Kuinka valita juuri suuresta joukosta. Kuinka löydän neliöjuuren? Ominaisuudet, esimerkkejä juurten poistosta

Juurin purkaminen suuresta määrästä. Rakkaat ystävät!Tässä artikkelissa selvitetään kuinka suuren määrän juuri voidaan poimia ilman laskinta. Tämä on välttämätöntä paitsi tietyntyyppisten USE-ongelmien ratkaisemiseksi (joitakin on liikkeelle), vaan myös yleisen matemaattisen kehityksen kannalta, on suotavaa tuntea tämä analyyttinen tekniikka.

Vaikuttaa siltä, \u200b\u200bettä kaikki on yksinkertaista: tekitä se ja poimi se. Ei ole mitään ongelmaa. Esimerkiksi numero 291600 laajennettuna antaa tuotteelle:

Laskemme:

Siellä on yksi MUTTA! Menetelmä on hyvä, jos jakajat 2, 3, 4 ja niin edelleen määritetään helposti. Mutta entä jos luku, josta juuri poimitaan, on alkulukujen tulos? Esimerkiksi 152881 on numeroiden 17, 17, 23, 23 tuote. Yritä löytää nämä jakajat heti.

Tarkasteltavan menetelmän ydin- tämä on puhdasta analyysiä. Juuri hankkineella taidoilla löytyy nopeasti. Jos taitoa ei kehitetä, mutta lähestymistapa ymmärretään yksinkertaisesti, se on hiukan hitaampi, mutta silti määrätietoinen.

Uudetaan juuri vuodelta 190969.

Ensin määritetään - minkä lukujen välillä (sadan kerrannaisina) tulos on.

Tietenkin tietyn luvun juuren tulos on välillä 400-500,kuten

400 2 \u003d 160 000 ja 500 2 \u003d 250 000

Todella:

keskellä, lähempänä 160 000 tai 250 000?

Numero 190969 on suunnilleen keskellä, mutta silti lähempänä arvoa 160000. Voimme päätellä, että juurimme tulos on alle 450. Tarkistetaan:

Itse asiassa se on alle 450 vuodesta 190 969 lähtien< 202 500.

Tarkistetaan nyt numero 440:

Joten tuloksemme on alle 440 vuodesta190 969 < 193 600.

Numeron 430 tarkistaminen:

Olemme todenneet, että tämän juuren tulos on välillä 430-440.

Luvut, joiden lopussa on 1 tai 9, antaa luvun, jonka lopussa on 1. Esimerkiksi 21x21 on 441.

Luvut, joiden lopussa on 2 tai 8, antaa numeron, jonka lopussa on 4. Esimerkiksi 18 x 18 on 324.

Numeroiden tulo, joiden lopussa on 5, antaa luvun 5 lopussa. Esimerkiksi 25x25 on 625.

Luvut, joiden lopussa on 4 tai 6, antaa numeron, jonka lopussa on 6. Esimerkiksi 26x26 on 676.

Lukujen tulo, joiden lopussa on 3 tai 7, antaa luvun, jonka lopussa on 9. Esimerkiksi 17x17 vastaa 289.

Koska numero 190969 päättyy numerolla 9, tämä tuote on joko 433 tai 437.

* Vain ne, kun ne ovat neliössä, voivat antaa 9 lopussa.

Tarkistamme:

Joten juuretulos on 437.

Toisin sanoen "ryhmiteltymme" oikeaan vastaukseen.

Kuten näette, vaaditaan enintään 5 toimenpiteen suorittaminen sarakkeessa. Ehkä pääset heti pisteeseen tai teet vain kolme toimenpidettä. Kaikki riippuu siitä, kuinka tarkalleen teet alkuperäisen arvion numerosta.

Pura 148996: n juuri itse

Tällainen erottaja saadaan ongelmaan:

Moottorilaiva kulkee jokea pitkin määränpäähänsä 336 km ja pysähtymisen jälkeen palaa lähtöpisteeseen. Löydä aluksen nopeus liikkumattomassa vedessä. Jos nykyinen nopeus on 5 km / h, oleskelu kestää 10 tuntia ja alus palaa lähtöpisteeseen 48 tunnin kuluttua poistumisesta. Anna vastaus km / h.

Näytä ratkaisu

Juuretulos on välillä 300–400:

300 2 =90000 400 2 =160000

Itse asiassa 90 000<148996<160000.

Lisäpäätelmien ydin laskee määrittämällä kuinka numero 148996 sijaitsee (kaukana) suhteessa näihin lukuihin.

Lasketaan erot148996 - 90000 \u003d 58996 ja 160000 - 148996 \u003d 11004.

Osoittautuu, että 148996 on lähellä (paljon lähempänä) arvoon 160000. Siksi juuren tulos on ehdottomasti enemmän kuin 350 ja jopa 360.

Voimme päätellä, että tuloksemme on enemmän kuin 370. Lisäksi on selvää: Koska 148996 päättyy numerolla 6. Tämä tarkoittaa, että joko 4 tai 6 päättyvän luvun on oltava neliössä. * Vain nämä neliössä annetut luvut antavat loppu 6.

Ystävällisin terveisin, Alexander Krutitskikh.

P.S: Olisin kiitollinen, jos voisitte kertoa meille sivustosta sosiaalisissa verkostoissa.

Usein olympialaisissa ja tentteissä (esimerkiksi matematiikan tentissä) et voi käyttää laskinta. Ja jokapäiväisessä elämässä joudut joskus arvioimaan kokonaisluvun neliöjuuren arvon ilman laskinta kädessä. Kuinka edetä?

1. Ensinnäkin, katso luvun viimeistä numeroa, jos se on 2, 3, 7, 8, niin tämän numeron koko juuria ei ole. Ja jos numero päättyy numeroilla 1, 4, 6, 9, niin halutun juuren viimeinen numero voi olla vastaavasti 1 tai 9, 2 tai 8, 4 tai 6, 3 tai 7.
Jos numero päättyy numerolla 5, sinun on kiinnitettävä huomiota viimeiseen numeroon. Koko juuren olemassaolon on oltava 2, ts. vain numeroilla, jotka päättyvät 25: ään, voi olla juuria, jotka päättyvät 5: ään.
Erityisen paikan tässä järjestelmässä miehittää 0. Jos luku päättyy yhdellä tai parittomalla määrällä nollia, silloin ei ole kokonaista juuria, jos se on kaksi tai parillista, toisin sanoen, juuren kerrannainen on 10.

Oletko huomannut joitain symmetrioita tässä taulukossa? Ajattele mitä se aiheuttaa. Jos et ole arvannut, katso sitten tämän osan loppuun.

