ಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಮದ ಕ್ರಮ. ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ (ಗ್ರೇಡ್ 3) ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಮತ್ತು ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಸ್ತು: ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಅಕಿಲ್ಸ್ ಆಮೆಗಿಂತ ಹತ್ತು ಪಟ್ಟು ವೇಗವಾಗಿ ಓಡುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಹಿಂದೆ ಸಾವಿರ ಹೆಜ್ಜೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಅಕಿಲ್ಸ್ ಈ ದೂರವನ್ನು ಓಡಿಸುವ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಆಮೆ ಅದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನೂರು ಹೆಜ್ಜೆಗಳನ್ನು ತೆವಳುತ್ತದೆ. ಅಕಿಲ್ಸ್ ನೂರು ಹೆಜ್ಜೆ ಓಡಿದಾಗ, ಆಮೆ ಇನ್ನೂ ಹತ್ತು ಹೆಜ್ಜೆಗಳನ್ನು ತೆವಳುತ್ತದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ, ಅಕಿಲ್ಸ್ ಎಂದಿಗೂ ಆಮೆಯನ್ನು ಹಿಡಿಯುವುದಿಲ್ಲ.

ಈ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯು ಎಲ್ಲಾ ನಂತರದ ಪೀಳಿಗೆಗೆ ತಾರ್ಕಿಕ ಆಘಾತವಾಯಿತು. ಅರಿಸ್ಟಾಟಲ್, ಡಯೋಜಿನೆಸ್, ಕಾಂಟ್, ಹೆಗೆಲ್, ಗಿಲ್ಬರ್ಟ್... ಇವರೆಲ್ಲರೂ ಒಂದಲ್ಲ ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಝೆನೋನ ಅಪೋರಿಯಾಸ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಆಘಾತವು ತುಂಬಾ ಪ್ರಬಲವಾಗಿತ್ತು " ಪ್ರಸ್ತುತ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚೆಗಳು ಮುಂದುವರಿದಿವೆ, ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಮುದಾಯವು ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳ ಸಾರದ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಭಿಪ್ರಾಯಕ್ಕೆ ಬರಲು ಇನ್ನೂ ನಿರ್ವಹಿಸಲಿಲ್ಲ ... ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಹೊಸ ಭೌತಿಕ ಮತ್ತು ತಾತ್ವಿಕ ವಿಧಾನಗಳು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿಸಿಕೊಂಡಿವೆ. ; ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೂ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಅಂಗೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಪರಿಹಾರವಾಗಲಿಲ್ಲ ..."[ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ," ಝೆನೋಸ್ ಅಪೋರಿಯಾಸ್ "]. ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ತಾವು ಮೂರ್ಖರಾಗುತ್ತಿದ್ದಾರೆಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ವಂಚನೆ ಏನೆಂದು ಯಾರಿಗೂ ಅರ್ಥವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಝೆನೋ ತನ್ನ ಅಪೋರಿಯಾದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದನು. ಈ ಪರಿವರ್ತನೆಯು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಾನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಂತೆ, ಮಾಪನದ ವೇರಿಯಬಲ್ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಗಣಿತದ ಉಪಕರಣವನ್ನು ಇನ್ನೂ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಅದನ್ನು ಝೆನೋಸ್ ಅಪೋರಿಯಾಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ನಮ್ಮ ಸಾಮಾನ್ಯ ತರ್ಕದ ಅನ್ವಯವು ನಮ್ಮನ್ನು ಬಲೆಗೆ ಕೊಂಡೊಯ್ಯುತ್ತದೆ. ನಾವು, ಚಿಂತನೆಯ ಜಡತ್ವದಿಂದ, ಪರಸ್ಪರ ಸಮಯದ ನಿರಂತರ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಭೌತಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಅಕಿಲ್ಸ್ ಆಮೆಯನ್ನು ಹಿಡಿಯುವ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಸಮಯವು ಸಂಪೂರ್ಣ ನಿಲುಗಡೆಗೆ ನಿಧಾನವಾಗುತ್ತಿರುವಂತೆ ತೋರುತ್ತಿದೆ. ಸಮಯ ನಿಂತರೆ, ಅಕಿಲ್ಸ್ ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಆಮೆಯನ್ನು ಹಿಂದಿಕ್ಕಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ನಾವು ಬಳಸಿದ ತರ್ಕವನ್ನು ತಿರುಗಿಸಿದರೆ, ಎಲ್ಲವೂ ಸರಿಯಾಗಿ ಬರುತ್ತದೆ. ಅಕಿಲ್ಸ್ ಸ್ಥಿರ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಅದರ ಪಥದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಂತರದ ವಿಭಾಗವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹತ್ತು ಪಟ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಅದನ್ನು ಜಯಿಸಲು ಕಳೆದ ಸಮಯವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹತ್ತು ಪಟ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು "ಅನಂತ" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ, "ಅಕಿಲ್ಸ್ ಅನಂತವಾಗಿ ಆಮೆಯನ್ನು ಹಿಂದಿಕ್ಕುತ್ತಾನೆ" ಎಂದು ಹೇಳುವುದು ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ತಾರ್ಕಿಕ ಬಲೆ ತಪ್ಪಿಸುವುದು ಹೇಗೆ? ಸಮಯದ ಸ್ಥಿರ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬೇಡಿ. ಝೆನೋ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಅಕಿಲ್ಸ್ ಸಾವಿರ ಹೆಜ್ಜೆಗಳನ್ನು ಓಡಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಆಮೆ ಅದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನೂರು ಹೆಜ್ಜೆಗಳನ್ನು ತೆವಳುತ್ತದೆ. ಮುಂದಿನ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿ, ಅಕಿಲ್ಸ್ ಇನ್ನೂ ಸಾವಿರ ಹೆಜ್ಜೆಗಳನ್ನು ಓಡಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಆಮೆ ನೂರು ಹೆಜ್ಜೆಗಳನ್ನು ತೆವಳುತ್ತದೆ. ಈಗ ಅಕಿಲೀಸ್ ಆಮೆಗಿಂತ ಎಂಟು ನೂರು ಹೆಜ್ಜೆ ಮುಂದಿದೆ.

ಈ ವಿಧಾನವು ಯಾವುದೇ ತಾರ್ಕಿಕ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳಿಲ್ಲದೆ ವಾಸ್ತವವನ್ನು ಸಮರ್ಪಕವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಇದು ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರವಲ್ಲ. ಬೆಳಕಿನ ವೇಗದ ದುಸ್ತರತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಐನ್‌ಸ್ಟೈನ್‌ನ ಹೇಳಿಕೆಯು ಝೆನೋನ ಅಪೋರಿಯಾ "ಅಕಿಲ್ಸ್ ಮತ್ತು ಆಮೆ" ಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನಾವು ಇನ್ನೂ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ, ಪುನರ್ವಿಮರ್ಶಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅಳತೆಯ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಬೇಕು.

Zeno ನ ಮತ್ತೊಂದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಅಪೋರಿಯಾ ಹಾರುವ ಬಾಣದ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ:

ಹಾರುವ ಬಾಣವು ಚಲನರಹಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಪ್ರತಿ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಅದು ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಅಪೋರಿಯಾದಲ್ಲಿ, ತಾರ್ಕಿಕ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಬಹಳ ಸರಳವಾಗಿ ನಿವಾರಿಸಲಾಗಿದೆ - ಪ್ರತಿ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಹಾರುವ ಬಾಣವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ನಿಂತಿದೆ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು ಸಾಕು, ಅದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಚಲನೆಯಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಇನ್ನೊಂದು ಅಂಶವಿದೆ. ರಸ್ತೆಯಲ್ಲಿರುವ ಕಾರಿನ ಒಂದು ಛಾಯಾಚಿತ್ರದಿಂದ, ಅದರ ಚಲನೆಯ ಸತ್ಯ ಅಥವಾ ಅದರ ಅಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯ. ಕಾರಿನ ಚಲನೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಸಮಯಕ್ಕೆ ವಿಭಿನ್ನ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ತೆಗೆದ ಎರಡು ಛಾಯಾಚಿತ್ರಗಳು ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ಆದರೆ ದೂರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಕಾರಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನಿಮಗೆ ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ತೆಗೆದ ಎರಡು ಛಾಯಾಚಿತ್ರಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳಿಂದ ಚಲನೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ನೀವು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ (ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ, ನಿಮಗೆ ಇನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಡೇಟಾ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ). ನಾನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಗಮನಸೆಳೆಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ, ಸಮಯದ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಪರಿಶೋಧನೆಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಅವಕಾಶಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದರಿಂದ ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗಬಾರದು.

ಬುಧವಾರ, ಜುಲೈ 4, 2018

ಚೆನ್ನಾಗಿ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, "ಸೆಟ್ ಎರಡು ಒಂದೇ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಾರದು", ಆದರೆ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಶಗಳಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು "ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಂಜಸವಾದ ಜೀವಿಗಳು ಅಂತಹ ಅಸಂಬದ್ಧತೆಯ ತರ್ಕವನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಮಾತನಾಡುವ ಗಿಳಿಗಳು ಮತ್ತು ತರಬೇತಿ ಪಡೆದ ಕೋತಿಗಳ ಮಟ್ಟವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ "ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ" ಎಂಬ ಪದದಿಂದ ಮನಸ್ಸು ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಗಣಿತಜ್ಞರು ಸಾಮಾನ್ಯ ತರಬೇತುದಾರರಂತೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅವರ ಅಸಂಬದ್ಧ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ನಮಗೆ ಬೋಧಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಒಂದಾನೊಂದು ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸೇತುವೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಎಂಜಿನಿಯರ್‌ಗಳು ಸೇತುವೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸೇತುವೆಯ ಕೆಳಗೆ ದೋಣಿಯಲ್ಲಿದ್ದರು. ಸೇತುವೆ ಕುಸಿದರೆ, ಸಾಧಾರಣ ಎಂಜಿನಿಯರ್ ತನ್ನ ಸೃಷ್ಟಿಯ ಅವಶೇಷಗಳಡಿಯಲ್ಲಿ ಸತ್ತರು. ಸೇತುವೆಯು ಭಾರವನ್ನು ತಡೆದುಕೊಳ್ಳುವಂತಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಭಾವಂತ ಎಂಜಿನಿಯರ್ ಇತರ ಸೇತುವೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು.

ಗಣಿತಜ್ಞರು "ನನ್ನನ್ನು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಿ, ನಾನು ಮನೆಯಲ್ಲಿದ್ದೇನೆ" ಅಥವಾ "ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವು ಅಮೂರ್ತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ" ಎಂಬ ಪದಗುಚ್ಛದ ಹಿಂದೆ ಹೇಗೆ ಮರೆಮಾಡಿದರೂ, ವಾಸ್ತವದೊಂದಿಗೆ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದಂತೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಒಂದು ಹೊಕ್ಕುಳಬಳ್ಳಿಯಿದೆ. ಈ ಹೊಕ್ಕುಳಬಳ್ಳಿಯು ಹಣ. ಗಣಿತದ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸೋಣ.

ನಾವು ಗಣಿತವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ನಗದು ಮೇಜಿನ ಬಳಿ ಕುಳಿತು ಸಂಬಳ ನೀಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬ ಗಣಿತಜ್ಞ ತನ್ನ ಹಣಕ್ಕಾಗಿ ನಮ್ಮ ಬಳಿಗೆ ಬರುತ್ತಾನೆ. ನಾವು ಅವನಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ನಮ್ಮ ಮೇಜಿನ ಮೇಲೆ ವಿವಿಧ ರಾಶಿಗಳಾಗಿ ಇಡುತ್ತೇವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ನಾವು ಒಂದೇ ಪಂಗಡದ ಬಿಲ್ಗಳನ್ನು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು ಪ್ರತಿ ರಾಶಿಯಿಂದ ಒಂದು ಬಿಲ್ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಗೆ ಅವರ "ಗಣಿತದ ಸಂಬಳ ಸೆಟ್" ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಶಗಳಿಲ್ಲದ ಸೆಟ್ ಒಂದೇ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದಾಗ ಮಾತ್ರ ಅವನು ಉಳಿದ ಬಿಲ್‌ಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತಾನೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಣಿತವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿಯೇ ಮೋಜು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನಿಯೋಗಿಗಳ ತರ್ಕವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ: "ನೀವು ಅದನ್ನು ಇತರರಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ನನಗೆ ಅಲ್ಲ!" ಇದಲ್ಲದೆ, ಒಂದೇ ಪಂಗಡದ ನೋಟುಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಬ್ಯಾಂಕ್ನೋಟ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ಭರವಸೆಗಳು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸರಿ, ನಾವು ಸಂಬಳವನ್ನು ನಾಣ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಎಣಿಸುತ್ತೇವೆ - ನಾಣ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲ. ಇಲ್ಲಿ ಗಣಿತಜ್ಞನು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಉದ್ರಿಕ್ತವಾಗಿ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ: ವಿಭಿನ್ನ ನಾಣ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಮಾಣದ ಕೊಳೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಪ್ರತಿ ನಾಣ್ಯಕ್ಕೆ ಪರಮಾಣುಗಳ ಸ್ಫಟಿಕ ರಚನೆ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ ...

ಮತ್ತು ಈಗ ನನಗೆ ಅತ್ಯಂತ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಪ್ರಶ್ನೆ ಇದೆ: ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್‌ನ ಅಂಶಗಳು ಸೆಟ್‌ನ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಗುವ ಗಡಿ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ? ಅಂತಹ ಒಂದು ಸಾಲು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ - ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಶಾಮನ್ನರು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತಾರೆ, ಇಲ್ಲಿ ವಿಜ್ಞಾನವು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ಇಲ್ಲಿ ನೋಡು. ನಾವು ಅದೇ ಮೈದಾನ ಪ್ರದೇಶದೊಂದಿಗೆ ಫುಟ್ಬಾಲ್ ಕ್ರೀಡಾಂಗಣಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಪ್ರದೇಶವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ನಾವು ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಆದರೆ ಅದೇ ಕ್ರೀಡಾಂಗಣಗಳ ಹೆಸರನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಬಹಳಷ್ಟು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಹೆಸರುಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಶಗಳ ಸೆಟ್ ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಷ್ಟು ಸರಿ? ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಗಣಿತಜ್ಞ-ಶಾಮನ್-ಶಲ್ಲರ್ ತನ್ನ ತೋಳಿನಿಂದ ಟ್ರಂಪ್ ಏಸ್ ಅನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅಥವಾ ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್ ಬಗ್ಗೆ ನಮಗೆ ಹೇಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾನೆ. ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಸರಿ ಎಂದು ನಮಗೆ ಮನವರಿಕೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ.

ಆಧುನಿಕ ಶಾಮನ್ನರು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಅದನ್ನು ವಾಸ್ತವಕ್ಕೆ ಜೋಡಿಸಿ, ಒಂದು ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು ಸಾಕು: ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತೊಂದು ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಹೇಗೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ? ನಾನು ನಿಮಗೆ ತೋರಿಸುತ್ತೇನೆ, ಯಾವುದೇ "ಒಂದೇ ಸಂಪೂರ್ಣವಲ್ಲ" ಅಥವಾ "ಒಂದೇ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ."

ಭಾನುವಾರ, ಮಾರ್ಚ್ 18, 2018

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ತಂಬೂರಿಯೊಂದಿಗೆ ಶಾಮನ್ನರ ನೃತ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಹೌದು, ಗಣಿತದ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಬಳಸಲು ನಮಗೆ ಕಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದಕ್ಕಾಗಿ ಅವರು ಶಾಮನ್ನರು, ಅವರ ವಂಶಸ್ಥರಿಗೆ ಅವರ ಕೌಶಲ್ಯ ಮತ್ತು ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆಯನ್ನು ಕಲಿಸಲು, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಶಾಮನ್ನರು ಸಾಯುತ್ತಾರೆ.

