Laske neliön keskiarvo. Mikä on keskihajonta - keskihajonnan avulla lasketaan keskihajonta Excelissä

Täydellisin vaihtelun ominaisuus on standardipoikkeama, jota kutsutaan standardiksi (tai standardipoikkeamaksi). Standardipoikkeama() on yhtä suuri kuin piirteen yksittäisten arvojen aritmeettisesta keskiarvosta poikkeamien keskineliön neliöjuuri:

Keskihajonta on yksinkertainen:

Painotettua keskihajontaa käytetään ryhmitellyille tiedoille:

Keskineliön ja keskihajonnan välillä normaalijakauman olosuhteissa tapahtuu seuraava suhde: ~ 1.25.

Keskihajontaa, joka on tärkein absoluuttinen variaation mitta, käytetään normaalijakaumakäyrän ordinaattien arvojen määrittämiseen, näytehavainnoinnin järjestämiseen ja näytteen ominaisuuksien tarkkuuden määrittämiseen liittyvissä laskelmissa sekä näytteen ominaisuuksien tarkkuuden määrittämisessä. piirteen vaihtelun rajat homogeenisessa populaatiossa.

Dispersio, sen tyypit, keskihajonta.

Satunnaismuuttujan varianssi- tietyn satunnaismuuttujan hajoamisen mitta, eli sen poikkeama matemaattisesta odotuksesta. Tilastoissa käytetään usein nimitystä tai. Varianssin neliöjuurta kutsutaan keskihajonnaksi, keskihajonnan tai keskihajonnaksi.

Kokonaisvarianssi (σ 2) mittaa piirteen vaihtelua aggregaatissa kaikkien tämän vaihtelun aiheuttaneiden tekijöiden vaikutuksesta. Samalla ryhmittelymenetelmän ansiosta on mahdollista eristää ja mitata ryhmittelyominaisuudesta johtuva vaihtelu sekä huomioimattomien tekijöiden vaikutuksesta syntyvä vaihtelu.

Ryhmien välinen varianssi (σ 2 mg) luonnehtii systemaattista vaihtelua, eli eroja tutkittavan ominaisuuden arvossa, jotka syntyvät ryhmittelyn taustalla olevan piirteen vaikutuksesta.

Standardipoikkeama(synonyymit: keskihajonta, keskihajonta, neliöpoikkeama; samanlaiset termit: keskihajonta, standardihajotus) - todennäköisyysteoriassa ja tilastoissa yleisin indikaattori satunnaismuuttujan arvojen hajoamisesta suhteessa sen matemaattiseen odotukseen. Rajoitetuissa arvonäytteissä käytetään matemaattisen odotuksen sijasta näytteiden perusjoukon aritmeettista keskiarvoa.

Keskihajonta mitataan itse satunnaismuuttujan mittayksiköissä ja sitä käytetään aritmeettisen keskiarvon keskivirheen laskemiseen, luottamusväliä muodostettaessa, hypoteeseja tilastollisesti testattaessa, satunnaismuuttujien välistä lineaarista suhdetta mitattaessa. Määritetään satunnaismuuttujan varianssin neliöjuureksi.

Vakiopoikkeama:

Standardipoikkeama(arvio satunnaismuuttujan keskihajonnasta x suhteessa sen matemaattiseen odotukseen, joka perustuu sen varianssin puolueettomaan arvioon):

missä on varianssi; - i näytteen osa; - otoskoko; - otoksen aritmeettinen keskiarvo:

On huomattava, että molemmat arviot ovat puolueellisia. Yleisessä tapauksessa on mahdotonta muodostaa puolueetonta arviota. Kuitenkin puolueettoman varianssin arvioon perustuva arvio on johdonmukainen.

Moodin ja mediaanin olemus, laajuus ja menetelmä.

Tilastoissa potenssilakikeskiarvojen lisäksi vaihtelevan ominaisuuden suuruuden ja jakaumasarjan sisäisen rakenteen suhteellisille ominaisuuksille käytetään rakenteellisia keskiarvoja, jotka ovat pääasiassa edustettuina. muoti ja mediaani.

Muoti- tämä on rivin yleisin muunnelma. Muotia käytetään esimerkiksi asiakkaiden keskuudessa eniten kysyttyjen vaatteiden, kenkien koon määrittämisessä. Diskreetin sarjan tila on se, jolla on suurin taajuus. Intervallivaihtelusarjan tilaa laskettaessa on ensin määritettävä modaaliväli (maksimitaajuudella) ja sitten - ominaisuuden modaaliarvon arvo kaavan mukaan:

- - muotiarvo

- - modaalivälin alaraja

- - välin arvo

- - modaalivälin taajuus

- on modaalia edeltävän intervallin taajuus

- on modaalia seuraavan intervallin taajuus

Mediaani - tämä on ominaisuuden arvo, joka on paremmuusjärjestyksen perusteena ja jakaa sarjan kahteen yhtä suureen osaan.

Jos haluat määrittää mediaanin diskreetissä sarjassa taajuuksien läsnä ollessa, laske ensin taajuuksien puolisumma ja määritä sitten, mikä muunnelman arvo osuu siihen. (Jos lajiteltu sarja sisältää parittoman määrän ominaisuuksia, mediaaniluku lasketaan kaavalla:

M e = (n (ominaisuuksien lukumäärä aggregaatissa) + 1) / 2,

jos piirteitä on parillinen, mediaani on yhtä suuri kuin rivin keskellä olevien kahden ominaisuuden keskiarvo).

Laskettaessa mediaanit intervallivaihtelusarjaa varten määritä ensin mediaaniväli, jonka sisällä mediaani sijaitsee, ja sitten mediaaniarvo käyttämällä kaavaa:

- - vaadittu mediaani

- - mediaanin sisältävän välin alaraja

- - välin arvo

- - taajuuksien summa tai sarjan jäsenten lukumäärä

Mediaania edeltävien intervallien kumuloituneiden taajuuksien summa

- - mediaanivälin taajuus

Esimerkki... Löydä muoti ja mediaani.

Ratkaisu:
Tässä esimerkissä modaaliväli on 25-30-vuotiaiden ikäryhmässä, koska tällä välillä on korkein taajuus (1054).

Lasketaan tilan suuruus:

Tämä tarkoittaa, että opiskelijoiden modaalinen ikä on 27 vuotta.

Laskemme mediaanin... Mediaaniväli on ikäryhmässä 25-30 vuotta, koska tässä välissä on muunnelma, joka jakaa populaation kahteen yhtä suureen osaan (Σf i / 2 = 3462/2 = 1731). Seuraavaksi korvaamme tarvittavat numeeriset tiedot kaavaan ja saamme mediaaniarvon:

Tämä tarkoittaa, että puolet opiskelijoista on alle 27,4-vuotiaita ja toinen yli 27,4-vuotiaita.

Moodin ja mediaanin lisäksi voidaan käyttää indikaattoreita, kuten kvartiileja, jotka jakavat rankatun sarjan 4 yhtä suureen osaan, desiilejä- 10 osaa ja prosenttipisteitä - 100 osaa kohti.

Valikoivan havainnoinnin käsite ja sen laajuus.

Valikoiva havainto sovelletaan jatkuvan valvonnan soveltamiseen fyysisesti mahdotonta suuren tietomäärän vuoksi tai taloudellisesti epäkäytännöllistä... Fyysinen mahdottomuus ilmenee esimerkiksi matkustajavirtoja, markkinahintoja, perhebudjettia tutkittaessa. Taloudellista epätarkoituksenmukaisuutta ilmenee arvioitaessa niiden tuhoamiseen liittyvien tavaroiden laatua, esimerkiksi maistelua, tiilien lujuutta jne.

Havainnointiin valitut tilastoyksiköt muodostavat otospopulaation tai otoksen ja niiden koko matriisin - yleisen populaation (HS). Tässä tapauksessa näytteen yksiköiden lukumäärä tarkoittaa n, ja koko HS - N... Asenne n/N jota kutsutaan näytteen suhteelliseksi kooksi tai osaksi.

Otoshavaintotulosten laatu riippuu otoksen edustavuudesta eli siitä, kuinka edustava se on HS:ssä. Otoksen edustavuuden varmistamiseksi on huomioitava satunnainen yksiköiden valinta, joka olettaa, että HS-yksikön sisällyttämiseen otokseen ei voi vaikuttaa millään muulla tekijällä kuin tapauksella.

Olemassa 4 tapaa valita satunnaisesti näytteeseen:

1. Itse asiassa satunnaisesti valinta tai "lottomenetelmä", kun tilastollisille määrille annetaan sarjanumerot, jotka kirjataan tiettyihin esineisiin (esimerkiksi tynnyreihin), jotka sitten sekoitetaan astiassa (esimerkiksi pussissa) ja valitaan satunnaisesti. Käytännössä tämä menetelmä suoritetaan käyttämällä satunnaislukugeneraattoria tai matemaattisia satunnaislukutaulukoita.
2. Mekaaninen valinta, jonka mukaan jokainen ( N/n) - yleisen väestön arvo. Jos se sisältää esimerkiksi 100 000 arvoa ja haluat valita 1 000, jokainen 100 000 / 1000 = 100. arvo sisällytetään otokseen. Lisäksi, jos niitä ei sijoiteta, ensimmäinen valitaan sattumanvaraisesti ensimmäisestä sadasta, ja muiden numerot ovat sata enemmän. Jos esimerkiksi yksikkö # 19 osoittautui ensimmäiseksi, seuraavan pitäisi olla # 119, sitten # 219, sitten # 319 ja niin edelleen. Jos yleisen perusjoukon yksiköt asetetaan paremmuusjärjestykseen, valitaan ensin #50, sitten #150, sitten #250 ja niin edelleen.
3. Arvojen valinta heterogeenisestä tietojoukosta suoritetaan kerrostunut(kihtitetty) tapa, kun yleinen populaatio on jaettu etukäteen homogeenisiin ryhmiin, joihin sovelletaan satunnaista tai mekaanista valintaa.
4. Erityinen näytteenottotapa on sarja valinta, jossa ei valita yksittäisiä suureita satunnaisesti tai mekaanisesti, vaan niiden sarjat (jonot jostakin numerosta johonkin peräkkäin), joiden sisällä suoritetaan jatkuvaa havainnointia.

