ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ വിഭജനം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം. ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ പ്രാധാന്യമില്ല. ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിക്ക് ബി 1, ബി 2, ..., ബി [എൻ] ഓരോ അടുത്ത പദം] മുമ്പത്തെ നമ്പർ ഗുണിച്ചാണ് ലഭിക്കുന്നത്. പുരോഗതിയുടെ വളർച്ചയുടെയോ കുറവിന്റെയോ നിരക്കിന്റെ സവിശേഷതയും ഇത് ഒരു സംഖ്യയാണ് ഡിനോമിനേറ്റർ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി സൂചിപ്പിക്കുക

ജിയോമെട്രിക് പ്രോഗ്രാമിന്റെ ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ദൗത്യത്തിനായി, ഡിനോമിനേറ്ററിന് പുറമേ, അതിന്റെ ആദ്യ കാലാവധി അറിയുകയോ നിർവചിക്കുകയോ ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ പോസിറ്റീവ് മൂല്യത്തിനായി, പുരോഗതി ഒരു ഏകതാനമാണ്, ഈ സംഖ്യകളുടെ ക്രമം ഏകതാനമായി കുറയുകയും ഏകതാനമായി കുറയുകയും ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ. ഡിനോമിനേറ്റർ ഒരൊറ്റ പരിശീലനത്തിന് തുല്യമാകുമ്പോൾ, സമാന സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണിയും അവയുടെ സംഗ്രഹവും പ്രായോഗിക താൽപ്പര്യത്തിന് കാരണമാകില്ല.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ ജനറൽ അംഗം ഫോർമുല പ്രകാരം കണക്കാക്കുക

തുക n ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ ആദ്യത്തെ അംഗങ്ങൾ സമവാക്യം നിർണ്ണയിക്കുക

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയ്ക്കുള്ള ക്ലാസിക്കൽ ടാസ്ക്കുകൾക്ക് പരിഹാരങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക. ലളിതമായവ മനസ്സിലാക്കാൻ നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം.

ഉദാഹരണം 1. ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ ആദ്യത്തെ അംഗം 27 ആണ്, അതിന്റെ ഡിനോമിനേറ്റർ 1/3 ആണ്. ആദ്യത്തെ ജ്യാമിതീയ പുരോഗമന അംഗങ്ങളെ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം: പ്രശ്നത്തിൽ പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥ എഴുതുക

കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്കായി, ജ്യാമിതീയ പുരോഗമിച്ച എൻ-ഓഫ് അംഗം ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു

അതിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പുരോഗതിയുടെ അജ്ഞാത അംഗങ്ങളെ ഞങ്ങൾ കാണുന്നു

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ലളിതമാണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് എങ്ങനെ ഉറപ്പാക്കാനാകും. പുരോഗതി തന്നെ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും

ഉദാഹരണം 2. ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ മൂന്ന് അംഗങ്ങളുണ്ട്: 6; -12; 24. ഡിനോമിനേറ്ററും അവളുടെ ഡിക്കിലെ ഏഴാമത്തെയും കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം: അതിന്റെ നിർവചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ കണക്കാക്കുക

-2 ന്റെ ഡിനോമിനേറ്ററുടെ ഇതര ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ലഭിച്ചു. ഏഴാം അംഗം സമവാക്യം കണക്കാക്കുന്നു

ഈ പ്രശ്നത്തിൽ പരിഹരിച്ചു.

ഉദാഹരണം 3. ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി രണ്ട് അംഗങ്ങൾ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു . പുരോഗതിയിലെ പത്താം അംഗം കണ്ടെത്തുക.

തീരുമാനം:

സൂത്രവാക്യങ്ങൾ വഴി ഞങ്ങൾ നിർദ്ദിഷ്ട മൂല്യങ്ങൾ എഴുതുന്നു

നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച് ഒരു ഡിനോമിനേറ്റർ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, തുടർന്ന് ആവശ്യമുള്ള മൂല്യത്തിനായി നോക്കുക, പക്ഷേ ഞങ്ങൾക്ക് പത്താം അംഗത്തിന് ഉണ്ട്

ഇൻപുട്ട് ഡാറ്റയുമായുള്ള കഠിനമല്ലാത്ത കൃത്രിമങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഇതേ ഫോർമുല ലഭിക്കും. ഞങ്ങൾ ലഭിക്കുന്ന തൽഫലമായി ഞങ്ങൾ വരിയിലെ ആറാമത്തെ അംഗം മറ്റൊന്നിലേക്ക് വിഭജിക്കുന്നു

മൂല്യം ആറാമത്തെ അംഗത്തിന് വൈവിധ്യമാർന്നതാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾക്ക് പത്താം സ്ഥാനത്തെത്തി

അതിനാൽ, ലളിതമായ പരിവർത്തനങ്ങളുള്ള സമാന ജോലികൾക്ക്, ശരിയായ രീതിയിൽ ശരിയായ പരിഹാരം കാണാം.

ഉദാഹരണം 4. ആവർത്തിച്ചുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ജോമെട്രിക് പുരോഗതി നൽകി

ഒരു ഡിനോമിനേറ്റർ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയും ആദ്യത്തെ ആറ് അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയും കണ്ടെത്തുക.

തീരുമാനം:

നൽകിയ ഡാറ്റയെ സമവാക്യങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു

ആദ്യത്തേതിന് രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം നൽകുന്ന ഡിനോമിനേറ്റർ പ്രകടിപ്പിക്കുക

ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്റെ പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ കാലാവധി കണ്ടെത്തുക

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അളവ് കണ്ടെത്താൻ ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന അഞ്ച് അംഗങ്ങളെ കണക്കാക്കുന്നു

ചില വരി പരിഗണിക്കുക.

7 28 112 448 1792...

അതിന്റെ ഒരു മൂലകന്റെ അർത്ഥം മുമ്പത്തെ നാലിരട്ടിലധികം തവണയാണെന്നത് വ്യക്തമാണ്. അതിനാൽ, ഈ ശ്രേണി പുരോഗതിയാണ്.

സംഖ്യകളുടെ അനന്തമായ ഒരു ശ്രേണിയാണ് ജ്യാമിതീയ പുരോഗമന, പ്രധാന സവിശേഷത ചില നിർദ്ദിഷ്ട നമ്പറിലേക്ക് ഗുണിച്ചുകൊണ്ട് അടുത്ത നമ്പർ നേരത്ത് നിന്ന് ലഭിക്കും എന്നതാണ്. ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല ഇത് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.

ഒരു z +1 \u003d ഒരു z q, z എന്ന ഇനത്തിന്റെ എണ്ണം z ആണ്.

അതനുസരിച്ച്, z ∈ N.

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി സ്കൂൾ - ഗ്രേഡ് 9 ൽ പഠിച്ച കാലയളവ്. ആശയം മനസിലാക്കാൻ ഉദാഹരണങ്ങൾ സഹായിക്കും:

0.25 0.125 0.0625...

ഈ ഫോർമുല അടിസ്ഥാനമാക്കി, പുരോഗമിക്കുന്ന ഡിനോമിനേറ്റർ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും:

ചോർന്നു, ബി z അല്ലെങ്കിൽ ബി z ന് തുല്യമാകാൻ കഴിയില്ല. കൂടാതെ, പുരോഗതിയുടെ ഓരോ ഘടകങ്ങളും പൂജ്യമാകരുത്.

അതനുസരിച്ച്, അടുത്ത എണ്ണം വരികളെ കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ അവസാനത്തെ ചോദ്യം വർദ്ധിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഈ പുരോഗതി സജ്ജീകരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അതിന്റെ ആദ്യ ഘടകവും ഡിനോമിനേറ്ററും വ്യക്തമാക്കണം. അതിനുശേഷം, തുടർന്നുള്ള ഏതെങ്കിലും അംഗങ്ങളും അവയുടെ തുകയും കണ്ടെത്താൻ കഴിയും.

ഇനങ്ങൾ

Q, a 1 എന്നിവയെ ആശ്രയിച്ച്, ഈ പുരോഗതി പലതരം തിരിച്ചിരിക്കുന്നു:

• 1, 1, q കൂടുതൽ യൂണിറ്റുകൾ എന്നിവയാണെങ്കിൽ, പരസ്പരം ഒരു ശ്രേണി പരസ്പരം എലമെന്റ് ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുമായി വർദ്ധിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുകയാണ്. ഉദാഹരണം ചുവടെ അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം: ഒരു 1 \u003d 3, q \u200b\u200b\u003d 2 - രണ്ട് പാരാമീറ്ററുകളും ഒന്നിൽ കൂടുതലാണ്.

അപ്പോൾ സംഖ്യാ ശ്രേണി ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ രേഖപ്പെടുത്താം:

3 6 12 24 48 ...

• If | Q | കുറവ്, അതായത്, അതിലെ ഗുണന വിഭജനത്തിന് തുല്യമാണ്, ഇത്തരം സാഹചര്യങ്ങളുള്ള പുരോഗതി ജ്യാമിത പുരോഗതി കുറയ്ക്കുന്നു. ഉദാഹരണം ചുവടെ അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം: ഒരു 1 \u003d 6, q \u003d 1/3 - ഒരു 1 യൂണിറ്റുകൾ കൂടി, q കുറവാണ്.

അപ്പോൾ സംഖ്യാ ശ്രേണി ഈ രീതിയിൽ എഴുതാം:

6 2 2/3 ... - ഏതെങ്കിലും ഘടകം അതിനെ പിന്തുടരുന്ന മൂലകത്തേക്കാൾ വലുതാണ്, 3 തവണ.

