हॉर्नर योजना का उपयोग करके एक बहुपद का गुणनखंडन करना। उच्च गणित में समीकरण। बहुपदों की तर्कसंगत जड़ें

वगैरह। सामान्य शैक्षिक प्रकृति का है और उच्च गणित के संपूर्ण पाठ्यक्रम के अध्ययन के लिए इसका बहुत महत्व है। आज हम "स्कूल" समीकरणों को दोहराएंगे, लेकिन केवल "स्कूल" वाले ही नहीं - बल्कि वे भी जो विभिन्न विषम समस्याओं में हर जगह पाए जाते हैं। हमेशा की तरह, कहानी को व्यावहारिक तरीके से बताया जाएगा, यानी। मैं परिभाषाओं और वर्गीकरणों पर ध्यान केंद्रित नहीं करूंगा, बल्कि इसे हल करने का अपना व्यक्तिगत अनुभव आपके साथ साझा करूंगा। जानकारी मुख्य रूप से शुरुआती लोगों के लिए है, लेकिन अधिक उन्नत पाठकों को अपने लिए कई दिलचस्प बिंदु भी मिलेंगे। और, निःसंदेह, ऐसी नई सामग्री होगी जो हाई स्कूल से आगे बढ़ेगी।

तो समीकरण... कई लोग इस शब्द को सिहर कर याद करते हैं। जड़ों वाले "परिष्कृत" समीकरणों का मूल्य क्या है... ...उनके बारे में भूल जाओ! क्योंकि तब आप इस प्रजाति के सबसे हानिरहित "प्रतिनिधियों" से मिलेंगे। या दर्जनों समाधान विधियों के साथ उबाऊ त्रिकोणमितीय समीकरण। सच कहूँ तो, मैं स्वयं उन्हें वास्तव में पसंद नहीं करता था... घबड़ाएं नहीं! - तो अधिकतर "डंडेलियंस" 1-2 चरणों में एक स्पष्ट समाधान के साथ आपका इंतजार करते हैं। हालाँकि "बोझ" निश्चित रूप से चिपक जाता है, आपको यहाँ वस्तुनिष्ठ होने की आवश्यकता है।

अजीब तरह से, उच्च गणित में बहुत ही आदिम समीकरणों से निपटना बहुत आम है रेखीयसमीकरण

इस समीकरण को हल करने का क्या मतलब है? इसका मतलब है "x" (रूट) का ऐसा मान खोजना जो इसे वास्तविक समानता में बदल दे। आइए चिह्न परिवर्तन के साथ "तीन" को दाईं ओर फेंकें:

और "दो" को दाहिनी ओर छोड़ें (या, एक ही बात - दोनों पक्षों को गुणा करें) :

जाँच करने के लिए, आइए जीती हुई ट्रॉफी को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

सही समानता प्राप्त होती है, जिसका अर्थ है कि पाया गया मान वास्तव में इस समीकरण का मूल है। या, जैसा कि वे भी कहते हैं, इस समीकरण को संतुष्ट करता है।

कृपया ध्यान दें कि मूल को दशमलव भिन्न के रूप में भी लिखा जा सकता है:
और कोशिश करें कि इस ख़राब शैली पर अड़े न रहें! मैंने कारण को एक से अधिक बार दोहराया, विशेष रूप से, पहले पाठ में उच्चतर बीजगणित.

वैसे, समीकरण को "अरबी में" भी हल किया जा सकता है:

और सबसे दिलचस्प बात यह है कि यह रिकॉर्डिंग पूरी तरह से कानूनी है! लेकिन अगर आप शिक्षक नहीं हैं तो ऐसा न करना ही बेहतर है, क्योंकि यहां मौलिकता दंडनीय है=)

और अब थोड़ा इसके बारे में

ग्राफ़िकल समाधान विधि

समीकरण का रूप और उसका मूल है "एक्स" समन्वय प्रतिच्छेदन बिंदु रैखिक फ़ंक्शन ग्राफ़एक रैखिक फ़ंक्शन के ग्राफ़ के साथ (एक्स अक्ष):

ऐसा प्रतीत होता है कि उदाहरण इतना प्राथमिक है कि यहां विश्लेषण करने के लिए और कुछ नहीं है, लेकिन एक और अप्रत्याशित बारीकियों को इसमें से "निचोड़" लिया जा सकता है: आइए उसी समीकरण को रूप में प्रस्तुत करें और कार्यों के ग्राफ़ बनाएं:

वहीं, कृपया दोनों अवधारणाओं को भ्रमित न करें: एक समीकरण एक समीकरण है, और समारोह- यह एक फ़ंक्शन है! कार्य केवल मददसमीकरण की जड़ें खोजें. जिनमें से दो, तीन, चार या यहां तक ​​कि अनंत रूप से कई भी हो सकते हैं। इस अर्थ में निकटतम उदाहरण प्रसिद्ध है द्विघात समीकरण, समाधान एल्गोरिथ्म जिसके लिए एक अलग पैराग्राफ प्राप्त हुआ "हॉट" स्कूल सूत्र. और यह कोई संयोग नहीं है! यदि आप द्विघात समीकरण को हल कर सकते हैं और जान सकते हैं पाइथागोरस प्रमेय, तो, कोई कह सकता है, "उच्च गणित का आधा हिस्सा पहले से ही आपकी जेब में है" =) अतिरंजित, निश्चित रूप से, लेकिन सच्चाई से इतना दूर नहीं!

इसलिए, आइए आलसी न बनें और कुछ द्विघात समीकरण का उपयोग करके हल करें मानक एल्गोरिदम:

, जिसका अर्थ है कि समीकरण में दो भिन्न हैं वैधजड़:

यह सत्यापित करना आसान है कि दोनों पाए गए मान वास्तव में इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं:

यदि आप अचानक समाधान एल्गोरिदम भूल गए, और हाथ में कोई साधन/मदद करने वाला हाथ नहीं है तो क्या करें? यह स्थिति उत्पन्न हो सकती है, उदाहरण के लिए, किसी परीक्षण या परीक्षा के दौरान। हम ग्राफ़िकल विधि का उपयोग करते हैं! और दो तरीके हैं: आप कर सकते हैं बिंदु दर बिंदु निर्माण करेंपरवलय , जिससे यह पता चलता है कि यह अक्ष को कहां काटता है (यदि यह बिल्कुल भी पार हो जाए). लेकिन कुछ और चालाकी करना बेहतर है: फॉर्म में समीकरण की कल्पना करें, सरल कार्यों के ग्राफ़ बनाएं - और "एक्स" निर्देशांकउनके प्रतिच्छेदन बिंदु स्पष्ट रूप से दिखाई दे रहे हैं!


यदि यह पता चलता है कि सीधी रेखा परवलय को छूती है, तो समीकरण के दो मेल खाने वाले (एकाधिक) मूल हैं। यदि यह पता चलता है कि सीधी रेखा परवलय को नहीं काटती है, तो कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

ऐसा करने के लिए, निश्चित रूप से, आपको निर्माण करने में सक्षम होने की आवश्यकता है प्राथमिक कार्यों के ग्राफ़, लेकिन दूसरी ओर, एक स्कूली बच्चा भी ये कौशल कर सकता है।

और फिर - एक समीकरण एक समीकरण है, और फ़ंक्शन, फ़ंक्शन हैं केवल मदद कीप्रश्न हल करें!

और यहाँ, वैसे, एक और बात याद रखना उचित होगा: यदि किसी समीकरण के सभी गुणांकों को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा किया जाए, तो उसके मूल नहीं बदलेंगे.

तो, उदाहरण के लिए, समीकरण जड़ें समान हैं. एक सरल "प्रमाण" के रूप में, मैं कोष्ठक से स्थिरांक निकालूंगा:
और मैं इसे बिना किसी दर्द के हटा दूँगा (मैं दोनों भागों को "शून्य से दो" से विभाजित करूंगा):

लेकिन!यदि हम फ़ंक्शन पर विचार करें, तो यहां हम स्थिरांक से छुटकारा नहीं पा सकते हैं! गुणक को केवल कोष्ठक से बाहर निकालना अनुमत है: .

बहुत से लोग ग्राफ़िकल समाधान पद्धति को "अपमानजनक" मानते हुए इसे कम आंकते हैं, और कुछ तो इस संभावना के बारे में पूरी तरह से भूल भी जाते हैं। और यह मौलिक रूप से गलत है, क्योंकि ग्राफ़ बनाने से कभी-कभी स्थिति बच जाती है!

एक अन्य उदाहरण: मान लीजिए कि आपको सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरण की जड़ें याद नहीं हैं:। सामान्य सूत्र स्कूल की पाठ्यपुस्तकों में, प्रारंभिक गणित की सभी संदर्भ पुस्तकों में है, लेकिन वे आपके लिए उपलब्ध नहीं हैं। हालाँकि, समीकरण को हल करना महत्वपूर्ण है (उर्फ "दो")। वहाँ एक निकास है! - कार्यों के ग्राफ बनाएं:


जिसके बाद हम शांति से उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं के "X" निर्देशांक लिखते हैं:

जड़ें अनंत रूप से अनेक हैं, और बीजगणित में उनका संक्षिप्त संकेतन स्वीकार किया जाता है:
, कहाँ ( – पूर्णांकों का समुच्चय) .

और, "दूर जाए बिना", एक चर के साथ असमानताओं को हल करने के लिए ग्राफिकल विधि के बारे में कुछ शब्द। सिद्धांत वही है. इसलिए, उदाहरण के लिए, असमानता का समाधान कोई "x" है, क्योंकि साइनसॉइड लगभग पूरी तरह से सीधी रेखा के नीचे स्थित होता है। असमानता का समाधान अंतरालों का वह सेट है जिसमें साइनसॉइड के टुकड़े सीधी रेखा से बिल्कुल ऊपर स्थित होते हैं (एक्स-अक्ष):

या, संक्षेप में:

लेकिन यहां असमानता के कई समाधान हैं: खाली, चूँकि साइनसॉइड का कोई भी बिंदु सीधी रेखा के ऊपर नहीं होता है।

क्या कोई ऐसी बात है जो तुम्हें समझ में नहीं आ रही? के बारे में पाठों का तत्काल अध्ययन करें सेटऔर फ़ंक्शन ग्राफ़!

थोड़ी गर्मी आये:

अभ्यास 1

निम्नलिखित त्रिकोणमितीय समीकरणों को आलेखीय रूप से हल करें:

पाठ के अंत में उत्तर

जैसा कि आप देख सकते हैं, सटीक विज्ञान का अध्ययन करने के लिए सूत्रों और संदर्भ पुस्तकों को रटना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है! इसके अलावा, यह एक मौलिक रूप से त्रुटिपूर्ण दृष्टिकोण है।

जैसा कि मैंने आपको पाठ की शुरुआत में ही आश्वस्त किया था, उच्च गणित के मानक पाठ्यक्रम में जटिल त्रिकोणमितीय समीकरणों को बहुत कम ही हल करना पड़ता है। सभी जटिलताएँ, एक नियम के रूप में, जैसे समीकरणों के साथ समाप्त होती हैं, जिसका समाधान सरलतम समीकरणों से उत्पन्न जड़ों के दो समूह हैं और . उत्तरार्द्ध को हल करने के बारे में बहुत अधिक चिंता न करें - किसी पुस्तक में देखें या इंटरनेट पर खोजें =)

ग्राफिकल समाधान विधि कम मामूली मामलों में भी मदद कर सकती है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित "रैगटैग" समीकरण पर विचार करें:

इसके समाधान की संभावनाएं दिखती हैं... बिल्कुल नहीं दिखतीं, लेकिन आपको बस समीकरण के रूप में कल्पना करनी है, निर्माण करना है फ़ंक्शन ग्राफ़और सब कुछ अविश्वसनीय रूप से सरल हो जाएगा। के बारे में लेख के मध्य में एक चित्र है अतिसूक्ष्म कार्य (अगले टैब में खुलेगा).

उसी ग्राफ़िकल विधि का उपयोग करके, आप यह पता लगा सकते हैं कि समीकरण में पहले से ही दो जड़ें हैं, और उनमें से एक शून्य के बराबर है, और दूसरा, जाहिरा तौर पर, तर्कहीनऔर खंड के अंतर्गत आता है. इस मूल की गणना लगभग की जा सकती है, उदाहरण के लिए, स्पर्शरेखा विधि. वैसे, कुछ समस्याओं में ऐसा होता है कि आपको जड़ें ढूंढने की नहीं, बल्कि खोजने की जरूरत होती है क्या वे बिल्कुल मौजूद हैं?. और यहां भी, एक चित्र मदद कर सकता है - यदि ग्राफ़ प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, तो कोई जड़ें नहीं हैं।

पूर्णांक गुणांक वाले बहुपदों की परिमेय जड़ें।
हॉर्नर योजना

और अब मैं आपको अपना ध्यान मध्य युग की ओर मोड़ने और शास्त्रीय बीजगणित के अनूठे माहौल को महसूस करने के लिए आमंत्रित करता हूं। सामग्री की बेहतर समझ के लिए, मेरा सुझाव है कि आप कम से कम थोड़ा पढ़ें जटिल आंकड़े.

वे अच्छे हैं। बहुपद।

हमारी रुचि का उद्देश्य फॉर्म के सबसे सामान्य बहुपद होंगे साबुतगुणांकों प्राकृतिक संख्या कहलाती है बहुपद की डिग्री, संख्या - उच्चतम डिग्री का गुणांक (या सिर्फ उच्चतम गुणांक), और गुणांक है स्वतंत्र सदस्य.

मैं इस बहुपद को संक्षेप में से निरूपित करूंगा।

एक बहुपद की जड़ेंसमीकरण की जड़ों को बुलाओ

मुझे लौह तर्क पसंद है =)

उदाहरण के लिए, लेख की शुरुआत में जाएँ:

पहली और दूसरी डिग्री के बहुपदों की जड़ों को खोजने में कोई समस्या नहीं है, लेकिन जैसे-जैसे आप बढ़ते हैं यह कार्य और अधिक कठिन होता जाता है। हालाँकि दूसरी ओर, सब कुछ अधिक दिलचस्प है! और पाठ का दूसरा भाग बिल्कुल इसी के लिए समर्पित होगा।

सबसे पहले, वस्तुतः सिद्धांत की आधी स्क्रीन:

1)परिणाम के अनुसार बीजगणित का मौलिक प्रमेय, डिग्री बहुपद बिल्कुल है जटिलजड़ें. कुछ जड़ें (या यहां तक ​​कि सभी) विशेष रूप से हो सकती हैं वैध. इसके अलावा, वास्तविक जड़ों के बीच समान (एकाधिक) जड़ें हो सकती हैं (न्यूनतम दो, अधिकतम टुकड़े).

यदि कोई सम्मिश्र संख्या किसी बहुपद का मूल है, तो संयुग्मइसकी संख्या भी आवश्यक रूप से इस बहुपद का मूल है (संयुग्मित जटिल जड़ों का रूप होता है ).

सबसे सरल उदाहरण एक द्विघात समीकरण है, जिसका पहली बार सामना 8 में हुआ था (पसंद करना)कक्षा, और जिसे हमने अंततः विषय में "समाप्त" कर दिया जटिल आंकड़े. मैं आपको याद दिला दूं: एक द्विघात समीकरण में या तो दो अलग-अलग वास्तविक जड़ें होती हैं, या कई जड़ें होती हैं, या संयुग्मित जटिल जड़ें होती हैं।

2)से बेज़ाउट का प्रमेयइससे यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि कोई संख्या किसी समीकरण का मूल है, तो संबंधित बहुपद को गुणनखंडित किया जा सकता है:
, डिग्री का बहुपद कहां है .

और फिर, हमारा पुराना उदाहरण: चूँकि समीकरण का मूल है, तो। जिसके बाद सुप्रसिद्ध "स्कूल" विस्तार प्राप्त करना कठिन नहीं है।

बेज़ाउट के प्रमेय के परिणाम का बहुत व्यावहारिक महत्व है: यदि हम तीसरी डिग्री के समीकरण की जड़ जानते हैं, तो हम इसे इस रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं और द्विघात समीकरण से शेष मूल ज्ञात करना आसान है। यदि हम चौथी डिग्री के समीकरण का मूल जानते हैं, तो बाईं ओर को उत्पाद आदि में विस्तारित करना संभव है।

और यहाँ दो प्रश्न हैं:

प्रश्न एक. इसी मूल को कैसे खोजें? सबसे पहले, आइए इसकी प्रकृति को परिभाषित करें: उच्च गणित की कई समस्याओं में इसे खोजना आवश्यक है तर्कसंगत, विशेष रूप से साबुतबहुपदों की जड़ें, और इस संबंध में, आगे हम मुख्य रूप से उनमें रुचि लेंगे.... ...वे इतने अच्छे, इतने रोएंदार हैं कि आप बस उन्हें ढूंढना चाहेंगे! =)

पहली बात जो मन में आती है वह चयन पद्धति है। उदाहरण के लिए, समीकरण पर विचार करें। यहाँ समस्या मुक्त पद में है - यदि यह शून्य के बराबर होती, तो सब कुछ ठीक होता - हम "x" को कोष्ठक से बाहर निकालते हैं और जड़ें स्वयं सतह पर "गिर जाती हैं":

लेकिन हमारा स्वतंत्र पद "तीन" के बराबर है, और इसलिए हम समीकरण में विभिन्न संख्याओं को प्रतिस्थापित करना शुरू करते हैं जो "मूल" होने का दावा करते हैं। सबसे पहले, एकल मानों का प्रतिस्थापन स्वयं सुझाता है। आइए स्थानापन्न करें:

प्राप्त गलतसमानता, इस प्रकार, इकाई "फिट नहीं हुई।" अच्छा, ठीक है, चलो प्रतिस्थापित करें:

प्राप्त सत्यसमानता! अर्थात् मान ही इस समीकरण का मूल है।

तृतीय डिग्री के बहुपद के मूल ज्ञात करने के लिए एक विश्लेषणात्मक विधि है (तथाकथित कार्डानो सूत्र), लेकिन अब हम थोड़े अलग कार्य में रुचि रखते हैं।

चूँकि - हमारे बहुपद का मूल है, बहुपद को रूप में दर्शाया जा सकता है और उत्पन्न होता है दूसरा सवाल: "छोटा भाई" कैसे खोजें?

सबसे सरल बीजगणितीय विचार सुझाते हैं कि ऐसा करने के लिए हमें से भाग देना होगा। एक बहुपद को एक बहुपद से कैसे विभाजित करें? वही स्कूल पद्धति जो सामान्य संख्याओं को विभाजित करती है - "कॉलम"! मैंने पाठ के पहले उदाहरणों में इस विधि पर विस्तार से चर्चा की है। जटिल सीमाएँ, और अब हम एक और विधि देखेंगे, जिसे कहा जाता है हॉर्नर योजना.

सबसे पहले हम "उच्चतम" बहुपद लिखते हैं हर किसी के साथ , शून्य गुणांक सहित:
, जिसके बाद हम इन गुणांकों को (सख्ती से क्रम में) तालिका की शीर्ष पंक्ति में दर्ज करते हैं:

हम बाईं ओर मूल लिखते हैं:

मैं तुरंत आरक्षण कर दूंगा कि हॉर्नर की योजना "लाल" संख्या होने पर भी काम करती है नहींबहुपद का मूल है. हालाँकि, आइए चीजों में जल्दबाजी न करें।

हम ऊपर से अग्रणी गुणांक हटाते हैं:

निचली कोशिकाओं को भरने की प्रक्रिया कुछ हद तक कढ़ाई की याद दिलाती है, जहां "माइनस वन" एक प्रकार की "सुई" है जो बाद के चरणों में प्रवेश करती है। हम "कैरीड डाउन" संख्या को (-1) से गुणा करते हैं और शीर्ष सेल से संख्या को उत्पाद में जोड़ते हैं:

हम पाए गए मान को "लाल सुई" से गुणा करते हैं और उत्पाद में निम्नलिखित समीकरण गुणांक जोड़ते हैं:

और अंत में, परिणामी मान को फिर से "सुई" और ऊपरी गुणांक के साथ "संसाधित" किया जाता है:

अंतिम सेल में शून्य हमें बताता है कि बहुपद को विभाजित किया गया है एक का पता लगाए बिना (जैसा होना चाहिए), जबकि विस्तार गुणांक सीधे तालिका की निचली रेखा से "हटा दिए" जाते हैं:

इस प्रकार, हम समीकरण से समतुल्य समीकरण की ओर बढ़ गए और शेष दो जड़ों के साथ सब कुछ स्पष्ट है (इस मामले में हमें संयुग्मित जटिल जड़ें मिलती हैं).

वैसे, समीकरण को ग्राफ़िक तरीके से भी हल किया जा सकता है: प्लॉट "बिजली चमकना" और देखें कि ग्राफ़ x-अक्ष को पार करता है () बिंदु पर. या वही "चालाक" चाल - हम फॉर्म में समीकरण को फिर से लिखते हैं, प्राथमिक ग्राफ़ बनाते हैं और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु के "एक्स" समन्वय का पता लगाते हैं।

वैसे, तीसरी डिग्री के किसी भी फ़ंक्शन-बहुपद का ग्राफ़ अक्ष को कम से कम एक बार काटता है, जिसका अर्थ है कि संबंधित समीकरण है कम से कमएक वैधजड़। यह तथ्य विषम डिग्री वाले किसी भी बहुपद फलन के लिए सत्य है।

और यहाँ मैं भी ध्यान केन्द्रित करना चाहूँगा महत्वपूर्ण बिंदुजो शब्दावली से संबंधित है: बहुपदऔर बहुपदीय फलन – यह वही बात नहीं है! लेकिन व्यवहार में वे अक्सर बात करते हैं, उदाहरण के लिए, "बहुपद के ग्राफ" के बारे में, जो निस्संदेह लापरवाही है।

हालाँकि, आइए हॉर्नर की योजना पर वापस लौटें। जैसा कि मैंने हाल ही में उल्लेख किया है, यह योजना अन्य नंबरों के लिए काम करती है, लेकिन यदि नंबर नहींसमीकरण का मूल है, तो हमारे सूत्र में एक गैर-शून्य जोड़ (शेष) दिखाई देता है:

आइए हॉर्नर की योजना के अनुसार "असफल" मान को "चलाएं"। इस मामले में, उसी तालिका का उपयोग करना सुविधाजनक है - बाईं ओर एक नई "सुई" लिखें, ऊपर से अग्रणी गुणांक को स्थानांतरित करें (बायां हरा तीर), और हम चले गए:

जाँच करने के लिए, आइए कोष्ठक खोलें और समान शब्द प्रस्तुत करें:
, ठीक है।

यह देखना आसान है कि शेषफल ("छह") बिल्कुल बहुपद का मान है। और वास्तव में - यह कैसा है:
, और इससे भी अच्छा - इस तरह:

उपरोक्त गणनाओं से यह समझना आसान है कि हॉर्नर की योजना न केवल बहुपद का गुणनखंड करने की अनुमति देती है, बल्कि मूल का "सभ्य" चयन करने की भी अनुमति देती है। मेरा सुझाव है कि आप एक छोटे से कार्य के साथ गणना एल्गोरिथ्म को स्वयं समेकित करें:

कार्य 2

हॉर्नर की योजना का उपयोग करते हुए, समीकरण का पूर्णांक मूल ज्ञात करें और संबंधित बहुपद का गुणनखंड करें

दूसरे शब्दों में, यहां आपको क्रमिक रूप से संख्याओं 1, -1, 2, -2, ... की जांच करने की आवश्यकता है जब तक कि अंतिम कॉलम में शून्य शेष "खींचा" न जाए। इसका अर्थ यह होगा कि इस रेखा की "सुई" बहुपद का मूल है

गणनाओं को एक ही तालिका में व्यवस्थित करना सुविधाजनक है। पाठ के अंत में विस्तृत समाधान और उत्तर।

जड़ों को चुनने की विधि अपेक्षाकृत सरल मामलों के लिए अच्छी है, लेकिन यदि बहुपद के गुणांक और/या डिग्री बड़ी हैं, तो प्रक्रिया में लंबा समय लग सकता है। या हो सकता है कि एक ही सूची 1, -1, 2, -2 से कुछ मान हों और उन पर विचार करने का कोई मतलब नहीं है? और, इसके अलावा, जड़ें आंशिक हो सकती हैं, जिससे पूरी तरह से अवैज्ञानिक पोकिंग हो जाएगी।

सौभाग्य से, दो शक्तिशाली प्रमेय हैं जो तर्कसंगत जड़ों के लिए "उम्मीदवार" मूल्यों की खोज को काफी कम कर सकते हैं:

प्रमेय 1चलो गौर करते हैं अलघुकरणीयअंश , कहाँ . यदि संख्या समीकरण का मूल है, तो मुक्त पद को विभाजित किया जाता है और अग्रणी गुणांक को विभाजित किया जाता है।

विशेष रूप से, यदि अग्रणी गुणांक है, तो यह तर्कसंगत मूल एक पूर्णांक है:

और हम इस स्वादिष्ट विवरण के साथ प्रमेय का उपयोग करना शुरू करते हैं:

आइए समीकरण पर वापस लौटें। चूँकि इसका अग्रणी गुणांक है, तो काल्पनिक तर्कसंगत जड़ें विशेष रूप से पूर्णांक हो सकती हैं, और मुक्त पद को आवश्यक रूप से बिना किसी अवशेष के इन जड़ों में विभाजित किया जाना चाहिए। और "तीन" को केवल 1, -1, 3 और -3 में विभाजित किया जा सकता है। यानी, हमारे पास केवल 4 "रूट उम्मीदवार" हैं। और, के अनुसार प्रमेय 1, सिद्धांततः अन्य परिमेय संख्याएँ इस समीकरण के मूल नहीं हो सकतीं।

समीकरण में कुछ और "दावेदार" हैं: मुक्त पद को 1, -1, 2, - 2, 4 और -4 में विभाजित किया गया है।

कृपया ध्यान दें कि संख्याएँ 1, -1 संभावित मूलों की सूची की "नियमित" हैं (प्रमेय का एक स्पष्ट परिणाम)और प्राथमिकता परीक्षण के लिए सर्वोत्तम विकल्प।

आइए अधिक सार्थक उदाहरणों की ओर आगे बढ़ें:

समस्या 3

समाधान: चूंकि अग्रणी गुणांक है, तो काल्पनिक तर्कसंगत जड़ें केवल पूर्णांक हो सकती हैं, और वे आवश्यक रूप से मुक्त पद के विभाजक होने चाहिए। "माइनस चालीस" को संख्याओं के निम्नलिखित युग्मों में विभाजित किया गया है:
- कुल 16 "उम्मीदवार"।

और यहां एक आकर्षक विचार तुरंत प्रकट होता है: क्या सभी नकारात्मक या सभी सकारात्मक जड़ों को खत्म करना संभव है? कुछ मामलों में यह संभव है! मैं दो संकेत तैयार करूंगा:

1) यदि सभीयदि बहुपद के गुणांक गैर-ऋणात्मक या सभी गैर-धनात्मक हैं, तो इसके सकारात्मक मूल नहीं हो सकते। दुर्भाग्य से, यह हमारा मामला नहीं है (अब, यदि हमें एक समीकरण दिया गया है - तो हाँ, बहुपद के किसी भी मान को प्रतिस्थापित करते समय, बहुपद का मान सख्ती से सकारात्मक होता है, जिसका अर्थ है कि सभी सकारात्मक संख्याएं (और तर्कहीन भी)समीकरण की जड़ें नहीं हो सकतीं।

2) यदि विषम घातों के लिए गुणांक गैर-ऋणात्मक हैं, और सभी सम घातों के लिए (निःशुल्क सदस्य सहित)ऋणात्मक हैं, तो बहुपद के मूल ऋणात्मक नहीं हो सकते। या "दर्पण": विषम शक्तियों के लिए गुणांक गैर-सकारात्मक हैं, और सभी सम शक्तियों के लिए वे सकारात्मक हैं।

यह हमारा मामला है! थोड़ा करीब से देखने पर, आप देख सकते हैं कि समीकरण में किसी भी नकारात्मक "X" को प्रतिस्थापित करने पर, बाईं ओर का पक्ष सख्ती से नकारात्मक होगा, जिसका अर्थ है कि नकारात्मक जड़ें गायब हो जाती हैं

इस प्रकार, शोध के लिए 8 संख्याएँ शेष हैं:

हम हॉर्नर की योजना के अनुसार उन्हें क्रमिक रूप से "चार्ज" करते हैं। मुझे आशा है कि आप पहले से ही मानसिक गणना में महारत हासिल कर चुके हैं:

"दो" का परीक्षण करते समय भाग्य हमारा इंतजार कर रहा था। इस प्रकार, विचाराधीन समीकरण का मूल है, और

यह समीकरण का अध्ययन करना बाकी है . विवेचक के माध्यम से ऐसा करना आसान है, लेकिन मैं उसी योजना का उपयोग करके एक सांकेतिक परीक्षण आयोजित करूंगा। सबसे पहले, आइए ध्यान दें कि मुक्त पद 20 के बराबर है, जिसका अर्थ है प्रमेय 1संख्याएँ 8 और 40 संभावित जड़ों की सूची से बाहर हो जाती हैं, जिससे मान अनुसंधान के लिए रह जाते हैं (हॉर्नर की योजना के अनुसार एक को हटा दिया गया).

हम त्रिपद के गुणांकों को नई तालिका की शीर्ष पंक्ति में लिखते हैं और हम उसी "दो" से जाँच शुरू करते हैं. क्यों? और क्योंकि जड़ें एकाधिक हो सकती हैं, कृपया: - इस समीकरण में 10 समान जड़ें हैं। लेकिन आइए विचलित न हों:

और यहाँ, निस्संदेह, मैं थोड़ा झूठ बोल रहा था, यह जानते हुए कि जड़ें तर्कसंगत हैं। आख़िरकार, यदि वे तर्कहीन या जटिल होते, तो मुझे शेष सभी संख्याओं की असफल जाँच का सामना करना पड़ता। इसलिए, व्यवहार में, विवेचक द्वारा निर्देशित रहें।

उत्तर: तर्कसंगत जड़ें: 2, 4, 5

जिस समस्या का हमने विश्लेषण किया, उसमें हम भाग्यशाली थे, क्योंकि: ए) नकारात्मक मान तुरंत गायब हो गए, और बी) हमें जड़ बहुत जल्दी मिल गई (और सैद्धांतिक रूप से हम पूरी सूची की जांच कर सकते थे)।

लेकिन हकीकत में हालात काफी बदतर हैं. मैं आपको "द लास्ट हीरो" नामक एक रोमांचक गेम देखने के लिए आमंत्रित करता हूं:

समस्या 4

समीकरण के तर्कसंगत मूल ज्ञात कीजिए

समाधान: द्वारा प्रमेय 1काल्पनिक तर्कसंगत जड़ों के अंशों को शर्त को पूरा करना होगा (हम पढ़ते हैं "बारह को एल से विभाजित किया जाता है"), और हर स्थिति के अनुरूप हैं . इसके आधार पर, हमें दो सूचियाँ मिलती हैं:

"सूची एल":
और "सूची उम": (सौभाग्य से, यहाँ संख्याएँ प्राकृतिक हैं).

आइए अब सभी संभावित जड़ों की एक सूची बनाएं। सबसे पहले, हम "एल सूची" को विभाजित करते हैं। यह बिल्कुल साफ है कि वही नंबर मिलेंगे. सुविधा के लिए, आइए उन्हें एक तालिका में रखें:

कई अंशों को कम कर दिया गया है, जिसके परिणामस्वरूप वे मान पहले से ही "हीरो सूची" में हैं। हम केवल "नौसिखिया" जोड़ते हैं:

इसी प्रकार, हम उसी "सूची" को इस प्रकार विभाजित करते हैं:

और अंत में आगे

इस प्रकार, हमारे खेल में प्रतिभागियों की टीम पूरी हो गई है:


दुर्भाग्य से, इस समस्या में बहुपद "सकारात्मक" या "नकारात्मक" मानदंड को पूरा नहीं करता है, और इसलिए हम ऊपर या नीचे की पंक्ति को नहीं छोड़ सकते। आपको सभी नंबरों के साथ काम करना होगा।

तुम कैसा महसूस कर रहे हो? आइए, अपना सिर ऊपर उठाएं - एक और प्रमेय है जिसे लाक्षणिक रूप से "हत्यारा प्रमेय" कहा जा सकता है... ..."उम्मीदवार", बिल्कुल =)

लेकिन पहले आपको कम से कम एक के लिए हॉर्नर के आरेख को स्क्रॉल करना होगा पूरानंबर. परंपरागत रूप से, आइए एक लेते हैं। शीर्ष पंक्ति में हम बहुपद के गुणांक लिखते हैं और सब कुछ हमेशा की तरह है:

चूँकि चार स्पष्ट रूप से शून्य नहीं है, मान प्रश्न में बहुपद का मूल नहीं है। लेकिन वह हमारी बहुत मदद करेगी.

प्रमेय 2अगर कुछ के लिए सामान्य रूप मेंबहुपद का मान शून्येतर है: , तो इसकी तर्कसंगत जड़ें (अगर वे हैं)शर्त पूरी करो

हमारे मामले में और इसलिए सभी संभावित जड़ों को शर्त पूरी करनी चाहिए (चलिए इसे शर्त संख्या 1 कहते हैं). ये चार कई "उम्मीदवारों" के "हत्यारे" होंगे। प्रदर्शन के तौर पर, मैं कुछ जाँचें देखूँगा:

आइए "उम्मीदवार" की जाँच करें। ऐसा करने के लिए, आइए इसे कृत्रिम रूप से एक अंश के रूप में प्रस्तुत करें, जिससे यह स्पष्ट रूप से देखा जा सके। आइए परीक्षण अंतर की गणना करें: . चार को "माइनस दो" से विभाजित किया गया है:, जिसका अर्थ है कि संभावित रूट ने परीक्षण पास कर लिया है।

आइए मूल्य की जाँच करें। यहाँ परीक्षण अंतर है: . बेशक, और इसलिए दूसरा "विषय" भी सूची में बना हुआ है।

इस लेख में हम बहुपदों को विभाजित करने के उदाहरणों को हल करने की एक सुविधाजनक योजना के बारे में बात करेंगे। यदि हमें भागफल P n (x) = a n a n + a n - 1 x n - 1 + के गुणांक की गणना करने की आवश्यकता है। . . + a 1 x + a 0 और बहुपद को रैखिक द्विपद x - s से विभाजित करने पर शेषफल प्राप्त होता है, तो हॉर्नर की योजना (विधि) का उपयोग करना सुविधाजनक होगा।

इसमें एक विशेष तालिका बनाना और उसमें प्रारंभिक डेटा दर्ज करना शामिल है:

संख्याएँ b n, b n - 1, b n - 2, . . . , बी 1 और वह विभाजन गुणांक होगा जिसकी हमें आवश्यकता है पी एन (एक्स) = ए एन ए एन + ए एन - 1 एक्स एन - 1 +। . . + a 1 x + a 0 x - s पर। शेषफल को यहाँ b 0 के रूप में दर्शाया गया है। अन्यथा, आप समाधान इस प्रकार लिख सकते हैं:

अब हम दिखाएंगे कि इस योजना को व्यवहार में कैसे लागू किया जाए।

उदाहरण 1

स्थिति:हॉर्नर योजना का उपयोग करके बहुपद 2 x 4 - 3 x 3 - x 2 + 4 x + 13 को रैखिक द्विपद x - 1 से विभाजित करें।

समाधान

आइए तालिका भरें. हमारे पास s एक के बराबर है, और गुणांक a 4 = 2, a 3 = - 3, a 2 = - 1, a 1 = 4, a 0 = 13 है।

उत्तर:हमें भागफल b 4 x 3 + b 3 x 2 + b 2 x + b 1 = 2 x 3 - x 2 - 2 x + 2 और शेषफल b 0 = 15 के बराबर मिला।

दूसरे कार्य में हम विस्तृत टिप्पणियों के बिना कार्य करेंगे।

उदाहरण 2

स्थिति:निर्धारित करें कि क्या बहुपद 2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 को बिना किसी शेषफल के द्विपद x + 1 2 से विभाजित किया जा सकता है। भागफल की गणना करें.

समाधान

आइए हॉर्नर की योजना के अनुसार तालिका भरें।

अंतिम सेल में हमें शून्य शेषफल दिखाई देता है, इसलिए, हम मूल बहुपद को द्विपद से विभाजित कर सकते हैं।

उत्तर:भागफल बहुपद 2 x 2 - 12 x + 18 होगा।

यदि b 0 = 0, तो हम बहुपद P n (x) = a n a n + a n - 1 x n - 1 + की विभाज्यता के बारे में बात कर सकते हैं। . . + a 1 x + a 0 द्विपद x - s से, और हमारे पास मूल बहुपद का मूल s के बराबर है। बेज़आउट के प्रमेय के परिणाम का उपयोग करके, हम इस बहुपद को एक उत्पाद के रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं:

पी एन (एक्स) = ए एन ए एन + ए एन - 1 एक्स एन - 1 +। . . + ए 1 एक्स + ए 0 = = एक्स - एस (बी एन एक्स एन + 1 + बी एन - 1 एक्स एन - 2 +... + बी 1)

इसके लिए धन्यवाद, हॉर्नर की योजना उन मामलों के लिए उपयुक्त है जब आपको उच्च डिग्री के समीकरणों की पूर्णांक जड़ों को खोजने की आवश्यकता होती है जिनमें पूर्णांक गुणांक होते हैं, या एक बहुपद को सरल कारकों में विघटित करना होता है।

उदाहरण 3

स्थिति:समीकरण x 3 - 7 x - 6 = 0 को हल करें। बाईं ओर के बहुपद को उसके व्यक्तिगत गुणनखंडों में गुणनखंडित करें।

समाधान

हम जानते हैं कि समीकरण की पूरी जड़ों (यदि कोई हो) को मुक्त पद के विभाजकों के बीच देखा जाना चाहिए। आइए उन्हें अलग-अलग 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 6, - 6 लिखें और हॉर्नर योजना का उपयोग करके उनकी जांच करें।

तालिका डेटा से यह स्पष्ट है कि एकता इस समीकरण की जड़ों में से एक नहीं होगी।

आइए तालिका में एक और संभावित रूट जोड़ें।

लेकिन - 1 उपयुक्त है, जिसका अर्थ है कि हम मूल बहुपद को x 3 - 7 x - 6 = (x + 1) (x 2 - x - 6) के रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं।

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि - 1 एक एकाधिक (दोहराया जाने वाला) मूल नहीं होगा। हम निम्नलिखित विकल्प लेते हैं और गणना करते हैं:

संख्या 2 समीकरण के मूलों में से एक नहीं है। आइए x = - 2 के लिए हॉर्नर की तालिका को पूरक करें:

ऋणात्मक दो मूल समीकरण का मूल होगा। हम बहुपद को इस प्रकार लिख सकते हैं:

एक्स 3 - 7 एक्स - 6 = (एक्स + 1) (एक्स 2 - एक्स - 6) = = (एक्स + 1) (एक्स + 2) (एक्स - 3)

समीकरण का तीसरा और अंतिम मूल तीन के बराबर होगा। आइए गुणांक के रूप में प्राप्त अंतिम पंक्ति के मानों को लेकर तालिका को भरना समाप्त करें:

इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि हॉर्नर विधि का उपयोग करके भरी गई अंतिम तालिका हमारे उदाहरण का समाधान होगी। इस समस्या को बहुपद को एक स्तंभ के साथ रैखिक द्विपद द्वारा विभाजित करके भी हल किया जा सकता है, लेकिन यहां दिखाया गया चित्र स्पष्ट और सरल है।

उत्तर: x = - 1 , x = - 2 , x = 3 , x 3 - 7 x - 6 = (x + 1) (x + 2) (x - 3) .

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पहले, बहुपद की अवधारणा को एकपदी के बीजगणितीय योग के रूप में परिभाषित किया गया था। यदि किसी बहुपद के सभी समान एकपदी दिए गए हों और उन्हें चर की घात के अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया गया हो, तो परिणामी रिकॉर्ड को कहा जाता है विहित संकेतनबहुपद

परिभाषा।रूप की अभिव्यक्ति

कहाँ एक्स– कुछ चर, वास्तविक संख्याएँ, और, कहलाती हैं डिग्री का बहुपद एन परिवर्तनशील से एक्स . डिग्रीएक बहुपद का उसके विहित संकेतन में चर की सबसे बड़ी घात है। यदि चर बहुपद संकेतन में प्रकट नहीं होता है, अर्थात बहुपद एक स्थिरांक के बराबर है, इसकी डिग्री 0 के बराबर मानी जाती है। वह स्थिति जब बहुपद पर अलग से विचार किया जाना चाहिए। इस मामले में, यह आमतौर पर स्वीकार किया जाता है कि इसकी डिग्री निर्धारित नहीं है।

उदाहरण।दूसरी डिग्री का बहुपद,

पाँचवीं डिग्री का बहुपद.

परिभाषा।दो बहुपद बराबरयदि और केवल यदि उनके विहित रूपों में समान शक्तियों पर समान गुणांक हों।

परिभाषा. नंबर पर कॉल किया जाता है बहुपद की जड़, यदि इसके बजाय इस नंबर को सेट करते समय एक्सबहुपद का मान 0 होता है, अर्थात। दूसरे शब्दों में, समीकरण का मूल होगा

इस प्रकार, एक बहुपद के सभी मूल और एक परिमेय समीकरण के मूल ज्ञात करने की समस्या एक ही समस्या है।

ज्ञात एल्गोरिदम का उपयोग करके पहली और दूसरी डिग्री के तर्कसंगत समीकरण हल किए जाते हैं। तीसरी और चौथी डिग्री (कार्डानो और फेरारी सूत्र) के बहुपदों की जड़ें खोजने के लिए भी सूत्र हैं, लेकिन उनकी बोझिलता के कारण उन्हें प्रारंभिक गणित के पाठ्यक्रम में शामिल नहीं किया गया है।

उच्च घात वाले बहुपदों के मूल ज्ञात करने का सामान्य विचार बहुपद का गुणनखंड करना और समीकरण को निम्न घात वाले समीकरणों के समतुल्य सेट से प्रतिस्थापित करना है।

पिछले विषयों में, बहुपदों के गुणनखंडन के मुख्य तरीकों पर ध्यान दिया गया था: एक सामान्य गुणनखंड लेना; समूहीकरण; संक्षिप्त गुणन सूत्र.

हालाँकि, समूहीकरण विधि प्रकृति में एल्गोरिथम नहीं है, इसलिए इसे बड़ी डिग्री वाले बहुपदों पर लागू करना मुश्किल है। आइए कुछ अतिरिक्त प्रमेयों और विधियों पर विचार करें जो हमें उच्च डिग्री वाले बहुपदों का गुणनखंड करने की अनुमति देते हैं।

शेषफल के साथ विभाजन पर प्रमेय.मान लीजिए कि बहुपद दिए गए हैं, और घात 0 से भिन्न है, और घात घात से अधिक है। फिर ऐसे बहुपद मौजूद हैं जो समानता रखते हैं

इसके अलावा, एक डिग्री से कम डिग्री को बहुपद कहा जाता है भाज्य, बहुपद विभाजक,बहुपद अपूर्ण निजी, और बहुपद शेष .

यदि भाग का शेषफल 0 है, तो हम ऐसा कहते हैं शेयरोंपर पूरी तरह, और समानता का रूप लेता है:

एक बहुपद को एक बहुपद से विभाजित करने का एल्गोरिदम किसी संख्या को किसी स्तंभ या कोने से विभाजित करने के एल्गोरिदम के समान है। आइए हम एल्गोरिथम के चरणों का वर्णन करें।

चर की सभी शक्तियों को शामिल करते हुए, लाभांश को एक पंक्ति में लिखें (जो 0 के गुणांक के साथ गायब हैं उन्हें लिखें)।

चर की सभी शक्तियों सहित, लाभांश को "कोने" में लिखें।

अपूर्ण भागफल में पहला पद (एकपदी) खोजने के लिए, आपको लाभांश के अग्रणी एकपदी को भाजक के अग्रणी एकपदी से विभाजित करना होगा।

भागफल के परिणामी प्रथम पद को संपूर्ण भाजक से गुणा करें और परिणाम को लाभांश के अंतर्गत लिखें, और चर की समान घातों को एक दूसरे के अंतर्गत लिखें।

परिणामी उत्पाद को लाभांश से घटाएँ।

बिंदु 1 से शुरू करते हुए, परिणामी शेष पर एल्गोरिदम लागू करें)।

एल्गोरिथ्म तब पूरा होता है जब परिणामी अंतर भाजक की डिग्री से एक डिग्री कम होता है। यह शेष है.

उदाहरण. बहुपद को से विभाजित करें।

लाभांश और भाजक को लिखना

प्रक्रिया दोहराएँ

घात भाजक की घात से कम है। अतः यह शेषफल है। विभाजन का परिणाम इस प्रकार लिखा जाएगा:

हॉर्नर की योजना.यदि भाजक पहली डिग्री का बहुपद है, तो विभाजन प्रक्रिया को सरल बनाया जा सकता है। एक बहुपद को एक द्विपद से विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम पर विचार करें।

उदाहरण. बहुपद को हॉर्नर की योजना के अनुसार विभाजित करें। इस मामले में ए=2. आइए चरण दर चरण एल्गोरिदम को क्रियान्वित करने के परिणामों को लिखें।

इस प्रकार, हम विभाजन का परिणाम इस प्रकार लिखते हैं

टिप्पणी।यदि आपको द्विपद से विभाजित करने की आवश्यकता है

फिर इसे फिर रूप में परिवर्तित किया जाता है। इससे यह स्पष्ट है कि हार्नर की योजना से भाग देने पर जो भागफल प्राप्त होगा वह प्राप्त हो जायेगा। ए. बाकी वही रहता है.

बेज़ाउट का प्रमेय. किसी बहुपद को इससे विभाजित करने पर शेषफल बिंदु पर बहुपद के मान के बराबर होता है एक्स = ए, अर्थात। . एक बहुपद बिना किसी शेषफल के विभाज्य होता है यदि और केवल यदि एक्स = एबहुपद का मूल है.

इस प्रकार, बहुपद का एक मूल ज्ञात हुआ ए , हम उस कारक का चयन करके इसे गुणनखंडित कर सकते हैं जिसकी घात घात से एक कम है। यह कारक या तो हॉर्नर की योजना का उपयोग करके या एक कोने से विभाजित करके पाया जा सकता है।

मूल खोजने का प्रश्न या तो चयन द्वारा या बहुपद की तर्कसंगत जड़ों पर प्रमेय का उपयोग करके हल किया जाता है।

प्रमेय.चलो बहुपद पूर्णांक गुणांक हैं. यदि एक अप्रासंगिक भिन्न किसी बहुपद का मूल है, तो उसका अंश पीमुक्त पद का भाजक और हर है क्यूअग्रणी गुणांक का भाजक है.

यह प्रमेय अंतर्निहित है तर्कसंगत जड़ें खोजने के लिए एल्गोरिदमबहुपद (यदि कोई हो)।

एक बीजगणितीय भिन्न का सरल भिन्नों के योग में अपघटन

परिभाषावह भिन्न जिसके अंश और हर में बहुपद होते हैं, कहलाती है बीजगणितीय अंश .

आइए एक चर के बीजीय भिन्नों पर विचार करें। उन्हें सामान्य रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है: , जहां अंश में डिग्री का बहुपद होता है एन, हर डिग्री का एक बहुपद है क. यदि , तो भिन्न कहलाता है सही .

को सरल बीजीय भिन्नउचित भिन्न दो प्रकार के होते हैं:

प्रमेय.किसी भी बीजगणितीय भिन्न को सरलतम बीजगणितीय भिन्नों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।

एक बीजगणितीय भिन्न को साधारण भिन्नों के योग में विघटित करने के लिए एल्गोरिदम।

हर का गुणनखंड करें.

उचित भिन्नों की संख्या और उनके हर के प्रकार का निर्धारण करें।

एक समानता लिखें, जिसके बाईं ओर मूल अंश है, दाईं ओर अनिर्धारित गुणांक वाले सबसे सरल अंशों का योग है।

दाहिनी ओर के भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाएँ।

भिन्नों के अंशों में बहुपदों को बराबर करें। बहुपदों की समानता की परिभाषा का उपयोग करते हुए, रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली बनाएं और अनिर्धारित गुणांक ज्ञात करके इसे हल करें।

वेबसाइट "प्रोफेशनल गणित ट्यूटर" शिक्षण के बारे में पद्धति संबंधी लेखों की श्रृंखला जारी रखती है। मैं स्कूली पाठ्यक्रम के सबसे जटिल और समस्याग्रस्त विषयों के साथ अपने काम के तरीकों का विवरण प्रकाशित करता हूं। यह सामग्री नियमित कार्यक्रम और गणित कक्षाओं के कार्यक्रम दोनों में कक्षा 8-11 के छात्रों के साथ काम करने वाले गणित के शिक्षकों और ट्यूटर्स के लिए उपयोगी होगी।

एक गणित शिक्षक हमेशा उस सामग्री की व्याख्या नहीं कर सकता जो पाठ्यपुस्तक में खराब ढंग से प्रस्तुत की गई है। दुर्भाग्य से, ऐसे विषय अधिक से अधिक होते जा रहे हैं, और मैनुअल के लेखकों के अनुसरण में प्रस्तुति संबंधी त्रुटियाँ सामूहिक रूप से की जा रही हैं। यह न केवल शुरुआती गणित ट्यूटर्स और अंशकालिक ट्यूटर्स (ट्यूटर्स छात्र और विश्वविद्यालय ट्यूटर्स हैं) पर लागू होता है, बल्कि अनुभवी शिक्षकों, पेशेवर ट्यूटर्स, अनुभव और योग्यता वाले ट्यूटर्स पर भी लागू होता है। सभी गणित शिक्षकों के पास स्कूल की पाठ्यपुस्तकों के खुरदरे पहलुओं को सक्षमता से ठीक करने की प्रतिभा नहीं होती है। हर कोई यह भी नहीं समझता कि ये सुधार (या परिवर्धन) आवश्यक हैं। बच्चों द्वारा इसकी गुणात्मक धारणा के लिए सामग्री को अपनाने में कुछ बच्चे शामिल होते हैं। दुर्भाग्य से, वह समय बीत चुका है जब गणित के शिक्षक, पद्धतिविदों और प्रकाशनों के लेखकों के साथ मिलकर पाठ्यपुस्तक के प्रत्येक अक्षर पर सामूहिक रूप से चर्चा करते थे। पहले, स्कूलों में पाठ्यपुस्तक जारी करने से पहले, सीखने के परिणामों का गंभीर विश्लेषण और अध्ययन किया जाता था। अब उन शौकीनों का समय आ गया है जो पाठ्यपुस्तकों को मजबूत गणित कक्षाओं के मानकों के अनुरूप समायोजित करके सार्वभौमिक बनाने का प्रयास करते हैं।

सूचना की मात्रा बढ़ाने की होड़ से केवल इसके आत्मसात करने की गुणवत्ता में कमी आती है और परिणामस्वरूप, गणित में वास्तविक ज्ञान के स्तर में कमी आती है। लेकिन इस पर कोई ध्यान नहीं देता. और हमारे बच्चों को, पहले से ही 8वीं कक्षा में, वह अध्ययन करने के लिए मजबूर किया जाता है जो हमने संस्थान में पढ़ा था: संभाव्यता सिद्धांत, उच्च-डिग्री समीकरणों को हल करना और कुछ और। एक बच्चे की पूर्ण धारणा के लिए पुस्तकों में सामग्री का अनुकूलन वांछित होने के लिए बहुत कुछ छोड़ देता है, और एक गणित शिक्षक को किसी तरह इससे निपटने के लिए मजबूर किया जाता है।

आइए ऐसे विशिष्ट विषय को पढ़ाने की पद्धति के बारे में बात करें जैसे "एक बहुपद को एक कोने से बहुपद को विभाजित करना", जिसे वयस्क गणित में "बेज़ाउट के प्रमेय और हॉर्नर की योजना" के रूप में जाना जाता है। अभी कुछ साल पहले, यह प्रश्न गणित शिक्षक के लिए इतना दबाव वाला नहीं था, क्योंकि यह मुख्य स्कूल पाठ्यक्रम का हिस्सा नहीं था। अब टेलीकोवस्की द्वारा संपादित पाठ्यपुस्तक के सम्मानित लेखकों ने, मेरी राय में, सबसे अच्छी पाठ्यपुस्तक के नवीनतम संस्करण में बदलाव किए हैं, और इसे पूरी तरह से खराब कर दिया है, केवल ट्यूटर के लिए अनावश्यक चिंताएँ बढ़ा दी हैं। जिन स्कूलों और कक्षाओं में गणित का दर्जा नहीं है, उनके शिक्षकों ने लेखकों के नवाचारों पर ध्यान केंद्रित करते हुए, अक्सर अपने पाठों में अतिरिक्त पैराग्राफ शामिल करना शुरू कर दिया, और जिज्ञासु बच्चे, अपनी गणित की पाठ्यपुस्तक के सुंदर पन्नों को देखकर, तेजी से सवाल पूछने लगे। शिक्षक: “कोने से यह विभाजन क्या है? क्या हम इससे गुज़रेंगे? एक कोना कैसे साझा करें? ऐसे सीधे सवालों से अब छिपने वाला नहीं है. ट्यूटर को बच्चे को कुछ बताना होगा।

परंतु जैसे? यदि विषय को पाठ्यपुस्तकों में सक्षमतापूर्वक प्रस्तुत किया गया होता तो शायद मैं उस विषय पर काम करने की विधि का वर्णन नहीं कर पाता। हमारे साथ सब कुछ कैसा चल रहा है? पाठ्यपुस्तकों को छापने और बेचने की जरूरत है। और इसके लिए उन्हें नियमित रूप से अपडेट करने की आवश्यकता है। क्या विश्वविद्यालय के शिक्षक शिकायत करते हैं कि बच्चे उनके पास खाली मन, ज्ञान और कौशल के बिना आते हैं? क्या गणितीय ज्ञान की आवश्यकताएं बढ़ रही हैं? महान! आइए कुछ अभ्यास हटा दें और उनके स्थान पर उन विषयों को सम्मिलित करें जिनका अध्ययन अन्य कार्यक्रमों में किया जाता है। हमारी पाठ्यपुस्तक बदतर क्यों है? हम कुछ अतिरिक्त अध्याय शामिल करेंगे. स्कूली बच्चों को नहीं पता कोना बांटने का नियम? यह बुनियादी गणित है. इस अनुच्छेद को वैकल्पिक बनाया जाना चाहिए, जिसका शीर्षक है "उन लोगों के लिए जो अधिक जानना चाहते हैं।" शिक्षक इसके ख़िलाफ़? हम आम तौर पर शिक्षकों की परवाह क्यों करते हैं? मेथडोलॉजिस्ट और स्कूल शिक्षक भी इसके खिलाफ हैं? हम सामग्री को जटिल नहीं बनाएंगे और इसके सरलतम भाग पर विचार करेंगे।

और यहीं से इसकी शुरुआत होती है. विषय की सरलता और उसके आत्मसात करने की गुणवत्ता, सबसे पहले, उसके तर्क को समझने में निहित है, न कि पाठ्यपुस्तक के लेखकों के निर्देशों के अनुसार, संचालन का एक निश्चित सेट करने में जो स्पष्ट रूप से एक दूसरे से संबंधित नहीं हैं। . नहीं तो विद्यार्थी के दिमाग में धुंध छा जाएगी। यदि लेखक अपेक्षाकृत मजबूत छात्रों (लेकिन एक नियमित कार्यक्रम में अध्ययन कर रहे हैं) को लक्षित कर रहे हैं, तो आपको विषय को कमांड फॉर्म में प्रस्तुत नहीं करना चाहिए। हम पाठ्यपुस्तक में क्या देखते हैं? बच्चों, हमें इस नियम के अनुसार विभाजन करना चाहिए। कोण के नीचे बहुपद प्राप्त करें. इस प्रकार, मूल बहुपद का गुणनखंड किया जाएगा। हालाँकि, यह समझना स्पष्ट नहीं है कि कोने के नीचे के पदों को बिल्कुल इस तरह से क्यों चुना जाता है, क्यों उन्हें कोने के ऊपर बहुपद से गुणा किया जाना चाहिए, और फिर वर्तमान शेषफल से घटाया जाना चाहिए। और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि यह स्पष्ट नहीं है कि चयनित एकपदी को अंततः क्यों जोड़ा जाना चाहिए और परिणामी कोष्ठक मूल बहुपद का विस्तार क्यों होंगे। कोई भी सक्षम गणितज्ञ पाठ्यपुस्तक में दी गई व्याख्याओं पर एक साहसिक प्रश्नचिह्न लगाएगा।

मैं ट्यूटर्स और गणित शिक्षकों के ध्यान में समस्या का समाधान लाता हूं, जो व्यावहारिक रूप से पाठ्यपुस्तक में बताई गई हर बात को छात्र के लिए स्पष्ट कर देता है। वास्तव में, हम बेज़ाउट के प्रमेय को सिद्ध करेंगे: यदि संख्या a एक बहुपद का मूल है, तो इस बहुपद को गुणनखंडों में विघटित किया जा सकता है, जिनमें से एक x-a है, और दूसरा मूल से तीन तरीकों में से एक में प्राप्त किया जाता है: परिवर्तनों के माध्यम से एक रैखिक कारक को अलग करके, एक कोने से विभाजित करके, या हॉर्नर की योजना द्वारा। इस फॉर्मूलेशन के साथ गणित शिक्षक के लिए काम करना आसान हो जाएगा।

शिक्षण पद्धति क्या है? सबसे पहले, यह स्पष्टीकरण और उदाहरणों के अनुक्रम में एक स्पष्ट क्रम है जिसके आधार पर गणितीय निष्कर्ष निकाले जाते हैं। यह विषय कोई अपवाद नहीं है. एक गणित शिक्षक के लिए बच्चे को बेज़ौट के प्रमेय से परिचित कराना बहुत महत्वपूर्ण है एक कोने से विभाजित करने से पहले. बहुत जरुरी है! किसी विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करके समझ हासिल करना सबसे अच्छा है। आइए चयनित मूल के साथ कुछ बहुपद लें और पहचान परिवर्तन की विधि का उपयोग करके इसे कारकों में विभाजित करने की तकनीक दिखाएं, जो 7 वीं कक्षा के स्कूली बच्चों से परिचित है। गणित शिक्षक के उचित स्पष्टीकरण, जोर और युक्तियों के साथ, बिना किसी सामान्य गणितीय गणना, मनमाने गुणांक और शक्तियों के सामग्री को व्यक्त करना काफी संभव है।

गणित शिक्षक के लिए महत्वपूर्ण सलाह- शुरू से अंत तक निर्देशों का पालन करें और इस क्रम को न बदलें।

तो, मान लीजिए कि हमारे पास एक बहुपद है। यदि हम इसके X के स्थान पर संख्या 1 रखें तो बहुपद का मान शून्य के बराबर होगा। इसलिए x=1 इसका मूल है। आइए इसे दो पदों में विघटित करने का प्रयास करें ताकि उनमें से एक रैखिक अभिव्यक्ति और कुछ एकपदी का गुणनफल हो, और दूसरे की डिग्री इससे एक कम हो। अर्थात् इसे रूप में प्रस्तुत करते हैं

हम लाल क्षेत्र के लिए एकपदी का चयन करते हैं ताकि जब अग्रणी पद से गुणा किया जाए, तो यह मूल बहुपद के अग्रणी पद से पूरी तरह मेल खाए। यदि छात्र सबसे कमजोर नहीं है, तो वह गणित शिक्षक को आवश्यक अभिव्यक्ति बताने में काफी सक्षम होगा:। ट्यूटर को तुरंत इसे लाल फ़ील्ड में डालने और यह दिखाने के लिए कहा जाना चाहिए कि जब उन्हें खोला जाएगा तो क्या होगा। इस आभासी अस्थायी बहुपद पर तीरों के नीचे (छोटी तस्वीर के नीचे) हस्ताक्षर करना सबसे अच्छा है, इसे किसी रंग से उजागर करना, उदाहरण के लिए, नीला। इससे आपको लाल फ़ील्ड के लिए एक शब्द चुनने में मदद मिलेगी, जिसे चयन का शेष भाग कहा जाता है। मैं शिक्षकों को यहां यह बताने की सलाह दूंगा कि यह शेषफल घटाव द्वारा पाया जा सकता है। इस ऑपरेशन को करने पर हमें मिलता है:



गणित शिक्षक को छात्र का ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करना चाहिए कि इस समानता में एक को प्रतिस्थापित करने पर, हमें इसके बाईं ओर शून्य प्राप्त करने की गारंटी है (क्योंकि 1 मूल बहुपद की जड़ है), और दाईं ओर, जाहिर है, हम प्रथम पद को भी शून्य कर देगा। इसका मतलब यह है कि बिना किसी सत्यापन के हम कह सकते हैं कि "हरित शेष" की जड़ एक है।

आइए इसके साथ उसी तरह से निपटें जैसे हमने मूल बहुपद के साथ किया था, उसी रैखिक गुणनखंड को इससे अलग करते हुए। गणित शिक्षक छात्र के सामने दो फ्रेम बनाता है और उन्हें बाएं से दाएं भरने के लिए कहता है।



छात्र ट्यूटर के लिए लाल क्षेत्र के लिए एक एकपदी का चयन करता है ताकि, जब रैखिक अभिव्यक्ति के अग्रणी पद से गुणा किया जाए, तो यह विस्तारित बहुपद का अग्रणी पद दे। हम इसे फ्रेम में फिट करते हैं, तुरंत ब्रैकेट खोलते हैं और नीले रंग में उस अभिव्यक्ति को हाइलाइट करते हैं जिसे फोल्डिंग से घटाया जाना चाहिए। इस ऑपरेशन को करने पर हमें यह मिलता है



और अंत में, अंतिम शेषफल के साथ भी ऐसा ही करें



हम अंततः इसे प्राप्त कर लेंगे



अब अभिव्यक्ति को कोष्ठक से बाहर निकालें और हम मूल बहुपद के गुणनखंडों में अपघटन देखेंगे, जिनमें से एक है "x घटा चयनित मूल।"

छात्र को यह न सोचने के लिए कि अंतिम "हरा शेष" गलती से आवश्यक कारकों में विघटित हो गया था, गणित शिक्षक को सभी हरे अवशेषों की एक महत्वपूर्ण संपत्ति को इंगित करना चाहिए - उनमें से प्रत्येक की जड़ 1 है। चूंकि की डिग्री ये शेष कम हो जाते हैं, फिर प्रारंभिक की जो भी डिग्री हो, चाहे हमें कितना भी बहुपद दिया जाए, देर-सबेर हमें मूल 1 के साथ एक रैखिक "हरा शेष" मिलेगा, और इसलिए यह आवश्यक रूप से एक निश्चित के उत्पाद में विघटित हो जाएगा संख्या और एक अभिव्यक्ति.

इस तरह के प्रारंभिक कार्य के बाद, गणित शिक्षक के लिए छात्र को यह समझाना मुश्किल नहीं होगा कि कोने से विभाजित करने पर क्या होता है। यह वही प्रक्रिया है, केवल छोटे और अधिक संक्षिप्त रूप में, बिना समान चिह्नों के और समान हाइलाइट किए गए शब्दों को दोबारा लिखे बिना। जिस बहुपद से रैखिक कारक निकाला जाता है उसे कोने के बाईं ओर लिखा जाता है, चयनित लाल एकपदी को एक कोण पर एकत्र किया जाता है (अब यह स्पष्ट हो जाता है कि उन्हें क्यों जोड़ना चाहिए), "नीला बहुपद" प्राप्त करने के लिए, "लाल" '' को x-1 से गुणा किया जाना चाहिए, और फिर वर्तमान में चयनित से घटाया जाना चाहिए कि यह संख्याओं के सामान्य विभाजन में एक कॉलम में कैसे किया जाता है (यहां पहले अध्ययन किए गए के साथ एक सादृश्य है)। परिणामी "हरे अवशेष" नए अलगाव और "लाल मोनोमियल्स" के चयन के अधीन हैं। और इसी तरह जब तक आपको शून्य "हरित संतुलन" न मिल जाए। सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि छात्र कोण के ऊपर और नीचे लिखे बहुपदों के आगे के भाग्य को समझता है। जाहिर है, ये कोष्ठक हैं जिनका गुणनफल मूल बहुपद के बराबर है।

गणित शिक्षक के कार्य का अगला चरण बेज़ौट के प्रमेय का निर्माण है। वास्तव में, ट्यूटर के इस दृष्टिकोण के साथ इसका सूत्रीकरण स्पष्ट हो जाता है: यदि संख्या ए एक बहुपद की जड़ है, तो इसे गुणनखंडित किया जा सकता है, जिनमें से एक है, और दूसरा तीन तरीकों में से एक में मूल से प्राप्त किया जाता है :

• प्रत्यक्ष अपघटन (समूहन विधि के अनुरूप)
• एक कोने से विभाजित करना (एक कॉलम में)
• हॉर्नर सर्किट के माध्यम से

यह कहा जाना चाहिए कि सभी गणित शिक्षक अपने छात्रों को हॉर्नर आरेख नहीं दिखाते हैं, और सभी स्कूल शिक्षक (सौभाग्य से स्वयं शिक्षकों के लिए) पाठ के दौरान विषय में इतनी गहराई से नहीं जाते हैं। हालाँकि, गणित कक्षा के एक छात्र के लिए, मुझे लंबे विभाजन पर रुकने का कोई कारण नहीं दिखता। इसके अलावा, सबसे सुविधाजनक और तेज़अपघटन तकनीक बिल्कुल हॉर्नर की योजना पर आधारित है। एक बच्चे को यह समझाने के लिए कि यह कहाँ से आता है, एक कोने से विभाजन के उदाहरण का उपयोग करके, हरे अवशेषों में उच्च गुणांक की उपस्थिति का पता लगाना पर्याप्त है। यह स्पष्ट हो जाता है कि प्रारंभिक बहुपद के अग्रणी गुणांक को पहले "लाल एकपदी" के गुणांक में ले जाया जाता है, और वर्तमान ऊपरी बहुपद के दूसरे गुणांक से आगे ले जाया जाता है कटौती"लाल मोनोमियल" के वर्तमान गुणांक को गुणा करने का परिणाम। इसलिए यह संभव है जोड़नासे गुणा करने का परिणाम. गुणांक के साथ कार्यों की विशिष्टताओं पर छात्र का ध्यान केंद्रित करने के बाद, एक गणित शिक्षक यह दिखा सकता है कि ये क्रियाएं आमतौर पर चर को रिकॉर्ड किए बिना कैसे की जाती हैं। ऐसा करने के लिए, निम्नलिखित तालिका में प्राथमिकता के क्रम में मूल बहुपद के मूल और गुणांक को दर्ज करना सुविधाजनक है:



यदि किसी बहुपद में कोई डिग्री गायब है, तो उसका शून्य गुणांक तालिका में डाला जाता है। "लाल बहुपद" के गुणांक "हुक" नियम के अनुसार निचली पंक्ति में बारी-बारी से लिखे जाते हैं:


मूल को अंतिम लाल गुणांक से गुणा किया जाता है, शीर्ष पंक्ति में अगले गुणांक में जोड़ा जाता है, और परिणाम नीचे की पंक्ति में लिखा जाता है। अंतिम कॉलम में हमें अंतिम "हरित शेष" का उच्चतम गुणांक, यानी शून्य प्राप्त करने की गारंटी दी जाती है। प्रक्रिया पूरी होने के बाद नंबर सुमेलित मूल और शून्य शेषफल के बीच सैंडविच किया गयादूसरे (अरेखीय) कारक के गुणांक बनें।



चूँकि मूल a निचली पंक्ति के अंत में एक शून्य देता है, हॉर्नर की योजना का उपयोग बहुपद के मूल के शीर्षक के लिए संख्याओं की जाँच करने के लिए किया जा सकता है। यदि एक तर्कसंगत जड़ के चयन पर एक विशेष प्रमेय. इसकी सहायता से प्राप्त इस शीर्षक के सभी उम्मीदवारों को बस बाईं ओर से हॉर्नर के आरेख में डाला जाता है। जैसे ही हमें शून्य प्राप्त होगा, परीक्षित संख्या एक मूल होगी, और साथ ही हमें इसकी रेखा पर मूल बहुपद के गुणनखंडन के गुणांक प्राप्त होंगे। बहुत आराम से.

अंत में, मैं यह नोट करना चाहूंगा कि हॉर्नर की योजना को सटीक रूप से पेश करने के साथ-साथ विषय को व्यावहारिक रूप से समेकित करने के लिए, एक गणित शिक्षक के पास पर्याप्त संख्या में घंटे होने चाहिए। "सप्ताह में एक बार" व्यवस्था के साथ काम करने वाले शिक्षक को कोने के विभाजन में संलग्न नहीं होना चाहिए। गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा और गणित में राज्य गणित अकादमी में, यह संभावना नहीं है कि पहले भाग में आपको कभी भी तीसरी डिग्री का समीकरण मिलेगा जिसे इस तरह से हल किया जा सकता है। यदि कोई ट्यूटर मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी में किसी बच्चे को गणित की परीक्षा के लिए तैयार कर रहा है, तो विषय का अध्ययन अनिवार्य हो जाता है। विश्वविद्यालय के शिक्षक, एकीकृत राज्य परीक्षा के संकलनकर्ताओं के विपरीत, वास्तव में एक आवेदक के ज्ञान की गहराई का परीक्षण करना पसंद करते हैं।

कोलपाकोव अलेक्जेंडर निकोलाइविच, गणित शिक्षक मॉस्को, स्ट्रोगिनो

रूप का बहुपद
a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + ... + a 1 x + a 0
गुणनखंडित किया जा सकता है हॉर्नर की योजना के अनुसार,यदि इसकी कम से कम 1 जड़ ज्ञात हो।

आइए एक उदाहरण का उपयोग करके हॉर्नर की योजना के अनुसार विभाजन को देखें:

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10

सबसे पहले आपको चयन विधि का उपयोग करके एक रूट ढूंढना होगा। आमतौर पर यह मुक्त पद का विभाजक होता है। इस मामले में, संख्या के भाजक -10 हैं ±1, ±2, ±5, ±10.आइए उन्हें एक-एक करके प्रतिस्थापित करना शुरू करें:

1: 2 + 9 - 10 - 27 - 10 = -36 ⇒ संख्या 1

-1: 2 - 9 - 10 + 27 - 10 = 0 ⇒ संख्या -1 बहुपद का मूल है

हमें बहुपद का 1 मूल मिला है। बहुपद का मूल है -1, जिसका अर्थ है कि मूल बहुपद को विभाज्य होना चाहिए एक्स+1. बहुपदों का विभाजन करने के लिए, हम हॉर्नर की योजना का उपयोग करते हैं:

	2	9	-10	-27	-10
-1

मूल बहुपद के गुणांक शीर्ष पंक्ति में प्रदर्शित होते हैं। हमें जो रूट मिला वह दूसरी पंक्ति के पहले सेल में रखा गया है -1. दूसरी पंक्ति में विभाजन से उत्पन्न बहुपद के गुणांक शामिल हैं। उनकी गणना इस प्रकार की जाती है:

2 9 -10 -27 -10 -1 2	दूसरी पंक्ति के दूसरे सेल में हम संख्या लिखते हैं 2, बस इसे पहली पंक्ति के संबंधित सेल से ले जाकर।
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7	-1 ∙ 2 + 9 = 7
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17	-1 ∙ 7 - 10 = -17
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10	-1 ∙ (-17) - 27 = -10
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0	-1 ∙ (-10) - 10 = 0

अंतिम संख्या भाग का शेष भाग है। यदि यह 0 के बराबर है, तो हमने सब कुछ सही ढंग से गणना की है।

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10 = (x + 1)(2x 3 + 7x 2 - 17x - 10)

लेकिन ये अंत नहीं है. आप इसी प्रकार बहुपद का विस्तार करने का प्रयास कर सकते हैं 2x 3 + 7x 2 - 17x - 10.

फिर से हम मुक्त पद के विभाजकों के बीच एक मूल की तलाश कर रहे हैं। जैसा कि हम पहले ही पता लगा चुके हैं, संख्याओं के भाजक -10 हैं ±1, ±2, ±5, ±10.

1: 2 + 7 - 17 - 10 = -18 ⇒ संख्या 1 बहुपद का मूल नहीं है

-1: -2 + 7 + 17 - 10 = 12 ⇒ संख्या -1 बहुपद का मूल नहीं है

2: 2 ∙ 8 + 7 ∙ 4 - 17 ∙ 2 - 10 = 0 ⇒ संख्या 2 बहुपद का मूल है

आइए पाए गए रूट को हमारी हॉर्नर योजना में लिखें और खाली कोशिकाओं को भरना शुरू करें:

2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2	तीसरी पंक्ति के दूसरे सेल में हम संख्या लिखते हैं 2, बस इसे दूसरी पंक्ति के संबंधित सेल से ले जाकर।
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11	2 ∙ 2 + 7 = 11
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5	2 ∙ 11 - 17 = 5
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0	2 ∙ 5 - 10 = 0

इस प्रकार, हमने मूल बहुपद का गुणनखंड किया:

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10 = (x + 1)(x - 2)(2x 2 + 11x + 5)

बहुपद 2x 2 + 11x + 5गुणनखंडित भी किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आप विवेचक के माध्यम से द्विघात समीकरण को हल कर सकते हैं, या आप संख्या के विभाजकों के बीच मूल की तलाश कर सकते हैं 5. किसी भी तरह, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचेंगे कि इस बहुपद का मूल संख्या है -5

2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2	चौथी पंक्ति के दूसरे सेल में हम संख्या लिखते हैं 2, बस इसे तीसरी पंक्ति के संबंधित सेल से ले जाकर।
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2 1	-5 ∙ 2 + 11 = 1
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2 1 0	-5 ∙ 1 + 5 = 0

इस प्रकार, हमने मूल बहुपद को रैखिक गुणनखंडों में विघटित कर दिया।