उदाहरण:

\\ (4 ^ x \u003d 32 \\)
\\ (5 ^ (2x-1) -5 ^ (2x-3) \u003d 4.8 \\)
\\ ((\\ sqrt (7)) ^ (2x + 2) -50 \\ cdot (\\ sqrt (7)) ^ (x) + 7 \u003d 0 \\)

घातीय समीकरणों को कैसे हल करें

हल करते समय, कोई संकेतक समीकरण, हम फॉर्म \\ (ए ^ (एफ (एक्स)) \u003d ए ^ (जी (एक्स)) के लिए नेतृत्व करने का प्रयास करते हैं, और फिर संकेतकों की समानता में संक्रमण करते हैं, यह है:

\\ (a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \\) \\ (⇔ \\) \\ (f (x) \u003d g (x) \\)

उदाहरण के लिए: \\ (2 ^ (x + 1) \u003d 2 ^ 2 \\) \\ (⇔ \\) \\ (x + 1 \u003d 2 \\)

महत्वपूर्ण! एक ही तर्क से इस तरह के एक संक्रमण के लिए दो आवश्यकताओं का पालन करता है:
- संख्या बी बाईं ओर और दाएं समान होना चाहिए;
- बाईं ओर की डिग्री और दाएं "साफ" होना चाहिएयही है, कोई, गुणा, विभाजन इत्यादि नहीं होना चाहिए।

उदाहरण के लिए:

फॉर्म के लिए समीकरण का आनंद लेने के लिए \\ (^ ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \\) लागू करें और।

उदाहरण । संकेतक समीकरण \\ (\\ sqrt (27) · 3 ^ (x - 1) \u003d ((\\ frac (1) (3)) का निर्णय लें) ^ (2x) \\)
फेसला:

प्रथम स्तर

संकेतक समीकरण। संपूर्ण गाइड (2019)

अरे! आज हम आपके साथ चर्चा करेंगे कि समीकरणों को हल करने के तरीके को प्राथमिकता के रूप में कैसे हल किया जा सकता है (और मुझे उम्मीद है कि इस लेख को पढ़ने के बाद, लगभग सभी ऐसे होंगे) और जो आमतौर पर "बैकबोन पर" देते हैं। जाहिर है, अंत में सो जाना। लेकिन मैं सबकुछ करने की कोशिश करूंगा ताकि अब आप इस तरह के समीकरणों के साथ गलती नहीं कर सकें। मैं चारों ओर नहीं चलूंगा और इसके बारे में, लेकिन मैं तुरंत एक छोटा सा रहस्य खोलूंगा: आज हम सौदा करेंगे सटीक समीकरण।

अपने समाधानों के तरीकों के विश्लेषण पर स्विच करने से पहले, मैं तुरंत प्रश्नों की सीमा (काफी छोटे) को बाहर निकाल देता हूं, जिसे आपको इस विषय पर हमले में भागने से पहले दोहराना चाहिए। तो, सबसे अच्छा परिणाम प्राप्त करने के लिए, कृपया दोहराएं:

1. गुण I.
2. समाधान और समीकरण

दोहराया गया? आश्चर्यजनक! फिर आपको यह नोट करना मुश्किल नहीं होगा कि समीकरण की जड़ संख्या है। आप समझ गए कि मैंने यह कैसे किया? सत्य? फिर जारी रखें। अब मुझे इस सवाल का जवाब दें, तीसरी डिग्री के बराबर क्या है? आप बिल्कुल सही कह रहे है: । और आठ ट्वोस की डिग्री है? दाएं - तीसरा! चूंकि। खैर, अब आइए निम्नलिखित कार्य को हल करने का प्रयास करें: मुझे संख्या को गुणा करने और परिणामस्वरूप प्राप्त करने दें। पूछें, मैंने कितनी बार खुद को गुणा किया? बेशक, आप इसे सीधे जांच सकते हैं:

\\ प्रारंभ (संरेखित) और 2 \u003d 2 \\\\ & 2 \\ cdot 2 \u003d 4 \\\\ & 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \u003d 8 \\\\ & 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \u003d 16 \\ end (संरेखित)

फिर आप यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि मैंने फिर से गुणा किया है। इसे और जांच कैसे किया जा सकता है? लेकिन कैसे: डिग्री की परिभाषा के आधार पर :. लेकिन, सहमत हैं, अगर मैंने पूछा कि आपको कितनी बार गुणा करने की ज़रूरत है, तो आप कहें, आप कहेंगे, आप मुझे बताएंगे: मैं खुद को अपने सिर की चिंता नहीं करूंगा और घृणा से पहले खुद को गुणा करूंगा। और बिल्कुल सही होगा। क्योंकि तुम्हें आता है संक्षेप में सभी क्रियाएं लिखें (और ब्रेविटी - प्रतिभा की बहन)

कहाँ - यह वही है "एक बार"जब आप खुद को गुणा करते हैं।

मुझे लगता है कि आप जानते हैं (और यदि आप नहीं जानते हैं, तत्काल, डिग्री को तुरंत दोहराएं!), तो, तो मेरा कार्य फॉर्म में दर्ज किया जाएगा:

आप इस निष्कर्ष को उचित ठहरा सकते हैं कि:

यह इतना अनजान है कि मैंने सबसे सरल रिकॉर्ड किया संकेतक समीकरण:

और यहां तक \u200b\u200bकि उसे भी मिला जड़ । क्या आपको नहीं लगता कि सब कुछ पूरी तरह से तुच्छ है? तो मुझे बस वही लगता है। यहां आपके पास एक और उदाहरण है:

पर क्या करूँ! आखिरकार, डिग्री (उचित) संख्या के रूप में रिकॉर्ड करना असंभव है। आइए निराशा न करें और ध्यान दें कि इन दोनों संख्याओं को पूरी तरह से एक की डिग्री और एक ही संख्या के माध्यम से व्यक्त किया जाता है। क्या? सही: । फिर प्रारंभिक समीकरण को ध्यान में रखा जाता है:

जहां, जैसा कि आप पहले से ही समझ गए हैं ,. चलो अब खींच और लिखते नहीं हैं परिभाषा:

आपके मामले में :.

इन समीकरणों को उनके दिमाग से हल किया जाता है:

समीकरण के बाद के समाधान के साथ

हमने वास्तव में पिछले उदाहरण में ऐसा किया था: हमने ऐसा किया था। और हमने आपके साथ सबसे सरल समीकरण हल किया।

ऐसा लगता है कि जटिल कुछ भी नहीं है, है ना? सबसे पहले सबसे आसान अभ्यास करते हैं उदाहरण:

हम फिर से देखते हैं कि समीकरण के दाएं और बाएं हिस्से को एक संख्या की डिग्री के रूप में दर्शाया जाना चाहिए। बाईं ओर सच पहले से ही किया गया है, लेकिन अधिकार सही के लायक है। लेकिन, कुछ भी भयानक नहीं है, क्योंकि, और मेरे समीकरण चमत्कारी रूप से इस तरह से बदल दिया गया है:

मैं यहां क्या उपयोग कर सकता हूं? क्या नियम है? नियम "डिग्री से डिग्री"वह कहता है:

क्या हो अगर:

इस प्रश्न का उत्तर देने से पहले, आइए आपको यहां भरें:

हमारे लिए यह ध्यान रखना मुश्किल नहीं है कि कम मूल्य छोटा है, लेकिन फिर भी, ये सभी मान शून्य से अधिक हैं। और इसलिए यह हमेशा होगा !!! यह संपत्ति किसी भी संकेतक के साथ किसी भी कारण से मान्य है !! (किसी के लिए भी)। फिर हम समीकरण के बारे में क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं? लेकिन क्या: यह कोई जड़ नहीं! इसमें जड़ें और कोई समीकरण कैसे नहीं है। अब अभ्यास करते हैं और तीव्र सरल गुण:

आ जाओ:

1. यहां, कुछ भी आपकी आवश्यकता नहीं होगी, डिग्री के गुणों के ज्ञान के अलावा (जिस तरह से, मैंने आपको दोहराने के लिए कहा था!) \u200b\u200bएक नियम के रूप में, हर कोई सबसे छोटा आधार बनाता है: फिर प्रारंभिक समीकरण निम्नलिखित के बराबर होगा: मुझे जो कुछ भी चाहिए, वह डिग्री के गुणों का उपयोग करना है: एक ही कारणों से संख्याओं को गुणा करते समय, डिग्री को तब्दील कर दिया जाता है, और विभाजन के दौरान - घटाया जाता है। तब मुझे मिलेगा: ठीक है, अब एक शांत विवेक के साथ, मैं संकेतक समीकरण से रैखिक में आगे बढ़ूंगा: \\ प्रारंभ (संरेखित)
और 2x + 1 + 2 (x + 2) -3x \u003d 5 \\\\
और 2x + 1 + 2x + 4-3x \u003d 5 \\\\
और x \u003d 0। \\\\
\\ END (संरेखित)

2. दूसरे उदाहरण में, चौकस होना जरूरी है: परेशानी हमारे बाएं हिस्से में है, ठीक है, यह एक ही संख्या के रूप में पेश करना संभव नहीं होगा। इस मामले में, कभी-कभी उपयोगी विभिन्न आधारों के साथ डिग्री के उत्पाद के रूप में वर्तमान संख्याएं, लेकिन एक ही संकेतक:

समीकरण का बायां हिस्सा फॉर्म ले जाएगा: उसने हमें क्या दिया? पर क्या: विभिन्न आधारों के साथ संख्या, लेकिन एक ही संकेतक गुणा कर सकते हैं।उसी समय, आधार परिवर्तनीय होते हैं, और संकेतक नहीं बदलता है:

मेरी स्थिति के संबंध में यह देगा:

शुरू (संरेखित)
और 4 \\ cdot ((64) ^ (x)) ((25) ^ (x)) \u003d 6400, \\\\
और 4 \\ cdot (((64 \\ cdot 25)) ^ (x)) \u003d 6400, \\\\
& ((1600) ^ (x)) \u003d \\ frac (6400) (4), \\\\
& ((1600) ^ (x)) \u003d 1600, \\\\
और x \u003d 1। \\\\
\\ END (संरेखित)

बुरा नहीं, है ना?

3. मुझे पसंद नहीं है जब मेरे पास समीकरण के एक तरफ मुझ पर दो शर्तें होंगी, और दूसरी तरफ - कोई भी (कभी-कभी, निश्चित रूप से, यह उचित नहीं है, लेकिन अब यह ऐसा मामला नहीं है)। शब्द को एक ऋण के साथ दाईं ओर पेश किया:

अब, पहले के रूप में, मैं ट्रोका की डिग्री के माध्यम से लिखूंगा:

बाईं ओर धमकी देने और समकक्ष समीकरण प्राप्त करें

आप आसानी से अपनी जड़ पा सकते हैं:

4. जैसा कि तीन के उदाहरण में, एक ऋण के साथ शब्द सही हिस्से में एक जगह है!

बाईं तरफ, मेरे पास लगभग सब कुछ अच्छा है, सिवाय इसके कि क्या? हां, मैं दो बार "गलत डिग्री" में हस्तक्षेप करता हूं। लेकिन मैं इसे आसानी से ठीक कर सकता हूं, लेखन :. यूरेका - बाईं ओर सभी नींव अलग-अलग हैं, लेकिन सभी डिग्री समान हैं! तत्काल बदल रहा है!

