പ്രവർത്തനത്തിന്റെ അതിരുകടന്ന ഭാഗം. ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്‌ട്രീമ എന്താണ്: ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ പരമാവധി, മിനിമം എക്‌സ്‌ട്രീമയുടെ നിർണായക പോയിന്റുകൾ

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിന്റ് എന്നത് ഫംഗ്‌ഷന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിലെ പോയിന്റാണ്, അതിൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യം ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതോ കൂടിയതോ ആയ മൂല്യം എടുക്കുന്നു. ഈ പോയിന്റുകളിലെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യങ്ങളെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്‌ട്രീമ (മിനിമം, പരമാവധി) എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം. ഡോട്ട് x1 ഫംഗ്ഷൻ ഡൊമെയ്ൻ എഫ്(x) വിളിച്ചു പ്രവർത്തനത്തിന്റെ പരമാവധി പോയിന്റ് , ഈ ഘട്ടത്തിലെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യം അതിന്റെ വലത്തോട്ടും ഇടത്തോട്ടും സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന, അതിനോട് വളരെ അടുത്തുള്ള പോയിന്റുകളിലെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യങ്ങളേക്കാൾ കൂടുതലാണെങ്കിൽ (അതായത്, അസമത്വം നിലനിർത്തുന്നു എഫ്(x0 ) > എഫ്(x 0 + Δ x) x1 പരമാവധി.

നിർവ്വചനം. ഡോട്ട് x2 ഫംഗ്ഷൻ ഡൊമെയ്ൻ എഫ്(x) വിളിച്ചു പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റ്, ഈ ഘട്ടത്തിലെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യം അതിന്റെ വലത്തോട്ടും ഇടത്തോട്ടും സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന, അതിനോട് വേണ്ടത്ര അടുത്തുള്ള പോയിന്റുകളിലെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യങ്ങളേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ (അതായത്, അസമത്വം നിലനിർത്തുന്നു എഫ്(x0 ) < എഫ്(x 0 + Δ x) ). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പ്രവർത്തനത്തിന് പോയിന്റ് ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ പറയുന്നു x2 ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത്.

പോയിന്റ് പറയാം x1 - പ്രവർത്തനത്തിന്റെ പരമാവധി പോയിന്റ് എഫ്(x) പിന്നെ വരെയുള്ള ഇടവേളയിൽ x1 പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണ് ( എഫ് "(x) > 0 ), അതിനു ശേഷമുള്ള ഇടവേളയിലും x1 പ്രവർത്തനം കുറയുന്നു, അതിനാൽ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവ് ( എഫ് "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

പോയിന്റ് ആണെന്നും നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം x2 - പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റ് എഫ്(x) പിന്നെ വരെയുള്ള ഇടവേളയിൽ x2 ഫംഗ്‌ഷൻ കുറയുന്നു, കൂടാതെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവാണ് ( എഫ് "(x) < 0 ), а в интервале после x2 ഫംഗ്‌ഷൻ വർദ്ധിക്കുന്നു, കൂടാതെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണ് ( എഫ് "(x) > 0 ). ഈ സാഹചര്യത്തിലും പോയിന്റ് x2 ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യമാണ് അല്ലെങ്കിൽ നിലവിലില്ല.

ഫെർമാറ്റിന്റെ സിദ്ധാന്തം (ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ തീവ്രതയുടെ അസ്തിത്വത്തിന്റെ ആവശ്യമായ അടയാളം). പോയിന്റ് ആണെങ്കിൽ x0 - ഫംഗ്ഷന്റെ എക്സ്ട്രീം പോയിന്റ് എഫ്(x) അപ്പോൾ ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് ( എഫ് "(x) = 0 ) അല്ലെങ്കിൽ നിലവിലില്ല.

നിർവ്വചനം. ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യമോ നിലവിലില്ലാത്തതോ ആയ പോയിന്റുകളെ വിളിക്കുന്നു നിർണായക പോയിന്റുകൾ .

ഉദാഹരണം 1.നമുക്ക് പ്രവർത്തനം പരിഗണിക്കാം.

പോയിന്റിൽ x= 0 ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യമാണ്, അതിനാൽ പോയിന്റ് x= 0 ആണ് നിർണായക പോയിന്റ്. എന്നിരുന്നാലും, ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫിൽ കാണുന്നത് പോലെ, നിർവചനത്തിന്റെ മുഴുവൻ ഡൊമെയ്‌നിലും ഇത് വർദ്ധിക്കുന്നു, അതിനാൽ പോയിന്റ് x= 0 ഈ ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്ട്രീം പോയിന്റല്ല.

അതിനാൽ, ഒരു പോയിന്റിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് അല്ലെങ്കിൽ നിലവിലില്ല എന്ന വ്യവസ്ഥകൾ ഒരു എക്സ്ട്രീമിന് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥകളാണ്, പക്ഷേ പര്യാപ്തമല്ല, കാരണം ഈ വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ മറ്റ് ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകാം, പക്ഷേ ഫംഗ്ഷൻ അനുബന്ധ പോയിന്റിൽ ഒരു എക്സ്ട്രീം ഇല്ല. അതുകൊണ്ടാണ് മതിയായ തെളിവുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കണം, ഒരു പ്രത്യേക നിർണായക ഘട്ടത്തിൽ ഒരു എക്സ്ട്രീം ഉണ്ടോ എന്നും അത് ഏത് തരത്തിലുള്ള എക്സ്ട്രീം ആണെന്നും വിലയിരുത്താൻ ഒരാളെ അനുവദിക്കുന്നു - പരമാവധി അല്ലെങ്കിൽ കുറഞ്ഞത്.

സിദ്ധാന്തം (ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഒരു തീവ്രതയുടെ അസ്തിത്വത്തിന്റെ ആദ്യത്തെ മതിയായ അടയാളം).നിര്ണ്ണായക ബിന്ദു x0 എഫ്(x) ഈ പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ, ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നം മാറുകയാണെങ്കിൽ, ചിഹ്നം “പ്ലസ്” ൽ നിന്ന് “മൈനസ്” ആയി മാറുകയാണെങ്കിൽ, അത് പരമാവധി പോയിന്റാണ്, കൂടാതെ “മൈനസ്” മുതൽ “പ്ലസ്” വരെയാണെങ്കിൽ, അത് ഒരു മിനിമം പോയിന്റാണ്.

പോയിന്റിനടുത്താണെങ്കിൽ x0 , അതിന്റെ ഇടത്തോട്ടും വലത്തോട്ടും, ഡെറിവേറ്റീവ് അതിന്റെ അടയാളം നിലനിർത്തുന്നു, ഇതിനർത്ഥം പോയിന്റിന്റെ ഒരു നിശ്ചിത അയൽപക്കത്തിൽ പ്രവർത്തനം കുറയുകയോ വർദ്ധിക്കുകയോ ചെയ്യുന്നു എന്നാണ്. x0 . ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പോയിന്റിൽ x0 അങ്ങേയറ്റം ഇല്ല.

അതിനാൽ, ഫംഗ്ഷന്റെ എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവ ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട് :

1. ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക.
2. ഡെറിവേറ്റീവിനെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുകയും നിർണായക പോയിന്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കുകയും ചെയ്യുക.
3. മാനസികമായോ കടലാസിലോ, നമ്പർ ലൈനിൽ നിർണായക പോയിന്റുകൾ അടയാളപ്പെടുത്തുകയും ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഇടവേളകളിൽ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുകയും ചെയ്യുക. ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ചിഹ്നം "പ്ലസ്" എന്നതിൽ നിന്ന് "മൈനസ്" ആയി മാറുകയാണെങ്കിൽ, നിർണ്ണായക പോയിന്റ് പരമാവധി പോയിന്റാണ്, കൂടാതെ "മൈനസ്" ൽ നിന്ന് "പ്ലസ്" ആണെങ്കിൽ, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റ്.
4. എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകളിൽ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക.

