jotka ovat saaneet prosessia, voivat laskea kulmat ja varmistaa kanonisen tasa-arvon oikeutta

Esimerkki 17.

Tilaa annetaan niiden pisteiden kolmiokoordinaatit. Löytää osapuolten ja

Tämä on esimerkki itsenäisestä ratkaisusta. Täydellinen ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa

Pieni lopullinen osa on omistettu ennusteisiin, joissa skalaarituote on myös "mukana":

Vektorin projektio vektorissa. Vektorin projisointi koordinaatti-akseleissa.
Kostinohjaimet vektori

Harkitse vektoreita ja:

Sprod vektori vektorissa, tämän, ulos vektorin alkua ja päätä pois kohtelu Vektorissa (vihreät katkoviivat). Kuvittele, että valonsäteet ovat kohtisuorasti vektoriin nähden. Sitten segmentti (punainen linja) on vektorin "varjo". Tällöin vektorin vektorin ulkonema on segmentin pituus. Toisin sanoen projektio on numero.

Tämä numero on merkitty seuraavasti :, "Suuri vektori" ilmaisee vektorin Joka Projection, "pieni substraatti vektori" osoittavat vektorin Jssk joka on ennustettu.

Tietue itseään luetaan näin: "Vectorin" A "projisointi olla vektori."

Mitä tapahtuu, jos vektori on "liian lyhyt"? Suoritamme suora viiva, joka sisältää vektorin. Ja vektori "A" ennustetaan jo vektorin suuntaan "BE"Yksinkertaisesti - suora viiva, joka sisältää vektorin. Sama tapahtuu, jos vektori "A" lykätään kolminaisessa valtakunnassa - se on edelleen helppo huuraa suoralle linjalle, joka sisältää vektorin.

Jos kulma Vektoreiden välillä akuutti (kuten kuvassa), sitten

Jos vektorit ortogonaalinen, sitten (projektio on piste, joiden mitat pidetään nolla).

Jos kulma Vektoreiden välillä tyhmä(Kuviossa, henkisesti järjestä vektorin nuoli), sitten (sama pituus, mutta otettu miinusmerkillä).

Aion lykätä näitä vektoreita yhdestä pisteestä:

Ilmeisesti, kun siirrät vektoria, hänen projektio ei muutu

I. Skaalatuote vedetään nollaan siinä ja vain siinä tapauksessa, kun ainakin yksi vektoreista on nolla tai jos vektorit ovat kohtisuorassa. Itse asiassa, jos jompikumpi tai se.

Takaisin, jos muuttujat vektorit eivät ole nolla, kunto

kun se seuraa:

Koska nollavektorin suunta on epävarma, nollavektoria voidaan pitää kohtisuorassa mihin tahansa vektoriin. Siksi skalaarin tuotteen määritetty ominaisuus voidaan formuloida lyhyesti: skalaarituote vedetään nollaan siinä ja vain siinä tapauksessa, kun vektorit ovat kohtisuorassa.

II. Scalar-tuotteella on omaisuus liikkumisesta:

Tämä ominaisuus seuraa suoraan määritelmästä:

koska saman nurkkaan eri nimitykset.

III. Jakeluoikeus on erittäin tärkeä. Sen käyttö on yhtä suuri kuin tavallisessa aritmeettisessa tai algebra, jossa se on muotoiltu seuraavasti: Kerrotaan määrän, sinun täytyy moninkertaistaa jokaisen hyvin ja taittaa saadut teokset, ts ..

Ilmeisesti monivalkoisten numeroiden lisääntyminen aritmeettisissa tai polynomilla algebraissa perustuu tähän kerroinpitoon.

Tällä lakilla on sama tärkeä merkitys vektorin algebra, koska sen perusteella voimme soveltaa vektoreihin tavanomaisen monikulmiosääntöä polynomialueiden.

Todistamme, että kaikki kolme vektoria A, B, tasa-arvoa

Skalaarisen tuotteen toisen määritelmän mukaan, ilmaistaan \u200b\u200bkaava, saamme:

Hakemus 2 § 5 § 5 §: stä löydämme:

q.E.D.

IV. Scalar-tuotteen tarkkuus yhdistelmällä suhteessa numeeriseen tekijään; Tämä ominaisuus ilmaistaan \u200b\u200bseuraavasti:

ts. Vektoreiden skalaarituote numerolla, riittää kertomaan tällä numerolla yksi tekijöistä.

Tehtävät riippumattomalle ratkaisulla, johon voit nähdä vastaukset.

Jos vektoreiden tehtävä ja pituus ja niiden välinen kulma esitetään "lautanen, jossa on sininen asema", niin ongelman tila ja sen ratkaisu näyttävät tältä:

Esimerkki 1.Suuret vektorit. Etsi vektoreiden skalaarituote, jos niiden pituudet ja kulma niiden välillä esitetään seuraavassa merkityksessä:

Toinen määritelmä on määriteltävä, joka vastaa täysin määritelmää 1.