Otoshavaintojen laatu riippuu myös näytetyyppi: toistettu tai toistamaton.

klo uudelleenvalinta Otokseen tai niiden sarjoihin käytön jälkeen päässeet tilastolliset suureet palautetaan perusjoukolle, jolla on mahdollisuus päästä uuteen otokseen. Lisäksi kaikilla yleisen perusjoukon arvoilla on sama todennäköisyys tulla mukaan otokseen.

Ei toistuva valinta tarkoittaa, että otokseen sisältyviä tilastollisia suureita tai niiden sarjoja käytön jälkeen ei palauteta yleiseen perusjoukkoon, joten jälkimmäisen jäljellä olevien määrien todennäköisyys putoaa seuraavaan otokseen kasvaa.

Toistuva näytteenotto antaa tarkempia tuloksia, joten sitä käytetään useammin. Mutta on tilanteita, jolloin sitä ei voida soveltaa (matkustajavirtojen, kulutuskysynnän tutkimus jne.) ja sitten suoritetaan uudelleenvalinta.

Havainnon marginaalinen näytteenottovirhe, keskimääräinen otantavirhe, niiden laskentajärjestys.

Tarkastellaan yksityiskohtaisesti yllä olevia otosjoukon muodostamismenetelmiä ja tässä tapauksessa ilmeneviä virheitä. edustavuus .
Itse asiassa satunnaisesti otos perustuu satunnaiseen yksiköiden valintaan yleisestä perusjoukosta ilman systemaattisia elementtejä. Teknisesti asianmukainen satunnaisvalinta suoritetaan arpomalla (esimerkiksi arpajaiset) tai satunnaislukutaulukon mukaan.

Itse asiassa satunnaisvalintaa "puhtaassa muodossaan" käytetään harvoin valikoivan havainnoinnin käytännössä, mutta se on ensimmäinen valinta muiden valinnan tyyppien joukossa, se toteuttaa valikoivan havainnoinnin perusperiaatteet. Tarkastellaanpa joitain kysymyksiä otantamenetelmän teoriasta ja yksinkertaisen satunnaisotoksen virhekaavasta.

Esimerkkihavaintovirhe on yleisen perusjoukon parametrin arvon ja sen otantahavaintojen tuloksista lasketun arvon välinen ero. Keskimääräiselle kvantitatiiviselle ominaisuudelle määritetään näytteenottovirhe

Indikaattoria kutsutaan marginaalinäytteenottovirheeksi.
Otoskeskiarvo on satunnaismuuttuja, joka voi saada erilaisia ​​arvoja riippuen siitä, mitkä yksiköt otokseen sisältyivät. Siksi näytteenottovirheet ovat myös satunnaisia ​​arvoja ja voivat saada erilaisia ​​​​arvoja. Siksi mahdollisten virheiden keskiarvo määritetään - tarkoittaa näytteenottovirhettä joka riippuu:

Otoskoko: mitä suurempi luku, sitä pienempi keskimääräisen virheen arvo;

Tutkittavan piirteen muutosaste: mitä pienempi piirteen varianssi ja siten varianssi, sitä pienempi on keskimääräinen otantavirhe.

klo satunnainen uudelleenvalinta keskimääräinen virhe lasketaan:
.
Käytännössä yleisvarianssia ei tiedetä tarkasti, mutta sisään todennäköisyysteoria todisti sen
.
Koska riittävän suuren n:n arvo on lähellä 1:tä, voimme olettaa sen. Sitten keskimääräinen näytteenottovirhe voidaan laskea:
.
Mutta jos kyseessä on pieni näyte (n<30) коэффициент необходимо учитывать, и среднюю ошибку малой выборки рассчитывать по формуле
.

klo satunnainen ei-toistuva näyte annetut kaavat korjataan arvolla. Sitten keskimääräinen ei-toistuva näytteenottovirhe on:
ja .
Koska on aina pienempi, niin kerroin () on aina pienempi kuin 1. Tämä tarkoittaa, että keskimääräinen virhe ei-toistuvassa valinnassa on aina pienempi kuin toistuvassa valinnassa.
Mekaaninen näytteenotto sitä käytetään, kun yleinen väestö on jollain tavalla järjestetty (esim. aakkosjärjestyksessä äänestäjäluettelot, puhelinnumerot, talojen, asuntojen numerot). Yksiköiden valinta suoritetaan tietyllä aikavälillä, joka on yhtä suuri kuin näytteen prosenttiosuuden käänteisluku. Joten 2 %:n otoksesta jokainen 50 yksikköä = 1 / 0,02 valitaan ja 5 % kukin 1 / 0,05 = 20 yksikköä yleisestä populaatiosta.

Vertailupiste valitaan eri tavoin: satunnaisesti, intervallin keskeltä, vertailupisteen muutoksella. Tärkeintä tässä on välttää systemaattisia virheitä. Esimerkiksi 5 % näytteellä, jos ensimmäinen yksikkö on 13, sitten seuraava 33, 53, 73 jne.

Tarkkuuden kannalta mekaaninen valinta on lähellä itse satunnaisotosta. Siksi mekaanisen näytteenoton keskimääräisen virheen määrittämiseksi käytetään oikean satunnaisvalinnan kaavoja.

klo tyypillinen valinta tutkittu väestö on jaettu alustavasti homogeenisiin samantyyppisiin ryhmiin. Esimerkiksi yrityksiä kartoittaessa ne voivat olla toimialoja, alasektoreita, väestöä tutkittaessa alueita, yhteiskunta- tai ikäryhmiä. Sitten jokaisesta ryhmästä tehdään itsenäinen valinta joko mekaanisesti tai puhtaasti satunnaisesti.

Tyypillinen näytteenotto antaa tarkempia tuloksia kuin muut menetelmät. Yleisen perusjoukon tyypistäminen varmistaa, että jokainen typologinen ryhmä on edustettuna otoksessa, jolloin voidaan sulkea pois ryhmien välisen varianssin vaikutus keskimääräiseen otantavirheeseen. Näin ollen, kun tyypillisen otoksen virhettä löydetään varianssien yhteenlaskusäännön () mukaan, on otettava huomioon vain ryhmän varianssien keskiarvo. Sitten keskimääräinen näytteenottovirhe:
uudelleen valinnassa
,
ilman uudelleenvalintaa
,
missä on otoksen ryhmän sisäisten varianssien keskiarvo.

Sarja (tai sisäkkäinen) valinta sovelletaan silloin, kun perusjoukko jaetaan sarjoihin tai ryhmiin ennen otantatutkimuksen alkamista. Nämä sarjat voivat olla valmiiden tuotteiden pakkaamista, opiskelijaryhmiä, prikaateja. Tutkimussarjat valitaan mekaanisesti tai puhtaasti satunnaisesti, ja sarjan sisällä tehdään jatkuvaa yksiköiden kartoitusta. Siksi keskimääräinen otantavirhe riippuu vain ryhmien välisestä (sarjojen välisestä) varianssista, joka lasketaan kaavalla:

missä r on valittujen sarjojen lukumäärä;
- i:nnen sarjan keskiarvo.

Keskimääräinen sarjanäytteenottovirhe lasketaan:

uudelleen valittaessa:
,
ei-toistuvalla valinnalla:
,
jossa R on sarjan kokonaismäärä.

Yhdistetty valinta on yhdistelmä harkittuja valintamenetelmiä.

Minkä tahansa valintamenetelmän keskimääräinen otantavirhe riippuu pääasiassa otoksen absoluuttisesta koosta ja vähemmässä määrin otoksen prosenttiosuudesta. Oletetaan, että ensimmäisessä tapauksessa tehdään 225 havaintoa 4500 yksikön yleisestä populaatiosta ja toisessa 225000 yksiköstä. Varianssit molemmissa tapauksissa ovat 25. Tällöin ensimmäisessä tapauksessa 5 %:n otannolla otantavirhe on:

Toisessa tapauksessa 0,1 % valinnalla se on yhtä suuri:

Täten, kun näytteen prosenttiosuus pieneni 50 kertaa, näytteenottovirhe kasvoi merkityksettömästi, koska otoksen koko ei muuttunut.
Oletetaan, että otoskoko kasvaa 625 havaintoon. Tässä tapauksessa näytteenottovirhe on:

Otoksen lisäys kertoimella 2,8, kun yleinen populaatio on sama, otosvirheen koko pienenee yli 1,6-kertaiseksi.

Otoksen muodostamismenetelmät ja -tavat.

Tilastoissa käytetään erilaisia ​​otosjoukkojen muodostamismenetelmiä, jotka määräytyvät tutkimuksen tavoitteiden mukaan ja riippuvat tutkimuskohteen erityispiirteistä.

Otostutkimuksen suorittamisen pääehtona on estää järjestelmällisten virheiden syntyminen tasa-arvoperiaatteen loukkaamisesta otokseen valitun perusjoukon jokaisen yksikön osalta. Systemaattisten virheiden ehkäisy saavutetaan käyttämällä tieteellisesti perusteltuja otospopulaation muodostamismenetelmiä.

Voit valita yksiköt yleisestä populaatiosta seuraavilla tavoilla:

1) yksilöllinen valinta - yksittäiset yksiköt valitaan otoksesta;

2) ryhmävalinta - otokseen kuuluvat laadullisesti homogeeniset ryhmät tai tutkittavien yksiköiden sarjat;

3) yhdistetty valinta on yhdistelmä yksilö- ja ryhmävalintaa.
Valintamenetelmät määräytyvät otantapopulaation muodostamissääntöjen mukaan.

Näyte voi olla:

• oikea vahingossa koostuu siitä, että otospopulaatio muodostuu yksittäisten yksiköiden satunnaisen (tahaton) valinnan tuloksena yleisestä perusjoukosta. Tällöin otospopulaatioon valittujen yksiköiden lukumäärä määräytyy yleensä otoksen hyväksytyn osuuden perusteella. Otoksen osuus on otoksen n yksiköiden lukumäärän suhde yleisen populaation N yksiköiden lukumäärään, ts.

