ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಅರ್ಥ. ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಸ್ಪರ್ಶಕ: ಅದು ಏನು? ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ? ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸೈನ್

ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0.416...\)

ವಾದ ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯ

ತೀವ್ರ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್

ತೀವ್ರ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ಬಲ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು - ಇದು ಪಕ್ಕದ ಕಾಲಿನ ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ಗೆ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ :

1) ಕೋನವನ್ನು ನೀಡಲಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಈ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

2) ಈ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸೋಣ.

3) ಅಗತ್ಯ ಬದಿಗಳನ್ನು ಅಳತೆ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು.

ತೀವ್ರ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ \(0\) ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮತ್ತು \(1\) ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ತೀವ್ರವಾದ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ 1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲೋ ದೋಷವಿದೆ.

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊಸೈನ್

ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೃತ್ತವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಹೇಗಾದರೂ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ : \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, \(\frac(π)(6)\) ಸಂಖ್ಯೆಗೆ - ಕೊಸೈನ್ \(\frac(\sqrt(3))(2)\) ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ \(-\)\(\frac(3π)(4)\) ಇದು \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (ಅಂದಾಜು \) ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (-0 ,71\)).

ಅಭ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎದುರಾಗುವ ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಕೊಸೈನ್, ನೋಡಿ.

ಕೊಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯವು ಯಾವಾಗಲೂ \(-1\) ಮತ್ತು \(1\) ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಕೋನ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು.

ಯಾವುದೇ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಲಯಕ್ಕೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ತೀವ್ರವಾದ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಆದರೆ ಚೂಪಾದ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು \ (360 ° \) (ಪೂರ್ಣ ತಿರುವು) ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡುವುದು - \(100\) ಬಾರಿ ಕೇಳುವುದಕ್ಕಿಂತ ಒಮ್ಮೆ ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ, ಆದ್ದರಿಂದ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ.

ಈಗ ವಿವರಣೆ: ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರಲಿ KOA\(150°\) ನಲ್ಲಿ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಯೊಂದಿಗೆ. ನಾವು ಬಿಂದುವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ ಓವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗದೊಂದಿಗೆ, ಮತ್ತು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಸರಿ- \(x\) ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ. ಅದರ ನಂತರ, \ (150 ° \) ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಪಕ್ಕಕ್ಕೆ ಇರಿಸಿ. ನಂತರ ಬಿಂದುವಿನ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಆದರೆಈ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ನಮಗೆ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, \ (-60 ° \) ನಲ್ಲಿ (ಕೋನ KOV), ನಾವು ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ \(60°\) ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಹೊಂದಿಸಿ.

ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಕೋನವು \(360°\) (ಕೋನಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ KOS) - ಎಲ್ಲವೂ ಮೊಂಡಾದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ, ಪೂರ್ಣ ತಿರುವು ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಹಾದುಹೋದ ನಂತರವೇ, ನಾವು ಎರಡನೇ ಸುತ್ತಿಗೆ ಹೋಗಿ “ಪದವಿಗಳ ಕೊರತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ”. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, \(405°\) ಕೋನವನ್ನು \(360° + 45°\) ಎಂದು ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಕೋನವನ್ನು ಪಕ್ಕಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸಲು ಊಹಿಸುವುದು ಸುಲಭ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, \ (960 ° \) ನಲ್ಲಿ, ನೀವು ಎರಡು ತಿರುವುಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ (\ (360 ° + 360 ° + 240 ° \)), ಮತ್ತು \ ನಲ್ಲಿ ಕೋನಕ್ಕೆ (2640 ° \) - ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಳು.

ಇದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ:

ಲಂಬ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಚೂಪಾದ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕ್ವಾರ್ಟರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಕೊಸೈನ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳು

ಕೊಸೈನ್ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಬಳಸಿ (ಅಂದರೆ, ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷ, ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ), ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ (ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ) ವೃತ್ತದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಕೊಸೈನ್ಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಸುಲಭ:

ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳು \(0\) ನಿಂದ \(1\) ವರೆಗೆ ಇದ್ದರೆ, ಕೊಸೈನ್ ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (I ಮತ್ತು IV ಕ್ವಾರ್ಟರ್ಸ್ ಹಸಿರು ಪ್ರದೇಶ),
- ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳು \(0\) ನಿಂದ \(-1\) ವರೆಗೆ ಇದ್ದರೆ, ಕೊಸೈನ್ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (II ಮತ್ತು III ಕ್ವಾರ್ಟರ್ಸ್ - ನೇರಳೆ ಪ್ರದೇಶ).

ಉದಾಹರಣೆ. \(\cos 1\) ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಿ
ಪರಿಹಾರ: ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ \(1\) ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ನಾವು \ (π \u003d 3,14 \) ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದರರ್ಥ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ("ಪ್ರಾರಂಭ" ಬಿಂದು) ಸರಿಸುಮಾರು ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ.

ನಾವು ಕೊಸೈನ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಿದರೆ, \(\cos⁡1\) ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.
ಉತ್ತರ: ಒಂದು ಪ್ಲಸ್.

ಇತರ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧ:

ಕಾರ್ಯ \(y=\cos(x)\)

ನಾವು \(x\) ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಕೋನಗಳನ್ನು ಮತ್ತು \(y\) ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಈ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಕೊಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ x ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- ಮೌಲ್ಯಗಳ ಶ್ರೇಣಿ - \(-1\) ನಿಂದ \(1\) ವರೆಗೆ: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- ಸಹ: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ ಆವರ್ತಕ \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳು:
abscissa: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), ಅಲ್ಲಿ \(n ϵ Z\)
y-ಅಕ್ಷ: \((0;1)\)
- ಅಕ್ಷರ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು:
ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), ಅಲ್ಲಿ \(n ϵ Z\)
ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), ಅಲ್ಲಿ \(n ϵ Z\)
- ಹೆಚ್ಚಳ ಮತ್ತು ಇಳಿಕೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು:
ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ: \((π+2πn;2π+2πn)\), ಅಲ್ಲಿ \(n ϵ Z\)
ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ: \((2πn;π+2πn)\), ಅಲ್ಲಿ \(n ϵ Z\)
- ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ:
ಕಾರ್ಯವು \(x=2πn\) ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ \(y=1\) ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ \(n ϵ Z\)
ಕಾರ್ಯವು \(x=π+2πn\) ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ \(y=-1\) ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ \(n ϵ Z\).