Määritelmä 2.. Vektoreiden skalar-tuote kutsutaan numeroksi (skalaari), joka on yhtä suuri kuin näiden vektorien pituus toisen vektorin projektiossa, joka on määritetty ensimmäisellä määrätyllä vektoreilla. Kaava määritelmän mukaan 2:

Tämän kaavan käyttämisen tehtävä ratkaistaan \u200b\u200bseuraavan tärkeän teoreettisen pisteen jälkeen.

Vektoreiden skalarin tuotteen määrittäminen koordinaattien kautta

Sama numero voidaan saada, jos vaihtelevat vektorit asettavat koordinaatit.

Määritelmä 3. Vektoreiden skalaarituote on numero, joka on yhtä suuri kuin niiden koordinaattien pariatekstien summa.

Pinnalla

Jos kaksi versiota ja koneessa määritellään niiden kaksi cartesian suorakulmaiset koordinaatit

näiden vektoreiden skalaarituote on yhtä suuri kuin niiden koordinaattien pareittain:

Esimerkki 2.Etsi vektorin ulkoneman numeerinen suuruus vektorin kanssa yhdensuuntaisella akselilla.

Päätös. Löydämme vektorien skaalaustuotteen, taivuttaa koordinaattien pariamo:

Nyt meidän on säädettävä vektorin pituuden vektorin aiheuttama skalaarituote vektorin ulkonemasta vektorin rinnakkain (kaavan mukaisesti).

Löydämme vektorin pituuden neliöjuurina koordinaatin neliöiden summasta:

Kääntämme yhtälön ja ratkaisemme sen:

Vastaus. Haluttu numeerinen arvo on miinus 8.

Avaruudessa

Jos kaksi versiota ja tilaa määritellään niiden kolmella kartesialaisella suorakulmaisella koordinaateilla

näiden vektoreiden skalar-tuote on myös yhtä suuri kuin koordinaattien pariliitokset, vain koordinaatit ovat jo kolme:

Tehtävä löytää skalaarituote tarkasteltuna menetelmässä - sen jälkeen, kun se on jäsentynyt skalaarin tuotteen ominaisuuksiin. Koska tehtävä on määritettävä, mikä kulma muodostaa muuttuvia vektoreita.

Vektoreiden skalarin tuotteen ominaisuudet

Algebralliset ominaisuudet

1. (siirrä omaisuus: Muuttuvien vektoreiden muutoksesta, niiden skalaarituotteen suuruus ei muutu).

2. (combulator Puhelinnumero Proport: Vektorin skalaarituote kerrotaan joidenkin kerroin ja toinen vektori, joka on yhtä suuri kuin näiden vektorien skalaarituote, kerrottuna samalla tekijällä).

3. (jakelu suhteessa vektorin omaisuuden summaan: Kolmannen vektorin kahden vektorin summan skalar tuote on yhtä suuri kuin kolmannen vektorin ensimmäisen vektorin sklarin teokset ja kolmas vektori).

4. (scalarin neliövektori on nolla), jos se on nolla-vektori, ja jos - nolla vektori.

Geometriset ominaisuudet

Yksilöllisen toiminnan määritelmissä olemme jo huolissaan kahden vektorin välisen kulman käsitteestä. On aika selventää tätä käsitettä.

Edellä olevalla kuviossa on kaksi vektoria, jotka esitetään yleiselle alussa. Ja ensimmäinen asia kiinnittää huomiota: näiden vektorien välillä on kaksi kulmaa - φ 1 ja φ 2 . Mitkä näistä kulmista näkyy vektorien skalaarin tuotteen määritelmissä ja ominaisuuksissa? Katsottujen kulmien määrä on 2 π Ja siksi näiden kulmien kosut ovat yhtä suuret. Skalaarin tuotteen määritelmä sisältää vain kulman kosinaa eikä sen ilmaisun merkitystä. Ominaisuuksissa pidetään vain yhtä kulmaa. Ja tämä on yksi kahdesta kulmasta, joka ei ylitä π eli 180 astetta. Kuvassa tämä kulma on ilmoitettu φ 1 .

1. Kaksi vektorin kutsua ortogonaalinen ja näiden vektorien välinen kulma - suora (90 astetta tai π / 2) jos näiden vektoreiden skalar tuote on nolla :

Ortodalismi vektorissa algebra on kahden vektorin kohtisuoraus.

2. Kaksi ei-nollavektoria muodostavat terävä kulma (0 - 90 astetta tai, mikä on sama - vähemmän π scalar-tuote positiivisesti .