• mekaaninen koostuu siitä, että otospopulaation yksiköiden valinta tehdään yleisjoukosta, joka on jaettu yhtä suuriin aikaväleihin (ryhmiin). Lisäksi välin koko yleisessä populaatiossa on yhtä suuri kuin otoksen osuuden käänteisluku. Joten 2 % näytteellä valitaan joka 50. yksikkö (1: 0.02), 5 % näytteellä joka 20. yksikkö (1: 0.05) jne. Näin ollen yleisväestö on jaettu valinnan hyväksytyn osuuden mukaisesti mekaanisesti samankokoisiin ryhmiin. Jokaisesta ryhmästä valitaan vain yksi yksikkö.
• tyypillinen - jossa yleinen väestö jaetaan ensin homogeenisiin tyypillisiin ryhmiin. Sitten kustakin tyypillisestä ryhmästä tehdään oikealla satunnaisotannalla tai mekaanisella otannalla yksilöllinen yksikkövalinta otospopulaatioon. Tyypillisen näytteen tärkeä piirre on, että se antaa tarkempia tuloksia verrattuna muihin näytteen yksiköiden valintamenetelmiin;
• sarja- jossa yleinen väestö on jaettu samankokoisiin ryhmiin - sarja. Sarjat valitaan näytteeseen. Sarjan sisällä tehdään jatkuvaa sarjaan kuuluvien yksiköiden tarkkailua;
• yhdistetty- näyte voi olla kaksivaiheinen. Tässä tapauksessa yleinen väestö jaetaan ensin ryhmiin. Sitten valitaan ryhmät ja jälkimmäisen sisällä yksittäiset yksiköt.

Tilastoissa erotetaan seuraavat menetelmät yksiköiden valitsemiseksi otospopulaatiosta:

• yksi vaihe otanta - jokainen valittu yksikkö tutkitaan välittömästi tietyn kriteerin mukaisesti (oikea satunnainen ja sarjaotos);
• monivaiheinen näytteenotto - valinta tehdään yksittäisten ryhmien yleisestä populaatiosta ja yksittäiset yksiköt valitaan ryhmistä (tyypillinen otanta mekaanisella menetelmällä valita yksiköitä otospopulaatiosta).

Lisäksi erotetaan:

• uudelleenvalinta- palautetun pallon mukaan. Lisäksi jokainen otokseen päässyt yksikkö tai sarja palaa yleiseen perusjoukkoon ja siksi sillä on mahdollisuus päästä uudelleen otokseen;
• ei-toistuva valinta- palauttamattoman pallon kaavion mukaan. Sillä on tarkempia tuloksia samalla otoskoolla.

Tarvittavan otoskoon määrittäminen (Studioijan taulukon avulla).

Yksi näytteenottoteorian tieteellisistä periaatteista on varmistaa riittävä määrä näyteyksiköitä. Teoreettisesti tämän periaatteen noudattamisen tarve esitetään todennäköisyysteorian rajalauseiden todisteissa, jotka mahdollistavat sen selvittämisen, mikä määrä yksiköitä tulisi valita yleisestä perusjoukosta, jotta se olisi riittävä ja varmistettu otoksen edustavuus.

Otoksen keskivirheen pieneneminen ja sitä kautta arvion tarkkuuden lisääntyminen liittyy aina otoskoon kasvuun, joten jo otoshavainnon järjestämisvaiheessa on päätettävä kysymys siitä, mikä otospopulaation koko tulisi olla, jotta havainnointitulosten tarkkuus voidaan varmistaa. Tarvittavan otoskoon laskenta rakennetaan kaavoilla, jotka on johdettu otosmarginaalivirheiden (A) kaavoista, jotka vastaavat tiettyä tyyppiä ja valintatapaa. Joten satunnaiselle toistuvalle otoskoolle (n) meillä on:

Tämän kaavan ydin on, että satunnaisella toistuvalla valinnalla vaaditun koon otoskoko on suoraan verrannollinen luottamuskertoimen neliöön (t2) ja variaatiopiirteen varianssi (A 2) ja on kääntäen verrannollinen marginaalinäytteenottovirheen neliöön (A 2). Erityisesti marginaalivirheen kaksinkertaistamisella vaadittua otoskokoa voidaan pienentää kertoimella neljä. Kolmesta parametrista kaksi (t ja?) on tutkijan asettamia.

Tässä tapauksessa tutkija etenee otantatutkimuksen tavoitteiden kannalta sen pitäisi ratkaista kysymys: missä kvantitatiivisessa yhdistelmässä nämä parametrit on parempi sisällyttää optimaalisen vaihtoehdon varmistamiseksi? Yhdessä tapauksessa hän voi olla tyytyväisempi saatujen tulosten luotettavuuteen (t) kuin tarkkuuden mittaan (?), toisessa - päinvastoin. Otosrajavirheen arvoa koskevaa ongelmaa on vaikeampi ratkaista, koska tutkijalla ei ole tätä indikaattoria näytteiden havainnoinnin suunnitteluvaiheessa, joten käytännössä on tapana asettaa otosmarginaalivirhe sääntö, jopa 10 %:n sisällä ominaisuuden odotetusta keskimääräisestä tasosta. Oletuskeskiarvon muodostamista voidaan lähestyä eri tavoin: käyttämällä vastaavien aikaisempien tutkimusten tietoja tai käyttämällä otantakehyksen tietoja ja tekemällä pieni koeotos.

Otoshavaintoa suunniteltaessa on vaikeinta määrittää kaavassa (5.2) kolmas parametri - otosjoukon varianssi. Tässä tapauksessa on hyödynnettävä kaikkea tutkijan saatavilla olevaa tietoa, joka on saatu aikaisemmissa vastaavissa ja pilottitutkimuksissa.

Määrittelykysymys vaadittu otoskoko on monimutkainen, jos otantatutkimuksessa tutkitaan useita otantayksiköiden ominaisuuksia. Tässä tapauksessa kunkin merkin keskimääräiset tasot ja niiden vaihtelut ovat pääsääntöisesti erilaisia, ja siksi on mahdollista ratkaista kysymys siitä, mitä merkkejä suositaan, vain ottaen huomioon tutkimuksen tarkoitus ja tavoitteet.

Otoshavaintoa suunniteltaessa oletetaan ennalta määrätty arvo sallitun otantavirheen tietyn tutkimuksen tehtävien ja havainnon tulosten perusteella tehtyjen johtopäätösten todennäköisyyden mukaisesti.

Yleisesti ottaen otoskeskiarvon rajavirheen kaava mahdollistaa:

Yleisen perusjoukon indikaattoreiden mahdollisten poikkeamien määrä otosjoukon indikaattoreista;

Vaadittu näytteen koko, joka tarjoaa vaaditun tarkkuuden, jossa mahdollisen virheen rajat eivät ylitä tiettyä määritettyä arvoa;

Todennäköisyys, että näytteen virheellä on tietty raja.

Opiskelijan t jakauma todennäköisyysteoriassa se on yhden parametrin perhe ehdottoman jatkuvia jakaumia.

Dynamiikkasarja (intervalli, momentti), dynamiikkarivien sulkeminen.

Dynaamiset rivit- nämä ovat tilastollisten indikaattoreiden arvoja, jotka esitetään tietyssä kronologisessa järjestyksessä.

Jokainen aikasarja sisältää kaksi komponenttia:

1) ajanjaksojen indikaattorit (vuodet, neljännekset, kuukaudet, päivät tai päivämäärät);

2) tutkittavaa kohdetta kuvaavat indikaattorit ajanjaksoille tai vastaaville päivämäärille, joita kutsutaan sarjan tasoiksi.

Sarjan tasot ilmaistaan sekä absoluuttiset että keskimääräiset tai suhteelliset arvot. Indikaattorien luonteesta riippuen rakennetaan dynaamisia absoluuttisten, suhteellisten ja keskiarvojen sarjoja. Suhteellisten ja keskiarvojen dynamiikkasarjat rakennetaan johdettujen absoluuttisten arvojen sarjojen perusteella. Erota dynamiikan intervalli- ja momenttisarjat.

Dynaaminen intervallisarja sisältää indikaattorien arvot tietyille ajanjaksoille. Intervallisarjassa tasot voidaan laskea yhteen, jolloin saadaan ilmiön volyymi pidemmältä ajanjaksolta tai ns. kumuloituneet summat.

Dynaaminen vääntömomenttisarja heijastaa indikaattoreiden arvoja tietyllä hetkellä (ajankohdan päivämäärä). Hetkisarjoissa tutkija voi olla kiinnostunut vain ilmiöiden erosta, joka heijastaa sarjan tason muutosta tiettyjen päivämäärien välillä, koska tasojen summalla ei tässä ole todellista sisältöä. Kertynyttä summaa ei lasketa tässä.

Tärkein edellytys aikasarjojen oikealle muodostamiselle on eri ajanjaksoihin kuuluvien sarjojen tasojen vertailukelpoisuus. Tasot tulee esittää homogeenisina määrinä ja ilmiön eri osien tulee olla yhtä kattavat.

Vastaanottaja todellisen dynamiikan vääristymisen välttämiseksi tilastotutkimuksessa tehdään alustavia laskelmia (dynamiikkasarjan sulkeminen), jotka edeltävät aikasarjan tilastollista analyysiä. Dynamiikkasarjan sulkeminen ymmärretään kahden tai useamman sarjan yhdistämisenä yhteen riviin, joiden tasot lasketaan eri metodologian mukaan tai eivät vastaa aluerajoja jne. Dynamiikkasarjan konvergenssi voi tarkoittaa myös dynamiikkasarjan absoluuttisten tasojen saattamista yhteiselle perustalle, mikä eliminoi dynamiikkasarjan tasojen vertailukelpoisuuden.

Dynaamisten, kertoimien, kasvun ja kasvuvauhtien sarjan vertailukelpoisuuden käsite.