ഉദാഹരണം 2.പ്രവർത്തനത്തിന്റെ തീവ്രത കണ്ടെത്തുക .

പരിഹാരം. ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം:

നിർണ്ണായക പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്താൻ നമുക്ക് ഡെറിവേറ്റീവിനെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കാം:

.

"x" ന്റെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യങ്ങൾക്കായി ഡിനോമിനേറ്റർ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്തതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ന്യൂമറേറ്ററിനെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുന്നു:

ഒരു നിർണായക പോയിന്റ് ലഭിച്ചു x= 3 . ഈ പോയിന്റ് കൊണ്ട് വേർതിരിച്ച ഇടവേളകളിൽ നമുക്ക് ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കാം:

മൈനസ് ഇൻഫിനിറ്റി മുതൽ 3 വരെയുള്ള ശ്രേണിയിൽ - ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം, അതായത്, പ്രവർത്തനം കുറയുന്നു,

3 മുതൽ പ്ലസ് അനന്തത വരെയുള്ള ഇടവേളയിൽ ഒരു പ്ലസ് ചിഹ്നമുണ്ട്, അതായത്, പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നു.

അതായത്, കാലഘട്ടം x= 3 ആണ് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റ്.

ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റിൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്താം:

അങ്ങനെ, ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിന്റ് കണ്ടെത്തി: (3; 0), ഇത് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റാണ്.

സിദ്ധാന്തം (ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഒരു തീവ്രതയുടെ നിലനിൽപ്പിന്റെ മതിയായ രണ്ടാമത്തെ അടയാളം).നിര്ണ്ണായക ബിന്ദു x0 ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്ട്രീം പോയിന്റാണ് എഫ്(x) ഈ ഘട്ടത്തിലെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലെങ്കിൽ ( എഫ് ""(x) ≠ 0 ), രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണെങ്കിൽ ( എഫ് ""(x) > 0 ), തുടർന്ന് പരമാവധി പോയിന്റ്, രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ ( എഫ് ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

കുറിപ്പ് 1. പോയിന്റിലാണെങ്കിൽ x0 ഒന്നും രണ്ടും ഡെറിവേറ്റീവുകൾ അപ്രത്യക്ഷമാകുകയാണെങ്കിൽ, ഈ ഘട്ടത്തിൽ മതിയായ രണ്ടാമത്തെ മാനദണ്ഡത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഒരു എക്സ്ട്രീമത്തിന്റെ സാന്നിധ്യം വിലയിരുത്തുക അസാധ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്‌ട്രീമിനായി നിങ്ങൾ ആദ്യത്തെ മതിയായ മാനദണ്ഡം ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

പരാമർശം 2. ആദ്യത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഒരു സ്റ്റേഷണറി പോയിന്റിൽ നിലവിലില്ലെങ്കിൽപ്പോലും (അപ്പോൾ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവും നിലവിലില്ല) ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്‌ട്രീമിന് മതിയായ രണ്ടാമത്തെ മാനദണ്ഡം ബാധകമല്ല. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഒരു തീവ്രതയുടെ ആദ്യ മതിയായ അടയാളവും നിങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

പ്രവർത്തനത്തിന്റെ തീവ്രതയുടെ പ്രാദേശിക സ്വഭാവം

മേൽപ്പറഞ്ഞ നിർവചനങ്ങളിൽ നിന്ന്, ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം പ്രാദേശിക സ്വഭാവമുള്ളതാണെന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു - അടുത്തുള്ള മൂല്യങ്ങളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യമാണിത്.

ഒരു വർഷത്തെ കാലയളവിലെ നിങ്ങളുടെ വരുമാനം നിങ്ങൾ നോക്കുകയാണെന്ന് പറയാം. മെയ് മാസത്തിൽ നിങ്ങൾ 45,000 റുബിളും ഏപ്രിലിൽ 42,000 റുബിളും ജൂണിൽ 39,000 റുബിളും സമ്പാദിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അടുത്തുള്ള മൂല്യങ്ങളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ മെയ് വരുമാനമാണ് വരുമാന പ്രവർത്തനത്തിന്റെ പരമാവധി. എന്നാൽ ഒക്ടോബറിൽ നിങ്ങൾ 71,000 റുബിളും സെപ്റ്റംബറിൽ 75,000 റുബിളും നവംബറിൽ 74,000 റുബിളും നേടി, അതിനാൽ അടുത്തുള്ള മൂല്യങ്ങളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ഒക്ടോബർ വരുമാനം ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ വരുമാന പ്രവർത്തനമാണ്. ഏപ്രിൽ-മെയ്-ജൂൺ മൂല്യങ്ങളിൽ പരമാവധി സെപ്റ്റംബർ-ഒക്ടോബർ-നവംബർ മാസങ്ങളിലെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മൂല്യത്തേക്കാൾ കുറവാണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് എളുപ്പത്തിൽ കാണാൻ കഴിയും.

പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ, ഒരു ഇടവേളയിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന് നിരവധി എക്‌സ്‌ട്രീമകൾ ഉണ്ടാകാം, കൂടാതെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ചില മിനിമം ഏത് പരമാവധിയേക്കാൾ വലുതാണെന്നും ഇത് മാറിയേക്കാം. അതിനാൽ, മുകളിലുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന പ്രവർത്തനത്തിന്, .

അതായത്, ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ പരമാവധി കുറഞ്ഞതും യഥാക്രമം, പരിഗണനയിലുള്ള മുഴുവൻ സെഗ്‌മെന്റിലെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങളാണെന്ന് ആരും കരുതരുത്. പരമാവധി പോയിന്റിൽ, ആ മൂല്യങ്ങളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ മാത്രമേ ഫംഗ്ഷന് ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യമുള്ളൂ, അത് എല്ലാ പോയിന്റുകളിലും പരമാവധി പോയിന്റിന് അടുത്താണ്, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റിൽ ആ മൂല്യങ്ങളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ മാത്രമേ ഏറ്റവും ചെറിയ മൂല്യമുള്ളൂ. എല്ലാ പോയിന്റുകളിലും മിനിമം പോയിന്റിന് അടുത്താണ്.

അതിനാൽ, ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിന്റുകളുടെ മുകളിൽ പറഞ്ഞ ആശയം നമുക്ക് വ്യക്തമാക്കാനും മിനിമം പോയിന്റുകൾ ലോക്കൽ മിനിമം പോയിന്റുകൾ എന്നും പരമാവധി പോയിന്റുകൾ ലോക്കൽ മാക്സിമം പോയിന്റുകൾ എന്നും വിളിക്കാം.

ഞങ്ങൾ ഒരുമിച്ച് ഫംഗ്ഷന്റെ തീവ്രതയ്ക്കായി നോക്കുന്നു

ഉദാഹരണം 3.

