ab, bc എന്നീ വരികൾ സമാന്തരവും വിഭജിക്കുന്നതും മുറിച്ചുകടക്കുന്നതും ആണ്. നിർവ്വചനം

സിദ്ധാന്തം. ഒരു വരി ഒരു നിശ്ചിത തലത്തിൽ കിടക്കുകയും മറ്റൊരു ലൈൻ ഈ തലത്തെ ആദ്യ വരിയിൽ ഉൾപ്പെടാത്ത ഒരു പോയിന്റിൽ വിഭജിക്കുകയും ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ, ഈ രണ്ട് വരികളും വിഭജിക്കുന്നു. ക്രോസിംഗ് ലൈനുകളുടെ അടയാളം തെളിവ്. പ്ലെയിനിൽ ഒരു ലൈനിനെ അനുവദിക്കുക, കൂടാതെ ബി ലൈൻ എ രേഖയിൽ ഉൾപ്പെടാത്ത ബി പോയിന്റിൽ വിമാനത്തെ വിഭജിക്കട്ടെ. a, b എന്നീ വരികൾ ഒരേ തലത്തിലാണ് കിടക്കുന്നതെങ്കിൽ, ബി പോയിന്റും ഈ തലത്തിൽ തന്നെ കിടക്കും, ഈ രേഖയ്ക്ക് പുറത്ത് ഒരു തലവും ഈ രേഖയ്ക്ക് പുറത്ത് ഒരു പോയിന്റും മാത്രമേ കടന്നുപോകുന്നുള്ളൂ എന്നതിനാൽ, ഈ തലം ഒരു തലം ആയിരിക്കണം. എന്നാൽ പിന്നീട് b എന്ന നേർരേഖ വിമാനത്തിൽ കിടക്കും, അത് വ്യവസ്ഥയ്ക്ക് വിരുദ്ധമാണ്. തൽഫലമായി, a, b എന്നീ നേർരേഖകൾ ഒരേ തലത്തിൽ കിടക്കുന്നില്ല, അതായത്. ഇണചേരൽ.

ഒരു സാധാരണ ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള പ്രിസത്തിന്റെ അറ്റങ്ങൾ അടങ്ങുന്ന എത്ര ജോഡി ചരിഞ്ഞ വരകളുണ്ട്? പരിഹാരം: അടിത്തറയുടെ ഓരോ അരികിലും അതുമായി വിഭജിക്കുന്ന മൂന്ന് അരികുകൾ ഉണ്ട്. ഓരോ ലാറ്ററൽ എഡ്ജിനും അതുമായി വിഭജിക്കുന്ന രണ്ട് വാരിയെല്ലുകൾ ഉണ്ട്. അതിനാൽ, ആവശ്യമായ ജോഡി സ്ക്യൂ ലൈനുകളുടെ എണ്ണം വ്യായാമം 5 ആണ്

ഒരു സാധാരണ ഷഡ്ഭുജാകൃതിയിലുള്ള പ്രിസത്തിന്റെ അറ്റങ്ങൾ അടങ്ങുന്ന എത്ര ജോടി ചരിഞ്ഞ വരകളുണ്ട്? പരിഹാരം: അടിത്തറയുടെ ഓരോ അരികും 8 ജോഡി ക്രോസിംഗ് ലൈനുകളിൽ പങ്കെടുക്കുന്നു. ഓരോ ലാറ്ററൽ എഡ്ജും 8 ജോഡി ക്രോസിംഗ് ലൈനുകളിൽ പങ്കെടുക്കുന്നു. അതിനാൽ, ആവശ്യമായ ജോഡി സ്ക്യൂ ലൈനുകളുടെ എണ്ണം വ്യായാമം 6 ആണ്

ബഹിരാകാശത്ത് രണ്ട് വരികൾക്ക് ഒരു പൊതു പോയിന്റുണ്ടെങ്കിൽ, ഈ രണ്ട് വരികളും വിഭജിക്കുന്നതായി പറയപ്പെടുന്നു. താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ചിത്രത്തിൽ, a, b വരികൾ A പോയിന്റിൽ വിഭജിക്കുന്നു. a, c വരികൾ വിഭജിക്കുന്നില്ല.

ഏതെങ്കിലും രണ്ട് നേർരേഖകൾക്ക് ഒന്നുകിൽ ഒരു പൊതു പോയിന്റ് മാത്രമേയുള്ളൂ അല്ലെങ്കിൽ പൊതുവായ പോയിന്റുകൾ ഇല്ല.

സമാന്തര വരികൾ

ബഹിരാകാശത്തെ രണ്ട് വരികൾ ഒരേ തലത്തിൽ കിടക്കുകയും വിഭജിക്കാതിരിക്കുകയും ചെയ്താൽ അവയെ സമാന്തരമായി വിളിക്കുന്നു. സമാന്തര വരകൾ സൂചിപ്പിക്കാൻ, ഒരു പ്രത്യേക ഐക്കൺ ഉപയോഗിക്കുക - ||.

a||b എന്ന നൊട്ടേഷൻ അർത്ഥമാക്കുന്നത് a ലൈൻ b രേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമാണ് എന്നാണ്. മുകളിൽ അവതരിപ്പിച്ച ചിത്രത്തിൽ, a, c എന്നീ വരികൾ സമാന്തരമാണ്.

സമാന്തര രേഖ സിദ്ധാന്തം

ഒരു നിശ്ചിത രേഖയിൽ കിടക്കാത്ത ബഹിരാകാശത്തെ ഏത് ബിന്ദുവിലൂടെയും, തന്നിരിക്കുന്ന ഒന്നിന് സമാന്തരമായി ഒരു രേഖ കടന്നുപോകുന്നു, മാത്രമല്ല, ഒന്ന് മാത്രം.

ക്രോസിംഗ് ലൈനുകൾ

ഒരേ തലത്തിൽ കിടക്കുന്ന രണ്ട് വരികൾ ഒന്നുകിൽ വിഭജിക്കാം അല്ലെങ്കിൽ സമാന്തരമാകാം. എന്നാൽ ബഹിരാകാശത്ത്, ഈ വിമാനത്തിന് രണ്ട് നേർരേഖകൾ ഉണ്ടായിരിക്കണമെന്നില്ല. അവ രണ്ട് വ്യത്യസ്ത വിമാനങ്ങളിൽ സ്ഥാപിക്കാം.

വ്യത്യസ്‌ത തലങ്ങളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന വരികൾ വിഭജിക്കുന്നില്ലെന്നും സമാന്തരരേഖകളല്ലെന്നും വ്യക്തമാണ്. ഒരേ വിമാനത്തിൽ കിടക്കാത്ത രണ്ട് ലൈനുകളെ വിളിക്കുന്നു നേർരേഖകൾ മുറിച്ചുകടക്കുന്നു.

ഇനിപ്പറയുന്ന ചിത്രം വ്യത്യസ്ത തലങ്ങളിൽ കിടക്കുന്ന a, b എന്നീ രണ്ട് നേർരേഖകൾ കാണിക്കുന്നു.

