ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳು. ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಬಗ್ಗೆ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸಂಗತಿಗಳು: ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಪ್ರಮೇಯದ ಬಗ್ಗೆ ಹೊಸದನ್ನು ಕಲಿಯಿರಿ

(ಬರ್ಲಿನ್ ಮ್ಯೂಸಿಯಂನ ಪ್ಯಾಪಿರಸ್ 6619 ರ ಪ್ರಕಾರ). ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಪ್ರಕಾರ, ಹಾರ್ಪಿಡೊನಾಪ್ಟ್ಸ್ ಅಥವಾ "ಹಗ್ಗ ಎಳೆಯುವವರು" 3, 4 ಮತ್ತು 5 ರ ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲಂಬ ಕೋನಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ್ದಾರೆ.

ಅವರ ನಿರ್ಮಾಣದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ. 12 ಮೀ ಉದ್ದದ ಹಗ್ಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಒಂದು ತುದಿಯಿಂದ 3 ಮೀಟರ್ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ತುದಿಯಿಂದ 4 ಮೀಟರ್ ದೂರದಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣದ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಕಟ್ಟೋಣ. ಬಲ ಕೋನವು 3 ಮತ್ತು 4 ಮೀಟರ್ ಉದ್ದದ ಬದಿಗಳ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಮರದ ಚೌಕವನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ ಅವರ ನಿರ್ಮಾಣದ ವಿಧಾನವು ಅತಿರೇಕವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹಾರ್ಪಿಡೊನಾಪ್ಟಿಯನ್ನರಿಗೆ ಆಕ್ಷೇಪಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ಬಡಗಿಗಳು ಇದನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈಜಿಪ್ಟಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಸಾಧನವು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮರಗೆಲಸ ಕಾರ್ಯಾಗಾರವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು.

ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ನರಲ್ಲಿ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ತಿಳಿದಿದೆ. ಒಂದು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ಹಮ್ಮುರಾಬಿಯ ಕಾಲಕ್ಕೆ, ಅಂದರೆ ಕ್ರಿ.ಪೂ. 2000ಕ್ಕೆ ಹಿಂದಿನದು. ಇ. , ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಇದರಿಂದ ನಾವು ಮೆಸೊಪಟ್ಯಾಮಿಯಾದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನಗಳೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. ಒಂದೆಡೆ, ಈಜಿಪ್ಟ್ ಮತ್ತು ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ ಗಣಿತದ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತ ಮಟ್ಟದ ಜ್ಞಾನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಗ್ರೀಕ್ ಮೂಲಗಳ ವಿಮರ್ಶಾತ್ಮಕ ಅಧ್ಯಯನದ ಮೇಲೆ, ವ್ಯಾನ್ ಡೆರ್ ವಾರ್ಡೆನ್ (ಡಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ) ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಇದೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಿದರು. ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ಚೌಕದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯವು ಭಾರತದಲ್ಲಿ ಈಗಾಗಲೇ ಸುಮಾರು 18 ನೇ ಶತಮಾನದ BC ಯಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿತ್ತು. ಇ.

ಸುಮಾರು 400 ಕ್ರಿ.ಪೂ. ಕ್ರಿ.ಪೂ., ಪ್ರೊಕ್ಲಸ್ ಪ್ರಕಾರ, ಪ್ಲೇಟೋ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ತ್ರಿವಳಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೀಡಿದರು, ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿದರು. ಸುಮಾರು 300 ಕ್ರಿ.ಪೂ. ಇ. ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಅತ್ಯಂತ ಹಳೆಯ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಪುರಾವೆಯು ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು.

ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣ:

ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಮೂಲತಃ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೂತ್ರೀಕರಣ:

ಅಂದರೆ, ತ್ರಿಕೋನದ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಾಲುಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಮತ್ತು :

ಪ್ರಮೇಯದ ಎರಡೂ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಎರಡನೆಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿದೆ; ಇದು ಪ್ರದೇಶದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂದರೆ, ಎರಡನೇ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರದೇಶದ ಬಗ್ಗೆ ಏನನ್ನೂ ತಿಳಿಯದೆ ಮತ್ತು ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು.

ಕಾನ್ವರ್ಸ್ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ:

ಪುರಾವೆ

ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಈ ಪ್ರಮೇಯದ 367 ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ದಾಖಲಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬಹುಶಃ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಅಂತಹ ಪ್ರಭಾವಶಾಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏಕೈಕ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ವೈವಿಧ್ಯತೆಯನ್ನು ರೇಖಾಗಣಿತದ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯಿಂದ ಮಾತ್ರ ವಿವರಿಸಬಹುದು.

ಸಹಜವಾಗಿ, ಕಲ್ಪನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದವು: ಪ್ರದೇಶದ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪುರಾವೆಗಳು, ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಮತ್ತು ವಿಲಕ್ಷಣ ಪುರಾವೆಗಳು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು).

ಇದೇ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಮೂಲಕ

ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೂತ್ರೀಕರಣದ ಕೆಳಗಿನ ಪುರಾವೆಯು ಪುರಾವೆಗಳಲ್ಲಿ ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಮೂಲತತ್ವಗಳಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಅವಕಾಶ ಎಬಿಸಿಲಂಬ ಕೋನದೊಂದಿಗೆ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನವಿದೆ ಸಿ. ನಿಂದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ ಸಿಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ ಎಚ್. ತ್ರಿಕೋನ ACHತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ ಎಬಿಸಿಎರಡು ಮೂಲೆಗಳಲ್ಲಿ. ಅಂತೆಯೇ, ತ್ರಿಕೋನ CBHಇದೇ ಎಬಿಸಿ. ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಯಾವುದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಅದನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಪ್ರದೇಶದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಪುರಾವೆಗಳು

ಕೆಳಗಿನ ಪುರಾವೆಗಳು, ಅವುಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸರಳತೆಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಅಷ್ಟು ಸರಳವಾಗಿಲ್ಲ. ಅವರೆಲ್ಲರೂ ಪ್ರದೇಶದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ, ಅದರ ಪುರಾವೆಯು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ.

ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ಪುರಾವೆ

1. ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ನಾಲ್ಕು ಸಮಾನ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸೋಣ.
2. ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಿಒಂದು ಚೌಕವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡು ತೀವ್ರ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 90 ° ಮತ್ತು ನೇರ ಕೋನವು 180 ° ಆಗಿದೆ.
3. ಇಡೀ ಆಕೃತಿಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ (a + b) ಒಂದು ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ನಾಲ್ಕು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಒಳ ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶ.

ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಪುರಾವೆ

ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಪುರಾವೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್‌ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶವು ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ, ಮತ್ತು ನಂತರ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಎರಡು ಸಣ್ಣ ಚೌಕಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಅದರ ಮೇಲೆ ನಾವು ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಚೌಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಲಂಬ ಕೋನ C ಯ ಶೃಂಗದಿಂದ ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ AB ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಒಂದು ಕಿರಣವನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚದರ ABIK ಅನ್ನು ಎರಡು ಆಯತಗಳಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ - BHJI ಮತ್ತು HAKJ, ಕ್ರಮವಾಗಿ. ಈ ಆಯತಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ.

ಚದರ DECA ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು AHJK ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಸಹಾಯಕ ವೀಕ್ಷಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: ಅದೇ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ಬೇಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಆಯತವು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಆಯತದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಎತ್ತರದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಈ ಅವಲೋಕನದಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ತ್ರಿಕೋನ ACK ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು AHK ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ), ಇದು ಆಯತ AHJK ನ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ACK ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಚದರ DECA ಯ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಈಗ ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಏಕೈಕ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಎಸಿಕೆ ಮತ್ತು ಬಿಡಿಎ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು (ಬಿಡಿಎ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಮೇಲಿನ ಆಸ್ತಿಯ ಪ್ರಕಾರ ಚೌಕದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಈ ಸಮಾನತೆಯು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ: ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ. ಅವುಗಳೆಂದರೆ - AB=AK, AD=AC - CAK ಮತ್ತು BAD ಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಚಲನೆಯ ವಿಧಾನದಿಂದ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಸುಲಭ: ನಾವು ತ್ರಿಕೋನ CAK ಅನ್ನು 90 ° ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ತಿರುಗಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಬದಿಗಳು ಇದರಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಚೌಕದ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನವು 90° ಆಗಿರುವುದರಿಂದ).

ಚೌಕ BCFG ಮತ್ತು ಆಯತ BHJI ಪ್ರದೇಶಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೋಲುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶವು ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಪುರಾವೆಯ ಹಿಂದಿನ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮೇಲಿನ ಅನಿಮೇಷನ್‌ನಿಂದ ಮತ್ತಷ್ಟು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಡಾ ವಿನ್ಸಿಯ ಪುರಾವೆ

ಪುರಾವೆಯ ಮುಖ್ಯ ಅಂಶಗಳು ಸಮ್ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಚಲನೆ.

ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಸಮ್ಮಿತಿಯಿಂದ ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ, ವಿಭಾಗವು ಚೌಕವನ್ನು ಎರಡು ಒಂದೇ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ (ತ್ರಿಕೋನಗಳು ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ).

ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತಲೂ 90-ಡಿಗ್ರಿ ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಮಬ್ಬಾದ ಅಂಕಿಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು.

ನಾವು ಮಬ್ಬಾಗಿರುವ ಆಕೃತಿಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಸಣ್ಣ ಚೌಕಗಳ (ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ) ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಈಗ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಇದು ದೊಡ್ಡ ಚೌಕದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ) ಜೊತೆಗೆ ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಣ್ಣ ಚೌಕಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಮೊತ್ತವು ದೊಡ್ಡ ಚೌಕದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತವು ಅದರ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್.

ಅಪರಿಮಿತ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪುರಾವೆ

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಕೆಳಗಿನ ಪುರಾವೆಗಳು 20 ನೇ ಶತಮಾನದ ಮೊದಲಾರ್ಧದಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುತ್ತಿದ್ದ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಹಾರ್ಡಿಗೆ ಕಾರಣವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡುವುದು ಮತ್ತು ಬದಿಯಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಎ, ಅಪರಿಮಿತ ಸೈಡ್ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ಗಳಿಗಾಗಿ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು ಜೊತೆಗೆಮತ್ತು ಎ(ತ್ರಿಕೋನ ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು):

ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿನ ಏರಿಕೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್‌ನಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ

ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು ಬಯಸಿದ ಉತ್ತರವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ

ನೋಡಲು ಸುಲಭವಾಗುವಂತೆ, ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಏರಿಕೆಗಳ ನಡುವಿನ ರೇಖೀಯ ಅನುಪಾತದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಅಂತಿಮ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅವಲಂಬನೆಯು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮೊತ್ತವು ವಿವಿಧ ಕಾಲುಗಳ ಹೆಚ್ಚಳದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೊಡುಗೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ.

ಕಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಅನುಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸಿದರೆ ಸರಳವಾದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಲೆಗ್). ನಂತರ ಏಕೀಕರಣ ಸ್ಥಿರಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು

ಮೂರು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕಾರಗಳು

ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ, ಹಸಿರು ಆಕಾರಗಳ ಪ್ರದೇಶ A + B = ನೀಲಿ C ನ ಪ್ರದೇಶ

ಇದೇ ರೀತಿಯ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ

ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ತನ್ನ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಆರಂಭಗಳು, ಬದಿಗಳಲ್ಲಿನ ಚೌಕಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಂಕಿಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು:

ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರೆ (ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ನೋಡಿ), ನಂತರ ಎರಡು ಸಣ್ಣ ಅಂಕಿಗಳ ಮೊತ್ತವು ದೊಡ್ಡ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದ ಮುಖ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯೆಂದರೆ, ಅಂತಹ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವು ಅದರ ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ಆಯಾಮಗಳ ಚೌಕಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಬದಿಯ ಉದ್ದದ ಚೌಕಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರದೇಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಕಿಗಳಿಗೆ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಸಿಉದ್ದದೊಂದಿಗೆ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಸಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಆದರೆ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಎ 2 + ಬಿ 2 = ಸಿ 2 ನಂತರ ಎ + ಬಿ = ಸಿ.

ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರೆ ಎ + ಬಿ = ಸಿಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸದೆ ಮೂರು ರೀತಿಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಿಗೆ, ನಂತರ ನಾವು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸ್ವತಃ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು, ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಚಲಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆರಂಭಿಕ ಕೇಂದ್ರ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿ ಮರುಬಳಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಸಿಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮೇಲೆ, ಮತ್ತು ಎರಡು ಸಮಾನವಾದ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ( ಎಮತ್ತು ಬಿ), ಇತರ ಎರಡು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಕೇಂದ್ರ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಅದರ ಎತ್ತರದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಚಿಕ್ಕ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತವು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಮೂರನೇ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎ + ಬಿ = ಸಿಮತ್ತು, ಹಿಂದಿನ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಿ, ನಾವು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ a 2 + b 2 = c 2 .

ಕೊಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯ

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಕೊಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ:

ಇಲ್ಲಿ θ ಎಂಬುದು ಬದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ ಎಮತ್ತು ಬಿ.

θ 90 ಡಿಗ್ರಿ ಆಗಿದ್ದರೆ cos θ = 0 ಮತ್ತು ಸೂತ್ರವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಉಚಿತ ತ್ರಿಕೋನ

ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ತ್ರಿಕೋನದ ಯಾವುದೇ ಆಯ್ದ ಮೂಲೆಗೆ a, b, cಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಅದರ ತಳ θ ನಲ್ಲಿರುವ ಸಮಾನ ಕೋನಗಳು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತೋಣ. ಆಯ್ದ ಕೋನ θ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದ ಬದಿಯ ಎದುರು ಇದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ ಸಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಕೋನ θ ನೊಂದಿಗೆ ತ್ರಿಕೋನ ABD ಅನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಅದು ಬದಿಯ ಎದುರು ಇದೆ ಎಮತ್ತು ಪಕ್ಷಗಳು ಆರ್. ಎರಡನೇ ತ್ರಿಕೋನವು θ ಕೋನದಿಂದ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದು ಬದಿಯ ಎದುರು ಇದೆ ಬಿಮತ್ತು ಪಕ್ಷಗಳು ಜೊತೆಗೆಉದ್ದ ರು, ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ. ಈ ಮೂರು ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿನ ಬದಿಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ ಎಂದು ಥಾಬಿತ್ ಇಬ್ನ್ ಕುರ್ರಾ ವಾದಿಸಿದರು:

ಕೋನ θ π/2 ಅನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿದ್ದಂತೆ, ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ ತಳವು ಚಿಕ್ಕದಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ಬದಿಗಳು r ಮತ್ತು s ಪರಸ್ಪರ ಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಅತಿಕ್ರಮಿಸುತ್ತವೆ. ಯಾವಾಗ θ = π/2, ADB ಬಲ ತ್ರಿಕೋನವಾಗುತ್ತದೆ, ಆರ್ + ರು = ಸಿಮತ್ತು ನಾವು ಆರಂಭಿಕ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ವಾದಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ತ್ರಿಕೋನ ABC ತ್ರಿಕೋನ ABD ಯಂತೆಯೇ ಅದೇ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿದೆ. (ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳು B ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಎರಡೂ θ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಅದೇ ಮೂರನೇ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ) ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ABC ತ್ರಿಕೋನ DBA ಯ ಪ್ರತಿಫಲನ ABD ಅನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎದುರು ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಕೋನದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ θ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನಾವು ಬರೆಯೋಣ,

ಮತ್ತೊಂದು ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರತಿಬಿಂಬ,

ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಈ ಎರಡು ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ:

ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ಮೂಲಕ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ,
ಹಸಿರು ಪ್ರದೇಶ ಕಥಾವಸ್ತು = ಪ್ರದೇಶನೀಲಿ

ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಬಂಧದ ಪುರಾವೆ

ಚೌಕಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಮೂರು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬಲ-ಅಲ್ಲದ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೆ ಮತ್ತಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಮಾಡೋಣ. (ಚೌಕಗಳು ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ.) ತೀವ್ರವಾದ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ, ಉದ್ದದ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಇತರ ಎರಡು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿನ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಮೇಲಿನ ಅಂಕಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಬದಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ (ಬಾಣಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಆಯಾಮಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಬದಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ). ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳೊಂದಿಗೆ ಚೌಕಗಳ ಈ ಬದಲಿಯು ಪೈಥಾಗರಸ್‌ನ ಆರಂಭಿಕ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದನ್ನು 4 AD ನಲ್ಲಿ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರಿಯಾದ ಪಪ್ಪಸ್‌ನಿಂದ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇ.

ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವು ಪುರಾವೆಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನದ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಎಡ ಹಸಿರು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವು ನೀಲಿ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಎಡಭಾಗದಂತೆಯೇ ಅದೇ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳು ಒಂದೇ ತಳವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಬಿಮತ್ತು ಎತ್ತರ ಗಂ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಎಡ ಹಸಿರು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವು ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಎಡ ಹಸಿರು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದಂತೆಯೇ ಅದೇ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ತಳವನ್ನು (ತ್ರಿಕೋನದ ಮೇಲಿನ ಎಡಭಾಗ) ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನದ ಆ ಬದಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಎತ್ತರವನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ತ್ರಿಕೋನದ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವು ಎರಡು ಹಸಿರು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳಂತೆಯೇ ಒಂದೇ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಎಲ್ಲಾ ನಿಜವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ: ದೂರ ರುಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ( a, b) ಮತ್ತು ( ಸಿ, ಡಿ) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೈಜ ಘಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲ X + ನಾನು ವೈ = (X, ವೈ). . ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದೂರ ರು 0 + 1 ರ ನಡುವೆ iಮತ್ತು 1 + 0 iವೆಕ್ಟರ್ನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), ಅಥವಾ

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಂಕೀರ್ಣ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗಾಗಿ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಕೆಲವು ಸುಧಾರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ ( ಎ, ಬಿ) ಮತ್ತು ( ಸಿ, ಡಿ); ಎ, ಬಿ, ಸಿ, ಮತ್ತು ಡಿಎಲ್ಲಾ ಸಂಕೀರ್ಣ, ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ. ದೂರ ರುವೆಕ್ಟರ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ (ಎ − ಸಿ, ಬಿ − ಡಿ) ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ: ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಬಿಡಿ ಎ − ಸಿ = ಪ+ i q, ಎಲ್ಲಿ ಪ- ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಜವಾದ ಭಾಗ, qಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು i = √(-1). ಅಂತೆಯೇ, ಅವಕಾಶ ಬಿ − ಡಿ = ಆರ್+ i ರು. ನಂತರ:

ಗಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ (ಎ, ಬಿ) = (0, 1) ಮತ್ತು (ಸಿ, ಡಿ) = (i, 0) , ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ (ಎ − ಸಿ, ಬಿ − ಡಿ) = (−i, 1) ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಗಗಳನ್ನು ಬಳಸದಿದ್ದರೆ ಫಲಿತಾಂಶವು 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸುಧಾರಿತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಸ್ಟೀರಿಯೊಮೆಟ್ರಿ

ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶಕ್ಕಾಗಿ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಗಮನಾರ್ಹ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ಡಿ ಗೋಯ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಜೆ.-ಪಿ. ಡಿ ಗೋಯಿಸ್: ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ ಲಂಬ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (ಘನದಲ್ಲಿ), ನಂತರ ಬಲ ಕೋನದ ಎದುರು ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶದ ಚೌಕವು ಇತರ ಮೂರು ಮುಖಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಬಹುದು " ಎನ್-ಆಯಾಮದ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ":

ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಕರ್ಣೀಯ AD ಯನ್ನು ಮೂರು ಬದಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ.

ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ: ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸ್ಟೀರಿಯೊಮೆಟ್ರಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ಸಮಾನಾಂತರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕರ್ಣ BD ಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಅಲ್ಲಿ ಮೂರು ಬದಿಗಳು ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಕರ್ಣೀಯ AD ಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಸಮತಲ ಕರ್ಣ BD ಮತ್ತು ಲಂಬ ಅಂಚು AB ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಮತ್ತೆ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಅಥವಾ, ನಾವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಂದೇ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಬರೆದರೆ:

ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ v(ಕರ್ಣೀಯ AD), ಅದರ ಲಂಬ ಘಟಕಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ( v k) (ಮೂರು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಬದಿಗಳು):

ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಹುಆಯಾಮದ ಜಾಗಕ್ಕಾಗಿ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಫಲಿತಾಂಶವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸತತವಾಗಿ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸಮತಲಗಳಲ್ಲಿ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅನ್ವಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅಲ್ಲ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್

ವಾಹಕಗಳ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮಾನತೆ ಇದೆ, ಇದನ್ನು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ:

ಒಂದು ವೇಳೆ - ಇವುಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಸೂತ್ರವು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ದೂರದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ - ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವು ಅದರ ಘಟಕಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದರ್ಥ.

ವಾಹಕಗಳ ಅನಂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಅನಲಾಗ್ ಅನ್ನು ಪಾರ್ಸೆವಲ್ ಸಮಾನತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಜ್ಯಾಮಿತಿ

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮೂಲತತ್ವಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ, ಅದನ್ನು ಮೇಲೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. (ಅಂದರೆ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಸಮಾನಾಂತರ ನಿಲುವಿಗೆ ಒಂದು ರೀತಿಯ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ) ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗೋಲಾಕಾರದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಬದಿಗಳು (ಹೇಳುವುದು ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಸಿ), ಇದು ಯುನಿಟ್ ಗೋಳದ ಆಕ್ಟಾಂಟ್ (ಎಂಟನೇ ಭಾಗ) ಅನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು π/2 ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎ 2 + ಬಿ 2 ≠ ಸಿ 2 .

ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ - ಗೋಲಾಕಾರದ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ; ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೆ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶವು ಕೊಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಮತ್ತು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ರೇಖಾಗಣಿತಕ್ಕೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ, ತ್ರಿಕೋನವು ಆಯತಾಕಾರದ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ತ್ರಿಕೋನದ ಎರಡು ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಮೂರನೆಯದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು ಎಂಬ ಷರತ್ತಿನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಎ+ಬಿ = ಸಿ. ನಂತರ ಬದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಲಯಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಮತ್ತು ಬಿವ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಸಿ.

ಗೋಲಾಕಾರದ ಜ್ಯಾಮಿತಿ

ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಆರ್(ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ γ ಕೋನವು ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ) ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಎ, ಬಿ, ಸಿಪಕ್ಷಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಗೋಳಾಕಾರದ ಕೊಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಗೋಳಾಕಾರದ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ:

ಇಲ್ಲಿ ಕೋಶ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕೊಸೈನ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಸೂತ್ರವು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕೊಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ:

ಇಲ್ಲಿ γ ಕೋನವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಶೃಂಗವು ಬದಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಸಿ.

ಎಲ್ಲಿ ಜಿ ijಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸ್ಥಾನದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಬಹುದು. ಅಂತಹ ಬಾಗಿದ ಸ್ಥಳಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ರೀಮನ್ನಿಯನ್ ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಸಹ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗಾಗಿ:

ವೆಕ್ಟರ್ ಕಲಾಕೃತಿ

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ. ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:

ಈ ಸೂತ್ರವು ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಗ್ರಾಂ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಮತ್ತು ಬಿ, ಇದು ಈ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಅವಶ್ಯಕತೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಹಾಗೆಯೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅದರ ಘಟಕಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಅಗತ್ಯತೆ ಎಮತ್ತು ಬಿಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, 0- ಮತ್ತು 1-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಿಂದ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೂರು ಮತ್ತು ಏಳು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ಕೋನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಎನ್- ಆಯಾಮದ ಜಾಗ:

ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಅದರ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡುತ್ತದೆ:

ಪೈಥಾಗರಸ್‌ನ ಮೂಲಭೂತ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತಿನ ಮೂಲಕ ನಾವು ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬರೆಯುವ ಇನ್ನೊಂದು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಅದರ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು. ನಂತರ, ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ, ನಾವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಸಹ ನೋಡಿ

ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು

1. ಇತಿಹಾಸದ ವಿಷಯ: ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪೈಥಾಗರಸ್ ಪ್ರಮೇಯ
2. (, ಪುಟ 351) ಪುಟ 351
3. (, ಸಂಪುಟ I, ಪುಟ 144)
4. ಐತಿಹಾಸಿಕ ಸತ್ಯಗಳ ಚರ್ಚೆಯನ್ನು (, P. 351) P. 351 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ
5. ಕರ್ಟ್ ವಾನ್ ಫ್ರಿಟ್ಜ್ (ಏಪ್ರಿಲ್, 1945). "ದಿ ಡಿಸ್ಕವರಿ ಆಫ್ ಇಂಕಾಮೆನ್ಸುರಬಿಲಿಟಿ ಬೈ ಹಿಪ್ಪಾಸಸ್ ಆಫ್ ಮೆಟಾಪಾಂಟಮ್". ಆನಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್, ಎರಡನೇ ಸರಣಿ(ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಾರ್ಷಿಕಗಳು) 46 (2): 242–264.
6. ಲೆವಿಸ್ ಕ್ಯಾರೊಲ್, "ದಿ ಸ್ಟೋರಿ ವಿತ್ ನಾಟ್ಸ್", ಎಂ., ಮಿರ್, 1985, ಪು. 7
7. ಅಸ್ಗರ್ ಅಬೋಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಆರಂಭಿಕ ಇತಿಹಾಸದಿಂದ ಕಂತುಗಳು. - ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಅಸೋಸಿಯೇಷನ್ ​​ಆಫ್ ಅಮೇರಿಕಾ, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
8. ಪೈಥಾನ್ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಎಲಿಶಾ ಸ್ಕಾಟ್ ಲೂಮಿಸ್ ಅವರಿಂದ
9. ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ನ ಅಂಶಗಳು: ಪುಸ್ತಕ VI, ಪ್ರತಿಪಾದನೆ VI 31: "ಬಲ-ಕೋನ ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಲಂಬ ಕೋನವನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಆಕೃತಿಯು ಲಂಬ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ಅಂಕಿಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ."
10. ಲಾರೆನ್ಸ್ ಎಸ್. ಲೆಫ್ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ ಕೆಲಸ. - ಬ್ಯಾರನ್ಸ್ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸರಣಿ - P. 326. - ISBN 0764128922
11. ಹೊವಾರ್ಡ್ ವಿಟ್ಲಿ ಈವ್ಸ್§4.8:...ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ // ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮ ಕ್ಷಣಗಳು (1650 ರ ಮೊದಲು). - ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕಲ್ ಅಸೋಸಿಯೇಷನ್ ​​ಆಫ್ ಅಮೇರಿಕಾ, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108
12. ಟ್ಯಾಬಿಟ್ ಇಬ್ನ್ ಕೊರ್ರಾ (ಪೂರ್ಣ ಹೆಸರು ಥಾಬಿತ್ ಇಬ್ನ್ ಕುರ್ರಾ ಇಬ್ನ್ ಮರ್ವಾನ್ ಅಲ್-ಸಾಬಿ ಅಲ್-ಹರ್ರಾನಿ) (826-901 AD) ಬಾಗ್ದಾದ್‌ನಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುವ ವೈದ್ಯರಾಗಿದ್ದರು, ಅವರು ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಗಣಿತದ ವಿಷಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ.
13. ಐದಿನ್ ಸೈಲಿ (ಮಾರ್ಚ್. 1960). "ಥಾಬಿತ್ ಇಬ್ನ್ ಕುರ್ರಾ" ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ." ಐಸಿಸ್ 51 (1): 35–37. DOI:10.1086/348837.
14. ಜುಡಿತ್ ಡಿ ಸ್ಯಾಲಿ, ಪಾಲ್ ಸ್ಯಾಲಿವ್ಯಾಯಾಮ 2.10 (ii) // ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ ಕೆಲಸ. - P. 62. - ISBN 0821844032
15. ಅಂತಹ ನಿರ್ಮಾಣದ ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ, ನೋಡಿ ಜಾರ್ಜ್ ಜೆನ್ನಿಂಗ್ಸ್ಚಿತ್ರ 1.32: ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ // ಅನ್ವಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಧುನಿಕ ರೇಖಾಗಣಿತ: 150 ಅಂಕಿಗಳೊಂದಿಗೆ. - 3 ನೇ. - ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್, 1997. - P. 23. - ISBN 038794222X
16. ಅರ್ಲೆನ್ ಬ್ರೌನ್, ಕಾರ್ಲ್ ಎಂ. ಪಿಯರ್ಸಿಐಟಂ ಸಿ: ಅನಿಯಂತ್ರಿತಕ್ಕೆ ರೂಢಿ ಎನ್-tuple ... // ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಒಂದು ಪರಿಚಯ. - ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್, 1995. - P. 124. - ISBN 0387943692 47-50 ಪುಟಗಳನ್ನೂ ನೋಡಿ.
17. ಆಲ್ಫ್ರೆಡ್ ಗ್ರೇ, ಎಲ್ಸಾ ಅಬ್ಬೆನಾ, ಸೈಮನ್ ಸಲಾಮನ್ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದೊಂದಿಗೆ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಆಧುನಿಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತ. - 3 ನೇ. - CRC ಪ್ರೆಸ್, 2006. - P. 194. - ISBN 1584884487
18. ರಾಜೇಂದ್ರ ಭಾಟಿಯಾಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ. - ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್, 1997. - P. 21. - ISBN 0387948465
19. ಸ್ಟೀಫನ್ W. ಹಾಕಿಂಗ್ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ ಕೆಲಸ. - 2005. - P. 4. - ISBN 0762419229
20. ಎರಿಕ್ ಡಬ್ಲ್ಯೂ ವೈಸ್ಟೈನ್ CRC ಕನ್ಸೈಸ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್. - 2 ನೇ. - 2003. - P. 2147. - ISBN 1584883472
21. ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಆರ್. ಪ್ರಸ್

ನೀವು ನೂರು ಪ್ರತಿಶತ ಖಚಿತವಾಗಿರಬಹುದಾದ ಒಂದು ವಿಷಯವೆಂದರೆ, ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ವರ್ಗ ಯಾವುದು ಎಂದು ಕೇಳಿದಾಗ, ಯಾವುದೇ ವಯಸ್ಕನು ಧೈರ್ಯದಿಂದ ಉತ್ತರಿಸುತ್ತಾನೆ: "ಕಾಲುಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತ." ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ವಿದ್ಯಾವಂತ ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ದೃಢವಾಗಿ ಬೇರೂರಿದೆ, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ನೀವು ಯಾರನ್ನಾದರೂ ಕೇಳಬೇಕು ಮತ್ತು ತೊಂದರೆಗಳು ಉಂಟಾಗಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಜೀವನಚರಿತ್ರೆ

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಪರಿಚಿತವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಕೆಲವು ಕಾರಣಗಳಿಂದಾಗಿ ಅದನ್ನು ಜಗತ್ತಿಗೆ ತಂದ ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಜೀವನಚರಿತ್ರೆ ಅಷ್ಟೊಂದು ಜನಪ್ರಿಯವಾಗಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪೈಥಾಗರಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸುವ ಮೊದಲು, ನೀವು ಅವರ ವ್ಯಕ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ಪೈಥಾಗರಸ್ - ತತ್ವಜ್ಞಾನಿ, ಗಣಿತಜ್ಞ, ಚಿಂತಕ ಮೂಲತಃ ಇಂದಿನಿಂದ ಈ ಮಹಾನ್ ವ್ಯಕ್ತಿಯ ನೆನಪಿಗಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ದಂತಕಥೆಗಳಿಂದ ಅವರ ಜೀವನ ಚರಿತ್ರೆಯನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ. ಆದರೆ ಅವರ ಅನುಯಾಯಿಗಳ ಕೃತಿಗಳಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ, ಸಮೋಸ್ನ ಪೈಥಾಗರಸ್ ಸಮೋಸ್ ದ್ವೀಪದಲ್ಲಿ ಜನಿಸಿದರು. ಅವರ ತಂದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಲ್ಲು ಕತ್ತರಿಸುವವರಾಗಿದ್ದರು, ಆದರೆ ಅವರ ತಾಯಿ ಉದಾತ್ತ ಕುಟುಂಬದಿಂದ ಬಂದವರು.

ದಂತಕಥೆಯ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು, ಪೈಥಾಗರಸ್ನ ಜನನವನ್ನು ಪೈಥಿಯಾ ಎಂಬ ಮಹಿಳೆ ಭವಿಷ್ಯ ನುಡಿದರು, ಅವರ ಗೌರವಾರ್ಥವಾಗಿ ಹುಡುಗನಿಗೆ ಹೆಸರಿಸಲಾಯಿತು. ಅವಳ ಭವಿಷ್ಯವಾಣಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ಹುಟ್ಟಿದ ಹುಡುಗ ಮಾನವೀಯತೆಗೆ ಬಹಳಷ್ಟು ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಮತ್ತು ಒಳ್ಳೆಯದನ್ನು ತರಬೇಕಾಗಿತ್ತು. ಅವನು ನಿಖರವಾಗಿ ಏನು ಮಾಡಿದ್ದಾನೆ.

ಪ್ರಮೇಯದ ಜನನ

ತನ್ನ ಯೌವನದಲ್ಲಿ, ಪೈಥಾಗರಸ್ ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಈಜಿಪ್ಟ್ ಋಷಿಗಳನ್ನು ಭೇಟಿ ಮಾಡಲು ಈಜಿಪ್ಟ್ಗೆ ತೆರಳಿದರು. ಅವರೊಂದಿಗೆ ಭೇಟಿಯಾದ ನಂತರ, ಅವರಿಗೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಅವಕಾಶ ನೀಡಲಾಯಿತು, ಅಲ್ಲಿ ಅವರು ಈಜಿಪ್ಟಿನ ತತ್ತ್ವಶಾಸ್ತ್ರ, ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಔಷಧದ ಎಲ್ಲಾ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಾಧನೆಗಳನ್ನು ಕಲಿತರು.

ಬಹುಶಃ ಈಜಿಪ್ಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಪೈಥಾಗರಸ್ ಪಿರಮಿಡ್‌ಗಳ ಗಾಂಭೀರ್ಯ ಮತ್ತು ಸೌಂದರ್ಯದಿಂದ ಪ್ರೇರಿತನಾಗಿ ತನ್ನ ಮಹಾನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ರಚಿಸಿದನು. ಇದು ಓದುಗರನ್ನು ಆಘಾತಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಆಧುನಿಕ ಇತಿಹಾಸಕಾರರು ಪೈಥಾಗರಸ್ ತನ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಂಬುತ್ತಾರೆ. ಆದರೆ ಅವರು ತಮ್ಮ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ತಮ್ಮ ಅನುಯಾಯಿಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ರವಾನಿಸಿದರು, ಅವರು ನಂತರ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದರು.

ಅದು ಇರಲಿ, ಇಂದು ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಒಂದು ವಿಧಾನ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು. ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕರು ತಮ್ಮ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಿದ್ದಾರೆಂದು ಇಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ನಾವು ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ

ನೀವು ಯಾವುದೇ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಮೊದಲು, ನೀವು ಯಾವ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೀರಿ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೀಗಿದೆ: "ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ 90 °, ಕಾಲುಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತವು ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ."

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಒಟ್ಟು 15 ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಜನಪ್ರಿಯವಾದವುಗಳಿಗೆ ಗಮನ ಕೊಡುತ್ತೇವೆ.

ವಿಧಾನ ಒಂದು

ಮೊದಲಿಗೆ, ನಮಗೆ ಏನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ಈ ಡೇಟಾವು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಇತರ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಕಾಲುಗಳು a, b ಮತ್ತು c ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನಮಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನೀವು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ ಒಂದು ಚೌಕವನ್ನು ಸೆಳೆಯಬೇಕು ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಪುರಾವೆಯ ಮೊದಲ ವಿಧಾನವು ಆಧರಿಸಿದೆ.

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಲೆಗ್ ಬಿ ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ವಿಭಾಗವನ್ನು a ಉದ್ದದ ಲೆಗ್‌ಗೆ ಸೇರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಇದು ಚೌಕದ ಎರಡು ಸಮಾನ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬೇಕು. ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ, ಮತ್ತು ಚೌಕವು ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಆಕೃತಿಯ ಒಳಗೆ, ನೀವು ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಚೌಕವನ್ನು ಸೆಳೆಯಬೇಕು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ас ಮತ್ತು св ಶೃಂಗಗಳಿಂದ ನೀವು с ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯಬೇಕು. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಚೌಕದ ಮೂರು ಬದಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮೂಲ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಆಗಿದೆ. ನಾಲ್ಕನೇ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಸೆಳೆಯುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ.

ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಂಕಿ ಅಂಶವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಹೊರಗಿನ ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶವು (a + b) 2 ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. ನೀವು ಆಕೃತಿಯೊಳಗೆ ನೋಡಿದರೆ, ಆಂತರಿಕ ಚೌಕದ ಜೊತೆಗೆ, ನಾಲ್ಕು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿವೆ ಎಂದು ನೀವು ನೋಡಬಹುದು. ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಪ್ರದೇಶವು 0.5av ಆಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರದೇಶವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: 4 * 0.5ab + c 2 = 2av + c 2

ಆದ್ದರಿಂದ (a+c) 2 =2ab+c 2

ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, c 2 =a 2 +b 2

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ವಿಧಾನ ಎರಡು: ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳು

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದ ಕಾಲು ಅದರ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮತ್ತು 90 ° ಕೋನದ ಶೃಂಗದಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಾಸರಿ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ.

ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪುರಾವೆಯೊಂದಿಗೆ ಈಗಿನಿಂದಲೇ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. AB ಬದಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಒಂದು ವಿಭಾಗದ CD ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ. ಮೇಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಬದಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು, ಎರಡೂ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಬೇಕು.

AC 2 = AB * AD ಮತ್ತು CB 2 = AB * DV

ಈಗ ನಾವು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), ಇಲ್ಲಿ AD + DV = AB

ಇದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ:

AC 2 + CB 2 =AB*AB

ಆದ್ದರಿಂದ:

AC 2 + CB 2 = AB 2

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಬಹುಮುಖ ವಿಧಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಆಯ್ಕೆಯು ಸರಳವಾದವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.

ಮತ್ತೊಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ವಿಧಾನ

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳ ವಿವರಣೆಗಳು ನಿಮ್ಮದೇ ಆದ ಅಭ್ಯಾಸವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವವರೆಗೆ ಏನನ್ನೂ ಅರ್ಥೈಸುವುದಿಲ್ಲ. ಅನೇಕ ತಂತ್ರಗಳು ಗಣಿತದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ ಹೊಸ ಅಂಕಿಗಳ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬದಿಯಲ್ಲಿ BC ಯಿಂದ ಮತ್ತೊಂದು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನ VSD ಅನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಹೀಗಾಗಿ, ಈಗ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲೆಗ್ BC ಯೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳಿವೆ.

ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಕಿಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಅವುಗಳ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೇಖೀಯ ಆಯಾಮಗಳ ಚೌಕಗಳ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ನಂತರ:

S avs * c 2 - S avd * in 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2

S avs *(2 ರಿಂದ 2 ರವರೆಗೆ) = a 2 *(S avd -S vsd)

2 ರಿಂದ 2 =a 2

c 2 =a 2 +b 2

ಗ್ರೇಡ್ 8 ಗಾಗಿ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ಆಯ್ಕೆಯು ಅಷ್ಟೇನೂ ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗ. ವಿಮರ್ಶೆಗಳು

ಇತಿಹಾಸಕಾರರ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಮೊದಲು ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬಳಸಲಾಯಿತು. ಇದು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ನೀವು ಚಿತ್ರವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಿದರೆ, 2 + ಬಿ 2 = ಸಿ 2 ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಯ ಪುರಾವೆಯು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ವಿಧಾನದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಬಲ ತ್ರಿಕೋನ ABC ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ಎಂದು ಊಹಿಸಿ.

ನಾವು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ AC ಅನ್ನು ಚೌಕದ ಬದಿಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂರು ಬದಿಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಚೌಕದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಕರ್ಣೀಯ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಒಳಗೆ ನೀವು ನಾಲ್ಕು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.

ನೀವು AB ಮತ್ತು CB ಕಾಲುಗಳಿಗೆ ಚೌಕವನ್ನು ಸೆಳೆಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಒಂದು ಕರ್ಣೀಯ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ನಾವು ಶೃಂಗ A ನಿಂದ ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ, ಎರಡನೆಯದು C ನಿಂದ.

ಈಗ ನೀವು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ನೋಡಬೇಕು. ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ AC ಯಲ್ಲಿ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ನಾಲ್ಕು ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಇರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಮೂಲಕ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಈ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ಪ್ರಸಿದ್ಧ ನುಡಿಗಟ್ಟು ಹುಟ್ಟಿದೆ: "ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ಯಾಂಟ್ಗಳು ಎಲ್ಲಾ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ."

ಜೆ. ಗಾರ್ಫೀಲ್ಡ್ ಅವರಿಂದ ಪುರಾವೆ

ಜೇಮ್ಸ್ ಗಾರ್ಫೀಲ್ಡ್ ಯುನೈಟೆಡ್ ಸ್ಟೇಟ್ಸ್ ಆಫ್ ಅಮೇರಿಕದ ಇಪ್ಪತ್ತನೇ ಅಧ್ಯಕ್ಷರಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಯುನೈಟೆಡ್ ಸ್ಟೇಟ್ಸ್ನ ಆಡಳಿತಗಾರನಾಗಿ ಇತಿಹಾಸದಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಛಾಪನ್ನು ಮೂಡಿಸುವುದರ ಜೊತೆಗೆ, ಅವರು ಪ್ರತಿಭಾನ್ವಿತ ಸ್ವಯಂಶಿಕ್ಷಕರಾಗಿದ್ದರು.

ಅವರ ವೃತ್ತಿಜೀವನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಕರಾಗಿದ್ದರು, ಆದರೆ ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ಉನ್ನತ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳ ನಿರ್ದೇಶಕರಾದರು. ಸ್ವಯಂ-ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಬಯಕೆಯು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಹೊಸ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟಿತು. ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಹಾರದ ಉದಾಹರಣೆ ಹೀಗಿದೆ.

ಮೊದಲು ನೀವು ಕಾಗದದ ತುಂಡು ಮೇಲೆ ಎರಡು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯಬೇಕು ಇದರಿಂದ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಕಾಲು ಎರಡನೆಯ ಮುಂದುವರಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಶೃಂಗಗಳು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿರಬೇಕು.

ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಪ್ರದೇಶವು ಅದರ ಬೇಸ್ಗಳ ಅರ್ಧ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಅದರ ಎತ್ತರದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

S=a+b/2 * (a+b)

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಅನ್ನು ಮೂರು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಆಕೃತಿ ಎಂದು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಅದರ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕಾಣಬಹುದು:

S=av/2 *2 + s 2/2

ಈಗ ನಾವು ಎರಡು ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಮಾನಗೊಳಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ

2ab/2 + c/2=(a+b) 2/2

c 2 =a 2 +b 2

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು. ಆದರೆ ಈ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದಾಗ ಅದರಲ್ಲಿ ಏನಾದರೂ ಅರ್ಥವಿದೆಯೇ?

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್

ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಆಧುನಿಕ ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಕ್ರಮವು ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಬಳಸಲು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಪದವೀಧರರು ತಮ್ಮ ಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತಿಳಿಯದೆ ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ಶಾಲೆಯನ್ನು ಬಿಡುತ್ತಾರೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯಾರಾದರೂ ತಮ್ಮ ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಮತ್ತು ವೃತ್ತಿಪರ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಮನೆಕೆಲಸಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ. ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು ಅತ್ಯಂತ ಅಗತ್ಯವಾದಾಗ ಹಲವಾರು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ

ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ ನಕ್ಷತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರವು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಬೆಳಕಿನ ಕಿರಣದ ಚಲನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಬೆಳಕು ಒಂದೇ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಬೆಳಕಿನ ಕಿರಣವು ಚಲಿಸುವ ಪಥವನ್ನು AB ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ ಎಲ್. ಮತ್ತು A ಬಿಂದುವಿನಿಂದ B ಗೆ ಹೋಗಲು ಬೆಳಕು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಅರ್ಧ ಸಮಯವನ್ನು ನಾವು ಕರೆಯೋಣ ಟಿ. ಮತ್ತು ಕಿರಣದ ವೇಗ - ಸಿ. ಇದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ: c*t=l

ನೀವು ಇನ್ನೊಂದು ಸಮತಲದಿಂದ ಇದೇ ಕಿರಣವನ್ನು ನೋಡಿದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, v ವೇಗದೊಂದಿಗೆ ಚಲಿಸುವ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಲೈನರ್‌ನಿಂದ, ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ದೇಹಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿದಾಗ, ಅವುಗಳ ವೇಗವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಾಯಿ ಅಂಶಗಳು ಸಹ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ v ವೇಗದೊಂದಿಗೆ ಚಲಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತವೆ.

ಕಾಮಿಕ್ ಲೈನರ್ ಬಲಕ್ಕೆ ಸಾಗುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ನಂತರ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಬಿಂದುಗಳು, ಅದರ ನಡುವೆ ಕಿರಣವು ಧಾವಿಸುತ್ತದೆ, ಎಡಕ್ಕೆ ಚಲಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಕಿರಣವು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ B ಗೆ ಚಲಿಸಿದಾಗ, ಪಾಯಿಂಟ್ A ಗೆ ಚಲಿಸಲು ಸಮಯವಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ಬೆಳಕು ಈಗಾಗಲೇ ಹೊಸ ಬಿಂದು C ಗೆ ಆಗಮಿಸುತ್ತದೆ. A ಬಿಂದುವು ಚಲಿಸಿದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ದೂರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಕಿರಣದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರಯಾಣದ ಸಮಯದಿಂದ ಲೈನರ್‌ನ ವೇಗ (t ").

ಮತ್ತು ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬೆಳಕಿನ ಕಿರಣವು ಎಷ್ಟು ದೂರ ಪ್ರಯಾಣಿಸಬಹುದೆಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಹೊಸ ಅಕ್ಷರ s ನೊಂದಿಗೆ ಅರ್ಧ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಗುರುತಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು:

ಬೆಳಕಿನ C ಮತ್ತು B ಬಿಂದುಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಲೈನರ್ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಗಳು ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಿದರೆ, A ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಲೈನರ್ವರೆಗಿನ ವಿಭಾಗವು ಅದನ್ನು ಎರಡು ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ಬೆಳಕಿನ ಕಿರಣವು ಪ್ರಯಾಣಿಸಬಹುದಾದ ದೂರವನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಕೆಲವರು ಮಾತ್ರ ಇದನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಅದೃಷ್ಟಶಾಲಿಯಾಗಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಾಪಂಚಿಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಮೊಬೈಲ್ ಸಿಗ್ನಲ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಮಿಷನ್ ಶ್ರೇಣಿ

ಸ್ಮಾರ್ಟ್‌ಫೋನ್‌ಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವಿಲ್ಲದೆ ಆಧುನಿಕ ಜೀವನವನ್ನು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಮೊಬೈಲ್ ಸಂವಹನಗಳ ಮೂಲಕ ಚಂದಾದಾರರನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ ಅವರು ಎಷ್ಟು ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ?!

ಮೊಬೈಲ್ ಸಂವಹನಗಳ ಗುಣಮಟ್ಟವು ಮೊಬೈಲ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ಆಂಟೆನಾ ಇರುವ ಎತ್ತರವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಮೊಬೈಲ್ ಟವರ್‌ನಿಂದ ಫೋನ್ ಎಷ್ಟು ದೂರದಲ್ಲಿ ಸಿಗ್ನಲ್ ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು.

ಸ್ಥಾಯಿ ಗೋಪುರದ ಅಂದಾಜು ಎತ್ತರವನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎಂದು ಹೇಳೋಣ ಇದರಿಂದ ಅದು 200 ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ತ್ರಿಜ್ಯದೊಳಗೆ ಸಿಗ್ನಲ್ ಅನ್ನು ವಿತರಿಸಬಹುದು.

AB (ಗೋಪುರದ ಎತ್ತರ) = x;

BC (ಸಿಗ್ನಲ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಮಿಷನ್ ತ್ರಿಜ್ಯ) = 200 ಕಿಮೀ;

ಓಎಸ್ (ಗ್ಲೋಬ್ ತ್ರಿಜ್ಯ) = 6380 ಕಿಮೀ;

OB=OA+ABOB=r+x

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ಗೋಪುರದ ಕನಿಷ್ಠ ಎತ್ತರವು 2.3 ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಆಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ

ವಿಚಿತ್ರವೆಂದರೆ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ದೈನಂದಿನ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ವಾರ್ಡ್ರೋಬ್ನ ಎತ್ತರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು. ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಸಂಕೀರ್ಣ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು ಟೇಪ್ ಅಳತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾಪನಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಅಸೆಂಬ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಏಕೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಅನೇಕ ಜನರು ಆಶ್ಚರ್ಯ ಪಡುತ್ತಾರೆ.

ಸಂಗತಿಯೆಂದರೆ ವಾರ್ಡ್ರೋಬ್ ಅನ್ನು ಸಮತಲ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಗೋಡೆಯ ವಿರುದ್ಧ ಎತ್ತರಿಸಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ರಚನೆಯನ್ನು ಎತ್ತುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ಕ್ಯಾಬಿನೆಟ್ನ ಬದಿಯು ಕೋಣೆಯ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿ ಎರಡೂ ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಚಲಿಸಬೇಕು.

800 ಎಂಎಂ ಆಳದೊಂದಿಗೆ ವಾರ್ಡ್ರೋಬ್ ಇದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನೆಲದಿಂದ ಸೀಲಿಂಗ್ಗೆ ದೂರ - 2600 ಮಿಮೀ. ಅನುಭವಿ ಪೀಠೋಪಕರಣ ತಯಾರಕರು ಕ್ಯಾಬಿನೆಟ್ನ ಎತ್ತರವು ಕೋಣೆಯ ಎತ್ತರಕ್ಕಿಂತ 126 ಮಿಮೀ ಕಡಿಮೆ ಇರಬೇಕು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ಆದರೆ ನಿಖರವಾಗಿ 126 ಮಿಮೀ ಏಕೆ? ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಆದರ್ಶ ಕ್ಯಾಬಿನೆಟ್ ಆಯಾಮಗಳೊಂದಿಗೆ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:

AC =√AB 2 +√BC 2

AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - ಎಲ್ಲವೂ ಸರಿಹೊಂದುತ್ತದೆ.

ಕ್ಯಾಬಿನೆಟ್ನ ಎತ್ತರವು 2474 ಮಿಮೀ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ 2505 ಮಿಮೀ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ನಂತರ:

AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಕೋಣೆಯಲ್ಲಿ ಅನುಸ್ಥಾಪನೆಗೆ ಈ ಕ್ಯಾಬಿನೆಟ್ ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಅದನ್ನು ಲಂಬವಾದ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಎತ್ತುವುದು ಅದರ ದೇಹಕ್ಕೆ ಹಾನಿಯನ್ನುಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಬಹುಶಃ, ವಿವಿಧ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳಿಂದ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ವಿಭಿನ್ನ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ ನಂತರ, ಅದು ನಿಜಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. ಈಗ ನೀವು ನಿಮ್ಮ ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಉಪಯುಕ್ತವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಶ್ವಾಸ ಹೊಂದಿರಬಹುದು.

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನಿಮೇಟೆಡ್ ಪುರಾವೆ - ಒಂದು ಮೂಲಭೂತಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳು. ಇದನ್ನು ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಪೈಥಾಗರಸ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ, ಅವರ ನಂತರ ಇದನ್ನು ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ (ಇತರ ಆವೃತ್ತಿಗಳಿವೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಹಿಪ್ಪಾಸಸ್ ರೂಪಿಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬ ಪರ್ಯಾಯ ಅಭಿಪ್ರಾಯವಿದೆ).
ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ:

ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ, ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ತ್ರಿಕೋನದ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ಉದ್ದವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಸಿ,ಮತ್ತು ಕಾಲುಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಹಾಗೆ ಎಮತ್ತು b,ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಇತರ ಎರಡರ ಉದ್ದವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಕೊಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ.
ಸಂಭಾಷಣೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಹ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ (ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಂವಾದ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ):

ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ a, b ಮತ್ತು c ಅಂದರೆ a ? + ಬಿ ? = c ?, ಕಾಲುಗಳು a ಮತ್ತು b ಮತ್ತು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ c ನೊಂದಿಗೆ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನವಿದೆ.

500-200 BC ಯ "ಚು ಪೇ" ಪುಸ್ತಕದಿಂದ ತ್ರಿಕೋನದ (3, 4, 5) ದೃಶ್ಯ ಸಾಕ್ಷ್ಯ. ಪ್ರಮೇಯದ ಇತಿಹಾಸವನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು: ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜ್ಞಾನ, ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಬದಿಗಳ ಅನುಪಾತದ ಜ್ಞಾನ, ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಅನುಪಾತದ ಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆ.
ಸುಮಾರು 2500 BC ಯ ಮೆಗಾಲಿಥಿಕ್ ರಚನೆಗಳು. ಈಜಿಪ್ಟ್ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ ಯುರೋಪ್‌ನಲ್ಲಿ, ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬಂದಿವೆ ಎಂದು ಬಾರ್ಟೆಲ್ ಲೀಂಡರ್ಟ್ ವ್ಯಾನ್ ಡೆರ್ ವಾರ್ಡೆನ್ ಊಹಿಸಿದ್ದಾರೆ.
2000 ಮತ್ತು 1876 BC ನಡುವೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಮಧ್ಯ ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಸಾಮ್ರಾಜ್ಯದಿಂದ ಪಪೈರಸ್ ಬರ್ಲಿನ್ 6619ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.
ಹಮ್ಮುರಾಬಿ ದಿ ಗ್ರೇಟ್ ಆಳ್ವಿಕೆಯಲ್ಲಿ, ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ ಟ್ಯಾಬ್ಲೆಟ್ ಪ್ಲಿಂಪ್ಟನ್ 322, 1790 ಮತ್ತು 1750 BC ನಡುವೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅನೇಕ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.
ಬುಧಾಯನ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ಕ್ರಿ.ಪೂ. ಭಾರತದಲ್ಲಿ, ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಹೇಳಿಕೆ ಮತ್ತು ಸಮಬಾಹು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪುರಾವೆ.
ಆಪಸ್ತಂಬ ಸೂತ್ರಗಳು (ಸುಮಾರು 600 BC) ಪ್ರದೇಶದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ವ್ಯಾನ್ ಡೆರ್ ವಾರ್ಡೆನ್ ಅದರ ಪೂರ್ವವರ್ತಿಗಳ ಸಂಪ್ರದಾಯಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಎಂದು ನಂಬುತ್ತಾರೆ. ಆಲ್ಬರ್ಟ್ ಬರ್ಕೊ ಪ್ರಕಾರ, ಇದು ಪ್ರಮೇಯದ ಮೂಲ ಪುರಾವೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪೈಥಾಗರಸ್ ಅರಾಕಾನ್‌ಗೆ ಭೇಟಿ ನೀಡಿ ಅದನ್ನು ನಕಲು ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಅವರು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ.
ಪೈಥಾಗರಸ್, ಅವರ ಜೀವನದ ವರ್ಷಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 569 - 475 BC ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಕುರಿತು ಪ್ರೊಕ್ಲೋವ್ ಅವರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬೀಜಗಣಿತ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರೊಕ್ಲಸ್ 410 ಮತ್ತು 485 AD ನಡುವೆ ವಾಸಿಸುತ್ತಿದ್ದರು. ಥಾಮಸ್ ಗೈಸ್ ಪ್ರಕಾರ, ಪೈಥಾಗರಸ್ ನಂತರ ಐದು ಶತಮಾನಗಳವರೆಗೆ ಪ್ರಮೇಯದ ಕರ್ತೃತ್ವದ ಯಾವುದೇ ಸೂಚನೆಯಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ಲುಟಾರ್ಕ್ ಅಥವಾ ಸಿಸೆರೊ ಅವರಂತಹ ಲೇಖಕರು ಪೈಥಾಗರಸ್‌ಗೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಆರೋಪಿಸಿದಾಗ, ಅವರು ಕರ್ತೃತ್ವವು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ಮತ್ತು ಖಚಿತವಾಗಿರುವಂತೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ.
ಸುಮಾರು 400 ಕ್ರಿ.ಪೂ ಪ್ರೋಕ್ಲಸ್ ಪ್ರಕಾರ, ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪ್ಲೇಟೋ ಒಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಸುಮಾರು 300 BC, ರಲ್ಲಿ ಆರಂಭಗಳುಯೂಕ್ಲಿಡ್ ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಹಳೆಯ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಪುರಾವೆ ಇದೆ, ಅದು ಇಂದಿಗೂ ಉಳಿದುಕೊಂಡಿದೆ.
ಕ್ರಿಸ್ತಪೂರ್ವ 500 ರ ನಡುವೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು 200 BC, ಚೈನೀಸ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪುಸ್ತಕ "ಚು ಪೇ" (? ?? ?), ಚೀನಾದಲ್ಲಿ ಗುಗು ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ದೃಶ್ಯ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ (3, 4) ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ , 5). ಹಾನ್ ರಾಜವಂಶದ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ, 202 BC ಯಿಂದ. 220 ಕ್ರಿ.ಶ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು "ಗಣಿತದ ಕಲೆಯ ಒಂಬತ್ತು ಶಾಖೆಗಳು" ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಉಲ್ಲೇಖದೊಂದಿಗೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.
ಪ್ರಮೇಯದ ಮೊದಲ ದಾಖಲಿತ ಬಳಕೆಯು ಚೀನಾದಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಗುಗು (????) ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಭಾರತದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಭಾಸ್ಕರ್ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಪೈಥಾಗರಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಅಥವಾ ಪದೇ ಪದೇ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬೋಯರ್ (1991) ಶುಲ್ಬ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಜ್ಞಾನವು ಮೆಸೊಪಟ್ಯಾಮಿಯನ್ ಮೂಲದ್ದಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ನಂಬುತ್ತಾರೆ.
ಬೀಜಗಣಿತ ಪುರಾವೆ
ನಾಲ್ಕು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಂದ ಚೌಕಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ನೂರಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚು ಪುರಾವೆಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ. ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶದ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಪುರಾವೆ ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ನಾಲ್ಕು ಒಂದೇ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಇಡೋಣ.
ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಿಒಂದು ಚೌಕವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡು ತೀವ್ರ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು , ಮತ್ತು ನೇರ ಕೋನ .
ಇಡೀ ಆಕೃತಿಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಒಂದು ಕಡೆ, "a + b" ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ನಾಲ್ಕು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಮತ್ತು ಒಳಗಿನ ಚೌಕದ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ .

ಯಾವುದು ಸಾಬೀತು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ.
ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಹೋಲಿಕೆಯಿಂದ
ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು. ಅವಕಾಶ ಎಬಿಸಿ- ಒಂದು ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನ ಇದರಲ್ಲಿ ಕೋನ ಸಿಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ನೇರವಾಗಿ. ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ ಸಿ,ಮತ್ತು ಕರೆ ಮಾಡೋಣ ಎಚ್ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ ಛೇದನದ ಬಿಂದು ಎಬಿಒಂದು ತ್ರಿಕೋನವು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ACHತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ ABC,ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಎರಡೂ ಆಯತಾಕಾರದವು (ಎತ್ತರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ) ಮತ್ತು ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಎ,ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಈ ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿನ ಮೂರನೇ ಕೋನವೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಶಾಂತಿಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ತ್ರಿಕೋನ CBHತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ ಎಬಿಸಿ.ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಹೋಲಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ: ವೇಳೆ

ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು

ನಾವು ಈ ಎರಡು ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

HB + c ಬಾರಿ AH = c ಬಾರಿ (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ:

ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಪುರಾವೆ
ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ "ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್" ನಲ್ಲಿ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಪುರಾವೆ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ವಿಧಾನದಿಂದ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅವಕಾಶ ಎ, ಬಿ, ಸಿಲಂಬ ಕೋನದೊಂದಿಗೆ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಗಳು ಎ.ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಲಂಬವಾಗಿ ಬಿಡೋಣ ಎಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕದಲ್ಲಿ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಎದುರು ಬದಿಗೆ. ರೇಖೆಯು ಚೌಕವನ್ನು ಎರಡು ಆಯತಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕಗಳಂತೆಯೇ ಒಂದೇ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿನ ಮುಖ್ಯ ವಿಚಾರವೆಂದರೆ ಮೇಲಿನ ಚೌಕಗಳು ಒಂದೇ ಪ್ರದೇಶದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಹಿಂತಿರುಗಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಚೌಕದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ ಅದೇ ಪ್ರದೇಶದೊಂದಿಗೆ ಆಯತಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ.

ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ CFಮತ್ತು ಕ್ರಿ.ಶ.ನಾವು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ BCFಮತ್ತು ಬಿ.ಡಿ.ಎ.
ಕೋನಗಳು ಕ್ಯಾಬ್ಮತ್ತು ಬ್ಯಾಗ್- ನೇರ; ಕ್ರಮವಾಗಿ ಅಂಕಗಳು ಸಿ, ಎಮತ್ತು ಜಿ- ಕಾಲಿನಿಯರ್. ಅಲ್ಲದೆ ಬಿ, ಎಮತ್ತು ಎಚ್.
ಕೋನಗಳು CBDಮತ್ತು FBA- ಎರಡೂ ನೇರ ರೇಖೆಗಳು, ನಂತರ ಕೋನ ಎಬಿಡಿಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ FBC,ಎರಡೂ ಲಂಬಕೋನ ಮತ್ತು ಕೋನದ ಮೊತ್ತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಎಬಿಸಿ.
ತ್ರಿಕೋನ ಎಬಿಡಿಮತ್ತು FBCಎರಡು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಮಟ್ಟ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ.
ಅಂಕಗಳಿಂದ ಎ, ಕೆಮತ್ತು ಎಲ್- ಕೊಲಿನಿಯರ್, ಆಯತದ BDLK ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ತ್ರಿಕೋನದ ಎರಡು ಪ್ರದೇಶಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಬಿಡಿ (ಬಿಡಿಎಲ್‌ಕೆ = BAGF = ಎಬಿ 2)
ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ CKLE = ACIH = ಎಸಿ 2
ಒಂದು ಕಡೆ ಪ್ರದೇಶ CBDEಆಯತಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ BDLKಮತ್ತು CKLE,ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶ ಕ್ರಿ.ಪೂ 2,ಅಥವಾ ಎಬಿ 2 + ಎಸಿ 2 = ಕ್ರಿ.ಪೂ 2.

ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಬಳಕೆ. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚಳವು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್‌ನ ಗಾತ್ರದ ಮೇಲೆ ಹೇಗೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಸ್ವಲ್ಪ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ತಲುಪಬಹುದು.
ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಳದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ a,ಅಪರಿಮಿತ ಏರಿಕೆಗಳಿಗೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳು

ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ= 0 ನಂತರ ಸಿ = b,ಆದ್ದರಿಂದ "ಸ್ಥಿರ" ಆಗಿದೆ ಬಿ 2.ನಂತರ

ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ, ವರ್ಗಗಳು ಏರಿಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಬದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಅನುಪಾತದಿಂದಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಮೊತ್ತವು ಬದಿಗಳ ಏರಿಕೆಗಳ ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೊಡುಗೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಾಕ್ಷ್ಯದಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ. ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಡಾಮತ್ತು ಡಿಸಿ- ಬದಿಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಪರಿಮಿತ ಏರಿಕೆಗಳು ಎಮತ್ತು ಸಿ.ಆದರೆ ಬದಲಿಗೆ ನಾವು ಏನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ? ಎಮತ್ತು? ಸಿ,ನಂತರ ಅವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಿದರೆ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿ ಡಾ / ಡಿಸಿ,ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ, ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಸಿ / a,ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಅನುಪಾತ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ವಾಹಕಗಳ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ, ಇದನ್ನು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ:

ಒಂದು ವೇಳೆ - ಇವುಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಸೂತ್ರವು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ದೂರದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವು ಅದರ ಘಟಕಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದರ್ಥ.
ವಾಹಕಗಳ ಅನಂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಅನಲಾಗ್ ಅನ್ನು ಪಾರ್ಸೆವಲ್ ಸಮಾನತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ

ಪುರಾವೆ

ಪ್ರಸ್ತುತ, ಈ ಪ್ರಮೇಯದ 367 ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ದಾಖಲಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬಹುಶಃ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಅಂತಹ ಪ್ರಭಾವಶಾಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏಕೈಕ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ವೈವಿಧ್ಯತೆಯನ್ನು ರೇಖಾಗಣಿತದ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯಿಂದ ಮಾತ್ರ ವಿವರಿಸಬಹುದು.
ಸಹಜವಾಗಿ, ಕಲ್ಪನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದವು: ಪ್ರದೇಶದ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪುರಾವೆಗಳು, ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಮತ್ತು ವಿಲಕ್ಷಣ ಪುರಾವೆಗಳು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು).

ಇದೇ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಮೂಲಕ

ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೂತ್ರೀಕರಣದ ಕೆಳಗಿನ ಪುರಾವೆಯು ಪುರಾವೆಗಳಲ್ಲಿ ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಮೂಲತತ್ವಗಳಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದಿಲ್ಲ.
ABCಯು ಲಂಬಕೋನ C ಯೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿರಲಿ. C ನಿಂದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು H ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ ಅದರ ಮೂಲವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ. ACH ಎರಡು ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ABC ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ.
ಅಂತೆಯೇ, ತ್ರಿಕೋನ CBH ಎಬಿಸಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಯಾವುದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಅದನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಅಥವಾ

ಪ್ರದೇಶದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಪುರಾವೆಗಳು

ಕೆಳಗಿನ ಪುರಾವೆಗಳು, ಅವುಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸರಳತೆಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಅಷ್ಟು ಸರಳವಾಗಿಲ್ಲ. ಅವರೆಲ್ಲರೂ ಪ್ರದೇಶದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ, ಅದರ ಪುರಾವೆಯು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ.

ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ಪುರಾವೆ

ಸಮಾನತೆಯ ಮೂಲಕ ಪುರಾವೆಗಳು

ಅಂತಹ ಒಂದು ಪುರಾವೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕವನ್ನು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಎರಡು ಚೌಕಗಳಾಗಿ ಮರುಹೊಂದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಪುರಾವೆ

ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಡಾ ವಿನ್ಸಿಯ ಪುರಾವೆ

ಪುರಾವೆಯ ಮುಖ್ಯ ಅಂಶಗಳು ಸಮ್ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಚಲನೆ.

ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಸಮ್ಮಿತಿಯಿಂದ ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ, CI ವಿಭಾಗವು ABHJ ಚೌಕವನ್ನು ಎರಡು ಒಂದೇ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ (ತ್ರಿಕೋನಗಳು ABC ಮತ್ತು JHI ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ). 90-ಡಿಗ್ರಿ ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ, CAJI ಮತ್ತು GDAB ಮಬ್ಬಾದ ಅಂಕಿಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಮಬ್ಬಾಗಿರುವ ಆಕೃತಿಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಈಗ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಇದು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್‌ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ. ಪುರಾವೆಯ ಕೊನೆಯ ಹಂತವನ್ನು ಓದುಗರಿಗೆ ಬಿಡಲಾಗಿದೆ.

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಅತ್ಯಂತ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಪುರಾವೆಗಳು

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ಇದು ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ. c2 = a2 + b2 ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಹಲವು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ನಾವು ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾದವುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ...

ವಧುವಿನ ಕುರ್ಚಿ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಒಂದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಒಂದರಂತೆ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಅಂಕಿ ಅಂಶವು 9 ನೇ ಶತಮಾನದ AD ಗಿಂತ ಹಿಂದಿನ ಪುರಾವೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಇ., ಹಿಂದೂಗಳು ಇದನ್ನು "ವಧುವಿನ ಕುರ್ಚಿ" ಎಂದು ಕರೆದರು. ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ ಚೌಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ವಿಧಾನವು ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಎರಡು ಚೌಕಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗ ಮತ್ತು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕವು ಅನಿಯಮಿತ ಮಬ್ಬಾದ ಪೆಂಟಗನ್ 5. ಅದಕ್ಕೆ ತ್ರಿಕೋನಗಳು 1 ಮತ್ತು 2 ಅನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಎರಡೂ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ; ನಾವು ತ್ರಿಕೋನ 1 ಮತ್ತು 2 ಅನ್ನು ಸಮಾನ ತ್ರಿಕೋನಗಳು 3 ಮತ್ತು 4 ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರಗಳು ಮೊದಲ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ.

ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಭಾಸ್ಕರಿಯ ಪುರಾವೆ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಚೌಕವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಚೌಕದ ಬದಿಯು b ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ 4 ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳು a ಮತ್ತು c ಕಾಲುಗಳನ್ನು ಚೌಕದ ಮೇಲೆ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಉಂಟಾಗುವ ಸಣ್ಣ ಚೌಕದ ಬದಿಯು c - a ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ: b2 = 4*a*c/2 + (c-a)2 = = 2*a*c + c2 - 2*a*c + a2 = = a2 + c2

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಸರಳ ಪುರಾವೆ. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಚೌಕವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಚೌಕದ ಬದಿಯು a + c ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ) ಚೌಕವನ್ನು b ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ ಚೌಕವಾಗಿ ಮತ್ತು a ಮತ್ತು c ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ನಾಲ್ಕು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ), ಚೌಕವನ್ನು a ಮತ್ತು c ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಚೌಕಗಳಾಗಿ ಮತ್ತು a ಮತ್ತು c ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ನಾಲ್ಕು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಬಿ ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ ಚೌಕದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಎ ಮತ್ತು ಸಿ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚೌಕಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಮೂಲಕ ಪುರಾವೆ ABC ಲಂಬ ಕೋನ C ಯೊಂದಿಗೆ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿರಲಿ. C ನಿಂದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲವನ್ನು H ನಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ. ತ್ರಿಕೋನ ACH ಎರಡು ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನ ABC ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ತ್ರಿಕೋನ CBH ಎಬಿಸಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಸಮಾನವಾದ ಸೇರಿಸುವಿಕೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಅಥವಾ

ಹಾಕಿನ್ಸ್ ಪುರಾವೆ ನಾವು ಇನ್ನೊಂದು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ, ಇದು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸ್ವರೂಪದಲ್ಲಿದೆ, ಆದರೆ ಹಿಂದಿನ ಎಲ್ಲಾ ಪುರಾವೆಗಳಿಗಿಂತ ತುಂಬಾ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು 1909 ರಲ್ಲಿ ಇಂಗ್ಲಿಷ್‌ನ ಹಾಕಿನ್ಸ್ ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು; ಇದು ಮೊದಲೇ ತಿಳಿದಿತ್ತೇ ಎಂದು ಹೇಳುವುದು ಕಷ್ಟ. ಬಲ ತ್ರಿಕೋನ ABC ಅನ್ನು ಲಂಬ ಕೋನ C ಯೊಂದಿಗೆ 90 ° ಯಿಂದ ತಿರುಗಿಸಿ ಇದರಿಂದ ಅದು A"CB" ಸ್ಥಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ A"B" ಕಳೆದ ಬಿಂದು A" ಅನ್ನು ಅದು D ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ AB ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸುವವರೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ. B"D ವಿಭಾಗವು B"AB ತ್ರಿಕೋನದ ಎತ್ತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈಗ ನಾವು ಮಬ್ಬಾದ ಚತುರ್ಭುಜ A"AB"B ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. . ಇದನ್ನು ಎರಡು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಘಟಿಸಬಹುದು CAA" ಮತ್ತು SVV" (ಅಥವಾ ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳು A"В"А ಮತ್ತು A"В"В). SCAA"=b²/2 SCBB"=a²/2 SA"AB"B=( a²+b²)/2 ತ್ರಿಕೋನಗಳು A"B" A ಮತ್ತು A"B"B ಗಳು DA ಮತ್ತು DB ಮತ್ತು ಎತ್ತರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೆಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ: SA"AB"B=c*DA/2+ c*DB/2=c (DA+DB)/2=c²/2 ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಎರಡು ಪಡೆದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: a ²+ b ²= c ² ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

Woldheim ನ ಪುರಾವೆ ಈ ಪುರಾವೆಯು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸ್ವರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. ಮೊದಲ ಅಂಕಿ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಸಾಕು. Strapezoids=(a+b)²/2 Strapezes=a²b²+c²/2 ಬಲಬದಿಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುವುದರಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: a²+b²=c² ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.