ನಿಮಗೆ ಪುರಾವೆ ಬೇಕೇ? ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾವನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು "ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಿಗಳ ಮೊತ್ತ" ಪುಟವನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. ಅವಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರವಿಲ್ಲ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳು, ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯವು ಈ ರೀತಿ ಧ್ವನಿಸುತ್ತದೆ: "ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹುಡುಕಿ." ಗಣಿತಜ್ಞರು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಶಾಮನ್ನರು ಇದನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಏನು ಮತ್ತು ಹೇಗೆ ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು 12345 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಏನು ಮಾಡಬೇಕು? ಎಲ್ಲಾ ಹಂತಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

1. ಕಾಗದದ ತುಂಡು ಮೇಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ನಾವೇನು ​​ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ? ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಸಂಕೇತವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಇದು ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಲ್ಲ.

2. ನಾವು ಒಂದು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಹಲವಾರು ಚಿತ್ರಗಳಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಚಿತ್ರವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುವುದು ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಲ್ಲ.

3. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ. ಇದು ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಲ್ಲ.

4. ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ. ಈಗ ಅದು ಗಣಿತ.

12345 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 15 ಆಗಿದೆ. ಇವು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಬಳಸುವ ಶಾಮನ್ನರಿಂದ "ಕತ್ತರಿಸುವ ಮತ್ತು ಹೊಲಿಯುವ ಕೋರ್ಸ್‌ಗಳು". ಆದರೆ ಇಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲ.

ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ನಾವು ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಲಕ್ಕೆ ಸಬ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್‌ನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ 12345 ರೊಂದಿಗೆ, ನನ್ನ ತಲೆಯನ್ನು ಮೋಸಗೊಳಿಸಲು ನಾನು ಬಯಸುವುದಿಲ್ಲ, ಲೇಖನದಿಂದ 26 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬೈನರಿ, ಅಷ್ಟಮ, ದಶಮಾಂಶ ಮತ್ತು ಹೆಕ್ಸಾಡೆಸಿಮಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ. ಸೂಕ್ಷ್ಮದರ್ಶಕದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಪ್ರತಿ ಹಂತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಅದನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೂ ಗಣಿತಕ್ಕೂ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲ. ಮೀಟರ್ ಮತ್ತು ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ನಿಮಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿನ ಶೂನ್ಯವು ಒಂದೇ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಇದು ಸತ್ಯದ ಪರವಾಗಿ ಮತ್ತೊಂದು ವಾದವಾಗಿದೆ. ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ಒಂದು ಪ್ರಶ್ನೆ: ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲದದನ್ನು ಹೇಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ? ಏನು, ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಏನೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ? ಶಾಮನ್ನರಿಗೆ, ನಾನು ಇದನ್ನು ಅನುಮತಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳಿಗೆ, ಇಲ್ಲ. ರಿಯಾಲಿಟಿ ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಲ್ಲ.

ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮಾಪನದ ಘಟಕಗಳು ಎಂದು ಪುರಾವೆಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ನಾವು ಮಾಪನದ ವಿವಿಧ ಘಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದೇ ಪ್ರಮಾಣದ ಮಾಪನದ ವಿಭಿನ್ನ ಘಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ಕ್ರಮಗಳು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿದ ನಂತರ ವಿಭಿನ್ನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾದರೆ, ಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ಇದಕ್ಕೂ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲ.

ನಿಜವಾದ ಗಣಿತ ಎಂದರೇನು? ಗಣಿತದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯ, ಬಳಸಿದ ಅಳತೆಯ ಘಟಕ ಮತ್ತು ಈ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಯಾರು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಓಹ್! ಇದು ಮಹಿಳೆಯರ ಶೌಚಾಲಯವಲ್ಲವೇ?
- ಯುವತಿ! ಸ್ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಏರಿದ ನಂತರ ಆತ್ಮಗಳ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪವಿತ್ರತೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಇದು ಪ್ರಯೋಗಾಲಯವಾಗಿದೆ! ಮೇಲೆ ನಿಂಬಸ್ ಮತ್ತು ಬಾಣ. ಬೇರೆ ಯಾವ ಶೌಚಾಲಯ?

ಹೆಣ್ಣು... ಮೇಲೆ ಒಂದು ಪ್ರಭಾವಲಯ ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಾಣದ ಕೆಳಗೆ ಪುರುಷ.

ನಿಮ್ಮ ಕಣ್ಣುಗಳ ಮುಂದೆ ದಿನಕ್ಕೆ ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ಮಿನುಗುವ ಅಂತಹ ವಿನ್ಯಾಸ ಕಲೆಯ ಕೆಲಸವನ್ನು ನೀವು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ,

ನಿಮ್ಮ ಕಾರಿನಲ್ಲಿ ನೀವು ಇದ್ದಕ್ಕಿದ್ದಂತೆ ವಿಚಿತ್ರ ಐಕಾನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರೆ ಆಶ್ಚರ್ಯವೇನಿಲ್ಲ:

ವೈಯಕ್ತಿಕವಾಗಿ, ಪೂಪಿಂಗ್ ವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಮೈನಸ್ ನಾಲ್ಕು ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ನೋಡಲು ನಾನು ನನ್ನ ಮೇಲೆ ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇನೆ (ಒಂದು ಚಿತ್ರ) (ಹಲವಾರು ಚಿತ್ರಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ: ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆ, ಸಂಖ್ಯೆ ನಾಲ್ಕು, ಡಿಗ್ರಿ ಪದನಾಮ). ಮತ್ತು ನಾನು ಈ ಹುಡುಗಿಯನ್ನು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ತಿಳಿದಿಲ್ಲದ ಮೂರ್ಖ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಅವಳು ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿತ್ರಗಳ ಗ್ರಹಿಕೆಯ ಆರ್ಕ್ ಸ್ಟೀರಿಯೊಟೈಪ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾಳೆ. ಮತ್ತು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಇದನ್ನು ನಮಗೆ ಸಾರ್ವಕಾಲಿಕ ಕಲಿಸುತ್ತಾರೆ. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ.

1A ಎಂಬುದು "ಮೈನಸ್ ನಾಲ್ಕು ಡಿಗ್ರಿ" ಅಥವಾ "ಒಂದು ಎ" ಅಲ್ಲ. ಇದು "ಪೂಪಿಂಗ್ ಮ್ಯಾನ್" ಅಥವಾ ಹೆಕ್ಸಾಡೆಸಿಮಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ "ಇಪ್ಪತ್ತಾರು" ಸಂಖ್ಯೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಜನರು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಒಂದು ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿಹ್ನೆಯಾಗಿ ಗ್ರಹಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ, ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಿಲ್ಲದೆ ಮತ್ತು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಅರ್ಥವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಕ್ರಮವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಿಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅವಕಾಶವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ ದೋಷಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮತ್ತು ಸರಿಪಡಿಸಲು ಕಲಿತ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಿ.

ಜೀವನದಲ್ಲಿ, ನಾವು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ: ನಾವು ನಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಓದುತ್ತೇವೆ, ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಎಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಕಿರುನಗೆ, ಜಗಳ ಮತ್ತು ಮೇಕಪ್ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಈ ಹಂತಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬೆಳಿಗ್ಗೆ ಶಾಲೆಗೆ ಹೋಗುವಾಗ, ನೀವು ಮೊದಲು ವ್ಯಾಯಾಮಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು, ನಂತರ ಹಾಸಿಗೆಯನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು, ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಆದರೆ ನೀವು ಮೊದಲು ಶಾಲೆಗೆ ಹೋಗಿ ನಂತರ ಬಟ್ಟೆಗಳನ್ನು ಹಾಕಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವೇ?

ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ:
8-3+4 ಮತ್ತು 8-3+4

ಎರಡೂ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ಒಂದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದರಲ್ಲಿ ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸೋಣ. ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸೂಚಿಸಬಹುದು (ಚಿತ್ರ 1).

ಅಕ್ಕಿ. 1. ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ

ಮೊದಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮೊದಲು ವ್ಯವಕಲನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯೆ 4 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಎರಡನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮೊತ್ತದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೊದಲು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ 8 ರಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶ 7 ಅನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ತೀರ್ಮಾನಿಸೋಣ: ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ..

ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಿಲ್ಲದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ನಿಯಮವನ್ನು ಕಲಿಯೋಣ.

ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಲ್ಲದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಕೇವಲ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲಾದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಭ್ಯಾಸಮಾಡೋಣ.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಕೇವಲ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೊದಲ ಹಂತದ ಕ್ರಮಗಳು.

ನಾವು ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ (ಚಿತ್ರ 2).

ಅಕ್ಕಿ. 2. ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ

ಎರಡನೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಮಾತ್ರ ಇವೆ - ಇವು ಎರಡನೇ ಹಂತದ ಕ್ರಮಗಳು.

ನಾವು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ (ಚಿತ್ರ 3).

ಅಕ್ಕಿ. 3. ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನೂ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಯಾವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ?

ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಲ್ಲದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಭಾಗಾಕಾರ ಅಥವಾ ಈ ಎರಡೂ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೆ, ಮೊದಲು ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ (ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ), ತದನಂತರ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿ.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ನಾವು ಹೀಗೆ ತರ್ಕಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ನಾವು ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ಕ್ರಮವಾಗಿ (ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ) ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಆವರಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಯಾವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ?

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಆವರಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಆವರಣದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೊದಲು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

30 + 6 * (13 - 9)

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಮೊದಲು ಈ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ, ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಸೇರ್ಪಡೆ. ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ.

30 + 6 * (13 - 9)

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಒಂದು ಕಾರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಬೇಕು?

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಮುಂದುವರಿಯುವ ಮೊದಲು, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ (ಅದು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ, ಅದು ಯಾವ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ) ಮತ್ತು ಅದರ ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಿ:

1. ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ಕ್ರಮಗಳು;

2. ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆ;

3. ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನ.

ಈ ಸರಳ ನಿಯಮವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 4).

ಅಕ್ಕಿ. 4. ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ

ಅಭ್ಯಾಸಮಾಡೋಣ.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿ.

43 - (20 - 7) +15

32 + 9 * (19 - 16)

ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸೋಣ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 43 - (20 - 7) +15 ಆವರಣದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಕೋರ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸೋಣ. ಮೊದಲ ಹಂತವೆಂದರೆ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು, ತದನಂತರ ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ, ವ್ಯವಕಲನ ಮತ್ತು ಸೇರ್ಪಡೆ.

43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 32 + 9 * (19 - 16) ಆವರಣದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಮೊದಲು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ಗುಣಾಕಾರ (ಸಂಖ್ಯೆ 9 ಅನ್ನು ವ್ಯವಕಲನದಿಂದ ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಸೇರ್ಪಡೆ.

32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

2*9-18:3 ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಗುಣಾಕಾರ, ಭಾಗಾಕಾರ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿವೆ. ನಾವು ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶದಿಂದ, ವಿಭಜನೆಯಿಂದ ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನಾವು ಕಳೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅಂದರೆ, ಮೊದಲ ಕ್ರಿಯೆ ಗುಣಾಕಾರ, ಎರಡನೆಯದು ಭಾಗಾಕಾರ ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದು ವ್ಯವಕಲನ.

2*9-18:3=18-6=12

ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

18: (11 - 5) + 47=

7 * 3 - (16 + 4)=

ನಾವು ಹೀಗೆ ತರ್ಕಿಸುತ್ತೇವೆ.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ನಾವು ಮೊದಲು ಗುಣಾಕಾರ ಅಥವಾ ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ, ನಂತರ ಸಂಕಲನ ಅಥವಾ ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಕ್ರಿಯೆಯು ವಿಭಜನೆಯಾಗಿದೆ, ಎರಡನೆಯದು ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿದೆ. ಮೂರನೆಯ ಕ್ರಿಯೆಯು ಸೇರ್ಪಡೆಯಾಗಿರಬೇಕು, ನಾಲ್ಕನೆಯದು - ವ್ಯವಕಲನ. ತೀರ್ಮಾನ: ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

ನಾವು ವಾದಿಸುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಎರಡನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಅಂದರೆ ನಾವು ಮೊದಲು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಗುಣಾಕಾರ ಅಥವಾ ಭಾಗಾಕಾರ, ಸಂಕಲನ ಅಥವಾ ವ್ಯವಕಲನ. ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ: ಮೊದಲ ಕ್ರಿಯೆಯು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿದೆ, ಎರಡನೆಯದು ವಿಭಜನೆಯಾಗಿದೆ, ಮೂರನೆಯದು ಸೇರ್ಪಡೆಯಾಗಿದೆ. ತೀರ್ಮಾನ: ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ತಪ್ಪಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ದೋಷಗಳನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಮೊದಲು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಗುಣಾಕಾರ ಅಥವಾ ಭಾಗಾಕಾರ, ಸಂಕಲನ ಅಥವಾ ವ್ಯವಕಲನ. ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ: ಮೊದಲ ಕ್ರಿಯೆಯು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿದೆ, ಎರಡನೆಯದು ಗುಣಾಕಾರ, ಮೂರನೆಯದು ವ್ಯವಕಲನ. ತೀರ್ಮಾನ: ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ತಪ್ಪಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ದೋಷಗಳನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸೋಣ.

ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ನಿಯಮವನ್ನು (Fig. 5) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೊಳಿಸೋಣ.

ಅಕ್ಕಿ. 5. ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ

ನಾವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೋಡುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಅರ್ಥವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕಲಿತ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದನ್ನು ನಾವು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಕಾರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಮೊದಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಆವರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮೊದಲ ಕ್ರಿಯೆಯು ಆವರಣದಲ್ಲಿದೆ. ನಂತರ ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಭಾಗಾಕಾರ, ನಂತರ ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ವ್ಯವಕಲನ ಮತ್ತು ಸಂಕಲನ.

ಎರಡನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಅಂದರೆ ನಾವು ಮೊದಲ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅದರ ನಂತರ, ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆ, ಅದರ ನಂತರ - ವ್ಯವಕಲನ.

ನಾವೇ ಪರೀಕ್ಷಿಸೋಣ (ಚಿತ್ರ 6).

ಅಕ್ಕಿ. 6. ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ

ಇಂದು ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಿಲ್ಲದೆ ಮತ್ತು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಮರಣದಂಡನೆಯ ಕ್ರಮದ ನಿಯಮವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಚಯಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ

1. ಎಂ.ಐ. ಮೊರೊ, ಎಂ.ಎ. ಬಂಟೋವಾ ಮತ್ತು ಇತರರು ಗಣಿತ: ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ. ಗ್ರೇಡ್ 3: 2 ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ, ಭಾಗ 1. - ಎಂ .: "ಜ್ಞಾನೋದಯ", 2012.
2. ಎಂ.ಐ. ಮೊರೊ, ಎಂ.ಎ. ಬಂಟೋವಾ ಮತ್ತು ಇತರರು ಗಣಿತ: ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ. ಗ್ರೇಡ್ 3: 2 ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ, ಭಾಗ 2. - ಎಂ .: "ಜ್ಞಾನೋದಯ", 2012.
3. ಎಂ.ಐ. ಮೊರೊ. ಗಣಿತ ಪಾಠಗಳು: ಶಿಕ್ಷಕರಿಗೆ ಮಾರ್ಗಸೂಚಿಗಳು. ಗ್ರೇಡ್ 3 - ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 2012.
4. ನಿಯಂತ್ರಕ ದಾಖಲೆ. ಕಲಿಕೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಮೇಲ್ವಿಚಾರಣೆ ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ. - ಎಂ.: "ಜ್ಞಾನೋದಯ", 2011.
5. "ಸ್ಕೂಲ್ ಆಫ್ ರಷ್ಯಾ": ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಾಲೆಗೆ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳು. - ಎಂ.: "ಜ್ಞಾನೋದಯ", 2011.
6. ಎಸ್.ಐ. ವೋಲ್ಕೊವ್. ಗಣಿತ: ಪರೀಕ್ಷಾ ಕೆಲಸ. ಗ್ರೇಡ್ 3 - ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 2012.
7. ವಿ.ಎನ್. ರುಡ್ನಿಟ್ಸ್ಕಾಯಾ. ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು. - ಎಂ.: "ಪರೀಕ್ಷೆ", 2012.

1. Festival.1september.ru ().
2. Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
3. Openclass.ru ().

ಮನೆಕೆಲಸ

1. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

2. ಈ ಕ್ರಮದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಯಾವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

1. ಗುಣಾಕಾರ; 2. ವಿಭಾಗ;. 3. ಸೇರ್ಪಡೆ; 4. ವ್ಯವಕಲನ; 5. ಸೇರ್ಪಡೆ. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

3. ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಮಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮೂರು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿ:

1. ಗುಣಾಕಾರ; 2. ಸೇರ್ಪಡೆ; 3. ವ್ಯವಕಲನ

1. ಸೇರ್ಪಡೆ; 2. ವ್ಯವಕಲನ; 3. ಸೇರ್ಪಡೆ

1. ಗುಣಾಕಾರ; 2. ವಿಭಾಗ; 3. ಸೇರ್ಪಡೆ

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಕ್ರಮಗಳ ಕ್ರಮ - ಗಣಿತ ಗ್ರೇಡ್ 3 (ಮೊರೊ)

ಸಣ್ಣ ವಿವರಣೆ:

ಅಕಿಲ್ಸ್ ಆಮೆಗಿಂತ ಹತ್ತು ಪಟ್ಟು ವೇಗವಾಗಿ ಓಡುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಹಿಂದೆ ಸಾವಿರ ಹೆಜ್ಜೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಅಕಿಲ್ಸ್ ಈ ದೂರವನ್ನು ಓಡಿಸುವ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಆಮೆ ಅದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನೂರು ಹೆಜ್ಜೆಗಳನ್ನು ತೆವಳುತ್ತದೆ. ಅಕಿಲ್ಸ್ ನೂರು ಹೆಜ್ಜೆ ಓಡಿದಾಗ, ಆಮೆ ಇನ್ನೂ ಹತ್ತು ಹೆಜ್ಜೆಗಳನ್ನು ತೆವಳುತ್ತದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ, ಅಕಿಲ್ಸ್ ಎಂದಿಗೂ ಆಮೆಯನ್ನು ಹಿಡಿಯುವುದಿಲ್ಲ.

ಈ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯು ಎಲ್ಲಾ ನಂತರದ ಪೀಳಿಗೆಗೆ ತಾರ್ಕಿಕ ಆಘಾತವಾಯಿತು. ಅರಿಸ್ಟಾಟಲ್, ಡಯೋಜಿನೆಸ್, ಕಾಂಟ್, ಹೆಗೆಲ್, ಗಿಲ್ಬರ್ಟ್... ಇವರೆಲ್ಲರೂ ಒಂದಲ್ಲ ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಝೆನೋನ ಅಪೋರಿಯಾಸ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಆಘಾತವು ತುಂಬಾ ಪ್ರಬಲವಾಗಿತ್ತು " ಪ್ರಸ್ತುತ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚೆಗಳು ಮುಂದುವರಿದಿವೆ, ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಮುದಾಯವು ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳ ಸಾರದ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಭಿಪ್ರಾಯಕ್ಕೆ ಬರಲು ಇನ್ನೂ ನಿರ್ವಹಿಸಲಿಲ್ಲ ... ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಹೊಸ ಭೌತಿಕ ಮತ್ತು ತಾತ್ವಿಕ ವಿಧಾನಗಳು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿಸಿಕೊಂಡಿವೆ. ; ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೂ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಅಂಗೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಪರಿಹಾರವಾಗಲಿಲ್ಲ ..."[ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ," ಝೆನೋಸ್ ಅಪೋರಿಯಾಸ್ "]. ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ತಾವು ಮೂರ್ಖರಾಗುತ್ತಿದ್ದಾರೆಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ವಂಚನೆ ಏನೆಂದು ಯಾರಿಗೂ ಅರ್ಥವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಝೆನೋ ತನ್ನ ಅಪೋರಿಯಾದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದನು. ಈ ಪರಿವರ್ತನೆಯು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಾನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಂತೆ, ಮಾಪನದ ವೇರಿಯಬಲ್ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಗಣಿತದ ಉಪಕರಣವನ್ನು ಇನ್ನೂ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಅದನ್ನು ಝೆನೋಸ್ ಅಪೋರಿಯಾಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ನಮ್ಮ ಸಾಮಾನ್ಯ ತರ್ಕದ ಅನ್ವಯವು ನಮ್ಮನ್ನು ಬಲೆಗೆ ಕೊಂಡೊಯ್ಯುತ್ತದೆ. ನಾವು, ಚಿಂತನೆಯ ಜಡತ್ವದಿಂದ, ಪರಸ್ಪರ ಸಮಯದ ನಿರಂತರ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಭೌತಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಅಕಿಲ್ಸ್ ಆಮೆಯನ್ನು ಹಿಡಿಯುವ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಸಮಯವು ಸಂಪೂರ್ಣ ನಿಲುಗಡೆಗೆ ನಿಧಾನವಾಗುತ್ತಿರುವಂತೆ ತೋರುತ್ತಿದೆ. ಸಮಯ ನಿಂತರೆ, ಅಕಿಲ್ಸ್ ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಆಮೆಯನ್ನು ಹಿಂದಿಕ್ಕಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ನಾವು ಬಳಸಿದ ತರ್ಕವನ್ನು ತಿರುಗಿಸಿದರೆ, ಎಲ್ಲವೂ ಸರಿಯಾಗಿ ಬರುತ್ತದೆ. ಅಕಿಲ್ಸ್ ಸ್ಥಿರ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಅದರ ಪಥದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಂತರದ ವಿಭಾಗವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹತ್ತು ಪಟ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಅದನ್ನು ಜಯಿಸಲು ಕಳೆದ ಸಮಯವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹತ್ತು ಪಟ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು "ಅನಂತ" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ, "ಅಕಿಲ್ಸ್ ಅನಂತವಾಗಿ ಆಮೆಯನ್ನು ಹಿಂದಿಕ್ಕುತ್ತಾನೆ" ಎಂದು ಹೇಳುವುದು ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ತಾರ್ಕಿಕ ಬಲೆ ತಪ್ಪಿಸುವುದು ಹೇಗೆ? ಸಮಯದ ಸ್ಥಿರ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬೇಡಿ. ಝೆನೋ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಅಕಿಲ್ಸ್ ಸಾವಿರ ಹೆಜ್ಜೆಗಳನ್ನು ಓಡಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಆಮೆ ಅದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನೂರು ಹೆಜ್ಜೆಗಳನ್ನು ತೆವಳುತ್ತದೆ. ಮುಂದಿನ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿ, ಅಕಿಲ್ಸ್ ಇನ್ನೂ ಸಾವಿರ ಹೆಜ್ಜೆಗಳನ್ನು ಓಡಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಆಮೆ ನೂರು ಹೆಜ್ಜೆಗಳನ್ನು ತೆವಳುತ್ತದೆ. ಈಗ ಅಕಿಲೀಸ್ ಆಮೆಗಿಂತ ಎಂಟು ನೂರು ಹೆಜ್ಜೆ ಮುಂದಿದೆ.

ಈ ವಿಧಾನವು ಯಾವುದೇ ತಾರ್ಕಿಕ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳಿಲ್ಲದೆ ವಾಸ್ತವವನ್ನು ಸಮರ್ಪಕವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಇದು ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರವಲ್ಲ. ಬೆಳಕಿನ ವೇಗದ ದುಸ್ತರತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಐನ್‌ಸ್ಟೈನ್‌ನ ಹೇಳಿಕೆಯು ಝೆನೋನ ಅಪೋರಿಯಾ "ಅಕಿಲ್ಸ್ ಮತ್ತು ಆಮೆ" ಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನಾವು ಇನ್ನೂ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ, ಪುನರ್ವಿಮರ್ಶಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅಳತೆಯ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಬೇಕು.

Zeno ನ ಮತ್ತೊಂದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಅಪೋರಿಯಾ ಹಾರುವ ಬಾಣದ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ:

ಹಾರುವ ಬಾಣವು ಚಲನರಹಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಪ್ರತಿ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಅದು ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಅಪೋರಿಯಾದಲ್ಲಿ, ತಾರ್ಕಿಕ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಬಹಳ ಸರಳವಾಗಿ ನಿವಾರಿಸಲಾಗಿದೆ - ಪ್ರತಿ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಹಾರುವ ಬಾಣವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ನಿಂತಿದೆ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು ಸಾಕು, ಅದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಚಲನೆಯಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಇನ್ನೊಂದು ಅಂಶವಿದೆ. ರಸ್ತೆಯಲ್ಲಿರುವ ಕಾರಿನ ಒಂದು ಛಾಯಾಚಿತ್ರದಿಂದ, ಅದರ ಚಲನೆಯ ಸತ್ಯ ಅಥವಾ ಅದರ ಅಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯ. ಕಾರಿನ ಚಲನೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಸಮಯಕ್ಕೆ ವಿಭಿನ್ನ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ತೆಗೆದ ಎರಡು ಛಾಯಾಚಿತ್ರಗಳು ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ಆದರೆ ದೂರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಕಾರಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನಿಮಗೆ ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ತೆಗೆದ ಎರಡು ಛಾಯಾಚಿತ್ರಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳಿಂದ ಚಲನೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ನೀವು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ (ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ, ನಿಮಗೆ ಇನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಡೇಟಾ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ). ನಾನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಗಮನಸೆಳೆಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ, ಸಮಯದ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಪರಿಶೋಧನೆಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಅವಕಾಶಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದರಿಂದ ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗಬಾರದು.

ಬುಧವಾರ, ಜುಲೈ 4, 2018

ಚೆನ್ನಾಗಿ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, "ಸೆಟ್ ಎರಡು ಒಂದೇ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಾರದು", ಆದರೆ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಶಗಳಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು "ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಂಜಸವಾದ ಜೀವಿಗಳು ಅಂತಹ ಅಸಂಬದ್ಧತೆಯ ತರ್ಕವನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಮಾತನಾಡುವ ಗಿಳಿಗಳು ಮತ್ತು ತರಬೇತಿ ಪಡೆದ ಕೋತಿಗಳ ಮಟ್ಟವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ "ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ" ಎಂಬ ಪದದಿಂದ ಮನಸ್ಸು ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಗಣಿತಜ್ಞರು ಸಾಮಾನ್ಯ ತರಬೇತುದಾರರಂತೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅವರ ಅಸಂಬದ್ಧ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ನಮಗೆ ಬೋಧಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಒಂದಾನೊಂದು ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸೇತುವೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಎಂಜಿನಿಯರ್‌ಗಳು ಸೇತುವೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸೇತುವೆಯ ಕೆಳಗೆ ದೋಣಿಯಲ್ಲಿದ್ದರು. ಸೇತುವೆ ಕುಸಿದರೆ, ಸಾಧಾರಣ ಎಂಜಿನಿಯರ್ ತನ್ನ ಸೃಷ್ಟಿಯ ಅವಶೇಷಗಳಡಿಯಲ್ಲಿ ಸತ್ತರು. ಸೇತುವೆಯು ಭಾರವನ್ನು ತಡೆದುಕೊಳ್ಳುವಂತಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಭಾವಂತ ಎಂಜಿನಿಯರ್ ಇತರ ಸೇತುವೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು.

ಗಣಿತಜ್ಞರು "ನನ್ನನ್ನು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಿ, ನಾನು ಮನೆಯಲ್ಲಿದ್ದೇನೆ" ಅಥವಾ "ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವು ಅಮೂರ್ತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ" ಎಂಬ ಪದಗುಚ್ಛದ ಹಿಂದೆ ಹೇಗೆ ಮರೆಮಾಡಿದರೂ, ವಾಸ್ತವದೊಂದಿಗೆ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದಂತೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಒಂದು ಹೊಕ್ಕುಳಬಳ್ಳಿಯಿದೆ. ಈ ಹೊಕ್ಕುಳಬಳ್ಳಿಯು ಹಣ. ಗಣಿತದ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸೋಣ.

ನಾವು ಗಣಿತವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ನಗದು ಮೇಜಿನ ಬಳಿ ಕುಳಿತು ಸಂಬಳ ನೀಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬ ಗಣಿತಜ್ಞ ತನ್ನ ಹಣಕ್ಕಾಗಿ ನಮ್ಮ ಬಳಿಗೆ ಬರುತ್ತಾನೆ. ನಾವು ಅವನಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ನಮ್ಮ ಮೇಜಿನ ಮೇಲೆ ವಿವಿಧ ರಾಶಿಗಳಾಗಿ ಇಡುತ್ತೇವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ನಾವು ಒಂದೇ ಪಂಗಡದ ಬಿಲ್ಗಳನ್ನು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು ಪ್ರತಿ ರಾಶಿಯಿಂದ ಒಂದು ಬಿಲ್ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಗೆ ಅವರ "ಗಣಿತದ ಸಂಬಳ ಸೆಟ್" ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಶಗಳಿಲ್ಲದ ಸೆಟ್ ಒಂದೇ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದಾಗ ಮಾತ್ರ ಅವನು ಉಳಿದ ಬಿಲ್‌ಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತಾನೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಣಿತವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿಯೇ ಮೋಜು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನಿಯೋಗಿಗಳ ತರ್ಕವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ: "ನೀವು ಅದನ್ನು ಇತರರಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ನನಗೆ ಅಲ್ಲ!" ಇದಲ್ಲದೆ, ಒಂದೇ ಪಂಗಡದ ನೋಟುಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಬ್ಯಾಂಕ್ನೋಟ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ಭರವಸೆಗಳು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸರಿ, ನಾವು ಸಂಬಳವನ್ನು ನಾಣ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಎಣಿಸುತ್ತೇವೆ - ನಾಣ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲ. ಇಲ್ಲಿ ಗಣಿತಜ್ಞನು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಉದ್ರಿಕ್ತವಾಗಿ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ: ವಿಭಿನ್ನ ನಾಣ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಮಾಣದ ಕೊಳೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಪ್ರತಿ ನಾಣ್ಯಕ್ಕೆ ಪರಮಾಣುಗಳ ಸ್ಫಟಿಕ ರಚನೆ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ ...

ಮತ್ತು ಈಗ ನನಗೆ ಅತ್ಯಂತ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಪ್ರಶ್ನೆ ಇದೆ: ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್‌ನ ಅಂಶಗಳು ಸೆಟ್‌ನ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಗುವ ಗಡಿ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ? ಅಂತಹ ಒಂದು ಸಾಲು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ - ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಶಾಮನ್ನರು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತಾರೆ, ಇಲ್ಲಿ ವಿಜ್ಞಾನವು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ಇಲ್ಲಿ ನೋಡು. ನಾವು ಅದೇ ಮೈದಾನ ಪ್ರದೇಶದೊಂದಿಗೆ ಫುಟ್ಬಾಲ್ ಕ್ರೀಡಾಂಗಣಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಪ್ರದೇಶವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ನಾವು ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಆದರೆ ಅದೇ ಕ್ರೀಡಾಂಗಣಗಳ ಹೆಸರನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಬಹಳಷ್ಟು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಹೆಸರುಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಶಗಳ ಸೆಟ್ ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಷ್ಟು ಸರಿ? ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಗಣಿತಜ್ಞ-ಶಾಮನ್-ಶಲ್ಲರ್ ತನ್ನ ತೋಳಿನಿಂದ ಟ್ರಂಪ್ ಏಸ್ ಅನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅಥವಾ ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್ ಬಗ್ಗೆ ನಮಗೆ ಹೇಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾನೆ. ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಸರಿ ಎಂದು ನಮಗೆ ಮನವರಿಕೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ.

ಆಧುನಿಕ ಶಾಮನ್ನರು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಅದನ್ನು ವಾಸ್ತವಕ್ಕೆ ಜೋಡಿಸಿ, ಒಂದು ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು ಸಾಕು: ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತೊಂದು ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಹೇಗೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ? ನಾನು ನಿಮಗೆ ತೋರಿಸುತ್ತೇನೆ, ಯಾವುದೇ "ಒಂದೇ ಸಂಪೂರ್ಣವಲ್ಲ" ಅಥವಾ "ಒಂದೇ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ."

ಭಾನುವಾರ, ಮಾರ್ಚ್ 18, 2018

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ತಂಬೂರಿಯೊಂದಿಗೆ ಶಾಮನ್ನರ ನೃತ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಹೌದು, ಗಣಿತದ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಬಳಸಲು ನಮಗೆ ಕಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದಕ್ಕಾಗಿ ಅವರು ಶಾಮನ್ನರು, ಅವರ ವಂಶಸ್ಥರಿಗೆ ಅವರ ಕೌಶಲ್ಯ ಮತ್ತು ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆಯನ್ನು ಕಲಿಸಲು, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಶಾಮನ್ನರು ಸಾಯುತ್ತಾರೆ.

ನಿಮಗೆ ಪುರಾವೆ ಬೇಕೇ? ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾವನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು "ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಿಗಳ ಮೊತ್ತ" ಪುಟವನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. ಅವಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರವಿಲ್ಲ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳು, ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯವು ಈ ರೀತಿ ಧ್ವನಿಸುತ್ತದೆ: "ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹುಡುಕಿ." ಗಣಿತಜ್ಞರು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಶಾಮನ್ನರು ಇದನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಏನು ಮತ್ತು ಹೇಗೆ ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು 12345 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಏನು ಮಾಡಬೇಕು? ಎಲ್ಲಾ ಹಂತಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

1. ಕಾಗದದ ತುಂಡು ಮೇಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ನಾವೇನು ​​ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ? ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಸಂಕೇತವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಇದು ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಲ್ಲ.

2. ನಾವು ಒಂದು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಹಲವಾರು ಚಿತ್ರಗಳಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಚಿತ್ರವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುವುದು ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಲ್ಲ.

3. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ. ಇದು ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಲ್ಲ.

4. ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ. ಈಗ ಅದು ಗಣಿತ.

12345 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 15 ಆಗಿದೆ. ಇವು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಬಳಸುವ ಶಾಮನ್ನರಿಂದ "ಕತ್ತರಿಸುವ ಮತ್ತು ಹೊಲಿಯುವ ಕೋರ್ಸ್‌ಗಳು". ಆದರೆ ಇಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲ.

ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ನಾವು ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಲಕ್ಕೆ ಸಬ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್‌ನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ 12345 ರೊಂದಿಗೆ, ನನ್ನ ತಲೆಯನ್ನು ಮೋಸಗೊಳಿಸಲು ನಾನು ಬಯಸುವುದಿಲ್ಲ, ಲೇಖನದಿಂದ 26 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬೈನರಿ, ಅಷ್ಟಮ, ದಶಮಾಂಶ ಮತ್ತು ಹೆಕ್ಸಾಡೆಸಿಮಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ. ಸೂಕ್ಷ್ಮದರ್ಶಕದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಪ್ರತಿ ಹಂತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಅದನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೂ ಗಣಿತಕ್ಕೂ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲ. ಮೀಟರ್ ಮತ್ತು ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ನಿಮಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿನ ಶೂನ್ಯವು ಒಂದೇ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಇದು ಸತ್ಯದ ಪರವಾಗಿ ಮತ್ತೊಂದು ವಾದವಾಗಿದೆ. ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ಒಂದು ಪ್ರಶ್ನೆ: ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲದದನ್ನು ಹೇಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ? ಏನು, ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಏನೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ? ಶಾಮನ್ನರಿಗೆ, ನಾನು ಇದನ್ನು ಅನುಮತಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳಿಗೆ, ಇಲ್ಲ. ರಿಯಾಲಿಟಿ ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಲ್ಲ.

ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮಾಪನದ ಘಟಕಗಳು ಎಂದು ಪುರಾವೆಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ನಾವು ಮಾಪನದ ವಿವಿಧ ಘಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದೇ ಪ್ರಮಾಣದ ಮಾಪನದ ವಿಭಿನ್ನ ಘಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ಕ್ರಮಗಳು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿದ ನಂತರ ವಿಭಿನ್ನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾದರೆ, ಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ಇದಕ್ಕೂ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲ.

ನಿಜವಾದ ಗಣಿತ ಎಂದರೇನು? ಗಣಿತದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯ, ಬಳಸಿದ ಅಳತೆಯ ಘಟಕ ಮತ್ತು ಈ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಯಾರು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಓಹ್! ಇದು ಮಹಿಳೆಯರ ಶೌಚಾಲಯವಲ್ಲವೇ?
- ಯುವತಿ! ಸ್ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಏರಿದ ನಂತರ ಆತ್ಮಗಳ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪವಿತ್ರತೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಇದು ಪ್ರಯೋಗಾಲಯವಾಗಿದೆ! ಮೇಲೆ ನಿಂಬಸ್ ಮತ್ತು ಬಾಣ. ಬೇರೆ ಯಾವ ಶೌಚಾಲಯ?

ಹೆಣ್ಣು... ಮೇಲೆ ಒಂದು ಪ್ರಭಾವಲಯ ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಾಣದ ಕೆಳಗೆ ಪುರುಷ.

ನಿಮ್ಮ ಕಣ್ಣುಗಳ ಮುಂದೆ ದಿನಕ್ಕೆ ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ಮಿನುಗುವ ಅಂತಹ ವಿನ್ಯಾಸ ಕಲೆಯ ಕೆಲಸವನ್ನು ನೀವು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ,

ನಿಮ್ಮ ಕಾರಿನಲ್ಲಿ ನೀವು ಇದ್ದಕ್ಕಿದ್ದಂತೆ ವಿಚಿತ್ರ ಐಕಾನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರೆ ಆಶ್ಚರ್ಯವೇನಿಲ್ಲ:

ವೈಯಕ್ತಿಕವಾಗಿ, ಪೂಪಿಂಗ್ ವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಮೈನಸ್ ನಾಲ್ಕು ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ನೋಡಲು ನಾನು ನನ್ನ ಮೇಲೆ ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇನೆ (ಒಂದು ಚಿತ್ರ) (ಹಲವಾರು ಚಿತ್ರಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ: ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆ, ಸಂಖ್ಯೆ ನಾಲ್ಕು, ಡಿಗ್ರಿ ಪದನಾಮ). ಮತ್ತು ನಾನು ಈ ಹುಡುಗಿಯನ್ನು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ತಿಳಿದಿಲ್ಲದ ಮೂರ್ಖ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಅವಳು ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿತ್ರಗಳ ಗ್ರಹಿಕೆಯ ಆರ್ಕ್ ಸ್ಟೀರಿಯೊಟೈಪ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾಳೆ. ಮತ್ತು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಇದನ್ನು ನಮಗೆ ಸಾರ್ವಕಾಲಿಕ ಕಲಿಸುತ್ತಾರೆ. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ.

1A ಎಂಬುದು "ಮೈನಸ್ ನಾಲ್ಕು ಡಿಗ್ರಿ" ಅಥವಾ "ಒಂದು ಎ" ಅಲ್ಲ. ಇದು "ಪೂಪಿಂಗ್ ಮ್ಯಾನ್" ಅಥವಾ ಹೆಕ್ಸಾಡೆಸಿಮಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ "ಇಪ್ಪತ್ತಾರು" ಸಂಖ್ಯೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಜನರು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಒಂದು ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿಹ್ನೆಯಾಗಿ ಗ್ರಹಿಸುತ್ತಾರೆ.

ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಅಕ್ಷರಗಳು ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರ ಸೇರಿದಂತೆ ವಿವಿಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ, ನಾವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಮಾಡುವಾಗ ಅಥವಾ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ಈ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸರಿಯಾದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ತಮ್ಮದೇ ಆದ ವಿಶೇಷ ಮರಣದಂಡನೆ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ಯಾವ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾಡಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ನಿಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಕೇವಲ ಅಸ್ಥಿರ ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕೆಲವು ಸರಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ, ಜೊತೆಗೆ ಭಾಗಾಕಾರ, ಗುಣಾಕಾರ, ವ್ಯವಕಲನ ಮತ್ತು ಸಂಕಲನ ಚಿಹ್ನೆಗಳು. ನಂತರ ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಯಾವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೂರನೆಯ ಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಬೇರುಗಳು, ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಸರಿಯಾದ ಕ್ರಮವನ್ನು ನಾವು ನೀಡುತ್ತೇವೆ.

ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಿಲ್ಲದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

1. ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
2. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನಾವು ವಿಭಜನೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ವ್ಯವಕಲನ ಮತ್ತು ಸೇರ್ಪಡೆ.

ಈ ನಿಯಮಗಳ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭ. ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಬರವಣಿಗೆಯ ಕ್ರಮವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಮೂಲ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲು ಗುಣಿಸುವ ಅಥವಾ ವಿಭಜಿಸುವ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಮೂಲತತ್ವದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಎಲ್ಲಾ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಮಾಡಲು ನಾವು ಸರಳವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಬಯಸಿದ ಆದೇಶವನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಸ್ಥಿತಿ:ಎಷ್ಟು ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ 7 − 3 + 6 .

ಪರಿಹಾರ

ನಮ್ಮ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಲ್ಲ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಭಾಗಾಕಾರವೂ ಇರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಏಳರಿಂದ ಮೂರು ಕಳೆಯಿರಿ, ನಂತರ ಉಳಿದ ಆರು ಸೇರಿಸಿ, ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಹತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರದ ದಾಖಲೆ ಇಲ್ಲಿದೆ:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

ಉತ್ತರ: 7 − 3 + 6 = 10 .

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಸ್ಥಿತಿ:ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಯಾವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕು 6:2 8:3?

ಪರಿಹಾರ

ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು, ನಾವು ಮೊದಲೇ ರೂಪಿಸಿದ ಆವರಣಗಳಿಲ್ಲದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ನಿಯಮವನ್ನು ನಾವು ಪುನಃ ಓದುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅಂದರೆ ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಲಿಖಿತ ಕ್ರಮವನ್ನು ಇರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ತರ:ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ಆರರಿಂದ ಎರಡರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಎಂಟರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೂರರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಸ್ಥಿತಿ: 17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 ಎಷ್ಟು ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಮೊದಲಿಗೆ, ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸರಿಯಾದ ಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲಭೂತ ರೀತಿಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ - ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ, ಭಾಗಾಕಾರ. ನಾವು ಮಾಡಬೇಕಾದ ಮೊದಲನೆಯದು ಭಾಗಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಗುಣಿಸುವುದು. ಈ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಆದ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ಲಿಖಿತ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂದರೆ, 5 ಅನ್ನು 6 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು 30 ಅನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು, ನಂತರ 30 ಅನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ 10 ಅನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು. ಅದರ ನಂತರ ನಾವು 4 ರಿಂದ 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದು 2 . ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬದಲಿಸಿ:

17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 17 - 10 - 2 + 2

ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ವಿಭಜನೆ ಅಥವಾ ಗುಣಾಕಾರವಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಉಳಿದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

ಉತ್ತರ:17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 7.

ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ದೃಢವಾಗಿ ಕಲಿಯುವವರೆಗೆ, ನೀವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹಾಕಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

ನಾವು ಅಕ್ಷರಶಃ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ನಾವು ಅವರೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: ಮೊದಲು ನಾವು ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸಿ, ನಂತರ ನಾವು ಸೇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಕಳೆಯಿರಿ.

ಒಂದು ಮತ್ತು ಎರಡು ಹಂತಗಳು ಯಾವುವು

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಉಲ್ಲೇಖ ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಹಂತಗಳ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ.

ಮೊದಲ ಹಂತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯವಕಲನ ಮತ್ತು ಸೇರ್ಪಡೆ, ಎರಡನೆಯದು - ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆ.

ಈ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ಕ್ರಮಗಳ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಾವು ಈ ಹಿಂದೆ ನೀಡಲಾದ ನಿಯಮವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2

ಆವರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ಮೊದಲು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಹಂತದ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿ, ನಂತರ ಮೊದಲ ಹಂತದ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು (ಅದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ).

ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದ ಕ್ರಮ

ಆವರಣಗಳು ಸ್ವತಃ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಬಯಸಿದ ಕ್ರಮವನ್ನು ತಿಳಿಸುವ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬಯಸಿದ ನಿಯಮವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ನಂತರ ನಾವು ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸಿ, ತದನಂತರ ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಕಳೆಯಿರಿ.

ಆವರಣದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಇದನ್ನು ಮುಖ್ಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಒಂದು ಅಂಶವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಅದೇ ವಿಧಾನವನ್ನು ನಾವು ಇರಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಮ್ಮ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಸ್ಥಿತಿ:ಎಷ್ಟು ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ 5 + (7 - 2 3) (6 - 4) : 2.

ಪರಿಹಾರ

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಆವರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅವರೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, 7 - 2 · 3 ಎಷ್ಟು ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು 2 ರಿಂದ 3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು 7 ರಿಂದ ಕಳೆಯಬೇಕು:

7 - 2 3 = 7 - 6 = 1

ನಾವು ಎರಡನೇ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಒಂದೇ ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: 6 − 4 = 2 .

ಈಗ ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬದಲಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ:

5 + (7 - 2 3) (6 - 4) : 2 = 5 + 1 2: 2

ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ, ನಂತರ ಕಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಪಡೆಯಿರಿ:

5 + 1 2:2 = 5 + 2:2 = 5 + 1 = 6

ಇದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ: 5 + (7 - 2 3) (6 - 4) : 2 = 6.

ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಕೆಲವು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳು ಇತರರನ್ನು ಸುತ್ತುವರಿದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಗಾಬರಿಯಾಗಬೇಡಿ. ಮೇಲಿನ ನಿಯಮವನ್ನು ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಆವರಣದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಸ್ಥಿತಿ:ಎಷ್ಟು ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).

ಪರಿಹಾರ

ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು 3 + 1 + 4 (2 + 3) ನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ 2 + 3 . 5 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬದಲಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು 3 + 1 + 4 5 ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು. ನಾವು ಮೊದಲು ಗುಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಸೇರಿಸಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: 4 + 24 = 28 .

ಉತ್ತರ: 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)) = 28.

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಆವರಣದೊಳಗೆ ಆವರಣವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವಾಗ, ನಾವು ಒಳ ಆವರಣದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಮತ್ತು ಹೊರಗಿನವುಗಳಿಗೆ ನಮ್ಮ ದಾರಿಯಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

(4 + (4 + (4 - 6: 2)) - 1) - 1 ಎಷ್ಟು ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ನಾವು ಆಂತರಿಕ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ. 4 - 6: 2 = 4 - 3 = 1 ರಿಂದ, ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು (4 + (4 + 1) - 1) - 1 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನಾವು ಒಳ ಆವರಣಗಳಿಗೆ ತಿರುಗುತ್ತೇವೆ: 4 + 1 = 5 . ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬಂದಿದ್ದೇವೆ (4 + 5 − 1) − 1 . ನಾವು ನಂಬುತ್ತೇವೆ 4 + 5 − 1 = 8 ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು 8 - 1 ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಫಲಿತಾಂಶವು 7 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಶಕ್ತಿಗಳು, ಬೇರುಗಳು, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಕ್ರಮ

ನಾವು ಪದವಿ, ರೂಟ್, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಥವಾ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯ (ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್) ಅಥವಾ ಇತರ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ ನಾವು ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಅದರ ನಂತರ, ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಕಾರ್ಯಗಳು ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಂತಹ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 6

ಸ್ಥಿತಿ:ಎಷ್ಟು ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (3 + 1) 2 + 6 2: 3 - 7 .

ಪರಿಹಾರ

ನಾವು ಪದವಿಯೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೊದಲು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ: 6 2 \u003d 36. ಈಗ ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ನಂತರ ಅದು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (3 + 1) 2 + 36: 3 - 7 .

(3 + 1) 2 + 36: 3 - 7 = 4 2 + 36: 3 - 7 = 8 + 12 - 7 = 13

ಉತ್ತರ: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 - 7 = 13.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಮೀಸಲಾಗಿರುವ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ಬೇರುಗಳು, ಡಿಗ್ರಿಗಳು ಇತ್ಯಾದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಇತರ, ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅದರೊಂದಿಗೆ ನೀವೇ ಪರಿಚಿತರಾಗಿರಲು ನಾವು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ನೀವು ತಪ್ಪನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