Dynaamiset rivit- joukko tilastollisia indikaattoreita, jotka kuvaavat luonnon- ja yhteiskunnallisten ilmiöiden kehitystä ajassa. Venäjän Goskomstatin julkaisemat tilastokokoelmat sisältävät suuren määrän dynamiikkasarjoja taulukkomuodossa. Dynamiikkasarja mahdollistaa tutkittavien ilmiöiden kehitysmallien paljastamisen.

Dynamiikkasarja sisältää kahden tyyppisiä indikaattoreita. Aika-indikaattorit(vuodet, neljännekset, kuukaudet jne.) tai ajankohtia (vuoden alussa, kunkin kuukauden alussa jne.). Rivitason ilmaisimet... Dynamiikkasarjan tasojen indikaattorit voidaan ilmaista absoluuttisina arvoina (tuotteen tuotanto tonneissa tai ruplissa), suhteellisilla arvoilla (kaupunkiväestön osuus prosentteina) ja keskiarvoina (keskiarvo alan työntekijöiden palkat vuosien mukaan jne.). Taulukkomuodossa dynaaminen rivi sisältää kaksi saraketta tai kaksi riviä.

Dynamiikkasarjan oikea rakentaminen edellyttää useiden vaatimusten täyttymistä:

1. kaikkien usean dynamiikan indikaattoreiden on oltava tieteellisesti perusteltuja, luotettavia;
2. usean dynamiikan indikaattoreiden tulee olla vertailukelpoisia ajallisesti, ts. on laskettava samoille ajanjaksoille tai samoille päivämäärille;
3. useiden dynamiikkojen indikaattoreiden olisi oltava vertailukelpoisia koko alueella;
4. usean dynamiikan indikaattoreiden tulee olla sisällöltään vertailukelpoisia, ts. lasketaan yhtenäisen menetelmän mukaisesti samalla tavalla;
5. useiden dynamiikojen indikaattoreiden tulisi olla vertailukelpoisia eri tiloilla. Kaikki usean dynamiikan indikaattorit tulee antaa samoissa mittayksiköissä.

Tilastolliset indikaattorit voi karakterisoida joko tutkittavan prosessin tuloksia tietyn ajanjakson aikana tai tutkittavan ilmiön tilaa tietyllä hetkellä, ts. indikaattorit voivat olla intervalli (jaksollinen) ja hetkellinen. Vastaavasti dynamiikan alkusarja voi olla joko intervalli tai hetkellinen. Dynaamiikan hetkellinen sarja voi puolestaan ​​olla yhtäläisin ja epätasaisin aikavälein.

Alkuperäinen dynamiikkasarja voidaan muuntaa keskiarvojen sarjaksi ja suhteellisten arvojen sarjaksi (ketju ja perus). Tällaisia ​​dynamiikan sarjoja kutsutaan johdetuiksi dynamiikan sarjoiksi.

Dynamiikkasarjan keskimääräisen tason laskentamenetelmä on erilainen dynamiikkasarjan tyypistä johtuen. Esimerkkien avulla tarkastelemme dynamiikan sarjatyyppejä ja kaavoja keskimääräisen tason laskemiseksi.

Absoluuttiset voitot (Δy) osoittavat kuinka monta yksikköä sarjan seuraava taso on muuttunut verrattuna edelliseen (sarake 3. - absoluuttiset ketjun lisäykset) tai verrattuna alkutasoon (sarake 4. - perusabsoluuttiset lisäykset). Laskentakaavat voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Sarjan absoluuttisten arvojen pienentyessä tapahtuu vastaavasti "lasku", "lasku".

Absoluuttisen kasvun indeksit osoittavat, että esimerkiksi vuonna 1998 tuotteen "A" tuotanto kasvoi 4 tuhatta tonnia vuoteen 1997 verrattuna ja 34 tuhatta tonnia vuoteen 1994 verrattuna; loput vuodet katso taulukko. 11,5 g 3 ja 4.

Kasvuvauhti näyttää kuinka monta kertaa sarjan taso on muuttunut verrattuna edelliseen (sarake 5 - ketjun kasvu- tai laskukertoimet) tai verrattuna alkutasoon (sarake 6 - peruskasvu- tai laskukertoimet). Laskentakaavat voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Kasvunopeudet näyttää kuinka monta prosenttia on sarjan seuraava taso verrattuna edelliseen (sarake 7 - ketjun kasvuluvut) tai verrattuna alkutasoon (sarake 8 - peruskasvuluvut). Laskentakaavat voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Joten esimerkiksi vuonna 1997 tuotteen "A" tuotantomäärä vuoteen 1996 verrattuna oli 105,5 % (

Kasvuvauhti näyttää kuinka monta prosenttia raportointikauden taso on noussut verrattuna edelliseen (sarake 9 - ketjun kasvuluvut) tai verrattuna alkuperäiseen tasoon (sarake 10 - peruskasvuluvut). Laskentakaavat voidaan kirjoittaa seuraavasti:

T pr = T p - 100 % tai T pr = absoluuttinen nousu / edellisen jakson taso * 100 %

Joten esimerkiksi vuonna 1996, verrattuna vuoteen 1995, tuotetta "A" tuotettiin 3,8 % (103,8 % - 100 %) tai (8: 210) x100 % ja verrattuna vuoteen 1994 - 9 % (109 % - 100 %).

Jos absoluuttiset tasot peräkkäin laskevat, nopeus on alle 100% ja vastaavasti laskunopeus (kasvunopeus miinusmerkillä).

1 %:n lisäyksen absoluuttinen arvo(sarake 11) näyttää, kuinka monta yksikköä on tuotettava tietyllä ajanjaksolla, jotta edellisen jakson taso nousisi 1 %. Esimerkissämme vuonna 1995 oli tarpeen tuottaa 2,0 tuhatta tonnia ja vuonna 1998 - 2,3 tuhatta tonnia, ts. paljon suurempi.

On kaksi tapaa määrittää 1 %:n lisäyksen itseisarvon suuruus:

Jaa edellisen jakson taso 100:lla;

Jaa ketjun absoluuttiset lisäykset vastaavilla ketjun kasvunopeuksilla.

1 %:n vahvistuksen absoluuttinen arvo =

Dynamiikassa, varsinkin pitkällä aikavälillä, kasvunopeuksien yhteinen analyysi kunkin kasvu- tai laskuprosentin sisällön kanssa on tärkeää.

Huomaa, että harkittu menetelmä dynamiikan sarjan analysoimiseksi soveltuu sekä dynamiikkasarjoille, joiden tasot ilmaistaan ​​absoluuttisina arvoina (t, tuhat ruplaa, työntekijöiden määrä jne.), että sarjalle. dynamiikasta, jonka tasot ilmaistaan ​​suhteellisilla indikaattoreilla (romuprosentti, hiilen tuhkapitoisuus jne.) tai keskiarvoilla (keskimääräinen tuotto sentteinä / ha, keskipalkat jne.).

Tarkasteltavien, kullekin vuodelle edelliseen tai alkutasoon verrattuna laskettujen analyyttisten indikaattoreiden ohella dynamiikkasarjaa analysoitaessa on tarpeen laskea ajanjakson keskimääräiset analyyttiset indikaattorit: sarjan keskimääräinen taso, vuosittainen keskiarvo. absoluuttinen kasvu (lasku) ja keskimääräinen vuotuinen kasvuvauhti ja kasvuvauhti.

Menetelmiä dynamiikkasarjan keskimääräisen tason laskemiseksi käsiteltiin edellä. Tarkastelemassamme dynamiikan intervallisarjassa sarjan keskimääräinen taso lasketaan käyttämällä yksinkertaista aritmeettista keskiarvokaavaa:

Tuotteen keskimääräinen vuosituotanto vuosina 1994-1998 oli 218,4 tuhatta tonnia.

Keskimääräinen vuotuinen absoluuttinen kasvu lasketaan myös käyttämällä yksinkertaista aritmeettista keskiarvokaavaa:

Vuotuiset absoluuttiset lisäykset vaihtelivat vuosien aikana 4-12 tuhannesta tonnista (katso sarake 3) ja keskimääräinen vuotuinen tuotannon lisäys vuosina 1995-1998. oli 8,5 tuhatta tonnia.

Keskimääräisen kasvunopeuden ja keskimääräisen kasvunopeuden laskentamenetelmät vaativat tarkempaa tarkastelua. Tarkastellaanpa niitä esimerkin avulla taulukossa esitetyistä sarjatason vuosiindikaattoreista.

Useiden dynamiikan keskimääräinen taso.

Dynamiikkasarja (tai aikasarja) ovat tietyn tilaston numeerisia arvoja peräkkäisinä hetkinä tai ajanjaksoina (eli järjestettynä kronologiseen järjestykseen).

Kutsutaan yhden tai toisen tilastollisen indikaattorin numeerisia arvoja, jotka muodostavat sarjan dynamiikkaa tasot ja yleensä merkitään kirjaimella y... Sarjan ensimmäinen jäsen v 1 kutsutaan alkutai perusviiva ja viimeinen y n - viimeinen... Hetket tai ajanjaksot, joihin tasot viittaavat, on merkitty läpi t.

Dynamiikkasarjat esitetään pääsääntöisesti taulukon tai kaavion muodossa ja aikaasteikko piirretään pitkin abskissa-akselia t, ja ordinaatalla - sarjan tasojen asteikko y.

Keskimääräiset indikaattorit useista dynamiikasta

Jokaista dynamiikan riviä voidaan pitää eräänlaisena aggregaattina n ajallisesti vaihtelevia indikaattoreita, jotka voidaan tiivistää keskiarvoiksi. Tällaiset yleiset (keskimääräiset) indikaattorit ovat erityisen tarpeellisia verrattaessa tietyn indikaattorin muutoksia eri ajanjaksoina, eri maissa jne.

Monen dynamiikan yleinen ominaisuus voi olla ensisijaisesti rivin keskitaso... Keskitason laskentatapa riippuu siitä, onko kyseessä momenttisarja vai intervallisarja.

