ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಛೇದಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸುವುದು

) ಮತ್ತು ಛೇದದಿಂದ ಛೇದ (ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಛೇದವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ).

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಸೂತ್ರ:

ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಛೇದಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಮೊದಲು, ಭಾಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದೇ ಎಂದು ನೀವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು. ನೀವು ಭಾಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಮತ್ತಷ್ಟು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗವನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವುದು.

ಇದು ತೋರುತ್ತಿರುವಷ್ಟು ಭಯಾನಕವಲ್ಲ. ಸಂಕಲನದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಛೇದದಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಭಾಗವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಮಿಶ್ರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು (ಮಿಶ್ರ):

• ಮಿಶ್ರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ;
• ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಛೇದಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು;
• ಭಾಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ;
• ನೀವು ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ನಂತರ ನಾವು ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಾಗವನ್ನು ಮಿಶ್ರ ಭಾಗವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಸೂಚನೆ!ಮಿಶ್ರ ಭಾಗವನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಮಿಶ್ರ ಭಾಗದಿಂದ ಗುಣಿಸಲು, ನೀವು ಮೊದಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಗುಣಿಸಬೇಕು.

ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಲು ಎರಡನೆಯ ಮಾರ್ಗ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗವನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಎರಡನೇ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸೂಚನೆ!ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಗುಣಿಸಲು, ನೀವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದವನ್ನು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಅಂಶವನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಬಿಡಬೇಕು.

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದವನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಈ ಆಯ್ಕೆಯು ಬಳಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಹುಮಹಡಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು.

ಪ್ರೌಢಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ, ಮೂರು-ಅಂತಸ್ತಿನ (ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ) ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಎದುರಾಗುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆ:

ಅಂತಹ ಭಾಗವನ್ನು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಲು, 2 ಅಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಬಳಸಿ:

ಸೂಚನೆ!ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವಾಗ, ವಿಭಜನೆಯ ಕ್ರಮವು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಜಾಗರೂಕರಾಗಿರಿ, ಇಲ್ಲಿ ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗುವುದು ಸುಲಭ.

ಸೂಚನೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಒಂದನ್ನು ಯಾವುದೇ ಭಾಗದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದೇ ಭಾಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಕೇವಲ ತಲೆಕೆಳಗಾದದ್ದು:

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲು ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸಲು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಲಹೆಗಳು:

1. ಭಾಗಶಃ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾದ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ನಿಖರತೆ ಮತ್ತು ಗಮನ. ಎಲ್ಲಾ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಮತ್ತು ನಿಖರವಾಗಿ, ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಮಾಡಿ. ಮಾನಸಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಕಳೆದುಹೋಗುವುದಕ್ಕಿಂತ ನಿಮ್ಮ ಡ್ರಾಫ್ಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಉತ್ತಮ.

2. ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಪ್ರಕಾರಕ್ಕೆ ಹೋಗಿ.

3. ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದವರೆಗೆ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

4. ನಾವು 2 ಅಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬಹು-ಹಂತದ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ.

5. ನಿಮ್ಮ ತಲೆಯಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಘಟಕವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ, ಭಾಗವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ತಿರುಗಿಸಿ.

ಕಳೆದ ಬಾರಿ ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ ("ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವುದು" ಪಾಠವನ್ನು ನೋಡಿ). ಆ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅತ್ಯಂತ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಭಾಗವೆಂದರೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತರುವುದು.

ಈಗ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸಲು ಸಮಯ. ಒಳ್ಳೆಯ ಸುದ್ದಿ ಎಂದರೆ ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನಕ್ಕಿಂತ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಭಾಗವಿಲ್ಲದೆ ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿರುವಾಗ ಸರಳವಾದ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲು, ನೀವು ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಛೇದಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಗುಣಿಸಬೇಕು. ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹೊಸ ಭಾಗದ ಅಂಶವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಛೇದವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸಲು, ನೀವು ಮೊದಲ ಭಾಗವನ್ನು "ತಲೆಕೆಳಗಾದ" ಎರಡನೇ ಭಾಗದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಹುದ್ದೆ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವುದು ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು "ಫ್ಲಿಪ್" ಮಾಡಲು, ಕೇವಲ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಸ್ವ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪಾಠದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಾವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಗುಣಾಕಾರದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಬಹುದಾದ ಭಾಗವು ಉದ್ಭವಿಸಬಹುದು (ಮತ್ತು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ) - ಅದನ್ನು ಸಹಜವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬೇಕು. ಎಲ್ಲಾ ಕಡಿತಗಳ ನಂತರ ಭಾಗವು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿರುಗಿದರೆ, ಇಡೀ ಭಾಗವನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಬೇಕು. ಆದರೆ ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಆಗುವುದಿಲ್ಲ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ಕಡಿತ: ಯಾವುದೇ ಕ್ರಿಸ್-ಕ್ರಾಸ್ ವಿಧಾನಗಳು, ಶ್ರೇಷ್ಠ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಕಗಳು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗಗಳು ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಅಸಮರ್ಪಕವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು - ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಯೋಜನೆಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಗುಣಿಸಬೇಕು.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶದಲ್ಲಿ, ಛೇದದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಅದರ ಮುಂದೆ ಒಂದು ಮೈನಸ್ ಇದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಅಥವಾ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು:

1. ಜೊತೆಗೆ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ನೀಡುತ್ತದೆ;
2. ಎರಡು ನಿರಾಕರಣೆಗಳು ದೃಢೀಕರಣವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತವೆ.

ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಅಗತ್ಯವಾದಾಗ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವಾಗ ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವಾಗ ಮಾತ್ರ ಈ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ, ಹಲವಾರು ಅನಾನುಕೂಲಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ "ಸುಡುವ" ಸಲುವಾಗಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು:

1. ಅವರು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವವರೆಗೆ ನಾವು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ನಿರಾಕರಣೆಗಳನ್ನು ದಾಟುತ್ತೇವೆ. ವಿಪರೀತ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಮೈನಸ್ ಬದುಕಬಲ್ಲದು - ಯಾವ ಸಂಗಾತಿಯೂ ಇರಲಿಲ್ಲ;
2. ಯಾವುದೇ ಮೈನಸಸ್ ಉಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ - ನೀವು ಗುಣಿಸುವುದನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬಹುದು. ಕೊನೆಯ ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು ದಾಟದಿದ್ದರೆ ಅದಕ್ಕೆ ಜೋಡಿ ಇಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಗುಣಾಕಾರದ ಮಿತಿಯಿಂದ ಹೊರಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಭಾಗವಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಅಸಮರ್ಪಕವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ ಮೈನಸಸ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಉಳಿದಿರುವದನ್ನು ನಾವು ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮುಂದೆ ಕಂಡುಬರುವ ಮೈನಸ್ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ (ಇದು ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ) ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಹ ಗಮನ ಕೊಡಿ: ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಅವುಗಳನ್ನು ಆವರಣಗಳಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಣಾಕಾರ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದ ಮೈನಸಸ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಮಾಡಲು ಇದನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಫ್ಲೈನಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು

ಗುಣಾಕಾರವು ಬಹಳ ಶ್ರಮದಾಯಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು, ನೀವು ಭಾಗವನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬಹುದು ಗುಣಾಕಾರ ಮೊದಲು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಛೇದಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮೂಲ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಎಲ್ಲಾ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ಕಡಿಮೆಯಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವವುಗಳನ್ನು ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ.

ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ಮೊದಲ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಗುಣಕಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಘಟಕಗಳು ಉಳಿದಿವೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬರೆಯಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಎರಡನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಡಿತವನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವು ಇನ್ನೂ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವಾಗ ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವಾಗ ಈ ತಂತ್ರವನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಬಳಸಬೇಡಿ! ಹೌದು, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನೀವು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಬಯಸುವ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಇಲ್ಲಿ, ನೋಡಿ:

ನೀವು ಅದನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ!

ದೋಷ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಸೇರಿಸುವಾಗ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶವು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಲ್ಲ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮೂಲ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಆಸ್ತಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಕಾರಣಗಳಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹಿಂದಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸರಿಯಾದ ಪರಿಹಾರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಸರಿಯಾದ ಪರಿಹಾರ:

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವು ತುಂಬಾ ಸುಂದರವಾಗಿಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಜಾಗರೂಕರಾಗಿರಿ.

ಮಧ್ಯಮ ಮತ್ತು ಪ್ರೌಢಶಾಲಾ ಕೋರ್ಸ್‌ಗಳಲ್ಲಿ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು "ವಿಭಾಗಗಳು" ಎಂಬ ವಿಷಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಕಲಿಕೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದದ್ದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವಿಸ್ತಾರವಾಗಿದೆ. ಇಂದು, ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ಬಾರಿ ಎದುರಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಯಾವುದೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು.

ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಎಂದರೇನು?

ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ, ಭಾಗಶಃ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಳೆಯುವ ಅಗತ್ಯದಿಂದ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿವೆ. ಅಭ್ಯಾಸ ಪ್ರದರ್ಶನಗಳಂತೆ, ಒಂದು ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಆಯತಾಕಾರದ ಆಯತದ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ.

ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪಾಲು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಕಲ್ಲಂಗಡಿ ಹಣ್ಣನ್ನು 8 ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿದರೆ, ಪ್ರತಿ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಕಲ್ಲಂಗಡಿಯ ಎಂಟನೇ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾನೆ. ಎಂಟರಲ್ಲಿ ಈ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಪಾಲು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯದ ½ ಗೆ ಸಮನಾದ ಪಾಲನ್ನು ಅರ್ಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ⅓ - ಮೂರನೇ; ¼ - ಕಾಲು. 5/8, 4/5, 2/4 ರೂಪದ ದಾಖಲೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗವನ್ನು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಷನ್ ಬಾರ್ ಅಥವಾ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಷನ್ ಬಾರ್ ಇದೆ. ಭಾಗಶಃ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸಮತಲ ಅಥವಾ ಓರೆಯಾದ ರೇಖೆಯಾಗಿ ಎಳೆಯಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದು ವಿಭಜನೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಛೇದವು ಪ್ರಮಾಣ ಅಥವಾ ವಸ್ತುವನ್ನು ಎಷ್ಟು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ; ಮತ್ತು ಎಷ್ಟು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಷೇರುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಅಂಶವನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ, ಛೇದವನ್ನು ಅದರ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕಿರಣದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಒಂದೇ ವಿಭಾಗವನ್ನು 4 ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿದರೆ, ಪ್ರತಿ ಭಾಗವನ್ನು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ದೃಶ್ಯ ಸಹಾಯವಾಗಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪಾಯಿಂಟ್ A ಸಂಪೂರ್ಣ ಯೂನಿಟ್ ವಿಭಾಗದ 1/4 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಪಾಲನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ B ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗದ 2/8 ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ವಿಧಗಳು

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ, ದಶಮಾಂಶ ಮತ್ತು ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾದ ಮತ್ತು ಅನುಚಿತವಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಈ ವರ್ಗೀಕರಣವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ಸರಿಯಾದ ಭಾಗವು ಅದರ ಛೇದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಾಗವು ಅದರ ಛೇದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಎರಡನೆಯ ವಿಧವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಭಾಗವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 1½. 1 ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಭಾಗವಾಗಿದೆ, ½ ಒಂದು ಭಾಗಶಃ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೀವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ಕುಶಲತೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಬೇಕಾದರೆ (ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸುವುದು ಅಥವಾ ಗುಣಿಸುವುದು, ಅವುಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು ಅಥವಾ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು), ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಾಗವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸರಿಯಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತಪ್ಪಾದದ್ದು ಯಾವಾಗಲೂ 1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ನಾವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ದಾಖಲೆಯನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಭಾಗಶಃ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಛೇದವನ್ನು ಹಲವಾರು ಸೊನ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದರಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಭಾಗವು ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ದಶಮಾಂಶ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿನ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಭಾಗವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವನ್ನು ಬರೆಯಲು, ನೀವು ಮೊದಲು ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗವನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕು, ಅಲ್ಪವಿರಾಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಬರೆಯಬೇಕು. ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ ಅಂಶವು ಛೇದದಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆಗಳಿರುವಂತೆಯೇ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಡಿಜಿಟಲ್ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಎಂದು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ. 7 21 / 1000 ಭಾಗವನ್ನು ದಶಮಾಂಶ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ.

ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಾಗವನ್ನು ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಾಗವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:

• ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಛೇದದಿಂದ ಅಂಶವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ;
• ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಅಪೂರ್ಣ ಅಂಶವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ;
• ಮತ್ತು ಶೇಷವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಭಾಗದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಛೇದವು ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಾಗವನ್ನು ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ: 47/5.

ಪರಿಹಾರ. 47: 5. ಭಾಗಶಃ ಅಂಶವು 9, ಶೇಷ = 2. ಆದ್ದರಿಂದ, 47 / 5 = 9 2 / 5.

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನೀವು ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ:

• ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಭಾಗವನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಛೇದದಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ;
• ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ;
• ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ, ಛೇದವು ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮಿಶ್ರ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿ: 9 8/10.

ಪರಿಹಾರ. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 ಎಂಬುದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ: 98 / 10.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು

ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲು, ನೀವು ಅಂಶವನ್ನು ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಬೇಕು. ಇದಲ್ಲದೆ, ವಿಭಿನ್ನ ಛೇದಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು ಒಂದೇ ಛೇದಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ನಂತರ ನೀವು ಭಾಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದು ಅತ್ಯಗತ್ಯ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಉತ್ತರದಲ್ಲಿನ ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಾಗವು ದೋಷ ಎಂದು ಹೇಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ ಎಂದು ಕರೆಯುವುದು ಸಹ ಕಷ್ಟ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: ½ ಮತ್ತು 20/18.

ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ, ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ನಂತರ, ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಭಾಗಶಃ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದ ಎರಡನ್ನೂ 4 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವು ಉತ್ತರ 5/9 ಆಗಿದೆ.

ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು

ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅದರ ತತ್ವದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

• ಎರಡು ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಒಂದರ ಕೆಳಗೆ ಒಂದರ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಬೇಕು ಆದ್ದರಿಂದ ಬಲಭಾಗದ ಅಂಕೆಗಳು ಒಂದರ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿರುತ್ತವೆ;
• ಅಲ್ಪವಿರಾಮಗಳ ಹೊರತಾಗಿಯೂ ನೀವು ಲಿಖಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ;
• ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ ಅಂಕೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸಿ;
• ಗುಣಾಕಾರದ ನಂತರ ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶದಲ್ಲಿ, ನೀವು ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ ಎರಡೂ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅನೇಕ ಡಿಜಿಟಲ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಲದಿಂದ ಎಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹಾಕಬೇಕು;
• ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿದ್ದರೆ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸರಿದೂಗಿಸಲು ನೀವು ಅವುಗಳ ಮುಂದೆ ಅನೇಕ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕು, ಅಲ್ಪವಿರಾಮವನ್ನು ಹಾಕಿ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿ ಸೇರಿಸಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ. ಎರಡು ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ: 2.25 ಮತ್ತು 3.6.

ಪರಿಹಾರ.

ಮಿಶ್ರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು

ಎರಡು ಮಿಶ್ರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲು ನೀವು ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ:

• ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ;
• ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ;
• ಛೇದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ;
• ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ;
• ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ. 4½ ಮತ್ತು 6 2/5 ರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು (ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು)

ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಮತ್ತು ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದರ ಜೊತೆಗೆ, ನೀವು ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಾದ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:

• ಭಾಗದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಇದರಿಂದ ಬಲಭಾಗದ ಅಂಕೆಗಳು ಒಂದರ ಮೇಲೊಂದು ಇರುತ್ತವೆ;
• ಅಲ್ಪವಿರಾಮದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ;
• ಫಲಿತಾಂಶದಲ್ಲಿ, ಅಲ್ಪವಿರಾಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಭಾಗವನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಭಾಗದಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಲ್ಲಿನ ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ ಇರುವ ಅಂಕೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಲದಿಂದ ಎಣಿಸಿ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗವನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಲು, ನೀವು ಅಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಅಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಉತ್ತರವು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಭಾಗವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಿದರೆ, ಅದನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ. 5/8 ಮತ್ತು 12 ರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಪರಿಹಾರ. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

ಉತ್ತರ: 7 1 / 2.

ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು ಮತ್ತು ತಪ್ಪಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿತ್ತು.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಗುಣಾಕಾರವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮಿಶ್ರ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಈ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲು, ನೀವು ಮಿಶ್ರ ಅಂಶದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗವನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು, ಅಂಶವನ್ನು ಅದೇ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಬಿಡಬೇಕು. ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಸರಳಗೊಳಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. 9 5 / 6 ಮತ್ತು 9 ರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

ಉತ್ತರ: 88 1 / 2.

10, 100, 1000 ಅಥವಾ 0.1 ಅಂಶಗಳಿಂದ ಗುಣಾಕಾರ; 0.01; 0.001

ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮವು ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವನ್ನು 10, 100, 1000, 10000, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಲು, ನೀವು ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವನ್ನು ಒಂದರ ನಂತರದ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆಗಳಿರುವಷ್ಟು ಅಂಕೆಗಳಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಚಲಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1. 0.065 ಮತ್ತು 1000 ರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ. 0.065 x 1000 = 0065 = 65.

ಉತ್ತರ: 65.

ಉದಾಹರಣೆ 2. 3.9 ಮತ್ತು 1000 ರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ. 3.9 x 1000 = 3.900 x 1000 = 3900.

ಉತ್ತರ: 3900.

ನೀವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು 0.1 ಅನ್ನು ಗುಣಿಸಬೇಕಾದರೆ; 0.01; 0.001; 0.0001, ಇತ್ಯಾದಿ., ಫಲಿತಾಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿನ ಅಲ್ಪವಿರಾಮವನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಮೊದಲು ಸೊನ್ನೆಗಳಿರುವಷ್ಟು ಅಂಕೆಗಳ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸರಿಸಬೇಕು. ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೊದಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1. 56 ಮತ್ತು 0.01 ರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ. 56 x 0.01 = 0056 = 0.56.

ಉತ್ತರ: 0,56.

ಉದಾಹರಣೆ 2. 4 ಮತ್ತು 0.001 ರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ. 4 x 0.001 = 0004 = 0.004.

ಉತ್ತರ: 0,004.

ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಭಿನ್ನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಯಾವುದೇ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಬಾರದು, ಬಹುಶಃ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ; ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಇಲ್ಲದೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

§ 87. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಅನೇಕ ಸಾಮ್ಯತೆಗಳಿವೆ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯು ಹಲವಾರು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು (ನಿಯಮಗಳು) ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ (ಮೊತ್ತ) ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಘಟಕಗಳು ಮತ್ತು ಪದಗಳ ಘಟಕಗಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಮೂರು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ:

1. ರೀತಿಯ ಛೇದಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ.
2. ವಿಭಿನ್ನ ಛೇದಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ.
3. ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ.

1. ರೀತಿಯ ಛೇದಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ.

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: 1/5 + 2/5.

AB ವಿಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ (ಚಿತ್ರ 17), ಅದನ್ನು ಒಂದಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದನ್ನು 5 ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿ, ನಂತರ ಈ ವಿಭಾಗದ AC ಭಾಗವು AB ಯ 1/5 ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ವಿಭಾಗದ CD ಯ ಭಾಗವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ 2/5 ಎಬಿ.

ನಾವು ಸೆಗ್ಮೆಂಟ್ AD ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಅದು 3/5 AB ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ; ಆದರೆ AD ವಿಭಾಗವು ನಿಖರವಾಗಿ AC ಮತ್ತು CD ವಿಭಾಗಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

ಈ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಮೊತ್ತದ ಅಂಶವನ್ನು ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ಇದರಿಂದ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ಒಂದೇ ಛೇದಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು, ನೀವು ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದೇ ಛೇದವನ್ನು ಬಿಡಬೇಕು.

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:

2. ವಿಭಿನ್ನ ಛೇದಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ: 3 / 4 + 3 / 8 ಮೊದಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ:

ಮಧ್ಯಂತರ ಲಿಂಕ್ 6/8 + 3/8 ಬರೆಯಲಾಗಲಿಲ್ಲ; ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಬರೆದಿದ್ದೇವೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ವಿಭಿನ್ನ ಛೇದಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು, ನೀವು ಮೊದಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸಬೇಕು, ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವನ್ನು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಬೇಕು.

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ (ನಾವು ಅನುಗುಣವಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ):

3. ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ: 2 3/8 + 3 5/6.

ನಾವು ಮೊದಲು ನಮ್ಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಭಾಗಶಃ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತರೋಣ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಮತ್ತೆ ಬರೆಯೋಣ:

ಈಗ ನಾವು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ:

§ 88. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ವ್ಯವಕಲನ.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವುದನ್ನು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಎರಡು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಇನ್ನೊಂದು ಪದವು ಕಂಡುಬರುವ ಸಹಾಯದಿಂದ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮೂರು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

1. ಸಮಾನ ಛೇದಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು.
2. ವಿಭಿನ್ನ ಛೇದಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು.
3. ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯವಕಲನ.

1. ಸಮಾನ ಛೇದಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು.

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:

13 / 15 - 4 / 15

AB ವಿಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ (ಚಿತ್ರ 18), ಅದನ್ನು ಒಂದು ಘಟಕವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದನ್ನು 15 ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿ; ನಂತರ ಈ ವಿಭಾಗದ AC ಭಾಗವು 1/15 AB ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ವಿಭಾಗದ AD ಭಾಗವು 13/15 AB ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. 4/15 AB ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಭಾಗ ED ಅನ್ನು ನಾವು ಪಕ್ಕಕ್ಕೆ ಇಡೋಣ.