സ്ക്യൂ ലൈനുകളിൽ ടെസ്റ്റും സിദ്ധാന്തവും

രണ്ട് വരികളിൽ ഒന്ന് ഒരു നിശ്ചിത തലത്തിൽ കിടക്കുന്നുവെങ്കിൽ, മറ്റൊരു ലൈൻ ഈ തലത്തെ ആദ്യ വരിയിൽ കിടക്കാത്ത ഒരു പോയിന്റിൽ വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ വരികൾ വിഭജിക്കുന്നു.

ചരിഞ്ഞ വരകളിലെ സിദ്ധാന്തം: വിഭജിക്കുന്ന ഓരോ വരികളിലൂടെയും മറ്റൊരു ലൈനിന് സമാന്തരമായി ഒരു തലം കടന്നുപോകുന്നു, കൂടാതെ, ഒന്ന് മാത്രം.

അങ്ങനെ, ബഹിരാകാശത്തെ വരികളുടെ ആപേക്ഷിക സ്ഥാനങ്ങളുടെ സാധ്യമായ എല്ലാ കേസുകളും ഞങ്ങൾ പരിഗണിച്ചു. അവയിൽ മൂന്നെണ്ണമേ ഉള്ളൂ.

1. വരികൾ വിഭജിക്കുന്നു. (അതായത്, അവർക്ക് ഒരു പൊതു പോയിന്റ് മാത്രമേയുള്ളൂ.)

2. വരികൾ സമാന്തരമാണ്. (അതായത്, അവർക്ക് പൊതുവായ പോയിന്റുകൾ ഇല്ല, ഒരേ തലത്തിൽ കിടക്കുന്നു.)

3. നേർരേഖകൾ ക്രോസ്. (അതായത്, അവ വ്യത്യസ്ത വിമാനങ്ങളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു.)

ഞാൻ ഒരു പുതിയ വെർഡോവ് ഫയൽ സൃഷ്ടിക്കുന്നതിനും അത്തരമൊരു ആകർഷകമായ വിഷയം തുടരുന്നതിനും മുമ്പ് ഒരു മിനിറ്റ് പോലും കടന്നുപോയില്ല. ജോലി ചെയ്യുന്ന മാനസികാവസ്ഥയുടെ നിമിഷങ്ങൾ നിങ്ങൾ പകർത്തേണ്ടതുണ്ട്, അതിനാൽ ഗാനരചനാ ആമുഖം ഉണ്ടാകില്ല. ഒരു പ്രോസൈക് സ്പാൻകിംഗ് ഉണ്ടാകും =)

രണ്ട് നേരായ ഇടങ്ങൾക്ക് കഴിയും:

1) ഇന്റർബ്രീഡ്;

2) പോയിന്റിൽ വിഭജിക്കുക;

3) സമാന്തരമായിരിക്കുക;

4) പൊരുത്തം.

കേസ് നമ്പർ 1 മറ്റ് കേസുകളിൽ നിന്ന് അടിസ്ഥാനപരമായി വ്യത്യസ്തമാണ്. ഒരേ തലത്തിൽ കിടക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ രണ്ട് നേർരേഖകൾ വിഭജിക്കുന്നു. ഒരു ഭുജം മുകളിലേക്ക് ഉയർത്തുക, മറ്റേ കൈ മുന്നോട്ട് നീട്ടുക - ക്രോസിംഗ് ലൈനുകളുടെ ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ. പോയിന്റ് നമ്പർ 2-4 ൽ നേർരേഖകൾ കിടക്കണം ഒരു വിമാനത്തിൽ.

ബഹിരാകാശത്തെ വരികളുടെ ആപേക്ഷിക സ്ഥാനങ്ങൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?

രണ്ട് നേരിട്ടുള്ള ഇടങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക:

- ഒരു പോയിന്റും ദിശ വെക്‌ടറും നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു നേർരേഖ;
- ഒരു പോയിന്റും ദിശ വെക്‌ടറും നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു നേർരേഖ.

മികച്ച ധാരണയ്ക്കായി, നമുക്ക് ഒരു സ്കീമാറ്റിക് ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കാം:

ഡ്രോയിംഗ് ഒരു ഉദാഹരണമായി വിഭജിക്കുന്ന നേർരേഖകൾ കാണിക്കുന്നു.

ഈ നേർരേഖകളെ എങ്ങനെ കൈകാര്യം ചെയ്യാം?

പോയിന്റുകൾ അറിയപ്പെടുന്നതിനാൽ, വെക്റ്റർ കണ്ടെത്തുന്നത് എളുപ്പമാണ്.

നേരെയാണെങ്കിൽ ഇണചേരൽ, പിന്നെ വെക്റ്ററുകൾ കോപ്ലനാർ അല്ല(പാഠം കാണുക വെക്റ്ററുകളുടെ ലീനിയർ (അല്ലാത്ത) ആശ്രിതത്വം. വെക്റ്ററുകളുടെ അടിസ്ഥാനം), അതിനാൽ, അവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ അടങ്ങിയ ഡിറ്റർമിനന്റ് പൂജ്യമല്ല. അല്ലെങ്കിൽ, യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരേ കാര്യം, അത് പൂജ്യമല്ല: .

കേസുകൾ നമ്പർ 2-4 ൽ, ഞങ്ങളുടെ ഘടന ഒരു തലത്തിലേക്ക് "വീഴുന്നു", വെക്റ്ററുകൾ കോപ്ലനാർ, കൂടാതെ രേഖീയമായി ആശ്രിത വെക്റ്ററുകളുടെ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്: .

നമുക്ക് അൽഗോരിതം കൂടുതൽ വിപുലീകരിക്കാം. നമുക്ക് അങ്ങനെ നടിക്കാം അതിനാൽ, വരികൾ ഒന്നുകിൽ വിഭജിക്കുന്നു, സമാന്തരമാണ്, അല്ലെങ്കിൽ ഒത്തുചേരുന്നു.

ദിശ വെക്റ്ററുകൾ എങ്കിൽ കോളിനിയർ, അപ്പോൾ വരികൾ സമാന്തരമോ യാദൃശ്ചികമോ ആണ്. അവസാന നഖത്തിനായി, ഞാൻ ഇനിപ്പറയുന്ന സാങ്കേതികത നിർദ്ദേശിക്കുന്നു: ഒരു വരിയിൽ ഏതെങ്കിലും പോയിന്റ് എടുത്ത് അതിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകളെ രണ്ടാമത്തെ വരിയുടെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക; കോർഡിനേറ്റുകൾ "ഫിറ്റ്" ആണെങ്കിൽ, വരികൾ ഒത്തുചേരുന്നു; "ഇല്ലെങ്കിൽ", വരികൾ സമാന്തരമാണ്.

അൽഗോരിതം ലളിതമാണ്, പക്ഷേ പ്രായോഗിക ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇപ്പോഴും സഹായിക്കും:

ഉദാഹരണം 11

രണ്ട് വരികളുടെ ആപേക്ഷിക സ്ഥാനം കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം: പല ജ്യാമിതി പ്രശ്നങ്ങളിലെയും പോലെ, പോയിന്റ് അനുസരിച്ച് പരിഹാര പോയിന്റ് രൂപപ്പെടുത്തുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്:

1) ഞങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് പോയിന്റുകളും ദിശ വെക്റ്ററുകളും എടുക്കുന്നു:

2) വെക്റ്റർ കണ്ടെത്തുക:

അങ്ങനെ, വെക്‌ടറുകൾ കോപ്ലനാർ ആണ്, അതായത് വരികൾ ഒരേ തലത്തിൽ കിടക്കുന്നുവെന്നും വിഭജിക്കാം, സമാന്തരമാകാം, അല്ലെങ്കിൽ ഒത്തുചേരാം.