• അടയാളം. Q.<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

ഉദാഹരണം: ഒരു 1 \u003d -3, q \u003d -2 - രണ്ട് പാരാമീറ്ററുകളും പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവാണ്.

അപ്പോൾ സംഖ്യാ സീക്വൻസ് ഇതായി എഴുതാം:

3, 6, -12, 24,...

സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ സൗകര്യപ്രദമായ ഉപയോഗത്തിനായി, നിരവധി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉണ്ട്:

• ഫോർമുല ഇസ-ടിഎച്ച് അംഗമാണ്. മുമ്പത്തെ അക്കങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടലില്ലാതെ നിർദ്ദിഷ്ട നമ്പറിന് കീഴിലുള്ള ഘടകം കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം:ചോദ്യം = 3, ഉത്തരം. 1 \u003d 4. ന് പുരോഗതിയുടെ നാലാമത്തെ ഘടകം ആവശ്യമാണ്.

തീരുമാനം:ഉത്തരം. 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• ആരുടെ എണ്ണം തുല്യമാണെന്ന് ആദ്യ ഘടകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക z.. എന്നതിലേക്കുള്ള എല്ലാ ശ്രേണി ഘടകങ്ങളുടെയും തുക കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നുഒരു Z. ഉൾപ്പെടെ.

(1-ചോദ്യം) പിന്നെ ഡിനോമിനേറ്ററിൽ നിൽക്കുന്നു (1 - Q)≠ 0, അതിനാൽ, Q 1 ന് തുല്യമല്ല.

കുറിപ്പ്: Q \u003d 1 ആണെങ്കിൽ, പുരോഗതി അനന്തമായി ആവർത്തിച്ചുള്ള അക്കങ്ങളുടെ ഒരു ശ്രേണിയെ പ്രതിനിധീകരിക്കും.

ഉദാഹരണങ്ങൾ, ഉദാഹരണങ്ങൾ:ഉത്തരം. 1 = 2, ചോദ്യം \u003d -2. S 5 കണക്കാക്കുക.

തീരുമാനം:എസ്. 5 = 22 - സമവാക്യത്തിന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ.

• തുക എങ്കിൽ |ചോദ്യം| < 1 и если z стремится к бесконечности.

ഉദാഹരണം:ഉത്തരം. 1 = 2 , ചോദ്യം \u003d 0.5. തുക കണ്ടെത്തുക.

തീരുമാനം:എസ് Z. = 2 · = 4

എസ് Z. = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

ചില പ്രോപ്പർട്ടികൾ:

• സ്വഭാവ സവിശേഷത. ഇനിപ്പറയുന്ന അവസ്ഥയാണെങ്കിൽ ഏതെങ്കിലും നിർവഹിച്ചുz., ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യാ വരി - ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി:

ഒരു Z. 2 = ഒരു Z. -1 · ഉത്തരം. Z + 1.

• കൂടാതെ, ഏതെങ്കിലും ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ചതുരവും ഈ ഇനത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ അവ നൽകിയ വരിയിലെ ഏതെങ്കിലും അക്കങ്ങളുടെ സ്ക്വയറുകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കലാണ്.

ഒരു Z. 2 = ഒരു Z. - ടി. 2 + ഒരു Z. + ടി. 2 എവിടെടി. - ഈ നമ്പറുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം.

• മൂലകങ്ങൾ Q- ൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.സമയം.
• പുരോഗതിയുടെ ഘടകങ്ങളുടെ ലോഗറിതം ഒരു പുരോഗതി സൃഷ്ടിക്കുന്നു, പക്ഷേ ഇതിനകം ഗണിതശാസ്ത്രമാണ്, അതായത്, അവ ഓരോന്നും ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയ്ക്ക് മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ കൂടുതലാണ്.

ചില ക്ലാസിക് ജോലികളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

9 ക്ലാസ് പരിഹാരമുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ സഹായിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഏറ്റവും നന്നായി മനസിലാക്കാൻ, സഹായിക്കും.

• വ്യവസ്ഥകൾ:ഉത്തരം. 1 = 3, ഉത്തരം. 3 \u003d 48. കണ്ടെത്തുകചോദ്യം.

പരിഹാരം: ഓരോ തുടർന്നുള്ള ഘടകവും മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ വലുതാണ്ചോദ്യം സമയം.ഡിനോമിനേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് മറ്റുള്ളവരുമായി ചില ഘടകങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

അതിനാൽഉത്തരം. 3 = ചോദ്യം 2 · ഉത്തരം. 1

പകരക്കാരൻ എപ്പോൾചോദ്യം= 4

• വ്യവസ്ഥകൾ:ഉത്തരം. 2 = 6, ഉത്തരം. 3 \u003d 12. എസ് 6 കണക്കാക്കുക.

തീരുമാനം:ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, q, ആദ്യ ഘടകം എന്നിവ കണ്ടെത്താനും സമവാക്യത്തെയും പകരക്കാരനും.

ഉത്തരം. 3 = ചോദ്യം· ഉത്തരം. 2 അതിനാൽ,ചോദ്യം= 2

ഒരു 2 \u003d q · ഒരു 1,അതുപോലെ ഒരു 1 \u003d. 3

S 6 \u003d. 189

• · ഉത്തരം. 1 = 10, ചോദ്യം \u003d -2. പുരോഗതിയുടെ നാലാമത്തെ ഘടകം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം: ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഒന്നാമത്തെയും ഡിനോമിനേറ്ററുടെയും വഴി നാലാമത്തെ ഘടകം പ്രകടിപ്പിക്കാൻ പര്യാപ്തമാണ്.

ഒരു 4 \u003d Q 3· ഒരു 1 \u003d -80

അപ്ലിക്കേഷന്റെ ഉദാഹരണം:

• ബാങ്കിന്റെ ക്ലയന്റ് 10,000 റുബിളുകളായി സംഭാവന നൽകി, ഓരോ വർഷവും ഓരോ വർഷവും പ്രധാന തുകയിലേക്കുള്ള ക്ലയന്റ് ഇതിൽ 6% ചേർക്കും. 4 വർഷത്തിനുശേഷം അക്കൗണ്ടിൽ എത്ര ഫണ്ടുകൾ ഉണ്ടാകും?

പരിഹാരം: പ്രാരംഭ തുക 10 ആയിരം റുബിളുകൾക്ക് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, അക്കൗണ്ടിൽ നിക്ഷേപിച്ച് ഒരു വർഷം 10,000 + 10,000 ന് തുല്യമായിരിക്കും · 0.06 \u003d 10000 · 1.06

അതനുസരിച്ച്, മറ്റൊരു വർഷത്തിനുശേഷം അക്കൗണ്ടിലെ തുക ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രകടിപ്പിക്കും:

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 \u003d 1.06 · 1.06 · 10,000

അതായത്, ഓരോ വർഷവും തുക 1.06 തവണ വർദ്ധിക്കുന്നു. 4 വർഷത്തിനുശേഷം അക്കൗണ്ടിലെ ഫണ്ടുകളുടെ അളവ് കണ്ടെത്താൻ പര്യാപ്തമാണെന്ന് ഇതിനർത്ഥം, ആദ്യ ഘടകം 10 ആയിരത്തിന് തുല്യമായ ആദ്യ ഘടകവും ഡിനോമിനേറ്ററും 1.06 ന് തുല്യമാണ് എന്നാണ് ഇത് .

S \u003d 1.06 · 1.06 · 1.06 · 1.06 · 1.000 \u003d 12625

തുക കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ടാസ്ക്കുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ:

വിവിധ ജോലികളിൽ, ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ഉപയോഗിക്കുന്നു. തുക കണ്ടെത്തുന്നതിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ വ്യക്തമാക്കാൻ കഴിയും:

ഉത്തരം. 1 = 4, ചോദ്യം \u003d 2, കണക്കാക്കുകS 5..

പരിഹാരം: കണക്കുകൂട്ടലിനുള്ള ആവശ്യമായ എല്ലാ ഡാറ്റയും അറിയപ്പെടുന്നു, നിങ്ങൾ അവരെ സൂത്രവാക്യത്തിൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

എസ്. 5 = 124

• ഉത്തരം. 2 = 6, ഉത്തരം. 3 \u003d 18. ആദ്യത്തെ ആറ് ഘടകങ്ങളുടെ അളവ് കണക്കാക്കുക.

തീരുമാനം:

ജോമിൽ. എല്ലാ അടുത്ത ഘടകവും Q സമയങ്ങളിൽ മുമ്പത്തെ ഒന്നാമത്തേതിനേക്കാൾ വലുതാണ്, അതായത്, നിങ്ങൾ ഘടകം അറിയേണ്ട തുക കണക്കാക്കാൻഉത്തരം. 1 ഡിനോമിനേറ്റർചോദ്യം.

ഉത്തരം. 2 · ചോദ്യം = ഉത്തരം. 3

ചോദ്യം = 3

അതുപോലെ, നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തണംഉത്തരം. 1 , അറിയുന്നഉത്തരം. 2 ഒപ്പംചോദ്യം.

ഉത്തരം. 1 · ചോദ്യം = ഉത്തരം. 2

ഒരു 1 \u003d.2

എസ്. 6 = 728.

ഓരോ പ്രകൃതിദത്ത സംഖ്യയാണെങ്കിൽ എൻ. സാധുവായ ഒരു എൻ. , അവർ എന്താണ് സജ്ജമാക്കിയതെന്ന് അവർ പറയുന്നു സംഖ്യാ ശ്രേണി :

ഉത്തരം. 1 , ഉത്തരം. 2 , ഉത്തരം. 3 , . . . , ഒരു എൻ. , . . . .

അതിനാൽ, പ്രകൃതിദത്ത വാദത്തിന്റെ പ്രവർത്തനമാണ് സംഖ്യാ ശ്രേണി.

അക്കം ഉത്തരം. 1 വിളി സീക്വൻസ് ആദ്യ അംഗം , നമ്പർ ഉത്തരം. 2 — ക്രസൻസിലെ രണ്ടാമത്തെ അംഗം , നമ്പർ ഉത്തരം. 3 — മൂന്നാമത്തെ തുടങ്ങിയവ. അക്കം ഒരു എൻ. വിളി n-m സീക്വൻസ് അംഗം , സ്വാഭാവിക സംഖ്യ എൻ. — അവന്റെ നമ്പർ .

രണ്ട് അയൽ അംഗങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒരു എൻ. ഒപ്പം ഒരു എൻ. +1 അംഗ സീക്വൻസുകൾ ഒരു എൻ. +1 വിളി ഫോളോ അപ്പ് (നേരെ ഒരു എൻ. ), പക്ഷേ ഒരു എൻ. — മുന്പിലത്തേതായ (നേരെ ഒരു എൻ. +1 ).

ഒരു ശ്രേണി സജ്ജീകരിക്കുന്നതിന്, ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയുള്ള ഒരു ശ്രേണിയിൽ ഒരു ക്രമത്തിൽ കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു രീതി നിങ്ങൾ വ്യക്തമാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

പലപ്പോഴും ക്രമം ഉപയോഗിച്ച് വ്യക്തമാക്കുന്നു സൂത്രവാക്യങ്ങൾ എൻ-ൻ അംഗം , അതായത്, സീക്വൻസ് അംഗത്തെ അതിന്റെ നമ്പർ ഉപയോഗിച്ച് നിർണ്ണയിക്കാൻ അനുവദിക്കുന്ന ഫോർമുല.

ഉദാഹരണത്തിന്,

പോസിറ്റീവ് വിചിത്ര സംഖ്യകളുടെ ക്രമം സമവാക്യം സജ്ജമാക്കാൻ കഴിയും

ഒരു എൻ.= 2n -1,

ശ്രേണി മാറിമാറി 1 ഒപ്പം -1 - സൂത്രവാക്യം

ബി. എൻ. = (-1) എൻ. +1 . ◄

സീക്വൻസ് നിർവചിക്കാം ആവർത്തിച്ചുള്ള ഫോർമുല, അതായത്, ചില ഭാഗങ്ങൾ, ചിലത് മുതൽ, മുമ്പത്തെ (ഒന്നോ അതിലധികമോ) അംഗങ്ങൾ വരെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സൂത്രവാക്യം.

ഉദാഹരണത്തിന്,

അത് അങ്ങിനെയെങ്കിൽ ഉത്തരം. 1 = 1 , പക്ഷേ ഒരു എൻ. +1 = ഒരു എൻ. + 5

ഉത്തരം. 1 = 1,

ഉത്തരം. 2 = ഉത്തരം. 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ഉത്തരം. 3 = ഉത്തരം. 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ഉത്തരം. 4 = ഉത്തരം. 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ഉത്തരം. 5 = ഉത്തരം. 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

അത് അങ്ങിനെയെങ്കിൽ ഒരു 1.= 1, ഒരു 2. = 1, ഒരു എൻ. +2 = ഒരു എൻ. + ഒരു എൻ. +1 , സംഖ്യാ സീക്വൻസിലെ ആദ്യ ഏഴ് അംഗങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവയാണ്:

ഒരു 1. = 1,

ഒരു 2. = 1,

ഒരു 3. = ഒരു 1. + ഒരു 2. = 1 + 1 = 2,

ഒരു 4. = ഒരു 2. + ഒരു 3. = 1 + 2 = 3,

ഒരു 5. = ഒരു 3. + ഒരു 4. = 2 + 3 = 5,

ഉത്തരം. 6 = ഉത്തരം. 4 + ഉത്തരം. 5 = 3 + 5 = 8,

ഉത്തരം. 7 = ഉത്തരം. 5 + ഉത്തരം. 6 = 5 + 8 = 13. ◄

സീക്വൻസുകൾ ആകാം അവസാനിക്കുന്നു ഒപ്പം അനന്തമായ .

ക്രമം എന്ന് വിളിക്കുന്നു പകദ്ധമായ ഇതിന് പരിമിതമായ എണ്ണം അംഗങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ. ക്രമം എന്ന് വിളിക്കുന്നു അനന്തമായ അതിന് അനന്തമായ അംഗങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ.

ഉദാഹരണത്തിന്,

രണ്ട് അക്ക പ്രകൃതി സംഖ്യകളുടെ ക്രമം:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

പരിമിത.

പ്രൈം നമ്പറുകളുടെ ക്രമം:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

അനന്തമാണ്. ◄

സീക്വൻസ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന ഓരോ അംഗവും രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ കൂടുതൽ.

സീക്വൻസ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു അവരോഹണം ഓരോ അംഗവും രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്നുള്ളതാണെങ്കിൽ, മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ കുറവാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്,

2, 4, 6, 8, . . . , 2എൻ., . . . - ക്രമം വർദ്ധിക്കുന്നു;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 / എൻ., . . . - ക്രമം കുറയുന്നു. ◄

വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന സംഖ്യയുള്ള ശ്രേണി, അല്ലെങ്കിൽ കുറയ്ക്കരുത്, അല്ലെങ്കിൽ, മറികടന്ന്, ഇതിനെ വർദ്ധിപ്പിക്കരുത് മോണോടോണസ് സീക്വൻസ് .

കോൺടോടോണസ് സീക്വൻസുകൾ, പ്രത്യേകിച്ച്, സീക്വൻസുകൾ വർദ്ധിപ്പിക്കുക എന്നതാണ്.

ഗണിത പുരോഗതി

ഗണിത പുരോഗതി ക്രമം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്ന ഓരോ അംഗവും മുമ്പത്തേതാണ്, അതേ നമ്പർ ചേർത്തു.

ഉത്തരം. 1 , ഉത്തരം. 2 , ഉത്തരം. 3 , . . . , ഒരു എൻ., . . .

ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യയ്ക്ക് ഒരു ഗണിത പ്രോഗ്രഷൻ ആണ് എൻ. അവസ്ഥ തൃപ്തികരമാണ്:

ഒരു എൻ. +1 = ഒരു എൻ. + d.,

എവിടെ d. - കുറച്ച് എണ്ണം.

അതിനാൽ, ഈ ഗണിത പുരോഗതിയുടെ തുടർന്നുള്ളതും മുമ്പത്തേതുമായ അംഗങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം എല്ലായ്പ്പോഴും സ്ഥിരമാണ്:

ഒരു 2. - ഉത്തരം. 1 = 3. - ഉത്തരം. 2 = . . . = ഒരു എൻ. +1 - ഒരു എൻ. = d..

അക്കം d. വിളി ഗരിത്ത്മെറ്റിക് പുരോഗതി തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതി നിശ്ചയിക്കാൻ, അതിന്റെ ആദ്യ കാലാവധിയും വ്യത്യാസവും വ്യക്തമാക്കാൻ ഇത് മതിയാകും.

ഉദാഹരണത്തിന്,

അത് അങ്ങിനെയെങ്കിൽ ഉത്തരം. 1 = 3, d. = 4 , സീക്വസുകളുടെ ആദ്യ അഞ്ച് സീക്വൻസുകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കണ്ടെത്തുന്നു:

ഒരു 1. =3,

ഒരു 2. = ഒരു 1. + d. = 3 + 4 = 7,

ഒരു 3. = ഒരു 2. + d.= 7 + 4 = 11,

ഒരു 4. = ഒരു 3. + d.= 11 + 4 = 15,

ഉത്തരം. 5 = ഉത്തരം. 4 + d.= 15 + 4 = 19. ◄

ആദ്യ അംഗമുള്ള ഗണിത പുരോഗതികൾക്കായി ഉത്തരം. 1 വ്യത്യാസം വ്യത്യാസം d. അവളുടെ എൻ.

ഒരു എൻ. = ഒരു 1. + (എൻ.- 1)d.

ഉദാഹരണത്തിന്,

അരിത്മെറ്റിക് പുരോഗതിയുടെ ഒരു മുപ്പത് അംഗം കണ്ടെത്തുക

1, 4, 7, 10, . . .

ഒരു 1. =1, d. = 3,

ഒരു 30. = ഒരു 1. + (30 - 1)d \u003d.1 + 29· 3 = 88. ◄

ഒരു N-1 = ഒരു 1. + (എൻ.- 2)ഡി,

ഒരു എൻ.= ഒരു 1. + (എൻ.- 1)ഡി,

ഒരു എൻ. +1 = ഉത്തരം. 1 + nd.,

പിന്നെ വ്യക്തമായും

രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച്, ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ഓരോ അംഗവും ശരാശരി ഗണിത അംഗങ്ങൾക്കും തുടർന്നുള്ള അംഗങ്ങൾക്കും തുല്യമാണ്.

ഒരു, ബി, സി എന്നിവ ചില ഗണിത മാർഗ്ഗങ്ങളിലെ സ്ഥിരമായ അംഗങ്ങളാണ്, അവയിലൊന്ന് ശരാശരി ഗണിതത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം.