2. Jakaa numero ryhmiin (reunalla) 2 numeroa oikealta vasemmalle. Aloita viimeisellä numerolla. Lisäksi, jos annettu luku koostuu parittomasta lukumäärästä, vasemmassa ryhmässä on yksi numero, jos parillisesta luvusta, niin kaksi.

Jos numerosi koostuu vain kahdesta kasvosta, voit pysähtyä tähän ja tarkistaa mahdolliset tulokset kertomalla sarakkeessa. Esimerkiksi luvun 1225 juuren täytyy alkaa kolmella (määrittelimme tämän kohdassa 3), ja se voi päättyä vain viiteen (katso kohta 1), ts. jos tällä numerolla on luonnollinen juuri, niin se voi olla vain 35. Numeron 841 juuren täytyy alkaa 2: lla ja päättyä yhdellä tai 9: llä, ts. se on joko 21 tai 29. Mutta 21 ≈ 20 ja 20 2 \u003d 400 ja 29 ≈ 30 ja 30 2 \u003d 900. Annettu luku 841 on lähempänä 900 kuin 400, joten vastaus on oletettavasti 29.

Tarkistetaan.

29
× 29
____
261
58
____
841

35
× 35
_____
175
105
_____
1225

Joten, vastauksia on olemassa, ne löytyvät ja löytyvät oikein.
Kaksinumeroisilla vastauksilla ja pidemmät numerot tentissä ovat harvinaisia, kaikki on hyvin yksinkertaista. Eikö olekin?

4. Jos numerosi koostuu useammasta kuin kahdesta kasvosta tai et halua mennä suoraan tarkistukseen, algoritmi juuren löytämiseksi jatkuu seuraavalla vaiheella:
- neliö vastauksen löydetty ensimmäinen numero ja vähennä se ensimmäisestä puolista, lisää toinen taso erotukseen, saat kolminumeroisen tai nelinumeroinen luku. Merkitään sitä symbolilla A.

5. Seuraavan numeron tulisi olla suurin, valittuna seuraavasti:
- kerrotaan vastauksen olemassa oleva osa 2: lla, lisätään siihen oletettu numero ja kerrotaan tuloksena saatu luku samalla numerolla. Vähennä tulos luvusta A. Loppuosan tulee olla pienin mahdollinen positiivinen luku.

Esimerkiksi numerolle 142884 (14 "28" 84) löytyi osa vastauksesta - ensimmäinen numero 3 ja toinen puoli poistettiin, ts. määritelty A \u003d 528. Kerro vastauksen osa 2: lla, saadaan 3 × 2 \u003d 6. Nyt oikeanpuoleiseen 6-ke: iin on lisättävä "arvattu luku". Määritämme sen likimääräisen arvon:
A \u003d 528 ≈ 500,500: 60 ≈ 8. Siksi aloitamme valinnan 8: sta.
528 - 68 × 8 \u003d 528 - 544 528 - 67 × 7 \u003d 528 - 469\u003e 0. Juuren seuraava numero on 7.

Joten, esimerkeissämme:

Jos olet muodostanut niin monta numeroa kuin kasvoja on, ja loput tässä vaiheessa on 0, niin vastaus vastaanotetaan. Joka tapauksessa on järkevää tarkistaa se kertomalla.
Jos numeroita on yhtä monta kuin kasvot, mutta loput eivät ole 0, niin yllä olevissa laskelmissa tapahtui virhe tai tämän numeron luonnollista juuria ei ole. Viimeksi mainitussa tapauksessa, jos joudut edelleen löytämään sen arvo tietyllä tarkkuudella, voit lisätä tarvittavan määrän nollareunoja (00) desimaalin jälkeen ja jatkaa.
Jos kasvoja on enemmän kuin vastaanotettuja numeroita, jatka sitten. Kahdessa ylemmässä esimerkissä meidän on määritettävä vain viimeinen numero. Tämä voidaan tehdä valitsemalla kohta 1: numeron 142884 osalta sinun on tarkistettava kertomalla 372 ja 378, numerolle 20449, tarkista 143 ja 147. Mutta jatkamme yleisen algoritmin mukaisesti.

6. Muodostamme uuden numeron A lisäämällä seuraava pinta edellisessä vaiheessa saatuun loppusuuntaan. Saadaksesi vastauksen seuraava numero, toista 5. vaiheen toimenpiteet. Toistamme tämän vaiheen, kunnes koko vastaus on saatu.
Esimerkkeissämme:

x + y \u003d 10 ja y = 10 − x.

Muistutettakoon kaava kahden numeron välisen eron neliölle

( − b) 2 = 2 − 2ab + b 2 ;

Ja käytä sitä neliön löytämiseen y.

y 2 = (10 − x) 2 \u003d 10 2 - 2 10 x + x 2 ;

Tässä summassa ensimmäinen termi päättyy kahdella nollalla, toinen nollalla, mikä tarkoittaa, että koko lauseke lisäyksen jälkeen loppuu samalla numerolla kuin x 2. Nuo. x 2 ja y 2 päätä sama.

Esimerkkejä juuren laskemisesta.

Arvioi √6335289 _______ .

Tallennamme välitulokset sarakkeeseen analogisesti jaon kanssa. Luonnos sarakkeen oikealla puolella.

6"33"52"89 | 2517.
−4
____
233
−225 | 45 × 5
______
852
−501 | 501 × 1
________
35189
−35189 | 5027 × 7
__________
0

1) Jaa numero reunalla: 6 "33" 52 "89. Se osoittautui 4 kpl, joten vastaus koostuu 4 merkistä. Ensimmäinen numero on 2, koska 2 2 \u003d 4 6.

2) Seuraavaksi kaksinkertaistetaan vastauksen olemassa oleva osa, määritetään loput, puretaan seuraava rivi ja valitaan vastauksen seuraava numero. Toistamme tämän vaiheen viimeiseen reunaan:
233: 40 ~ 5; 45 x 5 \u003d 225 233; siten toinen numero on 5;
852: 500 1; 501 x 1 \u003d 501 852; siis kolmas numero on 1.

3) Jos koko juuri on olemassa, niin sen viimeinen numero voi olla joko 3 tai 7. Voimme tarkistaa 2513 ja 2517 kertomalla sarakkeessa. Mutta moninumeroisilla numeroilla on nopeampaa jatkaa yleisen algoritmin mukaisesti:
35189: 5000 - 7; 5027 × 7 \u003d 35189 (!) Viimeinen numero on 7.

Vastaus: 2517.

Arvioi √2304 ____ .

48
× 48
______
384
192
______
2304

Hajotamme sen partaalle. 23 "04. Siksi vastaus on 2 numeroa, ensimmäinen numero on 4, koska 4 2 \u003d 16 23. Viimeinen numero on joko 2 tai 8, koska kertolaskun lopun on oltava 4.
Joten, 42 tai 48? 42 - 40; 402 \u003d 1600,48 ~ 50; 50 2 \u003d 2500.2500 on lähempänä annettua lukua, joten aloitamme testin kertoamalla pitkään 48: ssa.

Vastaus: 48.

Tämä on yleisin tapa matematiikan tentissä, ja suosittelen, että lopetat sen tarkistuksella.

Arvioi √503 ___ .

Numero päättyy kolmella. On heti selvää, että koko juuriarvo ei toimi. Kysymme itseltämme kysymys, millä tarkkuudella juuri on tarpeen määrittää. Oletetaan, että ehto sanoo, että vastaus pyöristetään lähimpään sadanteen. Tämä tarkoittaa, että sinun täytyy saada se jopa tuhannesosaan, ts. kolmen desimaalin tarkkuudella. Siksi annettuun numeroon on lisättävä vielä 3 nollareunaa. Ja älä unohda pilkkua!

5"03,00"00"00 | 22,427.
−4
____
103
- 84 | 42 × 2
______
1900
−1776 | 444 × 4
________
12400
- 8964 | 4482 × 2
__________
343600
−313929 | 44847 × 7
____________
29671

1) Siten jakautuminen kasvoiksi on kuin 5``03 , 00 "00" 00. Vastaus on viisi numeroa - 2 ennen desimaalia ja 3 jälkeen. Ensimmäinen numero on 2 (2 2 \u003d 4 5), viimeistä numeroa ei tässä tapauksessa voida määrittää.

2) Seuraavaksi suoritamme yleisen algoritmin vaiheet 4,5,6, kuten tavallisesti:
103: 402; 42 x 2 \u003d 84 103; siis toinen numero on 2.
1900: 440 * 4; 444 x 4 \u003d 1776 1900; siis kolmas numero on 4.
12400: 4480 x 3; 4483 × 3 \u003d 13449\u003e 12400; 4482 × 2 \u003d 8964 343600: 44840 ≈ 8; 44848 × 8 \u003d 358784\u003e 343600; 44847 × 7 \u003d 313929 Emme ole vielä vastaanottaneet nollajäämää ja emme ehkä koskaan saa sitä, jos vaadittava juuri on irrationaalinen luku. Mutta me emme tarvitse sitä, koska tulos on jo saatu pyöristykseen vaaditulla tarkkuudella.

Hylkää kolmas numero desimaalin jälkeen, lisäämällä edellistä (vuodesta 7\u003e 5) yhdellä 22,427 ≈ 22,43.

Vastaus: 22,43.

Arvioi √1.5 ____ .

Desimaalimuodon juuren laskemiseksi muista, että 10 2 \u003d 100 ja 0,1 2 \u003d 0,01. Nuo. kun ne ovat neliöinä, numerot kaksinkertaistuvat. Niinpä, jotta saadaan desimaalijakeen neliöjuuri, tarvitsemme sille parillisen määrän numeroita desimaalin jälkeen. Tässä tapauksessa saamme kokonaislukumäärän pintoja desimaalipisteen jälkeen, kun jaetaan oikealta vasemmalle (lopusta), ja siten kokonaisluku numeroita vastauksen murto-osaan.
Muista myös, että voit lisätä yhtä monta johtavaa nollaa luvun kokonaislukuosaan ja niin monta nollaa murto-osan loppuun. Numero ei muutu tästä.

1 \u003d 001; 23 \u003d 000023; 1080 \u003d 01080; mutta (!) 1080 - 10800
0,1 \u003d 0,10; 2,3 \u003d 2,3000; 10,80 \u003d 0010,8000; mutta (!) 10,80 - 100,80 ja 10,80 - 10,080

Menetelmä I.

1,5 = 1,50 √1,5___ = √1,50____

Oletetaan, että sinun on annettava kymmenesosaan tarkka vastaus, sitten sinun on laskettava tämän juuren arvo toiseen desimaalin tarkkuudella. Nyt meillä on 2 numeroa desimaalin jälkeen, ts. yksi kasvot, joten lisää toinen nolla kasvo.

1,50"00 | 1,22
−1
____
50
−44 | 22 × 2
______
600
−484 | 242 × 2
_______
116

1) Reunalla työskentely: 1,50 "00. Tuloksena on 3 numeroa - yksi ennen desimaalia ja kaksi jälkeen. Ensimmäinen numero on selvästi 1.

3) Pyöristä ylöspäin 1,22 ≈ 1,2.

Vastaus: 1,2.

Menetelmä II.

Kerrotaan ja samalla jaetaan lukumme 10: llä parillisella voimalla (välttämättä tasaisella voimalla, jotta myöhemmin voimme helposti ja tarkasti poimia juuren nimittäjästä). 1,5 \u003d 1,5 × 100/100 \u003d 150/100. Siksi sinun on laskettava 150: n juuri ja jaettava se 100: n juurella, ts. 10. päivä.

Pienillä kolminumeroisilla kokonaislukuilla on helppo muistaa juurten arvot, koska ne ovat hyvin yleisiä (katso esimerkiksi taulukoissa "Numeroiden neliöt 1 - 25" ja "Neliöjuuret"). Kokonaislukujen luvun 144-150 lähin neliön arvo, siis √150 ____ ≈ 12 ja vastaavasti √1.5 ____ ≈ 12:10 = 1,2.

Vastaus: 1,2.

Huomio: se on hyvin yleinen virhe, kun juurella 15 otetaan 1,5: n juuren likimääräinen arvo. Muista - parillinen määrä nollia.

√10__ ≈ 3,16 √100___ = 10 √1000____ ≈ 31,62 √10000_____ = 100 √100000______ ≈ 316,23 √1000000_______ = 1000

EI Ignatiev kirjoittaa ensimmäisen painoksensa "kekseliäisyyden valtakunnassa" (1908) johdannossa: "... henkistä aloitetta, kekseliäisyyttä ja" kekseliäisyyttä "ei voida" porata "tai" laittaa "kenenkään päähän. Tulokset ovat luotettavia vain silloin, kun johdatus matemaattisten tietojen alaan tehdään helposti ja miellyttävästi. Objektit ja esimerkit jokapäiväisistä ja jokapäiväisistä tilanteista valitaan sopivalla tavalla ja viihteellä. "

Vuoden 1911 painoksen ”Muistin rooli matematiikassa” johdannossa E.I. Ignatiev kirjoittaa "... matematiikassa ei tulisi muistaa kaavoja, vaan ajatteluprosessia".