4) നമുക്ക് കോളിനാരിറ്റിക്കായി ദിശ വെക്റ്ററുകൾ പരിശോധിക്കാം.

ഈ വെക്റ്ററുകളുടെ അനുബന്ധ കോർഡിനേറ്റുകളിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ഒരു സിസ്റ്റം ഉണ്ടാക്കാം:

നിന്ന് എല്ലാവരുംഅതിനാൽ, സിസ്റ്റം സ്ഥിരതയുള്ളതും വെക്റ്ററുകളുടെ അനുബന്ധ കോർഡിനേറ്റുകൾ ആനുപാതികവും വെക്റ്ററുകൾ കോളിനിയറുമാണെന്ന് സമവാക്യങ്ങൾ പിന്തുടരുന്നു.

ഉപസംഹാരം: വരികൾ സമാന്തരമോ സമാന്തരമോ ആണ്.

5) വരികൾക്ക് പൊതുവായ പോയിന്റുകൾ ഉണ്ടോ എന്ന് കണ്ടെത്തുക. നമുക്ക് ആദ്യ വരിയിൽ പെട്ട ഒരു പോയിന്റ് എടുത്ത് അതിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകളെ വരിയുടെ സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം:

അതിനാൽ, വരികൾക്ക് പൊതുവായ പോയിന്റുകളൊന്നുമില്ല, അവയ്ക്ക് സമാന്തരമല്ലാതെ മറ്റൊരു മാർഗവുമില്ല.

ഉത്തരം:

സ്വന്തമായി പരിഹരിക്കാൻ രസകരമായ ഒരു ഉദാഹരണം:

ഉദാഹരണം 12

വരികളുടെ ആപേക്ഷിക സ്ഥാനങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക

നിങ്ങൾക്ക് സ്വയം പരിഹരിക്കാനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണിത്. രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ അക്ഷരം ഒരു പാരാമീറ്ററായി ഉണ്ടെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ലോജിക്കൽ. പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇവ രണ്ട് വ്യത്യസ്ത വരികളാണ്, അതിനാൽ ഓരോ വരിക്കും അതിന്റേതായ പാരാമീറ്റർ ഉണ്ട്.

ഉദാഹരണങ്ങൾ ഒഴിവാക്കരുതെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളോട് വീണ്ടും അഭ്യർത്ഥിക്കുന്നു, ഞാൻ നിർദ്ദേശിക്കുന്ന ജോലികൾ ക്രമരഹിതമാണ് ;-)

ബഹിരാകാശത്ത് ഒരു ലൈനിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ

പാഠത്തിന്റെ അവസാന ഭാഗത്ത്, സ്പേഷ്യൽ ലൈനുകളുള്ള വിവിധ പ്രശ്നങ്ങളുടെ പരമാവധി എണ്ണം ഞാൻ പരിഗണിക്കാൻ ശ്രമിക്കും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, കഥയുടെ യഥാർത്ഥ ക്രമം നിരീക്ഷിക്കപ്പെടും: ആദ്യം ഞങ്ങൾ ക്രോസിംഗ് ലൈനുകളുമായുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഗണിക്കും, തുടർന്ന് വിഭജിക്കുന്ന വരികൾ, അവസാനം ഞങ്ങൾ ബഹിരാകാശത്തെ സമാന്തര വരകളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കും. എന്നിരുന്നാലും, ഈ പാഠത്തിന്റെ ചില ജോലികൾ ഒരേസമയം വരികളുടെ സ്ഥാനത്തിന്റെ നിരവധി കേസുകൾക്കായി രൂപപ്പെടുത്താൻ കഴിയുമെന്ന് ഞാൻ പറയണം, ഇക്കാര്യത്തിൽ, വിഭാഗത്തെ ഖണ്ഡികകളായി വിഭജിക്കുന്നത് ഒരു പരിധിവരെ ഏകപക്ഷീയമാണ്. ലളിതമായ ഉദാഹരണങ്ങളുണ്ട്, കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഉദാഹരണങ്ങളുണ്ട്, എല്ലാവർക്കും ആവശ്യമുള്ളത് കണ്ടെത്തുമെന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

ക്രോസിംഗ് ലൈനുകൾ

അവ രണ്ടും കിടക്കുന്ന ഒരു തലം ഇല്ലെങ്കിൽ നേർരേഖകൾ വിഭജിക്കുന്നുവെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ. ഞാൻ പരിശീലനത്തിലൂടെ ചിന്തിക്കുമ്പോൾ, ഒരു രാക്ഷസ പ്രശ്നം മനസ്സിൽ വന്നു, ഇപ്പോൾ നിങ്ങളുടെ ശ്രദ്ധയിൽ നാല് തലകളുള്ള ഒരു മഹാസർപ്പം അവതരിപ്പിക്കുന്നതിൽ എനിക്ക് സന്തോഷമുണ്ട്:

ഉദാഹരണം 13

നേർരേഖകൾ നൽകി. ആവശ്യമാണ്:

a) വരികൾ വിഭജിക്കുന്നുവെന്ന് തെളിയിക്കുക;

b) നൽകിയിരിക്കുന്ന വരികൾക്ക് ലംബമായി ഒരു പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു രേഖയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക;

സി) ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ രചിക്കുക പൊതുവായ ലംബമായക്രോസിംഗ് ലൈനുകൾ;

d) വരികൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം: നടക്കുന്നവൻ വഴിയിൽ വശമാകും.

a) വരികൾ വിഭജിക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം. ഈ വരികളുടെ പോയിന്റുകളും ദിശ വെക്റ്ററുകളും നമുക്ക് കണ്ടെത്താം:

നമുക്ക് വെക്റ്റർ കണ്ടെത്താം:

നമുക്ക് കണക്കാക്കാം വെക്റ്ററുകളുടെ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം:

അങ്ങനെ, വെക്റ്ററുകൾ കോപ്ലനാർ അല്ല, അതായത് വരികൾ വിഭജിക്കുന്നു, അതാണ് തെളിയിക്കേണ്ടത്.

വരികൾ കടക്കുന്നതിന് സ്ഥിരീകരണ അൽഗോരിതം ഏറ്റവും ചെറുതാണെന്ന് എല്ലാവരും പണ്ടേ ശ്രദ്ധിച്ചിരിക്കാം.

