गणितीय मॉडल   - गणितीय संबंधों की एक प्रणाली - सूत्र, समीकरण, असमानता, आदि, किसी वस्तु या घटना के आवश्यक गुणों को दर्शाती है।

प्रत्येक प्राकृतिक घटना अपनी जटिलता में अनंत है।। हम इसका उदाहरण वी। एन। की पुस्तक से लिए गए एक उदाहरण से करते हैं। ट्रॉस्टनिकोवा "मैन एंड इंफॉर्मेशन" (पब्लिशिंग हाउस "साइंस", 1970)।

आम आदमी गणित की समस्या को इस प्रकार तैयार करता है: "200 मीटर की ऊंचाई से एक पत्थर कब तक गिर जाएगा?"   गणितज्ञ इस तरह की समस्या का अपना संस्करण बनाना शुरू करेगा: "हम मानते हैं कि पत्थर शून्य में गिरता है और गुरुत्वाकर्षण का त्वरण 9.8 मीटर प्रति सेकंड प्रति सेकंड है। फिर ...

- मुझे करने दो   - ग्राहक कह सकता है, - मुझे यह सरलीकरण पसंद नहीं है। मैं वास्तव में जानना चाहता हूं कि पत्थर वास्तविक परिस्थितियों में कब तक गिरता रहेगा, और किसी भी शून्य में नहीं।

- अच्छी तरह से,   - गणितज्ञ सहमत हैं। - हम मानते हैं कि पत्थर का एक गोलाकार आकार और व्यास है ... इसका अनुमानित व्यास क्या है?

- लगभग पाँच सेंटीमीटर। लेकिन यह सब गोलाकार नहीं है, बल्कि आयताकार है।

- फिर हम मान लेते हैं कि वहएक दीर्घवृत्त का आकार है   आधा शाफ्ट के साथ चार, तीन और तीन सेंटीमीटर और वह क्यागिरता है ताकि अर्ध-प्रमुख अक्ष हर समय लंबवत रहे । हम हवा के दबाव को बराबर लेते हैं760 मिमीएचजी , यहाँ से हम हवा का घनत्व पाते हैं...

यदि "मानव" भाषा में कार्य को सेट करने वाला व्यक्ति गणितज्ञ के विचार में हस्तक्षेप नहीं करता है, तो उत्तरार्द्ध थोड़ी देर बाद एक संख्यात्मक उत्तर देगा। लेकिन "उपभोक्ता" अभी भी आपत्ति कर सकता है: पत्थर वास्तव में दीर्घवृत्त नहीं है, उस स्थान पर हवा का दबाव और उस समय 760 मिमी एचजी, आदि के बराबर नहीं था। गणितज्ञ उसे क्या जवाब देंगे?

वह इसका जवाब देगा एक वास्तविक समस्या का एक सटीक समाधान आम तौर पर असंभव है। इतना ही नहीं पत्थर की आकृतिजो वायु प्रतिरोध को प्रभावित करता है, किसी भी गणितीय समीकरण के साथ वर्णन करना असंभव है; उड़ान में इसका रोटेशन भी गणित के अधीन नहीं है   इसकी जटिलता के कारण। आगे, हवा सजातीय नहीं है,   चूंकि, यादृच्छिक कारकों की कार्रवाई के परिणामस्वरूप, इसमें घनत्व में उतार-चढ़ाव का उतार-चढ़ाव उत्पन्न होता है। यदि आप और भी गहरे जाते हैं, तो आपको उस पर विचार करने की आवश्यकता है सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार, प्रत्येक शरीर हर दूसरे शरीर पर कार्य करता है। यह इस प्रकार है कि दीवार घड़ी का पेंडुलम भी पत्थर के प्रक्षेपवक्र को अपने आंदोलन से बदल देता है।

संक्षेप में, यदि हम गंभीरता से किसी वस्तु के व्यवहार की सही जांच करना चाहते हैं, तो हमें पहले ब्रह्मांड की अन्य सभी वस्तुओं के स्थान और गति का पता लगाना होगा। और वह, ज़ाहिर है। असंभव।

सबसे प्रभावी गणितीय मॉडल को एक एल्गोरिथम मॉडल के रूप में कंप्यूटर पर लागू किया जा सकता है - तथाकथित "कम्प्यूटेशनल प्रयोग" (देखें [1], पैरा 26)।

बेशक, एक कम्प्यूटेशनल प्रयोग के परिणाम सही नहीं हो सकते हैं, अगर मॉडल में वास्तविकता के कुछ महत्वपूर्ण पहलुओं को ध्यान में नहीं रखा गया है।

इसलिए, समस्या को हल करने के लिए एक गणितीय मॉडल बनाना, आपको आवश्यकता है:

  1. उन मान्यताओं को उजागर करें जिन पर गणितीय मॉडल आधारित होगा;
2. निर्धारित करें कि प्रारंभिक डेटा और परिणामों के रूप में क्या विचार करें;
3. स्रोत डेटा के साथ परिणामों को जोड़ने वाले गणितीय संबंधों को लिखें।

गणितीय मॉडल का निर्माण करते समय, डेटा के संदर्भ में मांगी गई मात्राओं को स्पष्ट रूप से व्यक्त करने वाले सूत्रों को खोजना हमेशा संभव होता है। ऐसे मामलों में, गणितीय तरीकों का उपयोग सटीकता की बदलती डिग्री के जवाब देने के लिए किया जाता है। किसी भी घटना का केवल गणितीय मॉडलिंग नहीं है, बल्कि दृश्य-क्षेत्र मॉडलिंग भी है, जो इन ग्राफिक्स को कंप्यूटर ग्राफिक्स के माध्यम से प्रदर्शित करके प्रदान किया जाता है, अर्थात्। शोधकर्ता के सामने एक अजीबोगरीब "कंप्यूटर कार्टून" दिखाया गया है, जिसे वास्तविक समय में फिल्माया गया है। यहां दृश्यता बहुत अधिक है।

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गणित का मॉडलb वास्तविकता का गणितीय प्रतिनिधित्व है।

गणितीय मॉडलिंग- गणितीय मॉडल के निर्माण और अध्ययन की प्रक्रिया।

गणितीय तंत्र का उपयोग करने वाले सभी प्राकृतिक और सामाजिक विज्ञान अनिवार्य रूप से गणितीय मॉडलिंग में लगे हुए हैं: वे वास्तविक वस्तु को उसके गणितीय मॉडल से बदल देते हैं और फिर बाद का अध्ययन करते हैं।

परिभाषाएं।

कोई भी परिभाषा गणितीय मॉडलिंग में वास्तव में मौजूदा गतिविधि को पूरी तरह से कवर नहीं कर सकती है। इसके बावजूद, परिभाषाएं उपयोगी हैं कि वे सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं को उजागर करने का प्रयास करते हैं।

ए। ए। लायपुनोव के अनुसार एक मॉडल की परिभाषा: मॉडलिंग किसी वस्तु का एक अप्रत्यक्ष व्यावहारिक या सैद्धांतिक अध्ययन है, जिसमें हमारे लिए यह सीधे तौर पर ब्याज की वस्तु नहीं है जिसका सीधे अध्ययन किया जाता है, लेकिन कुछ सहायक कृत्रिम या प्राकृतिक प्रणाली:

जानने योग्य वस्तु के साथ कुछ उद्देश्य पत्राचार में होना;

कुछ मामलों में इसे बदलने में सक्षम;

अपने शोध के दौरान, अंततः, नकली वस्तु के बारे में ही जानकारी दी।

सोवेतोव और याकोवलेव की पाठ्यपुस्तक के अनुसार: "एक मॉडल मूल वस्तु का एक स्थानापन्न वस्तु है, जो मूल के कुछ गुणों का अध्ययन प्रदान करता है।" गणितीय मॉडलिंग, हम एक गणितीय वस्तु नामक गणितीय वस्तु की वास्तविक वस्तु के अनुपालन की प्रक्रिया को समझते हैं, और इस मॉडल का अध्ययन, जो चरित्र प्राप्त करने की अनुमति देता है लाठी एक वास्तविक वस्तु माना जाता है। गणितीय मॉडल का प्रकार वास्तविक वस्तु की प्रकृति और वस्तु पर शोध के कार्यों और इस समस्या को हल करने के लिए आवश्यक विश्वसनीयता और सटीकता दोनों पर निर्भर करता है। "

समरस्की और मिखाइलोव के अनुसार, एक गणितीय मॉडल किसी वस्तु का "समतुल्य" होता है, जो गणितीय रूप में उसके सबसे महत्वपूर्ण गुणों को दर्शाता है: जिन कानूनों का वह पालन करता है, उसके घटक भागों में निहित कनेक्शन आदि "मॉडल-एल्गोरिथ्म-प्रोग्राम" की एक त्रय है। । "मॉडल-अल्गोरिदम-प्रोग्राम" ट्रायड बनाने के बाद, शोधकर्ता अपने हाथों में एक बहुमुखी, लचीला और सस्ता उपकरण प्राप्त करता है, जिसे पहले परीक्षण कंप्यूटिंग प्रयोगों में डिबग और परीक्षण किया जाता है। प्रारंभिक वस्तु के लिए त्रय की पर्याप्तता स्थापित होने के बाद, विभिन्न और विस्तृत "प्रयोग" मॉडल के साथ किए जाते हैं, जिससे सभी आवश्यक गुणात्मक और मात्रात्मक गुण और वस्तु की विशेषताएं होती हैं।

माईशकिस के मोनोग्राफ के अनुसार: “सामान्य परिभाषा पर चलते हैं। मान लीजिए कि हम एक वास्तविक वस्तु के गुणों के कुछ सेट एस के साथ जांच करने जा रहे हैं

गणित का उपयोग कर। ऐसा करने के लिए, हम "गणितीय वस्तु" का चयन करते हैं - "समीकरणों की एक प्रणाली, या अंकगणित संबंध, या ज्यामितीय आंकड़े, या दोनों का एक संयोजन, आदि - जो कि गणित के माध्यम से अध्ययन में एस के गुणों के बारे में पूछे गए सवालों का जवाब देना चाहिए।" स्थितियाँ "को उसके गुणों के सेट S के सापेक्ष वस्तु का गणितीय मॉडल कहा जाता है।"

A. G. Sevostyanov के अनुसार: "गणितीय संबंधों, समीकरणों, असमानताओं आदि का एक सेट, जिसका अध्ययन प्रक्रिया, वस्तु या प्रणाली में निहित बुनियादी कानूनों का वर्णन किया जाता है, एक गणितीय मॉडल कहलाता है।"

ऑटोमेटा के सिद्धांत से उधार लिया गया "इनपुट - आउटपुट - राज्य" के आदर्श पर आधारित गणितीय मॉडल की थोड़ी कम सामान्य परिभाषा, विक्षनरी देता है: "एक प्रक्रिया, उपकरण, या सैद्धांतिक विचार का एक सार गणितीय प्रतिनिधित्व; यह आदानों, आउटपुट और आंतरिक राज्यों का प्रतिनिधित्व करने के लिए चर का एक सेट का उपयोग करता है, साथ ही साथ उनकी बातचीत का वर्णन करने के लिए समीकरणों और असमानताओं के सेट का भी उपयोग करता है। "

अंत में, गणितीय मॉडल की सबसे संक्षिप्त परिभाषा: "एक समीकरण एक विचार व्यक्त करता है।"

मॉडल का औपचारिक वर्गीकरण।

मॉडल का औपचारिक वर्गीकरण गणितीय उपकरणों के उपयोग के वर्गीकरण पर आधारित है। अक्सर डाइकोटोमिज़ के रूप में बनाया जाता है। उदाहरण के लिए, डायकोटोमियों के लोकप्रिय सेटों में से एक:

रैखिक या नॉनलाइनर मॉडल; केंद्रित या वितरित सिस्टम; नियतात्मक या स्टोचैस्टिक; स्थिर या गतिशील; असत या निरंतर।

और इसी तरह। प्रत्येक निर्मित मॉडल रैखिक या गैर-रैखिक, नियतात्मक या स्टोचैस्टिक है ... स्वाभाविक रूप से, मिश्रित प्रकार संभव हैं: एक सम्मान में केंद्रित, दूसरे में वितरित मॉडल, आदि।

ऑब्जेक्ट का प्रतिनिधित्व करने के तरीके से वर्गीकरण।

औपचारिक वर्गीकरण के साथ, मॉडल वस्तु के प्रतिनिधित्व के तरीके में भिन्न होते हैं:

संरचनात्मक मॉडल ऑब्जेक्ट को अपने डिवाइस और कार्यप्रणाली के तंत्र के रूप में दर्शाते हैं। कार्यात्मक मॉडल ऐसे प्रतिनिधित्व का उपयोग नहीं करते हैं और केवल वस्तु के बाहरी रूप से कथित व्यवहार को दर्शाते हैं। अपनी चरम अभिव्यक्ति में, उन्हें "ब्लैक बॉक्स" मॉडल भी कहा जाता है। संयुक्त प्रकार के मॉडल भी संभव हैं, जिन्हें कभी-कभी "ग्रे बॉक्स" मॉडल भी कहा जाता है।

गणितीय मॉडलिंग की प्रक्रिया का वर्णन करने वाले लगभग सभी लेखक इंगित करते हैं कि एक विशेष आदर्श निर्माण, एक सार्थक मॉडल, पहले बनाया गया है। यहां कोई स्थापित शब्दावली नहीं है, और अन्य लेखक इस आदर्श वस्तु को एक वैचारिक मॉडल, एक सट्टा मॉडल या पूर्व-मॉडल कहते हैं। इस मामले में, अंतिम गणितीय निर्माण को औपचारिक मॉडल कहा जाता है या इस पर्याप्त मॉडल की औपचारिकता के परिणामस्वरूप प्राप्त गणितीय मॉडल। अर्थपूर्ण मॉडल का निर्माण, तैयार किए गए आदर्शों के एक सेट का उपयोग करके किया जा सकता है, जैसा कि यांत्रिकी में है, जहां आदर्श स्प्रिंग्स, ठोस, आदर्श पेंडुलम, लोचदार मीडिया, आदि सार्थक मॉडलिंग के लिए तैयार संरचनात्मक तत्व प्रदान करते हैं। हालांकि, ज्ञान के क्षेत्रों में जहां पूरी तरह से औपचारिक सिद्धांत नहीं हैं, सार्थक मॉडल का निर्माण बहुत जटिल है।

R. Peierls के काम में, भौतिकी में प्रयुक्त गणितीय मॉडल का वर्गीकरण और, अधिक व्यापक रूप से, प्राकृतिक विज्ञानों में दिया गया है। ए। एन। गोर्बन और आर। जी। खलीबोप्रोस की पुस्तक में, इस वर्गीकरण का विश्लेषण और विस्तार किया गया है। यह वर्गीकरण मुख्य रूप से एक सार्थक मॉडल के निर्माण के चरण पर केंद्रित है।

ये मॉडल "घटना के एक अस्थायी विवरण का प्रतिनिधित्व करते हैं, और लेखक या तो इसकी संभावना पर विश्वास करता है या इसे भी सच मानता है"। R. Peierls के अनुसार, यह, उदाहरण के लिए, टॉलेमी के अनुसार सौर मंडल का मॉडल और कोपरनिकस का मॉडल, रदरफोर्ड परमाणु का मॉडल और बिग बैंग का मॉडल है।

विज्ञान में कोई भी परिकल्पना एक बार और सभी के लिए सिद्ध नहीं होती है। यह रिचर्ड फेनमैन द्वारा बहुत स्पष्ट रूप से कहा गया था:

“हमारे पास हमेशा सिद्धांत का खंडन करने का अवसर होता है, लेकिन, ध्यान दें, हम कभी साबित नहीं कर सकते कि यह सही है। मान लीजिए कि आपने एक सफल परिकल्पना को आगे बढ़ाया, गणना करें कि इससे क्या होता है, और पता करें कि इसके सभी परिणाम प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि किए जाते हैं। क्या इसका मतलब यह है कि आपका सिद्धांत सही है? नहीं, इसका सीधा सा मतलब है कि आप इसका खंडन करने में असमर्थ थे। ”

यदि पहले प्रकार का मॉडल बनाया गया है, तो इसका मतलब है कि इसे अस्थायी रूप से सच माना जाता है और कोई अन्य समस्याओं पर ध्यान केंद्रित कर सकता है। हालांकि, यह शोध का एक बिंदु नहीं हो सकता है, लेकिन केवल एक अस्थायी ठहराव है: पहले प्रकार के मॉडल की स्थिति केवल अस्थायी हो सकती है।

घटना के मॉडल में घटना का वर्णन करने के लिए एक तंत्र होता है। हालांकि, यह तंत्र पर्याप्त रूप से आश्वस्त नहीं है, उपलब्ध डेटा द्वारा पर्याप्त रूप से पुष्टि नहीं की जा सकती है, या वस्तु के बारे में मौजूदा सिद्धांतों और संचित ज्ञान से अच्छी तरह सहमत नहीं है। इसलिए, घटना संबंधी मॉडल में अस्थायी समाधान की स्थिति होती है। यह माना जाता है कि उत्तर अभी भी अज्ञात है और "सच्चे तंत्र" की खोज जारी रखना आवश्यक है। Peierls दूसरे प्रकार को संदर्भित करता है, उदाहरण के लिए, कैलोरी मॉडल और प्राथमिक कणों का क्वार्क मॉडल।

अध्ययन में मॉडल की भूमिका समय के साथ बदल सकती है, ऐसा हो सकता है कि नए डेटा और सिद्धांत अभूतपूर्व मॉडल की पुष्टि करते हैं और वे इसके लिए तैयार होंगे

परिकल्पना की स्थिति। इसी तरह, नया ज्ञान धीरे-धीरे पहले प्रकार की परिकल्पना मॉडल के साथ संघर्ष में आ सकता है और जिन्हें दूसरे में स्थानांतरित किया जा सकता है। तो, क्वार्क मॉडल धीरे-धीरे एक परिकल्पना बन रहा है; भौतिकी में परमाणुवाद एक अस्थायी समाधान के रूप में उत्पन्न हुआ, लेकिन इतिहास के दौरान पहले प्रकार में पारित हुआ। लेकिन ईथर मॉडल टाइप 1 से टाइप 2 तक का लंबा सफर तय कर चुके हैं, और अब वे विज्ञान से बाहर हैं।

मॉडल बनाते समय सरलीकरण का विचार बहुत लोकप्रिय है। लेकिन सरलीकरण अलग है। Peierls मॉडलिंग में तीन प्रकार के सरलीकरणों को अलग करता है।

यदि अध्ययन के तहत प्रणाली का वर्णन करने वाले समीकरणों का निर्माण करना संभव है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि उन्हें कंप्यूटर का उपयोग करके भी हल किया जा सकता है। इस मामले में आम तौर पर स्वीकार की गई तकनीक सन्निकटन का उपयोग है। उनमें से रैखिक प्रतिक्रिया मॉडल हैं। समीकरणों को रैखिक लोगों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। एक मानक उदाहरण ओम का नियम है।

यदि हम पर्याप्त रूप से दुर्लभ गैसों का वर्णन करने के लिए आदर्श गैस मॉडल का उपयोग करते हैं, तो यह एक प्रकार 3 मॉडल है। उच्च गैस घनत्व पर, गुणात्मक समझ और अनुमानों के लिए एक आदर्श गैस के साथ एक सरल स्थिति की कल्पना करना भी उपयोगी है, लेकिन फिर यह पहले से ही टाइप 4 है।

टाइप 4 मॉडल में, विवरणों को खारिज कर दिया जाता है जो ध्यान देने योग्य हो सकते हैं और हमेशा नियंत्रित तरीके से परिणाम को प्रभावित नहीं करते हैं। समान समीकरण प्रकार 3 या 4 के मॉडल के रूप में काम कर सकते हैं - यह उस अध्ययन के लिए घटना पर निर्भर करता है जिसमें मॉडल का उपयोग किया जाता है। इसलिए, यदि रैखिक प्रतिक्रिया मॉडल का उपयोग अधिक जटिल मॉडल की अनुपस्थिति में किया जाता है, तो ये पहले से ही घटनात्मक रैखिक मॉडल हैं, और वे अगले प्रकार 4 से संबंधित हैं।

उदाहरण: एक आदर्श गैस मॉडल को एक गैर-आदर्श एक, वान डेर वाल्स राज्य के समीकरण, ठोस राज्य भौतिकी, तरल पदार्थ और परमाणु भौतिकी के अधिकांश मॉडल पर लागू करना। कणों की एक बड़ी संख्या से मिलकर निकायों के गुणों के लिए सूक्ष्म विवरण से रास्ता बहुत लंबा है। हमें कई विवरणों को त्यागना होगा। इससे टाइप 4 मॉडल बनते हैं।

हेयुरिस्टिक मॉडल वास्तविकता की केवल एक गुणात्मक समानता रखता है और केवल "परिमाण के क्रम में" भविष्यवाणियां देता है। एक विशिष्ट उदाहरण गतिज सिद्धांत में औसत मुक्त पथ सन्निकटन है। यह चिपचिपाहट, प्रसार और तापीय चालकता के गुणांक के लिए सरल सूत्र देता है, जो परिमाण के क्रम में वास्तविकता के अनुरूप होते हैं।

लेकिन नए भौतिकी का निर्माण करते समय, यह तुरंत एक मॉडल प्राप्त करता है जो किसी वस्तु का कम से कम गुणात्मक विवरण देता है - पांचवें प्रकार का एक मॉडल। इस मामले में, एक मॉडल अक्सर सादृश्य द्वारा उपयोग किया जाता है, कम से कम कुछ विशेषता में वास्तविकता को दर्शाता है।

R. Peierls, पहले लेख में W. Heisenberg द्वारा परमाणु बलों की प्रकृति पर उपमाओं के उपयोग की कहानी देता है। "यह न्यूट्रॉन की खोज के बाद हुआ था, और हालांकि वी। हाइजेनबर्ग ने खुद ही समझा था कि न्यूट्रॉन का न्यूट्रॉन और प्रोटॉन से मिलकर वर्णन करना संभव है, फिर भी उन्हें इस विचार से छुटकारा नहीं मिल सका कि न्यूट्रॉन को अंततः प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन से मिलकर बना होना चाहिए। इस मामले में, न्यूट्रॉन-प्रोटॉन प्रणाली में बातचीत और हाइड्रोजन परमाणु और प्रोटॉन की बातचीत के बीच एक सादृश्य उत्पन्न हुआ। इस सादृश्य ने उन्हें इस निष्कर्ष पर पहुँचाया कि न्यूट्रॉन और प्रोटॉन के बीच परस्पर क्रिया की विनिमय बल होना चाहिए, जो दो प्रोटॉन के बीच एक इलेक्ट्रॉन के संक्रमण के कारण एच - एच प्रणाली में विनिमय बलों के समान हैं। ... बाद में यह फिर भी न्यूट्रॉन और प्रोटॉन के बीच बातचीत के विनिमय बलों के अस्तित्व को साबित कर दिया गया था, हालांकि वे पूरी तरह से समाप्त नहीं हुए थे।

दो कणों के बीच बातचीत ... लेकिन, एक ही उपमा के बाद, डब्ल्यू। हेइज़ेनबर्ग इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि दो प्रोटॉन के बीच और दो न्यूट्रॉन के बीच प्रतिकर्षण के बीच की बातचीत के कोई परमाणु बल नहीं हैं। बाद के निष्कर्षों के दोनों बाद के अनुसंधान के साथ विरोधाभास में हैं। "

ए। आइंस्टीन विचार प्रयोग के महान आचार्यों में से एक थे। यहाँ उनका एक प्रयोग है। यह उनकी युवावस्था में आविष्कार किया गया था और अंत में, सापेक्षता के एक विशेष सिद्धांत के निर्माण का नेतृत्व किया। मान लीजिए कि शास्त्रीय भौतिकी में हम प्रकाश की गति से एक प्रकाश लहर के पीछे जा रहे हैं। हम समय-समय पर अंतरिक्ष और लगातार बदलते हुए विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का निरीक्षण करेंगे। मैक्सवेल के समीकरणों के अनुसार, यह नहीं हो सकता है। इसलिए युवा आइंस्टीन ने निष्कर्ष निकाला: या तो प्रकृति के नियम संदर्भ के फ्रेम में बदलाव के साथ बदलते हैं, या प्रकाश की गति संदर्भ के फ्रेम पर निर्भर नहीं करती है। उसने दूसरा चुना - एक और अधिक सुंदर विकल्प। आइंस्टीन का अन्य प्रसिद्ध विचार प्रयोग आइंस्टीन-पोडोलस्की-रोसेन विरोधाभास है।

और यहां 8 प्रकार है, जैविक प्रणालियों के गणितीय मॉडल में व्यापक।

ये काल्पनिक संस्थाओं के साथ मानसिक प्रयोग भी हैं, यह दर्शाता है कि कथित घटना बुनियादी सिद्धांतों के अनुरूप है और आंतरिक रूप से सुसंगत है। यह प्रकार 7 मॉडल से मुख्य अंतर है, जो छिपे हुए विरोधाभासों को प्रकट करता है।

इन प्रयोगों में से एक सबसे प्रसिद्ध लोबाचेव्स्की ज्यामिति है। एक अन्य उदाहरण रासायनिक और जैविक कंपन, ऑटोवेव, आदि के औपचारिक - गतिज मॉडल का बड़े पैमाने पर उत्पादन है। आइंस्टीन - पॉडोलस्की - रोसेन विरोधाभास को क्वांटम यांत्रिकी के असंगतता को प्रदर्शित करने के लिए एक प्रकार के 7 मॉडल के रूप में कल्पना की गई थी। समय के साथ पूरी तरह से अनियोजित तरीके से, यह एक प्रकार 8 मॉडल में बदल गया - सूचना के क्वांटम टेलीपोर्टेशन की संभावना का प्रदर्शन।

एक यांत्रिक प्रणाली पर विचार करें जिसमें एक सिरे पर एक वसंत और निश्चित द्रव्यमान का एक भार वसंत के मुक्त सिरे से जुड़ा होता है। हम मानते हैं कि लोड केवल वसंत की धुरी की दिशा में आगे बढ़ सकता है। हम इस प्रणाली का एक गणितीय मॉडल बनाते हैं। हम लोड के केंद्र से दूरी x द्वारा प्रणाली की स्थिति का वर्णन इसकी संतुलन स्थिति में करेंगे। हम हुक की विधि की मदद से वसंत और लोड की बातचीत का वर्णन करते हैं और फिर इसे अंतर समीकरण के रूप में व्यक्त करने के लिए दूसरे न्यूटन के नियम का उपयोग करते हैं:

जहां समय के संबंध में एक्स के दूसरे व्युत्पन्न का मतलब है ..

परिणामी समीकरण माना जाता है कि भौतिक प्रणाली का एक गणितीय मॉडल। इस मॉडल को "हार्मोनिक ऑसिलेटर" कहा जाता है।

औपचारिक वर्गीकरण के अनुसार, यह मॉडल रैखिक, नियतात्मक, गतिशील, केंद्रित, निरंतर है। इसके निर्माण की प्रक्रिया में, हमने कई धारणाएं बनाईं, जो वास्तव में पूरी नहीं हो सकती हैं।

वास्तविकता के संबंध में, यह अक्सर टाइप 4 सरलीकरण का एक मॉडल है, क्योंकि कुछ आवश्यक सार्वभौमिक विशेषताएं छोड़ दी जाती हैं। कुछ सन्निकटन में, ऐसा मॉडल वास्तविक यांत्रिक प्रणाली का वर्णन करता है, क्योंकि

त्याग किए गए कारकों का इसके व्यवहार पर नगण्य प्रभाव पड़ता है। हालांकि, इनमें से कुछ कारकों को ध्यान में रखकर मॉडल को परिष्कृत किया जा सकता है। इससे प्रयोज्यता के व्यापक दायरे के साथ एक नया मॉडल बनेगा।

हालांकि, मॉडल को परिष्कृत करते समय, इसके गणितीय अध्ययन की जटिलता काफी बढ़ सकती है और मॉडल को लगभग बेकार कर सकती है। अक्सर एक सरल मॉडल एक अधिक जटिल से वास्तविक प्रणाली के बेहतर और गहन अध्ययन की अनुमति देता है।

यदि हार्मोनिक थरथरानवाला मॉडल को भौतिकी से दूर की वस्तुओं पर लागू किया जाता है, तो इसकी सार्थक स्थिति भिन्न हो सकती है। उदाहरण के लिए, जब इस मॉडल को जैविक आबादी पर लागू किया जाता है, तो इसे सबसे अधिक टाइप 6 सादृश्यता के लिए जिम्मेदार ठहराया जाना चाहिए।

हार्ड और सॉफ्ट मॉडल।

एक हार्मोनिक थरथरानवाला तथाकथित "कठोर" मॉडल का एक उदाहरण है। यह एक वास्तविक भौतिक प्रणाली के एक मजबूत आदर्शीकरण के परिणामस्वरूप प्राप्त किया जाता है। इसकी प्रयोज्यता के प्रश्न को हल करने के लिए, यह समझना आवश्यक है कि हमारे द्वारा उपेक्षित किए गए कारक कितने महत्वपूर्ण हैं। दूसरे शब्दों में, "कठोर" एक छोटे से गड़बड़ी से प्राप्त "नरम" मॉडल की जांच करना आवश्यक है। यह परिभाषित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित समीकरण द्वारा:

यहाँ, एक निश्चित कार्य है जिसमें घर्षण बल या उसके तनाव की डिग्री पर वसंत के कठोरता गुणांक की निर्भरता को ध्यान में रखा जा सकता है, function एक छोटा पैरामीटर है। फ़ंक्शन f का स्पष्ट रूप वर्तमान में हमारी रुचि नहीं रखता है। यदि हम साबित करते हैं कि नरम मॉडल का व्यवहार मूल रूप से कठोर मॉडल के व्यवहार से अलग नहीं है, तो समस्या को कठोर मॉडल के अध्ययन के लिए कम कर दिया जाएगा। अन्यथा, एक कठोर मॉडल के अध्ययन में प्राप्त परिणामों के आवेदन के लिए अतिरिक्त शोध की आवश्यकता होगी। उदाहरण के लिए, हार्मोनिक थरथरानवाला समीकरण का समाधान प्रपत्र के कार्य हैं

यही है, एक निरंतर आयाम के साथ दोलनों। क्या यह इस बात से है कि वास्तविक थरथरानवाला एक असीम लंबे समय के लिए निरंतर आयाम के साथ दोलन करेगा? नहीं, क्योंकि मनमाने ढंग से छोटे घर्षण के साथ एक प्रणाली पर विचार करने पर, हमें नमी के दोलन मिलते हैं। प्रणाली का व्यवहार गुणात्मक रूप से बदल गया है।

यदि सिस्टम थोड़ा गड़बड़ी के साथ अपने गुणात्मक व्यवहार को बरकरार रखता है, तो वे कहते हैं कि यह संरचनात्मक रूप से स्थिर है। एक हार्मोनिक ऑसिलेटर एक संरचनात्मक रूप से अस्थिर प्रणाली का एक उदाहरण है। फिर भी, इस मॉडल का उपयोग सीमित समय अंतराल पर प्रक्रियाओं का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है।

मॉडल की सार्वभौमिकता।

सबसे महत्वपूर्ण गणितीय मॉडल में आमतौर पर सार्वभौमिकता की महत्वपूर्ण संपत्ति होती है: मौलिक रूप से विभिन्न वास्तविक घटनाओं को एक ही गणितीय मॉडल द्वारा वर्णित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक हार्मोनिक थरथरानवाला न केवल एक वसंत पर एक लोड के व्यवहार का वर्णन करता है, बल्कि अन्य दोलन प्रक्रियाएं भी होती हैं, जो अक्सर पूरी तरह से अलग प्रकृति की होती हैं: पेंडुलम के छोटे दोलनों, एक यू-आकार के पोत में तरल स्तर में उतार-चढ़ाव, या दोलन सर्किट में वर्तमान ताकत में बदलाव। इस प्रकार, एक गणितीय मॉडल का अध्ययन करते हुए, हम तुरंत उसके द्वारा वर्णित घटनाओं की एक पूरी कक्षा का अध्ययन करते हैं। यह वैज्ञानिक ज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में गणितीय मॉडल द्वारा व्यक्त कानूनों का यह समरूपतावाद है, लुडविग वॉन बर्टलान्फ़ी के "सामान्य सिद्धांत" बनाने के लिए।

गणितीय मॉडलिंग समस्याओं को प्रत्यक्ष और उलटा

गणितीय मॉडलिंग से जुड़ी कई समस्याएं हैं। सबसे पहले, इस विज्ञान के आदर्शों के ढांचे में इसे फिर से तैयार करने के लिए, नकली वस्तु की मूल योजना के साथ आना आवश्यक है। तो, ट्रेन कार प्लेटों और अधिक जटिल प्रणाली में बदल जाती है

विभिन्न सामग्रियों के निकायों, प्रत्येक सामग्री को इसके मानक यांत्रिक आदर्शीकरण के रूप में सेट किया जाता है, जिसके बाद समीकरण संकलित किए जाते हैं, जिस तरह से कुछ हिस्सों को अप्रासंगिक के रूप में त्याग दिया जाता है, गणना की जाती है, माप के साथ तुलना में, मॉडल को परिष्कृत किया जाता है, और इसी तरह। हालांकि, गणितीय मॉडलिंग प्रौद्योगिकियों के विकास के लिए इस प्रक्रिया को मुख्य घटकों में अलग करना उपयोगी है।

परंपरागत रूप से, गणितीय मॉडल से जुड़ी समस्याओं के दो मुख्य वर्ग हैं: प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम।

प्रत्यक्ष कार्य: मॉडल की संरचना और इसके सभी मापदंडों को ज्ञात माना जाता है, मुख्य कार्य ऑब्जेक्ट के बारे में उपयोगी ज्ञान निकालने के लिए मॉडल का अध्ययन करना है। पुल को किस स्थिर भार का सामना करना पड़ सकता है? वह गतिशील लोडिंग पर कैसे प्रतिक्रिया करेगा, विमान ध्वनि अवरोध को कैसे दूर करेगा, चाहे वह स्पंदन से अलग हो जाएगा - ये प्रत्यक्ष कार्य के विशिष्ट उदाहरण हैं। सही प्रत्यक्ष कार्य निर्धारित करने के लिए विशेष कौशल की आवश्यकता होती है। यदि सही सवाल नहीं पूछा जाता है, तो पुल ढह सकता है, भले ही उसके व्यवहार के लिए एक अच्छा मॉडल बनाया गया हो। इसलिए, यूके में 1879 में एक धातु पुल ताई नदी के पार गिर गया, जिसके डिजाइनरों ने पुल का एक मॉडल बनाया, पेलोड की कार्रवाई के लिए 20 गुना सुरक्षा कारक पर इसकी गणना की, लेकिन उन जगहों पर लगातार बहने वाली हवाओं के बारे में भूल गए। और डेढ़ साल बाद वह ढह गया।

सबसे सरल मामले में, प्रत्यक्ष समस्या बहुत सरल है और इस समीकरण के एक स्पष्ट समाधान के लिए कम हो जाती है।

उलटा समस्या: कई संभावित मॉडल ज्ञात हैं, वस्तु के बारे में अतिरिक्त डेटा के आधार पर एक विशिष्ट मॉडल चुनना आवश्यक है। सबसे अधिक बार, मॉडल की संरचना ज्ञात है, और कुछ अज्ञात मापदंडों को निर्धारित करने की आवश्यकता है। अतिरिक्त जानकारी में अतिरिक्त अनुभवजन्य डेटा या वस्तु के लिए आवश्यकताएं शामिल हो सकती हैं। अतिरिक्त डेटा उलटा समस्या को हल करने की प्रक्रिया की परवाह किए बिना या विशेष रूप से नियोजित प्रयोग का परिणाम हो सकता है।

उपलब्ध डेटा के पूर्ण संभव उपयोग के साथ उलटा समस्या के एक मास्टरली समाधान के पहले उदाहरणों में से एक था। न्यूटन द्वारा निर्मित मनाया नमित दोलनों से घर्षण बलों को बहाल करने की विधि।

एक अन्य उदाहरण गणितीय सांख्यिकी है। इस विज्ञान का उद्देश्य व्यापक यादृच्छिक घटनाओं के संभाव्य मॉडल के निर्माण के लिए अवलोकन और प्रयोगात्मक डेटा के रिकॉर्डिंग, वर्णन और विश्लेषण के लिए तरीकों का विकास करना है। यानी कई संभावित मॉडल संभावित मॉडल तक सीमित हैं। विशिष्ट कार्यों में, कई मॉडल अधिक सीमित हैं।

कंप्यूटर सिमुलेशन सिस्टम।

गणितीय मॉडलिंग का समर्थन करने के लिए, कंप्यूटर गणित प्रणालियों को विकसित किया गया है, उदाहरण के लिए, मेपल, गणितज्ञ, मठकाड, MATLAB, विस्किम, आदि। वे आपको सरल और जटिल प्रक्रियाओं और उपकरणों के औपचारिक और ब्लॉक मॉडल बनाने की अनुमति देते हैं और मॉडलिंग के दौरान आसानी से पैरामीटर बदलते हैं। ब्लॉक मॉडल को ब्लॉक द्वारा दर्शाया जाता है, सेट और कनेक्शन जो मॉडल आरेख द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।

अतिरिक्त उदाहरण।

विकास दर वर्तमान जनसंख्या के आकार के अनुपात में है। यह एक विभेदक समीकरण द्वारा वर्णित है

जहां α प्रजनन और मृत्यु दर के बीच अंतर द्वारा निर्धारित एक पैरामीटर है। इस समीकरण का समाधान घातीय फलन x \u003d x0 e है। यदि जन्म दर मृत्यु दर से अधिक है, तो आबादी का आकार असीमित रूप से और बहुत तेज़ी से बढ़ता है। यह स्पष्ट है कि वास्तव में यह सीमित होने के कारण नहीं हो सकता है

संसाधनों। आबादी की एक महत्वपूर्ण महत्वपूर्ण मात्रा तक पहुंचने पर, मॉडल पर्याप्त होना बंद हो जाता है, क्योंकि यह सीमित संसाधनों को ध्यान में नहीं रखता है। माल्थस मॉडल को लॉजिस्टिक मॉडल द्वारा परिष्कृत किया जा सकता है, जिसे वर्हुलस्ट अंतर समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है

जहां xs "संतुलन" जनसंख्या का आकार है, जिस पर प्रजनन क्षमता को मृत्यु दर द्वारा मुआवजा दिया जाता है। इस तरह के एक मॉडल में जनसंख्या का आकार संतुलन मूल्य xs को जाता है, और यह व्यवहार संरचनात्मक रूप से स्थिर है।

मान लीजिए कि किसी क्षेत्र में जानवरों की दो प्रजातियाँ रहती हैं: खरगोश और लोमड़ी। खरगोशों की संख्या x, लोमड़ियों की संख्या y दें। आवश्यक संशोधनों के साथ माल्थस मॉडल का उपयोग करना, लोमड़ियों द्वारा खरगोशों के खाने को ध्यान में रखते हुए, हम निम्न प्रणाली पर पहुंचते हैं, जिससे लोटका-वोल्त्रा मॉडल का नाम सामने आता है:

खरगोशों और लोमड़ियों की संख्या स्थिर होने पर इस प्रणाली में एक संतुलन स्थिति है। इस राज्य से विचलन से हार्मोनिक ऑसिलेटर में उतार-चढ़ाव के समान खरगोश और लोमड़ियों की संख्या में उतार-चढ़ाव होता है। एक हार्मोनिक थरथरानवाला के मामले में, यह व्यवहार संरचनात्मक रूप से स्थिर नहीं है: मॉडल में एक छोटे से बदलाव से व्यवहार में गुणात्मक परिवर्तन हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक संतुलन अवस्था स्थिर हो सकती है, और संख्या में उतार-चढ़ाव क्षय होगा। विपरीत स्थिति भी संभव है, जब संतुलन की स्थिति से किसी भी छोटे विचलन से प्रजातियों में से एक के पूर्ण विलुप्त होने तक भयावह परिणाम होंगे। यह पूछे जाने पर कि इनमें से कौन से परिदृश्य को कार्यान्वित किया जा रहा है, वोल्तेरा-लोटका मॉडल एक उत्तर नहीं देता है: यहां अतिरिक्त शोध की आवश्यकता है।

प्रवेश स्तर

परीक्षा और परीक्षा में गणितीय मॉडल (2019)

एक गणितीय मॉडल की अवधारणा

एक विमान की कल्पना करें: पंख, धड़, पूंछ, सभी एक साथ - एक वास्तविक विशाल, विशाल, संपूर्ण विमान। और आप एक हवाई जहाज का एक मॉडल बना सकते हैं, छोटा, लेकिन सब कुछ असली, समान पंख, आदि के लिए है, लेकिन कॉम्पैक्ट। तो गणितीय मॉडल है। एक पाठ्य कार्य है, बोझिल, आप इसे देख सकते हैं, इसे पढ़ सकते हैं, लेकिन इसे काफी समझ नहीं सकते हैं, और इससे भी अधिक यह स्पष्ट नहीं है कि इसे कैसे हल किया जाए। लेकिन क्या होगा अगर हम एक छोटे मॉडल, एक गणितीय मॉडल, एक बड़े मौखिक कार्य से बाहर निकलते हैं? गणित का क्या अर्थ है? इसलिए, गणितीय संकेतन के नियमों और कानूनों का उपयोग करते हुए, संख्याओं और अंकगणितीय संकेतों का उपयोग करके पाठ को तार्किक सही प्रतिनिधित्व में रीमेक करें। इस प्रकार, एक गणितीय मॉडल एक गणितीय भाषा का उपयोग करके वास्तविक स्थिति का प्रतिनिधित्व है।

आइए एक सरल से शुरू करें: संख्या, संख्या से अधिक है। हमें शब्दों का उपयोग किए बिना इसे लिखने की आवश्यकता है, लेकिन केवल गणित की भाषा। यदि इससे अधिक है, तो यह पता चलता है कि यदि हम से घटाते हैं, तो इन संख्याओं का समान अंतर बराबर रहेगा। यानी या। बात समझ में आई?

अब और अधिक जटिल, अब एक पाठ होगा जिसे आपको गणितीय मॉडल के रूप में प्रस्तुत करने का प्रयास करना चाहिए, जब तक आप पढ़ते हैं कि मैं इसे कैसे करूँगा, इसे स्वयं आज़माएं! चार संख्याएँ हैं :, और। काम और अधिक काम दो बार।

क्या हुआ था?

गणितीय मॉडल के रूप में, यह इस तरह दिखेगा:

यानी काम दो से एक को संदर्भित करता है, लेकिन यह अभी भी सरलीकृत किया जा सकता है:

ठीक है, सरल उदाहरणों के साथ, आप बिंदु प्राप्त करते हैं, मुझे लगता है। हम पूर्ण विकसित कार्यों की ओर मुड़ते हैं जिसमें इन गणितीय मॉडल को भी हल करने की आवश्यकता होती है! यहां चुनौती है।

व्यवहार में गणितीय मॉडल

टास्क 1

बारिश के बाद कुएं में पानी का स्तर बढ़ सकता है। लड़का उस समय को मापता है जब छोटे कंकड़ कुएं में गिर गए थे और सूत्र का उपयोग करके पानी की दूरी की गणना करते हैं, जहां मीटर में दूरी है और सेकंड में समय है। बारिश से पहले, कंकड़ गिरने का समय था। बारिश के बाद पानी का स्तर कितना बढ़ जाना चाहिए, ताकि मापा गया समय बदल जाए? मीटर में उत्तर व्यक्त करें।

ओह, आतंक! क्या सूत्र, क्या कुआँ, क्या होता है, क्या करना है? क्या मैंने आपका मन पढ़ लिया? आराम करें, इस प्रकार की समस्याओं में स्थितियां और भी बदतर हैं, याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि आप इस कार्य में सूत्र और संबंधों के बीच रुचि रखते हैं, और यह कि ज्यादातर मामलों में यह बहुत महत्वपूर्ण नहीं है। आप यहां क्या उपयोगी देखते हैं? मैं व्यक्तिगत रूप से देखता हूं। इन समस्याओं को हल करने के लिए सिद्धांत इस प्रकार है: सभी ज्ञात मात्राएं और विकल्प लें।लेकिन, कभी-कभी आपको सोचने की ज़रूरत है!

मेरी पहली सलाह के बाद, और समीकरण में सभी ज्ञात को प्रतिस्थापित करते हुए, हमें यह मिलता है:

यह मैंने एक सेकंड का समय निर्धारित किया, और ऊंचाई पाया कि पत्थर बारिश से पहले उड़ गया। अब आपको बारिश के बाद गिनती करने और अंतर खोजने की आवश्यकता है!