ಕೋನದ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್, ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಯಾವುದು ನಿಮಗೆ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳನ್ನು ಏನೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ? ಅದು ಸರಿ, ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮತ್ತು ಕಾಲುಗಳು: ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಬಲ ಕೋನದ ಎದುರು ಇರುವ ಬದಿಯಾಗಿದೆ (ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಇದು ಬದಿ \ (AC \) ); ಕಾಲುಗಳು ಉಳಿದಿರುವ ಎರಡು ಬದಿಗಳು \ (AB \) ಮತ್ತು \ (BC \) (ಬಲ ಕೋನಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೊಂಡಂತೆ), ಮೇಲಾಗಿ, ನಾವು ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕಾಲುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ \ (BC \) , ನಂತರ ಕಾಲು \ (AB \) ಪಕ್ಕದ ಕಾಲು, ಮತ್ತು ಕಾಲು \ (BC \) ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈಗ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸೋಣ: ಕೋನದ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಯಾವುವು?

ಕೋನದ ಸೈನ್- ಇದು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್‌ಗೆ ವಿರುದ್ಧ (ದೂರದ) ಕಾಲಿನ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ.

ನಮ್ಮ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್- ಇದು ಪಕ್ಕದ (ಹತ್ತಿರ) ಕಾಲಿನ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್‌ಗೆ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ.

ನಮ್ಮ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

ಕೋನ ಸ್ಪರ್ಶಕ- ಇದು ಪಕ್ಕದ (ಹತ್ತಿರ) ಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ (ದೂರದ) ಕಾಲಿನ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ.

ನಮ್ಮ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

ಕೋನದ ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್- ಇದು ಪಕ್ಕದ (ಹತ್ತಿರ) ಕಾಲಿನ ವಿರುದ್ಧ (ದೂರದ) ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ.

ನಮ್ಮ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಅವಶ್ಯಕ ನೆನಪಿರಲಿ! ಯಾವ ಲೆಗ್ ಅನ್ನು ಯಾವುದರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕೆಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು, ನೀವು ಅದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಸ್ಪರ್ಶಕಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ಕಾಲುಗಳು ಮಾತ್ರ ಕುಳಿತುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮಾತ್ರ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಸೈನಸ್ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್. ತದನಂತರ ನೀವು ಸಂಘಗಳ ಸರಪಳಿಯೊಂದಿಗೆ ಬರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು:

ಕೊಸೈನ್→ಟಚ್→ಟಚ್→ಪಕ್ಕದ;

ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್→ಟಚ್→ಟಚ್→ಪಕ್ಕದ.

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಅನುಪಾತಗಳಂತೆ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಈ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು (ಒಂದು ಕೋನದಲ್ಲಿ) ಅವಲಂಬಿಸಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ನಂಬಬೇಡ? ನಂತರ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡುವ ಮೂಲಕ ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ:

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, \(\beta \) ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), ಆದರೆ ನಾವು ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ \(\ಬೀಟಾ \) ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). ನೀವು ನೋಡಿ, ಬದಿಗಳ ಉದ್ದಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಒಂದು ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕೋನದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.

ನೀವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡರೆ, ನಂತರ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ!

ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ತ್ರಿಕೋನ \(ABC \) ಗಾಗಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ \(\sin \\alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \\alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \\alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\\alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)

ಸರಿ, ನೀವು ಅದನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೀರಾ? ನಂತರ ನೀವೇ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ: ಕೋನ \(\beta \) ಗಾಗಿ ಅದೇ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ಉತ್ತರಗಳು: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

ಘಟಕ (ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ) ವೃತ್ತ

ಪದವಿ ಮತ್ತು ರೇಡಿಯನ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು, ನಾವು \ (1 \) ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ತ್ರಿಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ ವೃತ್ತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಅಂತಹ ವೃತ್ತವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಇದು ತುಂಬಾ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಅದರ ಮೇಲೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ವಾಸಿಸುತ್ತೇವೆ.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಈ ವಲಯವನ್ನು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವು ಮೂಲದಲ್ಲಿದೆ, ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಾನವು \(x \) ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಇದು ತ್ರಿಜ್ಯ \(AB \) ).

ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ: ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ \(x \) ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ \(y \) . ಈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯಾವುವು? ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅವರು ಕೈಯಲ್ಲಿರುವ ವಿಷಯದೊಂದಿಗೆ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು? ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದ ಬಗ್ಗೆ ನೆನಪಿಡಿ. ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಎರಡು ಸಂಪೂರ್ಣ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ನೋಡಬಹುದು. ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ \(ACG \) . ಇದು ಆಯತಾಕಾರವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ \(CG \) \(x \) ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ \(\cos \\alpha \) ಎಂದರೇನು \(ACG \) ? ಅದು ಸರಿ \(\cos \\alpha =\dfrac(AG)(AC) \). ಜೊತೆಗೆ, \(AC \) ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ \(AC=1 \) . ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಮ್ಮ ಕೊಸೈನ್ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ. ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಇಲ್ಲಿದೆ:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

ಮತ್ತು \(\sin \\alpha \) ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ \(ACG \) ? ಸರಿ, ಖಂಡಿತ, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! ಈ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ \ (AC \) ತ್ರಿಜ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು ಪಡೆಯಿರಿ:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

ಆದ್ದರಿಂದ, ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ \(C \) ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಯಾವುವು ಎಂದು ನೀವು ನನಗೆ ಹೇಳಬಲ್ಲಿರಾ? ಸರಿ, ಇಲ್ಲವೇ? ಆದರೆ \(\cos \\alpha \) ಮತ್ತು \(\sin \alpha \) ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಂಡರೆ ಏನು? \(\cos \alpha \) ಯಾವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ? ಸರಿ, ಸಹಜವಾಗಿ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ \(x \) ! ಮತ್ತು \(\sin \alpha \) ಯಾವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ? ಅದು ಸರಿ, \(y \) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ! ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಯಿಂಟ್ \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

ಹಾಗಾದರೆ \(tg \alpha \) ಮತ್ತು \(ctg \alpha \) ? ಅದು ಸರಿ, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ಗಳ ಸೂಕ್ತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), ಎ \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

ಕೋನವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ಇಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವಂತೆ:

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಏನು ಬದಲಾಗಿದೆ? ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮತ್ತೆ ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ತಿರುಗುತ್ತೇವೆ. ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : ಒಂದು ಕೋನ (ಕೋನದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವಂತೆ \(\beta \) ). ಕೋನಕ್ಕೆ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ಮೌಲ್ಯ ಏನು \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? ಅದು ಸರಿ, ನಾವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಗೆ ಬದ್ಧರಾಗಿದ್ದೇವೆ:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\ cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac((((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))(A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

ಸರಿ, ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಕೋನದ ಸೈನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯವು ಇನ್ನೂ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ \ (y \) ; ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯ - ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ \ (x \) ; ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಅನುಪಾತಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಸಂಬಂಧಗಳು ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಯಾವುದೇ ತಿರುಗುವಿಕೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ.

ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಾನವು \(x \) ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಈಗಾಗಲೇ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ನಾವು ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ತಿರುಗಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ನಾವು ಅದನ್ನು ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ತಿರುಗಿಸಿದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಅಸಾಮಾನ್ಯ ಏನೂ ಇಲ್ಲ, ನೀವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗಾತ್ರದ ಕೋನವನ್ನು ಸಹ ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ, ಆದರೆ ಅದು ಮಾತ್ರ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ತಿರುಗಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಕೋನಗಳು, ಮತ್ತು ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ತಿರುಗುವಾಗ - ಋಣಾತ್ಮಕ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ವೃತ್ತದ ಸುತ್ತಲಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ರಾಂತಿಯು \(360()^\circ \) ಅಥವಾ \(2\pi \) ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು \(390()^\circ \) ಅಥವಾ \(-1140()^\circ \) ಮೂಲಕ ತಿರುಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಸರಿ, ಖಂಡಿತ ನೀವು ಮಾಡಬಹುದು! ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), ಆದ್ದರಿಂದ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ ಒಂದು ಪೂರ್ಣ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು \(30()^\circ \) ಅಥವಾ \(\dfrac(\pi )(6) \) ನಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೇ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), ಅಂದರೆ, ತ್ರಿಜ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಮೂರು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ರಾಂತಿಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು \(-60()^\circ \) ಅಥವಾ \(-\dfrac(\pi )(3) \) ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಂದ, \(360()^\circ \cdot m \) ಅಥವಾ \(2\pi \cdot m \) (ಇಲ್ಲಿ \(m \) ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ) ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಕೋನಗಳು ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಅದೇ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವು ಕೋನವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ \(\beta =-60()^\circ \) . ಅದೇ ಚಿತ್ರವು ಮೂಲೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)ಇತ್ಯಾದಿ ಈ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಸಬಹುದು. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು \(\beta +360()^\circ \cdot m \)ಅಥವಾ \(\beta +2\pi \cdot m \) (ಇಲ್ಲಿ \(m \) ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

ಈಗ, ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಮೌಲ್ಯಗಳು ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಉತ್ತರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \\pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಲು ಯೂನಿಟ್ ಸರ್ಕಲ್ ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಯಾವುದೇ ತೊಂದರೆಗಳಿವೆಯೇ? ನಂತರ ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(array) \)

ಇಲ್ಲಿಂದ, ಕೋನದ ಕೆಲವು ಅಳತೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸರಿ, ಕ್ರಮವಾಗಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ: ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿ \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ \(\ಎಡ(0;1 \ಬಲ) \) , ಆದ್ದರಿಂದ:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

ಮುಂದೆ, ಅದೇ ತರ್ಕಕ್ಕೆ ಬದ್ಧವಾಗಿ, ಮೂಲೆಗಳು ಒಳಗೆ ಇರುವುದನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \ಬಲ) \), ಕ್ರಮವಾಗಿ. ಇದನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಮೊದಲು ನೀವೇ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ, ನಂತರ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಉತ್ತರಗಳು:

\(\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \sin \ 180()^\circ =\sin \\pi =0 \)

\(\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\\pi \)- ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು:

ಈ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಕು:

\(\ಎಡ. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(ನೆನಪಿಡುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಅಥವಾ ಔಟ್‌ಪುಟ್ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ!! \) !}

ಮತ್ತು ಕೋನಗಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿವೆ \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \)ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ನೀವು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು:

ಭಯಪಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಈಗ ನಾವು ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಳವಾದ ಕಂಠಪಾಠದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲು, ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಕೋನ ಅಳತೆಗಳಿಗೆ ಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅತ್ಯಗತ್ಯ ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), ಹಾಗೆಯೇ \(30()^\circ \) ನಲ್ಲಿ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮೌಲ್ಯ. ಈ \(4\) ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಪುನಃಸ್ಥಾಪಿಸಲು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ - ಕೊಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಾಣಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \\\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \ end(array) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), ಇದನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪುನಃಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). “\(1 \) ” ಅಂಶವು \(\text(tg)\ 45()^\circ \\) ಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಛೇದವು “\(\sqrt(\text(3)) \) ” ಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ \ (\text (tg)\ 60()^\circ \\) . ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಬಾಣಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೀವು ಇದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡರೆ ಮತ್ತು ಬಾಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ಕೀಮ್ ಅನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಟೇಬಲ್‌ನಿಂದ \(4 \) ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಕು.

ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು

ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, ಅದರ ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು (ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು) ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಸರಿ, ಖಂಡಿತ ನೀವು ಮಾಡಬಹುದು! ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ. ಇಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಅಂತಹ ವಲಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ನಮಗೆ ಆ ಪಾಯಿಂಟ್ ನೀಡಲಾಗಿದೆ \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ. ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವು \(1,5 \) . \(O \) ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು \(\ಡೆಲ್ಟಾ \) ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಂದ ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಪಾಯಿಂಟ್ \(P \) ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಚಿತ್ರದಿಂದ ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ, \ (P \) ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ \ (x \) \ (TP=UQ=UK+KQ \) ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದ \ (UK \) ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ \ (x \) ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದು \ (3 \) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವನ್ನು \(KQ \) ಕೊಸೈನ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:

\(\cos \ \ delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \\delta \).

ನಂತರ ನಾವು ಪಾಯಿಂಟ್ \(P \) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

ಅದೇ ತರ್ಕದಿಂದ, \(P\) ಬಿಂದುವಿಗೆ y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಈ ಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), ಎಲ್ಲಿ

\((((x)_(0)),((y)_(0)) \) - ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು,

\(r\) - ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ,

\(\ಡೆಲ್ಟಾ \) - ವೆಕ್ಟರ್ ತ್ರಿಜ್ಯದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನ.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಿರುವ ಯುನಿಟ್ ವಲಯಕ್ಕಾಗಿ, ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಕೇಂದ್ರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta =0+1\cdot \cos \\delta =\cos \\delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \\delta \end(array) \)

ಕೊಸೈನ್ ಒಂದು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಮುಖ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ತ್ರಿಕೋನದ ಪಕ್ಕದ ಕಾಲಿನ ಅನುಪಾತವು ತ್ರಿಕೋನದ ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ ಆಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಕೊಸೈನ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ತ್ರಿಕೋನದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಆದರೆ ಆಯತಾಕಾರದ ಪ್ರಕಾರದ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕೋನವು ಆಯತಾಕಾರದ ಪ್ರಕಾರದ ಈ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು? ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು?

ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನೀವು ಬಯಸಿದರೆ, ನಂತರ ಎಲ್ಲವೂ ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಕೊಸೈನ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀವು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಅದರಲ್ಲಿ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಿದೆ. ನೀವು ಪಕ್ಕದ ಕಾಲಿನ ನಡುವಿನ ಅದೇ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನದ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇಲ್ಲಿ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ. ಸೂತ್ರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: - cosα = a/c, ಇಲ್ಲಿ "a" ಎಂಬುದು ಲೆಗ್‌ನ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು "c" ಬದಿಯು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್‌ನ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ತೀವ್ರ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಕೊಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ರಕ್ಷಣೆಗೆ ಬರುತ್ತದೆ, ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು. ಕೊಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಯ ವರ್ಗವು ಅದೇ ತ್ರಿಕೋನದ ಇತರ ಬದಿಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಪ್ರಿಯೊರಿ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನಡುವೆ ಇರುವ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ನಿಂದ ಈ ಬದಿಗಳ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನವಿಲ್ಲ. ಅವರು.

1. ನೀವು ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ತೀವ್ರವಾದ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದರೆ, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ: cosα \u003d (a 2 + b 2 - c 2) / (2ab).
2. ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಚೂಪಾದ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ: cosα \u003d (c 2 - a 2 - b 2) / (2ab). ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿನ ಪದನಾಮಗಳು - a ಮತ್ತು b - ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕೋನದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದಗಳು, c ಎಂಬುದು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕೋನಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುವ ಬದಿಯ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ.

ಅಲ್ಲದೆ, ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ತ್ರಿಕೋನದ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುವ ಕೋನಗಳ ಸೈನ್‌ಗಳಿಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ತ್ರಿಕೋನದ ಉಳಿದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಕೇವಲ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದು ಬದಿಯ ವಿರುದ್ಧ ಇರುವ ಕೋನ, ಅಥವಾ ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದು ಬದಿಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು: a=1; b=2; c=3. "A" ಬದಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುವ ಕೋನ, ನಾವು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ - α, ನಂತರ, ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: cosα \u003d (b² + c²-a²) / (2 * b * c) \u003d (2² + 3² -1²) / (2 * 2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. ಉತ್ತರ: 1.

ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇತರ ಕೆಲವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕಾದರೆ, ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೊದಲು ರೇಡಿಯನ್ಸ್ ಅಥವಾ ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಈ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬೇಕು. ಬ್ರಾಡಿಸ್ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು, ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ಗಳು ಅಥವಾ ವಿಶೇಷ ಗಣಿತದ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿಶೇಷ ಗಣಿತದ ಅನ್ವಯಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೋನಗಳ ಕೋಸೈನ್‌ಗಳ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಅಂತಹ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ಗಳ ಸೌಂದರ್ಯವೆಂದರೆ ಅವರು ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಬಳಕೆದಾರರು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಮಯವನ್ನು ಕಳೆಯುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ಗಳ ನಿರಂತರ ಬಳಕೆಯೊಂದಿಗೆ, ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿನ ಕೋನಗಳ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಇತರ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಎಲ್ಲಾ ಕೌಶಲ್ಯಗಳು ಕಳೆದುಹೋಗುತ್ತವೆ.

ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸುವ ಗಣಿತದ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ. ಆಶ್ಚರ್ಯವೇನಿಲ್ಲ: ಈ ಜ್ಞಾನದ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ನಿಮಗೆ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಚಿಂತನೆ, ಸೈನ್‌ಗಳು, ಕೊಸೈನ್‌ಗಳು, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ಗಳು, ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಪೈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವಾಗ ನೀವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಿದ ಗಣಿತದ ಸ್ಮರಣೆ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ತಾರ್ಕಿಕ ಸರಪಳಿಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಮೂಲಗಳು

ಈ ವಿಜ್ಞಾನದ ಪರಿಚಯವು ಕೋನದ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಬೇಕು, ಆದರೆ ಮೊದಲು ನೀವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಏನು ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ, ಗಣಿತ ವಿಜ್ಞಾನದ ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಅಧ್ಯಯನದ ಮುಖ್ಯ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ. 90 ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಕೋನದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯು ವಿವಿಧ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದು ಕೋನ ಅಥವಾ ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದು ಬದಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಗಣನೆಯಡಿಯಲ್ಲಿ ಆಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಹಿಂದೆ, ಜನರು ಈ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಕಟ್ಟಡಗಳ ನಿರ್ಮಾಣ, ಸಂಚರಣೆ, ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಕಲೆಯ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಸಕ್ರಿಯವಾಗಿ ಬಳಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು.

ಮೊದಲ ಹಂತ

ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಜನರು ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ಬದಿಗಳ ಸಂಬಂಧದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಿದರು. ನಂತರ ವಿಶೇಷ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಯಿತು, ಅದು ಗಣಿತದ ಈ ವಿಭಾಗದ ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಬಳಕೆಯ ಗಡಿಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸಿತು.

ಇಂದು ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಧ್ಯಯನವು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ನಂತರ ಸ್ವಾಧೀನಪಡಿಸಿಕೊಂಡ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಅಮೂರ್ತ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತಾರೆ, ಇದರೊಂದಿಗೆ ಪ್ರೌಢಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ಗೋಲಾಕಾರದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ

ನಂತರ, ವಿಜ್ಞಾನವು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಮುಂದಿನ ಹಂತವನ್ನು ತಲುಪಿದಾಗ, ಗೋಳಾಕಾರದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಸ್ಪರ್ಶಕ, ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾರಂಭಿಸಿತು, ಅಲ್ಲಿ ಇತರ ನಿಯಮಗಳು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿನ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಯಾವಾಗಲೂ 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದರ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಏಕೆಂದರೆ ಭೂಮಿಯ ಮೇಲ್ಮೈ ಮತ್ತು ಇತರ ಯಾವುದೇ ಗ್ರಹದ ಮೇಲ್ಮೈ ಪೀನವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಮೇಲ್ಮೈ ಗುರುತು "ಆರ್ಕ್-ಆಕಾರ" ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗ.

ಗ್ಲೋಬ್ ಮತ್ತು ಥ್ರೆಡ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಥ್ರೆಡ್ ಅನ್ನು ಜಗತ್ತಿನ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಲಗತ್ತಿಸಿ ಇದರಿಂದ ಅದು ಬಿಗಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗಮನ ಕೊಡಿ - ಇದು ಆರ್ಕ್ನ ಆಕಾರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದೆ. ಭೂವಿಜ್ಞಾನ, ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಇತರ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಗೋಳಾಕಾರದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಅಂತಹ ರೂಪಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ.

ಬಲ ತ್ರಿಕೋನ

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸುವ ವಿಧಾನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಕಲಿತ ನಂತರ, ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಯಾವುದು, ಅವುಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ಯಾವ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಯಾವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗೋಣ.

ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮೊದಲ ಹಂತವಾಗಿದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ 90 ಡಿಗ್ರಿ ಕೋನದ ಎದುರು ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಅವಳು ಉದ್ದವಾದವಳು. ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಅದರ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವು ಇತರ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತದ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 3 ಮತ್ತು 4 ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್‌ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್‌ನ ಉದ್ದವು 5 ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್‌ಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದಹಾಗೆ, ಪ್ರಾಚೀನ ಈಜಿಪ್ಟಿನವರು ಸುಮಾರು ನಾಲ್ಕೂವರೆ ಸಾವಿರ ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರು.

ಲಂಬ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಎರಡು ಉಳಿದ ಬದಿಗಳನ್ನು ಕಾಲುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿನ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180 ಡಿಗ್ರಿ ಎಂದು ನಾವು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಬೇಕು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ತಳಹದಿಯ ಘನ ತಿಳುವಳಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ, ನಾವು ಕೋನದ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ತಿರುಗಬಹುದು.

ಕೋನದ ಸೈನ್ ವಿರುದ್ಧ ಕಾಲಿನ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ, ಬಯಸಿದ ಕೋನದ ಎದುರು ಭಾಗ) ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್‌ಗೆ. ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಪಕ್ಕದ ಕಾಲಿನ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್‌ನ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ.

ಸೈನ್ ಅಥವಾ ಕೊಸೈನ್ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ! ಏಕೆ? ಏಕೆಂದರೆ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಪೂರ್ವನಿಯೋಜಿತವಾಗಿ ಉದ್ದವಾಗಿರುತ್ತದೆ.ಕಾಲು ಎಷ್ಟು ಉದ್ದವಿದ್ದರೂ, ಅದು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್‌ಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಅವುಗಳ ಅನುಪಾತವು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮಸ್ಯೆಯ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ 1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಸೈನ್ ಅಥವಾ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಅಥವಾ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ನೋಡಿ. ಈ ಉತ್ತರವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತಪ್ಪಾಗಿದೆ.

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಎದುರು ಭಾಗದ ಪಕ್ಕದ ಬದಿಯ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ. ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವು ಕೊಸೈನ್‌ನಿಂದ ಸೈನ್‌ನ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ನೋಡಿ: ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ನಾವು ಬದಿಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ನಂತರ ನಾವು ಎರಡನೇ ಬದಿಯ ಉದ್ದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಮತ್ತು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸ್ಪರ್ಶಕದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿರುವಂತೆಯೇ ನಾವು ಅದೇ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್, ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಮೂಲೆಯ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಬದಿಯ ವಿರುದ್ಧದ ಭಾಗದ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ. ಘಟಕವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಎಂದರೇನು ಎಂಬುದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಸೂತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸಬಹುದು.

ಸರಳವಾದ ಸೂತ್ರಗಳು

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಸೂತ್ರಗಳಿಲ್ಲದೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ - ಅವುಗಳಿಲ್ಲದೆ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್, ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು? ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವಾಗ ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಮೊದಲ ಸೂತ್ರವು ಕೋನದ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್‌ನ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈ ಸೂತ್ರವು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ನೇರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ನೀವು ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು ಬಯಸಿದರೆ ಅದು ಸಮಯವನ್ನು ಉಳಿಸುತ್ತದೆ, ಬದಿಯಲ್ಲ.

ಅನೇಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಎರಡನೇ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಇದು ಶಾಲೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಬಹಳ ಜನಪ್ರಿಯವಾಗಿದೆ: ಒಂದು ಕೋನದ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಒಂದು ಕೋನದ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ನ ಚೌಕವು ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ನ ವರ್ಗದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಹತ್ತಿರದ ನೋಟವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ: ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಇದು ಮೊದಲ ಸೂತ್ರದಂತೆಯೇ ಅದೇ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ, ಗುರುತಿನ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಕೊಸೈನ್ನ ಚೌಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸರಳವಾದ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗದಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ನೆನಪಿಡಿ: ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಏನೆಂದು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು, ಪರಿವರ್ತನೆ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳು, ನೀವು ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಕಾಗದದ ಹಾಳೆಯಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಾದ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಡಬಲ್ ಆಂಗಲ್ ಫಾರ್ಮುಲಾಗಳು ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ

ನೀವು ಕಲಿಯಬೇಕಾದ ಇನ್ನೂ ಎರಡು ಸೂತ್ರಗಳು ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಎರಡೂ ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ, ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್‌ನ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ.

ಡಬಲ್ ಆಂಗಲ್ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸೂತ್ರಗಳೂ ಇವೆ. ಅವುಗಳು ಹಿಂದಿನವುಗಳಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿವೆ - ಅಭ್ಯಾಸವಾಗಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ನೀವೇ ಪಡೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ, ಆಲ್ಫಾ ಕೋನವನ್ನು ಬೀಟಾ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಡಬಲ್ ಕೋನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಆಲ್ಫಾದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಪ್ರಮೇಯಗಳು

ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳೆಂದರೆ ಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯ. ಈ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ, ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಬದಿಯ ಗಾತ್ರ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬದಿಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ವಿರುದ್ಧ ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತದ ಎರಡು ತ್ರಿಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ನೀಡಿರುವ ತ್ರಿಕೋನದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತ.

ಕೊಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತದಿಂದ, ಅವುಗಳ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನದ ಡಬಲ್ ಕೊಸೈನ್‌ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ - ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯವು ಮೂರನೇ ಬದಿಯ ಚೌಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಕೊಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಗಮನವಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ ತಪ್ಪುಗಳು

ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್ ಮತ್ತು ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಏನೆಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಗೈರುಹಾಜರಿ ಅಥವಾ ಸರಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿನ ದೋಷದಿಂದಾಗಿ ತಪ್ಪು ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭ. ಅಂತಹ ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಜನಪ್ರಿಯವಾದವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುವವರೆಗೆ ನೀವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ದಶಮಾಂಶಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಾರದು - ಸ್ಥಿತಿಯು ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳದ ಹೊರತು ನೀವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗವಾಗಿ ಬಿಡಬಹುದು. ಅಂತಹ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ತಪ್ಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಬೇರುಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂದು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಬೇಕು, ಲೇಖಕರ ಕಲ್ಪನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಅದನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬೇಕು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಅನಗತ್ಯ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಯವನ್ನು ವ್ಯರ್ಥ ಮಾಡುತ್ತೀರಿ. ಮೂರು ಅಥವಾ ಎರಡರ ಮೂಲಗಳಂತಹ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಇದು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸತ್ಯವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ. "ಕೊಳಕು" ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಇದಲ್ಲದೆ, ಕೊಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ! ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಬದಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಕಳೆಯಲು ನೀವು ತಪ್ಪಾಗಿ ಮರೆತರೆ, ನೀವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತಪ್ಪು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ, ಆದರೆ ವಿಷಯದ ಸಂಪೂರ್ಣ ತಪ್ಪುಗ್ರಹಿಕೆಯನ್ನು ಸಹ ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತೀರಿ. ಇದು ಅಸಡ್ಡೆ ತಪ್ಪಿಗಿಂತ ಕೆಟ್ಟದಾಗಿದೆ.

ಮೂರನೆಯದಾಗಿ, ಸೈನ್‌ಗಳು, ಕೊಸೈನ್‌ಗಳು, ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು, ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ಗಳಿಗೆ 30 ಮತ್ತು 60 ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬೇಡಿ. ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ, ಏಕೆಂದರೆ 30 ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸೈನ್ 60 ರ ಕೊಸೈನ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಅವುಗಳನ್ನು ಮಿಶ್ರಣ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನೀವು ಅನಿವಾರ್ಯವಾಗಿ ತಪ್ಪಾದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.

ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್

ಅನೇಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಆತುರಪಡುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವರು ಅದರ ಅನ್ವಯಿಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಇಂಜಿನಿಯರ್ ಅಥವಾ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞನಿಗೆ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಎಂದರೇನು? ಇವುಗಳು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ನೀವು ದೂರದ ನಕ್ಷತ್ರಗಳಿಗೆ ದೂರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಉಲ್ಕಾಶಿಲೆಯ ಪತನವನ್ನು ಊಹಿಸಬಹುದು, ಇನ್ನೊಂದು ಗ್ರಹಕ್ಕೆ ಸಂಶೋಧನಾ ತನಿಖೆಯನ್ನು ಕಳುಹಿಸಬಹುದು. ಅವುಗಳಿಲ್ಲದೆ, ಕಟ್ಟಡವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು, ಕಾರನ್ನು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸುವುದು, ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಹೊರೆ ಅಥವಾ ವಸ್ತುವಿನ ಪಥವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ. ಮತ್ತು ಇವು ಅತ್ಯಂತ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ! ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯನ್ನು ಒಂದು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದರಲ್ಲಿ ಸಂಗೀತದಿಂದ ಔಷಧದವರೆಗೆ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಂತಿಮವಾಗಿ

ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಸ್ಪರ್ಶಕ. ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಶಾಲೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಾರವು ಅಜ್ಞಾತ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ತ್ರಿಕೋನದ ತಿಳಿದಿರುವ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬೇಕು ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಕುದಿಯುತ್ತದೆ. ಒಟ್ಟು ಆರು ನಿಯತಾಂಕಗಳಿವೆ: ಮೂರು ಬದಿಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಮತ್ತು ಮೂರು ಕೋನಗಳ ಪ್ರಮಾಣಗಳು. ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿನ ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ವಿಭಿನ್ನ ಇನ್‌ಪುಟ್ ಡೇಟಾವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಲ್ಲಿದೆ.