ബി) പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നതും വരികൾക്ക് ലംബവുമായ വരിയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക. നമുക്ക് ഒരു സ്കീമാറ്റിക് ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കാം:

ഒരു മാറ്റത്തിന് ഞാൻ നേരിട്ട് പോസ്റ്റ് ചെയ്തു പിന്നിൽനേരെ, ക്രോസിംഗ് പോയിന്റുകളിൽ ഇത് എങ്ങനെ ചെറുതായി മായ്‌ക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് നോക്കൂ. സങ്കരയിന പ്രജനനം? അതെ, പൊതുവേ, "de" എന്ന നേർരേഖ യഥാർത്ഥ നേർരേഖകൾക്കൊപ്പം കടന്നുപോകും. ഈ നിമിഷത്തിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമില്ലെങ്കിലും, ഞങ്ങൾ ഒരു ലംബ രേഖ നിർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അത്രമാത്രം.

നേരിട്ടുള്ള "ഡി"യെക്കുറിച്ച് എന്താണ് അറിയപ്പെടുന്നത്? അതിൽ ഉൾപ്പെട്ട പോയിന്റ് അറിയാം. മതിയായ ഗൈഡ് വെക്റ്റർ ഇല്ല.

വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, നേർരേഖ നേർരേഖകൾക്ക് ലംബമായിരിക്കണം, അതായത് അതിന്റെ ദിശ വെക്റ്റർ ദിശ വെക്റ്ററുകൾക്ക് ഓർത്തോഗണൽ ആയിരിക്കും. ഉദാഹരണ നമ്പർ 9-ൽ നിന്ന് ഇതിനകം പരിചിതമാണ്, നമുക്ക് വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്താം:

ഒരു പോയിന്റും ദിശ വെക്‌ടറും ഉപയോഗിച്ച് "de" എന്ന നേർരേഖയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ നമുക്ക് രചിക്കാം:

തയ്യാറാണ്. തത്വത്തിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഡിനോമിനേറ്ററുകളിലെ അടയാളങ്ങൾ മാറ്റാനും ഫോമിൽ ഉത്തരം എഴുതാനും കഴിയും , എന്നാൽ ഇതിന്റെ ആവശ്യമില്ല.

പരിശോധിക്കുന്നതിന്, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന നേർരേഖ സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് നിങ്ങൾ പോയിന്റിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്, തുടർന്ന് ഉപയോഗിക്കുക വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെലാർ ഉൽപ്പന്നംവെക്റ്റർ "pe one", "pe two" എന്നീ ദിശ വെക്‌ടറുകളോട് യഥാർത്ഥത്തിൽ ഓർത്തോഗണൽ ആണെന്ന് ഉറപ്പാക്കുക.

ഒരു പൊതു ലംബമായ ഒരു വരിയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?

സി) ഈ പ്രശ്നം കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടായിരിക്കും. ഡമ്മികൾ ഈ പോയിന്റ് ഒഴിവാക്കണമെന്ന് ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു, അനലിറ്റിക്കൽ ജ്യാമിതീയത്തോടുള്ള നിങ്ങളുടെ ആത്മാർത്ഥമായ സഹതാപം തണുപ്പിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നില്ല =) വഴി, കൂടുതൽ തയ്യാറായ വായനക്കാരും പിടിച്ചുനിൽക്കുന്നതാണ് നല്ലത്, സങ്കീർണ്ണതയുടെ കാര്യത്തിൽ ഉദാഹരണമാണ് വസ്തുത ലേഖനത്തിൽ അവസാനമായി സ്ഥാപിക്കണം, എന്നാൽ അവതരണത്തിന്റെ യുക്തി അനുസരിച്ച് അത് ഇവിടെ സ്ഥിതിചെയ്യണം.

അതിനാൽ, സ്ക്യൂ ലൈനുകളുടെ പൊതുവായ ലംബമായ ഒരു വരിയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

- ഇത് ഈ വരികളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നതും ഈ വരികൾക്ക് ലംബവുമായ ഒരു സെഗ്മെന്റാണ്:

ഇതാ ഞങ്ങളുടെ സുന്ദരനായ പയ്യൻ: - വിഭജിക്കുന്ന വരികളുടെ പൊതുവായ ലംബമായി. അവൻ മാത്രം. അതു പോലെ മറ്റൊന്നില്ല. ഈ സെഗ്‌മെന്റ് ഉൾക്കൊള്ളുന്ന വരിയ്‌ക്കായി ഞങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

നേരിട്ടുള്ള "ഉം" എന്നതിനെക്കുറിച്ച് എന്താണ് അറിയപ്പെടുന്നത്? അതിന്റെ ദിശ വെക്റ്റർ അറിയപ്പെടുന്നു, മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ കണ്ടെത്തി. പക്ഷേ, നിർഭാഗ്യവശാൽ, "എം" എന്ന നേർരേഖയിൽ പെട്ട ഒരു പോയിന്റ് പോലും ഞങ്ങൾക്ക് അറിയില്ല, ലംബമായ പോയിന്റുകളുടെ അറ്റങ്ങളും ഞങ്ങൾക്ക് അറിയില്ല. ഈ ലംബ രേഖ രണ്ട് യഥാർത്ഥ വരികളെ എവിടെയാണ് വിഭജിക്കുന്നത്? ആഫ്രിക്കയിൽ, അന്റാർട്ടിക്കയിൽ? അവസ്ഥയുടെ പ്രാഥമിക അവലോകനത്തിൽ നിന്നും വിശകലനത്തിൽ നിന്നും, പ്രശ്നം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് വ്യക്തമല്ല ... എന്നാൽ ഒരു നേർരേഖയുടെ പാരാമെട്രിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഉപയോഗവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു തന്ത്രപരമായ തന്ത്രമുണ്ട്.

പോയിന്റ് അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ തീരുമാനം രൂപപ്പെടുത്തും:

1) ആദ്യ വരിയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ പാരാമെട്രിക് രൂപത്തിൽ വീണ്ടും എഴുതാം:

നമുക്ക് കാര്യം പരിഗണിക്കാം. കോർഡിനേറ്റുകൾ ഞങ്ങൾക്ക് അറിയില്ല. പക്ഷേ. ഒരു പോയിന്റ് തന്നിരിക്കുന്ന വരിയിൽ പെട്ടതാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ യോട് യോജിക്കുന്നു, നമുക്ക് അതിനെ സൂചിപ്പിക്കാം. അപ്പോൾ പോയിന്റിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഫോമിൽ എഴുതപ്പെടും:

ജീവിതം മെച്ചപ്പെടുന്നു, ഒരു അജ്ഞാതൻ ഇപ്പോഴും മൂന്ന് അജ്ഞാതന്മാരല്ല.

