ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋನಗಳು ನೇರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು

c ರೇಖೆಯು a ಮತ್ತು b ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸಲಿ. ಇದು ಎಂಟು ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮಾನಾಂತರ ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಟ್ ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿನ ಕೋನಗಳನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೋನಗಳು 1 ಮತ್ತು 3 - ಲಂಬವಾದ.ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಲಂಬ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ,ಅದು
∠1 = ∠3,
∠2 = ∠4.

ಸಹಜವಾಗಿ, 5 ಮತ್ತು 7, 6 ಮತ್ತು 8 ಮೂಲೆಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಕೋನಗಳು 1 ಮತ್ತು 2 - ಪಕ್ಕದ, ಅದು ನಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ. ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180º ಆಗಿದೆ.

ಕೋನಗಳು 3 ಮತ್ತು 5 (ಹಾಗೆಯೇ 2 ಮತ್ತು 8, 1 ಮತ್ತು 7, 4 ಮತ್ತು 6) ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಇವೆ. ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಇರುವ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
∠3 = ∠5,
∠1 = ∠7,
∠2 = ∠8,
∠4 = ∠6.

ಕೋನಗಳು 1 ಮತ್ತು 6 - ಏಕಪಕ್ಷೀಯ.ಅವರು ಸಂಪೂರ್ಣ "ರಚನೆ" ಯ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಮಲಗಿದ್ದಾರೆ. 4 ಮತ್ತು 7 ಕೋನಗಳು ಸಹ ಏಕಪಕ್ಷೀಯವಾಗಿವೆ. ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180 ° ಆಗಿದೆ, ಅದು
∠1 + ∠6 = 180 °,
∠4 + ∠7 = 180 °.

ಕೋನಗಳು 2 ಮತ್ತು 6 (ಹಾಗೆಯೇ 3 ಮತ್ತು 7, 1 ಮತ್ತು 5, 4 ಮತ್ತು 8) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆಯಾ.

ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದು
∠2 = ∠6,
∠3 = ∠7.

ಕೋನಗಳು 3 ಮತ್ತು 5 (ಹಾಗೆಯೇ 2 ಮತ್ತು 8, 1 ಮತ್ತು 7, 4 ಮತ್ತು 6) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಮಲಗಿದೆ.

ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಸುಳ್ಳು ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದು
∠3 = ∠5,
∠1 = ∠7,
∠2 = ∠8,
∠4 = ∠6.

USE ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಗತಿಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು, ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನೋಡಲು ಕಲಿಯಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಅಥವಾ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಅನ್ನು ನೋಡುವಾಗ, ನೀವು ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಟ್, ಹಾಗೆಯೇ ಒಂದು ಬದಿಯ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ನೋಡಬಹುದು. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಅಡ್ಡಲಾಗಿರುವ ಕೋನಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಒಂದು.

1. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಚೂಪಾದ ಕೋನದ ದ್ವಿಭಾಜಕವು ಎದುರು ಭಾಗವನ್ನು 3: 4 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ, ಚೂಪಾದ ಕೋನದ ತುದಿಯಿಂದ ಎಣಿಸುತ್ತದೆ. ಅದರ ಪರಿಧಿ 88 ಆಗಿದ್ದರೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ದೊಡ್ಡ ಭಾಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಕೋನದ ದ್ವಿಭಾಜಕವು ಕೋನದ ತುದಿಯಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ಮತ್ತು ಕೋನವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಕಿರಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.

BM ಒಂದು ಚೂಪಾದ ಕೋನ B ಯ ದ್ವಿಭಾಜಕವಾಗಿರಲಿ. ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, MD ಮತ್ತು AB ವಿಭಾಗಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 3x ಮತ್ತು 4x ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

CBM ಮತ್ತು VMA ಕೋನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. AD ಮತ್ತು ВС ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ВМ ಒಂದು ಸೆಕೆಂಟ್ ಆಗಿದೆ, CBM ಮತ್ತು ВМА ಕೋನಗಳು ಅಡ್ಡ-ಸುಳ್ಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಇರುವ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ತ್ರಿಕೋನ ABM ಸಮದ್ವಿಬಾಹು, ಆದ್ದರಿಂದ, AB = AM = 4x.

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪರಿಧಿಯು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ
7x + 7x + 4x + 4x = 88.
ಆದ್ದರಿಂದ x = 4, 7x = 28.

2. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣವು ಅದರ ಎರಡು ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ 26º ಮತ್ತು 34º ಕೋನಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ದೊಡ್ಡ ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಿ.

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಮತ್ತು ಅದರ ಕರ್ಣವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಸುಳ್ಳು ಮೂಲೆಗಳು ಮತ್ತು ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ನೀವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ: 120º.

3. ವಿರುದ್ಧ ಕೋನಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು 50 ಡಿಗ್ರಿ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಐಸೊಸೆಲ್ಸ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕೋನ ಯಾವುದು? ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಿ.

ಅದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ಸಮದ್ವಿಬಾಹುಗಳು(ಅಥವಾ ಐಸೊಸೆಲ್ಸ್) ಅನ್ನು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಬದಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೇಲಿನ ತಳದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಕೆಳಗಿನ ತಳದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನಗಳು.

ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, α - β = 50 °, ಅಂದರೆ, α = β + 50 °.

α ಮತ್ತು β ಕೋನಗಳು ಸಮಾನಾಂತರ ನೇರ ರೇಖೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಏಕಪಕ್ಷೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಟ್, ಆದ್ದರಿಂದ,
α + β = 180 °.

ಆದ್ದರಿಂದ 2β + 50 ° = 180 °
β = 65 °, ನಂತರ α = 115 °.

ಉತ್ತರ: 115.

EGE-ಅಧ್ಯಯನ »ವಿಧಾನಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಸ್ತುಗಳು» ರೇಖಾಗಣಿತ: ಶೂನ್ಯದಿಂದ C4 ವರೆಗೆ »ಎತ್ತರಗಳು, ಮಧ್ಯಗಳು, ತ್ರಿಕೋನದ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳು

ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು

ಪ್ರಮೇಯ 1. ಎರಡು ಸೆಕೆಂಟ್ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದಕದಲ್ಲಿದ್ದರೆ:

ಕ್ರಿಸ್-ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಥವಾ

ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ

ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180 ° ಆಗಿರುತ್ತದೆ

ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ(ಅಂಜೂರ 1).

ಪುರಾವೆ. ಪ್ರಕರಣ 1 ರ ಪುರಾವೆಗೆ ನಾವು ನಮ್ಮನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಸೆಕೆಂಟ್ ಎಬಿ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದಕದಲ್ಲಿ, ಛೇದಿಸುವ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ∠ 4 = ∠ 6. ಅ || ಬಿ.

a ಮತ್ತು b ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಅವು M ಅನ್ನು ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, 4 ಅಥವಾ 6 ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನ ABM ನ ಹೊರ ಮೂಲೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಖಚಿತತೆಗಾಗಿ, ∠ 4 ತ್ರಿಕೋನ ABM ನ ಹೊರ ಮೂಲೆಯಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ∠ 6 - ಒಳಗಿನ ಒಂದು. ತ್ರಿಕೋನದ ಹೊರ ಕೋನದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ∠ 4 ∠ 6 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಸ್ಥಿತಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ a ಮತ್ತು 6 ಸಾಲುಗಳು ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಫಲಿತಾಂಶ 1. ಒಂದೇ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ(ಅಂಜೂರ 2).

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಪ್ರಮೇಯ 1 ರ ಕೇಸ್ 1 ಅನ್ನು ನಾವು ಈಗಷ್ಟೇ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿರೋಧಾಭಾಸ ಅಥವಾ ಅಸಂಬದ್ಧತೆಗೆ ಕಡಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಅದರ ಮೊದಲ ಹೆಸರನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿ, ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ (ವಿರುದ್ಧ) ಒಂದು ಊಹೆಯನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಮಾಡಿದ ಊಹೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಾದಿಸುತ್ತಾ, ನಾವು ಅಸಂಬದ್ಧ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ (ಅಸಂಬದ್ಧತೆಗೆ) ಬರುತ್ತೇವೆ ಎಂಬ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಇದನ್ನು ಅಸಂಬದ್ಧತೆಗೆ ಕಡಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ತೀರ್ಮಾನದ ಸ್ವೀಕೃತಿಯು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ ಊಹೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲು ಮತ್ತು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಒಂದನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಲು ಒತ್ತಾಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದ್ದೇಶ 1.ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬಿಂದು M ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ ಮತ್ತು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಳ ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ a ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಪರಿಹಾರ. ಪಾಯಿಂಟ್ M ಮೂಲಕ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ p ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ a (Fig. 3).

ನಂತರ ನಾವು ಸರಳ ರೇಖೆಯ p ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಪಾಯಿಂಟ್ M ಮೂಲಕ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರಮೇಯ 1 ರ ಅನುಪಾತದ ಪ್ರಕಾರ ಬಿ ಲೈನ್ ಎ ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆ.

ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯಿಂದ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ತೀರ್ಮಾನವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರದ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಸೆಳೆಯಬಹುದು.

ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಮುಖ್ಯ ಆಸ್ತಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ.

ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಮೂಲತತ್ವ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಮೂಲತತ್ವದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುವ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

1) ಒಂದು ರೇಖೆಯು ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಅದು ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 4).

2) ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಸಾಲುಗಳು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಚಿತ್ರ 5).

ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವೂ ನಿಜವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 2. ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು ಸೆಕೆಂಟ್‌ನಿಂದ ಛೇದಿಸಿದರೆ, ನಂತರ:

ಕ್ರಿಸ್-ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ;

ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ;

ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180 ° ಆಗಿದೆ.

ಫಲಿತಾಂಶ 2. ಒಂದು ರೇಖೆಯು ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ(ಅಂಜೂರ 2 ನೋಡಿ).

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಪ್ರಮೇಯ 2 ಅನ್ನು ಪ್ರಮೇಯ 1 ರ ಸಂವಾದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯ 1 ರ ತೀರ್ಮಾನವು ಪ್ರಮೇಯ 2 ರ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯ 1 ರ ಸ್ಥಿತಿಯು ಪ್ರಮೇಯ 2 ರ ತೀರ್ಮಾನವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಂವಾದವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ. , ನಂತರ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಂವಾದವು ನಿಜವಾಗದಿರಬಹುದು.

ಲಂಬ ಕೋನಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ವಿವರಿಸೋಣ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಬಹುದು: ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದರೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮತ್ತು ಇದು ಸಹಜವಾಗಿ, ನಿಜವಲ್ಲ. ಎರಡು ಸಮಾನ ಕೋನಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಮೂರನೇ ಒಂದು ದಾಟಿದೆ. ಎರಡು ಆಂತರಿಕ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಕೋನಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು 30 ° ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಈ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಚಿತ್ರ 6 ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಿ.

ಪ್ರಶ್ನೆ 1.ಯಾವ ಕೋನಗಳನ್ನು ಪಕ್ಕದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?
ಉತ್ತರ.ಎರಡು ಮೂಲೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ಬದಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಪಕ್ಕದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಮೂಲೆಗಳ ಇತರ ಬದಿಗಳು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅರ್ಧ-ರೇಖೆಗಳಾಗಿವೆ.
ಚಿತ್ರ 31 ರಲ್ಲಿ, ಕೋನಗಳು (a 1 b) ಮತ್ತು (a 2 b) ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿವೆ. ಅವುಗಳು ಸೈಡ್ ಬಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು 1 ಮತ್ತು 2 ಬದಿಗಳು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅರ್ಧ-ರೇಖೆಗಳಾಗಿವೆ.

ಪ್ರಶ್ನೆ 2.ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180 ° ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.
ಉತ್ತರ. ಪ್ರಮೇಯ 2.1.ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180 ° ಆಗಿದೆ.
ಪುರಾವೆ.ಕೋನ (a 1 b) ಮತ್ತು ಕೋನ (a 2 b) ನೀಡಲಾದ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳಾಗಿರಲಿ (ಚಿತ್ರ 31 ನೋಡಿ). ರೇ ಬಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಿದ ಮೂಲೆಯ 1 ಮತ್ತು 2 ಬದಿಗಳ ನಡುವೆ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ (a 1 b) ಮತ್ತು (a 2 b) ವಿಸ್ತೃತ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ 180 °. ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ಪ್ರಶ್ನೆ 3.ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನಗಳು ಸಹ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.
ಉತ್ತರ.

ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ 2.1 ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.
ಕೋನಗಳು (a 1 b) ಮತ್ತು (c 1 d) ಸಮಾನವೆಂದು ಹೇಳೋಣ. ಕೋನಗಳು (a 2 b) ಮತ್ತು (c 2 d) ಸಹ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.
ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180 ° ಆಗಿದೆ. ಇದರಿಂದ a 1 b + a 2 b = 180 ° ಮತ್ತು c 1 d + c 2 d = 180 ° ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, a 2 b = 180 ° - a 1 b ಮತ್ತು c 2 d = 180 ° - c 1 d. ಕೋನಗಳು (a 1 b) ಮತ್ತು (c 1 d) ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು a 2 b = 180 ° - a 1 b = c 2 d ಎಂದು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವಿಟಿಯ ಆಸ್ತಿಯಿಂದ, ಇದು 2 ಬಿ = ಸಿ 2 ಡಿ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ಪ್ರಶ್ನೆ 4.ಯಾವ ಕೋನವನ್ನು ಬಲ (ತೀವ್ರ, ಚೂಪಾದ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?
ಉತ್ತರ. 90 ° ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಕೋನವನ್ನು ಲಂಬ ಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
90 ° ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಕೋನವನ್ನು ತೀವ್ರ ಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
90 ° ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮತ್ತು 180 ° ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಕೋನವನ್ನು ಓಬ್ಟ್ಯೂಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಶ್ನೆ 5.ಲಂಬ ಕೋನದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನವು ಲಂಬ ಕೋನ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.
ಉತ್ತರ.ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅದು ಲಂಬ ಕೋನದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನವು ಲಂಬ ಕೋನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ: x + 90 ° = 180 °, x = 180 ° - 90 °, x = 90 °.

ಪ್ರಶ್ನೆ 6.ಯಾವ ಕೋನಗಳನ್ನು ಲಂಬ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?
ಉತ್ತರ.ಒಂದು ಮೂಲೆಯ ಬದಿಗಳು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಪೂರಕ ಅರ್ಧ-ನೇರ ಬದಿಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಲಂಬ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಶ್ನೆ 7.ಲಂಬ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.
ಉತ್ತರ. ಪ್ರಮೇಯ 2.2. ಲಂಬ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಪುರಾವೆ.(a 1 b 1) ಮತ್ತು (a 2 b 2) ನೀಡಲಾದ ಲಂಬ ಕೋನಗಳು (ಅಂಜೂರ 34) ಆಗಿರಲಿ. ಕೋನವು (a 1 b 2) ಕೋನಕ್ಕೆ (a 1 b 1) ಮತ್ತು ಕೋನಕ್ಕೆ (a 2 b 2) ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೋನಗಳು (a 1 b 1) ಮತ್ತು (a 2 b 2) ಕೋನವನ್ನು (a 1 b 2) 180 ° ಗೆ ಪೂರಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ಕೋನಗಳು (a 1 b 1) ಮತ್ತು (a 2 b 2) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ಪ್ರಶ್ನೆ 8.ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದಕದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮೂಲೆಯು ಸರಳ ರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಇತರ ಮೂರು ಮೂಲೆಗಳು ಸಹ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.
ಉತ್ತರ. AB ಮತ್ತು CD ರೇಖೆಗಳು O ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಭೇಟಿಯಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಕೋನ AOD 90 ° ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180 ° ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು AOC = 180 ° -AOD = 180 ° - 90 ° = 90 ° ಎಂದು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. COB ಕೋನವು AOD ಕೋನಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅಂದರೆ, COB ಕೋನ = 90 °. COA BOD ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅಂದರೆ, BOD ಕೋನವು 90 ° ಆಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳು 90 ° ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಅವು ಸರಿಯಾಗಿವೆ. ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ಪ್ರಶ್ನೆ 9.ಯಾವ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಲಂಬ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ? ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಲಂಬತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಯಾವ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ?
ಉತ್ತರ.ಎರಡು ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಲಂಬ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದರೆ ಲಂಬ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ರೇಖೆಗಳ ಲಂಬತೆಯನ್ನು \ (\ perp \) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಮೂದು \ (a \ perp b \) ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ: "a ಸಾಲು b ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ".

ಪ್ರಶ್ನೆ 10.ನೇರ ರೇಖೆಯ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ನೀವು ಅದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೆಳೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.
ಉತ್ತರ. ಪ್ರಮೇಯ 2.3.ಪ್ರತಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಅದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೆಳೆಯಬಹುದು, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು.
ಪುರಾವೆ. a ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಯಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು A ಅದರ ಮೇಲೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದು A (Fig. 38) ನೊಂದಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಅರ್ಧ-ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿ 1 ಒಂದನ್ನು ನಾವು ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಾವು ಕೋನವನ್ನು (a 1 b 1) 90 ° ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಅರ್ಧ-ಸಾಲಿನ a 1 ರಿಂದ ಪಕ್ಕಕ್ಕೆ ಇಡೋಣ. ನಂತರ ಕಿರಣ ಬಿ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯು a ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

A ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮತ್ತು a ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಲು ಇದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಸಿ 1 ಈ ಸಾಲಿನ ಅರ್ಧ-ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ, ಅದು ಕಿರಣ ಬಿ 1 ನೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ಅರ್ಧ ಸಮತಲದಲ್ಲಿದೆ.
ಕೋನಗಳು (a 1 b 1) ಮತ್ತು (a 1 c 1), ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ 90 ° ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅರ್ಧ-ರೇಖೆಯ a 1 ರಿಂದ ಒಂದು ಅರ್ಧ-ಸಮಲದಲ್ಲಿ ಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಅರ್ಧ-ಸಾಲಿನಿಂದ 1 ಈ ಅರ್ಧ ಸಮತಲಕ್ಕೆ, 90 ° ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಒಂದು ಕೋನವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಮುಂದೂಡಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪಾಯಿಂಟ್ A ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮತ್ತೊಂದು ಸರಳ ರೇಖೆ ಇರಬಾರದು ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಶ್ನೆ 11.ಒಂದು ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವುದು ಏನು?
ಉತ್ತರ.ಕೊಟ್ಟಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಒಂದು ನೇರ ರೇಖೆಯ ಒಂದು ಭಾಗವು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಅದರ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಅವುಗಳ ಛೇದನ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ವಿಭಾಗದ ಈ ಅಂತ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆಧಾರದಲಂಬವಾಗಿರುವ.

ಪ್ರಶ್ನೆ 12.ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಪುರಾವೆ ಏನು ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.
ಉತ್ತರ.ಪ್ರಮೇಯ 2.3 ರಲ್ಲಿ ನಾವು ಬಳಸಿದ ಪುರಾವೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿರೋಧಾಭಾಸದಿಂದ ಪುರಾವೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಈ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ನಾವು ಮೊದಲು ಪ್ರಮೇಯವು ಏನು ಹೇಳುತ್ತದೆಯೋ ಅದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಊಹೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ, ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ, ಮೂಲತತ್ವಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಬೀತಾದ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿ, ನಾವು ಪ್ರಮೇಯದ ಸ್ಥಿತಿ, ಅಥವಾ ಮೂಲತತ್ವಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಅಥವಾ ಹಿಂದೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುವ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ. ಈ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಮ್ಮ ಊಹೆಯು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರಮೇಯದ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಶ್ನೆ 13.ಕೋನದ ದ್ವಿಭಾಜಕ ಎಂದು ಯಾವುದನ್ನು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ?
ಉತ್ತರ.ಕೋನದ ದ್ವಿಭಾಜಕವು ಕೋನದ ತುದಿಯಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ಕಿರಣವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಬದಿಗಳ ನಡುವೆ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೋನವನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ.