मध्य रेखा के माध्यम से एक समद्विबाहु समलंब के क्षेत्र के लिए सूत्र। समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल: सूत्र और गणना विधियाँ

आत्मविश्वास महसूस करने और ज्यामिति पाठों में समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, सूत्रों को सीखना पर्याप्त नहीं है। पहले उन्हें समझने की जरूरत है. डरना, और उससे भी अधिक सूत्रों से नफरत करना, अनुत्पादक है। यह आलेख समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के विभिन्न तरीकों का सुलभ भाषा में विश्लेषण करेगा। संबंधित नियमों और प्रमेयों को बेहतर ढंग से समझने के लिए, हम इसके गुणों पर थोड़ा ध्यान देंगे। इससे आपको यह समझने में मदद मिलेगी कि नियम कैसे काम करते हैं और किन मामलों में कुछ फ़ार्मुलों को लागू किया जाना चाहिए।

एक समलम्बाकार को परिभाषित करना

कुल मिलाकर यह किस प्रकार का आंकड़ा है? समलंब चतुर्भुज एक बहुभुज है जिसमें चार कोने और दो समानांतर भुजाएँ होती हैं। समलम्ब चतुर्भुज की अन्य दो भुजाओं को विभिन्न कोणों पर झुकाया जा सकता है। इसकी समानांतर भुजाओं को आधार कहा जाता है, और गैर-समानांतर भुजाओं के लिए "भुजाओं" या "कूल्हों" नाम का उपयोग किया जाता है। रोजमर्रा की जिंदगी में ऐसे आंकड़े काफी आम हैं। ट्रैपेज़ॉइड की रूपरेखा कपड़ों, आंतरिक वस्तुओं, फर्नीचर, व्यंजन और कई अन्य लोगों के सिल्हूट में देखी जा सकती है। ट्रेपेज़ॉइड विभिन्न प्रकार के होते हैं: स्केलीन, समबाहु और आयताकार। हम लेख में बाद में उनके प्रकार और गुणों की अधिक विस्तार से जांच करेंगे।

एक ट्रेपेज़ॉइड के गुण

आइए हम इस आकृति के गुणों पर संक्षेप में ध्यान दें। किसी भी भुजा से सटे कोणों का योग सदैव 180° होता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि समलम्ब चतुर्भुज के सभी कोणों का योग 360° होता है। ट्रेपेज़ॉइड में मध्य रेखा की अवधारणा होती है। यदि आप भुजाओं के मध्यबिंदुओं को एक खंड से जोड़ते हैं, तो यह मध्य रेखा होगी। इसे एम नामित किया गया है। मध्य रेखा में महत्वपूर्ण गुण होते हैं: यह हमेशा आधारों के समानांतर होती है (हमें याद है कि आधार भी एक दूसरे के समानांतर होते हैं) और उनके आधे योग के बराबर होती है:

इस परिभाषा को सीखना और समझना चाहिए, क्योंकि यह कई समस्याओं को हल करने की कुंजी है!

एक ट्रेपेज़ॉइड के साथ, आप हमेशा ऊँचाई को आधार से कम कर सकते हैं। ऊंचाई एक लंबवत है, जिसे अक्सर प्रतीक एच द्वारा दर्शाया जाता है, जो एक आधार के किसी भी बिंदु से दूसरे आधार या उसके विस्तार तक खींचा जाता है। मध्य रेखा और ऊंचाई आपको समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने में मदद करेगी। ऐसी समस्याएं स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में सबसे आम हैं और नियमित रूप से परीक्षण और परीक्षा पत्रों में दिखाई देती हैं।

समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए सबसे सरल सूत्र

आइए समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए उपयोग किए जाने वाले दो सबसे लोकप्रिय और सरल फ़ार्मुलों पर नज़र डालें। आप जो खोज रहे हैं उसे आसानी से ढूंढने के लिए ऊंचाई को आधारों के योग के आधे से गुणा करना पर्याप्त है:

एस = एच*(ए + बी)/2.

इस सूत्र में, ए, बी ट्रेपेज़ॉइड के आधारों को दर्शाते हैं, एच - ऊंचाई। धारणा में आसानी के लिए, इस लेख में, सूत्रों में गुणन चिह्नों को एक प्रतीक (*) से चिह्नित किया गया है, हालांकि आधिकारिक संदर्भ पुस्तकों में गुणन चिह्न आमतौर पर छोड़ दिया जाता है।

आइए एक उदाहरण देखें.

दिया गया है: 10 और 14 सेमी के बराबर दो आधारों वाला एक समलंब, ऊंचाई 7 सेमी है। समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल क्या है?

आइए इस समस्या का समाधान देखें। इस सूत्र का उपयोग करते हुए, आपको सबसे पहले आधारों का आधा योग ज्ञात करना होगा: (10+14)/2 = 12। इसलिए, आधा योग 12 सेमी के बराबर है। अब हम आधे योग को ऊंचाई से गुणा करते हैं: 12*7 = 84. हम जो खोज रहे हैं वह मिल गया है। उत्तर: समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल 84 वर्ग मीटर है। सेमी।

दूसरा सुप्रसिद्ध सूत्र कहता है: एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल मध्य रेखा और समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है। अर्थात्, यह वास्तव में मध्य रेखा की पिछली अवधारणा से अनुसरण करता है: S=m*h।

गणना के लिए विकर्णों का उपयोग करना

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का दूसरा तरीका वास्तव में उतना जटिल नहीं है। यह इसके विकर्णों से जुड़ा हुआ है। इस सूत्र का उपयोग करके, क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको इसके विकर्णों के आधे गुणनफल (d 1 d 2) को उनके बीच के कोण की ज्या से गुणा करना होगा:

एस = ½ डी 1 डी 2 पाप एक।

आइए एक समस्या पर विचार करें जो इस पद्धति के अनुप्रयोग को दर्शाती है। दिया गया है: एक समलम्ब चतुर्भुज जिसके विकर्णों की लंबाई क्रमशः 8 और 13 सेमी है। विकर्णों के बीच का कोण 30° है। समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान। उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके, यह गणना करना आसान है कि क्या आवश्यक है। जैसा कि आप जानते हैं, पाप 30° 0.5 है। इसलिए, एस = 8*13*0.5=52. उत्तर: क्षेत्रफल 52 वर्ग मीटर है. सेमी।

एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना

एक समलंब चतुर्भुज समद्विबाहु (आइसोसेलस) हो सकता है। इसकी भुजाएँ समान हैं और आधारों पर कोण समान हैं, जो चित्र द्वारा अच्छी तरह से दर्शाया गया है। एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज में नियमित रूप से समान गुण होते हैं, साथ ही कई विशेष गुण भी होते हैं। एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त परिचालित किया जा सकता है, और इसके भीतर एक वृत्त अंकित किया जा सकता है।

ऐसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना के लिए क्या विधियाँ हैं? नीचे दी गई विधि के लिए बहुत अधिक गणनाओं की आवश्यकता होगी. इसका उपयोग करने के लिए, आपको समलम्ब चतुर्भुज के आधार पर कोण की ज्या (sin) और कोज्या (cos) का मान जानना होगा। उनकी गणना करने के लिए, आपको या तो ब्रैडिस टेबल या इंजीनियरिंग कैलकुलेटर की आवश्यकता होगी। यहाँ सूत्र है:

एस= सी*पाप ए*(ए - सी*क्योंकि ए),

कहाँ साथ- पार्श्व जांघ, ए- निचले आधार पर कोण.

एक समबाहु समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण समान लंबाई के होते हैं। इसका विपरीत भी सत्य है: यदि किसी समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण समान हैं, तो वह समद्विबाहु है। इसलिए समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने में सहायता के लिए निम्नलिखित सूत्र - विकर्णों के वर्ग का आधा उत्पाद और उनके बीच के कोण की ज्या: S = ½ d 2 पाप एक।

एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना

एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज का एक विशेष मामला ज्ञात है। यह एक समलम्ब चतुर्भुज है, जिसमें एक तरफ (इसकी जांघ) एक समकोण पर आधारों से जुड़ती है। इसमें नियमित ट्रैपेज़ॉइड के गुण हैं। इसके अलावा, इसमें एक बहुत ही दिलचस्प फीचर है। ऐसे समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का अंतर उसके आधारों के वर्गों के अंतर के बराबर होता है। क्षेत्रफल की गणना के लिए पहले वर्णित सभी तरीकों का उपयोग इसके लिए किया जाता है।

हम सरलता का उपयोग करते हैं

यदि आप विशिष्ट सूत्र भूल जाते हैं तो एक तरकीब मदद कर सकती है। आइए बारीकी से देखें कि ट्रैपेज़ॉइड क्या है। यदि हम मानसिक रूप से इसे भागों में विभाजित करते हैं, तो हमें परिचित और समझने योग्य ज्यामितीय आकार मिलेंगे: एक वर्ग या आयत और एक त्रिकोण (एक या दो)। यदि समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई और भुजाएँ ज्ञात हैं, तो आप एक त्रिभुज और एक आयत के क्षेत्रफल के लिए सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं, और फिर सभी परिणामी मानों को जोड़ सकते हैं।

आइए इसे निम्नलिखित उदाहरण से स्पष्ट करें। एक आयताकार समलम्बाकार दिया गया है। कोण C = 45°, कोण A, D 90° हैं। ट्रेपेज़ॉइड का ऊपरी आधार 20 सेमी है, ऊंचाई 16 सेमी है। आपको आकृति के क्षेत्र की गणना करने की आवश्यकता है।

यह आकृति स्पष्ट रूप से एक आयत (यदि दो कोण 90° के बराबर हैं) और एक त्रिभुज से बनी है। चूँकि समलंब आयताकार है, इसलिए इसकी ऊंचाई इसकी भुजा के बराबर है, अर्थात 16 सेमी। हमारे पास क्रमशः 20 और 16 सेमी की भुजाओं वाला एक आयत है। अब एक त्रिभुज पर विचार करें जिसका कोण 45° है। हम जानते हैं कि इसकी एक भुजा 16 सेमी है। चूँकि यह भुजा समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई भी है (और हम जानते हैं कि ऊँचाई एक समकोण पर आधार तक उतरती है), इसलिए, त्रिभुज का दूसरा कोण 90° है। अतः त्रिभुज का शेष कोण 45° है। इसका परिणाम यह होता है कि हमें एक समद्विबाहु त्रिभुज प्राप्त होता है जिसकी दो भुजाएँ समान होती हैं। इसका मतलब है कि त्रिभुज की दूसरी भुजा ऊंचाई के बराबर है, यानी 16 सेमी। यह त्रिभुज और आयत के क्षेत्रफल की गणना करने और परिणामी मान जोड़ने के लिए बनी हुई है।

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके पैरों के आधे गुणनफल के बराबर होता है: S = (16*16)/2 = 128. एक आयत का क्षेत्रफल उसकी चौड़ाई और लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है: S = 20*16 = 320। हमने आवश्यक पाया: समलम्बाकार एस का क्षेत्रफल = 128 + 320 = 448 वर्ग। देखें। आप उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके आसानी से स्वयं को दोबारा जांच सकते हैं, उत्तर समान होगा।

हम पिक फॉर्मूला का उपयोग करते हैं

एस = एम/2 + एन - 1,

इस सूत्र में M नोड्स की संख्या है, अर्थात। ट्रेपेज़ॉइड (आकृति में नारंगी बिंदु) की सीमाओं पर सेल की रेखाओं के साथ आकृति की रेखाओं का प्रतिच्छेदन, एन आकृति के अंदर नोड्स की संख्या (नीला बिंदु) है। अनियमित बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते समय इसका उपयोग करना सबसे सुविधाजनक होता है। हालाँकि, उपयोग की जाने वाली तकनीकों का भंडार जितना बड़ा होगा, त्रुटियाँ उतनी ही कम होंगी और परिणाम बेहतर होंगे।

बेशक, प्रदान की गई जानकारी ट्रैपेज़ॉइड के प्रकार और गुणों के साथ-साथ इसके क्षेत्र को खोजने के तरीकों को भी समाप्त नहीं करती है। यह आलेख इसकी सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं का अवलोकन प्रदान करता है। ज्यामितीय समस्याओं को हल करते समय, धीरे-धीरे कार्य करना, आसान सूत्रों और समस्याओं से शुरुआत करना, लगातार अपनी समझ को मजबूत करना और जटिलता के दूसरे स्तर पर जाना महत्वपूर्ण है।

एक साथ एकत्र किए गए, सबसे सामान्य सूत्र छात्रों को एक ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र की गणना करने के विभिन्न तरीकों को नेविगेट करने और इस विषय पर परीक्षण और असाइनमेंट के लिए बेहतर तैयारी करने में मदद करेंगे।

ट्रापेज़चतुर्भुज कहलाता है जिसका सिर्फ दोभुजाएँ एक दूसरे के समानांतर हैं।

उन्हें आकृति का आधार कहा जाता है, शेष को भुजाएँ कहा जाता है। समांतर चतुर्भुज को आकृति का विशेष मामला माना जाता है। इसमें एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड भी है, जिसमें एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ शामिल है। एक ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र के सूत्रों में इसके लगभग सभी तत्व शामिल होते हैं, और दिए गए मूल्यों के आधार पर सबसे अच्छा समाधान चुना जाता है।
ट्रेपेज़ॉइड में मुख्य भूमिकाएँ ऊँचाई और मध्य रेखा को सौंपी गई हैं। मध्य पंक्ति- यह भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाली एक रेखा है। ऊंचाईट्रेपेज़ॉइड को शीर्ष कोने से आधार तक समकोण पर खींचा गया है।
इसकी ऊंचाई के माध्यम से एक ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्रफल ऊंचाई से गुणा किए गए आधारों की लंबाई के आधे योग के उत्पाद के बराबर है:

यदि शर्तों के अनुसार औसत रेखा ज्ञात हो, तो यह सूत्र काफी सरल हो जाता है, क्योंकि यह आधारों की लंबाई के योग के आधे के बराबर है:

यदि, शर्तों के अनुसार, सभी पक्षों की लंबाई दी गई है, तो हम इन आंकड़ों का उपयोग करके एक ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र की गणना करने के एक उदाहरण पर विचार कर सकते हैं:

मान लीजिए कि हमें एक समलम्ब चतुर्भुज दिया गया है जिसका आधार a = 3 सेमी, b = 7 सेमी और भुजाएँ c = 5 सेमी, d = 4 सेमी हैं। आइए आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करें:

एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल

एक समद्विबाहु समलम्बाकार, या, जैसा कि इसे एक समद्विबाहु समलम्बाकार भी कहा जाता है, एक अलग मामला माना जाता है।
एक विशेष मामला एक समद्विबाहु (समबाहु) समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना है। सूत्र विभिन्न तरीकों से प्राप्त किया जाता है - विकर्णों के माध्यम से, आधार से सटे कोणों और अंकित वृत्त की त्रिज्या के माध्यम से।
यदि विकर्णों की लंबाई शर्तों के अनुसार निर्दिष्ट है और उनके बीच का कोण ज्ञात है, तो आप निम्न सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

याद रखें कि समद्विबाहु समलंब के विकर्ण एक दूसरे के बराबर होते हैं!

यानी आप इनके आधार, भुजा और कोण में से किसी एक को जानकर क्षेत्रफल की गणना आसानी से कर सकते हैं।

एक घुमावदार समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल

एक विशेष मामला है घुमावदार समलम्बाकार. यह निर्देशांक अक्ष पर स्थित है और एक सतत सकारात्मक फ़ंक्शन के ग्राफ़ द्वारा सीमित है।

इसका आधार एक्स अक्ष पर स्थित है और दो बिंदुओं तक सीमित है:
इंटीग्रल्स एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र की गणना करने में मदद करते हैं।
सूत्र इस प्रकार लिखा गया है:

आइए एक घुमावदार समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना के एक उदाहरण पर विचार करें। सूत्र को कुछ अभिन्नताओं के साथ काम करने के लिए कुछ ज्ञान की आवश्यकता होती है। सबसे पहले, आइए निश्चित अभिन्न के मूल्य को देखें:

यहां F(a) बिंदु a पर प्रतिअवकलन फलन f(x) का मान है, बिंदु b पर F(b) समान फलन f(x) का मान है।

चलिए अब समस्या का समाधान करते हैं. यह चित्र फ़ंक्शन से घिरा एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड दिखाता है। समारोह
हमें चयनित आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की आवश्यकता है, जो एक वक्ररेखीय समलंब है जो ऊपर ग्राफ़ से घिरा है, दाईं ओर सीधी रेखा x =(-8), बाईं ओर सीधी रेखा x =(-10) से घिरा है। ) और नीचे OX अक्ष।
हम सूत्र का उपयोग करके इस आकृति के क्षेत्रफल की गणना करेंगे:

समस्या की परिस्थितियाँ हमें एक कार्य प्रदान करती हैं। इसका उपयोग करके हम अपने प्रत्येक बिंदु पर प्रतिअवकलन के मान ज्ञात करेंगे:


अब
उत्तर:किसी दिए गए घुमावदार समलंब का क्षेत्रफल 4 है।

इस मान की गणना करने में कुछ भी जटिल नहीं है। केवल एक चीज जो महत्वपूर्ण है वह है गणना में अत्यधिक सावधानी।

पिछले वर्ष की एकीकृत राज्य परीक्षा और राज्य परीक्षा के अभ्यास से पता चलता है कि ज्यामिति की समस्याएँ कई स्कूली बच्चों के लिए कठिनाइयाँ पैदा करती हैं। यदि आप सभी आवश्यक सूत्रों को याद रखते हैं और समस्याओं को हल करने का अभ्यास करते हैं तो आप आसानी से उनका सामना कर सकते हैं।

इस लेख में आप समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र, साथ ही समाधान वाली समस्याओं के उदाहरण देखेंगे। प्रमाणन परीक्षाओं के दौरान या ओलंपियाड में आपको केआईएम में ये समान मिल सकते हैं। इसलिए, उनके साथ सावधानी से व्यवहार करें।

ट्रैपेज़ॉइड के बारे में आपको क्या जानने की आवश्यकता है?

आरंभ करने के लिए, आइए इसे याद रखें चतुर्भुजचतुर्भुज को चतुर्भुज कहा जाता है जिसमें दो विपरीत भुजाएँ, जिन्हें आधार भी कहा जाता है, समानांतर होती हैं, और अन्य दो नहीं होती हैं।

एक ट्रेपेज़ॉइड में, ऊँचाई (आधार से लंबवत) को भी कम किया जा सकता है। मध्य रेखा खींची गई है - यह एक सीधी रेखा है जो आधारों के समानांतर है और उनके योग के आधे के बराबर है। साथ ही विकर्ण जो प्रतिच्छेद कर सकते हैं, न्यून और अधिक कोण बनाते हैं। या, कुछ मामलों में, समकोण पर। इसके अलावा, यदि समलम्बाकार समद्विबाहु है, तो इसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है। और इसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करें।

समलम्ब चतुर्भुज क्षेत्र सूत्र

सबसे पहले, आइए एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के मानक सूत्रों को देखें। हम नीचे समद्विबाहु और वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के तरीकों पर विचार करेंगे।

तो, कल्पना करें कि आपके पास आधार ए और बी के साथ एक ट्रेपेज़ॉइड है, जिसमें ऊंचाई एच को बड़े आधार से कम किया गया है। इस मामले में किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना नाशपाती के गोले जितना आसान है। आपको बस आधारों की लंबाई के योग को दो से विभाजित करना होगा और परिणाम को ऊंचाई से गुणा करना होगा: एस = 1/2(ए + बी)*एच.

चलिए एक और मामला लेते हैं: मान लीजिए कि एक ट्रेपेज़ॉइड में, ऊंचाई के अलावा, एक मध्य रेखा एम है। हम मध्य रेखा की लंबाई ज्ञात करने का सूत्र जानते हैं: m = 1/2(a + b)। इसलिए, हम समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र को निम्नलिखित रूप में सरल रूप से सरल बना सकते हैं: एस = एम*एच. दूसरे शब्दों में, एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको केंद्र रेखा को ऊँचाई से गुणा करना होगा।

आइए एक अन्य विकल्प पर विचार करें: ट्रेपेज़ॉइड में विकर्ण डी 1 और डी 2 हैं, जो समकोण α पर प्रतिच्छेद नहीं करते हैं। ऐसे समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको विकर्णों के गुणनफल को दो से विभाजित करना होगा और परिणाम को उनके बीच के कोण के पाप से गुणा करना होगा: एस= 1/2डी 1 डी 2 *sinα.

अब एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र पर विचार करें यदि इसके सभी पक्षों की लंबाई के अलावा इसके बारे में कुछ भी ज्ञात नहीं है: ए, बी, सी और डी। यह एक बोझिल और जटिल सूत्र है, लेकिन इसे याद रखना आपके लिए उपयोगी होगा: एस = 1/2(ए + बी) * √सी 2 - ((1/2(बी - ए)) * ((बी - ए) 2 + सी 2 - डी 2)) 2.

वैसे, उपरोक्त उदाहरण उस स्थिति के लिए भी सत्य हैं जब आपको एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र की आवश्यकता होती है। यह एक समलम्ब चतुर्भुज है, जिसका किनारा समकोण पर आधारों से जुड़ता है।

समद्विबाहु समलम्बाकार

एक समलम्ब चतुर्भुज जिसकी भुजाएँ बराबर होती हैं, समद्विबाहु कहलाता है। हम समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र के लिए कई विकल्पों पर विचार करेंगे।

पहला विकल्प: उस स्थिति के लिए जब त्रिज्या r वाला एक वृत्त एक समद्विबाहु समलम्बाकार के अंदर अंकित होता है, और पक्ष और बड़ा आधार एक न्यून कोण α बनाते हैं। एक वृत्त को एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है, बशर्ते कि उसके आधारों की लंबाई का योग भुजाओं की लंबाई के योग के बराबर हो।

एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार की जाती है: अंकित वृत्त की त्रिज्या के वर्ग को चार से गुणा करें और इसे पाप से विभाजित करें: S = 4r 2 /sinα. एक अन्य क्षेत्र सूत्र उस विकल्प के लिए एक विशेष मामला है जब बड़े आधार और किनारे के बीच का कोण 30 0 है: एस = 8आर2.

दूसरा विकल्प: इस बार हम एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज लेते हैं, जिसमें विकर्ण d 1 और d 2 के अलावा ऊँचाई h भी खींची जाती है। यदि किसी समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंबवत हैं, तो ऊँचाई आधारों के योग की आधी है: h = 1/2(a + b)। यह जानने के बाद, आपके लिए पहले से परिचित समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र को इस रूप में बदलना आसान है: एस = एच 2.

एक घुमावदार समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र

आइए यह पता लगाकर शुरू करें कि घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड क्या है। एक समन्वय अक्ष और एक सतत और गैर-नकारात्मक फ़ंक्शन एफ के ग्राफ की कल्पना करें जो एक्स-अक्ष पर दिए गए खंड के भीतर संकेत नहीं बदलता है। एक वक्रीय समलम्बाकार फलन y = f(x) के ग्राफ द्वारा बनता है - शीर्ष पर, x अक्ष नीचे (खंड) पर है, और किनारों पर - बिंदु a और b और ग्राफ के बीच खींची गई सीधी रेखाएँ हैं कार्यक्रम।

उपरोक्त विधियों का उपयोग करके ऐसी गैर-मानक आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना असंभव है। यहां आपको गणितीय विश्लेषण लागू करने और इंटीग्रल का उपयोग करने की आवश्यकता है। अर्थात्: न्यूटन-लीबनिज सूत्र - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). इस सूत्र में, F चयनित खंड पर हमारे फ़ंक्शन का प्रतिअवकलन है। और एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र किसी दिए गए खंड पर एंटीडेरिवेटिव की वृद्धि से मेल खाता है।

नमूना समस्याएँ

इन सभी सूत्रों को आपके दिमाग में समझना आसान बनाने के लिए, यहां समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्याओं के कुछ उदाहरण दिए गए हैं। यह सबसे अच्छा होगा यदि आप पहले स्वयं समस्याओं को हल करने का प्रयास करें, और उसके बाद ही प्राप्त उत्तर की तुलना तैयार समाधान से करें।

कार्य 1:एक समलम्ब चतुर्भुज दिया गया है। इसका बड़ा आधार 11 सेमी, छोटा 4 सेमी है। ट्रेपेज़ॉइड में विकर्ण हैं, एक 12 सेमी लंबा, दूसरा 9 सेमी।

समाधान: एक समलम्ब चतुर्भुज AMRS का निर्माण करें। शीर्ष P से होकर एक सीधी रेखा РХ खींचिए ताकि वह विकर्ण MC के समानांतर हो और सीधी रेखा AC को बिंदु X पर प्रतिच्छेद करे। आपको एक त्रिभुज APХ मिलेगा।

हम इन जोड़तोड़ों के परिणामस्वरूप प्राप्त दो आंकड़ों पर विचार करेंगे: त्रिभुज APX और समांतर चतुर्भुज CMRX।

समांतर चतुर्भुज के लिए धन्यवाद, हम सीखते हैं कि PX = MC = 12 सेमी और CX = MR = 4 सेमी। जहाँ से हम त्रिभुज ARX की भुजा AX की गणना कर सकते हैं: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 सेमी।

हम यह भी सिद्ध कर सकते हैं कि त्रिभुज APX समकोण है (ऐसा करने के लिए, पाइथागोरस प्रमेय - AX 2 = AP 2 + PX 2 लागू करें)। और इसके क्षेत्रफल की गणना करें: एस एपीएक्स = 1/2(एपी * पीएक्स) = 1/2(9 * 12) = 54 सेमी 2।

आगे आपको यह सिद्ध करना होगा कि त्रिभुज AMP और PCX क्षेत्रफल में बराबर हैं। आधार एमआर और सीएक्स (पहले से ही ऊपर सिद्ध) पार्टियों की समानता होगी। और इन किनारों पर आप जो ऊंचाई कम करते हैं - वे एएमआरएस ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई के बराबर हैं।

यह सब आपको यह कहने की अनुमति देगा कि एस एएमपीसी = एस एपीएक्स = 54 सेमी 2।

कार्य #2:समलम्बाकार KRMS दिया गया है। इसके पार्श्व पक्षों पर बिंदु O और E हैं, जबकि OE और KS समानांतर हैं। यह भी ज्ञात है कि समलम्बाकार ORME और OKSE का क्षेत्रफल 1:5 के अनुपात में है। आरएम = ए और केएस = बी। आपको OE ढूंढ़ना होगा.

समाधान: बिंदु M से होकर RK के समानांतर एक रेखा खींचें और OE के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु को T के रूप में निर्दिष्ट करें। आधार KS के साथ RK के समानांतर बिंदु E से होकर खींची गई रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु A है।

आइए एक और संकेतन का परिचय दें - OE = x। और त्रिभुज TME के ​​लिए ऊँचाई h 1 और त्रिभुज AEC के लिए ऊँचाई h 2 (आप स्वतंत्र रूप से इन त्रिभुजों की समानता साबित कर सकते हैं)।

हम मान लेंगे कि b > a. समलम्ब चतुर्भुज ORME और OKSE का क्षेत्रफल 1:5 के अनुपात में है, जो हमें निम्नलिखित समीकरण बनाने का अधिकार देता है: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. आइए रूपांतरित करें और प्राप्त करें: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a))।

चूँकि त्रिभुज TME और AEC समरूप हैं, हमारे पास h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x) है। आइए दोनों प्रविष्टियों को संयोजित करें और प्राप्त करें: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

इस प्रकार, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6।

निष्कर्ष

ज्यामिति विज्ञान सबसे आसान नहीं है, लेकिन आप निश्चित रूप से परीक्षा के प्रश्नों का सामना कर सकते हैं। तैयारी में थोड़ी सी दृढ़ता दिखाने के लिए यह काफी है। और, निःसंदेह, सभी आवश्यक सूत्र याद रखें।

हमने समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए सभी सूत्रों को एक स्थान पर एकत्रित करने का प्रयास किया ताकि आप परीक्षा की तैयारी करते समय और सामग्री को दोहराते समय उनका उपयोग कर सकें।

इस लेख के बारे में सोशल नेटवर्क पर अपने सहपाठियों और दोस्तों को अवश्य बताएं। एकीकृत राज्य परीक्षा और राज्य परीक्षाओं के लिए और अधिक अच्छे ग्रेड होने दें!

ब्लॉग.साइट, सामग्री को पूर्ण या आंशिक रूप से कॉपी करते समय, मूल स्रोत के लिंक की आवश्यकता होती है।

और । अब हम इस प्रश्न पर विचार करना शुरू कर सकते हैं कि समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए। यह कार्य रोजमर्रा की जिंदगी में बहुत कम ही उठता है, लेकिन कभी-कभी यह आवश्यक हो जाता है, उदाहरण के लिए, एक ट्रेपेज़ॉइड के आकार में एक कमरे का क्षेत्रफल ज्ञात करना, जिसका उपयोग आधुनिक अपार्टमेंट के निर्माण में तेजी से किया जा रहा है, या डिज़ाइन नवीनीकरण परियोजनाएँ।

ट्रैपेज़ॉइड एक ज्यामितीय आकृति है जो चार प्रतिच्छेदी खंडों से बनती है, जिनमें से दो एक दूसरे के समानांतर होते हैं और ट्रैपेज़ॉइड के आधार कहलाते हैं। अन्य दो खंडों को समलम्ब चतुर्भुज की भुजाएँ कहा जाता है। इसके अलावा, हमें बाद में एक और परिभाषा की आवश्यकता होगी। यह ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा है, जो पक्षों के मध्य बिंदुओं और ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई को जोड़ने वाला एक खंड है, जो आधारों के बीच की दूरी के बराबर है।
त्रिभुजों की तरह, समलंब चतुर्भुज के विशेष प्रकार होते हैं, एक समद्विबाहु (समान-भुजा वाले) समलंब के रूप में, जिसमें भुजाओं की लंबाई समान होती है, और एक आयताकार समलम्बाकार, जिसमें एक भुजा आधारों के साथ समकोण बनाती है।

ट्रैपेज़ में कुछ दिलचस्प गुण हैं:

1. समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा आधारों के योग के आधे के बराबर है और उनके समानांतर है।
   
2. समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज की भुजाएँ समान होती हैं और वे आधारों के साथ कोण बनाते हैं।
   
3. एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के मध्यबिंदु और इसके विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु एक ही सीधी रेखा पर होते हैं।
   
4. यदि किसी समलम्ब चतुर्भुज की भुजाओं का योग आधारों के योग के बराबर है, तो उसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है
   
5. यदि किसी समलम्ब चतुर्भुज की भुजाओं द्वारा इसके किसी आधार पर बने कोणों का योग 90 है, तो आधारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड की लंबाई उनके आधे-अंतर के बराबर है।
   
6. एक समद्विबाहु समलंब को एक वृत्त द्वारा वर्णित किया जा सकता है। और इसके विपरीत। यदि एक समलम्ब चतुर्भुज एक वृत्त में फिट बैठता है, तो यह समद्विबाहु है।
   
7. एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के मध्य बिंदुओं से गुजरने वाला खंड इसके आधारों के लंबवत होगा और समरूपता के अक्ष का प्रतिनिधित्व करता है।
   

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें.