പരിഹാരം: ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കപ്പെട്ടതും മുഴുവൻ സംഖ്യാ രേഖയിൽ തുടർച്ചയായതുമാണ്. അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് മുഴുവൻ സംഖ്യാരേഖയിലും നിലവിലുണ്ട്. അതിനാൽ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിർണായകമായ പോയിന്റുകൾ മാത്രമാണ്, അതായത്. , എവിടെ നിന്ന് ഒപ്പം. നിർണായക പോയിന്റുകളും ഫംഗ്‌ഷന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ മുഴുവൻ ഡൊമെയ്‌നും ഏകതാനതയുടെ മൂന്ന് ഇടവേളകളായി വിഭജിക്കുക: . നമുക്ക് അവയിൽ ഓരോന്നിലും ഒരു നിയന്ത്രണ പോയിന്റ് തിരഞ്ഞെടുത്ത് ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളം കണ്ടെത്താം.

ഇടവേളയ്ക്ക്, നിയന്ത്രണ പോയിന്റ് ഇതായിരിക്കാം: കണ്ടെത്തുക. ഇടവേളയിൽ ഒരു പോയിന്റ് എടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കും, ഇടവേളയിൽ ഒരു പോയിന്റ് എടുക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഇടവേളകളിലും, ഇടവേളകളിലും. ഒരു എക്‌സ്‌ട്രീമിനുള്ള ആദ്യത്തെ മതിയായ മാനദണ്ഡം അനുസരിച്ച്, പോയിന്റിൽ തീവ്രത ഇല്ല (ഇടവേളയിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് അതിന്റെ അടയാളം നിലനിർത്തുന്നതിനാൽ), പോയിന്റിൽ ഫംഗ്‌ഷന് ഒരു മിനിമം ഉണ്ട് (കടന്നുപോകുമ്പോൾ ഡെറിവേറ്റീവ് സൈൻ മൈനസിൽ നിന്ന് പ്ലസ് വരെ മാറുന്നതിനാൽ ഈ പോയിന്റിലൂടെ). ഫംഗ്‌ഷന്റെ അനുബന്ധ മൂല്യങ്ങൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം: , a . ഇടവേളയിൽ പ്രവർത്തനം കുറയുന്നു, കാരണം ഈ ഇടവേളയിൽ , ഇടവേളയിൽ അത് വർദ്ധിക്കുന്നു, കാരണം ഈ ഇടവേളയിൽ .

ഗ്രാഫിന്റെ നിർമ്മാണം വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അതിന്റെ വിഭജന പോയിന്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. നമുക്ക് ഒരു സമവാക്യം ലഭിക്കുമ്പോൾ അതിന്റെ വേരുകൾ, അതായത്, ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫിന്റെ രണ്ട് പോയിന്റുകൾ (0; 0), (4; 0) എന്നിവ കണ്ടെത്തുന്നു. ലഭിച്ച എല്ലാ വിവരങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നു (ഉദാഹരണത്തിന്റെ തുടക്കം കാണുക).

കണക്കുകൂട്ടൽ സമയത്ത് സ്വയം പരിശോധിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗിക്കാം ഓൺലൈൻ ഡെറിവേറ്റീവ് കാൽക്കുലേറ്റർ .

ഉദാഹരണം 4.ഫംഗ്ഷന്റെ തീവ്രത കണ്ടെത്തി അതിന്റെ ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുക.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌ൻ പോയിന്റ് ഒഴികെയുള്ള മുഴുവൻ സംഖ്യാ രേഖയാണ്, അതായത്. .

പഠനം ചുരുക്കാൻ, ഈ ഫംഗ്ഷൻ തുല്യമാണെന്ന വസ്തുത നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗിക്കാം . അതിനാൽ, അതിന്റെ ഗ്രാഫ് അച്ചുതണ്ടിന്റെ സമമിതിയാണ് അയ്യോകൂടാതെ പഠനം ഇടവേളയ്ക്ക് മാത്രമേ നടത്താൻ കഴിയൂ.

ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നു പ്രവർത്തനത്തിന്റെ നിർണായക പോയിന്റുകളും:

1) ;

2) ,

എന്നാൽ ഫംഗ്‌ഷൻ ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഒരു വിരാമം നേരിടുന്നു, അതിനാൽ ഇത് ഒരു എക്‌സ്ട്രീം പോയിന്റ് ആകാൻ കഴിയില്ല.

അതിനാൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷന് രണ്ട് നിർണായക പോയിന്റുകൾ ഉണ്ട്: ഒപ്പം . ഫംഗ്‌ഷന്റെ പാരിറ്റി കണക്കിലെടുത്ത്, ഒരു എക്‌സ്‌ട്രീമിന് മതിയായ രണ്ടാമത്തെ മാനദണ്ഡം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പോയിന്റ് മാത്രം പരിശോധിക്കും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നു അതിന്റെ അടയാളം ഇവിടെ നിർണ്ണയിക്കുക: നമുക്ക് ലഭിക്കും . മുതൽ കൂടാതെ, ഇത് ഫംഗ്ഷന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റാണ്, കൂടാതെ .

ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിന്റെ കൂടുതൽ പൂർണ്ണമായ ചിത്രം ലഭിക്കുന്നതിന്, നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിന്റെ അതിരുകളിൽ അതിന്റെ സ്വഭാവം കണ്ടെത്താം:

(ഇവിടെ ചിഹ്നം ആഗ്രഹത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു xവലതുവശത്ത് നിന്ന് പൂജ്യത്തിലേക്ക്, ഒപ്പം xപോസിറ്റീവ് ആയി തുടരുന്നു; അതുപോലെ അഭിലാഷം എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത് xഇടതുവശത്ത് നിന്ന് പൂജ്യത്തിലേക്ക്, ഒപ്പം xനെഗറ്റീവ് ആയി തുടരുന്നു). അതിനാൽ, എങ്കിൽ . അടുത്തതായി, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

,

ആ. എങ്കില് .

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫിന് അച്ചുതണ്ടുകൾക്കൊപ്പം ഇന്റർസെക്ഷൻ പോയിന്റുകളില്ല. ചിത്രം ഉദാഹരണത്തിന്റെ തുടക്കത്തിലാണ്.

കണക്കുകൂട്ടൽ സമയത്ത് സ്വയം പരിശോധിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗിക്കാം ഓൺലൈൻ ഡെറിവേറ്റീവ് കാൽക്കുലേറ്റർ .

ഞങ്ങൾ ഒരുമിച്ച് ഫംഗ്‌ഷന്റെ തീവ്രതയ്ക്കായി തിരയുന്നത് തുടരുന്നു

ഉദാഹരണം 8.പ്രവർത്തനത്തിന്റെ തീവ്രത കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. ഫംഗ്ഷന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. അസമത്വം തൃപ്‌തിപ്പെടുത്തേണ്ടതിനാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത് .

ഫംഗ്‌ഷന്റെ ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം.

എക്സ്ട്രീമ കണ്ടെത്താനുള്ള ലളിതമായ അൽഗോരിതം..

• ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നു
• ഈ ഡെറിവേറ്റീവിനെ ഞങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുന്നു
• തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗത്തിന്റെ വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു (ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യമായി പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്ന വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യങ്ങൾ)
• ഈ മൂല്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിനെ ഇടവേളകളായി വിഭജിക്കുന്നു (ബ്രേക്ക് പോയിന്റുകളെക്കുറിച്ച് മറക്കരുത്, അവയും ലൈനിൽ പ്ലോട്ട് ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്), ഈ പോയിന്റുകളെയെല്ലാം എക്സ്ട്രീമിനായി "സംശയാസ്പദമായ" പോയിന്റുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
• ഈ ഇടവേളകളിൽ ഏത് ഡെറിവേറ്റീവ് പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കുമെന്നും ഏത് നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കുമെന്നും ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഇടവേളയിൽ നിന്ന് ഡെറിവേറ്റീവിലേക്ക് മൂല്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഒരു തീവ്രതയിൽ സംശയാസ്പദമായ പോയിന്റുകളിൽ, അത് കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിലെ ഞങ്ങളുടെ ഇടവേളകൾ ഞങ്ങൾ നോക്കുന്നു. ഏതെങ്കിലും പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ, ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളം പ്ലസ് മുതൽ മൈനസിലേക്ക് മാറുകയാണെങ്കിൽ, ഈ പോയിന്റ് ഇതായിരിക്കും പരമാവധി, കൂടാതെ മൈനസ് മുതൽ പ്ലസ് വരെയാണെങ്കിൽ, പിന്നെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത്.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, സെഗ്‌മെന്റിന്റെ അറ്റത്തും എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിന്റുകളിലും നിങ്ങൾ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്. തുടർന്ന് ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യം തിരഞ്ഞെടുക്കുക.

ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം
ഞങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തി അതിനെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുന്നു:

കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിലെ വേരിയബിളുകളുടെ ലഭിച്ച മൂല്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പ്ലോട്ട് ചെയ്യുകയും ഓരോ ഇടവേളകളിലും ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളം കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ശരി, ഉദാഹരണത്തിന്, ആദ്യത്തേതിന് നമുക്ക് എടുക്കാം-2 , അപ്പോൾ ഡെറിവേറ്റീവ് തുല്യമായിരിക്കും-0,24 , രണ്ടാമത്തേതിന് ഞങ്ങൾ എടുക്കും0 , അപ്പോൾ ഡെറിവേറ്റീവ് ആയിരിക്കും2 , മൂന്നാമത്തേതിന് ഞങ്ങൾ എടുക്കുന്നു2 , അപ്പോൾ ഡെറിവേറ്റീവ് ആയിരിക്കും-0.24. ഞങ്ങൾ ഉചിതമായ അടയാളങ്ങൾ ഇടുന്നു.

പോയിന്റ് -1 ലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ, ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നം മൈനസിൽ നിന്ന് പ്ലസിലേക്ക് മാറുന്നു, അതായത്, ഇത് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റായിരിക്കും, 1 ലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ, അത് യഥാക്രമം പ്ലസിൽ നിന്ന് മൈനസിലേക്ക് ചിഹ്നം മാറും, ഇത് പരമാവധി പോയിന്റ്.

പ്രവർത്തനവും അതിന്റെ സവിശേഷതകളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനവും ആധുനിക ഗണിതത്തിലെ പ്രധാന അധ്യായങ്ങളിലൊന്ന് ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ഏതൊരു ഫംഗ്ഷന്റെയും പ്രധാന ഘടകം അതിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ മാത്രമല്ല, ഈ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ പാരാമീറ്ററുകളും ചിത്രീകരിക്കുന്ന ഗ്രാഫുകളാണ്. ഈ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള വിഷയം നമുക്ക് മനസ്സിലാക്കാം. ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ പരമാവധി കുറഞ്ഞ പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും നല്ല മാർഗം ഏതാണ്?

പ്രവർത്തനം: നിർവചനം

ഏതെങ്കിലും വിധത്തിൽ മറ്റൊരു അളവിന്റെ മൂല്യങ്ങളെ ആശ്രയിക്കുന്ന ഏതൊരു വേരിയബിളിനെയും ഒരു ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, f(x 2) ഫംഗ്ഷൻ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആണ്, കൂടാതെ മുഴുവൻ സെറ്റിന്റെയും മൂല്യങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു. x = 9 എന്ന് പറയാം, അപ്പോൾ നമ്മുടെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യം 9 2 = 81 ന് തുല്യമായിരിക്കും.

ഫംഗ്ഷനുകൾ പല തരത്തിൽ വരുന്നു: ലോജിക്കൽ, വെക്റ്റർ, ലോഗരിഥമിക്, ത്രികോണമിതി, സംഖ്യാശാസ്ത്രം എന്നിവയും മറ്റുള്ളവയും. Lacroix, Lagrange, Leibniz, Bernoulli തുടങ്ങിയ മികച്ച മനസ്സുകളാണ് അവ പഠിച്ചത്. പ്രവർത്തനങ്ങൾ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള ആധുനിക രീതികളിൽ അവരുടെ കൃതികൾ ഒരു പ്രധാന ഘടകമായി വർത്തിക്കുന്നു. ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് മുമ്പ്, ഫംഗ്ഷന്റെയും അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെയും അർത്ഥം മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് വളരെ പ്രധാനമാണ്.

ഡെറിവേറ്റീവും അതിന്റെ പങ്കും

എല്ലാ ഫംഗ്ഷനുകളും അവയുടെ വേരിയബിളുകളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, അതിനർത്ഥം അവയ്ക്ക് എപ്പോൾ വേണമെങ്കിലും അവയുടെ മൂല്യം മാറ്റാൻ കഴിയും എന്നാണ്. ഗ്രാഫിൽ, ഇത് ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിൽ വീഴുകയോ ഉയരുകയോ ചെയ്യുന്ന ഒരു വക്രമായി ചിത്രീകരിക്കും (ഇത് ലംബ ഗ്രാഫിനൊപ്പം "y" സംഖ്യകളുടെ മുഴുവൻ സെറ്റാണ്). അതിനാൽ, ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ പരമാവധി, കുറഞ്ഞ പോയിന്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ഈ "ആന്ദോളനങ്ങളുമായി" കൃത്യമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഈ ബന്ധം എന്താണെന്ന് നമുക്ക് വിശദീകരിക്കാം.

ഏതൊരു ഫംഗ്ഷന്റെയും ഡെറിവേറ്റീവ് അതിന്റെ അടിസ്ഥാന സവിശേഷതകൾ പഠിക്കുന്നതിനും ഫംഗ്ഷൻ എത്ര വേഗത്തിൽ മാറുന്നുവെന്ന് കണക്കാക്കുന്നതിനുമായി ഗ്രാഫ് ചെയ്യുന്നു (അതായത് "x" എന്ന വേരിയബിളിനെ ആശ്രയിച്ച് അതിന്റെ മൂല്യം മാറുന്നു). ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിക്കുന്ന നിമിഷത്തിൽ, അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ഗ്രാഫും വർദ്ധിക്കും, എന്നാൽ ഏത് നിമിഷവും ഫംഗ്ഷൻ കുറയാൻ തുടങ്ങും, തുടർന്ന് ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ഗ്രാഫ് കുറയും. ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പ്ലസ് ചിഹ്നത്തിലേക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് മാറുന്ന പോയിന്റുകളെ മിനിമം പോയിന്റുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. മിനിമം പോയിന്റുകൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് അറിയാൻ, നിങ്ങൾ നന്നായി മനസ്സിലാക്കണം

ഡെറിവേറ്റീവ് എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം?

നിർവചനവും ഫംഗ്‌ഷനുകളും പൊതുവേ, ഒരു ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവചനം തന്നെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാം: ഫംഗ്‌ഷന്റെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്ക് കാണിക്കുന്ന അളവാണിത്.

ഇത് നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര രീതി പല വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും സങ്കീർണ്ണമാണെന്ന് തോന്നുന്നു, പക്ഷേ വാസ്തവത്തിൽ എല്ലാം വളരെ ലളിതമാണ്. ഏത് ഫംഗ്ഷന്റെയും ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിന് നിങ്ങൾ സ്റ്റാൻഡേർഡ് പ്ലാൻ പിന്തുടരേണ്ടതുണ്ട്. ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ നിയമങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കാതെയും ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക ഓർമ്മിക്കാതെയും നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റ് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് ഞങ്ങൾ ചുവടെ വിവരിക്കുന്നു.