अब दूसरी सलाह सुनें और सोचें, प्रश्न स्पष्ट करता है, "बारिश के बाद जल स्तर कितना बढ़ना चाहिए, ताकि मापा समय बदलकर एस हो जाए।" आपको यह पता लगाना होगा कि अभी, soooo, बारिश के बाद पानी का स्तर बढ़ जाता है, जिसका अर्थ है कि पत्थर गिरने का समय जल स्तर तक कम है और फिर अलंकृत वाक्यांश "ताकि मापा समय बदल जाता है" एक विशिष्ट अर्थ पर ले जाता है: गिरने का समय नहीं बढ़ता है, लेकिन निर्दिष्ट सेकंड से घट जाता है। इसका मतलब यह है कि बारिश के बाद फेंकने के मामले में, हमें प्रारंभिक समय से सी को घटाना होगा, और हमें ऊंचाई का समीकरण मिलता है कि पत्थर बारिश के बाद उड़ जाता है:

और अंत में, यह पता लगाने के लिए कि बारिश के बाद पानी का स्तर कितना बढ़ जाना चाहिए, ताकि मापा समय बदलकर एस हो जाए, आपको बस पहली बूंद ऊंचाई से दूसरे को घटाना होगा!

हमें उत्तर मिलता है: प्रति मीटर।

जैसा कि आप देख सकते हैं, वहाँ कुछ भी जटिल नहीं है, सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि इस तरह के एक समझदार और कभी-कभी जटिल समीकरण कहाँ से आए हैं, इसके बारे में परेशान न हों और इसमें सब कुछ का मतलब है, एक शब्द लें, इनमें से अधिकांश समीकरण भौतिकी से लिए गए हैं, और जंगल बीजगणित से भी बदतर है। मुझे कभी-कभी ऐसा लगता है कि इन कार्यों का आविष्कार एक ऐसे छात्र के लिए किया गया था जिसका उपयोग यूएसई पर एक जटिल सूत्र और शर्तों के साथ किया जाता है, और ज्यादातर मामलों में लगभग किसी भी ज्ञान की आवश्यकता नहीं होती है। बस शर्त को ध्यान से पढ़ें और सूत्र में ज्ञात मूल्यों को स्थानापन्न करें!

यहां भौतिकी में नहीं, बल्कि आर्थिक सिद्धांत की दुनिया से, एक और कार्य है, हालांकि गणित के अलावा अन्य विज्ञानों का ज्ञान फिर से यहां आवश्यक नहीं है।

टास्क २

मूल्य (हजार रूबल) पर एक एकाधिकार उद्यम के उत्पादों पर मांग की मात्रा (प्रति माह) की निर्भरता सूत्र द्वारा दी गई है

महीने के लिए कंपनी का राजस्व (हजार रूबल में) सूत्र द्वारा गणना की जाती है। उच्चतम मूल्य निर्धारित करें जिस पर मासिक राजस्व कम से कम हजार रूबल होगा। जवाब हजार रूबल में दें।

लगता है कि मैं अब क्या करूँगा? हाँ, मैं उस चीज़ को प्रतिस्थापित करना शुरू करूँगा जो हम जानते हैं, लेकिन, फिर से, मुझे अभी भी थोड़ा सोचना होगा। आइए अंत से चलते हैं, जिस पर हमें खोजने की जरूरत है। तो, वहाँ है, साथ ही कुछ, हम पाते हैं कि यह और क्या है, और समान रूप से हम इसे लिखेंगे। जैसा कि आप देख सकते हैं, मैं इन सभी राशियों के अर्थ से विशेष रूप से परेशान नहीं हूं, मैं सिर्फ स्थितियों को देखता हूं, जो है वही है, इसलिए आपको ऐसा करने की आवश्यकता है। समस्या पर वापस, आपके पास पहले से ही एक है, लेकिन जैसा कि आपको याद है, दो समीकरणों के साथ एक समीकरण से, उनमें से कोई भी नहीं मिल सकता है, तो क्या करना है? हाँ, हमारी स्थिति में अभी भी हमारे पास अप्रयुक्त भाग है। अब, पहले से ही दो समीकरण और दो चर हैं, जिसका अर्थ है कि अब दोनों चर मिल सकते हैं - उत्कृष्ट!

- क्या आप ऐसी व्यवस्था को हल कर सकते हैं?

हम प्रतिस्थापन को हल करते हैं, हमने पहले से ही इसे व्यक्त किया है, जिसका अर्थ है कि हम इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और इसे सरल करते हैं।

यह पता चला है कि एक द्विघात समीकरण है :, हम हल करते हैं, जड़ें इस तरह हैं,। कार्य में, उच्चतम मूल्य को खोजने की आवश्यकता होती है, जिस पर सिस्टम की रचना करते समय हमने जिन सभी स्थितियों को ध्यान में रखा था, उनका अवलोकन किया जाएगा। ओह, यह पता चला है कि कीमत थी। कूल, तब हमें कीमतें मिलीं: और। उच्चतम मूल्य, आप कहते हैं? ठीक है, उनमें से सबसे बड़ा, जाहिर है, उसका जवाब और लिखना है। खैर, कितना मुश्किल है? मुझे नहीं लगता है, और आपको बहुत अधिक विलंब करने की आवश्यकता नहीं है!

और यहाँ भयानक भौतिकी है, या बल्कि एक और कार्य है:

टास्क 3

तारों के प्रभावी तापमान को निर्धारित करने के लिए, स्टीफन - बोल्ट्जमैन कानून का उपयोग करें, जिसके अनुसार, जहां स्टार की विकिरण शक्ति है, निरंतर है, स्टार का सतह क्षेत्र है, और तापमान है। यह ज्ञात है कि किसी तारे का सतह क्षेत्र बराबर है, और उसके विकिरण की शक्ति डब्ल्यू के बराबर है। डिग्री केल्विन में इस तारे का तापमान ज्ञात कीजिए।

यह कहां से आता है? हां, शर्त यह कहती है कि जो समान है। पहले, मैंने सिफारिश की थी कि सभी अज्ञात को तुरंत प्रतिस्थापित किया जाए, लेकिन यहां पहले अज्ञात मांग को व्यक्त करना बेहतर है। देखो यह कितना सरल है: एक सूत्र है और यह इसमें जाना जाता है, और (यह ग्रीक अक्षर है "सिग्मा।" सामान्य तौर पर, भौतिकविदों को ग्रीक अक्षर पसंद हैं, इसकी आदत डालें)। और तापमान अज्ञात है। इसे एक सूत्र के रूप में व्यक्त करते हैं। यह कैसे करना है, मुझे आशा है कि आप जानते हैं? ग्रेड 9 में GIA पर ऐसे कार्य आमतौर पर देते हैं:

अब यह दाईं ओर अक्षरों के लिए संख्याओं को प्रतिस्थापित करने और सरल बनाने के लिए बना हुआ है:

यहाँ जवाब है: केल्विन डिग्री! और यह कितना भयानक कार्य था!

हम भौतिकी में समस्याओं को झेलते रहते हैं।

टास्क 4

गेंद की जमीन के ऊपर की ऊँचाई को कानून के अनुसार बदल दिया जाता है, जहाँ मीटरों में ऊँचाई होती है, फेंकने के बाद से कुछ सेकंड में समय होता है। गेंद कम से कम तीन मीटर की ऊंचाई पर कितने सेकंड होगी?

यह सभी समीकरण थे, लेकिन यहां यह निर्धारित करना आवश्यक है कि गेंद कम से कम तीन मीटर की ऊंचाई पर थी, जिसका मतलब ऊंचाई पर है। हम क्या बनाएंगे? असमानता, बिल्कुल! हमारे पास एक फ़ंक्शन है जो बताता है कि गेंद कैसे उड़ती है, जहां - यह मीटर में बिल्कुल समान ऊंचाई है, हमें ऊंचाई की आवश्यकता है। इतना

और अब आप सिर्फ असमानता को हल करते हैं, सबसे महत्वपूर्ण बात, जब आप ऋण से छुटकारा पाने के लिए असमानता के दोनों किनारों से गुणा या उससे कम, या बराबर से असमानता के संकेत को बदलना न भूलें।

ये जड़ें हैं, हम असमानता के लिए अंतराल का निर्माण करते हैं:

हम उस अंतराल में रुचि रखते हैं जहां ऋण चिह्न, चूंकि असमानता वहां नकारात्मक मूल्यों को लेती है, यह दोनों समावेशी से है। और अब हम मस्तिष्क को चालू करते हैं और ध्यान से सोचते हैं: असमानता के लिए, हमने गेंद की उड़ान का वर्णन करने वाले समीकरण का उपयोग किया, यह किसी तरह एक परवलय के साथ उड़ जाता है, अर्थात। यह बंद हो जाता है, एक चरम पर पहुंच जाता है और गिर जाता है, यह कैसे समझें कि यह मीटर से कम नहीं कितनी देर की ऊंचाई पर होगा? हमने 2 टिपिंग पॉइंट पाए, अर्थात वह क्षण जब वह मीटर से ऊपर उठता है और जिस क्षण वह गिरता है, गिरता है, उसी निशान तक पहुंचता है, ये दो बिंदु हमारे समय के रूप में व्यक्त किए जाते हैं, अर्थात्। हमें पता है कि उसने उड़ान के दूसरे हिस्से में हमारे (मीटर के ऊपर) ब्याज के क्षेत्र में प्रवेश किया और जिसमें वह उसमें से निकल गया (मीटर में निशान से नीचे गिर गया)। इस क्षेत्र में वह कितने सेकंड था? यह तर्कसंगत है कि हम ज़ोन से बाहर निकलने का समय लेते हैं और उससे इस ज़ोन में प्रवेश का समय घटाते हैं। तदनुसार: - जब तक वह मीटर से ऊपर के क्षेत्र में था, यह उत्तर है।

तो आप भाग्यशाली हैं कि इस विषय के अधिकांश उदाहरण भौतिकी में समस्याओं की श्रेणी से लिए जा सकते हैं, इसलिए एक और पकड़ें, यह एक अंतिम है, इसलिए अपना सर्वश्रेष्ठ करें, बस थोड़ा सा शेष है!

टास्क 5

एक निश्चित डिवाइस के हीटिंग तत्व के लिए, ऑपरेटिंग समय पर तापमान की निर्भरता प्रयोगात्मक रूप से प्राप्त की गई थी:

मिनटों में समय कहाँ है,। यह ज्ञात है कि डिवाइस के ऊपर हीटिंग तत्व के तापमान में गिरावट हो सकती है, इसलिए इसे बंद करना होगा। डिवाइस को बंद करने के लिए काम शुरू करने के बाद अधिकतम समय का पता लगाएं। मिनटों में उत्तर व्यक्त करें।

हम डिबग्ड स्कीम के अनुसार काम करते हैं, जो सब दिया जाता है, पहले हम लिखते हैं:

अब हम सूत्र लेते हैं और इसे उस तापमान के समतुल्य करते हैं, जिस तक इसे जलाए जाने तक डिवाइस को अधिकतम गर्म किया जा सकता है, जो है:

अब हम उस संख्या के अक्षरों को प्रतिस्थापित करते हैं जहाँ उन्हें जाना जाता है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, डिवाइस के संचालन के दौरान तापमान को द्विघात समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है, जिसका अर्थ है कि यह एक परबोला के साथ वितरित किया जाता है, अर्थात। उपकरण कुछ तापमान तक गर्म होता है और फिर ठंडा हो जाता है। हमें जवाब मिला और इसलिए, हीटिंग के मिनटों के साथ, तापमान महत्वपूर्ण है, लेकिन मिनटों के बीच, यह सीमा से भी अधिक है!

तो, आपको डिवाइस को मिनटों में बंद करने की आवश्यकता है।

गणित के मॉडल। मुख्य के बारे में संक्षिप्त

सबसे अधिक बार, गणितीय मॉडल का उपयोग भौतिकी में किया जाता है: आपको संभवतः दर्जनों भौतिक सूत्रों को याद करना होगा। और सूत्र स्थिति का गणितीय प्रतिनिधित्व है।

परीक्षा और परीक्षा में बस इसी विषय पर कार्य होते हैं। परीक्षा (प्रोफाइल) में यह कार्य संख्या 11 (पूर्व में B12) है। OGE में - कार्य संख्या 20।

समाधान योजना स्पष्ट है:

1) हालत के पाठ से, यह "अलग" उपयोगी जानकारी के लिए आवश्यक है - जिसे हम भौतिक समस्याओं में "दिए गए" शब्द के तहत लिखते हैं। यह उपयोगी जानकारी है:

• सूत्र
• ज्ञात भौतिक मात्रा।

यही है, सूत्र से प्रत्येक अक्षर एक निश्चित संख्या के साथ जुड़ा होना चाहिए।

2) आप सभी ज्ञात मात्राओं को लेते हैं और सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं। एक अज्ञात मात्रा एक पत्र के रूप में बनी हुई है। अब आपको केवल समीकरण को हल करने की आवश्यकता है (आमतौर पर काफी सरल), और जवाब तैयार है।

खैर, विषय समाप्त हो गया है। यदि आप इन पंक्तियों को पढ़ते हैं, तो आप बहुत अच्छे हैं।

क्योंकि केवल 5% लोग ही कुछ कर पाने में सक्षम होते हैं। और अगर आप अंत तक पढ़ते हैं, तो आप इन 5% में आ गए हैं!

अब सबसे महत्वपूर्ण बात।

आपने इस विषय पर एक सिद्धांत निकाला। और फिर, यह ... यह सिर्फ सुपर है! आप पहले से ही अपने साथियों के विशाल बहुमत से बेहतर हैं।

समस्या यह है कि यह पर्याप्त नहीं हो सकता है ...

किस लिए?

परीक्षा में सफल उत्तीर्ण होने के लिए, बजट में संस्थान में प्रवेश के लिए और, जीवन के लिए सबसे महत्वपूर्ण।

मैं आपको किसी भी चीज़ के लिए मना नहीं करूँगा, बस एक बात कहूँगा ...

जो लोग अच्छी शिक्षा प्राप्त करते हैं, वे उन लोगों की तुलना में अधिक कमाते हैं, जिन्होंने नहीं किया। यह आंकड़े हैं।

लेकिन यह मुख्य बात नहीं है।

मुख्य बात यह है कि वे अधिक खुश हैं (ऐसे अध्ययन हैं)। शायद इसलिए कि वे अधिक अवसर खोल रहे हैं और जीवन उज्जवल हो गया है? मुझे नहीं पता ...

लेकिन, अपने लिए सोचिए ...

यूएसई में दूसरों की तुलना में निश्चित रूप से बेहतर होने और आखिरकार ... खुश रहने के लिए क्या आवश्यक है?

अपने हाथ से मारो, इस विषय पर समाधान प्रदान करना।

परीक्षा में आपसे कोई सिद्धांत नहीं पूछा जाएगा।

आपको आवश्यकता होगी समय पर समस्याओं का समाधान करें.

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और निष्कर्ष में ...

यदि आप हमारे कार्यों को पसंद नहीं करते हैं, तो दूसरों को खोजें। बस सिद्धांत पर रोक नहीं है।

"समझ गए" और "मैं तय कर सकता हूँ" पूरी तरह से अलग कौशल हैं। आपको दोनों की आवश्यकता है।

कार्यों का पता लगाएं और हल करें!

सोवेतोव और याकोवलेव की पाठ्यपुस्तक के अनुसार: "एक मॉडल (लाट। मापुलस - माप) मूल वस्तु का एक उप-उप-मूल है, जो मूल के कुछ गुणों का अध्ययन प्रदान करता है।" (पी। 6) "वस्तु के सबसे महत्वपूर्ण गुणों के बारे में जानकारी प्राप्त करने के लिए किसी अन्य वस्तु के साथ प्रतिस्थापित करना।" किसी ऑब्जेक्ट मॉडल का उपयोग करने वाले मूल को मॉडलिंग कहा जाता है। "(पृष्ठ 6)" गणितीय मॉडलिंग से हमारा तात्पर्य किसी गणितीय मॉडल नामक किसी गणितीय वस्तु के दिए गए वास्तविक ऑब्जेक्ट से पत्राचार स्थापित करने की प्रक्रिया से है, और इस मॉडल का अध्ययन करते हैं। yayuschee इस वास्तविक वस्तु की विशेषताओं प्राप्त करते हैं। गणितीय मॉडल का प्रकार वास्तविक वस्तु की प्रकृति और वस्तु पर शोध के कार्यों और इस समस्या को हल करने के लिए आवश्यक विश्वसनीयता और सटीकता दोनों पर निर्भर करता है। "

अंत में, एक गणितीय मॉडल की सबसे संक्षिप्त परिभाषा: "एक समीकरण एक विचार व्यक्त कर रहा है।"

मॉडल का वर्गीकरण

मॉडल का औपचारिक वर्गीकरण

मॉडल का औपचारिक वर्गीकरण गणितीय उपकरणों के उपयोग के वर्गीकरण पर आधारित है। अक्सर डाइकोटोमिज़ के रूप में बनाया जाता है। उदाहरण के लिए, डायकोटोमियों के लोकप्रिय सेटों में से एक:

और इसी तरह। प्रत्येक मॉडल का निर्माण रैखिक या nonlinear, निर्धारक या स्टोचैस्टिक है ... स्वाभाविक रूप से, मिश्रित प्रकार संभव हैं: एक सम्मान में, केंद्रित (मापदंडों के संदर्भ में), दूसरे में वितरित मॉडल, आदि।

किसी वस्तु का प्रतिनिधित्व करने के तरीके का वर्गीकरण

औपचारिक वर्गीकरण के साथ, मॉडल वस्तु के प्रतिनिधित्व के तरीके में भिन्न होते हैं:

• संरचनात्मक या कार्यात्मक मॉडल

संरचनात्मक मॉडल ऑब्जेक्ट को अपने डिवाइस और कार्यप्रणाली के तंत्र के रूप में दर्शाते हैं। कार्यात्मक मॉडल ऐसे अभ्यावेदन का उपयोग नहीं करते हैं और केवल वस्तु के बाहरी रूप से कथित व्यवहार (कार्यप्रणाली) को दर्शाते हैं। अपनी चरम अभिव्यक्ति में, उन्हें "ब्लैक बॉक्स" मॉडल भी कहा जाता है। संयुक्त प्रकार के मॉडल भी संभव हैं, जिन्हें कभी-कभी "ग्रे बॉक्स" मॉडल भी कहा जाता है।

सामग्री और औपचारिक मॉडल

लगभग सभी लेखक जो गणितीय मॉडलिंग की प्रक्रिया का वर्णन करते हैं, वे बताते हैं कि एक विशेष आदर्श निर्माण का निर्माण सबसे पहले किया गया है, सामग्री मॉडल   । यहां कोई स्थापित शब्दावली नहीं है, और अन्य लेखक इस आदर्श वस्तु को कहते हैं वैचारिक मॉडल , सट्टा मॉडल   या predmodel   । इस मामले में, अंतिम गणितीय निर्माण कहा जाता है औपचारिक मॉडल   या बस एक गणितीय मॉडल दिए गए मूल मॉडल (प्री-मॉडल) की औपचारिकता के परिणामस्वरूप प्राप्त किया गया है। अर्थपूर्ण मॉडल का निर्माण, तैयार किए गए आदर्शों के एक सेट का उपयोग करके किया जा सकता है, जैसा कि यांत्रिकी में है, जहां आदर्श स्प्रिंग्स, ठोस, आदर्श पेंडुलम, लोचदार मीडिया, आदि सार्थक मॉडलिंग के लिए तैयार संरचनात्मक तत्व प्रदान करते हैं। हालांकि, ज्ञान के क्षेत्रों में जहां पूरी तरह से औपचारिक सिद्धांत नहीं हैं (अत्याधुनिक भौतिकी, जीव विज्ञान, अर्थशास्त्र, समाजशास्त्र, मनोविज्ञान, और अधिकांश अन्य क्षेत्रों में), सार्थक मॉडल का निर्माण बहुत जटिल है।

मॉडल का सामग्री वर्गीकरण

विज्ञान में कोई भी परिकल्पना एक बार और सभी के लिए सिद्ध नहीं होती है। यह रिचर्ड फेनमैन द्वारा बहुत स्पष्ट रूप से कहा गया था:

"हमारे पास हमेशा सिद्धांत का खंडन करने का अवसर होता है, लेकिन, ध्यान दें, हम कभी साबित नहीं कर सकते कि यह सही है। मान लीजिए कि आपने एक सफल परिकल्पना को आगे बढ़ाया, गणना करें कि इससे क्या होता है, और पता करें कि इसके सभी परिणाम प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि किए जाते हैं। क्या इसका मतलब यह है कि आपका सिद्धांत सही है? नहीं, इसका सीधा सा मतलब है कि आप इसका खंडन करने में असमर्थ थे। ”

यदि पहले प्रकार का मॉडल बनाया गया है, तो इसका मतलब है कि इसे अस्थायी रूप से सच माना जाता है और कोई अन्य समस्याओं पर ध्यान केंद्रित कर सकता है। हालांकि, यह शोध का एक बिंदु नहीं हो सकता है, लेकिन केवल एक अस्थायी ठहराव है: पहले प्रकार के मॉडल की स्थिति केवल अस्थायी हो सकती है।

टाइप 2: घटना का मॉडल (मानो व्यवहार…)

घटना के मॉडल में घटना का वर्णन करने के लिए एक तंत्र होता है। हालांकि, यह तंत्र पर्याप्त रूप से आश्वस्त नहीं है, उपलब्ध डेटा द्वारा पर्याप्त रूप से पुष्टि नहीं की जा सकती है, या वस्तु के बारे में मौजूदा सिद्धांतों और संचित ज्ञान से अच्छी तरह सहमत नहीं है। इसलिए, घटना संबंधी मॉडल में अस्थायी समाधान की स्थिति होती है। यह माना जाता है कि उत्तर अभी भी अज्ञात है और "सच्चे तंत्र" की खोज जारी रखना आवश्यक है। Peierls दूसरे प्रकार को संदर्भित करता है, उदाहरण के लिए, कैलोरी मॉडल और प्राथमिक कणों का क्वार्क मॉडल।

अध्ययन में मॉडल की भूमिका समय के साथ बदल सकती है, ऐसा हो सकता है कि नए डेटा और सिद्धांत अभूतपूर्व मॉडल की पुष्टि करते हैं और उन्हें एक परिकल्पना की स्थिति में अपग्रेड किया जाएगा। इसी तरह, नया ज्ञान धीरे-धीरे पहले प्रकार की परिकल्पना मॉडल के साथ संघर्ष में आ सकता है और जिन्हें दूसरे में स्थानांतरित किया जा सकता है। तो, क्वार्क मॉडल धीरे-धीरे एक परिकल्पना बन रहा है; भौतिकी में परमाणुवाद एक अस्थायी समाधान के रूप में उत्पन्न हुआ, लेकिन इतिहास के दौरान पहले प्रकार में पारित हुआ। लेकिन ईथर मॉडल टाइप 1 से टाइप 2 तक का लंबा सफर तय कर चुके हैं, और अब वे विज्ञान से बाहर हैं।

मॉडल बनाते समय सरलीकरण का विचार बहुत लोकप्रिय है। लेकिन सरलीकरण अलग है। Peierls मॉडलिंग में तीन प्रकार के सरलीकरणों को अलग करता है।

टाइप 3: में ज़ूम करें (हम कुछ बहुत बड़े या बहुत छोटे पर विचार करते हैं)

यदि अध्ययन के तहत प्रणाली का वर्णन करने वाले समीकरणों का निर्माण करना संभव है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि उन्हें कंप्यूटर का उपयोग करके भी हल किया जा सकता है। इस मामले में एक सामान्य तकनीक सन्निकटन (टाइप 3 मॉडल) का उपयोग है। उनमें से रैखिक प्रतिक्रिया मॉडल। समीकरणों को रैखिक लोगों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। एक मानक उदाहरण ओम का नियम है।

और यहां 8 प्रकार है, जैविक प्रणालियों के गणितीय मॉडल में व्यापक।

टाइप 8: अवसर प्रदर्शन (मुख्य बात यह है कि अवसर की आंतरिक स्थिरता को दिखाना है)

ये काल्पनिक संस्थाओं के साथ मानसिक प्रयोग भी हैं, जो इसे प्रदर्शित करते हैं कथित घटना   बुनियादी सिद्धांतों और आंतरिक रूप से सुसंगत। यह प्रकार 7 मॉडल से मुख्य अंतर है, जो छिपे हुए विरोधाभासों को प्रकट करता है।

इन प्रयोगों में से एक सबसे प्रसिद्ध है लोबाचेव्स्की ज्यामिति (लोबाचेवस्की इसे "काल्पनिक ज्यामिति" कहा जाता है)। एक अन्य उदाहरण रासायनिक और जैविक कंपन, ऑटोवेव, आदि के औपचारिक - गतिज मॉडल का बड़े पैमाने पर उत्पादन है। आइंस्टीन - पॉडोलस्की - रोसेन विरोधाभास को क्वांटम यांत्रिकी के असंगतता को प्रदर्शित करने के लिए एक प्रकार के 7 मॉडल के रूप में कल्पना की गई थी। समय के साथ पूरी तरह से अनियोजित तरीके से, यह एक प्रकार 8 मॉडल में बदल गया - सूचना के क्वांटम टेलीपोर्टेशन की संभावना का प्रदर्शन।

उदाहरण

एक यांत्रिक प्रणाली पर विचार करें जिसमें एक छोर पर एक वसंत और द्रव्यमान का एक भार होता है मीटर   वसंत के मुक्त अंत से जुड़ा हुआ है। हम मानते हैं कि लोड केवल वसंत की धुरी की दिशा में आगे बढ़ सकता है (उदाहरण के लिए, रॉड के साथ आंदोलन होता है)। हम इस प्रणाली का एक गणितीय मॉडल बनाते हैं। हम सिस्टम की स्थिति का वर्णन दूरी से करेंगे एक्स    लोड के केंद्र से इसकी संतुलन स्थिति तक। हम वसंत की बातचीत और लोड का उपयोग करके वर्णन करते हैं हुक का नियम (एफ = − कश्मीरएक्स ) जिसके बाद हम अंतर समीकरण के रूप में इसे व्यक्त करने के लिए न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हैं:

जहां दूसरी व्युत्पन्न का मतलब है एक्स    समय से:।

परिणामी समीकरण माना जाता है कि भौतिक प्रणाली का एक गणितीय मॉडल। इस मॉडल को "हार्मोनिक ऑसिलेटर" कहा जाता है।

औपचारिक वर्गीकरण द्वारा, यह मॉडल रैखिक, नियतात्मक, गतिशील, केंद्रित, निरंतर है। इसके निर्माण की प्रक्रिया में, हमने कई धारणाएं बनाईं (बाहरी शक्तियों की अनुपस्थिति के बारे में, घर्षण की अनुपस्थिति, विचलन की लघुता आदि), जो वास्तव में पूरी नहीं हो सकती हैं।

वास्तविकता के संबंध में, यह अक्सर एक प्रकार 4 मॉडल है सरलीकरण   ("स्पष्टता के लिए कुछ विवरणों को स्वीकार करें"), क्योंकि कुछ आवश्यक सार्वभौमिक विशेषताएं (उदाहरण के लिए, अपव्यय) को छोड़ दिया गया है। एक निश्चित सन्निकटन में (कहते हैं, जबकि संतुलन से भार का विचलन छोटा है, थोड़ा घर्षण के साथ, बहुत लंबे समय तक और कुछ अन्य स्थितियों के अधीन), ऐसा मॉडल वास्तविक यांत्रिक प्रणाली का काफी अच्छा वर्णन करता है, क्योंकि त्याग किए गए कारकों का इसके व्यवहार पर नगण्य प्रभाव पड़ता है। । हालांकि, इनमें से कुछ कारकों को ध्यान में रखकर मॉडल को परिष्कृत किया जा सकता है। इससे प्रयोज्यता के व्यापक (फिर से सीमित) दायरे के साथ एक नया मॉडल बनेगा।

हालांकि, मॉडल को परिष्कृत करते समय, इसके गणितीय अध्ययन की जटिलता काफी बढ़ सकती है और मॉडल को लगभग बेकार कर सकती है। अक्सर, एक सरल मॉडल एक अधिक जटिल (और, औपचारिक रूप से, "अधिक सही") एक की तुलना में वास्तविक प्रणाली के बेहतर और गहन अध्ययन की अनुमति देता है।

यदि हार्मोनिक थरथरानवाला मॉडल को भौतिकी से दूर की वस्तुओं पर लागू किया जाता है, तो इसकी सार्थक स्थिति भिन्न हो सकती है। उदाहरण के लिए, इस मॉडल को जैविक आबादी पर लागू करते समय, इसे सबसे अधिक प्रकार 6 के रूप में वर्गीकृत किया जाना चाहिए समानता   ("हम केवल कुछ विशेषताओं पर विचार करेंगे")।

हार्ड और सॉफ्ट मॉडल

एक हार्मोनिक थरथरानवाला तथाकथित "कठोर" मॉडल का एक उदाहरण है। यह एक वास्तविक भौतिक प्रणाली के एक मजबूत आदर्शीकरण के परिणामस्वरूप प्राप्त किया जाता है। इसकी प्रयोज्यता के प्रश्न को हल करने के लिए, यह समझना आवश्यक है कि हमारे द्वारा उपेक्षित किए गए कारक कितने महत्वपूर्ण हैं। दूसरे शब्दों में, "कठोर" एक छोटे से गड़बड़ी से प्राप्त "नरम" मॉडल की जांच करना आवश्यक है। यह परिभाषित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित समीकरण द्वारा:

यहां एक निश्चित कार्य है जिसमें घर्षण बल या उसके तनाव की डिग्री पर वसंत के कठोरता गुणांक की निर्भरता को ध्यान में रखा जा सकता है, कुछ छोटा पैरामीटर है। स्पष्ट कार्य दृश्य च    वर्तमान में हमारी रुचि नहीं है। यदि हम यह साबित करते हैं कि नरम मॉडल का व्यवहार कठोर मॉडल के व्यवहार से बुनियादी रूप से अलग नहीं है (भले ही वे स्थायी रूप से छोटे हों, यदि वे पर्याप्त रूप से छोटे हैं), तो कठोर मॉडल के अध्ययन में समस्या कम हो जाएगी। अन्यथा, एक कठोर मॉडल के अध्ययन में प्राप्त परिणामों के आवेदन के लिए अतिरिक्त शोध की आवश्यकता होगी। उदाहरण के लिए, हार्मोनिक थरथरानवाला समीकरण का समाधान फार्म का एक कार्य है, अर्थात्, एक निरंतर आयाम के साथ दोलनों। क्या यह इस बात से है कि वास्तविक थरथरानवाला एक असीम लंबे समय के लिए निरंतर आयाम के साथ दोलन करेगा? नहीं, क्योंकि मनमाने ढंग से छोटे घर्षण (हमेशा एक वास्तविक प्रणाली में मौजूद) के साथ एक प्रणाली पर विचार करते हुए, हम नम दोलन प्राप्त करते हैं। प्रणाली का व्यवहार गुणात्मक रूप से बदल गया है।

यदि सिस्टम थोड़ा गड़बड़ी के साथ अपने गुणात्मक व्यवहार को बरकरार रखता है, तो वे कहते हैं कि यह संरचनात्मक रूप से स्थिर है। एक हार्मोनिक थरथरानवाला एक संरचनात्मक रूप से अस्थिर (गैर-मोटे) प्रणाली का एक उदाहरण है। फिर भी, इस मॉडल का उपयोग सीमित समय अंतराल पर प्रक्रियाओं का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है।

मॉडल की सार्वभौमिकता

सबसे महत्वपूर्ण गणितीय मॉडल में आमतौर पर एक महत्वपूर्ण संपत्ति होती है सार्वभौमिकता: मौलिक रूप से अलग वास्तविक घटनाओं को एक ही गणितीय मॉडल द्वारा वर्णित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक हार्मोनिक थरथरानवाला न केवल वसंत पर भार के व्यवहार का वर्णन करता है, बल्कि अन्य दोलन प्रक्रियाएं भी होती हैं, जिनमें अक्सर पूरी तरह से अलग प्रकृति होती है: पेंडुलम के छोटे दोलन, तरल स्तर के दोलनों। यू थरथानेवाला पोत या एक दोलन सर्किट में वर्तमान ताकत में परिवर्तन। इस प्रकार, एक गणितीय मॉडल का अध्ययन करते हुए, हम तुरंत उसके द्वारा वर्णित घटनाओं की एक पूरी कक्षा का अध्ययन करते हैं। यह वैज्ञानिक ज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में गणितीय मॉडल द्वारा व्यक्त कानूनों का यह समरूपतावाद है, लुडविग वॉन बर्टलान्फ़ी के "सामान्य सिद्धांत" बनाने के लिए।

गणितीय मॉडलिंग समस्याओं को प्रत्यक्ष और उलटा

गणितीय मॉडलिंग से जुड़ी कई समस्याएं हैं। सबसे पहले, हमें एक सिम्युलेटेड ऑब्जेक्ट की मूल योजना के साथ आने की जरूरत है, इसे इस विज्ञान के आदर्शों के ढांचे में पुन: पेश करें। तो, ट्रेन कार प्लेटों की एक प्रणाली और विभिन्न सामग्रियों के अधिक जटिल निकायों में बदल जाती है, प्रत्येक सामग्री को इसके मानक यांत्रिक आदर्शीकरण (घनत्व, लोचदार मोडुली, मानक शक्ति विशेषताओं) के रूप में सेट किया जाता है, जिसके बाद समीकरण संकलित किए जाते हैं, कुछ विवरण रास्ते में त्याग दिए जाते हैं, जैसे कि तुच्छ , माप के साथ तुलना की जाती है, मॉडल को परिष्कृत किया जाता है, और इसी तरह। हालांकि, गणितीय मॉडलिंग प्रौद्योगिकियों के विकास के लिए इस प्रक्रिया को मुख्य घटकों में अलग करना उपयोगी है।

परंपरागत रूप से, गणितीय मॉडल से जुड़ी समस्याओं के दो मुख्य वर्ग हैं: प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम।

प्रत्यक्ष कार्य: मॉडल की संरचना और उसके सभी मापदंडों को ज्ञात माना जाता है, मुख्य कार्य ऑब्जेक्ट के बारे में उपयोगी ज्ञान निकालने के लिए मॉडल का अध्ययन करना है। पुल को किस स्थिर भार का सामना करना पड़ सकता है? वह गतिशील भार का जवाब कैसे देगा (उदाहरण के लिए, सैनिकों की एक कंपनी के मार्च तक, या अलग-अलग गति की ट्रेन के पास), विमान ध्वनि अवरोध को कैसे दूर करेगा, क्या यह स्पंदन से अलग हो जाएगा - ये एक प्रत्यक्ष कार्य के विशिष्ट उदाहरण हैं। सही प्रत्यक्ष कार्य निर्धारित करना (सही प्रश्न पूछना) के लिए विशेष कौशल की आवश्यकता होती है। यदि सही सवाल नहीं पूछा जाता है, तो पुल ढह सकता है, भले ही उसके व्यवहार के लिए एक अच्छा मॉडल बनाया गया हो। इसलिए, 1879 में, इंग्लैंड में, एक धातु पुल, ताई नदी के पार गिर गया, जिसके डिजाइनरों ने पुल के एक मॉडल का निर्माण किया, पेलोड की कार्रवाई के लिए 20 गुना सुरक्षा कारक पर इसकी गणना की, लेकिन उन स्थानों में लगातार चलने वाली हवाओं के बारे में भूल गए। और डेढ़ साल बाद वह ढह गया।

सरलतम मामले में (उदाहरण के लिए एक थरथरानवाला समीकरण), प्रत्यक्ष समस्या बहुत सरल है और इस समीकरण के एक स्पष्ट समाधान के लिए कम कर देता है।

उलटा समस्या: कई संभावित मॉडल हैं, आपको ऑब्जेक्ट के बारे में अतिरिक्त डेटा के आधार पर एक विशिष्ट मॉडल चुनने की आवश्यकता है। सबसे अधिक बार, मॉडल की संरचना ज्ञात है, और कुछ अज्ञात मापदंडों को निर्धारित करने की आवश्यकता है। अतिरिक्त जानकारी में अतिरिक्त अनुभवजन्य डेटा या वस्तु के लिए आवश्यकताएं शामिल हो सकती हैं ( डिजाइन कार्य)। उलटा समस्या को हल करने की प्रक्रिया की परवाह किए बिना अतिरिक्त डेटा आ सकता है ( निष्क्रिय अवलोकन) या समाधान के दौरान विशेष रूप से नियोजित एक प्रयोग का परिणाम हो ( सक्रिय अवलोकन).

उपलब्ध डेटा के पूर्ण संभव उपयोग के साथ उलटा समस्या के एक मास्टरली समाधान के पहले उदाहरणों में से एक था। न्यूटन द्वारा निर्मित मनाया नमित दोलनों से घर्षण बलों को बहाल करने की विधि।

अतिरिक्त उदाहरण

जहाँ एक्स रों    - "संतुलन" जनसंख्या का आकार जिस पर प्रजनन क्षमता को मृत्यु दर द्वारा मुआवजा दिया जाता है। इस तरह के मॉडल में जनसंख्या का आकार एक संतुलन मूल्य पर जाता है एक्स रों   , और ऐसा व्यवहार संरचनात्मक रूप से स्थिर है।

खरगोशों और लोमड़ियों की संख्या स्थिर होने पर इस प्रणाली में एक संतुलन स्थिति है। इस राज्य से विचलन से हार्मोनिक ऑसिलेटर में उतार-चढ़ाव के समान खरगोश और लोमड़ियों की संख्या में उतार-चढ़ाव होता है। एक हार्मोनिक थरथरानवाला के मामले में, यह व्यवहार संरचनात्मक रूप से स्थिर नहीं है: मॉडल में एक छोटा परिवर्तन (उदाहरण के लिए, खरगोशों द्वारा आवश्यक सीमित संसाधनों को ध्यान में रखते हुए) व्यवहार में गुणात्मक बदलाव ला सकता है। उदाहरण के लिए, एक संतुलन अवस्था स्थिर हो सकती है, और संख्या में उतार-चढ़ाव क्षय होगा। विपरीत स्थिति भी संभव है, जब संतुलन की स्थिति से किसी भी छोटे विचलन से प्रजातियों में से एक के पूर्ण विलुप्त होने तक भयावह परिणाम होंगे। यह पूछे जाने पर कि इनमें से कौन से परिदृश्य को कार्यान्वित किया जा रहा है, वोल्तेरा-लोटका मॉडल एक उत्तर नहीं देता है: यहां अतिरिक्त शोध की आवश्यकता है।

नोट

1.   "वास्तविकता का गणितीय प्रतिनिधित्व" (एनसाइक्लोपीडिया ब्रिटानिका)
2. नोविक आई। बी।, साइबरनेटिक मॉडलिंग के दार्शनिक मुद्दों पर। एम।, ज्ञान, 1964।
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7.   CliffsNotes
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9. "एक सिद्धांत को रैखिक या गैर-रैखिक माना जाता है, जिसके आधार पर - रैखिक या गैर-रेखीय - गणितीय उपकरण, जो - रैखिक या गैर-रैखिक - गणितीय मॉडल का उपयोग करता है। ... बाद वाले की उपेक्षा के बिना। एक आधुनिक भौतिक विज्ञानी, अगर वह इस तरह की महत्वपूर्ण इकाई की परिभाषा को फिर से बनाने में कामयाब हो गया है, तो यह संभवत: अलग तरह से काम करेगा, और, दो विपरीतताओं के अधिक महत्वपूर्ण और व्यापक रूप में गैर-शुद्धता को प्राथमिकता देते हुए, रैखिकता को "गैर-शुद्धता" के रूप में परिभाषित करेगा। दानिलोव यू.ए., नॉनलाइनर डायनेमिक्स पर व्याख्यान। प्राथमिक परिचय। श्रृंखला "सिनर्जेटिक्स: अतीत से भविष्य तक।" खंड 2। - एम ।: यूआरएसएस, 2006 ।-- 208 पी। आईएसबीएन 5-484-00183-8
10.   “सामान्य अंतर समीकरणों की एक सीमित संख्या द्वारा तैयार किए गए डायनामिक सिस्टम को lumped या पॉइंट सिस्टम कहा जाता है। उन्हें एक परिमित आयामी चरण स्थान का उपयोग करके वर्णित किया गया है और उन्हें स्वतंत्रता की डिग्री की एक सीमित संख्या की विशेषता है। विभिन्न परिस्थितियों में एक ही प्रणाली को या तो केंद्रित या वितरित के रूप में माना जा सकता है। वितरित प्रणालियों के गणितीय मॉडल आंशिक विलंब समीकरण, अभिन्न समीकरण, या विलंबित तर्क के साथ साधारण समीकरण हैं। एक वितरित प्रणाली की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या अनंत है, और इसके राज्य को निर्धारित करने के लिए डेटा की एक अनंत राशि की आवश्यकता होती है। ” अनिसचेंको वी.एस., डायनामिक सिस्टम्स, सोरोस एजुकेशनल जर्नल, 1997, नंबर 11, पी। 77-84।
11.   “सिस्टम एस में अध्ययन के तहत प्रक्रियाओं की प्रकृति के आधार पर, सभी प्रकार के मॉडलिंग को नियतात्मक और स्टोचस्टिक, स्थिर और गतिशील, असतत, निरंतर और असतत-निरंतर में विभाजित किया जा सकता है। नियतात्मक मॉडलिंग नियतात्मक प्रक्रियाओं को प्रदर्शित करता है, अर्थात्, ऐसी प्रक्रियाएं जिनमें किसी भी यादृच्छिक प्रभाव की अनुपस्थिति मान ली जाती है; स्टोकेस्टिक मॉडलिंग संभाव्य प्रक्रियाओं और घटनाओं को प्रदर्शित करता है। ... स्टेटिक मॉडलिंग का उपयोग किसी भी समय किसी वस्तु के व्यवहार का वर्णन करने के लिए किया जाता है, और गतिशील मॉडलिंग समय में किसी वस्तु के व्यवहार को दर्शाता है। असतत मॉडलिंग का उपयोग उन प्रक्रियाओं का वर्णन करने के लिए किया जाता है, जिन्हें क्रमशः असतत माना जाता है, निरंतर मॉडलिंग आपको सिस्टम में निरंतर प्रक्रियाओं को प्रतिबिंबित करने की अनुमति देता है, और असतत-सतत मॉडलिंग उन मामलों के लिए उपयोग किया जाता है जहां आप असतत और निरंतर प्रक्रियाओं दोनों की उपस्थिति को उजागर करना चाहते हैं। " सोवतोव बी। हां।, याकोवलेव एस.ए., मॉडलिंग प्रणाली: पाठ्यपुस्तक। विश्वविद्यालयों के लिए - तीसरा संस्करण।, संशोधित। और जोड़ें। - एम।: उच्चतर। स्कूल, 2001 .-- 343 पी। आईएसबीएन 5-06-003860-2
12. आमतौर पर, एक गणितीय मॉडल सिम्युलेटेड ऑब्जेक्ट की संरचना (उपकरण) को दर्शाता है, जो शोध गुणों के उद्देश्य और इस वस्तु के घटकों के संबंध के लिए आवश्यक है; ऐसे मॉडल को संरचनात्मक कहा जाता है। यदि मॉडल केवल यह दर्शाता है कि ऑब्जेक्ट कैसे कार्य करता है - उदाहरण के लिए, यह बाहरी प्रभावों पर कैसे प्रतिक्रिया करता है - तो इसे कार्यात्मक या आलंकारिक रूप से एक ब्लैक बॉक्स कहा जाता है। संयुक्त मॉडल भी संभव हैं। माईशिस ए। डी।, गणितीय मॉडल के सिद्धांत के तत्व। - तीसरा संस्करण। Rev. - एम।: कोमनिगा, 2007 ।-- 192 आईएसबीएन 978-5-484-00953-4 के साथ
13.   “स्पष्ट, लेकिन गणितीय मॉडल का निर्माण या चयन करने का सबसे महत्वपूर्ण प्रारंभिक चरण अनौपचारिक चर्चाओं के आधार पर संभव के रूप में मॉडलिंग की गई वस्तु की एक तस्वीर प्राप्त करना और इसके मूल मॉडल को परिष्कृत करना है। आप इस स्तर पर समय और प्रयास को नहीं छोड़ सकते हैं, पूरे अध्ययन की सफलता काफी हद तक इस पर निर्भर करती है। यह अक्सर ऐसा हुआ है कि गणितीय समस्या को हल करने के लिए खर्च किए गए काफी काम अप्रभावी हो गए या मामले के इस पक्ष पर अपर्याप्त ध्यान देने के कारण बर्बाद हो गए। ” माईशिस ए। डी।, गणितीय मॉडल के सिद्धांत के तत्व। - तीसरा संस्करण। Rev. - एम ।: कोमनिगा, 2007 ।-- 192 आईएसबीएन 978-5-484-00953-4 के साथ, पी। 35।
14. « प्रणाली के वैचारिक मॉडल का विवरण।   सिस्टम मॉडल के निर्माण के इस उप-चरण में: ए) एक वैचारिक मॉडल एम को सार शब्दों और अवधारणाओं में वर्णित किया गया है; ख) मानक गणितीय योजनाओं का उपयोग करके मॉडल का विवरण दिया गया है; ग) अंत में स्वीकार किए गए परिकल्पना और धारणाएं; घ) मॉडल बनाते समय वास्तविक प्रक्रियाओं के लिए सन्निकटन प्रक्रिया का विकल्प उचित है। " सोवतोव बी। हां।, याकोवलेव एस.ए., मॉडलिंग प्रणाली: पाठ्यपुस्तक। विश्वविद्यालयों के लिए - तीसरा संस्करण।, संशोधित। और जोड़ें। - एम।: उच्चतर। स्कूल, 2001 .-- 343 पी। आईएसबीएन 5-06-003860-2, पी। 93।

मॉडल और मॉडलिंग की अवधारणा।

व्यापक अर्थों में मॉडल   - यह किसी भी आयतन, प्रतिनिधि या प्रतिनिधि के रूप में इस्तेमाल की जाने वाली किसी भी मात्रा, प्रक्रिया या घटना का मानसिक या स्थापित चित्र, विवरण, आरेख, रेखाचित्र, मानचित्र आदि का कोई भी चित्र है। ऑब्जेक्ट, प्रक्रिया या घटना को ही इस मॉडल का मूल कहा जाता है।

मोडलिंग - किसी भी वस्तु या प्रणाली का अध्ययन उनके मॉडलों के निर्माण और अध्ययन से होता है। यह विशेषताओं को निर्धारित करने या परिष्कृत करने और नवनिर्मित वस्तुओं के निर्माण के तरीकों को तर्कसंगत बनाने के लिए मॉडल का उपयोग है।

वैज्ञानिक अनुसंधान की कोई भी विधि मॉडलिंग के विचार पर आधारित है, जबकि सैद्धांतिक विधियाँ विभिन्न प्रकार के संकेत, अमूर्त मॉडल और प्रयोगात्मक विधियों का उपयोग विभिन्न मॉडलों का उपयोग करती हैं।

अध्ययन में, एक जटिल वास्तविक घटना को कुछ सरलीकृत प्रतिलिपि या आरेख द्वारा बदल दिया जाता है, कभी-कभी ऐसी प्रतिलिपि केवल याद रखने और अगली बैठक में अगली घटना जानने के लिए कार्य करती है। कभी-कभी निर्मित योजना कुछ आवश्यक विशेषताओं को दर्शाती है, आपको घटना के तंत्र को समझने की अनुमति देती है, इसके परिवर्तन की भविष्यवाणी करना संभव बनाता है। विभिन्न मॉडल एक ही घटना के अनुरूप हो सकते हैं।

शोधकर्ता का कार्य घटना की प्रकृति और प्रक्रिया के पाठ्यक्रम की भविष्यवाणी करना है।

कभी-कभी, ऐसा होता है कि एक वस्तु सुलभ है, लेकिन इसके साथ प्रयोग महंगे हैं या गंभीर पर्यावरणीय परिणाम हैं। ऐसी प्रक्रियाओं का ज्ञान मॉडल का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है।

एक महत्वपूर्ण बिंदु - विज्ञान की प्रकृति में एक विशिष्ट घटना नहीं, बल्कि संबंधित घटनाओं की एक विस्तृत कक्षा का अध्ययन शामिल है। यह कुछ सामान्य श्रेणीबद्ध कथनों को बनाने की आवश्यकता का सुझाव देता है, जिन्हें कानून कहा जाता है। स्वाभाविक रूप से, इस तरह के सूत्रीकरण के साथ, कई विवरण उपेक्षित होते हैं। पैटर्न को अधिक स्पष्ट रूप से पहचानने के लिए, वे सचेत रूप से मोटे तौर पर, आदर्शीकरण, और योजनावाद के लिए जाते हैं, अर्थात्, वे स्वयं घटना नहीं, बल्कि इसके बारे में अधिक सटीक प्रतिलिपि या मॉडल का अध्ययन करते हैं। सभी कानून मॉडल पर कानून हैं, और इसलिए इस तथ्य में कोई आश्चर्य की बात नहीं है कि समय के साथ, कुछ वैज्ञानिक सिद्धांतों को अनुपयुक्त के रूप में मान्यता दी जाती है। इससे विज्ञान का पतन नहीं होता है, क्योंकि एक मॉडल को दूसरे द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था अधिक आधुनिक.

विज्ञान में एक विशेष भूमिका गणितीय मॉडल, निर्माण सामग्री और इन मॉडलों के उपकरण गणितीय अवधारणाओं द्वारा निभाई जाती है। वे सहस्राब्दियों से जमा हुए और सुधरे। आधुनिक गणित बेहद शक्तिशाली और बहुमुखी अनुसंधान उपकरण प्रदान करता है। गणित में लगभग हर अवधारणा, हर गणितीय वस्तु, संख्या की अवधारणा से शुरू होती है, एक गणितीय मॉडल है। गणितीय मॉडल का निर्माण करते समय, जिस वस्तु या घटना का अध्ययन किया जा रहा है, उन विशेषताओं, विशेषताओं और विवरणों को प्रतिष्ठित किया जाता है, जो एक ओर, वस्तु के बारे में कम या ज्यादा पूरी जानकारी रखते हैं, और दूसरी ओर, गणितीय औपचारिकता की अनुमति देते हैं। गणितीय औपचारिकता का अर्थ है कि किसी वस्तु की विशेषताओं और विवरणों का मिलान उचित गणितीय अवधारणाओं से किया जा सकता है: संख्याएँ, कार्य, मैट्रिक्स, और इसी तरह। फिर इसके व्यक्तिगत भागों और घटकों के बीच अध्ययन किए गए ऑब्जेक्ट में खोजे गए और ग्रहण किए गए संबंधों को गणितीय संबंधों का उपयोग करके लिखा जा सकता है: समानताएं, असमानताएं, समीकरण। परिणाम अध्ययन की प्रक्रिया का गणितीय विवरण या एक घटना है, अर्थात्, इसका गणितीय मॉडल।

एक गणितीय मॉडल का अध्ययन हमेशा अध्ययन की गई वस्तुओं पर कार्रवाई के कुछ नियमों से जुड़ा होता है। ये नियम कारणों और प्रभावों के बीच संबंध को दर्शाते हैं।

गणितीय मॉडल का निर्माण किसी भी प्रणाली के अध्ययन या डिजाइन में केंद्रीय चरण है। ऑब्जेक्ट का संपूर्ण बाद का विश्लेषण मॉडल की गुणवत्ता पर निर्भर करता है। एक मॉडल का निर्माण एक औपचारिक प्रक्रिया नहीं है। यह शोधकर्ता पर निर्भर करता है, उसका अनुभव और स्वाद, हमेशा एक निश्चित प्रयोगात्मक सामग्री पर निर्भर करता है। मॉडल पर्याप्त रूप से सटीक, पर्याप्त होना चाहिए और उपयोग करने के लिए सुविधाजनक होना चाहिए।

गणितीय मॉडलिंग।

गणितीय मॉडल का वर्गीकरण।

गणितीय मॉडल हो सकते हैंdetermenirovannymi और स्टोकेस्टिक .

Determenirovannye मॉडल और - ये ऐसे मॉडल हैं जिनमें ऑब्जेक्ट या घटना का वर्णन करने वाले चर के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित किया जाता है।

यह दृष्टिकोण वस्तुओं के कामकाज के तंत्र के ज्ञान पर आधारित है। अक्सर मॉडल की गई वस्तु जटिल होती है और इसके तंत्र को डिकोड करना बहुत समय लेने वाला और समय लेने वाला हो सकता है। इस मामले में, वे निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं: वे मूल पर प्रयोगों का संचालन करते हैं, प्राप्त परिणामों की प्रक्रिया करते हैं और गणितीय आंकड़ों और संभाव्यता सिद्धांत के तरीकों का उपयोग करके मॉडल किए गए ऑब्जेक्ट के तंत्र और सिद्धांत पर ध्यान दिए बिना, ऑब्जेक्ट का वर्णन करने वाले चर के बीच संबंध स्थापित करते हैं। इस मामले में, प्राप्त करेंstahosticheskuyu मॉडल .   stahosticheskoy   चर के बीच संबंध के मॉडल प्रकृति में यादृच्छिक हैं, कभी-कभी यह सिद्धांत में होता है। बड़ी संख्या में कारकों का प्रभाव, उनके संयोजन वस्तु या घटना का वर्णन करने वाले चर का एक यादृच्छिक सेट होता है। मोड की प्रकृति से, मॉडल हो सकता हैसांख्यिकीय और गतिशील.

सांख्यिकीय   मॉडल   समय के साथ मापदंडों में परिवर्तन को ध्यान में रखे बिना स्थिर स्थिति में सिम्युलेटेड ऑब्जेक्ट के मुख्य चर के बीच संबंधों का विवरण शामिल है।

गतिशील   आदर्शएक मोड से दूसरे मोड में संक्रमण के दौरान सिम्युलेटेड ऑब्जेक्ट के मुख्य चर के बीच संबंध का वर्णन करता है।

मॉडल आते हैं अलगऔर निरंतरसाथ ही मिश्रित टाइप करें। निरंतर चर एक निश्चित अंतराल से, में मान लेते हैंअलगचर पृथक मान लेते हैं।

रैखिक मॉडल- मॉडल का वर्णन करने वाले सभी फ़ंक्शन और संबंध रैखिक रूप से चर पर निर्भर करते हैं औररैखिक नहीं   अन्यथा।

गणितीय मॉडलिंग।

आवश्यकताओं एन redyavlyaemye   मॉडल के लिए।

1. चंचलता   - एक वास्तविक वस्तु के अध्ययन किए गए गुणों के मॉडल प्रदर्शन की पूर्णता की विशेषता है।

1. पर्याप्तता - एक त्रुटि के साथ वस्तु के वांछित गुणों को प्रतिबिंबित करने की क्षमता निर्दिष्ट से अधिक नहीं है।
2. सटीकता - एक वास्तविक वस्तु की विशेषताओं के मूल्यों के संयोग की डिग्री और मॉडल का उपयोग करके प्राप्त इन विशेषताओं के मूल्यों से अनुमान लगाया जाता है।
3. अर्थव्यवस्था - कंप्यूटर मेमोरी संसाधनों की लागत और इसके कार्यान्वयन और संचालन के लिए समय द्वारा निर्धारित किया जाता है।

गणितीय मॉडलिंग।

मॉडलिंग के मुख्य चरण।

1. समस्या का विवरण।

विश्लेषण के उद्देश्य और इसे प्राप्त करने के तरीकों का निर्धारण करना और अध्ययन के तहत समस्या के लिए एक सामान्य दृष्टिकोण विकसित करना। इस स्तर पर, कार्य के सार की गहरी समझ की आवश्यकता होती है। कभी-कभी, कार्य को सही ढंग से निर्धारित करना इसे हल करने से कम कठिन नहीं है। सेटिंग एक औपचारिक प्रक्रिया नहीं है, सामान्य नियम नहीं हैं।

2. सैद्धांतिक नींवों का अध्ययन करना और मूल वस्तु के बारे में जानकारी एकत्र करना।

इस स्तर पर, एक उपयुक्त सिद्धांत का चयन या विकास किया जाता है। यदि यह नहीं है, तो वस्तु का वर्णन करने वाले चर के बीच कारण संबंध स्थापित किए जाते हैं। इनपुट और आउटपुट डेटा निर्धारित किए जाते हैं, मान्यताओं को सरल बनाया जाता है।

3. औपचारिककरण।

इसमें प्रतीकों की एक प्रणाली का चयन करना और गणितीय अभिव्यक्तियों के रूप में ऑब्जेक्ट के घटकों के बीच संबंधों को रिकॉर्ड करने के लिए उनका उपयोग करना शामिल है। समस्याओं का एक वर्ग स्थापित होता है, जिसे किसी वस्तु के गणितीय मॉडल को सौंपा जा सकता है। इस स्तर पर कुछ मापदंडों के मूल्य अभी भी निर्दिष्ट नहीं किए जा सकते हैं।

4. एक समाधान विधि का चुनाव।

इस स्तर पर, मॉडल के अंतिम मापदंडों को ऑब्जेक्ट की परिचालन स्थितियों को ध्यान में रखते हुए स्थापित किया जाता है। परिणामस्वरूप गणितीय समस्या के लिए, एक समाधान पद्धति का चयन किया जाता है या एक विशेष विधि विकसित की जाती है। एक विधि का चयन करते समय, उपयोगकर्ता की जानकारी, उसकी प्राथमिकताएं, साथ ही डेवलपर की वरीयताओं को ध्यान में रखा जाता है।

5. मॉडल का कार्यान्वयन।

एल्गोरिथ्म को विकसित करने के बाद, एक प्रोग्राम लिखा जाता है जिसे डीबग किया जाता है, परीक्षण किया जाता है, और वांछित समस्या का समाधान प्राप्त किया जाता है।

6. प्राप्त जानकारी का विश्लेषण।

प्राप्त और प्रस्तावित समाधानों की तुलना की जाती है, सिमुलेशन त्रुटि को नियंत्रित किया जाता है।

7. वास्तविक वस्तु की पर्याप्तता की जाँच करना।

मॉडल द्वारा प्राप्त परिणामों की तुलना की जाती है   ऑब्जेक्ट के बारे में जानकारी के साथ या एक प्रयोग आयोजित किया जा रहा है और इसके परिणामों की गणना की गई लोगों के साथ की जाती है।

मॉडलिंग की प्रक्रिया पुनरावृत्त है। चरणों के असंतोषजनक परिणामों के मामले में 6. या 7. एक प्रारंभिक चरण में वापसी की जाती है, जिससे असफल मॉडल का विकास हो सकता है। इस चरण और उसके बाद के सभी को परिष्कृत किया जाता है और मॉडल का ऐसा शोधन तब तक होता है जब तक कि स्वीकार्य परिणाम प्राप्त नहीं होते हैं।

एक गणितीय मॉडल गणित की भाषा में वास्तविक दुनिया की घटनाओं या वस्तुओं के एक वर्ग का एक अनुमानित विवरण है। मॉडलिंग का मुख्य लक्ष्य इन वस्तुओं की जांच करना और भविष्य की टिप्पणियों के परिणामों की भविष्यवाणी करना है। हालांकि, मॉडलिंग भी आसपास की दुनिया के संज्ञान की एक विधि है, जो इसे नियंत्रित करना संभव बनाता है।

गणितीय मॉडलिंग और संबद्ध कंप्यूटर प्रयोग उन मामलों में अपरिहार्य हैं जब एक पूर्ण पैमाने पर प्रयोग एक कारण या किसी अन्य के लिए असंभव या कठिन होता है। उदाहरण के लिए, "क्या होगा अगर ..." सत्यापित करने के लिए इतिहास में एक पूर्ण-पैमाने पर प्रयोग स्थापित करना असंभव है, किसी विशेष ब्रह्मांड सिद्धांत की शुद्धता को सत्यापित करना असंभव है। सिद्धांत रूप में, यह संभव है, लेकिन शायद ही उचित हो, किसी बीमारी को फैलाने के लिए एक प्रयोग करना, जैसे कि प्लेग, या इसके परिणामों का अध्ययन करने के लिए परमाणु विस्फोट करना। हालाँकि, यह सब एक कंप्यूटर पर किया जा सकता है, जिसमें पहले अध्ययन किए गए घटना के गणितीय मॉडल बनाए गए हैं।

1.1.2 2. गणितीय मॉडलिंग के मुख्य चरण

1) मॉडल बिल्डिंग. इस स्तर पर, एक निश्चित "गैर-गणितीय" वस्तु निर्दिष्ट है - एक प्राकृतिक घटना, एक निर्माण, एक आर्थिक योजना, एक उत्पादन प्रक्रिया, आदि। इस मामले में, एक नियम के रूप में, स्थिति का एक स्पष्ट विवरण मुश्किल है।   सबसे पहले, घटना की मुख्य विशेषताएं और गुणात्मक स्तर पर उनके बीच के संबंध का पता चलता है। फिर पाया गुणात्मक निर्भरता गणित की भाषा में तैयार की जाती है, अर्थात एक गणितीय मॉडल बनाया जाता है। यह मॉडलिंग का सबसे कठिन चरण है।

२) गणितीय समस्या का हल जिससे मॉडल आगे बढ़ता है। इस स्तर पर, कंप्यूटर की समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिदम और संख्यात्मक तरीकों के विकास पर बहुत ध्यान दिया जाता है, जिसकी मदद से परिणाम आवश्यक सटीकता और उचित समय के साथ पाया जा सकता है।

3) गणितीय मॉडल से प्राप्त परिणामों की व्याख्या।   गणित की भाषा में मॉडल से किए गए परिणामों की व्याख्या इस क्षेत्र में अपनाई गई भाषा में की जाती है।

4) मॉडल की पर्याप्तता का सत्यापन।   इस स्तर पर, यह स्पष्ट हो जाता है कि प्रायोगिक परिणाम एक निश्चित सटीकता के भीतर मॉडल के सैद्धांतिक परिणामों के अनुरूप हैं या नहीं।

5) मॉडल का संशोधन।   इस स्तर पर, या तो मॉडल की एक जटिलता व्यावहारिक रूप से स्वीकार्य समाधान प्राप्त करने के लिए इसे वास्तविकता के लिए अधिक पर्याप्त बनाने के लिए होती है, या इसके सरलीकरण के लिए।

1.1.3 3. मॉडल का वर्गीकरण

मॉडल को विभिन्न मानदंडों के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, हल की जाने वाली समस्याओं की प्रकृति से, मॉडल को कार्यात्मक और संरचनात्मक में विभाजित किया जा सकता है। पहले मामले में, घटना या वस्तु को चिह्नित करने वाली सभी मात्राएं मात्रात्मक रूप से व्यक्त की जाती हैं। इसी समय, उनमें से कुछ को स्वतंत्र चर के रूप में माना जाता है, जबकि अन्य को इन मात्राओं के कार्यों के रूप में माना जाता है। एक गणितीय मॉडल आम तौर पर विभिन्न प्रकारों (अंतर, बीजगणितीय, आदि) के समीकरणों की एक प्रणाली है जो माना मात्रा के बीच मात्रात्मक संबंध स्थापित करते हैं। दूसरे मामले में, मॉडल एक जटिल ऑब्जेक्ट की संरचना को अलग-अलग हिस्सों से मिलकर चित्रित करता है, जिसके बीच कुछ निश्चित कनेक्शन होते हैं। आमतौर पर, ये संबंध मात्रात्मक नहीं होते हैं। ऐसे मॉडल का निर्माण करने के लिए, ग्राफ सिद्धांत का उपयोग करना सुविधाजनक है। एक ग्राफ एक गणितीय वस्तु है जो एक विमान या अंतरिक्ष पर बिंदुओं (वर्टिकल) के एक निश्चित सेट का प्रतिनिधित्व करता है, जिनमें से कुछ लाइनों (किनारों) से जुड़े होते हैं।

प्रारंभिक डेटा की प्रकृति और भविष्यवाणी के परिणामों से, मॉडल को नियतात्मक और संभाव्य-सांख्यिकीय में विभाजित किया जा सकता है। पहले प्रकार के मॉडल निश्चित, अस्पष्ट भविष्यवाणियां देते हैं। दूसरे प्रकार के मॉडल सांख्यिकीय जानकारी पर आधारित होते हैं, और उनकी सहायता से प्राप्त भविष्यवाणियां संभावित हैं।

मैथेमेटिकल मोडलिंग और जनरल कंप्यूटर या सिम्यूलेशन मॉडल

अब, जब देश में लगभग सार्वभौमिक कम्प्यूटरीकरण हो रहा है, तो किसी को विभिन्न व्यवसायों के विशेषज्ञों से बातें सुननी पड़ती हैं: "यहां हम अपने आप में कंप्यूटर पेश करेंगे, तो सभी कार्य तुरंत हल हो जाएंगे।" यह दृष्टिकोण पूरी तरह से असत्य है, अकेले कंप्यूटर कुछ प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडल के बिना कुछ नहीं कर सकते हैं, और कोई केवल सार्वभौमिक कम्प्यूटरीकरण का सपना देख सकता है।

पूर्वगामी के समर्थन में, हम मॉडलिंग की आवश्यकता को उचित ठहराने की कोशिश करेंगे, जिसमें गणितीय मॉडलिंग भी शामिल है, मानव संज्ञान में इसके फायदे और बाहरी दुनिया के परिवर्तन को प्रकट करते हैं, मौजूदा कमियों की पहचान करते हैं और जाते हैं ... अनुकरण मॉडलिंग के लिए, अर्थात्। कंप्यूटर सिमुलेशन। लेकिन सभी क्रम में।

सबसे पहले, हम इस सवाल का जवाब देते हैं: एक मॉडल क्या है?

एक मॉडल एक सामग्री या मानसिक रूप से प्रस्तुत वस्तु है जो अनुभूति (अध्ययन) की प्रक्रिया में, मूल की जगह लेती है, जबकि इस अध्ययन के लिए महत्वपूर्ण कुछ विशिष्ट गुणों को बनाए रखना है।

एक अच्छी तरह से निर्मित मॉडल वास्तविक वस्तु की तुलना में अनुसंधान के लिए अधिक सुलभ है। उदाहरण के लिए, शैक्षिक उद्देश्यों के लिए देश की अर्थव्यवस्था के साथ प्रयोग अस्वीकार्य हैं, यहां आप एक मॉडल के बिना नहीं कर सकते।

उपरोक्त संक्षेप में, कोई भी प्रश्न का उत्तर दे सकता है: मॉडल किसके लिए हैं? के क्रम में

• यह समझने के लिए कि ऑब्जेक्ट कैसे संरचित है (इसकी संरचना, गुण, विकास के नियम, बाहरी दुनिया के साथ बातचीत)।
• एक वस्तु (प्रक्रिया) का प्रबंधन करना और सर्वोत्तम रणनीतियों का निर्धारण करना सीखें
• वस्तु के संपर्क में आने के प्रभावों का अनुमान लगाना।

किसी भी मॉडल में सकारात्मक क्या है? यह आपको ऑब्जेक्ट के बारे में नया ज्ञान प्राप्त करने की अनुमति देता है, लेकिन, दुर्भाग्य से, एक डिग्री या किसी अन्य के लिए पूर्ण नहीं है।

आदर्श   गणितीय विधियों का उपयोग करके गणित की भाषा में तैयार किए गए को गणितीय मॉडल कहा जाता है।

इसके निर्माण का प्रारंभिक बिंदु आमतौर पर कुछ कार्य है, उदाहरण के लिए, आर्थिक। वर्णनात्मक और अनुकूलन दोनों गणितीय व्यापक हैं, जो विभिन्न विशेषताओं को दर्शाते हैं आर्थिक प्रक्रियाओं   और घटना, उदाहरण के लिए:

• संसाधन आवंटन
• तर्कसंगत काटने
• ढुलाई
• उद्यम समेकन
• नेटवर्क योजना।

गणितीय मॉडल का निर्माण कैसे होता है?

• सबसे पहले, अनुसंधान के लक्ष्य और विषय तैयार किए जाते हैं।
• दूसरे, इस लक्ष्य के लिए प्रासंगिक सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं पर प्रकाश डाला गया है।
• तीसरा, मॉडल तत्वों के बीच परस्पर संबंध मौखिक रूप से वर्णित हैं।
• इसके अलावा, रिश्ते को औपचारिक रूप दिया जाता है।
• और गणना गणितीय मॉडल और प्राप्त समाधान के विश्लेषण के अनुसार की जाती है।

इस एल्गोरिथ्म का उपयोग करना, किसी भी अनुकूलन समस्या को हल करना संभव है, जिसमें मल्टीक्रिटेरिया, अर्थात्। एक जिसमें एक नहीं बल्कि कई लक्ष्यों का पीछा किया जाता है, जिसमें परस्पर विरोधी भी शामिल हैं।

हम एक उदाहरण देते हैं। कतारबद्ध सिद्धांत एक कतारबद्ध समस्या है। दो कारकों को संतुलित करने की आवश्यकता है: सर्विसिंग उपकरणों को बनाए रखने की लागत और लाइन में रहने की लागत। मॉडल का एक औपचारिक विवरण निर्मित करने के बाद, गणना विश्लेषणात्मक और कम्प्यूटेशनल विधियों का उपयोग करके की जाती है। यदि मॉडल अच्छा है, तो इसकी सहायता से पाए गए उत्तर मॉडलिंग सिस्टम के लिए पर्याप्त हैं, अगर यह खराब है, तो इसे सुधारना चाहिए और प्रतिस्थापित करना चाहिए। पर्याप्तता की कसौटी अभ्यास है।

अनुकूलन मॉडल, जिसमें मल्टीक्रिटेरिया वाले शामिल हैं, के पास एक सामान्य संपत्ति है - एक ज्ञात लक्ष्य (या कई लक्ष्य) जिन्हें प्राप्त करने के लिए आपको अक्सर जटिल प्रणालियों से निपटना पड़ता है, जहां यह अनुकूलन समस्याओं को हल करने के बारे में इतना नहीं है, लेकिन अनुसंधान और राज्यों की भविष्यवाणी के आधार पर चयन प्रबंधन रणनीतियों। और यहां हम पिछली योजना को लागू करने में कठिनाइयों का सामना करते हैं। वे इस प्रकार हैं:

• एक जटिल प्रणाली में तत्वों के बीच कई लिंक होते हैं
• वास्तविक प्रणाली यादृच्छिक कारकों से प्रभावित है, उन्हें विश्लेषणात्मक रूप से लेखांकन करना असंभव है
• मॉडल के साथ मूल की तुलना करने की संभावना केवल शुरुआत में और गणितीय उपकरण को लागू करने के बाद मौजूद है, क्योंकि मध्यवर्ती परिणाम एक वास्तविक प्रणाली में अनुरूप नहीं हो सकता है।

जटिल प्रणालियों के अध्ययन में उत्पन्न होने वाली उपरोक्त कठिनाइयों के संबंध में, अभ्यास को अधिक लचीली विधि की आवश्यकता थी, और यह दिखाई दिया - सिमुलेशन मॉडलिंग "सिमुजेशन मॉडलिंग"।

आमतौर पर, एक सिमुलेशन मॉडल कंप्यूटर प्रोग्राम के एक सेट को संदर्भित करता है जो सिस्टम के व्यक्तिगत ब्लॉकों के कामकाज और उनके बीच बातचीत के नियमों का वर्णन करता है। यादृच्छिक चर का उपयोग सिमुलेशन प्रणाली (कंप्यूटर पर) और परिणामों के बाद के सांख्यिकीय विश्लेषण के साथ बार-बार प्रयोगों का संचालन करना आवश्यक बनाता है। सिमुलेशन मॉडल का उपयोग करने का एक बहुत ही सामान्य उदाहरण MONTE - CARLO विधि का उपयोग करके कतार की समस्या का समाधान है।

इस प्रकार, सिमुलेशन प्रणाली के साथ काम करना एक कंप्यूटर पर किया गया प्रयोग है। क्या लाभ हैं?

-गणितीय मॉडल की तुलना में वास्तविक प्रणाली के लिए ग्रेटर निकटता;

-सामान्य प्रणाली में शामिल करने से पहले ब्लॉक सिद्धांत प्रत्येक ब्लॉक को सत्यापित करना संभव बनाता है;

-एक अधिक जटिल प्रकृति की निर्भरता का उपयोग, सरल गणितीय संबंधों द्वारा वर्णित नहीं है।

ये फायदे नुकसान का निर्धारण करते हैं

-एक सिमुलेशन मॉडल का निर्माण लंबे समय तक, कठिन और अधिक महंगा;

-एक सिमुलेशन प्रणाली के साथ काम करने के लिए, एक कंप्यूटर होना आवश्यक है जो वर्ग के लिए उपयुक्त हो;

-उपयोगकर्ता और सिमुलेशन मॉडल (इंटरफ़ेस) की बातचीत बहुत जटिल, सुविधाजनक और प्रसिद्ध नहीं होनी चाहिए;

-एक सिमुलेशन मॉडल के निर्माण के लिए गणितीय मॉडलिंग की तुलना में वास्तविक प्रक्रिया के गहन अध्ययन की आवश्यकता होती है।

सवाल यह है: क्या सिमुलेशन अनुकूलन विधियों की जगह ले सकता है? नहीं, लेकिन आसानी से उन्हें पूरक है। सिमुलेशन मॉडल एक ऐसा प्रोग्राम है जो एक निश्चित एल्गोरिदम को लागू करता है जिसके लिए अनुकूलन कार्य पहले नियंत्रण को अनुकूलित करने के लिए हल किया जाता है।

इसलिए, न तो एक कंप्यूटर, न ही एक गणितीय मॉडल, और न ही इसके अध्ययन के लिए एक एल्गोरिथ्म बल्कि एक जटिल समस्या को हल कर सकता है। लेकिन साथ में वे उस बल का प्रतिनिधित्व करते हैं जो आपको अपने चारों ओर की दुनिया को जानने की अनुमति देता है, ताकि वह मनुष्य के हितों को नियंत्रित कर सके।

1.2 मॉडल का वर्गीकरण