यहां फिर से सब कुछ स्पष्ट है: (यदि आप समझ में नहीं आ रहे हैं कि कैसे जादुई रूप से, मुझे अंतिम समानता मिली, एक मिनट के लिए उतरें, सामने और डिग्री गुणों को एक बार फिर से बहुत सावधानी से पढ़ें। किसने कहा कि आप एक नकारात्मक संकेतक के साथ एक डिग्री याद कर सकते हैं ? खैर, यहां मैं उसी चीज के बारे में हूं जो कोई भी नहीं)। अब मुझे मिलेगा:

शुरू (संरेखित)
& ((2) ^ (4 \\ Left ((x) -9 \\ दाएं)))) \u003d ((2) ^ (- 1)) \\\\
& 4 ((x) -9) \u003d - 1 \\\\
& X \u003d \\ frac (35) (4)। \\\\
\\ END (संरेखित)

यहां आपके पास प्रशिक्षण के लिए एक कार्य है, जिसके लिए मैं केवल जवाब दे सकता हूं (लेकिन "मिश्रित" रूप में)। उन्हें साझा करें, जांचें, और हम अपने सर्वेक्षण जारी रखेंगे!

तैयार? जवाब इन लोगों की तरह:

1. कोई संख्या

खैर, ठीक है, ठीक है, मैंने मजाक किया! यहां आपके पास समाधान की रूपरेखा है (कुछ - बहुत संक्षिप्त!)

ऐसा नहीं लगता है कि बाईं ओर एक अंश "उलटा" अन्य है? पाप इसका लाभ नहीं उठाएगा:

संकेतक समीकरणों को हल करते समय यह नियम अक्सर उपयोग किया जाता है, इसे सुंदर याद रखें!

फिर प्रारंभिक समीकरण यह बन जाएगा:

इस वर्ग समीकरण का निर्णय लेना, आपको ऐसी जड़ें मिलेंगी:

2. समाधान का एक और निर्णय: समीकरण के दोनों हिस्सों को उस अभिव्यक्ति में विभाजित करना जो बाईं ओर (या दाएं) पर खड़ा है। मैं क्या दाएं को विभाजित करता हूं, तो मुझे मिलता है:

कहाँ क्यों?!)

3. मैं भी दोहराना नहीं चाहता, इसलिए सबकुछ पहले से ही "पहना हुआ है।"

4. स्क्वायर स्क्वायर समीकरण, जड़ें

5. आपको पहले कार्य में दिखाए गए सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है, फिर आपको यह मिल जाएगा:

समीकरण एक छोटी सी पहचान में बदल गया जो किसी के लिए सच है। फिर जवाब कोई वैध संख्या है।

खैर, यहां आपने निर्णय लेना सीखा है सबसे सरल संकेत समीकरण। अब मैं आपको कई जीवन उदाहरण देना चाहता हूं जो आपको समझने में मदद करेंगे, और उन्हें सिद्धांत में क्या चाहिए। यहां मैं दो उदाहरण दूंगा। उनमें से एक हर दिन काफी है, ठीक है, व्यावहारिक रुचि के बजाय दूसरे के पास एक वैज्ञानिक होने की अधिक संभावना है।

उदाहरण 1 (मर्केंटाइल) आपको रूबल होने दें, और आप इसे रूबल में बदलना चाहते हैं। बैंक आपको ब्याज के मासिक पूंजीकरण (मासिक संचय) के साथ वार्षिक के तहत आपको अपने पैसे से लेने के लिए आमंत्रित करता है। यह पूछा जाता है कि वांछित अंतिम राशि स्कोर करने के लिए आपको कितने महीने योगदान देने की आवश्यकता है? पूरी तरह से उतरा कार्य, है ना? फिर भी, इसका समाधान संबंधित संकेतक समीकरण के निर्माण से जुड़ा हुआ है: प्रारंभिक राशि - अंतिम राशि - अवधि के लिए ब्याज दर - अवधि की संख्या। फिर:

हमारे मामले में (यदि वार्षिक दर, तो प्रति माह शुल्क लिया जाता है)। क्यों विभाजित किया जाएगा? यदि आप इस प्रश्न का उत्तर नहीं जानते हैं, तो विषय को याद रखें! फिर हमें एक समीकरण मिलता है:

यह संकेतक समीकरण पहले से ही कैलकुलेटर की मदद से हल किया जा सकता है (इसकी उपस्थिति संकेत, और इसके लिए लॉगरिदम के ज्ञान की आवश्यकता होती है जिसके साथ हमें थोड़ी देर बाद पता चलेगा) कि मैं करूँगा: ... इस प्रकार, लाखों प्राप्त करने के लिए , हमें एक महीने के लिए योगदान करने की आवश्यकता होगी (बहुत तेज़ नहीं, यह सच नहीं है?)।

उदाहरण 2 (बल्कि वैज्ञानिक)। उसके बावजूद, कुछ "कटऑफ", मैं अनुशंसा करता हूं कि आप उस पर ध्यान दें: वह नियमित रूप से "परीक्षा में फिसल गया !! (कार्य "वास्तविक" विकल्प से लिया जाता है) अपने द्रव्यमान के रेडियोधर्मी आइसोटोप के क्षय के दौरान कानून द्वारा घटता है, जहां (एमजी) आइसोटोप का प्रारंभिक वजन है, (न्यूनतम) - प्रारंभिक क्षण से बिताया गया समय , (न्यूनतम) - आधा जीवन। समय के शुरुआती क्षण में, आइसोटोप एमजी का द्रव्यमान। उसके आधा जीवन की अवधि। कितने मिनट के बाद, आइसोटोप का वजन एमजी के बराबर है? कुछ भी भयानक नहीं: बस हमारे द्वारा प्रस्तावित सूत्र में सभी डेटा को ले लो और स्थानापन्न करें:

हम दोनों भागों को विभाजित करते हैं, "आशा में" कि बाईं ओर हमें जवाब देने से कुछ भी मिल जाएगा:

खैर, हम बहुत भाग्यशाली हैं! बाईं ओर, फिर हम समकक्ष समीकरण में बदल जाते हैं:

न्यूनतम कहाँ।

जैसा कि आप देख सकते हैं, संकेतक समीकरणों में अभ्यास में एक बहुत ही वास्तविक अनुप्रयोग है। अब मैं आपके साथ संकेतक समीकरणों को हल करने की एक और (सरल) विधि को अलग करना चाहता हूं, जो ब्रैकेट के लिए सामान्य कारक पर आधारित है, इसके बाद समूहों को समूहबद्ध करना। मेरे शब्दों से डरो मत, जब मैंने बहुपदों का अध्ययन किया, तो आप ग्रेड 7 में इस विधि में पहले से ही आ चुके हैं। उदाहरण के लिए, यदि आपको कारकों पर अभिव्यक्ति को विघटित करने की आवश्यकता है:

चलो पकड़: पहली और तीसरी शब्द, साथ ही साथ दूसरी और चौथाई। यह स्पष्ट है कि पहला और तीसरा वर्ग का अंतर है:

और दूसरा और चौथा एक आम फैक्टर ट्रोका है:

फिर प्रारंभिक अभिव्यक्ति इसके बराबर है:

एक सामान्य गुणक बनाने के लिए अब श्रम नहीं बनता है:

इसलिये,

यह इस तरह से हम संकेतक समीकरणों को हल करते समय करेंगे: घटकों के बीच "समुदाय" की खोज करें और इसे कोष्ठक के लिए सहन करने के लिए, और फिर - यदि यह होगा, तो मेरा मानना \u200b\u200bहै कि हम \u003d)) उदाहरण के लिए:

अधिकार सात की डिग्री से बहुत दूर है (मैंने चेक किया है!) हां, और बाईं ओर - थोड़ा बेहतर, आप निश्चित रूप से, "देरी" को पहले शब्द कारक और दूसरे से कर सकते हैं, और फिर आप पहले से ही सौदा कर सकते हैं प्राप्त के साथ, लेकिन चलो इसे समझदार हैं। मैं उन अंशों से निपटना नहीं चाहता जो "आवंटन" के दौरान अनिवार्य रूप से गठित होते हैं, इसलिए क्या इसे सहन करना बेहतर नहीं है? तब फ्रांस नहीं होंगे: जैसा कि वे कहते हैं, और भेड़िये पूर्ण हैं और भेड़ें सुरक्षित हैं:

कोष्ठक में अभिव्यक्ति की गणना करें। जादू, जादुई रूप से, यह पता चला है कि (आश्चर्यजनक रूप से, हालांकि हमें और क्या इंतजार करना चाहिए?)।

फिर इस गुणक के समीकरण के दोनों हिस्सों को कम करें। हमें मिलता है :, कहाँ से।

यहां एक उदाहरण अधिक जटिल है (काफी थोड़ा, सत्य):

यहाँ मुसीबत है! हमारे यहां एक आम नींव नहीं है! यह पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है कि अब क्या करना है। और चलो हम कर सकते हैं: सबसे पहले हम "चार" एक तरह से स्थानांतरित करते हैं, और "फिव्स" को दूसरे में स्थानांतरित करते हैं:

अब चलो "सामान्य" को बाएं और दाएं लाएं:

तो अब क्या? ऐसे बेवकूफ समूह का लाभ क्या है? पहली नज़र में, यह बिल्कुल दिखाई नहीं दे रहा है, लेकिन चलो गहरे दिखते हैं:

खैर, अब हम इसे बनाएंगे ताकि हमारे पास केवल एक अभिव्यक्ति है, और दाईं ओर - बाकी सब कुछ। हम यह कैसे करते हैं? लेकिन कैसे: समीकरण के दोनों हिस्सों को पहले विभाजित करें (इसलिए हम दाएं की डिग्री से छुटकारा पाएंगे), और फिर हम दोनों हिस्सों को विभाजित करेंगे (इसलिए हम बाईं ओर संख्यात्मक कारक से छुटकारा पाएं)। अंत में प्राप्त करें:

यह विस्मयकरी है! Sleva हमारे पास एक अभिव्यक्ति है, और अधिकार सरल है। फिर तुरंत हम निष्कर्ष निकालते हैं

फिक्सिंग के लिए यहां एक और उदाहरण दिया गया है:

मैं उनका संक्षिप्त निर्णय दूंगा (मैं विशेष रूप से स्पष्टीकरण के साथ परेशान नहीं हूं), निर्णय के सभी "सबलेटियों" में इसे स्वयं समझने का प्रयास करें।

अब पारित सामग्री का अंतिम बन्धन। निम्नलिखित कार्यों को हल करने का प्रयास करें। मैं केवल उनके निर्णय के लिए संक्षिप्त सिफारिशें और सलाह दूंगा:

1. मैं ब्रैकेट को सारांशित करूंगा: कहां
2. पहली अभिव्यक्ति फॉर्म में प्रस्तुत की जाएगी: हम दोनों भागों को विभाजित करते हैं और उसे प्राप्त करते हैं
3. , फिर प्रारंभिक समीकरण को दिमाग में परिवर्तित कर दिया गया है: ठीक है, अब संकेत ढूंढ रहा है, जहां हमने पहले ही इस समीकरण को हल कर लिया है!
4. कल्पना कीजिए कि, और फिर, दोनों भागों को बुलाया जाता है, इसलिए आपको सबसे सरल संकेतक समीकरण मिल जाएगा।
5. मैं कोष्ठक लाता हूं।
6. मैं कोष्ठक लाता हूं।

संकेतक समीकरण। औसत स्तर

मुझे लगता है कि पहले लेख को पढ़ने के बाद जिसमें यह बताया गया था संकेतक समीकरण क्या है और उन्हें कैसे हल किया जाएआपने सबसे सरल उदाहरणों को हल करने के लिए आवश्यक न्यूनतम ज्ञान को महारत हासिल किया।

अब मैं संकेतक समीकरणों को हल करने की एक और विधि बिखरा दूंगा

"एक नया चर पेश करने की विधि" (या प्रतिस्थापन)। वे संकेतक समीकरणों (और न केवल समीकरणों) के विषय पर, "कठिन" कार्यों में से अधिकांश को हल करते हैं। यह विधि सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली प्रथाओं में से एक है। सबसे पहले मैं इस विषय से परिचित होने की सलाह देता हूं।

जैसा कि आप पहले से ही नाम से समझ गए हैं, इस विधि का सार चर के प्रतिस्थापन को पेश करना है कि आपके संकेतक समीकरण को चमत्कारी रूप से परिवर्तित किया जाएगा ताकि आप आसानी से हल कर सकें। इस "सरलीकृत समीकरण" के समाधान के बाद आप जो कुछ भी "रिवर्स प्रतिस्थापन" बनाना चाहते हैं, वह प्रतिस्थापन से प्रतिस्थापित से लौटने के लिए है। आइए बताते हैं कि सिर्फ एक बहुत ही सरल उदाहरण पर कहा गया है:

उदाहरण 1:

इस समीकरण को "सरल प्रतिस्थापन" की मदद से हल किया गया है, क्योंकि यह गणित नामक नगण्य है। वास्तव में, यहां प्रतिस्थापन सबसे स्पष्ट है। यह केवल देखने लायक है

फिर प्रारंभिक समीकरण इस तरह बदल जाएगा:

यदि आप अतिरिक्त रूप से कल्पना करते हैं कि यह पूरी तरह से स्पष्ट है कि इसे प्रतिस्थापित करना आवश्यक है: बेशक,। प्रारंभिक समीकरण क्या बदल जाएगा? पर क्या:

आप किसी भी समस्या के बिना आसानी से जड़ें पा सकते हैं :. अब हमें क्या करना चाहिए? अब स्रोत चर पर लौटने का समय है। मैं क्या निर्दिष्ट करना भूल गया? यह है: जब कुछ हद तक एक नए चर (यानी, दृश्य को बदलते समय) की जगह लेता है, तो मुझे दिलचस्पी होगी केवल सकारात्मक जड़ें! आप स्वयं आसानी से जवाब देंगे क्यों। इस प्रकार, हम आपके साथ रुचि नहीं रखते हैं, लेकिन दूसरी जड़ हमारे लिए काफी उपयुक्त है:

फिर, जहां से।

उत्तर:

जैसा कि आप देख सकते हैं, पिछले उदाहरण में, प्रतिस्थापन को हमारे हाथों से इतना पूछा गया था। दुर्भाग्य से, यह हमेशा नहीं होता है। हालांकि, चलो सीधे दुखी नहीं जाते हैं, लेकिन एक काफी सरल प्रतिस्थापन के साथ एक और उदाहरण का अभ्यास करें

उदाहरण 2।

यह स्पष्ट है कि यह प्रतिस्थापित करने की सबसे अधिक संभावना है (यह हमारे समीकरण में प्रवेश करने वाली डिग्री है), लेकिन प्रतिस्थापन शुरू करने से पहले, हमारे समीकरण को इसे "तैयार" करने की आवश्यकता है, अर्थात्:। फिर आप परिणामस्वरूप प्रतिस्थापित कर सकते हैं, मुझे निम्नलिखित अभिव्यक्ति मिल जाएगी:

ओह डरावनी: इसके समाधान के लिए पूरी तरह से भयानक सूत्रों के साथ घन समीकरण (ठीक है, अगर हम सामान्य रूप से बात करते हैं)। लेकिन आइए तुरंत निराशा न करें, और सोचें कि हम क्या करते हैं। मैं कुछ सुझाव दूंगा: हम जानते हैं कि "सुंदर" उत्तर प्राप्त करने के लिए, हमें कुछ डिग्री के रूप में त्रिगुट प्राप्त करने की आवश्यकता है (यह क्यों होगा?)। और आइए हमारे समीकरण की कम से कम एक रूट अनुमान लगाने की कोशिश करें (मैं ट्रोका डिग्री का अनुमान लगाऊंगा)।

पहली धारणा। जड़ नहीं। हां और आह ...

.
बाईं ओर बराबर है।
सही हिस्सा:!
यहां है! पहली रूट का अनुमान लगाओ। अब यह आसान हो जाएगा!

क्या आप डिवीजन स्कीम "कॉर्नर" के बारे में जानते हैं? बेशक आप जानते हैं, जब आप एक नंबर को दूसरे नंबर पर साझा करते हैं तो आप इसे लागू करते हैं। लेकिन कुछ जानते हैं कि बहुपद के साथ भी किया जा सकता है। एक अद्भुत प्रमेय है:

मेरी स्थिति के लिए लागू, यह मुझे बताता है कि यह बिना आराम के बांटा गया है। डिवीजन कैसा है? कि कैसे:

मैं देखता हूं कि मुझे यह स्पष्ट करने के लिए कौन सा गुणा करना है, तो:

मैं परिणामी अभिव्यक्ति को प्राप्त करेगा:

अब, मुझे पाने के लिए क्या गुणा करने की आवश्यकता है? यह स्पष्ट है कि, फिर मुझे मिलेगा:

और फिर से शेष से कटौती अभिव्यक्ति:

खैर, अंतिम चरण, डोमेन, और शेष अभिव्यक्ति से कटौती:

हुर्रे, विभाजन खत्म हो गया है! हमने निजी में क्या जमा किया? अपने आप में: ।

फिर उन्हें मूल बहुपद के इस अपघटन को मिला:

दूसरे समीकरण को हल करना:

इसकी जड़ें हैं:

फिर प्रारंभिक समीकरण:

इसमें तीन जड़ें हैं:

आखिरी रूट, ज़ाहिर है, इसे फेंक दें, क्योंकि यह शून्य से कम है। और प्रतिस्थापन के बाद पहले दो हमें दो जड़ें देंगे:

उत्तर: ..

इस उदाहरण के साथ, मैं आपको डराना नहीं चाहता था, बल्कि, मैंने यह दिखाने का लक्ष्य निर्धारित किया है कि कम से कम हमारे पास एक बहुत ही सरल प्रतिस्थापन था, फिर भी यह एक जटिल समीकरण का नेतृत्व हुआ, जिसने समाधान से कुछ विशेष कौशल मांगी । खैर, कोई भी इससे प्रतिरक्षा नहीं है। लेकिन इस मामले में प्रतिस्थापन बल्कि स्पष्ट था।

यहां कुछ हद तक कम स्पष्ट प्रतिस्थापन के साथ एक उदाहरण दिया गया है:

यह बिल्कुल स्पष्ट नहीं है कि क्या करना है: समस्या यह है कि हमारे समीकरण में दो अलग-अलग आधार और एक आधार किसी भी (उचित, स्वाभाविक रूप से) डिग्री में किसी अन्य निर्माण से प्राप्त नहीं होता है। हालाँकि, हम क्या देखते हैं? दोनों आधार - केवल संकेत में भिन्न होते हैं, और उनके काम - एक के बराबर वर्गों में एक अंतर होता है:

परिभाषा:

इस प्रकार, हमारे उदाहरण में मौजूद संख्याएं हैं संबद्ध हैं।

इस मामले में, एक उचित कदम होगा संयुग्म संख्या पर समीकरण के दोनों हिस्सों को आकर्षित करें।

उदाहरण के लिए,, समीकरण का बायां हिस्सा बराबर हो जाएगा, और सही। यदि आप प्रतिस्थापन करते हैं, तो हमारा प्रारंभिक समीकरण इस तरह बन जाएगा:

उसकी जड़ें, फिर, और याद रखें, हमें वह मिलता है।

उत्तर :,।

एक नियम के रूप में, प्रतिस्थापन विधि "स्कूल" संकेतक समीकरणों को हल करने के लिए पर्याप्त है। निम्नलिखित कार्य ईजीई सी 1 (जटिलता के उन्नत स्तर) से लिया जाता है। आप इन उदाहरणों को हल करने के लिए पहले से ही काफी सक्षम हैं। मैं केवल आवश्यक प्रतिस्थापन लाऊंगा।

1. प्रश्न हल करें:
2. समीकरण की जड़ें खोजें:
3. समीकरण तय करें :. इस समीकरण की सभी जड़ों को खोजें जो सेगमेंट से संबंधित है:

और अब संक्षिप्त स्पष्टीकरण और उत्तर:

1. यह हमारे लिए यह ध्यान देने के लिए पर्याप्त है। फिर प्रारंभिक समीकरण इसके बराबर होगा: इस समीकरण को आगे की गणनाओं को प्रतिस्थापित करके हल किया गया है, इसे स्वयं करें। अपने काम के अंत में, इसे सबसे सरल त्रिकोणमितीय (साइनस या कोसाइन-निर्भर) को हल करने के लिए कम किया जाएगा। हम अन्य वर्गों में ऐसे उदाहरणों का विश्लेषण करेंगे।
2. यहां, प्रतिस्थापन के बिना करना भी संभव है: यह दाईं ओर कटौती को स्थानांतरित करने और दोनों आधारों को ट्वोस की डिग्री के माध्यम से प्रस्तुत करने के लिए पर्याप्त है: और फिर तुरंत स्क्वायर समीकरण पर जाएं।
3. तीसरे समीकरण को भी काफी मानक हल किया जाता है: कल्पना करें कि कैसे। फिर वर्ग समीकरण की जगह: फिर

   आप पहले से ही जानते हैं कि लघुगणक क्या है? नहीं? फिर तत्काल विषय पढ़ें!

   पहली जरिए, जाहिर है, सेगमेंट और दूसरे से संबंधित नहीं है - यह स्पष्ट नहीं है! लेकिन हम बहुत जल्द पता चलेगा! तब से, (यह एक लघुगणक संपत्ति है!) तुलना करें:

   दोनों भागों से सदस्यता लें, फिर हमें मिलता है:

   बाएं हिस्से का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:

   दोनों भागों के लिए:

   उस पर खींचा जा सकता है

   फिर तुलना करें:

   तब से:

   फिर दूसरी रूट वांछित अंतराल से संबंधित है

   उत्तर:

जैसा कि आप देख रहे हैं, संकेतक समीकरणों की जड़ों के चयन के लिए लॉगरिदम के गुणों के पर्याप्त गहरे ज्ञान की आवश्यकता होती हैइसलिए जब आप संकेतक समीकरण तय करते हैं तो मैं आपको जितना संभव हो उतना करीब रहने की सलाह देता हूं। जैसा कि आप समझते हैं, सब कुछ गणित में जुड़ा हुआ है! जैसा कि गणित में मेरे शिक्षक ने कहा: "गणित, एक कहानी के रूप में, आप रातोंरात नहीं पढ़ेंगे।"

एक नियम के रूप में, सभी समस्याओं को हल करने में जटिलता सी 1 समीकरण की जड़ों का चयन है। चलो एक और उदाहरण लेते हैं:

यह स्पष्ट है कि समीकरण स्वयं ही सरल है। प्रतिस्थापन करके, हम निम्नलिखित में हमारे मूल समीकरण को कम कर देंगे:

सबसे पहले, आइए पहले रूट को देखें। तुलना करें और: तब से,। (लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की संपत्ति, कब)। फिर यह स्पष्ट है कि पहला रूट हमारे अंतर से संबंधित नहीं है। अब दूसरी जड़ :. यह स्पष्ट है कि (चूंकि फ़ंक्शन बढ़ रहा है)। यह तुलना करने के लिए बनी हुई है।

तब से, एक ही समय में। इस प्रकार, मैं "पीईजी को" के बीच में डाल सकता हूं। यह peg संख्या है। पहली अभिव्यक्ति कम है, और दूसरा और अधिक है। फिर दूसरी अभिव्यक्ति पहले की तुलना में अधिक है और रूट अंतर से संबंधित है।

उत्तर :.

पूर्ण रूप से, आइए समीकरण के एक और उदाहरण पर विचार करें जहां प्रतिस्थापन काफी गैर-मानक है:

आइए तुरंत शुरू करें कि क्या किया जा सकता है, और क्या - सिद्धांत रूप में, यह संभव है, लेकिन यह बेहतर नहीं है। आप कर सकते हैं - Troika, TWOS और छह की डिग्री के माध्यम से सब कुछ कल्पना करें। यह कहाँ जाता है? हां, कुछ भी नहीं होगा: डिग्री का मिश्रण, और कुछ से छुटकारा पाने में काफी मुश्किल होगी। और आपको क्या चाहिए? आइए इसे सूचित करें और यह हमें क्या देगा? और तथ्य यह है कि हम एक काफी सरल संकेतक समीकरण को हल करने के लिए इस उदाहरण के समाधान को कम कर सकते हैं! सबसे पहले, आइए हमारे समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखें:

अब हम परिणामी समीकरण के दोनों हिस्सों को विभाजित करते हैं:

Eureka! अब आप प्रतिस्थापित कर सकते हैं, हमें मिलता है:

खैर, अब आपकी बारी प्रदर्शन पर चुनौतियों को हल करना है, और मैं उन्हें केवल एक संक्षिप्त टिप्पणी दूंगा ताकि आप सही रास्ते से दूर न जाएं! सौभाग्य!

1. सबसे मुश्किल! ओह को Nemelko के रूप में देखने के लिए यहाँ बदलें! फिर भी, यह उदाहरण मदद से काफी हल हो रहा है पूर्ण वर्ग का आवंटन। इसे हल करने के लिए, यह ध्यान देने योग्य है कि:

फिर यहां आप और प्रतिस्थापन हैं:

(कृपया ध्यान दें कि यहां, हमारे प्रतिस्थापन के साथ, हम नकारात्मक जड़ को त्याग नहीं सकते !!! और क्यों, आपको क्या लगता है?)

अब उदाहरण के समाधान के लिए आप दो समीकरणों को हल करने के लिए बने रहे:

दोनों को "मानक प्रतिस्थापन" द्वारा हल किया जाता है (लेकिन दूसरा एक उदाहरण में!)

2. ध्यान दें और एक प्रतिस्थापन करें।

3. पारस्परिक रूप से सरल कारकों पर एक संख्या विभाजित करें और परिणामी अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

4. अंश के संख्यात्मक और denominator को (या, यदि आप इसे और अधिक पसंद करते हैं) और एक प्रतिस्थापन या बनाते हैं।

5. ध्यान दें कि संख्याएं और - संयुग्मित।

संकेतक समीकरण। उन्नत स्तर, उच्च स्तर

इसके अलावा, चलो एक और तरीके पर विचार करें - logarithming द्वारा संकेतक समीकरणों का समाधान। मैं यह नहीं कह सकता कि इस विधि से संकेतक समीकरणों का समाधान बहुत लोकप्रिय है, लेकिन कुछ मामलों में केवल यह हमें हमारे समीकरण के सही समाधान में लाने में सक्षम है। यह विशेष रूप से तथाकथित "को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है" मिश्रित समीकरण": यही है, जहां विभिन्न प्रकार के कार्य मिलते हैं।

उदाहरण के लिए, फॉर्म का समीकरण:

आम तौर पर, दोनों भागों (उदाहरण के लिए, आधार के लिए) के केवल लॉगरिथिंग को हल करना संभव है, जिसमें प्रारंभिक समीकरण निम्न में बदल जाएगा:

आइए निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें:

यह स्पष्ट है कि ओएसटी लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के अनुसार, हम केवल रुचि रखते हैं। हालांकि, यह न केवल ओटीजेड लॉगरिदम से, बल्कि एक और कारण के लिए है। मुझे लगता है कि आपको वास्तव में क्या अनुमान लगाना मुश्किल नहीं होगा।

आइए हमारे समीकरण के दोनों हिस्सों पर आधारित है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारे मूल समीकरण के लॉगरिथिंग ने हमें जल्दी से सही (और सुंदर!) उत्तर दिया। चलो एक और उदाहरण लेते हैं:

यहां भी, कुछ भी भयानक नहीं है: यह आधार पर समीकरण के दोनों किनारों को व्यवस्थित कर रहा है, फिर हमें मिलता है:

हम प्रतिस्थापित करेंगे:

हालांकि, हम कुछ याद किया! क्या आपने देखा कि मुझे कहाँ याद आया? आखिरकार, फिर:

क्या आवश्यकता को पूरा नहीं करता है (यह कहां से आया था!)

उत्तर:

स्वतंत्र रूप से नीचे संकेतक समीकरणों के समाधान को लिखने का प्रयास करें:

और अब इस के साथ अपना निर्णय लेने के लिए:

1. आधार पर दोनों भागों को लॉगरिथमिंग, यह दिया गया है कि:

(दूसरी जड़ प्रतिस्थापन को देखने में हमें सूट नहीं करती है)

2. लॉगरीथिंग पर आधारित:

हम परिणामस्वरूप अभिव्यक्ति को निम्न फ़ॉर्म में बदलते हैं:

संकेतक समीकरण। संक्षिप्त विवरण और मूल सूत्र

संकेत समीकरण

फॉर्म का समीकरण:

बुला हुआ सबसे सरल संकेत समीकरण।

डिग्री की गुण

निर्णय के लिए दृष्टिकोण

• उसी आधार पर सांस लेना
• एक ही संकेतक को लाना
• चर को बदलना
• अभिव्यक्ति का सरलीकरण और उपरोक्त में से एक का उपयोग।

संकेतक समीकरण क्या है? उदाहरण।

तो, संकेतक समीकरण ... विभिन्न प्रकार के समीकरणों की हमारी समग्र प्रदर्शनी में एक नया अनूठा प्रदर्शन!) यह लगभग हमेशा कैसे होता है, किसी भी नए गणितीय शब्द का मुख्य शब्द इसी विशेषण होता है, जो इसके द्वारा विशेषता है। अच्छा यहाँ। "संकेतक समीकरण" शब्द में मुख्य शब्द शब्द है "अधर्मी"। इसका क्या मतलब है? इस शब्द का अर्थ है कि अज्ञात (x) है किसी भी डिग्री के संकेतकों में। और केवल वहाँ! यह बेहद महत्वपूर्ण है।

उदाहरण के लिए, इस तरह के सरल समीकरण:

3 x +1 \u003d 81

5 x + 5 x +2 \u003d 130

4 · 2 2 x -17 · 2 x +4 \u003d 0

या यहां तक \u200b\u200bकि ऐसे राक्षसों:

2 पाप x \u003d 0.5

कृपया तुरंत एक महत्वपूर्ण बात पर ध्यान दें: में घाटियों डिग्री (नीचे) - केवल संख्या। लेकिन बी। संकेतक डिग्री (ऊपर से) - एक्सए के साथ अभिव्यक्तियों की एक विस्तृत विविधता। पूरी तरह से कोई।) सब कुछ विशिष्ट समीकरण पर निर्भर करता है। यदि, अचानक, संकेत संकेतक के अलावा कहीं और समीकरण में बाहर आ जाएगा (कहें, 3 x \u003d 18 + x 2), तो इस तरह के एक समीकरण पहले से ही समीकरण होगा मिश्रित प्रकार। इस तरह के समीकरणों के समाधान के लिए स्पष्ट नियम नहीं हैं। इसलिए, इस पाठ में हम उन्हें नहीं मानेंगे। शिष्यों की खुशी के लिए।) यहां हम केवल "स्वच्छ" रूप में संकेतक समीकरणों पर विचार करेंगे।

आम तौर पर, यहां तक \u200b\u200bकि स्वच्छ संकेतक समीकरणों को भी स्पष्ट रूप से सबकुछ से हल किया जाता है और हमेशा नहीं। लेकिन घातीय समीकरणों की पूरी समृद्ध विविधता के बीच कुछ प्रकार हैं जिन्हें हल किया जा सकता है और आवश्यक हो सकता है। यह इस प्रकार के समीकरणों को हम देखेंगे। और उदाहरण निश्चित रूप से हिल रहे हैं।) तो आप आरामदायक हैं और - सड़क पर! कंप्यूटर में "शूटिंग" में, हमारी यात्रा स्तरों में आयोजित की जाएगी।) प्राथमिक से सरल, सरल से - मध्य और मध्य तक - जटिल तक। जिस तरह से आप गुप्त स्तर की प्रतीक्षा करेंगे - गैर-मानक उदाहरणों को हल करने के लिए रिसेप्शन और विधियों। जो लोग आप अधिकांश स्कूल पाठ्यपुस्तकों में नहीं पढ़ेंगे ... अच्छा, अंत में, निश्चित रूप से, घरों के रूप में अंतिम मालिक की प्रतीक्षा कर रहे हैं।)

स्तर 0. सबसे सरल संकेत समीकरण क्या है? सबसे सरल संकेत समीकरणों का समाधान।

शुरू करने के लिए, कुछ फ्रैंक प्राथमिक पर विचार करें। कुछ से आपको शुरू करने की जरूरत है, है ना? उदाहरण के लिए, इस तरह के एक समीकरण:

2 x \u003d 2 2

किसी भी सिद्धांत के बिना, सरल तर्क और सामान्य ज्ञान पर, यह स्पष्ट है कि x \u003d 2. अन्यथा यह सच नहीं है? आईसीए का कोई अन्य मूल्य अच्छा नहीं है ... और अब हम अपनी आंखों को चालू कर देंगे अभिलेख निर्णय इस शांत संकेतक समीकरण:

2 x \u003d 2 2

X \u003d 2।

हमारे साथ क्या हुआ? और निम्नलिखित हुआ। हम वास्तव में लिया और ... बस एक ही आधार (TWOS) बाहर फेंक दिया! वे पूरी तरह से फेंक दिया। और क्या pleases, सेब में मिला!

हाँ, वास्तव में, यदि बाएं और दाएं घातीय समीकरण में वहीकिसी भी डिग्री में संख्याएं, तो इन नंबरों को त्याग दिया जा सकता है और बस समान डिग्री हो सकती है। गणित परमिट।) और फिर आप संकेतकों के साथ अलग से काम कर सकते हैं और एक बहुत ही सरल समीकरण तय कर सकते हैं। महान, है ना?

यहां किसी भी को हल करने का मुख्य विचार है (हाँ, यह कोई है!) संकेतक समीकरण: समान परिवर्तनों की मदद से, यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि समीकरण में बाएं और दाएं खड़े हो गए वही विभिन्न डिग्री में गोल संख्या। और फिर आप सुरक्षित रूप से एक ही आधार को हटा सकते हैं और डिग्री के संकेतकों को समान बना सकते हैं। और एक सरल समीकरण के साथ काम करते हैं।

अब मुझे लोहे का नियम याद है: एक ही आधार को हटाना संभव है यदि बाएं और दाएं समीकरण में केवल तभी, मैदान मूल्यवान हैं गर्व अकेलेपन में।

गर्व अकेलेपन में इसका क्या अर्थ है? इसका मतलब किसी भी पड़ोसियों और गुणांक के बिना। मैंने समझाया।

उदाहरण के लिए, समीकरण में

3 · 3 x-5 \u003d 3 2 x +1

ट्रोका को हटाया नहीं जा सकता! क्यों? क्योंकि बाईं ओर हमारे पास सिर्फ एक अकेला तीन डिग्री नहीं है, लेकिन रचना 3 · 3 x-5। अतिरिक्त ट्रॉका हस्तक्षेप करता है: गुणांक, आप समझते हैं।)

समीकरण के बारे में भी यही कहा जा सकता है

5 3 x \u003d 5 2 x +5 x

यहां भी, सभी नींव समान हैं - पांच। लेकिन दाईं ओर हमारे पास पांच की एक अकेला डिग्री नहीं है: वहां - डिग्री का योग!

संक्षेप में, हमें केवल उसी नींव को हटाने का अधिकार है जब हमारे संकेतक समीकरण इस तरह दिखता है और केवल इस तरह से:

ए। एफ ( एक्स।) = एक जी। ( एक्स।)

इस प्रकार के संकेतक समीकरण कहा जाता है सरल। या, वैज्ञानिक रूप से, कैनन का । और जो कुछ भी हमारे सामने उठाया समीकरण है, हमारे पास यह होगा, वैसे भी, हम बिल्कुल सबसे सरल (विनम्र) दिमाग को कम कर देंगे। या, कुछ मामलों में, करने के लिए संपूर्ण इस प्रकार के समीकरण। फिर हमारे सबसे सरल समीकरण आमतौर पर इस तरह फिर से लिख सकते हैं:

F (x) \u003d g (x)

और बस। यह परिवर्तन के बराबर होगा। इस मामले में, एफ (एक्स) और जी (एक्स) के रूप में, एक्स के साथ पूरी तरह से कोई अभिव्यक्ति खड़ा हो सकता है। कृपया

शायद एक विशेष रूप से जिज्ञासु छात्र पूछेंगे: और किस आधार से हम आसानी से और बाएं और दाएं के समान आधारों को छोड़कर और डिग्री के संकेतकों को समान रखते हैं? अंतर्ज्ञान अंतर्ज्ञान, लेकिन अचानक, कुछ समीकरण में और किसी कारण से यह दृष्टिकोण गलत होगा? क्या यह हमेशा कानूनी रूप से एक ही नींव फेंक देता है? दुर्भाग्यवश, सख्त गणितीय उत्तर के लिए, इस दिलचस्प प्रश्न को डिवाइस के सामान्य सिद्धांत और कार्यों के व्यवहार में काफी गहराई से और गंभीरता से डुबोया जाता है। थोड़ी अधिक विशेष रूप से - घटना में सख्त एकाग्रता। विशेष रूप से, सख्त एकाग्रता संकेतक समारोहवाई= एक एक्स।। चूंकि यह संकेतक समारोह और इसकी गुण है जो संकेतक समीकरणों के समाधान को रेखांकित करते हैं, हां।) इस प्रश्न पर तैनात प्रतिक्रिया विभिन्न कार्यों की एकता का उपयोग करके जटिल गैर-मानक समीकरणों को हल करने के लिए समर्पित एक अलग विशेष प्रणाली में दी जाएगी। )

इस पल में विस्तार से समझाने के लिए अब मस्तिष्क को औसत छात्र को लाने और शुष्क और आकर्षक सिद्धांत के साथ समय से पहले स्कार्टेन करना है। मैं ऐसा नहीं करूंगा।) हमारे मुख्य कार्य के लिए इस समय है - प्रदर्शन समीकरणों को हल करने के लिए जानें! सबसे सरल! इसलिए, वे एक ही नींव को परवाह नहीं करते और साहसपूर्वक फेंकते हैं। यह कर सकते हैं, मेरे लिए मेरा विश्वास करो!) और फिर पहले से ही समकक्ष समीकरण f (x) \u003d g (x) को हल कर चुका है। एक नियम के रूप में, मूल से सरल संकेतक है।

बेशक, यह माना जाता है कि यह पहले से ही संकेतकों में आईसीएस के बिना समीकरणों को हल करने में सक्षम है, लोग पहले से ही इस समय सक्षम हैं।) कौन अभी भी नहीं जानता कि इस पृष्ठ को कैसे बंद करना, प्रासंगिक संदर्भों के साथ चलते हैं और पुराने अंतराल को फिर से भरना। अन्यथा, आपके पास आपके पास कुछ भी होगा, हां ...

मैं तर्कहीन, त्रिकोणमितीय और अन्य क्रूर समीकरणों के बारे में चुप हूं, जो आधार को खत्म करने की प्रक्रिया में भी उभर सकता है। लेकिन डरो मत, दिग्गज के संकेतकों में फ्रैंक टिन, हम इसे नहीं मानेंगे: यह बहुत जल्दी है। हम केवल सबसे सामान्य समीकरणों पर ट्रेन करेंगे।)

अब समीकरणों पर विचार करें जिनके लिए उन्हें सबसे सरल देने के लिए कुछ अतिरिक्त प्रयासों की आवश्यकता होती है। मतभेदों के लिए हम उन्हें बुलाएंगे सरल संकेतक समीकरण। तो, अगले स्तर पर जा रहे हैं!

स्तर 1. सरल प्रदर्शन समीकरण। डिग्री पहचानें! प्राकृतिक संकेतक।

किसी भी संकेतक समीकरणों को हल करने में महत्वपूर्ण नियम हैं डिग्री के साथ कार्रवाई के नियम। इन ज्ञान और कौशल के बिना, कुछ भी नहीं होगा। हां। तो, अगर समस्या की डिग्री के साथ, तो मैं अनुग्रह की शुरुआत के लिए पूछता हूं। इसके अलावा, हमें हमें चाहिए। इन परिवर्तनों (दो के रूप में कई!) - सामान्य रूप से सभी गणित समीकरणों के समाधान का आधार। और न केवल संकेतक। तो, जो भूल गए, संदर्भ के माध्यम से भी टहलते हैं: मैं उन्हें उन पर नहीं डालता।

लेकिन डिग्री और समान परिवर्तन के साथ एक ही कार्य कुछ हैं। अभी भी व्यक्तिगत अवलोकन और वृद्धि की आवश्यकता है। हमें एक ही नींव की आवश्यकता है, है ना? तो हम उदाहरण को देखते हैं और हम उन्हें एक स्पष्ट या छिपे हुए रूप में ढूंढ रहे हैं!

उदाहरण के लिए, इस तरह के एक समीकरण:

3 2 x - 27 x +2 \u003d 0

पहले देखो आधार। वे भिन्न हैं! ट्रोका और बीस सात। लेकिन घबराहट और निराशा में गिरने के लिए। यह याद रखने का समय है

27 = 3 3

संख्या 3 और 27 - डिग्री के सापेक्ष! और करीब।) यह बन गया, हमें लिखने का पूरा अधिकार है:

27 x +2 \u003d (3 3) x + 2

लेकिन अब हम अपने ज्ञान को जोड़ते हैं डिग्री के साथ कार्रवाई (मैंने बोल था!)। इतना उपयोगी सूत्र है:

(a m) n \u003d a mn

यदि आप इसे चलाने के लिए जारी रखते हैं, तो यह आमतौर पर सही होता है:

27 x +2 \u003d (3 3) x + 2 \u003d 3 3 (x +2)

प्रारंभिक उदाहरण अब इस तरह दिखता है:

3 2 x - 3 3 (x +2) \u003d 0

उत्कृष्ट, डिग्री की नींव स्तरित की गई थी। हमने क्या मांगा है। अक्सर किया जाता है।) लेकिन अब हम पाठ्यक्रम में एक बुनियादी पहचान रूपांतरण चलाते हैं - दाईं ओर 3 3 (एक्स +2) को सहन करते हैं। किसी ने गणित की प्राथमिक कार्रवाइयों को रद्द नहीं किया, हां।) हमें मिलता है:

3 2 x \u003d 3 3 (x +2)

इस प्रकार का समीकरण हमें क्या देता है? और तथ्य यह है कि अब हमारा समीकरण कम हो गया है कैनोलिक उपस्थिति के लिए: बाईं ओर और दाईं ओर एक ही संख्या (Troika) डिग्री में हैं। और दोनों सैनिक गर्व अकेलेपन में हैं। हम साहसिक रूप से ट्रोका को हटा दें और प्राप्त करें:

2x \u003d 3 (x + 2)

हम यह तय करते हैं और प्राप्त करते हैं:

X \u003d -6।

वह सब कुछ है। यह सही जवाब है।)

और अब समाधान के निर्णय को समझें। इस उदाहरण में क्या बचाया गया था? हम ट्रोका डिग्री के ज्ञान से बचाए गए थे। बिल्कुल कैसे? हम पहचान की 27 एन्क्रिप्टेड ट्रोका के बीच! यह रिसीवर (विभिन्न संख्याओं के तहत एक ही आधार का एन्क्रिप्शन) संकेतक समीकरणों में सबसे लोकप्रिय है! सबसे लोकप्रिय तक। हाँ, और भी, वैसे भी। यही कारण है कि संकेतक समीकरणों में, अन्य संख्याओं की संख्याओं को पहचानने का अवलोकन और क्षमता बहुत महत्वपूर्ण है!

व्यावहारिक सलाह:

लोकप्रिय संख्याओं की डिग्री जानने की जरूरत है। चेहरे पर!

बेशक, हम पांचवें में दो-सातवीं डिग्री या तीन का निर्माण करते हैं। मन में नहीं, तो कम से कम मसौदे में। लेकिन प्रदर्शन समीकरणों में, यह डिग्री होने के लिए अक्सर आवश्यक होता है, लेकिन इसके विपरीत - यह जानने के लिए कि संख्या में किस संख्या और हद तक छिपी हुई है, कहें, 128 या 243. और यह सरल निर्माण से पहले और अधिक जटिल है। , आप सहमत होंगे। अंतर को महसूस करें जो कहा जाता है!

चूंकि चेहरे में डिग्री को पहचानने की क्षमता न केवल इस स्तर पर उपयोगी होगी, बल्कि निम्न पर भी, यहां एक छोटा सा कार्य है:

यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सी डिग्री और संख्याएं हैं:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

उत्तर (संक्षारण, स्वाभाविक रूप से):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

हाँ हाँ! आश्चर्यचकित न हों कि कार्यों की तुलना में अधिक उत्तर हैं। उदाहरण के लिए, 2 8, 4 4 और 16 2 सभी 256 हैं।

स्तर 2. सरल प्रदर्शन समीकरण। डिग्री पहचानें! नकारात्मक और आंशिक संकेतक।

इस स्तर पर, हम पहले से ही पूरे कॉइल को डिग्री के हमारे ज्ञान का उपयोग करते हैं। अर्थात् - इस आकर्षक प्रक्रिया में नकारात्मक और आंशिक संकेतक शामिल हैं! हाँ हाँ! हमें शक्ति बनाने की जरूरत है, है ना?

उदाहरण के लिए, इस तरह के एक भयानक समीकरण:

फिर, पहली नज़र जमीन पर है। बेसिन अलग हैं! इसके अलावा, यह समय भी एक दूसरे के समान ही नहीं है! 5 और 0.04 ... और आधार को खत्म करने के लिए, आपको वही चाहिए ... क्या करना है?

कोई खराबी नहीं! वास्तव में, सबकुछ समान है, बस शीर्ष और 0.04 के बीच एक बंधन बुरी तरह से दिखाई दे रहा है। कैसे बाहर निकलें? और चलो सामान्य अंश के लिए लगभग 0.04 बारी! और वहां, आप देखते हैं, सब कुछ बनता है।)

0,04 = 4/100 = 1/25

वाह! यह पता चला है कि 0.04 1/25 है! खैर, किसने सोचा होगा!)

कैसे? अब संख्या 5 और 1/25 के बीच कनेक्शन कोयले के लिए आसान है? यह वही है ...

और अब के साथ डिग्री के साथ कार्रवाई के नियमों के अनुसार नकारात्मक संकेतकआप एक ठोस हाथ लिख सकते हैं:

एक दम बढ़िया। तो हम एक ही नींव के लिए मिला - पांच। अब हम समीकरण असुविधाजनक संख्या 0.04 से 5 -2 में बदलते हैं और हमें मिलता है:

फिर से, डिग्री के साथ कार्रवाई के नियमों के अनुसार, अब आप लिख सकते हैं:

(5 -2) x -1 \u003d 5 -2 (x -1)

बस मामले में, मैं आपको याद दिलाता हूं (अचानक, जो जागरूक नहीं है) कि डिग्री के साथ कार्रवाई के बुनियादी नियम उचित हैं कोई भी संकेतक! नकारात्मक के लिए शामिल हैं।) इसलिए प्रासंगिक नियम के अनुसार संकेतक (-2) और (x - 1) को साहसपूर्वक ले जाएं और बदलें। हमारा समीकरण बेहतर और बेहतर हो रहा है:

हर एक चीज़! बाईं ओर डिग्री में अकेले सबसे ऊपर के अलावा और दाएं और कुछ भी नहीं है। समीकरण को कैनोनिकल रूप में कम किया जाता है। और फिर - रोलिंग रट के साथ। हम शीर्ष को हटाते हैं और संकेतकों की बराबरी करते हैं:

एक्स। 2 –6 एक्स।+5=-2(एक्स।-1)

एक उदाहरण व्यावहारिक रूप से हल किया गया है। मध्यम वर्गों के प्राथमिक गणित बने रहे - प्रकट (सही ढंग से!) ब्रेसिज़ और बाईं ओर सब कुछ इकट्ठा करें:

एक्स। 2 –6 एक्स।+5 = -2 एक्स।+2

एक्स। 2 –4 एक्स।+3 = 0

हम यह तय करते हैं और दो जड़ें प्राप्त करते हैं:

एक्स। 1 = 1; एक्स। 2 = 3

बस इतना ही।)

और अब वे फिर से प्रतिबिंबित करते हैं। इस उदाहरण में, हमें फिर से अलग-अलग डिग्री में एक ही संख्या को पहचानना पड़ा! अर्थात् - देखें 0.04 एन्क्रिप्टेड पांच। और इस बार - में नकारात्मक डिग्री!हमने इसे कैसे प्रबंधित किया? जाने से - किसी भी तरह से नहीं। लेकिन दशमलव अंश 0.04 से सामान्य अंश 1/25 सबकुछ में संक्रमण के बाद और हाइलाइट किया गया! और फिर पूरा निर्णय तेल की तरह चला गया।)

इसलिए, अगली हरी व्यावहारिक परिषद।

यदि संकेतक समीकरण में दशमलव भिन्नताएं हैं, तो हम दशमलव अंशों से सामान्य तक जाते हैं। सामान्य अंशों में, कई लोकप्रिय संख्याओं की डिग्री को पहचानना बहुत आसान है! मान्यता के बाद, हम अंशों से नकारात्मक संकेतकों के साथ डिग्री तक जाते हैं।

ध्यान रखें कि संकेतक समीकरणों में इस तरह के एक फिंट को बहुत बार पाया जाता है! और आदमी विषय में नहीं है। ऐसा लगता है, उदाहरण के लिए, संख्या 32 और 0.125 में और परेशान है। उनके लिए यह संभव नहीं है कि यह केवल दो बार, केवल अलग-अलग डिग्री में है ... लेकिन आप पहले से ही विषय में हैं!)

समीकरण हल करें:

में उपस्थिति में - एक शांत डरावनी ... हालांकि, भ्रामक की उपस्थिति। इसकी भयानक उपस्थिति के बावजूद यह सबसे सरल संकेतक समीकरण है। और अब मैं आपको यह दिखाऊंगा।)

सबसे पहले, हम आधार पर और गुणांक में बैठे सभी सीटों से निपटाए जाते हैं। वे स्पष्ट, अलग हैं, हाँ। लेकिन हम अभी भी जोखिम उठाएंगे और उन्हें बनाने की कोशिश करेंगे यह वही! चलो पाने की कोशिश करते हैं अलग-अलग डिग्री में समान संख्या। इसके अलावा, यह वांछनीय है, सबसे अधिक संभावना की संख्या छोटी है। तो, डिक्रिप्ट करने लगते हैं!

खैर, चौथे के साथ, सब कुछ स्पष्ट रूप से स्पष्ट है - यह 2 2 है। तो, पहले से ही कुछ।)

0.25 के एक अंश के साथ - यह अभी तक स्पष्ट नहीं है। देखने की जरूरत है। हम व्यावहारिक परिषद का उपयोग करते हैं - एक दशमलव अंश से सामान्य रूप से जाना:

0,25 = 25/100 = 1/4

पहले से ही बेहतर। इसके लिए अब स्पष्ट रूप से देखा गया है कि 1/4 2 -2 है। उत्कृष्ट, और संख्या 0.25 भी एक twos के साथ ताजा।)

जबकि सब कुछ ठीक हो जाता है। लेकिन सभी की सबसे खराब संख्या - दो का वर्ग जड़! और इस काली मिर्च के साथ क्या करना है? क्या यह ट्वोस की डिग्री के रूप में कल्पना करना संभव है? और उसे कौन जानता है ...

खैर, फिर हम डिग्री के बारे में हमारे खजाने के ज्ञान में चढ़ाई! इस बार आप इसके अलावा हमारे ज्ञान को जोड़ देंगे जड़ों के बारे में। 9 वीं कक्षा के पाठ्यक्रम से, हमें किसी भी जड़ को सहन करना पड़ा, अगर वांछित हो, तो हमेशा एक डिग्री में बदल दिया जा सकता है आंशिक संकेतक के साथ।

ऐशे ही:

हमारे मामले में:

कितने में! यह पता चला है, दो का रूट वर्ग 2 1/2 है। इतना ही!

वह ठीक है! हमारे सभी असुविधाजनक संख्या वास्तव में दो बार एन्क्रिप्ट किए गए हैं।) मैं बहस नहीं करता, कहीं बहुत परिष्कृत रूप से एन्क्रिप्टेड। लेकिन हम भी, ऐसे सिफर की किरणों में अपने व्यावसायिकता में भी वृद्धि करते हैं! और फिर सब कुछ स्पष्ट है। हम अपने समीकरण में 4, 0.25 और दो की जड़ की डिग्री में दो की डिग्री में बदल जाते हैं:

हर एक चीज़! उदाहरण में सभी डिग्री के अड्डों एक ही हो गए - दो बार। और अब डिग्री के साथ मानक कार्य हैं:

एक एम ·एक एन। = एक एम। + एन

एक एम: ए एन \u003d ए एम-एन

(a m) n \u003d a mn

बाईं ओर के लिए बाहर निकल जाएगा:

2 -2 · (2 \u200b\u200b2) 5 x -16 \u003d 2 -2 + 2 (5 x -16)

दाईं ओर के लिए होगा:

और अब हमारे बुरे समीकरण ने इस तरह दिखना शुरू कर दिया:

किसने नहीं सौंपा कि यह समीकरण कैसे निकला, तो प्रश्न संकेतक समीकरण नहीं है। सवाल की डिग्री के साथ कार्रवाई करना है। मैंने तत्काल उन लोगों को दोहराने के लिए कहा जो एक समस्या है!

यहां फिनिश लाइन है! संकेतक समीकरण का एक कैनोनिकल दृश्य प्राप्त किया जाता है! कैसे? मैंने आपको आश्वस्त किया कि इतना डरावना नहीं था? ;) हम twos को हटाते हैं और संकेतकों की बराबरी करते हैं:

यह केवल इस रैखिक समीकरण को हल करने के लिए बनी हुई है। कैसे? समान परिवर्तन, वेस्टिमो की मदद से।) डोर, वहां क्या है! दोनों भागों को दो बार गुणा करें (अंश 3/2 को हटाने के लिए), आईसीएस के साथ घटकों को बाईं ओर स्थानांतरित करें, बिना आईसीएस के दाईं ओर, समान, विचार करें, विचार करें - और आप खुश होंगे!

सब कुछ खूबसूरती से बाहर निकलना चाहिए:

X \u003d 4।

और अब फिर समाधान के पाठ्यक्रम को समझें। इस उदाहरण में, हमने संक्रमण को देखा वर्गमूल सेवा मेरे एक संकेतक के साथ डिग्री 1/2। और केवल इस तरह के एक मुश्किल परिवर्तन ने हमें एक ही आधार (दो) में जाने के लिए हर जगह मदद की, जिसने स्थिति को बचाया! और यदि यह इसके लिए नहीं था, तो हमारे पास हमेशा के लिए लटकने की सभी संभावनाएं होंगी और इसलिए इस उदाहरण का सामना न करें, हां ...

इसलिए, अगली व्यावहारिक सलाह की उपेक्षा न करें:

यदि जड़ें अभियोग समीकरण में मौजूद हैं, तो जड़ों से लेकर आंशिक संकेतकों के साथ डिग्री तक जाएं। अक्सर केवल इतना परिवर्तन और आगे की स्थिति को स्पष्ट करता है।

बेशक, नकारात्मक और fractional डिग्री प्राकृतिक डिग्री द्वारा पहले से ही अधिक जटिल हैं। कम से कम दृश्य धारणा के दृष्टिकोण से और विशेष रूप से दाहिने बाएं को मान्यता!

यह स्पष्ट है कि यह सीधे खड़ा है, उदाहरण के लिए, डिग्री -3 या चौथे से -3/2 डिग्री के लिए एक ड्यूस इतनी बड़ी समस्या नहीं है। जानकार के लिए।)

लेकिन उदाहरण के लिए, इस कदम के साथ भी पसंद है

0,125 = 2 -3

या

यहां केवल अभ्यास और समृद्ध अनुभव रोल, हां। और, ज़ाहिर है, एक स्पष्ट विचार, नकारात्मक और आंशिक डिग्री क्या है। और यह भी व्यावहारिक सलाह! हाँ हाँ, बहुत हरा भरा ।) मुझे उम्मीद है कि वे अभी भी आपको डिग्री की पूरी विविध विविधता में बेहतर नेविगेट करने में मदद करेंगे और सफलता की संभावनाओं में काफी वृद्धि करेंगे! तो उन्हें उपेक्षा मत करो। मैं कभी-कभी हरे रंग के रंग में नहीं हूं।)

लेकिन यदि आप "आप" पर बन जाते हैं, यहां तक \u200b\u200bकि ऐसे विदेशी डिग्री के साथ, नकारात्मक और आंशिक के रूप में, फिर स्पष्ट समीकरणों को हल करने में आपकी क्षमताओं को काफी विस्तारित किया जाता है, और आप पहले से ही किसी भी प्रकार के संकेतक समीकरणों के कंधे पर होंगे। खैर, यदि कोई नहीं है, तो सभी संकेत समीकरणों में 80 ब्याज - निश्चित रूप से! हाँ, हाँ, मैं मजाक नहीं कर रहा हूँ!

इसलिए, संकेतक समीकरणों के साथ परिचित के हमारे पहले भाग ने अपने तार्किक निष्कर्ष से संपर्क किया। और, एक मध्यवर्ती कसरत के रूप में, मैं पारंपरिक रूप से खुद को थोड़ा पोन्स्लास्ट प्रदान करता हूं।)

अभ्यास 1।

ताकि नकारात्मक और fractional डिग्री को समझने के बारे में मेरे शब्द गायब नहीं होते हैं, मैं एक छोटा सा खेल खेलने का प्रस्ताव करता हूं!

दो संख्याओं की डिग्री की कल्पना करें:

उत्तर (विकार में):

हो गई? अति उत्कृष्ट! फिर एक लड़ाकू कार्य करें - हम सबसे सरल और सरल संकेत समीकरण हल करते हैं!

कार्य 2।

समीकरण हल करें (सभी उत्तरों - विकार में!):

5 2x-8 \u003d 25

2 5x-4 - 16 x + 3 \u003d 0

उत्तर:

x \u003d 16।

एक्स। 1 = -1; एक्स। 2 = 2

एक्स। = 5

हो गई? वास्तव में, यह बहुत आसान है!

फिर हम निम्नलिखित गेम को हल करते हैं:

(2 x +4) x -3 \u003d 0.5 x · 4 x -4

35 1 - x \u003d 0.2 - x · 7 x

उत्तर:

एक्स। 1 = -2; एक्स। 2 = 2

एक्स। = 0,5

एक्स। 1 = 3; एक्स। 2 = 5

और एक बाएं के ये उदाहरण? अति उत्कृष्ट! आप बढ़ते हैं! फिर यहां एक स्नैक के लिए अधिक वफादार:

उत्तर:

एक्स। = 6

एक्स। = 13/31

एक्स। = -0,75

एक्स। 1 = 1; एक्स। 2 = 8/3

और यह तय किया जाता है? खैर, सम्मान! मैं टोपी को हटा देता हूं।) तो, सबक व्यर्थ में नहीं हुआ, और संकेतक समीकरणों के समाधान के प्रारंभिक स्तर को सफलतापूर्वक महारत हासिल किया जा सकता है। आगे - निम्नलिखित स्तर और अधिक जटिल समीकरण! और नई तकनीकें और दृष्टिकोण। और गैर मानक उदाहरण। और नई आश्चर्य।) यह सब अगले पाठ में है!

कुछ विफल? तो, सबसे अधिक संभावना है, में समस्याएं। या में। या उसमें और दूसरा तुरंत। यहाँ मैं शक्तिहीन हूँ। मैं एक बार फिर केवल एक चीज की पेशकश कर सकता हूं - आलसी नहीं होना और संदर्भों के माध्यम से टहलना।)

जारी रहती है।)

संकेतक समीकरणों का समाधान। उदाहरण।

ध्यान!
इस विषय में अतिरिक्त है
एक विशेष खंड 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ..." हैं)

क्या संकेत समीकरण? यह समीकरण जिसमें अज्ञात (xers) और उनके साथ अभिव्यक्ति हैं संकेतक कुछ डिग्री। और केवल वहाँ! क्या यह महत्वपूर्ण है।

वहां आप हैं संकेत समीकरणों के उदाहरण:

3 x · 2 x \u003d 8 x + 3

ध्यान दें! डिग्री के आधार पर (नीचे) - केवल संख्या। में संकेतक डिग्री (शीर्ष पर) - एक्सए के साथ अभिव्यक्तियों की एक विस्तृत विविधता। यदि, अचानक, सूचक के अलावा, समीकरण कहीं भी बाहर आ जाएगा, उदाहरण के लिए:

यह पहले से ही एक मिश्रित प्रकार समीकरण होगा। इस तरह के समीकरणों के समाधान के लिए स्पष्ट नियम नहीं हैं। हम उन्हें अभी तक नहीं मानेंगे। यहाँ हम सौदा करेंगे घातीय समीकरणों को हल करके शुद्ध रूप में।

वास्तव में, यहां तक \u200b\u200bकि स्वच्छ संकेतक समीकरण स्पष्ट रूप से दूर हल किए जाते हैं। लेकिन कुछ प्रकार के संकेतक समीकरण हैं जिन्हें हल किया जा सकता है और आवश्यक हो सकता है। यहां ये प्रकार हैं जिन्हें हम देखेंगे।

सबसे सरल संकेत समीकरणों का समाधान।

शुरू करने के लिए, मैं कुछ पूरी तरह से प्राथमिक तय करता हूं। उदाहरण के लिए:

किसी भी सिद्धांत के बिना भी, यह सरल चयन के लिए स्पष्ट है कि x \u003d 2। अधिक, ठीक है, ठीक है!? आईसीए रोल का कोई अन्य मूल्य नहीं। और अब हम इस चालाक संकेतक समीकरण के समाधान के रिकॉर्ड को देखते हैं:

हमने क्या किया? वास्तव में, हमने बस एक ही आधार (तीन) फेंक दिया। वे पूरी तरह से फेंक दिया। और क्या pleases, बिंदु पर गया!

दरअसल, यदि बाईं ओर और दाएं संकेतक समीकरण में वही किसी भी डिग्री में संख्याएं, इन नंबरों को हटाया जा सकता है और डिग्री की मात्रा। गणित की अनुमति देता है। यह महंगा एक बहुत ही सरल समीकरण होना बनी हुई है। महान, सही?)

हालांकि, लोहे को याद रखें: आप केवल आधारों को हटा सकते हैं जब जमीन के बाएं और दाएं गर्व अकेलेपन में है! किसी भी पड़ोसियों और गुणांक के बिना। कहते हैं, समीकरणों में:

2 x +2 x + 1 \u003d 2 3, या

डबल नहीं हटाया जा सकता है!

खैर, सबसे महत्वपूर्ण बात जो हमने महारानी की है। सरल समीकरणों के लिए बुराई संकेतक अभिव्यक्तियों से कैसे स्थानांतरित करें।

"यह समय है!" - आप कहेंगे। "नियंत्रण और परीक्षाओं पर इतना आदिम कौन देगा!?"

सहमत होने के लिए मजबूर। कोई नहीं देगा। लेकिन अब आप जानते हैं कि मुक्त उदाहरणों को हल करते समय कहां प्रयास करना है। बाईं ओर इसे फॉर्म में लाने के लिए आवश्यक है - एक ही संख्या एक ही संख्या है। आगे सब कुछ आसान होगा। असल में, यह गणित का क्लासिक है। मूल उदाहरण लें और इसे वांछित में परिवर्तित करें अमेरिका राय। गणित के नियमों के अनुसार, निश्चित रूप से।

उन उदाहरणों पर विचार करें जिन्हें उन्हें सबसे सरल में लाने के लिए कुछ अतिरिक्त प्रयासों की आवश्यकता होती है। चलो उन्हें बुलाते हैं सरल संकेतक समीकरण।

सरल संकेतक समीकरणों का समाधान। उदाहरण।

संकेतक समीकरणों को हल करते समय, मुख्य नियम - डिग्री के साथ कार्रवाई। इन कार्यों के ज्ञान के बिना, कुछ भी काम नहीं करेगा।

डिग्री के साथ कार्यों के लिए व्यक्तिगत अवलोकन और गलाने को जोड़ने के लिए आवश्यक है। हमें एक ही नींव की आवश्यकता है? यहां हम उन्हें एक स्पष्ट या एन्क्रिप्टेड रूप में एक उदाहरण में ढूंढ रहे हैं।

चलो देखते हैं कि यह अभ्यास में कैसे किया जाता है?

आइए हम हमें एक उदाहरण दें:

2 2x - 8 x + 1 \u003d 0

पहले गुस्सा देखो - पर आधार। वे ... वे अलग हैं! दो और आठ। लेकिन निराशा में गिरने के लिए - जल्दी। यह याद रखने का समय है

दो और आठ - डिग्री के सापेक्ष।) लिखना संभव है:

8 x + 1 \u003d (2 3) x + 1

यदि आप डिग्री के साथ कार्रवाई से सूत्र को याद करते हैं:

(a n) m \u003d a nm,

आमतौर पर यह पता चला है:

8 x + 1 \u003d (2 3) x + 1 \u003d 2 3 (x + 1)

प्रारंभिक उदाहरण इस तरह दिखना शुरू कर दिया:

2 2x - 2 3 (x + 1) \u003d 0

स्थानांतरण 2 3 (x + 1) दाईं ओर (किसी ने गणित की प्राथमिक कार्रवाइयों को रद्द नहीं किया!), हमें मिलता है:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

यहां, लगभग, और यही वह है। हम नींव को हटाते हैं:

इस राक्षस को हल करें और प्राप्त करें

यह सही जवाब है।

इस उदाहरण में, हम दो के पता लगाने के ज्ञान को बहाल करते हैं। हम पहचान की एन्क्रिप्टेड दो में से। यह तकनीक (विभिन्न संख्याओं के तहत सामान्य आधारों का एन्क्रिप्शन) निचले समीकरणों में एक बहुत ही लोकप्रिय तकनीक है! हाँ, और लॉगरिदम में भी। अन्य संख्याओं की संख्या में सीखने में सक्षम होना आवश्यक है। संकेतक समीकरणों को हल करने के लिए यह बेहद महत्वपूर्ण है।

तथ्य यह है कि किसी भी डिग्री के लिए किसी भी संख्या का निर्माण करने के लिए कोई समस्या नहीं है। गुणा करें, यहां तक \u200b\u200bकि कागज के एक टुकड़े पर, और यही वह है। उदाहरण के लिए, पांचवीं डिग्री से 3 बनाने के लिए प्रत्येक के लिए सक्षम हो जाएगा। 243 यह पता चला है कि क्या आप गुणा तालिका जानते हैं।) लेकिन निचले समीकरणों में, यह अधिक होने की संभावना अधिक नहीं है, बल्कि इसके विपरीत ... पता लगाने के लिए किस हद तक एक संख्या 243 के लिए छुपा, या, कहें, 343 ... यहां आप किसी भी कैलकुलेटर की मदद नहीं करेंगे।

कुछ संख्याओं की डिग्री चेहरे में जाना चाहिए, हाँ ... यह करो?

यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सी डिग्री और संख्याएं हैं:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

उत्तर (अव्यवस्था में, प्राकृतिक!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

यदि आप बारीकी से देखते हैं, तो आप एक अजीब तथ्य देख सकते हैं। उत्तर कार्यों से काफी अधिक हैं! खैर, ऐसा होता है ... उदाहरण के लिए, 2 6, 4 3, 8 2 सभी 64 है।

मान लीजिए कि आपने संख्याओं के साथ परिचित के बारे में जानकारी पर ध्यान दिया।) आइए आपको याद दिलाएं कि संकेतक समीकरणों को हल करने के लिए लागू करें सब गणितीय ज्ञान का भंडार। जूनियर मध्यम वर्गों सहित। आप तुरंत वरिष्ठ वर्गों में नहीं जाते हैं, है ना?)

उदाहरण के लिए, संकेतक समीकरणों को हल करते समय, ब्रैकेट का कुल गुणक अक्सर मदद करता है (हैलो ग्रेड 7!)। निम्नलिखित आदमी देखें:

3 2x + 4 -11 · 9 x \u003d 210

और फिर, पहली नज़र - जमीन पर! डिग्री में नींव अलग हैं ... Troika और नौ। और हम वही बनना चाहते हैं। खैर, इस मामले में, इच्छा पूरी हो गई है!) क्योंकि:

9 x \u003d (3 2) x \u003d 3 2x

डिग्री के साथ कार्रवाई के एक ही नियम के अनुसार:

3 2x + 4 \u003d 3 2x · 3 4

इतना बढ़िया, आप लिख सकते हैं:

3 2x · 3 4 - 11 · 3 2x \u003d 210

हमने एक ही कारण के लिए एक उदाहरण का नेतृत्व किया। तो, आगे क्या है!? Troika बाहर फेंक नहीं सकता ... डेडलॉक?

हर्गिज नहीं। सबसे सार्वभौमिक और शक्तिशाली समाधान नियम याद रखें सब गणितीय कार्य:

आपको नहीं पता कि आपको क्या चाहिए - वही करें जो आप कर सकते हैं!

आप देखते हैं, सब कुछ बनता है)।

इस संकेतक समीकरण में क्या है कर सकते हैं इसे करें? हां, बाईं तरफ, यह सीधे एक ब्रैकेट के लिए पूछ रहा है! 3 2x का कुल गुणक स्पष्ट रूप से संकेत देता है। आइए कोशिश करें, और फिर यह दिखाई देगा:

3 2x (3 4 - 11) \u003d 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

उदाहरण बेहतर और बेहतर हो रहा है!

हमें याद है कि जमीन को खत्म करने के लिए, हमें किसी भी गुणांक के बिना एक साफ डिग्री की आवश्यकता है। यूएस नंबर 70 हस्तक्षेप करता है। इसलिए हम समीकरण के दोनों हिस्सों को 70 तक विभाजित करते हैं, हमें मिलता है:

ओप-पा! सब कुछ और बस गए!

यह अंतिम जवाब है।

ऐसा होता है, हालांकि, एक ही आधार पर तोड़ने प्राप्त किया जाता है, लेकिन उनका परिसमापन किसी भी तरह से होता है। यह किसी अन्य प्रकार के संकेतक समीकरणों में होता है। हम इस प्रकार को निपुण करेंगे।

संकेतक समीकरणों को हल करने में चर को बदलना। उदाहरण।

संकल्पना समीकरण:

4 x - 3 · 2 x +2 \u003d 0

पहला - सामान्य रूप से। एक आधार पर जाएं। दो बार।

4 x \u003d (2 2) x \u003d 2 2x

हमें समीकरण मिलता है:

2 2x - 3 · 2 x +2 \u003d 0

और यहां यह निर्भर होगा। पिछली तकनीक काम नहीं करेगी, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कैसे छिड़काव। हमें शस्त्रागार से एक और शक्तिशाली और सार्वभौमिक तरीका मिलना होगा। जिसे ओ। चर को बदलना।

विधि का सार आश्चर्यचकित करना आसान है। एक जटिल आइकन (हमारे मामले में - 2 एक्स) के बजाय हम एक और, सरल (उदाहरण के लिए - टी) लिखते हैं। यह, ऐसा लगता है कि एक अर्थहीन प्रतिस्थापन भयानक परिणामों की ओर जाता है!) बस सब कुछ स्पष्ट और समझ में आता है!

तो चलो

फिर 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

हम टी पर गुहाओं के साथ हमारे समीकरण सभी डिग्री में प्रतिस्थापित करते हैं:

खैर, घुसपैठ?) वर्ग समीकरण अभी तक नहीं भूल गए हैं? हम भेदभावपूर्ण के माध्यम से तय करते हैं, हमें मिलता है:

यहां, सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि, रुकें नहीं, जैसा कि होता है ... यह एक प्रतिक्रिया नहीं है, हमें इसकी आवश्यकता है, और टी नहीं। हम आईसीकैम पर लौट आए, यानी। हम एक प्रतिस्थापन करते हैं। T 1 के लिए पहले:

अर्थात्,

एक रूट मिला। हम दूसरे की तलाश कर रहे हैं, टी 2 से:

उम ... 2 एक्स छोड़ दिया, सही 1 ... कोई समस्या नहीं? हाँ नही! याद रखने के लिए पर्याप्त (डिग्री के साथ कार्रवाई से, हाँ ...) कि एक है किसी को शून्य डिग्री की संख्या। कोई भी। आपको क्या चाहिए, और इसे रखें। हमें दो की जरूरत है। इसलिए:

अब सब कुछ है। 2 जड़ें प्राप्त की:

यह जवाब है।

के लिये संकेत समीकरणों को हल करना अंत में कभी-कभी यह कुछ असुविधाजनक अभिव्यक्ति को बदल देता है। प्रकार:

एक साधारण डिग्री के माध्यम से सात deuce से काम नहीं करता है। रिश्तेदार नहीं हैं ... यहाँ कैसे हो? कोई, शायद उलझन में ... और यहां एक व्यक्ति है जो इस साइट पर विषय पढ़ता है "एक लघुगणक क्या है?" , केवल स्कूपो मुस्कुराओ और कठिन हाथ का एक ठोस सही जवाब देगा:

"इन" कार्यों में ऐसा कोई जवाब नहीं हो सकता है। एक विशिष्ट संख्या की आवश्यकता है। लेकिन "सी" कार्यों में - आसानी से।

इस पाठ में, सबसे आम संकेतक समीकरणों को हल करने के उदाहरण दिए गए हैं। हम मुख्य एक को हाइलाइट करते हैं।

व्यावहारिक टिप्स:

1. पहली बात जो हम देखते हैं आधार डिग्री। हमें लगता है कि उन्हें बनाना असंभव है या नहीं वही। सक्रिय रूप से उपयोग करने की कोशिश करें डिग्री के साथ कार्रवाई। यह मत भूलना कि आईसीएस के बिना संख्या भी एक डिग्री में बदल दिया जा सकता है!

2. हम बाएं और दाएं होने पर संकेतक समीकरण को फॉर्म में लाने की कोशिश करते हैं वही किसी भी डिग्री में संख्या। का उपयोग करते हुए डिग्री के साथ कार्रवाई तथा कारक।मैं संख्याओं में क्या विचार कर सकता हूं - विश्वास करो।

3. यदि दूसरा बोर्ड काम नहीं करता है, तो हम चर के प्रतिस्थापन को लागू करने का प्रयास करते हैं। नतीजतन, एक समीकरण बदल सकता है जो आसानी से हल हो जाता है। अक्सर - वर्ग। या आंशिक, जो वर्ग के लिए भी नीचे आता है।

4. संकेतक समीकरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, "चेहरे में" कुछ संख्याओं की डिग्री जानना आवश्यक है।

हमेशा के रूप में, पाठ के अंत में आपको थोड़ा साफ करने की पेशकश की जाती है।) अकेले। सरल से जटिल तक।

संकेतक समीकरण तय करें:

इसके साथ अनुपालन:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 · 3 x \u003d 9

2 x - 2 0,5x + 1 - 8 \u003d 0

जड़ों का उत्पाद खोजें:

2 3 + 2 x \u003d 9

हो गई?

खैर, फिर सबसे जटिल उदाहरण (हल, हालांकि, दिमाग में ...):

7 0.13x + 13 0.7x + 1 + 2 0,5x + 1 \u003d -3

अधिक दिलचस्प क्या है? फिर आपके पास एक बुराई उदाहरण है। यह काफी कठिनाई पर काफी खींच रहा है। उपनाम जो इस उदाहरण में बचत बचत और सभी गणितीय कार्यों को हल करने का सबसे सार्वभौमिक नियम है।)

2 5x-1 · 3 3x-1 · 5 2x-1 \u003d 720 x

उदाहरण के लिए उदाहरण सरल):

9 · 2 x - 4 · 3 x \u003d 0

और डेज़र्ट के लिए। जड़ों की संख्या का पता लगाएं समीकरण:

x · 3 x - 9x + 7 · 3 x - 63 \u003d 0

हाँ हाँ! यह एक मिश्रित प्रकार समीकरण है! हमने इस पाठ में विचार नहीं किया। और उन्हें क्या मानना \u200b\u200bहै, इसे हल करना आवश्यक है!) यह सबक समीकरण को हल करने के लिए काफी है। खैर, कटर की जरूरत है ... और इसे सातवीं कक्षा के साथ मदद करने दें (यह एक संकेत है!)।

उत्तर (एक अल्पविराम बिंदु के माध्यम से विकार में):

एक; 2; 3; चार; कोई समाधान नहीं; 2; -2; -पांच; चार; 0।

सभी सफल? अति उत्कृष्ट।

एक समस्या है? कोई दिक्कत नहीं है! एक विशेष धारा 555 में, इन सभी संकेतक समीकरणों को विस्तृत स्पष्टीकरण के साथ हल किया जाता है। क्या, क्यों, और क्यों। और, ज़ाहिर है, संकेतक समीकरणों के सभी प्रकार के साथ काम करने पर अतिरिक्त मूल्यवान जानकारी है। न केवल इनके साथ।)

एक विचार के लिए अंतिम मजेदार सवाल। इस पाठ में, हमने सटीक समीकरणों के साथ काम किया। मैंने ओटीजेड के बारे में यहां एक शब्द क्यों नहीं कहा? समीकरणों में, यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण बात है, वैसे ...

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