1. ഒരു ഗ്രാഫ് ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഫംഗ്‌ഷൻ തന്നെ ചിത്രീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്, തുടർന്ന് അതിൽ ഒരു പോയിന്റ് എടുക്കുക (ചിത്രത്തിലെ പോയിന്റ് A). abscissa അക്ഷത്തിലേക്ക് ലംബമായി ഒരു രേഖ വരയ്ക്കുക (പോയിന്റ് x 0), പോയിന്റ് A-ൽ ഒരു ടാൻജെന്റ് വരയ്ക്കുക പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഗ്രാഫ്. x-ആക്സിസും ടാൻജെന്റും ഒരു നിശ്ചിത കോണായി മാറുന്നു a. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ എത്ര വേഗത്തിൽ വർദ്ധിക്കുന്നു എന്നതിന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കാൻ, നിങ്ങൾ ഈ കോണിന്റെ ടാൻജെന്റ് കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട് a.
2. x-അക്ഷത്തിന്റെ ടാൻജെന്റിനും ദിശയ്ക്കും ഇടയിലുള്ള കോണിന്റെ ടാൻജെന്റ്, പോയിന്റ് എ ഉള്ള ഒരു ചെറിയ ഏരിയയിലെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു. ഈ രീതി ഡെറിവേറ്റീവ് നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ജ്യാമിതീയ രീതിയായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.

പ്രവർത്തനം പഠിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ

സ്കൂൾ മാത്തമാറ്റിക്സ് പാഠ്യപദ്ധതിയിൽ, ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റ് രണ്ട് തരത്തിൽ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും. ഒരു ഗ്രാഫ് ഉപയോഗിക്കുന്ന ആദ്യ രീതി ഞങ്ങൾ ഇതിനകം ചർച്ച ചെയ്തിട്ടുണ്ട്, എന്നാൽ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ സംഖ്യാ മൂല്യം നമുക്ക് എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കാനാകും? ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ഗുണങ്ങളെ വിവരിക്കുന്ന നിരവധി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നിങ്ങൾ പഠിക്കേണ്ടതുണ്ട്, കൂടാതെ "x" പോലുള്ള വേരിയബിളുകളെ അക്കങ്ങളാക്കി മാറ്റാൻ സഹായിക്കുകയും വേണം. ഇനിപ്പറയുന്ന രീതി സാർവത്രികമാണ്, അതിനാൽ ഇത് മിക്കവാറും എല്ലാ തരം ഫംഗ്ഷനുകളിലും (ജ്യാമിതീയവും ലോഗരിഥമിക്) പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയും.

1. ഫംഗ്‌ഷനെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷനിലേക്ക് തുല്യമാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, തുടർന്ന് ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക.
2. ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, "x" എന്ന വേരിയബിൾ ഡിവൈസറിൽ ഉള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷൻ നൽകുമ്പോൾ, അതിൽ നിന്ന് "0" എന്ന പോയിന്റ് ഒഴിവാക്കി, സ്വീകാര്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണി നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് (ഗണിതത്തിൽ ഒരിക്കലും പാടില്ല എന്ന ലളിതമായ കാരണത്താൽ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക).
3. ഇതിനുശേഷം, നിങ്ങൾ ഫംഗ്ഷന്റെ യഥാർത്ഥ രൂപം ഒരു ലളിതമായ സമവാക്യമാക്കി മാറ്റണം, മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഫംഗ്ഷൻ ഇതുപോലെയാണെങ്കിൽ: f(x) = 2x 3 +38x, ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച് അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് f"(x) = 3x 2 +1 ന് തുല്യമാണ്. തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ ഈ പദപ്രയോഗം ഒരു ആക്കി മാറ്റുന്നു. ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോമിന്റെ സമവാക്യം: 3x 2 +1 = 0 .
4. സമവാക്യം പരിഹരിച്ച് “x” പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തിയ ശേഷം, നിങ്ങൾ അവയെ x-അക്ഷത്തിൽ പ്ലോട്ട് ചെയ്യുകയും അടയാളപ്പെടുത്തിയ പോയിന്റുകൾക്കിടയിലുള്ള ഈ വിഭാഗങ്ങളിലെ ഡെറിവേറ്റീവ് പോസിറ്റീവ് ആണോ നെഗറ്റീവ് ആണോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കുകയും വേണം. പദവിക്ക് ശേഷം, ഏത് ഘട്ടത്തിലാണ് ഫംഗ്ഷൻ കുറയാൻ തുടങ്ങുന്നതെന്ന് വ്യക്തമാകും, അതായത്, മൈനസിൽ നിന്ന് വിപരീത ചിഹ്നത്തിലേക്ക് മാറുന്നു. ഈ രീതിയിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതും കൂടിയതുമായ പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്താനാകും.

വ്യത്യാസത്തിന്റെ നിയമങ്ങൾ

ഒരു ഫംഗ്ഷനും അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവും പഠിക്കുന്നതിലെ ഏറ്റവും അടിസ്ഥാന ഘടകം വ്യത്യസ്തതയുടെ നിയമങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവാണ്. അവരുടെ സഹായത്തോടെ മാത്രമേ നിങ്ങൾക്ക് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങളും വലിയ സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനങ്ങളും രൂപാന്തരപ്പെടുത്താൻ കഴിയൂ. നമുക്ക് അവരുമായി പരിചയപ്പെടാം, അവയിൽ ധാരാളം ഉണ്ട്, എന്നാൽ ശക്തിയുടെയും ലോഗരിതമിക് ഫംഗ്ഷനുകളുടെയും സ്വാഭാവിക ഗുണങ്ങൾ കാരണം അവയെല്ലാം വളരെ ലളിതമാണ്.

1. ഏതൊരു സ്ഥിരാങ്കത്തിന്റെയും ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് (f(x) = 0). അതായത്, f(x) = x 5 + x - 160 എന്ന ഡെറിവേറ്റീവ് ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോം എടുക്കും: f" (x) = 5x 4 +1.
2. രണ്ട് പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ്: (f+w)" = f"w + fw".
3. ഒരു ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്: (ലോഗ് എ ഡി)" = d/ln a*d. ഈ ഫോർമുല എല്ലാ തരം ലോഗരിതങ്ങൾക്കും ബാധകമാണ്.
4. ശക്തിയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ്: (x n)"= n*x n-1. ഉദാഹരണത്തിന്, (9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. sinusoidal ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്: (sin a)" = cos a. കോണിന്റെ പാപം 0.5 ആണെങ്കിൽ, അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് √3/2 ആണ്.

എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകൾ

മിനിമം പോയിന്റുകൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് ഞങ്ങൾ ഇതിനകം ചർച്ച ചെയ്തിട്ടുണ്ട്, എന്നാൽ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ പരമാവധി പോയിന്റുകൾ എന്ന ആശയവും ഉണ്ട്. ഫംഗ്‌ഷൻ ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പ്ലസ് ആയി മാറുന്ന പോയിന്റുകളെയാണ് മിനിമം സൂചിപ്പിക്കുന്നതെങ്കിൽ, ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പ്ലസിൽ നിന്ന് വിപരീതമായി മാറുന്ന x-അക്ഷത്തിലെ പോയിന്റുകളാണ് പരമാവധി പോയിന്റുകൾ - മൈനസ്.