ഉദാഹരണത്തിന്,

ഒരു എൻ. = 2എൻ.- 7 ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയാണ്.

മുകളിലുള്ള പ്രസ്താവന ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. നമുക്ക് ഉണ്ട്:

ഒരു എൻ. = 2എൻ.- 7,

ഒരു N-1 = 2(n -1) - 7 = 2എൻ.- 9,

ഒരു n + 1 = 2(n +.1) - 7 = 2എൻ.- 5.

അതിനാൽ

◄

അതല്ല എൻ. -നിക്ഷേത്രമായ പുരോഗതിയുടെ അംഗം മാത്രമല്ല ഉത്തരം. 1 എന്നാൽ മുമ്പത്തെ ഏതെങ്കിലും ഒരു കെ.

ഒരു എൻ. = ഒരു കെ. + (എൻ.- കെ.)d..

ഉദാഹരണത്തിന്,

വേണ്ടി ഉത്തരം. 5 റെക്കോർഡുചെയ്യാനാകും

ഒരു 5. = ഒരു 1. + 4d.,

ഒരു 5. = ഒരു 2. + 3d.,

ഒരു 5. = ഒരു 3. + 2d.,

ഒരു 5. = ഒരു 4. + d.. ◄

ഒരു എൻ. = ഒരു N-K + കെഡി.,

ഒരു എൻ. = ഒരു n + k - കെഡി.,

പിന്നെ വ്യക്തമായും

ഗണിത പുരോഗതിയിലെ ഏതെങ്കിലും അംഗം, രണ്ടാമത്തെ മുതൽ ആരംഭിക്കുന്നത് ഈ ഗണിത പുരോഗതിയുടെ അംഗങ്ങളിൽ പകുതിയായി.

കൂടാതെ, ഒരു ഗണിത പുരോഗതിക്കും സമത്വം ശരിയാണ്:

a m + a n \u003d a k + a l,

m + n \u003d k + l.

ഉദാഹരണത്തിന്,

ഗണിത പുരോഗതിയിൽ

1) ഉത്തരം. 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ഉത്തരം. 9 + ഉത്തരം. 11 )/2;

2) 28 = ഒരു 10. = ഒരു 3. + 7d.\u003d 7 + 7 · 3 \u003d 7 + 21 \u003d 28;

3) ഒരു 10.= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + എ 13)/2;

4) 2 + എ 12 \u003d 5 + എ 9, പോലെ

2 + a 12= 4 + 34 = 38,

5 + എ 9 = 13 + 25 = 38. ◄

എസ് എൻ.= ഒരു 1 + a 2 + 3 +. . .+ ഒരു എൻ.,

ഒന്നാമതായ എൻ. നിബന്ധനകളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ അളവിന്റെ എണ്ണത്തിന്റെ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ പ്രവർത്തനത്തിന് ഗരിത്ത്മെറ്റിക് പുരോഗതിയുടെ അംഗങ്ങൾ തുല്യമാണ്:

ഇവിടെ നിന്ന്, പ്രത്യേകിച്ചും, അംഗത്വം സംഗ്രഹിച്ചാൽ അത് പിന്തുടരുന്നു

ഒരു കെ., ഒരു കെ. +1 , . . . , ഒരു എൻ.,

മുമ്പത്തെ ഫോർമുല അതിന്റെ ഘടന നിലനിർത്തുന്നു:

ഉദാഹരണത്തിന്,

ഗണിത പുരോഗതിയിൽ 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

എസ്. 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = എസ്. 10 - എസ്. 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

ഗണിത പുരോഗതിയാണെങ്കിൽ, മൂല്യങ്ങൾ ഉത്തരം. 1 , ഒരു എൻ., d., എൻ. ഒപ്പംഎസ്. എൻ. രണ്ട് സൂത്രവാക്യങ്ങളാൽ അതിർത്തി:

അതിനാൽ, ഈ മൂന്നു മൂല്യങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ നൽകിയാൽ, അവശേഷിക്കുന്ന രണ്ട് മൂല്യങ്ങളുടെ അനുബന്ധ മൂല്യങ്ങൾ രണ്ട് അജ്ഞാതരുമായുള്ള രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

ഗണിത പുരോഗതി ഒരു ഏകതാനമുള്ള ശ്രേണിയാണ്. അതിൽ:

• അത് അങ്ങിനെയെങ്കിൽ d. > 0 , അത് വർദ്ധിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുകയാണ്;
• അത് അങ്ങിനെയെങ്കിൽ d. < 0 , അത് ഇറങ്ങപ്പെടുന്നു;
• അത് അങ്ങിനെയെങ്കിൽ d. = 0 ക്രമം നിശ്ചലമായിരിക്കും.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ക്രമം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്ന ഓരോ അംഗവും മുമ്പത്തേതാണ്, ഒരേ നമ്പറിൽ ഗുണിക്കുന്നു.

ബി. 1 , ബി. 2 , ബി. 3 , . . . , b n., . . .

ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യയ്ക്കായി ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ് എൻ. അവസ്ഥ തൃപ്തികരമാണ്:

b n. +1 = b n. · ചോദ്യം,

എവിടെ ചോദ്യം ≠ 0 - കുറച്ച് എണ്ണം.

അതിനാൽ, ഈ ജ്യാമിതീയ പുരോഗമിക്കുന്ന പ്രാഥമിക അംഗത്തിന്റെ അനുപാതം മുമ്പത്തെ ഒന്നാം സ്ഥാനത്തെ ശാശ്വതമാണ്:

ബി. 2 / ബി. 1 = ബി. 3 / ബി. 2 = . . . = b n. +1 / b n. = ചോദ്യം.

അക്കം ചോദ്യം വിളി ഡിനോമിനേറ്റർ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി.

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി നിശ്ചയിക്കാൻ, അതിന്റെ ആദ്യ ടേണും ഡിനോമിനേറ്ററും വ്യക്തമാക്കാൻ ഇത് മതിയാകും.

ഉദാഹരണത്തിന്,

അത് അങ്ങിനെയെങ്കിൽ ബി. 1 = 1, ചോദ്യം = -3 , സീക്വസുകളുടെ ആദ്യ അഞ്ച് സീക്വൻസുകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കണ്ടെത്തുന്നു:

b 1. = 1,

b 2. = b 1. · ചോദ്യം = 1 · (-3) = -3,

b 3. = b 2. · ചോദ്യം= -3 · (-3) = 9,

b 4. = b 3. · ചോദ്യം= 9 · (-3) = -27,

ബി. 5 = ബി. 4 · ചോദ്യം= -27 · (-3) = 81. ◄

ബി. 1 ഡിനോമിനേറ്റർ ചോദ്യം അവളുടെ എൻ. - ഞാൻ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താൻ കഴിയും:

b n. = ബി. 1 · ചോദ്യം എൻ. -1 .

ഉദാഹരണത്തിന്,

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഏഴാമത്തെ അംഗം കണ്ടെത്തുക 1, 2, 4, . . .

ബി. 1 = 1, ചോദ്യം = 2,

ബി. 7 = ബി. 1 · ചോദ്യം 6 = 1 · 2 6 \u003d 64. ◄

b n-1 = b 1. · ചോദ്യം എൻ. -2 ,

b n. = b 1. · ചോദ്യം എൻ. -1 ,

b n. +1 = ബി. 1 · ചോദ്യം എൻ.,

പിന്നെ വ്യക്തമായും

b n. 2 = b n. -1 · b n. +1 ,

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ ഓരോ അംഗവും, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച്, ശരാശരി ജ്യാമിതീയ (ആനുപാതിക) മുമ്പുള്ള അംഗങ്ങൾക്കും തുടർന്നുള്ള അംഗങ്ങൾക്കും തുല്യമാണ്.

വിപരീത പ്രസ്താവനയും ശരിയാണ്, തുടർന്ന് ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രസ്താവന നടക്കുന്നു:

ഒരു, ബി, സി എന്നിവ ചില ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ സ്ഥിരമായ അംഗങ്ങളാണ്, അവയിലൊന്നിന്റെ ചതുരം മറ്റ് രണ്ടെണ്ണത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, അതായത്, മറ്റ് ഒരു ശരാശരി ജ്യാമിതീയമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്,

സമവാക്യം വ്യക്തമാക്കിയ ശ്രേണി ഞങ്ങൾ തെളിയിക്കുന്നു b n. \u003d -3 · 2 എൻ. ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ്. മുകളിലുള്ള പ്രസ്താവന ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. നമുക്ക് ഉണ്ട്:

b n. \u003d -3 · 2 എൻ.,

b n. -1 \u003d -3 · 2 എൻ. -1 ,

b n. +1 \u003d -3 · 2 എൻ. +1 .

അതിനാൽ

b n. 2 \u003d (-3 · 2 എൻ.) 2 \u003d (-3 · 2 എൻ. -1 ) · (-3 · 2) എൻ. +1 ) = b n. -1 · b n. +1 ,

അത് ആവശ്യമായ പ്രസ്താവന തെളിയിക്കുന്നു. ◄

അതല്ല എൻ. -ഇ ജ്യാമിതീയ പുരോഗമന അംഗീകരിക്കുന്നത് മാത്രമല്ല മാത്രമല്ല കണ്ടെത്താൻ കഴിയൂ ബി. 1 , എന്നാൽ ഏതെങ്കിലും അംഗവും ബി കെ. സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കാൻ ഇത് മതിയാകും

b n. = ബി കെ. · ചോദ്യം എൻ. - കെ..

