ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲ ವಿಧಾನಗಳು

ನಿಮ್ಮ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀವು ಆದೇಶಿಸಬಹುದು !!!

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಯ (`ಪಾಪ x, cos x, ಟ್ಯಾನ್ x` ಅಥವಾ` ctg x`) ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ಅವುಗಳ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಸರಳವಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು `ಪಾಪ x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a` ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ` x` ಕೋನವಾಗಿದೆ, `a` ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ.

1. ಸಮೀಕರಣ `ಪಾಪ x = a`.

`| A |> 1` ಗೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ.

`| ಎ | ಗಾಗಿ \ leq 1` ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಮೂಲ ಸೂತ್ರ: `x = (- 1) ^ n ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ a + \ pi n, n \ n Z`

2. ಸಮೀಕರಣ `cos x = a`

`| A |> 1` ಗಾಗಿ - ಸೈನ್‌ನಂತೆ, ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಅದಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ.

`| ಎ | ಗಾಗಿ \ leq 1` ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ರೂಟ್ ಫಾರ್ಮುಲಾ: `x = \ pm ಆರ್ಕೋಸ್ a + 2 \ pi n, n \ Z ನಲ್ಲಿ

ಗ್ರಾಫ್ ಗಳಲ್ಲಿ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಗಾಗಿ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳು.

3. ಸಮೀಕರಣ `tg x = a`

`A` ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಮೂಲ ಸೂತ್ರ: `x = ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ a + \ pi n, n \ in Z`

4. ಸಮೀಕರಣ `ctg x = a`

`A` ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ.

ರೂಟ್ ಸೂತ್ರ: `x = arcctg a + \ pi n, n \ in Z`

ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬೇರುಗಳಿಗಾಗಿ ಸೂತ್ರಗಳು

ಸೈನ್ ಗಾಗಿ:
ಕೊಸೈನ್ ಗಾಗಿ:
ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೊಟಾಂಜೆಂಟ್‌ಗಾಗಿ:
ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳು:

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು

ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು ಎರಡು ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:

• ಅದನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ;
• ಮೇಲಿನ ಲಿಖಿತ ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಪಡೆದ ಸರಳ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಪರಿಹರಿಸುವ ಮುಖ್ಯ ವಿಧಾನಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಬೀಜಗಣಿತ ವಿಧಾನ.

ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಿ ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಗೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: `2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3sin (\ frac \ pi 3 - x) + 1 = 0`

`2 ಕೋಸ್ ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3cos (x + \ frac \ pi 6) + 1 = 0`,

ನಾವು ಬದಲಾವಣೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: `cos (x + \ frac \ pi 6) = y`, ನಂತರ` 2y ^ 2-3y + 1 = 0`,

ನಾವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: `y_1 = 1, y_2 = 1 / 2`, ಅಲ್ಲಿಂದ ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ:

1.` cos (x + \ frac \ pi 6) = 1`, `x + \ frac \ pi 6 = 2 \ pi n`,` x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

2.` cos (x + \ frac \ pi 6) = 1 / 2`, `x + \ frac \ pi 6 = \ pm arccos 1/2 + 2 \ pi n`,` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

ಉತ್ತರ: `x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`,` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್.

ಉದಾಹರಣೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: `ಪಾಪ x + cos x = 1`.

ಪರಿಹಾರ ಸಮಾನತೆಯ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ: `ಪಾಪ x + cos x-1 = 0`. ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಬಳಸುವುದು, ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅಂಶ ಮಾಡುವುದು:

`ಪಾಪ x - 2 ಪಾಪ ^ 2 x / 2 = 0`,

`2 ಸಿನ್ x / 2 cos x / 2-2 ಸಿನ್ ^ 2 x / 2 = 0`,

`2 ಸಿನ್ x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) = 0`,

1. `ಪಾಪ x / 2 = 0`,` x / 2 = \ pi n`, `x_1 = 2 \ pi n`.
2. `cos x / 2-sin x / 2 = 0`,` tg x / 2 = 1`, `x / 2 = arctan 1+ \ pi n`,` x / 2 = \ pi / 4 + \ pi n` , `x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

ಉತ್ತರ: `x_1 = 2 \ pi n`,` x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಡಿತ

ಮೊದಲಿಗೆ, ನೀವು ಈ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎರಡು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ತರಬೇಕು:

`ಒಂದು ಪಾಪ x + b cos x = 0` (ಮೊದಲ ಹಂತದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ) ಅಥವಾ` ಒಂದು ಪಾಪ ^ 2 x + b ಪಾಪ x cos x + c cos ^ 2 x = 0` (ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ).