3. Kaksi ei-nollavektoria muodostavat tylppä kulma (90-180 astetta tai että sama asia on enemmän π / 2) jos ja vain silloin, kun ne scalar-tuote negatiivinen .

Esimerkki 3. Vektorit annetaan koordinaateissa:

Laske kaikki näiden vektorien parit. Mikä kulma (terävä, suora, tyhmä) muodostavat nämä vektorin parit?

Päätös. Laske on lisättävä asianomaisten koordinaattien teokset.

Sai negatiivisen numeron, joten vektorit muodostavat typerän kulman.

Sai positiivisen numeron, joten vektorit muodostavat terävän kulman.

Vastaanotettu nolla, joten vektorit muodostavat suoran nurkan.

Sai positiivisen numeron, joten vektorit muodostavat terävän kulman.

Itsetestiä varten voit käyttää online-laskin Scalar-tuote Vektoreiden ja kosinan kulmien välillä .

Esimerkki 4. Kahden vektorin pituudet ja niiden välinen kulma annetaan:

Määritä, mitä vektorien ja ortogonaalisen (kohtisuorassa) arvon arvo.

Päätös. Siirrä vektorit polynomien moninkertaistumisen sääntöjen mukaisesti:

Nyt lasketaan jokaisen termin:

Tee yhtälö (neroksen tasa-arvo), esitämme samankaltaisia \u200b\u200bjäseniä ja ratkaista yhtälö:

Vastaus: Saimme arvon λ \u003d 1.8, jossa vektorit ovat ortogonaalisia.

Esimerkki 5.Todista, että vektori Ortogonaalinen (kohtisuora) vektori

Päätös. Jos haluat tarkistaa ortogonaalisuus, vaihtelevat vektorit ja polynomaattiset, korvaamalla sen ilmaisun sijaan, että se ilmaisee TERK-tilassa:

Tehdä tämä, jokainen ensimmäinen polynomisten toinen jäsen (termi) kertoo kuhunkin toisen ja saadut teokset taitetaan:

Tuloksena syntyy fraktio vähenee kustannuksella. Seuraava tulos saadaan:

Päätelmä: Kertomuksen, nollan vuoksi vektoreiden ortogonaalisuutta (kohtisuoraus) on osoittautunut.

Ratkaise tehtävä itsesi ja näemme sitten päätös

Esimerkki 6. Vektoreiden pituudet annetaan ja näiden vektoreiden välinen kulma on yhtä suuri π / neljä. Määritä, mitä arvoa μ Vektorit ja keskenään kohtisuora.

Itsetestiä varten voit käyttää online-laskin Scalar-tuote Vektoreiden ja kosinan kulmien välillä .

Vektorien sklarin tuotteen matriisin esitys ja N-ulotteisten vektorien tuote

Joskus voitto selkeyden vuoksi on kahden muuttujan vektorien esitys matriisien muodossa. Sitten ensimmäinen vektori on edustettuna matriisina, ja toinen - kolonnin matriisin muodossa:

Sitten vektorien skalaari tuote on näiden matriisien tuote :

Tulos on sama kuin saatu menetelmä, jota olemme jo harkitsevat. Saimme yhden yhden numeron, ja sarakkeiden matriisin matriisimerkin tuote on myös yksi yksittäinen numero.

Matrix-muodossa on kätevää edustaa abstrakteja N-ulotteisia vektoreita. Näin ollen kahden neliulotteisen vektorin tuote on matriisimerkin tuote neljällä elementillä sarakkeessa matriisissa, myös neljällä elementillä, kahden viisiulotteisen vektorin tuotteen - matriisimerkin tuotteen viisi elementtiä Pylväsmatriisi myös viisi elementtiä ja niin edelleen.

Esimerkki 7. Etsi skalaareja höyryvektoreita

matriisin esityksen käyttäminen.

Päätös. Ensimmäinen vektorin pari. Esittelemme ensimmäisen vektorin matriisimerkin muodossa ja toinen - sarakkeen matriisin muodossa. Löydämme näiden vektoreiden skalaarituote matriisimerkin tuotteena sarakkeiden matriisissa:

Samoin esitämme toisen parin ja löytää:

Kuten näemme, tulokset osoittautuivat samoiksi kuin samat parit esimerkistä 2.

Kahden vektorin välillä

Kahden vektorien kulman kosinikaavan tuotos on erittäin kaunis ja lyhyt.

Ilmaista vektoreiden skalaari

(1)

koordinaattimuodossa etsimme alustavasti ort-skalaarin tuotteen. Vektorin skalar-tuote itsessään määritelmän mukaan:

Se on tallennettu edellä olevassa kaavassa: vektorin skalaari tuote itsessään on yhtä suuri kuin sen pituus. Nollan kosini on yhtä suuri, joten kunkin ORT: n neliö on yhtä suuri kuin yksi: