Sini on yhtä suuri kuin suhde. Terävän kulman sini, kosini, tangentti, kotangentti

Luento: Mielivaltaisen kulman sini, kosini, tangentti, kotangentti

Sini, mielivaltaisen kulman kosini

Ymmärtääksemme, mitä trigonometriset funktiot ovat, käännytään ympyrään, jolla on yksikkösäde. Tämä ympyrä on keskitetty koordinaattitason origoon. Määritettäessä annettuja funktioita käytämme sädevektoria TAI, joka alkaa ympyrän keskeltä ja pisteestä R on piste ympyrässä. Tämä sädevektori muodostaa kulman alfan akselin kanssa VAI NIIN. Koska ympyrän säde on yhtä suuri kuin yksi, niin TAI = R = 1.

Jos pisteestä R pudota kohtisuora akselille VAI NIIN, niin saadaan suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusa on yhtä suuri.

Jos sädevektori liikkuu myötäpäivään, tätä suuntaa kutsutaan negatiivinen, mutta jos se liikkuu vastapäivään - positiivinen.

Kulman sini TAI, on pisteen ordinaatti R vektorit ympyrässä.

Toisin sanoen tietyn kulman alfa sinin arvon saamiseksi on tarpeen määrittää koordinaatti klo pinnalla.

Miten tämä arvo on saatu? Koska tiedämme, että suorakulmaisen kolmion mielivaltaisen kulman sini on vastakkaisen haaran suhde hypotenuusaan, saamme sen

Ja siitä lähtien R = 1, sitten sin(α) = y 0 .

Yksikköympyrässä ordinaatin arvo ei voi olla pienempi kuin -1 ja suurempi kuin 1, mikä tarkoittaa sitä

Sini on positiivinen yksikköympyrän ensimmäisellä ja toisella neljänneksellä ja negatiivinen kolmannella ja neljännellä.

Kulman kosini annettu sädevektorin muodostama ympyrä TAI, on pisteen abskissa R vektorit ympyrässä.

Toisin sanoen tietyn kulman alfa kosinin arvon saamiseksi on tarpeen määrittää koordinaatti X pinnalla.

Suorakulmaisen kolmion mielivaltaisen kulman kosini on viereisen haaran suhde hypotenuusaan, saamme sen

Ja siitä lähtien R = 1, sitten cos(α) = x 0 .

Yksikköympyrässä abskissan arvo ei voi olla pienempi kuin -1 ja suurempi kuin 1, mikä tarkoittaa, että

Kosini on positiivinen yksikköympyrän ensimmäisessä ja neljännessä neljänneksessä ja negatiivinen toisessa ja kolmannessa.

tangenttimielivaltainen kulma lasketaan sinin ja kosinin suhde.

Jos tarkastelemme suorakulmaista kolmiota, tämä on vastakkaisen jalan suhde viereiseen. Jos puhumme yksikköympyrästä, tämä on ordinaatin suhde abskissaan.

Näistä suhteista päätellen voidaan ymmärtää, että tangenttia ei voi olla olemassa, jos abskissan arvo on nolla, eli 90 asteen kulmassa. Tangentti voi ottaa kaikki muut arvot.

Tangentti on positiivinen yksikköympyrän ensimmäisessä ja kolmannessa neljänneksessä ja negatiivinen toisessa ja neljännessä.

Trigonometria tieteenä sai alkunsa muinaisesta idästä. Tähtitieteilijät kehittivät ensimmäiset trigonometriset suhteet luodakseen tarkan kalenterin ja tähtien suunnan. Nämä laskelmat liittyivät pallomaiseen trigonometriaan, kun taas koulukurssilla ne tutkivat tasaisen kolmion sivujen ja kulman suhdetta.

Trigonometria on matematiikan haara, joka käsittelee trigonometristen funktioiden ominaisuuksia ja kolmion sivujen ja kulmien välistä suhdetta.

Kulttuurin ja tieteen kukoistuskaudella 1. vuosituhannella jKr. tieto levisi muinaisesta idästä Kreikkaan. Mutta trigonometrian tärkeimmät löydöt ovat arabikalifaatin miesten ansioita. Erityisesti turkmenistanilainen tiedemies al-Marazvi esitteli sellaisia ​​​​toimintoja kuin tangentti ja kotangentti, laati ensimmäiset sinien, tangenttien ja kotangenttien arvotaulukot. Intialaiset tutkijat ottivat käyttöön sinin ja kosinin käsitteen. Trigonometriaan on kiinnitetty paljon huomiota sellaisten antiikin suurhahmojen kuin Eukleides, Arkhimedes ja Eratosthenes teoksissa.

Trigonometrian perussuureet

Numeerisen argumentin trigonometriset perusfunktiot ovat sini, kosini, tangentti ja kotangentti. Jokaisella niistä on oma graafi: sini, kosini, tangentti ja kotangentti.

Näiden suureiden arvojen laskentakaavat perustuvat Pythagoraan lauseeseen. Koululaiset tuntevat sen paremmin muotoilussa: "Pythagoran housut, tasa-arvoiset kaikkiin suuntiin", koska todiste on annettu tasakylkisen suorakulmaisen kolmion esimerkissä.

Sini, kosini ja muut riippuvuudet muodostavat suhteen minkä tahansa suorakulmaisen kolmion terävien kulmien ja sivujen välille. Annamme kaavat näiden suureiden laskemiseksi kulmalle A ja seuraamme trigonometristen funktioiden suhdetta:

Kuten näet, tg ja ctg ovat käänteisiä funktioita. Jos edustamme haaraa a sin A:n ja hypotenuusan c tulona ja jalkaa b muodossa cos A * c, saadaan seuraavat kaavat tangentille ja kotangentille:

trigonometrinen ympyrä

Graafisesti mainittujen määrien suhde voidaan esittää seuraavasti:

Ympyrä edustaa tässä tapauksessa kaikkia mahdollisia kulman α arvoja 0° - 360°. Kuten kuvasta voidaan nähdä, jokainen funktio saa negatiivisen tai positiivisen arvon kulmasta riippuen. Esimerkiksi sin α on "+"-merkillä, jos α kuuluu ympyrän I- ja II-neljänneksiin, eli se on alueella 0 ° - 180 °. Kun α on 180° - 360° (III ja IV neljännes), sin α voi olla vain negatiivinen arvo.

Yritetään rakentaa trigonometrisia taulukoita tietyille kulmille ja selvittää suureiden merkitys.

Arvoja α, jotka vastaavat 30°, 45°, 60°, 90°, 180° ja niin edelleen, kutsutaan erikoistapauksiksi. Niiden trigonometristen funktioiden arvot lasketaan ja esitetään erityisten taulukoiden muodossa.

Näitä kulmia ei valittu sattumalta. Taulukoiden merkintä π tarkoittaa radiaaneja. Rad on kulma, jossa ympyränkaaren pituus vastaa sen sädettä. Tämä arvo otettiin käyttöön universaalin suhteen luomiseksi; radiaaneissa laskettaessa säteen todellisella pituudella cm:ssä ei ole merkitystä.

Trigonometristen funktioiden taulukoiden kulmat vastaavat radiaaniarvoja:

Joten ei ole vaikea arvata, että 2π on täysi ympyrä tai 360°.

Trigonometristen funktioiden ominaisuudet: sini ja kosini

Sinin ja kosinin, tangentin ja kotangentin perusominaisuuksien tarkastelemiseksi ja vertailemiseksi on tarpeen piirtää niiden funktiot. Tämä voidaan tehdä käyrän muodossa, joka sijaitsee kaksiulotteisessa koordinaattijärjestelmässä.

Harkitse siniaallon ja kosiniaallon ominaisuuksien vertailutaulukkoa:

Sen määrittäminen, onko funktio parillinen vai ei, on hyvin yksinkertaista. Riittää, kun kuvittelet trigonometrisen ympyrän, jossa on trigonometristen määrien merkkejä, ja henkisesti "taittaa" kaavion suhteessa OX-akseliin. Jos merkit ovat samat, funktio on parillinen, muuten se on pariton.

Radiaanien käyttöönotto ja siniaallon ja kosiniaallon pääominaisuuksien luettelointi mahdollistavat seuraavan säännöllisyyden:

Kaavan oikeellisuuden tarkistaminen on erittäin helppoa. Esimerkiksi kun x = π/2, sini on yhtä suuri kuin 1, samoin kuin x = 0:n kosini. Varmistus voidaan tehdä katsomalla taulukoita tai jäljittämällä funktiokäyriä annetuille arvoille.

Tangentoidin ja kotangentoidin ominaisuudet

Tangentti- ja kotangenttifunktioiden kuvaajat eroavat merkittävästi sini- ja kosiniaalto-aalloista. Arvot tg ja ctg ovat käänteisiä toisilleen.

1. Y = tgx.
2. Tangentti pyrkii y:n arvoihin kohdassa x = π/2 + πk, mutta ei koskaan saavuta niitä.
3. Tangentoidin pienin positiivinen jakso on π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, eli funktio on pariton.
5. Tg x = 0, kun x = πk.
6. Toiminto lisääntyy.
7. Tg x › 0, kun x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, kun x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Johdannainen (tg x)' = 1/cos 2⁡x .

Harkitse kotangentoidin graafista esitystä alla tekstissä.

Kotangentoidin tärkeimmät ominaisuudet:

1. Y = ctgx.
2. Toisin kuin sini- ja kosinifunktiot, tangentoidissa Y voi ottaa kaikkien reaalilukujen joukon arvot.
3. Kotangentoidi pyrkii y:n arvoihin kohdassa x = πk, mutta ei koskaan saavuta niitä.
4. Kotangentoidin pienin positiivinen jakso on π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, eli funktio on pariton.
6. Ctg x = 0, kun x = π/2 + πk.
7. Toiminto vähenee.
8. Ctg x › 0, kun x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, kun x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Johdannainen (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Fix

Kuinka löytää sini?

Geometrian opiskelu auttaa kehittämään ajattelua. Tämä aine sisältyy opetussuunnitelmaan. Elämässä tämän asian tuntemisesta voi olla hyötyä - esimerkiksi asuntoa suunniteltaessa.

Historiasta

Osana geometriakurssia opiskellaan myös trigonometriaa, joka tutkii trigonometrisiä funktioita. Trigonometriassa tutkimme kulman sinejä, kosineja, tangentteja ja kotangentteja.

Mutta aloitetaan nyt yksinkertaisimmasta - sinistä. Katsotaanpa tarkemmin aivan ensimmäistä käsitettä - kulman siniä geometriassa. Mikä on sini ja miten se löytää?

Käsite "kulman sini" ja sinilasit

Kulman sini on vastakkaisen haaran ja suorakulmaisen kolmion hypotenuusan arvojen suhde. Tämä on suora trigonometrinen funktio, joka kirjoitetaan kirjallisesti "sin (x)", missä (x) on kolmion kulma.

Kaaviossa kulman sini on ilmaistu sinimuodolla, jolla on omat ominaisuudet. Sinimuoto näyttää jatkuvalta aaltoviivalta, joka on koordinaattitason tietyissä rajoissa. Funktio on pariton, joten se on symmetrinen koordinaattitason 0:n suhteen (poistuu koordinaattien origosta).

Tämän funktion toimialue on suorakulmaisessa koordinaatistossa alueella -1 - +1. Sinikulmafunktion jakso on 2 Pi. Tämä tarkoittaa, että joka 2 Pi: n kuvio toistetaan ja siniaalto käy läpi täyden syklin.

Sinusoidiyhtälö

• sin x = a / c
• jossa a on kolmion kulman vastainen jalka
• c - suorakulmaisen kolmion hypotenuusa

Kulman sinin ominaisuudet

1. sin(x) = - sin(x). Tämä ominaisuus osoittaa, että funktio on symmetrinen, ja jos arvot x ja (-x) on asetettu sivuun koordinaattijärjestelmässä molempiin suuntiin, näiden pisteiden ordinaatit ovat vastakkaiset. Ne ovat yhtä kaukana toisistaan.
2. Toinen tämän funktion ominaisuus on, että funktion kuvaaja kasvaa segmentillä [- P / 2 + 2 Pn]; [P/2 + 2Pn], jossa n on mikä tahansa kokonaisluku. Kulman sinin kuvaajan pieneneminen havaitaan segmentillä: [P / 2 + 2 Pn]; [ 3P/2 + 2Pn].
3. sin (x) > 0, kun x on alueella (2Pn, P + 2Pn)
4. (x)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

Kulman sinien arvot määritetään erityisillä taulukoilla. Tällaisia ​​taulukoita on luotu helpottamaan monimutkaisten kaavojen ja yhtälöiden laskentaa. Se on helppokäyttöinen ja sisältää sin(x)-funktion lisäksi myös muiden funktioiden arvot.

Lisäksi näiden funktioiden standardiarvojen taulukko sisältyy pakolliseen muistitutkimukseen, kuten kertotaulukko. Tämä pätee erityisesti luokkiin, joissa on fyysinen ja matemaattinen harha. Taulukosta näet trigonometriassa käytettävien pääkulmien arvot: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 ja 360 astetta.

Siellä on myös taulukko, joka määrittelee epästandardien kulmien trigonometristen funktioiden arvot. Eri taulukoiden avulla voit helposti laskea joidenkin kulmien sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin.

Yhtälöt tehdään trigonometrisilla funktioilla. Näiden yhtälöiden ratkaiseminen on helppoa, jos tiedät yksinkertaiset trigonometriset identiteetit ja funktioiden pelkistykset, kuten sin (P / 2 + x) \u003d cos (x) ja muut. Tällaisia ​​heittoja varten on myös koottu erillinen taulukko.

Kuinka löytää kulman sini

Kun tehtävänä on löytää kulman sini ja ehdolla meillä on vain kulman kosini, tangentti tai kotangentti, voimme helposti laskea tarvitsemamme trigonometristen identiteettien avulla.

• sin 2 x + cos 2 x = 1

Tästä yhtälöstä voimme löytää sekä sinin että kosinin riippuen siitä, mikä arvo on tuntematon. Saamme trigonometrisen yhtälön, jossa on yksi tuntematon:

• sin 2 x = 1 - cos 2 x
• sin x = ± √ 1 - cos 2 x
• ctg 2 x + 1 = 1 / sin 2 x

Tästä yhtälöstä voit löytää sinin arvon, kun tiedät kulman kotangentin arvon. Yksinkertaistamiseksi korvaa sin 2 x = y, ja sitten sinulla on yksinkertainen yhtälö. Esimerkiksi kotangentin arvo on 1, jolloin:

• 1 + 1 = 1/v
• 2 = 1/v
• 2v = 1
• y = 1/2

Nyt suoritamme soittimen käänteisen vaihdon:

• sin 2 x = ½
• sin x = 1 / √2

Koska otimme kotangentin arvon standardikulmalle (45 0), saadut arvot voidaan tarkistaa taulukosta.

Jos sinulla on tangentin arvo, mutta sinun on löydettävä sini, toinen trigonometrinen identiteetti auttaa:

• tg x * ctg x = 1

Tästä seuraa, että:

• ctg x = 1 / tg x

Epästandardin kulman, esimerkiksi 240 0, sinin löytämiseksi sinun on käytettävä kulman pienennyskaavoja. Tiedämme, että π vastaa meille 180 0. Siten ilmaisemme yhtäläisyytemme standardikulmien avulla laajentamalla.

• 240 0 = 180 0 + 60 0

Meidän on löydettävä seuraava: synti (180 0 + 60 0). Trigonometriassa on pelkistyskaavoja, jotka ovat hyödyllisiä tässä tapauksessa. Tämä on kaava:

• sin (π + x) = - sin (x)

Siten 240 asteen kulman sini on:

• sin (180 0 + 60 0) = - sin (60 0) = - √3/2

Meidän tapauksessamme x = 60 ja P, vastaavasti, 180 astetta. Löysimme arvon (-√3/2) standardikulmien funktioiden arvotaulukosta.

Tällä tavalla voidaan hajottaa epästandardit kulmat, esimerkiksi: 210 = 180 + 30.

Sinus Suorakulmaisen kolmion terävä kulma α on suhde vastapäätä katetri hypotenuusaan.
Se merkitään seuraavasti: sin α.

Kosini Suorakulmaisen kolmion terävä kulma α on viereisen haaran suhde hypotenuusaan.
Se merkitään seuraavasti: cos α.

Tangentti terävä kulma α on vastakkaisen jalan suhde viereiseen jalkaan.
Se merkitään seuraavasti: tg α.

Kotangentti terävä kulma α on viereisen jalan suhde vastakkaiseen.
Se on merkitty seuraavasti: ctg α.

Kulman sini, kosini, tangentti ja kotangentti riippuvat vain kulman suuruudesta.

Säännöt:

Trigonometriset perusidentiteetit suorakulmaisessa kolmiossa:

(α - terävä kulma jalkaa vastapäätä b ja jalan vieressä a . Sivu kanssa - hypotenuusa. β - toinen terävä kulma).

Terävän kulman kasvaessasinα jatg α:n kasvu jacos α pienenee.

Kaikille terävälle kulmille α:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

Selittävä esimerkki:

Merkitään suorakulmainen kolmio ABC
AB = 6,
BC = 3,
kulma A = 30º.

Etsi kulman A sini ja kulman B kosini.

Päätös.

1) Ensin löydämme kulman B arvon. Tässä kaikki on yksinkertaista: koska suorakulmaisessa kolmiossa terävien kulmien summa on 90º, niin kulma B \u003d 60º:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.

2) Laske sini A. Tiedämme, että sini on yhtä suuri kuin vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan. Kulman A vastakkainen jalka on sivu BC. Niin:

eKr. 3 1
sin A = -- = - = -
AB 6 2

3) Nyt lasketaan cos B. Tiedämme, että kosini on yhtä suuri kuin viereisen haaran suhde hypotenuusaan. Kulman B viereinen haara on sama sivu BC. Tämä tarkoittaa, että meidän on jälleen jaettava BC: ksi AB - eli suoritettava samat toiminnot kuin laskettaessa kulman A siniä:

eKr. 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Tulos on:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Tästä seuraa, että suorakulmaisessa kolmiossa yhden terävän kulman sini on yhtä suuri kuin toisen terävän kulman kosini - ja päinvastoin. Juuri tätä kaksi kaavaamme tarkoittavat:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

Katsotaanpa uudestaan:

1) Olkoon α = 60º. Korvaamalla α:n arvon sinikaavaan saadaan:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Olkoon α = 30º. Korvaamalla α:n arvon kosinikaavaan, saamme:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30°.

(Lisätietoja trigonometriasta on Algebra-osiossa)

Aloitamme trigonometrian tutkimisen suorakulmaisella kolmiolla. Määritellään mitä ovat sini ja kosini sekä terävän kulman tangentti ja kotangentti. Nämä ovat trigonometrian perusteet.

Muista tuo oikea kulma on 90 asteen kulma. Toisin sanoen puolet avatusta kulmasta.

Terävä kulma- alle 90 astetta.

Tylppä kulma- yli 90 astetta. Suhteessa sellaiseen kulmaan "tyhmä" ei ole loukkaus, vaan matemaattinen termi :-)

Piirretään suorakulmainen kolmio. Yleensä merkitään suora kulma. Huomaa, että kulman vastakkainen puoli on merkitty samalla kirjaimella, vain pienellä. Joten kulmaa A vastapäätä olevaa sivua merkitään.

Kulma on merkitty vastaavalla kreikkalaisella kirjaimella.

Hypotenuusa Suorakulmainen kolmio on oikeaa kulmaa vastapäätä oleva sivu.

Jalat- teräviä kulmia vastapäätä olevat sivut.

Kulmaa vastapäätä olevaa jalkaa kutsutaan vastapäätä(suhteessa kulmaan). Toista jalkaa, joka sijaitsee kulman toisella puolella, kutsutaan vieressä.

Sinus suorakulmaisen kolmion terävä kulma on vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan:

Kosini terävä kulma suorakulmaisessa kolmiossa - viereisen jalan suhde hypotenuusaan:

Tangentti terävä kulma suorakulmaisessa kolmiossa - vastakkaisen jalan suhde viereiseen:

Toinen (ekvivalentti) määritelmä: terävän kulman tangentti on kulman sinin ja sen kosinin suhde:

Kotangentti terävä kulma suorakulmaisessa kolmiossa - viereisen jalan suhde vastakkaiseen (tai vastaavasti kosinin ja sinin suhde):

Kiinnitä huomiota sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin perussuhteisiin, jotka on annettu alla. Niistä on meille hyötyä ongelmien ratkaisemisessa.

Todistakaamme joitain niistä.

Okei, olemme antaneet määritelmät ja kirjoitetut kaavat. Mutta miksi tarvitsemme siniä, kosinia, tangenttia ja kotangenttia?

Tiedämme sen minkä tahansa kolmion kulmien summa on.

Tiedämme välisen suhteen juhlia suorakulmainen kolmio. Tämä on Pythagoraan lause: .

Osoittautuu, että kun tiedät kolmion kaksi kulmaa, voit löytää kolmannen. Kun tiedät suoran kolmion kaksi sivua, voit löytää kolmannen. Joten kulmille - niiden suhde, sivuille - omansa. Mutta mitä tehdä, jos suorakulmaisessa kolmiossa tunnetaan yksi kulma (paitsi oikea) ja yksi sivu, mutta sinun on löydettävä muut sivut?

Tätä ihmiset kohtasivat menneisyydessä tehdessään karttoja alueesta ja tähtitaivasta. Loppujen lopuksi ei aina ole mahdollista mitata suoraan kolmion kaikkia sivuja.

Sini, kosini ja tangentti - niitä kutsutaan myös kulman trigonometriset funktiot- anna välinen suhde juhlia ja kulmat kolmio. Kun tiedät kulman, voit löytää kaikki sen trigonometriset funktiot erityisten taulukoiden avulla. Ja kun tiedät kolmion ja sen yhden sivun kulmien sinit, kosinit ja tangentit, voit löytää loput.

Piirrämme myös taulukon sini-, kosini-, tangentti- ja kotangenttiarvoista "hyville" kulmille välillä -.

Huomaa kaksi punaista viivaa taulukossa. Kulmien vastaaville arvoille tangenttia ja kotangenttia ei ole olemassa.

Analysoidaan useita trigonometrian ongelmia FIPI-tehtävien pankista.

1. Kolmion kulma on , . Löytö .

Ongelma ratkeaa neljässä sekunnissa.

Sikäli kuin , .

2. Kolmiossa kulma on , , . Löytö .

Etsitään Pythagoraan lauseella.

Ongelma ratkaistu.

Usein ongelmissa on kolmioita, joissa on kulmat ja tai kulmat ja . Muista niiden perussuhteet ulkoa!

Kolmiolle, jossa on kulmat ja kulmaa vastapäätä oleva jalka on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta.

Kolmio, jossa on kulmia ja on tasakylkinen. Siinä hypotenuusa on kertaa suurempi kuin jalka.

Pohdimme tehtäviä suorakulmaisten kolmioiden ratkaisemiseksi - eli tuntemattomien sivujen tai kulmien löytämiseksi. Mutta ei siinä vielä kaikki! Matematiikan kokeen muunnelmissa on monia tehtäviä, joissa esiintyy kolmion ulkokulman sini, kosini, tangentti tai kotangentti. Tästä lisää seuraavassa artikkelissa.