ನಾವು 13/15 ರಿಂದ 4/15 ಭಾಗವನ್ನು ಕಳೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ. ಡ್ರಾಯಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ, ಸೆಗ್ಮೆಂಟ್ ED ಅನ್ನು ಸೆಗ್ಮೆಂಟ್ AD ಯಿಂದ ಕಳೆಯಬೇಕು ಎಂದರ್ಥ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸೆಗ್ಮೆಂಟ್ AE ಉಳಿಯುತ್ತದೆ, ಇದು AB ವಿಭಾಗದ 9/15 ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು:

ನಾವು ಮಾಡಿದ ಉದಾಹರಣೆಯು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಂಶವನ್ನು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಛೇದವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಛೇದದಂತಹ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಳೆಯಲು, ನೀವು ಮಿನುಎಂಡ್‌ನ ಅಂಶದಿಂದ ಸಬ್‌ಟ್ರಾಹೆಂಡ್‌ನ ಅಂಶವನ್ನು ಕಳೆಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದೇ ಛೇದವನ್ನು ಬಿಡಬೇಕು.

2. ವಿಭಿನ್ನ ಛೇದಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು.

ಉದಾಹರಣೆ. 3/4 - 5/8

ಮೊದಲಿಗೆ, ಈ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡೋಣ:

ಮಧ್ಯಂತರ 6 / 8 - 5 / 8 ಅನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ ಇಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ನಂತರ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು.

ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಿಂದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಕಳೆಯಲು, ನೀವು ಮೊದಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸಬೇಕು, ನಂತರ ಮಿನುಎಂಡ್‌ನ ಅಂಶದಿಂದ ಮೈನ್ಯಾಂಡ್‌ನ ಅಂಶವನ್ನು ಕಳೆಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ಸಹಿ ಮಾಡಬೇಕು.

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:

3. ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯವಕಲನ.

ಉದಾಹರಣೆ. 10 3/4 - 7 2/3.

ನಾವು minuend ನ ಭಾಗಶಃ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ subtrahend ಮಾಡೋಣ:

ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣದಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಿಂದ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆದರೆ ಸಬ್‌ಟ್ರಾಹೆಂಡ್‌ನ ಭಾಗಶಃ ಭಾಗವು ಮೈನಂಡ್‌ನ ಭಾಗಶಃ ಭಾಗಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ ಪ್ರಕರಣಗಳಿವೆ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನೀವು ಮಿನುಯೆಂಡ್‌ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗದಿಂದ ಒಂದು ಘಟಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಭಾಗಶಃ ಭಾಗವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ಅದನ್ನು ವಿಭಜಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಮೈನ್ಯುಂಡ್‌ನ ಭಾಗಶಃ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಬೇಕು. ತದನಂತರ ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಂತೆಯೇ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

§ 89. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಗುಣಾಕಾರ.

ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ:

1. ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು.
2. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.
3. ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು.
4. ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಿಂದ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು.
5. ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರ.
6. ಆಸಕ್ತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ.
7. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶೇಕಡಾವಾರು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಅವುಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

1. ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು.

ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಂತೆಯೇ ಅದೇ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ (ಅಂಶ) ದಿಂದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು (ಗುಣಿತ) ಗುಣಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ರಚಿಸುವುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಪದವು ಗುಣಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಗುಣಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಇದರರ್ಥ ನೀವು 1/9 ಅನ್ನು 7 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಾದರೆ, ಅದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಮಾಡಬಹುದು:

ಅದೇ ಛೇದಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಿರುವುದರಿಂದ ನಾವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ,

ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಪರಿಗಣನೆಯು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು ಈ ಭಾಗವನ್ನು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಘಟಕಗಳಿರುವಷ್ಟು ಬಾರಿ ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದರಿಂದ ಅದರ ಅಂಶವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಅಥವಾ ಅದರ ಛೇದವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ , ನಂತರ ನಾವು ಅಂಶವನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಛೇದವನ್ನು ಅದರ ಮೂಲಕ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ಅಂತಹ ವಿಭಜನೆ ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ.

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ನಿಯಮವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಲು, ನೀವು ಆ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಅಂಶವನ್ನು ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಹಾಗೆಯೇ ಬಿಡಿ, ಅಥವಾ ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಛೇದವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ, ಅಂಶವನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಬಿಡಿ.

ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಸಂಕ್ಷೇಪಣಗಳು ಸಾಧ್ಯ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

2. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಗವನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಅಥವಾ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕಾದ ಹಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಇತರರ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಅವು ಕೆಲವು ವಸ್ತುಗಳ ಅಥವಾ ಅಳತೆಯ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ಅದನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭಾಗದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಅನುಕೂಲವಾಗುವಂತೆ, ನಾವು ಮೊದಲು ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಕಾರ್ಯ 1.ನಾನು 60 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೆ; ನಾನು ಈ ಹಣದ 1/3 ಭಾಗವನ್ನು ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಖರೀದಿಸಲು ಖರ್ಚು ಮಾಡಿದ್ದೇನೆ. ಪುಸ್ತಕಗಳ ಬೆಲೆ ಎಷ್ಟು?

ಕಾರ್ಯ 2.ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ನಗರಗಳ ನಡುವೆ ರೈಲು 300 ಕಿ.ಮೀ ದೂರವನ್ನು ಕ್ರಮಿಸಬೇಕು. ಅವರು ಈಗಾಗಲೇ ಈ ದೂರದ 2/3 ಅನ್ನು ಕ್ರಮಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಇದು ಎಷ್ಟು ಕಿಲೋಮೀಟರ್?

ಕಾರ್ಯ 3.ಗ್ರಾಮದಲ್ಲಿ 400 ಮನೆಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ 3/4 ಇಟ್ಟಿಗೆ, ಉಳಿದವು ಮರದವು. ಒಟ್ಟು ಎಷ್ಟು ಇಟ್ಟಿಗೆ ಮನೆಗಳಿವೆ?

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಗವನ್ನು ಹುಡುಕಲು ನಾವು ಎದುರಿಸುವ ಹಲವಾರು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಇವು ಕೆಲವು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರ 1. 60 ರಬ್ನಿಂದ. ನಾನು ಪುಸ್ತಕಗಳಿಗಾಗಿ 1/3 ಖರ್ಚು ಮಾಡಿದೆ; ಇದರರ್ಥ ಪುಸ್ತಕಗಳ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೀವು 60 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕು:

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು 2.ಸಮಸ್ಯೆಯ ಅಂಶವೆಂದರೆ ನೀವು 300 ಕಿಮೀಗಳಲ್ಲಿ 2/3 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಮೊದಲು 300 ರಲ್ಲಿ 1/3 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ; 300 ಕಿಮೀಗಳನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

300: 3 = 100 (ಅದು 300 ರಲ್ಲಿ 1/3).

300 ರ ಮೂರನೇ ಎರಡರಷ್ಟು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಂಶವನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಬೇಕು, ಅಂದರೆ, 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ:

100 x 2 = 200 (ಅದು 300 ರಲ್ಲಿ 2/3).

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು 3.ಇಲ್ಲಿ ನೀವು 400 ರಲ್ಲಿ 3/4 ರಷ್ಟಿರುವ ಇಟ್ಟಿಗೆ ಮನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು. ಮೊದಲು 400 ರಲ್ಲಿ 1/4 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ,

400: 4 = 100 (ಅದು 400 ರಲ್ಲಿ 1/4).

400 ರ ಮುಕ್ಕಾಲು ಭಾಗವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಂಶವನ್ನು ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು, ಅಂದರೆ 3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು:

100 x 3 = 300 (ಅದು 400 ರಲ್ಲಿ 3/4).

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು:

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಂಶವನ್ನು ಅದರ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು.

3. ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು.

ಹಿಂದಿನ (§ 26) ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಒಂದೇ ಪದಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ (ಪಾಯಿಂಟ್ 1) ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಈ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಒಂದೇ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದರ್ಥ.

ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಗುಣಾಕಾರವು ಒಂದೇ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.

ಈಗ ನಾವು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಗುಣಿಸಲು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗುಣಾಕಾರ: 9 2/3. ಗುಣಾಕಾರದ ಹಿಂದಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಈ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಸಮಾನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಅಂತಹ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಈ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ನಾವು ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಹೊಸ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ ಏನನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಈ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಿ.

ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಅರ್ಥವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ: ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು (ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕ್ಯಾಂಡ್) ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ (ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕಾಂಡ್) ಗುಣಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಗುಣಾಕಾರದ ಈ ಭಾಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

ಅವುಗಳೆಂದರೆ, 9 ರಿಂದ 2/3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಒಂಬತ್ತು ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ 2/3 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು 6 ರೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭ.

ಆದರೆ ಈಗ ಒಂದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಮತ್ತು ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: ಸಮಾನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮುಂತಾದ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅದೇ ಪದ "ಗುಣಾಕಾರ" ಎಂದು ಏಕೆ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?

ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಹಿಂದಿನ ಕ್ರಿಯೆ (ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದು) ಮತ್ತು ಹೊಸ ಕ್ರಿಯೆ (ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು) ಏಕರೂಪದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಏಕರೂಪದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಪರಿಗಣನೆಯಿಂದ ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ ಎಂದರ್ಥ.

ಇದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: “1 ಮೀ ಬಟ್ಟೆಯ ಬೆಲೆ 50 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳು. ಅಂತಹ 4 ಮೀ ಬಟ್ಟೆಯ ಬೆಲೆ ಎಷ್ಟು?

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಮೀಟರ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (4), ಅಂದರೆ 50 x 4 = 200 (ರೂಬಲ್ಸ್) ಮೂಲಕ ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು (50) ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಅದೇ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಆದರೆ ಅದರಲ್ಲಿ ಬಟ್ಟೆಯ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: “1 ಮೀ ಬಟ್ಟೆಯ ಬೆಲೆ 50 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳು. ಅಂತಹ 3/4 ಮೀ ಬಟ್ಟೆಯ ಬೆಲೆ ಎಷ್ಟು?"

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸಹ ಮೀಟರ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ (3/4) ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (50) ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ ನೀವು ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 9/10 ಮೀ ಅಥವಾ 2 3/10 ಮೀ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಒಂದೇ ವಿಷಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸುವ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಒಂದೇ ಪದ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ - ಗುಣಾಕಾರ.

ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಹೇಗೆ ಗುಣಿಸುವುದು?

ಕೊನೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಎದುರಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು 50 ರಲ್ಲಿ 3/4 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಮೊದಲು 50 ರಲ್ಲಿ 1/4 ಮತ್ತು ನಂತರ 3/4 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

50 ರಲ್ಲಿ 1/4 50/4 ಆಗಿದೆ;

50 ರ ಸಂಖ್ಯೆ 3/4 ಆಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ.

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: 12 5/8 =?

12 ರ ಸಂಖ್ಯೆ 1/8 12/8,

12 ರ ಸಂಖ್ಯೆ 5/8 ಆಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ,

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ನಿಯಮವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗುಣಿಸಲು, ನೀವು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಈ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅಂಶವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಬೇಕು ಮತ್ತು ಈ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದವನ್ನು ಛೇದವಾಗಿ ಸಹಿ ಮಾಡಬೇಕು.

ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು, ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಅಂಶವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, § 38 ರಲ್ಲಿ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾದ ಒಂದು ಅಂಶದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮದೊಂದಿಗೆ ಕಂಡುಬರುವ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೋಲಿಸುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮೊದಲು, ನೀವು (ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ) ಮಾಡಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ. ಕಡಿತಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

4. ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಿಂದ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು.ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಿಂದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಂತೆಯೇ ಅದೇ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನೀವು ಮೊದಲ ಭಾಗದಿಂದ (ಗುಣಾಕಾರ) ಅಂಶದಲ್ಲಿರುವ ಭಾಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಅವುಗಳೆಂದರೆ, 3/4 ಅನ್ನು 1/2 (ಅರ್ಧ) ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು ಎಂದರೆ 3/4 ರ ಅರ್ಧವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು ಹೇಗೆ?

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ: 3/4 ಅನ್ನು 5/7 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. ಇದರರ್ಥ ನೀವು 3/4 ರಲ್ಲಿ 5/7 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಮೊದಲು 3/4 ರಲ್ಲಿ 1/7 ಮತ್ತು ನಂತರ 5/7 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ

3/4 ಸಂಖ್ಯೆಯ 1/7 ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

5/7 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 3/4 ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಹೀಗಾಗಿ,

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ: 5/8 ಅನ್ನು 4/9 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

5/8 ರಲ್ಲಿ 1/9 ಆಗಿದೆ,

5/8 ಸಂಖ್ಯೆಯ 4/9 ಆಗಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ,

ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಬಹುದು:

ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಗುಣಿಸಲು, ನೀವು ಅಂಶವನ್ನು ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಛೇದದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅಂಶವಾಗಿ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನದ ಛೇದವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಬೇಕು.

ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಗುಣಿಸುವಾಗ, (ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ) ಕಡಿತವನ್ನು ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ:

5. ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರ.ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವಾಗ ಈ ಸಂದರ್ಭವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಗುಣಕ, ಅಥವಾ ಗುಣಕ, ಅಥವಾ ಎರಡೂ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಗುಣಿಸೋಣ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು: 2 1/2 ಮತ್ತು 3 1/5. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಾಗವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ ಮತ್ತು ನಂತರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸೋಣ:

ನಿಯಮ.ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲು, ನೀವು ಮೊದಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಅವುಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಬೇಕು.

ಸೂಚನೆ.ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿನ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮಾಡಬಹುದು:

6. ಆಸಕ್ತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ.ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಆದರೆ ಅನೇಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಅವರಿಗೆ ಯಾವುದೇ, ಆದರೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಭಜನೆಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ರೂಬಲ್‌ನ ನೂರನೇ (1/100) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅದು ಕೊಪೆಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಎರಡು ನೂರರಷ್ಟು 2 ಕೊಪೆಕ್‌ಗಳು, ಮೂರು ನೂರನೇ 3 ಕೊಪೆಕ್‌ಗಳು. ನೀವು ರೂಬಲ್ನ 1/10 ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅದು "10 ಕೊಪೆಕ್ಗಳು, ಅಥವಾ ಹತ್ತು-ಕೊಪೆಕ್ ತುಂಡುಗಳು. ನೀವು ರೂಬಲ್ನ ಕಾಲುಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅಂದರೆ 25 ಕೊಪೆಕ್ಗಳು, ಅರ್ಧ ರೂಬಲ್, ಅಂದರೆ 50 ಕೊಪೆಕ್ಗಳು ​​(ಐವತ್ತು ಕೊಪೆಕ್ಗಳು). ಅವರು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಅದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ರೂಬಲ್ನ 2/7 ಏಕೆಂದರೆ ರೂಬಲ್ ಅನ್ನು ಏಳನೇ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.

ತೂಕದ ಘಟಕ, ಅಂದರೆ ಕಿಲೋಗ್ರಾಂ, ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ದಶಮಾಂಶ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ 1/10 ಕೆಜಿ, ಅಥವಾ 100 ಗ್ರಾಂ. ಮತ್ತು 1/6, 1/11, 1/13 ನಂತಹ ಕಿಲೋಗ್ರಾಂನ ಅಂತಹ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಲ್ಲ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ನಮ್ಮ (ಮೆಟ್ರಿಕ್) ಅಳತೆಗಳು ದಶಮಾಂಶ ಮತ್ತು ದಶಮಾಂಶ ವಿಭಜನೆಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಉಪವಿಭಾಗದ ಒಂದೇ (ಏಕರೂಪದ) ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲು ವಿವಿಧ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಉಪಯುಕ್ತ ಮತ್ತು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಅಂತಹ ಸಮರ್ಥನೀಯ ವಿಭಾಗವು "ನೂರನೇ" ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹಲವು ವರ್ಷಗಳ ಅನುಭವವು ತೋರಿಸಿದೆ. ಮಾನವ ಅಭ್ಯಾಸದ ಅತ್ಯಂತ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

1. ಪುಸ್ತಕಗಳ ಬೆಲೆ ಹಿಂದಿನ ಬೆಲೆಗಿಂತ 12/100 ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಪುಸ್ತಕದ ಹಿಂದಿನ ಬೆಲೆ 10 ರೂಬಲ್ಸ್ ಆಗಿತ್ತು. ಇದು 1 ರೂಬಲ್ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. 20 ಕೊಪೆಕ್ಸ್

2. ಉಳಿತಾಯ ಬ್ಯಾಂಕುಗಳು ಠೇವಣಿದಾರರಿಗೆ ವರ್ಷದಲ್ಲಿ ಉಳಿತಾಯಕ್ಕಾಗಿ ಠೇವಣಿ ಮಾಡಿದ ಮೊತ್ತದ 2/100 ಅನ್ನು ಪಾವತಿಸುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. 500 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ನಗದು ರಿಜಿಸ್ಟರ್ನಲ್ಲಿ ಠೇವಣಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ವರ್ಷಕ್ಕೆ ಈ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಆದಾಯವು 10 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

3. ಒಂದು ಶಾಲೆಯಿಂದ ಪದವೀಧರರ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಟ್ಟು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ 5/100 ಆಗಿತ್ತು.

ಉದಾಹರಣೆ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಕೇವಲ 1,200 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿದ್ದು, ಅದರಲ್ಲಿ 60 ಮಂದಿ ಪದವಿ ಪಡೆದಿದ್ದಾರೆ.

ಸಂಖ್ಯೆಯ ನೂರನೇ ಭಾಗವನ್ನು ಶೇಕಡಾವಾರು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

"ಶೇಕಡಾ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಭಾಷೆಯಿಂದ ಎರವಲು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲ "ಸೆಂಟ್" ಎಂದರೆ ನೂರು. ಪೂರ್ವಭಾವಿ (ಪ್ರೊ ಸೆಂಟಮ್) ಜೊತೆಗೆ, ಈ ಪದವು "ನೂರಕ್ಕೆ" ಎಂದರ್ಥ. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಚೀನ ರೋಮ್ ಬಡ್ಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಲಗಾರನು ಸಾಲಗಾರನಿಗೆ "ಪ್ರತಿ ನೂರಕ್ಕೆ" ಪಾವತಿಸಿದ ಹಣಕ್ಕೆ ನೀಡಲಾದ ಹೆಸರಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. "ಸೆಂಟ್" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಅಂತಹ ಪರಿಚಿತ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಕೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ: ಸೆಂಟರ್ (ನೂರು ಕಿಲೋಗ್ರಾಂಗಳು), ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್ (ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್ ಎಂದು ಹೇಳಿ).

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಳೆದ ತಿಂಗಳಲ್ಲಿ ಸಸ್ಯವು ಉತ್ಪಾದಿಸಿದ ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಲ್ಲಿ 1/100 ದೋಷಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವ ಬದಲು, ನಾವು ಇದನ್ನು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ: ಕಳೆದ ತಿಂಗಳಲ್ಲಿ ಸಸ್ಯವು ಒಂದು ಶೇಕಡಾ ದೋಷಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಿದೆ. ಹೇಳುವ ಬದಲು: ಸಸ್ಯವು ಸ್ಥಾಪಿತ ಯೋಜನೆಗಿಂತ 4/100 ಹೆಚ್ಚಿನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಿದೆ, ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ: ಸಸ್ಯವು ಯೋಜನೆಯನ್ನು 4 ಪ್ರತಿಶತದಷ್ಟು ಮೀರಿದೆ.

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:

1. ಪುಸ್ತಕಗಳ ಬೆಲೆ ಹಿಂದಿನ ಬೆಲೆಗಿಂತ 12 ಪ್ರತಿಶತದಷ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ.

2. ಉಳಿತಾಯ ಬ್ಯಾಂಕ್‌ಗಳು ಠೇವಣಿದಾರರಿಗೆ ಉಳಿತಾಯದಲ್ಲಿ ಠೇವಣಿ ಮಾಡಿದ ಮೊತ್ತದ ಮೇಲೆ ವರ್ಷಕ್ಕೆ 2 ಪ್ರತಿಶತವನ್ನು ಪಾವತಿಸುತ್ತವೆ.

3. ಒಂದು ಶಾಲೆಯಿಂದ ಪದವೀಧರರ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಾ ಶಾಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಲ್ಲಿ 5 ಪ್ರತಿಶತ.

ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು, "ಶೇಕಡಾವಾರು" ಪದದ ಬದಲಿಗೆ % ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ವಾಡಿಕೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ % ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನೀವು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು; ಇದನ್ನು ಸಮಸ್ಯೆ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ, ಈ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬದಲಿಗೆ 100 ರ ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ.

100 ರ ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಐಕಾನ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ:

ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, 100 ರ ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಬದಲಿಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಬರೆಯಲು ನೀವು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು:

7. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶೇಕಡಾವಾರು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

ಕಾರ್ಯ 1.ಶಾಲೆಗೆ 200 ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಮೀಟರ್ ಬಂದಿತ್ತು. ಉರುವಲು ಮೀ, ಬರ್ಚ್ ಉರುವಲು ಜೊತೆ 30% ನಷ್ಟು. ಅಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಬರ್ಚ್ ಉರುವಲು ಇತ್ತು?

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಅರ್ಥವೇನೆಂದರೆ, ಬರ್ಚ್ ಉರುವಲು ಶಾಲೆಗೆ ತಲುಪಿಸಿದ ಉರುವಲಿನ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಭಾಗವನ್ನು 30/100 ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು 200 ಅನ್ನು 30/100 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು (ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.).

ಇದರರ್ಥ 200 ರಲ್ಲಿ 30% 60 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಎದುರಾಗುವ ಭಾಗ 30/100 ಅನ್ನು 10 ರಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಈ ಕಡಿತವನ್ನು ಮೊದಲಿನಿಂದಲೂ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ; ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರವು ಬದಲಾಗುತ್ತಿರಲಿಲ್ಲ.

ಕಾರ್ಯ 2.ಶಿಬಿರದಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ವಯೋಮಾನದ 300 ಮಕ್ಕಳು ಪಾಲ್ಗೊಂಡಿದ್ದರು. 11 ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಿನ ಮಕ್ಕಳು 21%, 12 ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಿನ ಮಕ್ಕಳು 61% ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ 13 ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಿನ ಮಕ್ಕಳು 18% ರಷ್ಟಿದ್ದಾರೆ. ಶಿಬಿರದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ವಯಸ್ಸಿನ ಎಷ್ಟು ಮಕ್ಕಳು ಇದ್ದರು?

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಮೂರು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ 11 ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಿನ ಮಕ್ಕಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ನಂತರ 12 ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಿನವರು ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ 13 ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಿನವರು.

ಇದರರ್ಥ ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಗವನ್ನು ಮೂರು ಬಾರಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಅದನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

1) 11 ವರ್ಷದ ಎಷ್ಟು ಮಕ್ಕಳು ಇದ್ದರು?

2) 12 ವರ್ಷದ ಎಷ್ಟು ಮಕ್ಕಳು ಇದ್ದರು?

3) 13 ವರ್ಷದ ಎಷ್ಟು ಮಕ್ಕಳು ಇದ್ದರು?

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ, ಕಂಡುಬರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ; ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ 300 ಆಗಿರಬೇಕು:

63 + 183 + 54 = 300

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಶೇಕಡಾವಾರು ಮೊತ್ತವು 100 ಆಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ಗಮನಿಸಬೇಕು:

21% + 61% + 18% = 100%

ಶಿಬಿರದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ಮಕ್ಕಳನ್ನು 100% ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

3 a d a h a 3.ಕೆಲಸಗಾರನು ತಿಂಗಳಿಗೆ 1,200 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಪಡೆದನು. ಇದರಲ್ಲಿ, ಅವರು 65% ಆಹಾರಕ್ಕಾಗಿ, 6% ಅಪಾರ್ಟ್ಮೆಂಟ್ ಮತ್ತು ತಾಪನ, 4% ಅನಿಲ, ವಿದ್ಯುತ್ ಮತ್ತು ರೇಡಿಯೋ, 10% ಸಾಂಸ್ಕೃತಿಕ ಅಗತ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಮತ್ತು 15% ಉಳಿಸಿದರು. ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಅಗತ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಎಷ್ಟು ಹಣವನ್ನು ಖರ್ಚು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ?

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನೀವು 1,200 ರ ಭಾಗವನ್ನು 5 ಬಾರಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಇದನ್ನು ಮಾಡೋಣ.

1) ಆಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಎಷ್ಟು ಹಣವನ್ನು ಖರ್ಚು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ? ಸಮಸ್ಯೆಯು ಈ ವೆಚ್ಚವು ಒಟ್ಟು ಗಳಿಕೆಯ 65% ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ 1,200 ಸಂಖ್ಯೆಯ 65/100. ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

2) ತಾಪನದೊಂದಿಗೆ ಅಪಾರ್ಟ್ಮೆಂಟ್ಗೆ ನೀವು ಎಷ್ಟು ಹಣವನ್ನು ಪಾವತಿಸಿದ್ದೀರಿ? ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಹೋಲುವಂತೆ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ:

3) ಗ್ಯಾಸ್, ವಿದ್ಯುತ್ ಮತ್ತು ರೇಡಿಯೊಗೆ ನೀವು ಎಷ್ಟು ಹಣವನ್ನು ಪಾವತಿಸಿದ್ದೀರಿ?

4) ಸಾಂಸ್ಕೃತಿಕ ಅಗತ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಎಷ್ಟು ಹಣವನ್ನು ಖರ್ಚು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ?

5) ಕೆಲಸಗಾರನು ಎಷ್ಟು ಹಣವನ್ನು ಉಳಿಸಿದನು?

ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ಈ 5 ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಮೊತ್ತವು 1,200 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳಾಗಿರಬೇಕು. ಎಲ್ಲಾ ಗಳಿಕೆಗಳನ್ನು 100% ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಮಸ್ಯೆ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಶೇಕಡಾವಾರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಮೂರು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ವಿಷಯಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬ ವಾಸ್ತವದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ (ಶಾಲೆಗೆ ಉರುವಲು ವಿತರಣೆ, ವಿವಿಧ ವಯಸ್ಸಿನ ಮಕ್ಕಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಕಾರ್ಮಿಕರ ವೆಚ್ಚಗಳು), ಅವುಗಳನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಂಭವಿಸಿತು ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಹಲವಾರು ಪ್ರತಿಶತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ.

§ 90. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ವಿಭಾಗ.

ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ:

1. ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.
2. ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು
3. ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಭಾಗದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು.
4. ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು.
5. ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಭಾಗ.
6. ಅದರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭಾಗದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.
7. ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದರ ಶೇಕಡಾವಾರು ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

ಅವುಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

1. ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಿದಂತೆ, ವಿಭಜನೆಯು ಎರಡು ಅಂಶಗಳ (ಲಾಭಾಂಶ) ಮತ್ತು ಈ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು (ಭಾಜಕ) ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಇನ್ನೊಂದು ಅಂಶವು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ಅಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಭಜನೆಯ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸಿದ್ದೇವೆ: ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ ವಿಭಜನೆ, ಅಥವಾ "ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ" (150: 10 = 15), ಮತ್ತು ಶೇಷದೊಂದಿಗೆ ವಿಭಜನೆ (100: 9 = 11 ಮತ್ತು 1 ಉಳಿದ). ಆದ್ದರಿಂದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿಖರವಾದ ವಿಭಜನೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಲಾಭಾಂಶವು ಯಾವಾಗಲೂ ಪೂರ್ಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಜಕದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಿಂದ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ನಂತರ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು (ಶೂನ್ಯದಿಂದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊರತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ).

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 7 ರಿಂದ 12 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು ಎಂದರೆ 12 ರಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನವು 7 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದರ್ಥ. ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಭಿನ್ನರಾಶಿ 7 / 12 ಆಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ 7 / 12 12 = 7. ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ: 14: 25 = 14 / 25, ಏಕೆಂದರೆ 14 / 25 25 = 14.

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು, ನೀವು ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ರಚಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅದರ ಅಂಶವು ಲಾಭಾಂಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಭಾಜಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

2. ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು.

ಭಿನ್ನರಾಶಿ 6 / 7 ಅನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ. ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ವಿಭಜನೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನ (6 / 7) ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು (3) ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ; 3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ 6/7 ನೀಡುವ ಎರಡನೇ ಅಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಇದು ಈ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಿಂತ ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರಬೇಕು. ಇದರರ್ಥ 6/7 ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು 3 ಪಟ್ಟು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು ನಮ್ಮ ಮುಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಅದರ ಅಂಶವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ಅದರ ಛೇದವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ನಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಬರೆಯಬಹುದು:

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂಶ 6 ಅನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂಶವನ್ನು 3 ಬಾರಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬೇಕು.

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ: 5/8 ಅನ್ನು 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಅಂಶ 5 ಅನ್ನು 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಛೇದವನ್ನು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ:

ಇದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಒಂದು ನಿಯಮವನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು: ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು, ನೀವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶವನ್ನು ಆ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕು.(ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ), ಅದೇ ಛೇದವನ್ನು ಬಿಟ್ಟು, ಅಥವಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದವನ್ನು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಅದೇ ಅಂಶವನ್ನು ಬಿಟ್ಟು.

3. ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಭಾಗದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು.

5 ಅನ್ನು 1/2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ, 1/2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ನಂತರ, ಉತ್ಪನ್ನ 5 ಅನ್ನು ನೀಡುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು 5 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ 1/2 ಸರಿಯಾದ ಭಾಗವಾಗಿದೆ , ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗುಣಿಸುವಾಗ ಸರಿಯಾದ ಭಾಗದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಗುಣಿಸಿದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರಬೇಕು. ಇದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು, ನಮ್ಮ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯೋಣ: 5: 1 / 2 = X , ಅಂದರೆ x 1/2 = 5.

ನಾವು ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು X , ಇದು 1/2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, 5 ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 1/2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ 1/2 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದರ್ಥ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯ 1/2 X 5 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ X ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು, ಅಂದರೆ 5 2 = 10.

ಆದ್ದರಿಂದ 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ನೀವು 6 ಅನ್ನು 2/3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೀರಿ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬಯಸಿದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮೊದಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ (ಚಿತ್ರ 19).

ಚಿತ್ರ.19

ನಾವು 6 ಘಟಕಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ AB ವಿಭಾಗವನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಘಟಕವನ್ನು 3 ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸೋಣ. ಪ್ರತಿ ಘಟಕದಲ್ಲಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಭಾಗದ AB ಯ ಮೂರನೇ (3/3) ಭಾಗವು 6 ಪಟ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಇ. 18/3. ಸಣ್ಣ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು 2 ರ 18 ಫಲಿತಾಂಶದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತೇವೆ; 9 ವಿಭಾಗಗಳು ಮಾತ್ರ ಇರುತ್ತವೆ. ಇದರರ್ಥ 2/3 ಭಾಗವು 6 ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ 9 ಬಾರಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, 2/3 ಭಾಗವು 6 ಸಂಪೂರ್ಣ ಘಟಕಗಳಿಗಿಂತ 9 ಪಟ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ,

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖಾಚಿತ್ರವಿಲ್ಲದೆ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪಡೆಯುವುದು? ನಾವು ಈ ರೀತಿ ತರ್ಕಿಸೋಣ: ನಾವು 6 ಅನ್ನು 2/3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ 6 ರಲ್ಲಿ 2/3 ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ಇದೆ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ನಾವು ಉತ್ತರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಮೊದಲು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: 6 ರಲ್ಲಿ 1/3 ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ? ಇಡೀ ಘಟಕದಲ್ಲಿ 3 ಭಾಗಗಳು, ಮತ್ತು 6 ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ 6 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು, ಅಂದರೆ 18 ಭಾಗಗಳು; ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು 6 ರಿಂದ 3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು. ಇದರರ್ಥ 1/3 ಅನ್ನು b ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ 18 ಬಾರಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 2/3 ಅನ್ನು b ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ 18 ಬಾರಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಬಾರಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ 18: 2 = 9 ಆದ್ದರಿಂದ, 6 ಅನ್ನು 2/3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಾಗ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ:

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಭಾಗಿಸಲು, ನೀವು ಈ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭಾಗದ ಛೇದದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಈ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅಂಶವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭಾಗದ ಅಂಶದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿಯಮವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು, ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಅಂಶವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, § 38 ರಲ್ಲಿ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾದ ಒಂದು ಅಂಶದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಭಾಗಿಸುವ ನಿಯಮದೊಂದಿಗೆ ಕಂಡುಬರುವ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೋಲಿಸುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಅದೇ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ.

ವಿಭಜಿಸುವಾಗ, ಸಂಕ್ಷೇಪಣಗಳು ಸಾಧ್ಯ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

4. ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು.

ನಾವು 3/4 ಅನ್ನು 3/8 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ವಿಭಜನೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅರ್ಥವೇನು? 3/4 ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಲ್ಲಿ 3/8 ಭಾಗವು ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ಇದೆ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಇದು ಉತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ನಾವು ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಮಾಡೋಣ (ಚಿತ್ರ 20).

AB ವಿಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಅದನ್ನು ಒಂದಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದನ್ನು 4 ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿ ಮತ್ತು ಅಂತಹ 3 ಭಾಗಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ. ಸೆಗ್ಮೆಂಟ್ AC AB ಯ 3/4 ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈಗ ನಾವು ಪ್ರತಿ ನಾಲ್ಕು ಮೂಲ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಿಸೋಣ, ನಂತರ ವಿಭಾಗ AB ಅನ್ನು 8 ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಭಾಗವು AB ಯ 1/8 ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅಂತಹ 3 ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಆರ್ಕ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸೋಣ, ನಂತರ AD ಮತ್ತು DC ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಭಾಗಗಳು AB ವಿಭಾಗದ 3/8 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. 3/8 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ವಿಭಾಗವು 3/4 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ 2 ಬಾರಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ; ಇದರರ್ಥ ವಿಭಜನೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

3 / 4: 3 / 8 = 2

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ನಾವು 15/16 ಅನ್ನು 3/32 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ:

ನಾವು ಈ ರೀತಿ ತರ್ಕಿಸಬಹುದು: 3/32 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ನಂತರ 15/16 ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನೀಡುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯೋಣ:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 ಅಪರಿಚಿತ ಸಂಖ್ಯೆ X 15/16

ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯ 1/32 X ಇದೆ ,

32/32 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು X ಸೌಂದರ್ಯ ವರ್ಧಕ .

ಆದ್ದರಿಂದ,

ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಭಾಗಿಸಲು, ನೀವು ಮೊದಲ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶವನ್ನು ಎರಡನೆಯ ಛೇದದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಭಾಗದ ಛೇದವನ್ನು ಎರಡನೆಯ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅಂಶವಾಗಿಸಬೇಕು. ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಛೇದ.

ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿಯಮವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

ವಿಭಜಿಸುವಾಗ, ಸಂಕ್ಷೇಪಣಗಳು ಸಾಧ್ಯ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

5. ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಭಾಗ.

ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವಾಗ, ಅವುಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ವಿಂಗಡಿಸಬೇಕು. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ:

ಈಗ ಭಾಗಿಸೋಣ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸಲು, ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಭಾಗಿಸಬೇಕು.

6. ಅದರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭಾಗದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

ವಿವಿಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪೈಕಿ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೆಲವು ಭಾಗದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನೀವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಈ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯ ವಿಲೋಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೆಲವು ಭಾಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಗವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ವತಃ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಾವು ತಿರುಗಿದರೆ ಈ ಕಲ್ಪನೆಯು ಇನ್ನಷ್ಟು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ 1.ಮೊದಲ ದಿನದಲ್ಲಿ, ಗ್ಲೇಜಿಯರ್ಗಳು 50 ಕಿಟಕಿಗಳನ್ನು ಮೆರುಗುಗೊಳಿಸಿದರು, ಇದು ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಮನೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಕಿಟಕಿಗಳ 1/3 ಆಗಿದೆ. ಈ ಮನೆಯಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಕಿಟಕಿಗಳಿವೆ?

ಪರಿಹಾರ. 50 ಮೆರುಗುಗೊಳಿಸಲಾದ ಕಿಟಕಿಗಳು ಮನೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಕಿಟಕಿಗಳಲ್ಲಿ 1/3 ರಷ್ಟಿದೆ ಎಂದು ಸಮಸ್ಯೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಒಟ್ಟು 3 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು ಕಿಟಕಿಗಳಿವೆ, ಅಂದರೆ.

ಮನೆಗೆ 150 ಕಿಟಕಿಗಳಿದ್ದವು.

ಕಾರ್ಯ 2.ಅಂಗಡಿಯು 1,500 ಕೆಜಿ ಹಿಟ್ಟನ್ನು ಮಾರಾಟ ಮಾಡಿತು, ಇದು ಅಂಗಡಿಯಲ್ಲಿದ್ದ ಒಟ್ಟು ಹಿಟ್ಟಿನ 3/8 ಆಗಿದೆ. ಅಂಗಡಿಯ ಆರಂಭಿಕ ಹಿಟ್ಟಿನ ಪೂರೈಕೆ ಏನು?

ಪರಿಹಾರ.ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ ಮಾರಾಟವಾದ 1,500 ಕೆಜಿ ಹಿಟ್ಟು ಒಟ್ಟು ಸ್ಟಾಕ್‌ನ 3/8 ರಷ್ಟಿದೆ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ; ಇದರರ್ಥ ಈ ಮೀಸಲು 1/8 3 ಪಟ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನೀವು 1500 ಅನ್ನು 3 ಬಾರಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ:

1,500: 3 = 500 (ಇದು ಮೀಸಲು 1/8 ಆಗಿದೆ).

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಪೂರೈಕೆಯು 8 ಪಟ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ,

500 8 = 4,000 (ಕೆಜಿ).

ಅಂಗಡಿಯಲ್ಲಿನ ಆರಂಭಿಕ ದಾಸ್ತಾನು 4,000 ಕೆ.ಜಿ.

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಅದರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದದಿಂದ ಗುಣಿಸಲು ಸಾಕು.

ಅದರ ಭಾಗವನ್ನು ನೀಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ನಾವು ಎರಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಕೊನೆಯದರಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವಂತೆ, ಎರಡು ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ: ವಿಭಜನೆ (ಒಂದು ಭಾಗ ಕಂಡುಬಂದಾಗ) ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ (ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕಂಡುಬಂದಾಗ).

ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಕಲಿತ ನಂತರ, ಮೇಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳೆಂದರೆ: ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ವಿಭಜನೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೊನೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಈ ರೀತಿಯ ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು:

ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಭಾಗದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ - ವಿಭಾಗ.

7. ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದರ ಶೇಕಡಾವಾರು ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೆಲವು ಶೇಕಡಾವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಕಾರ್ಯ 1.ಈ ವರ್ಷದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ನಾನು ಉಳಿತಾಯ ಬ್ಯಾಂಕ್ನಿಂದ 60 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇನೆ. ಒಂದು ವರ್ಷದ ಹಿಂದೆ ನಾನು ಉಳಿತಾಯಕ್ಕೆ ಹಾಕಿದ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಆದಾಯ. ನಾನು ಉಳಿತಾಯ ಬ್ಯಾಂಕ್‌ನಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಹಣವನ್ನು ಹಾಕಿದ್ದೇನೆ? (ನಗದು ಮೇಜುಗಳು ಠೇವಣಿದಾರರಿಗೆ ವರ್ಷಕ್ಕೆ 2% ಲಾಭವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.)

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಅಂಶವೆಂದರೆ ನಾನು ಉಳಿತಾಯ ಬ್ಯಾಂಕ್‌ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹಾಕಿ ಒಂದು ವರ್ಷ ಅಲ್ಲಿಯೇ ಇದ್ದೆ. ಒಂದು ವರ್ಷದ ನಂತರ, ನಾನು ಅವಳಿಂದ 60 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡೆ. ಆದಾಯ, ಇದು ನಾನು ಠೇವಣಿ ಮಾಡಿದ ಹಣದ 2/100 ಆಗಿದೆ. ನಾನು ಎಷ್ಟು ಹಣವನ್ನು ಹಾಕಿದೆ?

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಈ ಹಣದ ಭಾಗವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು, ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ರೂಬಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ), ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ, ಇನ್ನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿಭಜನೆಯಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಇದರರ್ಥ 3,000 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಉಳಿತಾಯ ಬ್ಯಾಂಕ್ನಲ್ಲಿ ಠೇವಣಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ 2.ಮೀನುಗಾರರು ಮಾಸಿಕ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಎರಡು ವಾರಗಳಲ್ಲಿ 64% ರಷ್ಟು ಪೂರೈಸಿದರು, 512 ಟನ್ ಮೀನುಗಳನ್ನು ಕೊಯ್ಲು ಮಾಡಿದರು. ಅವರ ಯೋಜನೆ ಏನಾಗಿತ್ತು?

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ ಮೀನುಗಾರರು ಯೋಜನೆಯ ಭಾಗವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ಈ ಭಾಗವು 512 ಟನ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಯೋಜನೆಯ 64% ಆಗಿದೆ. ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಎಷ್ಟು ಟನ್ ಮೀನುಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸಬೇಕೆಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿಭಜನೆಯಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಅಂದರೆ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ 800 ಟನ್ ಮೀನನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಬೇಕು.

ಕಾರ್ಯ 3.ರೈಲು ರಿಗಾದಿಂದ ಮಾಸ್ಕೋಗೆ ಹೋಯಿತು. ಅವರು 276 ನೇ ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಅನ್ನು ಹಾದುಹೋದಾಗ, ಪ್ರಯಾಣಿಕರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ಹಾದುಹೋಗುವ ಕಂಡಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಅವರು ಈಗಾಗಲೇ ಎಷ್ಟು ಪ್ರಯಾಣವನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಕೇಳಿದರು. ಇದಕ್ಕೆ ಕಂಡಕ್ಟರ್ ಉತ್ತರಿಸಿದರು: "ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ರಯಾಣದ 30% ಅನ್ನು ಪೂರೈಸಿದ್ದೇವೆ." ರಿಗಾದಿಂದ ಮಾಸ್ಕೋಗೆ ದೂರ ಎಷ್ಟು?

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ ರಿಗಾದಿಂದ ಮಾಸ್ಕೋಗೆ 30% ಮಾರ್ಗವು 276 ಕಿಮೀ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಈ ನಗರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ಅಂದರೆ, ಈ ಭಾಗಕ್ಕೆ, ಸಂಪೂರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

§ 91. ಪರಸ್ಪರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು.

2/3 ಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ಛೇದದ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಅಂಶವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸೋಣ, ನಾವು 3/2 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಈ ಭಾಗದ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭಾಗದ ವಿಲೋಮವಾಗಿರುವ ಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನೀವು ಅದರ ಅಂಶವನ್ನು ಛೇದದ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಅಂಶದ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ನಾವು ಯಾವುದೇ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಪ್ರತಿರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

3/4, ಹಿಮ್ಮುಖ 4/3; 5/6, ಹಿಮ್ಮುಖ 6/5

ಮೊದಲನೆಯ ಅಂಶವು ಎರಡನೆಯ ಛೇದನ ಮತ್ತು ಮೊದಲನೆಯ ಛೇದವು ಎರಡನೆಯ ಅಂಶವಾಗಿರುವ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮ.

ಈಗ ಯಾವ ಭಾಗವು 1/2 ರ ಪರಸ್ಪರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಯೋಚಿಸೋಣ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಇದು 2 / 1, ಅಥವಾ ಕೇವಲ 2 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದರ ವಿಲೋಮ ಭಾಗವನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಮತ್ತು ಈ ಪ್ರಕರಣವು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿಲ್ಲ; ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, 1 (ಒಂದು) ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ, ಪರಸ್ಪರಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

1/3, ಹಿಮ್ಮುಖ 3; 1/5, ಹಿಮ್ಮುಖ 5

ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ನಾವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಹ ಎದುರಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಹೇಗೆ ಬರೆಯುವುದು ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ, ಇದನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು: ನೀವು ಅಂಶದ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಛೇದವನ್ನು ಇರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ನೀವು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕವು 1 ರ ಛೇದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ 7 ರ ವಿಲೋಮವು 1/7 ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ 7 = 7/1; 10 ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ವಿಲೋಮವು 1/10 ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ 10 = 10/1

ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು: ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಒಂದನ್ನು ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಸ್ಪರ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೂ ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು 5/9 ಭಾಗದ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕಾದರೆ, ನಾವು 1 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು 5/9 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ.

ಈಗ ಒಂದು ವಿಷಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ ಆಸ್ತಿಪರಸ್ಪರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಇದು ನಮಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ: ಪರಸ್ಪರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.ವಾಸ್ತವವಾಗಿ:

ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ನಾವು 8 ರ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎಂದು ಹೇಳೋಣ.

ಅದನ್ನು ಅಕ್ಷರದ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸೋಣ X , ನಂತರ 8 X = 1, ಆದ್ದರಿಂದ X = 1/8. 7/12 ರ ವಿಲೋಮವಾಗಿರುವ ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ X , ನಂತರ 7/12 X = 1, ಆದ್ದರಿಂದ X = 1: 7/12 ಅಥವಾ X = 12 / 7 .

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಪೂರೈಸಲು ನಾವು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ನಾವು 6 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 3/5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ವಿಶೇಷ ಗಮನ ಕೊಡಿ ಮತ್ತು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿ: .

ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಸಂಪರ್ಕವಿಲ್ಲದೆ ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಅದು ಎಲ್ಲಿಂದ ಬಂತು ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯ: 6 ರಿಂದ 3/5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದರಿಂದ ಅಥವಾ 6 ರಿಂದ 5/3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು. ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ವಿಷಯ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದನ್ನು ಡಿವಿಡೆಂಡ್ ಅನ್ನು ಭಾಜಕದ ವಿಲೋಮದಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು.

ನಾವು ಕೆಳಗೆ ನೀಡುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಈ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ದೃಢೀಕರಿಸುತ್ತವೆ.

ಅಕಿಲ್ಸ್ ಆಮೆಗಿಂತ ಹತ್ತು ಪಟ್ಟು ವೇಗವಾಗಿ ಓಡುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಹಿಂದೆ ಸಾವಿರ ಹೆಜ್ಜೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಈ ದೂರವನ್ನು ಓಡಲು ಅಕಿಲ್ಸ್ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಆಮೆ ಅದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನೂರು ಹೆಜ್ಜೆಗಳನ್ನು ತೆವಳುತ್ತದೆ. ಅಕಿಲ್ಸ್ ನೂರು ಹೆಜ್ಜೆ ಓಡಿದಾಗ, ಆಮೆ ಇನ್ನೂ ಹತ್ತು ಹೆಜ್ಜೆ ತೆವಳುತ್ತದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಅನಂತವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ, ಅಕಿಲ್ಸ್ ಎಂದಿಗೂ ಆಮೆಯನ್ನು ಹಿಡಿಯುವುದಿಲ್ಲ.

ಈ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯು ಎಲ್ಲಾ ನಂತರದ ಪೀಳಿಗೆಗೆ ತಾರ್ಕಿಕ ಆಘಾತವಾಯಿತು. ಅರಿಸ್ಟಾಟಲ್, ಡಯೋಜಿನೆಸ್, ಕಾಂಟ್, ಹೆಗೆಲ್, ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್... ಇವರೆಲ್ಲರೂ ಒಂದಲ್ಲ ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಝೆನೋನ ಅಪೋರಿಯಾವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದರು. ಆಘಾತವು ತುಂಬಾ ಪ್ರಬಲವಾಗಿತ್ತು " ... ಚರ್ಚೆಗಳು ಇಂದಿಗೂ ಮುಂದುವರೆದಿದೆ; ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಮುದಾಯವು ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳ ಸಾರದ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಭಿಪ್ರಾಯಕ್ಕೆ ಬರಲು ಇನ್ನೂ ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ ... ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಹೊಸ ಭೌತಿಕ ಮತ್ತು ತಾತ್ವಿಕ ವಿಧಾನಗಳು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿಸಿಕೊಂಡಿವೆ. ; ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೂ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಪರಿಹಾರವಾಗಲಿಲ್ಲ ..."[ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ, "ಝೆನೋಸ್ ಅಪೋರಿಯಾ". ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ತಾವು ಮೂರ್ಖರಾಗುತ್ತಿದ್ದಾರೆಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ವಂಚನೆಯು ಏನನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಯಾರೂ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ.

ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಝೆನೋ ತನ್ನ ಅಪೋರಿಯಾದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣದಿಂದ ವರೆಗಿನ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದನು. ಈ ಪರಿವರ್ತನೆಯು ಶಾಶ್ವತವಾದವುಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಾನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಂತೆ, ಮಾಪನದ ವೇರಿಯಬಲ್ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಗಣಿತದ ಉಪಕರಣವನ್ನು ಇನ್ನೂ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಅದನ್ನು ಝೆನೋ ಅಪೋರಿಯಾಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ನಮ್ಮ ಸಾಮಾನ್ಯ ತರ್ಕವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ನಮ್ಮನ್ನು ಬಲೆಗೆ ಕೊಂಡೊಯ್ಯುತ್ತದೆ. ನಾವು, ಚಿಂತನೆಯ ಜಡತ್ವದಿಂದಾಗಿ, ಪರಸ್ಪರ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಯದ ನಿರಂತರ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಭೌತಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಅಕಿಲ್ಸ್ ಆಮೆಯನ್ನು ಹಿಡಿಯುವ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿಲ್ಲುವವರೆಗೆ ಸಮಯ ನಿಧಾನವಾಗುತ್ತಿರುವಂತೆ ತೋರುತ್ತಿದೆ. ಸಮಯ ನಿಂತರೆ, ಅಕಿಲ್ಸ್ ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಆಮೆಯನ್ನು ಮೀರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ನಾವು ನಮ್ಮ ಸಾಮಾನ್ಯ ತರ್ಕವನ್ನು ತಿರುಗಿಸಿದರೆ, ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಬೀಳುತ್ತದೆ. ಅಕಿಲ್ಸ್ ಸ್ಥಿರ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಅವನ ಹಾದಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಂತರದ ವಿಭಾಗವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹತ್ತು ಪಟ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಅದನ್ನು ಜಯಿಸಲು ಕಳೆದ ಸಮಯವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹತ್ತು ಪಟ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು "ಅನಂತ" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ, "ಅಕಿಲ್ಸ್ ಆಮೆಯನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಹಿಡಿಯುತ್ತಾನೆ" ಎಂದು ಹೇಳುವುದು ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ತಾರ್ಕಿಕ ಬಲೆ ತಪ್ಪಿಸುವುದು ಹೇಗೆ? ಸಮಯದ ನಿರಂತರ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಘಟಕಗಳಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬೇಡಿ. ಝೆನೋ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಅಕಿಲ್ಸ್ ಸಾವಿರ ಹೆಜ್ಜೆಗಳನ್ನು ಓಡಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಆಮೆ ಅದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನೂರು ಹೆಜ್ಜೆಗಳನ್ನು ತೆವಳುತ್ತದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಮುಂದಿನ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ, ಅಕಿಲ್ಸ್ ಇನ್ನೂ ಸಾವಿರ ಹೆಜ್ಜೆಗಳನ್ನು ಓಡಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಆಮೆ ನೂರು ಹೆಜ್ಜೆಗಳನ್ನು ತೆವಳುತ್ತದೆ. ಈಗ ಅಕಿಲ್ಸ್ ಆಮೆಗಿಂತ ಎಂಟು ನೂರು ಹೆಜ್ಜೆ ಮುಂದಿದ್ದಾರೆ.

ಈ ವಿಧಾನವು ಯಾವುದೇ ತಾರ್ಕಿಕ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳಿಲ್ಲದೆ ವಾಸ್ತವವನ್ನು ಸಮರ್ಪಕವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಇದು ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರವಲ್ಲ. ಬೆಳಕಿನ ವೇಗದ ಎದುರಿಸಲಾಗದ ಬಗ್ಗೆ ಐನ್‌ಸ್ಟೈನ್ ಹೇಳಿಕೆಯು ಝೆನೋನ ಅಪೋರಿಯಾ "ಅಕಿಲ್ಸ್ ಮತ್ತು ಆಮೆ" ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ನಾವು ಇನ್ನೂ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬೇಕು, ಪುನರ್ವಿಮರ್ಶಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು. ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅಳತೆಯ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಬೇಕು.

Zeno ನ ಮತ್ತೊಂದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಅಪೋರಿಯಾ ಹಾರುವ ಬಾಣದ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ:

ಹಾರುವ ಬಾಣವು ಚಲನರಹಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಪ್ರತಿ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಪ್ರತಿ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಅಪೋರಿಯಾದಲ್ಲಿ, ತಾರ್ಕಿಕ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಬಹಳ ಸರಳವಾಗಿ ನಿವಾರಿಸಲಾಗಿದೆ - ಪ್ರತಿ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಹಾರುವ ಬಾಣವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ವಿವಿಧ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಪಡೆಯುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು ಸಾಕು, ಅದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಚಲನೆಯಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಇನ್ನೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ರಸ್ತೆಯಲ್ಲಿರುವ ಕಾರಿನ ಒಂದು ಛಾಯಾಚಿತ್ರದಿಂದ ಅದರ ಚಲನೆಯ ಸತ್ಯ ಅಥವಾ ಅದರ ಅಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯ. ಒಂದು ಕಾರು ಚಲಿಸುತ್ತಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮಯಗಳಲ್ಲಿ ತೆಗೆದ ಎರಡು ಛಾಯಾಚಿತ್ರಗಳು ನಿಮಗೆ ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ನೀವು ಅವುಗಳಿಂದ ದೂರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಕಾರಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನಿಮಗೆ ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ವಿವಿಧ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ತೆಗೆದ ಎರಡು ಛಾಯಾಚಿತ್ರಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳಿಂದ ನೀವು ಚಲನೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ (ಸಹಜವಾಗಿ, ನಿಮಗೆ ಇನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಡೇಟಾ ಬೇಕು, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ) ನಾನು ವಿಶೇಷ ಗಮನವನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ, ಸಮಯದ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗಬಾರದು, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಸಂಶೋಧನೆಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಅವಕಾಶಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ.

ಬುಧವಾರ, ಜುಲೈ 4, 2018

ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾದಲ್ಲಿ ಚೆನ್ನಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ನೋಡೋಣ.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, "ಒಂದು ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಎರಡು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಶಗಳು ಇರಬಾರದು" ಆದರೆ ಒಂದು ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಶಗಳಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಗುಂಪನ್ನು "ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಂಜಸವಾದ ಜೀವಿಗಳು ಅಂತಹ ಅಸಂಬದ್ಧ ತರ್ಕವನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಮಾತನಾಡುವ ಗಿಳಿಗಳು ಮತ್ತು ತರಬೇತಿ ಪಡೆದ ಕೋತಿಗಳ ಮಟ್ಟವಾಗಿದೆ, ಅವರು "ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ" ಪದದಿಂದ ಯಾವುದೇ ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಗಣಿತಜ್ಞರು ಸಾಮಾನ್ಯ ತರಬೇತುದಾರರಂತೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅವರ ಅಸಂಬದ್ಧ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ನಮಗೆ ಬೋಧಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಒಂದಾನೊಂದು ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸೇತುವೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಎಂಜಿನಿಯರ್‌ಗಳು ಸೇತುವೆಯ ಕೆಳಗೆ ದೋಣಿಯಲ್ಲಿ ಸೇತುವೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆ ನಡೆಸುತ್ತಿದ್ದರು. ಸೇತುವೆ ಕುಸಿದರೆ, ಸಾಧಾರಣ ಎಂಜಿನಿಯರ್ ತನ್ನ ಸೃಷ್ಟಿಯ ಅವಶೇಷಗಳಡಿಯಲ್ಲಿ ಸತ್ತರು. ಸೇತುವೆಯು ಭಾರವನ್ನು ತಡೆದುಕೊಳ್ಳುವಂತಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಭಾವಂತ ಎಂಜಿನಿಯರ್ ಇತರ ಸೇತುವೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು.

ಗಣಿತಜ್ಞರು "ನನ್ನನ್ನು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಿ, ನಾನು ಮನೆಯಲ್ಲಿದ್ದೇನೆ" ಅಥವಾ "ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವು ಅಮೂರ್ತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ" ಎಂಬ ಪದದ ಹಿಂದೆ ಹೇಗೆ ಅಡಗಿಕೊಂಡರೂ ಸಹ, ಒಂದು ಹೊಕ್ಕುಳಬಳ್ಳಿಯು ಅವುಗಳನ್ನು ವಾಸ್ತವದೊಂದಿಗೆ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದಂತೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಹೊಕ್ಕುಳಬಳ್ಳಿಯು ಹಣ. ಗಣಿತದ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸೋಣ.