Neliöjuuren purkamiseksi on kaksinumeroisia numeroita sisältäviä neliötaulukoita. Voit kerrota luvun alkeiskertoimiin ja purkaa tuotteen neliöjuuri. Neliötaulukko ei usein riitä, juuren erottaminen tekijänmuodostuksella on aikaa vievä tehtävä, joka ei myöskään aina johda toivottuun tulokseen. Kokeile 209764: n neliöjuuria? Ensisijainen tekijä antaa tuotteelle 2 * 2 * 52441. Kokeilu ja erehdys, valinta - tämä tietysti voidaan tehdä, jos olet varma, että tämä on kokonaisluku. Tapa, jonka haluan ehdottaa, on saada neliöjuuri joka tapauksessa.

Kerran instituutissa (Permin valtion pedagoginen instituutti) meille tehtiin tutustuminen tähän menetelmään, josta haluan puhua nyt. En ole koskaan miettinyt, oliko tällä menetelmällä todisteita, joten nyt jouduin itse hankkimaan joitain todisteita.

Tämän menetelmän perusta on luvun \u003d koostumus.

\u003d &, ts. & 2 \u003d 596334.

1. Jaa numero (5963364) pareittain oikealta vasemmalle (5`96`33`64) pareihin

2. Pura vasemmalla olevan ensimmäisen ryhmän neliöjuuri (- numero 2). Tämä antaa meille ensimmäisen numeron &.

3. Etsi ensimmäisen numeron neliö (2 2 \u003d 4).

4. Etsi ero ensimmäisen ryhmän ja ensimmäisen numeron neliön välillä (5-4 \u003d 1).

5. Otamme alas kaksi seuraavaa numeroa (saimme luvun 196).

6. Kaksinkertaistamalla löytämämme ensimmäisen numeron, kirjoita se vasemmalle rivin taakse (2 * 2 \u003d 4).

7. Nyt sinun on löydettävä luvun toinen numero &: Löydetystä kaksinkertaistetusta ensimmäisestä numerosta tulee numeron kymmeniä numeroita, kerrottuna lukumäärällä on saatava vähemmän kuin 196 (tämä on numero 4, 44 * 4 \u003d 176). 4 on &.

8. Löydä ero (196-176 \u003d 20).

9. Tuhoamme seuraavan ryhmän (saamme numeron 2033).

10. Tuplaa numero 24, niin saamme 48.

11,48 kymmeniä lukumäärässä kerrottuna lukumäärällä pitäisi saada luku, joka on pienempi kuin 2033 (484 * 4 \u003d 1936). Löytämämme yksiköiden (4) numero on &.

Annan todistuksen tapauksista:

1. Kolminumeroisen numeron neliöjuuren purkaminen;

2. Pura nelinumeron neliöjuuri.

Arvioidut neliöjuuren menetelmät (ilman laskinta).

1. Muinaiset babylonialaiset käyttivät seuraavaa menetelmää löytääkseen lukumääränsä x neliöjuuren likimääräisen arvon. Ne edustavat lukua x summana a 2 + b, missä a 2 on lähinnä lukua x luonnollisen luvun a (a 2? X) tarkka neliö, ja käyttivät kaavaa . (1)

Otetaan esimerkiksi neliöjuuri kaavan (1) avulla luvusta 28:

Tulos juurin erottamisesta kohdasta 28 käyttämällä MK 5.2915026: ta.

Kuten näette, babylonialainen menetelmä antaa hyvän lähestymistavan juuren tarkkaan arvoon.

2. Isaac Newton kehitti menetelmän neliöjuuren uuttamiseksi, joka juontaa juurensa Alexandriasta (noin 100 jKr). Tämä menetelmä (tunnetaan nimellä Newtonin menetelmä) on seuraava.

Anna olla a 1- luvun ensimmäinen likiarvo (1: na, voit käyttää luonnollisen luvun neliöjuuren arvoja - tarkka neliö, joka ei ylitä x).

Seuraava, tarkempi arvio a 2numerot löytyy kaavalla .

Tosiasia 1.
\\ (\\ bullet \\) Otetaan jokin ei-negatiivinen luku \\ (a \\) (eli \\ (a \\ geqslant 0 \\)). Sitten (aritmeettinen) neliöjuuri luvusta \\ (a \\) kutsutaan sellaiseksi ei-negatiiviseksi numeroksi \\ (b \\), kun neliö saadaan, saadaan numero \\ (a \\): \\ [\\ sqrt a \u003d b \\ quad \\ teksti (sama kuin) \\ quad a \u003d b ^ 2 \\] Määritelmästä seuraa, että \\ (a \\ geqslant 0, b \\ geqslant 0 \\). Nämä rajoitukset ovat välttämättömiä neliöjuuren olemassaololle, ja ne tulisi muistaa!
Muista, että mikä tahansa numero neliössä antaa ei-negatiivisen tuloksen. Eli \\ (100 ^ 2 \u003d 10000 \\ geqslant 0 \\) ja \\ ((- 100) ^ 2 \u003d 10000 \\ geqslant 0 \\).
\\ (\\ bullet \\) Mikä on \\ (\\ sqrt (25) \\)? Tiedämme, että \\ (5 ^ 2 \u003d 25 \\) ja \\ ((- 5) ^ 2 \u003d 25 \\). Koska määritelmän mukaan meidän on löydettävä ei-negatiivinen luku, \\ (- 5 \\) ei sovi, joten \\ (\\ sqrt (25) \u003d 5 \\) (koska \\ (25 \u003d 5 ^ 2 \\)).
Arvon \\ (\\ sqrt a \\) löytämistä kutsutaan luvun \\ (a \\) neliöjuuren ottamiseksi ja numeroa \\ (a \\) kutsutaan radikaaliksi lausekkeeksi.
\\ (\\ bullet \\) Määritelmän perusteella lauseke \\ (\\ sqrt (-25) \\), \\ (\\ sqrt (-4) \\) jne. ei ole järkeä.