2) അതേ രോഷം രണ്ടാമത്തെ പോയിന്റിലും നടത്തണം. നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ വരിയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ പാരാമെട്രിക് രൂപത്തിൽ മാറ്റിയെഴുതാം:

ഒരു പോയിന്റ് തന്നിരിക്കുന്ന വരിയിൽ പെട്ടതാണെങ്കിൽ, അപ്പോൾ വളരെ നിർദ്ദിഷ്ട അർത്ഥത്തോടെഅതിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ പാരാമെട്രിക് സമവാക്യങ്ങളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തണം:

അഥവാ:

3) വെക്റ്റർ, മുമ്പ് കണ്ടെത്തിയ വെക്റ്റർ പോലെ, നേർരേഖയുടെ ഡയറക്റ്റിംഗ് വെക്റ്റർ ആയിരിക്കും. രണ്ട് പോയിന്റുകളിൽ നിന്ന് ഒരു വെക്റ്റർ എങ്ങനെ നിർമ്മിക്കാം എന്നത് ക്ലാസ്സിൽ പണ്ടുമുതലേ ചർച്ച ചെയ്യപ്പെട്ടിരുന്നു ഡമ്മികൾക്കുള്ള വെക്‌ടറുകൾ. ഇപ്പോൾ വ്യത്യാസം വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ അജ്ഞാതമായ പാരാമീറ്റർ മൂല്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് എഴുതിയിരിക്കുന്നു എന്നതാണ്. അതുകൊണ്ട്? വെക്‌ടറിന്റെ തുടക്കത്തിലെ അനുബന്ധ കോർഡിനേറ്റുകൾ വെക്‌ടറിന്റെ അവസാനത്തിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകളിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുന്നത് ആരും വിലക്കുന്നില്ല.

രണ്ട് പോയിന്റുകൾ ഉണ്ട്: .

വെക്റ്റർ കണ്ടെത്തുന്നു:

4) ദിശ വെക്റ്ററുകൾ കോളിനിയർ ആയതിനാൽ, ഒരു വെക്റ്റർ ഒരു നിശ്ചിത ആനുപാതിക ഗുണകം "ലാംഡ" ഉപയോഗിച്ച് മറ്റൊന്നിലൂടെ രേഖീയമായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:

അല്ലെങ്കിൽ കോർഡിനേറ്റ്-ബൈ-കോർഡിനേറ്റ്:

അത് ഏറ്റവും സാധാരണമായ ഒന്നായി മാറി രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റംമൂന്ന് അജ്ഞാതർക്കൊപ്പം, ഇത് സാധാരണ പരിഹരിക്കാവുന്നവയാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, ക്രാമർ രീതി. എന്നാൽ ഇവിടെ ചെറിയ നഷ്ടത്തിൽ നിന്ന് രക്ഷപ്പെടാൻ കഴിയും; മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമ്മൾ "ലാംഡ" പ്രകടിപ്പിക്കുകയും അതിനെ ഒന്നും രണ്ടും സമവാക്യങ്ങളാക്കി മാറ്റുകയും ചെയ്യും:

അങ്ങനെ: , ഞങ്ങൾക്ക് "ലാംഡ" ആവശ്യമില്ല. പാരാമീറ്റർ മൂല്യങ്ങൾ സമാനമായി മാറിയത് തികച്ചും ഒരു അപകടമാണ്.

5) ആകാശം പൂർണ്ണമായും മായ്‌ക്കുന്നു, കണ്ടെത്തിയ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം ഞങ്ങളുടെ പോയിന്റുകളിലേക്ക്:

ദിശ വെക്റ്റർ പ്രത്യേകിച്ച് ആവശ്യമില്ല, കാരണം അതിന്റെ എതിരാളി ഇതിനകം കണ്ടെത്തി.

ഒരു നീണ്ട യാത്രയ്ക്ക് ശേഷം പരിശോധിക്കുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും രസകരമാണ്.

:

ശരിയായ തുല്യതകൾ ലഭിക്കുന്നു.

പോയിന്റിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം :

ശരിയായ തുല്യതകൾ ലഭിക്കുന്നു.

6) അന്തിമ കോർഡ്: ഒരു പോയിന്റും (നിങ്ങൾക്ക് അത് എടുക്കാം) ഒരു ദിശ വെക്‌ടറും ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കാം:

തത്വത്തിൽ, നിങ്ങൾക്ക് കേടുപാടുകൾ ഇല്ലാത്ത കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള ഒരു "നല്ല" പോയിന്റ് തിരഞ്ഞെടുക്കാം, എന്നാൽ ഇത് കോസ്മെറ്റിക് ആണ്.

വിഭജിക്കുന്ന വരികൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?

d) ഞങ്ങൾ ഡ്രാഗണിന്റെ നാലാമത്തെ തല വെട്ടിക്കളഞ്ഞു.

രീതി ഒന്ന്. ഒരു രീതി പോലുമല്ല, ഒരു ചെറിയ പ്രത്യേക കേസ്. ക്രോസിംഗ് ലൈനുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം അവയുടെ പൊതുവായ ലംബത്തിന്റെ നീളത്തിന് തുല്യമാണ്: .

പൊതുവായ ലംബമായ തീവ്ര പോയിന്റുകൾ മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ കണ്ടെത്തി, ചുമതല പ്രാഥമികമാണ്:

രീതി രണ്ട്. പ്രായോഗികമായി, മിക്കപ്പോഴും സാധാരണ ലംബത്തിന്റെ അറ്റങ്ങൾ അജ്ഞാതമാണ്, അതിനാൽ മറ്റൊരു സമീപനം ഉപയോഗിക്കുന്നു. വിഭജിക്കുന്ന രണ്ട് നേർരേഖകളിലൂടെ സമാന്തര തലങ്ങൾ വരയ്ക്കാം, ഈ വിമാനങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം ഈ നേർരേഖകൾക്കിടയിലുള്ള ദൂരത്തിന് തുല്യമാണ്. പ്രത്യേകിച്ചും, ഈ വിമാനങ്ങൾക്കിടയിൽ ഒരു സാധാരണ ലംബമായി നിൽക്കുന്നു.

അനലിറ്റിക്കൽ ജ്യാമിതിയുടെ ഗതിയിൽ, മേൽപ്പറഞ്ഞ പരിഗണനകളിൽ നിന്ന്, വിഭജിക്കുന്ന നേർരേഖകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഒരു ഫോർമുല ഉരുത്തിരിഞ്ഞു:
(ഞങ്ങളുടെ പോയിന്റുകൾക്ക് പകരം "ഉം ഒന്ന്, രണ്ട്" നിങ്ങൾക്ക് വരികളുടെ ഏകപക്ഷീയമായ പോയിന്റുകൾ എടുക്കാം).

വെക്റ്ററുകളുടെ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം"a" എന്ന പോയിന്റിൽ ഇതിനകം കണ്ടെത്തി: .

വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം"be" എന്ന ഖണ്ഡികയിൽ കാണപ്പെടുന്നു: , നമുക്ക് അതിന്റെ ദൈർഘ്യം കണക്കാക്കാം:

അങ്ങനെ:

നമുക്ക് അഭിമാനത്തോടെ ട്രോഫികൾ ഒരു വരിയിൽ പ്രദർശിപ്പിക്കാം:

ഉത്തരം:
എ) , അതായത് നേർരേഖകൾ വിഭജിക്കുന്നു, അതാണ് തെളിയിക്കേണ്ടത്;
b) ;
വി) ;
ജി)

ക്രോസിംഗ് ലൈനിനെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് മറ്റെന്താണ് പറയാൻ കഴിയുക? അവയ്ക്കിടയിൽ നിർവചിക്കപ്പെട്ട ഒരു കോണുണ്ട്. എന്നാൽ അടുത്ത ഖണ്ഡികയിൽ സാർവത്രിക ആംഗിൾ ഫോർമുല ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും:

നേരായ ഇടങ്ങൾ വിഭജിക്കുന്നത് ഒരേ തലത്തിൽ തന്നെ കിടക്കണം:

നിങ്ങളുടെ എല്ലാ ശക്തിയും ഉപയോഗിച്ച് ഇന്റർസെക്ഷൻ പോയിന്റിൽ ചായുക എന്നതാണ് ആദ്യത്തെ ചിന്ത. അപ്പോൾ ഞാൻ ചിന്തിച്ചു, എന്തുകൊണ്ടാണ് ശരിയായ ആഗ്രഹങ്ങൾ സ്വയം നിഷേധിക്കുന്നത്?! നമുക്ക് ഇപ്പോൾ അവളുടെ മുകളിൽ കയറാം!