ഉദാഹരണത്തിന്,

വേണ്ടി ബി. 5 റെക്കോർഡുചെയ്യാനാകും

ബി 5. = b 1. · ചോദ്യം 4 ,

ബി 5. = b 2. · q 3.,

ബി 5. = b 3. · q 2.,

ബി 5. = b 4. · ചോദ്യം. ◄

b n. = ബി കെ. · ചോദ്യം എൻ. - കെ.,

b n. = b n. - കെ. · q.,

പിന്നെ വ്യക്തമായും

b n. 2 = b n. - കെ.· b n. + കെ.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ ഏതെങ്കിലും അംഗങ്ങളുടെ ചതുരം, ഈ രണ്ടാമത്തെ മുതൽ ഈ പുരോഗതിയുടെ അംഗങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനത്തിന് തുല്യമായത്.

കൂടാതെ, ഏതെങ്കിലും ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിക്ക് തുല്യത ശരിയാണ്:

b m.· b n.= ബി കെ.· b l.,

എം.+ എൻ.= കെ.+ l..

ഉദാഹരണത്തിന്,

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിൽ

1) ബി. 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ബി. 5 · ബി. 7 ;

2) 1024 = ബി. 11 = ബി. 6 · ചോദ്യം 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ബി. 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ബി. 4 · ബി. 8 ;

4) ബി. 2 · ബി. 7 = ബി. 4 · ബി. 5 , പോലെ

ബി. 2 · ബി. 7 = 2 · 64 = 128,

ബി. 4 · ബി. 5 = 8 · 16 = 128. ◄

എസ് എൻ.= ബി. 1 + ബി. 2 + ബി. 3 + . . . + b n.

ഒന്നാമതായ എൻ. ഡിനോമിനേറ്റർ ഉള്ള ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങൾ ചോദ്യം ≠ 0 സൂത്രവാക്യം കണക്കാക്കി:

അതുവഴി ചോദ്യം = 1 - സമവാക്യം അനുസരിച്ച്

എസ് എൻ.= nb. 1

നിങ്ങൾക്ക് അംഗങ്ങളെ സംഗ്രഹിക്കണമെങ്കിൽ ശ്രദ്ധിക്കുക

ബി കെ., ബി കെ. +1 , . . . , b n.,

ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:

ഉദാഹരണത്തിന്,

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിൽ 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

എസ്. 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = എസ്. 10 - എസ്. 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി നൽകിയാൽ, മൂല്യങ്ങൾ ബി. 1 , b n., ചോദ്യം, എൻ. ഒപ്പം എസ് എൻ. രണ്ട് സൂത്രവാക്യങ്ങളാൽ അതിർത്തി:

അതിനാൽ, ഈ മൂന്നു മൂല്യങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ നൽകിയാൽ, അവശേഷിക്കുന്ന രണ്ട് മൂല്യങ്ങളുടെ അനുബന്ധ മൂല്യങ്ങൾ രണ്ട് അജ്ഞാതരുമായുള്ള രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

ആദ്യ അംഗമുള്ള ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിക്കായി ബി. 1 ഡിനോമിനേറ്റർ ചോദ്യം ഇനിപ്പറയുന്നവയുണ്ട് മോണോടോണിയിലെ പ്രോപ്പർട്ടികൾ :

• ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകളിലൊന്ന് നടത്തിയാൽ പുരോഗതി വർദ്ധിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുകയാണ്:

ബി. 1 > 0 ഒപ്പം ചോദ്യം> 1;

ബി. 1 < 0 ഒപ്പം 0 < ചോദ്യം< 1;

• ഇനിപ്പറയുന്ന നിബന്ധനകളിലൊന്ന് നടത്തിയാൽ പുരോഗതി ഇങ്ങോട്ട് പോകുന്നു:

ബി. 1 > 0 ഒപ്പം 0 < ചോദ്യം< 1;

ബി. 1 < 0 ഒപ്പം ചോദ്യം> 1.

അത് അങ്ങിനെയെങ്കിൽ ചോദ്യം< 0 , ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ഒരു അടയാളമാണ്): വിചിത്രമായ സംഖ്യകളുള്ള അതിന്റെ അംഗങ്ങൾക്ക് ആദ്യ അംഗവും സംഖ്യകളുള്ള അംഗങ്ങളും ഉണ്ട് - വിപരീത ചിഹ്നം. ഇതര ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി മോണോടോണല്ലെന്ന് വ്യക്തമാണ്.

ആദ്യത്തേതിന്റെ പ്രവൃത്തി എൻ. ജ്യാമിതീയ പുരോഗമന അംഗങ്ങൾക്ക് സമവാക്യം കണക്കാക്കാം:

പി എൻ.= b 1. · B 2. · B 3. · . . . · B n. = (b 1. · b n.) എൻ. / 2 .

ഉദാഹരണത്തിന്,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

അനന്ത ജിയോമെട്രിക് പുരോഗതി കുറയ്ക്കുന്നത് കുറയുന്നു

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയെ അനന്തമായി കുറയ്ക്കുന്നു ഇൻവോമിനേറ്റർ മൊഡ്യൂൾ കുറവാണ് എന്ന അനന്തമായ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയെ വിളിക്കുക 1 , അതായത്

|ചോദ്യം| < 1 .

കുറിപ്പ് അനന്തമായി ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി കുറയ്ക്കുന്നത് കുറയ്ക്കുന്ന ശ്രേണിയായിരിക്കില്ല. ഇത് കേസിന് തുല്യമാണ്

1 < ചോദ്യം< 0 .

ഈ ഡിനോമിനേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച്, സീക്വൻസ് ഒന്നിടവിട്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

അനന്തമായി ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയെ കുറയ്ക്കുക ആദ്യത്തേത് പരിധിയില്ലാത്ത നമ്പറിലേക്ക് വിളിക്കുക എൻ. സംഖ്യയിൽ പരിധിയില്ലാത്ത വർദ്ധനവുള്ള പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങൾ എൻ. . ഈ നമ്പർ എല്ലായ്പ്പോഴും കോഴ്സിലാണ് കൂടാതെ ഫോർമുല പ്രകടിപ്പിക്കുന്നത്

ഉദാഹരണത്തിന്,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

ഗണിത, ജ്യാമിതീയ പുരോഗമികളുടെ ആശയവിനിമയം

ഗണിതവും ജ്യാമിതീയവുമായ പുരോഗതി പരസ്പരം അടുത്ത ബന്ധമുണ്ട്. രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ മാത്രം പരിഗണിക്കുക.

ഉത്തരം. 1 , ഉത്തരം. 2 , ഉത്തരം. 3 , . . . d. ടി.

ബി എ. 1 , ബി എ. 2 , ബി എ. 3 , . . . ബി ഡി. .

ഉദാഹരണത്തിന്,

1, 3, 5, . . . - വ്യത്യാസമുള്ള ഗണിത പുരോഗതി 2 ഒപ്പം

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - ഡിനോമിനേറ്ററുള്ള ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി 7 2 . ◄

ബി. 1 , ബി. 2 , ബി. 3 , . . . - ഡിനോമിനേറ്ററുള്ള ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ചോദ്യം ടി.

ഒരു ബി 1 ലോഗ് ചെയ്യുക, ഒരു ബി 2 ലോഗിൻ ചെയ്യുക, ഒരു ബി 3 ലോഗ് ചെയ്യുക, . . . - വ്യത്യാസമുള്ള ഗണിത പുരോഗതി ലോഗ് എ.ചോദ്യം .

ഉദാഹരണത്തിന്,

2, 12, 72, . . . - ഡിനോമിനേറ്ററുള്ള ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി 6 ഒപ്പം

എൽജി 2, എൽജി 12, എൽജി 72, . . . - വ്യത്യാസമുള്ള ഗണിത പുരോഗതി എൽജി 6 . ◄

വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പാഠവും അവതരണവും: "സംഖ്യാ സീക്വൻസുകൾ. ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി"

അധിക മെറ്റീരിയലുകൾ
പ്രിയ ഉപയോക്താക്കൾ, നിങ്ങളുടെ അഭിപ്രായങ്ങൾ, അവലോകനങ്ങൾ, ആശംസകൾ എന്നിവ ഉപേക്ഷിക്കാൻ മറക്കരുത്! എല്ലാ മെറ്റീരിയലുകളും ആന്റിവൈറസ് പ്രോഗ്രാം പരിശോധിക്കുന്നു.

ഗ്രേഡ് 9 നുള്ള ഓൺലൈൻ സ്റ്റോറിൽ മാനുവലുകളും സിമുലേറ്ററുകളും പരിശീലിപ്പിക്കുന്നു
ഡിഗ്രിയും വേരുകളും പ്രവർത്തനങ്ങളും ഗ്രാഫിക്സും

സഞ്ചി, ഇന്ന് ഞങ്ങൾ മറ്റൊരു തരം പുരോഗതിയെ അവതരിപ്പിക്കും.
ഇന്നത്തെ പാഠത്തിന്റെ വിഷയം ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ്.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി

ഉദാഹരണം. 1,2,4,8,8,16 ... ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി, അതിൽ ആദ്യത്തേത് ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, $ Q \u003d $ 2.

ഉദാഹരണം. 8,88,88 ... ഇഴഴത്തിന് തുല്യമായ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി,
എ $ Q \u003d 1 $.