Tosiasia 2.
Nopeita laskelmia varten on hyödyllistä oppia luonnollisten lukujen neliötaulukko välillä \\ (1 \\) - ((20)): \\ [\\ aloita (ryhmä) (| ll |) \\ hline 1 ^ 2 \u003d 1 & \\ quad11 ^ 2 \u003d 121 \\\\ 2 ^ 2 \u003d 4 & \\ quad12 ^ 2 \u003d 144 \\\\ 3 ^ 2 \u003d 9 & \\ quad13 ^ 2 \u003d 169 \\\\ 4 ^ 2 \u003d 16 & \\ quad14 ^ 2 \u003d 196 \\\\ 5 ^ 2 \u003d 25 & \\ quad15 ^ 2 \u003d 225 \\\\ 6 ^ 2 \u003d 36 & \\ quad16 ^ 2 \u003d 256 \\\\ 7 ^ 2 \u003d 49 & \\ quad17 ^ 2 \u003d 289 \\\\ 8 ^ 2 \u003d 64 & \\ quad18 ^ 2 \u003d 324 \\\\ 9 ^ 2 \u003d 81 & \\ quad19 ^ 2 \u003d 361 \\\\ 10 ^ 2 \u003d 100 & \\ quad20 ^ 2 \u003d 400 \\\\ \\ hline \\ end (array) \\]

Tosiasia 3.
Mitä voidaan tehdä neliöjuurilla?
\\ (\\ luoti \\) Neliöjuurten summa tai ero ei ole yhtä suuri kuin summan tai eron neliöjuuri, ts. \\ [\\ sqrt a \\ pm \\ sqrt b \\ ne \\ sqrt (a \\ pm b) \\] Siten, jos joudut laskemaan esimerkiksi \\ (\\ sqrt (25) + \\ sqrt (49) \\), sinun pitäisi aluksi löytää arvot \\ (\\ sqrt (25) \\) ja \\ (\\ sqrt (49) \\ Siten, \\ [\\ sqrt (25) + \\ sqrt (49) \u003d 5 + 7 \u003d 12 \\] Jos arvoja \\ (\\ sqrt a \\) tai \\ (\\ sqrt b \\) ei löydy lisättäessä \\ (\\ sqrt a + \\ sqrt b \\), sellaista lauseketta ei muuteta edelleen ja se pysyy samana. Esimerkiksi summasta \\ (\\ sqrt 2+ \\ sqrt (49) \\) löytyy \\ (\\ sqrt (49) \\) - tämä on \\ (7 \\), mutta \\ (\\ sqrt 2 \\) ei voida muuntaa millään tavalla, niin \\ (\\ sqrt 2+ \\ sqrt (49) \u003d \\ sqrt 2 + 7 \\)... Valitettavasti tätä ilmaisua ei voida yksinkertaistaa edelleen. \\ (\\ bullet \\) Tuote / neliöjuurten osamäärä on yhtä suuri kuin tuotteen / osamäärän neliöjuuri, toisin sanoen \\ [\\ sqrt a \\ cdot \\ sqrt b \u003d \\ sqrt (ab) \\ quad \\ text (and) \\ quad \\ sqrt a: \\ sqrt b \u003d \\ sqrt (a: b) \\] (edellyttäen, että tasa-arvon molemmilla puolilla on järkeä)
Esimerkki: \\ (\\ sqrt (32) \\ cdot \\ sqrt 2 \u003d \\ sqrt (32 \\ cdot 2) \u003d \\ sqrt (64) \u003d 8 \\); \\ (\\ sqrt (768): \\ sqrt3 \u003d \\ sqrt (768: 3) \u003d \\ sqrt (256) \u003d 16 \\); \\ (\\ sqrt ((- 25) \\ cdot (-64)) \u003d \\ sqrt (25 \\ cdot 64) \u003d \\ sqrt (25) \\ cdot \\ sqrt (64) \u003d 5 \\ cdot 8 \u003d 40 \\)... \\ (\\ bullet \\) Näitä ominaisuuksia käyttämällä on kätevää löytää suurten lukumäärien neliöjuuret tekijäkohtaisesti.
Katsotaanpa esimerkkiä. Etsi \\ (\\ sqrt (44100) \\). Koska \\ (44100: 100 \u003d 441 \\), sitten \\ (44100 \u003d 100 \\ cdot 441 \\). Jaettavuuden perusteella luku \\ (441 \\) on jaettavissa kerralla \\ (9 \\) (koska sen numeroiden summa on 9 ja jaettavissa yhdellä 9), siksi \\ (441: 9 \u003d 49 \\), eli \\ (441 \u003d 9 \\ Siten meillä on:
\\ [\\ sqrt (44100) \u003d \\ sqrt (9 \\ cdot 49 \\ cdot 100) \u003d \\ sqrt9 \\ cdot \\ sqrt (49) \\ cdot \\ sqrt (100) \u003d 3 \\ cdot 7 \\ cdot 10 \u003d 210 \\] Katsotaanpa toista esimerkkiä: \\ [\\ sqrt (\\ dfrac (32 \\ cdot 294) (27)) \u003d \\ sqrt (\\ dfrac (16 \\ cdot 2 \\ cdot 3 \\ cdot 49 \\ cdot 2) (9 \\ cdot 3)) \u003d \\ sqrt (\\ \u003d \\ dfrac (56) 3 \\] \\ (\\ bullet \\) Oletetaan, kuinka numerot syötetään neliöjuuren alle merkinnän lausekkeella \\ (5 \\ sqrt2 \\) (lyhenne lausekkeelle \\ (5 \\ cdot \\ sqrt2 \\)). Koska \\ (5 \u003d \\ sqrt (25) \\), sitten
Huomaa myös, että esimerkiksi \ 1) \\ (\\ sqrt2 + 3 \\ sqrt2 \u003d 4 \\ sqrt2 \\),
2) \\ (5 \\ sqrt3- \\ sqrt3 \u003d 4 \\ sqrt3 \\)
3) \\ (\\ sqrt a + \\ sqrt a \u003d 2 \\ sqrt a \\).
{!LANG-07288926434bd6d21b4ca0747521f054!}

Miksi niin? Selitetään esimerkin 1 avulla. Kuten jo ymmärsit, emme voi jotenkin muuntaa numeroa \\ (\\ sqrt2 \\). Kuvittelemme, että \\ (\\ sqrt2 \\) on jokin luku \\ (a \\). Vastaavasti lauseke \\ (\\ sqrt2 + 3 \\ sqrt2 \\) ei ole muuta kuin \\ (a + 3a \\) (yksi numero \\ (a \\) plus kolme muuta samaa numeroa \\ (a \\)). Ja tiedämme, että se on yhtä suuri kuin neljä tällaista lukua \\ (a \\), eli \\ (4 \\ sqrt2 \\).

Tosiasia 4.
\\ (\\ bullet \\) Sanotaan usein "et voi purkaa juuria", kun et pääse eroon juuren (radikaalin) merkistä \\ (\\ sqrt () \\ \\) etsiessäsi jonkin luvun arvoa. Voit esimerkiksi purkaa luvun \\ (16 \\) juuri, koska \\ (16 \u003d 4 ^ 2 \\), siis \\ (\\ sqrt (16) \u003d 4 \\). Juuria ei kuitenkaan voida erottaa luvusta \\ (3 \\), ts. Löytää \\ (\\ sqrt3 \\), koska neliössä ei ole sellaista numeroa, joka antaa \\ (3 \\).
Tällaiset numerot (tai lausekkeet sellaisilla numeroilla) ovat irrationaalisia. Esimerkiksi numerot \\ (\\ sqrt3, \\ 1+ \\ sqrt2, \\ \\ sqrt (15) \\) jne. ovat irrationaalisia.
Irrationaalisia ovat myös numerot \\ (\\ pi \\) (luku "pi", suunnilleen yhtä suuri kuin \\ (3.14 \\)), \\ (e \\) (tätä numeroa kutsutaan Eulerin numeroksi, suunnilleen se on ((2,7))) jne.
\\ (\\ bullet \\) Huomaa, että mikä tahansa numero on joko rationaalinen tai irrationaalinen. Ja yhdessä kaikki rationaaliset ja kaikki irrationaaliset numerot muodostavat joukon, jota kutsutaan joukko todellisia (todellisia) lukuja. Tätä sarjaa merkitään kirjaimella \\ (\\ mathbb (R) \\).
Tämä tarkoittaa, että kaikkia numeroita, jotka tällä hetkellä tiedämme, kutsutaan todellisiksi numeroiksi.

Tosiasia 5.
\\ (\\ bullet \\) Oikean luvun \\ (a \\) moduuli on ei-negatiivinen luku \\ (| a | \\), joka on yhtä suuri kuin etäisyys pisteestä \\ (a \\) - \\ (0 \\) todellisella rivillä. Esimerkiksi, \\ (| 3 | \\) ja \\ (| -3 | \\) ovat yhtä suuret kuin 3, koska etäisyydet pisteistä \\ (3 \\) ja \\ (- 3 \\) pisteeseen \\ (0 \\) ovat samat ja yhtä suuret kuin \\ (3 \\).
\\ (\\ bullet \\) Jos \\ (a \\) on ei-negatiivinen luku, niin \\ (| a | \u003d a \\).
Esimerkki: \\ (| 5 | \u003d 5 \\); \\ (\\ qquad | \\ sqrt2 | \u003d \\ sqrt2 \\). \\ (\\ bullet \\) Jos \\ (a \\) on negatiivinen luku, niin \\ (| a | \u003d -a \\).
Esimerkki: \\ (| -5 | \u003d - (- 5) \u003d 5 \\); \\ (\\ qquad | - \\ sqrt3 | \u003d - (- \\ sqrt3) \u003d \\ sqrt3 \\).
He sanovat, että moduuli “syö” negatiivisten lukujen miinus ja moduuli jättää positiiviset numerot samoin kuin luku \\ (0 \\) ennallaan.
MUTTA tämä sääntö toimii vain numeroissa. Jos sinulla on tuntematon \\ (x \\) moduulin merkillä (tai jollain muulla tuntemattomalla), esimerkiksi \\ (| x | \\), josta emme tiedä, onko se positiivinen, nolla vai negatiivinen, niin päästä eroon moduulista emme voi. Tässä tapauksessa tämä lauseke pysyy: \\ (| x | \\). \\ (\\ bullet \\) Seuraavat kaavat ovat voimassa: \\ [(\\ suuri (\\ sqrt (a ^ 2) \u003d | a |)) \\] \\ [(\\ suuri ((\\ sqrt (a)) ^ 2 \u003d a)), \\ teksti (ehdolla) a \\ geqslant 0 \\] Tehdään hyvin yleinen virhe: he sanovat, että \\ (\\ sqrt (a ^ 2) \\) ja \\ ((\\ sqrt a) ^ 2 \\) ovat yksi ja sama. Tämä pätee vain, jos \\ (a \\) on positiivinen luku tai nolla. Mutta jos \\ (a \\) on negatiivinen luku, niin se ei ole totta. Riittää, kun tarkastellaan tällaista esimerkkiä. Otetaan luku \\ (- 1 \\) \\ (a \\): n sijasta. Sitten \\ (\\ sqrt ((- 1) ^ 2) \u003d \\ sqrt (1) \u003d 1 \\), mutta lauseketta \\ ((\\ sqrt (-1)) ^ 2 \\) ei ole lainkaan (juurimerkin alla se on mahdotonta laita negatiiviset luvut!).
Siksi kiinnitämme huomiota siihen, että \\ (\\ sqrt (a ^ 2) \\) ei ole yhtä suuri kuin \\ ((\\ sqrt a) ^ 2 \\)! Esimerkki: 1) \\ (\\ sqrt (\\ vasen (- \\ sqrt2 \\ oikea) ^ 2) \u003d | - \\ sqrt2 | \u003d \\ sqrt2 \\)siitä asti kun \\ (- \\ sqrt2<0\) ;

\\ (\\ fantomi (00000) \\) 2) \\ ((\\ sqrt (2)) ^ 2 \u003d 2 \\). \\ (\\ bullet \\) Koska \\ (\\ sqrt (a ^ 2) \u003d | a | \\), sitten \\ [\\ sqrt (a ^ (2n)) \u003d | a ^ n | \\] (lauseke \\ (2n \\) tarkoittaa parillista lukua)
Toisin sanoen, kun uutetaan juuri määrästä, joka on jossain määrin, tämä aste puolittuu.
Esimerkki:
1) \\ (\\ sqrt (4 ^ 6) \u003d | 4 ^ 3 | \u003d 4 ^ 3 \u003d 64 \\)
2) \\ (\\ sqrt ((- 25) ^ 2) \u003d | -25 | \u003d 25 \\) (huomaa, että jos moduulia ei ole asennettu, osoittautuu, että numeron juuri on \\ (- 25 \\); mutta muistamme että juuren määritelmän mukaan tämä ei voi olla: meillä on aina positiivinen luku tai nolla juuriä poimittaessa)
3) \\ (\\ sqrt (x ^ (16)) \u003d | x ^ 8 | \u003d x ^ 8 \\) (koska kaikki parillisen voiman numerot eivät ole negatiivisia)

Tosiasia 6.
Kuinka kaksi neliöjuuria verrataan?
\\ (\\ bullet \\) Neliöjuurten kohdalla on totta: jos \\ (\\ sqrt a<\sqrt b\) , то \(a Esimerkki:
1) vertaa \\ (\\ sqrt (50) \\) ja \\ (6 \\ sqrt2 \\). Ensin muunnetaan toinen lauseke muotoon \\ (\\ sqrt (36) \\ cdot \\ sqrt2 \u003d \\ sqrt (36 \\ cdot 2) \u003d \\ sqrt (72) \\)... Siksi, koska \\ (50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Mitä kokonaislukuja on \\ (\\ sqrt (50) \\)?
Koska \\ (\\ sqrt (49) \u003d 7 \\), \\ (\\ sqrt (64) \u003d 8 \\) ja \\ (49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Vertaa \\ (\\ sqrt 2-1 \\) ja \\ (0.5 \\). Oletetaan \\ (\\ sqrt2-1\u003e 0,5 \\): \\ [\\ aloita (kohdistettu) & \\ sqrt 2-1\u003e 0,5 \\ \\ iso | +1 \\ quad \\ teksti ((lisää yksi molemmille puolille)) \\\\ & \\ sqrt2\u003e 0,5 + 1 \\ \\ iso | \\ ^ 2 \\ quad \\ teksti ((neliö molemmin puolin)) \\\\ & 2\u003e 1.5 ^ 2 \\\\ & 2\u003e 2.25 \\ loppu (kohdistettu) \\] Näemme, että meillä on väärä eriarvoisuus. Siksi olettamuksemme oli väärä ja \\ (\\ sqrt 2-1<0,5\) .
Huomaa, että numeron lisääminen epätasa-arvon molemmille puolille ei vaikuta sen merkkiin. Eriarvoisuuden molemmin puolin kertominen / jakaminen positiivisella numerolla ei myöskään vaikuta sen merkkiin, ja kertominen / jakaminen negatiivisella luvulla kääntää epätasa-arvon merkin!
Voit neliöida yhtälön / epätasa-arvon molemmat puolet VAIN, kun molemmat osapuolet eivät ole negatiivisia. Esimerkiksi edellisen esimerkin epätasa-arvossa molemmat osapuolet voidaan neliöida, eriarvoisuudessa \\ (- 3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \\ (\\ bullet \\) Muista se \\ [\\ aloita (kohdistettu) & \\ sqrt 2 \\ noin 1,4 \\\\ & \\ sqrt 3 \\ noin 1,7 \\ loppu (kohdistettu) \\] Näiden numeroiden likimääräisen arvon tunteminen auttaa sinua verrattaessa numeroita! \\ (\\ bullet \\) Jotta voidaan purkaa juuri (jos se on poistettu) jostain suuresta määrästä, jota ei ole neliötaulukossa, sinun on ensin määritettävä, minkä "satojen" se on, sitten - minkä "kymmenien" välillä, ja määritä sitten tämän numeron viimeinen numero. Otetaan esimerkki siitä, miten se toimii.
Otetaan \\ (\\ sqrt (28224) \\). Tiedämme, että \\ (100 ^ 2 \u003d 10 \\ 000 \\), \\ (200 ^ 2 \u003d 40 \\, 000 \\) jne. Huomaa, että \\ (28224 \\) on välillä \\ (10 \u200b\u200b\\ 000 \\) ja \\ (40 \\, 000 \\). Siksi \\ (\\ sqrt (28224) \\) on välillä \\ (100 \\) - \\ (200 \\).
Nyt määritetään, minkä "kymmenien" välillä numeroomme sijaitsee (eli esimerkiksi välillä \\ (120 \\) ja \\ (130 \\)). Myös neliötaulukosta tiedämme, että \\ (11 ^ 2 \u003d 121 \\), \\ (12 ^ 2 \u003d 144 \\) jne., Sitten \\ (110 ^ 2 \u003d 12100 \\), \\ (120 ^ 2 \u003d 14400 \\), \\ (130 ^ 2 \u003d 16900 \\), \\ (140 ^ 2 \u003d 19600 \\), \\ (150 ^ 2 \u003d 22500 \\), \\ (160 ^ 2 \u003d 25600 \\), \\ (170 ^ 2 \u003d 28900 \\). Joten näemme, että \\ (28224 \\) on välillä \\ (160 ^ 2 \\) ja \\ (170 ^ 2 \\). Siksi numero \\ (\\ sqrt (28224) \\) on välillä \\ (160 \\) - \\ (170 \\).
Yritetään määrittää viimeinen numero. Muistakaamme, mitkä yksinumeroiset numerot \\ (4 \\): n lopussa ovat neliönä? Nämä ovat \\ (2 ^ 2 \\) ja \\ (8 ^ 2 \\). Siksi \\ (\\ sqrt (28224) \\) päättyy joko 2 tai 8. Tarkistetaan tämä. Etsi \\ (162 ^ 2 \\) ja \\ (168 ^ 2 \\):
\\ (162 ^ 2 \u003d 162 \\ cdot 162 \u003d 26224 \\)
\\ (168 ^ 2 \u003d 168 \\ cdot 168 \u003d 28224 \\).
Siksi \\ (\\ sqrt (28224) \u003d 168 \\). Voila!

Matematiikan USE-ratkaisun ratkaisemiseksi on ensinnäkin tutkittava teoreettista materiaalia, joka esittelee lukuisia lauseita, kaavoja, algoritmeja jne. Ensi silmäyksellä saattaa tuntua, että se on melko yksinkertainen. Lähteen löytäminen, jossa matematiikan tentin teoria esitetään helposti ja ymmärrettävästi minkä tahansa koulutustason opiskelijoille, on kuitenkin melko vaikea tehtävä. On mahdotonta pitää koulukirjoja aina käden ulottuvilla. Matematiikan USE-peruskaavojen löytäminen voi olla vaikeaa jopa Internetissä.

Miksi matematiikan teorian opiskelu on niin tärkeää paitsi tentin suorittajille?

1. Koska se laajentaa näkymääsi... Matematiikan teoreettisen materiaalin opiskelu on hyödyllistä jokaiselle, joka haluaa saada vastauksia moniin kysymyksiin, jotka liittyvät ympäröivän maailman tuntemiseen. Kaikki luonnossa on järjestyksessä ja sillä on selkeä logiikka. Juuri tämä heijastuu tieteessä, jonka kautta on mahdollista ymmärtää maailmaa.
2. Koska se kehittää älykkyyttä... Opiskellessaan matematiikan tentin vertailumateriaaleja sekä ratkaisemaan erilaisia \u200b\u200bongelmia, henkilö oppii ajattelemaan loogisesti ja järkevästi, muotoilemaan ajatuksia osaavasti ja selvästi. Hän kehittää kykyä analysoida, yleistää ja tehdä johtopäätöksiä.

Kutsumme sinut henkilökohtaisesti arvioimaan kaikki lähestymistavan edut koulumateriaalien järjestämisessä ja esittämisessä.