Kun intervalli sarjasta sen keskitaso määräytyy sarjan tasojen yksinkertaisen aritmeettisen keskiarvon kaavalla, ts.

=
Jos on hetki rivi, joka sisältää n tasot ( y1, y2,…, yn) tasaisin väliajoin päivämäärien (ajanpisteiden) välillä, niin tällainen sarja voidaan helposti muuntaa sarjaksi keskiarvoja. Tällöin kunkin jakson alun indikaattori (taso) on samanaikaisesti edellisen jakson lopun tunnusluku. Sitten indikaattorin keskiarvo kullekin jaksolle (päivien välinen aika) voidaan laskea arvojen puolikkaana summana klo kauden alussa ja lopussa, ts. Miten . Tällaisten keskiarvojen määrä on. Kuten aiemmin mainittiin, keskiarvosarjojen keskitaso lasketaan aritmeettisesta keskiarvosta.

Siksi voimme kirjoittaa:
.
Osoittajan muuntamisen jälkeen saamme:
,

missä Y1 ja Yn- rivin ensimmäinen ja viimeinen taso; Yi- keskitasot.

Tämä keskiarvo tunnetaan tilastoissa nimellä keskimääräinen kronologinen hetken sarja. Se sai tämän nimen sanasta "cronos" (aika, lat.), koska se on laskettu indikaattoreista, jotka muuttuvat ajan myötä.

Epätasaisen tapauksessa päivämäärien välisistä aikaväleistä, hetkisarjan kronologinen keskiarvo voidaan laskea kunkin hetkeparin tasojen keskiarvojen aritmeettisena keskiarvona painotettuna päivämäärien välisellä etäisyydellä (aikaväleillä), ts.
.
Tässä tapauksessa oletetaan, että päivämäärien välisinä aikaväleinä tasot saivat eri arvoja, ja olemme kahdesta tunnetusta ( yi ja yi + 1) määritämme keskiarvot, joista sitten laskemme kokonaiskeskiarvon koko analysoitulle ajanjaksolle.
Jos oletetaan, että jokainen arvo yi pysyy ennallaan seuraavaan asti (i + 1)- hetki, ts. tasojen muutoksen tarkka päivämäärä tiedetään, niin laskenta voidaan suorittaa aritmeettisen painotetun keskiarvon kaavan mukaan:
,

missä on aika, jonka taso pysyi muuttumattomana.

Dynamiikkasarjan keskimääräisen tason lisäksi lasketaan muita keskimääräisiä indikaattoreita - sarjan tasojen keskimääräinen muutos (perus- ja ketjumenetelmillä), keskimääräinen muutosnopeus.

Perustaso tarkoittaa absoluuttista muutosta on viimeisen absoluuttisen perusmuutoksen osamäärä jaettuna muutosten määrällä. Tuo on

Ketju tarkoittaa absoluuttista muutosta sarjan tasot on osamäärä, jossa kaikkien ketjun absoluuttisten muutosten summa jaetaan muutosten määrällä, eli

Keskimääräisten absoluuttisten muutosten merkkiä käytetään myös arvioimaan ilmiön muutoksen luonnetta keskimäärin: kasvua, laskua vai vakautta.

Perus- ja ketjuabsoluuttisten muutosten hallintasäännöstä seuraa, että perus- ja ketjukeskiarvomuutoksen tulee olla yhtä suuri.

Keskimääräisen absoluuttisen muutoksen ohella myös suhteellinen keskiarvo lasketaan perus- ja ketjumenetelmillä.

Perustason keskimääräinen suhteellinen muutos määräytyy kaavalla:

Ketju tarkoittaa suhteellista muutosta määräytyy kaavalla:

Luonnollisesti lähtötilanteen ja ketjukeskiarvojen suhteellisten muutosten tulee olla samat ja vertaamalla niitä kriteerin arvoon 1, tehdään johtopäätös ilmiön muutoksen luonteesta keskimäärin: kasvu, lasku vai vakaus.
Vähentämällä 1 suhteellisen muutoksen perusviivasta tai ketjun keskiarvosta, saadaan vastaava keskimääräinen muutosnopeus, jonka merkillä voidaan myös arvioida tutkitun ilmiön muutoksen luonnetta, joka heijastuu annetun dynamiikkasarjan avulla.

Kausivaihtelut ja kausivaihteluindeksit.

Kausivaihtelut ovat tasaisia ​​vuotuisia vaihteluita.

Suurimman vaikutuksen saavuttamisen pääperiaate on maksimoida tulot ja minimoida kustannukset. Kausivaihteluita tutkimalla ratkaistaan ​​maksimiyhtälön ongelma vuoden jokaisella tasolla.

Kausivaihteluita tutkittaessa ratkaistaan ​​kaksi toisiinsa liittyvää tehtävää:

1. Ilmiön kehityksen erityispiirteiden paljastaminen vuoden sisäisessä dynamiikassa;

2. Kausivaihteluiden mittaaminen kausiaaltomallin rakentamisen avulla;

Kausivaihteluiden mittaamiseksi kalkkunat otetaan yleensä huomioon kausivaihteluiden mukaan. Yleensä ne määräytyvät useiden dynamiikan alkuyhtälöiden suhteella teoreettisiin yhtälöihin, jotka toimivat vertailun perustana.

Koska satunnaiset poikkeamat asettuvat kausivaihteluille, kausivaihteluiden eliminoimiseksi lasketaan keskiarvo.

Tässä tapauksessa jokaiselle vuosisyklin jaksolle määritetään yleiset indikaattorit keskimääräisten kausi-indeksien muodossa:

Kausivaihteluiden keskimääräiset indeksit ovat vapaita pääkehitystrendin satunnaisten poikkeamien vaikutuksesta.

Trendin luonteesta riippuen keskimääräisen kausivaihteluindeksin kaava voi olla seuraavanlainen:

1.Vuosittaisen dynamiikan sarjalle, jolla on selvä pääkehitystrendi:

2. Vuosittaisen dynamiikan sarjalle, jossa ei ole nousevaa tai laskevaa suuntausta tai se on merkityksetön:

Missä on yleinen keskiarvo?

Päätrendin analysointimenetelmät.

Ilmiöiden ajalliseen kehittymiseen vaikuttavat erilaiset luonteeltaan ja vahvuudeltaan erilaiset tekijät. Jotkut niistä ovat luonteeltaan satunnaisia, toisilla on lähes jatkuva vaikutus ja ne muodostavat tietyn kehityssuunnan dynamiikan riveissä.

Tilastojen tärkeä tehtävä on tunnistaa sarjan trendin dynamiikka, joka on vapautettu erilaisten satunnaisten tekijöiden vaikutuksesta. Tätä tarkoitusta varten dynamiikkasarjat käsitellään menetelmillä, joilla vahvistetaan intervallit, liukuva keskiarvo ja analyyttinen kohdistus jne.

Intervallikarkeusmenetelmä perustuu niiden aikajaksojen laajentumiseen, joihin useiden dynamiikan tasot kuuluvat, ts. on pieniin ajanjaksoihin liittyvien tietojen korvaaminen suurempien ajanjaksojen tiedoilla. Se on erityisen tehokas, kun sarjan alkutasot ovat lyhytaikaisia. Esimerkiksi päivittäisiin tapahtumiin liittyvät indikaattoririvit korvataan viikoittain, kuukausittain jne. liittyvillä riveillä. Näin voit näyttää selkeämmin "Ilmiön kehitysakseli"... Laajennetuilta aikaväleiltä laskettu keskiarvo mahdollistaa pääkehitystrendin suunnan ja luonteen (kasvun kiihtymisen tai hidastumisen) tunnistamisen.

Liukuvan keskiarvon menetelmä on samanlainen kuin edellinen, mutta tässä tapauksessa todelliset tasot korvataan keskimääräisillä tasoilla, jotka on laskettu peräkkäin liikkuville (liukuville) laajennetuille intervalleille, jotka kattavat m sarjan tasot.

Esimerkiksi jos hyväksyt m = 3, sitten ensin lasketaan sarjan kolmen ensimmäisen tason keskiarvo, sitten samasta määrästä tasoja, mutta alkaen toisesta peräkkäin, sitten alkaen kolmannesta jne. Siten keskiarvo ikään kuin "liukuu" pitkin useita dynamiikkaa, liikkuen yhden jakson verran. Laskettu m termit liukuvat keskiarvot viittaavat kunkin intervallin keskikohtaan (keskikohtaan).

Tämä menetelmä eliminoi vain satunnaiset vaihtelut. Jos sarjassa on kausiaalto, niin se pysyy liukuvalla keskiarvomenetelmällä tasoituksen jälkeen.

Analyyttinen kohdistus. Satunnaisten vaihteluiden eliminoimiseksi ja trendin tunnistamiseksi sarjatasoja kohdistetaan analyyttisten kaavojen avulla (tai analyyttistä kohdistusta). Sen ydin on empiiristen (todellisten) tasojen korvaaminen teoreettisilla tasoilla, jotka lasketaan tietyn yhtälön mukaan, joka on otettu matemaattiseksi trendimalliksi, jossa teoreettisia tasoja tarkastellaan ajan funktiona:. Tässä tapauksessa kutakin todellista tasoa pidetään kahden komponentin summana:, missä on systemaattinen komponentti ja ilmaistaan ​​tietyllä yhtälöllä, ja se on satunnaismuuttuja, joka aiheuttaa vaihteluja trendin ympärillä.

Analyyttinen kohdistustehtävä tiivistyy seuraavaan:

1. Sellaisen hypoteettisen funktion tyypin määrittäminen todellisten tietojen perusteella, joka voi parhaiten kuvastaa tutkittavan indikaattorin kehityssuuntausta.

2. Määritetyn funktion (yhtälön) parametrien löytäminen empiirisesta tiedosta

3. Laskenta löydetyn teoreettisten (kohdistettujen) tasojen yhtälön mukaan.

Tietyn toiminnon valinta tapahtuu pääsääntöisesti empiirisen tiedon graafisen esityksen perusteella.