സ്പേഷ്യൽ ലൈനുകളുടെ വിഭജന പോയിന്റ് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?

ഉദാഹരണം 14

വരികളുടെ വിഭജന പോയിന്റ് കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം: നമുക്ക് വരികളുടെ സമവാക്യങ്ങൾ പാരാമെട്രിക് രൂപത്തിൽ മാറ്റിയെഴുതാം:

ഈ പാഠത്തിന്റെ ഉദാഹരണം നമ്പർ 7 ൽ ഈ ടാസ്ക് വിശദമായി ചർച്ച ചെയ്തിട്ടുണ്ട് (കാണുക. ബഹിരാകാശത്ത് ഒരു വരിയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ). കൂടാതെ, ഉദാഹരണം നമ്പർ 12-ൽ നിന്ന് ഞാൻ നേർരേഖകൾ സ്വയം എടുത്തു. ഞാൻ കള്ളം പറയില്ല, പുതിയവ കൊണ്ടുവരാൻ എനിക്ക് മടിയാണ്.

പരിഹാരം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ആണ്, വിഭജിക്കുന്ന വരകളുടെ പൊതുവായ ലംബമായ സമവാക്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കുമ്പോൾ ഇതിനകം നേരിട്ടു.

വരികളുടെ വിഭജന പോയിന്റ് വരിയുടെ ഭാഗമാണ്, അതിനാൽ അതിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഈ വരിയുടെ പാരാമെട്രിക് സമവാക്യങ്ങളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുകയും അവയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നു. വളരെ നിർദ്ദിഷ്ട പാരാമീറ്റർ മൂല്യം:

എന്നാൽ ഇതേ പോയിന്റും രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ പെടുന്നു, അതിനാൽ:

ഞങ്ങൾ അനുബന്ധ സമവാക്യങ്ങൾ തുല്യമാക്കുകയും ലളിതമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:

രണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള മൂന്ന് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ലഭിക്കും. വരികൾ വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ (ഉദാഹരണ നമ്പർ 12 ൽ ഇത് തെളിയിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു), പിന്നെ സിസ്റ്റം അനിവാര്യമായും സ്ഥിരതയുള്ളതും ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരവുമാണ്. അത് പരിഹരിക്കാവുന്നതാണ് ഗാസിയൻ രീതി, എന്നാൽ അത്തരം കിന്റർഗാർട്ടൻ ഫെറ്റിഷിസം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പാപം ചെയ്യില്ല, ഞങ്ങൾ ഇത് ലളിതമാക്കും: ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ "ടി പൂജ്യം" പ്രകടിപ്പിക്കുകയും രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് പകരം വയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:

അവസാനത്തെ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളും അടിസ്ഥാനപരമായി സമാനമാണ്, അവയിൽ നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നു. അപ്പോൾ:

പരാമീറ്ററിന്റെ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യം സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം:

ഉത്തരം:

പരിശോധിക്കുന്നതിന്, പാരാമീറ്ററിന്റെ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യം ഞങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:
പരിശോധിക്കേണ്ട അതേ കോർഡിനേറ്റുകൾ ലഭിച്ചു. സൂക്ഷ്മ വായനക്കാർക്ക് പോയിന്റിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകളെ വരികളുടെ യഥാർത്ഥ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയും.

വഴിയിൽ, വിപരീതമായി ചെയ്യാൻ സാധിച്ചു: "es പൂജ്യം" വഴി പോയിന്റ് കണ്ടെത്തുക, അത് "te zero" വഴി പരിശോധിക്കുക.

അറിയപ്പെടുന്ന ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര അന്ധവിശ്വാസം പറയുന്നു: വരികളുടെ വിഭജനം ചർച്ച ചെയ്യപ്പെടുന്നിടത്ത്, എല്ലായ്പ്പോഴും ലംബമായ ഒരു ഗന്ധം ഉണ്ടാകും.

തന്നിരിക്കുന്ന ഒന്നിന് ലംബമായി സ്ഥലത്തിന്റെ ഒരു രേഖ എങ്ങനെ നിർമ്മിക്കാം?

(വരികൾ വിഭജിക്കുന്നു)

ഉദാഹരണം 15

a) രേഖയ്ക്ക് ലംബമായി ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു രേഖയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതുക (വരികൾ വിഭജിക്കുന്നു).

ബി) പോയിന്റിൽ നിന്ന് വരിയിലേക്കുള്ള ദൂരം കണ്ടെത്തുക.

കുറിപ്പ് : ക്ലോസ് "വരികൾ വിഭജിക്കുന്നു" - കാര്യമായ. പോയിന്റിലൂടെ
"el" എന്ന നേർരേഖയുമായി വിഭജിക്കുന്ന അനന്തമായ ലംബ വരകൾ നിങ്ങൾക്ക് വരയ്ക്കാം. തന്നിരിക്കുന്ന പോയിന്റിലേക്ക് ലംബമായി ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ പരിഹാരം സംഭവിക്കൂ രണ്ട്ഒരു നേർരേഖയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു (ഉദാഹരണം നമ്പർ 13, പോയിന്റ് "ബി" കാണുക).

എ) പരിഹാരം: അജ്ഞാതമായ വരിയെ ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. നമുക്ക് ഒരു സ്കീമാറ്റിക് ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കാം:

നേർരേഖയെക്കുറിച്ച് എന്താണ് അറിയപ്പെടുന്നത്? വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, ഒരു പോയിന്റ് നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ രചിക്കുന്നതിന്, ദിശ വെക്റ്റർ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. വെക്റ്റർ അത്തരമൊരു വെക്റ്റർ പോലെ തികച്ചും അനുയോജ്യമാണ്, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ അത് കൈകാര്യം ചെയ്യും. കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, വെക്‌ടറിന്റെ അജ്ഞാത അറ്റം കഴുത്തിലെ സ്‌ക്രഫ് ഉപയോഗിച്ച് എടുക്കാം.