ನಂತರ ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು `cos x \ ne 0` - - ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ, ಮತ್ತು` cos ^ 2 x \ ne 0` - ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಭಾಗಿಸಿ. ನಾವು `tg x` ಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:` a tg x + b = 0` ಮತ್ತು `a tg ^ 2 x + b tg x + c = 0`, ಇದನ್ನು ತಿಳಿದಿರುವ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: `2 ಪಾಪ ^ 2 x + ಪಾಪ x cos x - cos ^ 2 x = 1`.

ಪರಿಹಾರ ಬಲಭಾಗವನ್ನು `1 = ಪಾಪ ^ 2 x + cos ^ 2 x` ಎಂದು ಪುನಃ ಬರೆಯಿರಿ:

`2 ಪಾಪ ^ 2 x + ಪಾಪ x cos x - cos ^ 2 x =" sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`,

`2 ಪಾಪ ^ 2 x + ಪಾಪ x cos x - cos ^ 2 x -` `ಪಾಪ ^ 2 x - cos ^ 2 x = 0`

`ಪಾಪ ^ 2 x + ಪಾಪ x cos x - 2 cos ^ 2 x = 0`.

ಇದು ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಏಕರೂಪದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ನಾವು ಅದರ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಭಾಗಗಳನ್ನು `cos ^ 2 x \ n 0` ನಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

`\ frac (sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \ frac (sin x cos x) (cos cos 2 x) - \ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) = 0`

`tg ^ 2 x + tg x - 2 = 0`. ಬದಲಿಯಾಗಿ ನಾವು `tg x = t` ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ,` t ^ 2 + t - 2 = 0`. ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು `t_1 = -2` ಮತ್ತು` t_2 = 1`. ನಂತರ:

1. `tg x = -2`,` x_1 = arctg (-2) + \ pi n`, `n \ in Z`
2. `tg x = 1`,` x = arctan 1+ \ pi n`, `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n`,` n \ in Z`.

ಉತ್ತರ `x_1 = arctg (-2) + \ pi n`,` n \ in Z`, `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n`,` n \ in Z`.

ಅರ್ಧ ಮೂಲೆಗೆ ಹೋಗಿ

ಉದಾಹರಣೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: `11 ಪಾಪ x - 2 cos x = 10`.

ಪರಿಹಾರ ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಡಬಲ್ ಆಂಗಲ್ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ: `22 ಪಾಪ (x / 2) cos (x / 2) -`2 cos ^ 2 x / 2 + 2 sin ^ 2 x / 2 =“ 10 sin ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2`

`4 tg ^ 2 x / 2 - 11 tg x / 2 + 6 = 0`

ಮೇಲಿನ ಬೀಜಗಣಿತ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

1. `tg x / 2 = 2`,` x_1 = 2 arctan 2 + 2 \ pi n`, `n \ in Z`,
2. `tg x / 2 = 3 / 4`,` x_2 = ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ 3/4 + 2 \ pi n`, `n \ in Z`.

ಉತ್ತರ `x_1 = 2 ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ 2 + 2 \ pi n, n \ n Z`,` x_2 = arctan 3/4 + 2 \ pi n`, `n \ in Z`.

ಸಹಾಯಕ ಕೋನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ `a sin x + b cos x = c`, ಅಲ್ಲಿ a, b, c ಗುಣಾಂಕಗಳು, ಮತ್ತು x ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು` sqrt (a ^ 2 + b ^ 2 )` ನಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ:

" + ಬಿ ^ 2)) `.

ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಅವುಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳು 1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ. ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ: \ \ frac a (sqrt ( a ^ 2 + b ^ 2)) = cos \ varphi`, `\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) = sin \ varphi`,` \ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^) 2)) = C`, ನಂತರ:

`cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = C`.

ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡೋಣ:

ಉದಾಹರಣೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: `3 ಪಾಪ x + 4 cos x = 2`.

ಪರಿಹಾರ ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು `sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2 )` ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

" (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) `

`3/5 ಪಾಪ x + 4/5 cos x = 2/5`.

`3/5 = cos \ varphi`,` 4/5 = sin \ varphi` ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. `ಪಾಪ \ varphi> 0`,` cos \ varphi> 0` ರಿಂದ, ನಂತರ ನಾವು \ \ varphi = arcsin 4 / 5` ಅನ್ನು ಸಹಾಯಕ ಕೋನವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು ನಮ್ಮ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

`cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = 2 / 5`

ಸೈನ್‌ಗಾಗಿ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ನಾವು ನಮ್ಮ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

`ಪಾಪ (x + \ varphi) = 2 / 5`,

`x + \ varphi = (- 1) ^ n arcsin 2/5 + \ pi n`,` n \ in Z`,

`x = (- 1) ^ n ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ 2/5-" ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ 4/5 + \ pi n`, `n \ in Z`.

ಉತ್ತರ `x = (- 1) ^ n ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ 2/5-" ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ 4/5 + \ pi n`, `n \ in Z`.

ಭಾಗಶಃ-ತರ್ಕಬದ್ಧ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಇವುಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಛೇದಗಳಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನತೆಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. `\ frac (sin x) (1 + cos x) = 1-cos x`.

ಪರಿಹಾರ ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗವನ್ನು `(1 + cos x )` ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

\ \ frac (sin x) (1 + cos x) = "\ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x)`

\ \ frac (sin x) (1 + cos x) = "\ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x)`

\ \ frac (sin x) (1 + cos x) = "\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\ frac (sin x) (1 + cos x) -` \ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0`

`\ frac (sin x-sin x 2 x) (1 + cos x) = 0`

ಛೇದ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮವಾಗಿರಬಾರದು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ನಾವು `1 + cos x \ ne 0`,` cos x \ ne -1`, `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ n ಅನ್ನು Z` ನಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಸೊನ್ನೆಗೆ ಸಮೀಕರಿಸಿ: `ಪಾಪ x-sin ^ 2 x = 0`,` sin x (1-sin x) = 0`. ನಂತರ `ಪಾಪ x = 0` ಅಥವಾ` 1-sin x = 0`.

1. `ಪಾಪ x = 0`,` x = \ pi n`, `n \ in Z`
2. `1 -ಪಾಪ x = 0`,` ಪಾಪ x = -1`, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n, n \ n Z` ನಲ್ಲಿ.

ಅದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ Z 'ನಲ್ಲಿ, ಪರಿಹಾರಗಳು` x = 2 \ pi n, n \ n Z` ಮತ್ತು `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n` , `n \ Z ನಲ್ಲಿ.

ಉತ್ತರ `x = 2 \ pi n`,` n \ Z`, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n`,` n \ in Z`.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ಇಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್‌ನ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಧ್ಯಯನವು 10 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ - ಅವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಉಪಯೋಗಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತವೆ!

ಹೇಗಾದರೂ, ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಸಾರವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಅಂದುಕೊಂಡಷ್ಟು ಕಷ್ಟವಲ್ಲ. ವಿಡಿಯೋ ನೋಡುವ ಮೂಲಕ ನೀವೇ ನೋಡಿ.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳ ಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ - ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತ, ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಮೂಲಕ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಇತರವು. ಅವುಗಳನ್ನು ಮರೆತವರಿಗೆ ಅಥವಾ ಗೊತ್ತಿಲ್ಲದವರಿಗೆ, "" ಲೇಖನವನ್ನು ಓದಲು ನಾವು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂಲಭೂತ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನಾವು ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲು ಸಮಯ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದುಸರಿಯಾದ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ, ಇದು ರೂಬಿಕ್ಸ್ ಕ್ಯೂಬ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಂತಹ ಒಂದು ಅತ್ಯಾಕರ್ಷಕ ಚಟುವಟಿಕೆಯಾಗಿದೆ.

ಹೆಸರನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯಲ್ಲಿದೆ.
ಸರಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಇವೆ. ಅವರು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತಾರೆ: sinx = a, cos x = a, tg x = a. ಪರಿಗಣಿಸಿ ಅಂತಹ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದುಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಚಿತವಾಗಿರುವ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ವೃತ್ತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

sinx = a

cos x = a

tg x = a

ಕೋಟ್ x = ಎ

ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎರಡು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದನ್ನು ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.
ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ 7 ಮುಖ್ಯ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ.

1. ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಿ ಮತ್ತು ಬದಲಿ ವಿಧಾನ

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ 2 ಕೋಸ್ 2 (x + / 6) - 3 ಸಿನ್ ( / 3 - x) +1 = 0

ಕಡಿತ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

2cos 2 (x + / 6) - 3cos (x + / 6) +1 = 0

ಸರಳತೆಗಾಗಿ cos (x + / 6) ಅನ್ನು y ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ:

2y 2 - 3y + 1 + 0

ಯಾರ ಬೇರುಗಳು ವೈ 1 = 1, ವೈ 2 = 1/2

ಈಗ ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಹೋಗೋಣ

ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ y ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಎರಡು ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

2. ಅಂಶೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಪಾಪ x + cos x = 1 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು?

ಎಲ್ಲವನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ ಇದರಿಂದ 0 ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ:

ಪಾಪ x + cos x - 1 = 0

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಮೇಲಿನ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಬಳಸೋಣ:

ಪಾಪ x - 2 ಪಾಪ 2 (x / 2) = 0

ನಾವು ಅಂಶೀಕರಣವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

2 ಸಿನ್ (x / 2) * cos (x / 2) - 2 ಪಾಪ 2 (x / 2) = 0

2 ಪಾಪ (x / 2) * = 0

ನಾವು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

3. ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಡಿತ

ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವು ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳು ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಒಂದೇ ಕೋನದ ಒಂದೇ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ. ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ:

ಎ) ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಿ;

b) ಆವರಣದ ಎಲ್ಲ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಿರಿ;

ಸಿ) ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಆವರಣಗಳನ್ನು 0 ಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸಿ;

ಡಿ) ಕಡಿಮೆ ಪದವಿಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸೈನ್ ಅಥವಾ ಕೊಸೈನ್ ಎಂದು ಅತ್ಯುನ್ನತ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ;

e) tg ಗಾಗಿ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

3 ಸಿನ್ 2 x + 4 ಪಾಪ x cos x + 5 cos 2 x = 2 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಪಾಪ 2 x + cos 2 x = 1 ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸೋಣ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ತೆರೆದ ಎರಡನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:

3 ಸಿನ್ 2 x + 4 ಪಾಪ x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

ಪಾಪ 2 x + 4 ಪಾಪ x cos x + 3 cos 2 x = 0

Cos x ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Tg x ಅನ್ನು y ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ:

y 2 + 4y +3 = 0, ಇದರ ಬೇರುಗಳು y 1 = 1, y 2 = 3

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಾಣುತ್ತೇವೆ:

x 2 = ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ 3 + ಕೆ

4. ಅರ್ಧ ಕೋನಕ್ಕೆ ಹೋಗುವ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

3sin x - 5cos x = 7 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

X / 2 ಗೆ ಮುಂದುವರಿಯುವುದು:

6 ಸಿನ್ (x / 2) * cos (x / 2) - 5cos 2 (x / 2) + 5sin 2 (x / 2) = 7sin 2 (x / 2) + 7cos 2 (x / 2)

ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಎಡಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ:

2 ಸಿನ್ 2 (x / 2) - 6 ಸಿನ್ (x / 2) * cos (x / 2) + 12cos 2 (x / 2) = 0

Cos (x / 2) ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ:

tg 2 (x / 2) - 3tg (x / 2) + 6 = 0

5. ಸಹಾಯಕ ಕೋನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ

ಪರಿಗಣನೆಗೆ, ಫಾರ್ಮ್‌ನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ: ಪಾಪ x + b cos x = c,

ಅಲ್ಲಿ a, b, c ಕೆಲವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳು, ಮತ್ತು x ತಿಳಿದಿಲ್ಲ.

ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತೇವೆ:



ಈಗ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳು, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಪಾಪ ಮತ್ತು ಕಾಸ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ: ಅವುಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ 1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತ = 1. ಅವುಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ cos ಮತ್ತು sin ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ, ಎಲ್ಲಿದೆ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಹಾಯಕ ಕೋನ. ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ:

cos * sin x + sin * cos x = С

ಅಥವಾ ಪಾಪ (x +) = ಸಿ

ಈ ಸರಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ

x = (-1) ಕೆ * ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ С - + ಕೆ, ಅಲ್ಲಿ



ಕಾಸ್ ಮತ್ತು ಪಾಪವನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಿಯಾಗಿ ಬಳಸುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಪಾಪ 3x - cos 3x = 1 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಗುಣಾಂಕಗಳು:

a =, b = -1, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು = 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ

ಸರಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು.

ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಇದರಲ್ಲಿ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ವೃತ್ತವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಸಹಾಯಕರಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ.

ಕೊಸೈನ್ ಮತ್ತು ಸೈನ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ.

ಒಂದು ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೋನದಿಂದ ತಿರುಗುವಿಕೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಘಟಕ ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ (ಅಂದರೆ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ).

ಒಂದು ಕೋನದ ಸೈನ್ ಎನ್ನುವುದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೋನದಿಂದ ತಿರುಗುವಿಕೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ (ಅಂದರೆ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ) ಆಗಿದೆ.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಚಲನೆಯ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಚಲನೆ ಇರುತ್ತದೆ. 0 ಡಿಗ್ರಿಗಳ (ಅಥವಾ 0 ರೇಡಿಯನ್ಸ್) ತಿರುಗುವಿಕೆಯು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ (1; 0)

ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಾವು ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

1. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ತೃಪ್ತಿಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದು ವೃತ್ತದ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಇದರ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ಗುರುತಿಸೋಣ:

ವೃತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸುವವರೆಗೆ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಸಮತಲ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯೋಣ. ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಮಲಗಿರುವ ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಅಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಬಿಂದುಗಳು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ:

ನಾವು, ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಬಿಟ್ಟು, ಪೂರ್ಣ ವೃತ್ತದ ಸುತ್ತಲೂ ಹೋದರೆ, ನಾವು ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಬರುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಆದೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಅಂದರೆ, ಈ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನವು ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಹ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಎಷ್ಟು ಬೇಕಾದರೂ "ಐಡಲ್" ಕ್ರಾಂತಿಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು, ಅದೇ ಹಂತಕ್ಕೆ ಮರಳಬಹುದು, ಮತ್ತು ಕೋನಗಳ ಈ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳು ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. "ಐಡಲ್" ಕ್ರಾಂತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ). ನಾವು ಈ ಕ್ರಾಂತಿಯನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು negativeಣಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು, (ಅಥವಾ) ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಅಂದರೆ, ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೊದಲ ಸರಣಿಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

,, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಮೂಹ (1)

ಅಂತೆಯೇ, ಎರಡನೇ ಸರಣಿಯ ಪರಿಹಾರಗಳು:

, ಎಲ್ಲಿ,. (2)

ನೀವು ಊಹಿಸಿದಂತೆ, ಈ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸರಣಿಯು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ವೃತ್ತದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ.