ഉദാഹരണം. 3, -3.3, -3.3 ... ആദ്യ അംഗത്തിന് തുല്യമായ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി,
ഒരു $ Q \u003d -1 $.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിക്ക് ഏകോട്ടോടണികൾ ഉണ്ട്.
$ B_ (1)\u003e 0 $, $ Q\u003e $ 1 ആണെങ്കിൽ,
അപ്പോൾ സീക്വൻസ് വർദ്ധിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുകയാണ്.
$ B_ (1)\u003e 0 $, $ 0 ക്രമത്തിൽ ഫോമിൽ സൂചിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ട്: $ b_ (1), b_ (2), b_ (3), (3), ..., b_ (n), ... $.

ഗണിത മാർഗ്ഗനിർദ്ദേശത്തെപ്പോലെ, ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലാണെങ്കിൽ കോഴ്സിന്റെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം, തുടർന്ന് പുരോഗതിയെ അവസാന ജ്യാമിത പുരോഗതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

$ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n - 2), b_ (n - 1), b_ (n) $.
ശ്രദ്ധിക്കുക ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണെന്നതാണെങ്കിൽ, അംഗങ്ങളുടെ സ്ക്വയറുകളുടെ ക്രമം കൂടിയാണ് ജ്യാമിതീയ പുരോഗമിക്കുന്നത്. രണ്ടാമത്തെ ശ്രേണിയിൽ, ആദ്യ പദം $ b_ (1) ^ 2 $, ഡിനോമിനേറ്റർ $ Q ^ 2 $ ആണ്.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗമിക്കുന്ന എൻ-ഗോസ് അംഗത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം

നമുക്ക് ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളിലേക്ക് മടങ്ങാം.

ഉദാഹരണം. 1,2,4,8,16 ... ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി, അതിൽ ആദ്യത്തേത് ഒന്നിന് തുല്യമാണ്,
എ $ Q \u003d $ 2.
$ b_ (n) \u003d 1 * 2 ^ (n) \u003d 2 ^ (n - 1) $.

ഉദാഹരണം. 16,84,2,11 / 2 ... ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി, അതിൽ ആദ്യത്തേത് പതിനാറ്, $ Q \u003d \\ Frac (1) (2) $.
$ b_ (n) \u003d 16 * (\\ FRAC (1) (2)) ^ (n - 1) $.

ഉദാഹരണം. 8,88,88 ... ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി, ആദ്യ കാലാവധി എട്ട്, $ Q \u003d 1 $.
$ b_ (n) \u003d 8 * 1 ^ (n - 1) \u003d $ 8.

ഉദാഹരണം. 3, -3.3, -3.3 ... ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി, ആദ്യ കാലാവധി മൂന്ന് ന് തുല്യമാണ്, $ Q \u003d -1 $.
$ b_ (n) \u003d 3 * (- 1) ^ (n - 1) $.

ഉദാഹരണം. ജി_ (1), b_ (2), ..., b_ (n), ... $.
a) ഇത് അറിയുന്നത് $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d $ 3. $ B_ (5) $ കണ്ടെത്തുക.
b) $ b_ (1) \u003d 6, Q \u003d 2, b_ (n) \u003d $ 768 എന്ന് അറിയാം. N കണ്ടെത്തുക.
സി) ഇത് Q \u003d -2, b_ (6) \u003d $ 96 എന്ന് അറിയാം. $ B_ (1) $ കണ്ടെത്തുക.
d) $ b_ (1) \u003d - 2, b_ (12) \u003d $ 4096 എന്ന് അറിയാം. ചോദ്യം കണ്ടെത്തുക.

തീരുമാനം.
a) $ b_ (5) \u003d b_ (1) * Q ^ 4 \u003d 6 * 3 ^ 4 \u003d $ 486.
b) $ b_n \u003d b_1 * q ^ (n - 1) \u003d 6 * 2 ^ (n - 1) \u003d $ 768.
$ 2 ^ (n - 1) \u003d \\ FRAC (768) (768) (6) \u003d 128 $, $ 2 ^ 7 \u003d 128 \u003d\u003e N - 1 \u003d 7; N \u003d $ 8.
സി) $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 \u003d b_ (1) * (- 2) ^ 5 \u003d -32 * b_ (1) \u003d 96 \u003d\u003e b_ (1) \u003d - $ 3.
D) $ b_ (12) \u003d b_ (1) * Q ^ (11) \u003d - 2 * q ^ (11) \u003d 4096 \u003d\u003e q ^ (11) \u003d - 2048 \u003d\u003e q \u003d -2 $.

ഉദാഹരണം. ജ്യാമിതീയ പുരോഗമനത്തിലെ ഏഴാമത്തെയും അഞ്ചാമത്തെയും അംഗങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം 192 ആണ്, പുരോഗതിയിലെ അഞ്ചാമത്തെയും ആറാമത്തെ അംഗത്തെയും 192 ആണ്. ഈ പുരോഗതിയുടെ പത്താം അംഗത്തെ കണ്ടെത്തുക.

തീരുമാനം.
അത് നമുക്കറിയാം: $ b_ (7) -b_ (2) \u003d 192 $, $ b_ (5) + b_ (6) \u003d 192 $.
നമുക്കും അറിയാം: $ b_ (5) \u003d b_ (1) * Q ^ 4 $; $ b_ (6) \u003d b_ (1) * Q ^ 5 $; $ b_ (7) \u003d b_ (1) * q ^ 6 $.
പിന്നെ:
$ B_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * q ^ 4 \u003d 192 $.
$ B_ (1) * q ^ 4 + b_ (1) * q ^ 5 \u003d 192 $.
സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ലഭിച്ചു:
$ \\ ആരംഭിക്കുക (കേസുകൾ) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d 192 Q ^ + b_ (1) * q ^ 4 (1 + Q) \u003d 192 \\ അവസാനം (കേസുകൾ) $.
തയ്യാറാക്കൽ, ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യങ്ങൾ ലഭിക്കും:
$ B_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d b_ (1) * q ^ 4 (1 + Q) $.
$ Q ^ 2-1 \u003d Q + 1 $.
$ Q ^ 2-Q-2 \u003d 0 $.
Q: $ Q_ (1) \u003d 2, Q_ (2) \u003d - 1) ലഭിച്ചു.
ഞങ്ങൾ പിന്നീട് രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിന് പകരമായി നൽകുന്നു:
$ B_ (1) * 2 ^ 4 * 3 \u003d 192 \u003d\u003e b_ (1) \u003d $ 4.
$ b_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 \u003d 192 \u003d\u003e $ ഇല്ല.
A എന്ന്: $ b_ (1) \u003d 4, q \u003d $ 2.
പത്താം അംഗം ഞങ്ങൾ കാണുന്നു: $ b_ (10) \u003d b_ (1) * q ^ 9 \u003d 4 * 2 ^ 9 \u003d $ 2048.

പരിമിത ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അളവ്

അവസാന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി നൽകട്ടെ: $ b_ (1), b_ (2), (2), ..., b_ (n - 1), b_ (n) $.
അതിന്റെ അംഗങ്ങളുടെ ആകെ ഒരു പദവി ഞങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു: $ s_ (n) \u003d b_ (2) + + b_ (n - 1) + b_ (n) $.
$ Q \u003d 1 $ ആയിരിക്കുമ്പോൾ കേസിൽ. ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളും ആദ്യ അംഗത്തിന് തുല്യമാണ്, തുടർന്ന് $ s_ (n) \u003d n * b_ (1) $.
$ Q ≠ $ 1 ന്റെ കേസ് ഇപ്പോൾ പരിഗണിക്കുക.
Q- ന് മുകളിലുള്ള തുക ഗുണിക്കുക.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (1) + b_ (2) + + b_ (n - 1) + b_ (n))) * Q \u003d b_ (1) * q + b_ (q +) + B_ (n - 1) * q + b_ (n) * q \u003d b_ (2) + b_ (n) + b_ (n) * q $.
കുറിപ്പ്:
$ S_ (n) \u003d b_ (1) + (b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)).
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) + b_ (n) * q $.

$ S_ (n) * Q-s_ (n) \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n))) + b_ (n) * q-b_ (1) - (b_ (2) ) + + B_ (n - 1) + b_ (n)) \u003d b_ (n) * Q-b_ (1) $.

$ S_ (N) (Q-1) \u003d B_ (N) * Q-b_ (1) $.

. (Q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) (Q ^ (n) -1)) (Q-1) $.

$ S_ (n) \u003d \\ FRAC (B_ (1) (Q ^ (n) -1)) (Q-1) $.

പരിമിത ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ സമവാക്യം ഞങ്ങൾ നേടി.

തീരുമാനം.
$ S_ (7) \u003d \\ ഫ്രാക് (4 * ((7) -1)) (3-1) \u003d 2 * (3 ^ (7) -1) \u003d $ 4372.

ഉദാഹരണം.
അറിയപ്പെടുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ അഞ്ചാമത്തെ അംഗം കണ്ടെത്തുക: $ b_ (1) \u003d - $ 3; $ b_ (n) \u003d - 3072 $; $ S_ (n) \u003d - $ 4095.

തീരുമാനം.
$ b_ (n) \u003d (- 3) * q ^ (n - 1) \u003d - $ 3072.
$ Q ^ (n - 1) \u003d 1024 $.
$ Q ^ (n) \u003d 1024Q $.

$ S_ (n) \u003d \\ FRAC (-3 * (q ^ (n) -1)) (Q-1) \u003d - $ 4095.
$ -4095 (Q-1) \u003d - 3 * (Q ^ (n) -1) $.
$ -4095 (Q-1) \u003d - 3 * (1024Q-1) $.
$ 1365Q-1365 \u003d 1024Q-1 $.
$ 341Q \u003d $ 1364.
$ Q \u003d $ 4.
$ b_5 \u003d b_1 * q ^ 4 \u003d -3 * 4 ^ 4 \u003d -3 * 256 \u003d -768 $.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ സ്വഭാവം

ന്യൂമെറ്റിക് പുരോഗതിയാണ് സംഖ്യാ ശ്രേണി, ഓരോ അംഗത്തിന്റെ ചതുരവും ഇതുമായി അടുത്തുള്ള രണ്ട് പുരോഗതിയുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാകുമ്പോൾ മാത്രം. അവസാന പുരോഗതിക്കായി അത് മറക്കരുത്, ആദ്യത്തെ, അവസാന അംഗങ്ങൾക്ക് ഈ അവസ്ഥ നടത്തരുത്.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ ഏതെങ്കിലും അംഗങ്ങളുടെ മൊഡ്യൂൾ അതിനോട് ചേർന്നുള്ള ശരാശരി ജ്യാമിതീയ രണ്ട് അംഗങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്.

തീരുമാനം.
ഞങ്ങൾ സ്വഭാവം ഉപയോഗിക്കുന്നു:
$ (2x + 2) ^ 2 \u003d (x + 2) (3x + 3) $.
$ 4x ^ 2 + 8x + 4 \u003d 3x ^ 2 + 3x + 6x + $ 6.
$ X ^ 2-X-2 \u003d 0 $.
$ x_ (1) \u003d 2 $, $ x_ (2) \u003d - 1 $.
യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗത്തിൽ സ്ഥിരമായി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക, ഞങ്ങളുടെ പരിഹാരങ്ങൾ:
At x \u003d $ 2, ശ്രേണി ലഭിച്ചു: 4; 6; 9 - ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി, അതിൽ Q \u003d $ 1.5 $.
$ X \u003d -1 $, ലഭിച്ച ശ്രേണി: 1; 0; 0.
ഉത്തരം: $ X \u003d 2. $

സ്വയം പരിഹാരങ്ങൾക്കുള്ള ചുമതലകൾ

ജ്യാമിതീയ പുരോഗമിക്കുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗമിക്കും, തീത്ത്മെറ്റിക്, ഇത് ഗ്രേഡ് 9 ൽ ബീജഗണിതത്തിൽ പഠിച്ച ഒരു പ്രധാന സംഖ്യാ സംഖ്യാ സംഖ്യായാണ്. ഈ ലേഖനത്തിൽ, ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ പരിഗണിക്കുക, അതിന്റെ മൂല്യം അതിന്റെ സവിശേഷതകളെ എങ്ങനെ ബാധിക്കുന്നു.

പുരോഗതി ജ്യാമിതിയുടെ നിർവചനം

ആരംഭിക്കുന്നതിന്, ഈ സംഖ്യാ സീരീസിന്റെ നിർവചനം ഞങ്ങൾ നൽകുന്നു. ജ്യാമിതീയത്തിന്റെ പുരോഗതിക്ക് ഇത്രയധികം യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളെ വിളിക്കുന്നു, ഇത് നിരന്തരം ഒരു നിരന്തരമായ സംഖ്യയുടെ ആദ്യ ഘടകത്തിന്റെ ഗുണനമാണ്, അതിനെ ഡിനോമിനേറ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു വരിയിലെ അക്കങ്ങൾ 3, 6, 12, 24, ... ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ്, കാരണം നിങ്ങൾ 3 (ആദ്യ ഘടകം) 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, ഞങ്ങൾക്ക് 6. ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും 12, അങ്ങനെ.

പരിഗണിക്കലിലുള്ള ശ്രേണിയിലെ അംഗങ്ങൾ എഐ ചിഹ്നത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നത് പതിവാണ്, അവിടെ വരിയിലെ മൂലക നമ്പർ സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യയാണ് ഞാൻ.

പുരോഗതിയെക്കുറിച്ചുള്ള മുകളിലുള്ള നിർവചനം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാത്തമാറ്റിക്സ് ഭാഷയിൽ എഴുതാം: an \u003d bn-1 * A1, എവിടെ b എന്നത് ഡിനോമിനേറ്റർ ആണ്. ഈ സൂത്രവാക്യം പരിശോധിക്കുക: N \u003d 1, b1-1 \u003d 1 ആണെങ്കിൽ ഞങ്ങൾ A1 \u003d A1 ലഭിക്കുന്നു. N \u003d 2, പിന്നെ ഒരു \u003d ബി * A1 ആണെങ്കിൽ, പരിഗണനയിലുള്ള അക്കങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ നിർവചനത്തിലേക്ക് ഞങ്ങൾ വീണ്ടും വരും. എൻറെ വലിയ മൂല്യങ്ങൾക്കായി സമാന വാദങ്ങൾ തുടരാം.

ജ്യാമിതീയത്തിന്റെ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ

ഏത് പ്രതീകമെല്ലാം സംഖ്യാ സീരീസ് ആണെന്ന് നമ്പർ b എന്നിവ പൂർണ്ണമായും നിർണ്ണയിക്കുന്നു. ഡിനോമിനേറ്റർ ബി പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ്, ഒന്നോ അതിലധികമോ മൂല്യം എന്നിവയും ഉണ്ടായിരിക്കാം. ലിസ്റ്റുചെയ്ത എല്ലാ ഓപ്ഷനുകളും വ്യത്യസ്ത സീക്വൻസുകളിലേക്ക് നയിക്കുന്നു:

• b\u003e 1. യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം വർദ്ധിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, 1, 4, 8, ... ഘടകം എ 1 നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, മുഴുവൻ സീക്വൻസും മൊഡ്യൂൾ മാത്രം വർദ്ധിപ്പിക്കും, പക്ഷേ അക്കങ്ങളുടെ അടയാളം കുറയ്ക്കുന്നതിന്.
• b \u003d 1. പലപ്പോഴും ഈ കേസ് പുരോഗതി എന്ന് വിളിക്കുന്നില്ല, കാരണം സമാനമായ യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ ഒരു സാധാരണ സംഖ്യയുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, -4, -4, -4.

തുകയ്ക്കുള്ള ഫോർമുല

പരിഗണനയിലുള്ള പുരോഗതിയുടെ തരത്തിലുള്ള ഡിനോമിനേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് നിർദ്ദിഷ്ട ജോലികളുടെ പരിഗണനയോടെ തുടരുന്നതിന് മുമ്പ്, അതിന്റെ ആദ്യ N \u200b\u200bമൂലകങ്ങളുടെ അളവിന് ഒരു പ്രധാന സൂത്രവാക്യം കൊണ്ടുവരേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഫോർമുലയ്ക്ക് ഫോം ഉണ്ട്: sn \u003d (Bn - 1) * A1 / (B - 1).

പുരോഗമന അംഗങ്ങളുടെ ആവർത്തിച്ചുള്ള ശ്രേണി നിങ്ങൾ പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഈ പദപ്രയോഗം ലഭിക്കും. മേൽപ്പറഞ്ഞ സൂത്രവാക്യത്തിലും അനിയന്ത്രിതമായ അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം കണ്ടെത്താൻ ആദ്യ ഘടകവും ഡിനോമിനേറ്ററും മാത്രം അറിയാൻ പര്യാപ്തമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു.

അനന്തമായ ക്രമം കുറയുന്നു

അതിന് മുകളിൽ അത് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഒരു വിശദീകരണം നൽകി. ഇപ്പോൾ, എസ്എൻ ഫോർ ഫോർമുല അറിയുന്നത്, ഞങ്ങൾ ഇത് ഈ സംഖ്യാ വരിയിൽ പ്രയോഗിക്കുന്നു. ഏത് നമ്പറിലും, 1 ന്റെ മൊഡ്യൂൾ, സ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, അത് പൂജ്യമായി ശ്രമിക്കുന്നു, അതായത്, b∞ \u003d\u003e 0,

ഡിനോമിനേറ്ററുടെ മൂല്യങ്ങൾ പരിഗണിക്കാതെ, പ്രതിഫലം (1 - ബി) എല്ലായ്പ്പോഴും പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും, ജിയോമെട്രിക് എസ്യുടെ പുരോഗതി കുറയ്ക്കുന്നതിന്റെ അടയാളത്തിന്റെ അടയാളം, ജിയോമെട്രിക് എസ്.ഇയുടെ ആദ്യ ഘടകത്തിന്റെ ചിഹ്നമാണ് A1 ന്റെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കുന്നത്.

നിർദ്ദിഷ്ട നമ്പറുകളിൽ നേടിയ അറിവ് എങ്ങനെ പ്രയോഗിക്കാമെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണിക്കുന്ന നിരവധി ജോലികൾ പരിഗണിക്കുക.

ടാസ്ക് നമ്പർ 1. പുരോഗതിയുടെ അജ്ഞാത ഘടകങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ

ജ്യാമിതിസിക്, പുരോഗതിയുടെ പുരോഗതി 2, അതിന്റെ ആദ്യ ഘടകം 3 അതിന്റെ ആദ്യ ഘടകം അതിന്റെ ഏഴാമത്തെയും പത്താമത്തെയും അംഗങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്, അതിന്റെ ഏഴ് പ്രാരംഭ ഘടകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക എന്താണ്?

പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥ വളരെ ലളിതമാണെന്നും മുകളിലുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ നേരിട്ടുള്ള ഉപയോഗത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അതിനാൽ, N നമ്പറുള്ള ഘടകം കണക്കാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഒരു \u003d ബിഎൻ -1 * A1 എന്ന പദപ്രയോഗം ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഏഴാം ഘടകത്തിനായി, അറിയപ്പെടുന്ന ഡാറ്റയ്ക്ക് പകരമായി, ഞങ്ങൾ നേടുന്നു: A7 \u003d b6 * A1, ഞങ്ങൾ നേടുന്നു: A7 \u003d 26 * 3 \u003d 192. അതേ രീതിയിൽ പത്താം അംഗത്തിന് വേണ്ടിയാണ്: A10 \u003d 29 * 3 \u003d 1536.

ഞങ്ങൾ തുകയ്ക്കായി അറിയപ്പെടുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു, പരമ്പരയിലെ 7-ാമത് ആദ്യ ഘടകങ്ങളുടെ ഈ മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്: s7 \u003d (27 - 1) * 3 / (2 - 1) \u003d 381.

ടാസ്ക് നമ്പർ 2. പുരോഗതിയുടെ അനിയന്ത്രിതമായ ഘടകങ്ങളുടെ അളവ് നിർണ്ണയിക്കുക

Bn-1 * 4 ന്റെ ജ്യാമിചിക പുരോഗതിയിലെ പുരോഗതിയുടെ ഒരു വിഭാഗത്തിന് തുല്യമായിരിക്കട്ടെ - n ഒരു സംഖ്യയാണ്. ഈ പരമ്പരയുടെ പത്താം ഘടകമായ 5 മുതൽ പത്താം ഘടകം വരെ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

അറിയപ്പെടുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നം നേരിട്ട് പരിഹരിക്കപ്പെടില്ല. ഇത് 2 വ്യത്യസ്ത രീതികൾ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. വിഷയത്തിന്റെ അവതരണത്തിന്റെ സമ്പൂർണ്ണതയ്ക്കായി ഞങ്ങൾ രണ്ടും കൊണ്ടുവരുന്നു.

രീതി 1. അതിന്റെ ആശയം ലളിതമാണ്: ആദ്യ അംഗങ്ങളുടെ പ്രസക്തമായ രണ്ട് ആകൊലുകൾ നിങ്ങൾ കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്, തുടർന്ന് മറ്റൊന്ന് കുറയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഒരു ചെറിയ തുക കണക്കാക്കുക: S10 \u003d ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -1364. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഒരു വലിയ തുക കണക്കാക്കുന്നു: S4 \u003d ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -20. രണ്ടാമത്തെ പദപ്രയോഗത്തിൽ 4 നിബന്ധനകൾ ചുരുക്കത്തിൽ സംഗ്രഹിച്ചിരിക്കുന്നു, കാരണം നിങ്ങൾ പ്രശ്നപ്രകാരം പ്രശ്നപ്രകാരം കണക്കാക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്ന തുകയിൽ 5 ൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. അവസാനമായി, ഞങ്ങൾ വ്യത്യാസം എടുക്കുന്നു: S510 \u003d S10 - S4 \u003d -1364 - (-20) \u003d -1344.

രീതി 2. അക്കങ്ങളും എണ്ണവും പകരമാക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, പരിഗണനയിലുള്ള പരമ്പരയിലെ അംഗങ്ങൾ എം, എൻ തമ്മിലുള്ള തുകയ്ക്ക് ഒരു സൂത്രവാക്യം നേടാൻ കഴിയും. ഞങ്ങൾ രീതി 1 ലെ അതേപോലെ ചെയ്യുന്നു, തുകയുടെ ചിഹ്ന അവതരണത്തോടെ മാത്രമേ ഞങ്ങൾ ആദ്യം പ്രവർത്തിക്കൂ. ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്: എസ്എൻഎം \u003d (ബിഎൻ - 1) * A1 / (b - 1) - (BM-1 - 1) * A1 / (B - 1) \u003d A1 * (BN - BM-1) / (B - 1) . തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗത്തിൽ, നിങ്ങൾക്ക് അറിയാവുന്ന നമ്പറുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാനും അന്തിമഫലം കണക്കാക്കാനും കഴിയും: S105 \u003d 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) \u003d -1344.

ചുമതല # 3. എന്താണ് ഡിനോമിനേറ്റർ?

A1 \u003d 2 അനുവദിക്കുക, അതിൻറെ അനന്തമായ തുക 3 ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഇത് ഒരു കുറവ് അക്കങ്ങളുടെ എണ്ണം കുറയ്ക്കുന്നതായി അറിയപ്പെടുന്നുവെന്ന് അറിയാം.

ടാസ്കിന്റെ അവസ്ഥയിലൂടെ, അത് പരിഹരിക്കാൻ ഏത് സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കണം എന്നത് .ഹിക്കാൻ പ്രയാസമില്ല. തീർച്ചയായും, അനന്തമായി കുറയുന്നതിന്റെ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക. ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്: S∞ \u003d A1 / (1 - b). ഡിനോമിനേറ്റർ എക്സ്പ്രസ് ചെയ്യുക: b \u003d 1 - A1 / S∞. അറിയപ്പെടുന്ന മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാനും ആവശ്യമുള്ള നമ്പർ നേടാനും ഇത് അവശേഷിക്കുന്നു: b \u003d 1 - 2/3 \u003d -1333 (3). നിങ്ങൾക്ക് ഈ ഫലത്തിന് ഈ ഫലം പരിശോധിക്കാൻ കഴിയും ഈ തരത്തിലുള്ള ശ്രേണിക്കായി നിങ്ങൾ ഓർക്കുകയാണെങ്കിൽ, മൊഡ്യൂൾ ബി 1. അപ്പുറത്തേക്ക് പോകരുതെന്ന് നിങ്ങൾ ഓർക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, | -1 / 3 |

ടാസ്ക് നമ്പർ 4. നിരവധി സംഖ്യകളുടെ പുന oration സ്ഥാപിക്കുക

സംഖ്യാ പരമ്പരയുടെ 2 ഘടകങ്ങൾ അനുവദിക്കുക, ഉദാഹരണത്തിന്, 30 ആം വയസ്സിന് തുല്യമായത് 60 ന് തുല്യമാണ്. ഈ ഡാറ്റ അനുസരിച്ച് മുഴുവൻ ശ്രേണി പുന restore സ്ഥാപിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, ഇത് ജ്യാമിതിസിക് പ്രക്ഷോഭത്തിന്റെ സവിശേഷതകളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുവെന്ന് അറിയുക.

ചുമതല പരിഹരിക്കാൻ, ഓരോ അറിയപ്പെടുന്ന അംഗത്തിനും അനുബന്ധ ഒരു പദപ്രയോഗം ആരംഭിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്: A5 \u003d B4 * A1, A10 \u003d B9 * A1. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ആദ്യത്തേതിനെ ആദ്യം വിഭജിക്കുന്നു, ഞങ്ങൾ നേടുന്നു: A10 / A5 \u003d B9 * A1 / (B4 * A1) \u003d B5. ഇവിടെ നിന്ന്, ഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്റർ നിർണ്ണയിക്കുന്നു, ബന്ധത്തിൽ നിന്ന് അഞ്ചാം ബിരുദത്തിന്റെ റൂട്ട്, ബി \u003d 1,148698. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന എണ്ണം അറിയപ്പെടുന്ന ഘടകത്തിനുള്ള ഒരു പ്രകടനത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കപ്പെടും, ഞങ്ങൾ നേടുന്നു: A1 \u003d A5 / b4 \u003d 30 / (1,148698) 4 \u003d 17,230,4966.

ഇപ്രകാരം, ബില്യൺ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററിനും ബിഎൻ -1 * 17,2304966 \u003d എന്ന ജിയോമെട്രിക പുരോഗതിക്കും തുല്യമായ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി, b \u003d 1,148698.

ജ്യാമിതീയത്തിന്റെ പുരോഗതി എവിടെ?

പ്രായോഗികമായി ഈ സംഖ്യാ സീരീസ് ഉപയോഗിക്കാതിരിക്കേണ്ടതില്ലെങ്കിൽ, അദ്ദേഹത്തിന്റെ പഠനം തികച്ചും സൈദ്ധാന്തിക താൽപ്പര്യമായി ചുരുക്കും. എന്നാൽ ഈ അപ്ലിക്കേഷൻ നിലവിലുണ്ട്.

ഏറ്റവും പ്രശസ്തമായ 3 ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവയാണ്:

• സെനോസ് അക്കില്ലുകളുടെ വിരോധാഭാസമായ സെനോയുടെ വിരോധാഭാസം, വ്യക്തമായ ആമയെ മന്ദഗതിയിലാക്കാൻ കഴിയാത്തതിനാൽ, അനന്തമായി സീക്വൻസുകൾ കുറയ്ക്കുന്നതിന്റെ ആശയം ഉപയോഗിക്കുന്നത് പരിഹരിക്കുന്നു.
• ചെസ്സ്ബോർഡിന്റെ ഓരോ സെല്ലിലും ഗോതമ്പ് ധാന്യങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, രണ്ടാമത്തേതിൽ 1 ധാന്യം ഇടുക, രണ്ടാം - 2, എന്നിട്ട്, ഇതിനുശേഷം ബോർഡിന്റെ എല്ലാ കോശങ്ങളെയും പൂരിപ്പിക്കും 1846744073709551615 ആവശ്യമാണ് ധാന്യങ്ങൾ!
• ഒരു വടിയിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് ഡിസ്കുകൾ പുന ar ക്രമീകരിക്കുന്നതിന്, 2n 1 പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതായത്, ഉപയോഗിച്ച ഡിസ്കുകളുടെ എണ്ണത്തിൽ അവരുടെ എണ്ണം വർദ്ധിക്കുന്നു.