ಕಾಲುಗಳ ತಿಳಿದಿರುವ ಉದ್ದಗಳು ಅಥವಾ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು, ಈಗ ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಈ ಪದಗಳು ಅನುಪಾತಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅರ್ಥವಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅನುಪಾತವು ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮುಖ್ಯ ಗುರಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ ಅಥವಾ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಾಲಾ ಗಣಿತದಿಂದ ಸಹಾಯ ಮಾಡಲಾಗುವುದು.

ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಮುಖ್ಯ ವಿಭಾಗಗಳಾಗಿವೆ - ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಾಖೆ, ಮತ್ತು ಕೋನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದಂತೆ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ. ಈ ಗಣಿತ ವಿಜ್ಞಾನದ ಸ್ವಾಧೀನಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಕಂಠಪಾಠ ಮತ್ತು ತಿಳುವಳಿಕೆ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಚಿಂತನೆಯನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳು ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಜಯಿಸಲು, ನೀವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಚಿತರಾಗಿರಬೇಕು.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನ ಮತ್ತು ಕೋನ ಯಾವುದು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲಭೂತ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಏಕೆ ಅವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಮೊದಲು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು. ಒಂದು ಕೋನವು 90 ಡಿಗ್ರಿಗಳಿರುವ ತ್ರಿಕೋನವು ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ. ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ, ಈ ಅಂಕಿಅಂಶವನ್ನು ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪ, ಸಂಚರಣೆ, ಕಲೆ, ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಜನರು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಈ ಆಕೃತಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವುದು, ಜನರು ಅದರ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಅನುಪಾತಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ ಬಂದರು.

ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮುಖ್ಯ ವಿಭಾಗಗಳು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮತ್ತು ಕಾಲುಗಳು. ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಎಂಬುದು ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಲಂಬ ಕೋನಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಾಲುಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಇತರ ಎರಡು ಬದಿಗಳಾಗಿವೆ. ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಯಾವಾಗಲೂ 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಗೋಲಾಕಾರದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯು ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಒಂದು ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಭೂವಿಜ್ಞಾನದಂತಹ ಅನ್ವಯಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಲ್ಲಿ, ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಇದನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಗೋಳಾಕಾರದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನದ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವೆಂದರೆ ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಗಳು

ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ, ಕೋನದ ಸೈನ್ ತ್ರಿಕೋನದ ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ಗೆ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕೋನದ ವಿರುದ್ಧ ಕಾಲಿನ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಕೊಸೈನ್ ಪಕ್ಕದ ಲೆಗ್ ಮತ್ತು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ. ಈ ಎರಡೂ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಕಾಲಿಗಿಂತ ಉದ್ದವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕೋನದ ಪಕ್ಕದ ಕಾಲಿಗೆ ವಿರುದ್ಧ ಕಾಲಿನ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಥವಾ ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸೈನ್. ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್, ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕೋನದ ಪಕ್ಕದ ಕಾಲಿನ ವಿರುದ್ಧ ಕ್ಯಾಕ್ಟೆಟ್ಗೆ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ. ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಘಟಕವನ್ನು ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕೋನದ ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಘಟಕ ವೃತ್ತ

ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಘಟಕ ವೃತ್ತವು ಒಂದು ವೃತ್ತವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ವೃತ್ತವನ್ನು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ, ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗವು ಮೂಲದ ಬಿಂದುದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಾನವನ್ನು X ಅಕ್ಷದ (ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಆಕ್ಸಿಸ್) ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೃತ್ತದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಎರಡು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: XX ಮತ್ತು YY, ಅಂದರೆ, ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು. XX ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆರಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ಲಂಬವಾಗಿ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಬಿಡುವುದರಿಂದ, ಆಯ್ದ ಬಿಂದುವಿಗೆ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಅದನ್ನು C ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ), ಲಂಬವಾಗಿ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ X ಅಕ್ಷ (ಛೇದಕ ಬಿಂದುವನ್ನು G ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ಮೂಲ (ಬಿಂದುವನ್ನು A ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಛೇದನ ಬಿಂದು G ನಡುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಒಂದು ವಿಭಾಗ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ತ್ರಿಕೋನ ACG ಒಂದು ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಕೆತ್ತಲಾಗಿದೆ ಒಂದು ವೃತ್ತ, ಅಲ್ಲಿ AGಯು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮತ್ತು AC ಮತ್ತು GC ಗಳು ಕಾಲುಗಳು. ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯದ ನಡುವಿನ ಕೋನ AC ಮತ್ತು AG ಪದನಾಮದೊಂದಿಗೆ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ವಿಭಾಗದ ನಡುವೆ, ನಾವು α (ಆಲ್ಫಾ) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, cos α = AG/AC. AC ಯು ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು cos α=AG ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಅದೇ ರೀತಿ, ಪಾಪ α=CG.

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಈ ಡೇಟಾವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಪಾಯಿಂಟ್ C ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ cos α=AG, ಮತ್ತು sin α=CG, ಅಂದರೆ ಪಾಯಿಂಟ್ C ನೀಡಿದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (cos α; sin α). ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸೈನ್‌ನ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ನಾವು tg α \u003d y / x, ಮತ್ತು ctg α \u003d x / y ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ನಕಾರಾತ್ಮಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಕೋನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಕೆಲವು ಕೋನಗಳ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳು

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು

ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ಮೂಲಕ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಾರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಕೆಲವು ಕೋನಗಳಿಗೆ ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತುಗಳು

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ ಮೌಲ್ಯವಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೌಲ್ಯದ ಗುರುತುಗಳು sin x = α, k ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ:

1. ಪಾಪ x = 0, x = πk.
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. ಪಾಪ x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. ಪಾಪ x = a, |a| > 1, ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ.
5. ಪಾಪ x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * ಆರ್ಕ್‌ಸಿನ್ α + πk.

cos x = a ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಗುರುತುಗಳು, ಇಲ್ಲಿ k ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ± ಆರ್ಕೋಸ್ α + 2πk.

tg x = a ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಗುರುತುಗಳು, ಇಲ್ಲಿ k ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

ctg x = a ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಗುರುತುಗಳು, ಇಲ್ಲಿ k ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

ಎರಕಹೊಯ್ದ ಸೂತ್ರಗಳು

ಸ್ಥಿರ ಸೂತ್ರಗಳ ಈ ವರ್ಗವು ನೀವು ರೂಪದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ವಾದದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೋಗಬಹುದಾದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯದ ಕೋನದ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಕೋನದ ಅನುಗುಣವಾದ ಸೂಚಕಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ 0 ರಿಂದ 90 ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಮಧ್ಯಂತರ.

ಕೋನದ ಸೈನ್‌ಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಸೂತ್ರಗಳು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತವೆ:

• ಪಾಪ (900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ಗಾಗಿ:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರಗಳ ಬಳಕೆಯು ಎರಡು ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಕೋನವನ್ನು ಮೌಲ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದರೆ (π/2 ± a) ಅಥವಾ (3π/2 ± a), ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ:

• ಪಾಪದಿಂದ ಕಾಸ್ಗೆ;
• ಕಾಸ್ ನಿಂದ ಪಾಪಕ್ಕೆ;
• tg ನಿಂದ ctg ಗೆ;
• ctg ನಿಂದ tg ವರೆಗೆ.

ಕೋನವನ್ನು (π ± a) ಅಥವಾ (2π ± a) ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದರೆ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕಾರ್ಯದ ಚಿಹ್ನೆಯು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ: ಇದು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಹಾಗೆಯೇ ಉಳಿದಿದೆ. ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಇದು ನಿಜ.

ಸೇರ್ಪಡೆ ಸೂತ್ರಗಳು

ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ತಿರುಗುವ ಕೋನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಕೋನಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ α ಮತ್ತು β ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸೂತ್ರಗಳು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತವೆ:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (ಟ್ಯಾನ್ α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

ಈ ಸೂತ್ರಗಳು α ಮತ್ತು β ಕೋನಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಡಬಲ್ ಮತ್ತು ಟ್ರಿಪಲ್ ಕೋನ ಸೂತ್ರಗಳು

ಡಬಲ್ ಮತ್ತು ಟ್ರಿಪಲ್ ಕೋನದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 2α ಮತ್ತು 3α ಕೋನಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು α ಕೋನದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸೂತ್ರಗಳಾಗಿವೆ. ಸೇರ್ಪಡೆ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

ಮೊತ್ತದಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ

2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α - β)/2 ಗುರುತನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಹಾಗೆಯೇ, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α - β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α - β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ

ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಮೊತ್ತದ ಪರಿವರ್ತನೆಗಾಗಿ ಗುರುತುಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

ಕಡಿತ ಸೂತ್ರಗಳು

ಈ ಗುರುತುಗಳಲ್ಲಿ, ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್‌ನ ಚೌಕ ಮತ್ತು ಘನ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬಹು ಕೋನದ ಮೊದಲ ಶಕ್ತಿಯ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್‌ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಪರ್ಯಾಯ

ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಪರ್ಯಾಯ ಸೂತ್ರಗಳು ಅರ್ಧ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತವೆ.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), ಆದರೆ x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), ಇಲ್ಲಿ x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), ಇಲ್ಲಿ x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), ಆದರೆ x \u003d π + 2πn.

ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳು

ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ (ಕೆ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ).

ಸೈನ್‌ಗೆ ಖಾಸಗಿ:

ಕೊಸೈನ್ ಪ್ರಮಾಣಗಳು:

ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಖಾಸಗಿ:

ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಅಂಶಗಳು:

ಪ್ರಮೇಯಗಳು

ಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯ

ಪ್ರಮೇಯದ ಎರಡು ಆವೃತ್ತಿಗಳಿವೆ - ಸರಳ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತೃತ. ಸರಳ ಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯ: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, a, b, c ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು α, β, γ ಕ್ರಮವಾಗಿ ವಿರುದ್ಧ ಕೋನಗಳಾಗಿವೆ.

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತೃತ ಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯ: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. ಈ ಗುರುತಿನಲ್ಲಿ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಕೆತ್ತಲಾಗಿರುವ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು R ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಕೊಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯ

ಗುರುತನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ, a, b, c ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು α ಎಂಬುದು ಕೋನದ ಎದುರು ಬದಿಯ a.

ಸ್ಪರ್ಶ ಪ್ರಮೇಯ

ಸೂತ್ರವು ಎರಡು ಕೋನಗಳ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಎದುರು ಬದಿಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಬದಿಗಳನ್ನು a, b, c ಎಂದು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ವಿರುದ್ಧ ಕೋನಗಳು α, β, γ. ಸ್ಪರ್ಶ ಪ್ರಮೇಯದ ಸೂತ್ರ: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಪ್ರಮೇಯ

ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಅದರ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. a, b, c ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು A, B, C ಕ್ರಮವಾಗಿ ಅವುಗಳ ವಿರುದ್ಧ ಕೋನಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, r ಎಂಬುದು ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು p ಎಂಬುದು ತ್ರಿಕೋನದ ಅರ್ಧ-ಪರಿಧಿ, ಕೆಳಗಿನ ಗುರುತುಗಳು ಹಿಡಿದುಕೊಳ್ಳಿ:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

ಅರ್ಜಿಗಳನ್ನು

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯು ಕೇವಲ ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಿಜ್ಞಾನವಲ್ಲ. ಇದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಮಾನವ ಚಟುವಟಿಕೆಯ ವಿವಿಧ ಶಾಖೆಗಳಿಂದ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರ, ವಾಯು ಮತ್ತು ಸಮುದ್ರ ಸಂಚರಣೆ, ಸಂಗೀತ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಭೂವಿಜ್ಞಾನ, ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರ, ಅಕೌಸ್ಟಿಕ್ಸ್, ದೃಗ್ವಿಜ್ಞಾನ, ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ಸ್, ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪ, ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ, ಮೆಕ್ಯಾನಿಕಲ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್, ಅಳತೆ ಕೆಲಸ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್, ಕಾರ್ಟೋಗ್ರಫಿ, ಸಮುದ್ರಶಾಸ್ತ್ರ, ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ.

ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಾಗಿವೆ, ಇದರೊಂದಿಗೆ ನೀವು ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ಉದ್ದಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಗುರುತುಗಳು, ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯಮಗಳ ಮೂಲಕ ಬಯಸಿದ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.