ಈ ಎರಡು ಸರಣಿ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒಂದು ನಮೂದಾಗಿ ಸೇರಿಸಬಹುದು:

ನಾವು ಈ ದಾಖಲೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ (ಅಂದರೆ, ಸಹ), ನಂತರ ನಾವು ಮೊದಲ ಸರಣಿಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಈ ದಾಖಲೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ (ಅಂದರೆ ಬೆಸ), ನಂತರ ನಾವು ಎರಡನೇ ಸರಣಿಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

2. ಈಗ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ

ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸ್ಸಿಸಾ ಕೋನದಿಂದ ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯುವುದರಿಂದ, ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾದೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುವನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ:

ವೃತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸುವವರೆಗೆ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಲಂಬವಾದ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ನಾವು ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಮಲಗಿರುವ ಮತ್ತು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಬಿಂದುಗಳು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಚಲಿಸುವಾಗ, ನಾವು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ negativeಣಾತ್ಮಕ ಕೋನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ:

ಎರಡು ಸರಣಿ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

,

,

(ನಾವು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಹಂತಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ, ಮುಖ್ಯ ಪೂರ್ಣ ವೃತ್ತದಿಂದ ಹಾದು ಹೋಗುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ.

ಈ ಎರಡು ಸರಣಿಗಳನ್ನು ಒಂದು ನಮೂದಾಗಿ ಸೇರಿಸೋಣ:

3. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಸ್ಪರ್ಶ ರೇಖೆಯು OY ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಯೂನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ಕಕ್ಷೆಗಳು (1,0) ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ

ನಾವು ಅದರ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಆರ್ಡಿನೇಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ (ಕೋನಗಳು 1 ಆಗಿರುವ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ನಾವು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದೇವೆ):

ಈ ಬಿಂದುವನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದೊಂದಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸೋಣ. ನೇರ ರೇಖೆಯ ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ವೃತ್ತವು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು:

ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳ ದೂರದಲ್ಲಿ ಇರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

4. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಅಕ್ಷಾಂಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಯೂನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೋಟೆಜೆಂಟ್‌ಗಳ ರೇಖೆಯು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ.

ಕೋಟ್ಯಾಜೆಂಟ್‌ಗಳ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಅಬ್ಸಿಸಾ -1 ರೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಗುರುತಿಸೋಣ:

ಈ ಬಿಂದುವನ್ನು ನೇರ ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ವೃತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಛೇದಕಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಸೋಣ. ಈ ರೇಖೆಯು ವೃತ್ತದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ:

ಈ ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

ನೀಡಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕೋಷ್ಟಕ ಮೌಲ್ಯವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ದ್ರಾವಣದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

ವಿಶೇಷ ಪರಿಹಾರಗಳು:

ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ 0 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ:

ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಗುರುತಿಸೋಣ, ಇದರ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಗುರುತಿಸೋಣ, ಅದರ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ -1:

ಸೊನ್ನೆಗೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದು ವಾಡಿಕೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ 0 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ:

5.
ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಗುರುತಿಸೋಣ, ಅದರ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಗುರುತಿಸೋಣ, ಅದರಲ್ಲಿ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ -1:

ಮತ್ತು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

1.

ವಾದವಿದ್ದರೆ ಸೈನ್ ಒಂದು

ನಮ್ಮ ಸೈನ್ ವಾದವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ:

ಉತ್ತರ:

2.

ಕೊಸೈನ್ ವಾದವಾದರೆ ಕೊಸೈನ್ ಶೂನ್ಯ

ನಮ್ಮ ಕೊಸೈನ್ ವಾದವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಮೊದಲು ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಬಲಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸೋಣ:

ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು -2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ:

ಚಿಹ್ನೆಯು ಪದದ ಮುಂದೆ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಏಕೆಂದರೆ k ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಉತ್ತರ:

ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, "ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ವೃತ್ತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಆರಿಸುವುದು" ಎಂಬ ವೀಡಿಯೊ ಟ್ಯುಟೋರಿಯಲ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ

ಇದು ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಭಾಷಣೆಯನ್ನು ಮುಕ್ತಾಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಮುಂದಿನ ಬಾರಿ ನಾವು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ.

• ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಅದನ್ನು ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಭೂತ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನಾಲ್ಕು ಮೂಲಭೂತ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬರುತ್ತದೆ.