स्तम्भ प्रभाग(आप नाम भी पा सकते हैं विभाजनकोने) में एक मानक प्रक्रिया हैअंकगणित, सरल या जटिल बहु-अंकीय संख्याओं को तोड़कर विभाजित करने के लिए डिज़ाइन किया गयाकई सरल चरणों में विभाजित। विभाजन की सभी समस्याओं की तरह, एक नंबर पर कॉल किया जाता हैभाज्य, दूसरे में विभाजित है, कहा जाता हैडिवाइडर, एक परिणाम उत्पन्न करना कहा जाता हैनिजी.

कॉलम का उपयोग प्राकृतिक संख्याओं को बिना किसी शेषफल के विभाजित करने के साथ-साथ प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करने के लिए भी किया जा सकता हैशेष के साथ.

कॉलम से विभाजित करते समय लिखने के नियम।

आइए लाभांश, भाजक, सभी मध्यवर्ती गणनाओं और परिणामों को लिखने के नियमों का अध्ययन करके शुरुआत करेंप्राकृतिक संख्याओं को एक कॉलम में विभाजित करना। आइए तुरंत कहें कि लंबा विभाजन लिखना हैचेकर्ड लाइन वाले कागज पर यह सबसे सुविधाजनक है - इस तरह वांछित पंक्ति और कॉलम से भटकने की संभावना कम होती है।

सबसे पहले, लाभांश और विभाजक को बाएं से दाएं एक पंक्ति में लिखा जाता है, उसके बाद लिखा जाता हैसंख्याएँ प्रपत्र के प्रतीक का प्रतिनिधित्व करती हैं.

उदाहरण के लिए, यदि लाभांश 6105 है और भाजक 55 है, तो विभाजित करते समय उनका सही अंकनकॉलम इस प्रकार होगा:

लाभांश, भाजक, भागफल लिखने के स्थानों को दर्शाने वाले निम्नलिखित आरेख को देखें।किसी कॉलम से विभाजित करते समय शेष और मध्यवर्ती गणना:

उपरोक्त चित्र से यह स्पष्ट है कि अभीष्ट भागफल (या अपूर्ण भागफलशेषफल से विभाजित करने पर) होगाक्षैतिज पट्टी के नीचे विभाजक के नीचे लिखा है। और मध्यवर्ती गणना नीचे की जाएगीविभाज्य, और आपको पृष्ठ पर स्थान की उपलब्धता के बारे में पहले से ही ध्यान रखना होगा। ऐसे में मार्गदर्शन करना चाहिएनियम: लाभांश और भाजक की प्रविष्टियों में वर्णों की संख्या में जितना अधिक अंतर होगा, उतना अधिक होगाजगह की आवश्यकता होगी.

किसी प्राकृत संख्या का एकल अंकीय प्राकृत संख्या से विभाजन, स्तंभ विभाजन एल्गोरिथ्म.

लॉन्ग डिविजन कैसे करें इसे एक उदाहरण से सबसे अच्छी तरह समझाया गया है।गणना:

512:8=?

सबसे पहले, आइए लाभांश और भाजक को एक कॉलम में लिखें। यह इस तरह दिखेगा:

इनका भागफल (परिणाम) हम भाजक के नीचे लिखेंगे। हमारे लिए यह नंबर 8 है.

1. अपूर्ण भागफल को परिभाषित करें। सबसे पहले हम लाभांश अंकन में बाईं ओर के पहले अंक को देखते हैं।यदि इस आंकड़े द्वारा परिभाषित संख्या भाजक से अधिक है, तो अगले पैराग्राफ में हमें काम करना होगाइस नंबर के साथ. यदि यह संख्या भाजक से कम है, तो हमें निम्नलिखित को विचार में जोड़ना होगाबायीं ओर लाभांश के अंकन में अंक, और दोनों द्वारा निर्धारित संख्या के साथ आगे काम करेंसंख्या में. सुविधा के लिए, हम अपने अंकन में उस संख्या को उजागर करते हैं जिसके साथ हम काम करेंगे।

2. 5 लें। संख्या 5, 8 से कम है, जिसका अर्थ है कि आपको लाभांश से एक और संख्या लेने की आवश्यकता है। 51, 8 से बड़ा है।यह अपूर्ण भागफल है. हम भागफल में (भाजक के कोने के नीचे) एक बिंदु लगाते हैं।

51 के बाद केवल एक संख्या 2 है। इसका मतलब है कि हम परिणाम में एक और अंक जोड़ते हैं।

3. अब याद आ रहा हैपहाड़ा 8 तक, 51 → 6 x 8 = 48 के निकटतम गुणनफल ज्ञात कीजिए→ संख्या 6 को भागफल में लिखें:

हम 51 के नीचे 48 लिखते हैं (यदि हम भागफल से 6 को भाजक से 8 से गुणा करते हैं, तो हमें 48 मिलता है)।

ध्यान!अपूर्ण भागफल के अंतर्गत लिखते समय अपूर्ण भागफल का सबसे दाहिना अंक ऊपर होना चाहिएसबसे दाहिना अंककाम करता है.

4. बाईं ओर 51 और 48 के बीच हम "-" (माइनस) लगाते हैं।घटाव के नियम के अनुसार घटाएँ कॉलम 48 में और पंक्ति के नीचेआइए परिणाम लिखें।

हालाँकि, यदि घटाव का परिणाम शून्य है, तो इसे लिखने की आवश्यकता नहीं है (जब तक कि घटाव में न हो)यह बिंदु अंतिम क्रिया नहीं है जो विभाजन प्रक्रिया को पूरी तरह से पूरा करती हैस्तंभ)।

शेषफल 3 है। आइए शेषफल की तुलना भाजक से करें। 3, 8 से कम है.

ध्यान!यदि शेषफल भाजक से अधिक है, तो हमने गणना में गलती की है और गुणनफल हैजो हमने लिया था उससे भी अधिक निकट।

5. अब, क्षैतिज रेखा के नीचे वहां स्थित संख्याओं के दाईं ओर (या उस स्थान के दाईं ओर जहां हम नहीं हैं)शून्य लिखना शुरू किया) हम लाभांश के रिकॉर्ड में उसी कॉलम में स्थित संख्या लिखते हैं। मैं फ़िनइस कॉलम में लाभांश प्रविष्टि में कोई संख्या नहीं है, तो कॉलम द्वारा विभाजन यहीं समाप्त होता है।

संख्या 32, 8 से बड़ी है। और फिर, 8 से गुणन तालिका का उपयोग करके, हम निकटतम उत्पाद पाते हैं → 8 x 4 = 32:

शेषफल शून्य था. इसका मतलब है कि संख्याएँ पूरी तरह से विभाजित हैं (शेषफल के बिना)। अगर आखिरी के बादघटाने पर परिणाम शून्य हो जाता है, और कोई अंक नहीं बचता, तो यह शेषफल होता है। हम इसे भागफल में जोड़ते हैंकोष्ठक (जैसे 64(2)).

बहुअंकीय प्राकृतिक संख्याओं का स्तंभ विभाजन।

बहुअंकीय प्राकृत संख्या से विभाजन इसी प्रकार किया जाता है। उसी समय, पहले में"मध्यवर्ती" लाभांश में इतने अधिक उच्च-क्रम वाले अंक शामिल होते हैं कि यह भाजक से बड़ा हो जाता है।

उदाहरण के लिए, 1976 को 26 से विभाजित किया गया।

• सबसे महत्वपूर्ण अंक में संख्या 1 26 से कम है, इसलिए दो अंकों से बनी संख्या पर विचार करें वरिष्ठ रैंक - 19.
• संख्या 19 भी 26 से छोटी है, इसलिए तीन उच्चतम अंकों के अंकों से बनी एक संख्या पर विचार करें - 197।
• संख्या 197, 26 से बड़ी है, 197 दहाई को 26 से विभाजित करें: 197: 26 = 7 (15 दहाई शेष)।
• 15 दहाई को इकाई में बदलें, इकाई अंक से 6 इकाई जोड़ें, हमें 156 प्राप्त होता है।
• 6 प्राप्त करने के लिए 156 को 26 से विभाजित करें।

तो 1976: 26 = 76.

यदि किसी विभाजन चरण पर "मध्यवर्ती" लाभांश भाजक से कम हो जाता है, तो भागफल में0 लिखा जाता है, और इस अंक से संख्या अगले, निचले अंक में स्थानांतरित हो जाती है।

भागफल में दशमलव अंश के साथ विभाजन.

दशमलव ऑनलाइन। दशमलव को भिन्न में और भिन्न को दशमलव में बदलना।

यदि प्राकृत संख्या एक अंकीय प्राकृत संख्या से विभाज्य नहीं है, तो आप जारी रख सकते हैंबिटवाइज़ विभाजन और भागफल में दशमलव अंश प्राप्त करें।

उदाहरण के लिए, 64 को 5 से विभाजित करें.

• 6 दहाई को 5 से विभाजित करने पर हमें 1 दहाई और 1 दहाई शेषफल के रूप में प्राप्त होता है।
• हम शेष दस को इकाइयों में परिवर्तित करते हैं, इकाई श्रेणी से 4 जोड़ते हैं, और 14 प्राप्त करते हैं।
• हम 14 इकाइयों को 5 से विभाजित करते हैं, हमें 2 इकाइयाँ मिलती हैं और शेष 4 इकाइयाँ आती हैं।
• हम 4 इकाइयों को दसवें में बदलते हैं, हमें 40 दसवां हिस्सा मिलता है।
• 8 दसवां भाग प्राप्त करने के लिए 40 दहाई को 5 से विभाजित करें।

तो 64:5 = 12.8

इस प्रकार, यदि, किसी प्राकृतिक संख्या को प्राकृतिक एकल-अंकीय या बहु-अंकीय संख्या से विभाजित करते समयशेष प्राप्त हो जाता है, तो आप भागफल में अल्पविराम लगा सकते हैं, शेष को निम्नलिखित की इकाइयों में बदल सकते हैं,छोटा अंक और विभाजित करना जारी रखें।

कॉलम विभाजन प्राथमिक विद्यालय के छात्रों के लिए शैक्षिक सामग्री का एक अभिन्न अंग है। गणित में आगे की सफलता इस बात पर निर्भर करेगी कि वह इस क्रिया को कितनी सही ढंग से करना सीखता है।

नई सामग्री को समझने के लिए बच्चे को ठीक से कैसे तैयार करें?

कॉलम विभाजन एक जटिल प्रक्रिया है जिसके लिए बच्चे से कुछ ज्ञान की आवश्यकता होती है। विभाजन करने के लिए, आपको जल्दी से घटाना, जोड़ना और गुणा करना आना चाहिए और सक्षम होना चाहिए। संख्या अंकों का ज्ञान भी जरूरी है.

इनमें से प्रत्येक क्रिया को स्वचालितता में लाया जाना चाहिए। बच्चे को लंबे समय तक सोचने की ज़रूरत नहीं है, और न केवल पहले दस से, बल्कि कुछ ही सेकंड में सौ के भीतर संख्याओं को घटाने और जोड़ने में भी सक्षम होना चाहिए।

गणितीय संक्रिया के रूप में विभाजन की सही अवधारणा बनाना महत्वपूर्ण है। गुणा और भाग सारणी का अध्ययन करते समय भी, बच्चे को स्पष्ट रूप से समझना चाहिए कि लाभांश एक संख्या है जिसे बराबर भागों में विभाजित किया जाएगा, भाजक इंगित करता है कि संख्या को कितने भागों में विभाजित किया जाना चाहिए, और भागफल ही उत्तर है।

किसी गणितीय ऑपरेशन के एल्गोरिदम को चरण दर चरण कैसे समझाएं?

प्रत्येक गणितीय ऑपरेशन के लिए एक विशिष्ट एल्गोरिदम का कड़ाई से पालन करने की आवश्यकता होती है। दीर्घ विभाजन के उदाहरण इस क्रम में निष्पादित किए जाने चाहिए:

1. उदाहरण को एक कोने में लिखें और लाभांश तथा भाजक के स्थानों का कड़ाई से निरीक्षण करें। पहले चरण में बच्चे को भ्रमित न होने में मदद करने के लिए, हम कह सकते हैं कि हम बाईं ओर एक बड़ी संख्या और दाईं ओर एक छोटी संख्या लिखते हैं।
2. प्रथम श्रेणी के लिए एक भाग का चयन करें. इसे शेषफल के साथ लाभांश से विभाज्य होना चाहिए।
3. गुणन तालिका का उपयोग करके, हम यह निर्धारित करते हैं कि विभाजक चयनित भाग में कितनी बार फिट हो सकता है। बच्चे को यह बताना ज़रूरी है कि उत्तर 9 से अधिक नहीं होना चाहिए।
4. परिणामी संख्या को भाजक से गुणा करें और इसे कोने के बाईं ओर लिखें।
5. इसके बाद, आपको लाभांश के हिस्से और परिणामी उत्पाद के बीच अंतर ढूंढना होगा।
6. परिणामी संख्या को पंक्ति के नीचे लिखा जाता है और अगले अंक की संख्या को हटा दिया जाता है। ऐसी क्रियाएं तब तक की जाती हैं जब तक शेषफल 0 न हो जाए।

छात्रों और अभिभावकों के लिए एक स्पष्ट उदाहरण

इस उदाहरण का उपयोग करके कॉलम विभाजन को स्पष्ट रूप से समझाया जा सकता है।

1. एक कॉलम में 2 संख्याएँ लिखें: लाभांश 536 है और भाजक 4 है।
2. विभाजन के लिए पहला भाग 4 से विभाज्य होना चाहिए और भागफल 9 से कम होना चाहिए। इसके लिए संख्या 5 उपयुक्त है।
3. 4 केवल एक बार 5 में फिट बैठता है, इसलिए हम उत्तर में 1 लिखते हैं, और 5 के नीचे 4 लिखते हैं।
4. इसके बाद, घटाव किया जाता है: 5 में से 4 घटाया जाता है और पंक्ति के नीचे 1 लिखा जाता है।
5. अगले अंक की संख्या को एक - 3 में जोड़ा जाता है। तेरह (13) में - 4 को 3 बार फिट किया जाता है। 4x3 = 12. 13वें के नीचे बारह लिखा है, और भागफल के रूप में, अगले अंक की संख्या के रूप में 3 लिखा है।
6. 13 में से 12 घटाया जाता है, उत्तर मिलता है 1. अगले अंक की संख्या फिर से हटा दी जाती है - 6.
7. 16 को फिर से 4 से विभाजित किया गया है। उत्तर को 4 के रूप में लिखा गया है, और विभाजन कॉलम में - 16, और अंतर को 0 के रूप में निकाला गया है।

अपने बच्चे के साथ लंबे विभाजन के उदाहरणों को कई बार हल करके, आप मिडिल स्कूल में समस्याओं को शीघ्रता से पूरा करने में सफलता प्राप्त कर सकते हैं।

बहु-अंकीय संख्याओं को एक कॉलम से विभाजित करने का सबसे आसान तरीका है। स्तम्भ विभाजन भी कहा जाता है कोने का विभाजन.

इससे पहले कि हम एक कॉलम द्वारा विभाजन करना शुरू करें, हम एक कॉलम द्वारा रिकॉर्डिंग विभाजन के स्वरूप पर विस्तार से विचार करेंगे। सबसे पहले, लाभांश लिखें और उसके दाईं ओर एक लंबवत रेखा लगाएं:

ऊर्ध्वाधर रेखा के पीछे, लाभांश के विपरीत, भाजक लिखें और उसके नीचे एक क्षैतिज रेखा खींचें:

क्षैतिज रेखा के नीचे परिणामी भागफल को चरण दर चरण लिखा जाएगा:

मध्यवर्ती गणनाएँ लाभांश के अंतर्गत लिखी जाएंगी:

डिवीजन बाई कॉलम लिखने का पूर्ण रूप इस प्रकार है:

कॉलम से कैसे विभाजित करें

मान लीजिए कि हमें 780 को 12 से विभाजित करना है, कार्रवाई को एक कॉलम में लिखना है और विभाजन के लिए आगे बढ़ना है:

स्तम्भ विभाजन चरणों में किया जाता है। पहली चीज़ जो हमें करने की ज़रूरत है वह अपूर्ण लाभांश का निर्धारण करना है। हम लाभांश के पहले अंक को देखते हैं:

यह संख्या 7 है, चूँकि यह भाजक से छोटी है, हम इससे विभाजन शुरू नहीं कर सकते, जिसका अर्थ है कि हमें भाज्य से एक और अंक लेने की आवश्यकता है, संख्या 78 भाजक से बड़ी है, इसलिए हम इससे विभाजन शुरू करते हैं:

हमारे मामले में संख्या 78 होगी अपूर्ण विभाज्य, इसे अपूर्ण इसलिए कहा जाता है क्योंकि यह विभाज्य का एक भाग मात्र है।

अपूर्ण लाभांश निर्धारित करने के बाद, हम यह पता लगा सकते हैं कि भागफल में कितने अंक होंगे, इसके लिए हमें गणना करनी होगी कि अपूर्ण लाभांश के बाद लाभांश में कितने अंक बचे हैं, हमारे मामले में केवल एक अंक है - 0, यह इसका मतलब है कि भागफल 2 अंकों से मिलकर बनेगा।

भागफल में कितने अंक होने चाहिए यह पता करके आप उसके स्थान पर बिंदु लगा सकते हैं। यदि, भाग पूरा करते समय, अंकों की संख्या संकेतित बिंदुओं से अधिक या कम हो जाती है, तो कहीं न कहीं कोई त्रुटि हुई है:

आइये बांटना शुरू करें. हमें यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि संख्या 78 में 12 कितनी बार समाहित है। ऐसा करने के लिए, हम विभाजक को प्राकृतिक संख्याओं 1, 2, 3, ... से क्रमिक रूप से गुणा करते हैं जब तक कि हमें अपूर्ण लाभांश के जितना करीब संभव हो उतनी संख्या न मिल जाए। या इसके बराबर, लेकिन इससे अधिक नहीं। इस प्रकार, हमें संख्या 6 मिलती है, इसे भाजक के नीचे लिखें, और 78 से (स्तंभ घटाव के नियमों के अनुसार) हम 72 (12 · 6 = 72) घटाते हैं। 78 में से 72 घटाने पर शेषफल 6 है:

कृपया ध्यान दें कि भाग का शेष भाग हमें दिखाता है कि हमने संख्या सही ढंग से चुनी है या नहीं। यदि शेषफल भाजक के बराबर या उससे अधिक है, तो हमने संख्या सही ढंग से नहीं चुनी है और हमें बड़ी संख्या लेने की आवश्यकता है।

परिणामी शेषफल - 6 में, लाभांश का अगला अंक - 0 जोड़ें। परिणामस्वरूप, हमें अपूर्ण लाभांश - 60 मिलता है। निर्धारित करें कि संख्या 60 में 12 कितनी बार समाहित है। हमें संख्या 5 मिलती है, इसे इसमें लिखें संख्या 6 के बाद भागफल, और 60 में से 60 घटाएँ (12 5 = 60)। शेषफल शून्य है:

चूंकि लाभांश में कोई और अंक नहीं बचा है, इसका मतलब है कि 780 पूरी तरह से 12 से विभाजित हो गया है। दीर्घ विभाजन करने के परिणामस्वरूप, हमें भागफल मिला - यह भाजक के नीचे लिखा गया है:

आइए एक उदाहरण पर विचार करें जब भागफल का परिणाम शून्य होता है। मान लीजिए कि हमें 9027 को 9 से विभाजित करना है।

हम अपूर्ण लाभांश का निर्धारण करते हैं - यह संख्या 9 है। हम भागफल में 1 लिखते हैं और 9 में से 9 घटाते हैं। शेष शून्य है। आमतौर पर, यदि मध्यवर्ती गणना में शेषफल शून्य है, तो इसे लिखा नहीं जाता है:

हम लाभांश का अगला अंक घटाते हैं - 0. हमें याद है कि शून्य को किसी भी संख्या से विभाजित करने पर शून्य ही आएगा. हम भागफल (0: 9 = 0) में शून्य लिखते हैं और मध्यवर्ती गणना में 0 में से 0 घटाते हैं। आमतौर पर, मध्यवर्ती गणना को अव्यवस्थित न करने के लिए, शून्य के साथ गणना नहीं लिखी जाती है:

हम लाभांश का अगला अंक निकालते हैं - 2। मध्यवर्ती गणना में यह पता चला कि अपूर्ण लाभांश (2) भाजक (9) से कम है। इस स्थिति में, भागफल में शून्य लिखें और लाभांश का अगला अंक हटा दें:

हम यह निर्धारित करते हैं कि संख्या 27 में कितनी बार 9 समाहित है। हमें संख्या 3 मिलती है, इसे भागफल के रूप में लिखते हैं, और 27 में से 27 घटाते हैं। शेषफल शून्य होता है:

चूंकि लाभांश में कोई और अंक नहीं बचा है, इसका मतलब है कि संख्या 9027 पूरी तरह से 9 से विभाजित हो गई है:

आइए एक उदाहरण पर विचार करें जब लाभांश शून्य पर समाप्त होता है। मान लीजिए कि हमें 3000 को 6 से विभाजित करना है।

हम अपूर्ण लाभांश का निर्धारण करते हैं - यह संख्या 30 है। हम भागफल में 5 लिखते हैं और 30 में से 30 घटाते हैं। शेष शून्य है। जैसा कि पहले ही बताया जा चुका है, मध्यवर्ती गणनाओं में शेषफल में शून्य लिखना आवश्यक नहीं है:

हम लाभांश का अगला अंक - 0 हटाते हैं। चूँकि शून्य को किसी भी संख्या से विभाजित करने पर परिणाम शून्य आएगा, हम भागफल में शून्य लिखते हैं और मध्यवर्ती गणना में 0 में से 0 घटाते हैं:

हम लाभांश का अगला अंक - 0 हटाते हैं। हम भागफल में एक और शून्य लिखते हैं और मध्यवर्ती गणना में 0 में से 0 घटाते हैं। चूँकि मध्यवर्ती गणना में शून्य के साथ गणना आमतौर पर नहीं लिखी जाती है, इसलिए प्रविष्टि को छोटा किया जा सकता है, केवल छोड़कर शेष - 0. गणना के बिल्कुल अंत में शेष में शून्य आमतौर पर यह दिखाने के लिए लिखा जाता है कि विभाजन पूरा हो गया है:

चूँकि लाभांश में कोई और अंक नहीं बचा है, इसका मतलब है कि 3000 को 6 से पूर्णतः विभाजित किया गया है:

शेषफल सहित स्तम्भ विभाजन

मान लीजिए कि हमें 1340 को 23 से विभाजित करना है।

हम अपूर्ण लाभांश का निर्धारण करते हैं - यह संख्या 134 है। हम भागफल में 5 लिखते हैं और 134 में से 115 घटाते हैं। शेष 19 है:

हम लाभांश का अगला अंक - 0 निकालते हैं। हम निर्धारित करते हैं कि संख्या 190 में 23 कितनी बार समाहित है। हमें संख्या 8 मिलती है, इसे भागफल में लिखें, और 190 में से 184 घटाएँ। हमें शेष 6 प्राप्त होता है:

चूंकि लाभांश में कोई और अंक नहीं बचा है, इसलिए विभाजन समाप्त हो गया है। परिणाम 58 का अपूर्ण भागफल और 6 का शेषफल है:

1340: 23 = 58 (शेष 6)

शेषफल के साथ विभाजन के एक उदाहरण पर विचार करना बाकी है, जब लाभांश भाजक से कम हो। आइए हमें 3 को 10 से विभाजित करने की आवश्यकता है। हम देखते हैं कि 10 कभी भी संख्या 3 में शामिल नहीं होता है, इसलिए हम 0 को भागफल के रूप में लिखते हैं और 3 से 0 घटाते हैं (10 · 0 = 0)। एक क्षैतिज रेखा खींचिए और शेषफल लिखिए - 3:

3:10 = 0 (शेष 3)

दीर्घ विभाजन कैलकुलेटर

यह कैलकुलेटर आपको लॉन्ग डिवीजन करने में मदद करेगा। बस लाभांश और भाजक दर्ज करें और गणना बटन पर क्लिक करें।

इस गणित कार्यक्रम से आप बहुपदों को स्तंभ द्वारा विभाजित कर सकते हैं।
एक बहुपद को एक बहुपद से विभाजित करने का कार्यक्रम केवल समस्या का उत्तर नहीं देता है, यह स्पष्टीकरण के साथ एक विस्तृत समाधान प्रदान करता है, अर्थात। गणित और/या बीजगणित में ज्ञान का परीक्षण करने के लिए समाधान प्रक्रिया प्रदर्शित करता है।

यह कार्यक्रम सामान्य शिक्षा स्कूलों में हाई स्कूल के छात्रों के लिए परीक्षणों और परीक्षाओं की तैयारी करते समय, एकीकृत राज्य परीक्षा से पहले ज्ञान का परीक्षण करते समय और माता-पिता के लिए गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करने के लिए उपयोगी हो सकता है। या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर नियुक्त करना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या क्या आप अपना गणित या बीजगणित का होमवर्क यथाशीघ्र पूरा करना चाहते हैं? इस मामले में, आप विस्तृत समाधानों के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

इस प्रकार, आप अपना स्वयं का प्रशिक्षण और/या अपने छोटे भाई-बहनों का प्रशिक्षण संचालित कर सकते हैं, जबकि समस्याओं के समाधान के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ता है।

यदि आपको आवश्यकता हो या बहुपद को सरल बनाएंया बहुपदों को गुणा करें, तो इसके लिए हमारे पास एक बहुपद का सरलीकरण (गुणा) करने का एक अलग कार्यक्रम है

यह पाया गया कि इस समस्या को हल करने के लिए आवश्यक कुछ स्क्रिप्ट लोड नहीं की गईं, और प्रोग्राम काम नहीं कर सकता है।
हो सकता है कि आपके पास AdBlock सक्षम हो.
इस स्थिति में, इसे अक्षम करें और पृष्ठ को ताज़ा करें।

क्योंकि समस्या का समाधान करने के इच्छुक बहुत से लोग हैं, आपका अनुरोध कतारबद्ध हो गया है।
कुछ ही सेकंड में समाधान नीचे दिखाई देगा.
कृपया प्रतीक्षा करें सेकंड...

अगर आप समाधान में एक त्रुटि देखी गई, तो आप इसके बारे में फीडबैक फॉर्म में लिख सकते हैं।
भूलना नहीं बताएं कि कौन सा कार्य हैआप तय करें क्या फ़ील्ड में प्रवेश करें.

हमारे गेम, पहेलियाँ, एमुलेटर:

थोड़ा सिद्धांत.

एक बहुपद को एक स्तम्भ (कोने) द्वारा बहुपद (द्विपद) में विभाजित करना

बीजगणित में बहुपदों को एक स्तंभ (कोने) से विभाजित करना- एक बहुपद f(x) को एक बहुपद (द्विपद) g(x) से विभाजित करने के लिए एक एल्गोरिदम, जिसकी डिग्री बहुपद f(x) की डिग्री से कम या उसके बराबर है।

बहुपद-दर-बहुपद विभाजन एल्गोरिथ्म संख्याओं के स्तंभ विभाजन का एक सामान्यीकृत रूप है जिसे आसानी से हाथ से कार्यान्वित किया जा सकता है।

किसी भी बहुपद \(f(x) \) और \(g(x) \), \(g(x) \neq 0 \) के लिए अद्वितीय बहुपद \(q(x) \) और \(r( x ) \), ऐसा कि
\(\frac(f(x))(g(x)) = q(x)+\frac(r(x))(g(x)) \)
और \(r(x)\) की डिग्री \(g(x)\) से कम है।

बहुपदों को एक स्तंभ (कोने) में विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम का लक्ष्य किसी दिए गए लाभांश \(f(x) \) के लिए भागफल \(q(x) \) और शेषफल \(r(x) \) ज्ञात करना है। और गैर-शून्य भाजक \(g(x) \)

उदाहरण

आइए एक स्तंभ (कोने) का उपयोग करके एक बहुपद को दूसरे बहुपद (द्विपद) से विभाजित करें:
\(\बड़ा \frac(x^3-12x^2-42)(x-3) \)

इन बहुपदों का भागफल और शेषफल निम्नलिखित चरणों का पालन करके ज्ञात किया जा सकता है:
1. लाभांश के पहले तत्व को भाजक के उच्चतम तत्व से विभाजित करें, परिणाम को पंक्ति \((x^3/x = x^2)\) के नीचे रखें

3. गुणा के बाद प्राप्त बहुपद को लाभांश से घटाएं, परिणाम को पंक्ति के नीचे लिखें \((x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x- 42)\)

4. रेखा के नीचे लिखे बहुपद को लाभांश के रूप में उपयोग करते हुए, पिछले 3 चरणों को दोहराएं।

5. चरण 4 दोहराएँ.

6. एल्गोरिथम का अंत.
इस प्रकार, बहुपद \(q(x)=x^2-9x-27\) बहुपदों के विभाजन का भागफल है, और \(r(x)=-123\) बहुपदों के विभाजन का शेषफल है।

बहुपदों को विभाजित करने का परिणाम दो समानताओं के रूप में लिखा जा सकता है:
\(x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123\)
या
\(\large(\frac(x^3-12x^2-42)(x-3)) = x^2-9x-27 + \large(\frac(-123)(x-3)) \)

कक्षा 2-3 के बच्चे एक नया गणितीय संक्रिया - विभाजन सीख रहे हैं। एक छात्र के लिए इस गणितीय संक्रिया का सार समझना आसान नहीं है, इसलिए उसे अपने माता-पिता की सहायता की आवश्यकता होती है। माता-पिता को यह समझने की ज़रूरत है कि अपने बच्चे को नई जानकारी कैसे प्रस्तुत करें। शीर्ष 10 उदाहरण माता-पिता को बताएंगे कि बच्चों को एक कॉलम में संख्याओं को विभाजित करना कैसे सिखाया जाए।

खेल के रूप में दीर्घ विभाजन सीखना

बच्चे स्कूल में थक जाते हैं, वे पाठ्यपुस्तकों से थक जाते हैं। इसलिए, माता-पिता को पाठ्यपुस्तकों को छोड़ने की जरूरत है। जानकारी को एक मनोरंजक खेल के रूप में प्रस्तुत करें।

आप इस प्रकार कार्य निर्धारित कर सकते हैं:

1 अपने बच्चे के लिए खेल के माध्यम से सीखने के लिए एक जगह व्यवस्थित करें।उसके खिलौनों को एक घेरे में रखें और बच्चे को नाशपाती या कैंडी दें। विद्यार्थी से 4 कैंडीज़ को 2 या 3 गुड़ियों के बीच बाँटने को कहें। बच्चे की ओर से समझ हासिल करने के लिए, धीरे-धीरे कैंडीज की संख्या बढ़ाकर 8 और 10 करें। भले ही बच्चे को कार्रवाई करने में लंबा समय लगे, उस पर दबाव न डालें या चिल्लाएं नहीं। आपको धैर्य की आवश्यकता होगी. अगर आपका बच्चा कुछ गलत करता है तो शांति से उसे सुधारें। फिर, खेल में प्रतिभागियों के बीच कैंडीज़ को विभाजित करने की पहली क्रिया पूरी करने के बाद, वह उससे यह गणना करने के लिए कहेगा कि प्रत्येक खिलौने में कितनी कैंडीज़ गईं। अब निष्कर्ष. यदि 8 कैंडी और 4 खिलौने थे, तो प्रत्येक को 2 कैंडी मिलीं। अपने बच्चे को यह समझने दें कि साझा करने का मतलब सभी खिलौनों में समान मात्रा में कैंडी बांटना है।

2 आप संख्याओं का उपयोग करके गणित की संक्रियाएँ सिखा सकते हैं।विद्यार्थी को यह समझने दें कि संख्याओं को नाशपाती या कैंडी के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है। मान लें कि विभाजित की जाने वाली नाशपाती की संख्या ही लाभांश है। और जिन खिलौनों में कैंडी है उनकी संख्या भाजक है।

3 अपने बच्चे को 6 नाशपाती दें।उसे एक कार्य दें: नाशपाती की संख्या को दादा, कुत्ते और पिताजी के बीच विभाजित करना। फिर उसे दादाजी और पिताजी के बीच 6 नाशपाती बांटने के लिए कहें। अपने बच्चे को कारण बताएं कि डिवीजन का परिणाम अलग क्यों था।

4 अपने विद्यार्थी को शेषफल से विभाजन के बारे में सिखाएं।अपने बच्चे को 5 कैंडी दें और उसे बिल्ली और पिता के बीच समान रूप से वितरित करने के लिए कहें। बच्चे के पास 1 कैंडी बचेगी। अपने बच्चे को बताएं कि ऐसा क्यों हुआ। इस गणितीय संक्रिया पर अलग से विचार किया जाना चाहिए, क्योंकि इससे कठिनाइयाँ पैदा हो सकती हैं।

खेल-खेल में सीखने से आपके बच्चे को संख्याओं को विभाजित करने की पूरी प्रक्रिया को तुरंत समझने में मदद मिल सकती है।वह यह सीख सकेगा कि सबसे बड़ी संख्या सबसे छोटी संख्या से विभाज्य होती है या इसके विपरीत। अर्थात्, सबसे बड़ी संख्या कैंडी है, और सबसे छोटी संख्या प्रतिभागियों की है। कॉलम 1 में संख्या कैंडीज की संख्या होगी, और 2 में प्रतिभागियों की संख्या होगी।

अपने बच्चे पर नए ज्ञान का बोझ न डालें। आपको धीरे-धीरे सीखने की जरूरत है. जब पिछली सामग्री समेकित हो जाए तो आपको नई सामग्री की ओर बढ़ने की आवश्यकता है।

गुणन सारणी का उपयोग करके दीर्घ विभाजन सीखना

5वीं कक्षा तक के विद्यार्थियों को यदि गुणा की अच्छी समझ होगी तो वे भाग को अधिक तेजी से समझ सकेंगे।

माता-पिता को यह समझाने की ज़रूरत है कि भाग गुणन सारणी के समान है। केवल क्रियाएं विपरीत हैं। स्पष्टता के लिए, हमें एक उदाहरण देना होगा:

• विद्यार्थी को 6 और 5 के मानों को स्वतंत्र रूप से गुणा करने के लिए कहें। उत्तर 30 है।
• छात्र को बताएं कि संख्या 30 दो संख्याओं: 6 और 5 के साथ एक गणितीय संक्रिया का परिणाम है। अर्थात्, गुणन का परिणाम।
• 30 को 6 से विभाजित करें। गणितीय संक्रिया का परिणाम 5 है। छात्र यह देख पाएंगे कि भाग गुणा के समान है, लेकिन विपरीत में।

यदि बच्चे ने इसमें अच्छी तरह से महारत हासिल कर ली है तो आप भाग को दर्शाने के लिए गुणन तालिका का उपयोग कर सकते हैं।

एक नोटबुक में दीर्घ विभाजन सीखना

सीखना तब शुरू होना चाहिए जब छात्र खेल और गुणन सारणी का उपयोग करके अभ्यास में भाग के बारे में सामग्री को समझता है।

आपको सरल उदाहरणों का उपयोग करके, इस तरह से विभाजित करना शुरू करना होगा। तो, 105 को 5 से विभाजित करें।

गणितीय संक्रिया को विस्तार से समझाने की आवश्यकता है:

• अपनी नोटबुक में एक उदाहरण लिखें: 105 को 5 से विभाजित करें।
• इसे वैसे ही लिखें जैसे आप लंबे विभाजन के लिए लिखते हैं।
• बता दें कि 105 लाभांश है और 5 भाजक है।
• एक छात्र के साथ, 1 संख्या की पहचान करें जिसे विभाजित किया जा सकता है। लाभांश का मान 1 है, यह आंकड़ा 5 से विभाज्य नहीं है। लेकिन दूसरी संख्या 0 है। परिणाम 10 है, इस मान को इस उदाहरण में विभाजित किया जा सकता है। अंक 5 को अंक 10 में दो बार शामिल किया गया है।
• विभाजन कॉलम में संख्या 5 के नीचे संख्या 2 लिखें।
• अपने बच्चे को संख्या 5 को 2 से गुणा करने के लिए कहें। गुणा का परिणाम 10 है। यह मान संख्या 10 के नीचे लिखा जाना चाहिए। इसके बाद, आपको कॉलम में घटाव चिह्न लिखना होगा। 10 में से आपको 10 घटाना होगा। आपको 0 मिलेगा।
• घटाव से प्राप्त संख्या को कॉलम में लिखें - 0. 105 में एक संख्या बची है जो विभाजन में शामिल नहीं थी - 5. इस संख्या को लिखने की आवश्यकता है।
• परिणाम 5 है। इस मान को 5 से विभाजित किया जाना चाहिए। परिणाम संख्या 1 है। यह संख्या 5 के अंतर्गत लिखी जानी चाहिए। विभाजन का परिणाम 21 है।

माता-पिता को यह समझाने की ज़रूरत है कि इस विभाजन का कोई शेष नहीं है।

आप संख्याओं से विभाजन शुरू कर सकते हैं 6,8,9, फिर जाएं 22, 44, 66 , और फिर को 232, 342, 345 , और इसी तरह।

शेषफल सहित सीखना विभाजन

एक बार जब बच्चा विभाजन के बारे में सामग्री में निपुण हो जाए, तो आप कार्य को और अधिक कठिन बना सकते हैं। शेषफल के साथ विभाजन सीखने का अगला चरण है। आपको उपलब्ध उदाहरणों का उपयोग करके समझाने की आवश्यकता है:

• अपने बच्चे को 35 को 8 से विभाजित करने के लिए आमंत्रित करें। समस्या को कॉलम में लिखें।
• अपने बच्चे के लिए इसे यथासंभव स्पष्ट बनाने के लिए, आप उसे गुणन सारणी दिखा सकते हैं। तालिका स्पष्ट रूप से दर्शाती है कि संख्या 35 में संख्या 8 4 बार शामिल है।
• संख्या 35 के नीचे संख्या 32 लिखिए।
• बच्चे को 35 में से 32 घटाना है। परिणाम 3 है। संख्या 3 शेषफल है।

एक बच्चे के लिए सरल उदाहरण

हम उसी उदाहरण को जारी रख सकते हैं:

• 35 को 8 से विभाजित करने पर शेषफल 3 आता है। आपको शेषफल में 0 जोड़ना होगा। इस स्थिति में, कॉलम में संख्या 4 के बाद आपको अल्पविराम लगाना होगा। अब परिणाम आंशिक होगा.
• 30 को 8 से विभाजित करने पर परिणाम 3 आता है। यह संख्या दशमलव बिंदु के बाद लिखी जानी चाहिए।
• अब आपको मान 30 के नीचे 24 लिखना है (8 को 3 से गुणा करने का परिणाम)। परिणाम 6 होगा। आपको संख्या 6 में एक शून्य भी जोड़ना होगा। यह 60 हो जाएगा.
• संख्या 60 में संख्या 8 को 7 बार शामिल किया गया है। यानी 56 हो गया.
• 56 में से 60 घटाने पर परिणाम 4 आता है। इस संख्या पर भी 0 हस्ताक्षर करना होगा। परिणाम 40 है। गुणन तालिका में, एक बच्चा देख सकता है कि 8 को 5 से गुणा करने पर 40 प्राप्त होता है। यानी संख्या 40 में संख्या 8 को 5 बार शामिल किया गया है। कोई शेष नहीं है. उत्तर इस प्रकार दिखता है - 4.375.

यह उदाहरण किसी बच्चे को कठिन लग सकता है। इसलिए, आपको उन मानों को विभाजित करने की आवश्यकता है जिनका शेषफल कई बार होगा।

खेलों के माध्यम से शिक्षण प्रभाग

माता-पिता अपने छात्रों को पढ़ाने के लिए डिवीज़न गेम का उपयोग कर सकते हैं। आप अपने बच्चे को रंग भरने वाली किताबें दे सकते हैं जिसमें आपको पेंसिल का रंग बांटकर निर्धारित करना होता है। आपको आसान उदाहरणों वाले रंग पेज चुनने की ज़रूरत है ताकि बच्चा अपने दिमाग में उदाहरणों को हल कर सके।

चित्र को विभाजन के परिणामों वाले भागों में विभाजित किया जाएगा। और उपयोग किए जाने वाले रंग उदाहरण होंगे. उदाहरण के लिए, लाल रंग को एक उदाहरण के साथ लेबल किया गया है: 15 को 3 से विभाजित करने पर आपको 5 प्राप्त होता है।आपको इस संख्या के नीचे चित्र का भाग ढूंढना होगा और उसे रंगना होगा। गणित के रंग भरने वाले पन्ने बच्चों का मन मोह लेते हैं। इसलिए अभिभावकों को पढ़ाने का यह तरीका आजमाना चाहिए।

स्तंभ द्वारा सबसे छोटी संख्या को सबसे बड़ी संख्या से विभाजित करना सीखना

इस विधि से विभाजन यह मानता है कि भागफल 0 से शुरू होगा और उसके बाद अल्पविराम आएगा।

छात्र को प्राप्त जानकारी को सही ढंग से आत्मसात करने के लिए, उसे ऐसी योजना का एक उदाहरण देना होगा।