Malleina käytetään regressioyhtälöitä, joiden parametrit lasketaan pienimmän neliösumman menetelmällä

Alla on yleisimmin käytetyt aikasarjojen tasoittamiseen käytetyt regressioyhtälöt, jotka osoittavat, mitkä kehityssuunnat soveltuvat heijastamiseen.

Yllä olevien yhtälöiden parametrien löytämiseksi on olemassa erityisiä algoritmeja ja tietokoneohjelmia. Erityisesti suoran yhtälön parametrien löytämiseksi voidaan käyttää seuraavaa algoritmia:

Jos jaksot tai ajan hetket on numeroitu siten, että St = 0, niin yllä olevat algoritmit yksinkertaistuvat merkittävästi ja muuttuvat

Kaavion tasaiset tasot sijaitsevat yhdellä suoralla, joka kulkee lähimpänä tämän aikasarjan todellisia tasoja. Poikkeamien neliöiden summa heijastaa satunnaisten tekijöiden vaikutusta.

Sen avulla laskemme yhtälön keskimääräisen (standardi) virheen:

Tässä n on havaintojen lukumäärä ja m on yhtälön parametrien lukumäärä (meillä on niitä kaksi - b 1 ja b 0).

Päätrendi (trendi) osoittaa, kuinka systemaattiset tekijät vaikuttavat useiden dynamiikan tasoihin, ja tasojen vaihtelut trendin ympärillä () toimivat jäännöstekijöiden vaikutuksen mittana.

Sitä käytetään myös käytetyn aikasarjamallin laadun arvioimiseen Fisherin F-testi... Se on kahden varianssin suhde, eli regression aiheuttaman varianssin suhde, ts. tutkittu tekijä, satunnaisten syiden aiheuttamaan varianssiin, ts. jäännösdispersio:

Laajennetussa muodossa tämän kriteerin kaava voidaan esittää seuraavasti:

missä n on havaintojen lukumäärä, ts. tasojen lukumäärä peräkkäin,

m on yhtälön parametrien lukumäärä, y on sarjan todellinen taso,

Tasattu rivin taso - keskirivin taso.

Toisia menestyneempi malli ei välttämättä aina ole tarpeeksi tyydyttävä. Se voidaan tunnistaa sellaiseksi vain, jos sen kriteeri F ylittää tunnetun kriittisen rajan. Tämä raja määritetään käyttämällä F-jakaumataulukoita.

Indeksien olemus ja luokittelu.

Indeksi tilastoissa ymmärretään suhteelliseksi indikaattoriksi, joka kuvaa ilmiön suuruuden muutosta ajassa, tilassa tai mihin tahansa standardiin verrattuna.

Indeksisuhteen pääelementti on indeksoitu arvo. Indeksoitu arvo ymmärretään tilastollisen perusjoukon attribuutin arvoksi, jonka muutos on tutkimuksen kohteena.

Indekseillä on kolme päätehtävää:

1) monimutkaisen ilmiön muutosten arviointi;

2) yksittäisten tekijöiden vaikutuksen määrittäminen monimutkaisen ilmiön muutokseen;

3) jonkin ilmiön suuruuden vertailu menneen ajanjakson suuruuteen, toisen alueen suuruuteen sekä standardeihin, suunnitelmiin, ennusteisiin.

Indeksit luokitellaan kolmen kriteerin mukaan:

2) väestön osien peittoasteen mukaan;

3) yleisindeksien laskentamenetelmien mukaan.

Sisällön mukaan Indeksoiduista arvoista indeksit on jaettu kvantitatiivisten (volumetristen) indikaattoreiden indekseihin ja laadullisten indikaattoreiden indekseihin. Määrällisten indikaattoreiden indeksit - teollisuustuotannon fyysisen volyymin, myynnin fyysisen määrän, henkilöstömäärän jne. indeksit Laadullisten indikaattoreiden indeksit - hintaindeksit, tuotantokustannukset, työn tuottavuus, keskipalkat jne.

Väestön yksiköiden peittoasteen mukaan indeksit jaetaan kahteen luokkaan: yksittäisiin ja yleisiin. Niiden karakterisoimiseksi otamme käyttöön seuraavat käytännöt, jotka on otettu käyttöön indeksimenetelmän käytössä:

q- minkä tahansa tuotteen määrä (tilavuus) luonnollisessa ilmaisussa ; R- yksikköhinta; z- tuotantoyksikkökustannukset; t- tuotantoyksikön tuotantoon käytetty aika (työvoimaintensiteetti) ; w- tuotteiden tuotanto arvona aikayksikköä kohti; v- luontoismuotoisten tuotteiden tuotanto aikayksikköä kohti; T- käytetty kokonaisaika tai työntekijöiden lukumäärä.

Jotta voidaan erottaa, mihin jaksoon tai objektiin indeksoidut arvot kuuluvat, on tapana laittaa alaindeksit oikeaan alareunaan vastaavan symbolin jälkeen. Joten esimerkiksi dynaamisissa indekseissä käytetään pääsääntöisesti verratuille (kulutuksille, raportointi) jaksoille alaindeksiä 1 ja jaksoille, joihin vertailu tehdään,

Yksittäiset indeksit käytetään luonnehtimaan muutoksia monimutkaisen ilmiön yksittäisissä elementeissä (esimerkiksi tietyntyyppisen tuotteen tuotannon volyymin muutos). Ne edustavat dynamiikan suhteellisia arvoja, velvoitteiden täyttämistä, indeksoitujen arvojen vertailua.

Fyysisen tuotannon määrän yksilöllinen indeksi määritetään

Analyyttisesta näkökulmasta lainatut yksittäiset dynamiikkaindeksit ovat samankaltaisia ​​kuin kasvunopeudet (-nopeudet) ja kuvaavat indeksoidun arvon muutosta nykyisellä jaksolla perusviivaan verrattuna, eli ne osoittavat kuinka monta kertaa se on noussut (laskettu). ) tai kuinka monta prosenttia se on kasvua (laskua). Indeksiarvot ilmaistaan ​​kertoimilla tai prosentteina.

Yleinen (tiivistelmä) indeksi kuvastaa muutosta monimutkaisen ilmiön kaikissa elementeissä.

Kokonaisindeksi on indeksin päämuoto. Sitä kutsutaan aggregaatiksi, koska sen osoittaja ja nimittäjä ovat joukko "aggregaatteja"

Keskimääräiset indeksit, niiden määritelmä.

Aggregaattiindeksien lisäksi tilastoissa käytetään toista muotoaan - painotettuja keskiarvoindeksejä. Niihin turvaudutaan, kun käytettävissä olevat tiedot eivät mahdollista kokonaisaggregaattiindeksin laskemista. Joten jos hinnoista ei ole tietoa, mutta on tietoa tuotteiden kuluvan jakson kustannuksista ja kunkin tuotteen yksittäiset hintaindeksit ovat tiedossa, niin yleistä hintaindeksiä ei voida määrittää aggregaattina, mutta se on mahdollista laskea se yksittäisten lukujen keskiarvona. Vastaavasti, jos yksittäisten tuotetyyppien tuotantomääriä ei tiedetä, mutta yksittäiset indeksit ja tuotteiden peruskauden kustannukset ovat tiedossa, voidaan tuotannon fyysisen volyymin yleinen indeksi määrittää painotettuna keskiarvona. .

Keskimääräinen indeksi - Tämä on indeksi lasketaan yksittäisten indeksien keskiarvona. Aggregaattiindeksi on yleisindeksin päämuoto, joten keskimääräisen indeksin tulee olla sama kuin kokonaisindeksin. Keskiarvoja laskettaessa käytetään kahta keskiarvojen muotoa: aritmeettista ja harmonista.

Aritmeettinen keskiindeksi on identtinen kokonaisindeksin kanssa, jos yksittäisten indeksien painot ovat kokonaisindeksin nimittäjän termejä. Vain tässä tapauksessa indeksin arvo, joka lasketaan aritmeettisen keskiarvon kaavan mukaan, on yhtä suuri kuin kokonaisindeksi.

Odotus ja vaihtelu

Mittaataan satunnaismuuttuja N kertaa, esimerkiksi mittaamme tuulen nopeuden kymmenen kertaa ja haluamme löytää keskiarvon. Miten keskiarvo liittyy jakautumisfunktioon?

Heitämme noppaa useita kertoja. Jokaisella heitolla noppaa putoavien pisteiden määrä on satunnaismuuttuja ja voi saada minkä tahansa luonnollisen arvon 1:stä 6:een. Kaikille nopanheitoille laskettu pudonneiden pisteiden aritmeettinen keskiarvo on myös satunnainen arvo, mutta suurille N se pyrkii hyvin tiettyyn numeroon - matemaattiseen odotukseen M x... Tässä tapauksessa M x = 3,5.

Miten tämä arvo syntyi? Päästää sisään N tutkimuksissa kerran pudonnut 1 piste, kerran - 2 pistettä ja niin edelleen. Sitten For N→ ∞ tulosten lukumäärä, joissa yksi piste vedettiin, samoin, siis

Malli 4.5. Dice

Oletetaan nyt, että tiedämme satunnaismuuttujan jakautumislain x, eli tiedämme, että satunnaismuuttuja x voi ottaa arvoja x 1 , x 2 , ..., x k todennäköisyyksien kanssa p 1 , p 2 , ..., p k.

Odotettu arvo M x Satunnaismuuttuja x vastaa:

Vastaus. 2,8.

Matemaattinen odotus ei aina ole järkevä arvio jostain satunnaismuuttujasta. Keskipalkan arvioinnissa on siis järkevämpää käyttää mediaanin käsitettä eli sellaista arvoa, että mediaania pienempää ja korkeampaa palkkaa saavien määrä osuu yhteen.

Mediaani satunnaismuuttujaa kutsutaan numeroksi x 1/2 sellaista p (x < x 1/2) = 1/2.

Toisin sanoen todennäköisyys p 1 että satunnaismuuttuja x tulee olemaan vähemmän x 1/2 ja todennäköisyys p 2 se, että satunnaismuuttuja x tulee olemaan suurempi x 1/2 on sama ja yhtä suuri kuin 1/2. Mediaania ei määritellä yksiselitteisesti kaikille jakaumille.

Palataan satunnaismuuttujaan x, joka voi ottaa arvot x 1 , x 2 , ..., x k todennäköisyyksien kanssa p 1 , p 2 , ..., p k.

Dispersio Satunnaismuuttuja x on satunnaismuuttujan matemaattisesta odotuksesta poikkeavan neliön keskiarvo:

Esimerkki 2

Laske satunnaismuuttujan varianssi ja keskihajonta edellisen esimerkin olosuhteissa x.

Vastaus. 0,16, 0,4.

Malli 4.6. Tarkkuusammunta

Esimerkki 3

Hae todennäköisyysjakauma nopan pudotettujen pisteiden lukumäärälle ensimmäisestä heitosta, mediaani, keskiarvo, varianssi ja keskihajonta.

Putoaminen mistä tahansa kasvoista on yhtä todennäköistä, joten jakauma näyttää tältä:

Ruot-keskiarvo-neliöpoikkeama Nähdään, että arvon poikkeama keskiarvosta on erittäin suuri.

Matemaattiset odotusominaisuudet:

• Riippumattomien satunnaismuuttujien summan matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin niiden matemaattisten odotusten summa:

Esimerkki 4

Etsi kahdella noppaa heitettyjen pisteiden summan ja tulon matemaattinen odotus.

Esimerkissä 3 havaitsimme sen yhdelle kuutiolle M (x) = 3,5. Siis kahdelle kuutiolle

Dispersioominaisuudet:

• Riippumattomien satunnaismuuttujien summan varianssi on yhtä suuri kuin varianssien summa:

D x + y = D x + D v.

Anna varten N noppaa heitetty y pisteitä. Sitten

Tämä tulos ei päde vain noppien heittoon. Monissa tapauksissa se määrittää matemaattisen odotuksen mittaustarkkuuden empiirisesti. Voidaan nähdä, että mittausten määrän kasvaessa N arvojen leviäminen keskiarvon eli keskihajonnan ympärille pienenee suhteessa

Satunnaismuuttujan varianssi liittyy tämän satunnaismuuttujan neliön matemaattiseen odotukseen seuraavalla suhteella:

Etsitään tämän tasa-arvon molempien osapuolten matemaattiset odotukset. A-priory,

Tasa-arvon oikean puolen matemaattinen odotus matemaattisten odotusten ominaisuudella on yhtä suuri kuin

Standardipoikkeama

Standardipoikkeama on yhtä suuri kuin varianssin neliöjuuri:
Keskihajonnan määrittämisessä riittävän suurella tutkittavalla populaatiolla (n> 30) käytetään seuraavia kaavoja:

Samanlaisia ​​tietoja.

Tilastollisesti testattaessa hypoteeseja, mitattaessa satunnaismuuttujien välistä lineaarista suhdetta.

Vakiopoikkeama:

Standardipoikkeama(arvio satunnaismuuttujan Lattia, ympärillämme olevat seinät ja katto keskihajonnasta, x suhteessa sen matemaattiseen odotukseen, joka perustuu sen varianssin puolueettomaan arvioon):

missä on varianssi; - Lattia, seinät ympärillämme ja katto, i näytteen osa; - otoskoko; - otoksen aritmeettinen keskiarvo:

On huomattava, että molemmat arviot ovat puolueellisia. Yleisessä tapauksessa on mahdotonta muodostaa puolueetonta arviota. Kuitenkin puolueettoman varianssin arvioon perustuva arvio on johdonmukainen.

Kolmen sigman sääntö

Kolmen sigman sääntö() - melkein kaikki normaalijakauman satunnaismuuttujan arvot ovat välissä. Tarkemmin sanottuna - vähintään 99,7 %:n varmuudella normaalijakautuneen satunnaismuuttujan arvo on määritetyllä aikavälillä (edellyttäen, että arvo on tosi, eikä sitä ole saatu näytteenkäsittelyn tuloksena).

Jos todellista arvoa ei tunneta, sinun ei pitäisi käyttää, vaan Lattia, ympärillämme olevat seinät ja katto, s... Siten kolmen sigman sääntö muuttuu kolmen kerroksen, ympärillämme olevien seinien ja katon säännöksi, s .

Keskihajonnan arvon tulkitseminen

Keskihajonnan suuri arvo osoittaa suuren arvojen hajonnan esitetyssä joukossa joukon keskiarvon kanssa; pieni arvo, vastaavasti, osoittaa, että joukon arvot on ryhmitelty keskiarvon ympärille.

Meillä on esimerkiksi kolme numerojoukkoa: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) ja (6, 6, 8, 8). Kaikille kolmelle joukolle keskiarvot ovat 7 ja standardipoikkeamat vastaavasti 7, 5 ja 1. Viimeisellä joukolla on pieni keskihajonta, koska joukon arvot on ryhmitelty keskiarvon ympärille; ensimmäisellä joukolla on suurin keskihajonta - joukon arvot eroavat voimakkaasti keskiarvosta.

Yleisesti ottaen standardipoikkeamaa voidaan pitää epävarmuuden mittana. Esimerkiksi fysiikassa keskihajontaa käytetään määrittämään suuren peräkkäisten mittausten sarjan virhe. Tämä arvo on erittäin tärkeä määritettäessä tutkittavan ilmiön todennäköisyyttä verrattuna teorian ennustettuun arvoon: jos mittausten keskiarvo poikkeaa suuresti teorian ennustamista arvoista (suuri keskihajonnan arvo), sitten saadut arvot tai niiden saamismenetelmä on tarkistettava uudelleen.

Käytännöllinen käyttö

Käytännössä keskihajonnan avulla voit määrittää, kuinka paljon joukon arvot voivat poiketa keskiarvosta.

Ilmasto

Oletetaan, että kahdessa kaupungissa on sama keskimääräinen vuorokauden enimmäislämpötila, mutta toinen on rannikolla ja toinen sisämaassa. Rannikkokaupungeissa tiedetään olevan monia erilaisia ​​korkeimpia päivälämpötiloja pienempiä kuin sisämaakaupungeissa. Siksi päiväsaikojen maksimilämpötilojen keskihajonta rannikkokaupungin lähellä on pienempi kuin toisen kaupungin, vaikka niillä on sama tämän arvon keskiarvo, mikä käytännössä tarkoittaa, että todennäköisyys, että korkein ilman lämpötila jokainen tietty päivä vuodesta on vahvempi kuin keskimääräinen, korkeampi mantereen sisäpuolella sijaitsevassa kaupungissa.

Urheilu

Oletetaan, että on useita jalkapallojoukkueita, joita arvioidaan tietyn parametrijoukon mukaan, esimerkiksi tehtyjen ja päästettyjen maalien määrä, maalimahdollisuudet jne. Tämän ryhmän parhaalla joukkueella on todennäköisimmin parhaat arvot ​useammassa parametrissa. Mitä vähemmän joukkueella on keskihajonnan kullekin esitetylle parametrille, sitä ennakoitavampi on joukkueen tulos, sellaiset joukkueet ovat tasapainossa. Toisaalta suuren keskihajonnan omaavan joukkueen tulosta on vaikea ennustaa, mikä puolestaan ​​johtuu epätasapainosta, esimerkiksi vahvasta puolustuksesta, mutta heikosta hyökkäyksestä.

Joukkueen parametrien keskihajonnan käyttö mahdollistaa jossain määrin kahden joukkueen välisen ottelun tuloksen ennustamisen, arvioiden joukkueiden vahvuudet ja heikkoudet ja siten valitut taistelutavat.

Tekninen analyysi

Katso myös

Kirjallisuus

* Borovikov, V. TILASTO. Tietojen analysoinnin taidetta tietokoneella: Ammattilaisille / V. Borovikov. - SPb. : Peter, 2003 .-- 688 s. - ISBN 5-272-00078-1.

Viisaat matemaatikot ja tilastotieteilijät ovat keksineet luotettavamman indikaattorin, vaikkakin hieman eri tarkoituksella - keskimääräinen lineaarinen poikkeama... Tämä indikaattori kuvaa tietojoukon arvojen hajaantumista niiden keskiarvon ympärillä.

Tietojen hajonnan arvon näyttämiseksi sinun on ensin päätettävä, mihin tämä hajonta otetaan huomioon - yleensä tämä on keskiarvo. Seuraavaksi sinun on laskettava kuinka kaukana analysoidun tietojoukon arvot ovat keskiarvosta. On selvää, että tietty määrä poikkeamaa vastaa kutakin arvoa, mutta olemme kiinnostuneita yleisarvioinnista, joka kattaa koko populaation. Siksi keskimääräinen poikkeama lasketaan käyttämällä tavanomaista aritmeettista keskiarvokaavaa. Mutta! Mutta poikkeamien keskiarvon laskemiseksi ne on ensin lisättävä. Ja jos laskemme yhteen positiiviset ja negatiiviset luvut, ne kumoavat toisensa ja niiden summa on yleensä nolla. Tämän välttämiseksi kaikki poikkeamat otetaan modulo, eli kaikista negatiivisista luvuista tulee positiivisia. Nyt keskipoikkeama näyttää yleisen arvojen hajauttamisen mittaa. Tämän seurauksena keskimääräinen lineaarinen poikkeama lasketaan kaavalla:

a- keskimääräinen lineaarinen poikkeama,

x- analysoitu indikaattori, jonka yläpuolella on viiva - indikaattorin keskiarvo,

n- arvojen lukumäärä analysoidussa tietojoukossa,

lisäysoperaattori, toivottavasti, ei pelota ketään.

Määritellyn kaavan mukaan laskettu keskimääräinen lineaarinen poikkeama heijastaa keskimääräistä absoluuttista poikkeamaa tietyn populaation keskiarvosta.

Kuvassa punainen viiva on keskiarvo. Jokaisen havainnon poikkeamat keskiarvosta on merkitty pienillä nuolilla. Ne otetaan modulo ja summataan. Sitten kaikki jaetaan arvojen lukumäärällä.

Täydellisyyden vuoksi on myös annettava esimerkki. Oletetaan, että siellä on yritys, joka valmistaa lapiopistokkaita. Jokaisen varren tulee olla 1,5 metriä pitkä, mutta mikä tärkeintä, kaikkien tulee olla samanlaisia, tai vähintään plus tai miinus 5 cm. Huolimattomat työntekijät kuitenkin sahaavat 1,2 m tai 1,8 m. Kesäasukkaat ovat tyytymättömiä ... Yrityksen johtaja päätti tehdä tilastollisen analyysin hakkuiden pituudesta. Valitsin 10 kappaletta ja mittasin niiden pituuden, löysin keskiarvon ja lasken keskimääräisen lineaaripoikkeaman. Keskiarvo osoittautui juuri tarpeelliseksi - 1,5 m. Mutta keskimääräinen lineaarinen poikkeama tuli 0,16 m. Joten käy ilmi, että jokainen varsi on pidempi tai lyhyempi kuin tarvitaan keskimäärin 16 cm. On puhuttavaa työntekijät... Itse asiassa en ole nähnyt tämän indikaattorin todellista käyttöä, joten keksin esimerkin itse. Tilastoissa on kuitenkin tällainen indikaattori.

Dispersio

Lineaarisen keskiarvon tavoin varianssi heijastaa myös datan hajoamisen mittaa keskiarvon ympärillä.

Varianssin laskentakaava näyttää tältä:

(variaatiosarjoille (painotettu varianssi))

(ryhmittämättömille tiedoille (yksinkertainen varianssi))

Missä: σ 2 - varianssi, Xi- analysoimme neliö-indikaattorin (ominaisuuden arvo), - indikaattorin keskiarvon, f i - arvojen lukumäärän analysoitavassa tietojoukossa.

Varianssi on poikkeamien keskineliö.

Ensin lasketaan keskiarvo, sitten kunkin alku- ja keskiarvon erotus otetaan, neliötetään, kerrotaan vastaavan ominaisarvon taajuudella, lisätään ja jaetaan sitten tietyn populaation arvojen lukumäärällä.

Varianssia ei kuitenkaan käytetä puhtaassa muodossaan, kuten aritmeettisena keskiarvona tai indeksinä. Se on pikemminkin apu- ja väliindikaattori, jota käytetään muuntyyppisissä tilastollisissa analyyseissä.

Yksinkertaistettu tapa laskea varianssi

Standardipoikkeama

Jotta varianssia voidaan käyttää tietojen analysointiin, siitä erotetaan neliöjuuri. Kävi ilmi ns keskihajonta.

Muuten, keskihajontaa kutsutaan myös sigmaksi - kreikkalaisesta kirjaimesta, joka tarkoittaa sitä.

Keskihajonna tietysti luonnehtii myös datan hajonnan mittaa, mutta nyt (poiketen varianssista) sitä voidaan verrata alkuperäiseen dataan. Tilastoissa rms-arvot antavat yleensä tarkempia tuloksia kuin lineaariset. Siksi keskihajonta on tarkempi mitta datan sironnasta kuin lineaarinen keskiarvo.

Wikipediasta, ilmaisesta tietosanakirjasta

Neliön keskiarvopoikkeama(synonyymit: neliöpoikkeama, keskiarvo-neliöpoikkeama, neliöpoikkeama; liittyvät termit: keskihajonta, standardi leviäminen) - todennäköisyysteoriassa ja tilastoissa yleisin indikaattori satunnaismuuttujan arvojen hajoamisesta suhteessa sen matemaattiseen odotukseen. Rajoitetuissa arvonäytteissä käytetään matemaattisen odotuksen sijasta näytteiden perusjoukon aritmeettista keskiarvoa.

Perustiedot

Keskihajonta mitataan itse satunnaismuuttujan mittayksiköissä ja sitä käytetään aritmeettisen keskiarvon keskivirheen laskemiseen, luottamusväliä muodostettaessa, hypoteeseja tilastollisesti testattaessa, satunnaismuuttujien välistä lineaarista suhdetta mitattaessa. Se määritellään satunnaismuuttujan varianssin neliöjuureksi.

Vakiopoikkeama:

$\backslash \; sigma\; =\; \backslash \; sqrt\; (\backslash \; frac\; (1)\; (n)\; \backslash \; summa\_\; (i\; =\; 1)\; ^\; n\; \backslash \; vasen\; (x\_i-\; \backslash \; bar\; (x)\; \backslash \; oikea)\; ^\; 2).$

Standardipoikkeama(arvio satunnaismuuttujan keskihajonnasta x suhteessa sen matemaattiseen odotukseen, joka perustuu sen varianssin puolueettomaan arvioon) $s$:

$s\; =\; \backslash \; sqrt\; (\backslash \; frac\; (n)\; (n-1)\; \backslash \; sigma\; ^\; 2)\; =\; \backslash \; sqrt\; (\backslash \; frac\; (1)\; (n-1)\; \backslash \; summa\_\; (i\; =\; 1)\; ^\; n\; \backslash \; vasen\; (x\_i-\; \backslash \; bar\; (x)\; \backslash \; oikealle)\; ^\; 2);$

Kolmen sigman sääntö

Kolmen sigman sääntö ($3\; \backslash \; sigma$) - lähes kaikki normaalijakauman satunnaismuuttujan arvot ovat välissä $\backslash \; vasen\; (\backslash \; bar\; (x)\; -3\; \backslash \; sigma;\; \backslash \; bar\; (x)\; +3\; \backslash \; sigma\; \backslash \; oikea)$... Tarkemmin sanottuna - noin todennäköisyydellä 0,9973, normaalijakauman satunnaismuuttujan arvo on määritetyn välin sisällä (edellyttäen, että arvo $\backslash \; bar\; (x)$ totta, ei näytteitä).

Jos todellinen arvo $\backslash \; bar\; (x)$ tuntematon, sinun ei pitäisi käyttää $\backslash \; sigma$, a s... Siten kolmen sigman sääntö muunnetaan kolmen sigman säännöksi s .

Keskihajonnan arvon tulkitseminen

Suurempi keskihajonnan arvo osoittaa suuremman arvojen leviämisen esitetyssä joukossa joukon keskiarvolla; vastaavasti pienempi arvo osoittaa, että joukon arvot on ryhmitelty keskiarvon ympärille.

Meillä on esimerkiksi kolme numerojoukkoa: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) ja (6, 6, 8, 8). Kaikille kolmelle joukolle keskiarvot ovat 7 ja standardipoikkeamat vastaavasti 7, 5 ja 1. Viimeisellä joukolla on pieni keskihajonta, koska joukon arvot on ryhmitelty keskiarvon ympärille; ensimmäisellä joukolla on suurin keskihajonta - joukon arvot eroavat voimakkaasti keskiarvosta.

Yleisesti ottaen standardipoikkeamaa voidaan pitää epävarmuuden mittana. Esimerkiksi fysiikassa keskihajontaa käytetään määrittämään suuren peräkkäisten mittausten sarjan virhe. Tämä arvo on erittäin tärkeä määritettäessä tutkittavan ilmiön todennäköisyyttä verrattuna teorian ennustettuun arvoon: jos mittausten keskiarvo poikkeaa suuresti teorian ennustamista arvoista (suuri keskihajonnan arvo), sitten saadut arvot tai niiden saamismenetelmä on tarkistettava uudelleen.

Käytännöllinen käyttö

Käytännössä keskihajonnan avulla voit arvioida, kuinka paljon joukon arvot voivat poiketa keskiarvosta.

Talous ja rahoitus

Salkun tuoton keskihajonta $\backslash \; sigma\; =\; \backslash \; sqrt\; (D\; [X])$ tunnistaa portfolioriskin kanssa.

Ilmasto

Oletetaan, että kahdessa kaupungissa on sama keskimääräinen korkein päivälämpötila, mutta toinen on rannikolla ja toinen tasangolla. Rannikkokaupungeissa tiedetään olevan monia erilaisia ​​korkeimpia päivälämpötiloja pienempiä kuin sisämaakaupungeissa. Siksi päiväsaikojen maksimilämpötilojen keskihajonta rannikkokaupungin lähellä on pienempi kuin toisen kaupungin, huolimatta siitä, että niillä on sama tämän arvon keskiarvo, mikä käytännössä tarkoittaa, että todennäköisyys, että korkein ilman lämpötila jokainen tietty päivä vuodesta on vahvempi kuin keskimääräinen, korkeampi mantereen sisäpuolella sijaitsevassa kaupungissa.

Urheilu

Oletetaan, että on useita jalkapallojoukkueita, joita arvioidaan tietyn parametrijoukon mukaan, esimerkiksi tehtyjen ja päästettyjen maalien määrä, maalimahdollisuudet jne. Tämän ryhmän parhaalla joukkueella on todennäköisimmin parhaat arvot ​useammassa parametrissa. Mitä vähemmän joukkueella on keskihajonnan kullekin esitetylle parametrille, sitä ennakoitavampi on joukkueen tulos, sellaiset joukkueet ovat tasapainossa. Toisaalta suuren keskihajonnan omaavan joukkueen tulosta on vaikea ennustaa, mikä puolestaan ​​johtuu epätasapainosta, esimerkiksi vahvasta puolustuksesta, mutta heikosta hyökkäyksestä.

Joukkueen parametrien keskihajonnan käyttö mahdollistaa jossain määrin kahden joukkueen välisen ottelun tuloksen ennustamisen, arvioiden joukkueiden vahvuudet ja heikkoudet ja siten valitut taistelutavat.

Katso myös

Kirjoita arvio artikkelista "Standardipoikkeama"

Kirjallisuus

• Borovikov V. TILASTO. Tietojen analysoinnin taidetta tietokoneella: Ammattilaisille / V. Borovikov. - SPb. : Peter, 2003 .-- 688 s. - ISBN 5-272-00078-1..

Ote, joka kuvaa keskihajontaa