Ohjeet

Valitse tekijä radikaaliluvulle, jonka poistaminen alta juuri kelvollinen lauseke - muuten toiminta häviää. Esimerkiksi, jos merkin alla juuri jonka eksponentti on yhtä kuin kolme (kuutiojuuri) on määrä 128, niin kyltin alapuolelta voit ottaa esimerkiksi määrä 5. Samanaikaisesti määrä 128 on jaettava 5 kuutiota: ³√128 \u003d 5 ∗ ³√ (128 / 5³) \u003d 5 ∗ ³√ (128/125) \u003d 5 ∗ √√1.024. Jos merkinnän alla on murtoluku juuri ei ole ristiriidassa ongelman olosuhteiden kanssa, niin se on mahdollista tässä muodossa. Jos tarvitset yksinkertaisempaa versiota, jaa radikaalilause ensin kokonaislukukertoimiin, joista yhden kuutiojuuri on kokonaisluku määräm. Esimerkiksi: ³√128 \u003d ³√ (64 ∗ 2) \u003d ³√ (4³ ∗ 2) \u003d 4 ∗ ³√2.

Käytä radikaalia numeroa tekijöiden valitsemiseen, jos numeron voimakkuutta ei ole mahdollista laskea päässäsi. Tämä pätee erityisesti juurim eksponentin ollessa suurempi kuin kaksi. Jos sinulla on pääsy Internetiin, voit tehdä laskelmia Google- ja Nigma-hakukoneisiin sisäänrakennetuilla laskimilla. Jos sinun on esimerkiksi löydettävä suurin kokonaislukukerroin, joka voidaan poistaa kuutiomerkistä juuri numeroon 250, siirry sitten Google-sivustoon kyselyllä "6 ^ 3" tarkistaaksesi, onko mahdollista poistaa merkistä juuri kuusi. Hakukone näyttää tuloksen, joka on yhtä suuri kuin 216. Valitettavasti 250: tä ei voida jakaa kokonaan tällä määrä... Kirjoita sitten kysely 5 ^ 3. Tuloksena on 125, ja tämä antaa sinun jakaa 250 kertoimiksi 125 ja 2, ja siksi poistua merkin alta juuri määrä 5 lähtee sinne määrä 2.

Lähteet:

• kuinka ottaa pois juuren alla
• Tuotteen neliöjuuri

Ota pois alhaalta juuri yksi tekijöistä on välttämätöntä tilanteissa, joissa sinun on yksinkertaistettava matemaattista lauseketta. Toisinaan on mahdotonta suorittaa tarvittavia laskelmia laskimen avulla. Esimerkiksi, jos numeroiden sijasta käytetään muuttuvia kirjaimia.

Ohjeet

Laajenna radikaali ilmaisu yksinkertaisiksi tekijöiksi. Katso, mikä tekijä toistetaan sama monta kertaa osoittimissa juuri, tai enemmän. Oletetaan esimerkiksi, että haluat juurruttaa a: n neljänteen voimaan. Tässä tapauksessa numero voidaan esittää muodolla * a * a * a \u003d a * (a * a * a) \u003d a * a3. Indikaattori juuri tässä tapauksessa vastaa tekijä a3. Se on myös otettava merkille.

Pura saatujen juurten juuri erikseen mahdollisuuksien mukaan. Haetaan juuri on eksponentisaation käänteinen algebrallinen vaikutus. Haetaan juuri mielivaltaisessa määrin luvusta, etsi numero, joka nostettaessa tähän mielivaltaiseen voimaan johtaa annettuun numeroon. Jos uutto juuri ei voida tuottaa, jätä radikaali ilmaisu merkin alle juuri niin kuin se on. Listattujen toimien suorittamisen seurauksena teet poiston alta merkki juuri.

Liittyvät videot

merkintä

Ole varovainen kirjoittaessasi radikaalia lauseketta tekijöiden muodossa - virhe tässä vaiheessa johtaa virheellisiin tuloksiin.

Hyödyllisiä neuvoja

Juurien poiminnassa on kätevää käyttää erityisiä taulukoita tai logaritmisten juurten taulukoita - tämä vähentää huomattavasti aikaa löytää oikea ratkaisu.

Lähteet:

• juurien poistomerkki vuonna 2019

Algebrallisten lausekkeiden yksinkertaistamista vaaditaan monilla matematiikan aloilla, mukaan lukien ylemmän asteen yhtälöiden ratkaiseminen, eriyttäminen ja integraatio. Se käyttää useita menetelmiä, mukaan lukien factorization. Tämän menetelmän käyttämiseksi sinun täytyy löytää ja tehdä yhteinen tekijä takana sulkeet.

Ohjeet

Yhteisen tekijän suorittaminen sulkeet - yksi yleisimmistä hajotustavoista. Tätä tekniikkaa käytetään yksinkertaistamaan pitkien algebrallisten lausekkeiden, ts. polynomit. Yleinen voi olla numero, monomi tai binomi, ja kertolaskun jakaumaominaisuutta käytetään sen löytämiseen.

Numero: Katso huolellisesti kunkin polynomin kertoimia nähdäksesi, voidaanko ne jakaa samalla numerolla. Esimerkiksi lausekkeessa 12 z³ + 16 z² - 4 ilmeinen on tekijä 4. Muunnoksen jälkeen saat 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Muuten tämä luku on kaikkien kertoimien vähiten yleinen kokonaislukija.

Monomial - Määritä, onko sama muuttuja kaikissa polynomin ehdoissa. Olettaen, että näin on, tarkastele nyt kertoimia kuten edellisessä tapauksessa. Esimerkki: 9 z ^ 4 - 6 z³ + 15 z² - 3 z.

Jokainen tämän polynomin elementti sisältää muuttujan z. Lisäksi kaikki kertoimet ovat kerrannaisia \u200b\u200b3. Siksi yleinen tekijä on monomi 3 z: 3 z (3 z³ - 2 z² + 5 z - 1).

Binomial sulkeet yleinen tekijä kahdesta, muuttuja ja luku, joka on yhteinen polynomi. Siksi, jos tekijä-ääni ei ole ilmeinen, sinun on löydettävä ainakin yksi juuri. Valitse polynomin vapaa termi, tämä on kerroin ilman muuttujaa. Nyt sovelletaan korvausmenetelmää kaikkien sieppauksen kokonaislukujakajien yhteiseen lausekkeeseen.

Harkitse: z ^ 4 - 2 z³ + z² - 4 z + 4. Tarkista, onko jokin kokonaisluvun jakajista 4 z ^ 4 - 2 z³ + z² - 4 z + 4 \u003d 0. Käytä yksinkertaista korvaamista löytääksesi z1 \u003d 1 ja z2 \u003d 2, siis jälkeen sulkeet voit ottaa binomiaalit (z - 1) ja (z - 2). Käytä peräkkäistä pitkää jakoa jäljellä olevan lausekkeen löytämiseksi.