1) "el" എന്ന നേർരേഖയുടെ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് അതിന്റെ ദിശ വെക്റ്റർ പുറത്തെടുക്കാം, കൂടാതെ സമവാക്യങ്ങൾ പാരാമെട്രിക് രൂപത്തിൽ വീണ്ടും എഴുതാം:

പാഠത്തിനിടയിൽ മൂന്നാം തവണയും മാന്ത്രികൻ തന്റെ തൊപ്പിയിൽ നിന്ന് ഒരു വെളുത്ത ഹംസം പുറത്തെടുക്കുമെന്ന് പലരും ഊഹിച്ചു. അജ്ഞാത കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള ഒരു പോയിന്റ് പരിഗണിക്കുക. പോയിന്റ് ആയതിനാൽ, അതിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ "el" എന്ന നേർരേഖയുടെ പാരാമെട്രിക് സമവാക്യങ്ങളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു, അവ ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട പാരാമീറ്റർ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു:

അല്ലെങ്കിൽ ഒരു വരിയിൽ:

2) വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, വരികൾ ലംബമായിരിക്കണം, അതിനാൽ അവയുടെ ദിശ വെക്റ്ററുകൾ ഓർത്തോഗണൽ ആണ്. വെക്‌ടറുകൾ ഓർത്തോഗണൽ ആണെങ്കിൽ, അവയുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നംപൂജ്യത്തിന് തുല്യം:

എന്ത് സംഭവിച്ചു? അജ്ഞാതമായ ഒന്നിനൊപ്പം ഏറ്റവും ലളിതമായ രേഖീയ സമവാക്യം:

3) പരാമീറ്ററിന്റെ മൂല്യം അറിയാം, നമുക്ക് പോയിന്റ് കണ്ടെത്താം:

ഒപ്പം ദിശ വെക്‌ടറും:
.

4) ഒരു പോയിന്റും ദിശ വെക്‌ടറും ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ രചിക്കാം:

അനുപാതത്തിന്റെ ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ ഫ്രാക്ഷണൽ ആയി മാറി, ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കുന്നത് ഉചിതമാകുമ്പോൾ ഇത് തന്നെയാണ്. ഞാൻ അവയെ -2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കും:

ഉത്തരം:

കുറിപ്പ് : പരിഹാരത്തിന്റെ കൂടുതൽ കർശനമായ അന്ത്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നു: ഒരു പോയിന്റും ദിശ വെക്‌ടറും ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ രചിക്കാം. തീർച്ചയായും, ഒരു വെക്റ്റർ ഒരു നേർരേഖയുടെ ഗൈഡിംഗ് വെക്റ്റർ ആണെങ്കിൽ, കോളിനിയർ വെക്റ്റർ, സ്വാഭാവികമായും, ഈ നേർരേഖയുടെ ഗൈഡിംഗ് വെക്റ്റർ ആയിരിക്കും.

സ്ഥിരീകരണം രണ്ട് ഘട്ടങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു:

1) ഓർത്തോഗണാലിറ്റിക്കായി ലൈനുകളുടെ ദിശ വെക്റ്ററുകൾ പരിശോധിക്കുക;

2) ഓരോ വരിയുടെയും സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് ഞങ്ങൾ പോയിന്റിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, അവ അവിടെയും അവിടെയും "ഫിറ്റ്" ചെയ്യണം.

സാധാരണ പ്രവർത്തനങ്ങളെക്കുറിച്ച് ധാരാളം ചർച്ചകൾ ഉണ്ടായിരുന്നു, അതിനാൽ ഞാൻ ഒരു ഡ്രാഫ്റ്റ് പരിശോധിച്ചു.

വഴിയിൽ, ഞാൻ മറ്റൊരു പോയിന്റ് മറന്നു - "el" എന്ന നേർരേഖയുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ "en" എന്ന ബിന്ദുവിനോട് സമമിതിയായി ഒരു പോയിന്റ് "zyu" നിർമ്മിക്കാൻ. എന്നിരുന്നാലും, ഒരു നല്ല "ഫ്ലാറ്റ് അനലോഗ്" ഉണ്ട്, അത് ലേഖനത്തിൽ കാണാം ഒരു വിമാനത്തിൽ ഒരു നേർരേഖയിലെ ഏറ്റവും ലളിതമായ പ്രശ്നങ്ങൾ. ഇവിടെ മാത്രം വ്യത്യാസം അധിക "Z" കോർഡിനേറ്റിൽ ആയിരിക്കും.

ബഹിരാകാശത്ത് ഒരു പോയിന്റിൽ നിന്ന് ഒരു വരയിലേക്കുള്ള ദൂരം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?

b) പരിഹാരം: ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് ഒരു വരയിലേക്കുള്ള ദൂരം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം.

രീതി ഒന്ന്. ഈ ദൂരം കൃത്യമായി ലംബമായ നീളത്തിന് തുല്യമാണ്: . പരിഹാരം വ്യക്തമാണ്: പോയിന്റുകൾ അറിയാമെങ്കിൽ , അത്:

രീതി രണ്ട്. പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങളിൽ, ലംബത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം പലപ്പോഴും മുദ്രയിട്ട രഹസ്യമാണ്, അതിനാൽ ഒരു റെഡിമെയ്ഡ് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നത് കൂടുതൽ യുക്തിസഹമാണ്.

ഒരു പോയിന്റിൽ നിന്ന് ഒരു വരിയിലേക്കുള്ള ദൂരം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:
, "el" എന്ന നേർരേഖയുടെ ഡയറക്റ്റിംഗ് വെക്റ്റർ എവിടെയാണ്, കൂടാതെ - സൗ ജന്യംതന്നിരിക്കുന്ന വരിയിൽ പെട്ട ഒരു പോയിന്റ്.

1) വരിയുടെ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ ദിശ വെക്റ്ററും ഏറ്റവും ആക്സസ് ചെയ്യാവുന്ന പോയിന്റും പുറത്തെടുക്കുന്നു.

2) പോയിന്റ് വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന് അറിയാം, വെക്റ്റർ മൂർച്ച കൂട്ടുക:

3) നമുക്ക് കണ്ടെത്താം വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നംഅതിന്റെ നീളം കണക്കാക്കുക:

4) ഗൈഡ് വെക്‌ടറിന്റെ നീളം കണക്കാക്കുക:

5) അങ്ങനെ, ഒരു പോയിന്റിൽ നിന്ന് ഒരു വരിയിലേക്കുള്ള ദൂരം:

l1, l2 എന്നീ വരികൾ ഒരേ തലത്തിൽ കിടക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ അവയെ സ്‌ക്യൂ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. a, b എന്നിവ ഈ ലൈനുകളുടെ ദിശ വെക്റ്ററുകളായിരിക്കട്ടെ, കൂടാതെ M1, M2 എന്നീ പോയിന്റുകൾ യഥാക്രമം l1, l2 എന്നീ വരികളിൽ പെട്ടതായിരിക്കട്ടെ.

അപ്പോൾ വെക്‌ടറുകൾ a, b, M1M2> കോപ്‌ലാനാർ അല്ല, അതിനാൽ അവയുടെ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല, അതായത് (a, b, M1M2>) =/= 0. വിപരീത പ്രസ്താവനയും ശരിയാണ്: എങ്കിൽ (a, b , M1M2> ) =/= 0, അപ്പോൾ വെക്‌ടറുകൾ a, b, M1M2> കോപ്ലനാർ അല്ല, അതിനാൽ, l1, l2 എന്നീ വരികൾ ഒരേ തലത്തിൽ കിടക്കുന്നില്ല, അതായത് അവ വിഭജിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, രണ്ട് വരികൾ വിഭജിക്കുന്നു. വ്യവസ്ഥ(a, b, M1M2>) =/= 0 ആണെങ്കിൽ മാത്രം, ഇവിടെ a, b എന്നിവ ലൈനുകളുടെ ദിശ വെക്റ്ററുകളാണ്, കൂടാതെ M1, M2 എന്നിവ യഥാക്രമം ഈ ലൈനുകളുടേതായ പോയിന്റുകളാണ്. വ്യവസ്ഥ (a, b, M1M2>) = 0 എന്നത് വരികൾ ഒരേ തലത്തിൽ കിടക്കുന്ന വസ്തുതയ്ക്ക് ആവശ്യമായതും മതിയായതുമായ ഒരു വ്യവസ്ഥയാണ്. വരികൾ അവയുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങളാൽ നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ

തുടർന്ന് a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), M1 (x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2), അവസ്ഥ (2) എന്നിവ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതുന്നു:

ക്രോസിംഗ് ലൈനുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം

വിഭജിക്കുന്ന ഒരു രേഖയും അതിന് സമാന്തരമായ ഒരു തലവും തമ്മിലുള്ള ദൂരമാണിത്, മറ്റൊരു രേഖയിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നത്, വിഭജിക്കുന്ന രേഖകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം, വിഭജിക്കുന്ന ഒരു വരിയുടെ ചില പോയിന്റിൽ നിന്ന് ആദ്യത്തേതിന് സമാന്തരമായി മറ്റൊരു രേഖയിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു തലത്തിലേക്കുള്ള ദൂരമാണ്. ലൈൻ.

26. ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ നിർവചനം, കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം. കാനോനിക്കൽ സമവാക്യത്തിന്റെ ഉത്ഭവം. പ്രോപ്പർട്ടികൾ.

എലിപ്‌സ് എന്നത് ഒരു തലത്തിലെ ബിന്ദുക്കളുടെ ജ്യാമിതീയ സ്ഥാനമാണ്, ഈ വിമാനത്തിന്റെ ഫോസി എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന രണ്ട് ഫോക്കസ്ഡ് പോയിന്റുകളിലേക്കുള്ള ദൂരത്തിന്റെ ആകെത്തുക ഒരു സ്ഥിരമായ മൂല്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ ഫോക്കസിന്റെ യാദൃശ്ചികതയാണ് സ്വാദുകൾ ഒത്തുവന്നാൽ, ദീർഘവൃത്തം ഒരു വൃത്തമാണ്. ഏത് ദീർഘവൃത്തത്തിനും നിങ്ങൾക്ക് ഒരു കാർട്ടീഷ്യൻ ഒരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം കണ്ടെത്താം, അതായത് ദീർഘവൃത്തത്തെ സമവാക്യം (ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം) വിവരിക്കുന്ന തരത്തിൽ:

ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് കേന്ദ്രീകരിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തെ ഇത് വിവരിക്കുന്നു, അതിന്റെ അക്ഷങ്ങൾ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

വലതുവശത്ത് മൈനസ് ചിഹ്നമുള്ള ഒരു യൂണിറ്റ് ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം ഇതാണ്:

ഒരു സാങ്കൽപ്പിക ദീർഘവൃത്തത്തെ വിവരിക്കുന്നു. യഥാർത്ഥ തലത്തിൽ ഇത്തരമൊരു ദീർഘവൃത്തം ചിത്രീകരിക്കുക അസാധ്യമാണ്, നമുക്ക് ഫോസിയെ F1 ഉം F2 ഉം, അവയ്ക്കിടയിലുള്ള ദൂരം 2c ഉം, ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ അനിയന്ത്രിതമായ പോയിന്റിൽ നിന്ന് foci വരെയുള്ള ദൂരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 2a ഉം സൂചിപ്പിക്കാം.

ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യം ലഭിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം Oxy തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, അങ്ങനെ foci F1 ഉം F2 ഉം Ox അക്ഷത്തിൽ കിടക്കുന്നു, കൂടാതെ ഉത്ഭവം F1F2 സെഗ്‌മെന്റിന്റെ മധ്യവുമായി യോജിക്കുന്നു. അപ്പോൾ ഫോസിക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കും: കൂടാതെ M(x;y) ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ ഏകപക്ഷീയമായ ഒരു ബിന്ദുവായിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ, ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, അതായത്.

ഇത് സാരാംശത്തിൽ ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യമാണ്.

27. ഒരു ഹൈപ്പർബോളയുടെ നിർവ്വചനം, കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം. കാനോനിക്കൽ സമവാക്യത്തിന്റെ ഉത്ഭവം. പ്രോപ്പർട്ടികൾ

ഒരു ഹൈപ്പർബോള എന്നത് ഒരു തലത്തിലെ ബിന്ദുക്കളുടെ ഒരു ജ്യാമിതീയ സ്ഥാനമാണ്, ഈ പ്ലെയിനിന്റെ F1, F2 എന്നീ രണ്ട് ഫിക്സഡ് പോയിന്റുകളിലേക്കുള്ള ദൂര വ്യത്യാസത്തിന്റെ കേവല മൂല്യം സ്ഥിരമായ ഒരു മൂല്യമാണ്. M(x;y) ഒരു ഏകപക്ഷീയമായിരിക്കട്ടെ. ഹൈപ്പർബോളയുടെ പോയിന്റ്. തുടർന്ന്, ഹൈപ്പർബോളയുടെ നിർവചനം അനുസരിച്ച് |MF 1 – MF 2 |=2a അല്ലെങ്കിൽ MF 1 – MF 2 =±2a,

28. ഒരു പരവലയത്തിന്റെ നിർവ്വചനം, കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം. കാനോനിക്കൽ സമവാക്യത്തിന്റെ ഉത്ഭവം. പ്രോപ്പർട്ടികൾ. പരാബോള എന്നത് ഒരു വിമാനത്തിന്റെ HMT ആണ്, ഈ വിമാനത്തിന്റെ ചില നിശ്ചിത പോയിന്റ് F യിലേക്കുള്ള ദൂരം ചില നിശ്ചിത നേർരേഖയിലേക്കുള്ള ദൂരത്തിന് തുല്യമാണ്, ഇത് പരിഗണനയിലുള്ള തലത്തിലും സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു. എഫ് - പരവലയത്തിന്റെ ഫോക്കസ്; നിശ്ചിത രേഖ പരവലയത്തിന്റെ ഡയറക്‌ട്രിക്‌സാണ്. r=d,

r=; d=x+p/2; (x-p/2) 2 +y 2 =(x+p/2) 2 ; x 2 -xp+p 2 /4+y 2 =x 2 +px+p 2/4; വൈ 2 =2px;

പ്രോപ്പർട്ടികൾ: 1. ഒരു പരവലയത്തിന് സമമിതിയുടെ ഒരു അക്ഷമുണ്ട് (പരവലയ അക്ഷം); 2.എല്ലാം

ഓക്സി പ്ലെയിനിന്റെ വലത് അർദ്ധതലത്തിൽ p>0 ലും ഇടതുവശത്തും പരാബോള സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു.

എങ്കിൽ പി<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.