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधारों के योग को उसकी ऊँचाई से गुणा करने के आधे के बराबर होगा। सूत्र रूप में, इसे एक अभिव्यक्ति के रूप में लिखा गया है:

जहाँ S समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल है, a, b समलम्ब चतुर्भुज के प्रत्येक आधार की लंबाई है, h समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई है।

आप किसी भी समलंब को सरल आकृतियों में भी विघटित कर सकते हैं: एक आयत और एक या दो त्रिकोण, और यदि यह आपके लिए आसान है, तो समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके घटक आकृतियों के क्षेत्रफलों के योग के रूप में ज्ञात करें।

इसके क्षेत्रफल की गणना का एक और सरल सूत्र है। इसके अनुसार, एक समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसकी मध्य रेखा और समलंब की ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होता है और इसे इस प्रकार लिखा जाता है: S = m*h, जहां S क्षेत्रफल है, m लंबाई है मध्य रेखा, h समलंब चतुर्भुज की ऊंचाई है। यह सूत्र रोजमर्रा की समस्याओं की तुलना में गणित की समस्याओं के लिए अधिक उपयुक्त है, क्योंकि वास्तविक परिस्थितियों में आप प्रारंभिक गणना के बिना केंद्र रेखा की लंबाई नहीं जान पाएंगे। और आपको केवल आधारों और भुजाओं की लंबाई ही पता चलेगी।

इस मामले में, ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

एस = ((ए+बी)/2)*√सी 2 -((बी-ए) 2 +सी 2 -डी 2 /2(बी-ए)) 2

जहाँ S क्षेत्रफल है, a, b आधार हैं, c, d समलम्ब चतुर्भुज की भुजाएँ हैं।

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के कई अन्य तरीके हैं। लेकिन, वे पिछले फॉर्मूले की तरह ही असुविधाजनक हैं, जिसका अर्थ है कि उन पर ध्यान देने का कोई मतलब नहीं है। इसलिए, हम अनुशंसा करते हैं कि आप लेख से पहले सूत्र का उपयोग करें और चाहते हैं कि आपको हमेशा सटीक परिणाम प्राप्त हों।

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के कई तरीके हैं। आमतौर पर एक गणित शिक्षक इसकी गणना करने के कई तरीकों को जानता है, आइए उन पर अधिक विस्तार से नज़र डालें:
1) , जहां AD और BC आधार हैं, और BH समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई है। प्रमाण: विकर्ण BD खींचिए और त्रिभुज ABD और CDB के क्षेत्रफलों को उनके आधारों और ऊँचाइयों के आधे गुणनफल के माध्यम से व्यक्त कीजिए:

, जहां डीपी बाहरी ऊंचाई है

आइए इन समानताओं को पद दर पद जोड़ें और यह ध्यान में रखते हुए कि ऊँचाई BH और DP बराबर हैं, हम प्राप्त करते हैं:

आइए इसे कोष्ठक से बाहर रखें

क्यू.ई.डी.

समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र का उपफल:
चूंकि आधारों का आधा योग एमएन के बराबर है - ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा, तो

2) चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए सामान्य सूत्र का अनुप्रयोग.
एक चतुर्भुज का क्षेत्रफल उनके बीच के कोण की ज्या से गुणा किए गए विकर्णों के आधे उत्पाद के बराबर होता है
इसे सिद्ध करने के लिए, समलम्ब चतुर्भुज को 4 त्रिभुजों में विभाजित करना पर्याप्त है, प्रत्येक के क्षेत्रफल को "विकर्णों के आधे गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या" के रूप में व्यक्त करें (कोण के रूप में लिया गया, परिणामी जोड़ें) अभिव्यक्ति, उन्हें कोष्ठक से बाहर निकालें और अभिव्यक्ति की समानता प्राप्त करने के लिए समूहीकरण विधि का उपयोग करके इस कोष्ठक का गुणनखंड करें। इसलिए

3) विकर्ण शिफ्ट विधि
यह मेरा नाम है। किसी गणित शिक्षक को स्कूल की पाठ्यपुस्तकों में ऐसा शीर्षक नहीं मिलेगा। किसी समस्या को हल करने के उदाहरण के रूप में तकनीक का विवरण केवल अतिरिक्त पाठ्यपुस्तकों में ही पाया जा सकता है। मैं यह नोट करना चाहूंगा कि प्लैनिमेट्री के बारे में अधिकांश दिलचस्प और उपयोगी तथ्य गणित के शिक्षकों द्वारा व्यावहारिक कार्य करने की प्रक्रिया में छात्रों को बताए जाते हैं। यह अत्यंत उप-इष्टतम है, क्योंकि छात्र को उन्हें अलग-अलग प्रमेयों में अलग करना होगा और उन्हें "बड़े नाम" कहना होगा। इनमें से एक है "विकर्ण शिफ्ट"। यह किस बारे में है? आइए शीर्ष B से होकर AC के समानांतर एक रेखा खींचें जब तक कि यह बिंदु E पर निचले आधार के साथ प्रतिच्छेद न कर दे। इस मामले में, चतुर्भुज EBCA एक समांतर चतुर्भुज होगा (परिभाषा के अनुसार) और इसलिए BC=EA और EB=AC। पहली समानता अब हमारे लिए महत्वपूर्ण है. हमारे पास है:

ध्यान दें कि त्रिभुज BED, जिसका क्षेत्रफल समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर है, में कई और उल्लेखनीय गुण हैं:
1) इसका क्षेत्रफल समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर है
2) इसका समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज के समद्विबाहु के साथ ही होता है
3) शीर्ष B पर इसका ऊपरी कोण समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के बीच के कोण के बराबर है (जिसका उपयोग अक्सर समस्याओं में किया जाता है)
4) इसकी माध्यिका BK समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के मध्य बिंदुओं के बीच की दूरी QS के बराबर है। मुझे हाल ही में इस संपत्ति के उपयोग का सामना करना पड़ा जब मैं टकाचुक की पाठ्यपुस्तक, 1973 संस्करण (समस्या पृष्ठ के नीचे दी गई है) का उपयोग करके मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी में मैकेनिक्स और गणित के लिए एक छात्र को तैयार कर रहा था।

गणित शिक्षक के लिए विशेष तकनीकें।

कभी-कभी मैं समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के बहुत ही पेचीदा तरीके का उपयोग करके समस्याएँ प्रस्तावित करता हूँ। मैं इसे एक विशेष तकनीक के रूप में वर्गीकृत करता हूं क्योंकि व्यवहार में शिक्षक इनका उपयोग बहुत ही कम करते हैं। यदि आपको केवल भाग बी में गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी की आवश्यकता है, तो आपको उनके बारे में पढ़ने की ज़रूरत नहीं है। दूसरों के लिए, मैं आपको आगे बताऊंगा। यह पता चलता है कि एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल एक त्रिभुज के क्षेत्रफल का दोगुना है जिसके एक तरफ के सिरे और दूसरे के मध्य में शीर्ष हैं, यानी चित्र में त्रिभुज ABS:
प्रमाण: त्रिभुज BCS और ADS में ऊँचाई SM और SN खींचिए और इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग व्यक्त कीजिए:

चूँकि बिंदु S, CD का मध्य है, तो (इसे स्वयं सिद्ध करें)। त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग ज्ञात करें:

चूँकि यह योग समलम्ब चतुर्भुज के आधे क्षेत्रफल के बराबर निकला, तो इसका दूसरा भाग। वगैरह।

मैं ट्यूटर के विशेष तकनीकों के संग्रह में इसके किनारों के साथ एक समद्विबाहु समलंब के क्षेत्र की गणना करने का रूप शामिल करूंगा: जहां पी समलंब की अर्ध-परिधि है। मैं सबूत नहीं दूँगा. अन्यथा, आपका गणित शिक्षक बिना नौकरी के रह जाएगा :)। कक्षा में आओ!

समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्र पर समस्याएँ:

गणित शिक्षक का नोट: नीचे दी गई सूची विषय की पद्धतिगत संगत नहीं है, यह ऊपर चर्चा की गई तकनीकों के आधार पर दिलचस्प कार्यों का एक छोटा सा चयन है।

1) एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का निचला आधार 13 है, और ऊपरी आधार 5 है। यदि इसका विकर्ण भुजा के लंबवत है तो समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
2) एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि इसका आधार 2 सेमी और 5 सेमी है, और इसकी भुजाएँ 2 सेमी और 3 सेमी हैं।
3) एक समद्विबाहु समलंब में, बड़ा आधार 11 है, भुजा 5 है, और विकर्ण समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
4) एक समद्विबाहु समलंब का विकर्ण 5 है और मध्य रेखा 4 है। क्षेत्रफल ज्ञात करें।
5) एक समद्विबाहु समलंब में, आधार 12 और 20 हैं, और विकर्ण परस्पर लंबवत हैं। एक समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करें
6) एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का विकर्ण इसके निचले आधार के साथ एक कोण बनाता है। यदि समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई 6 सेमी है तो उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
7) समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल 20 है, और इसकी एक भुजा 4 सेमी है। विपरीत भुजा के मध्य से इसकी दूरी ज्ञात कीजिए।
8) एक समद्विबाहु समलंब का विकर्ण इसे 6 और 14 क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में विभाजित करता है। यदि पार्श्व भुजा 4 है तो ऊंचाई ज्ञात करें।
9) एक ट्रेपेज़ॉइड में, विकर्ण 3 और 5 के बराबर होते हैं, और आधारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड 2 के बराबर होता है। ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्रफल ज्ञात करें (मेखमत एमएसयू, 1970)।

मैंने सबसे कठिन समस्याओं को नहीं चुना (मैकेनिकल इंजीनियरिंग से डरो मत!) इस उम्मीद के साथ कि मैं उन्हें स्वतंत्र रूप से हल करने में सक्षम होऊंगा। अपने स्वास्थ्य के लिए निर्णय लें! यदि आपको गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी की आवश्यकता है, तो समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्र के सूत्र की इस प्रक्रिया में भाग लेने के बिना, समस्या B6 के साथ भी गंभीर समस्याएँ उत्पन्न हो सकती हैं और C4 के साथ और भी अधिक। विषय शुरू न करें और किसी भी कठिनाई के मामले में मदद मांगें। एक गणित शिक्षक आपकी मदद करने में हमेशा प्रसन्न होता है।

कोलपाकोव ए.एन.
मास्को में गणित के शिक्षक, स्ट्रोगिनो में एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी.