किसी फ़ंक्शन की समता कैसे पता करें. सम और विषम कार्य

किसी फ़ंक्शन की समता और विषमता इसके मुख्य गुणों में से एक है, और समता स्कूल के गणित पाठ्यक्रम का एक प्रभावशाली हिस्सा है। यह काफी हद तक फ़ंक्शन के व्यवहार को निर्धारित करता है और संबंधित ग्राफ़ के निर्माण की सुविधा प्रदान करता है।

आइए फ़ंक्शन की समता निर्धारित करें। आम तौर पर, अध्ययन के तहत फ़ंक्शन पर विचार किया जाता है, भले ही इसकी परिभाषा के क्षेत्र में स्थित स्वतंत्र चर (x) के विपरीत मानों के लिए, y (फ़ंक्शन) के संबंधित मान बराबर हों।

आइए अधिक सख्त परिभाषा दें। कुछ फ़ंक्शन f (x) पर विचार करें, जिसे डोमेन D में परिभाषित किया गया है। यह तब भी होगा जब परिभाषा के डोमेन में स्थित किसी भी बिंदु x के लिए:

• -x (विपरीत बिंदु) भी इसी दायरे में आता है,

• एफ(-एक्स) = एफ(एक्स).

उपरोक्त परिभाषा से ऐसे फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र के लिए आवश्यक शर्त का पालन होता है, अर्थात्, बिंदु O के संबंध में समरूपता, जो निर्देशांक की उत्पत्ति है, क्योंकि यदि कुछ बिंदु b सम की परिभाषा के क्षेत्र में समाहित है फ़ंक्शन, तो संबंधित बिंदु b भी इस डोमेन में स्थित है। इसलिए, उपरोक्त से, निष्कर्ष इस प्रकार है: सम फलन का रूप कोटि अक्ष (Oy) के संबंध में सममित होता है।

व्यवहार में किसी फ़ंक्शन की समता कैसे निर्धारित करें?

इसे सूत्र h(x)=11^x+11^(-x) का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जाए। परिभाषा से सीधे अनुसरण करने वाले एल्गोरिदम का अनुसरण करते हुए, हम पहले इसकी परिभाषा के क्षेत्र की जांच करते हैं। जाहिर है, यह तर्क के सभी मूल्यों के लिए परिभाषित है, यानी पहली शर्त संतुष्ट है।

अगला कदम तर्क (x) के लिए विपरीत मान (-x) को प्रतिस्थापित करना है।
हम पाते हैं:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
चूँकि जोड़ क्रमविनिमेय (कम्यूटेटिव) नियम को संतुष्ट करता है, इसलिए यह स्पष्ट है कि h(-x) = h(x) और दी गई कार्यात्मक निर्भरता सम है।

आइए फ़ंक्शन h(x)=11^x-11^(-x) की समता की जांच करें। उसी एल्गोरिथ्म का अनुसरण करते हुए, हमें वह h(-x) = 11^(-x) -11^x मिलता है। माइनस को बाहर निकालते हुए, अंत में हमारे पास है
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). इसलिए, h(x) विषम है।

वैसे, यह याद रखना चाहिए कि ऐसे कार्य हैं जिन्हें इन मानदंडों के अनुसार वर्गीकृत नहीं किया जा सकता है; उन्हें न तो सम और न ही विषम कहा जाता है।

सम फ़ंक्शंस में कई दिलचस्प गुण होते हैं:

• समान फ़ंक्शन जोड़ने के परिणामस्वरूप, उन्हें एक सम फ़ंक्शन मिलता है;
• ऐसे फलनों को घटाने पर एक सम फलन प्राप्त होता है;
• सम, सम भी;
• ऐसे दो फलनों को गुणा करने पर एक सम फलन प्राप्त होता है;
• विषम और सम फलनों को गुणा करने पर एक विषम फलन प्राप्त होता है;
• विषम और सम फलनों को विभाजित करने पर एक विषम फलन प्राप्त होता है;
• ऐसे फलन का व्युत्पन्न विषम है;
• यदि आप एक विषम फलन का वर्ग करते हैं, तो आपको एक सम फलन प्राप्त होता है।

किसी फ़ंक्शन की समता का उपयोग समीकरणों को हल करने के लिए किया जा सकता है।

जी(एक्स) = 0 जैसे समीकरण को हल करने के लिए, जहां समीकरण का बायां पक्ष एक सम कार्य है, चर के गैर-नकारात्मक मानों के लिए इसका समाधान ढूंढना काफी होगा। समीकरण के परिणामी मूलों को विपरीत संख्याओं के साथ जोड़ा जाना चाहिए। उनमें से एक सत्यापन के अधीन है।

पैरामीटर के साथ गैर-मानक समस्याओं को हल करने के लिए भी इसका सफलतापूर्वक उपयोग किया जाता है।

उदाहरण के लिए, क्या पैरामीटर a का कोई मान है जिसके लिए समीकरण 2x^6-x^4-ax^2=1 के तीन मूल होंगे?

यदि हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि चर सम घातों में समीकरण में प्रवेश करता है, तो यह स्पष्ट है कि x को - x से बदलने से दिए गए समीकरण में कोई बदलाव नहीं आएगा। इसका तात्पर्य यह है कि यदि एक निश्चित संख्या इसका मूल है, तो विपरीत संख्या भी मूल है। निष्कर्ष स्पष्ट है: एक समीकरण की जड़ें जो शून्य से भिन्न होती हैं, उसके समाधानों के सेट में "जोड़े" में शामिल होती हैं।

यह स्पष्ट है कि संख्या स्वयं 0 नहीं है, अर्थात, ऐसे समीकरण की जड़ों की संख्या केवल सम हो सकती है और स्वाभाविक रूप से, पैरामीटर के किसी भी मूल्य के लिए इसकी तीन जड़ें नहीं हो सकती हैं।

लेकिन समीकरण 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 की जड़ों की संख्या विषम हो सकती है, और पैरामीटर के किसी भी मान के लिए। दरअसल, यह जांचना आसान है कि इस समीकरण की जड़ों के सेट में "जोड़े में" समाधान हैं। आइए जाँच करें कि क्या 0 एक जड़ है। जब हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें 2=2 मिलता है। इस प्रकार, "युग्मित" के अलावा, 0 भी एक मूल है, जो उनकी विषम संख्या को सिद्ध करता है।

किसी फ़ंक्शन को सम (विषम) कहा जाता है यदि किसी और समानता के लिए

.

किसी सम फलन का ग्राफ़ अक्ष के प्रति सममित होता है
.

एक विषम फलन का ग्राफ मूल बिन्दु के प्रति सममित होता है।

उदाहरण 6.2. जाँच करें कि कोई फलन सम है या विषम

1)
; 2)
; 3)
.

समाधान.

1) फ़ंक्शन को तब परिभाषित किया जाता है
. हम ढूंढ लेंगे
.

वे।
. इसका मतलब यह है कि यह फ़ंक्शन सम है.

2) फ़ंक्शन को तब परिभाषित किया जाता है

वे।
. इस प्रकार, यह फ़ंक्शन अजीब है।

3) फ़ंक्शन को परिभाषित किया गया है, यानी। के लिए

,
. इसलिए फलन न तो सम है और न ही विषम है। आइए इसे सामान्य रूप का एक फ़ंक्शन कहें।

समारोह
इसे एक निश्चित अंतराल पर बढ़ना (घटना) कहा जाता है यदि इस अंतराल में तर्क का प्रत्येक बड़ा मान फ़ंक्शन के बड़े (छोटे) मान से मेल खाता हो।

एक निश्चित अंतराल पर बढ़ने (घटने) वाले कार्यों को मोनोटोनिक कहा जाता है।

यदि फ़ंक्शन
अंतराल पर अवकलनीय
और इसका एक सकारात्मक (नकारात्मक) व्युत्पन्न है
, फिर फ़ंक्शन
इस अंतराल पर बढ़ता (घटता) है।

उदाहरण 6.3. कार्यों की एकरसता के अंतराल ज्ञात कीजिए

1)
; 3)
.

समाधान.

1) यह फ़ंक्शन संपूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित है। आइए व्युत्पन्न खोजें।

यदि व्युत्पन्न शून्य के बराबर है
और
. परिभाषा का क्षेत्र संख्या अक्ष है, जो बिंदुओं द्वारा विभाजित है
,
अंतरालों पर। आइए हम प्रत्येक अंतराल में अवकलज का चिह्न निर्धारित करें।

अंतराल में
व्युत्पन्न ऋणात्मक है, इस अंतराल पर फलन घटता है।

अंतराल में
व्युत्पन्न सकारात्मक है, इसलिए, इस अंतराल पर फ़ंक्शन बढ़ता है।

2) इस फ़ंक्शन को परिभाषित किया गया है यदि
या

.

हम प्रत्येक अंतराल में द्विघात त्रिपद का चिह्न निर्धारित करते हैं।

इस प्रकार, फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र

आइए व्युत्पन्न खोजें
,
, अगर
, अर्थात।
, लेकिन
. आइए हम अंतरालों में अवकलज का चिह्न निर्धारित करें
.

अंतराल में
व्युत्पन्न नकारात्मक है, इसलिए, अंतराल पर फ़ंक्शन घटता है
. अंतराल में
व्युत्पन्न सकारात्मक है, फलन अंतराल पर बढ़ता है
.

डॉट
फ़ंक्शन का अधिकतम (न्यूनतम) बिंदु कहा जाता है
, यदि बिंदु का कोई ऐसा पड़ोस है वह हर किसी के लिए है
इस पड़ोस से असमानता कायम है

.

किसी फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं को चरम बिंदु कहा जाता है।

यदि फ़ंक्शन
बिंदु पर एक चरम है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है या अस्तित्व में नहीं है (एक चरम के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त)।

वे बिंदु जिन पर व्युत्पन्न शून्य है या अस्तित्व में नहीं है, क्रांतिक कहलाते हैं।

नियम 1। यदि संक्रमण के दौरान (बाएं से दाएं) महत्वपूर्ण बिंदु के माध्यम से यौगिक
चिह्न को "+" से "-" में बदलता है, फिर बिंदु पर समारोह
अधिकतम है; यदि "-" से "+" तक, तो न्यूनतम; अगर
संकेत नहीं बदलता, तो कोई चरम सीमा नहीं है।

नियम 2. चलो मुद्दे पर
किसी फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न
शून्य के बराबर
, और दूसरा व्युत्पन्न मौजूद है और शून्य से अलग है। अगर
, वह – अधिकतम बिंदु, यदि
, वह – फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु.

उदाहरण 6.4. अधिकतम और न्यूनतम कार्यों का अन्वेषण करें:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

समाधान।

1) फलन अंतराल पर परिभाषित और सतत है
.

आइए व्युत्पन्न खोजें
और समीकरण हल करें
, अर्थात।
।यहाँ से
- महत्वपूर्ण बिंदु।

आइए हम अंतरालों में अवकलज का चिह्न निर्धारित करें,
.

बिंदुओं से गुजरते समय
और
इसलिए, नियम 1 के अनुसार, व्युत्पन्न का चिह्न "-" से "+" में बदल जाता है
– न्यूनतम अंक.

किसी बिंदु से गुजरते समय
व्युत्पन्न चिह्न "+" से "-" में बदल जाता है, इसलिए
– अधिकतम बिंदु.

,
.

2) अंतराल में फ़ंक्शन परिभाषित और निरंतर है
. आइए व्युत्पन्न खोजें
.

समीकरण हल करने के बाद
, हम ढूंढ लेंगे
और
- महत्वपूर्ण बिंदु। यदि हर
, अर्थात।
, तो व्युत्पन्न मौजूद नहीं है। इसलिए,
– तीसरा महत्वपूर्ण बिंदु. आइए हम अंतरालों में अवकलज का चिह्न ज्ञात करें।

इसलिए, फ़ंक्शन का बिंदु पर न्यूनतम है
, अंकों में अधिकतम
और
.

3) एक फ़ंक्शन परिभाषित और निरंतर है यदि
, अर्थात। पर
.

आइए व्युत्पन्न खोजें

.

आइए महत्वपूर्ण बिंदु खोजें:

बिंदुओं के पड़ोस
परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित नहीं हैं, इसलिए वे एक्स्ट्रेमा नहीं हैं। तो, आइए महत्वपूर्ण बिंदुओं की जाँच करें
और
.

4) फलन अंतराल पर परिभाषित एवं सतत होता है
. आइए नियम 2 का उपयोग करें। व्युत्पन्न ज्ञात करें
.

आइए महत्वपूर्ण बिंदु खोजें:

आइए दूसरा व्युत्पन्न खोजें
और बिंदुओं पर इसका चिन्ह निर्धारित करें

बिंदुओं पर
फ़ंक्शन में न्यूनतम है.

बिंदुओं पर
फ़ंक्शन में अधिकतम है.

किसी वेबसाइट पर गणितीय सूत्र कैसे डालें?

यदि आपको कभी किसी वेब पेज पर एक या दो गणितीय सूत्र जोड़ने की आवश्यकता होती है, तो ऐसा करने का सबसे आसान तरीका लेख में बताया गया है: गणितीय सूत्र आसानी से चित्रों के रूप में साइट पर डाले जाते हैं जो वोल्फ्राम अल्फा द्वारा स्वचालित रूप से उत्पन्न होते हैं . सादगी के अलावा, यह सार्वभौमिक विधि खोज इंजन में साइट की दृश्यता को बेहतर बनाने में मदद करेगी। यह लंबे समय से काम कर रहा है (और, मुझे लगता है, हमेशा काम करेगा), लेकिन नैतिक रूप से यह पहले से ही पुराना हो चुका है।

यदि आप नियमित रूप से अपनी साइट पर गणितीय सूत्रों का उपयोग करते हैं, तो मैं आपको MathJax का उपयोग करने की सलाह देता हूं - एक विशेष जावास्क्रिप्ट लाइब्रेरी जो MathML, LaTeX या ASCIIMathML मार्कअप का उपयोग करके वेब ब्राउज़र में गणितीय नोटेशन प्रदर्शित करती है।

MathJax का उपयोग शुरू करने के दो तरीके हैं: (1) एक सरल कोड का उपयोग करके, आप जल्दी से एक MathJax स्क्रिप्ट को अपनी वेबसाइट से कनेक्ट कर सकते हैं, जो सही समय पर एक दूरस्थ सर्वर से स्वचालित रूप से लोड हो जाएगी (सर्वर की सूची); (2) मैथजैक्स स्क्रिप्ट को रिमोट सर्वर से अपने सर्वर पर डाउनलोड करें और इसे अपनी साइट के सभी पेजों से कनेक्ट करें। दूसरी विधि - अधिक जटिल और समय लेने वाली - आपकी साइट के पृष्ठों की लोडिंग को तेज कर देगी, और यदि मूल MathJax सर्वर किसी कारण से अस्थायी रूप से अनुपलब्ध हो जाता है, तो यह किसी भी तरह से आपकी अपनी साइट को प्रभावित नहीं करेगा। इन फायदों के बावजूद, मैंने पहला तरीका चुना क्योंकि यह सरल, तेज़ है और इसमें तकनीकी कौशल की आवश्यकता नहीं है। मेरे उदाहरण का अनुसरण करें, और केवल 5 मिनट में आप अपनी साइट पर MathJax की सभी सुविधाओं का उपयोग करने में सक्षम होंगे।

आप मुख्य MathJax वेबसाइट या दस्तावेज़ीकरण पृष्ठ से लिए गए दो कोड विकल्पों का उपयोग करके MathJax लाइब्रेरी स्क्रिप्ट को दूरस्थ सर्वर से कनेक्ट कर सकते हैं:

इन कोड विकल्पों में से एक को आपके वेब पेज के कोड में कॉपी और पेस्ट करना होगा, अधिमानतः टैग के बीच और टैग के तुरंत बाद। पहले विकल्प के अनुसार, MathJax तेजी से लोड होता है और पेज को कम धीमा करता है। लेकिन दूसरा विकल्प स्वचालित रूप से MathJax के नवीनतम संस्करणों की निगरानी और लोड करता है। यदि आप पहला कोड डालते हैं, तो इसे समय-समय पर अद्यतन करने की आवश्यकता होगी। यदि आप दूसरा कोड डालते हैं, तो पेज अधिक धीरे-धीरे लोड होंगे, लेकिन आपको MathJax अपडेट की लगातार निगरानी करने की आवश्यकता नहीं होगी।

MathJax को कनेक्ट करने का सबसे आसान तरीका ब्लॉगर या वर्डप्रेस में है: साइट कंट्रोल पैनल में, तृतीय-पक्ष जावास्क्रिप्ट कोड डालने के लिए डिज़ाइन किया गया एक विजेट जोड़ें, ऊपर प्रस्तुत डाउनलोड कोड के पहले या दूसरे संस्करण को कॉपी करें, और विजेट को करीब रखें टेम्पलेट की शुरुआत में (वैसे, यह बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है, क्योंकि MathJax स्क्रिप्ट अतुल्यकालिक रूप से लोड की गई है)। बस इतना ही। अब MathML, LaTeX और ASCIIMathML का मार्कअप सिंटैक्स सीखें, और आप अपनी साइट के वेब पेजों में गणितीय सूत्र सम्मिलित करने के लिए तैयार हैं।

किसी भी फ्रैक्टल का निर्माण एक निश्चित नियम के अनुसार किया जाता है, जिसे लगातार असीमित संख्या में लागू किया जाता है। ऐसे प्रत्येक समय को पुनरावृत्ति कहा जाता है।

मेन्जर स्पंज के निर्माण के लिए पुनरावृत्त एल्गोरिथ्म काफी सरल है: 1 भुजा वाले मूल घन को उसके फलकों के समानांतर समतलों द्वारा 27 बराबर घनों में विभाजित किया जाता है। इसमें से एक केंद्रीय घन और उसके फलकों से लगे हुए 6 घन हटा दिए जाते हैं। परिणाम एक सेट है जिसमें शेष 20 छोटे घन शामिल हैं। इनमें से प्रत्येक घन के साथ ऐसा करने पर, हमें 400 छोटे घनों का एक सेट मिलता है। इस प्रक्रिया को अनवरत जारी रखने पर हमें मेन्जर स्पंज प्राप्त होता है।

फ़ंक्शन सबसे महत्वपूर्ण गणितीय अवधारणाओं में से एक है। एक फ़ंक्शन वेरिएबल y की वेरिएबल x पर निर्भरता है, यदि x का प्रत्येक मान y के एकल मान से मेल खाता है। चर x को स्वतंत्र चर या तर्क कहा जाता है। चर y को आश्रित चर कहा जाता है। स्वतंत्र चर (चर x) के सभी मान फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र बनाते हैं। वे सभी मान जो आश्रित चर (चर y) फ़ंक्शन की सीमा बनाते हैं।

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ निर्देशांक तल के सभी बिंदुओं का समुच्चय है, जिसके भुज तर्क के मानों के बराबर होते हैं, और निर्देशांक फ़ंक्शन के संगत मानों के बराबर होते हैं, अर्थात वेरिएबल x के मान को एब्सिस्सा अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है, और वेरिएबल y के मान कोर्डिनेट अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है। किसी फ़ंक्शन को ग्राफ़ करने के लिए, आपको फ़ंक्शन के गुणों को जानना होगा। फ़ंक्शन के मुख्य गुणों पर नीचे चर्चा की जाएगी!

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाने के लिए, हम अपने प्रोग्राम - ग्राफ़िंग फ़ंक्शंस ऑनलाइन का उपयोग करने की अनुशंसा करते हैं। यदि इस पृष्ठ पर सामग्री का अध्ययन करते समय आपके कोई प्रश्न हैं, तो आप उन्हें हमेशा हमारे मंच पर पूछ सकते हैं। इसके अलावा मंच पर वे आपको गणित, रसायन विज्ञान, ज्यामिति, संभाव्यता सिद्धांत और कई अन्य विषयों में समस्याओं को हल करने में मदद करेंगे!

कार्यों के मूल गुण।

1) फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र और फ़ंक्शन के मानों की सीमा।

किसी फ़ंक्शन का डोमेन तर्क x (वेरिएबल x) के सभी मान्य वास्तविक मानों का सेट है जिसके लिए फ़ंक्शन y = f(x) परिभाषित किया गया है।
किसी फ़ंक्शन की सीमा उन सभी वास्तविक y मानों का समूह है जिन्हें फ़ंक्शन स्वीकार करता है।

प्रारंभिक गणित में, कार्यों का अध्ययन केवल वास्तविक संख्याओं के सेट पर किया जाता है।

2) फ़ंक्शन के शून्य।

x का मान जिसके लिए y=0 कहलाता है फ़ंक्शन शून्य. ये ऑक्स अक्ष के साथ फ़ंक्शन ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज हैं।

3) किसी फ़ंक्शन के स्थिर चिह्न का अंतराल।

किसी फ़ंक्शन के स्थिर चिह्न के अंतराल - मान x के ऐसे अंतराल जिन पर फ़ंक्शन y के मान या तो केवल सकारात्मक या केवल नकारात्मक होते हैं, कहलाते हैं फ़ंक्शन के निरंतर चिह्न के अंतराल।

4) फ़ंक्शन की एकरसता।

एक बढ़ता हुआ फ़ंक्शन (एक निश्चित अंतराल में) एक ऐसा फ़ंक्शन होता है जिसमें इस अंतराल से तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के बड़े मान से मेल खाता है।

एक घटता हुआ फ़ंक्शन (एक निश्चित अंतराल में) एक ऐसा फ़ंक्शन होता है जिसमें इस अंतराल से तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के छोटे मान से मेल खाता है।

5) फलन की समता (विषमता)।

एक सम फलन एक ऐसा फलन है जिसकी परिभाषा का क्षेत्र मूल और किसी भी x f(-x) = f(x) के संबंध में सममित है। एक सम फलन का ग्राफ कोटि के प्रति सममित होता है।

एक विषम फलन एक ऐसा फलन है जिसकी परिभाषा का क्षेत्र मूल के संबंध में सममित है और परिभाषा के क्षेत्र से किसी भी x के लिए समानता f(-x) = - f(x) सत्य है। एक विषम फलन का ग्राफ मूल बिन्दु के प्रति सममित होता है।

यहां तक ​​कि समारोह
1) परिभाषा का क्षेत्र बिंदु (0; 0) के संबंध में सममित है, अर्थात, यदि बिंदु a परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित है, तो बिंदु -a भी परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित है।
2) किसी भी मान x f(-x)=f(x) के लिए
3) एक सम फलन का ग्राफ ओए अक्ष के प्रति सममित होता है।

एक विषम फ़ंक्शन में निम्नलिखित गुण होते हैं:
1) परिभाषा का क्षेत्र बिंदु (0; 0) के बारे में सममित है।
2) परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित किसी भी मूल्य x के लिए, समानता f(-x)=-f(x) संतुष्ट है
3) एक विषम फ़ंक्शन का ग्राफ़ मूल बिंदु (0; 0) के संबंध में सममित है।

प्रत्येक फलन सम या विषम नहीं होता। कार्य सामान्य रूप से देखेंन तो सम हैं और न ही विषम।

6) सीमित एवं असीमित कार्य।

यदि कोई धनात्मक संख्या M ऐसी है कि |f(x)| तो किसी फ़ंक्शन को परिबद्ध कहा जाता है ≤ x के सभी मानों के लिए M. यदि ऐसी कोई संख्या मौजूद नहीं है, तो फ़ंक्शन असीमित है।

7) समारोह की आवधिकता.

एक फ़ंक्शन f(x) आवधिक है यदि इसमें एक गैर-शून्य संख्या T है जैसे कि फ़ंक्शन की परिभाषा के डोमेन से किसी भी x के लिए निम्नलिखित है: f(x+T) = f(x)। इस सबसे छोटी संख्या को फलन का आवर्त कहा जाता है। सभी त्रिकोणमितीय फलन आवर्ती होते हैं। (त्रिकोणमितीय सूत्र)।

एक फ़ंक्शन f को आवधिक कहा जाता है यदि कोई संख्या ऐसी हो कि परिभाषा के क्षेत्र से किसी भी x के लिए समानता f(x)=f(x-T)=f(x+T) हो। T फ़ंक्शन की अवधि है.

प्रत्येक आवर्त फलन में अनंत संख्या में आवर्त होते हैं। व्यवहार में, आमतौर पर सबसे छोटी सकारात्मक अवधि पर विचार किया जाता है।

किसी आवर्त फलन के मानों को अवधि के बराबर अंतराल के बाद दोहराया जाता है। इसका उपयोग ग्राफ़ बनाते समय किया जाता है।

कार्य अध्ययन.

1) डी(वाई) - परिभाषा डोमेन: वेरिएबल एक्स के उन सभी मानों का सेट। जिसके लिए बीजीय व्यंजक f(x) और g(x) अर्थपूर्ण हैं।

यदि कोई फ़ंक्शन किसी सूत्र द्वारा दिया गया है, तो परिभाषा के क्षेत्र में स्वतंत्र चर के सभी मान शामिल होते हैं जिसके लिए सूत्र समझ में आता है।

2) फ़ंक्शन के गुण: सम/विषम, आवधिकता:

वे फ़ंक्शन जिनके ग्राफ़ तर्क के चिह्न में परिवर्तन के संबंध में सममित होते हैं, विषम और सम कहलाते हैं।

एक विषम फ़ंक्शन एक ऐसा फ़ंक्शन है जो स्वतंत्र चर का चिह्न (निर्देशांक के केंद्र के सापेक्ष सममित) बदलने पर अपना मान विपरीत में बदल देता है।

एक सम फलन एक ऐसा फलन है जो स्वतंत्र चर का चिह्न (कोर्डेट के बारे में सममित) बदलने पर अपना मान नहीं बदलता है।

न तो सम और न ही विषम फलन (सामान्य रूप का फलन) ऐसा फलन है जिसमें समरूपता नहीं है। इस श्रेणी में वे फ़ंक्शन शामिल हैं जो पिछली 2 श्रेणियों के अंतर्गत नहीं आते हैं।

वे फ़ंक्शन जो उपरोक्त किसी भी श्रेणी से संबंधित नहीं हैं, कहलाते हैं न तो सम और न ही विषम(या सामान्य कार्य)।

अजीब कार्य

विषम घात जहाँ एक मनमाना पूर्णांक है।

सम कार्य

यहां तक ​​कि घात भी एक मनमाना पूर्णांक है।

एक आवधिक फ़ंक्शन एक फ़ंक्शन है जो तर्क के एक निश्चित नियमित अंतराल के बाद अपने मानों को दोहराता है, यानी, तर्क में कुछ निश्चित गैर-शून्य संख्या (फ़ंक्शन की अवधि) जोड़ने पर यह अपना मान नहीं बदलता है। परिभाषा का क्षेत्र.

3) किसी फ़ंक्शन के शून्य (मूल) वे बिंदु हैं जहां यह शून्य हो जाता है।

अक्ष के साथ ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन बिंदु ढूँढना ओए. ऐसा करने के लिए आपको मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है एफ(0). अक्ष के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु भी ज्ञात करें बैल, समीकरण की जड़ें क्यों खोजें एफ(एक्स) = 0 (या सुनिश्चित करें कि कोई जड़ें नहीं हैं)।

वे बिंदु जिन पर ग्राफ़ अक्ष को प्रतिच्छेद करता है, फ़ंक्शन के शून्य कहलाते हैं। किसी फ़ंक्शन के शून्य ज्ञात करने के लिए, आपको समीकरण को हल करना होगा, अर्थात "x" के वे मान ज्ञात करना होगा जिन पर फ़ंक्शन शून्य हो जाता है।

4) संकेतों की स्थिरता का अंतराल, उनमें संकेत।

अंतराल जहां फ़ंक्शन f(x) चिह्न बनाए रखता है।

स्थिर चिन्ह का अंतराल प्रत्येक बिंदु पर एक अंतराल होता है जिसका फलन सकारात्मक या नकारात्मक होता है।

x-अक्ष के ऊपर.

धुरी के नीचे.

5) निरंतरता (असंततता के बिंदु, असंततता की प्रकृति, स्पर्शोन्मुख)।

एक सतत फ़ंक्शन "छलांग" के बिना एक फ़ंक्शन है, अर्थात, जिसमें तर्क में छोटे परिवर्तन से फ़ंक्शन के मूल्य में छोटे परिवर्तन होते हैं।

यदि फ़ंक्शन की सीमा मौजूद, लेकिन इस बिंदु पर फ़ंक्शन परिभाषित नहीं है, या सीमा इस बिंदु पर फ़ंक्शन के मान से मेल नहीं खाती है:

,

तो बिंदु कहा जाता है हटाने योग्य ब्रेक पॉइंटकार्य (जटिल विश्लेषण में, एक हटाने योग्य एकवचन बिंदु)।

यदि हम हटाने योग्य असंततता के बिंदु पर फ़ंक्शन को "सही" करते हैं और डालते हैं , तो हमें एक फ़ंक्शन मिलता है जो किसी दिए गए बिंदु पर निरंतर होता है। किसी फ़ंक्शन पर इस ऑपरेशन को कहा जाता है फ़ंक्शन को निरंतर तक विस्तारित करनाया निरंतरता द्वारा फ़ंक्शन की पुनर्परिभाषा, जो बिंदु के नाम को बिंदु के रूप में उचित ठहराता है हटाने योग्यटूटना.

प्रथम एवं द्वितीय प्रकार के असंततता बिंदु

यदि किसी फ़ंक्शन में किसी दिए गए बिंदु पर असंततता है (अर्थात, किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन की सीमा अनुपस्थित है या किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के मान से मेल नहीं खाती है), तो संख्यात्मक कार्यों के लिए दो संभावित विकल्प हैं संख्यात्मक कार्यों के अस्तित्व से जुड़ा हुआ एकतरफ़ा सीमा:

यदि दोनों एकतरफ़ा सीमाएँ मौजूद हैं और परिमित हैं, तो ऐसे बिंदु को पहली तरह का असंततता बिंदु कहा जाता है। हटाने योग्य असंततता बिंदु पहली तरह के असंततता बिंदु हैं;

यदि एकतरफा सीमाओं में से कम से कम एक मौजूद नहीं है या एक सीमित मूल्य नहीं है, तो ऐसे बिंदु को दूसरे प्रकार का असंततता बिंदु कहा जाता है।

स्पर्शोन्मुख - सीधा, जिसका गुण है कि वक्र पर एक बिंदु से इस तक की दूरी सीधाजैसे-जैसे बिंदु शाखा के साथ-साथ अनंत की ओर बढ़ता है, शून्य हो जाता है।

खड़ा

लंबवत अनंतस्पर्शी - सीमा रेखा .

एक नियम के रूप में, ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी का निर्धारण करते समय, वे एक सीमा नहीं, बल्कि दो एक तरफा (बाएं और दाएं) की तलाश करते हैं। यह यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि जब फ़ंक्शन विभिन्न दिशाओं से ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी तक पहुंचता है तो वह कैसे व्यवहार करता है। उदाहरण के लिए:

समस्तरीय अनंतस्पर्शी रेखा - सीधाप्रजाति, अस्तित्व के अधीन आप LIMIT

.

परोक्ष अनंतस्पर्शी - सीधाप्रजाति, अस्तित्व के अधीन सीमा

ध्यान दें: एक फ़ंक्शन में दो से अधिक तिरछे (क्षैतिज) अनंतस्पर्शी नहीं हो सकते हैं।

ध्यान दें: यदि ऊपर उल्लिखित दो सीमाओं में से कम से कम एक मौजूद नहीं है (या बराबर है), तो (या) पर तिरछा अनंतस्पर्शी मौजूद नहीं है।

यदि आइटम 2 में), तो, और सीमा क्षैतिज अनंतस्पर्शी सूत्र का उपयोग करके पाई जाती है, .

6) एकरसता के अंतराल ढूँढना। किसी फ़ंक्शन की एकरसता के अंतराल ज्ञात करें एफ(एक्स)(अर्थात् बढ़ने और घटने का अंतराल)। यह व्युत्पन्न के चिह्न की जांच करके किया जाता है एफ(एक्स). ऐसा करने के लिए, व्युत्पन्न खोजें एफ(एक्स) और असमानता को हल करें एफ(एक्स)0. अंतराल पर जहां यह असमानता कायम रहती है, फ़ंक्शन एफ(एक्स)बढ़ती है। जहां विपरीत असमानता कायम है एफ(एक्स)0, फ़ंक्शन एफ(एक्स) गिरते हुए।

एक स्थानीय चरम ढूँढना. एकरसता के अंतराल को खोजने के बाद, हम तुरंत स्थानीय चरम बिंदु निर्धारित कर सकते हैं जहां वृद्धि को कमी से बदल दिया जाता है, स्थानीय मैक्सिमा स्थित होते हैं, और जहां कमी को वृद्धि से बदल दिया जाता है, स्थानीय मिनिमा स्थित होते हैं। इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें। यदि किसी फ़ंक्शन में महत्वपूर्ण बिंदु हैं जो स्थानीय चरम बिंदु नहीं हैं, तो इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्य की गणना करना भी उपयोगी है।

किसी खंड पर फ़ंक्शन y = f(x) का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ढूँढना (जारी)