ನಾವು ಗಣಿತವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ನಗದು ರಿಜಿಸ್ಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಕುಳಿತು ಸಂಬಳ ನೀಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಒಬ್ಬ ಗಣಿತಜ್ಞ ತನ್ನ ಹಣಕ್ಕಾಗಿ ನಮ್ಮ ಬಳಿಗೆ ಬರುತ್ತಾನೆ. ನಾವು ಅವನಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ನಮ್ಮ ಮೇಜಿನ ಮೇಲೆ ವಿವಿಧ ರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ ಇಡುತ್ತೇವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ನಾವು ಒಂದೇ ಪಂಗಡದ ಬಿಲ್‌ಗಳನ್ನು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು ಪ್ರತಿ ರಾಶಿಯಿಂದ ಒಂದು ಬಿಲ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ಅವರ "ಗಣಿತದ ಸಂಬಳದ ಸೆಟ್" ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಶಗಳಿಲ್ಲದ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದಾಗ ಮಾತ್ರ ಅವರು ಉಳಿದ ಬಿಲ್‌ಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಗೆ ವಿವರಿಸೋಣ. ಇಲ್ಲಿಯೇ ಮೋಜು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನಿಯೋಗಿಗಳ ತರ್ಕವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ: "ಇದನ್ನು ಇತರರಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ನನಗೆ ಅಲ್ಲ!" ನಂತರ ಅವರು ಒಂದೇ ಪಂಗಡದ ಬಿಲ್‌ಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಭರವಸೆ ನೀಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸರಿ, ಸಂಬಳವನ್ನು ನಾಣ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಎಣಿಸೋಣ - ನಾಣ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲ. ಇಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞನು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಉದ್ರಿಕ್ತವಾಗಿ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾನೆ: ವಿಭಿನ್ನ ನಾಣ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಮಾಣದ ಕೊಳೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಸ್ಫಟಿಕ ರಚನೆ ಮತ್ತು ಪರಮಾಣುಗಳ ಜೋಡಣೆಯು ಪ್ರತಿ ನಾಣ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ ...

ಮತ್ತು ಈಗ ನಾನು ಅತ್ಯಂತ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇನೆ: ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್ನ ಅಂಶಗಳು ಸೆಟ್ನ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಗುವ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಎಲ್ಲಿದೆ? ಅಂತಹ ಒಂದು ಸಾಲು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ - ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಶಾಮನ್ನರು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತಾರೆ, ವಿಜ್ಞಾನವು ಇಲ್ಲಿ ಸುಳ್ಳು ಹೇಳಲು ಸಹ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ಇಲ್ಲಿ ನೋಡು. ನಾವು ಅದೇ ಮೈದಾನ ಪ್ರದೇಶದೊಂದಿಗೆ ಫುಟ್ಬಾಲ್ ಕ್ರೀಡಾಂಗಣಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ - ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಆದರೆ ಇದೇ ಸ್ಟೇಡಿಯಂಗಳ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ನೋಡಿದರೆ ನಮಗೆ ಹಲವು ಸಿಗುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಹೆಸರುಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಶಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್ ಎರಡೂ ಆಗಿದೆ. ಯಾವುದು ಸರಿ? ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಗಣಿತಜ್ಞ-ಶಾಮನ್-ಶಾರ್ಪಿಸ್ಟ್ ತನ್ನ ತೋಳಿನಿಂದ ಟ್ರಂಪ್‌ಗಳ ಏಸ್ ಅನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ನಮಗೆ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅಥವಾ ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾನೆ. ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಸರಿ ಎಂದು ನಮಗೆ ಮನವರಿಕೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ.

ಆಧುನಿಕ ಶಾಮನ್ನರು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಅದನ್ನು ವಾಸ್ತವಕ್ಕೆ ಜೋಡಿಸಿ, ಒಂದು ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು ಸಾಕು: ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತೊಂದು ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಹೇಗೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ? ನಾನು ನಿಮಗೆ ತೋರಿಸುತ್ತೇನೆ, ಯಾವುದೇ "ಒಂದೇ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಲ್ಲ" ಅಥವಾ "ಒಂದೇ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ."

ಭಾನುವಾರ, ಮಾರ್ಚ್ 18, 2018

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ತಂಬೂರಿಯೊಂದಿಗೆ ಶಾಮನ್ನರ ನೃತ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಹೌದು, ಗಣಿತದ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಬಳಸಲು ನಮಗೆ ಕಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಅವರು ಶಾಮನ್ನರು, ಅವರ ವಂಶಸ್ಥರಿಗೆ ಅವರ ಕೌಶಲ್ಯ ಮತ್ತು ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆಯನ್ನು ಕಲಿಸಲು, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಶಾಮನ್ನರು ಸಾಯುತ್ತಾರೆ.

ನಿಮಗೆ ಪುರಾವೆ ಬೇಕೇ? ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾವನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು "ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತ" ಪುಟವನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. ಅವಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರವಿಲ್ಲ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳು, ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಈ ರೀತಿ ಧ್ವನಿಸುತ್ತದೆ: "ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹುಡುಕಿ." ಗಣಿತಜ್ಞರು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಶಾಮನ್ನರು ಇದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಏನು ಮತ್ತು ಹೇಗೆ ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು 12345 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದೋಣ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಏನು ಮಾಡಬೇಕು? ಎಲ್ಲಾ ಹಂತಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

1. ಕಾಗದದ ತುಂಡು ಮೇಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ನಾವೇನು ​​ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ? ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಕೇತವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಇದು ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಲ್ಲ.

2. ನಾವು ಒಂದು ಫಲಿತಾಂಶದ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಹಲವಾರು ಚಿತ್ರಗಳಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಚಿತ್ರವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುವುದು ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಲ್ಲ.

3. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ. ಇದು ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಲ್ಲ.

4. ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ. ಈಗ ಇದು ಗಣಿತ.

12345 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 15 ಆಗಿದೆ. ಇವು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಬಳಸುವ ಶಾಮನ್ನರು ಕಲಿಸುವ "ಕತ್ತರಿಸುವ ಮತ್ತು ಹೊಲಿಗೆ ಕೋರ್ಸ್‌ಗಳು". ಆದರೆ ಇಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲ.

ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ನಾವು ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಲಕ್ಕೆ ಸಬ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್‌ನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆ 12345 ನೊಂದಿಗೆ, ನನ್ನ ತಲೆಯನ್ನು ಮೋಸಗೊಳಿಸಲು ನಾನು ಬಯಸುವುದಿಲ್ಲ, ಲೇಖನದಿಂದ 26 ನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬೈನರಿ, ಅಷ್ಟಮ, ದಶಮಾಂಶ ಮತ್ತು ಹೆಕ್ಸಾಡೆಸಿಮಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ. ನಾವು ಪ್ರತಿ ಹಂತವನ್ನು ಸೂಕ್ಷ್ಮದರ್ಶಕದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನೋಡುವುದಿಲ್ಲ; ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಅದನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೂ ಗಣಿತಕ್ಕೂ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲ. ನೀವು ಮೀಟರ್ ಮತ್ತು ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.

ಶೂನ್ಯವು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಇದು ಸತ್ಯದ ಪರವಾಗಿ ಮತ್ತೊಂದು ವಾದವಾಗಿದೆ. ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ಪ್ರಶ್ನೆ: ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲದ ವಿಷಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ? ಏನು, ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಏನೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ? ನಾನು ಶಾಮನ್ನರಿಗೆ ಇದನ್ನು ಅನುಮತಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳಿಗೆ ಅಲ್ಲ. ರಿಯಾಲಿಟಿ ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಲ್ಲ.

ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮಾಪನದ ಘಟಕಗಳು ಎಂದು ಪುರಾವೆಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ನಾವು ಮಾಪನದ ವಿವಿಧ ಘಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದೇ ಪ್ರಮಾಣದ ಮಾಪನದ ವಿಭಿನ್ನ ಘಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ಕ್ರಮಗಳು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿದ ನಂತರ ವಿಭಿನ್ನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾದರೆ, ಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ಇದಕ್ಕೂ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲ.

ನಿಜವಾದ ಗಣಿತ ಎಂದರೇನು? ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಾತ್ರ, ಬಳಸಿದ ಅಳತೆಯ ಘಟಕ ಮತ್ತು ಈ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಯಾರು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಓಹ್! ಇದು ಮಹಿಳೆಯರ ಶೌಚಾಲಯವಲ್ಲವೇ?
- ಯುವತಿ! ಸ್ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಆರೋಹಣ ಮಾಡುವಾಗ ಆತ್ಮಗಳ ಅವಿನಾಭಾವ ಪವಿತ್ರತೆಯ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕಾಗಿ ಇದು ಪ್ರಯೋಗಾಲಯವಾಗಿದೆ! ಮೇಲೆ ಹಾಲೋ ಮತ್ತು ಮೇಲಕ್ಕೆ ಬಾಣ. ಬೇರೆ ಯಾವ ಶೌಚಾಲಯ?

ಹೆಣ್ಣು... ಮೇಲಿನ ಪ್ರಭಾವಲಯ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಬಾಣ ಪುರುಷ.

ಅಂತಹ ವಿನ್ಯಾಸದ ಕಲೆಯು ದಿನಕ್ಕೆ ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ನಿಮ್ಮ ಕಣ್ಣುಗಳ ಮುಂದೆ ಹೊಳೆಯುತ್ತಿದ್ದರೆ,

ನಿಮ್ಮ ಕಾರಿನಲ್ಲಿ ನೀವು ಇದ್ದಕ್ಕಿದ್ದಂತೆ ವಿಚಿತ್ರ ಐಕಾನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರೆ ಆಶ್ಚರ್ಯವೇನಿಲ್ಲ:

ವೈಯಕ್ತಿಕವಾಗಿ, ನಾನು ಪೂಪಿಂಗ್ ವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಮೈನಸ್ ನಾಲ್ಕು ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ನೋಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇನೆ (ಒಂದು ಚಿತ್ರ) (ಹಲವಾರು ಚಿತ್ರಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ: ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆ, ಸಂಖ್ಯೆ ನಾಲ್ಕು, ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಪದನಾಮ). ಮತ್ತು ಈ ಹುಡುಗಿ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ತಿಳಿದಿಲ್ಲದ ಮೂರ್ಖ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಅವಳು ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಗ್ರಹಿಸುವ ಬಲವಾದ ಸ್ಟೀರಿಯೊಟೈಪ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾಳೆ. ಮತ್ತು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಇದನ್ನು ನಮಗೆ ಸಾರ್ವಕಾಲಿಕ ಕಲಿಸುತ್ತಾರೆ. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ.

1A "ಮೈನಸ್ ನಾಲ್ಕು ಡಿಗ್ರಿ" ಅಥವಾ "ಒಂದು a" ಅಲ್ಲ. ಇದು "ಪೂಪಿಂಗ್ ಮ್ಯಾನ್" ಅಥವಾ ಹೆಕ್ಸಾಡೆಸಿಮಲ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ "ಇಪ್ಪತ್ತಾರು" ಸಂಖ್ಯೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಜನರು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಒಂದು ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿಹ್ನೆಯಾಗಿ ಗ್ರಹಿಸುತ್ತಾರೆ.