മുകളിൽ വിവരിച്ച രീതി ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഇത് കണ്ടെത്താൻ കഴിയും, എന്നാൽ ഫംഗ്ഷൻ കുറയാൻ തുടങ്ങുന്ന മേഖലകളെ അവർ സൂചിപ്പിക്കുന്നുവെന്ന് നിങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കണം, അതായത്, ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവായിരിക്കും.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, രണ്ട് ആശയങ്ങളെയും സാമാന്യവൽക്കരിക്കുന്നത് പതിവാണ്, അവയെ "തീവ്രതയുടെ പോയിന്റുകൾ" എന്ന പദപ്രയോഗം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. ഈ പോയിന്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ ഒരു ടാസ്‌ക് നിങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെടുമ്പോൾ, നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് നിങ്ങൾ കണക്കാക്കുകയും ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതും കൂടിയതുമായ പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുകയും വേണം എന്നാണ്.

y = f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ പരിഗണിക്കുക, അത് ഇടവേളയിൽ (a, b) കണക്കാക്കുന്നു.

എല്ലാ x (x1, b) നും അസമത്വം f(x1) > f(x) നിലനിർത്തുന്ന തരത്തിൽ (a, b) ഇടവേളയിൽ പെടുന്ന x1 പോയിന്റിന്റെ b-അയൽപക്കം സൂചിപ്പിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, y1 = f1(x1) എന്നാണ് വിളിക്കുന്നത് പ്രവർത്തനത്തിന്റെ പരമാവധി y = f(x) ചിത്രം കാണുക.

y = f(x) ഫംഗ്‌ഷന്റെ പരമാവധി ഞങ്ങൾ പരമാവധി f(x) കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. എല്ലാ x നും അത് O (x2, 6) എന്നതിന് തുല്യമായതിനാൽ, x എന്നത് x2 ന് തുല്യമല്ല, ഇടവേളയിൽ (a, b) പെടുന്ന ഒരു പോയിന്റിന്റെ x2-ന്റെ b-അയൽപക്കം സൂചിപ്പിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, അസമത്വം നിലനിർത്തുന്നു f(x2)< f(x) , തുടർന്ന് y2= f(x2) എന്നത് y-f(x) ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതായി വിളിക്കുന്നു (ചിത്രം കാണുക).

പരമാവധി കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണത്തിനായി, ഇനിപ്പറയുന്ന വീഡിയോ കാണുക

ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പ്രവർത്തനങ്ങൾ

y = f(x) ഫംഗ്‌ഷന്റെ മിനിമം f(x) കൊണ്ട് ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. മറ്റൊരു വാക്കിൽ, ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ പരമാവധി അല്ലെങ്കിൽ കുറഞ്ഞത് y = f(x) വിളിച്ചുഅതിന്റെ മൂല്യം തന്നിരിക്കുന്ന ഒന്നിനോട് വളരെ അടുത്തും അതിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്‌തവുമായ പോയിന്റുകളിൽ സ്വീകാര്യമായ മറ്റെല്ലാ മൂല്യങ്ങളേക്കാളും വലുതാണ് (കുറവ്).

കുറിപ്പ് 1. പരമാവധി പ്രവർത്തനം, അസമത്വത്താൽ നിർവചിക്കപ്പെട്ടത് കർശനമായ പരമാവധി എന്ന് വിളിക്കുന്നു; കർശനമല്ലാത്ത പരമാവധി അസമത്വത്താൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു f(x1) > = f(x2)

കുറിപ്പ് 2. ഒരു പ്രാദേശിക പ്രതീകം ഉണ്ടായിരിക്കുക (ഇത് അനുബന്ധ പോയിന്റിന്റെ മതിയായ ചെറിയ അയൽപക്കത്തിലെ ഫംഗ്ഷന്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങളാണ്); ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ വ്യക്തിഗത മിനിമ അതേ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മാക്‌സിമയേക്കാൾ വലുതായിരിക്കാം

തൽഫലമായി, ഫംഗ്ഷന്റെ പരമാവധി (കുറഞ്ഞത്) എന്ന് വിളിക്കുന്നു പ്രാദേശിക പരമാവധി(പ്രാദേശിക മിനിമം) സമ്പൂർണ്ണ മാക്സിമം (കുറഞ്ഞത്) എന്നതിന് വിപരീതമായി - ഫംഗ്ഷന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്നിലെ ഏറ്റവും വലിയ (ചെറിയ) മൂല്യം.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ കൂടിയതും കുറഞ്ഞതും ആയവയെ എക്‌സ്ട്രീം എന്ന് വിളിക്കുന്നു . ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കാൻ എക്സ്ട്രീമ ഇൻ കണ്ടെത്തി

ലാറ്റിൻ എക്സ്ട്രീം എന്നാൽ "തീവ്രമായത്" അർത്ഥം. ആർഗ്യുമെന്റ് x ന്റെ മൂല്യം ഏത് തീവ്രതയിൽ എത്തുന്നുവോ അതിനെ എക്സ്ട്രീം പോയിന്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു എക്സ്ട്രീമിന് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥ ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.

സിദ്ധാന്തം. ഡിഫറൻഷ്യബിൾ ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്ട്രീം പോയിന്റിൽ, അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

സിദ്ധാന്തത്തിന് ലളിതമായ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥമുണ്ട്: അനുബന്ധ പോയിന്റിലെ ഡിഫറൻഷ്യബിൾ ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെന്റ് ഓക്സ് അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമാണ്.

1°. ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ തീവ്രത നിർണ്ണയിക്കൽ.

രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ പരമാവധി, മിനിമം, എക്‌സ്‌ട്രീം എന്നീ ആശയങ്ങൾ ഒരു സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിന്റെ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ അനുബന്ധ ആശയങ്ങൾക്ക് സമാനമാണ്.

പ്രവർത്തനം നടക്കട്ടെ z =f (x ; y)ചില പ്രദേശത്ത് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു ഡിഡോട്ട് എൻ (x 0 ;y 0) ഡി.

ഡോട്ട് (x 0 ;y 0)ഒരു പോയിന്റ് വിളിച്ചു പരമാവധിപ്രവർത്തനങ്ങൾ z= f (x ;y),അത്തരത്തിലുള്ള ഒരു -അയൽപക്കം ഉണ്ടെങ്കിൽ (x 0 ;y 0),അത് ഓരോ പോയിന്റിനും (x;y),നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ് (x 0 ;y 0)ഈ അയൽപക്കത്തിൽ നിന്ന് അസമത്വം നിലനിൽക്കുന്നു f (x ;y)< f (x 0 ;y 0).ചിത്രം 12 ൽ: N 1 -പരമാവധി പോയിന്റ്, a N 2 -പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റ് z =f (x ;y).

പോയിന്റ് സമാനമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത്പ്രവർത്തനങ്ങൾ: എല്ലാ പോയിന്റുകൾക്കും (x 0 ;y 0),നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ് (x 0 ;y 0),ഒരു പോയിന്റിന്റെ അയൽപക്കത്തിൽ നിന്ന് (x 0 ;y 0)അസമത്വം നിലനിർത്തുന്നു: f (x 0 ;y 0) >f (x 0 ;y 0).

മൂന്നോ അതിലധികമോ വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്ട്രീം സമാനമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.

പരമാവധി (മിനിമം) പോയിന്റിലെ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യത്തെ വിളിക്കുന്നു പരമാവധി (കുറഞ്ഞത്)പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ കൂടിയതും കുറഞ്ഞതും എന്ന് വിളിക്കുന്നു അങ്ങേയറ്റം.

നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിന്റ് ഫംഗ്‌ഷന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിനുള്ളിലാണ് എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക; പരമാവധി, മിനിമം ഉണ്ട് പ്രാദേശികമായ(പ്രാദേശിക) പ്രതീകം: ഒരു പോയിന്റിലെ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം (x 0 ;y 0)വേണ്ടത്ര അടുത്തുള്ള പോയിന്റുകളിൽ അതിന്റെ മൂല്യങ്ങളുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുന്നു (x 0 ;y 0).പ്രദേശത്ത് ഡിഒരു ഫംഗ്‌ഷന് നിരവധി തീവ്രതകൾ ഉണ്ടായിരിക്കാം അല്ലെങ്കിൽ ഒന്നുമില്ല.

2°. ഒരു തീവ്രതയ്ക്ക് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥകൾ.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം നിലനിൽക്കുന്നതിനുള്ള വ്യവസ്ഥകൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

ജ്യാമിതീയമായി തുല്യത f"y (x 0 ;y 0)= 0 ഒപ്പം f"y (x 0 ;y 0) = 0 എന്നാൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്ട്രീം പോയിന്റിൽ എന്നാണ് z = f (x ; y)പ്രവർത്തനത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഉപരിതലത്തിലേക്കുള്ള ടാൻജന്റ് തലം f (x ; y),വിമാനത്തിന് സമാന്തരമായി ഓ ഹൂടാൻജെന്റ് വിമാനത്തിന്റെ സമവാക്യം ആയതിനാൽ z =z 0.

അഭിപ്രായം.ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകളിൽ ഒരെണ്ണമെങ്കിലും നിലവിലില്ലാത്ത പോയിന്റുകളിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന് ഒരു തീവ്രത ഉണ്ടായിരിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, പ്രവർത്തനം പോയിന്റിൽ പരമാവധി ഉണ്ട് കുറിച്ച്(0;0), എന്നാൽ ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഭാഗികമായ ഡെറിവേറ്റീവുകളൊന്നുമില്ല.

ഫംഗ്‌ഷന്റെ ആദ്യ ഓർഡർ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പോയിന്റ് z = f (x ;y)പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത്. f"x = 0, എഫ്" y = 0, വിളിച്ചു നിശ്ചല പോയിന്റ്പ്രവർത്തനങ്ങൾ z.

ഒരു ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവെങ്കിലും നിലവിലില്ലാത്ത സ്റ്റേഷണറി പോയിന്റുകളും പോയിന്റുകളും വിളിക്കുന്നു നിർണായക പോയിന്റുകൾ.

നിർണായക ഘട്ടങ്ങളിൽ, ഫംഗ്‌ഷന് ഒരു എക്സ്ട്രീം ഉണ്ടായിരിക്കാം അല്ലെങ്കിൽ ഇല്ലായിരിക്കാം. ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പൂജ്യത്തിലേക്കുള്ള തുല്യത ഒരു തീവ്രതയുടെ നിലനിൽപ്പിന് ആവശ്യമായതും എന്നാൽ പര്യാപ്തമല്ലാത്തതുമായ ഒരു വ്യവസ്ഥയാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, പ്രവർത്തനം പരിഗണിക്കുക z = ഹു.അതിന്, പോയിന്റ് 0(0; 0) നിർണായകമാണ് (അത് പൂജ്യമായി മാറുന്നു). എന്നിരുന്നാലും, അതിലെ തീവ്രമായ പ്രവർത്തനം z = xyഇല്ല, കാരണം O(0;0) എന്ന പോയിന്റിന്റെ മതിയായ ചെറിയ അയൽപക്കത്തിൽ അതിനുള്ള പോയിന്റുകൾ ഉണ്ട് z> 0 (ഒന്നാം, മൂന്നാം പാദങ്ങളിലെ പോയിന്റുകൾ) കൂടാതെ z< 0 (II, IV ക്വാർട്ടറുകളുടെ പോയിന്റുകൾ).

അതിനാൽ, ഒരു നിശ്ചിത പ്രദേശത്ത് ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ തീവ്രത കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഫംഗ്ഷന്റെ ഓരോ നിർണായക പോയിന്റും അധിക ഗവേഷണത്തിന് വിധേയമാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിച്ചാണ് സ്റ്റേഷനറി പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നത്

(ഒരു തീവ്രതയ്ക്ക് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥകൾ).

സിസ്റ്റം (1) ഒരു സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ് df(x, y)=0.പൊതുവേ, അങ്ങേയറ്റത്തെ പോയിന്റിൽ പി(എ, ബി)പ്രവർത്തനങ്ങൾ f(x, y)അഥവാ df(x, y)=0, അഥവാ df(a, b) നിലവിലില്ല.

3°. ഒരു തീവ്രതയ്ക്ക് മതിയായ വ്യവസ്ഥകൾ. അനുവദിക്കുക പി(എ;ബി)- ഫംഗ്ഷന്റെ സ്റ്റേഷണറി പോയിന്റ് എഫ്(x,y),അതായത് . df(a, b) = 0. അപ്പോൾ:

എങ്കിൽ d2f (a, b)< 0 at , അപ്പോൾ എഫ്(എ, ബി) ഇതുണ്ട് പരമാവധിപ്രവർത്തനങ്ങൾ എഫ് (x, y);

b) എങ്കിൽ d2f (a, b) > 0 at , അപ്പോൾ എഫ്(എ, ബി)ഇതുണ്ട് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത്പ്രവർത്തനങ്ങൾ എഫ് (x,y);

സി) എങ്കിൽ d2f (a, b)അടയാളം മാറ്റുന്നു, തുടർന്ന് എഫ് (എ, ബി) എന്നത് പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഒരു തീവ്രതയല്ല എഫ് (x, y).

നൽകിയിരിക്കുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ ഇനിപ്പറയുന്നവയ്ക്ക് തുല്യമാണ്: അനുവദിക്കുക ഒപ്പം . നമുക്ക് കമ്പോസ് ചെയ്യാം വിവേചനം Δ=AC -B².

1) Δ > 0 ആണെങ്കിൽ, പ്രവർത്തനത്തിന് പോയിന്റിൽ ഒരു എക്സ്ട്രീം ഉണ്ട് പി(എ;ബി)അതായത്, പരമാവധി എങ്കിൽ എ<0 (അഥവാ കൂടെ<0 ), കൂടാതെ കുറഞ്ഞത് എങ്കിൽ A>0(അഥവാ С>0);

2) Δ ആണെങ്കിൽ< 0, то экстремума в точке പി(എ;ബി)ഇല്ല;

3) Δ =0 ആണെങ്കിൽ, പോയിന്റിലെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഒരു തീവ്രതയുടെ സാന്നിധ്യത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യം പി(എ;ബി)തുറന്നിരിക്കുന്നു (കൂടുതൽ ഗവേഷണം ആവശ്യമാണ്).

4°. നിരവധി വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ കേസ്. മൂന്നോ അതിലധികമോ വേരിയബിളുകളുടെ പ്രവർത്തനത്തിന്, ഒരു എക്സ്ട്രീം നിലനിൽപ്പിന് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥകൾ വ്യവസ്ഥകൾക്ക് സമാനമാണ് (1), മതിയായ വ്യവസ്ഥകൾ a), b), c) 3°.

ഉദാഹരണം. എക്സ്ട്രീം ഫംഗ്ഷൻ പരിശോധിക്കുക z=x³+3xy²-15x-12y.

പരിഹാരം. നമുക്ക് ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തി സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ഉണ്ടാക്കാം (1):

സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ, ഞങ്ങൾക്ക് നാല് സ്റ്റേഷണറി പോയിന്റുകൾ ലഭിക്കും:

നമുക്ക് രണ്ടാം ഓർഡർ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്താം

ഒരു വിവേചനം സൃഷ്ടിക്കുകയും ചെയ്യുക Δ=AC - B²ഓരോ നിശ്ചല പോയിന്റിനും.

1) പോയിന്റിനായി: , Δ=AC-B²=36-144<0 . ഇതിനർത്ഥം പോയിന്റിൽ ഒരു തീവ്രത ഇല്ല എന്നാണ്.

2) പോയിന്റ് P2 ന്: A=12, B=6, C=12; Δ=144-36>0, A>0. പോയിന്റ് P2-ൽ ഫംഗ്‌ഷന് മിനിമം ഉണ്ട്. ഈ മിനിമം ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ് x=2, y=1: ​​zmin=8+6-30-12=-28.

3) പോയിന്റിനായി: A= -6, B=-12, C= -6; Δ = 36-144<0 . അങ്ങേയറ്റം ഇല്ല.

4) പോയിന്റ് P 4-ന്: A=-12, B=-6, C=-12; Δ=144-36>0. പോയിന്റ് P4-ൽ ഫംഗ്‌ഷന് പരമാവധി തുല്യമാണ് Zmax=-8-6+30+12=28.

5°. കണ്ടീഷണൽ എക്സ്ട്രീം. ഏറ്റവും ലളിതമായ സാഹചര്യത്തിൽ സോപാധികമായ അങ്ങേയറ്റംപ്രവർത്തനങ്ങൾ എഫ്(x,y) ഈ ഫംഗ്‌ഷന്റെ പരമാവധി അല്ലെങ്കിൽ കുറഞ്ഞതാണ്, അതിന്റെ ആർഗ്യുമെന്റുകൾ സമവാക്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു എന്ന വ്യവസ്ഥയിൽ നേടിയെടുക്കുന്നു φ(x,y)=0 (കണക്ഷൻ സമവാക്യം). ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ സോപാധികമായ തീവ്രത കണ്ടെത്താൻ എഫ്(x, y) ഒരു ബന്ധത്തിന്റെ സാന്നിധ്യത്തിൽ φ(x,y) = 0, വിളിക്കപ്പെടുന്നവ രൂപീകരിക്കുക ലഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്ഷൻ

എഫ് (x,y )=f (x,y)+λφ (x,y),

ഇവിടെ λ ഒരു നിർവചിക്കപ്പെടാത്ത സ്ഥിരമായ ഘടകമാണ്, കൂടാതെ ഈ സഹായ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ സാധാരണ തീവ്രത തേടുന്നു. ഒരു എക്സ്ട്രീമിന് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥകൾ മൂന്ന് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു

മൂന്ന് അജ്ഞാതർക്കൊപ്പം x, y, λ, ഇതിൽ നിന്ന് ഈ അജ്ഞാതർക്ക്, പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ, നിർണ്ണയിക്കാനാകും.

ലാഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്‌ഷന്റെ രണ്ടാമത്തെ ഡിഫറൻഷ്യലിന്റെ അടയാളം പഠിക്കുന്നതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി സോപാധികമായ അറ്റത്തിന്റെ നിലനിൽപ്പിനെയും സ്വഭാവത്തെയും കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യം പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു.

പരീക്ഷണത്തിൻ കീഴിലുള്ള മൂല്യ വ്യവസ്ഥയ്ക്കായി x, y, λ, (2) എന്നതിൽ നിന്ന് ലഭിച്ചത് dxഒപ്പം dуസമവാക്യം വഴി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു

.

അതായത്, പ്രവർത്തനം എഫ്(x,y) എങ്കിൽ ഒരു സോപാധികമായ പരമാവധി ഉണ്ട് d²F< 0, ഒപ്പം സോപാധികമായ മിനിമം എങ്കിൽ d²F>0. പ്രത്യേകിച്ച്, ഫംഗ്ഷനുള്ള വിവേചന Δ ആണെങ്കിൽ F(x,y)ഒരു സ്റ്റേഷണറി പോയിന്റിൽ പോസിറ്റീവ് ആണ്, തുടർന്ന് ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്ഷന്റെ സോപാധികമായ പരമാവധി ഉണ്ട് എഫ്(x, y), എങ്കിൽ എ< 0 (അല്ലെങ്കിൽ കൂടെ< 0), കൂടാതെ സോപാധികമായ മിനിമം എങ്കിൽ എ > ഒ(അഥവാ С>0).

അതുപോലെ, മൂന്നോ അതിലധികമോ വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീം ഒന്നോ അതിലധികമോ കണക്ഷൻ സമവാക്യങ്ങളുടെ സാന്നിധ്യത്തിൽ കാണപ്പെടുന്നു (അതിന്റെ എണ്ണം, വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണത്തേക്കാൾ കുറവായിരിക്കണം). ലഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്‌ഷനിലേക്ക് കപ്ലിംഗ് സമവാക്യങ്ങൾ ഉള്ളതുപോലെ അനിശ്ചിതത്വമുള്ള ഘടകങ്ങളെ ഇവിടെ അവതരിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഉദാഹരണം. ഫംഗ്ഷന്റെ തീവ്രത കണ്ടെത്തുക z =6-4x -3വൈവേരിയബിളുകൾ നൽകിയിട്ടുണ്ട് എക്സ്ഒപ്പം ചെയ്തത്സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുക x²+y²=1.

പരിഹാരം. ജ്യാമിതീയമായി, ആപ്ലിക്കേഷന്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിലാണ് പ്രശ്നം വരുന്നത് zവിമാനം z=6 - 4x - Zuസിലിണ്ടറുമായി അതിന്റെ വിഭജന പോയിന്റുകൾക്കായി x2+y2=1.

Lagrange ഫംഗ്ഷൻ കംപൈൽ ചെയ്യുന്നു F(x,y)=6 -4x -3y+λ(x2+y2 -1).

നമുക്ക് ഉണ്ട് . ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥകൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം നൽകുന്നു

ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്ന പരിഹാരം:

.

,

d²F =2λ (dx²+dy²).

എങ്കിൽ, പിന്നെ d²F >0, അതിനാൽ, ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്ഷന് സോപാധികമായ ഒരു മിനിമം ഉണ്ട്. എങ്കിൽ തുടർന്ന് d²എഫ്<0, അതിനാൽ, ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്ഷന് ഒരു സോപാധികമായ പരമാവധി ഉണ്ട്.

അങ്ങനെ,

6°. ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ.

പ്രവർത്തനം നടക്കട്ടെ z =f (x ; y)പരിമിതമായ അടച്ച മേഖലയിൽ നിർവചിക്കപ്പെട്ടതും തുടർച്ചയായതും . പിന്നെ അവൾ ചില പോയിന്റുകളിൽ എത്തുന്നു നിങ്ങളുടെ ഏറ്റവും വലിയ എംഏറ്റവും കുറഞ്ഞത് ടിമൂല്യങ്ങൾ (വിളിക്കപ്പെടുന്നത് ഗ്ലോബൽ എക്സ്ട്രീം).ഈ മൂല്യങ്ങൾ പ്രദേശത്തിനകത്ത് സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന പോയിന്റുകളിലെ ഫംഗ്ഷൻ വഴി കൈവരിക്കുന്നു , അല്ലെങ്കിൽ പ്രദേശത്തിന്റെ അതിർത്തിയിൽ കിടക്കുന്ന പോയിന്റുകളിൽ.